rumah › Aneka ragam › elemen fraktal. Laboratorium Penelitian Luar Angkasa

elemen fraktal. Laboratorium Penelitian Luar Angkasa

Konsep geometri fraktal dan fraktal, yang muncul di akhir tahun 70-an, telah mapan dalam kehidupan sehari-hari para ahli matematika dan pemrogram sejak pertengahan tahun 80-an. Kata fraktal berasal dari bahasa Latin fractus dan dalam terjemahan berarti terdiri dari fragmen. Diusulkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk merujuk pada struktur yang tidak beraturan tetapi mirip dengan dirinya sendiri yang dia pelajari. Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan terbitnya buku Mandelbrot `The Fractal Geometry of Nature' pada tahun 1977. Karya-karyanya menggunakan hasil ilmiah ilmuwan lain yang bekerja pada periode 1875-1925 di bidang yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Tetapi hanya di zaman kita ini memungkinkan untuk menggabungkan karya mereka menjadi satu sistem.
Peran fraktal dalam grafik komputer saat ini cukup besar. Mereka datang untuk menyelamatkan, misalnya, ketika diperlukan, dengan bantuan beberapa koefisien, untuk menentukan garis dan permukaan dari bentuk yang sangat kompleks. Dari sudut pandang grafik komputer, geometri fraktal sangat diperlukan untuk pembentukan awan buatan, gunung, dan permukaan laut. benar-benar ditemukan cara paru-paru representasi objek non-Euclidean yang kompleks, yang gambarnya sangat mirip dengan yang alami.
Salah satu sifat utama fraktal adalah kesamaan diri. Di sangat kasus sederhana sebagian kecil dari fraktal berisi informasi tentang seluruh fraktal. Definisi fraktal yang diberikan oleh Mandelbrot adalah sebagai berikut: "Fraktal adalah struktur yang terdiri dari bagian-bagian yang dalam arti tertentu mirip dengan keseluruhan."

Ada nomor besar objek matematika yang disebut fraktal (segitiga Sierpinski, kepingan salju Koch, kurva Peano, himpunan Mandelbrot, dan atraktor Lorentz). Fraktal menggambarkan dengan sangat akurat banyak fenomena fisik dan formasi dunia nyata: gunung, awan, arus turbulen (pusaran), akar, cabang dan daun pohon, pembuluh darah, yang jauh dari bentuk geometris sederhana. Untuk pertama kalinya, Benoit Mandelbrot berbicara tentang sifat fraktal dunia kita dalam karya mani "The Fractal Geometry of Nature".
Istilah fraktal diperkenalkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1977 dalam karya dasarnya "Fractals, Form, Chaos and Dimension". Menurut Mandelbrot, kata fraktal berasal dari kata Latin fractus - pecahan dan frangere - pecah, yang mencerminkan esensi fraktal sebagai himpunan yang "rusak", tidak beraturan.

Klasifikasi fraktal.

Untuk mewakili seluruh variasi fraktal, akan lebih mudah untuk menggunakan klasifikasi yang diterima secara umum. Ada tiga kelas fraktal.

1. Fraktal geometris.

Fraktal dari kelas ini adalah yang paling jelas. Dalam kasus dua dimensi, mereka diperoleh dengan menggunakan polyline (atau permukaan dalam kasus tiga dimensi) yang disebut generator. Dalam satu langkah algoritma, setiap segmen yang membentuk garis putus-putus digantikan oleh generator garis putus-putus dalam skala yang sesuai. Sebagai hasil dari pengulangan tak berujung dari prosedur ini, fraktal geometris diperoleh.

Pertimbangkan, misalnya, salah satu objek fraktal tersebut - kurva triadik Koch.

Konstruksi kurva triadik Koch.

Ambil ruas garis lurus dengan panjang 1. Sebut saja benih. Mari kita bagi benih menjadi tiga bagian yang sama dengan panjang 1/3, buang bagian tengahnya dan ganti dengan garis putus-putus dari dua mata rantai dengan panjang 1/3.

Kami mendapatkan garis putus-putus, terdiri dari 4 tautan dengan panjang total 4/3, - yang disebut generasi pertama.

Untuk beralih ke kurva Koch generasi berikutnya, Anda perlu membuang dan mengganti bagian tengah setiap mata rantai. Dengan demikian, panjang generasi kedua adalah 16/9, generasi ketiga - 64/27. jika Anda melanjutkan proses ini hingga tak terbatas, hasilnya adalah kurva Koch triadik.

Mari kita perhatikan kurva Koch triadik suci dan mencari tahu mengapa fraktal disebut "monster".

Pertama, kurva ini tidak memiliki panjang - seperti yang telah kita lihat, dengan jumlah generasi, panjangnya cenderung tak terhingga.

Kedua, tidak mungkin untuk membuat garis singgung pada kurva ini - setiap titiknya adalah titik belok di mana turunannya tidak ada - kurva ini tidak mulus.

Panjang dan kehalusan adalah sifat dasar kurva, yang dipelajari baik oleh geometri Euclidean maupun oleh geometri Lobachevsky dan Riemann. Untuk metode tradisional kurva triadik Koch analisis geometris ternyata tidak dapat diterapkan, jadi kurva Koch ternyata adalah monster - "monster" di antara penghuni halus geometri tradisional.

Pembangunan "naga" Harter-Hateway.

Untuk mendapatkan objek fraktal lain, Anda perlu mengubah aturan konstruksinya. Biarkan elemen pembangkit menjadi dua segmen yang sama yang terhubung pada sudut siku-siku. Pada generasi nol, kami mengganti segmen unit dengan elemen pembangkit ini sehingga sudutnya berada di atas. Dapat dikatakan bahwa dengan penggantian seperti itu, terjadi pergeseran di tengah tautan. Saat membangun generasi berikutnya aturan terpenuhi: tautan pertama di sebelah kiri diganti dengan elemen pembangkit sehingga bagian tengah tautan digeser ke kiri dari arah pergerakan, dan saat mengganti tautan berikutnya, arah perpindahan titik tengah segmen harus bergantian. Gambar tersebut menunjukkan beberapa generasi pertama dan generasi ke-11 dari kurva yang dibangun sesuai dengan prinsip yang dijelaskan di atas. Kurva dengan n cenderung tak terhingga disebut naga Harter-Hateway.
Dalam grafik komputer, penggunaan fraktal geometris diperlukan saat memperoleh gambar pohon dan semak. Fraktal geometris dua dimensi digunakan untuk membuat tekstur tiga dimensi (pola pada permukaan suatu objek).

2. Fraktal aljabar

Ini adalah kelompok fraktal terbesar. Mereka diperoleh dengan menggunakan proses non-linier dalam ruang n-dimensi. Proses dua dimensi adalah yang paling banyak dipelajari. Menafsirkan proses iteratif nonlinier sebagai sistem dinamik diskrit, seseorang dapat menggunakan terminologi teori sistem ini: potret fase, proses keadaan tunak, atraktor, dll.
Diketahui bahwa sistem dinamik nonlinier memiliki beberapa keadaan stabil. Keadaan di mana sistem dinamis menemukan dirinya sendiri setelah sejumlah iterasi bergantung pada keadaan awalnya. Oleh karena itu, setiap keadaan stabil (atau, seperti yang mereka katakan, penarik) memiliki area tertentu dari keadaan awal, yang darinya sistem akan jatuh ke keadaan akhir yang dipertimbangkan. Dengan demikian, ruang fase sistem dibagi menjadi area daya tarik penarik. Jika ruang fase adalah dua dimensi, maka dengan mewarnai daerah tarikan dengan warna yang berbeda, dapat diperoleh potret fase warna dari sistem ini (proses iteratif). Dengan mengubah algoritme pemilihan warna, Anda bisa mendapatkan pola fraktal kompleks dengan pola multiwarna yang mewah. Kejutan bagi ahli matematika adalah kemampuan untuk menghasilkan struktur non-sepele yang sangat kompleks menggunakan algoritme primitif.

Set Mandelbrot.

Sebagai contoh, perhatikan himpunan Mandelbrot. Algoritme untuk konstruksinya cukup sederhana dan didasarkan pada ekspresi berulang yang sederhana: Z = Z[i] * Z[i] + C, Di mana Zi Dan C adalah variabel kompleks. Iterasi dilakukan untuk setiap titik awal dari daerah persegi panjang atau persegi - bagian dari bidang kompleks. Proses iteratif berlanjut sampai Z[i] tidak akan melampaui lingkaran jari-jari 2, yang pusatnya terletak pada titik (0,0), (ini berarti bahwa penarik sistem dinamik berada pada tak terhingga), atau setelah iterasi yang cukup besar (misalnya , 200-500) Z[i] konvergen ke beberapa titik pada lingkaran. Tergantung pada jumlah iterasi selama itu Z[i] tetap berada di dalam lingkaran, Anda dapat mengatur warna titik C(Jika Z[i] tetap berada di dalam lingkaran untuk jumlah iterasi yang cukup besar, proses iterasi berhenti dan titik raster ini dicat hitam).

3. Fraktal stokastik

Kelas fraktal terkenal lainnya adalah fraktal stokastik, yang diperoleh jika salah satu parameternya diubah secara acak dalam proses iteratif. Ini menghasilkan objek yang sangat mirip dengan yang alami - pohon asimetris, garis pantai berlekuk, dll. Fraktal stokastik dua dimensi digunakan dalam memodelkan medan dan permukaan laut.
Ada klasifikasi fraktal lain, misalnya pembagian fraktal menjadi deterministik (aljabar dan geometris) dan non-deterministik (stokastik).

Tentang penggunaan fraktal

Pertama-tama, fraktal adalah bidang seni matematika yang luar biasa, ketika dengan bantuan rumus dan algoritme paling sederhana, gambar dengan keindahan dan kerumitan luar biasa diperoleh! Dalam kontur gambar yang dibuat, daun, pohon, dan bunga sering ditebak.

Beberapa aplikasi fraktal yang paling kuat terletak pada grafis komputer. Pertama, ini adalah kompresi fraktal gambar, dan kedua, konstruksi lanskap, pohon, tumbuhan, dan pembuatan tekstur fraktal. Fisika dan mekanika modern baru mulai mempelajari perilaku objek fraktal. Dan tentunya fraktal diterapkan langsung dalam matematika itu sendiri.
Keuntungan dari algoritma kompresi gambar fraktal adalah ukuran file yang dikemas sangat kecil dan waktu pemulihan gambar yang singkat. Gambar yang dikemas secara fraktal dapat diskalakan tanpa tampilan pikselasi. Namun proses kompresi memakan waktu lama dan terkadang berlangsung berjam-jam. Algoritme pengepakan fraktal lossy memungkinkan Anda menyetel tingkat kompresi, mirip dengan format jpeg. Algoritme didasarkan pada pencarian potongan besar gambar yang mirip dengan beberapa potongan kecil. Dan hanya bagian mana yang mirip dengan yang ditulis ke file keluaran. Saat mengompresi, kisi persegi biasanya digunakan (potongan berbentuk bujur sangkar), yang mengarah ke sedikit sudut saat memulihkan gambar, kisi heksagonal bebas dari kelemahan seperti itu.
Iterasi telah mengembangkan format gambar baru, "Sting", yang menggabungkan fraktal dan kompresi lossless "gelombang" (seperti jpeg). Format baru memungkinkan Anda membuat gambar dengan kemungkinan penskalaan berkualitas tinggi berikutnya, dan volume file grafik adalah 15-20% dari volume gambar yang tidak dikompresi.
Kecenderungan fraktal terlihat seperti gunung, bunga dan pohon dieksploitasi oleh beberapa orang editor grafis, seperti awan fraktal dari 3D studio MAX, pegunungan fraktal di World Builder. Pepohonan fraktal, pegunungan, dan seluruh lanskap diberikan formula sederhana, mudah diprogram dan tidak pecah menjadi segitiga dan kubus terpisah saat didekati.
Anda tidak dapat mengabaikan penggunaan fraktal dalam matematika itu sendiri. Dalam teori himpunan, himpunan Cantor membuktikan keberadaan himpunan padat tempat yang sempurna; dalam teori ukuran, fungsi "tangga Cantor" self-affine adalah contoh yang baik dari fungsi distribusi ukuran singular.
Dalam mekanika dan fisika, fraktal digunakan karena properti unik ulangi garis besar banyak objek alam. Fraktal memungkinkan Anda memperkirakan pohon, permukaan gunung, dan celah dengan akurasi lebih tinggi daripada perkiraan dengan segmen garis atau poligon (dengan jumlah data tersimpan yang sama). Model fraktal, seperti objek alami, memiliki "kekasaran", dan properti ini dipertahankan pada peningkatan model yang sangat besar. Kehadiran ukuran seragam pada fraktal memungkinkan untuk menerapkan integrasi, teori potensial, untuk menggunakannya sebagai pengganti objek standar dalam persamaan yang telah dipelajari.
Dengan pendekatan fraktal, kekacauan tidak lagi menjadi kekacauan biru dan memperoleh struktur yang halus. Ilmu fraktal masih sangat muda dan memiliki masa depan yang cerah. Keindahan fraktal masih jauh dari habis dan masih akan memberi kita banyak mahakarya - yang menyenangkan mata, dan yang membawa kesenangan sejati ke pikiran.

Tentang membangun fraktal

Metode perkiraan berturut-turut

Melihat gambar ini, tidak sulit untuk memahami bagaimana fraktal serupa diri (dalam hal ini, piramida Sierpinski) dapat dibangun. Kita perlu mengambil piramida biasa (tetrahedron), lalu memotong bagian tengahnya (oktahedron), sehingga kita mendapatkan empat piramida kecil. Dengan masing-masing dari mereka kami melakukan operasi yang sama, dan seterusnya. Ini adalah penjelasan yang agak naif, tetapi ilustratif.

Mari kita pertimbangkan esensi dari metode ini dengan lebih ketat. Biarkan ada beberapa sistem IFS, mis. sistem pemetaan kontraksi S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (misalnya, untuk piramida kita, pemetaannya terlihat seperti S i (x)=1/2*x+o i , di mana oi berada simpul dari tetrahedron, i=1,..,4). Kemudian kami memilih beberapa himpunan kompak A 1 di R n (dalam kasus kami, kami memilih tetrahedron). Dan kita tentukan dengan induksi barisan himpunan A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Diketahui bahwa himpunan A k dengan k yang meningkat mendekati atraktor yang dibutuhkan sistem S.

Perhatikan bahwa setiap iterasi ini adalah penarik sistem berulang dari fungsi iterasi(istilah bahasa Inggris DigraphIFS, RIFS dan juga IFS yang diarahkan grafik) dan karenanya mudah dibuat dengan program kami.

Konstruksi dengan poin atau metode probabilistik

Ini adalah metode termudah untuk diterapkan di komputer. Untuk kesederhanaan, pertimbangkan kasus set self-affine datar. Jadi ayo

) adalah beberapa sistem kontraksi afin. Pemetaan S

direpresentasikan sebagai: S

Matriks tetap ukuran 2x2 dan o

Kolom vektor dua dimensi.

Mari kita ambil titik tetap dari pemetaan pertama S 1 sebagai titik awal:
x:=o1;
Di sini kita menggunakan fakta bahwa semua titik kontraksi tetap S 1 ,..,S m milik fraktal. Titik sewenang-wenang dapat dipilih sebagai titik awal dan urutan titik yang dihasilkannya akan menyusut menjadi fraktal, tetapi kemudian beberapa titik tambahan akan muncul di layar.
Perhatikan titik saat ini x=(x 1 ,x 2) di layar:
putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
Kami secara acak memilih angka j dari 1 hingga m dan menghitung ulang koordinat titik x:
j:=Acak(m)+1;
x:=S j (x);
Kami melanjutkan ke langkah 2, atau, jika kami telah melakukan iterasi dalam jumlah yang cukup besar, maka kami berhenti.

Catatan. Jika koefisien kompresi pemetaan S i berbeda, maka fraktal akan terisi titik-titik secara tidak merata. Jika pemetaan S i memiliki kemiripan, hal ini dapat dihindari dengan sedikit memperumit algoritme. Untuk melakukannya, pada langkah ke-3 algoritme, angka j dari 1 hingga m harus dipilih dengan probabilitas p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , di mana r i menunjukkan koefisien kontraksi dari pemetaan S i , dan angka s (disebut dimensi kesamaan) ditemukan dari persamaan r 1 s +...+r m s =1. Solusi dari persamaan ini dapat ditemukan, misalnya dengan metode Newton.

Tentang fraktal dan algoritmanya

Fraktal berasal dari kata sifat Latin "fractus", dan dalam terjemahan berarti terdiri dari fragmen, dan kata kerja Latin "frangere" yang sesuai berarti pecah, yaitu membuat fragmen tidak beraturan. Konsep geometri fraktal dan fraktal, yang muncul di akhir tahun 70-an, telah mapan dalam kehidupan sehari-hari para ahli matematika dan pemrogram sejak pertengahan tahun 80-an. Istilah ini diusulkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk merujuk pada struktur yang tidak beraturan tetapi mirip dengan dirinya sendiri yang dia pelajari. Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan penerbitan buku Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" pada tahun 1977 - "The Fractal Geometry of Nature". Karya-karyanya menggunakan hasil ilmiah ilmuwan lain yang bekerja pada periode 1875-1925 di bidang yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Penyesuaian

Biarkan saya membuat beberapa penyesuaian pada algoritme yang diusulkan dalam buku oleh H.-O. Paytgen dan P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, murni untuk memberantas kesalahan ketik dan mempermudah pemahaman prosesnya, karena setelah mempelajarinya, masih banyak yang menjadi misteri bagi saya. Sayangnya, algoritme yang "dapat dimengerti" dan "sederhana" ini memimpin gaya hidup yang goyang.

Konstruksi fraktal didasarkan pada fungsi nonlinier tertentu dari proses kompleks dengan umpan balik z \u003d z 2 + c karena z dan c adalah bilangan kompleks, maka z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, diperlukan untuk menguraikannya menjadi x dan y agar menjadi lebih realistis orang biasa pesawat:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Bidang yang terdiri dari semua pasangan (x,y) dapat dianggap sebagai nilai tetap p dan q, serta untuk yang dinamis. Dalam kasus pertama, menyortir semua titik (x, y) bidang sesuai dengan hukum dan mewarnainya tergantung pada jumlah pengulangan fungsi yang diperlukan untuk keluar dari proses iteratif atau tidak mewarnai (hitam) dengan maksimum yang diizinkan pengulangan meningkat, kita mendapatkan tampilan dari set Julia. Sebaliknya, jika kita menentukan pasangan nilai awal (x, y) dan menelusuri nasib warnanya dengan nilai parameter p dan q yang berubah secara dinamis, maka kita mendapatkan gambar yang disebut himpunan Mandelbrot.

Pada pertanyaan algoritma pewarnaan fraktal.

Biasanya badan himpunan direpresentasikan sebagai bidang hitam, meskipun jelas warna hitam dapat diganti dengan yang lain, tetapi ini juga merupakan hasil yang tidak menarik. Untuk mendapatkan gambar dari suatu himpunan yang dicat dengan semua warna adalah tugas yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan operasi siklik jumlah iterasi yang membentuk badan himpunan sama dengan semaksimal mungkin dan selalu sama. Warnai set tersebut warna yang berbeda mungkin dengan menggunakan hasil pengecekan kondisi keluar dari loop (z_magnitude) sebagai nomor warna, atau mirip dengannya, tetapi dengan operasi matematika lainnya.

Penerapan "mikroskop fraktal"

untuk menunjukkan fenomena perbatasan.

Attractors adalah pusat yang memimpin perebutan dominasi di pesawat. Di antara penarik ada batas yang mewakili pola berputar-putar. Dengan meningkatkan skala pertimbangan dalam batas-batas himpunan, seseorang dapat memperoleh pola non-sepele yang mencerminkan keadaan kekacauan deterministik - fenomena umum di alam.

Objek yang dipelajari oleh ahli geografi membentuk suatu sistem dengan batas-batas yang tertata sangat kompleks, sehubungan dengan itu pelaksanaannya menjadi tugas praktis yang sulit. Kompleks alami memiliki inti tipikal yang bertindak sebagai penarik yang kehilangan kekuatan pengaruhnya di wilayah tersebut saat bergerak menjauh.

Menggunakan mikroskop fraktal untuk perangkat Mandelbrot dan Julia, seseorang dapat membentuk gagasan tentang proses dan fenomena batas yang sama kompleksnya terlepas dari skala pertimbangan dan dengan demikian mempersiapkan persepsi seorang spesialis untuk pertemuan dengan dinamis dan tampaknya kacau. dalam ruang dan waktu benda alam, untuk memahami sifat geometri fraktal. Warna-warni warna dan musik fraktal pasti akan meninggalkan bekas yang dalam di benak siswa.

Ribuan publikasi dan sumber daya Internet yang sangat besar dikhususkan untuk fraktal, namun, bagi banyak spesialis yang jauh dari ilmu komputer, istilah ini tampaknya benar-benar baru. Fraktal, sebagai objek yang menarik bagi para spesialis di berbagai bidang pengetahuan, harus mendapat tempat yang selayaknya dalam perjalanan ilmu komputer.

Contoh

SIERPINSKI GRID

Ini adalah salah satu fraktal yang bereksperimen dengan Mandelbrot ketika mengembangkan konsep dimensi fraktal dan iterasi. Segitiga yang dibentuk dengan menggabungkan titik tengah segitiga yang lebih besar dipotong dari segitiga utama untuk membentuk segitiga dengan lebih banyak lubang. Dalam hal ini, inisiatornya adalah segitiga besar dan templatnya adalah operasi untuk memotong segitiga yang mirip dengan yang lebih besar. Anda juga bisa mendapatkan versi 3D segitiga dengan menggunakan tetrahedron biasa dan memotong tetrahedra yang lebih kecil. Dimensi fraktal tersebut adalah ln3/ln2 = 1,584962501.

Untuk memperoleh Karpet Sierpinski, ambil sebuah kotak, bagi menjadi sembilan kotak, dan potong bagian tengahnya. Kami akan melakukan hal yang sama dengan yang lain, kotak yang lebih kecil. Pada akhirnya, kisi fraktal datar terbentuk, yang tidak memiliki luas, tetapi dengan koneksi tak terbatas. Dalam bentuk spasialnya, spons Sierpinski diubah menjadi sistem bentuk tembusan, di mana setiap elemen tembusan secara konstan diganti dengan jenisnya sendiri. Struktur ini sangat mirip dengan bagian jaringan tulang. Suatu saat struktur berulang seperti itu akan menjadi elemen struktur bangunan. Statika dan dinamika mereka, menurut Mandelbrot, patut dipelajari dengan cermat.

KURVA KOCH

Kurva Koch adalah salah satu fraktal deterministik yang paling umum. Itu ditemukan pada abad kesembilan belas oleh seorang matematikawan Jerman bernama Helge von Koch, yang, saat mempelajari karya Georg Kontor dan Karl Weierstraße, menemukan deskripsi beberapa kurva aneh dengan perilaku yang tidak biasa. Pemrakarsa - jalur langsung. Generator adalah segitiga sama sisi, yang sisi-sisinya sama dengan sepertiga dari panjang segmen yang lebih besar. Segitiga ini ditambahkan ke tengah setiap segmen berulang kali. Dalam penelitiannya, Mandelbrot banyak bereksperimen dengan kurva Koch, dan memperoleh gambar seperti Kepulauan Koch, Persilangan Koch, Kepingan Salju Koch, dan bahkan representasi tiga dimensi dari kurva Koch dengan menggunakan tetrahedron dan menambahkan tetrahedra yang lebih kecil ke setiap wajahnya. Kurva Koch memiliki dimensi ln4/ln3 = 1.261859507.

Mandelbrot fraktal

Ini BUKAN set Mandelbrot yang sering Anda lihat. Himpunan Mandelbrot didasarkan pada persamaan non-linear dan merupakan fraktal yang kompleks. Ini juga merupakan varian dari kurva Koch, meskipun objek ini tidak terlihat seperti itu. Inisiator dan generator juga berbeda dari yang digunakan untuk membuat fraktal berdasarkan prinsip kurva Koch, tetapi idenya tetap sama. Alih-alih menempelkan segitiga sama sisi ke segmen kurva, bujur sangkar dilampirkan ke bujur sangkar. Karena kenyataan bahwa fraktal ini menempati tepat setengah dari ruang yang diberikan pada setiap iterasi, ia memiliki dimensi fraktal sederhana 3/2 = 1,5.

PENTAGON DARER

Sebuah fraktal terlihat seperti sekumpulan pentagon yang diremas menjadi satu. Faktanya, itu dibentuk dengan menggunakan segi lima sebagai inisiator dan segitiga sama kaki, rasio sisi terbesar dan terkecil yang persis sama dengan apa yang disebut rasio emas (1,618033989 atau 1/(2cos72)) sebagai generatornya . Segitiga-segitiga ini dipotong dari tengah setiap pentagon, menghasilkan bentuk seperti 5 pentagon kecil yang direkatkan ke satu pentagon besar.

Varian fraktal ini dapat diperoleh dengan menggunakan segi enam sebagai inisiator. Fraktal ini disebut Bintang Daud dan sangat mirip dengan versi heksagonal Kepingan Salju Koch. Dimensi fraktal segi lima Darer adalah ln6/ln(1+g), di mana g adalah rasio panjang sisi segitiga yang lebih besar dengan panjang sisi yang lebih kecil. Dalam hal ini, g adalah Rasio Emas, sehingga dimensi fraktal kira-kira 1,86171596. Dimensi fraktal Bintang Daud adalah ln6/ln3 atau 1,630929754.

fraktal kompleks

Faktanya, jika Anda memperbesar area kecil dari fraktal kompleks mana pun dan kemudian melakukan hal yang sama pada area kecil di area tersebut, kedua perbesaran akan sangat berbeda satu sama lain. Detail kedua gambar akan sangat mirip, tetapi tidak sepenuhnya identik.

Gambar 1. Perkiraan himpunan Mandelbrot

Bandingkan, misalnya, gambar set Mandelbrot yang ditampilkan di sini, salah satunya diperoleh dengan menambah sebagian area lainnya. Seperti yang Anda lihat, keduanya sama sekali tidak identik, meskipun pada keduanya kita melihat lingkaran hitam, dari mana tentakel yang menyala menuju ke arah yang berbeda. Elemen-elemen ini berulang tanpa batas waktu dalam set Mandelbrot dalam proporsi yang menurun.

Fraktal deterministik adalah linier, sedangkan fraktal kompleks tidak. Menjadi non-linear, fraktal ini dihasilkan oleh apa yang disebut Mandelbrot sebagai persamaan aljabar non-linear. Contoh yang baik adalah proses Zn+1=ZnІ + C, yang merupakan persamaan yang digunakan untuk menyusun himpunan Mandelbrot dan Julia derajat kedua. Memecahkan persamaan matematika ini melibatkan bilangan kompleks dan imajiner. Ketika persamaan diinterpretasikan secara grafis dalam bidang kompleks, hasilnya adalah gambar aneh di mana garis lurus berubah menjadi kurva, efek keserupaan diri muncul pada berbagai tingkat skala, meskipun bukan tanpa deformasi. Pada saat yang sama, keseluruhan gambaran secara keseluruhan tidak dapat diprediksi dan sangat kacau.

Seperti yang Anda lihat dengan melihat gambar, fraktal kompleks memang sangat kompleks dan tidak mungkin dibuat tanpa bantuan komputer. Untuk mendapatkan hasil yang berwarna, komputer ini harus memiliki coprocessor matematika yang kuat dan monitor beresolusi tinggi. Tidak seperti fraktal deterministik, fraktal kompleks tidak dihitung dalam 5-10 iterasi. Hampir setiap titik di layar komputer seperti fraktal yang terpisah. Selama pemrosesan matematis, setiap titik diperlakukan sebagai pola yang terpisah. Setiap titik sesuai dengan nilai tertentu. Persamaan dibuat untuk setiap titik dan dilakukan, misalnya, 1000 iterasi. Untuk mendapatkan gambar yang relatif tidak terdistorsi dalam interval waktu yang dapat diterima untuk komputer rumah, dimungkinkan untuk melakukan 250 iterasi untuk satu titik.

Sebagian besar fraktal yang kita lihat hari ini diwarnai dengan indah. Mungkin gambar fraktal menjadi sangat besar nilai estetika justru karena skema warna mereka. Setelah persamaan dihitung, komputer menganalisis hasilnya. Jika hasilnya tetap stabil, atau berfluktuasi di sekitar nilai tertentu, biasanya titik tersebut akan berubah menjadi hitam. Jika nilai pada satu langkah atau lainnya cenderung tak terhingga, titik tersebut dicat dengan warna berbeda, mungkin biru atau merah. Selama proses ini, komputer menetapkan warna untuk semua kecepatan gerakan.

Biasanya, titik yang bergerak cepat dicat merah, sedangkan yang lebih lambat berwarna kuning, dan seterusnya. titik-titik gelap mungkin yang paling stabil.

Fraktal kompleks berbeda dari fraktal deterministik karena kompleksnya tak terhingga, namun dapat dihasilkan dengan rumus yang sangat sederhana. Fraktal deterministik tidak memerlukan rumus atau persamaan. Ambil saja beberapa kertas gambar dan Anda dapat membuat saringan Sierpinski hingga 3 atau 4 iterasi tanpa kesulitan. Cobalah melakukannya dengan banyak Julia! Lebih mudah mengukur panjang garis pantai Inggris!

SET MANDERBROT

Gambar 2. Set Mandelbrot

Himpunan Mandelbrot dan Julia mungkin adalah dua yang paling umum di antara fraktal kompleks. Mereka dapat ditemukan di banyak jurnal ilmiah, sampul buku, kartu pos, dan screen saver komputer. Himpunan Mandelbrot, yang dibangun oleh Benoit Mandelbrot, mungkin merupakan asosiasi pertama yang dimiliki orang ketika mendengar kata fraktal. Fraktal ini, menyerupai kartu dengan pohon bercahaya dan area lingkaran yang melekat padanya, dihasilkan oleh rumus sederhana Zn+1=Zna+C, di mana Z dan C adalah bilangan kompleks dan a adalah bilangan positif.

Himpunan Mandelbrot yang paling sering terlihat adalah himpunan Mandelbrot derajat 2, yaitu a=2. Fakta bahwa himpunan Mandelbrot bukan hanya Zn+1=ZnІ+C, tetapi sebuah fraktal yang eksponennya dalam rumus dapat berupa bilangan positif apa pun menyesatkan banyak orang. Pada halaman ini Anda melihat contoh himpunan Mandelbrot untuk berbagai nilai eksponen a.
Gambar 3. Munculnya gelembung pada a=3,5

Proses Z=Z*tg(Z+C) juga populer. Berkat dimasukkannya fungsi tangen, himpunan Mandelbrot diperoleh, dikelilingi oleh area yang menyerupai apel. Saat menggunakan fungsi cosinus, efek gelembung udara diperoleh. Singkatnya, ada banyak sekali cara untuk men-tweak set Mandelbrot untuk menghasilkan berbagai gambar yang indah.

GANDA JULIA

Anehnya, set Julia dibentuk dengan formula yang sama dengan set Mandelbrot. Himpunan Julia ditemukan oleh ahli matematika Prancis Gaston Julia, setelah siapa himpunan itu dinamai. Pertanyaan pertama yang muncul setelah berkenalan secara visual dengan himpunan Mandelbrot dan Julia adalah "jika kedua fraktal dihasilkan dengan rumus yang sama, mengapa begitu berbeda?" Pertama lihat gambar set Julia. Anehnya, ada berbagai jenis set Julia. Saat menggambar fraktal menggunakan titik awal yang berbeda (untuk memulai proses iterasi), berbagai gambar. Ini hanya berlaku untuk set Julia.

Gambar 4. Julia set

Meskipun tidak dapat dilihat pada gambar, fraktal Mandelbrot sebenarnya adalah sekelompok fraktal Julia yang terhubung bersama. Setiap titik (atau koordinat) himpunan Mandelbrot berhubungan dengan fraktal Julia. Himpunan Julia dapat dihasilkan menggunakan titik-titik ini sebagai nilai awal dalam persamaan Z=ZI+C. Tetapi ini tidak berarti bahwa jika Anda memilih titik pada fraktal Mandelbrot dan meningkatkannya, Anda bisa mendapatkan fraktal Julia. Kedua poin ini identik, tetapi hanya dalam pengertian matematis. Jika kita mengambil titik ini dan menghitungnya menurut rumus ini, kita bisa mendapatkan fraktal Julia yang sesuai dengan titik tertentu dari fraktal Mandelbrot.

Untuk mewakili seluruh variasi fraktal, akan lebih mudah untuk menggunakan klasifikasi yang diterima secara umum.

2.1 Fraktal geometris

Fraktal dari kelas ini adalah yang paling jelas. Dalam kasus dua dimensi, mereka diperoleh dengan menggunakan beberapa polyline (atau permukaan dalam kasus tiga dimensi) yang disebut generator. Dalam satu langkah algoritme, setiap segmen yang membentuk garis putus-putus digantikan oleh generator garis putus-putus, dalam skala yang sesuai. Sebagai hasil dari pengulangan tak berujung dari prosedur ini, fraktal geometris diperoleh.

Gambar 1. Konstruksi kurva triadik Koch.

Pertimbangkan salah satu objek fraktal ini - kurva triadik Koch. Konstruksi kurva dimulai dengan segmen panjang satuan (Gbr. 1) - ini adalah generasi ke-0 dari kurva Koch. Selanjutnya, setiap tautan (satu segmen pada generasi nol) diganti dengan generatrix, ditunjukkan pada Gambar. 1 hingga n=1. Sebagai hasil dari penggantian tersebut, diperoleh generasi berikutnya dari kurva Koch. Pada generasi pertama, ini adalah kurva dari empat mata rantai lurus, masing-masing dengan panjang 1/3 . Untuk mendapatkan generasi ke-3, tindakan yang sama dilakukan - setiap tautan diganti dengan elemen pembentuk yang dikurangi. Jadi, untuk mendapatkan setiap generasi berikutnya, semua mata rantai dari generasi sebelumnya harus diganti dengan elemen pembentuk yang direduksi. Melengkung N generasi th untuk setiap terbatas N ditelepon prefraktal. Gambar 1 menunjukkan lima generasi kurva. Pada N cenderung tak terhingga, kurva Koch menjadi objek fraktal.

Gambar 2. Konstruksi "naga" Harter-Hateway.

Untuk mendapatkan objek fraktal lain, Anda perlu mengubah aturan konstruksinya. Biarkan elemen pembangkit menjadi dua segmen yang sama yang terhubung pada sudut siku-siku. Pada generasi nol, kami mengganti segmen unit dengan elemen pembangkit ini sehingga sudutnya berada di atas. Dapat dikatakan bahwa dengan penggantian seperti itu, terjadi pergeseran di tengah tautan. Saat membangun generasi berikutnya, aturannya terpenuhi: mata rantai pertama di sebelah kiri diganti dengan elemen pembangkit sehingga bagian tengah mata rantai digeser ke kiri dari arah pergerakan, dan saat mengganti mata rantai berikutnya, arah perpindahan titik tengah segmen harus bergantian. Gambar 2 menunjukkan beberapa generasi pertama dan generasi ke-11 dari kurva yang dibangun sesuai dengan prinsip yang dijelaskan di atas. Kurva fraktal pembatas (at N cenderung tak terhingga) disebut Naga Harter-Hateway .

Dalam grafik komputer, penggunaan fraktal geometris diperlukan saat memperoleh gambar pohon, semak, dan garis pantai. Fraktal geometris dua dimensi digunakan untuk membuat tekstur volumetrik (pola pada permukaan suatu objek).

2.2 fraktal aljabar

Ini adalah kelompok fraktal terbesar. Mereka diperoleh dengan menggunakan proses non-linear di N-dimensi ruang. Proses dua dimensi adalah yang paling banyak dipelajari. Menafsirkan proses iteratif nonlinier sebagai sistem dinamik diskrit, seseorang dapat menggunakan terminologi teori sistem ini: potret fase, stabil, penarik perhatian dll.

Diketahui bahwa sistem dinamik nonlinier memiliki beberapa keadaan stabil. Keadaan di mana sistem dinamis menemukan dirinya sendiri setelah sejumlah iterasi bergantung pada keadaan awalnya. Oleh karena itu, setiap keadaan stabil (atau, seperti yang mereka katakan, penarik) memiliki area tertentu dari keadaan awal, yang darinya sistem akan jatuh ke keadaan akhir yang dipertimbangkan. Dengan demikian, ruang fase sistem dibagi menjadi daerah atraksi penarik. Jika ruang fase itu dua dimensi, maka dengan mewarnai daerah tarik-menarik dengan warna berbeda, bisa didapat potret fase warna sistem ini (proses berulang). Dengan mengubah algoritme pemilihan warna, Anda bisa mendapatkan pola fraktal kompleks dengan pola multiwarna yang mewah. Kejutan bagi ahli matematika adalah kemampuan untuk menghasilkan struktur non-sepele yang sangat kompleks menggunakan algoritme primitif.

Gambar 3. Set Mandelbrot.

Sebagai contoh, perhatikan himpunan Mandelbrot (lihat Gbr.3 dan Gbr.4). Algoritme untuk konstruksinya cukup sederhana dan didasarkan pada ekspresi berulang yang sederhana:

Z = Z[Saya]* Z[i]+ C,

Di mana Z saya dan C adalah variabel kompleks. Iterasi dilakukan untuk setiap titik awal C area persegi panjang atau persegi - bagian dari bidang kompleks. Proses iteratif berlanjut sampai Z[i] tidak akan melampaui lingkaran jari-jari 2, yang pusatnya terletak pada titik (0,0), (ini berarti bahwa penarik sistem dinamik berada pada tak terhingga), atau setelah iterasi yang cukup banyak (misalnya, 200-500) Z[i] konvergen ke beberapa titik pada lingkaran. Tergantung pada jumlah iterasi selama itu Z[i] tetap berada di dalam lingkaran, Anda dapat mengatur warna titik C(Jika Z[i] tetap berada di dalam lingkaran untuk jumlah iterasi yang cukup besar, proses iterasi berhenti dan titik raster ini dicat hitam).

Gambar 4. Bagian perbatasan himpunan Mandelbrot, diperbesar 200 kali.

Algoritma di atas memberikan perkiraan untuk apa yang disebut himpunan Mandelbrot. Himpunan Mandelbrot berisi poin-poin yang selama tak ada habisnya jumlah iterasi tidak mencapai tak terhingga (titik berwarna hitam). Titik-titik yang termasuk dalam batas himpunan (di sinilah struktur kompleks muncul) menjadi tak terhingga dalam jumlah iterasi yang terbatas, dan titik-titik yang terletak di luar himpunan menjadi tak terhingga setelah beberapa iterasi (latar belakang putih).

2.3 Fraktal stokastik

Ada klasifikasi fraktal lain, misalnya pembagian fraktal menjadi deterministik (aljabar dan geometris) dan non-deterministik (stokastik).

fraktal

Fraktal (lat. fraktus- hancur, pecah, pecah) - sosok geometris yang memiliki sifat keserupaan diri, yaitu terdiri dari beberapa bagian yang masing-masing mirip dengan keseluruhan gambar secara keseluruhan. Dalam matematika, fraktal dipahami sebagai himpunan titik-titik dalam ruang Euclidean yang memiliki dimensi metrik pecahan (dalam pengertian Minkowski atau Hausdorff), atau dimensi metrik selain topologi. Fractasm adalah ilmu eksakta independen untuk mempelajari dan menyusun fraktal.

Dengan kata lain, fraktal adalah objek geometris dengan dimensi pecahan. Misalnya, dimensi garis adalah 1, luas adalah 2, volume adalah 3. Untuk fraktal, nilai dimensi dapat antara 1 dan 2 atau antara 2 dan 3. Misalnya, dimensi fraktal kertas kusut bola sekitar 2,5. Dalam matematika, ada rumus kompleks khusus untuk menghitung dimensi fraktal. Konsekuensi dari tabung trakea, daun di pohon, pembuluh darah di lengan, sungai adalah fraktal. Secara sederhana, fraktal adalah sosok geometris, bagian tertentu yang berulang-ulang, berubah ukurannya - ini adalah prinsip kemiripan diri. Fraktal mirip dengan diri mereka sendiri, mereka mirip dengan diri mereka sendiri di semua tingkatan (yaitu, pada skala apa pun). Ada banyak jenis fraktal. Pada prinsipnya, dapat dikatakan bahwa segala sesuatu yang ada di dunia nyata adalah fraktal, apakah itu awan atau molekul oksigen.

Kata "kekacauan" menunjukkan sesuatu yang tidak dapat diprediksi, tetapi pada kenyataannya, kekacauan cukup teratur dan mematuhi hukum tertentu. Tujuan mempelajari kekacauan dan fraktal adalah untuk memprediksi pola yang, pada pandangan pertama, mungkin tampak tidak dapat diprediksi dan benar-benar kacau.

Pelopor dalam bidang pengetahuan ini adalah ahli matematika Prancis-Amerika, Profesor Benoit B. Mandelbrot. Pada pertengahan 1960-an, ia mengembangkan geometri fraktal, yang tujuannya adalah untuk menganalisis bentuk-bentuk yang pecah, berkerut, dan tidak jelas. Himpunan Mandelbrot (ditunjukkan pada gambar) adalah asosiasi pertama yang dimiliki seseorang ketika mendengar kata "fraktal". Omong-omong, Mandelbrot menetapkan bahwa dimensi fraktal garis pantai Inggris adalah 1,25.

Fraktal semakin banyak digunakan dalam sains. Mereka menjelaskan dunia nyata bahkan lebih baik daripada fisika atau matematika tradisional. Gerakan Brown, misalnya, gerakan acak dan kacau dari partikel debu yang tersuspensi dalam air. Jenis gerakan ini mungkin merupakan aspek geometri fraktal yang paling praktis. Gerak Brownian acak memiliki respons frekuensi yang dapat digunakan untuk memprediksi fenomena yang melibatkan data dan statistik dalam jumlah besar. Misalnya, Mandelbrot meramalkan perubahan harga wol menggunakan gerak Brown.

Kata "fraktal" dapat digunakan tidak hanya sebagai istilah matematika. Fraktal dalam pers dan literatur sains populer dapat disebut figur yang memiliki salah satu dari sifat berikut:

Ini memiliki struktur non-sepele di semua skala. Inilah perbedaan dari bentuk biasa (seperti lingkaran, elips, grafik fungsi halus): jika kita mempertimbangkan potongan kecil dari gambar biasa dalam skala yang sangat besar, itu akan terlihat seperti potongan garis lurus . Untuk fraktal, memperbesar tidak mengarah pada penyederhanaan struktur, pada semua skala kita akan melihat gambaran yang sama rumitnya.

Itu mirip dengan diri sendiri atau kira-kira mirip dengan diri sendiri.

Ini memiliki dimensi metrik fraksional atau dimensi metrik yang lebih unggul dari dimensi topologi.

Penggunaan fraktal yang paling berguna dalam komputasi adalah kompresi data fraktal. Pada saat yang sama, gambar dikompres jauh lebih baik daripada yang dilakukan dengan metode konvensional - hingga 600:1. Keuntungan lain dari kompresi fraktal adalah saat Anda memperbesar, tidak ada efek pikselasi yang memperburuk gambar secara drastis. Selain itu, gambar yang dikompresi secara fraktal setelah pembesaran seringkali terlihat lebih baik dari sebelumnya. Ilmuwan komputer juga mengetahui bahwa fraktal dengan kerumitan dan keindahan tak terbatas dapat dihasilkan dengan rumus sederhana. Industri film memanfaatkan teknologi grafis fraktal secara ekstensif untuk menciptakan elemen lanskap yang realistis (awan, batu, dan bayangan).

Studi tentang turbulensi dalam aliran sangat cocok dengan fraktal. Ini memungkinkan pemahaman yang lebih baik tentang dinamika aliran kompleks. Api juga dapat dimodelkan menggunakan fraktal. Bahan berpori terwakili dengan baik dalam bentuk fraktal karena memiliki geometri yang sangat kompleks. Untuk mengirimkan data jarak jauh, antena berbentuk fraktal digunakan, yang sangat mengurangi ukuran dan beratnya. Fraktal digunakan untuk menggambarkan kelengkungan permukaan. Permukaan yang tidak rata ditandai dengan kombinasi dua fraktal yang berbeda.

Banyak objek di alam memiliki sifat fraktal, seperti pantai, awan, tajuk pohon, kepingan salju, sistem peredaran darah, dan sistem alveolar manusia atau hewan.

Fraktal, terutama di pesawat, populer karena kombinasi keindahan dan kemudahan konstruksinya dengan komputer.

Contoh pertama himpunan serupa diri dengan sifat yang tidak biasa muncul pada abad ke-19 (misalnya, fungsi Bolzano, fungsi Weierstrass, himpunan Cantor). Istilah "fraktal" diperkenalkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 dan mendapatkan popularitas yang luas dengan dirilisnya bukunya "The Fractal Geometry of Nature" pada tahun 1977.

Gambar di sebelah kiri menunjukkan fraktal Darer Pentagon sebagai contoh sederhana, yang terlihat seperti kumpulan pentagon yang dirapatkan. Faktanya, itu dibentuk dengan menggunakan segi lima sebagai inisiator dan segitiga sama kaki, rasio sisi terbesar dan terkecil yang persis sama dengan apa yang disebut rasio emas (1,618033989 atau 1/(2cos72°)) sebagai generator. Segitiga-segitiga ini dipotong dari tengah setiap pentagon, menghasilkan bentuk seperti 5 pentagon kecil yang direkatkan ke satu pentagon besar.

Teori kekacauan mengatakan bahwa sistem nonlinier yang kompleks secara turun-temurun tidak dapat diprediksi, tetapi pada saat yang sama ia mengklaim bahwa cara mengekspresikan sistem yang tidak dapat diprediksi tersebut ternyata benar bukan dalam persamaan yang tepat, tetapi dalam representasi perilaku sistem - dalam grafik penarik aneh yang terlihat seperti fraktal. Jadi teori chaos, yang oleh banyak orang dianggap sebagai sesuatu yang tidak dapat diprediksi, ternyata merupakan ilmu yang dapat diprediksi bahkan dalam sistem yang paling tidak stabil sekalipun. Doktrin sistem dinamik menunjukkan bahwa persamaan sederhana dapat menghasilkan perilaku kacau seperti itu di mana sistem tidak pernah kembali ke keadaan stabil dan tidak ada keteraturan yang muncul pada saat yang bersamaan. Seringkali sistem seperti itu berperilaku normal hingga nilai tertentu dari parameter kunci, kemudian mengalami transisi di mana ada dua kemungkinan untuk pengembangan lebih lanjut, lalu empat, dan akhirnya serangkaian kemungkinan yang kacau.

Skema proses yang terjadi pada objek teknis memiliki struktur fraktal yang jelas. Struktur sistem teknis minimum (TS) menyiratkan aliran dalam TS dari dua jenis proses - proses utama dan pendukung, dan pembagian ini bersyarat dan relatif. Proses apa pun dapat menjadi yang utama dalam kaitannya dengan proses pendukung, dan salah satu proses pendukung dapat dianggap sebagai proses utama dalam kaitannya dengan proses pendukung "mereka". Lingkaran dalam diagram menunjukkan efek fisik yang memastikan aliran proses tersebut, yang tidak perlu membuat TS "sendiri" secara khusus. Proses-proses ini adalah hasil interaksi antara zat, medan, zat, dan medan. Tepatnya, efek fisik adalah kendaraan, yang prinsipnya tidak dapat kita pengaruhi, dan kita tidak ingin atau tidak memiliki kesempatan untuk ikut campur dalam strukturnya.

Alur proses utama yang ditunjukkan pada diagram dipastikan dengan adanya tiga proses pendukung yang merupakan proses utama bagi TS yang membangkitkannya. Demi keadilan, kami mencatat bahwa untuk fungsi TS minimal sekalipun, tiga proses jelas tidak cukup, yaitu. skema ini sangat, sangat dibesar-besarkan.

Semuanya tidak sesederhana yang ditunjukkan pada diagram. Berguna ( diperlukan bagi seseorang) proses tidak dapat dilakukan dengan efisiensi 100%. Energi yang terbuang dihabiskan untuk menciptakan proses berbahaya - pemanasan, getaran, dll. Akibatnya, seiring dengan proses yang menguntungkan, muncul proses yang merugikan. Tidak selalu mungkin untuk mengganti proses yang "buruk" dengan yang "baik", jadi proses baru harus diatur untuk mengkompensasi konsekuensi yang berbahaya bagi sistem. Contoh tipikal adalah kebutuhan untuk memerangi gesekan, yang memaksa seseorang untuk mengatur skema pelumasan yang cerdik, menggunakan bahan anti gesekan yang mahal, atau menghabiskan waktu untuk melumasi komponen dan suku cadang atau menggantinya secara berkala.

Sehubungan dengan adanya pengaruh yang tak terhindarkan dari Lingkungan yang dapat berubah, proses yang bermanfaat mungkin perlu dikendalikan. Manajemen dapat dilakukan baik dengan bantuan perangkat otomatis, maupun langsung oleh seseorang. Diagram proses sebenarnya adalah satu set perintah khusus, yaitu. algoritma. Inti (deskripsi) dari setiap perintah adalah kombinasi dari satu proses berguna yang menyertai proses berbahaya dan serangkaian proses kontrol yang diperlukan. Dalam algoritme seperti itu, rangkaian proses pendukung adalah subrutin biasa - dan di sini kami juga menemukan fraktal. Metode R. Koller, yang dibuat seperempat abad yang lalu, memungkinkan untuk membuat sistem dengan kumpulan fungsi (proses) yang cukup terbatas hanya 12 pasang.

Himpunan serupa diri dengan sifat yang tidak biasa dalam matematika

Dimulai dengan akhir XIX abad, dalam matematika ada contoh benda mirip diri dengan sifat patologis dari sudut pandang analisis klasik. Ini termasuk yang berikut:

set Cantor adalah set sempurna yang tak terhitung padat di mana pun. Dengan memodifikasi prosedur, seseorang juga dapat memperoleh kumpulan panjang positif yang padat di mana pun.

segitiga Sierpinski ("taplak meja") dan karpet Sierpinski adalah analog dari set Cantor di pesawat.

Spons Menger - analog dari Cantor yang diatur dalam ruang tiga dimensi;

contoh oleh Weierstrass dan van der Waerden tentang fungsi kontinu yang tidak dapat dibedakan di mana pun.

Kurva Koch - kurva kontinu yang tidak berpotongan sendiri dengan panjang tak terbatas yang tidak memiliki garis singgung di titik mana pun;

kurva Peano adalah kurva kontinu yang melewati semua titik persegi.

lintasan partikel Brown juga tidak dapat dibedakan dengan probabilitas 1. Dimensi Hausdorff-nya adalah dua

Prosedur rekursif untuk memperoleh kurva fraktal

Konstruksi kurva Koch

Ada prosedur rekursif sederhana untuk memperoleh kurva fraktal dalam sebuah bidang. Kami mendefinisikan garis putus-putus yang sewenang-wenang dengan jumlah tautan yang terbatas, yang disebut generator. Selanjutnya, setiap segmen di dalamnya kita ganti dengan generator (lebih tepatnya, garis putus-putus yang mirip dengan generator). Pada garis putus-putus yang dihasilkan, kami mengganti setiap segmen dengan generator lagi. Melanjutkan hingga tak terhingga, dalam batasnya kita mendapatkan kurva fraktal. Gambar di sebelah kanan menunjukkan empat langkah pertama dari prosedur kurva Koch ini.

Contoh kurva tersebut adalah:

kurva naga,

Kurva Koch (kepingan salju Koch),

Kurva Retribusi,

kurva minkowski,

Kurva Hilbert,

Patah (kurva) naga (Fractal Harter-Hateway),

Kurva kacang.

Dengan menggunakan prosedur serupa, pohon Pythagoras diperoleh.

Fraktal sebagai Titik Tetap Pemetaan Kontraksi

Sifat keserupaan diri dapat secara matematis diekspresikan sebagai berikut. Membiarkan peta kontraksi pesawat. Pertimbangkan pemetaan berikut pada himpunan semua himpunan bagian yang padat (tertutup dan terbatas) dari bidang:

Dapat ditunjukkan bahwa pemetaan tersebut merupakan pemetaan kontraksi pada himpunan himpunan kompak dengan metrik Hausdorff. Oleh karena itu, dengan teorema Banach, pemetaan ini memiliki titik tetap yang unik. Titik tetap ini akan menjadi fraktal kita.

Prosedur rekursif untuk memperoleh kurva fraktal yang dijelaskan di atas merupakan kasus khusus dari konstruksi ini. Di dalamnya, semua pemetaan adalah pemetaan kesamaan, dan merupakan jumlah tautan generator.

Untuk segitiga Sierpinski dan pemetaan , , adalah homotetitas dengan pusat di simpul segitiga beraturan dan koefisien 1/2. Sangat mudah untuk melihat bahwa segitiga Sierpinski berubah menjadi dirinya sendiri di bawah pemetaan.

Dalam kasus ketika pemetaan adalah transformasi kesamaan dengan koefisien , dimensi fraktal (dalam beberapa kondisi teknis tambahan) dapat dihitung sebagai solusi persamaan . Jadi, untuk segitiga Sierpinski kita dapatkan .

Menurut teorema Banach yang sama, mulai dari himpunan kompak apa pun dan menerapkannya iterasi peta , kami memperoleh urutan himpunan kompak yang konvergen (dalam arti metrik Hausdorff) ke fraktal kami.

Fraktal dalam dinamika kompleks

Julia mengatur

Satu set Julia

Fraktal secara alami muncul dalam studi sistem dinamik nonlinier. Kasus yang paling banyak dipelajari adalah ketika sistem dinamis didefinisikan oleh iterasi fungsi polinomial atau holomorfik dari variabel kompleks pada bidang. Studi pertama di bidang ini dimulai pada awal abad ke-20 dan dikaitkan dengan nama Fatou dan Julia.

Membiarkan F(z) - polinomial, z 0 adalah bilangan kompleks. Pertimbangkan urutan berikut: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Kami tertarik pada perilaku urutan ini seperti yang cenderung kami lakukan N hingga tak terbatas. Urutan ini dapat:

berjuang untuk tak terhingga

berjuang untuk yang paling akhir

menunjukkan perilaku siklik dalam batas, misalnya: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

berperilaku kacau, yaitu tidak menunjukkan salah satu dari ketiga jenis perilaku yang disebutkan.

Kumpulan nilai z 0 , yang urutannya menunjukkan satu jenis perilaku tertentu, serta kumpulan titik percabangan antara jenis yang berbeda, seringkali memiliki sifat fraktal.

Jadi, himpunan Julia adalah himpunan titik bifurkasi untuk polinomial F(z)=z 2 +C(atau fungsi serupa lainnya), yaitu nilai-nilai tersebut z 0 , yang perilaku urutannya ( z N) dapat berubah secara dramatis dengan perubahan kecil yang sewenang-wenang z 0 .

Pilihan lain untuk mendapatkan himpunan fraktal adalah memasukkan parameter ke dalam polinomial F(z) dan mempertimbangkan kumpulan nilai parameter yang urutannya ( z N) menunjukkan perilaku tertentu untuk tetap z 0 . Jadi, himpunan Mandelbrot adalah himpunan semua yang ( z N) Untuk F(z)=z 2 +C Dan z 0 tidak menuju tak terhingga.

Lain contoh terkenal semacam ini adalah kolam Newton.

Sangat populer untuk membuat gambar grafik yang indah berdasarkan dinamika kompleks dengan mewarnai titik bidang tergantung pada perilaku sistem dinamis yang sesuai. Misalnya, untuk melengkapi set Mandelbrot, Anda dapat mewarnai titik-titiknya tergantung pada kecepatan berusaha ( z N) hingga tak terhingga (didefinisikan, katakanlah, sebagai angka terkecil N, dimana | z N| melebihi nilai besar tetap A.

Biomorf adalah fraktal yang dibangun atas dasar dinamika kompleks dan menyerupai organisme hidup.

Fraktal stokastik

Fraktal acak berdasarkan himpunan Julia

Objek alam seringkali memiliki bentuk fraktal. Untuk pemodelannya, fraktal stokastik (acak) dapat digunakan. Contoh fraktal stokastik:

lintasan gerak Brown di bidang dan di ruang angkasa;

batas lintasan gerak Brown pada bidang. Pada tahun 2001, Lawler, Schramm, dan Werner membuktikan dugaan Mandelbrot bahwa dimensinya adalah 4/3.

Evolusi Schramm-Löwner adalah kurva fraktal konformal invarian yang muncul dalam model dua dimensi penting dari mekanika statistik, misalnya, dalam model Ising dan perkolasi.

berbagai jenis fraktal acak, yaitu fraktal yang diperoleh dengan menggunakan prosedur rekursif, di mana parameter acak dimasukkan pada setiap langkah. Plasma adalah contoh penggunaan fraktal semacam itu dalam grafik komputer.

Di alam

Tampilan depan trakea dan bronkus

pohon bronkial

jaringan pembuluh darah

Aplikasi

Ilmu pengetahuan Alam

Dalam fisika, fraktal secara alami muncul saat memodelkan proses nonlinier, seperti aliran fluida turbulen, proses adsorpsi difusi kompleks, api, awan, dll. Fraktal digunakan saat memodelkan bahan berpori, misalnya dalam petrokimia. Dalam biologi, mereka digunakan untuk memodelkan populasi dan menggambarkan sistem organ dalam (sistem pembuluh darah).

Rekayasa radio

antena fraktal

Penggunaan geometri fraktal dalam desain perangkat antena pertama kali diterapkan oleh insinyur Amerika Nathan Cohen, yang saat itu tinggal di pusat kota Boston, di mana antena eksternal dilarang dipasang di gedung. Nathan memotong sosok berbentuk kurva Koch dari aluminium foil dan menempelkannya di selembar kertas, lalu menempelkannya ke penerima. Cohen mendirikan perusahaannya sendiri dan meluncurkan produksi serial mereka.

Ilmu Komputer

Kompresi Gambar

Artikel utama: Algoritma Kompresi Fraktal

pohon fraktal

Ada algoritma kompresi gambar menggunakan fraktal. Mereka didasarkan pada gagasan bahwa alih-alih gambar itu sendiri, Anda dapat menyimpan peta kontraksi di mana gambar ini (atau yang dekat dengannya) adalah titik tetapnya. Salah satu varian dari algoritma ini digunakan [ sumber tidak ditentukan 895 hari] oleh Microsoft saat menerbitkan ensiklopedianya, tetapi algoritme ini tidak digunakan secara luas.

Grafik komputer

Pohon fraktal lainnya

Fraktal banyak digunakan dalam grafik komputer untuk membangun gambar objek alam seperti pohon, semak, lanskap gunung, permukaan laut, dan sebagainya. Ada banyak program yang digunakan untuk menghasilkan gambar fraktal, lihat Fractal Generator (program).

jaringan terdesentralisasi

Sistem penetapan alamat IP Netsukuku menggunakan prinsip kompresi informasi fraktal untuk menyimpan informasi tentang node jaringan secara kompak. Setiap node di jaringan Netsukuku hanya menyimpan 4 KB informasi tentang status node tetangga, sementara setiap node baru terhubung ke jaringan umum tanpa memerlukan regulasi pusat untuk distribusi alamat IP, yang, misalnya, khas untuk Internet. Dengan demikian, prinsip kompresi informasi fraktal menjamin operasi yang sepenuhnya terdesentralisasi, dan oleh karena itu, operasi yang paling stabil dari seluruh jaringan.

Fraktal telah dikenal selama hampir seabad, dipelajari dengan baik dan memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan. Fenomena ini didasarkan pada ide yang sangat sederhana: jumlah figur yang tak terbatas dalam keindahan dan variasi dapat diperoleh dari struktur yang relatif sederhana hanya dengan menggunakan dua operasi - penyalinan dan penskalaan.

Konsep ini tidak memiliki definisi yang ketat. Oleh karena itu, kata "fraktal" bukanlah istilah matematika. Biasanya disebut sosok geometris, yang memenuhi satu atau beberapa properti berikut:

memiliki struktur yang kompleks dengan perbesaran apa pun;
adalah (kurang-lebih) mirip dengan diri sendiri;
memiliki dimensi Hausdorff (fraktal) fraksional , yang lebih besar dari dimensi topologi;
dapat dibangun dengan prosedur rekursif.

Pada pergantian abad ke-19 dan ke-20, studi fraktal lebih episodik daripada sistematis, karena matematikawan sebelumnya terutama mempelajari objek "baik" yang dapat dipelajari menggunakan metode umum dan teori. Pada tahun 1872, ahli matematika Jerman Karl Weierstrass membuat contoh fungsi kontinu yang tidak dapat dibedakan di mana pun. Namun, konstruksinya sepenuhnya abstrak dan sulit dipahami. Oleh karena itu, pada tahun 1904, Helge von Koch dari Swedia datang dengan kurva kontinu yang tidak bersinggungan di mana pun, dan menggambarnya cukup sederhana. Ternyata ia memiliki sifat fraktal. Salah satu variasi kurva ini disebut kepingan salju Koch.

Ide kesamaan diri tokoh diambil oleh orang Prancis Paul Pierre Levy, calon mentor Benoit Mandelbrot. Pada tahun 1938, artikelnya "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole" diterbitkan, di mana fraktal lain dijelaskan - kurva Lévy C. Semua fraktal di atas dapat dikaitkan secara kondisional dengan satu kelas fraktal konstruktif (geometris).

Kelas lain adalah fraktal dinamis (aljabar), yang mencakup himpunan Mandelbrot. Studi pertama ke arah ini berasal dari awal abad ke-20 dan dikaitkan dengan nama matematikawan Prancis Gaston Julia dan Pierre Fatou. Pada tahun 1918, hampir dua ratus halaman karya Julia diterbitkan, dikhususkan untuk iterasi fungsi rasional kompleks, di mana himpunan Julia dijelaskan - seluruh keluarga fraktal yang terkait erat dengan himpunan Mandelbrot. Karya ini dianugerahi hadiah dari Akademi Prancis, tetapi tidak mengandung satu ilustrasi pun, sehingga tidak mungkin untuk menghargai keindahan benda-benda yang ditemukan. Terlepas dari kenyataan bahwa karya ini membuat Julia terkenal di kalangan matematikawan saat itu, karya itu dengan cepat dilupakan.

Hanya setengah abad kemudian, dengan munculnya komputer, perhatian beralih ke karya Julia dan Fatou: merekalah yang membuat kekayaan dan keindahan dunia fraktal terlihat. Lagi pula, Fatou tidak akan pernah bisa melihat gambar yang sekarang kita kenal sebagai gambar himpunan Mandelbrot, karena jumlah perhitungan yang diperlukan tidak bisa dilakukan secara manual. Orang pertama yang menggunakan komputer untuk ini adalah Benoit Mandelbrot.

Pada tahun 1982, buku Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" diterbitkan, di mana penulis mengumpulkan dan mensistematisasikan hampir semua informasi tentang fraktal yang tersedia pada saat itu dan menyajikannya dengan cara yang mudah dan dapat diakses. Mandelbrot membuat penekanan utama dalam presentasinya bukan pada rumus dan konstruksi matematika yang berat, tetapi pada intuisi geometris pembaca. Berkat ilustrasi yang dihasilkan komputer dan cerita sejarah, yang dengannya penulis dengan terampil mengencerkan komponen ilmiah dari monograf, buku tersebut menjadi buku terlaris, dan fraktalnya diketahui masyarakat umum. Keberhasilan mereka di antara non-matematikawan sebagian besar disebabkan oleh fakta bahwa dengan bantuan konstruksi dan formula yang sangat sederhana yang bahkan dapat dipahami oleh siswa sekolah menengah, gambar dengan kompleksitas dan keindahan yang luar biasa diperoleh. Ketika komputer pribadi menjadi cukup kuat, bahkan seluruh tren seni muncul - lukisan fraktal, dan hampir semua pemilik komputer dapat melakukannya. Sekarang di Internet Anda dapat dengan mudah menemukan banyak situs yang didedikasikan untuk topik ini.

Para editor NNN secara tidak sengaja menemukan sangat materi yang menarik, disajikan di blog pengguna xtsarx, yang didedikasikan untuk elemen teori fraktal dan aplikasi praktisnya. Seperti diketahui, teori fraktal memegang peranan penting dalam fisika dan kimia sistem nano. Setelah memberikan kontribusi kami pada materi yang solid ini, disajikan dalam bahasa yang dapat diakses oleh banyak pembaca dan didukung oleh materi grafis dan bahkan video yang melimpah, kami mempersembahkannya untuk perhatian Anda. Kami berharap pembaca NNN akan menemukan materi ini menarik.

Alam begitu misterius sehingga semakin banyak Anda mempelajarinya, semakin banyak pertanyaan yang muncul... Petir malam - "aliran" biru dari pelepasan bercabang, pola beku di jendela, kepingan salju, gunung, awan, kulit pohon - semua ini melampaui biasanya geometri Euclidean. Kita tidak bisa menggambarkan batu atau batas pulau dengan garis, lingkaran, dan segitiga. Dan di sini kami datang untuk menyelamatkan fraktal. Apa orang asing yang akrab ini?

“Di bawah mikroskop, dia menemukan itu pada seekor kutu
Kutu yang menggigit hidup di atas kutu;
Pada kutu itu ada kutu kecil,
Dengan marah menempelkan gigi ke kutu
Flea, dan ad infinitum. D.Cepat.

Sedikit sejarah

Ide pertama geometri fraktal berasal dari abad ke-19. Kantor, menggunakan prosedur rekursif (berulang) sederhana, mengubah garis menjadi sekumpulan titik yang tidak terhubung (disebut Cantor Dust). Dia mengambil garis dan melepas sepertiga bagian tengah dan kemudian mengulangi hal yang sama dengan bagian yang tersisa.

Beras. 1. Kurva Peano 1.2–5 iterasi.

Peano dicat jenis khusus baris. Peano melakukan hal berikut: Pada langkah pertama, dia mengambil garis lurus dan menggantinya dengan 9 ruas yang 3 kali lebih pendek dari panjang garis semula. Kemudian dia melakukan hal yang sama dengan setiap segmen dari garis yang dihasilkan. Dan seterusnya hingga tak terbatas. Keunikannya terletak pada kenyataan bahwa ia memenuhi seluruh bidang. Terbukti bahwa untuk setiap titik pada bidang dapat ditemukan satu titik yang termasuk dalam garis Peano. Kurva Peano dan debu Cantor melampaui objek geometris biasa. Ukurannya tidak jelas.. Debu Cantor tampaknya dibuat berdasarkan garis lurus satu dimensi, tetapi terdiri dari titik-titik (dimensi 0). Dan kurva Peano dibangun berdasarkan garis satu dimensi, dan hasilnya adalah sebuah bidang. Di banyak bidang sains lainnya, muncul masalah yang membawa hasil yang aneh, seperti yang dijelaskan di atas (gerak Brown, harga saham). Masing-masing dari kita dapat melakukan prosedur ini ...

Bapak Fraktal

Hingga abad ke-20, terjadi penumpukan data tentang benda-benda aneh tersebut, tanpa ada upaya untuk mensistematisasikannya. Jadi itu sampai mereka mengambil Benoit Mandelbrot – bapak geometri fraktal modern dan kata fraktal.

Beras. 2. Benoit Mandelbrot.

Saat bekerja di IBM sebagai analis matematika, dia mempelajari kebisingan di sirkuit elektronik yang tidak dapat dijelaskan menggunakan statistik. Secara bertahap membandingkan fakta, dia sampai pada penemuan arah baru dalam matematika - geometri fraktal.

Istilah "fraktal" diperkenalkan oleh B. Mandelbrot pada tahun 1975. Menurut Mandelbrot, fraktal(dari bahasa Latin "fractus" - pecahan, rusak, rusak) disebut struktur yang terdiri dari bagian-bagian seperti keseluruhan. Sifat kemiripan diri secara tajam membedakan fraktal dari objek geometri klasik. Ketentuan kesamaan diri cara adanya struktur berulang yang halus, baik pada skala terkecil objek, maupun pada skala makro.

Beras. 3. Untuk definisi konsep "fraktal".

Contoh keserupaan diri adalah: Koch, Levy, kurva Minkowski, segitiga Sierpinski, spons Menger, pohon Pythagoras, dll.

Dari sudut pandang matematika, fraktal adalah, pertama-tama, diatur dengan dimensi fraksional (menengah, "bukan bilangan bulat"). Sementara garis Euclidean yang halus mengisi ruang satu dimensi dengan tepat, kurva fraktal melampaui ruang satu dimensi, menerobos batas ke dalam ruang dua dimensi. Jadi, dimensi fraktal kurva Koch akan berada di antara 1 dan 2. Ini, pertama-tama, berarti objek fraktal tidak dapat mengukur panjangnya secara akurat! Dari fraktal geometris ini, yang pertama sangat menarik dan cukup terkenal - Kepingan salju Koch.

Beras. 4. Untuk definisi konsep "fraktal".

Itu dibangun atas dasar segitiga sama sisi. Setiap barisnya diganti dengan 4 baris yang masing-masing 1/3 dari panjang aslinya. Jadi, dengan setiap iterasi, panjang kurva bertambah sepertiga. Dan jika kita membuat iterasi dalam jumlah tak terbatas, kita mendapatkan fraktal - kepingan salju Koch dengan panjang tak terbatas. Ternyata kurva tak terbatas kita mencakup area terbatas. Coba lakukan hal yang sama dengan metode dan gambar dari geometri Euclidean.
Dimensi kepingan salju Koch(ketika kepingan salju bertambah 3 kali, panjangnya bertambah 4 kali) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Tentang fraktal

Fraktal menemukan semakin banyak aplikasi dalam sains dan teknologi. Alasan utama untuk ini adalah bahwa mereka menggambarkan dunia nyata kadang-kadang bahkan lebih baik daripada fisika atau matematika tradisional. Anda dapat memberikan contoh objek fraktal tanpa henti di alam - ini adalah awan, serpihan salju, pegunungan, kilatan petir, dan terakhir, kembang kol. Fraktal sebagai objek alami adalah gerakan berkelanjutan yang abadi, formasi dan pengembangan baru.

Beras. 5. Fraktal dalam ekonomi.

Di samping itu, fraktal menemukan aplikasi dalam jaringan komputer terdesentralisasi Dan "antena fraktal" . Sangat menarik dan menjanjikan untuk memodelkan berbagai proses "acak" stokastik (non-deterministik) yang disebut "fraktal Brown". Dalam kasus nanoteknologi, fraktal juga memainkan peran penting. , karena, karena organisasi mandiri hierarkis mereka, banyak sistem nano memiliki dimensi non-bilangan bulat, yaitu, mereka adalah fraktal dalam sifat geometris, fisiko-kimia atau fungsionalnya. Misalnya, contoh mencolok dari sistem fraktal kimia adalah molekul "dendrimer" . Selain itu, prinsip fraktalitas (mirip diri, struktur penskalaan) adalah cerminan dari struktur hierarkis sistem dan, oleh karena itu, lebih umum dan universal daripada pendekatan standar untuk menggambarkan struktur dan sifat sistem nano.

Beras. 6. Molekul "dendrimer".