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프랙탈 요소. 우주 연구실

70년대 후반에 등장한 프랙탈과 프랙탈 기하학의 개념은 80년대 중반부터 수학자, 프로그래머의 일상에 확고히 자리 잡았습니다. 프랙탈이라는 단어는 라틴어 fractus에서 파생되었으며 번역에서는 조각으로 구성된 것을 의미합니다. 1975년 Benoit Mandelbrot는 그가 연구한 불규칙하지만 자기유사한 구조를 언급하기 위해 제안했습니다. 프랙탈 기하학의 탄생은 일반적으로 1977년 Mandelbrot의 책 'The Fractal Geometry of Nature'의 출판과 관련이 있습니다. Julia, Kantor, Hausdorff 그러나 우리 시대에만 그들의 작업을 단일 시스템으로 결합하는 것이 가능했습니다.
오늘날 컴퓨터 그래픽에서 프랙탈의 역할은 상당히 큽니다. 예를 들어, 여러 계수의 도움을 받아 매우 복잡한 모양의 선과 표면을 정의해야 할 때 도움이 됩니다. 컴퓨터 그래픽의 관점에서 프랙탈 기하학은 인공 구름, 산, 해수면 생성에 없어서는 안 될 존재입니다. 실제로 발견 폐 방식이미지가 자연 이미지와 매우 유사한 복잡한 비 유클리드 객체의 표현.
프랙탈의 주요 속성 중 하나는 자기 유사성입니다. 아주 간단한 경우프랙탈의 작은 부분에는 전체 프랙탈에 대한 정보가 들어 있습니다. Mandelbrot가 제시한 프랙탈의 정의는 다음과 같습니다. "프랙탈은 어떤 의미에서 전체와 유사한 부분으로 구성된 구조입니다."

존재한다 큰 숫자프랙탈이라고 하는 수학적 객체(시에르핀스키 삼각형, 코흐 눈송이, 페아노 곡선, 만델브로 집합 및 로렌츠 어트랙터). 프랙탈은 산, 구름, 난류(소용돌이) 흐름, 뿌리, 나무의 가지와 잎, 혈관 등 단순한 기하학적 모양과는 거리가 먼 실제 세계의 많은 물리적 현상과 형성을 매우 정확하게 묘사합니다. Benoit Mandelbrot는 처음으로 "The Fractal Geometry of Nature"라는 그의 주요 작품에서 우리 세계의 프랙탈 특성에 대해 이야기했습니다.
프랙탈이라는 용어는 1977년 Benoit Mandelbrot가 그의 기본 작업 "Fractals, Form, Chaos and Dimension"에서 소개했습니다. Mandelbrot에 따르면 프랙탈이라는 단어는 라틴어 fractus(분수형 및 frangere)에서 유래했으며 프랙탈의 본질을 "부서진" 불규칙한 집합으로 반영합니다.

프랙탈의 분류.

다양한 프랙탈을 나타내려면 일반적으로 허용되는 분류에 의지하는 것이 편리합니다. 프랙탈에는 세 가지 클래스가 있습니다.

1. 기하학적 도형.

이 클래스의 프랙탈이 가장 분명합니다. 2차원의 경우 생성기라고 하는 폴리라인(또는 3차원의 경우 표면)을 사용하여 얻습니다. 알고리즘의 한 단계에서 파선을 구성하는 각 세그먼트는 적절한 축척의 파선 생성기로 대체됩니다. 이 절차를 끝없이 반복한 결과 기하학적 프랙탈이 얻어집니다.

예를 들어 그러한 프랙탈 개체 중 하나인 Koch triadic 곡선을 고려하십시오.

Triadic Koch 곡선의 구성.

길이가 1인 직선 세그먼트를 가져옵니다. 씨앗. 씨앗을 길이가 1/3인 3등분으로 나누고 가운데 부분을 버리고 길이가 1/3인 두 개의 링크로 구성된 파선으로 교체합니다.

우리는 총 길이가 4/3인 4개의 링크로 구성된 파선을 얻습니다. 첫 세대.

차세대 코흐 곡선으로 넘어가기 위해서는 각 링크의 중간 부분을 버리고 교체해야 합니다. 따라서 2세대 길이는 16/9, 3세대는 64/27이 됩니다. 이 프로세스를 무한대로 계속하면 결과는 3중 코흐 곡선이 됩니다.

이제 신성한 3극 코흐 곡선을 고려하고 프랙탈이 "괴물"이라고 불리는 이유를 알아봅시다.

첫째, 이 곡선에는 길이가 없습니다. 우리가 본 것처럼 세대 수에 따라 길이가 무한대에 이르는 경향이 있습니다.

둘째, 이 곡선에 대한 접선을 구성하는 것은 불가능합니다. 각 점은 도함수가 존재하지 않는 변곡점입니다. 이 곡선은 매끄럽지 않습니다.

길이와 부드러움은 유클리드 기하학과 Lobachevsky와 Riemann의 기하학 모두에서 연구되는 곡선의 기본 특성입니다. 트라이아딕 코흐 곡선 전통적인 방법으로 기하학적 분석적용 할 수없는 것으로 판명되었으므로 Koch 곡선은 괴물로 판명되었습니다. 전통적인 기하학의 부드러운 거주자들 사이에서 "괴물"입니다.

"드래곤" Harter-Hateway 건설.

다른 프랙탈 개체를 얻으려면 구성 규칙을 변경해야 합니다. 생성 요소를 직각으로 연결된 두 개의 동일한 세그먼트라고 합니다. 0세대에서는 단위 세그먼트를 이 생성 요소로 교체하여 각도가 맨 위에 오도록 합니다. 이러한 교체로 인해 링크 중간에 이동이 발생한다고 말할 수 있습니다. 건축할 때 다음 세대규칙이 충족됩니다. 왼쪽의 첫 번째 링크가 생성 요소로 대체되어 링크의 중간이 이동 방향의 왼쪽으로 이동하고 다음 링크를 교체할 때 중간점의 변위 방향이 변경됩니다. 세그먼트는 번갈아 가며 사용해야 합니다. 그림은 위에서 설명한 원리에 따라 구축된 곡선의 처음 몇 세대와 11세대를 보여줍니다. n이 무한대로 가는 곡선을 Harter-Hateway 용이라고 합니다.
컴퓨터 그래픽에서 나무와 덤불의 이미지를 얻을 때 기하학적 프랙탈을 사용해야 합니다. 2차원 기하학적 프랙탈은 3차원 질감(물체 표면의 패턴)을 만드는 데 사용됩니다.

2. 대수 프랙탈

이것은 가장 큰 프랙탈 그룹입니다. n차원 공간에서 비선형 프로세스를 사용하여 얻습니다. 2차원 프로세스가 가장 많이 연구되었습니다. 비선형 반복 프로세스를 이산 동적 시스템으로 해석하면 위상 초상화, 정상 상태 프로세스, 어트랙터 등 시스템 이론의 용어를 사용할 수 있습니다.
비선형 동적 시스템에는 몇 가지 안정 상태가 있는 것으로 알려져 있습니다. 동적 시스템이 일정 횟수의 반복 후에 자신을 찾는 상태는 초기 상태에 따라 다릅니다. 따라서 각 안정 상태 (또는 어트랙터라고 함)에는 시스템이 반드시 고려되는 최종 상태에 속하는 초기 상태의 특정 영역이 있습니다. 따라서 시스템의 위상 공간은 어트랙터의 매력 영역으로 나뉩니다. 위상 공간이 2차원이면 끌어당김 영역을 다른 색상으로 채색하여 이 시스템의 색상 위상 초상화를 얻을 수 있습니다(반복 프로세스). 색상 선택 알고리즘을 변경하면 화려한 다색 패턴으로 복잡한 프랙탈 패턴을 얻을 수 있습니다. 수학자에게 놀라운 것은 기본 알고리즘을 사용하여 매우 복잡하고 사소하지 않은 구조를 생성하는 능력이었습니다.

만델브로 집합.

예를 들어 Mandelbrot 집합을 고려하십시오. 구성 알고리즘은 매우 간단하며 간단한 반복 표현을 기반으로 합니다. 지 = 지[i] * 지[i] + C, 어디 지그리고 씨복잡한 변수입니다. 반복은 직사각형 또는 정사각형 영역(복소 평면의 하위 집합)에서 각 시작점에 대해 수행됩니다. 반복 프로세스는 때까지 계속됩니다. 지[i]중심이 (0,0) 지점에 있는 반지름 2의 원을 넘지 않거나(이는 역학 시스템의 어트랙터가 무한대에 있음을 의미함) 충분히 많은 수의 반복 후에(예: , 200-500) 지[i]원의 어떤 점으로 수렴합니다. 반복하는 횟수에 따라 지[i]원 안에 남아 있으면 점의 색상을 설정할 수 있습니다. 씨(만약에 지[i]충분히 많은 수의 반복 동안 원 안에 남아 있으면 반복 프로세스가 중지되고 이 래스터 점이 검은색으로 칠해집니다.

3. 확률적 프랙탈

프랙탈의 또 다른 잘 알려진 부류는 확률적 프랙탈로, 반복 프로세스에서 임의의 매개변수가 임의로 변경되는 경우에 얻어집니다. 이로 인해 비대칭 나무, 들쭉날쭉한 해안선 등 자연 개체와 매우 유사한 개체가 생성됩니다. 2차원 확률적 프랙탈은 지형과 해수면 모델링에 사용됩니다.
예를 들어 프랙탈을 결정론적(대수적 및 기하학적) 및 비결정론적(확률론적)으로 나누는 다른 프랙탈 분류가 있습니다.

프랙탈 사용에 대해

우선, 프랙탈은 가장 단순한 수식과 알고리즘의 도움으로 놀라운 아름다움과 복잡성의 그림을 얻을 때 놀라운 수학적 예술의 영역입니다! 구성된 이미지의 윤곽에서 잎, 나무 및 꽃이 종종 추측됩니다.

프랙탈의 가장 강력한 응용 프로그램 중 일부는 다음과 같습니다. 컴퓨터 그래픽. 첫 번째는 이미지의 프랙탈 압축이고 두 번째는 풍경, 나무, 식물의 구성 및 프랙탈 텍스처 생성입니다. 현대 물리학과 역학은 이제 막 프랙탈 물체의 거동을 연구하기 시작했습니다. 그리고 물론 프랙탈은 수학 자체에 직접 적용됩니다.
프랙탈 이미지 압축 알고리즘의 장점은 압축된 파일의 크기가 매우 작고 이미지 복구 시간이 짧다는 것입니다. 프랙털로 채워진 그림은 픽셀화 현상 없이 크기를 조정할 수 있습니다. 그러나 압축 프로세스는 시간이 오래 걸리고 때로는 몇 시간 동안 지속됩니다. 손실 프랙탈 압축 알고리즘을 사용하면 jpeg 형식과 유사한 압축 수준을 설정할 수 있습니다. 이 알고리즘은 일부 작은 조각과 유사한 이미지의 큰 조각 검색을 기반으로 합니다. 그리고 어떤 조각이 어떤 조각과 비슷한지 출력 파일에 기록됩니다. 압축할 때 일반적으로 정사각형 그리드(조각은 정사각형)를 사용하므로 그림을 복원할 때 약간의 각도가 발생하지만 육각형 그리드는 이러한 단점이 없습니다.
Iterated는 프랙탈과 "웨이브"(예: jpeg) 무손실 압축을 결합한 새로운 이미지 형식인 "Sting"을 개발했습니다. 새로운 형식을 사용하면 후속 고품질 확장 가능성이 있는 이미지를 만들 수 있으며 그래픽 파일의 볼륨은 압축되지 않은 이미지 볼륨의 15-20%입니다.
산, 꽃, 나무처럼 보이는 프랙탈의 경향은 일부 사람들에 의해 악용됩니다. 그래픽 편집기, 3D 스튜디오 MAX의 프랙탈 구름, World Builder의 프랙탈 산. 프랙탈 나무, 산 및 전체 풍경이 제공됩니다. 간단한 공식, 프로그래밍하기 쉽고 접근할 때 별도의 삼각형과 큐브로 분해되지 않습니다.
수학 자체에서 프랙탈의 사용을 무시할 수 없습니다. 집합 이론에서 칸토어 집합은 완벽한 아무데도 없는 밀집 집합의 존재를 증명하며, 측정 이론에서 자기 아핀 "칸토어 래더" 함수는 단일 측정 분포 함수의 좋은 예입니다.
역학 및 물리학에서 프랙탈은 다음과 같은 이유로 사용됩니다. 독특한 속성자연의 많은 대상의 윤곽을 반복합니다. 프랙탈을 사용하면 동일한 양의 저장된 데이터를 사용하여 선분 또는 다각형을 사용한 근사보다 더 높은 정확도로 나무, 산 표면 및 균열을 근사화할 수 있습니다. 자연물과 같은 프랙탈 모델에는 "거칠기"가 있으며 이 속성은 모델에서 임의로 크게 증가해도 유지됩니다. 프랙탈에 대한 균일한 측정의 존재는 통합, 잠재적 이론을 적용하여 이미 연구된 방정식의 표준 개체 대신 프랙탈을 사용할 수 있게 합니다.
프랙탈 접근 방식을 사용하면 혼돈은 더 이상 파란색 무질서가 아니며 미세한 구조를 얻습니다. 프랙탈 과학은 아직 젊고 미래가 밝습니다. 프랙탈의 아름다움은 결코 고갈되지 않으며 눈을 즐겁게 하고 마음에 진정한 즐거움을 가져다주는 많은 걸작을 제공할 것입니다.

프랙탈 만들기 정보

연속 근사법

이 그림을 보면 자기유사 프랙탈(이 경우 시에르핀스키 피라미드)이 어떻게 만들어지는지 이해하기 어렵지 않습니다. 우리는 일반 피라미드 (사면체)를 가져간 다음 중간 (팔면체)을 잘라내어 4 개의 작은 피라미드를 얻습니다. 그들 각각에 대해 동일한 작업을 수행합니다. 이것은 다소 순진하지만 예시적인 설명입니다.

방법의 본질을 좀 더 엄격하게 고려합시다. IFS 시스템, 즉 수축 매핑 시스템 에스=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (예를 들어 피라미드의 경우 매핑은 Si (x)=1/2*x+o i 와 같습니다. 여기서 o i 는 사면체의 정점, i=1,..,4). 그런 다음 R n에서 컴팩트 세트 A 1을 선택합니다 (우리의 경우 사면체를 선택합니다). 그리고 집합 A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k)의 순서를 귀납법으로 결정합니다. k가 증가하는 세트 A k는 시스템의 필수 어트랙터에 근접하는 것으로 알려져 있습니다. 에스.

각 반복은 어트랙터입니다. 반복 함수의 반복 시스템(영어 용어 DigraphIFS, RIFS그리고 또한 그래프 방향 IFS) 따라서 우리 프로그램으로 쉽게 구축할 수 있습니다.

점 또는 확률적 방법에 의한 구성

이것은 컴퓨터에서 구현하는 가장 쉬운 방법입니다. 단순화를 위해 편평한 자기 유사 집합의 경우를 고려하십시오. 그래서 (S

)는 아핀 수축의 일부 시스템입니다. 매핑 S

다음과 같이 표현 가능: S

크기가 2x2이고 o인 고정 행렬

2차원 벡터 열.

첫 번째 매핑 S 1의 고정점을 시작점으로 합시다.
x:=o1;
여기서 우리는 모든 고정 수축점 S 1 ,..,S m 이 프랙탈에 속한다는 사실을 사용합니다. 임의의 점을 시작점으로 선택할 수 있으며 생성된 점의 순서는 프랙탈로 축소되지만 몇 개의 추가 점이 화면에 나타납니다.
화면의 현재 지점 x=(x 1 ,x 2)에 유의하십시오.
putpixel(x1,x2,15);
1에서 m까지 숫자 j를 임의로 선택하고 점 x의 좌표를 다시 계산합니다.
j:=랜덤(m)+1;
x:=Sj(x);
2단계로 이동하거나 충분히 많은 반복을 수행한 경우 중지합니다.

메모.매핑 Si의 압축 계수가 다른 경우 프랙탈은 고르지 않은 점으로 채워집니다. 매핑 Si가 유사성인 경우 알고리즘을 약간 복잡하게 하여 이를 방지할 수 있습니다. 이를 위해 알고리즘의 세 번째 단계에서 확률 p 1 =r 1 s ,..,pm =r m s 로 1에서 m까지의 숫자 j를 선택해야 합니다. 여기서 ri는 매핑 Si의 수축 계수를 나타냅니다. , 숫자 s(유사성 차원이라고 함)는 방정식 r 1 s +...+r m s =1에서 구합니다. 이 방정식의 해는 예를 들어 Newton의 방법으로 찾을 수 있습니다.

프랙탈 및 알고리즘 정보

프랙탈(Fractal)은 라틴어 형용사 "fractus"에서 유래되었으며, 번역에서는 조각으로 구성된 것을 의미하며 해당 라틴어 동사 "frangere"는 부서지다, 즉 불규칙한 조각을 만드는 것을 의미합니다. 70년대 후반에 등장한 프랙탈과 프랙탈 기하학의 개념은 80년대 중반부터 수학자, 프로그래머의 일상에 확고히 자리 잡았습니다. 이 용어는 1975년 Benoit Mandelbrot가 그가 연구한 불규칙하지만 자기유사한 구조를 지칭하기 위해 제안되었습니다. 프랙탈 기하학의 탄생은 일반적으로 Mandelbrot의 책 "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature"의 1977년 출판과 관련이 있습니다. 그의 작업은 1875-1925년 같은 분야에서 일했던 다른 과학자들의 과학적 결과를 사용했습니다(Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

조정

H.-O가 책에서 제안한 알고리즘을 약간 조정하겠습니다. Paytgen 및 P.H. Richter "The Beauty of Fractals"M. 1993, 순전히 오타를 근절하고 프로세스를 이해하기 쉽게 만들기 위해 연구 한 후에도 많은 것이 나에게 미스터리로 남아있었습니다. 불행하게도 이러한 "이해 가능"하고 "간단한" 알고리즘은 흔들리는 라이프 스타일을 이끌고 있습니다.

프랙탈의 구성은 피드백 z \u003d z 2 + c가 있는 복잡한 프로세스의 특정 비선형 함수를 기반으로 합니다. z와 c는 복소수이고 z \u003d x + iy, c \u003d p + iq이므로 필요합니다. 보다 현실적으로 이동하기 위해 x와 y로 분해합니다. 일반 사람비행기:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

모든 쌍(x, y)으로 구성된 평면은 고정 값으로 간주할 수 있습니다. p와 q, 뿐만 아니라 동적 항목에 대해서도 마찬가지입니다. 첫 번째 경우는 평면의 모든 점(x, y)을 법칙에 따라 분류하고 반복과정을 빠져나가는데 필요한 기능의 반복횟수에 따라 색을 칠하거나, 허용 최대값이 되었을 때 색을 칠하지 않는 것(검은색) 반복 횟수가 증가하면 Julia 세트가 표시됩니다. 반대로 초기 값 쌍(x, y)을 결정하고 매개 변수 p 및 q의 값을 동적으로 변경하여 색상 운명을 추적하면 Mandelbrot 세트라는 이미지를 얻습니다.

프랙탈 채색 알고리즘에 대한 질문입니다.

일반적으로 세트의 본체는 블랙 필드로 표시되지만 블랙 색상을 다른 색상으로 대체할 수 있음이 분명하지만 이 역시 흥미롭지 않은 결과입니다. 모든 색상으로 칠해진 집합의 이미지를 얻는 것은 순환 작업을 사용하여 해결할 수 없는 작업입니다. 집합의 본문을 형성하는 반복 횟수는 가능한 최대값과 동일하며 항상 동일합니다. 세트에 색상을 지정합니다. 다른 색상아마도 루프(z_magnitude)에서 종료 조건을 검사한 결과를 색상 번호로 사용하거나 이와 유사하지만 다른 수학적 연산을 통해 사용할 수 있습니다.

"프랙탈 현미경"의 적용

국경 현상을 보여주기 위해.

어트랙터는 비행기에서 우위를 차지하기 위한 투쟁을 이끄는 중심입니다. 어트랙터 사이에는 소용돌이 패턴을 나타내는 테두리가 있습니다. 세트의 경계 내에서 고려의 규모를 늘림으로써 자연계에서 공통적인 현상인 결정론적 혼돈의 상태를 반영하는 사소하지 않은 패턴을 얻을 수 있습니다.

지리학자가 연구한 객체는 경계가 매우 복잡하게 구성된 시스템을 형성하므로 구현이 어려운 실제 작업이 됩니다. 자연 콤플렉스는 영토가 멀어짐에 따라 영향력을 잃는 유인자 역할을 하는 전형성의 핵심을 가지고 있습니다.

Mandelbrot 및 Julia 세트에 프랙탈 현미경을 사용하면 고려 규모에 관계없이 똑같이 복잡한 경계 프로세스 및 현상에 대한 아이디어를 형성할 수 있으므로 역동적이고 혼란스러워 보이는 회의에 대한 전문가의 인식을 준비할 수 있습니다. 프랙탈 기하학 자연을 이해하기 위한 공간 및 시간 자연 객체. 다양한 색상과 프랙탈 음악은 확실히 학생들의 마음에 깊은 흔적을 남길 것입니다.

수천 개의 출판물과 거대한 인터넷 리소스가 프랙탈에 전념하고 있지만 컴퓨터 과학과는 거리가 먼 많은 전문가들에게 이 용어는 완전히 새로운 것처럼 보입니다. 프랙탈은 다양한 지식 분야의 전문가들이 관심을 갖는 대상으로서 컴퓨터 과학 과정에서 적절한 위치를 차지해야 합니다.

예

시어핀스키 그리드

이것은 Mandelbrot가 프랙탈 차원 및 반복의 개념을 개발할 때 실험한 프랙탈 중 하나입니다. 더 큰 삼각형의 중간점을 연결하여 형성된 삼각형은 주 삼각형에서 잘라 더 많은 구멍이 있는 삼각형을 형성합니다. 이 경우 이니시에이터는 큰 삼각형이고 템플릿은 큰 삼각형과 비슷하게 잘라내는 작업입니다. 일반 사면체를 사용하고 더 작은 사면체를 잘라내어 삼각형의 3D 버전을 얻을 수도 있습니다. 이러한 프랙탈의 차원은 ln3/ln2 = 1.584962501입니다.

얻기 위해 시에르핀스키 카펫, 정사각형을 가져다가 아홉 개의 정사각형으로 나누고 가운데 정사각형을 잘라냅니다. 나머지 더 작은 사각형에 대해서도 똑같이 할 것입니다. 결국 평면 프랙탈 그리드가 형성되며 면적은 없지만 무한한 연결이 있습니다. 공간적 형태에서 Sierpinski 스폰지는 각 관통 요소가 자신의 종류로 끊임없이 대체되는 관통 형태의 시스템으로 변형됩니다. 이 구조는 뼈 조직의 단면과 매우 유사합니다. 언젠가는 그러한 반복 구조가 건물 구조의 요소가 될 것입니다. Mandelbrot는 그들의 정적 및 역학이 면밀히 연구할 가치가 있다고 믿습니다.

코흐 곡선

코흐 곡선은 가장 전형적인 결정론적 프랙탈 중 하나입니다. 그것은 19세기에 Helge von Koch라는 독일 수학자에 의해 발명되었는데, 그는 Georg Kontor와 Karl Weierstraße의 작업을 연구하는 동안 비정상적인 동작을 하는 이상한 곡선에 대한 설명을 발견했습니다. 이니시에이터 - 직통 전화. 생성기는 정삼각형이며, 그 변은 더 큰 세그먼트 길이의 1/3과 같습니다. 이 삼각형은 각 세그먼트의 중간에 반복해서 추가됩니다. 그의 연구에서 Mandelbrot는 Koch 곡선으로 많은 실험을 했으며 Koch Islands, Koch Crosses, Koch Snowflakes와 같은 수치를 얻었고 심지어 4면체를 사용하고 각 면에 더 작은 4면체를 추가하여 Koch 곡선의 3차원 표현을 얻었습니다. Koch 곡선의 치수는 ln4/ln3 = 1.261859507입니다.

프랙탈 만델브로트

이것은 당신이 자주 보는 Mandelbrot 집합이 아닙니다. Mandelbrot 세트는 비선형 방정식을 기반으로 하며 복잡한 프랙탈입니다. 이 개체가 코흐 곡선처럼 보이지 않는다는 사실에도 불구하고 이것은 또한 코흐 곡선의 변형입니다. 이니시에이터와 제너레이터도 코흐 곡선의 원리를 기반으로 프랙탈을 생성하는 데 사용되는 것과 다르지만 아이디어는 동일합니다. 곡선 세그먼트에 정삼각형을 연결하는 대신 정사각형이 정사각형에 연결됩니다. 이 프랙탈은 각 반복에서 할당된 공간의 정확히 절반을 차지하기 때문에 단순한 프랙탈 차원은 3/2 = 1.5입니다.

대러 펜타곤

프랙탈은 여러 개의 오각형이 함께 압착된 것처럼 보입니다. 실제로 오각형을 개시자로 사용하고 이등변삼각형을 사용하여 형성되며 가장 큰 변과 가장 작은 변의 비율은 소위 황금비(1.618033989 또는 1/(2cos72))와 정확히 일치합니다. . 이 삼각형은 각 오각형의 중앙에서 잘라서 하나의 큰 오각형에 붙인 5개의 작은 오각형처럼 보이는 모양을 만듭니다.

이 프랙탈의 변형은 이니시에이터로 육각형을 사용하여 얻을 수 있습니다. 이 프랙탈은 David의 별이라고 불리며 Koch의 Snowflake의 육각형 버전과 매우 유사합니다. Darer 오각형의 프랙탈 차원은 ln6/ln(1+g)이며, 여기서 g는 삼각형의 큰 변의 길이와 작은 변의 길이의 비율입니다. 이 경우 g는 황금 비율이므로 프랙탈 차원은 약 1.86171596입니다. 다윗의 별의 프랙탈 차원은 ln6/ln3 또는 1.630929754입니다.

복잡한 프랙탈

사실 복잡한 프랙탈의 작은 영역을 확대한 다음 해당 영역의 작은 영역에서 동일한 작업을 수행하면 두 배율이 서로 크게 달라집니다. 두 이미지는 세부적으로는 매우 유사하지만 완전히 동일하지는 않습니다.

그림 1. Mandelbrot 집합의 근사

예를 들어 여기에 표시된 Mandelbrot 집합의 그림을 비교하십시오. 그 중 하나는 다른 영역의 일부 영역을 증가시켜 얻은 것입니다. 보시다시피, 둘 다 완전히 동일하지는 않지만 불타는 촉수가 다른 방향으로 이동하는 검은 색 원이 보입니다. 이러한 요소는 Mandelbrot 집합에서 감소하는 비율로 무한정 반복됩니다.

결정적 프랙탈은 선형이지만 복잡한 프랙탈은 그렇지 않습니다. 비선형이기 때문에 이러한 프랙탈은 Mandelbrot가 비선형 대수 방정식이라고 부르는 것에 의해 생성됩니다. 좋은 예는 Zn+1=ZnІ + C 과정으로, Mandelbrot 및 Julia 집합의 2도 구성에 사용되는 방정식입니다. 이러한 수학 방정식을 푸는 데는 복소수와 허수가 포함됩니다. 방정식을 복소 평면에서 그래픽으로 해석하면 결과는 직선이 곡선으로 바뀌고 변형이 없는 것은 아니지만 다양한 척도 수준에서 자기 유사성 효과가 나타나는 이상한 그림입니다. 동시에 전체적인 그림은 예측할 수 없고 매우 혼란스럽습니다.

그림을 보면 알 수 있듯이 복잡한 프랙탈은 실제로 매우 복잡하고 컴퓨터의 도움 없이는 생성할 수 없습니다. 다채로운 결과를 얻으려면 이 컴퓨터에 강력한 수학 보조 프로세서와 고해상도 모니터가 있어야 합니다. 결정적 프랙탈과 달리 복잡한 프랙탈은 5-10회 반복 계산되지 않습니다. 컴퓨터 화면의 거의 모든 점은 별도의 프랙탈과 같습니다. 수학적 처리 중에 각 포인트는 별도의 패턴으로 처리됩니다. 각 포인트는 특정 값에 해당합니다. 방정식은 각 점에 대해 내장되어 있으며 예를 들어 1000회 반복하여 수행됩니다. 가정용 컴퓨터에서 허용되는 시간 간격으로 상대적으로 왜곡되지 않은 이미지를 얻으려면 한 지점에 대해 250회 반복을 수행할 수 있습니다.

오늘날 우리가 보는 대부분의 프랙탈은 아름답게 채색되어 있습니다. 아마도 프랙탈 이미지가 너무 커졌을 것입니다. 미적 가치바로 색 구성표 때문입니다. 방정식이 계산된 후 컴퓨터는 결과를 분석합니다. 결과가 안정적으로 유지되거나 특정 값 주변에서 변동하는 경우 일반적으로 점이 검은색으로 바뀝니다. 한 단계 또는 다른 단계의 값이 무한대 경향이 있는 경우 포인트는 다른 색상(예: 파란색 또는 빨간색)으로 칠해집니다. 이 과정에서 컴퓨터는 모든 이동 속도에 색상을 지정합니다.

일반적으로 빠르게 움직이는 점은 빨간색으로 칠하고 느리게 움직이는 점은 노란색으로 칠하는 식입니다. 어두운 점아마도 가장 안정적일 것입니다.

복잡한 프랙탈은 무한히 복잡하지만 매우 간단한 공식으로 생성할 수 있다는 점에서 결정론적 프랙탈과 다릅니다. 결정적 프랙탈에는 공식이나 방정식이 필요하지 않습니다. 도화지 몇 장만 있으면 시어핀스키 체를 최대 3~4회 반복하는 데 어려움 없이 만들 수 있습니다. 줄리아와 함께 해보세요! 영국 해안선의 길이를 측정하는 것이 더 쉽습니다!

맨더브로트 세트

그림 2. 만델브로 집합

Mandelbrot 및 Julia 집합은 아마도 복잡한 프랙탈 중에서 가장 일반적인 두 집합일 것입니다. 그들은 많은 곳에서 찾을 수 있습니다 과학 저널, 책 표지, 엽서 및 컴퓨터 화면 보호기. Benoit Mandelbrot가 만든 Mandelbrot 집합은 사람들이 프랙탈이라는 단어를 들을 때 가장 먼저 떠올리는 연상일 것입니다. 빛나는 나무와 원 영역이 부착된 카드와 유사한 이 프랙탈은 간단한 공식 Zn+1=Zna+C로 생성됩니다. 여기서 Z와 C는 복소수이고 a는 양수입니다.

가장 일반적으로 볼 수 있는 Mandelbrot 집합은 2도 Mandelbrot 집합, 즉 a=2입니다. Mandelbrot 집합이 Zn+1=ZnІ+C일 뿐만 아니라 공식의 지수가 양수일 수 있는 프랙탈이라는 사실은 많은 사람들을 오도했습니다. 이 페이지에서는 지수 a의 다양한 값에 대해 설정된 Mandelbrot의 예를 볼 수 있습니다.
그림 3. a=3.5에서 기포의 모습

Z=Z*tg(Z+C) 프로세스도 널리 사용됩니다. 탄젠트 함수가 포함된 덕분에 사과를 닮은 영역으로 둘러싸인 Mandelbrot 세트가 얻어집니다. 코사인 함수를 사용하면 기포 효과를 얻을 수 있습니다. 요컨대, 다양하고 아름다운 그림을 생성하기 위해 Mandelbrot 세트를 조정하는 방법은 무한합니다.

여러 줄리아

놀랍게도 Julia 집합은 Mandelbrot 집합과 동일한 공식에 따라 형성됩니다. Julia 집합은 프랑스 수학자 Gaston Julia에 의해 발명되었으며 그의 이름을 따서 명명되었습니다. Mandelbrot 및 Julia 세트를 시각적으로 알게 된 후 발생하는 첫 번째 질문은 "두 프랙탈이 동일한 공식에 의해 생성된다면 왜 그렇게 다른가?"입니다. 먼저 Julia 세트의 사진을보십시오. 이상하게도 다양한 유형의 Julia 세트가 있습니다. (반복 프로세스를 시작하기 위해) 다른 시작점을 사용하여 프랙탈을 그릴 때, 다양한 이미지. 이것은 Julia 세트에만 적용됩니다.

그림 4. 줄리아 세트

사진에는 보이지 않지만 Mandelbrot 프랙탈은 실제로 함께 연결된 줄리아 프랙탈 묶음입니다. Mandelbrot 집합의 각 점(또는 좌표)은 Julia 프랙탈에 해당합니다. 방정식 Z=ZI+C에서 초기 값으로 이러한 점을 사용하여 줄리아 집합을 생성할 수 있습니다. 그러나 이것이 Mandelbrot 프랙탈에서 한 점을 선택하고 증가시키면 Julia 프랙탈을 얻을 수 있다는 의미는 아닙니다. 이 두 점은 동일하지만 수학적 의미에서만 동일합니다. 이 점을 취하여 이 공식에 따라 계산하면 Mandelbrot 프랙탈의 특정 점에 해당하는 Julia 프랙탈을 얻을 수 있습니다.

다양한 프랙탈을 나타내려면 일반적으로 허용되는 분류에 의지하는 것이 편리합니다.

2.1 기하학적 프랙탈

이 클래스의 프랙탈이 가장 분명합니다. 2차원의 경우에는 다음과 같은 폴리라인(또는 3차원의 경우 표면)을 사용하여 얻습니다. 발전기. 알고리즘의 한 단계에서 파선을 구성하는 각 세그먼트는 적절한 축척에서 파선 생성기로 대체됩니다. 이 절차를 끝없이 반복한 결과 기하학적 프랙탈이 얻어집니다.

그림 1. 3극 Koch 곡선의 구성.

이러한 프랙탈 개체 중 하나인 3극 코흐 곡선을 고려하십시오. 곡선의 구성은 단위 길이의 세그먼트로 시작됩니다(그림 1). 이것은 Koch 곡선의 0세대입니다. 또한 각 링크(제로 세대의 한 세그먼트)는 다음으로 대체됩니다. 발생기, 그림 1에 표시된 n=1. 이러한 대체의 결과로 차세대 Koch 곡선을 얻을 수 있습니다. 1세대에서 이것은 각각 길이가 1/3 . 3세대를 얻기 위해 동일한 작업이 수행됩니다. 각 링크는 축소된 성형 요소로 대체됩니다. 따라서 각 후속 세대를 얻으려면 이전 세대의 모든 링크를 감소된 성형 요소로 교체해야 합니다. 곡선 N임의의 유한에 대한 th 세대 N~라고 불리는 프리프랙탈. 그림 1은 5세대 곡선을 보여줍니다. ~에 N무한대로 가는 코흐 곡선은 프랙탈 개체가 됩니다.

그림 2. Harter-Hateway의 "용" 건설.

다른 프랙탈 개체를 얻으려면 구성 규칙을 변경해야 합니다. 생성 요소를 직각으로 연결된 두 개의 동일한 세그먼트라고 합니다. 0세대에서는 단위 세그먼트를 이 생성 요소로 교체하여 각도가 맨 위에 오도록 합니다. 이러한 교체로 인해 링크 중간에 이동이 발생한다고 말할 수 있습니다. 다음 세대를 구성할 때 규칙이 충족됩니다. 왼쪽의 첫 번째 링크는 생성 요소로 대체되어 링크의 중간이 이동 방향의 왼쪽으로 이동하고 다음 링크를 대체할 때 세그먼트 중간점의 변위 방향은 번갈아가야 합니다. 그림 2는 위에서 설명한 원리에 따라 구성된 곡선의 처음 몇 세대와 11세대를 보여줍니다. 제한 프랙탈 곡선(에서 N무한대 경향)이라고합니다. 하터 헤이트웨이 드래곤 .

컴퓨터 그래픽에서 나무, 덤불 및 해안선의 이미지를 얻을 때 기하학적 프랙탈을 사용해야 합니다. 2차원 기하학적 프랙탈은 체적 질감(물체 표면의 패턴)을 만드는 데 사용됩니다.

2.2 대수 프랙탈

이것은 가장 큰 프랙탈 그룹입니다. 에서 비선형 프로세스를 사용하여 얻습니다. N- 차원 공간. 2차원 프로세스가 가장 많이 연구되었습니다. 비선형 반복 프로세스를 이산 동적 시스템으로 해석하면 다음 시스템 이론의 용어를 사용할 수 있습니다. 위상 초상화, 정상 상태, 어트랙터등.

비선형 동적 시스템에는 몇 가지 안정 상태가 있는 것으로 알려져 있습니다. 동적 시스템이 일정 횟수의 반복 후에 자신을 찾는 상태는 초기 상태에 따라 다릅니다. 따라서 각 안정 상태 (또는 어트랙터라고 함)에는 시스템이 반드시 고려되는 최종 상태에 속하는 초기 상태의 특정 영역이 있습니다. 따라서 시스템의 위상 공간은 매력 지역어트랙터. 위상 공간이 2차원인 경우 끌어당기는 영역을 다른 색상으로 색칠하여 다음을 얻을 수 있습니다. 컬러 페이즈 초상화이 시스템(반복 프로세스). 색상 선택 알고리즘을 변경하면 화려한 다색 패턴으로 복잡한 프랙탈 패턴을 얻을 수 있습니다. 수학자에게 놀라운 것은 기본 알고리즘을 사용하여 매우 복잡하고 사소하지 않은 구조를 생성하는 능력이었습니다.

그림 3. 만델브로 집합.

예를 들어 Mandelbrot 세트를 고려하십시오(그림 3 및 그림 4 참조). 구성 알고리즘은 매우 간단하며 간단한 반복 표현을 기반으로 합니다.

지 = 지[나] * 지[i] + 씨,

어디 지나와 씨복잡한 변수입니다. 반복은 각 시작점에 대해 수행됩니다. 씨직사각형 또는 정사각형 영역 - 복소 평면의 하위 집합입니다. 반복 프로세스는 때까지 계속됩니다. 지[i]는 중심이 (0,0)에 있는 반지름 2의 원을 넘지 않거나(이는 역학 시스템의 어트랙터가 무한대에 있음을 의미함) 또는 충분히 많은 반복 후에 이동하지 않습니다. (예: 200-500) 지[i]는 원의 어떤 지점으로 수렴합니다. 반복하는 횟수에 따라 지[i] 원 안에 남아 있으면 점의 색상을 설정할 수 있습니다. 씨(만약에 지[i]는 충분히 많은 반복 횟수 동안 원 안에 머무르며 반복 프로세스가 중지되고 이 래스터 점이 검은색으로 칠해집니다.

그림 4. 200배 확대한 Mandelbrot 집합의 경계 부분.

위의 알고리즘은 소위 Mandelbrot 집합에 대한 근사치를 제공합니다. Mandelbrot 집합에는 끝없는반복 횟수는 무한대가 되지 않습니다(점은 검은색임). 세트의 경계에 속하는 점(여기서 복잡한 구조가 발생함)은 유한한 반복 횟수로 무한대로 이동하고 세트 외부에 있는 점은 여러 번의 반복(흰색 배경) 후에 무한대로 이동합니다.

2.3 확률적 프랙탈

프랙탈의 또 다른 잘 알려진 부류는 확률적 프랙탈로, 반복 프로세스에서 임의의 매개변수가 임의로 변경되는 경우에 얻어집니다. 이로 인해 비대칭 나무, 들쭉날쭉한 해안선 등 자연 개체와 매우 유사한 개체가 생성됩니다. 2D 확률적 프랙탈은 지형 및 해수면 모델링에 사용됩니다.

예를 들어 프랙탈을 결정론적(대수적 및 기하학적) 및 비결정론적(확률론적)으로 나누는 다른 프랙탈 분류가 있습니다.

프랙탈

프랙탈(lat. 프랙투스- 짓눌린, 부서진, 부서진) - 자기유사성의 성질을 가진 기하학적 도형, 즉 여러 부분으로 구성되어 있으며, 각 부분은 전체적으로 전체 도형과 유사하다.수학에서 프랙탈은 다음과 같이 이해된다. 유클리드 공간에서 부분 메트릭 차원(Minkowski 또는 Hausdorff의 의미에서) 또는 토폴로지 이외의 메트릭 차원을 갖는 점 집합입니다. 프랙타즘은 프랙탈을 연구하고 편집하는 독립적인 정확한 과학입니다.

즉, 프랙탈은 분수 차원을 가진 기하학적 개체입니다. 예를 들어 선의 차원은 1, 면적은 2, 부피는 3입니다. 프랙탈의 경우 차원 값은 1과 2 사이 또는 2와 3 사이일 수 있습니다. 예를 들어 구겨진 종이의 프랙탈 차원은 공은 약 2.5입니다. 수학에는 프랙탈의 차원을 계산하기 위한 특별한 복잡한 공식이 있습니다. 기관관의 분지, 나무의 잎사귀, 팔의 정맥, 강물은 프랙탈입니다. 간단히 말해서 프랙탈은 기하학적 도형으로 특정 부분이 계속해서 반복되어 크기가 변경됩니다. 이것이 자기 유사성의 원리입니다. 프랙탈은 자신과 유사하며, 모든 수준에서(즉, 모든 규모에서) 자신과 유사합니다. 프랙탈의 종류는 다양합니다. 원칙적으로 현실 세계에 존재하는 모든 것은 그것이 구름이든 산소 분자이든 프랙탈이라고 주장할 수 있습니다.

"혼돈"이라는 단어는 예측할 수 없는 것을 암시하지만 실제로 혼돈은 상당히 질서가 있고 특정 법칙을 따릅니다. 혼돈과 프랙탈을 연구하는 목적은 언뜻 보기에 예측할 수 없고 완전히 혼돈스러워 보일 수 있는 패턴을 예측하는 것입니다.

이 지식 분야의 선구자는 프랑스계 미국인 수학자인 Benoit B. Mandelbrot 교수였습니다. 1960년대 중반에 그는 부서지고 주름지고 흐릿한 모양을 분석하는 것이 목적인 프랙탈 기하학을 개발했습니다. Mandelbrot 집합(그림에 표시됨)은 사람이 "프랙탈"이라는 단어를 들었을 때 갖게 되는 첫 번째 연관성입니다. 그건 그렇고, Mandelbrot는 영국 해안선의 프랙탈 차원이 1.25라고 결정했습니다.

프랙탈은 과학에서 점점 더 많이 사용되고 있습니다. 그들은 묘사한다 현실 세계전통적인 물리학이나 수학보다 훨씬 낫습니다. 예를 들어 브라운 운동은 물에 떠 있는 먼지 입자의 무작위적이고 혼란스러운 운동입니다. 이러한 유형의 이동은 아마도 프랙탈 기하학의 가장 실용적인 측면일 것입니다. 랜덤 브라운 운동에는 많은 양의 데이터 및 통계와 관련된 현상을 예측하는 데 사용할 수 있는 주파수 응답이 있습니다. 예를 들어 Mandelbrot는 브라운 운동을 사용하여 양모 가격의 변화를 예측했습니다.

"프랙탈"이라는 단어는 수학 용어로만 사용할 수 있는 것이 아닙니다. 언론 및 대중 과학 문헌의 프랙탈은 다음 속성 중 하나를 갖는 도형이라고 할 수 있습니다.

그것은 모든 규모에서 사소하지 않은 구조를 가지고 있습니다. 이것이 일반 도형(예: 원, 타원, 매끄러운 함수의 그래프)과의 차이점입니다. 일반 도형의 작은 조각을 매우 큰 규모로 고려하면 직선의 조각처럼 보입니다. . 프랙탈의 경우 확대해도 구조가 단순화되지 않으며 모든 규모에서 똑같이 복잡한 그림을 볼 수 있습니다.

그것은 자기 유사하거나 거의 자기 유사합니다.

토폴로지 차원보다 우수한 분수 메트릭 차원 또는 메트릭 차원이 있습니다.

컴퓨팅에서 프랙탈의 가장 유용한 용도는 프랙탈 데이터 압축입니다. 동시에 사진은 최대 600:1까지 기존 방법보다 훨씬 더 잘 압축됩니다. 프랙탈 압축의 또 다른 장점은 확대했을 때 사진을 크게 악화시키는 픽셀화 효과가 없다는 것입니다. 더욱이, 확대 후의 프랙탈 압축 이미지는 종종 이전보다 훨씬 좋아 보입니다. 컴퓨터 과학자들은 또한 무한히 복잡하고 아름다운 프랙탈이 간단한 공식으로 생성될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 영화 산업은 사실적인 풍경 요소(구름, 바위, 그림자)를 만들기 위해 프랙탈 그래픽 기술을 광범위하게 사용합니다.

흐름의 난류에 대한 연구는 프랙탈에 매우 잘 적응합니다. 이를 통해 복잡한 흐름의 역학을 더 잘 이해할 수 있습니다. 불꽃은 프랙탈을 사용하여 모델링할 수도 있습니다. 다공성 물질은 매우 복잡한 형상을 가지고 있기 때문에 프랙탈 형태로 잘 표현됩니다. 먼 거리에서 데이터를 전송하기 위해 프랙탈 모양의 안테나가 사용되어 크기와 무게가 크게 줄어듭니다. 프랙탈은 표면의 곡률을 설명하는 데 사용됩니다. 고르지 않은 표면은 두 가지 다른 프랙탈의 조합으로 특징지어집니다.

자연의 많은 물체는 해안, 구름, 나무 왕관, 눈송이, 순환계 및 인간이나 동물의 폐포 시스템과 같은 프랙탈 속성을 가지고 있습니다.

특히 비행기에서 프랙탈은 아름다움과 컴퓨터와의 구성 용이성의 조합으로 인기가 있습니다.

특이한 속성을 가진 자기 유사 집합의 첫 번째 예는 19세기에 나타났습니다(예: Bolzano 함수, Weierstrass 함수, Cantor 집합). "프랙탈"이라는 용어는 1975년 Benoit Mandelbrot에 의해 소개되었으며 1977년 그의 저서 "The Fractal Geometry of Nature"가 발표되면서 널리 보급되었습니다.

왼쪽 그림은 다러 펜타곤 프랙탈을 간단한 예로 보여주며 오각형이 함께 압착된 것처럼 보입니다. 사실 오각형을 개시자로 사용하고 이등변삼각형을 사용하여 형성되며 가장 큰 변과 가장 작은 변의 비율은 소위 황금비(1.618033989 또는 1/(2cos72°))와 정확히 같습니다. 발전기. 이 삼각형은 각 오각형의 중앙에서 잘라서 하나의 큰 오각형에 붙인 5개의 작은 오각형처럼 보이는 모양을 만듭니다.

카오스 이론은 복잡한 비선형 시스템이 유전적으로 예측할 수 없다고 말하지만 동시에 그러한 예측할 수 없는 시스템을 표현하는 방법은 정확한 평등에서가 아니라 시스템의 동작을 나타내는 스트레인즈 어트랙터의 그래프에서 사실로 판명된다고 주장합니다. 프랙탈처럼 보입니다. 따라서 많은 사람들이 예측 불가능하다고 생각하는 혼돈 이론은 가장 불안정한 시스템에서도 예측 가능성의 과학으로 밝혀졌습니다. 역학 시스템의 교리는 단순한 방정식이 시스템이 결코 안정된 상태로 돌아가지 않고 동시에 규칙성이 나타나지 않는 혼란스러운 행동을 생성할 수 있음을 보여줍니다. 종종 이러한 시스템은 주요 매개변수의 특정 값까지 상당히 정상적으로 작동한 다음 추가 개발을 위한 두 가지 가능성, 그 다음에는 네 가지 가능성, 마지막으로 혼란스러운 가능성 세트가 있는 전환을 경험합니다.

기술 개체에서 발생하는 프로세스 체계에는 명확하게 정의된 프랙탈 구조가 있습니다. 최소 기술 시스템(TS)의 구조는 기본 및 지원 프로세스의 두 가지 유형 프로세스의 TS 내 흐름을 의미하며 이 구분은 조건부 및 상대적입니다. 지원 프로세스와 관련하여 모든 프로세스가 기본 프로세스가 될 수 있으며 "그들의" 지원 프로세스와 관련하여 모든 지원 프로세스가 기본 프로세스로 간주될 수 있습니다. 다이어그램의 원은 이러한 프로세스의 흐름을 보장하는 물리적 효과를 나타내며 특별히 "자신의" TS를 만들 필요가 없습니다. 이러한 프로세스는 물질, 필드, 물질 및 필드 간의 상호 작용 결과입니다. 정확히 말하면 물리적 효과는 우리가 그 원리에 영향을 미칠 수 없고 그 구조에 간섭하는 것을 원하지 않거나 기회가 없는 차량입니다.

다이어그램에 표시된 주요 프로세스의 흐름은 이를 생성하는 TS의 주요 프로세스인 세 가지 지원 프로세스의 존재에 의해 보장됩니다. 공정성을 위해 최소 TS의 기능을 위해 세 가지 프로세스로는 충분하지 않습니다. 계획은 매우 과장되어 있습니다.

다이어그램에 표시된 것처럼 모든 것이 간단하지 않습니다. 유용한 ( 사람에게 필요한) 프로세스를 100% 효율적으로 수행할 수 없습니다. 소산된 에너지는 가열, 진동 등과 같은 유해한 프로세스 생성에 사용됩니다. 결과적으로 유익한 과정과 병행하여 유해한 과정이 발생합니다. "나쁜" 프로세스를 "좋은" 프로세스로 대체하는 것이 항상 가능한 것은 아니므로 시스템에 해로운 결과를 보상하기 위해 새로운 프로세스를 구성해야 합니다. 전형적인 예는 마찰에 대처할 필요성으로, 독창적인 윤활 체계를 구성하거나 값비싼 마찰 방지 재료를 사용하거나 구성 요소 및 부품을 윤활하거나 주기적으로 교체하는 데 시간을 소비해야 합니다.

변경 가능한 환경의 불가피한 영향의 존재와 관련하여 유용한 프로세스를 제어해야 할 수 있습니다. 관리는 자동 장치를 사용하거나 사람이 직접 수행할 수 있습니다. 프로세스 다이어그램은 실제로 일련의 특수 명령입니다. 연산. 각 명령의 본질(설명)은 하나의 유용한 프로세스와 수반되는 유해한 프로세스 및 일련의 필요한 제어 프로세스의 조합입니다. 이러한 알고리즘에서 지원 프로세스 세트는 일반 서브 루틴이며 여기에서도 프랙탈을 찾습니다. 25년 전에 만들어진 R. Koller의 방법을 사용하면 12쌍의 기능(프로세스)으로 구성된 상당히 제한된 세트로 시스템을 만들 수 있습니다.

수학에서 특이한 속성을 가진 자기 유사 집합

으로 시작하는 XIX 후반세기, 수학에는 고전 분석의 관점에서 병리학 적 특성을 가진 자기 유사 객체의 예가 있습니다. 여기에는 다음이 포함됩니다.

Cantor 집합은 조밀하지 않은 셀 수 없는 완벽한 집합입니다. 절차를 수정하면 양수 길이의 조밀한 세트를 얻을 수도 있습니다.

Sierpinski 삼각형("식탁보")과 Sierpinski 카펫은 비행기에 놓인 Cantor와 유사합니다.

Menger의 스펀지 - 3차원 공간에 설정된 Cantor의 유사체.

아무데도 미분할 수 없는 연속 함수의 Weierstrass 및 van der Waerden의 예.

코흐 곡선(Koch curve) - 어떤 점에서도 접선이 없는 무한 길이의 자체 교차하지 않는 연속 곡선.

Peano 곡선은 정사각형의 모든 점을 통과하는 연속 곡선입니다.

브라운 입자의 궤적도 확률 1로 미분할 수 없습니다. Hausdorff 차원은 2입니다.

프랙탈 곡선을 얻기 위한 재귀 절차

코흐 곡선의 구성

평면에서 프랙탈 곡선을 얻기 위한 간단한 재귀 절차가 있습니다. 생성기라고 하는 유한한 수의 링크로 임의의 파선을 정의합니다. 다음으로 각 세그먼트를 생성기로 교체합니다(더 정확하게는 생성기와 유사한 점선). 결과 파선에서 각 세그먼트를 생성기로 다시 바꿉니다. 무한대로 계속해서 프랙탈 곡선을 얻습니다. 오른쪽 그림은 Koch 곡선에 대한 이 절차의 처음 네 단계를 보여줍니다.

이러한 곡선의 예는 다음과 같습니다.

용 곡선,

코흐 곡선(코흐 눈송이),

부담금 곡선,

민코프스키 곡선,

힐베르트 곡선,

브로큰(곡선) 드래곤(Fractal Harter-Hateway),

페아노 커브.

유사한 절차를 사용하여 피타고라스 트리를 얻습니다.

수축 매핑의 고정점으로서의 프랙탈

자기 유사성은 다음과 같이 수학적으로 엄밀하게 표현될 수 있다. 평면의 수축 지도라고 하자. 평면의 모든 소형(폐쇄 및 경계) 하위 세트에서 다음 매핑을 고려하십시오.

매핑이 Hausdorff 메트릭을 사용하여 컴팩트 집합 집합에 대한 수축 매핑임을 표시할 수 있습니다. 따라서 Banach의 정리에 따르면 이 매핑에는 고유한 고정점이 있습니다. 이 고정점이 우리의 프랙탈이 될 것입니다.

위에서 설명한 프랙탈 곡선을 얻기 위한 재귀 절차는 이 구성의 특수한 경우입니다. 그 안에서 모든 매핑은 유사성 매핑이며 생성기 링크의 수입니다.

시에르핀스키 삼각형과 매핑의 경우 Sierpinski 삼각형이 매핑 아래에서 자신으로 변환되는 것을 쉽게 볼 수 있습니다.

매핑이 계수를 사용한 유사성 변환인 경우 프랙탈의 차원(일부 추가 기술 조건 하에서)은 방정식에 대한 솔루션으로 계산할 수 있습니다. 따라서 Sierpinski 삼각형에 대해 우리는 .

동일한 Banach 정리에 따르면 임의의 콤팩트 세트에서 시작하여 맵의 반복을 적용하여 프랙탈에 수렴하는(하우스도르프 메트릭의 의미에서) 콤팩트 세트 시퀀스를 얻습니다.

복잡한 역학의 프랙탈

줄리아 세트

줄리아의 다른 세트

프랙탈은 비선형 동적 시스템 연구에서 자연스럽게 발생합니다. 가장 많이 연구된 사례는 동역학적 시스템이 평면에서 복소 변수의 다항식 또는 정형 함수의 반복으로 정의되는 경우입니다. 이 분야의 첫 번째 연구는 20세기 초로 거슬러 올라가며 Fatou 및 Julia라는 이름과 관련이 있습니다.

허락하다 에프(지) - 다항식, 지 0은 복소수입니다. 다음 순서를 고려하십시오. 지 0 , 지 1 =에프(지 0), 지 2 =에프(에프(지 0)) = 에프(지 1),지 3 =에프(에프(에프(지 0)))=에프(지 2), …

우리는 경향이 있기 때문에 이 시퀀스의 동작에 관심이 있습니다. N무한대. 이 시퀀스는 다음을 수행할 수 있습니다.

무한을 위해 노력하다

궁극을 위해 노력하다

예를 들어 다음과 같이 제한에서 주기적 동작을 나타냅니다. 지 1 , 지 2 , 지 3 , 지 1 , 지 2 , 지 3 , …

무질서하게 행동하는 것, 즉 언급된 세 가지 유형의 행동 중 어느 것도 보여주지 않는 것입니다.

값 세트 지시퀀스가 하나의 특정 유형의 동작을 나타내는 0 과 다른 유형 간의 분기점 세트는 종종 프랙탈 특성을 갖습니다.

따라서 Julia 집합은 다항식의 분기점 집합입니다. 에프(지)=지 2 +씨(또는 다른 유사한 기능), 즉 해당 값 지 0 , 시퀀스의 동작( 지 N) 임의의 작은 변화로 극적으로 변할 수 있음 지 0 .

프랙탈 세트를 얻기 위한 또 다른 옵션은 다항식에 매개변수를 도입하는 것입니다. 에프(지) 시퀀스가 인 매개 변수 값 세트를 고려합니다 ( 지 N) 고정된 특정 동작을 보여줍니다. 지 0 . 따라서 Mandelbrot 집합은 ( 지 N) 을 위한 에프(지)=지 2 +씨그리고 지 0은 무한대로 가지 않습니다.

또 다른 유명한 예이러한 종류의 뉴턴 풀이 있습니다.

해당 동적 시스템의 동작에 따라 평면 점을 색칠하여 복잡한 역학을 기반으로 아름다운 그래픽 이미지를 만드는 것이 일반적입니다. 예를 들어 Mandelbrot 집합을 보완하기 위해 노력하는 속도에 따라 점을 색칠할 수 있습니다( 지 N)에서 무한대(가장 작은 숫자로 정의됨) N, 여기서 | 지 N| 고정된 큰 값을 초과합니다. ㅏ.

Biomorphs는 복잡한 역학을 기반으로 하고 살아있는 유기체를 닮은 프랙탈입니다.

확률적 프랙탈

Julia 집합을 기반으로 한 무작위 프랙탈

자연물은 종종 프랙탈 모양을 가지고 있습니다. 모델링을 위해 확률적(랜덤) 프랙탈을 사용할 수 있습니다. 확률적 프랙탈의 예:

평면과 공간에서 브라운 운동의 궤적;

평면에서 브라운 운동 궤적의 경계. 2001년에 Lawler, Schramm 및 Werner는 차원이 4/3이라는 Mandelbrot의 추측을 증명했습니다.

Schramm-Löwner 진화는 통계 역학의 중요한 2차원 모델(예: Ising 모델 및 여과)에서 발생하는 등각 불변 프랙탈 곡선입니다.

다양한 유형의 무작위 프랙탈, 즉 각 단계에서 무작위 매개변수가 도입되는 재귀 절차를 사용하여 얻은 프랙탈. 플라즈마는 컴퓨터 그래픽에서 이러한 프랙탈을 사용하는 예입니다.

자연에서

기관 및 기관지의 전면 보기

기관지 나무

혈관망

애플리케이션

자연 과학

물리학에서 프랙탈은 난류 유체 흐름, 복잡한 확산 흡착 프로세스, 화염, 구름 등과 같은 비선형 프로세스를 모델링할 때 자연스럽게 발생합니다. 프랙탈은 예를 들어 석유화학에서 다공성 물질을 모델링할 때 사용됩니다. 생물학에서는 개체군을 모델링하고 내부 장기 시스템(혈관 시스템)을 설명하는 데 사용됩니다.

무선 공학

프랙탈 안테나

안테나 장치 설계에 프랙탈 기하학을 처음 적용한 사람은 건물에 외부 안테나를 설치하는 것이 금지된 보스턴 시내에 살았던 미국 엔지니어 Nathan Cohen이었습니다. Nathan은 알루미늄 호일에서 코흐 곡선 형태로 그림을 오려서 종이에 붙인 다음 수신기에 부착했습니다. Cohen은 자신의 회사를 설립하고 연속 생산을 시작했습니다.

컴퓨터 과학

이미지 압축

주요 기사: 프랙탈 압축 알고리즘

프랙탈 트리

프랙탈을 사용하는 이미지 압축 알고리즘이 있습니다. 그들은 이미지 자체 대신에 이 이미지(또는 그와 가까운 이미지)가 고정된 점인 수축 맵을 저장할 수 있다는 생각을 기반으로 합니다. 이 알고리즘의 변형 중 하나가 사용되었습니다. 출처 불특정 895일] Microsoft에서 백과사전을 게시할 때 사용했지만 이러한 알고리즘은 널리 사용되지 않았습니다.

컴퓨터 그래픽

또 다른 프랙탈 트리

프랙탈은 컴퓨터 그래픽에서 나무, 덤불, 산 풍경, 해수면 등과 같은 자연 물체의 이미지를 만드는 데 널리 사용됩니다. 프랙탈 이미지를 생성하는 데 사용되는 많은 프로그램이 있습니다. 프랙탈 생성기(프로그램)를 참조하십시오.

분산 네트워크

Netsukuku의 IP 주소 할당 시스템은 프랙탈 정보 압축 원리를 사용하여 네트워크 노드에 대한 정보를 콤팩트하게 저장합니다. Netsukuku 네트워크의 각 노드는 이웃 노드의 상태에 대한 정보를 4KB만 저장하는 반면, 새 노드는 예를 들어 IP 주소 배포에 대한 중앙 규제 없이 일반 네트워크에 연결됩니다. 인터넷. 따라서 프랙탈 정보 압축의 원리는 완전히 분산되어 전체 네트워크의 가장 안정적인 작동을 보장합니다.

프랙탈은 거의 100년 동안 알려져 왔으며 잘 연구되었으며 삶에 수많은 응용 프로그램이 있습니다. 이 현상은 매우 간단한 아이디어에 기반을 두고 있습니다. 복사와 크기 조정이라는 두 가지 작업만 사용하여 비교적 단순한 구조에서 아름다움과 다양성을 지닌 무한한 수의 형상을 얻을 수 있습니다.

이 개념에는 엄격한 정의가 없습니다. 따라서 "프랙탈"이라는 단어는 수학 용어가 아닙니다. 보통이라고 합니다 기하학적 도형, 다음 속성 중 하나 이상을 만족합니다.

모든 배율에서 복잡한 구조를 가지고 있습니다.
(대략) 자기유사하다;
분수 하우스도르프(프랙탈) 차원을 가지며, 이는 토폴로지 차원보다 큽니다.
재귀 프로시저로 빌드할 수 있습니다.

19세기와 20세기로 접어들면서 프랙탈 연구는 체계적이라기보다는 단편적이었습니다. 일반적인 방법그리고 이론. 1872년 독일의 수학자 칼 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)는 어디에서도 미분할 수 없는 연속 함수의 예를 만들었습니다. 그러나 그 구성은 완전히 추상적이었고 이해하기 어려웠습니다. 따라서 1904년 스웨덴의 Helge von Koch는 어느 곳에도 접선이 없는 연속 곡선을 고안했으며 이를 그리는 것은 매우 간단합니다. 그것은 프랙탈의 속성을 가지고 있음이 밝혀졌습니다. 이 곡선의 한 변형을 코흐 눈송이라고 합니다.

그림의 자기 유사성에 대한 아이디어는 Benoit Mandelbrot의 미래 멘토 인 프랑스 인 Paul Pierre Levy가 선택했습니다. 1938년에 그의 기사 "전체와 유사한 부분으로 구성된 평면 및 공간 곡선 및 표면"이 출판되었으며, 여기에서 또 다른 프랙탈인 Lévy C-곡선이 설명됩니다. 위의 모든 프랙탈은 구조적(기하학적) 프랙탈의 한 부류에 조건부로 귀속될 수 있습니다.

또 다른 부류는 Mandelbrot 집합을 포함하는 동적(대수적) 프랙탈입니다. 이 방향에 대한 첫 번째 연구는 20세기 초로 거슬러 올라가며 프랑스 수학자 Gaston Julia와 Pierre Fatou의 이름과 관련이 있습니다. 1918년에 거의 200페이지에 달하는 Julia의 작업이 출판되었으며, 복잡한 합리적 함수의 반복에 전념했습니다. 여기에는 Mandelbrot 집합과 밀접하게 관련된 전체 프랙탈 계열인 Julia 집합이 설명되어 있습니다. 이 작품은 프랑스 아카데미 상을 수상했지만 삽화가 하나도 포함되어 있지 않아 발견된 물건의 아름다움을 감상하는 것은 불가능했습니다. 이 작업으로 Julia는 당시 수학자 사이에서 유명해졌음에도 불구하고 금방 잊혀졌습니다.

불과 반세기 후, 컴퓨터의 출현과 함께 줄리아와 파투의 작업에 관심이 쏠렸습니다. 프랙탈 세계의 풍부함과 아름다움을 가시화한 것은 바로 그들이었습니다. 결국 Fatou는 필요한 수의 계산을 수동으로 수행할 수 없기 때문에 현재 Mandelbrot 집합의 이미지로 알고 있는 이미지를 볼 수 없었습니다. 이를 위해 컴퓨터를 사용한 최초의 사람은 Benoit Mandelbrot였습니다.

1982년 Mandelbrot의 저서 "The Fractal Geometry of Nature"가 출판되었는데, 저자는 당시 사용 가능한 프랙탈에 대한 거의 모든 정보를 수집하고 체계화하여 쉽고 접근 가능한 방식으로 제시했습니다. Mandelbrot는 프레젠테이션에서 복잡한 공식과 수학적 구성이 아니라 독자의 기하학적 직관에 중점을 두었습니다. 저자가 논문의 과학적 구성 요소를 능숙하게 희석한 컴퓨터 생성 삽화와 역사적 이야기 덕분에 이 책은 베스트셀러가 되었고 프랙탈은 일반 대중에게 알려지게 되었습니다. 비 수학자들 사이에서 그들의 성공은 주로 고등학생도 이해할 수있는 매우 간단한 구성과 공식의 도움으로 놀라운 복잡성과 아름다움의 이미지를 얻는다는 사실에 기인합니다. 개인용 컴퓨터가 충분히 강력 해지자 예술의 전체 경향 인 프랙탈 페인팅이 나타 났으며 거의 모든 컴퓨터 소유자가 할 수 있습니다. 이제 인터넷에서 이 주제에 대한 많은 사이트를 쉽게 찾을 수 있습니다.

NNN의 편집자들은 우연히 매우 흥미로운 자료, 이론의 요소에 전념하는 사용자 xtsarx의 블로그에 표시됨 프랙탈그리고 그것의 실제 적용. 알려진 바와 같이, 프랙탈 이론은 나노시스템의 물리 및 화학에서 중요한 역할을 합니다. 다양한 독자가 접근할 수 있는 언어로 제공되고 풍부한 양의 그래픽 및 비디오 자료로 지원되는 이 견고한 자료에 기여한 후 이를 여러분의 관심에 제시합니다. NNN 독자들이 이 자료를 흥미롭게 여길 수 있기를 바랍니다.

자연은 너무 신비해서 더 많이 연구할수록 더 많은 질문이 생깁니다... 야간 번개 - 분기 방전의 파란색 "흐름", 창문의 서리가 내린 패턴, 눈송이, 산, 구름, 나무 껍질 - 이 모든 것이 평소를 뛰어넘습니다. 유클리드 기하학. 우리는 돌이나 섬의 경계를 선, 원, 삼각형으로 묘사할 수 없습니다. 그리고 여기서 우리는 구조하러 옵니다 프랙탈. 이 친숙한 낯선 사람들은 무엇입니까?

“현미경으로 그는 벼룩에서
무는 벼룩은 벼룩을 먹고 산다.
그 벼룩 위에 작은 벼룩이 있고,
화가 나서 벼룩에 이빨을 꽂는다
벼룩, 그리고 광고 무한. D. 스위프트.

약간의 역사

첫 번째 아이디어 프랙탈 기하학 19세기에 시작되었습니다. Kantor는 간단한 재귀(반복) 절차를 사용하여 선을 연결되지 않은 점 집합(소위 Cantor Dust)으로 바꿉니다. 그는 라인을 잡고 중앙 1/3을 제거한 다음 나머지 세그먼트에 대해 동일한 작업을 반복했습니다.

쌀. 1. Peano 곡선 1.2–5 반복.

페아노 그린 특별한 종류윤곽. 페아노는 다음을 수행했습니다.: 첫 번째 단계에서 그는 직선을 취하고 원래 선의 길이보다 3배 짧은 9개의 세그먼트로 교체했습니다. 그런 다음 그는 결과 라인의 각 세그먼트에 대해 동일한 작업을 수행했습니다. 그리고 무한히 계속됩니다. 그 독창성은 전체 평면을 채우고 있다는 사실에 있습니다. 평면의 모든 점에 대해 Peano 라인에 속하는 점을 찾을 수 있음이 증명되었습니다. Peano의 곡선과 Cantor의 먼지는 일반적인 기하학적 개체를 뛰어 넘었습니다. 크기가 명확하지 않았습니다.. 칸토어의 먼지는 겉보기에는 1차원 직선을 기반으로 구성되었지만 점(차원 0)으로 구성되었습니다. 그리고 페아노 곡선은 1차원 선을 기준으로 만들어졌고 결과는 평면이었습니다. 과학의 다른 많은 영역에서는 위에서 설명한 것과 같은 이상한 결과를 초래하는 문제가 나타났습니다(브라운 운동, 주가). 우리 각자는이 절차를 수행 할 수 있습니다 ...

프랙탈의 아버지

20세기까지 이러한 기이한 사물에 대한 자료는 체계화되지 못한 채 축적되어 있었다. 그래서 그들이 걸릴 때까지 베누아 만델브로트 – 현대 프랙탈 기하학과 프랙탈이라는 단어의 아버지.

쌀. 2. 베누아 만델브로트.

IBM에서 수학적 분석가로 근무하는 동안 그는 통계를 사용하여 설명할 수 없는 전자 회로의 노이즈를 연구했습니다. 점차적으로 사실을 비교하면서 그는 수학의 새로운 방향을 발견했습니다. 프랙탈 기하학.

"프랙탈"이라는 용어는 1975년 B. Mandelbrot에 의해 소개되었습니다. Mandelbrot에 따르면, 프랙탈(라틴어 "fractus"에서 - 분수, 부서진, 부서진)라고합니다. 전체와 같은 부분으로 구성된 구조. 자기 유사성의 속성은 프랙탈을 고전 기하학의 대상과 뚜렷하게 구별합니다. 용어 자기 유사성수단 개체의 가장 작은 규모와 거시 규모 모두에서 미세하고 반복적인 구조의 존재.

쌀. 3. "프랙탈" 개념의 정의.

자기 유사성의 예는 다음과 같습니다.: Koch, Levy, Minkowski 곡선, Sierpinski 삼각형, Menger 스폰지, 피타고라스 트리 등

수학적 관점에서, 프랙탈이다, 우선, 분수(중간, "정수 아님") 차원으로 설정. 매끄러운 유클리드 선은 정확히 1차원 공간을 채우는 반면, 프랙탈 곡선은 1차원 공간을 넘어 경계를 넘어 2차원 공간으로 침범하므로 코흐 곡선의 프랙탈 차원은 1과 2 사이가 됩니다. 우선, 프랙탈 개체가 길이를 정확하게 측정할 수 없음을 의미합니다! 이러한 기하학적 프랙탈 중 첫 번째는 매우 흥미롭고 매우 유명합니다. 코흐 눈송이.

쌀. 4. "프랙탈" 개념의 정의.

기반으로 구축되어 있습니다 정삼각형. 각 줄은 원래 길이의 1/3씩 4줄로 대체됩니다. 따라서 반복할 때마다 곡선의 길이가 1/3씩 늘어납니다. 무한히 반복하면 무한 길이의 코흐 눈송이인 프랙탈을 얻게 됩니다. 우리의 무한 곡선은 제한된 영역을 커버한다는 것이 밝혀졌습니다. 유클리드 기하학의 방법과 도형으로 동일한 작업을 수행하십시오.
코흐 눈송이의 치수(눈송이가 3배 증가하면 길이는 4배 증가) D=log(4)/log(3)=1.2619.

프랙탈에 대하여

프랙탈은 과학과 기술에서 점점 더 많은 응용 분야를 찾고 있습니다. 이것의 주된 이유는 그것들이 때로 전통적인 물리학이나 수학보다 훨씬 더 실제 세계를 설명하기 때문입니다. 자연의 프랙탈 개체의 예를 끝없이 줄 수 있습니다. 구름, 눈 조각, 산, 번개, 마지막으로 콜리 플라워입니다. 자연물로서의 프랙탈은 영원하고 지속적인 운동이며 새로운 형성과 발전이다.

쌀. 5. 경제학의 프랙탈.

게다가, 프랙탈은 분산 컴퓨터 네트워크에서 응용 프로그램을 찾습니다. 그리고 "프랙탈 안테나" . 다양한 확률론적(비결정론적) "무작위" 프로세스를 모델링하는 데 매우 흥미롭고 유망한 것은 소위 "브라운 프랙탈"입니다. 나노기술의 경우 프랙탈도 중요한 역할을 합니다. , 그들의 계층적 자기 조직화로 인해 많은 나노시스템은 정수가 아닌 차원을 가집니다.즉, 기하학적, 물리화학적 또는 기능적 성질의 프랙탈입니다. 예를 들어, 화학적 프랙탈 시스템의 놀라운 예는 "덴드리머" 분자입니다. . 또한, 프랙탈의 원리(자기 유사, 스케일링 구조)는 시스템의 계층적 구조를 반영하므로 나노시스템의 구조 및 속성을 설명하는 표준 접근 방식보다 더 일반적이고 보편적입니다.

쌀. 6. "덴드리머"의 분자.