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다면체 섹션 구성. "다면체의 섹션을 구성하는 방법" 주제에 대한 연구 작업

작업 자체는 일반적으로 다음과 같이 진행됩니다. "단면도의 자연스러운 뷰 구축". 물론 우리는 이 질문을 제쳐두지 않고 가능하면 사선 부분이 어떻게 구성되는지 설명하려고 노력했습니다.

사선 섹션이 어떻게 구성되는지 설명하기 위해 몇 가지 예를 들어 보겠습니다. 물론 기본부터 시작하여 점차 예제의 복잡성을 높일 것입니다. 단면 그림의 이러한 예를 분석한 후 이것이 어떻게 수행되는지 이해하고 학습 작업을 스스로 완료할 수 있기를 바랍니다.

임의의 경사면으로 40x60x80mm 크기의 "벽돌"을 고려하십시오. 절단 평면은 점 1-2-3-4를 따라 절단합니다. 여기서 모든 것이 명확하다고 생각합니다.

단면도의 자연스러운 형태의 구성으로 넘어 갑시다.
1. 먼저 단면의 축을 그립니다. 축은 단면 평면에 평행하게 그려야 합니다. 평면이 기본 보기에 투영되는 선에 평행합니다. 일반적으로 작업이 설정된 기본 보기에 있습니다. 비스듬한 부분의 구성(또한 교육 도면에서는 거의 항상 이러한 경우가 있다는 점을 염두에 두고 기본 보기를 항상 언급하겠습니다.)
2. 축에서 섹션의 길이를 따로 설정합니다. 내 그림에서는 L로 지정합니다. 크기 L은 메인 뷰에서 결정되며 단면이 부품에 들어가는 지점에서 나가는 지점까지의 거리와 같습니다.
3. 축에 수직인 축의 결과 두 점에서 이 점의 단면 너비를 따로 설정합니다. 부품으로 들어가는 지점과 부품에서 나가는 지점의 단면 너비는 평면도에서 결정할 수 있습니다. 안에 이 경우세그먼트 1-4와 2-3은 모두 60mm입니다. 위의 그림에서 볼 수 있듯이 섹션의 가장자리는 직선이므로 두 개의 결과 세그먼트를 연결하여 직사각형 1-2-3-4를 얻습니다. 이것은 경사면이있는 벽돌 단면의 자연스러운 모습입니다.

이제 우리의 세부 사항을 복잡하게 합시다. 120x80x20mm의 바닥에 벽돌을 놓고 그림에 보강재를 추가합시다. 그림의 네 가지 요소를 모두 통과하도록 절단 평면을 그립니다(베이스, 벽돌 및 두 개의 보강재를 통해). 아래 그림에서 이 부분의 세 가지 보기와 사실적인 이미지를 볼 수 있습니다.

이 기울어진 부분의 자연스러운 모습을 구축해 봅시다. 단면 축으로 다시 시작하겠습니다. 기본 보기에 표시된 단면 평면에 평행하게 그립니다. 그것에 우리는 섹션의 길이를 따로 설정합니다 A-E와 같음. 지점 A는 부품으로의 섹션 진입점이며, 특정 경우에는 베이스로의 섹션 진입점입니다. 기지에서 나가는 지점은 B 지점입니다. 단면 축에 B 지점을 표시합시다. 마찬가지로 입구-출구 지점을 가장자리, "벽돌" 및 두 번째 가장자리로 표시합니다. 축에 수직인 점 A와 B에서 베이스 너비와 동일한 세그먼트를 따로 설정합니다(축의 각 측면에서 40, 80mm만). 연결하다 극단적인 지점- 우리는 직사각형을 얻습니다. 이는 부품의 기본 단면을 자연스럽게 보여줍니다.

이제 부품 가장자리의 단면인 단면 조각을 만들 차례입니다. 점 B와 C에서 각 방향으로 5mm의 수직선을 따로 설정합니다. 그러면 10mm의 세그먼트가 생깁니다. 극점을 연결하고 갈비뼈의 단면을 얻으십시오.

점 C와 D에서 "벽돌"의 너비와 동일한 수직 세그먼트를 따로 설정합니다. 이 단원의 첫 번째 예와 완전히 유사합니다.

점 D와 E의 수직선을 두 번째 가장자리의 너비와 동일하게 설정하고 극점을 연결하면 해당 단면을 자연스럽게 볼 수 있습니다.

결과 섹션의 개별 요소 사이의 점퍼를 지우고 해칭을 적용해야 합니다. 다음과 같은 결과를 얻어야 합니다.

주어진 섹션에 따라 그림을 나누면 다음 보기가 표시됩니다.

나는 당신이 알고리즘 설명의 지루한 단락에 겁먹지 않기를 바랍니다. 위의 내용을 모두 읽어도 여전히 완전히 이해되지 않는 경우, 단면을 그리는 방법, 종이 한 장과 연필을 손에 들고 저를 따라 모든 단계를 반복하도록 강력히 권합니다. 이것은 자료를 배우는 데 거의 100 % 도움이 될 것입니다.

이 기사의 계속을 약속 한 적이 있습니다. 마지막으로 숙제 수준에 가까운 부품의 비스듬한 부분을 단계별로 구성하는 방법을 제시할 준비가 되었습니다. 또한 세 번째 보기에서 사선 구간을 정의합니다(사시 구간은 왼쪽 보기에서 정의합니다).

또는전화번호를 적고 친구들에게 우리에 대해 알려주세요. 누군가 그림을 그릴 방법을 찾고 있을 것입니다.

또는페이지나 블로그에 수업에 대한 메모를 작성하면 다른 사람이 그림을 마스터할 수 있습니다.

예, 모든 것이 괜찮습니다. 하지만 예를 들어 모따기와 원뿔 모양의 구멍이 있는 더 복잡한 부품에서 동일한 작업이 어떻게 수행되는지 확인하고 싶습니다.

감사합니다. 그러나 보강재가 컷에서 부화되지 않습니까?
정확히. 부화하지 않는 것은 바로 그들입니다. 그들이 있기 때문에 일반 규칙절단하기. 그러나 등각 투영, 치수 등의 축척 투영에서 절단할 때 일반적으로 부화됩니다. 경사 구간을 수행할 때 보강재와 관련된 영역도 음영 처리됩니다.

감사합니다 접근성이 매우 좋습니다. 사선단면을 평면도에서 할 수 있는지 왼쪽에서 볼 수 있는지 알려주실 수 있나요? 그렇다면 가장 간단한 예를 보고 싶습니다. 부탁드립니다.

이러한 컷을 만드는 것이 가능합니다. 그러나 불행히도 지금 당장은 예가 없습니다. 그리고 또 하나 흥미로운 점: 한편으로는 새로운 것이 없지만 다른 한편으로는 그러한 섹션을 그리는 것이 실제로 더 어렵습니다. 왠지 모든 것이 머릿속에서 혼란스러워지기 시작하고 대부분의 학생들은 어려움을 겪습니다. 하지만 포기하지 마세요!

예, 모든 것이 괜찮지 만 같은 일이 어떻게 수행되는지보고 싶지만 구멍 (통과 및 비관통)이 있습니다. 그렇지 않으면 내 머리에서 타원으로 변하지 않습니다.

복잡한 문제를 도와주세요

당신이 여기에 쓴 것이 유감입니다. 우리는 우편으로 편지를 쓸 것입니다. 아마도 모든 것을 논의할 시간이 있을 것입니다.

당신은 잘 설명합니다. 부품의 한 변이 반원형이면 어떻게 됩니까? 또한 부품에 구멍이 있습니다.

Ilya, 설명 기하학 "경사면에 의한 원통 단면" 섹션의 교훈을 사용하십시오. 그것으로 구멍 (실제로 실린더이기도 함)과 반원형 측면으로 무엇을 해야할지 알아낼 수 있습니다.

기사 작성자에게 감사합니다 간단하고 이해하기 쉽습니다 약 20 년 전에 나는 과학의 화강암을 갉아 먹었고 이제는 아들을 돕습니다. 나는 많이 잊었지만 당신의 기사는 주제에 대한 근본적인 이해를 반환했습니다. 나는 다루기 위해 실린더의 경사진 부분으로 갈 것입니다)

의견을 추가하십시오.

면적계의 공리:

다양한 교과서에서 선과 평면의 속성은 공리, 공리의 결과, 정리, 보조 정리 등의 형태로 다양한 방식으로 제시될 수 있습니다. 교과서 Pogorelov A.V를 고려하십시오.

직선은 평면을 두 개의 반평면으로 나눕니다.

임의의 반선에서 주어진 반평면까지 주어진 각도로 각도를 놓을 수 있습니다. 정도 측정, 180 미만 0 , 그리고 하나만.

삼각형이 무엇이든 주어진 하프 라인에 대해 주어진 위치에 동일한 삼각형이 존재합니다.

주어진 직선 위에 있지 않은 점을 통해 주어진 직선에 평행한 평면에 최대 하나의 직선을 그릴 수 있습니다.

입체 측정의 공리:

평면이 무엇이든 간에 이 평면에 속하는 점이 있고, 이 평면에 속하지 않는 점이 있고, 속하지 않는 점이 있습니다.

서로 다른 두 평면에 공통점이 있으면 이 점을 통과하는 직선을 따라 교차합니다.

두 개의 다른 선에 공통점이 있으면 평면을 그릴 수 있으며 또한 하나만 그릴 수 있습니다.

선이 무엇이든 간에 이 선에 속하는 점이 있고 그렇지 않은 점이 있습니다.

임의의 두 점을 통해 하나의 선만 그릴 수 있습니다.

한 직선 위의 세 점 중 한 점만이 다른 두 점 사이에 있습니다.

각 세그먼트는 0보다 큰 특정 길이를 가집니다. 세그먼트의 길이는 해당 포인트로 나누어지는 부분의 길이의 합과 같습니다.

평면에 속한 직선은 이 평면을 두 개의 반평면으로 나눕니다.

각 각도에는 0보다 큰 특정 정도 측정값이 있습니다. 직각은 180 0 . 각도의 각도 측정값은 측면 사이를 통과하는 광선으로 분할되는 각도의 각도 측정값의 합과 같습니다.

시작점의 모든 반선에서 주어진 길이의 세그먼트를 연기할 수 있으며 단 하나만 연기할 수 있습니다.

그것을 포함하는 평면의 반선에서 주어진 각도 측정값이 180 미만인 각도를 주어진 반평면에 그릴 수 있습니다. 0 , 그리고 하나만.

삼각형이 무엇이든, 그 평면의 주어진 반선에 상대적인 주어진 위치에서 주어진 평면에 동일한 삼각형이 있습니다.

평면에서 주어진 직선 위에 있지 않은 주어진 점을 통해 주어진 직선에 평행한 직선은 기껏해야 한 개만 그릴 수 있습니다.

교차 구역

공간에서 두 개의 그림, 우리의 경우 평면과 다면체는 다음과 같은 상호 배열을 가질 수 있습니다. 교차하지 않고 한 점에서 교차하고 직선에서 교차하고 평면은 내부를 따라 다면체와 교차합니다 (그림 1) , 동시에 다음 수치를 형성합니다.

a) 빈 그림(교차하지 않음)

b) 포인트

c) 자르기

d) 다각형

다면체와 평면의 교차점에 다각형이 있으면 이 다각형은평면이 있는 다면체의 단면이라고 합니다. .

그림 1

정의. 교차 구역 공간 몸체(예: 다면체)는 몸체와 평면의 교차점에서 얻은 도형입니다.

절단 평면 다면체 주어진 다면체의 점이 양쪽에있는 평면을 호출합시다.

평면이 내부를 따라 다면체와 교차하는 경우에만 고려할 것입니다. 이 경우 다면체의 각 면과 이 평면의 교차점은 특정 세그먼트가 됩니다.

평면이 직선으로 교차하면 직선이라고합니다.이 비행기 중 하나에서 다른 비행기로.

일반적으로 다면체의 할선면은 각 면의 면과 교차합니다(이 다면체의 다른 할선면도 마찬가지). 또한 다면체의 가장자리가 있는 각 선과 교차합니다.

할선면이 다면체의 모든면과 교차하는 선을 호출합니다.절단 평면을 따라 이 면의 평면에 있고, 할선면이 다면체의 모서리를 포함하는 선과 교차하는 점을 호출합니다.절단 평면을 따라 ~에이 직선. 이 점은 절단면에 직선의 궤적이기도 합니다. 절단면이 다면체의 면과 직접 교차하는 경우 면에서 절단면의 흔적에 대해 이야기할 수 있습니다.다면체 가장자리의 절단면 흔적, 즉, 절단면의 모서리 흔적입니다.

직선은 두 점에 의해 고유하게 결정되므로 다른 평면, 특히 다면체의 모든 면에서 할선면의 궤적을 찾으려면 평면의 두 공통점을 구성하는 것으로 충분합니다.

할례면의 궤적을 구성하고 이 평면으로 다면체의 단면을 구성하려면 다면체뿐만 아니라 할례면도 지정해야 합니다. 그리고 단면 평면의 구성은 이 평면의 할당에 따라 발생합니다. 평면, 특히 시컨트 평면을 정의하는 주요 방법은 다음과 같습니다.

하나의 직선 위에 있지 않은 세 점;

직선과 그 위에 있지 않은 점;

두 개의 평행선;

두 개의 교차선;

한 점과 두 개의 교차선;

절단 평면을 정의하는 다른 방법이 있습니다.

따라서 다면체의 섹션을 구성하는 모든 방법은 방법으로 나눌 수 있습니다.

다면체 섹션 구성 방법

입체 측정에서 다면체 섹션 방법은 구성 문제에 사용됩니다. 다면체의 섹션을 만들고 섹션 유형을 결정하는 기능을 기반으로 합니다.

다면체의 섹션을 구성하는 세 가지 주요 방법이 있습니다.

공리적 방법:

추적 방법.

결합 방법.

좌표 방법.

메모 흔적의 방법과 보조 섹션의 방법은 품종입니다단면 구성을 위한 공리적 방법.

우리는 또한 다면체의 섹션을 구성하는 다음 방법을 구별할 수 있습니다.

주어진 평면에 평행한 주어진 점을 통과하는 평면에 의한 다면체의 단면 구성;

다른 주어진 선에 평행한 주어진 선을 통과하는 섹션 구성;

두 개의 주어진 사행선에 평행한 주어진 점을 통과하는 단면 구성;

주어진 평면에 수직인 주어진 선을 통과하는 평면에 의한 다면체의 단면 구성;

주어진 직선에 수직인 주어진 점을 통과하는 평면에 의한 다면체의 단면 구성.

단면 구성 방법을 구성하는 주요 동작은 직선과 평면의 교점 찾기, 두 평면의 교점 구성, 평면에 수직인 평면에 평행한 직선 구성입니다. 두 평면의 교차 직선을 구성하려면 일반적으로 두 점을 찾고 직선을 그립니다. 선과 평면의 교점을 구성하려면 평면에서 주어진 선과 교차하는 선을 찾으십시오. 그런 다음 찾은 선과 주어진 선의 교차점에서 원하는 지점을 얻습니다.

우리가 별도로 나열한 것을 고려하십시오다면체 섹션을 구성하는 방법:

추적 방법.

추적 방법 입체 측정의 공리를 기반으로 (작동) 방법의 본질은 그림의 모든면과 절단면의 교차선 이미지 인 보조선을 구성하는 것입니다. 절단면과 하단면의 교차선 이미지를 만드는 것이 가장 편리합니다. 이 줄절단 평면의 주요 흔적이라고 함 . 트레이스를 이용하면 도형의 측면 모서리나 면에 위치한 절단면의 포인트 이미지를 쉽게 구성할 수 있습니다. 이 점들의 이미지를 일관되게 연결하여 원하는 부분의 이미지를 얻습니다.

메모 시컨트 평면의 주 트레이스를 구성할 때 다음 문이 사용됩니다.

포인트가 할선 평면에 속하고 하나의 직선에 있지 않고 기본 평면으로 선택한 평면에 대한 투영(중앙 또는 평행)이 각각 포인트인 경우 그런 다음 해당 선의 교차점, 즉 점과 같은 선에 있습니다 (그림 1, a, b).

그림 1.a 그림 1.b

이 선은 절단면의 주요 흔적입니다. 포인트가 주 트레이스에 있기 때문에 구성하려면 이 세 포인트 중 두 포인트를 찾는 것으로 충분합니다.

보조 섹션 방법.

다면체의 섹션을 구성하는 이 방법은 충분히 보편적입니다. 절단 평면의 원하는 트레이스(또는 트레이스)가 도면 외부에 있는 경우 이 방법에는 특정 이점이 있습니다. 동시에이 방법을 사용하여 수행되는 구성은 종종 "혼잡"한 것으로 판명된다는 점을 명심해야합니다. 그럼에도 불구하고 어떤 경우에는 보조 섹션의 방법이 가장 합리적인 것으로 판명되었습니다.

결합 방법

다면체 섹션을 구성하는 결합 방법의 본질은 공리적 방법과 결합하여 공간에서 선과 평면의 평행성에 대한 정리를 적용하는 것입니다.

섹션 구성을 위한 조정 방법.

좌표 방법의 본질은 평면 방정식에 의해 주어지는 시컨트 평면이 있는 모서리 또는 다면체의 교차점 좌표를 계산하는 것입니다. 단면 평면의 방정식은 문제의 조건을 기반으로 계산됩니다.

메모 다면체의 섹션을 구성하는 이 방법은 많은 양의 계산과 관련되어 있으므로 컴퓨터를 사용하여 이 방법을 구현하는 것이 바람직하기 때문에 컴퓨터에 허용됩니다.

우리의 주요 임무는 평면이 있는 다면체의 섹션을 구성하는 것입니다. 이 두 집합의 교집합을 구성할 때.

다면체 단면 구성

우선, 볼록 다면체의 단면은 볼록 평면 다각형이며, 일반적인 경우 정점은 다면체의 가장자리와 면이있는 측면과 교차하는 면의 교차점입니다.

섹션 생성 예:

섹션을 정의하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 이 중 가장 일반적인 것은 하나의 직선 위에 있지 않은 세 점으로 절단 평면을 지정하는 방법입니다.

예 1 박스 ABCDA용 1 비 1 씨 1 디 1 . 점 M, N, L을 통과하는 단면을 구성합니다.

해결책:

평면 AA에 있는 점 M과 L을 연결하십시오. 1 디 1 디.

ML 선(단면에 속함)을 모서리 A와 교차 1 디 1 1 디 1 D. 포인트 X 얻기 1 .

점 X1은 모서리 A에 있습니다. 1 디 1 , 따라서 평면 A 1 비 1 씨 1 디 1 , 같은 평면에 있는 점 N과 연결합니다.

엑스 1 N은 모서리 A와 교차합니다. 1 비 1 K 지점에서

같은 평면 AA에 있는 점 K와 M을 연결하십시오. 1 비 1 비.

단면 평면과 평면 DD의 교차선 찾기 1 씨 1 씨:

ML선(단면에 속함)과 DD선을 교차 1 , 그들은 같은 평면 AA에 있습니다 1 디 1 D, X 지점을 얻습니다. 2 .

선 KN(단면에 속함)을 모서리 D와 교차시킵니다. 1 씨 1 , 그들은 같은 평면 A에 있습니다 1 비 1 씨 1 디 1 , 우리는 점 X3을 얻습니다.

점 X2 및 X3은 평면 DD에 있습니다. 1 씨 1 C. X 선 그리기 2 엑스 3 , 가장자리 C와 교차 1 점 T의 C, 점 P의 가장자리 DC. 평면 ABCD에 있는 점 L과 P를 연결해 봅시다.

따라서 평면이 다면체의면과 교차하는 모든 세그먼트가 발견되면 문제가 해결 된 것으로 간주됩니다. MKNTPL - 원하는 섹션.

메모. 단면을 구성하는 동일한 작업은 평행 평면의 속성을 사용하여 해결할 수 있습니다.

위에서부터 이러한 유형의 문제를 해결하기 위한 알고리즘(규칙)을 구성할 수 있습니다.

다면체 섹션 구성 규칙:

예 2 디엘, 중

우리는 공리적 방법으로 해결합니다.

보조 평면 그리기DKM, 점 E에서 모서리 AB와 BC를 교차하고에프(솔루션 과정은 그림 2에 있습니다.). 이 보조 평면에 단면 평면의 CM의 "추적"을 만들고 CM과 E의 교차점을 찾으십시오.에프- 포인트 P. 포인트 P 뿐만 아니라엘, 평면 ABC에 있으며 단면 평면이 평면 ABC와 교차하는 직선을 그릴 수 있습니다(평면 ABC에서 단면의 "추적").

예 3 피라미드 MABCD의 모서리 AB와 AD에 각각 이 모서리의 중간점인 점 P와 Q를 설정하고 모서리 MC에 점 R을 설정합니다. 점 P, Q, R을 통해

솔루션은 결합된 방법으로 수행됩니다.

1). 평면 PQR의 주 궤적은 선 PQ임이 분명합니다.

2). MAC 평면이 선 PQ와 교차하는 점 K를 찾으십시오. 점 K와 R은 PQR 평면과 MAC 평면 모두에 속합니다. 따라서 직선 KR을 그리면 이러한 평면의 교차선을 얻습니다.

삼). 점 N=AC BD를 찾고 선 MN을 그리고 점 F=KR MN을 찾아봅시다.

4). 포인트 F는 공통점평면 PQR 및 MDB, 즉이 평면은 점 F를 통과하는 직선을 따라 교차합니다. 동시에 PQ는 삼각형 ABD의 중심선이므로 PQ는 BD와 평행합니다. 즉 선 PQ도 평면 MDB에 평행. 그러면 선 PQ를 통과하는 평면 PQR은 선 PQ에 평행한 선, 즉 선 BD에 평행한 선을 따라 평면 MDB와 교차합니다. 따라서 평면 MDB에서 점 F를 통해 선 BD에 평행한 선을 그립니다.

5). 추가 구성은 그림에서 명확합니다. 결과적으로 필요한 섹션 인 다각형 PQD"RB"를 얻습니다.

프리즘의 섹션을 고려하십시오. 단순함, 즉 논리적 사고의 편리함을 위해 큐브의 섹션을 고려하십시오(그림 3.a).

쌀. 3.a

측면 모서리에 평행한 평면에 의한 프리즘 단면은 평행사변형입니다. 특히 대각선 부분은 평행사변형입니다(그림 4).

데프. 대각선 단면 프리즘은 동일한 면에 속하지 않는 두 개의 측면 모서리를 통과하는 평면에 의한 단면입니다.

프리즘의 대각선 단면에서 생성된 다각형은 평행사변형입니다. 대각선 섹션 수에 대한 질문N-앵귤러 프리즘은 대각선의 수보다 더 어렵습니다. 바닥에 대각선이 있는 만큼 섹션이 있을 것입니다. 볼록 프리즘은 밑면에 볼록 다각형이 있는 반면 볼록 프리즘은N-대각선의 곤. 그래서 우리는 대각선의 절반만큼 대각선 섹션이 있다고 말할 수 있습니다.

메모: 그림에서 평행 육면체의 섹션을 구성할 때 절단 평면이 일부 세그먼트를 따라 두 개의 반대 면과 교차하는 경우 이러한 세그먼트가 평행 육면체의 속성에 의해 평행하다는 사실을 고려해야 합니다. 평행 육면체의 마주보는 면은 평행하고 동일합니다.

자주 묻는 질문에 대한 답변을 제공합니다.

평면에 의한 입방체 단면에서 어떤 다각형을 얻습니까?

"삼각형, 사변형, 오각형, 육각형".

정육면체의 평면 단면이 칠각형을 만들 수 있습니까? 그리고 옥타곤?

"할 수 없다".

3) 평면이 있는 다면체의 단면으로 얻은 다각형의 변의 최대 개수는 얼마입니까?

가장 큰 숫자평면에 의해 다면체의 단면에서 얻은 다각형의 변은 다면체의 면의 수와 같습니다 .

예 3 프리즘 A의 섹션 구성 1 비 1 씨 1 디 1 세 점 M, N, K를 통과하는 평면으로 ABCD.

프리즘 표면의 점 M, N, K의 위치를 고려하십시오(그림 5).

다음 경우를 고려하십시오. 이 경우 M1 = B1이 분명합니다.

건물:

예 4 평행 육면체 ABCDA의 섹션 구성 1 비 1 씨 1 디 1 점 M, N, P를 통과하는 평면(점은 도면에 표시됨(그림 6)).

해결책:

쌀. 6

점 N과 P는 단면의 평면과 평행 육면체의 아래쪽 밑면의 평면에 있습니다. 이 점들을 지나는 직선을 만들어 봅시다. 이 선은 평행육면체 밑면의 할선면의 궤적입니다.

평행육면체의 변 AB가 있는 선을 계속 봅시다. 선 AB와 NP는 어떤 점 S에서 교차합니다. 이 점은 단면 평면에 속합니다.

점 M도 단면 평면에 속하고 선 AA와 교차하므로 1 어느 시점 x.

점 X와 N은 면 AA의 동일한 평면에 있습니다. 1 디 1 D, 그것들을 연결하고 라인 XN을 얻습니다.

평행육면체의 면들의 평면은 평행하므로 면 A에서 점 M을 지나는 직선을 그릴 수 있습니다. 1 비 1 씨 1 디 1 라인 NP에 평행. 이 선은 B면과 교차합니다. 1 와 함께 1 Y 지점에서

마찬가지로 선 XN과 평행하게 선 YZ를 그립니다. Z를 P와 연결하고 원하는 섹션인 MYZPNX를 얻습니다.

상단을 통과하는 평면에 의한 피라미드 섹션은 삼각형입니다. 특히 대각선 부분은 삼각형입니다. 이들은 피라미드의 인접하지 않은 두 측면 가장자리를 통과하는 평면 섹션입니다.

예 4 피라미드 ABC의 섹션 구성디점 K를 통과하는 평면,엘, 중.

해결책:

같은 예를 다르게 풀어봅시다. .

점 K에 대해 다음과 같이 가정합니다.엘, 및 М 섹션KLNM(그림 7). 로 표시에프사변형의 대각선의 교점KLNM. 직선을 그리자D.F.로 표시에프 1 얼굴 ABC와의 교차점. 점에프 1 선 AM과 SK의 교차점과 일치합니다 (에프 1 동시에 비행기 AM에 속합니다디그리고디SC). 가리키다에프 1 쉽게 만들 수 있습니다. 다음으로 우리는 점을 만듭니다에프교차점으로D.F. 1 그리고LM. 다음으로 우리는 요점을 찾습니다N.

고려되는 방법은내부 설계 방식 . (우리의 경우 우리 대화하는 중이 야중앙 디자인에 대해. 사변형케이ISA는 사변형의 투영입니다.KMNL한 지점에서디. 이때 대각선의 교점은KMNL- 점에프- 사변형의 대각선의 교차점으로 이동합니다.케이ISA - 도트에프 1 .

다면체의 단면적.

다면체의 단면적 계산 문제는 일반적으로 여러 단계로 해결됩니다. 문제가 섹션이 작성되었다고 말하면 (또는 절단면이 그려지는 등) 솔루션의 첫 번째 단계에서 섹션에서 얻은 그림의 모양이 발견됩니다.

이것은 단면적 계산을 위한 적절한 공식을 선택하기 위해 수행되어야 합니다. 섹션에서 얻은 그림의 형태를 명확히하고이 그림의 면적을 계산하는 공식을 선택한 후 계산 작업을 직접 진행합니다.

경우에 따라 섹션에서 얻은 그림의 형식을 찾지 않고 정리에서 다음 공식을 사용하여 면적 계산을 즉시 진행하면 더 쉬울 수 있습니다.

다각형의 직교 투영 영역에 대한 정리: 평면에 대한 다각형의 직교 투영 영역은 해당 영역의 곱과 다각형 평면과 투영 평면 사이의 각도의 코사인과 같습니다. .

단면적을 계산하는 유효한 공식은 다음과 같습니다. 여기서 섹션에서 얻은 그림의 직교 투영 영역은 단면 평면과 그림이 투영된 평면 사이의 각도입니다. 이러한 솔루션을 사용하면 섹션에서 얻은 그림의 직교 투영을 구성하고 계산해야 합니다.

문제의 조건이 구간을 지어야 하고 구한 구간의 넓이를 구해야 한다면, 첫 단계에서 주어진 구간을 지은 다음 자연히 형태를 결정하는 것이 타당하다. 섹션 등에서 얻은 그림

우리는 다음 사실에 주목합니다: 볼록 다면체의 섹션이 구성되기 때문에 섹션 다각형도 볼록하므로 삼각형으로 나누어 영역을 찾을 수 있습니다. 즉, 섹션 영역은 다음 영역의 합과 같습니다. 그것을 구성하는 삼각형.

작업 1.

– 옳은 삼각형 피라미드밑면이 높이와 같거나 같은 점을 통과하는 평면으로 피라미드의 단면을 구성하고 그 영역을 찾습니다(그림 8).

해결책.

피라미드의 단면은 삼각형입니다. 그 영역을 찾아봅시다.

피라미드의 밑면은 정삼각형이고 점은 변의 중간점이므로 높이, 그 다음은 입니다.

삼각형의 영역을 찾을 수 있습니다.

작업 2.

사이드 리브정 프리즘의 밑면의 한 변과 같습니다. 점을 통과하는 평면으로 프리즘 단면 구성ㅏ, 프리즘의 결과 단면 영역을 찾으면 선에 수직입니다.

해결책.

주어진 섹션을 구성해 봅시다. 예를 들어 다음과 같이 순전히 기하학적 고려 사항에서 이 작업을 수행해 보겠습니다.

주어진 선과 주어진 점을 통과하는 평면에서 선에 수직인 이 점을 통과하는 선을 그립니다(그림 9). 이 목적을 위해 삼각형에서 즉, 중앙값은 이 삼각형의 높이이기도 합니다. 따라서 직선입니다.

점을 통해 선에 수직인 또 다른 선을 그립니다. 예를 들어 직선을 지나는 평면에 그려봅시다. 이 선은 선임이 분명합니다.

따라서 선에 수직인 두 개의 교차하는 선이 구성됩니다. 이 선은 선에 수직인 점을 통과하는 평면을 정의합니다. 즉, 할선 평면이 제공됩니다.

이 평면으로 프리즘 섹션을 구성합니다. 선이 평면과 평행하기 때문에 주의하십시오. 그런 다음 선을 통과하는 평면은 선에 평행한 선, 즉 선을 따라 평면과 교차합니다. 점을 통과하는 직선을 그리고 결과 점을 점으로 연결합니다.

사변형 주어진 단면. 그 지역을 결정합시다.

사변형은 직사각형, 즉 그 넓이가 분명합니다.

쌀. 9

도면의 섹션 및 섹션 구성

부품 도면은 필요한 돌출부, 절단부 및 단면을 순차적으로 추가하여 형성됩니다. 처음에는 사용자 지정 모델로 사용자 지정 뷰가 생성되고 모델 방향이 기본 뷰에 가장 적합하도록 설정됩니다. 또한 이 유형과 다음 유형에 대해 필요한 컷과 단면이 생성됩니다.

기본 보기(전면 보기)는 부품의 모양과 치수에 대한 가장 완벽한 아이디어를 제공하는 방식으로 선택됩니다.

도면의 섹션

절단 평면의 위치에 따라 다음 유형의 절단이 구분됩니다.

A) 절단면이 수평 투영면에 평행한 경우 수평

B) 수직, 절단면이 수평 투영면에 수직인 경우;

C) 기울어짐 - 절단면이 투영면에 대해 기울어집니다.

수직 섹션은 다음과 같이 나뉩니다.

· 정면 - 절단면은 정면 투영면과 평행합니다.

· 프로파일 - 절단 평면이 프로파일 투영 평면에 평행합니다.
절단 평면의 수에 따라 절단은 다음과 같습니다.

· 단순함 - 하나의 절단면 포함 (그림 107);

· 복잡한 - 두 개 이상의 절단면 포함(그림 108)
이 표준은 다음 유형의 복잡한 절단을 제공합니다.

· 가름면이 평행하고(그림 108a) 파선인 경우 - 가름면이 교차합니다(그림 108b).

그림 107 단순 절단

가) 나)

그림 108 복잡한 컷

컷 지정

단순 단면에서 시컨트 평면이 물체의 대칭 평면과 일치하는 경우 단면이 표시되지 않습니다(그림 107). 다른 모든 경우 섹션은 문자 A(예: A-A)로 시작하는 러시아 알파벳의 대문자로 표시됩니다.

도면에서 절단면의 위치는 단면선(두꺼워진 열린 선)으로 표시됩니다. 복잡한 절단의 경우 절단선의 굴곡에서도 스트로크가 수행됩니다. 시야 방향을 나타내는 화살표는 초기 및 최종 스트로크에 배치해야 하며 화살표는 스트로크의 바깥쪽 끝에서 2-3mm의 거리에 있어야 합니다. 보는 방향을 나타내는 각 화살표의 바깥쪽에는 동일한 대문자를 적용한다.

KOMPAS 시스템에서 컷과 섹션을 지정하는 데 동일한 버튼이 사용됩니다. 범례 페이지에 있는 섹션 라인(그림 109).

그림 109 단면선 버튼

하프 뷰를 하프 섹션에 연결하기

뷰와 섹션이 대칭형인 경우(그림 110) 뷰의 절반과 섹션의 절반을 연결하여 대칭축인 쇄선으로 구분할 수 있습니다. 섹션의 일부는 일반적으로 뷰의 일부를 섹션의 일부와 분리하는 대칭축의 오른쪽 또는 대칭축 아래에 배치됩니다. 뷰와 섹션의 연결된 부분에 숨겨진 등고선은 일반적으로 표시되지 않습니다. 보기와 단면을 분리하는 축선이 일부 선의 투영과 일치하는 경우(예: 면 처리된 그림의 모서리) 다음과 같은 경우 대칭축의 왼쪽에 그려진 실선 물결선으로 보기와 단면이 분리됩니다. 가장자리는 내부 표면에 있거나 가장자리가 외부인 경우 오른쪽에 있습니다.

쌀. 110 보기의 일부와 섹션 연결

건물 컷

그림 111과 같이 프리즘 도면을 구성하는 예를 사용하여 KOMPAS 시스템의 섹션 구성을 연구합니다.

그리기 순서는 다음과 같습니다.

1. 작성자 주어진 치수프리즘의 솔리드 모델을 만들어 봅시다(그림 109 b). 모델을 "Prism"이라는 파일로 컴퓨터 메모리에 저장해 봅시다.

그림 112 라인 패널

3. 프로필 섹션 만들기(그림 113) 선을 그리다 섹션 A-A버튼을 사용하여 기본보기에서절단 선.

그림 113 프로파일 섹션 구성

보기 방향과 지정 텍스트는 화면 하단의 명령을 사용하여 제어판에서 선택할 수 있습니다(그림 114). Create Object 버튼을 누르면 단면선의 시공이 완료됩니다.

그림 114 절단 및 단면 구성 명령용 제어판

4. Associative Views 패널(그림 115)에서 절단선 버튼을 선택한 다음 화면에 나타나는 트랩으로 절단선을 지정합니다. 모든 것이 올바르게 완료되면(활성 뷰에서 절단선을 그려야 함) 절단선이 빨간색으로 바뀝니다. 절단선 A-A를 지정하면 이미지 팬텀이 전체 직사각형 형태로 화면에 나타납니다.

그림 115 연관 보기 패널

속성 표시줄의 절단/단면 스위치를 사용하여 이미지 유형이 선택됩니다. 절단(그림 116) 및 표시된 절단의 배율.

그림 116 절단 및 단면 구성 명령용 제어판

프로파일 섹션은 프로젝션 연결에서 표준 표기법으로 자동으로 작성됩니다. 필요한 경우 스위치로 프로젝션 연결을 끌 수 있습니다. 프로젝션 연결(그림 116).생성된 섹션(단면)에서 사용될 해칭 매개변수를 설정하려면 해칭 탭의 컨트롤을 사용합니다.

그림117 수평구간 B-B와 C-C구간 구성

절단을 구성할 때 선택한 절단 평면이 부품의 대칭 평면과 일치하면 표준에 따라 이러한 절단이 표시되지 않습니다. 그러나 단순히 섹션 지정을 지우면 컴퓨터 메모리의 뷰와 섹션이 서로 연결되어 있기 때문에 전체 섹션이 지워집니다. 따라서 지정을 해제하기 위해서는 먼저 뷰와 섹션 간의 연결을 끊어야 합니다. 이렇게 하려면 마우스 왼쪽 버튼을 클릭하여 섹션을 선택한 다음 마우스 오른쪽 버튼을 클릭하여 Destroy 보기 항목이 선택된 컨텍스트 메뉴를 엽니다(그림 97). 이제 단면 기호를 삭제할 수 있습니다.

5. 수평단면을 구성하기 위해 정면도에서 구멍의 아랫면을 관통하는 B-B 단면선을 그립니다. 전면 보기는 먼저 마우스 왼쪽 버튼을 두 번 클릭하여 현재 상태로 만들어야 합니다. 그런 다음 수평 단면이 만들어집니다(그림 117).

6. 정면단면을 구성할 때 뷰의 일부와 단면의 일부가 호환되기 때문에 그것들은 대칭적인 수치입니다. 프리즘의 바깥쪽 가장자리는 뷰와 컷을 구분하는 선에 투영되므로 대칭 축의 오른쪽에 그려진 실선의 가는 물결 모양 선의 보기 및 단면 바깥쪽 갈비뼈. 버튼은 물결선을 그리는 데 사용됩니다. For clipping line 스타일로 그린 Geometry 패널에 위치한 Bezier 곡선(그림 118). 베지어 곡선이 통과해야 하는 점을 순차적으로 지정합니다. 명령 실행을 완료하려면 객체 생성 버튼을 클릭합니다.

그림 118 나누기 선 스타일 선택하기

절편

단면은 대상을 평면으로 정신적으로 해부하여 얻은 대상의 이미지입니다. 섹션은 절단면에 있는 것만 보여줍니다.

단면이 형성되는 절단면의 위치는 도면에서 단면과 마찬가지로 단면선으로 표시됩니다.

도면에서의 위치에 따라 섹션은 확장 및 중첩으로 나뉩니다. 제거된 섹션은 도면의 자유 필드에 가장 자주 위치하며 주선으로 표시됩니다. 겹쳐진 섹션은 물체의 이미지에 직접 배치되고 가는 선으로 윤곽이 그려집니다(그림 119).

그림 119 섹션 구성

확장 된 사선으로 프리즘 도면을 구성하는 순서를 고려하십시오. 섹션 BB(그림 117).

1. 뷰에서 마우스 왼쪽 버튼을 두 번 클릭하여 전면 뷰를 활성화하고 버튼으로 단면선을 그립니다. 절단선 . 비문 В-В의 텍스트를 선택합시다.

2. 트랩으로 나타나는 Associative Views 패널(그림 115)에 있는 절단선 버튼을 사용하여 할선을 표시합니다. 비행기 BB. 속성 표시줄의 절단/단면 스위치를 사용하여 이미지 유형 - 단면을 선택하면(그림 116) 표시된 단면의 배율이 배율 창에서 선택됩니다.

구성된 단면은 도면에서의 이동을 제한하는 투영 관계에 있지만 버튼을 사용하여 투영 관계를 끌 수 있습니다. 프로젝션 연결.

완성된 그림에 그림을 그린다. 중심선, 필요한 경우 치수를 입력합니다.

다면체 섹션을 구성하는 작업은 중요한 장소고등학교의 학교 기하학 과정과 다양한 수준의 시험에서. 이러한 유형의 문제에 대한 해결책은 입체 측정 공리의 동화, 지식 및 기술의 체계화, 개발에 기여합니다. 공간 표현그리고 건설적인 기술. 섹션 구성 문제를 해결하는 데 발생하는 어려움은 잘 알려져 있습니다.

로부터 어린 시절우리는 삭감에 직면해 있습니다. 우리는 빵, 소시지 및 기타 제품을 자르고 칼로 막대기 또는 연필을 자릅니다. 이 모든 경우의 할선면은 나이프의 평면입니다. 섹션(조각의 섹션)이 다릅니다.

볼록 다면체의 단면은 볼록 다각형이며, 일반적인 경우 정점은 절단면과 다각형 모서리의 교차점이고 측면은 절단면과 절단면의 교차선입니다. 얼굴.

두 평면의 교차선을 구성하려면 이 평면의 두 공통 지점을 찾고 이를 통과하는 선을 그리는 것으로 충분합니다. 이는 다음 진술을 기반으로 합니다.

1. 직선의 두 점이 한 평면에 속하면 전체 직선이 이 평면에 속합니다.

2. 서로 다른 두 평면이 공통점을 가지고 있으면 이 점을 통과하는 직선을 따라 교차합니다.

이미 말했듯이 다면체 섹션의 구성은 입체 측정의 공리와 선과 평면의 평행에 대한 정리를 기반으로 수행될 수 있습니다. 동시에 다면체의 평면 단면을 구성하는 특정 방법이 있습니다. 다음 세 가지 방법이 가장 효과적입니다.

추적 방법

내부 설계 방식

결합 방법.

기하학 연구, 특히 이미지가 고려되는 부분 기하학적 모양, 기하학적 모양의 이미지는 컴퓨터 프레젠테이션의 사용을 돕습니다. 컴퓨터의 도움으로 많은 기하학 수업이 더욱 시각적이고 역동적이 됩니다. 공리, 정리, 증명, 구성 작업, 섹션 구성 작업은 모니터 화면에서 연속적인 구성을 수반할 수 있습니다. 컴퓨터로 생성한 도면을 저장하고 다른 문서에 붙여넣을 수 있습니다.

주제에 대한 몇 가지 슬라이드를 보여주고 싶습니다. "섹션 구성 기하학체»

선과 평면의 교점을 구성하려면 평면에서 주어진 선과 교차하는 선을 찾으십시오. 그런 다음 원하는 지점은 찾은 선과 주어진 선의 교차점입니다. 다음 슬라이드에서 살펴보겠습니다.

작업 1.

사면체 DABC의 가장자리에 두 점 M과 N이 표시되어 있습니다. M GAD, N b DC. 베이스 평면과 선 MN의 교차점을 선택합니다.

솔루션: 평면과 라인 MN의 교차점을 찾기 위해

베이스 우리는 AC와 세그먼트 MN을 계속할 것입니다. X를 통해 이 선들의 교차점을 표시합시다. 점 X는 선 MN과 면 AC에 속하고 AC는 밑면 평면에 있습니다. 즉, 점 X도 밑면 평면에 있음을 의미합니다. . 따라서 점 X는 밑면 평면과 선 MN의 교차점입니다.

두 번째 문제를 생각해 봅시다. 조금 복잡하게 합시다.

작업 2.

점 M과 N의 정사면체 DABC가 주어집니다. 여기서 M € DA, NC(DBC)입니다. 선 MN과 평면 ABC의 교점을 찾으십시오.

해결 방법: 선 MN과 평면 ABC의 교차점은 선 MN을 포함하는 평면과 밑면의 평면에 있어야 합니다. 에지 DC와의 교차점까지 세그먼트 DN을 계속합니다. E를 통해 교차점을 표시합니다. AE와 MN 선을 교차점까지 계속합니다. 참고 X. 점 X는 MN에 속하므로 선 MN을 포함하는 평면에 있고 X는 AE에 속하며 AE는 평면 ABC에 있습니다. 따라서 X도 평면 ABC에 있습니다. 따라서 X는 선 MN과 평면 ABC의 교점입니다.

작업을 복잡하게 합시다. 주어진 세 점을 통과하는 평면에 의한 기하학적 도형의 단면을 고려하십시오.

작업 3

사면체 DABC의 변 AC, AD, DB에 점 M, N, P를 표시하고 평면 MNP에 의해 사면체의 단면을 구성합니다.

해결책: 평면 MNP를 따라 직선을 구성합니다. 면 평면 ABC와 교차합니다. 점 M은 이들 평면의 공통점입니다. 또 다른 공통점을 만들기 위해 세그먼트 AB와 NP를 계속합니다. 평면 MNP와 ABC의 두 번째 공통점이 될 X를 통해 교차점을 표시합니다. 그래서 이 평면들은 직선 MX를 따라 교차합니다. MX는 어떤 점 E에서 경계 BC와 교차합니다. E는 MX에 있고 MX는 평면 MNP에 속하는 직선이므로 PE는 MNP에 속합니다. 사변형 MNPE는 필수 섹션입니다.

작업 4

점 P를 통과하는 평면으로 직선 프리즘 ABCA1B1C1의 섹션을 구성합니다. , 큐,R, 여기서 R은 ( AA 1씨 1씨), R속한다 안에 1C1,

Q는 AB에 속합니다

해결책:세 개 모두 포인트 P,Q,R서로 다른 면에 있기 때문에 우리는 아직 프리즘의 어떤 면과 할선면의 교차선을 구성할 수 없습니다. PR과 ABC의 교점을 찾아봅시다. BC에 수직인 베이스 평면 PP1과 AC에 수직인 RR1에 점 P와 R의 투영을 찾아봅시다. 선 P1R1은 점 X에서 선 PR과 교차합니다. X는 선 PR과 평면 ABC의 교차점입니다. 그것은 원하는 평면 K에 있고 점 Q와 같이 밑면의 평면에 있습니다. XQ는 밑면과 K를 교차하는 직선입니다. XQ는 점 K에서 AC와 교차합니다. 따라서 KQ는 평면 X와 면 ABC의 교차 부분입니다. K와 R은 X 평면과 AA1C1C 면의 평면에 있습니다. 선 KR을 그리고 A1Q E와 교차점을 표시합니다. KE는 평면 X와 이 면의 교차선입니다. 면 BB1A1A의 평면과 X 평면의 교차선을 찾으십시오. KE는 점 Y에서 A1A와 교차합니다. 선 QY는 할선면과 평면 AA1B1B의 교차선입니다. FPEKQ - 원하는 섹션.

일반적으로 평면으로 큐브 섹션을 구성하는 작업은 예를 들어 피라미드 섹션에 대한 작업보다 간단합니다.

두 점이 같은 평면에 있으면 두 점을 통과하는 선을 그릴 수 있습니다. 입방체의 섹션을 구성할 때 절단 평면의 트레이스를 구성하는 옵션이 하나 더 있습니다. 세 번째 평면은 평행한 직선을 따라 두 개의 평행한 평면과 교차하기 때문에 면 중 하나에 이미 직선이 만들어지고 다른 면에 단면이 통과하는 점이 있으면 다음을 통해 직선을 그릴 수 있습니다. 이 점은 주어진 점과 평행합니다.

에 고려 구체적인 예평면으로 입방체의 섹션을 구성하는 방법.

1) 점 A, C 및 M을 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다.

이 유형의 문제는 정육면체의 섹션을 구성하는 모든 문제 중에서 가장 단순합니다. 점 A와 C는 같은 평면(ABC)에 있기 때문에 두 점을 지나는 선을 그을 수 있습니다. 그 추적은 세그먼트 AC입니다. 눈에 보이지 않으므로 AC를 획으로 묘사합니다. 마찬가지로 동일한 평면(CDD1)에 있는 점 M과 C와 같은 평면(ADD1)에 있는 점 A와 M을 연결합니다. 삼각형 ACM은 필수 섹션입니다.

2) 점 M, N, P를 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다.

여기서 점 M과 N만 같은 평면(ADD1)에 있으므로 이들을 통과하는 직선을 그리고 자취 MN(보이지 않음)을 얻습니다. 입방체의 반대면이 평행 평면에 있기 때문에 절단 평면은 평행선을 따라 평행 평면 (ADD1) 및 (BCC1)과 교차합니다. 우리는 이미 평행선 중 하나를 구축했습니다. 이것은 MN입니다.

점 P를 통해 MN에 평행한 선을 그립니다. 점 S에서 모서리 BB1과 교차합니다. PS는 면(BCC1)에서 할선면의 궤적입니다.

같은 평면(ABB1)에 있는 점 M과 S를 통해 직선을 그립니다. MS 추적을 얻었습니다(보임).

평면 (ABB1)과 (CDD1)은 평행합니다. 평면(ABB1)에 선 MS가 이미 있으므로 평면(CDD1)의 점 N을 통해 MS에 평행한 선을 그립니다. 이 선은 점 L에서 가장자리 D1C1과 교차합니다. 그 흔적은 NL(보이지 않음)입니다. 점 P와 L은 같은 평면(A1B1C1)에 있으므로 이들을 통과하는 직선을 그립니다.

오각형 MNLPS는 필수 섹션입니다.

3) 점 M, N, P를 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다.

점 M과 N은 같은 평면(BCC1)에 있으므로 이들을 통과하는 직선을 그릴 수 있습니다. 추적 MN(보이는)을 얻습니다. 평면 (BCC1)은 평면 (ADD1)과 평행하므로 (ADD1)에 있는 점 P를 통해 MN에 평행한 선을 그립니다. 점 E에서 에지 AD와 교차합니다. 트레이스 PE(보이지 않음)를 얻었습니다.

더 이상 같은 평면에 있는 점이나 평행한 평면에 있는 선과 점이 없습니다. 따라서 추가 점수를 얻으려면 이미 존재하는 라인 중 하나를 계속해야 합니다.

MN 선을 계속하면 평면(BCC1)에 있기 때문에 이 평면의 선 중 하나와 MN의 교차점을 찾아야 합니다. 이미 CC1과 B1C1과의 교차점이 있습니다. 이들은 M과 N입니다. BC와 BB1 선은 남아 있습니다. 우리는 점 K에서 교차점까지 BC와 MN을 계속합니다. 점 K는 선 BC에 있습니다. 즉, 평면(ABC)에 속하므로 이를 통해 선을 그리고 이 평면에 있는 점 E를 그릴 수 있습니다. 점 H에서 가장자리 CD와 교차합니다. EH는 추적(보이지 않음)입니다. H와 N은 같은 평면(CDD1)에 있기 때문에 직선을 그을 수 있습니다. 추적 HN(보이지 않음)을 얻습니다.

평면 (ABC)와 (A1B1C1)은 평행합니다. 그들 중 하나는 선 EH를 포함하고 다른 하나는 점 M을 포함합니다. 우리는 EH에 평행하게 M을 통과하는 선을 그릴 수 있습니다. 추적 MF(보이는)를 얻습니다. 점 M과 F를 통해 직선을 그립니다.

Hexagon MNHEPF는 필수 섹션입니다.

MN 선을 평면의 다른 선(BCC1)과 BB1의 교차점까지 계속하면 평면(ABB1)에 속하는 점 G를 얻게 됩니다. 이것은 G와 P를 통해 추적이 PF인 선을 그릴 수 있음을 의미합니다. 또한 평행 평면에 있는 점을 통해 직선을 그리면 동일한 결과에 도달합니다.

직선 PE로 작업하면 동일한 단면 MNHEPF가 제공됩니다.

4) 점 M, N, P를 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다.

여기서 우리는 같은 평면(A1B1C1)에 있는 점 M과 N을 통해 직선을 그릴 수 있습니다. 그녀의 발자국은 MN(보이는)입니다. 동일한 평면이나 평행 평면에 있는 점이 더 이상 없습니다.

우리는 라인 MN을 계속합니다. 평면(A1B1C1)에 있으므로 이 평면의 선 중 하나와만 교차할 수 있습니다. A1D1과 C1D1 - N과 M의 교차점이 이미 있습니다. 이 평면의 두 선은 A1B1과 B1C1입니다. A1B1과 MN의 교점은 S입니다. 선 A1B1에 있기 때문에 평면(ABB1)에 속합니다. 선 PS는 점 E에서 가장자리 AA1과 교차합니다. PE는 그 자취(가시적)입니다. 같은 평면(ADD1)에 있는 점 N과 E를 통해 직선을 그릴 수 있으며 그 흔적은 NE(보이지 않음)입니다. 평면(ADD1)에 직선 NE가 있고 평면에 평행한 평면(BCC1)에 점 P가 있고 점 P를 통해 NE에 평행한 직선 PL을 그릴 수 있습니다. 그것은 점 L에서 가장자리 CC1과 교차합니다. PL은 이 선의 궤적입니다(가시적). 점 M과 L은 같은 평면(CDD1)에 있으므로 직선을 그을 수 있습니다. 그녀의 발자국은 ML(보이지 않음)입니다. 오각형 MLPEN은 필수 섹션입니다.

NM 선을 양방향으로 계속하고 A1B1 선뿐만 아니라 평면(A1B1C1)에 있는 B1C1 선과도 교차점을 찾을 수 있습니다. 이 경우 점 P를 통해 한 번에 두 개의 직선을 그립니다. 하나는 점 P와 S를 통과하는 평면(ABB1)에 있고 두 번째 직선은 점 P와 R을 통해 평면(BCC1)에 있습니다. 그 후 , 동일한 평면에있는 점을 연결하는 것이 남아 있습니다 : M c L, E - N.