간단한 분수를 곱하는 방법. 분수를 정수로 곱하고 나누는 규칙
분수의 곱셈과 나눗셈.
주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
강력하게 "별로..."가 아닌 분들을 위해
그리고 "매우 ..."하는 사람들을 위해)
이 연산은 덧셈-뺄셈보다 훨씬 좋습니다! 더 쉽기 때문입니다. 분수에 분수를 곱하려면 분자(결과의 분자가 됨)와 분모(분모가 됨)를 곱해야 합니다. 그건:
예를 들어:
모든 것이 매우 간단합니다. 그리고 공통 분모를 찾지 마십시오! 여기 필요없어...
분수를 분수로 나누려면 뒤집어야 합니다. 두번째(이것은 중요합니다!) 분수와 곱하기, 즉:
예를 들어:
정수와 분수로 곱셈이나 나눗셈이 잡히면 괜찮습니다. 덧셈과 마찬가지로 분모에 단위가 있는 정수에서 분수를 만듭니다. 예를 들어:
고등학교에서는 종종 3층(또는 4층!) 분수를 다루어야 합니다. 예를 들어:
이 분수를 적절한 형태로 만드는 방법은 무엇입니까? 예, 아주 쉽습니다! 두 점을 통해 나누기를 사용합니다.
하지만 분할 순서를 잊지 마세요! 곱셈과 달리 이것은 여기서 매우 중요합니다! 물론 우리는 4:2와 2:4를 혼동하지 않을 것입니다. 그러나 3층 건물에서는 실수하기 쉽습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
첫 번째 경우(왼쪽 표현):
두 번째(오른쪽 표현):
차이를 느껴봐? 4와 1/9!
나누는 순서가 어떻게 되나요? 또는 괄호, 또는 (여기에서와 같이) 수평 대시의 길이. 눈을 개발하십시오. 대괄호나 대시가 없는 경우 다음과 같습니다.
그런 다음 나누기 곱하기 순서대로 왼쪽에서 오른쪽으로!
그리고 또 다른 매우 간단하고 중요한 트릭입니다. 학위가있는 행동에서는 도움이 될 것입니다! 예를 들어 13/15와 같이 단위를 분수로 나눕니다.
샷이 뒤집혔습니다! 그리고 그것은 항상 발생합니다. 1을 임의의 분수로 나누면 결과는 반전된 분수와 동일합니다.
그것은 분수가있는 모든 작업입니다. 문제는 매우 간단하지만 오류가 충분합니다. 메모 실용적인 조언, 그들은 (오류)가 적을 것입니다!
실용적인 팁:
1. 분수식을 다룰 때 가장 중요한 것은 정확성과 주의력! 이것은 일반적인 단어가 아니라 좋은 소원이 아닙니다! 이것은 심각한 필요입니다! 집중력과 명확성을 가지고 본격적인 작업으로 시험의 모든 계산을 수행하십시오. 머릿속으로 계산할 때 엉망으로 만드는 것보다 초안에 두 줄을 더 쓰는 것이 좋습니다.
2. 예에서 다른 유형분수 - 일반 분수로 이동합니다.
3. 모든 분수를 끝까지 줄입니다.
4. 2점으로 나눗셈을 사용하여 다단계 분수식을 일반 분수식으로 줄입니다(나눗셈 순서를 따릅니다!).
5. 우리는 단순히 분수를 뒤집어 생각 속에서 단위를 분수로 나눕니다.
완료해야 할 작업은 다음과 같습니다. 답변은 모든 작업 후에 제공됩니다. 이 주제의 자료와 실용적인 조언을 사용하십시오. 얼마나 많은 예를 올바르게 풀 수 있는지 추정하십시오. 처음으로! 계산기 없이! 그리고 올바른 결론을 도출하십시오 ...
정답을 기억하세요 두 번째 (특히 세 번째) 시간부터 획득-계산되지 않습니다!이것은 가혹한 삶입니다.
그래서, 시험 모드에서 해결 ! 그건 그렇고, 이것은 시험 준비입니다. 우리는 예를 풀고 확인하고 다음을 해결합니다. 우리는 모든 것을 결정했습니다. 처음부터 마지막까지 다시 확인했습니다. 하지만 오직 그 다음에답을 보세요.
계산하다:
당신은 결정 했습니까?
귀하와 일치하는 답변을 찾고 있습니다. 나는 유혹에서 벗어나 엉망으로 구체적으로 적어 두었습니다. 말하자면 ... 여기에 세미콜론으로 쓰여진 답변이 있습니다.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
이제 결론을 내립니다. 모든 것이 해결되면 행복합니다! 분수를 사용한 기본 계산은 문제가 되지 않습니다! 더 심각한 일을 할 수 있습니다. 그렇지 않다면...
따라서 두 가지 문제 중 하나가 있습니다. 또는 한 번에 둘 다.) 지식 부족 및 (또는) 부주의. 하지만 이것은 풀 수 있는 문제.
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함수와 도함수에 대해 알 수 있습니다.
곱셈 일반 분수
예를 들어 보겠습니다.
접시 위에 사과의 $\frac(1)(3)$ 부분이 있다고 하자. $\frac(1)(2)$ 부분을 찾아야 합니다. 필요한 부분은 분수 $\frac(1)(3)$와 $\frac(1)(2)$를 곱한 결과입니다. 두 개의 공통 분수를 곱한 결과는 공통 분수입니다.
두 개의 공통 분수를 곱하기
일반 분수의 곱셈 규칙:
분수에 분수를 곱한 결과는 분자가 곱한 분수의 분자 곱과 같고 분모가 분모의 곱과 같은 분수입니다.
예 1
일반 분수 $\frac(3)(7)$와 $\frac(5)(11)$를 곱합니다.
해결책.
일반 분수의 곱셈 규칙을 사용합시다.
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
답변:$\frac(15)(77)$
분수를 곱한 결과 취소 가능하거나 부적절한 분수가 얻어지면 이를 단순화해야 합니다.
예 2
분수 $\frac(3)(8)$와 $\frac(1)(9)$를 곱합니다.
해결책.
일반 분수를 곱하기 위해 규칙을 사용합니다.
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
그 결과, 우리는 환원 가능한 분수를 얻었습니다($3$로 나눈 기준. 분수의 분자와 분모를 $3$로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
짧은 솔루션:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
답변:$\frac(1)(24).$
분수를 곱할 때 분자와 분모를 줄여 곱을 찾을 수 있습니다. 이 경우 분수의 분자와 분모를 단순인수로 분해한 후 반복인수를 줄여 결과를 구한다.
예 3
분수 $\frac(6)(75)$와 $\frac(15)(24)$의 곱을 계산합니다.
해결책.
일반 분수를 곱하는 공식을 사용합시다.
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
분명히 분자와 분모는 숫자 $2$, $3$, $5$로 쌍으로 줄일 수 있는 숫자를 포함합니다. 분자와 분모를 간단한 인수로 분해하고 축소합니다.
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
답변:$\frac(1)(20).$
분수를 곱할 때 교환법칙을 적용할 수 있습니다.
분수에 자연수 곱하기
일반 분수에 자연수를 곱하는 규칙:
분수에 자연수를 곱한 결과는 분자는 곱한 분수의 분자와 자연수를 곱한 것과 같고 분모는 곱한 분수의 분모와 같은 분수입니다.
여기서 $\frac(a)(b)$는 공분수이고 $n$은 자연수입니다.
예 4
분수 $\frac(3)(17)$에 $4$를 곱합니다.
해결책.
일반 분수에 자연수를 곱하는 규칙을 사용합시다.
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
답변:$\frac(12)(17).$
분수의 수축성 또는 가분수에 대한 곱셈 결과를 확인하는 것을 잊지 마십시오.
실시예 5
분수 $\frac(7)(15)$에 $3$를 곱합니다.
해결책.
분수에 자연수를 곱하는 공식을 사용해 봅시다.
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
숫자로 나누는 기준에 따라 $3$) 결과 분수를 줄일 수 있는지 확인할 수 있습니다.
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
결과는 가분수입니다. 전체 부분을 살펴보겠습니다.
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
짧은 솔루션:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
분자와 분모의 숫자를 소인수로 확장하여 분수를 줄이는 것도 가능했습니다. 이 경우 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
답변:$1\frac(2)(5).$
분수에 자연수를 곱할 때 교환 법칙을 사용할 수 있습니다.
일반 분수의 나눗셈
나눗셈 연산은 곱셈의 역수이며 그 결과는 분수입니다. 이를 얻으려면 알려진 분수를 곱해야 합니다. 유명한 작품두 분수.
두 개의 공통 분수의 나눗셈
일반 분수를 나누는 규칙:분명히 결과 분수의 분자와 분모는 간단한 인수로 분해되어 다음과 같이 줄일 수 있습니다.
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
결과적으로 우리는 정수 부분을 선택하는 부적절한 분수를 얻었습니다.
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
답변:$1\frac(5)(9).$
§ 87. 분수 추가.
분수를 더하는 것은 정수를 더하는 것과 많은 유사점이 있습니다. 분수의 추가는 주어진 여러 숫자 (항)가 하나의 숫자 (합)로 결합되어 모든 단위와 항 단위의 분수를 포함한다는 사실로 구성된 작업입니다.
우리는 세 가지 경우를 차례로 고려할 것입니다.
1. 분모가 같은 분수의 덧셈.
2. 분모가 다른 분수의 덧셈.
3. 대분수의 덧셈.
1. 분모가 같은 분수의 덧셈.
예를 들어 1 / 5 + 2 / 5 .
세그먼트 AB(그림 17)를 단위로 삼아 5등분하면 이 세그먼트의 AC 부분은 세그먼트 AB의 1/5과 같고 동일한 세그먼트 CD의 일부는 동일합니다. 2/5 AB와 같습니다.
도면에서 세그먼트 AD를 취하면 3/5 AB와 같음을 알 수 있습니다. 그러나 세그먼트 AD는 정확하게 세그먼트 AC와 CD의 합입니다. 따라서 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
이러한 용어와 결과 금액을 고려하면 합계의 분자는 용어의 분자를 더하여 얻었고 분모는 변경되지 않았습니다.
이것으로부터 우리는 다음 규칙을 얻습니다. 분모가 같은 분수를 더하려면 분자를 더하고 분모는 그대로 두어야 합니다.
예를 고려하십시오.
2. 분모가 다른 분수의 덧셈.
분수를 더해 봅시다: 3/4 + 3/8 먼저 최소 공통 분모로 줄여야 합니다.
중간 링크 6/8 + 3/8은 작성할 수 없습니다. 명확성을 높이기 위해 여기에 작성했습니다.
따라서 분모가 다른 분수를 더하려면 먼저 분수를 가장 낮은 공통 분모로 가져와 분자를 더하고 공통 분모에 서명해야 합니다.
예를 고려하십시오(해당 분수에 대해 추가 인수를 작성함).
3. 대분수의 덧셈.
숫자를 더해봅시다: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
먼저 숫자의 분수 부분을 공통 분모로 가져오고 다시 작성해 보겠습니다.
이제 정수와 소수 부분을 순서대로 추가합니다.
§ 88. 분수의 빼기.
분수의 뺄셈은 정수의 뺄셈과 같은 방식으로 정의됩니다. 이것은 두 항의 합과 그 중 하나가 주어지면 다른 항을 찾는 작업입니다. 세 가지 경우를 차례로 살펴보겠습니다.
1. 분모가 같은 분수의 뺄셈.
2. 분모가 다른 분수의 뺄셈.
3. 대분수의 뺄셈.
1. 분모가 같은 분수의 뺄셈.
예를 고려하십시오.
13 / 15 - 4 / 15
세그먼트 AB(그림 18)를 하나의 단위로 가져와 15등분으로 나눕니다. 그러면 이 세그먼트의 AC 부분은 AB의 1/15가 되고 동일한 세그먼트의 AD 부분은 13/15 AB에 해당합니다. 4/15 AB와 같은 또 다른 세그먼트 ED를 따로 설정해 봅시다.
13/15에서 4/15를 빼야 합니다. 도면에서 이는 세그먼트 ED를 세그먼트 AD에서 빼야 함을 의미합니다. 결과적으로 세그먼트 AE는 세그먼트 AB의 9/15에 남게 됩니다. 따라서 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
우리가 만든 예제는 차이의 분자는 분자를 빼서 얻었고 분모는 동일하게 유지되었음을 보여줍니다.
따라서 분모가 같은 분수를 빼기 위해서는 피감수의 분자에서 빼기의 분자를 빼고 분모는 그대로 두어야 합니다.
2. 분모가 다른 분수의 뺄셈.
예. 3/4 - 5/8
먼저, 이 분수를 가장 작은 공통 분모로 줄입니다.
여기에서는 명확성을 위해 중간 링크 6/8 - 5/8을 작성했지만 앞으로는 건너뛸 수 있습니다.
따라서 분수에서 분수를 빼려면 먼저 가장 작은 공통 분모로 가져온 다음 피감수 분자에서 빼기의 분자를 빼고 공통 분모에 서명하십시오.
예를 고려하십시오.
3. 대분수의 뺄셈.
예. 10 3/4 - 7 2/3 .
피감수와 감수의 소수 부분을 최소 공통 분모로 가져와 봅시다:
우리는 전체에서 전체를, 분수에서 분수를 뺍니다. 그러나 subtrahend의 분수 부분이 피감수의 분수 부분보다 큰 경우가 있습니다. 이러한 경우 감소의 정수 부분에서 한 단위를 가져와 소수 부분이 표현되는 부분으로 나누고 감소의 소수 부분에 더해야합니다. 그런 다음 빼기는 이전 예와 같은 방식으로 수행됩니다.
§ 89. 분수의 곱셈.
분수의 곱셈을 공부할 때 다음 질문을 고려할 것입니다.
1. 분수에 정수를 곱합니다.
2. 주어진 숫자의 분수 찾기.
3. 정수에 분수를 곱합니다.
4. 분수에 분수를 곱하기.
5. 대분수의 곱셈.
6. 관심의 개념.
7. 주어진 숫자의 백분율 찾기. 순차적으로 고려해 봅시다.
1. 분수에 정수를 곱합니다.
분수에 정수를 곱하는 것은 정수에 정수를 곱하는 것과 같은 의미입니다. 분수(승수)와 정수(승수)를 곱한다는 것은 각 항이 피승수와 같고 항의 수가 승수와 같은 동일한 항의 합을 구성하는 것을 의미합니다.
따라서 1/9에 7을 곱해야 하는 경우 다음과 같이 할 수 있습니다.
동일한 분모를 가진 분수를 추가하는 것으로 작업이 축소되었기 때문에 우리는 쉽게 결과를 얻었습니다. 따라서,
이 작업을 고려하면 분수에 정수를 곱하는 것은 정수의 단위 수만큼 이 분수를 늘리는 것과 같습니다. 그리고 분수의 증가는 분자를 증가시킴으로써 이루어지기 때문에
또는 분모를 줄임으로써 
, 그런 다음 분자에 정수를 곱하거나 그러한 나눗셈이 가능한 경우 분모를 정수로 나눌 수 있습니다.
여기에서 우리는 규칙을 얻습니다.
분수에 정수를 곱하려면 분자에 이 정수를 곱하고 분모를 그대로 두거나 가능하면 분모를 이 숫자로 나누고 분자는 변경하지 않아야 합니다.
곱할 때 약어가 가능합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
2. 주어진 숫자의 분수 찾기.주어진 숫자의 일부를 찾거나 계산해야 하는 문제가 많이 있습니다. 이러한 작업과 다른 작업의 차이점은 일부 개체 또는 측정 단위의 수를 제공하고 여기에 특정 분수로 표시되는이 숫자의 일부를 찾아야한다는 것입니다. 이해를 돕기 위해 먼저 이러한 문제의 예를 들어 본 후 해결 방법을 소개합니다.
작업 1.나는 60 루블을 가졌습니다. 이 돈의 1/3을 책 구입에 썼습니다. 책값은 얼마였나요?
작업 2.열차는 도시 A와 B 사이의 거리인 300km를 운행해야 합니다. 그는 이미 그 거리의 2/3를 커버했습니다. 이것은 몇 킬로미터입니까?
작업 3.마을에는 400 채의 집이 있으며 그 중 3/4은 벽돌이고 나머지는 목조입니다. 벽돌집이 몇 개야?
다음은 주어진 숫자의 분수를 찾기 위해 처리해야 하는 많은 문제 중 일부입니다. 보통 주어진 숫자의 분수를 찾는 문제라고 합니다.
문제 해결 1. 60 루블에서. 나는 책에 1/3을 썼습니다. 따라서 책 값을 찾으려면 숫자 60을 3으로 나누어야 합니다.
문제 2 해결책.문제의 의미는 300km의 2/3을 찾아야 한다는 것입니다. 300의 처음 1/3을 계산하십시오. 이것은 300km를 3으로 나누면 달성됩니다.
300: 3 = 100(300의 1/3).
300의 2/3를 찾으려면 결과 몫을 두 배, 즉 2를 곱해야 합니다.
100 x 2 = 200(300의 2/3).
문제해결 3.여기에서 400개 중 3/4인 벽돌집의 수를 결정해야 합니다. 먼저 400개 중 1/4을 구하고,
400: 4 = 100(400의 1/4).
400의 3/4을 계산하려면 결과 몫에 3을 곱해야 합니다. 즉, 3을 곱해야 합니다.
100 x 3 = 300(400의 3/4).
이러한 문제의 해결을 기반으로 다음 규칙을 도출할 수 있습니다.
주어진 숫자의 분수 값을 찾으려면 이 숫자를 분수의 분모로 나누고 결과 몫에 분자를 곱해야 합니다.
3. 정수에 분수를 곱합니다.
이전 (§ 26) 정수의 곱셈은 동일한 용어의 추가로 이해되어야한다는 것이 확립되었습니다 (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). 이 단락 (1 단락)에서 분수에 정수를 곱하는 것은이 분수와 동일한 동일한 항의 합을 찾는 것을 의미한다는 것이 확립되었습니다.
두 경우 모두 곱셈은 동일한 용어의 합을 찾는 것으로 구성되었습니다.
이제 정수에 분수를 곱하는 것으로 넘어갑니다. 여기서 우리는 예를 들어 곱셈 9 2 / 3과 같은 것을 만날 것입니다. 곱셈의 이전 정의가 이 경우에 적용되지 않는다는 것은 매우 명백합니다. 이것은 같은 수를 더하는 것으로 그러한 곱셈을 대체할 수 없다는 사실에서 분명합니다.
이 때문에 우리는 곱셈에 대한 새로운 정의를 제시해야 할 것입니다.
정수에 분수를 곱하는 의미는 다음 정의에서 명확합니다. 정수(승수)에 분수(승수)를 곱한다는 것은 승수의 이 분수를 찾는 것을 의미합니다.
즉, 9에 2/3을 곱하면 9개의 단위 중 2/3를 찾는다는 의미입니다. 이전 단락에서 이러한 문제가 해결되었습니다. 그래서 우리가 6으로 끝난다는 것을 쉽게 알아낼 수 있습니다.
그러나 이제 흥미롭고 중요한 질문이 생깁니다. 언뜻보기에 왜 그런가요? 다양한 활동, 같은 숫자의 합을 찾는 것과 숫자의 분수를 찾는 것을 산술에서 같은 단어 "곱셈"이라고 부릅니까?
이는 이전 작업(항이 있는 숫자를 여러 번 반복)과 새 작업(숫자의 분수 찾기)이 동일한 질문에 대한 답을 제공하기 때문에 발생합니다. 이는 동질적인 질문이나 작업이 하나의 동일한 작업으로 해결된다는 고려 사항에서 여기에서 진행함을 의미합니다.
이를 이해하려면 다음 문제를 고려하십시오. “옷감 1m는 50 루블입니다. 그런 천의 4m는 얼마입니까?
이 문제는 루블 수(50)에 미터 수(4)를 곱하여 해결됩니다. 즉, 50 x 4 = 200(루블)입니다.
같은 문제를 생각해 봅시다. 그러나 천의 양은 분수로 표현됩니다. “천 1m는 50 루블입니다. 그러한 천의 3/4m는 얼마입니까?
이 문제는 또한 루블 수(50)에 미터 수(3/4)를 곱하여 해결해야 합니다.
문제의 의미를 변경하지 않고 숫자를 여러 번 변경할 수도 있습니다(예: 9/10m 또는 2 3/10m 등).
이러한 문제는 내용이 동일하고 숫자 만 다르기 때문에 문제를 해결하는 데 사용되는 작업을 동일한 단어 인 곱셈이라고합니다.
정수에 분수를 곱하는 방법은 무엇입니까?
마지막 문제에서 만난 숫자를 살펴보겠습니다.
정의에 따르면 50의 3/4를 찾아야 합니다. 먼저 50의 1/4을 찾은 다음 3/4를 찾습니다.
50의 1/4은 50/4입니다.
50의 3/4은 .
따라서.
다른 예를 고려하십시오: 12 5 / 8 = ?
12의 1/8은 12/8이고,
숫자 12의 5/8은 .
따라서,
여기에서 우리는 규칙을 얻습니다.
정수에 분수를 곱하려면 정수에 분수의 분자를 곱하여 이 곱을 분자로 하고 주어진 분수의 분모를 분모로 부호화해야 합니다.
이 규칙은 문자를 사용하여 작성합니다.
이 규칙을 완전히 명확하게 하기 위해 분수는 몫으로 간주될 수 있음을 기억해야 합니다. 따라서 찾은 규칙을 § 38에 명시된 몫으로 숫자를 곱하는 규칙과 비교하는 것이 유용합니다.
곱셈을 수행하기 전에 다음을 수행해야 함을 기억해야 합니다(가능한 경우). 상처, 예를 들어:
4. 분수에 분수를 곱하기.분수에 분수를 곱하는 것은 정수에 분수를 곱하는 것과 같은 의미입니다. 즉, 분수에 분수를 곱할 때 첫 번째 분수(승수)부터 승수에서 분수를 찾아야 합니다.
즉, 3/4에 1/2(절반)을 곱하면 3/4의 절반을 찾는다는 의미입니다.
분수에 분수를 어떻게 곱합니까?
예를 들어보겠습니다: 3/4 곱하기 5/7. 즉, 3/4에서 5/7을 찾아야 합니다. 3/4의 처음 1/7을 찾은 다음 5/7을 찾습니다.
3/4의 1/7은 다음과 같이 표현됩니다.
5/7 숫자 3/4는 다음과 같이 표현됩니다.
따라서,
또 다른 예: 5/8 곱하기 4/9.
5/8 중 1/9은 ,
4/9 숫자 5/8은 .
따라서, 
이러한 예에서 다음 규칙을 추론할 수 있습니다.
분수에 분수를 곱하려면 분자에 분자를, 분모에 분모를 곱하여 첫 번째 곱을 분자로, 두 번째 곱을 분모로 만들어야 합니다.
이것은 규칙 일반적인 견해다음과 같이 작성할 수 있습니다.
곱할 때 (가능한 경우) 줄일 필요가 있습니다. 예를 고려하십시오.
5. 대분수의 곱셈.대분수는 가분수로 쉽게 대체될 수 있기 때문에 대분수를 곱할 때 주로 이런 상황이 사용됩니다. 이는 피승수, 승수 또는 두 인수가 대분수로 표현되는 경우 가분수로 대체됨을 의미합니다. 예를 들어 2 1/2 및 3 1/5와 같은 혼합 숫자를 곱합니다. 각각을 가분수로 바꾼 다음 분수에 분수를 곱하는 규칙에 따라 결과 분수를 곱합니다.
규칙.대분수를 곱하려면 먼저 가분수로 변환한 다음 분수에 분수를 곱하는 법칙에 따라 곱해야 합니다.
메모.인수 중 하나가 정수이면 다음과 같이 분포 법칙에 따라 곱셈을 수행할 수 있습니다.
6. 관심의 개념.문제를 풀 때, 다양한 실제 계산을 할 때, 우리는 모든 종류의 분수를 사용합니다. 그러나 우리는 많은 양들이 어떤 것도 허용하지 않고 그것들에 대한 자연적인 세분을 허용한다는 것을 명심해야 합니다. 예를 들어, 루블의 100분의 1(1/100)을 취할 수 있으며, 1페니가 되고, 200분의 1은 2코펙, 300분의 1은 3코펙이 됩니다. 루블의 1/10을 가져갈 수 있습니다. "10 코펙 또는 10센트입니다. 루블의 1/4, 즉 25코펙, 반 루블, 즉 50코펙(50코펙)을 가져갈 수 있습니다. 예를 들어 2/7 루블은 루블이 7분의 1로 나뉘지 않기 때문입니다.
무게의 측정 단위인 킬로그램은 무엇보다도 1/10kg 또는 100g과 같은 십진수 세분을 허용하고 1/6, 1/11, 1/과 같은 킬로그램의 분수를 허용합니다. 13은 흔하지 않습니다.
일반적으로 우리의 (미터법) 측정은 십진법이며 십진수 세분을 허용합니다.
그러나 동일한(균일한) 수량 분할 방법을 사용하는 것이 매우 다양한 경우에 매우 유용하고 편리하다는 점에 유의해야 합니다. 수년간의 경험에 따르면 그러한 정당한 분할은 "100분의 1" 분할입니다. 인간 실천의 가장 다양한 영역과 관련된 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
1. 책의 가격이 이전 가격의 100분의 12로 떨어졌습니다.
예. 책의 이전 가격은 10 루블입니다. 그녀는 1 루블 하락했습니다. 20콥.
2. 저축은행은 예치금의 2/100을 연중 예금자에게 지급한다.
예. 500 루블을 현금 데스크에 넣고이 금액의 연간 수입은 10 루블입니다.
3. 한 학교의 졸업생 수는 전체 학생수의 100분의 5로 하였다.
예 1,200명의 학생만이 이 학교에서 공부했고 그 중 60명이 학교를 졸업했습니다.
숫자의 100분의 1을 백분율이라고 합니다..
"퍼센트"라는 단어는 라틴어에서 차용되었으며 어근 "센트"는 100을 의미합니다. 전치사(pro centum)와 함께 이 단어는 "백을 위해"를 의미합니다. 이 표현의 의미는 처음에 고대 로마이자는 채무자가 대출 기관에 "백분의 1"로 지불한 돈이었습니다. "cent"라는 단어는 centner (백 킬로그램), centimeter (센티미터라고 함)와 같은 친숙한 단어로 들립니다.
예를 들어, 지난 한 달 동안 해당 공장에서 생산한 모든 제품의 1/100을 생산했다고 말하는 대신 지난 한 달 동안 해당 공장에서 불량품의 1%를 생산했다고 말할 수 있습니다. 공장이 기존 계획보다 4/100 더 많은 제품을 생산했다고 말하는 대신 공장이 계획을 4% 초과했다고 말할 것입니다.
위의 예는 다르게 표현할 수 있습니다.
1. 책 가격이 이전 가격보다 12% 하락했습니다.
2. 저축은행은 저축한 금액의 2%를 예금자에게 지급합니다.
3. 한 학교의 졸업생 수는 전체 학생 수의 5%였다.
글자를 줄이려면 "백분율"이라는 단어 대신 % 기호를 쓰는 것이 일반적입니다.
그러나 % 기호는 일반적으로 계산에 쓰지 않고 문제 설명과 최종 결과에 쓸 수 있음을 기억해야 합니다. 계산을 할 때 이 아이콘으로 정수 대신 분모가 100인 분수를 써야 합니다.
지정된 아이콘이 있는 정수를 분모가 100인 분수로 바꿀 수 있어야 합니다.
반대로 분모가 100인 분수 대신 표시된 아이콘으로 정수를 쓰는 데 익숙해져야 합니다.
7. 주어진 숫자의 백분율 찾기.
작업 1.학교는 200 입방 미터를 받았습니다. 자작나무 장작이 30%를 차지합니다. 자작나무가 얼마나 있었습니까?
이 문제의 의미는 자작나무 장작이 학교에 전달된 장작의 일부일 뿐이고 이 부분은 30/100의 분수로 표현된다는 것입니다. 그래서, 우리는 숫자의 분수를 찾는 작업에 직면해 있습니다. 이를 해결하려면 200에 30/100을 곱해야 합니다(숫자의 분수를 찾는 작업은 숫자에 분수를 곱하여 해결됨).
따라서 200의 30%는 60입니다.
이 문제에서 발생하는 분수 30/100은 10으로 줄일 수 있습니다. 처음부터 이 축소를 수행하는 것이 가능합니다. 문제에 대한 해결책은 변하지 않을 것입니다.
작업 2.캠프에는 다양한 연령대의 어린이 300명이 있었습니다. 11세 어린이는 21%, 12세 어린이는 61%, 마지막으로 13세 어린이는 18%였습니다. 캠프에는 각 연령의 어린이가 몇 명입니까?
이 문제에서는 세 가지 계산을 수행해야 합니다. 즉, 11세, 12세, 마지막으로 13세 자녀의 수를 연속적으로 구해야 합니다.
따라서 여기에서 숫자의 분수를 세 번 찾아야 합니다. 해보자:
1) 11세 어린이는 몇 명이었습니까?
2) 12세 어린이는 몇 명입니까?
3) 13세 어린이는 몇 명입니까?
문제를 푼 후에 찾은 숫자를 더하는 것이 유용합니다. 합계는 300이어야 합니다.
63 + 183 + 54 = 300
문제의 조건에 주어진 백분율의 합이 100이라는 사실에도 주의해야 합니다.
21% + 61% + 18% = 100%
이것은 제안합니다 총 수캠프에 있던 아이들은 100%로 간주되었습니다.
3 아 다 차 3.노동자는 한 달에 1,200 루블을 받았습니다. 이 중 65%는 음식에, 6%는 아파트와 난방에, 4%는 가스, 전기, 라디오에, 10%는 문화적 필요에, 15%는 저축했습니다. 작업에 표시된 필요에 얼마나 많은 돈이 사용되었습니까?
이 문제를 풀려면 숫자 1,200의 분수를 5번 찾아야 합니다.
1) 음식에 얼마나 많은 돈을 쓰나요? 작업에 따르면 이 비용은 전체 수입의 65%, 즉 1,200의 65/100입니다. 계산을 해봅시다.
2) 난방이 있는 아파트에 얼마를 지불했습니까? 이전 것과 같이 논증하면 다음과 같은 계산에 도달합니다.
3) 가스, 전기, 라디오에 얼마를 지불했습니까?
4) 문화적 필요에 얼마나 많은 돈이 쓰였습니까?
5) 근로자는 얼마나 많은 돈을 저축했습니까?
확인을 위해 이 5가지 질문에서 찾은 숫자를 추가하는 것이 유용합니다. 금액은 1,200 루블이어야합니다. 모든 수익은 100%로 간주되며 문제 설명에 제공된 백분율을 더하면 쉽게 확인할 수 있습니다.
우리는 세 가지 문제를 해결했습니다. 이 작업은 다른 일 (학교 장작 배달, 연령대가 다른 어린이 수, 근로자 비용)에 관한 것임에도 불구하고 같은 방식으로 해결되었습니다. 이것은 모든 작업에서 주어진 숫자의 몇 퍼센트를 찾아야 했기 때문에 발생했습니다.
§ 90. 분수의 나눗셈.
분수의 나눗셈을 공부할 때 다음 질문을 고려할 것입니다.
1. 정수를 정수로 나눕니다.
2. 분수를 정수로 나누기
3. 정수를 분수로 나눕니다.
4. 분수를 분수로 나눕니다.
5. 대분수의 나눗셈.
6. 분수가 주어진 숫자 찾기.
7. 백분율로 숫자 찾기.
순차적으로 고려해 봅시다.
1. 정수를 정수로 나눕니다.
정수 부분에서 지적했듯이 나눗셈은 두 요소(피제수)와 이들 요소 중 하나(제수)의 곱이 주어지면 다른 요소가 발견된다는 사실로 구성되는 동작입니다.
정수의 부서에서 고려한 정수로 정수를 나누는 것입니다. 나머지가 없는 나눗셈 또는 "완전히"(150:10 = 15), 나머지가 있는 나눗셈(100:9 = 11 및 나머지는 1)의 두 가지 나눗셈 사례를 만났습니다. 그러므로 우리는 정수의 영역에서 피제수가 항상 제수와 정수의 곱이 아니기 때문에 정확한 나눗셈이 항상 가능한 것은 아니라고 말할 수 있습니다. 분수로 곱셈을 도입한 후에는 가능한 모든 정수 나누기를 고려할 수 있습니다(0으로 나누기만 제외됨).
예를 들어, 7을 12로 나눈다는 것은 12를 곱하면 7이 되는 숫자를 찾는 것을 의미합니다. 이 숫자는 7/12 12 = 7이므로 분수 7/12입니다. 또 다른 예: 14: 25 = 14/25, 14/25 25 = 14이기 때문입니다.
따라서 정수를 정수로 나누려면 분자가 피제수와 같고 분모가 약수인 분수를 만들어야 합니다.
2. 분수를 정수로 나눕니다.
분수 6 / 7을 3으로 나눕니다. 위에 주어진 나눗셈의 정의에 따라 곱(6 / 7)과 인수(3) 중 하나가 있습니다. 3을 곱하면 얻을 수 있는 두 번째 인수를 찾아야 합니다. 이 일 6/7. 분명히 이 제품보다 3배는 작아야 합니다. 이것은 우리 앞에 놓인 과제가 분수 6/7을 3배로 줄이는 것이었다는 것을 의미합니다.
우리는 이미 분자를 줄이거나 분모를 늘림으로써 분수를 줄일 수 있다는 것을 알고 있습니다. 따라서 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
안에 이 경우분자 6은 3으로 나누어 떨어지므로 분자를 3배로 줄여야 합니다.
또 다른 예를 들어 보겠습니다. 5 / 8을 2로 나눈 값입니다. 여기에서 분자 5는 2로 나눌 수 없으므로 분모에 이 숫자를 곱해야 합니다.
이를 바탕으로 다음과 같은 규칙을 말할 수 있습니다. 분수를 정수로 나누려면 분수의 분자를 해당 정수로 나누어야 합니다.(가능하다면), 동일한 분모를 남기거나 분수의 분모에 이 숫자를 곱하여 동일한 분자를 남깁니다.
3. 정수를 분수로 나눕니다.
5를 1/2로 나누어야 합니다. 즉, 1/2을 곱한 후 곱이 5가 되는 숫자를 찾으십시오. 분명히 이 숫자는 5보다 커야 합니다. 숫자에 적절한 분수를 곱할 때 곱은 피승수보다 작아야 합니다. 더 명확하게 하기 위해 다음과 같이 작업을 작성해 보겠습니다. 5: 1 / 2 = 엑스 , x 1 / 2 \u003d 5입니다.
우리는 그런 숫자를 찾아야 합니다. 엑스 , 1/2을 곱하면 5가 됩니다. 어떤 숫자에 1/2을 곱한다는 것은 이 숫자의 1/2을 찾는 것을 의미하므로 따라서 알 수 없는 숫자의 1/2이 됩니다. 엑스 5이고 정수 엑스 두 배, 즉 5 2 \u003d 10.
따라서 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
점검 해보자: 
한 가지 예를 더 생각해 보겠습니다. 6을 2/3로 나누도록 합시다. 먼저 그림을 사용하여 원하는 결과를 찾아봅시다(그림 19).
그림 19
일부 단위의 6에 해당하는 선분 AB를 그리고 각 단위를 3등분으로 나눕니다. 각 단위에서 전체 세그먼트 AB의 3/3은 6배 더 큽니다. e. 18/3. 우리는 작은 괄호의 도움으로 연결합니다 18 얻은 세그먼트 2; 9개의 세그먼트만 있을 것입니다. 이는 분수 2/3이 b 단위에 9번 포함되어 있음을 의미합니다. 즉, 분수 2/3은 6 정수 단위보다 9배 작습니다. 따라서,
계산만 사용하여 도면 없이 이 결과를 얻는 방법은 무엇입니까? 우리는 다음과 같이 주장할 것입니다: 6을 2/3로 나누어야 합니다. 즉, 6에 2/3이 몇 번 포함되어 있는지에 대한 질문에 답해야 합니다. 6에 포함되어 있습니까? 전체 단위 - 3/3, 6 단위 - 6 배 이상, 즉 18/3; 이 숫자를 찾으려면 6에 3을 곱해야 합니다. 따라서 1/3은 b 단위에 18번 포함되고 2/3은 b 단위에 18번이 아니라 절반의 배, 즉 18: 2 = 9입니다. . 따라서 6을 2/3로 나눌 때 다음과 같이 했습니다.
여기에서 정수를 분수로 나누는 규칙을 얻습니다. 정수를 분수로 나누려면 이 정수에 주어진 분수의 분모를 곱하고 이 곱을 분자로 만들어 주어진 분수의 분자로 나누어야 합니다.
문자를 사용하여 규칙을 작성합니다.
이 규칙을 완전히 명확하게 하기 위해 분수는 몫으로 간주될 수 있음을 기억해야 합니다. 따라서 찾은 규칙을 § 38에 명시된 몫으로 숫자를 나누는 규칙과 비교하는 것이 유용합니다. 거기에서 동일한 공식을 얻었습니다.
나눌 때 약어가 가능합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
4. 분수를 분수로 나눕니다.
3/4을 3/8로 나누도록 하십시오. 나누기 결과로 얻게 될 숫자는 무엇을 나타냅니까? 그것은 분수 3/8이 분수 3/4에 몇 번이나 포함되어 있는지에 대한 질문에 답할 것입니다. 이 문제를 이해하기 위해 그림을 그려 봅시다(그림 20).
선분 AB를 하나의 단위로 삼아 4등분하고 3등분으로 표시합니다. 세그먼트 AC는 세그먼트 AB의 3/4과 같습니다. 이제 4개의 초기 세그먼트를 각각 반으로 나누면 세그먼트 AB는 8개의 동일한 부분으로 나뉘며 각 부분은 세그먼트 AB의 1/8과 같습니다. 이러한 세그먼트 3개를 호로 연결하면 각 세그먼트 AD 및 DC는 세그먼트 AB의 3/8과 같습니다. 그림은 3/8에 해당하는 세그먼트가 정확히 2번 3/4에 해당하는 세그먼트에 포함되어 있음을 보여줍니다. 따라서 나누기 결과는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
3 / 4: 3 / 8 = 2
한 가지 예를 더 생각해 보겠습니다. 15/16을 3/32로 나누도록 하십시오.
우리는 다음과 같이 추론할 수 있습니다. 3/32를 곱한 후 15/16과 같은 곱을 제공하는 숫자를 찾아야 합니다. 다음과 같이 계산을 작성해 봅시다.
15 / 16: 3 / 32 = 엑스
3 / 32 엑스 = 15 / 16
3/32 모르는 번호 엑스 메이크업 15 / 16
1/32 알 수 없는 번호 엑스 이다 ,
32/32 숫자 엑스 조립 .
따라서,
따라서 분수를 분수로 나누려면 첫 번째 분수의 분자에 두 번째 분모를 곱하고 첫 번째 분수의 분모에 두 번째 분자를 곱하여 첫 번째 곱을 분자와 분수로 만들어야 합니다. 두 번째 분모.
문자를 사용하여 규칙을 작성해 봅시다.
나눌 때 약어가 가능합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
5. 대분수의 나눗셈.
대분수를 나눌 때는 먼저 가분수로 변환한 다음, 그 결과로 나오는 분수를 분수 나누기 규칙에 따라 나누어야 합니다. 예를 고려하십시오.
대분수를 가분수로 변환:
이제 나누자:
따라서 대분수를 나누기 위해서는 가분수로 변환한 다음 분수 나누기 규칙에 따라 나누어야 합니다.
6. 분수가 주어진 숫자 찾기.
분수에 대한 다양한 작업 중에는 때때로 알려지지 않은 숫자의 일부 분수 값이 주어지고 이 숫자를 찾아야 하는 작업이 있습니다. 이러한 유형의 문제는 주어진 숫자의 분수를 찾는 문제와 정반대입니다. 거기에 숫자가 주어졌고 이 숫자의 일부를 찾아야 했습니다. 여기서는 숫자의 일부가 주어지고 이 숫자 자체를 찾아야 합니다. 이러한 유형의 문제에 대한 솔루션으로 전환하면 이 아이디어가 더욱 명확해집니다.
작업 1.첫째 날, 글레이저는 건축된 집 전체 창의 1/3에 해당하는 50개의 창에 유리를 끼웠습니다. 이 집에는 창문이 몇 개입니까?
해결책.문제는 50개의 유리창이 집 전체 창의 1/3을 차지한다는 것입니다.
그 집에는 150개의 창문이 있었다.
작업 2.그 가게는 1,500kg의 밀가루를 팔았는데, 이는 가게 전체 밀가루 재고의 3/8에 해당하는 양이다. 가게의 초기 밀가루 공급량은 얼마였습니까?
해결책.판매된 밀가루 1,500kg이 총 재고량의 3/8을 차지한다는 것은 문제의 조건에서 알 수 있습니다. 이것은이 주식의 1/8이 3 배 적다는 것을 의미합니다. 즉, 계산하려면 1500을 3 배 줄여야합니다.
1,500: 3 = 500(주식의 1/8).
분명히 전체 재고는 8배 더 커질 것입니다. 따라서,
500 8 \u003d 4,000(kg).
상점의 밀가루의 초기 공급량은 4,000kg이었습니다.
이 문제를 고려하여 다음과 같은 규칙을 추론할 수 있습니다.
분수의 주어진 값으로 숫자를 찾으려면 이 값을 분수의 분자로 나누고 결과에 분수의 분모를 곱하면 충분합니다.
우리는 분수가 주어진 숫자를 찾는 두 가지 문제를 해결했습니다. 마지막 문제에서 특히 잘 볼 수 있듯이 이러한 문제는 나눗셈(한 부분이 발견된 경우)과 곱셈(전체 숫자가 발견된 경우)의 두 가지 작업으로 해결됩니다.
그러나 분수의 나눗셈을 공부한 후에는 위의 문제를 분수로 나누는 한 가지 작업으로 해결할 수 있습니다.
예를 들어 마지막 작업은 다음과 같은 한 가지 작업으로 해결할 수 있습니다.
앞으로 우리는 한 번의 작업 인 나눗셈에서 분수로 숫자를 찾는 문제를 해결할 것입니다.
7. 백분율로 숫자 찾기.
이 작업에서는 이 숫자의 몇 퍼센트를 알고 있는 숫자를 찾아야 합니다.
작업 1.올해 초 저축 은행에서 60 루블을 받았습니다. 1년 전에 저축한 금액의 소득. 나는 저축은행에 얼마나 많은 돈을 넣었는가? (캐시 오피스는 예금자에게 연간 수입의 2%를 줍니다.)
문제의 의미는 내가 저축은행에 일정 금액을 넣어두고 1년 동안 거기에 있었다는 것이다. 1년 후 나는 그녀에게서 60루블을 받았습니다. 수입은 내가 넣은 돈의 2/100입니다. 얼마나 많은 돈을 입금 했습니까?
따라서 두 가지 방법(루블과 분수)으로 표현되는 이 돈의 일부를 알면 아직 알려지지 않은 전체 금액을 찾아야 합니다. 이것은 분수가 주어진 숫자를 찾는 일반적인 문제입니다. 다음 작업은 부서별로 해결됩니다.
그래서 저축 은행에 3,000 루블이 입금되었습니다.
작업 2. 2주 만에 어부들은 512톤의 물고기를 준비하여 월간 계획을 64% 달성했습니다. 그들의 계획은 무엇이었습니까?
문제의 상태로 미루어 보아 어부들이 계획의 일부를 완성한 것으로 알려졌다. 이 부분은 계획의 64%인 512톤에 해당합니다. 계획에 따라 몇 톤의 물고기를 수확해야 하는지 우리는 모릅니다. 문제의 해결책은 이 숫자를 찾는 것입니다.
이러한 작업은 다음을 나누어 해결합니다.
따라서 계획에 따르면 800톤의 생선을 준비해야 합니다.
작업 3.기차는 리가에서 모스크바로 갔다. 그가 276km를 통과했을 때 승객 중 한 명이 지나가는 차장에게 이미 얼마나 여행했는지 물었습니다. 이에 차장은 “이미 전체 여정의 30%를 진행했습니다.”라고 대답했습니다. 리가에서 모스크바까지의 거리는 얼마입니까?
리가에서 모스크바까지의 여정의 30%가 276km라는 문제의 조건에서 알 수 있습니다. 우리는 이 도시들 사이의 전체 거리를 찾아야 합니다. 즉, 이 부분의 경우 전체를 찾아야 합니다.
§ 91. 상호 번호. 나눗셈을 곱셈으로 대체합니다.
분수 2/3을 취하여 분자를 분모 자리로 재배치하면 3/2이 됩니다. 우리는 이것의 역수인 분수를 얻었습니다.
주어진 분수의 역수를 얻으려면 분모 자리에 분자를, 분자 자리에 분모를 넣어야합니다. 이런 식으로 우리는 분수의 역수인 분수를 얻을 수 있습니다. 예를 들어:
3/4 , 역방향 4/3 ; 5/6 , 반전 6/5
첫 번째의 분자가 두 번째의 분모이고 첫 번째의 분모가 두 번째의 분자라는 성질을 가지는 두 분수를 분수라고 한다. 서로 반대.
이제 어떤 분수가 1/2의 역수인지 생각해 봅시다. 분명히 2 / 1 또는 2가 될 것입니다. 이것의 역수를 찾으면 정수를 얻습니다. 그리고 이 경우는 고립된 것이 아닙니다. 반대로 분자가 1(일)인 모든 분수의 경우 역수는 정수가 됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
1/3, 역 3; 1/5, 리버스 5
역수를 찾을 때 정수도 만났기 때문에 앞으로는 역수에 대해 이야기하지 않고 역수에 대해 이야기하겠습니다.
정수의 역수를 쓰는 방법을 알아 봅시다. 분수의 경우 이것은 간단하게 해결됩니다. 분자 대신 분모를 넣어야 합니다. 같은 방식으로 정수의 역수를 얻을 수 있습니다. 모든 정수는 분모가 1일 수 있기 때문입니다. 따라서 7 \u003d 7 / 1이기 때문에 7의 역수는 1/7이 됩니다. 숫자 10의 경우 10 = 10/1이므로 그 반대는 1/10입니다.
이 아이디어는 다른 방식으로 표현할 수 있습니다. 주어진 숫자의 역수는 1을 주어진 번호 . 이 진술은 정수뿐만 아니라 분수에도 적용됩니다. 실제로, 분수 5/9의 역수인 숫자를 쓰고 싶다면 1을 취하여 5/9로 나눌 수 있습니다.
이제 하나만 지적하자 재산우리에게 유용할 상호 역수: 서로 역수의 곱은 1과 같습니다.물론:
이 속성을 사용하여 다음과 같은 방법으로 역수를 찾을 수 있습니다. 8의 역수를 구해봅시다.
문자로 표시하자 엑스 , 다음 8 엑스 = 1, 따라서 엑스 = 1/8 . 7/12의 역수인 다른 숫자를 찾아보자. 엑스 , 다음 7/12 엑스 = 1, 따라서 엑스 = 1:7 / 12 또는 엑스 = 12 / 7 .
여기서 우리는 분수의 나눗셈에 대한 정보를 약간 보충하기 위해 역수의 개념을 도입했습니다.
숫자 6을 3/5로 나누면 다음과 같이 됩니다.
표현에 특별한 주의를 기울이고 주어진 표현과 비교하십시오: .
이전 표현과 연결하지 않고 별도로 표현을 취하면 6을 3/5로 나누거나 6을 5/3로 곱하는 것에서 유래 한 문제를 해결할 수 없습니다. 두 경우 모두 결과는 동일합니다. 그래서 우리는 말할 수 있습니다 한 숫자를 다른 숫자로 나누는 것은 피제수에 약수의 역수를 곱하는 것으로 대체될 수 있습니다.
아래에 제시된 예는 이러한 결론을 완전히 확인합니다.
분수에 분수를 곱하거나 분수에 숫자를 곱하려면 간단한 규칙을 알아야 합니다. 이제 이러한 규칙을 자세히 분석하겠습니다.
분수에 분수를 곱합니다.
분수에 분수를 곱하려면 분자의 곱과 이러한 분수의 분모의 곱을 계산해야 합니다.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
예를 고려하십시오.
첫 번째 분수의 분자와 두 번째 분수의 분자를 곱하고 첫 번째 분수의 분모와 두 번째 분수의 분모도 곱합니다.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ 곱하기 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\)
분수 \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\)는 3으로 줄었습니다.
분수에 숫자를 곱합니다.
규칙부터 시작하겠습니다 모든 숫자는 분수 \(\bf n = \frac(n)(1)\) 로 나타낼 수 있습니다.
이 규칙을 곱셈에 사용합시다.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
가분수 \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) 대분수로 변환.
다시 말해서, 숫자에 분수를 곱할 때 숫자에 분자를 곱하고 분모는 변경하지 마십시오.예:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
혼합 분수의 곱셈.
대분수를 곱하려면 먼저 각 대분수를 가분수로 나타낸 다음 곱셈 법칙을 사용해야 합니다. 분자는 분자와 곱해지고, 분모는 분모와 곱해집니다.
예:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
역 분수와 숫자의 곱셈.
분수 \(\bf \frac(a)(b)\)는 a≠0,b≠0일 때 분수 \(\bf \frac(b)(a)\)의 역수입니다.
분수 \(\bf \frac(a)(b)\) 및 \(\bf \frac(b)(a)\)를 역수라고 합니다. 역 분수의 곱은 1입니다.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
예:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
관련 질문:
분수에 분수를 곱하는 방법?
답변: 일반 분수의 곱은 분자와 분자, 분모와 분모의 곱입니다. 대분수의 곱을 얻으려면 대분수를 가분수로 변환하고 규칙에 따라 곱해야 합니다.
분모가 다른 분수를 곱하는 방법은 무엇입니까?
대답: 그것들이 동일하든지 상관없습니다. 다른 분모분수의 경우 분자와 분자, 분모와 분모의 곱을 찾는 규칙에 따라 곱셈이 발생합니다.
혼합 분수를 곱하는 방법?
답변: 먼저 대분수를 가분수로 변환한 다음 곱셈 규칙에 따라 곱을 구해야 합니다.
숫자에 분수를 곱하는 방법은 무엇입니까?
답변: 숫자에 분자를 곱하고 분모는 그대로 둡니다.
예 #1:
제품 계산: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
해결책:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( 빨강) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
예 #2:
숫자와 분수의 곱을 계산합니다: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
해결책:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
예 #3:
\(\frac(1)(3)\)의 역수를 쓰시겠습니까?
답: \(\frac(3)(1) = 3\)
예 #4:
두 역분수의 곱을 계산합니다: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
해결책:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
예 #5:
상호 역분수는 다음과 같을 수 있습니다.
a) 두 고유 분수;
b) 동시에 가분수;
c) 동시에 자연수?
해결책:
a) 예를 사용하여 첫 번째 질문에 답해 봅시다. 분수 \(\frac(2)(3)\)는 적절하고 역수는 \(\frac(3)(2)\) - 가분수입니다. 답변: 아니요.
b) 분수의 거의 모든 열거형에서 이 조건은 충족되지 않지만 동시에 가분수라는 조건을 만족하는 숫자도 있습니다. 예를 들어, 가분수는 \(\frac(3)(3)\) 이고 역수는 \(\frac(3)(3)\)입니다. 우리는 두 개의 가분수를 얻습니다. 대답: 분자와 분모가 같은 특정 조건에서는 항상 그런 것은 아닙니다.
c) 자연수는 예를 들어 1, 2, 3, ...과 같이 셀 때 사용하는 숫자입니다. 숫자 \(3 = \frac(3)(1)\)를 취하면 그 역수는 \(\frac(1)(3)\)가 됩니다. 분수 \(\frac(1)(3)\)는 자연수가 아닙니다. 모든 숫자를 살펴보면 역수는 1을 제외한 항상 분수입니다. 숫자 1을 취하면 역수는 \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1)이 됩니다. = 1\). 숫자 1은 자연수입니다. 답변: 이 숫자가 1인 경우 한 경우에만 동시에 자연수가 될 수 있습니다.
예 #6:
대분수 곱하기: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
해결책:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
예 #7:
두 개의 역수가 동시에 대분수가 될 수 있습니까?
예를 들어 보겠습니다. 대분수 \(1\frac(1)(2)\)의 역수를 찾아 가분수 \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . 역수는 \(\frac(2)(3)\) 와 같습니다. 분수 \(\frac(2)(3)\)는 진분수입니다. 답: 두 개의 역분수는 동시에 대분수가 될 수 없습니다.
기원전 5세기에 고대 그리스 철학자 엘레아의 제논은 그의 유명한 아포리아를 공식화했는데, 그 중 가장 유명한 것은 "아킬레스와 거북이" 아포리아입니다. 소리는 다음과 같습니다.아킬레우스가 거북이보다 10배 더 빨리 달리고 천 보 뒤에 있다고 가정해 봅시다. 아킬레스가 이 거리를 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 100보를 기어갑니다. 아킬레스가 100보를 뛰면 거북이는 10보를 더 기어갑니다. 그 과정은 무한정 계속될 것이고, 아킬레스는 결코 거북이를 따라잡지 못할 것입니다.
이 추론은 모든 후속 세대에게 논리적 충격이되었습니다. 아리스토텔레스, 디오게네스, 칸트, 헤겔, 길버트... 그들 모두는 어떤 식으로든 제논의 아포리아로 여겨졌습니다. 충격이 너무 강해서 " ... 현재 토론이 계속되고 있으며 과학계는 아직 역설의 본질에 대한 공통된 의견에 도달하지 못했습니다 ... 수학적 분석, 집합 이론, 새로운 물리적 및 철학적 접근 방식이 문제 연구에 참여했습니다 ; 그들 중 어느 것도 문제에 대해 보편적으로 받아들여지는 해결책이 되지 못했습니다..."[Wikipedia,"Zeno의 Aporias "]. 모두가 자신이 속고 있다는 것을 이해하지만 속임수가 무엇인지 이해하는 사람은 없습니다.
수학의 관점에서 아포리아의 Zeno는 가치에서 로의 전환을 명확하게 보여주었습니다. 이 전환은 상수 대신 적용을 의미합니다. 내가 이해하는 한 적용의 수학적 장치 변수 단위측정이 아직 개발되지 않았거나 Zeno의 아포리아에 적용되지 않았습니다. 우리의 일반적인 논리를 적용하면 함정에 빠지게 됩니다. 우리는 생각의 관성에 의해 일정한 시간 단위를 상호에 적용합니다. 물리적인 관점에서 보면 아킬레스가 거북이를 따라잡는 순간 시간이 느려져 완전히 멈춘 것처럼 보입니다. 시간이 멈춘다면 아킬레스는 더 이상 거북이를 따라잡을 수 없습니다.
우리가 익숙한 논리를 뒤집으면 모든 것이 제자리에 들어갑니다. 아킬레스는 일정한 속도로 달린다. 경로의 각 후속 세그먼트는 이전 세그먼트보다 10배 더 짧습니다. 따라서 그것을 극복하는 데 소요되는 시간은 이전보다 10 배 적습니다. 이런 상황에서 '무한'이라는 개념을 적용한다면 '아킬레우스는 무한히 빠르게 거북이를 추월할 것이다'라고 말하는 것이 맞을 것이다.
이 논리적 함정을 피하는 방법은 무엇입니까? 일정한 시간 단위를 유지하고 역수 값으로 전환하지 마십시오. Zeno의 언어로 보면 다음과 같습니다.
아킬레스가 천 보를 달리는 데 걸리는 시간에 거북이는 같은 방향으로 백 보를 기어갑니다. 첫 번째와 같은 다음 시간 간격 동안 아킬레스는 또 다른 천 보를 달리고 거북이는 백 보를 기어갑니다. 이제 아킬레스는 거북이보다 800보 앞서 있습니다.
이 접근 방식은 논리적 역설 없이 현실을 적절하게 설명합니다. 그러나 이것은 문제에 대한 완전한 해결책이 아닙니다. 빛의 속도의 극복 불가능성에 대한 아인슈타인의 진술은 Zeno의 아포리아 "아킬레스와 거북이"와 매우 유사합니다. 우리는 아직 이 문제를 연구하고 재고하고 해결하지 못했습니다. 그리고 해결책은 무한히 많은 숫자가 아니라 측정 단위로 찾아야 합니다.
Zeno의 또 다른 흥미로운 아포리아는 날아가는 화살에 대해 알려줍니다.
날아가는 화살은 움직이지 않는데, 매 순간 정지해 있기 때문이고, 매 순간 정지하고 있기 때문에 항상 정지해 있기 때문이다.
이 아포리아에서 논리적 역설그것은 매우 간단하게 극복됩니다. 매 순간 날아 다니는 화살이 실제로는 움직임 인 공간의 다른 지점에 있음을 명확히하는 것으로 충분합니다. 여기서 주목해야 할 또 다른 점이 있습니다. 도로 위의 자동차 사진 한 장으로는 자동차의 이동 사실이나 자동차까지의 거리를 판단하는 것이 불가능합니다. 자동차의 이동 사실을 확인하려면 같은 지점에서 서로 다른 시점에서 촬영한 두 장의 사진이 필요하지만 거리를 확인하는 데 사용할 수는 없습니다. 자동차까지의 거리를 결정하려면 다음에서 찍은 두 장의 사진이 필요합니다. 다른 점한 시점에서 공간이지만 이동 사실을 결정하는 것은 불가능합니다 (당연히 계산을위한 추가 데이터가 여전히 필요하며 삼각법이 도움이 될 것입니다). 특히 지적하고 싶은 점은 시간과 공간의 두 지점은 서로 다른 탐색의 기회를 제공하므로 혼동해서는 안 된다는 점이다.
2018년 7월 4일 수요일
set과 multiset의 차이점은 Wikipedia에 잘 설명되어 있습니다. 우리는 본다.
보시다시피 "집합은 두 개의 동일한 요소를 가질 수 없습니다." 그러나 집합에 동일한 요소가 있는 경우 이러한 집합을 "다중 집합"이라고 합니다. 합리적인 존재는 그런 부조리의 논리를 결코 이해하지 못할 것입니다. 이것은 "완전히"라는 단어에서 마음이 결석하는 말하는 앵무새와 훈련 된 원숭이 수준입니다. 수학자들은 자신의 터무니없는 아이디어를 우리에게 설교하는 평범한 트레이너 역할을 합니다.
옛날 옛적에 다리를 건설한 엔지니어들은 다리를 테스트하는 동안 다리 아래에서 보트를 탔습니다. 다리가 무너지면 평범한 엔지니어는 자신이 만든 잔해 아래에서 죽었습니다. 다리가 하중을 견딜 수 있다면 재능 있는 엔지니어는 다른 다리를 건설했습니다.
수학자들이 "정신 차리세요, 저는 집에 있어요"라는 문구 뒤에 숨거나 오히려 "수학은 추상적 개념을 연구합니다"라는 문구 뒤에 숨어 있더라도 그것들을 현실과 불가분의 관계로 연결하는 하나의 탯줄이 있습니다. 이 탯줄은 돈입니다. 수학적 집합론을 수학자 자신에게 적용해 봅시다.
우리는 수학을 아주 잘 공부했고 지금은 계산대에 앉아 급여를 지불하고 있습니다. 여기 수학자가 돈을 위해 우리에게 온다. 우리는 그에게 전체 금액을 세고 테이블 위에 다른 더미로 놓고 같은 액면가의 지폐를 넣습니다. 그런 다음 우리는 각 더미에서 하나의 청구서를 가져 와서 수학자에게 "수학 급여 세트"를 제공합니다. 우리는 그가 동일한 요소가 없는 세트가 동일한 요소가 있는 세트와 같지 않다는 것을 증명해야만 나머지 청구서를 받게 될 것이라는 수학을 설명합니다. 이것은 재미가 시작되는 곳입니다.
우선, 대리인의 논리가 작동합니다. "다른 사람에게는 적용할 수 있지만 나에게는 적용할 수 없습니다!" 또한 동일한 명칭의 지폐에 다음이 있음을 확인하기 시작할 것입니다. 다른 숫자이는 청구서가 동일한 요소로 간주될 수 없음을 의미합니다. 글쎄, 우리는 급여를 동전으로 계산합니다. 동전에는 숫자가 없습니다. 여기에서 수학자는 미친 듯이 물리학을 기억할 것입니다. 동전마다 먼지의 양이 다르고 각 동전의 결정 구조와 원자 배열이 독특합니다 ...
그리고 지금 나는 가장 관심 부탁하다: 다중 집합의 요소가 집합의 요소로 바뀌거나 그 반대가 되는 경계는 어디입니까? 그러한 선은 존재하지 않습니다. 모든 것은 무당에 의해 결정되며 여기의 과학은 가깝지도 않습니다.
이봐. 같은 필드 면적의 축구 경기장을 선택합니다. 필드의 면적은 동일하므로 다중 집합이 있음을 의미합니다. 그러나 같은 경기장의 이름을 고려하면 이름이 다르기 때문에 많은 것을 얻습니다. 보시다시피 동일한 요소 집합은 동시에 집합이자 다중 집합입니다. 얼마나 맞습니까? 그리고 여기서 수학자 샤먼 슐러는 소매에서 트럼프 에이스를 꺼내 세트 또는 다중 세트에 대해 이야기하기 시작합니다. 어쨌든 그는 자신이 옳다는 것을 우리에게 확신시켜 줄 것입니다.
현대 주술사가 집합론을 현실과 연결하여 어떻게 작동하는지 이해하려면 한 가지 질문에 답하는 것으로 충분합니다. 한 집합의 요소가 다른 집합의 요소와 어떻게 다릅니까? 나는 "단일 전체가 아닌 것으로 생각할 수 있다" 또는 "단일 전체로 생각할 수 없다"는 없이 당신에게 보여줄 것입니다.
2018년 3월 18일 일요일
숫자의 자릿수의 합은 탬버린을 든 무당의 춤으로, 수학과는 아무 상관이 없다. 예, 수학 수업에서 우리는 숫자의 자릿수 합을 찾아 사용하도록 배웠지 만 그들은 후손에게 기술과 지혜를 가르치기 위해 샤먼입니다. 그렇지 않으면 샤먼은 단순히 죽을 것입니다.
증거가 필요하십니까? Wikipedia를 열고 "Sum of Digits of a Number" 페이지를 찾으십시오. 그녀는 존재하지 않습니다. 어떤 수의 자릿수 합을 구할 수 있는 수학 공식은 없습니다. 결국 숫자는 우리가 숫자를 쓰는 그래픽 기호이며 수학 언어에서 작업은 "모든 숫자를 나타내는 그래픽 기호의 합계를 찾으십시오."와 같이 들립니다. 수학자들은 이 문제를 풀 수 없지만 샤먼들은 기본적으로 풀 수 있다.
주어진 숫자의 자릿수 합을 찾기 위해 무엇을 어떻게 하는지 알아봅시다. 그래서 숫자 12345가 있다고 가정해 봅시다. 이 숫자의 자릿수 합을 찾으려면 어떻게 해야 할까요? 모든 단계를 순서대로 고려해 봅시다.
1. 종이에 번호를 적는다. 우리는 무엇을 했습니까? 숫자를 숫자 그래픽 기호로 변환했습니다. 이것은 수학적 연산이 아닙니다.
2. 받은 사진 하나를 별도의 번호가 포함된 여러 장의 사진으로 잘라냅니다. 그림을 자르는 것은 수학 연산이 아닙니다.
3. 개별 그래픽 문자를 숫자로 변환합니다. 이것은 수학적 연산이 아닙니다.
4. 결과 숫자를 더합니다. 이제 수학입니다.
숫자 12345의 자릿수 합은 15입니다. 수학자들이 사용하는 무당의 "재단 및 재봉 과정"입니다. 그러나 그것이 전부는 아닙니다.
수학의 관점에서 볼 때 어떤 숫자 체계로 숫자를 쓰는지는 중요하지 않습니다. 그래서, 안으로 다른 시스템계산하면 같은 숫자의 자릿수 합이 달라집니다. 수학에서 숫자 체계는 숫자 오른쪽 아래 첨자로 표시됩니다. 12345라는 큰 숫자로 머리를 속이고 싶지 않습니다. 기사에서 26이라는 숫자를 고려하십시오. 이 숫자를 2진수, 8진수, 10진수 및 16진수 시스템으로 작성해 봅시다. 우리는 현미경으로 각 단계를 고려하지 않을 것이며 이미 그렇게 했습니다. 결과를 살펴보겠습니다.
보시다시피 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 자릿수 합이 다릅니다. 이 결과는 수학과 관련이 없습니다. 미터와 센티미터 단위로 직사각형의 넓이를 구하면 완전히 다른 결과가 나오는 것과 같습니다.
모든 숫자 체계에서 0은 동일하게 보이고 자릿수의 합이 없습니다. 이것은 사실에 찬성하는 또 다른 주장입니다. 수학자를 위한 질문: 숫자가 아닌 것을 수학에서 어떻게 표시합니까? 수학자에게는 숫자 외에는 아무것도 존재하지 않습니까? 무당에게는 허용할 수 있지만 과학자에게는 허용하지 않습니다. 현실은 숫자에 관한 것이 아닙니다.
얻은 결과는 숫자 체계가 숫자의 측정 단위라는 증거로 간주되어야 합니다. 결국 우리는 측정 단위가 다른 숫자를 비교할 수 없습니다. 동일한 수량의 다른 측정 단위로 동일한 조치가 발생하는 경우 다른 결과그것들을 비교한 후에는 수학과 아무 관련이 없습니다.
진짜 수학이란? 이것은 수학적 행동의 결과가 숫자의 값, 사용된 측정 단위 및 이 행동을 수행하는 사람에 의존하지 않는 경우입니다.
오! 여기 여자화장실 아니야?
- 젊은 여성! 이것은 하늘로 승천한 영혼의 무한한 거룩함을 연구하는 실험실입니다! 상단에 후광과 위쪽 화살표. 다른 화장실은?
여성... 상단의 후광과 아래쪽 화살표는 남성입니다.
이런 디자인 아트 작품이 하루에도 몇 번씩 눈 앞에 번쩍인다면,
그런 다음 갑자기 차에서 이상한 아이콘을 발견하는 것은 놀라운 일이 아닙니다.
개인적으로 나는 똥 싸는 사람(한 장의 사진)에서 영하 4도를 보려고 노력한다(여러 장의 사진 구성: 빼기 기호, 숫자 4, 도 지정). 그리고 저는 이 소녀가 물리학을 모르는 바보라고 생각하지 않습니다. 그녀는 그래픽 이미지에 대한 고정 관념을 가지고 있습니다. 그리고 수학자들은 우리에게 항상 이것을 가르칩니다. 다음은 예입니다.
1A는 "마이너스 4도" 또는 "1a"가 아닙니다. 이것은 16진수 체계의 "푸핑맨" 또는 숫자 "스물여섯"입니다. 이 숫자 체계에서 지속적으로 작업하는 사람들은 자동으로 숫자와 문자를 하나의 그래픽 기호로 인식합니다.
