ഗണിത പുരോഗതിയിലെ പദവികൾ. ബീജഗണിതം: ഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമായ പുരോഗതികൾ

ഗണിതവും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

സൈദ്ധാന്തിക വിവരങ്ങൾ

സൈദ്ധാന്തിക വിവരങ്ങൾ

	ഗണിത പുരോഗതി	ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി
നിർവ്വചനം	ഗണിത പുരോഗതി ഒരു എൻഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു, ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തെ അംഗത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യയിൽ ചേർത്തിരിക്കുന്നു ഡി (ഡി- പുരോഗതി വ്യത്യാസം)	ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ബി എൻപൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഓരോ പദവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച മുൻ പദത്തിന് തുല്യമാണ്. q (q- പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ)
ആവർത്തിച്ചുള്ള ഫോർമുല	ഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിക്ക് എൻ a n + 1 = a n + d	ഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിക്ക് എൻ b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
nth term ഫോർമുല	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
സ്വഭാവഗുണം
ആദ്യ n നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക

അഭിപ്രായങ്ങളുള്ള ടാസ്‌ക്കുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

വ്യായാമം 1

IN ഗണിത പുരോഗതി (ഒരു എൻ) a 1 = -6, ഒരു 2

N-ആം പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്:

ഒരു 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21d

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം:

a 1= -6, അങ്ങനെ ഒരു 22= -6 + 21d.

പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

d= a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

ഒരു 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

ഉത്തരം: ഒരു 22 = -48.

ടാസ്ക് 2

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക: -3; 6;....

ആദ്യ വഴി (n-ടേം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്)

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ n-th അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

കാരണം ബി 1 = -3,

രണ്ടാമത്തെ വഴി (ആവർത്തന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്)

പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ -2 (q = -2) ആയതിനാൽ:

ബി 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ബി 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

ഉത്തരം: b 5 = -48.

ടാസ്ക് 3

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ ( a n) a 74 = 34; ഒരു 76= 156. ഈ പുരോഗതിയുടെ എഴുപത്തിയഞ്ചാം പദം കണ്ടെത്തുക.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിക്ക്, സ്വഭാവസവിശേഷതയ്ക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട് .

അതുകൊണ്ടു:

.

ഫോർമുലയിലെ ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

ഉത്തരം: 95.

ടാസ്ക് 4

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ ( a n ) a n= 3n - 4. ആദ്യത്തെ പതിനേഴു പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ, രണ്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

.

ഏതാണ് ഈ കാര്യംഉപയോഗിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണോ?

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, യഥാർത്ഥ പുരോഗതിയുടെ nth അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുല അറിയപ്പെടുന്നു ( ഒരു എൻ) ഒരു എൻ= 3n - 4. ഉടനടി കണ്ടെത്താനും കഴിയും a 1, ഒപ്പം ഒരു 16കണ്ടെത്താതെ ഡി. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉത്തരം: 368.

ടാസ്ക് 5

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ ഒരു എൻ) a 1 = -6; ഒരു 2= -8. പുരോഗതിയുടെ ഇരുപത്തിരണ്ടാം പദം കണ്ടെത്തുക.

N-ആം പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, എങ്കിൽ a 1= -6, അപ്പോൾ ഒരു 22= -6 + 21d. പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

d= a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

ഒരു 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

ഉത്തരം: ഒരു 22 = -48.

ടാസ്ക് 6

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ നിരവധി നിബന്ധനകൾ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്:

x എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പുരോഗതിയുടെ പദം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ nth ടേമിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു b n \u003d b 1 ∙ q n - 1ജ്യാമിതീയ പുരോഗതികൾക്കായി. പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം. പുരോഗതി q ന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഈ പുരോഗതിയുടെ ഏതെങ്കിലും നിബന്ധനകൾ എടുത്ത് മുമ്പത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എടുത്ത് വിഭജിക്കാം. നമുക്ക് ആ q \u003d 3 ലഭിക്കുന്നു. n എന്നതിനുപകരം, ഞങ്ങൾ ഫോർമുലയിൽ 3 പകരം വയ്ക്കുന്നു, കാരണം തന്നിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ മൂന്നാം പദം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

ഉത്തരം: .

ടാസ്ക് 7

Nth പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം നൽകുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയിൽ നിന്ന്, വ്യവസ്ഥ സംതൃപ്തമായ ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുക ഒരു 27 > 9:

പുരോഗതിയുടെ 27-ാം ടേമിന് നിർദ്ദിഷ്‌ട വ്യവസ്ഥ തൃപ്‌തികരമായിരിക്കേണ്ടതിനാൽ, ഓരോ നാല് പുരോഗതിയിലും n-ന് പകരം 27-നെ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. നാലാമത്തെ പുരോഗതിയിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

ഉത്തരം: 4.

ടാസ്ക് 8

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ a 1= 3, d = -1.5. വ്യക്തമാക്കുക ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യം n, അതിനായി അസമത്വം ഒരു എൻ > -6.

ഗണിത പുരോഗതി പ്രശ്നങ്ങൾ പുരാതന കാലം മുതൽ നിലവിലുണ്ട്. അവർ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയും ഒരു പരിഹാരം ആവശ്യപ്പെടുകയും ചെയ്തു, കാരണം അവർക്ക് ഒരു പ്രായോഗിക ആവശ്യമുണ്ട്.

അതിനാൽ, പാപ്പിരിയിൽ ഒന്നിൽ പുരാതന ഈജിപ്ത്, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഉള്ളടക്കമുള്ള - റിൻഡ് പാപ്പിറസ് (ബിസി XIX നൂറ്റാണ്ട്) - ഇനിപ്പറയുന്ന ചുമതല ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: പത്ത് അളവിലുള്ള റൊട്ടി പത്ത് ആളുകളായി വിഭജിക്കുക, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഇടയിലുള്ള വ്യത്യാസം അളവിന്റെ എട്ടിലൊന്ന് ആണെങ്കിൽ.

പുരാതന ഗ്രീക്കുകാരുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര കൃതികളിൽ ഗണിത പുരോഗതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗംഭീരമായ സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ട്. അതിനാൽ, അലക്സാണ്ട്രിയയിലെ ഹൈപ്സിക്കിൾസ് (രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ട്, നിരവധി രസകരമായ പ്രശ്നങ്ങൾ സമാഹരിക്കുകയും പതിനാലാമത്തെ പുസ്തകം യൂക്ലിഡിന്റെ "എലമെന്റുകൾ" എന്നതിലേക്ക് ചേർക്കുകയും ചെയ്തു: "ഇരട്ട എണ്ണം അംഗങ്ങളുള്ള ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിൽ, രണ്ടാം പകുതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക. തുകയേക്കാൾ കൂടുതൽഅംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ 1/2 ചതുരത്തിലെ 1-ആമത്തെ അംഗങ്ങൾ.

a എന്ന ക്രമം സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ശ്രേണിയുടെ സംഖ്യകളെ അതിന്റെ അംഗങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, സാധാരണയായി ഈ അംഗത്തിന്റെ സീരിയൽ നമ്പർ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സൂചികകളുള്ള അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു (a1, a2, a3 ... ഇത് വായിക്കുന്നു: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd ” തുടങ്ങിയവ ).

ക്രമം അനന്തമോ പരിമിതമോ ആകാം.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി എന്താണ്? പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസമായ d എന്ന അതേ സംഖ്യയിൽ മുമ്പത്തെ പദം (n) ചേർത്താൽ ലഭിച്ചതായി മനസ്സിലാക്കാം.

എങ്കിൽ ഡി<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, അപ്പോൾ അത്തരമൊരു പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുന്നതായി കണക്കാക്കുന്നു.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി അതിന്റെ ആദ്യ പദങ്ങളിൽ ചിലത് മാത്രം കണക്കിലെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ അത് പരിമിതമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. വളരെയധികം അംഗങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ, ഇത് ഇതിനകം തന്നെ അനന്തമായ പുരോഗതി.

ഏത് ഗണിത പുരോഗതിയും ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലയാണ് നൽകുന്നത്:

an =kn+b, b, k എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണ്.

വിപരീതമായ പ്രസ്താവന തികച്ചും ശരിയാണ്: സമാനമായ ഒരു ഫോർമുലയാണ് ക്രമം നൽകിയതെങ്കിൽ, ഇത് കൃത്യമായി ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്, അതിന് ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

1. പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും മുൻ അംഗത്തിന്റെയും അടുത്ത അംഗത്തിന്റെയും ഗണിത ശരാശരിയാണ്.
2. വിപരീതം: 2 മുതൽ ആരംഭിക്കുന്നെങ്കിൽ, ഓരോ പദവും മുമ്പത്തെ പദത്തിന്റെയും അടുത്തതിന്റെയും ഗണിത ശരാശരിയാണ്, അതായത്. വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്രമം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. ഈ സമത്വം ഒരേ സമയം പുരോഗതിയുടെ അടയാളമാണ്, അതിനാൽ ഇതിനെ സാധാരണയായി പുരോഗതിയുടെ സ്വഭാവ സവിശേഷത എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
   അതുപോലെ, ഈ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്: 2-ാം തീയതി മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന ഈ സമത്വം സീക്വൻസിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗങ്ങൾക്ക് ശരിയാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഒരു സീക്വൻസ് ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഏതെങ്കിലും നാല് സംഖ്യകളുടെ സ്വഭാവഗുണം n + m = k + l (m, n, k എന്നത് പുരോഗതിയുടെ സംഖ്യകളാണ്) ആണെങ്കിൽ an + am = ak + al എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കാം.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ട് ആവശ്യമായ (Nth) പദം കണ്ടെത്താനാകും:

ഉദാഹരണത്തിന്: ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ആദ്യ പദം (a1) നൽകിയിരിക്കുന്നു, മൂന്ന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം (d) നാലിന് തുല്യമാണ്. ഈ പുരോഗതിയുടെ നാൽപ്പത്തിയഞ്ചാം ടേം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) എന്ന ഫോർമുല നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു nth അംഗംഅതിന്റെ ഏതെങ്കിലും k-th പദത്തിലൂടെയുള്ള ഗണിത പുരോഗതി, അത് അറിയാമെങ്കിൽ.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക (അവസാന പുരോഗതിയുടെ 1st n അംഗങ്ങൾ അനുമാനിക്കുക) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

Sn = (a1+an) n/2.

ആദ്യ പദവും അറിയാമെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടാൻ മറ്റൊരു ഫോർമുല സൗകര്യപ്രദമാണ്:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n പദങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ചുമതലകളുടെ വ്യവസ്ഥകളെയും പ്രാരംഭ ഡാറ്റയെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

1,2,3,...,n,...- പോലുള്ള ഏത് സംഖ്യകളുടെയും സ്വാഭാവിക ശ്രേണി ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണംഗണിത പുരോഗതി.

ഗണിത പുരോഗതിക്ക് പുറമേ, ഒരു ജ്യാമിതീയവും ഉണ്ട്, അതിന് അതിന്റേതായ സവിശേഷതകളും സവിശേഷതകളും ഉണ്ട്.

പാഠ തരം:പുതിയ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുന്നു.

പാഠത്തിന്റെ ലക്ഷ്യങ്ങൾ:

• ഗണിത പുരോഗതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്ന ജോലികളെക്കുറിച്ചുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ആശയങ്ങളുടെ വികാസവും ആഴവും; ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല ലഭിക്കുമ്പോൾ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ തിരയൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഓർഗനൈസേഷൻ;
• പുതിയ അറിവ് സ്വതന്ത്രമായി നേടുന്നതിനുള്ള കഴിവുകളുടെ വികസനം, ചുമതല കൈവരിക്കുന്നതിന് ഇതിനകം നേടിയ അറിവ് ഉപയോഗിക്കുക;
• നേടിയ വസ്തുതകളെ സാമാന്യവൽക്കരിക്കാനുള്ള ആഗ്രഹത്തിന്റെയും ആവശ്യകതയുടെയും വികസനം, സ്വാതന്ത്ര്യത്തിന്റെ വികസനം.

ചുമതലകൾ:

• "അങ്കഗണിത പുരോഗതി" എന്ന വിഷയത്തിൽ നിലവിലുള്ള അറിവ് സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും ചിട്ടപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുക;
• ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലകൾ കണ്ടെത്തുക;
• വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ലഭിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കണമെന്ന് പഠിപ്പിക്കുക;
• ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമത്തിലേക്ക് വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുക.

ഉപകരണം:

• ഗ്രൂപ്പുകളിലും ജോഡികളിലും ജോലി ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ചുമതലകളുള്ള കാർഡുകൾ;
• മൂല്യനിർണ്ണയ പേപ്പർ;
• അവതരണം"അങ്കഗണിത പുരോഗതി".

I. അടിസ്ഥാന അറിവിന്റെ യഥാർത്ഥവൽക്കരണം.

1. സ്വതന്ത്ര ജോലിജോഡികളായി.

ആദ്യ ഓപ്ഷൻ:

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നിർവ്വചിക്കുക. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയെ നിർവചിക്കുന്ന ഒരു ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം എഴുതുക. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകുകയും അതിന്റെ വ്യത്യാസം സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുക.

രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ:

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ nth ടേമിനുള്ള ഫോർമുല എഴുതുക. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ 100-ാം പദം കണ്ടെത്തുക ( ഒരു എൻ}: 2, 5, 8 …
ഈ സമയം രണ്ട് വിദ്യാർത്ഥികൾ മറു പുറംബോർഡുകൾ ഒരേ ചോദ്യങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ തയ്യാറാക്കുന്നു.
വിദ്യാർത്ഥികൾ പങ്കാളിയുടെ ജോലിയെ ബോർഡുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തി വിലയിരുത്തുന്നു. (ഉത്തരങ്ങളുള്ള ലഘുലേഖകൾ കൈമാറുന്നു).

2. ഗെയിം നിമിഷം.

വ്യായാമം 1.

ടീച്ചർ.ഞാൻ ചില ഗണിത പുരോഗതി വിഭാവനം ചെയ്തു. എന്നോട് രണ്ട് ചോദ്യങ്ങൾ മാത്രം ചോദിക്കുക, അതുവഴി ഉത്തരങ്ങൾക്ക് ശേഷം നിങ്ങൾക്ക് ഈ പുരോഗതിയുടെ 7-ാമത്തെ അംഗത്തിന് പെട്ടെന്ന് പേര് നൽകാൻ കഴിയും. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

വിദ്യാർത്ഥികളിൽ നിന്നുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ.

1. പുരോഗതിയുടെ ആറാമത്തെ ടേം എന്താണ്, എന്താണ് വ്യത്യാസം?
2. പുരോഗതിയുടെ എട്ടാമത്തെ ടേം എന്താണ്, എന്താണ് വ്യത്യാസം?

കൂടുതൽ ചോദ്യങ്ങളൊന്നുമില്ലെങ്കിൽ, അധ്യാപകന് അവരെ ഉത്തേജിപ്പിക്കാൻ കഴിയും - ഡി (വ്യത്യാസം) യിലെ ഒരു "നിരോധനം", അതായത്, വ്യത്യാസം എന്താണെന്ന് ചോദിക്കാൻ അനുവാദമില്ല. നിങ്ങൾക്ക് ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കാം: പുരോഗതിയുടെ 6-ആം ടേം എന്താണ്, പുരോഗതിയുടെ 8-ആം ടേം എന്താണ്?

ടാസ്ക് 2.

ബോർഡിൽ 20 അക്കങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

ടീച്ചർ ബ്ലാക്ക് ബോർഡിന് പുറകിൽ നിൽക്കുന്നു. വിദ്യാർത്ഥികൾ നമ്പറിന്റെ നമ്പർ പറയുന്നു, അധ്യാപകൻ ഉടൻ തന്നെ നമ്പറിലേക്ക് വിളിക്കുന്നു. എനിക്കത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് വിശദീകരിക്കുക?

ടീച്ചർ nth ടേമിന്റെ ഫോർമുല ഓർക്കുന്നു a n \u003d 3n - 2കൂടാതെ, നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ n ന് പകരം, അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു എ എൻ.

II. വിദ്യാഭ്യാസ ചുമതലയുടെ പ്രസ്താവന.

ഈജിപ്ഷ്യൻ പാപ്പൈറിയിൽ കണ്ടെത്തിയ ബിസി രണ്ടാം സഹസ്രാബ്ദത്തിലെ ഒരു പഴയ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

ചുമതല:"ഇത് നിങ്ങളോട് പറയട്ടെ: 10 ആളുകൾക്കിടയിൽ 10 മീറ്റർ ബാർലി വിഭജിക്കുക, ഓരോ വ്യക്തിയും അവന്റെ അയൽക്കാരനും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം അളവിന്റെ 1/8 ആണ്."

• ഈ പ്രശ്നം ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വിഷയവുമായി എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? (അടുത്തുള്ള ഓരോ വ്യക്തിക്കും അളവിന്റെ 1/8 കൂടുതൽ ലഭിക്കുന്നു, അതിനാൽ വ്യത്യാസം d=1/8, 10 ആളുകൾ, അതിനാൽ n=10.)
• 10 എന്ന സംഖ്യ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നതെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നു? (പുരോഗതിയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക.)
• പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയ്ക്ക് അനുസൃതമായി ബാർലി വിഭജിക്കുന്നത് എളുപ്പവും ലളിതവുമാക്കാൻ നിങ്ങൾ മറ്റെന്താണ് അറിയേണ്ടത്? (പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം.)

പാഠത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം- പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക അവയുടെ സംഖ്യ, ആദ്യ പദം, വ്യത്യാസം എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ച്, പുരാതന കാലത്ത് പ്രശ്നം ശരിയായി പരിഹരിച്ചിട്ടുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.

സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, പുരാതന ഈജിപ്തുകാർ പ്രശ്നം എങ്ങനെ പരിഹരിച്ചുവെന്ന് നോക്കാം.

അവർ അത് ഇതുപോലെ പരിഹരിച്ചു:

1) 10 അളവുകൾ: 10 = 1 അളവ് - ശരാശരി വിഹിതം;
2) 1 അളവ് ∙ = 2 അളവുകൾ - ഇരട്ടിയായി ശരാശരിപങ്കിടുക.
ഇരട്ടിയായി ശരാശരിഅഞ്ചാമത്തെയും ആറാമത്തെയും വ്യക്തിയുടെ ഓഹരികളുടെ ആകെത്തുകയാണ് ഷെയർ.
3) 2 അളവുകൾ - 1/8 അളവ് = 1 7/8 അളവ് - അഞ്ചാമത്തെ വ്യക്തിയുടെ വിഹിതത്തിന്റെ ഇരട്ടി.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - അഞ്ചാമത്തെ പങ്ക്; കൂടാതെ, മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ ഓരോ വ്യക്തിയുടെയും പങ്ക് നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.

നമുക്ക് ക്രമം ലഭിക്കുന്നു:

III. ചുമതലയുടെ പരിഹാരം.

1. ഗ്രൂപ്പുകളായി പ്രവർത്തിക്കുക

ഒന്നാം ഗ്രൂപ്പ്:തുടർച്ചയായ 20 സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക: എസ് 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

പൊതുവായി

II ഗ്രൂപ്പ്: 1 മുതൽ 100 ​​വരെയുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക (ലിറ്റിൽ ഗൗസിന്റെ ഇതിഹാസം).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

ഉപസംഹാരം:

III ഗ്രൂപ്പ്: 1 മുതൽ 21 വരെയുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: 1+21=2+20=3+19=4+18...

ഉപസംഹാരം:

IV ഗ്രൂപ്പ്: 1 മുതൽ 101 വരെയുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

ഉപസംഹാരം:

പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഈ രീതിയെ "ഗാസ് രീതി" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

2. ഓരോ ഗ്രൂപ്പും ബോർഡിൽ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

3. അനിയന്ത്രിതമായ ഗണിത പുരോഗതിക്കായി നിർദ്ദേശിച്ച പരിഹാരങ്ങളുടെ പൊതുവൽക്കരണം:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

സമാനമായി വാദിച്ചുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾ ഈ തുക കണ്ടെത്തുന്നത്:

4. ഞങ്ങൾ ചുമതല പരിഹരിച്ചിട്ടുണ്ടോ?(അതെ.)

IV. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ലഭിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പ്രാഥമിക ധാരണയും പ്രയോഗവും.

1. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പഴയ പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം പരിശോധിക്കുന്നു.

2. വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഫോർമുലയുടെ പ്രയോഗം.

3. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവ് രൂപീകരിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യായാമങ്ങൾ.

എ) നമ്പർ 613

നൽകിയത് :( കൂടാതെ n) -ഗണിത പുരോഗതി;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

കണ്ടെത്തുക: എസ് 1500

പരിഹാരം: , കൂടാതെ 1 = 1, കൂടാതെ 1500 = 1500,

ബി) നൽകിയിരിക്കുന്നത്: ( കൂടാതെ n) -ഗണിത പുരോഗതി;
(ഒപ്പം n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

കണ്ടെത്തുക: എൻ
പരിഹാരം:

വി. പരസ്പര സ്ഥിരീകരണത്തോടുകൂടിയ സ്വതന്ത്ര പ്രവർത്തനം.

ഡെനിസ് കൊറിയറായി ജോലിക്ക് പോയി. ആദ്യ മാസത്തിൽ, അവന്റെ ശമ്പളം 200 റുബിളായിരുന്നു, തുടർന്നുള്ള ഓരോ മാസത്തിലും അത് 30 റുബിളായി വർദ്ധിച്ചു. അവൻ ഒരു വർഷം എത്രമാത്രം സമ്പാദിച്ചു?

നൽകിയത് :( കൂടാതെ n) -ഗണിത പുരോഗതി;
a 1 = 200, d=30, n=12
കണ്ടെത്തുക: എസ് 12
പരിഹാരം:

ഉത്തരം: ഡെനിസിന് വർഷത്തിൽ 4380 റൂബിൾ ലഭിച്ചു.

VI. ഗൃഹപാഠ നിർദ്ദേശം.

1. പേജ് 4.3 - ഫോർമുലയുടെ ഡെറിവേഷൻ പഠിക്കുക.
2. №№ 585, 623 .
3. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാവുന്ന ഒരു പ്രശ്നം രചിക്കുക.

VII. പാഠം സംഗ്രഹിക്കുന്നു.

1. സ്കോർ ഷീറ്റ്

2. വാക്യങ്ങൾ തുടരുക

• ഇന്ന് ക്ലാസ്സിൽ പഠിച്ചത്...
• പഠിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങൾ...
• ഞാൻ അത് വിശ്വസിക്കുന്നു …

3. 1 മുതൽ 500 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ? ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ എന്ത് രീതിയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്?

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

1. ആൾജിബ്ര, 9-ാം ക്ലാസ്. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം. എഡ്. ജി.വി. ഡോറോഫീവ.മോസ്കോ: ജ്ഞാനോദയം, 2009.

അതെ, അതെ: ഗണിത പുരോഗതി നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കളിപ്പാട്ടമല്ല :)

ശരി, സുഹൃത്തുക്കളേ, നിങ്ങൾ ഈ വാചകം വായിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഗണിത പുരോഗതി എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അറിയില്ലെന്ന് ആന്തരിക തൊപ്പി തെളിവുകൾ എന്നോട് പറയുന്നു, എന്നാൽ നിങ്ങൾ ശരിക്കും (ഇല്ല, ഇതുപോലെ: SOOOOO!) അറിയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നീണ്ട ആമുഖങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളെ പീഡിപ്പിക്കില്ല, ഉടൻ തന്നെ ബിസിനസ്സിലേക്ക് ഇറങ്ങും.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ. നിരവധി സെറ്റ് സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുക:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ഈ സെറ്റുകൾക്കെല്ലാം പൊതുവായി എന്താണുള്ളത്? ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ ഒന്നുമില്ല. എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ എന്തെങ്കിലും ഉണ്ട്. അതായത്: ഓരോ അടുത്ത മൂലകവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ഒരേ സംഖ്യയിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

സ്വയം വിധിക്കുക. ആദ്യ സെറ്റ് തുടർച്ചയായ സംഖ്യകൾ മാത്രമാണ്, ഓരോന്നും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ. രണ്ടാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൽ, അടുത്തുള്ള സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഇതിനകം അഞ്ചിന് തുല്യമാണ്, എന്നാൽ ഈ വ്യത്യാസം ഇപ്പോഴും സ്ഥിരമാണ്. മൂന്നാമത്തെ കേസിൽ, പൊതുവായി വേരുകൾ ഉണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, അതേസമയം $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, അതായത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഓരോ അടുത്ത ഘടകവും $\sqrt(2)$ കൊണ്ട് വർദ്ധിക്കുന്നു (ഈ സംഖ്യ യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് ഭയപ്പെടരുത്).

അതിനാൽ: അത്തരം എല്ലാ ശ്രേണികളെയും ഗണിത പുരോഗതികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നമുക്ക് കർശനമായ നിർവചനം നൽകാം:

നിർവ്വചനം. ഓരോ അടുത്തതും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ഒരേ അളവിൽ വ്യത്യസ്തമാകുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയെ ഗണിത പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അക്കങ്ങൾ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന തുകയെ പുരോഗതി വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് മിക്കപ്പോഴും $d$ എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

കുറിപ്പ്: $\left(((a)_(n)) \right)$ എന്നത് പുരോഗതി തന്നെയാണ്, $d$ എന്നത് അതിന്റെ വ്യത്യാസമാണ്.

കൂടാതെ രണ്ട് പ്രധാനപ്പെട്ട പരാമർശങ്ങൾ മാത്രം. ഒന്നാമതായി, പുരോഗതി മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ ചിട്ടയായസംഖ്യകളുടെ ക്രമം: അവ എഴുതിയിരിക്കുന്ന ക്രമത്തിൽ കർശനമായി വായിക്കാൻ അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു - മറ്റൊന്നുമല്ല. നിങ്ങൾക്ക് നമ്പറുകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കാനോ സ്വാപ്പ് ചെയ്യാനോ കഴിയില്ല.

രണ്ടാമതായി, ക്രമം തന്നെ പരിമിതമോ അനന്തമോ ആകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, സെറ്റ് (1; 2; 3) വ്യക്തമായും ഒരു പരിമിതമായ ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. എന്നാൽ നിങ്ങൾ (1; 2; 3; 4; ...) പോലെ എന്തെങ്കിലും എഴുതുകയാണെങ്കിൽ - ഇത് ഇതിനകം അനന്തമായ പുരോഗതിയാണ്. നാലിനു ശേഷമുള്ള ദീർഘവൃത്തം, ഒരുപാട് സംഖ്യകൾ കൂടുതൽ മുന്നോട്ട് പോകുന്നുവെന്ന് സൂചന നൽകുന്നു. അനന്തമായ നിരവധി, ഉദാഹരണത്തിന്. :)

പുരോഗതികൾ വർദ്ധിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നതും ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. വർദ്ധിച്ചുവരുന്നവ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടു - അതേ സെറ്റ് (1; 2; 3; 4; ...). പുരോഗതി കുറയുന്നതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ശരി ശരി: അവസാന ഉദാഹരണംവളരെ സങ്കീർണ്ണമായി തോന്നിയേക്കാം. എന്നാൽ ബാക്കി, ഞാൻ കരുതുന്നു, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പുതിയ നിർവചനങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

നിർവ്വചനം. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയെ വിളിക്കുന്നു:

1. ഓരോ അടുത്ത മൂലകവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു;
2. കുറയുന്നു, നേരെമറിച്ച്, തുടർന്നുള്ള ഓരോ മൂലകവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ.

കൂടാതെ, "സ്റ്റേഷണറി" സീക്വൻസുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുണ്ട് - അവ ഒരേ ആവർത്തന സംഖ്യ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, (3; 3; 3; ...).

ഒരു ചോദ്യം മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു: വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പുരോഗതിയെ കുറയുന്നതിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വേർതിരിക്കാം? ഭാഗ്യവശാൽ, ഇവിടെ എല്ലാം $d$ എന്ന സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്. പുരോഗതി വ്യത്യാസങ്ങൾ:

1. $d \gt 0$ ആണെങ്കിൽ, പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുകയാണ്;
2. $d \lt 0$ ആണെങ്കിൽ, പുരോഗതി വ്യക്തമായി കുറയുന്നു;
3. അവസാനമായി, $d=0$ - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മുഴുവൻ പുരോഗതിയും ഒരേ സംഖ്യകളുടെ ഒരു നിശ്ചല ശ്രേണിയിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു: (1; 1; 1; 1; ...), മുതലായവ.

മുകളിൽ കുറഞ്ഞുവരുന്ന മൂന്ന് പുരോഗതികൾക്കുള്ള $d$ വ്യത്യാസം കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അടുത്തുള്ള രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ എടുത്താൽ മതിയാകും (ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതും രണ്ടാമത്തേതും) വലതുവശത്തുള്ള സംഖ്യയിൽ നിന്ന്, ഇടതുവശത്തുള്ള സംഖ്യയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, മൂന്ന് കേസുകളിലും വ്യത്യാസം ശരിക്കും നെഗറ്റീവ് ആയി മാറി. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നിർവചനങ്ങൾ കൂടുതലോ കുറവോ കണ്ടെത്തിയതിനാൽ, പുരോഗതികൾ എങ്ങനെ വിവരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്നും അവയ്ക്ക് എന്ത് ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്നും കണ്ടെത്താനുള്ള സമയമാണിത്.

പുരോഗതിയുടെയും ആവർത്തന ഫോർമുലയുടെയും അംഗങ്ങൾ

ഞങ്ങളുടെ സീക്വൻസുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ പരസ്പരം മാറ്റാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, അവയെ അക്കമിടാം:

\[\ഇടത്(((എ)_(n)) \right)=\ഇടത്\((((എ)_(1)),\ ((എ)_(2)),((എ)_(3) )),... \right\)\]

ഈ സെറ്റിന്റെ വ്യക്തിഗത ഘടകങ്ങളെ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ സഹായത്തോടെ അവ ഈ രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: ആദ്യ അംഗം, രണ്ടാമത്തെ അംഗം മുതലായവ.

കൂടാതെ, നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്നതുപോലെ, പുരോഗതിയുടെ അയൽ അംഗങ്ങൾ ഫോർമുലയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

ചുരുക്കത്തിൽ, പുരോഗതിയുടെ $n$th ടേം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ $n-1$th ടേമും $d$ വ്യത്യാസവും അറിയേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരമൊരു ഫോർമുലയെ ആവർത്തനമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം അതിന്റെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങൾക്ക് ഏത് സംഖ്യയും കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, മുമ്പത്തേത് മാത്രം അറിയുക (വാസ്തവത്തിൽ, മുമ്പത്തെ എല്ലാ കാര്യങ്ങളും). ഇത് വളരെ അസൗകര്യമാണ്, അതിനാൽ ഏത് കണക്കുകൂട്ടലും ആദ്യ ടേമിലേക്കും വ്യത്യാസത്തിലേക്കും കുറയ്ക്കുന്ന കൂടുതൽ തന്ത്രപ്രധാനമായ ഒരു ഫോർമുലയുണ്ട്:

\[((എ)_(n))=((എ)_(1))+\ഇടത്(n-1 \right)d\]

ഈ സൂത്രവാക്യം നിങ്ങൾ മുമ്പ് കണ്ടിട്ടുണ്ടാകാം. എല്ലാത്തരം റഫറൻസ് പുസ്തകങ്ങളിലും റെഷെബ്നിക്കുകളിലും അത് നൽകാൻ അവർ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു. ഗണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവേകപൂർണ്ണമായ ഏതൊരു പാഠപുസ്തകത്തിലും, ഇത് ആദ്യത്തേതിൽ ഒന്നാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, കുറച്ച് പരിശീലിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1. $(a)_(1))=8,d=-5$ ആണെങ്കിൽ $\left((((a)_(n)) \right)$ എന്ന ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ മൂന്ന് നിബന്ധനകൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം. അതിനാൽ, ആദ്യ പദം $((a)_(1))=8$ ഉം പുരോഗതി വ്യത്യാസം $d=-5$ ഉം ഞങ്ങൾക്കറിയാം. ഇപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും $n=1$, $n=2$, $n=3$ എന്നിവയ്ക്ക് പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\ഇടത്(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\ഇടത്(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\ഇടത്(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഉത്തരം: (8; 3; -2)

അത്രയേയുള്ളൂ! നമ്മുടെ പുരോഗതി കുറയുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

തീർച്ചയായും, $n=1$ പകരം വയ്ക്കാൻ കഴിയുമായിരുന്നില്ല - ആദ്യ പദം ഞങ്ങൾക്കറിയാം. എന്നിരുന്നാലും, യൂണിറ്റ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ആദ്യ ടേമിൽ പോലും ഞങ്ങളുടെ ഫോർമുല പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കി. മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ, എല്ലാം നിസ്സാരമായ ഗണിതത്തിലേക്ക് വന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 2. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഏഴാമത്തെ പദവും പതിനേഴാം പദവും −50 ഉം ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം. പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ ഞങ്ങൾ സാധാരണ പദങ്ങളിൽ എഴുതുന്നു:

\[((എ)_(7))=-40;\ക്വാഡ് ((എ)_(17))=-50.\]

\[\ഇടത്\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \വലത്.\]

\[\ഇടത്\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \വലത്.\]

ഈ ആവശ്യകതകൾ ഒരേസമയം പാലിക്കേണ്ടതിനാൽ ഞാൻ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അടയാളം ഇട്ടു. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തെ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ (ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്, കാരണം ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ട്), ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ലഭിക്കും:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((എ)_(1))+16d-((എ)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അത് പോലെ, ഞങ്ങൾ പുരോഗതി വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തി! സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങളിൽ കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യയ്ക്ക് പകരമായി ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതിൽ:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((എ)_(1))=-40+6=-34. \\ \ അവസാനം(മാട്രിക്സ്)\]

ഇപ്പോൾ, ആദ്യ പദവും വ്യത്യാസവും അറിയുന്നത്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് അവശേഷിക്കുന്നു:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((എ)_(3))=((എ)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

തയ്യാറാണ്! പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

ഉത്തരം: (-34; -35; -36)

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ പുരോഗതിയുടെ കൗതുകകരമായ ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി ശ്രദ്ധിക്കുക: $n$th, $m$th എന്നീ നിബന്ധനകൾ എടുത്ത് അവ പരസ്പരം കുറച്ചാൽ, $n-m$ എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

\[((എ)_(n))-((എ)_(എം))=d\cdot \left(n-m \right)\]

ലളിതം എന്നാൽ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ സ്വത്ത്, നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും അറിഞ്ഞിരിക്കണം - അതിന്റെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങൾക്ക് പുരോഗതിയിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കാൻ കഴിയും. ഇതിന്റെ ഒരു പ്രധാന ഉദാഹരണം ഇതാ:

ടാസ്ക് നമ്പർ 3. ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ പദം 8.4 ആണ്, അതിന്റെ പത്താം പദം 14.4 ആണ്. ഈ പുരോഗതിയുടെ പതിനഞ്ചാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, കൂടാതെ $((a)_(15))$ കണ്ടെത്തേണ്ടതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((എ)_(10))-((എ)_(5))=5ഡി. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

എന്നാൽ വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, അങ്ങനെ $5d=6$, എവിടെ നിന്നാണ് നമുക്ക്:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((എ)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഉത്തരം: 20.4

അത്രയേയുള്ളൂ! സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനവും ഞങ്ങൾ രചിക്കുകയും ആദ്യത്തെ ടേമും വ്യത്യാസവും കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടതില്ല - എല്ലാം വെറും രണ്ട് വരികളിൽ തീരുമാനിച്ചു.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നം പരിഗണിക്കാം - പുരോഗതിയുടെ നെഗറ്റീവ്, പോസിറ്റീവ് അംഗങ്ങൾക്കായുള്ള തിരയൽ. പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ആദ്യ പദം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, താമസിയാതെ അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട് പോസിറ്റീവ് പദങ്ങൾ അതിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുമെന്നത് രഹസ്യമല്ല. തിരിച്ചും: കുറയുന്ന പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ താമസിയാതെ അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട് നെഗറ്റീവ് ആയി മാറും.

അതേസമയം, മൂലകങ്ങളിലൂടെ ക്രമാനുഗതമായി അടുക്കുന്ന ഈ നിമിഷം “നെറ്റിയിൽ” കണ്ടെത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. പലപ്പോഴും, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അറിയാതെ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് നിരവധി ഷീറ്റുകൾ എടുക്കുന്ന തരത്തിലാണ് പ്രശ്നങ്ങൾ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത് - ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ ഉറങ്ങും. അതിനാൽ, ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 4. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിൽ എത്ര നെഗറ്റീവ് പദങ്ങൾ -38.5; -35.8; ...?

പരിഹാരം. അതിനാൽ, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഉടനടി വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുന്നു:

വ്യത്യാസം പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുന്നു. ആദ്യ പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ നമ്മൾ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകളിൽ ഇടറിവീഴും. ഇത് എപ്പോൾ സംഭവിക്കും എന്നതാണ് ഏക ചോദ്യം.

നമുക്ക് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം: നിബന്ധനകളുടെ നെഗറ്റീവ് എത്രത്തോളം (അതായത്, ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യ $n$ വരെ) സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

\[\begin(align) & (a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ വലത്. \\ & -385+27\cdot \ഇടത്(n-1 \വലത്) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അവസാന വരിയിൽ വ്യക്തത ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ $n \lt 15\frac(7)(27)$ എന്ന് നമുക്കറിയാം. മറുവശത്ത്, സംഖ്യയുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമാകൂ (കൂടുതൽ: $n\in \mathbb(N)$), അതിനാൽ അനുവദനീയമായ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ കൃത്യമായി $n=15$ ആണ്, ഒരു സാഹചര്യത്തിലും 16 ആണ്.

ടാസ്ക് നമ്പർ 5. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. ഈ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പോസിറ്റീവ് പദത്തിന്റെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

ഇത് മുമ്പത്തെ പ്രശ്‌നത്തിന്റെ അതേ പ്രശ്‌നമായിരിക്കും, പക്ഷേ ഞങ്ങൾക്ക് $((a)_(1))$ അറിയില്ല. എന്നാൽ അയൽ പദങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു: $((a)_(5))$, $((a)_(6))$, അതിനാൽ നമുക്ക് പുരോഗതി വ്യത്യാസം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും:

കൂടാതെ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യത്തേതിന്റെയും വ്യത്യാസത്തിന്റെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ അഞ്ചാമത്തെ പദം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((എ)_(5))=((എ)_(1))+4d; \\ & -150=((എ)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((എ)_(1))=-150-12=-162. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ മുമ്പത്തെ പ്രശ്നവുമായി സാമ്യം പുലർത്തുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ക്രമത്തിൽ ഏത് ഘട്ടത്തിലാണ് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ദൃശ്യമാകുന്നത് എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഈ അസമത്വത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൂർണ്ണസംഖ്യ പരിഹാരം 56 എന്ന സംഖ്യയാണ്.

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇൻ അവസാന അസൈൻമെന്റ്എല്ലാം കടുത്ത അസമത്വത്തിലേക്ക് ഇറങ്ങി, അതിനാൽ $n=55$ എന്ന ഓപ്ഷൻ ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമല്ല.

ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായവയിലേക്ക് പോകാം. എന്നാൽ ആദ്യം, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ മറ്റൊരു സ്വത്ത് പഠിക്കാം, അത് ഭാവിയിൽ ധാരാളം സമയവും അസമമായ സെല്ലുകളും ലാഭിക്കും. :)

ഗണിത ശരാശരിയും തുല്യ ഇൻഡന്റുകളും

വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ നിരവധി നിബന്ധനകൾ പരിഗണിക്കുക $\left(((a)_(n)) \right)$. അവയെ ഒരു നമ്പർ ലൈനിൽ അടയാളപ്പെടുത്താൻ ശ്രമിക്കാം:

നമ്പർ ലൈനിൽ ഗണിത പുരോഗതി അംഗങ്ങൾ

$((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും $((a)_(1)) , അനിയന്ത്രിതമായ അംഗങ്ങളെ ഞാൻ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിച്ചു. \ ((എ)_(2)),\ ((എ)_(3))$ തുടങ്ങിയവ. കാരണം, ഞാൻ ഇപ്പോൾ നിങ്ങളോട് പറയുന്ന നിയമം, ഏത് "സെഗ്മെന്റുകൾക്കും" സമാനമാണ് പ്രവർത്തിക്കുന്നത്.

കൂടാതെ ഭരണം വളരെ ലളിതമാണ്. നമുക്ക് ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം ഓർമ്മിക്കുകയും അടയാളപ്പെടുത്തിയ എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും എഴുതുകയും ചെയ്യാം:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((എ)_(n-1))=((എ)_(n-2))+d; \\ & ((എ)_(n))=((എ)_(n-1))+d; \\ & ((എ)_(n+1))=((എ)_(n))+d; \\ & ((എ)_(n+2))=((എ)_(n+1))+d; \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

എന്നിരുന്നാലും, ഈ തുല്യതകൾ വ്യത്യസ്തമായി മാറ്റിയെഴുതാം:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((എ)_(n-2))=((എ)_(n))-2d; \\ & ((എ)_(n-3))=((എ)_(n))-3d; \\ & ((എ)_(n+1))=((എ)_(n))+d; \\ & ((എ)_(n+2))=((എ)_(n))+2d; \\ & ((എ)_(n+3))=((എ)_(n))+3d; \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ശരി, അപ്പോൾ എന്താണ്? എന്നാൽ $((a)_(n-1))$, $((a)_(n+1))$ എന്നീ പദങ്ങൾ $((a)_(n)) $ എന്നതിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത. . ഈ ദൂരം $d$ ന് തുല്യമാണ്. $((a)_(n-2))$, $((a)_(n+2))$ എന്നീ നിബന്ധനകളെക്കുറിച്ചും ഇതുതന്നെ പറയാം - അവയും $((a)_(n) എന്നതിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു. )$ $2d$ ന് തുല്യമായ ദൂരത്തിൽ. നിങ്ങൾക്ക് അനിശ്ചിതമായി തുടരാം, പക്ഷേ ചിത്രം അർത്ഥം നന്നായി ചിത്രീകരിക്കുന്നു

പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങൾ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ് കിടക്കുന്നത്

ഇത് ഞങ്ങൾക്ക് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? അയൽ സംഖ്യകൾ അറിയാമെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് $((a)_(n))$ കണ്ടെത്താനാകുമെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം:

\[((എ)_(n))=\frac(((എ)_(n-1))+((എ)_(n+1)))(2)\]

ഞങ്ങൾ ഗംഭീരമായ ഒരു പ്രസ്താവന നടത്തി: ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും അയൽ അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്! മാത്രമല്ല, നമുക്ക് ഞങ്ങളുടെ $((a)_(n))$ ൽ നിന്ന് ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും വ്യതിചലിക്കാൻ ഒരു ചുവടിലൂടെയല്ല, $k$ ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ - എന്നിട്ടും ഫോർമുല ശരിയായിരിക്കും:

\[((എ)_(n))=\frac(((എ)_(n-k))+((എ)_(n+k)))(2)\]

ആ. $((a)_(100))$, $((a)_(200))$ എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ ചില $((a)_(150))$ നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, കാരണം $((a)_ (150))=\frac(((എ)_(100))+((എ)_(200)))(2)$. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഈ വസ്തുത നമുക്ക് ഉപയോഗപ്രദമായ ഒന്നും നൽകുന്നില്ലെന്ന് തോന്നിയേക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, പ്രായോഗികമായി, ഗണിത ശരാശരിയുടെ ഉപയോഗത്തിനായി പല ജോലികളും പ്രത്യേകമായി "മൂർച്ച കൂട്ടുന്നു". ഒന്നു നോക്കൂ:

ടാസ്ക് നമ്പർ 6. $x$ ന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക, അതായത് $-6((x)^(2))$, $x+1$, $14+4((x)^(2))$ എന്നിവ തുടർച്ചയായി അംഗങ്ങളാണ് ഒരു ഗണിത പുരോഗതി (നിർദ്ദിഷ്ട ക്രമത്തിൽ).

പരിഹാരം. ഈ സംഖ്യകൾ ഒരു പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളായതിനാൽ, ഗണിത ശരാശരി അവസ്ഥ അവർക്ക് തൃപ്തികരമാണ്: കേന്ദ്ര മൂലകം $x+1$ അയൽ ഘടകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & (((x)^(2))+x-6=0. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അത് ക്ലാസിക് ആയി മാറി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. അതിന്റെ വേരുകൾ: $x=2$, $x=-3$ എന്നിവയാണ് ഉത്തരങ്ങൾ.

ഉത്തരം: -3; 2.

ടാസ്ക് നമ്പർ 7. $$ ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക, അതായത് $-1;4-3;(()^(2))+1$ അക്കങ്ങൾ ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു (ആ ക്രമത്തിൽ).

പരിഹാരം. വീണ്ടും, അയൽ പദങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഞങ്ങൾ മധ്യ പദം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\വലത്.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & (((x)^(2))-7x+6=0. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

മറ്റൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. വീണ്ടും രണ്ട് വേരുകൾ: $x=6$, $x=1$.

ഉത്തരം: 1; 6.

ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ചില ക്രൂരമായ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ കണ്ടെത്തിയ ഉത്തരങ്ങളുടെ കൃത്യതയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണമായി ഉറപ്പില്ലെങ്കിൽ, പരിശോധിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു അത്ഭുതകരമായ ട്രിക്ക് ഉണ്ട്: ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം ശരിയായി പരിഹരിച്ചോ?

പ്രശ്നം 6-ൽ നമുക്ക് ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിച്ചുവെന്ന് പറയാം -3, 2. ഈ ഉത്തരങ്ങൾ ശരിയാണോ എന്ന് നമുക്ക് എങ്ങനെ പരിശോധിക്കാം? നമുക്ക് അവയെ യഥാർത്ഥ അവസ്ഥയിലേക്ക് പ്ലഗ് ചെയ്ത് എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് നോക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ ($-6(()^(2))$, $+1$, $14+4(()^(2))$), അത് ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കും. പകരക്കാരൻ $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഞങ്ങൾക്ക് അക്കങ്ങൾ ലഭിച്ചു -54; -2; 52 കൊണ്ട് വ്യത്യസ്‌തമായ 50 എന്നത് നിസ്സംശയമായും ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. $x=2$ എന്നതിനും ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കുന്നു:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

വീണ്ടും ഒരു പുരോഗതി, പക്ഷേ 27 വ്യത്യാസത്തിൽ. അങ്ങനെ, പ്രശ്നം ശരിയായി പരിഹരിച്ചു. ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക് രണ്ടാമത്തെ ജോലി സ്വയം പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ ഞാൻ ഉടൻ തന്നെ പറയും: അവിടെയും എല്ലാം ശരിയാണ്.

പൊതുവേ, അവസാന ജോലികൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ മറ്റൊന്നിൽ ഇടറി രസകരമായ വസ്തുത, ഇതും ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

മൂന്ന് സംഖ്യകൾ രണ്ടാമത്തേത് ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും ശരാശരിയാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകൾ ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു.

ഭാവിയിൽ, ഈ പ്രസ്താവന മനസ്സിലാക്കുന്നത് പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ആവശ്യമായ പുരോഗതികൾ അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ "നിർമ്മാണം" ചെയ്യാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ അത്തരമൊരു "നിർമ്മാണത്തിൽ" ഏർപ്പെടുന്നതിന് മുമ്പ്, ഇതിനകം പരിഗണിച്ചതിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്ന ഒരു വസ്തുത കൂടി നാം ശ്രദ്ധിക്കണം.

ഘടകങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പിംഗും ആകെത്തുക

നമുക്ക് വീണ്ടും നമ്പർ ലൈനിലേക്ക് മടങ്ങാം. പുരോഗതിയുടെ നിരവധി അംഗങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, അവയ്ക്കിടയിൽ, ഒരുപക്ഷേ. മറ്റ് നിരവധി അംഗങ്ങൾക്ക് വിലയുണ്ട്:

നമ്പർ ലൈനിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന 6 ഘടകങ്ങൾ

"ഇടത് വാൽ" $((a)_(n))$, $d$ എന്നിവയിലും "വലത് വാൽ" $((a)_(k))$, $ എന്നിവയിലും പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. d$. ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((എ)_(n+2))=((എ)_(n))+2d; \\ & ((എ)_(കെ-1))=((എ)_(കെ))-ഡി; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഇനിപ്പറയുന്ന തുകകൾ തുല്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= എസ്; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= എസ്. \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, പുരോഗമനത്തിന്റെ രണ്ട് ഘടകങ്ങളെ ഒരു തുടക്കമായി ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അവ മൊത്തത്തിൽ ചില $S$ ന് തുല്യമാണ്, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഈ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് വിപരീത ദിശകളിലേക്ക് ചുവടുവെക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു (പരസ്പരം അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും നീങ്ങാൻ), പിന്നെ നാം ഇടറിപ്പോകുന്ന മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും തുല്യമായിരിക്കും$S$. ഇത് ഗ്രാഫിക്കായി മികച്ച രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ഒരേ ഇൻഡന്റുകൾ തുല്യ തുകകൾ നൽകുന്നു

മനസ്സിലാക്കുന്നു ഈ വസ്തുതഅടിസ്ഥാനപരമായി കൂടുതൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും ഉയർന്ന തലംമുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്തതിനേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണത. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇവ:

ടാസ്ക് നമ്പർ 8. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം നിർണ്ണയിക്കുക, അതിൽ ആദ്യ പദം 66 ആണ്, രണ്ടാമത്തെയും പന്ത്രണ്ടാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ഗുണനം സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറുതാണ്.

പരിഹാരം. നമുക്കറിയാവുന്നതെല്ലാം എഴുതാം:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((എ)_(2))\cdot ((എ)_(12))=\മിനിറ്റ് . \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അതിനാൽ, $d$ എന്ന പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾക്കറിയില്ല. യഥാർത്ഥത്തിൽ, $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ എന്ന ഉൽപ്പന്നം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ, മുഴുവൻ പരിഹാരവും വ്യത്യാസത്തിന് ചുറ്റും നിർമ്മിക്കപ്പെടും:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((എ)_(12))=((എ)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ടാങ്കിലുള്ളവർക്ക്: ഞാൻ രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് കോമൺ ഫാക്ടർ 11 എടുത്തിട്ടുണ്ട്. അതിനാൽ, $d$ എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ആവശ്യമുള്ള ഉൽപ്പന്നം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷനാണ്. അതിനാൽ, ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - അതിന്റെ ഗ്രാഫ് ശാഖകളുള്ള ഒരു പരവലയമായിരിക്കും, കാരണം ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്നാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഉയർന്ന പദത്തിലെ ഗുണകം 11 ആണ് - ഇതാണ് പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ശരിക്കും ശാഖകളുള്ള ഒരു പരവലയവുമായി ഇടപെടുകയാണ്:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് - പരവലയം

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഈ പരവലയം അതിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം അബ്‌സിസ്സ $((d)_(0))$ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ ശീർഷത്തിൽ എടുക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്കീം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഈ abscissa കണക്കാക്കാം (ഒരു ഫോർമുല $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ ഉണ്ട്), എന്നാൽ ഇത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമായിരിക്കും. ആവശ്യമുള്ള ശീർഷകം പരാബോളയുടെ അച്ചുതണ്ട സമമിതിയിലാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്, അതിനാൽ $((d)_(0))$ എന്ന പോയിന്റ് $f\left(d \right)=0$ എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലാണ്.

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അതുകൊണ്ടാണ് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാൻ ഞാൻ തിടുക്കം കാട്ടിയില്ല: യഥാർത്ഥ രൂപത്തിൽ, വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. അതിനാൽ, abscissa −66, −6 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്:

\[((ഡി)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

കണ്ടെത്തിയ നമ്പർ എന്താണ് നമുക്ക് നൽകുന്നത്? അത് ഉപയോഗിച്ച്, ആവശ്യമായ ഉൽപ്പന്നം എടുക്കുന്നു ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം(വഴി, ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കിയില്ല $((y)_(\min ))$ - ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യേണ്ടതില്ല). അതേ സമയം, ഈ സംഖ്യ പ്രാരംഭ പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസമാണ്, അതായത്. ഞങ്ങൾ ഉത്തരം കണ്ടെത്തി. :)

ഉത്തരം: -36

ടാസ്ക് നമ്പർ 9. $-\frac(1)(2)$, $-\frac(1)(6)$ എന്നീ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ മൂന്ന് സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക, അങ്ങനെ തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾക്കൊപ്പം അവ ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു.

പരിഹാരം. വാസ്തവത്തിൽ, നമ്മൾ അഞ്ച് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഉണ്ടാക്കേണ്ടതുണ്ട്, ആദ്യത്തേതും ഒപ്പം അവസാന നമ്പർഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്നത്. $x$, $y$, $z$ എന്നീ വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നഷ്ടപ്പെട്ട സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുക:

\[\ഇടത്(((എ)_(n)) \right)=\ഇടത്\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

$y$ എന്ന സംഖ്യ നമ്മുടെ ശ്രേണിയുടെ "മധ്യഭാഗം" ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക - അത് $x$, $z$ എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്നും $-\frac(1)(2)$, $-\frac എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലാണ്. (1)( 6)$. $x$, $z$ എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്നാണെങ്കിൽ നമ്മൾ ഉൾപ്പെടും ഈ നിമിഷംഞങ്ങൾക്ക് $y$ ലഭിക്കില്ല, അപ്പോൾ പുരോഗതിയുടെ അവസാനത്തിൽ സ്ഥിതി വ്യത്യസ്തമാണ്. ഗണിത ശരാശരി ഓർക്കുക:

ഇപ്പോൾ, $y$ അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, ശേഷിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തിയ $-\frac(1)(2)$, $y=-\frac(1)(3)$ എന്നിവയ്ക്കിടയിലാണ് $x$ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതുകൊണ്ടാണ്

സമാനമായി വാദിച്ചുകൊണ്ട്, ശേഷിക്കുന്ന സംഖ്യ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

തയ്യാറാണ്! ഞങ്ങൾ മൂന്ന് നമ്പറുകളും കണ്ടെത്തി. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ അവ തിരുകേണ്ട ക്രമത്തിൽ ഉത്തരത്തിൽ എഴുതാം.

ഉത്തരം: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

ടാസ്ക് നമ്പർ 10. 2 നും 42 നും ഇടയിൽ, ചേർത്ത സംഖ്യകളുടെ ആദ്യത്തേയും രണ്ടാമത്തേയും അവസാനത്തേയും തുക 56 ആണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾക്കൊപ്പം ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്ന നിരവധി സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക.

പരിഹാരം. അതിലും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു ജോലി, എന്നിരുന്നാലും, മുമ്പത്തെ അതേ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു - ഗണിത ശരാശരിയിലൂടെ. എത്ര അക്കങ്ങൾ ചേർക്കണമെന്ന് കൃത്യമായി അറിയില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം. അതിനാൽ, വ്യക്തതയ്ക്കായി, തിരുകിയതിന് ശേഷം കൃത്യമായി $n$ സംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകുമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു, അവയിൽ ആദ്യത്തേത് 2 ഉം അവസാനത്തേത് 42 ഉം ആണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആവശ്യമുള്ള ഗണിത പുരോഗതിയെ ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

\[\ഇടത്(((എ)_(n)) \right)=\ഇടത്\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \വലത്\)\]

\[((എ)_(2))+((എ)_(3))+((എ)_(n-1))=56\]

എന്നിരുന്നാലും, $((a)_(2))$, $((a)_(n-1))$ എന്നീ സംഖ്യകൾ അരികിൽ നിൽക്കുന്ന 2, 42 എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് പരസ്പരം ഒരു പടി കൂടി ലഭിച്ചുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. , അതായത്. ക്രമത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക്. ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നത്

\[((എ)_(2))+((എ)_(n-1))=2+42=44\]

എന്നാൽ മുകളിലുള്ള പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെ മാറ്റിയെഴുതാം:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \ഇടത്(((എ)_(2))+((എ)_(n-1)) \വലത്)+((എ)_(3))=56; \\ & 44+((എ)_(3))=56; \\ & ((എ)_(3))=56-44=12. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

$((a)_(3))$, $((a)_(1))$ എന്നിവ അറിയുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് പുരോഗതി വ്യത്യാസം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((എ)_(3))-((എ)_(1))=\ഇടത്(3-1 \വലത്)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ശേഷിക്കുന്ന അംഗങ്ങളെ കണ്ടെത്താൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((എ)_(2))=2+5=7; \\ & ((എ)_(3))=12; \\ & ((എ)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((എ)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((എ)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((എ)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((എ)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((എ)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അങ്ങനെ, ഇതിനകം 9-ആം ഘട്ടത്തിൽ നമ്മൾ ക്രമത്തിന്റെ ഇടത് അറ്റത്ത് വരും - നമ്പർ 42. മൊത്തത്തിൽ, 7 അക്കങ്ങൾ മാത്രമേ ചേർക്കേണ്ടതുള്ളൂ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

ഉത്തരം: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

പുരോഗതികളുള്ള ടാസ്ക്കുകൾ ടെക്സ്റ്റ് ചെയ്യുക

ഉപസംഹാരമായി, താരതമ്യേന ലളിതമായ രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ശരി, ലളിതമാണ്: സ്കൂളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്ന മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും മുകളിൽ എഴുതിയത് വായിക്കാത്ത, ഈ ജോലികൾ ഒരു ആംഗ്യമായി തോന്നിയേക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ OGE, USE എന്നിവയിൽ കാണുന്നത് അത്തരം ജോലികളാണ്, അതിനാൽ അവയുമായി നിങ്ങൾ സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 11. ജനുവരിയിൽ ടീം 62 ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു, തുടർന്നുള്ള ഓരോ മാസത്തിലും അവർ മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ 14 കൂടുതൽ ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു. നവംബറിൽ ബ്രിഗേഡ് എത്ര ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു?

പരിഹാരം. വ്യക്തമായും, മാസത്തിൽ വരച്ച ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിക്കുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയായിരിക്കും. ഒപ്പം:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((എ)_(n))=62+\ഇടത്(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

നവംബർ വർഷത്തിലെ 11-ാം മാസമാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് $((a)_(11))$ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

\[((എ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

അതിനാൽ, നവംബറിൽ 202 ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 12. ബുക്ക്‌ബൈൻഡിംഗ് വർക്ക്‌ഷോപ്പ് ജനുവരിയിൽ 216 പുസ്തകങ്ങൾ ബൈൻഡ് ചെയ്തു, ഓരോ മാസവും മുൻ മാസത്തേക്കാൾ 4 പുസ്തകങ്ങൾ കൂടി ബൈൻഡ് ചെയ്തു. ഡിസംബറിൽ ശിൽപശാല എത്ര പുസ്തകങ്ങൾ ബൈൻഡ് ചെയ്തു?

പരിഹാരം. എല്ലാം ഒന്നുതന്നെ:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\ഇടത്(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ഡിസംബർ വർഷത്തിലെ അവസാനത്തെ, 12-ാമത്തെ മാസമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ $((a)_(12))$ തിരയുകയാണ്:

\[((എ)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ഇതാണ് ഉത്തരം - ഡിസംബറിൽ 260 പുസ്തകങ്ങൾ ബൈൻഡ് ചെയ്യും.

ശരി, നിങ്ങൾ ഇത് വരെ വായിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങളെ അഭിനന്ദിക്കാൻ ഞാൻ തിടുക്കം കൂട്ടുന്നു: ഗണിത പുരോഗതിയിൽ നിങ്ങൾ "യുവ യുദ്ധ കോഴ്‌സ്" വിജയകരമായി പൂർത്തിയാക്കി. നിങ്ങൾക്ക് സുരക്ഷിതമായി പോകാം അടുത്ത പാഠം, അവിടെ ഞങ്ങൾ പ്രോഗ്രഷൻ സം ഫോർമുലയും അതിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാനപ്പെട്ടതും വളരെ ഉപയോഗപ്രദവുമായ അനന്തരഫലങ്ങളും പഠിക്കും.

അല്ലെങ്കിൽ ഗണിതം - ഇത് ഒരു തരം ക്രമപ്പെടുത്തിയ സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്, ഇതിന്റെ സവിശേഷതകൾ ഒരു സ്കൂൾ ബീജഗണിത കോഴ്സിൽ പഠിക്കുന്നു. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്ന ചോദ്യം ഈ ലേഖനം വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.

എന്താണ് ഈ പുരോഗതി?

ചോദ്യത്തിന്റെ പരിഗണനയിലേക്ക് പോകുന്നതിനുമുമ്പ് (ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം), എന്താണ് ചർച്ച ചെയ്യപ്പെടുകയെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടതാണ്.

മുമ്പത്തെ ഓരോ സംഖ്യയിൽ നിന്നും ചില മൂല്യങ്ങൾ കൂട്ടി (കുറയ്ക്കൽ) വഴി ലഭിക്കുന്ന യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഏതെങ്കിലും ശ്രേണിയെ ബീജഗണിത (ഗണിത) പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്ത ഈ നിർവചനം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമെടുക്കുന്നു:

ഇവിടെ i എന്നത് a i എന്ന ശ്രേണിയിലെ മൂലകത്തിന്റെ ഓർഡിനൽ സംഖ്യയാണ്. അങ്ങനെ, ഒരു പ്രാരംഭ നമ്പർ മാത്രം അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് മുഴുവൻ ശ്രേണിയും എളുപ്പത്തിൽ പുനഃസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും. ഫോർമുലയിലെ d എന്ന പരാമീറ്ററിനെ പുരോഗതി വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പരിഗണനയിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വം ഉണ്ടെന്ന് എളുപ്പത്തിൽ കാണിക്കാനാകും:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

അതായത്, n-th മൂലകത്തിന്റെ മൂല്യം ക്രമത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ, വ്യത്യാസം d ആദ്യ ഘടകത്തിലേക്ക് a 1 n-1 തവണ ചേർക്കുക.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക എന്താണ്: ഫോർമുല

സൂചിപ്പിച്ച തുകയുടെ ഫോർമുല നൽകുന്നതിന് മുമ്പ്, ഒരു ലളിതമായത് പരിഗണിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ് പ്രത്യേക കേസ്. 1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ പുരോഗതി കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അവയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. പുരോഗതിയിൽ (10) കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ ഉള്ളതിനാൽ, പ്രശ്‌നം നേരിട്ട് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്, എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ക്രമത്തിൽ സംഗ്രഹിക്കുക.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

രസകരമായ ഒരു കാര്യം പരിഗണിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്: ഓരോ പദവും അടുത്തതിൽ നിന്ന് ഒരേ മൂല്യത്തിൽ d \u003d 1 വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതിനാൽ, ആദ്യത്തേതിന്റെ ജോടിയായി പത്താമത്തെയും രണ്ടാമത്തേത് ഒമ്പതാമത്തേയും സംയോജനം ഒരേ ഫലം നൽകും. . ശരിക്കും:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ തുകകളിൽ 5 എണ്ണം മാത്രമേ ഉള്ളൂ, അതായത്, ശ്രേണിയിലെ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കൃത്യമായി രണ്ട് മടങ്ങ് കുറവാണ്. അപ്പോൾ തുകകളുടെ എണ്ണം (5) ഓരോ തുകയുടെയും ഫലം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ (11), നിങ്ങൾ ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ ലഭിച്ച ഫലത്തിലേക്ക് വരും.

ഞങ്ങൾ ഈ വാദങ്ങളെ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം എഴുതാം:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

ഈ പദപ്രയോഗം കാണിക്കുന്നത് ഒരു വരിയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും സംഗ്രഹിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, ആദ്യത്തെ a 1 ന്റെയും അവസാനത്തെ a n ന്റെയും മൂല്യം അറിയാൻ ഇത് മതിയാകും. മൊത്തം എണ്ണംനിബന്ധനകൾ n.

തന്റെ സ്‌കൂൾ ടീച്ചർ നിശ്ചയിച്ച പ്രശ്‌നത്തിന് പരിഹാരം തേടുമ്പോഴാണ് ഗൗസ് ഈ സമത്വത്തെക്കുറിച്ച് ആദ്യം ചിന്തിച്ചതെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു: ആദ്യത്തെ 100 പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ സംഗ്രഹിക്കാൻ.

m മുതൽ n വരെയുള്ള മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക: ഫോർമുല

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ (ആദ്യ മൂലകങ്ങളുടെ) തുക എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നു, എന്നാൽ പലപ്പോഴും ടാസ്ക്കുകളിൽ പുരോഗതിയുടെ മധ്യത്തിൽ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി സംഗ്രഹിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാം?

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക എന്നതാണ് ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാനുള്ള എളുപ്പവഴി: mth മുതൽ nth വരെയുള്ള പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, പുരോഗതിയുടെ m മുതൽ n വരെയുള്ള ഒരു സെഗ്മെന്റ് ഒരു പുതിയ സംഖ്യ ശ്രേണിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കണം. ഇത്തരം പ്രാതിനിധ്യം m-thഒരു m എന്ന പദം ആദ്യത്തേതും a n എന്നത് n-(m-1) എന്ന നമ്പറും ആയിരിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തുകയ്ക്കുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണം

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് അറിയുന്നത്, മുകളിലുള്ള ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്.

താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു സംഖ്യാ ക്രമം 5-ൽ ആരംഭിച്ച് 12-ൽ അവസാനിക്കുന്ന അതിന്റെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം:

നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ d വ്യത്യാസം 3 ന് തുല്യമാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. n-ആം മൂലകത്തിനുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, പുരോഗതിയുടെ 5-ഉം 12-ഉം അംഗങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. ഇത് മാറുന്നു:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

പരിഗണനയിലുള്ള ബീജഗണിത പുരോഗതിയുടെ അറ്റത്തുള്ള സംഖ്യകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അറിയുക, കൂടാതെ സീരീസിലെ ഏത് സംഖ്യകളാണ് അവ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതെന്നും അറിയുന്നത്, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച തുകയുടെ ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. നേടുക:

എസ് 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

ഈ മൂല്യം വ്യത്യസ്തമായി ലഭിക്കുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്: ആദ്യം, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യത്തെ 12 മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് ഒരേ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യത്തെ 4 മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കുക, തുടർന്ന് ആദ്യ തുകയിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേത് കുറയ്ക്കുക. .