Angka mustahil Penrose. Segitiga Mustahil

Segitiga mustahil adalah salah satu paradoks matematik yang menakjubkan. Pada pandangan pertama kepadanya, anda tidak boleh meraguinya walau sesaat. kewujudan sebenar. Namun, ini hanyalah ilusi, penipuan. Dan kemungkinan ilusi sedemikian akan dijelaskan kepada kita oleh matematik!

Penemuan Penroses

Pada tahun 1958, British Psychological Journal menerbitkan artikel oleh L. Penrose dan R. Penrose, di mana mereka memperkenalkan kepada pertimbangan jenis baru ilusi optik, yang mereka panggil " segitiga mustahil».

Segitiga mustahil secara visual dianggap sebagai struktur yang sebenarnya wujud dalam ruang tiga dimensi dan terdiri daripada bar segi empat tepat. Tetapi ini hanyalah ilusi optik. Adalah mustahil untuk membina model sebenar segitiga mustahil.

Artikel Penrose mengandungi beberapa pilihan untuk menggambarkan segitiga mustahil. - persembahan "klasik".

Apakah unsur yang membentuk segitiga mustahil?

Lebih tepat lagi, dari elemen apakah yang nampaknya kita bina? Reka bentuk adalah berdasarkan sudut segi empat tepat, yang diperoleh dengan menyambungkan dua bar segi empat tepat yang sama pada sudut tepat. Tiga sudut sedemikian diperlukan, dan bar, oleh itu, enam keping. Sudut ini mesti "disambungkan" secara visual antara satu sama lain dengan cara tertentu supaya ia membentuk rantai tertutup. Apa yang berlaku ialah segitiga mustahil.

Letakkan sudut pertama dalam satah mendatar. Kami akan melampirkan sudut kedua kepadanya, mengarahkan salah satu tepinya ke atas. Akhir sekali, kami menambah sudut ketiga pada sudut kedua ini supaya tepinya selari dengan satah mendatar asal. Dalam kes ini, dua tepi sudut pertama dan ketiga akan selari dan diarahkan ke arah yang berbeza.

Jika kita menganggap bar sebagai segmen panjang unit, maka hujung bar sudut pertama mempunyai koordinat, dan, sudut kedua - , dan, ketiga - , dan. Kami mendapat struktur "berpusing" yang sebenarnya wujud dalam ruang tiga dimensi.

Dan sekarang mari kita cuba melihat dari segi mental titik yang berbeza angkasa lepas. Bayangkan bagaimana ia kelihatan dari satu titik, dari yang lain, dari yang ketiga. Apabila menukar titik pemerhatian, nampaknya kedua-dua tepi "hujung" sudut kita bergerak relatif antara satu sama lain. Tidak sukar untuk mencari kedudukan di mana mereka akan berhubung.

Tetapi jika jarak antara tulang rusuk adalah lebih kurang daripada jarak dari sudut ke titik dari mana kita melihat struktur kita, maka kedua-dua tulang rusuk akan mempunyai ketebalan yang sama untuk kita, dan idea akan timbul bahawa kedua-dua tulang rusuk ini sebenarnya adalah kesinambungan antara satu sama lain. Keadaan ini ditunjukkan dalam 4.

Dengan cara ini, jika kita melihat pantulan struktur pada cermin secara serentak, maka kita tidak akan melihat litar tertutup di sana.

Dan dari sudut pemerhatian yang dipilih, kita melihat dengan mata kita sendiri keajaiban yang telah berlaku: terdapat rantaian tertutup tiga penjuru. Cuma jangan ubah sudut pemerhatian supaya ilusi ini tidak runtuh. Kini anda boleh melukis objek yang anda lihat atau meletakkan lensa kamera pada titik yang ditemui dan mendapatkan gambar objek yang mustahil.

The Penroses adalah orang pertama yang berminat dengan fenomena ini. Mereka menggunakan kemungkinan yang timbul apabila memetakan ruang tiga dimensi dan objek tiga dimensi pada satah dua dimensi dan menarik perhatian kepada beberapa ketidakpastian reka bentuk - pembinaan terbuka tiga sudut boleh dianggap sebagai rantai tertutup.

Bukti kemustahilan segitiga Penrose

Menganalisis ciri imej dua dimensi objek tiga dimensi pada satah, kami memahami bagaimana ciri paparan ini membawa kepada segitiga mustahil. Mungkin seseorang akan berminat dengan bukti matematik semata-mata.

Sangat mudah untuk membuktikan bahawa segitiga mustahil tidak wujud, kerana setiap sudutnya adalah betul, dan jumlahnya ialah 270 darjah dan bukannya "diletakkan" 180 darjah.

Lebih-lebih lagi, walaupun kita menganggap segitiga mustahil terpaku bersama dari sudut kurang daripada 90 darjah, maka dalam kes ini kita dapat membuktikan bahawa segitiga mustahil tidak wujud.

Kami melihat tiga muka rata. Mereka bersilang secara berpasangan di sepanjang garis lurus. Satah yang mengandungi muka ini berpasangan ortogon, jadi ia bersilang pada satu titik.

Di samping itu, garis persilangan bersama satah mesti melalui titik ini. Oleh itu, garis lurus 1, 2, 3 mesti bersilang pada satu titik.

Tetapi tidak. Oleh itu, pembinaan yang dibentangkan adalah mustahil.

Seni "Mustahil".

Nasib idea ini atau itu - saintifik, teknikal, politik - bergantung pada banyak keadaan. Dan tidak kurang juga pada bentuk di mana idea ini akan dibentangkan, dalam imej apa ia akan muncul kepada orang awam. Sama ada penjelmaan itu akan menjadi kering dan sukar untuk dilihat, atau, sebaliknya, manifestasi idea itu akan menjadi terang, menarik perhatian kita walaupun bertentangan dengan kehendak kita.

Segitiga mustahil mempunyai nasib yang bahagia. Pada tahun 1961 pelukis Belanda Moritz Escher menyiapkan litograf yang dipanggilnya The Waterfall. Artis telah datang jauh tetapi pantas dari idea segitiga mustahil kepada penjelmaan artistiknya yang menakjubkan. Ingat bahawa artikel Penrose muncul pada tahun 1958.

Di tengah-tengah "Air Terjun" terdapat dua segitiga mustahil ditunjukkan. Satu segi tiga besar, satu lagi segitiga terletak di dalamnya. Nampaknya tiga segitiga mustahil yang serupa digambarkan. Tetapi ini bukan maksudnya, reka bentuk yang dibentangkan agak rumit.

Sekali imbas, kemustahilannya tidak akan dapat dilihat dengan serta-merta kepada semua orang, kerana setiap sambungan yang dikemukakan adalah mungkin. seperti yang mereka katakan, secara tempatan, iaitu, di kawasan kecil lukisan, reka bentuk sedemikian boleh dilaksanakan ... Tetapi secara umum, ia adalah mustahil! Potongan individunya tidak sesuai bersama, tidak bersetuju antara satu sama lain.

Dan untuk memahami perkara ini, kita mesti menggunakan usaha intelek dan visual tertentu.

Mari kita melakukan perjalanan di sepanjang tepi struktur. Laluan ini luar biasa kerana di sepanjangnya, seperti yang kita lihat, tahap relatif kepada satah mendatar kekal tidak berubah. Bergerak di sepanjang jalan ini, kita tidak naik dan tidak turun.

Dan semuanya akan baik-baik saja, biasa, jika di penghujung jalan - iaitu pada titik - kita tidak akan mendapati bahawa, berbanding dengan titik permulaan, kita entah bagaimana secara misterius tidak dapat dibayangkan memanjat menegak!

Untuk mencapai keputusan paradoks ini, kita mesti memilih jalan ini, dan juga memantau tahap relatif kepada satah mendatar ... Bukan tugas yang mudah. Dalam keputusannya, Escher datang untuk membantu ... air. Mari kita ingat lagu tentang pergerakan dari kitaran vokal Franz Schubert yang indah "The Beautiful Miller's Woman":

Dan pertama dalam imaginasi, dan kemudian di tangan tuan yang indah, struktur kosong dan kering berubah menjadi saluran air, di mana aliran air yang bersih dan cepat mengalir. Pergerakan mereka menangkap pandangan kita, dan sekarang, di luar kehendak kita, kita bergegas ke hilir, mengikuti semua selekoh dan selekoh jalan, bersama-sama dengan aliran yang kita pecah, jatuh di atas bilah kilang air, kemudian lagi bergegas ke hilir .. .

Kami mengelilingi jalan ini sekali, dua kali, sepertiga ... dan barulah kita sedar: bergerak ke bawah dan s, entah bagaimana kita dengan cara yang hebat mari naik ke puncak! Kejutan awal berkembang menjadi sejenis ketidakselesaan intelektual. Nampaknya kita telah menjadi mangsa beberapa jenis gurauan, objek gurauan yang masih belum difahami.

Dan sekali lagi kami mengulangi jalan ini di sepanjang saluran yang aneh, kini perlahan-lahan, dengan berhati-hati, seolah-olah takut ditangkap dari gambaran paradoks, secara kritis melihat segala yang berlaku di laluan misteri ini.

Kami cuba merungkai misteri yang telah memukau kami, dan kami tidak dapat melepaskan diri dari kurungannya sehingga kami menemui mata air tersembunyi yang terletak pada dasarnya dan membawa angin puyuh yang tidak dapat dibayangkan ke dalam gerakan yang tidak henti-hentinya.

Seniman secara khusus menekankan, mengenakan kepada kita persepsi lukisannya sebagai imej objek tiga dimensi sebenar. Tiga dimensi ditekankan oleh imej polihedron yang agak nyata di menara, kerja bata dengan perwakilan paling tepat setiap bata di dinding saluran air, teres yang meningkat dengan taman di latar belakang. Semuanya direka untuk meyakinkan penonton tentang realiti apa yang berlaku. Dan terima kasih kepada seni dan teknologi yang sangat baik, matlamat ini telah dicapai.

Apabila kita keluar dari kurungan di mana kesedaran kita jatuh, kita mula membandingkan, membandingkan, menganalisis, kita mendapati bahawa asas, sumber gambar ini tersembunyi dalam ciri reka bentuk.

Dan kami mendapat satu lagi - bukti "fizikal" tentang kemustahilan "segitiga mustahil": jika segitiga sedemikian wujud, maka "Air Terjun" Escher juga akan wujud, yang pada asasnya adalah mesin gerakan kekal. Tetapi mesin gerakan kekal adalah mustahil, oleh itu, "segitiga mustahil" juga mustahil. Dan, mungkin, "bukti" ini adalah yang paling meyakinkan.

Apakah yang menjadikan Moritz Escher sebagai fenomena, seorang yang unik yang tidak mempunyai pendahulu yang jelas dalam seni dan yang tidak boleh ditiru? Ini adalah gabungan satah dan jilid, perhatian rapat kepada bentuk-bentuk pelik mikrokosmos - hidup dan tidak hidup, kepada sudut pandangan luar biasa pada perkara biasa. Kesan utama gubahannya ialah kesan kemunculan hubungan mustahil antara objek biasa. Situasi ini pada pandangan pertama boleh menakutkan dan menyebabkan senyuman. Anda boleh dengan senang hati melihat keseronokan yang ditawarkan oleh artis, atau anda boleh terjun ke kedalaman dialektik dengan serius.

Moritz Escher menunjukkan bahawa dunia mungkin tidak sama sekali seperti yang kita lihat dan terbiasa untuk melihatnya - anda hanya perlu melihatnya dari sudut pandangan baharu yang berbeza!

Moritz Escher

Moritz Escher lebih bertuah sebagai seorang saintis daripada sebagai seorang artis. Ukiran dan litografnya dilihat sebagai kunci untuk membuktikan teorem atau contoh balas asal yang bertentangan dengan akal sehat. Paling teruk, mereka dianggap sebagai ilustrasi yang sangat baik untuk risalah saintifik tentang kristalografi, teori kumpulan, psikologi kognitif, atau grafik komputer. Moritz Escher bekerja dalam bidang hubungan ruang-masa dan identiti mereka, dia menggunakan corak asas mozek, menerapkan transformasi kepada mereka. ini Tuan yang hebat ilusi optik. Ukiran Escher tidak menggambarkan dunia formula, tetapi keindahan dunia. Gudang intelektual mereka pada asasnya menentang ciptaan tidak logik golongan surealis.

Artis Belanda Moritz Cornelius Escher dilahirkan pada 17 Jun 1898 di wilayah Belanda. Rumah tempat Escher dilahirkan kini menjadi muzium.

Sejak 1907, Moritz telah belajar pertukangan dan bermain piano, belajar di sekolah Menengah. Gred Moritz dalam semua mata pelajaran adalah lemah kecuali untuk lukisan. Guru seni itu menyedari bakat budak itu dan mengajarnya cara membuat potongan kayu.

Pada tahun 1916, Escher melakukan kerja grafik pertamanya, ukiran pada linoleum ungu - potret bapanya G. A. Escher. Dia melawat bengkel artis Gert Stiegemann, yang mempunyai mesin cetak. Ukiran pertama Escher dicetak pada mesin ini.

Pada 1918-1919 Escher menghadiri Kolej Teknikal di bandar Delft, Belanda. Dia menerima penangguhan daripada perkhidmatan ketenteraan untuk menyambung pelajarannya, tetapi disebabkan kesihatan yang lemah, Moritz tidak dapat mengatasinya. kurikulum, dan telah dibuang kerja. Akibatnya, dia tidak pernah menerima pendidikan tinggi. Dia belajar di Sekolah Seni Bina dan Hiasan di Haarlem, di mana dia mengambil pelajaran lukisan daripada Samuel Jeserin de Mesquite, yang mempunyai pengaruh formatif pada kehidupan dan kerja Escher.

Pada tahun 1921 keluarga Escher melawat Riviera dan Itali. Terpesona dengan tumbuh-tumbuhan dan bunga iklim Mediterranean, Moritz membuat lukisan terperinci pokok kaktus dan zaitun. Dia melakar banyak lakaran landskap gunung, yang kemudiannya menjadi asas kerjanya. Kemudian, dia akan sentiasa kembali ke Itali, yang akan menjadi sumber inspirasi untuknya.

Escher mula bereksperimen ke arah yang baru untuk dirinya sendiri, walaupun dalam karyanya terdapat imej cermin, angka kristal dan sfera.

Penghujung tahun dua puluhan terbukti menjadi tempoh yang sangat bermanfaat untuk Moritz. Karya beliau telah ditunjukkan di banyak pameran di Belanda, dan pada tahun 1929 populariti beliau telah mencapai tahap sedemikian rupa sehingga lima pameran solo diadakan dalam satu tahun di Belanda dan Switzerland. Dalam tempoh inilah lukisan Escher pertama kali dipanggil mekanikal dan "logik".

Asher banyak mengembara. Tinggal di Itali dan Switzerland, Belgium. Dia mempelajari mozek Moor, membuat litograf, ukiran. Berdasarkan lakaran perjalanan, dia mencipta lukisan pertamanya tentang realiti mustahil Still Life with Street.

Pada akhir tiga puluhan, Escher terus bereksperimen dengan mozek dan transformasi. Dia mencipta mozek dalam bentuk dua burung terbang ke arah satu sama lain, yang membentuk asas lukisan "Siang dan Malam".

Pada Mei 1940, Nazi menduduki Belanda dan Belgium, dan pada 17 Mei, Brussels juga jatuh ke dalam zon pendudukan, di mana Escher dan keluarganya tinggal pada masa itu. Mereka mencari rumah di Varna dan berpindah ke sana pada Februari 1941. Sehingga akhir zamannya, Escher akan tinggal di kota ini.

Pada tahun 1946, Escher mula berminat dengan teknologi percetakan gravure. Dan walaupun teknologi ini jauh lebih rumit daripada yang digunakan oleh Escher sebelum ini dan memerlukan lebih banyak masa untuk mencipta gambar, hasilnya mengagumkan - garis nipis dan pembiakan bayang-bayang yang tepat. Salah satu yang paling karya terkenal dalam percetakan gravure "Dewdrop" telah siap pada tahun 1948.

Pada tahun 1950, Moritz Escher mendapat populariti sebagai pensyarah. Kemudian, pada tahun 1950, pameran solo pertamanya diadakan di Amerika Syarikat dan karyanya mula dibeli. 27 April 1955 Moritz Escher bergelar kesatria dan menjadi bangsawan.

Pada pertengahan 1950-an, Escher menggabungkan mozek dengan figura yang mencapai infiniti.

Pada awal 60-an, buku pertama dengan karya Escher, Grafiek en Tekeningen, diterbitkan, di mana penulis sendiri mengulas 76 karya. Buku ini telah membantu mendapatkan pemahaman di kalangan ahli matematik dan kristalografi, termasuk beberapa di Rusia dan Kanada.

Pada Ogos 1960 Escher memberikan syarahan mengenai kristalografi di Cambridge. Aspek matematik dan kristalografi karya Escher menjadi sangat popular.

Pada tahun 1970 selepas siri baru Operasi Escher berpindah ke rumah baru di Laren, yang mempunyai sebuah studio, tetapi kesihatan yang tidak baik menjadikannya mustahil untuk bekerja keras.

Moritz Escher meninggal dunia pada tahun 1971 pada usia 73 tahun. Escher hidup cukup lama untuk melihat The World of M.C. Escher diterjemahkan ke dalam Bahasa Inggeris dan sangat berpuas hati dengannya.

Pelbagai gambar mustahil ditemui di laman web ahli matematik dan pengaturcara. paling versi penuh dari yang kami lihat, pada pendapat kami, adalah tapak Vlad Alekseev

Laman web ini bukan sahaja menyajikan pelbagai jenis lukisan terkenal, termasuk M. Escher, tetapi juga imej animasi, lukisan lucu haiwan mustahil, syiling, setem, dsb. Laman web ini hidup, ia dikemas kini secara berkala dan diisi semula dengan lukisan yang menakjubkan.

Hari ini saya membuka bahagian baharu yang dipanggil "Memotong", di mana saya akan menyiarkan lukisan, templat, serta corak ilusi optik. Hari ini kita akan membuat segitiga mustahil dari kertas. Oleh kerana kita tidak boleh mencipta segitiga mustahil, kita akan mencipta model yang akan kita pertimbangkan dari sudut tertentu.

1. Muat turun dan cetak
2. Ikut arahan dalam gambar

Bagaimana untuk mempertimbangkan segitiga mustahil dengan betul?

Oleh kerana ilusi adalah berdasarkan lukisan samar-samar kubus dalam pandangan isometrik. Kemudian dalam orientasi ini, sudut yang paling dekat dengan penonton dan sudut jauh dari penonton akan bertepatan. Ini bermakna apabila menuruni tepi terdekat kubus, dan dua tepi bawah, kita kembali ke titik permulaan di mana laluan sebenarnya berakhir di sudut jauh.

Segitiga Penrose yang mustahil ini

Di kawasan sebegitu seni bergambar seperti melukis kulit manusia, trend terkini hari ini terdapat angka-angka ilusi optik, khususnya segitiga Penrose, atau tribar, yang juga dipanggil mustahil. Buat pertama kalinya bentuk ini ditemui, atau dicipta, oleh pelukis Sweden Oscar Reutersvärd, yang mempersembahkannya kepada dunia dalam bentuk satu set kiub pada awal tahun 1935. Kemudian, sudah pada tahun 80-an abad kita, corak tribar dicetak di Sweden pada setem pos.

Walau bagaimanapun, imej segitiga Penrose yang mustahil, yang tergolong dalam kategori ilusi optik, diketahui secara meluas pada tahun 1958, selepas penerbitan penerbitan ahli matematik Inggeris Roger Penrose mengenai angka mustahil, yang diterbitkan dalam British Journal of Psychology. Diilhamkan oleh siaran ini, pelukis terkenal dari Holland Maurits Escher yang dicipta pada tahun 1961 salah satu karyanya yang paling popular "Waterfall".

Ilusi optikal

Ilusi optik dalam lukisan adalah ilusi visual persepsi. gambar sebenar, buatan artis susunan garisan tertentu pada satah. Pada masa yang sama, penonton secara salah menilai saiz sudut angka atau panjang sisinya, yang merupakan subjek kajian subseksyen psikologi seperti, sebagai contoh, terapi gestalt. Selain Escher, seorang lagi gemar mencipta ilusi optik. artis hebat- di seluruh dunia El Salvador yang terkenal Dali. Ilustrasi yang jelas tentang keghairahannya adalah, sebagai contoh, lukisan "Angsa tercermin dalam gajah."

Segitiga di atas juga merujuk kepada ilusi optik, lebih tepat lagi kepada bahagian itu, yang dipanggil angka mustahil. Mereka dipanggil demikian kerana perasaan yang timbul apabila melihat bentuk sedemikian rupa sehingga kewujudannya dunia sebenar cuma mustahil.

Aplikasi ilusi

Oleh kerana bentuknya yang unik, objek ilusi berfungsi sebagai subjek perhatian rapat bukan sahaja artis dan artis tatu - segitiga yang dibuat sendiri atau dengan bantuan profesional juga boleh bertindak sebagai logo syarikat. Contoh hebat penggunaan bentuk ilusi ini ialah: logo kumpulan muzik psychedelic yang memainkan muzik rakyat, Conundum in Deed, yang merupakan kiub mustahil, atau jenama pengeluar cip Digilent Inc, yang merupakan imej segi tiga klasik Penrose.

Anda boleh membuat logo anda sendiri tanpa menggunakan profesional. Untuk melakukan ini, hanya ikut arahan, berikutan anda boleh melakukan kedua-dua lukisan mudah di atas kertas atau dalam tablet, dan membuat angka isipadu. Ia boleh diletakkan sebagai tanda atau pengiklanan luar untuk kedai anda.

Bagaimana untuk melakukannya sendiri

Arahan langkah demi langkah tentang cara melukis tribar menggunakan Adobe Illustrator:

1. Mula-mula anda perlu membuat 3 segi empat sama dengan alat Rectangle. Untuk melakukan ini, anda perlu pergi ke menu Lihat dahulu dan dayakan Panduan Pintar.
2. Sekarang anda perlu memilih semuanya dan pergi ke menu Objek, kemudian ke Transform dan buka Transform masing-masing, di mana dalam tetingkap Skala anda perlu meletakkan nilai Vertical Scale = 86.6% dan klik OK.
3. Sekarang anda perlu menetapkan setiap muka sudut putarannya sendiri, dan untuk ini pergi ke Transform terbuka Tetingkap. Di sana, mula-mula letakkan nilai untuk bevel (Ricih), dan kemudian untuk putaran (Putar): permukaan atas kubus ialah Ricih +30 °, Putar -30 °; permukaan kanan - Ricih +30°, Putar +30°; permukaan kiri — Ricih -30°, Putar -30°.
4. Sekarang, menggunakan garisan Panduan Pintar, anda perlu mencantumkan semua bahagian kiub bersama-sama: untuk melakukan ini, cangkuk sudut salah satu sisi dengan tetikus dan tariknya ke bahagian lain, selaraskannya.
5. Pada peringkat ini, anda perlu memutarkan kubus sebanyak 30°: untuk melakukan ini, pergi ke Objek, pilih Transform dan Putar, tetapkan nilai sudut di sana kepada 30° dan klik OK.
6. Memandangkan anda memerlukan 6 kiub untuk mendapatkan tri-bar, anda harus memilih kiub, tekan Alt dan Shift dan seret objek yang dipilih ke sisi dengan tetikus, meregangkannya ke arah mendatar. Tanpa mengalih keluar pilihan, tekan CMD + D 6 kali. Kami mendapat 6 kiub.
7. Meninggalkan pilihan pada kiub terakhir, tekan Enter dan dalam tetingkap Move tukar nilai sudut kepada 240 °, kemudian tekan Salin. Kemudian sekali lagi tekan CMD + D sehingga anda mendapat 6 salinan.
8. Sekarang ulangi semuanya: tekan Enter sekali lagi, pilih kiub terakhir, hanya tetapkan sudut kepada 120 ° dan buat hanya 5 salinan.
9. Menggunakan Alat Pemilihan, anda perlu memilih permukaan atas bentuk (anda boleh mewarnakannya semula untuk menjadikannya lebih jelas), buka menu Objek - Susun - Hantar ke belakang. Sekarang pilih permukaan dicat kubus atas, pergi ke Objek - Susun - Bawa ke Depan.

Ilusi Penrose sudah sedia. Ia boleh disiarkan pada halaman anda dalam rangkaian sosial atau blog, atau digunakan untuk perniagaan.

Segitiga Penrose- salah satu tokoh mustahil utama, juga dikenali dengan nama segitiga mustahil Dan suku kaum.

Segitiga Penrose (berwarna)

cerita

Angka ini mendapat populariti yang meluas selepas penerbitan artikel mengenai angka mustahil dalam British Journal of Psychology oleh ahli matematik Inggeris Roger Penrose pada tahun 1958. Juga dalam artikel ini, segitiga mustahil digambarkan dalam bentuk yang paling umum - dalam tiga rasuk bersambung antara satu sama lain pada sudut tegak. Dipengaruhi oleh artikel ini, artis Belanda Maurits Escher mencipta salah satu litograf Air Terjunnya yang terkenal.

Cetakan 3D segi tiga Penrose

arca

Arca 13 meter segi tiga mustahil diperbuat daripada aluminium telah didirikan pada tahun 1999 di bandar Perth (Australia)

Arca yang sama apabila menukar sudut pandangan

Tokoh lain

Walaupun agak mungkin untuk membina analog segitiga Penrose berdasarkan poligon sekata, kesan visual mereka tidak begitu mengagumkan. Apabila bilangan sisi bertambah, objek kelihatan bengkok atau berpintal.

lihat juga

• Tiga arnab (Bahasa Inggeris) tiga ekor arnab)

Ilusionisme (falsafah)

Ilusionisme - dalam erti kata yang luas, ini adalah nama untuk kedudukan falsafah berhubung dengan fenomena tertentu; untuk cara bagaimana fenomena tersebut dipertimbangkan; dalam erti kata yang sempit, ia adalah nama untuk beberapa teori falsafah tertentu.

ilusi dinding kafe

Ilusi dinding kafe ialah ilusi optik yang dicipta oleh tindakan gabungan pelbagai tahap mekanisme saraf: neuron retina dan neuron korteks visual.

angka mustahil

Angka yang mustahil adalah salah satu jenis ilusi optik, angka yang pada pandangan pertama seolah-olah merupakan unjuran objek tiga dimensi biasa, apabila diteliti lebih dekat, sambungan bercanggah unsur-unsur rajah menjadi kelihatan. Ilusi dicipta tentang kemustahilan kewujudan sosok sedemikian dalam ruang tiga dimensi.

Kubus mustahil

Kubus mustahil ialah angka mustahil yang dicipta oleh Escher untuk litograf Belvederenya. Ini ialah rajah dua dimensi yang kelihatan seperti perspektif kubus tiga dimensi, tidak serasi dengan kubus sebenar. Dalam litograf Belvedere, seorang budak lelaki yang duduk di dasar bangunan memegang sebuah kiub mustahil. Lukisan kubus Necker yang serupa terletak di kakinya, manakala bangunan itu sendiri mengandungi sifat yang sama dengan kubus mustahil.

Kubus mustahil meminjam kekaburan kubus Necker, di mana tepi dilukis sebagai segmen garis, dan yang boleh ditafsirkan dalam salah satu daripada dua orientasi tiga dimensi yang berbeza.

Kubus mustahil biasanya dilukis sebagai kubus Necker, dengan tepi (segmen) digantikan dengan bar yang kelihatan padat.

Dalam litografi Escher, empat cantuman atas bar dan persimpangan atas bar sepadan dengan salah satu daripada dua tafsiran kubus Necker, manakala empat cantuman bawah dan persimpangan bawah sepadan dengan tafsiran lain. Variasi lain kubus mustahil menggabungkan sifat ini dengan cara lain. Sebagai contoh, salah satu kubus dalam rajah mengandungi kesemua lapan sambungan mengikut satu tafsiran kubus Necker, dan kedua-dua persimpangan sepadan dengan tafsiran lain.

Kepejalan bar yang jelas memberikan kiub mustahil lebih kekaburan visual daripada kiub Necker, yang kurang berkemungkinan dianggap sebagai objek mustahil. Ilusi itu memainkan tafsiran mata manusia terhadap lukisan dua dimensi sebagai objek tiga dimensi. Objek tiga dimensi mungkin kelihatan mustahil apabila dilihat dari sudut tertentu dan sama ada dengan membuat potongan pada objek di tempat yang betul atau dengan menggunakan perspektif yang diubah, tetapi pengalaman manusia dengan objek segi empat tepat menjadikan persepsi mustahil lebih berkemungkinan daripada ilusi dalam realiti.

Artis lain, termasuk Jos De Mey, juga melukis kepingan kiub yang mustahil.

Gambar rekaan kubus yang dikatakan mustahil telah diterbitkan dalam terbitan Scientific American pada Jun 1966, di mana ia dipanggil "sangkar Frimisch". Kiub mustahil itu dipaparkan pada setem pos Austria.

Trident yang mustahil

Blyweth, juga dikenali sebagai poyut atau devil pitchfork, ialah sosok yang tidak dapat dijelaskan ilusi optikal dan angka yang mustahil. Nampaknya tiga batang silinder bertukar menjadi dua bar.

Ruthersward, Oscar

Oskar Rutersvärd (ejaan nama keluarga yang diterima dalam kesusasteraan bahasa Rusia; lebih tepat lagi, Reutersverd), Sweden. Oscar Reutersvärd (29 November 1915, Stockholm, Sweden - 2 Februari 2002, Lund) - "bapa kepada sosok yang mustahil", seorang artis Sweden yang pakar dalam menggambarkan angka mustahil, iaitu, yang boleh digambarkan (diberikan pelanggaran perspektif yang tidak dapat dielakkan apabila mewakili ruang 3 dimensi di atas kertas), tetapi tidak boleh dibuat. Salah seorang tokohnya menerima perkembangan selanjutnya sebagai "segitiga Penrose" (1934). Karya Ruthersward boleh dibandingkan dengan karya Escher, tetapi jika yang terakhir menggunakan angka mustahil sebagai "tulang belakang" untuk menggambarkan dunia yang hebat, maka Ruthersward hanya berminat dengan angka seperti itu. Semasa hayatnya, Rutersvärd menggambarkan kira-kira 2,500 angka dalam unjuran isometrik. Buku-buku Rutersvärd telah diterbitkan dalam banyak bahasa, termasuk bahasa Rusia.

Escher, Maurits Cornelis

Maurits Cornelis Escher (Belanda. Maurits Cornelis Escher [ˈmʌu̯rɪts kɔrˈneːlɪs ˈɛʃər̥]; 17 Jun 1898, Leeuwarden, Belanda - 27 Mac 1972, Hilversum, Belanda) ialah artis grafik Belanda Dikenali terutamanya untuk litograf konseptualnya, potongan kayu dan ukiran logam, di mana dia mahir meneroka aspek plastik konsep infiniti dan simetri, serta ciri persepsi psikologi objek tiga dimensi yang kompleks, yang paling wakil terang seni imp.

Ilusi	Penrose Segi tiga

Juga dikenali dengan nama segitiga mustahil Dan suku kaum.

cerita

Angka ini mendapat populariti yang meluas selepas penerbitan artikel mengenai angka mustahil dalam British Journal of Psychology oleh ahli matematik Inggeris Roger Penrose pada tahun 1958. Dalam artikel ini, segitiga mustahil digambarkan dalam bentuk yang paling umum - dalam bentuk tiga rasuk yang disambungkan antara satu sama lain pada sudut tepat. Dipengaruhi oleh artikel ini, artis Belanda Maurits Escher mencipta salah satu litograf Air Terjunnya yang terkenal.

arca

Arca 13 meter segi tiga mustahil diperbuat daripada aluminium telah didirikan pada tahun 1999 di bandar Perth (Australia)

Deutsches Technikmuseum Berlin Februari 2008 0004.JPG

Arca yang sama apabila menukar sudut pandangan

Tokoh lain

Walaupun agak mungkin untuk membina analog segitiga Penrose berdasarkan poligon biasa, kesan visualnya tidak begitu mengagumkan. Apabila bilangan sisi bertambah, objek kelihatan bengkok atau berpintal.

lihat juga

• Tiga arnab (Bahasa Inggeris) tiga ekor arnab )

Tulis ulasan tentang artikel "Penrose Triangle"

Petikan yang mencirikan Segitiga Penrose

Setelah mengatakan semua yang diperintahkan kepadanya, Balashev berkata bahawa Maharaja Alexander mahukan keamanan, tetapi tidak akan memulakan rundingan kecuali dengan syarat bahawa ... Di sini Balashev teragak-agak: dia teringat kata-kata yang tidak ditulis oleh Maharaja Alexander dalam surat, tetapi yang dia sudah tentu mengarahkan Saltykov untuk memasukkannya ke dalam reskrip dan yang dia mengarahkan Balashev untuk diserahkan kepada Napoleon. Balashev teringat kata-kata ini: "sehingga tidak ada satu pun musuh bersenjata kekal di tanah Rusia," tetapi beberapa jenis perasaan kompleks menahannya. Dia tidak dapat mengucapkan kata-kata itu walaupun dia mahu. Dia teragak-agak dan berkata: dengan syarat tentera Perancis berundur melepasi Neman.
Napoleon perasan rasa malu Balashev apabila berkata kata-kata terakhir; mukanya menggeletar, betis kaki kirinya mula menggeletar terukur. Tanpa berganjak dari tempat duduknya, dia mula bersuara dengan suara yang lebih tinggi dan tergesa-gesa daripada sebelumnya. Semasa ucapan berikutnya, Balashev, lebih daripada sekali menundukkan matanya, secara tidak sengaja memerhatikan gemetar anak lembu di kaki kiri Napoleon, yang semakin meningkat semakin dia meninggikan suaranya.
"Saya berharap keamanan tidak kurang daripada Maharaja Alexander," dia memulakan. “Bukankah saya telah melakukan segala-galanya selama lapan belas bulan untuk mendapatkannya? Saya telah menunggu lapan belas bulan untuk mendapatkan penjelasan. Tetapi untuk memulakan rundingan, apakah yang diperlukan daripada saya? katanya sambil mengerutkan dahi dan membuat isyarat bertenaga bertanya dengan tangan kecilnya yang putih dan berisi.
- Pengunduran tentera untuk Neman, berdaulat, - kata Balashev.
- Untuk Neman? ulang Napoleon. - Jadi sekarang anda mahu berundur di belakang Neman - hanya untuk Neman? ulang Napoleon, memandang tepat ke arah Balashev.
Balashev menundukkan kepalanya dengan hormat.
Daripada menuntut empat bulan lalu untuk berundur dari Numberania, kini mereka menuntut untuk berundur hanya di luar Neman. Napoleon cepat-cepat berpaling dan mula mengorak langkah ke dalam bilik.
- Anda mengatakan bahawa saya dikehendaki berundur melepasi Neman untuk memulakan rundingan; tetapi dua bulan lalu mereka menuntut saya untuk berundur melintasi Oder dan Vistula dengan cara yang sama, dan walaupun demikian, anda bersetuju untuk berunding.
Dia berjalan secara senyap dari satu sudut bilik ke sudut yang lain dan sekali lagi berhenti di hadapan Balashev. Wajahnya kelihatan membatu dalam ekspresi tegasnya, dan kaki kirinya menggeletar lebih cepat daripada sebelumnya. Napoleon tahu ini menggeletar betis kirinya. La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [Betis kiriku menggeletar tanda hebat,] katanya kemudian.

Yang mustahil masih boleh. Dan pengesahan yang jelas tentang ini adalah segitiga Penrose yang mustahil. Ditemui pada abad yang lalu, ia masih sering dijumpai di sastera saintifik. Dan tidak kira betapa mengejutkannya, anda juga boleh membuatnya sendiri. Dan ia agak mudah untuk melakukannya. Ramai peminat melukis atau mengumpul origami telah dapat melakukan ini untuk masa yang lama.

Maksud segitiga Penrose

Terdapat beberapa nama untuk angka ini. Ada yang memanggilnya segitiga mustahil, yang lain hanya tribar. Tetapi selalunya anda boleh mencari definisi tepat "segitiga Penrose".

Di bawah definisi ini, salah satu angka mustahil utama difahami. Berdasarkan namanya, adalah mustahil untuk mendapatkan angka sedemikian dalam realiti. Tetapi dalam amalan, telah terbukti bahawa ia masih boleh dilakukan. Ia hanya akan terbentuk jika anda melihatnya dari satu titik pada sudut yang betul. Dari semua pihak lain, angka itu agak nyata. Ia mewakili tiga tepi kubus. Dan mudah untuk membuat reka bentuk sedemikian.

Sejarah penemuan

Segitiga Penrose ditemui pada tahun 1934 oleh artis Sweden Oscar Reutersvärd. Angka itu dibentangkan dalam bentuk kiub yang dipasang bersama. Pada masa akan datang, artis itu mula dipanggil "bapa tokoh mustahil."

Mungkin lukisan Reutersvärd akan kekal kurang diketahui. Tetapi pada tahun 1954, ahli matematik Sweden Roger Penrose menulis kertas mengenai angka mustahil. Ini adalah kelahiran kedua segitiga. Benar, saintis membentangkannya dalam bentuk yang lebih biasa. Dia tidak menggunakan kiub, tetapi rasuk. Tiga rasuk disambungkan antara satu sama lain pada sudut 90 darjah. Perbezaannya juga ialah Reutersvärd menggunakan perspektif selari semasa melukis. Dan Penrose menggunakan perspektif linear, yang menjadikan lukisan itu lebih mustahil. Segitiga sedemikian telah diterbitkan pada tahun 1958 dalam jurnal psikologi British.

Pada tahun 1961, artis Maurits Escher (Holland) mencipta salah satu litografnya yang paling popular, Air Terjun. Ia dicipta di bawah tanggapan yang disebabkan oleh artikel mengenai angka mustahil.

Pada tahun lapan puluhan abad yang lalu, tribar dan tokoh mustahil lain digambarkan di negeri setem pos Sweden. Ini berlangsung selama beberapa tahun.

Pada akhir abad yang lalu (lebih tepat pada tahun 1999), sebuah arca aluminium telah dicipta di Australia, menggambarkan segitiga Penrose yang mustahil. Ia mencapai ketinggian 13 meter. Arca yang serupa, hanya bersaiz lebih kecil, juga terdapat di negara lain.

Mustahil dalam realiti

Seperti yang mungkin anda duga, segitiga Penrose bukanlah segitiga dalam erti kata biasa. Ia ialah tiga sisi kubus. Tetapi jika anda melihat dari sudut tertentu, anda mendapat ilusi segitiga kerana fakta bahawa 2 sudut bertepatan sepenuhnya pada satah. Yang dekat dari penonton dan sudut jauh digabungkan secara visual.

Jika anda berhati-hati, anda boleh mengagak bahawa tribar itu tidak lebih daripada ilusi. Penampilan sebenar angka itu boleh memberikan bayangan daripadanya. Ia menunjukkan bahawa sebenarnya sudut tidak bersambung. Dan, sudah tentu, semuanya menjadi jelas jika anda mengambil angka itu.

Membuat angka dengan tangan anda sendiri

Segitiga Penrose boleh dipasang secara bebas. Contohnya, dari kertas atau kadbod. Dan gambar rajah akan membantu dalam hal ini. Mereka hanya perlu dicetak dan dilekatkan. Terdapat dua gambar rajah di Internet. Salah satunya adalah sedikit lebih mudah, yang lain lebih sukar, tetapi lebih popular. Kedua-duanya ditunjukkan dalam gambar.

Segitiga Penrose akan menjadi produk menarik yang pasti akan disukai tetamu. Ia pasti tidak akan disedari. Langkah pertama untuk menciptanya ialah menyediakan skema. Ia dipindahkan ke kertas (kadbod) menggunakan pencetak. Dan kemudian ia lebih mudah. Ia hanya perlu dipotong di sekeliling perimeter. Rajah sudah mempunyai semua baris yang diperlukan. Ia akan menjadi lebih mudah untuk bekerja dengan kertas yang lebih tebal. Jika gambar rajah dicetak pada kertas nipis, tetapi anda mahukan sesuatu yang lebih padat, kosong hanya digunakan pada bahan yang dipilih dan dipotong sepanjang kontur. Untuk mengelakkan litar daripada bergerak, ia boleh dilekatkan dengan klip kertas.

Seterusnya, anda perlu menentukan garisan di mana bahan kerja akan bengkok. Sebagai peraturan, ia diwakili dalam rajah. Kami membengkokkan bahagian itu. Seterusnya, kami menentukan tempat yang tertakluk kepada gluing. Mereka disalut dengan gam PVA. Bahagian itu digabungkan menjadi satu angka.

Detail boleh dicat. Dan pada mulanya anda boleh menggunakan kadbod berwarna.

Lukiskan angka yang mustahil

Segitiga Penrose juga boleh dilukis. Sebagai permulaan, segi empat tepat dilukis pada helaian. Saiznya tidak penting. Dengan tapak di bahagian bawah segi empat sama, sebuah segitiga dilukis. Segi empat tepat kecil dilukis di sudut dalam. Sisi mereka perlu dipadamkan, hanya meninggalkan bahagian yang sama dengan segi tiga. Hasilnya mestilah segitiga dengan sudut terpotong.

Satu garis lurus dilukis dari sebelah kiri sudut atas bawah. Garis yang sama, tetapi lebih pendek sedikit, dilukis dari sudut kiri bawah. Garisan yang memanjang dari sudut kanan dilukis selari dengan tapak segi tiga. Ternyata dimensi kedua.

Mengikut prinsip kedua, dimensi ketiga dilukis. Hanya dalam kes ini, semua garis adalah berdasarkan sudut rajah, bukan yang pertama, tetapi dimensi kedua.