Hvordan skrive en løsning til et ligningssystem. Systemer av lineære ligninger

Instruksjon

Tilleggsmetode.
Du må skrive to strengt under hverandre:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
I en vilkårlig valgt (fra systemet) ligning, sett inn tallet 11 i stedet for det allerede funnet "spillet" og beregn det andre ukjente:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Svaret til dette ligningssystemet: x=116, y=11.

Grafisk måte.
Den består i det praktiske funnet av koordinatene til punktet der linjene er matematisk skrevet i ligningssystemet. Du bør tegne grafer av begge linjene separat i samme koordinatsystem. Generell visning: - y \u003d kx + b. For å konstruere en rett linje er det nok å finne koordinatene til to punkter, og x velges vilkårlig.
La systemet gis: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
En rett linje er bygget i henhold til den første, for enkelhets skyld må den skrives ned: y \u003d 2x-4. Kom opp med (enklere) verdier for x, bytt den inn i ligningen, løs den, finn y. To punkter oppnås, langs hvilke en rett linje bygges. (se bilde.)
x 0 1

y -4 -2
En rett linje er konstruert i henhold til den andre ligningen: y \u003d -3x + 1.
Bygg også en linje. (se bilde.)

1-5
Finn koordinatene til skjæringspunktet til to konstruerte linjer på grafen (hvis linjene ikke skjærer hverandre, så har ikke ligningssystemet - så).

Relaterte videoer

Nyttige råd

Hvis det samme likningssystemet løses med tre forskjellige måter, vil svaret være det samme (hvis løsningen er riktig).

Kilder:

• Algebra klasse 8
• løse en ligning med to ukjente på nettet
• Eksempler på å løse systemer av lineære ligninger med to

System ligninger er en samling matematiske poster, som hver inneholder et visst antall variabler. Det er flere måter å løse dem på.

Du vil trenge

• -Linjal og blyant;
• -kalkulator.

Instruksjon

Tenk på sekvensen for å løse systemet, som består av lineære ligninger med formen: a1x + b1y = c1 og a2x + b2y = c2. Hvor x og y er ukjente variabler og b,c er frie medlemmer. Når du bruker denne metoden, er hvert system koordinatene til punktene som tilsvarer hver ligning. Først, i hvert tilfelle, uttrykk en variabel i form av den andre. Sett deretter x-variabelen til et hvilket som helst antall verdier. To er nok. Plugg inn i ligningen og finn y. Bygg et koordinatsystem, merk de oppnådde punktene på det og tegn en rett linje gjennom dem. Tilsvarende beregninger må utføres for andre deler av systemet.

Systemet har en unik løsning dersom de konstruerte linjene krysser hverandre og en felles poeng. Det er inkonsekvent hvis de er parallelle med hverandre. Og den har uendelig mange løsninger når linjene smelter sammen.

Denne metoden anses å være veldig tydelig. Den største ulempen er at de beregnede ukjente har omtrentlige verdier. Et mer nøyaktig resultat er gitt av de såkalte algebraiske metodene.

Enhver løsning på et ligningssystem er verdt å sjekke. For å gjøre dette, erstatte de oppnådde verdiene i stedet for variablene. Du kan også finne løsningen på flere måter. Hvis løsningen av systemet er riktig, bør alle vise seg like.

Ofte er det ligninger der ett av begrepene er ukjent. For å løse en ligning må du huske og gjøre et bestemt sett med handlinger med disse tallene.

Du vil trenge

• - papir;
• - Penn eller blyant.

Instruksjon

Tenk deg at du har 8 kaniner foran deg, og du har bare 5 gulrøtter. Tror du må kjøpe flere gulrøtter slik at hver kanin får en gulrot.

La oss representere dette problemet i form av en ligning: 5 + x = 8. La oss erstatte tallet 3 med x. Faktisk, 5 + 3 = 8.

Når du erstattet x med et tall, gjorde du samme operasjon som å trekke 5 fra 8. For å finne ukjent ledd, trekk det kjente leddet fra summen.

La oss si at du har 20 kaniner og bare 5 gulrøtter. La oss komponere. En ligning er en likhet som bare gjelder for visse verdier av bokstavene som er inkludert i den. Bokstavene hvis verdier du vil finne, kalles. Skriv en likning med en ukjent, kall den x. Når vi løser problemet vårt om kaniner, får vi følgende ligning: 5 + x = 20.

La oss finne forskjellen mellom 20 og 5. Når du trekker fra, reduseres tallet som det trekkes fra. Tallet som trekkes fra kalles , og det endelige resultatet kalles differansen. Så, x = 20 - 5; x = 15. Du må kjøpe 15 gulrøtter til kaniner.

Ta en sjekk: 5 + 15 = 20. Ligningen er riktig. Selvfølgelig, når vi snakker om slike enkle er det ikke nødvendig å utføre en sjekk. Men når det kommer til ligninger med tresifret, firesifret, og så videre, er det viktig å sjekke for å være helt sikker på resultatet av arbeidet ditt.

Relaterte videoer

Nyttige råd

For å finne den ukjente minuenden, må du legge til subtrahenden til forskjellen.

For å finne den ukjente subtrahenden, er det nødvendig å trekke forskjellen fra minuenden.

Tips 4: Hvordan løse et system med tre ligninger med tre ukjente

Et system med tre ligninger med tre ukjente har kanskje ikke løsninger, til tross for et tilstrekkelig antall ligninger. Du kan prøve å løse det ved å bruke substitusjonsmetoden eller ved å bruke Cramer-metoden. Cramers metode, i tillegg til å løse systemet, lar en vurdere om systemet er løsbart før man finner verdiene til de ukjente.

Instruksjon

Substitusjonsmetoden består i sekvensielt en ukjent gjennom to andre og substituering av resultatet oppnådd i systemets ligninger. La et system med tre ligninger gis inn generelt syn:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Uttrykk x fra den første ligningen: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - og bytt inn i den andre og tredje ligningen, uttryk deretter y fra den andre ligningen og bytt inn i den tredje. Du vil få et lineært uttrykk for z gjennom koeffisientene til systemets likninger. Gå nå "tilbake": plugg z inn i den andre ligningen og finn y, plugg deretter z og y inn i den første ligningen og finn x. Prosessen er generelt vist i figuren til z er funnet. Videre vil posten i generell form være for tungvint, i praksis kan du ganske enkelt finne alle tre ukjente.

Cramers metode består i å kompilere matrisen til systemet og beregne determinanten til denne matrisen, samt tre ekstra hjelpematriser. Matrisen til systemet er sammensatt av koeffisientene ved de ukjente leddene i ligningene. Kolonnen som inneholder tallene på høyre side av ligningene, kolonnen på høyre side. Det brukes ikke i systemet, men brukes ved løsning av systemet.

Relaterte videoer

Merk

Alle ligninger i systemet må gi tilleggsinformasjon uavhengig av andre ligninger. Ellers vil systemet være underbestemt og det vil ikke være mulig å finne en entydig løsning.

Nyttige råd

Etter å ha løst ligningssystemet, bytter du de funnet verdiene inn i det opprinnelige systemet og kontrollerer at de tilfredsstiller alle ligningene.

Av seg selv ligningen med tre ukjent har mange løsninger, så som oftest er det supplert med ytterligere to likninger eller betingelser. Avhengig av hva de første dataene er, vil forløpet av beslutningen i stor grad avhenge.

Du vil trenge

• - et system med tre ligninger med tre ukjente.

Instruksjon

Hvis to av de tre systemene bare har to av de tre ukjente, prøv å uttrykke noen variabler i form av de andre og koble dem til ligningen med tre ukjent. Målet ditt med dette er å gjøre det til en normal ligningen med det ukjente. Hvis dette er , er den videre løsningen ganske enkel - bytt den funnet verdien inn i andre ligninger og finn alle de andre ukjente.

Noen ligningssystemer kan trekkes fra en ligning med en annen. Se om det er mulig å multiplisere en av med eller en variabel slik at to ukjente reduseres samtidig. Hvis det er en slik mulighet, bruk den, mest sannsynlig vil den påfølgende avgjørelsen ikke være vanskelig. Ikke glem at når du multipliserer med et tall, må du multiplisere både venstre og høyre side. På samme måte, når du subtraherer ligninger, husk at høyre side også må trekkes fra.

Hvis tidligere metoder hjalp ikke, bruk den generelle metoden for å løse eventuelle ligninger med tre ukjent. For å gjøre dette, omskriv ligningene i formen a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Lag nå en matrise med koeffisienter ved x (A), en matrise med ukjente (X) og en matrise med frie (B). Vær oppmerksom, multipliser matrisen av koeffisienter med matrisen av ukjente, du vil få en matrise, en matrise av gratis medlemmer, det vil si A * X \u003d B.

Finn matrisen A i potensen (-1) etter å ha funnet , merk at den ikke skal være lik null. Etter det multipliserer du den resulterende matrisen med matrise B, som et resultat vil du få den ønskede matrisen X, som indikerer alle verdiene.

Du kan også finne en løsning på et system med tre ligninger ved hjelp av Cramer-metoden. For å gjøre dette, finn tredjeordens determinanten ∆ som tilsvarer matrisen til systemet. Finn deretter tre flere determinanter ∆1, ∆2 og ∆3 suksessivt, og bytt ut verdiene til de frie leddene i stedet for verdiene til de tilsvarende kolonnene. Finn nå x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kilder:

• løsninger av ligninger med tre ukjente

Begynn å løse et ligningssystem, finn ut hva disse ligningene er. Metodene for å løse lineære ligninger er godt studert. Ikke-lineære ligninger løses oftest ikke. Det er bare ett spesialtilfelle, som hver er praktisk talt individuell. Derfor bør studiet av løsningsmetoder begynne med lineære ligninger. Slike ligninger kan løses til og med rent algoritmisk.

nevnerne til de funnet ukjente er nøyaktig de samme. Ja, og tellerne er synlige noen mønstre av deres konstruksjon. Hvis dimensjonen til ligningssystemet var større enn to, ville eliminasjonsmetoden ført til svært tungvinte beregninger. For å unngå dem er det utviklet rene algoritmiske løsninger. Den enkleste av dem er Cramers algoritme (Cramers formler). For du burde vite det generelt system ligninger fra n ligninger.

Systemet med n lineære algebraiske ligninger med n ukjente har formen (se fig. 1a). I den er aij koeffisientene til systemet,
хj – ukjente, bi – frie medlemmer (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Et slikt system kan skrives kompakt i matriseformen AX=B. Her er A koeffisientmatrisen til systemet, X er kolonnematrisen av ukjente, B er kolonnematrisen av frie ledd (se fig. 1b). I følge Cramers metode er hver ukjent xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinanten ∆ til matrisen av koeffisienter kalles hoveddeterminanten, og ∆i kalles hjelpe. For hver ukjent blir en hjelpedeterminant funnet ved å erstatte den i-te kolonnen i hoveddeterminanten med en kolonne med frie termer. Cramers metode for systemer av andre og tredje orden er presentert i detalj i fig. 2.

Et system er en forening av to eller flere likheter, som hver har to eller flere ukjente. Det er to hovedmåter å løse systemer med lineære ligninger som brukes i rammeverket skolepensum. En av dem kalles metoden, den andre er addisjonsmetoden.

Standardform av et system med to ligninger

På standard skjema den første ligningen er a1*x+b1*y=c1, den andre ligningen er a2*x+b2*y=c2, og så videre. For eksempel, i tilfelle av to deler av systemet i begge gitte a1, a2, b1, b2, c1, c2 er noen numeriske koeffisienter presentert i spesifikke ligninger. På sin side er x og y ukjente hvis verdier må bestemmes. De ønskede verdiene gjør begge ligningene samtidig til sanne likheter.

Løsning av systemet ved addisjonsmetoden

For å løse systemet, det vil si å finne de verdiene av x og y som vil gjøre dem til sanne likheter, må du ta noen få enkle trinn. Den første av disse er å transformere hvilken som helst av ligningene på en slik måte at de numeriske koeffisientene for variabelen x eller y i begge ligningene faller sammen i absolutt verdi, men er forskjellige i fortegn.

La for eksempel et system som består av to ligninger gis. Den første av dem har formen 2x+4y=8, den andre har formen 6x+2y=6. Et av alternativene for å fullføre oppgaven er å multiplisere den andre ligningen med en faktor på -2, som vil føre den til formen -12x-4y=-12. Riktig valg av koeffisient er en av nøkkeloppgavene i prosessen med å løse systemet ved addisjonsmetoden, siden den bestemmer hele det videre forløpet av prosedyren for å finne ukjente.

Nå er det nødvendig å legge til de to likningene til systemet. Åpenbart vil gjensidig ødeleggelse av variabler med samme verdi, men motsatte i fortegnskoeffisienter, føre den til formen -10x=-4. Etter det er det nødvendig å løse denne enkle ligningen, hvorfra det entydig følger at x=0,4.

Siste steg i prosessen med å løse er substitusjonen av funnverdien til en av variablene i noen av de innledende likhetene som er tilgjengelige i systemet. Hvis du for eksempel erstatter x=0,4 i den første ligningen, kan du få uttrykket 2*0,4+4y=8, hvorfra y=1,8. Dermed er x=0,4 og y=1,8 røttene til systemet vist i eksempelet.

For å sikre at røttene ble funnet riktig, er det nyttig å sjekke ved å erstatte de funnet verdiene i den andre ligningen i systemet. For eksempel i denne saken det oppnås en likhet på formen 0,4*6+1,8*2=6, som er riktig.

Relaterte videoer

Med dette matematiske programmet kan du løse et system med to lineære ligninger med to variabler ved hjelp av substitusjonsmetoden og addisjonsmetoden.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men gir også en detaljert løsning med forklaringer av løsningstrinnene på to måter: substitusjonsmetoden og addisjonsmetoden.

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole allmennpedagogiske skoler som forberedelse til kontrollarbeid og eksamener, når du tester kunnskap før eksamen, foreldre til å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så fort som mulig? hjemmelekser matte eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med en detaljert løsning.

Dermed kan du gjennomføre din egen trening og/eller opplæring av deres yngre brødre eller søstre, samtidig som utdanningsnivået innen oppgavefelt som skal løses økes.

Regler for å legge inn ligninger

Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) osv.

Når du legger inn ligninger du kan bruke parentes. I dette tilfellet blir likningene først forenklet. Ligningene etter forenklinger skal være lineære, dvs. av formen ax+by+c=0 med nøyaktigheten av rekkefølgen til elementene.
For eksempel: 6x+1 = 5(x+y)+2

I ligninger kan du bruke ikke bare heltall, men også brøktall i form av desimal- og ordinære brøker.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
Heltalls- og brøkdelene i desimalbrøker kan skilles med enten en prikk eller et komma.
For eksempel: 2,1n + 3,5m = 55

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.
Nevneren kan ikke være negativ.
Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: /
Heltallsdelen er atskilt fra brøken med et og-tegnet: &

Eksempler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Løs et ligningssystem

Det ble funnet at noen skript som trengs for å løse denne oppgaven ikke ble lastet inn, og det kan hende at programmet ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

Du har deaktivert JavaScript i nettleseren din.
JavaScript må være aktivert for at løsningen skal vises.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som ønsker å løse problemet, forespørselen din står i kø.
Etter noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om det i tilbakemeldingsskjemaet .
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Løse systemer av lineære ligninger. Substitusjonsmetode

Rekkefølgen av handlinger når du løser et system med lineære ligninger ved substitusjonsmetoden:
1) uttrykke en variabel fra en likning i systemet i form av en annen;
2) erstatte det resulterende uttrykket i en annen likning av systemet i stedet for denne variabelen;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

La oss uttrykke fra den første ligningen y til x: y = 7-3x. Ved å erstatte uttrykket 7-3x i stedet for y i den andre ligningen, får vi systemet:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Det er lett å vise at det første og andre systemet har de samme løsningene. I det andre systemet inneholder den andre ligningen bare én variabel. La oss løse denne ligningen:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Høyrepil -5x+14-6x=3 \Høyrepil -11x=-11 \Høyrepil x=1 $$

Ved å erstatte tallet 1 i stedet for x i ligningen y=7-3x, finner vi den tilsvarende verdien av y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Høyrepil y=4 $$

Par (1;4) - løsning av systemet

Ligningssystemer i to variabler som har samme løsninger kalles tilsvarende. Systemer som ikke har løsninger anses også som likeverdige.

Løse systemer av lineære ligninger ved å addere

Vurder en annen måte å løse systemer med lineære ligninger på - addisjonsmetoden. Når vi løser systemer på denne måten, samt når vi løser med substitusjonsmetoden, går vi fra et gitt system til et annet system tilsvarende det, der en av ligningene inneholder kun én variabel.

Rekkefølgen av handlinger når du løser et system med lineære ligninger ved hjelp av addisjonsmetoden:
1) multipliser likningene til systemet ledd for ledd, velg faktorer slik at koeffisientene for en av variablene blir motsatte tall;
2) legg til ledd for ledd venstre og høyre del av systemets likninger;
3) løse den resulterende ligningen med én variabel;
4) finn den tilsvarende verdien til den andre variabelen.

Eksempel. La oss løse ligningssystemet:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

I likningene til dette systemet er koeffisientene til y motsatte tall. Ved å legge til ledd for ledd venstre og høyre del av ligningene, får vi en ligning med én variabel 3x=33. La oss erstatte en av likningene i systemet, for eksempel den første, med likningen 3x=33. La oss få systemet
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Fra ligningen 3x=33 finner vi at x=11. Ved å erstatte denne x-verdien i ligningen \(x-3y=38 \) får vi en ligning med variabelen y: \(11-3y=38 \). La oss løse denne ligningen:
\(-3y=27 \Høyrepil y=-9 \)

Dermed fant vi løsningen på ligningssystemet ved å legge til: \(x=11; y=-9 \) eller \((11; -9) \)

Ved å utnytte det faktum at koeffisientene til y i likningene til systemet er motsatte tall, reduserte vi løsningen til løsningen av et ekvivalent system (ved å summere begge delene av hver av likningene til den opprinnelige symmemet), hvor en av ligningene inneholder kun én variabel.

Bøker (lærebøker) Sammendrag av Unified State Examination og OGE-tester online Spill, puslespill Konstruksjon av grafer av funksjoner Staveordbok for det russiske språket Ordbok for ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over videregående skoler i Russland Katalog over russiske universiteter Liste over oppgaver
Vi vil analysere to typer løsningssystemer av ligninger:

1. Løsning av systemet ved substitusjonsmetoden.
2. Løsning av systemet ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemets ligninger.

For å løse ligningssystemet substitusjonsmetode du må følge en enkel algoritme:
1. Vi uttrykker. Fra enhver ligning uttrykker vi én variabel.
2. Vikar. Vi erstatter den resulterende verdien i en annen ligning i stedet for den uttrykte variabelen.
3. Vi løser den resulterende ligningen med én variabel. Vi finner en løsning på systemet.

Å løse system ved termin-for-term addisjon (subtraksjon) trenger å:
1. Velg en variabel som vi skal lage de samme koeffisientene for.
2. Vi adderer eller subtraherer likningene, som et resultat får vi en likning med én variabel.
3. Vi løser den resulterende lineære ligningen. Vi finner en løsning på systemet.

Løsningen til systemet er skjæringspunktene til grafene til funksjonen.

La oss vurdere i detalj løsningen av systemer ved å bruke eksempler.

Eksempel #1:

La oss løse med substitusjonsmetoden

Løse ligningssystemet ved substitusjonsmetoden

2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (2. ligning)

1. Express
Man kan se at i den andre ligningen er det en variabel x med koeffisient 1, derav viser det seg at det er lettest å uttrykke variabelen x fra den andre ligningen.
x=3+10y

2. Etter å ha uttrykket, erstatter vi 3 + 10y i den første ligningen i stedet for variabelen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Vi løser den resulterende ligningen med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åpne parenteser)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Løsningen av ligningssystemet er skjæringspunktene til grafene, derfor må vi finne x og y, fordi skjæringspunktet består av x og y. La oss finne x, i det første avsnittet der vi uttrykte vi erstatter y der.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Det er vanlig å skrive poeng i første omgang, vi skriver variabelen x, og for det andre variabelen y.
Svar: (1; -0,2)

Eksempel #2:

La oss løse ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon).

Løse et ligningssystem ved addisjonsmetoden

3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (andre ligning)

1. Velg en variabel, la oss si at vi velger x. I den første likningen har variabelen x en koeffisient på 3, i den andre - 2. Vi må gjøre koeffisientene like, for dette har vi rett til å multiplisere likningene eller dele med et hvilket som helst tall. Vi multipliserer den første ligningen med 2, og den andre med 3 og får en total koeffisient på 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Fra den første likningen trekker du den andre for å bli kvitt variabelen x. Løs den lineære likningen.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finn x. Vi erstatter funnet y i hvilken som helst av likningene, la oss si i den første likningen.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Skjæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)

Vil du forberede deg til eksamen gratis? Lærer online gratis. Tuller ikke.

La oss først huske definisjonen av en løsning til et likningssystem i to variabler.

Definisjon 1

Et tallpar kalles en løsning på et likningssystem med to variabler hvis, når de er substituert inn i ligningen, oppnås riktig likhet.

I det følgende vil vi vurdere systemer med to ligninger med to variabler.

Eksistere fire grunnleggende måter å løse ligningssystemer på: substitusjonsmetode, addisjonsmetode, grafisk metode, ny variabelbehandlingsmetode. La oss ta en titt på disse metodene konkrete eksempler. For å beskrive prinsippet om å bruke de tre første metodene, vil vi vurdere et system med to lineære ligninger med to ukjente:

Substitusjonsmetode

Substitusjonsmetoden er som følger: hvilken som helst av disse ligningene tas og $y$ uttrykkes i form av $x$, deretter erstattes $y$ inn i systemets ligning, hvor variabelen $x.$ er funnet. Etter det kan vi enkelt beregne variabelen $y.$

Eksempel 1

La oss uttrykke fra den andre ligningen $y$ i form av $x$:

Bytt inn i den første ligningen, finn $x$:

\ \ \

Finn $y$:

Svar: $(-2,\ 3)$

Tilleggsmetode.

Vurder denne metoden med et eksempel:

Eksempel 2

\[\venstre\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Multipliser den andre ligningen med 3, får vi:

\[\venstre\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

La oss nå legge begge ligningene sammen:

\ \ \

Finn $y$ fra den andre ligningen:

\[-6-y=-9\] \

Svar: $(-2,\ 3)$

Merknad 1

Merk at i denne metoden er det nødvendig å multiplisere en eller begge ligningene med slike tall at når du legger til en av variablene "forsvinner".

Grafisk måte

Den grafiske metoden er som følger: begge likningene til systemet vises på koordinatplanet og skjæringspunktet blir funnet.

Eksempel 3

\[\venstre\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

La oss uttrykke $y$ fra begge ligningene i form av $x$:

\[\venstre\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

La oss tegne begge grafene på samme plan:

Bilde 1.

Svar: $(-2,\ 3)$

Hvordan introdusere nye variabler

Vi vil vurdere denne metoden i følgende eksempel:

Eksempel 4

\[\venstre\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Løsning.

Dette systemet tilsvarer systemet

\[\venstre\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ Ikke sant.\]

La $2^x=u\ (u>0)$ og $3^y=v\ (v>0)$, vi får:

\[\venstre\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Vi løser det resulterende systemet ved addisjonsmetoden. La oss legge til ligningene:

\ \

Så fra den andre ligningen får vi det

Tilbake til byttet får vi nytt system eksponentialligninger:

\[\venstre\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Vi får:

\[\venstre\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Leksjonens innhold

Lineære ligninger med to variabler

Eleven har 200 rubler for å spise lunsj på skolen. En kake koster 25 rubler, og en kopp kaffe koster 10 rubler. Hvor mange kaker og kopper kaffe kan du kjøpe for 200 rubler?

Angi antall kaker gjennom x, og antall kopper kaffe gjennom y. Da vil prisen på kaker bli betegnet med uttrykket 25 x, og kostnaden for kaffekopper i 10 y .

25x- pris x kaker
10y- pris y kopper kaffe

Det totale beløpet skal være 200 rubler. Da får vi en ligning med to variabler x Og y

25x+ 10y= 200

Hvor mange røtter har denne ligningen?

Alt avhenger av appetitten til studenten. Hvis han kjøper 6 kaker og 5 kopper kaffe, vil røttene til ligningen være tallene 6 og 5.

Verdiparet 6 og 5 sies å være røttene til ligning 25 x+ 10y= 200 . Skrevet som (6; 5) , med det første tallet som verdien av variabelen x, og den andre - verdien av variabelen y .

6 og 5 er ikke de eneste røttene som reverserer ligning 25 x+ 10y= 200 til identitet. Hvis ønskelig, for de samme 200 rubler, kan en student kjøpe 4 kaker og 10 kopper kaffe:

I dette tilfellet, røttene til ligning 25 x+ 10y= 200 er verdiparet (4; 10) .

Dessuten kan en student ikke kjøpe kaffe i det hele tatt, men kjøpe kaker for alle 200 rubler. Deretter røttene til ligning 25 x+ 10y= 200 vil være verdiene 8 og 0

Eller omvendt, ikke kjøp kaker, men kjøp kaffe for alle 200 rubler. Deretter røttene til ligning 25 x+ 10y= 200 vil være verdiene 0 og 20

La oss prøve å liste opp alle mulige røtter til ligning 25 x+ 10y= 200 . La oss være enige om at verdiene x Og y tilhører settet med heltall. Og la disse verdiene være større enn eller lik null:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Så det vil være praktisk for studenten selv. Kaker er mer praktisk å kjøpe hele enn for eksempel flere hele kaker og en halv kake. Kaffe er også mer praktisk å ta i hele kopper enn for eksempel flere hele kopper og en halv kopp.

Merk at for oddetall x det er umulig å oppnå likhet under noen y. Så verdiene x det vil være følgende tall 0, 2, 4, 6, 8. Og å vite x kan lett bestemmes y

Dermed fikk vi følgende verdipar (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Disse parene er løsninger eller røtter til ligning 25 x+ 10y= 200. De gjør denne ligningen til en identitet.

Skriv ligning ax + by = c kalt lineær ligning med to variabler. En løsning eller røttene til denne ligningen er et par verdier ( x; y), som gjør det til en identitet.

Merk også at hvis en lineær ligning med to variabler skrives som ax + b y = c , så sier de at det er skrevet inn kanonisk(normal) form.

Noen lineære ligninger i to variabler kan reduseres til kanonisk form.

For eksempel ligningen 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) kan bringes i tankene ax + by = c. La oss åpne parentesene i begge deler av denne ligningen, får vi 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Begrepene som inneholder ukjente er gruppert på venstre side av ligningen, og begrepene fri for ukjente er gruppert til høyre. Så får vi 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Vi bringer lignende termer i begge deler, vi får ligning 16 x+ 8y= 32. Denne ligningen er redusert til formen ax + by = c og er kanonisk.

Ligning 25 vurdert tidligere x+ 10y= 200 er også en lineær ligning med to variable i kanonisk form. I denne ligningen, parametrene en , b Og c er lik henholdsvis verdiene 25, 10 og 200.

Egentlig ligningen ax + by = c har et uendelig antall løsninger. Løse ligningen 25x+ 10y= 200, vi så etter røttene bare på settet med heltall. Som et resultat fikk vi flere verdipar som gjorde denne ligningen til en identitet. Men på settet med rasjonelle tall ligning 25 x+ 10y= 200 vil ha et uendelig antall løsninger.

For å få nye verdipar må du ta en vilkårlig verdi for x, så uttrykk y. La oss for eksempel ta en variabel x verdi 7. Da får vi en likning med én variabel 25×7 + 10y= 200 å uttrykke seg i y

La x= 15. Så ligningen 25x+ 10y= 200 blir 25 × 15 + 10y= 200. Herfra finner vi det y = −17,5

La x= −3 . Så ligningen 25x+ 10y= 200 blir 25 × (−3) + 10y= 200. Herfra finner vi det y = −27,5

System av to lineære ligninger med to variabler

For ligningen ax + by = c du kan ta et hvilket som helst antall ganger vilkårlige verdier for x og finne verdier for y. Sett hver for seg vil en slik likning ha et uendelig antall løsninger.

Men det hender også at variablene x Og y ikke forbundet med én, men med to ligninger. I dette tilfellet danner de den såkalte system av lineære ligninger med to variabler. Et slikt ligningssystem kan ha ett verdipar (eller med andre ord: "én løsning").

Det kan også skje at systemet ikke har noen løsninger i det hele tatt. Et system med lineære ligninger kan ha et uendelig antall løsninger i sjeldne og eksepsjonelle tilfeller.

To lineære ligninger danner et system når verdiene x Og y er inkludert i hver av disse ligningene.

La oss gå tilbake til den aller første ligningen 25 x+ 10y= 200 . Et av verdiparene for denne ligningen var paret (6; 5) . Dette er tilfellet når 200 rubler kunne kjøpe 6 kaker og 5 kopper kaffe.

La oss komponere oppgaven slik at paret (6; 5) blir den eneste løsningen for ligning 25 x+ 10y= 200 . For å gjøre dette, komponerer vi en annen ligning som vil koble den samme x kaker og y kopper kaffe.

La oss sette teksten til oppgaven som følger:

«En skolegutt kjøpte flere kaker og flere kopper kaffe for 200 rubler. En kake koster 25 rubler, og en kopp kaffe koster 10 rubler. Hvor mange kaker og kaffekopper kjøpte eleven hvis man vet at antall kaker er én mer enn antall kopper kaffe?

Vi har allerede den første ligningen. Dette er ligning 25 x+ 10y= 200 . La oss nå skrive en ligning for betingelsen "antall kaker er en enhet mer enn antall kopper kaffe" .

Antall kaker er x, og antall kopper kaffe er y. Du kan skrive denne setningen ved å bruke ligningen x − y= 1. Denne ligningen vil bety at forskjellen mellom kaker og kaffe er 1.

x=y+ 1. Denne ligningen betyr at antall kaker er én mer enn antall kopper kaffe. Derfor, for å oppnå likhet, legges man til antall kopper kaffe. Dette kan lett forstås hvis vi bruker vektmodellen som vi vurderte når vi studerte de enkleste problemene:

Har to ligninger: 25 x+ 10y= 200 og x=y+ 1. Siden verdiene x Og y, nemlig 6 og 5 er inkludert i hver av disse ligningene, så danner de sammen et system. La oss skrive ned dette systemet. Hvis ligningene danner et system, er de innrammet av systemets fortegn. Systemtegnet er en krøllete klammeparentes:

La oss løse dette systemet. Dette vil tillate oss å se hvordan vi kommer frem til verdiene 6 og 5. Det er mange metoder for å løse slike systemer. Vurder de mest populære av dem.

Substitusjonsmetode

Navnet på denne metoden taler for seg selv. Dens essens er å erstatte en ligning med en annen, etter å ha uttrykt en av variablene tidligere.

I vårt system trenger ingenting å uttrykkes. I den andre ligningen x = y+ 1 variabel x allerede uttrykt. Denne variabelen er lik uttrykket y+ 1. Da kan du erstatte dette uttrykket i den første ligningen i stedet for variabelen x

Etter å ha erstattet uttrykket y+ 1 i den første ligningen i stedet x, får vi ligningen 25(y+ 1) + 10y= 200 . Dette er en lineær ligning med én variabel. Denne ligningen er ganske enkel å løse:

Vi fant verdien av variabelen y. Nå erstatter vi denne verdien i en av ligningene og finner verdien x. For dette er det praktisk å bruke den andre ligningen x = y+ 1. La oss legge verdien inn i det y

Så paret (6; 5) er en løsning på likningssystemet, slik vi hadde tenkt. Vi sjekker og forsikrer oss om at paret (6; 5) tilfredsstiller systemet:

Eksempel 2

Bytt ut den første ligningen x= 2 + y inn i den andre ligningen 3 x - 2y= 9. I den første ligningen, variabelen x er lik uttrykket 2+ y. Vi erstatter dette uttrykket i den andre ligningen i stedet for x

La oss nå finne verdien x. For å gjøre dette, erstatte verdien y inn i den første ligningen x= 2 + y

Så løsningen til systemet er parverdien (5; 3)

Eksempel 3. Løs følgende ligningssystem ved å bruke substitusjonsmetoden:

Her, i motsetning til de foregående eksemplene, er en av variablene ikke eksplisitt uttrykt.

For å erstatte en ligning med en annen, trenger du først .

Det er ønskelig å uttrykke variabelen som har en koeffisient på én. Koeffisientenheten har en variabel x, som er inneholdt i den første ligningen x+ 2y= 11. La oss uttrykke denne variabelen.

Etter et variabelt uttrykk x, vil systemet vårt se slik ut:

Nå erstatter vi den første ligningen med den andre og finner verdien y

Erstatning y x

Så løsningen av systemet er et par verdier (3; 4)

Du kan selvfølgelig også uttrykke en variabel y. Røttene vil ikke endre seg. Men hvis du uttrykker y, Resultatet er ikke en veldig enkel ligning, hvis løsning vil ta mer tid. Det vil se slik ut:

Det ser vi i dette eksempletå uttrykke x mye mer praktisk enn å uttrykke y .

Eksempel 4. Løs følgende ligningssystem ved å bruke substitusjonsmetoden:

Uttrykk i den første ligningen x. Da vil systemet ta formen:

y

Erstatning y inn i den første ligningen og finn x. Du kan bruke den opprinnelige ligningen 7 x+ 9y= 8 , eller bruk ligningen der variabelen er uttrykt x. Vi vil bruke denne ligningen, siden den er praktisk:

Så løsningen til systemet er verdiparet (5; −3)

Tilleggsmetode

Addisjonsmetoden er å legge til begrep for ledd likningene som inngår i systemet. Dette tillegget resulterer i en ny envariabelligning. Og det er ganske enkelt å løse denne ligningen.

La oss løse følgende ligningssystem:

Legg til venstre side av den første ligningen til venstre side av den andre ligningen. Og høyre side av den første ligningen med høyre side av den andre ligningen. Vi får følgende likestilling:

Her er lignende termer:

Som et resultat fikk vi den enkleste ligningen 3 x= 27 hvis rot er 9. Å kjenne verdien x du kan finne verdien y. Erstatt verdien x inn i den andre ligningen x − y= 3. Vi får 9 − y= 3. Herfra y= 6 .

Så løsningen av systemet er et par verdier (9; 6)

Eksempel 2

Legg til venstre side av den første ligningen til venstre side av den andre ligningen. Og høyre side av den første ligningen med høyre side av den andre ligningen. I den resulterende likheten presenterer vi slike termer:

Som et resultat fikk vi den enkleste ligningen 5 x= 20, hvor roten er 4. Å kjenne verdien x du kan finne verdien y. Erstatt verdien x inn i den første ligningen 2 x+y= 11. La oss få 8+ y= 11. Herfra y= 3 .

Så løsningen til systemet er verdiparet (4;3)

Tilsetningsprosessen er ikke beskrevet i detalj. Det må gjøres i sinnet. Ved addering må begge ligningene reduseres til kanonisk form. Det vil si til sinnet ac+by=c .

Fra de betraktede eksemplene kan man se at hovedmålet med å legge til ligninger er å bli kvitt en av variablene. Men det er ikke alltid mulig å umiddelbart løse likningssystemet ved hjelp av addisjonsmetoden. Som oftest bringes systemet foreløpig til en form der det er mulig å legge til likningene som inngår i dette systemet.

For eksempel systemet kan løses direkte ved addisjonsmetoden. Når du legger til begge ligningene, vil begrepene y Og −y forsvinne fordi summen deres er null. Som et resultat dannes den enkleste ligningen 11 x= 22 , hvis rot er 2. Da vil det være mulig å bestemme y lik 5.

Og ligningssystemet addisjonsmetoden kan ikke løses umiddelbart, siden dette ikke vil føre til at en av variablene forsvinner. Addisjon vil resultere i ligning 8 x+ y= 28 , som har et uendelig antall løsninger.

Hvis begge deler av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er lik null, vil en ligning tilsvarende den gitte fås. Denne regelen er også gyldig for et system av lineære ligninger med to variabler. En av ligningene (eller begge ligningene) kan multipliseres med et tall. Resultatet er et ekvivalent system, hvis røtter vil falle sammen med det forrige.

La oss gå tilbake til det aller første systemet, som beskrev hvor mange kaker og kaffekopper studenten kjøpte. Løsningen til dette systemet var et par verdier (6; 5) .

Vi multipliserer begge ligningene som er inkludert i dette systemet med noen tall. La oss si at vi multipliserer den første ligningen med 2 og den andre med 3

Resultatet er et system
Løsningen på dette systemet er fortsatt verdiparet (6; 5)

Dette betyr at likningene som inngår i systemet kan reduseres til en form som egner seg for å anvende addisjonsmetoden.

Tilbake til systemet , som vi ikke kunne løse med addisjonsmetoden.

Multipliser den første ligningen med 6 og den andre med −2

Da får vi følgende system:

Vi legger til ligningene som er inkludert i dette systemet. Tilsetning av komponenter 12 x og -12 x vil resultere i 0, tillegg 18 y og 4 y vil gi 22 y, og å legge til 108 og −20 gir 88. Da får du ligningen 22 y= 88, derfor y = 4 .

Hvis det først er vanskelig å legge til ligninger i tankene dine, kan du skrive ned hvordan venstre side av den første ligningen legges til venstre side av andre ligning, og høyre side av første ligning til høyre side av den andre ligningen:

Å vite at verdien av variabelen y er 4, kan du finne verdien x. Erstatning y inn i en av ligningene, for eksempel inn i den første ligningen 2 x+ 3y= 18. Da får vi en ligning med én variabel 2 x+ 12 = 18. Vi overfører 12 til høyre side, endrer skiltet, vi får 2 x= 6, derfor x = 3 .

Eksempel 4. Løs følgende ligningssystem ved å bruke addisjonsmetoden:

Multipliser den andre ligningen med −1. Da vil systemet ha følgende form:

La oss legge til begge ligningene. Tilsetting av komponenter x Og −x vil resultere i 0, tillegg 5 y og 3 y vil gi 8 y, og å legge til 7 og 1 gir 8. Resultatet er ligning 8 y= 8 , hvis rot er 1. Å vite at verdien y er 1, kan du finne verdien x .

Erstatning y inn i den første ligningen, får vi x+ 5 = 7, derav x= 2

Eksempel 5. Løs følgende ligningssystem ved å bruke addisjonsmetoden:

Det er ønskelig at termene som inneholder de samme variablene er plassert under hverandre. Derfor, i den andre ligningen, begrepene 5 y og −2 x bytte plass. Som et resultat vil systemet ta formen:

Multipliser den andre ligningen med 3. Da vil systemet ha formen:

La oss nå legge til begge ligningene. Som et resultat av addisjon får vi ligning 8 y= 16 , hvis rot er 2.

Erstatning y inn i den første ligningen får vi 6 x− 14 = 40 . Vi overfører begrepet −14 til høyre side, endrer tegnet, vi får 6 x= 54. Herfra x= 9.

Eksempel 6. Løs følgende ligningssystem ved å bruke addisjonsmetoden:

La oss bli kvitt brøker. Multipliser den første ligningen med 36 og den andre med 12

I det resulterende systemet den første ligningen kan multipliseres med −5 og den andre med 8

La oss legge til ligningene i det resulterende systemet. Da får vi den enkleste ligningen −13 y= −156 . Herfra y= 12. Erstatning y inn i den første ligningen og finn x

Eksempel 7. Løs følgende ligningssystem ved å bruke addisjonsmetoden:

Vi bringer begge likningene til normal form. Her er det praktisk å bruke proporsjonsregelen i begge ligningene. Hvis høyresiden i den første ligningen er representert som , og høyresiden av den andre ligningen som , vil systemet ha formen:

Vi har en andel. Vi multipliserer dens ekstreme og mellomste termer. Da vil systemet ta formen:

Vi multipliserer den første ligningen med −3, og åpner parentesene i den andre:

La oss nå legge til begge ligningene. Som et resultat av å legge til disse ligningene får vi en likhet, i begge deler vil det være null:

Det viser seg at systemet har et uendelig antall løsninger.

Men vi kan ikke bare ta vilkårlige verdier fra himmelen for x Og y. Vi kan spesifisere en av verdiene, og den andre vil bli bestemt avhengig av verdien vi spesifiserer. La for eksempel x= 2 . Bytt inn denne verdien i systemet:

Som et resultat av å løse en av ligningene vil verdien for y, som vil tilfredsstille begge ligningene:

Det resulterende verdiparet (2; −2) vil tilfredsstille systemet:

La oss finne et annet verdipar. La x= 4. Sett inn denne verdien i systemet:

Det kan avgjøres med øyet at y er lik null. Da får vi et par verdier (4; 0), som tilfredsstiller systemet vårt:

Eksempel 8. Løs følgende ligningssystem ved å bruke addisjonsmetoden:

Multipliser den første ligningen med 6 og den andre med 12

La oss skrive om det som er igjen:

Multipliser den første ligningen med −1. Da vil systemet ta formen:

La oss nå legge til begge ligningene. Som et resultat av addisjon dannes ligning 6 b= 48 , hvis rot er 8. Erstatter b inn i den første ligningen og finn en

System av lineære ligninger med tre variabler

En lineær ligning med tre variabler inkluderer tre variabler med koeffisienter, samt et skjæringspunkt. I kanonisk form kan det skrives som følger:

ax + by + cz = d

Denne ligningen har et uendelig antall løsninger. Gir to variabler ulike betydninger, kan du finne den tredje verdien. Løsningen i dette tilfellet er trippelen av verdier ( x; y; z) som gjør ligningen til en identitet.

Hvis variabler x, y, z er forbundet med tre ligninger, så dannes et system med tre lineære ligninger med tre variabler. For å løse et slikt system kan du bruke de samme metodene som gjelder for lineære ligninger med to variabler: substitusjonsmetoden og addisjonsmetoden.

Eksempel 1. Løs følgende ligningssystem ved å bruke substitusjonsmetoden:

Vi uttrykker i den tredje ligningen x. Da vil systemet ta formen:

La oss nå gjøre erstatningen. Variabel x er lik uttrykket 3 − 2y − 2z . Bytt ut dette uttrykket i den første og andre ligningen:

La oss åpne parentesene i begge ligningene og gi lignende termer:

Vi har kommet til et system av lineære ligninger med to variabler. I dette tilfellet er det praktisk å bruke tilleggsmetoden. Som et resultat, variabelen y vil forsvinne og vi kan finne verdien av variabelen z

La oss nå finne verdien y. For dette er det praktisk å bruke ligningen − y+ z= 4. Erstatt verdien z

La oss nå finne verdien x. Til dette er det praktisk å bruke ligningen x= 3 − 2y − 2z . Bytt inn verdiene i den y Og z

Dermed er trippelen av verdier (3; −2; 2) løsningen på systemet vårt. Ved å sjekke forsikrer vi oss om at disse verdiene tilfredsstiller systemet:

Eksempel 2. Løs systemet ved addisjonsmetode

La oss legge til den første ligningen med den andre multiplisert med −2.

Hvis den andre ligningen multipliseres med −2, vil den ha formen −6x+ 6y- 4z = −4 . Legg det nå til den første ligningen:

Vi ser at som et resultat av elementære transformasjoner ble verdien av variabelen bestemt x. Det er lik en.

Tilbake til hovedsystemet. La oss legge til den andre ligningen med den tredje multiplisert med −1. Hvis den tredje ligningen multipliseres med −1, vil den ha formen −4x + 5y − 2z = −1 . Legg det nå til den andre ligningen:

Fikk ligningen x - 2y= −1 . Bytt verdien inn i den x som vi fant tidligere. Så kan vi bestemme verdien y

Vi kjenner nå verdiene x Og y. Dette lar deg bestemme verdien z. Vi bruker en av ligningene som er inkludert i systemet:

Dermed er trippelen av verdier (1; 1; 1) løsningen på systemet vårt. Ved å sjekke forsikrer vi oss om at disse verdiene tilfredsstiller systemet:

Oppgaver for å kompilere systemer av lineære ligninger

Oppgaven med å kompilere ligningssystemer løses ved å introdusere flere variabler. Deretter kompileres ligninger basert på betingelsene for problemet. Fra de kompilerte ligningene danner de et system og løser det. Etter å ha løst systemet, er det nødvendig å sjekke om løsningen tilfredsstiller betingelsene for problemet.

Oppgave 1. En Volga-bil forlot byen til kollektivgården. Hun kom tilbake langs en annen vei, som var 5 km kortere enn den første. Totalt kjørte bilen 35 km begge veier. Hvor mange kilometer er hver vei lang?

Løsning

La x- lengden på den første veien, y- lengden på den andre. Hvis bilen kjørte 35 km begge veier, kan den første ligningen skrives som x+ y= 35. Denne ligningen beskriver summen av lengdene på begge veiene.

Det sies at bilen var på vei tilbake langs veien, som var 5 km kortere enn den første. Da kan den andre ligningen skrives som x− y= 5. Denne ligningen viser at forskjellen mellom lengdene på veiene er 5 km.

Eller den andre ligningen kan skrives som x= y+ 5. Vi vil bruke denne ligningen.

Siden variablene x Og y i begge ligningene angir det samme tallet, så kan vi danne et system fra dem:

La oss løse dette systemet ved å bruke en av de tidligere studerte metodene. I dette tilfellet er det praktisk å bruke substitusjonsmetoden, siden variabelen i den andre ligningen x allerede uttrykt.

Bytt ut den andre ligningen med den første og finn y

Erstatt den funnet verdien y inn i den andre ligningen x= y+ 5 og finn x

Lengden på den første veien ble angitt med variabelen x. Nå har vi funnet meningen. Variabel x er 20. Så lengden på den første veien er 20 km.

Og lengden på den andre veien ble angitt med y. Verdien av denne variabelen er 15. Så lengden på den andre veien er 15 km.

La oss ta en sjekk. Først, la oss sørge for at systemet er løst riktig:

La oss nå sjekke om løsningen (20; 15) tilfredsstiller betingelsene for problemet.

Det ble sagt at bilen totalt kjørte 35 km begge veier. Vi legger til lengdene på begge veiene og sørger for at løsningen (20; 15) tilfredsstiller denne tilstanden: 20 km + 15 km = 35 km

Neste tilstand: bilen kom tilbake langs en annen vei, som var 5 km kortere enn den første . Vi ser at løsningen (20; 15) også tilfredsstiller denne betingelsen, siden 15 km er kortere enn 20 km ganger 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Ved kompilering av et system er det viktig at variablene angir de samme tallene i alle likninger som inngår i dette systemet.

Så vårt system inneholder to ligninger. Disse ligningene inneholder igjen variablene x Og y, som angir de samme tallene i begge ligningene, nemlig lengdene på veier lik 20 km og 15 km.

Oppgave 2. Eik og furusviller ble lastet på plattformen, totalt 300 sviller. Det er kjent at alle eikesviller veide 1 tonn mindre enn alle furusviller. Bestem hvor mange eike- og furusviller det var separat, hvis hver eikesville veide 46 kg, og hver furusville 28 kg.

Løsning

La x eik og y furusviller ble lastet på plattformen. Hvis det var 300 sviller totalt, kan den første ligningen skrives som x+y = 300 .

Alle eikesviller veide 46 x kg, og furu veide 28 y kg. Siden eikesviller veide 1 tonn mindre enn furusviller, kan den andre ligningen skrives som 28y- 46x= 1000 . Denne ligningen viser at masseforskjellen mellom eik og furusviller er 1000 kg.

Tonn er omregnet til kilo fordi massen til eik- og furusviller måles i kilo.

Som et resultat får vi to ligninger som danner systemet

La oss løse dette systemet. Uttrykk i den første ligningen x. Da vil systemet ta formen:

Bytt ut den første ligningen med den andre og finn y

Erstatning y inn i ligningen x= 300 − y og finne ut hva x

Det betyr at 100 eik og 200 furusviller ble lastet på plattformen.

La oss sjekke om løsningen (100; 200) tilfredsstiller betingelsene for problemet. Først, la oss sørge for at systemet er løst riktig:

Det ble sagt at det var 300 sviller totalt. Vi summerer antallet eike- og furusviller og forsikrer oss om at løsningen (100; 200) tilfredsstiller denne betingelsen: 100 + 200 = 300.

Neste tilstand: alle eikesviller veide 1 tonn mindre enn all furu . Vi ser at løsningen (100; 200) også tilfredsstiller denne betingelsen, siden 46 × 100 kg eikesviller er lettere enn 28 × 200 kg furusviller: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Oppgave 3. Vi tok tre stykker av en legering av kobber og nikkel i vektforhold på 2: 1, 3: 1 og 5: 1. Av disse ble et stykke som veide 12 kg smeltet sammen med et forhold mellom kobber og nikkelinnhold på 4:1. Finn massen til hvert originalstykke hvis massen til den første av dem er to ganger massen til den andre.