Grigory Perelman provou que Deus não existe. Matemático Yakov Perelman: contribuição para a ciência

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JOGO MENTAL

Até recentemente, a matemática não prometia fama nem riqueza aos seus “sacerdotes”. Eles até premio Nobel Eles não deram. Não existe tal nomeação. Afinal, segundo uma lenda muito popular, certa vez a esposa de Nobel o traiu com um matemático. E em retaliação, o homem rico privou todos os seus irmãos corruptos do seu respeito e prémios em dinheiro.

A situação mudou em 2000. O Instituto privado de matemática Clay Mathematics Institute selecionou os sete mais tarefas difíceis e prometeu pagar um milhão de dólares por cada decisão.

Eles olhavam para os matemáticos com respeito. Em 2001, foi lançado até o filme “A Beautiful Mind”, cujo personagem principal era um matemático.

Agora só quem está longe da civilização não sabe: um dos milhões prometidos - o primeiro - já foi concedido. O prêmio foi concedido a um cidadão russo, residente em São Petersburgo Grigory Perelman. Ele provou a conjectura de Poincaré, um enigma que escapou a qualquer pessoa durante mais de 100 anos e que, através dos seus esforços, se tornou um teorema.

Nosso lindo barbudo de 44 anos esfregou o nariz nos olhos do mundo inteiro. E agora continua a mantê-lo – o mundo – em suspense. Uma vez que não se sabe se o matemático aceitará o milhão de dólares honestamente merecido ou recusará. O público progressista em muitos países está naturalmente preocupado. Pelo menos os jornais de todos os continentes narram a intriga financeira e matemática.

E no contexto dessas atividades fascinantes - adivinhação e divisão do dinheiro de outras pessoas - o significado da conquista de Perelman foi de alguma forma perdido. O presidente do Clay Institute, Jim Carlson, é claro, afirmou certa vez que o objetivo fundo de prêmios- não tanto uma busca de respostas, mas uma tentativa de aumentar o prestígio da ciência matemática e interessar os jovens por ela. Mas ainda assim, qual é o objetivo?

Grisha em sua juventude - já então ele era um gênio.

HIPÓTESE DE POINCARE – O QUE É?

O enigma resolvido pelo gênio russo aborda os fundamentos de um ramo da matemática chamado topologia. Sua topologia é frequentemente chamada de “geometria de folha de borracha”. Trata de propriedades formas geométricas, que são preservados se a forma for esticada, torcida ou dobrada. Ou seja, deforma-se sem rasgar, cortar ou colar.

A topologia é importante para a física matemática porque nos permite compreender as propriedades do espaço. Ou avalie-o sem poder olhar de fora para a forma deste espaço. Por exemplo, para o nosso Universo.

Ao explicar a conjectura de Poincaré, eles começam assim: imagine uma esfera bidimensional - pegue um disco de borracha e puxe-o sobre a bola. Para que a circunferência do disco seja coletada em um ponto. De forma semelhante, por exemplo, você pode amarrar uma mochila esportiva com um cordão. O resultado é uma esfera: para nós é tridimensional, mas do ponto de vista da matemática é apenas bidimensional.

Em seguida, eles se oferecem para colocar o mesmo disco em um donut. Parece que vai dar certo. Mas as bordas do disco convergirão em um círculo, que não pode mais ser puxado até a ponta - isso cortará o donut.

Como escrevi em meu livro popular outro Matemático russo, Vladimir Uspensky, “ao contrário das esferas bidimensionais, as esferas tridimensionais são inacessíveis à nossa observação direta, e é tão difícil para nós imaginá-las quanto foi para Vasily Ivanovich imaginar o trinômio quadrado da famosa piada”.

Assim, de acordo com a hipótese de Poincaré, uma esfera tridimensional é a única coisa tridimensional cuja superfície pode ser puxada para um ponto por algum hipotético “hipercordão”.

Grigory Perelman: - Pense só, o binômio de Newton...

Jules Henri Poincaré sugeriu isso em 1904. Agora Perelman convenceu todos que entendem que o topologista francês estava certo. E transformou sua hipótese em um teorema.

A prova ajuda a entender qual é a forma do nosso Universo. E permite-nos assumir razoavelmente que se trata da mesma esfera tridimensional.

Mas se o Universo é a única “figura” que pode ser contraída até um ponto, então, provavelmente, pode ser esticado a partir de um ponto. Isto serve como uma confirmação indireta da teoria do Big Bang, que afirma que o Universo se originou a partir de um ponto.

Acontece que Perelman, junto com Poincaré, incomodou os chamados criacionistas - apoiadores origem divina Do universo. E eles derramaram grãos no moinho dos físicos materialistas.

O brilhante matemático de São Petersburgo Grigory Perelman, que ficou famoso em todo o mundo por provar a conjectura de Poincaré, finalmente explicou sua recusa ao prêmio de um milhão de dólares concedido por isso. Como indicado pela " TVNZ", revelou-se o recluso cientista em conversa com um jornalista e produtor da produtora cinematográfica "President Film", que, com o consentimento de Perelman, irá rodar o longa-metragem "Fórmula do Universo" sobre ele.

Alexander Zabrovsky teve a sorte de se comunicar com o grande matemático - ele deixou Moscou e foi para Israel há vários anos e planejou entrar em contato pela primeira vez com a mãe de Grigory Yakovlevich através da comunidade judaica de São Petersburgo, fornecendo-lhe ajuda. Ela conversou com o filho e, após sua boa caracterização, ele concordou em se encontrar. Isso pode realmente ser chamado de uma conquista - os jornalistas não conseguiram “pegar” o cientista, embora tenham ficado sentados em sua entrada por dias.

Como disse Zabrovsky ao jornal, Perelman dava a impressão de ser uma “pessoa absolutamente sã, saudável, adequada e normal”: “Realista, pragmático e sensato, mas não sem sentimentalismo e paixão... Tudo o que lhe foi atribuído na imprensa, como se estivesse “fora de si” - um absurdo completo! Ele sabe exatamente o que quer e sabe como atingir seu objetivo."

O filme, para o qual o matemático entrou em contato e concordou em ajudar, não será sobre ele mesmo, mas sobre a cooperação e o confronto das três principais escolas matemáticas mundiais: russa, chinesa e americana, que são as mais avançadas no caminho do estudo. e administrar o Universo.

Quando questionado sobre por que Perelman recusou o milhão, ele respondeu:

"Eu sei como controlar o Universo. E diga-me, por que deveria correr por um milhão?"

O cientista se ofende com o que é chamado na imprensa russa

Perelman explicou que não se comunica com os jornalistas porque eles não se interessam por ciência, mas por assuntos de caráter pessoal e cotidiano - desde os motivos da recusa de um milhão até a questão do corte de cabelos e unhas.

Ele não quer entrar em contato com a mídia russa especificamente por causa da atitude desrespeitosa para com ele. Por exemplo, na imprensa o chamam de Grisha, e tal familiaridade o ofende.

Grigory Perelman disse que mesmo com anos escolares Estou acostumado com o que é chamado de “treinar o cérebro”. Lembrando como, como “delegado” da URSS, recebi medalha de ouro nas Olimpíadas de Matemática de Budapeste, ele disse: “Tentamos resolver problemas onde a capacidade de pensar abstratamente era um pré-requisito.

Esta abstração da lógica matemática foi significado principal treinos diários. Para encontrar a solução certa, foi necessário imaginar um “pedaço do mundo”.

Como exemplo de um problema tão “difícil de resolver”, ele deu o seguinte: “Lembre-se lenda bíblica sobre como Jesus Cristo andou sobre a água e também sobre a terra seca. Então tive que calcular o quão rápido ele teria que se mover pelas águas para não cair.”

Desde então, Perelman dedicou todas as suas atividades ao estudo do problema de estudar as propriedades do espaço tridimensional do Universo: “Isso é muito interessante. Estou tentando abraçar a imensidão. Mas qualquer imensidão também é abarcável, " ele discute.

O cientista escreveu sua dissertação sob a orientação do Acadêmico Alexandrov. “O tema não foi difícil: “Superfícies em forma de sela na geometria euclidiana”. Você consegue imaginar superfícies de tamanhos iguais e espaçadas de forma desigual umas das outras no infinito? Precisamos medir os “vazios” entre elas”, explicou o matemático.

O que significa a descoberta de Perelman, assustando os serviços de inteligência mundiais?

A afirmação de Poincaré é chamada de “fórmula do Universo” devido à sua importância no estudo de processos físicos complexos na teoria do universo e porque fornece uma resposta à questão da forma do Universo. Esta evidência desempenhará um grande papel no desenvolvimento da nanotecnologia”.

"Aprendi a calcular vazios, juntamente com os meus colegas estamos aprendendo os mecanismos de preenchimento de "vazios" sociais e económicos", disse ele. "Os vazios estão por toda parte. Eles podem ser calculados, e isso oferece grandes oportunidades...

Como escreve a publicação, a escala do que Grigory Yakovlevich descobriu, na verdade superando a ciência mundial de hoje, tornou-o objeto de constante interesse dos serviços de inteligência, não apenas russos, mas também estrangeiros.

Ele adquiriu alguns superconhecimentos que o ajudam a compreender o universo. E aqui surgem questões deste tipo: “O que acontecerá se o seu conhecimento encontrar implementação prática?”

Essencialmente, os serviços de inteligência precisam saber se Perelman, ou mais precisamente, o seu conhecimento, representa uma ameaça para a humanidade. Afinal, se com a ajuda do seu conhecimento é possível colapsar o Universo em um ponto e depois expandi-lo, então podemos morrer ou renascer com uma capacidade diferente? E então seremos nós? E precisamos mesmo controlar o Universo?

E NESTE MOMENTO

Mãe de gênio: “Não nos faça perguntas sobre dinheiro!”

Quando se soube que o matemático tinha recebido o Prémio Milénio, uma multidão de jornalistas reuniu-se à sua porta. Todos queriam parabenizar pessoalmente Perelman e saber se ele receberia o milhão que lhe era devido.

Batemos muito tempo na porta frágil (se pudéssemos substituí-la por dinheiro de bônus), mas o matemático não a abriu. Mas sua mãe claramente colocou os pontos no corredor.

Não queremos falar com ninguém e não vamos dar entrevistas”, gritou Lyubov Leibovna. - E não nos faça perguntas sobre esse bônus e dinheiro.

As pessoas que moravam na mesma entrada ficaram muito surpresas ao ver o repentino interesse por Perelman.

Nosso Grisha realmente se casou? - um dos vizinhos sorriu. - Ah, recebi um prêmio. De novo. Não, ele não vai aceitar. Ele não precisa de nada, vive de centavos, mas é feliz à sua maneira.

Dizem que na véspera o matemático foi visto com sacolas cheias de mantimentos da loja. Eu estava me preparando para “segurar o cerco” com minha mãe. A última vez que houve alvoroço sobre o prêmio na imprensa, Perelman ficou três semanas sem sair de seu apartamento.

POR FALAR NISSO

Por que outro motivo eles dariam um milhão de dólares...

Em 1998, com recursos do bilionário Landon T. Clay, o Clay Mathematics Institute foi fundado em Cambridge (EUA) para popularizar a matemática. Em 24 de maio de 2000, os especialistas do instituto selecionaram os sete problemas mais intrigantes, em sua opinião. E eles atribuíram um milhão de dólares para cada um.

A lista foi nomeada .

1. O problema de Cook

É necessário determinar se a verificação da correção de uma solução para um problema pode demorar mais do que a obtenção da solução em si. Esta tarefa lógica é importante para especialistas em criptografia - criptografia de dados.

2. Hipótese de Riemann

Existem os chamados números primos, como 2, 3, 5, 7, etc., que só são divisíveis por si próprios. Não se sabe quantos são no total. Riemann acreditava que isso poderia ser determinado e o padrão de sua distribuição poderia ser encontrado. Quem o encontrar também prestará serviços de criptografia.

3. Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

O problema envolve resolver equações com três incógnitas elevadas a potências. Você precisa descobrir como resolvê-los, independentemente da complexidade.

4. Conjectura de Hodge

No século XX, os matemáticos descobriram um método para estudar a forma objetos complexos. A ideia é usar “tijolos” simples em vez do objeto em si, que são colados e formam sua semelhança. É necessário provar que isso é sempre permitido.

5. Equações de Navier-Stokes

Vale a pena lembrá-los no avião. As equações descrevem as correntes de ar que o mantêm no ar. Agora as equações são resolvidas aproximadamente, usando fórmulas aproximadas. Precisamos encontrar as exatas e provar que no espaço tridimensional existe uma solução para as equações que é sempre verdadeira.

6. Equações de Yang - Mills

No mundo da física existe uma hipótese: se uma partícula elementar tem massa, então existe um limite inferior para ela. Mas qual deles não está claro. Precisamos chegar até ele. Esta é talvez a tarefa mais difícil. Para resolvê-lo, é necessário criar uma “teoria de tudo” - equações que unam todas as forças e interações da natureza. Qualquer um que conseguir fazer isso provavelmente receberá um Prêmio Nobel.

A última grande conquista da matemática pura é considerada a prova pelo residente de São Petersburgo Grigory Perelman em 2002-2003 da conjectura de Poincaré, declarada em 1904 e afirmando: “toda variedade tridimensional compacta conectada, simplesmente conectada, sem fronteira é homeomorfo à esfera S 3.”

Há vários termos nesta frase que tentarei explicar de uma forma que torne seu significado geral claro para não-matemáticos (presumo que o leitor tenha concluído ensino médio e ainda se lembra de algo da matemática escolar).

Comecemos com o conceito de homeomorfismo, que é central para a topologia. Em geral, a topologia é frequentemente definida como “geometria da borracha”, ou seja, como a ciência das propriedades das imagens geométricas que não mudam durante deformações suaves sem quebras e colagens, ou mais precisamente, se é possível estabelecer um -correspondência única e mutuamente contínua entre dois objetos .

A ideia principal é mais fácil de explicar usando o exemplo clássico de uma caneca e um donut. O primeiro pode ser transformado no segundo por deformação contínua.

Essas figuras mostram claramente que uma caneca é homeomórfica a um donut, e esse fato é verdadeiro tanto para suas superfícies (variedades bidimensionais chamadas toro) quanto para corpos preenchidos (variedades tridimensionais com borda).

Vamos dar uma interpretação dos demais termos que aparecem na formulação da hipótese.

1. Variedade tridimensional sem aresta. Este é um objeto geométrico em que cada ponto possui uma vizinhança na forma de uma bola tridimensional. Exemplos de variedades 3 incluem, em primeiro lugar, todo o espaço tridimensional, denotado R 3 , bem como qualquer conjuntos abertos pontos em R 3 , por exemplo, o interior de um toro sólido (donut). Se considerarmos um toro sólido fechado, ou seja, somarmos seus pontos de fronteira (a superfície do toro), então obtemos uma variedade com uma aresta - os pontos de aresta não têm vizinhanças na forma de uma bola, mas apenas na forma de meia bola.
2. Conectado. O conceito de conectividade aqui é o mais simples. Uma variedade é conectada se consistir em uma peça ou, o que dá no mesmo, quaisquer dois de seus pontos podem ser conectados por uma linha contínua que não se estende além de seus limites.
3. Simplesmente conectado. O conceito de simplesmente conectividade é mais complexo. Isso significa que qualquer curva fechada contínua localizada inteiramente dentro de uma determinada variedade pode ser contraída suavemente até um ponto sem sair dessa variedade. Por exemplo, uma esfera bidimensional comum em R 3 é simplesmente conectada (um elástico colocado de qualquer forma na superfície de uma maçã pode ser puxado suavemente para um ponto por deformação suave sem rasgar o elástico da maçã) . Por outro lado, o círculo e o toro não estão simplesmente conectados.
4. Compactar. Uma variedade é compacta se alguma de suas imagens homeomórficas tiver dimensões limitadas. Por exemplo, um intervalo aberto em uma linha (todos os pontos de um segmento exceto suas extremidades) é não compacto, pois pode ser continuamente estendido até uma linha infinita. Mas um segmento fechado (com extremidades) é uma variedade compacta com um limite: para qualquer deformação contínua, as extremidades vão para alguns pontos específicos, e todo o segmento deve entrar em uma curva limitada conectando esses pontos.

Dimensão de uma variedade é o número de graus de liberdade do ponto que “vive” nela. Cada ponto tem uma vizinhança na forma de um disco de dimensão correspondente, ou seja, um intervalo de linha no caso unidimensional, um círculo em um plano em duas dimensões, uma bola em três dimensões, etc. Do ponto de vista da topologia, existem apenas duas variedades unidimensionais conectadas sem aresta: uma linha e um círculo. Destes, apenas o círculo é compacto.

Um exemplo de espaço que não é múltiplo é, por exemplo, um par de retas que se cruzam - afinal, no ponto de intersecção de duas retas, qualquer vizinhança tem o formato de uma cruz, não possui uma vizinhança que seria em si é simplesmente um intervalo (e todos os outros pontos têm tais vizinhanças). Nesses casos, os matemáticos dizem que estamos lidando com uma variedade especial que possui um ponto especial.

Variedades compactas bidimensionais são bem conhecidas. Se considerarmos apenas orientado variedades sem limites, então, do ponto de vista topológico, elas formam uma lista simples, embora infinita: e assim por diante. Cada uma dessas variedades é obtida a partir de uma esfera colando várias alças, cujo número é chamado de gênero da superfície.

A figura mostra superfícies dos gêneros 0, 1, 2 e 3. O que faz a esfera se destacar de todas as superfícies desta lista? Acontece que é simplesmente conexo: numa esfera qualquer curva fechada pode ser contraída até um ponto, mas em qualquer outra superfície pode-se sempre indicar uma curva que não pode ser contraída até um ponto ao longo da superfície.

É curioso que variedades compactas tridimensionais sem fronteira possam ser classificadas em certo sentido, ou seja, organizadas em uma determinada lista, embora não tão simples como no caso bidimensional, mas possuindo uma estrutura bastante complexa. No entanto, a esfera 3D S 3 se destaca nesta lista assim como a esfera 2D na lista acima. O facto de qualquer curva em S 3 se contrair até um ponto é provado de forma tão simples como no caso bidimensional. Mas a afirmação oposta, nomeadamente que esta propriedade é única especificamente para a esfera, ou seja, que em qualquer outra variedade tridimensional existem curvas não contratíveis, é muito difícil e constitui exactamente o conteúdo da conjectura de Poincaré de que estamos a falar. .

É importante compreender que a diversidade pode viver por si só; pode ser pensada como um objeto independente, não aninhado em nenhum lugar. (Imagine viver como criaturas bidimensionais na superfície de uma esfera comum, sem saber da existência de uma terceira dimensão.) Felizmente, todas as superfícies bidimensionais na lista acima podem ser aninhadas no espaço R3 comum, tornando-as mais fáceis. Vizualizar. Para a esfera tridimensional S 3 (e em geral para qualquer variedade tridimensional compacta sem fronteira) este já não é o caso, pelo que é necessário algum esforço para compreender a sua estrutura.

Aparentemente a maneira mais simples explique a estrutura topológica da esfera tridimensional S 3 usando compactação de um ponto. Ou seja, a esfera tridimensional S 3 é uma compactação de um ponto do espaço tridimensional comum (ilimitado) R 3 .

Expliquemos primeiro esta construção em exemplos simples. Vamos pegar uma linha reta infinita comum (um análogo unidimensional do espaço) e adicionar a ela um ponto “infinitamente distante”, assumindo que quando nos movemos ao longo de uma linha reta para a direita ou para a esquerda, eventualmente chegaremos a esse ponto. Do ponto de vista topológico, não há diferença entre uma reta infinita e um segmento de reta aberto delimitado (sem pontos finais). Tal segmento pode ser continuamente dobrado em forma de arco, aproximar as pontas e colar o ponto que falta na junção. Obviamente obteremos um círculo - um análogo unidimensional de uma esfera.

Da mesma forma, se eu pegar um plano infinito e adicionar um ponto no infinito, para o qual tendem todas as linhas retas do plano original, passando em qualquer direção, então obteremos uma esfera bidimensional (comum) S 2. Este procedimento pode ser observado por meio de uma projeção estereográfica, que atribui a cada ponto P da esfera, com exceção do pólo norte N, um determinado ponto do plano P."

Assim, uma esfera sem um ponto é topologicamente igual a um plano, e adicionar um ponto transforma o plano em uma esfera.

Em princípio, exatamente a mesma construção se aplica a uma esfera tridimensional e a um espaço tridimensional, apenas para sua implementação é necessário entrar na quarta dimensão, e isso não é tão fácil de representar em um desenho. Então vou me limitar descrição verbal compactação de ponto único do espaço R 3 .

Imagine que ao nosso espaço físico (que nós, seguindo Newton, consideramos um espaço euclidiano ilimitado com três coordenadas x, y, z) um ponto “no infinito” é adicionado de tal forma que ao se mover em linha reta em qualquer direção em que você chega lá (ou seja, cada linha espacial se fecha em um círculo). Então obtemos uma variedade tridimensional compacta, que por definição é a esfera S 3 .

É fácil entender que a esfera S 3 está simplesmente conectada. Na verdade, qualquer curva fechada nesta esfera pode ser ligeiramente deslocada para que não passe pelo ponto adicionado. Então obtemos uma curva no espaço ordinário R 3, que se contrai facilmente até um ponto por meio de homotetias, ou seja, compressão contínua em todas as três direções.

Para entender como a variedade S 3 está estruturada, é muito instrutivo considerar sua partição em dois toros sólidos. Se removermos o toro sólido do espaço R 3, então algo não muito claro permanecerá. E se o espaço for compactado em uma esfera, então esse complemento também se transforma em um toro sólido. Ou seja, a esfera S 3 é dividida em dois toros sólidos que possuem um limite comum - um toro.

Veja como você pode entender isso. Vamos incorporar o toro em R 3 como de costume, na forma de um donut redondo, e desenhar uma linha vertical - o eixo de rotação deste donut. Vamos desenhar um plano arbitrário através do eixo; ele cruzará nosso toro sólido ao longo de dois círculos mostrados na figura verde, e a parte adicional do plano é dividida em uma família contínua de círculos vermelhos. Estes incluem o eixo central, que é destacado com mais ousadia, porque na esfera S 3 a linha reta se fecha em um círculo. Uma imagem tridimensional é obtida a partir desta imagem bidimensional por rotação em torno de um eixo. Um conjunto completo de círculos girados preencherá um corpo tridimensional, homeomórfico a um toro sólido, apenas com aparência incomum.

Na verdade, o eixo central nele será um círculo axial, e o resto desempenhará o papel de paralelos - círculos que constituem um toro sólido comum.

Para ter algo com que comparar a esfera 3, darei outro exemplo de uma variedade 3 compacta, ou seja, um toro tridimensional. Um toro tridimensional pode ser construído da seguinte forma. Tomemos um cubo tridimensional comum como material de partida:

Possui três pares de bordas: esquerda e direita, superior e inferior, frontal e traseira. Em cada par de faces paralelas, identificamos aos pares os pontos obtidos um do outro por transferência ao longo da aresta do cubo. Ou seja, assumiremos (de forma puramente abstrata, sem o uso de deformações físicas) que, por exemplo, A e A" são o mesmo ponto, e B e B" também são um ponto, mas diferentes do ponto A. Todos os pontos internos do cubo, consideraremos isso normalmente. O cubo em si é uma variedade com uma aresta, mas depois de feita a colagem, a aresta se fecha sobre si mesma e desaparece. Na verdade, as vizinhanças dos pontos A e A" no cubo (eles ficam nas faces sombreadas esquerda e direita) são metades de bolas, que, depois de colar as faces, se fundem em uma bola inteira, que serve como vizinhança de o ponto correspondente do toro tridimensional.

Para sentir a estrutura de um toro de 3 com base nas ideias cotidianas sobre o espaço físico, você precisa escolher três direções mutuamente perpendiculares: para frente, para a esquerda e para cima - e considerar mentalmente, como nas histórias de ficção científica, que ao se mover em qualquer uma dessas direções , um tempo bastante longo, mas finito, retornaremos ao ponto de partida, mas na direção oposta. Esta é também uma “compactação do espaço”, mas não a de um ponto usada anteriormente para construir uma esfera, mas sim uma mais complexa.

Existem caminhos não contratíveis em um toro tridimensional; por exemplo, este é o segmento AA" na figura (em um toro representa um caminho fechado). Ele não pode ser contraído, pois para qualquer deformação contínua os pontos A e A" devem se mover ao longo de suas faces, permanecendo estritamente opostos um ao outro ( caso contrário, a curva será aberta).

Portanto, vemos que existem 3 variedades compactas simplesmente conectadas e não simplesmente conectadas. Perelman provou que uma variedade simplesmente conectada é exatamente uma.

A ideia inicial da prova é usar o chamado “fluxo de Ricci”: pegamos uma variedade 3 compacta simplesmente conectada, dotamos-a de uma geometria arbitrária (ou seja, introduzimos alguma métrica com distâncias e ângulos) e então considere sua evolução ao longo do fluxo de Ricci. Richard Hamilton, que propôs esta ideia em 1981, esperava que esta evolução transformasse a nossa diversidade numa esfera. Descobriu-se que isso não é verdade - no caso tridimensional, o fluxo de Ricci é capaz de estragar uma variedade, ou seja, torná-la uma não-variedade (algo com pontos singulares, como no exemplo acima de linhas que se cruzam) . Perelman, ao superar incríveis dificuldades técnicas, utilizando o pesado aparato das equações diferenciais parciais, conseguiu introduzir correções no fluxo de Ricci próximo a pontos singulares de tal forma que durante a evolução a topologia da variedade não muda, nenhum ponto singular surge, e no final, ela se transforma em uma esfera redonda. Mas devemos finalmente explicar o que é esse fluxo de Ricci. Os fluxos usados ​​por Hamilton e Perelman referem-se a mudanças na métrica intrínseca em uma variedade abstrata, e isso é bastante difícil de explicar, então me limitarei a descrever o fluxo “externo” de Ricci em variedades unidimensionais embutidas no plano.

Vamos imaginar uma curva suave e fechada no plano euclidiano, escolher uma direção nela e considerar um vetor tangente de comprimento unitário em cada ponto. Então, ao contornar a curva na direção escolhida, esse vetor irá girar com alguma velocidade angular, que é chamada de curvatura. Nos locais onde a curva é mais acentuada, a curvatura (em valor absoluto) será maior, e onde for mais suave, a curvatura será menor.

Consideraremos a curvatura positiva se o vetor velocidade girar em direção à parte interna do plano, dividido por nossa curva em duas partes, e negativa se girar para fora. Esta convenção é independente da direção em que a curva é percorrida. Nos pontos de inflexão, onde a rotação muda de direção, a curvatura será 0. Por exemplo, um círculo de raio 1 tem uma curvatura positiva constante de 1 (se medida em radianos).

Agora vamos esquecer os vetores tangentes e, ao contrário, anexar a cada ponto da curva um vetor perpendicular a ele, igual em comprimento à curvatura em um determinado ponto e direcionado para dentro se a curvatura for positiva, e para fora se for negativa , e então faça com que cada ponto se mova na direção do vetor correspondente com velocidade proporcional ao seu comprimento. Aqui está um exemplo:

Acontece que qualquer curva fechada em um plano se comporta de maneira semelhante durante essa evolução, ou seja, acaba se transformando em um círculo. Esta é uma prova do análogo unidimensional da conjectura de Poincaré usando o fluxo de Ricci (no entanto, a afirmação em si neste caso já é óbvia, só que o método de prova ilustra o que acontece na dimensão 3).

Notemos, para concluir, que o raciocínio de Perelman prova não apenas a conjectura de Poincaré, mas também a muito mais geral conjectura de geometrização de Thurston, que em em certo sentido descreve a estrutura de todas as variedades tridimensionais geralmente compactas. Mas este assunto está além do escopo deste artigo elementar.

Por falta de espaço, não falarei de variedades não orientáveis, cujo exemplo é a famosa garrafa de Klein - uma superfície que não pode ser embutida no espaço sem auto-intersecções.

O Clay Mathematics Institute concedeu a Grigory Perelman o Prêmio Millennium, reconhecendo oficialmente a prova da conjectura de Poincaré pelo matemático russo como correta. Vale ressaltar que, ao mesmo tempo, o instituto teve que violar suas próprias regras - segundo elas, apenas um autor que publicou seus trabalhos em periódicos com avaliação por pares pode reivindicar o recebimento de aproximadamente um milhão de dólares, esse é o tamanho do prêmio. O trabalho de Grigory Perelman nunca viu formalmente a luz do dia - permaneceu como um conjunto de vários preprints no site arXiv.org (um, dois e três). Mas não é tão importante o que motivou a decisão do instituto - a atribuição do Prémio Milénio põe fim a uma história com mais de 100 anos.

Uma caneca, um donut e alguma topologia

Antes de descobrir o que é a conjectura de Poincaré, é necessário entender a que tipo de ramo da matemática - a topologia - ao qual pertence esta mesma hipótese. A topologia múltipla trata das propriedades das superfícies que não mudam sob certas deformações. Vamos explicar com um exemplo clássico. Suponhamos que o leitor tenha à sua frente um donut e um copo vazio. Do ponto de vista da geometria e do bom senso, são objetos diferentes, até porque você não poderá tomar café em um donut, mesmo que queira.

Porém, um topologista dirá que uma xícara e um donut são a mesma coisa. E ele explicará desta forma: imagine que o copo e o donut são superfícies ocas feitas de um material muito elástico (um matemático diria que existe um par de variedades bidimensionais compactas). Vamos fazer um experimento especulativo: primeiro inflamos o fundo do copo e depois sua alça, após o que ele se transformará em um toro (este é o nome matemático do formato de uma rosquinha). Você pode ver como é esse processo.

É claro que o leitor curioso tem uma pergunta: já que as superfícies podem ficar enrugadas, como distinguir entre elas? Afinal, por exemplo, é intuitivamente claro - não importa quão grande seja o toro, você não pode obter uma esfera dele sem quebrar e colar. É aqui que entram em jogo os chamados invariantes - características de uma superfície que não se alteram durante a deformação - conceito necessário para a formulação da hipótese de Poincaré.

O bom senso nos diz que a diferença entre um toro e uma esfera é um buraco. Porém, um buraco está longe de ser um conceito matemático, por isso precisa ser formalizado. Isso é feito da seguinte forma: imagine que na superfície temos um fio elástico muito fino formando um laço (neste experimento especulativo, ao contrário do anterior, consideramos a própria superfície sólida). Moveremos o laço sem levantá-lo da superfície ou rasgá-lo. Se o fio puder ser puxado em um círculo muito pequeno (quase uma ponta), então o laço é considerado contrátil. Caso contrário, o loop é chamado de não contratível.

O grupo fundamental de um toro é denotado por n 1 (T 2). Por não ser trivial, os braços do rato formam um laço incontratível. A tristeza no rosto do animal é resultado de perceber esse fato.

Então, é fácil ver que em uma esfera qualquer laço é contraível (você pode ver como é), mas para um toro isso não é mais verdade: em um donut há dois laços - um é enfiado no buraco, e o outro contorna o buraco “ao longo do perímetro”, - que não pode ser retirado. Nesta imagem, exemplos de loops não puxáveis ​​são mostrados em vermelho e roxo respectivamente. Quando existem loops na superfície, os matemáticos dizem que “o grupo fundamental da variedade não é trivial”, e se não existem tais loops, então é trivial.

Agora, para formular honestamente a conjectura de Poincaré, o leitor curioso precisa ser um pouco mais paciente: precisamos descobrir o que é uma variedade tridimensional em geral e uma esfera tridimensional em particular.

Voltemos por um segundo às superfícies que discutimos acima. Cada um deles pode ser cortado em pedaços tão pequenos que quase se parecerá com um pedaço de avião. Como o plano tem apenas duas dimensões, dizem que a variedade é bidimensional. Uma variedade tridimensional é uma superfície que pode ser cortada em pequenos pedaços, cada um dos quais é muito semelhante a um pedaço de espaço tridimensional comum.

Principal " ator"a hipótese é uma esfera tridimensional. Provavelmente é impossível imaginar uma esfera tridimensional como um análogo de uma esfera comum no espaço quadridimensional sem perder a cabeça. No entanto, é muito fácil descrever este objeto, então para dizem, “em partes.” viram o globo, eles sabem que uma esfera comum pode ser colada do norte e hemisfério sul ao longo do equador. Assim, uma esfera tridimensional é colada a partir de duas bolas (norte e sul) ao longo de uma esfera, que é análoga ao equador.

Em variedades tridimensionais podemos considerar os mesmos loops que consideramos em superfícies comuns. Assim, a conjectura de Poincaré afirma: “Se o grupo fundamental de uma variedade tridimensional é trivial, então é homeomórfico a uma esfera.” A frase incompreensível “homeomórfico a uma esfera” quando traduzida para linguagem informal significa que a superfície pode ser deformada em uma esfera.

Um pouco de história

De modo geral, em matemática é possível formular um grande número de afirmações complexas. Porém, o que torna esta ou aquela hipótese grande, a distingue das demais? Curiosamente, a grande hipótese se distingue por um grande número de provas incorretas, cada uma das quais contém um grande erro - uma imprecisão que muitas vezes leva ao surgimento de todo um novo ramo da matemática.

Assim, inicialmente Henri Poincaré, que se distinguiu, entre outras coisas, pela capacidade de cometer erros brilhantes, formulou a hipótese de uma forma ligeiramente diferente da que escrevemos acima. Algum tempo depois, ele deu um contra-exemplo à sua afirmação, que ficou conhecida como 3-esfera homológica de Poincaré, e em 1904 formulou uma conjectura já em forma moderna. A propósito, a esfera foi usada recentemente por cientistas da astrofísica - descobriu-se que o Universo pode muito bem acabar sendo uma esfera 3 de Poincaré homológica.

É preciso dizer que a hipótese não causou muito entusiasmo entre os colegas geômetras. Foi assim até 1934, quando o matemático britânico John Henry Whitehead apresentou sua versão da prova da hipótese. Muito em breve, porém, ele próprio encontrou um erro em seu raciocínio, que mais tarde levou ao surgimento de toda a teoria das variedades de Whitehead.

Depois disso, a hipótese gradualmente adquiriu a reputação de um problema extremamente difícil. Muitos grandes matemáticos tentaram atacá-lo. Por exemplo, o americano Er Ash Bing (R.H.Bing), um matemático que (absolutamente oficialmente) tinha iniciais escritas em seus documentos em vez de seu nome. Ele fez várias tentativas frustradas de provar a hipótese, formulando sua própria afirmação durante esse processo - a chamada “conjectura da propriedade P” (conjectura da propriedade P). Vale ressaltar que esta afirmação, considerada pelo Bing como intermediária, revelou-se quase mais difícil do que a própria prova da conjectura de Poincaré.

Entre os cientistas também houve pessoas que deram a vida para provar isso fato matemático. Por exemplo, o famoso matemático de origem grega Christos Papakiriakopoulos. Durante mais de dez anos, enquanto trabalhava em Princeton, ele tentou, sem sucesso, provar a hipótese. Ele morreu de câncer em 1976.

Vale ressaltar que a generalização da conjectura de Poincaré para variedades de dimensões superiores a três revelou-se visivelmente mais simples que a original - as dimensões extras facilitaram a manipulação de variedades. Assim, para variedades n-dimensionais (para n pelo menos 5), a conjectura foi provada por Stephen Smale em 1961. Para n = 4, a conjectura foi provada usando um método completamente diferente do de Smail em 1982 por Michael Friedman. Por sua prova, este último recebeu a Medalha Fields - maior prêmio para matemáticos.

O trabalho descrito está longe de ser lista completa tenta resolver uma hipótese com mais de um século. E embora cada um dos trabalhos tenha levado ao surgimento de toda uma direção na matemática e possa ser considerado bem-sucedido e significativo nesse sentido, apenas o russo Grigory Perelman foi capaz de finalmente provar a conjectura de Poincaré.

Perelman e prova

Em 1992, Grigory Perelman, então funcionário do Instituto de Matemática que leva seu nome. Steklov, assistiu a uma palestra de Richard Hamilton. O matemático americano falou sobre os fluxos de Ricci - uma nova ferramenta para estudar a conjectura de geometrização de Thurston - fato do qual a conjectura de Poincaré foi derivada como uma simples consequência. Esses fluxos, de certa forma análogos às equações de transferência de calor, fizeram com que as superfícies se deformassem ao longo do tempo, da mesma forma que deformamos as superfícies bidimensionais no início deste artigo. Descobriu-se que, em alguns casos, o resultado dessa deformação era um objeto cuja estrutura era fácil de entender. A principal dificuldade foi que durante a deformação surgiram feições com curvatura infinita, análogas em certo sentido aos buracos negros da astrofísica.

Após a palestra, Perelman abordou Hamilton. Mais tarde, ele disse que Richard o surpreendeu agradavelmente: "Ele sorriu e foi muito paciente. Ele até me contou vários fatos que foram publicados apenas alguns anos depois. Ele fez isso sem hesitação. Sua abertura e gentileza me surpreenderam. Não posso dizer suficiente.” que a maioria dos matemáticos modernos se comportam dessa maneira.”

Após uma viagem aos EUA, Perelman retornou à Rússia, onde começou a trabalhar na solução do problema das singularidades dos fluxos de Ricci e na comprovação da hipótese de geometrização (e não da conjectura de Poincaré) em segredo de todos. Não é surpreendente que o aparecimento da primeira pré-impressão de Perelman em 11 de novembro de 2002 tenha chocado a comunidade matemática. Depois de algum tempo, mais alguns trabalhos apareceram.

Depois disso, Perelman deixou de discutir as provas e até, dizem, parou de fazer matemática. Ele não interrompeu seu estilo de vida isolado nem em 2006, quando recebeu a Medalha Fields, o mais prestigiado prêmio para matemáticos. Não faz sentido discutir os motivos desse comportamento do autor - um gênio tem o direito de se comportar de maneira estranha (por exemplo, enquanto na América, Perelman não cortou as unhas, permitindo-lhes crescer livremente).

Seja como for, a prova de Perelman ganhou uma vida separada dela: três pré-impressões assombraram os matemáticos modernos. Os primeiros resultados do teste das ideias do matemático russo apareceram em 2006 - os proeminentes geômetras Bruce Kleiner e John Lott, da Universidade de Michigan, publicaram uma pré-impressão próprio trabalho, mais parecido com um livro em tamanho - 213 páginas. Neste trabalho, os cientistas verificaram cuidadosamente todos os cálculos de Perelman, explicando detalhadamente várias afirmações que foram apenas brevemente delineadas no trabalho do matemático russo. O veredicto dos pesquisadores foi claro: as evidências estão absolutamente corretas.

Uma reviravolta inesperada nesta história ocorreu em julho do mesmo ano. No diário Jornal Asiático de Matemática Apareceu um artigo dos matemáticos chineses Xiping Zhu e Huaidong Cao intitulado “Prova completa da conjectura de geometrização de Thurston e da conjectura de Poincaré”. No âmbito deste trabalho, os resultados de Perelman foram considerados importantes, úteis, mas exclusivamente intermediários. Este trabalho causou surpresa entre os especialistas do Ocidente, mas recebeu críticas muito favoráveis ​​no Oriente. Em particular, os resultados foram apoiados por Shintan Yau, um dos fundadores da teoria Calabi-Yau, que lançou as bases para a teoria das cordas, bem como pelo professor de Cao e Ju. Por uma feliz coincidência, foi Yau o editor-chefe da revista Jornal Asiático de Matemática, em que o trabalho foi publicado.

Depois disso, o matemático começou a viajar pelo mundo dando palestras populares, falando sobre as conquistas dos matemáticos chineses. Como resultado, havia o perigo de que muito em breve os resultados de Perelman e até mesmo de Hamilton fossem relegados para segundo plano. Isso aconteceu mais de uma vez na história da matemática - muitos teoremas com nomes de matemáticos específicos foram inventados por pessoas completamente diferentes.

No entanto, isso não aconteceu e provavelmente não acontecerá agora. Apresentar o Prêmio Clay Perelman (mesmo que ele recuse) cimentado para sempre consciência pública fato: o matemático russo Grigory Perelman provou a conjectura de Poincaré. E não importa que ele tenha provado um fato mais geral, desenvolvendo ao longo do caminho uma teoria completamente nova sobre as peculiaridades dos fluxos de Ricci. Pelo menos assim. A recompensa encontrou o herói.

Foto de N. Chetverikova A última grande conquista da matemática pura é chamada de prova pelo residente de São Petersburgo Grigory Perelman em 2002-2003 da conjectura de Poincaré, declarada em 1904 e afirmando: “toda variedade tridimensional compacta conectada, simplesmente conectada sem fronteira é homeomórfica à esfera S 3.”

Há vários termos nesta frase que tentarei explicar para que seu significado geral fique claro para não-matemáticos (presumo que o leitor tenha se formado no ensino médio e ainda se lembre de um pouco de sua matemática escolar).

Comecemos com o conceito de homeomorfismo, que é central para a topologia. Em geral, a topologia é frequentemente definida como “geometria da borracha”, ou seja, como a ciência das propriedades das imagens geométricas que não mudam durante deformações suaves sem quebras e colagens, ou mais precisamente, se é possível estabelecer um -correspondência única e mutuamente contínua entre dois objetos .

A ideia principal é mais fácil de explicar usando o exemplo clássico de uma caneca e um donut. A primeira pode ser transformada na segunda por uma deformação contínua: Estas figuras mostram claramente que uma caneca é homeomórfica a um donut, e este facto é verdadeiro tanto para as suas superfícies (variedades bidimensionais chamadas toro) como para corpos cheios (três variedades dimensionais com uma aresta).

Vamos dar uma interpretação dos demais termos que aparecem na formulação da hipótese.

1. Coletor tridimensional sem borda. Este é um objeto geométrico em que cada ponto possui uma vizinhança na forma de uma bola tridimensional. Exemplos de variedades 3 incluem, em primeiro lugar, todo o espaço tridimensional, denotado por R 3 , bem como quaisquer conjuntos abertos de pontos em R 3 , por exemplo, o interior de um toro sólido (donut). Se considerarmos um toro completo fechado, ou seja, somarmos seus pontos de fronteira (a superfície do toro), então obtemos uma variedade com uma aresta - os pontos de aresta não têm vizinhanças na forma de uma bola, mas apenas na forma de meia bola.

2. Conectado. O conceito de conectividade aqui é o mais simples. Uma variedade é conectada se consistir em uma peça, ou, algo parecido, quaisquer dois de seus pontos podem ser conectados por uma linha contínua que não ultrapassa seus limites.

3. Simplesmente conectado. O conceito de simplesmente conectividade é mais complexo. Isso significa que qualquer curva fechada contínua localizada inteiramente dentro de uma determinada variedade pode ser contraída suavemente até um ponto sem sair dessa variedade. Por exemplo, uma esfera bidimensional comum em R 3 é simplesmente conectada (um elástico colocado de qualquer forma na superfície de uma maçã pode ser puxado suavemente para um ponto por deformação suave sem rasgar o elástico da maçã) . Por outro lado, o círculo e o toro não estão simplesmente conectados.

4. Compacto. Uma variedade é compacta se alguma de suas imagens homeomórficas tiver dimensões limitadas. Por exemplo, um intervalo aberto em uma linha (todos os pontos de um segmento exceto suas extremidades) é não compacto, pois pode ser continuamente estendido até uma linha infinita. Mas um segmento fechado (com extremidades) é uma variedade compacta com um limite: para qualquer deformação contínua, as extremidades vão para alguns pontos específicos, e todo o segmento deve entrar em uma curva limitada conectando esses pontos.

Dimensão de uma variedade é o número de graus de liberdade do ponto que “vive” nela. Cada ponto tem uma vizinhança na forma de um disco de dimensão correspondente, ou seja, um intervalo de linha no caso unidimensional, um círculo em um plano em duas dimensões, uma bola em três dimensões, etc. Do ponto de vista da topologia, existem apenas duas variedades unidimensionais conectadas sem aresta: uma linha e um círculo. Destes, apenas o círculo é compacto.

Um exemplo de espaço que não é múltiplo é, por exemplo, um par de retas que se cruzam - afinal, no ponto de intersecção de duas retas, qualquer vizinhança tem o formato de uma cruz, não possui uma vizinhança que seria em si é simplesmente um intervalo (e todos os outros pontos têm tais vizinhanças). Nesses casos, os matemáticos dizem que estamos lidando com uma variedade especial que possui um ponto especial.

Variedades compactas bidimensionais são bem conhecidas. Se considerarmos apenas orientável 1 variedades sem limites, então, do ponto de vista topológico, elas formam uma lista simples, embora infinita: e assim por diante. Cada uma dessas variedades é obtida a partir de uma esfera colando várias alças, cujo número é chamado de gênero da superfície.

1 Por falta de espaço, não falarei de variedades não orientáveis, cujo exemplo é a famosa garrafa de Klein - uma superfície que não pode ser embutida no espaço sem auto-intersecções.

A figura mostra superfícies dos gêneros 0, 1, 2 e 3. O que faz a esfera se destacar de todas as superfícies desta lista? Acontece que é simplesmente conexo: numa esfera qualquer curva fechada pode ser contraída até um ponto, mas em qualquer outra superfície pode-se sempre indicar uma curva que não pode ser contraída até um ponto ao longo da superfície.

É curioso que variedades compactas tridimensionais sem fronteira possam ser classificadas em certo sentido, ou seja, organizadas em uma determinada lista, embora não tão simples como no caso bidimensional, mas possuindo uma estrutura bastante complexa. No entanto, a esfera 3D S 3 se destaca nesta lista assim como a esfera 2D na lista acima. O facto de qualquer curva em S 3 se contrair até um ponto é provado de forma tão simples como no caso bidimensional. Mas a afirmação oposta, nomeadamente que esta propriedade é única especificamente para a esfera, ou seja, que em qualquer outra variedade tridimensional existem curvas não contratíveis, é muito difícil e constitui exactamente o conteúdo da conjectura de Poincaré de que estamos a falar. .

É importante compreender que a diversidade pode viver por si só; pode ser pensada como um objeto independente, não aninhado em nenhum lugar. (Imagine viver como criaturas bidimensionais na superfície de uma esfera comum, sem saber da existência de uma terceira dimensão.) Felizmente, todas as superfícies bidimensionais na lista acima podem ser aninhadas no espaço R3 comum, tornando-as mais fáceis. Vizualizar. Para a esfera tridimensional S 3 (e em geral para qualquer variedade tridimensional compacta sem fronteira) este já não é o caso, pelo que é necessário algum esforço para compreender a sua estrutura.

Aparentemente, a maneira mais simples de explicar a estrutura topológica da esfera tridimensional S 3 é utilizando a compactação de um ponto. Ou seja, a esfera tridimensional S 3 é uma compactação de um ponto do espaço tridimensional comum (ilimitado) R 3 .

Vamos primeiro explicar esta construção usando exemplos simples. Vamos pegar uma linha reta infinita comum (um análogo unidimensional do espaço) e adicionar a ela um ponto “infinitamente distante”, assumindo que quando nos movemos ao longo de uma linha reta para a direita ou para a esquerda, eventualmente chegaremos a esse ponto. Do ponto de vista topológico, não há diferença entre uma reta infinita e um segmento de reta aberto delimitado (sem pontos finais). Tal segmento pode ser continuamente dobrado em forma de arco, aproximar as pontas e colar o ponto que falta na junção. Obviamente obteremos um círculo - um análogo unidimensional de uma esfera.

Da mesma forma, se eu pegar um plano infinito e adicionar um ponto no infinito, para o qual tendem todas as linhas retas do plano original, passando em qualquer direção, então obteremos uma esfera bidimensional (comum) S 2. Este procedimento pode ser observado por meio de uma projeção estereográfica, que atribui a cada ponto P da esfera, com exceção do pólo norte N, um determinado ponto do plano P":

Assim, uma esfera sem um ponto é topologicamente igual a um plano, e adicionar um ponto transforma o plano em uma esfera.

Em princípio, exatamente a mesma construção se aplica a uma esfera tridimensional e a um espaço tridimensional, apenas para sua implementação é necessário entrar na quarta dimensão, e isso não é tão fácil de representar em um desenho. Portanto, limitar-me-ei a uma descrição verbal da compactação de um ponto do espaço R 3 .

Imagine que ao nosso espaço físico (que nós, seguindo Newton, consideramos um espaço euclidiano ilimitado com três coordenadas x, y, z) um ponto “no infinito” é adicionado de tal forma que ao se mover em linha reta em qualquer direção em que você chega lá (ou seja, cada linha espacial se fecha em um círculo). Então obtemos uma variedade tridimensional compacta, que por definição é a esfera S 3 .

É fácil entender que a esfera S 3 está simplesmente conectada. Na verdade, qualquer curva fechada nesta esfera pode ser ligeiramente deslocada para que não passe pelo ponto adicionado. Então obtemos uma curva no espaço ordinário R 3, que se contrai facilmente até um ponto por meio de homotetias, ou seja, compressão contínua em todas as três direções.

Para entender como a variedade S 3 está estruturada, é muito instrutivo considerar sua partição em dois toros sólidos. Se removermos o toro sólido do espaço R 3, então algo não muito claro permanecerá. E se o espaço for compactado em uma esfera, então esse complemento também se transforma em um toro sólido. Ou seja, a esfera S 3 é dividida em dois toros sólidos que possuem um limite comum - um toro.

Veja como você pode entender isso. Vamos incorporar o toro em R 3 como de costume, na forma de um donut redondo, e desenhar uma linha vertical - o eixo de rotação deste donut. Desenhamos um plano arbitrário através do eixo; ele cruzará nosso toro sólido ao longo de dois círculos mostrados em verde na figura, e a parte adicional do plano será dividida em uma família contínua de círculos vermelhos. Estes incluem o eixo central, que é destacado com mais ousadia, porque na esfera S 3 a linha reta se fecha em um círculo. Uma imagem tridimensional é obtida a partir desta imagem bidimensional por rotação em torno de um eixo. Um conjunto completo de círculos girados preencherá um corpo tridimensional, homeomórfico a um toro sólido, apenas com aparência incomum.

Na verdade, o eixo central nele será um círculo axial, e o resto desempenhará o papel de paralelos - círculos que constituem um toro sólido comum.

Para ter algo com que comparar a esfera 3, darei outro exemplo de uma variedade 3 compacta, ou seja, um toro tridimensional. Um toro tridimensional pode ser construído da seguinte forma. Tomemos um cubo tridimensional comum como material de partida:

Possui três pares de bordas: esquerda e direita, superior e inferior, frontal e traseira. Em cada par de faces paralelas, identificamos aos pares os pontos obtidos um do outro por transferência ao longo da aresta do cubo. Ou seja, assumiremos (de forma puramente abstrata, sem o uso de deformações físicas) que, por exemplo, A e A" são o mesmo ponto, e B e B" também são um ponto, mas diferentes do ponto A. Todos os pontos internos do cubo, consideraremos isso normalmente. O cubo em si é uma variedade com uma aresta, mas depois de feita a colagem, a aresta se fecha sobre si mesma e desaparece. Na verdade, as vizinhanças dos pontos A e A" no cubo (eles ficam nas faces sombreadas esquerda e direita) são metades de bolas, que, depois de colar as faces, se fundem em uma bola inteira, que serve como vizinhança de o ponto correspondente do toro tridimensional.

Para sentir a estrutura de um toro de 3 com base nas ideias cotidianas sobre o espaço físico, você precisa escolher três direções mutuamente perpendiculares: para frente, para a esquerda e para cima - e considerar mentalmente, como nas histórias de ficção científica, que ao se mover em qualquer uma dessas direções , um tempo bastante longo, mas finito, retornaremos ao ponto de partida, mas na direção oposta. Esta também é uma “compactação do espaço”, mas não a de um ponto usada anteriormente para construir a esfera, mas mais complexa.

Existem caminhos não contratíveis em um toro tridimensional; por exemplo, este é o segmento AA" na figura (em um toro representa um caminho fechado). Ele não pode ser contraído, pois para qualquer deformação contínua os pontos A e A" devem se mover ao longo de suas faces, permanecendo estritamente opostos um ao outro ( caso contrário, a curva será aberta).

Portanto, vemos que existem 3 variedades compactas simplesmente conectadas e não simplesmente conectadas. Perelman provou que uma variedade simplesmente conectada é exatamente uma.

A ideia inicial da prova é usar o chamado “fluxo de Ricci”: pegamos uma variedade 3 compacta simplesmente conectada, dotamos-a de uma geometria arbitrária (ou seja, introduzimos alguma métrica com distâncias e ângulos) e então consideramos sua evolução ao longo do fluxo Ricci. Richard Hamilton, que propôs esta ideia em 1981, esperava que esta evolução transformasse a nossa diversidade numa esfera. Descobriu-se que isso não é verdade - no caso tridimensional, o fluxo de Ricci é capaz de estragar uma variedade, ou seja, torná-la uma não-variedade (algo com pontos singulares, como no exemplo acima de linhas que se cruzam) . Perelman, ao superar incríveis dificuldades técnicas, utilizando o pesado aparato das equações diferenciais parciais, conseguiu introduzir correções no fluxo de Ricci próximo a pontos singulares de tal forma que durante a evolução a topologia da variedade não muda, nenhum ponto singular surge, e no final ela se transforma em uma esfera redonda. Mas devemos finalmente explicar o que é esse fluxo de Ricci. Os fluxos usados ​​por Hamilton e Perelman referem-se a mudanças na métrica intrínseca em uma variedade abstrata, e isso é bastante difícil de explicar, então me limitarei a descrever o fluxo “externo” de Ricci em variedades unidimensionais embutidas no plano.

Vamos imaginar uma curva suave e fechada no plano euclidiano, escolher uma direção nela e considerar um vetor tangente de comprimento unitário em cada ponto. Então, ao contornar a curva na direção escolhida, esse vetor irá girar com alguma velocidade angular, que é chamada de curvatura. Nos locais onde a curva é mais acentuada, a curvatura (em valor absoluto) será maior, e onde for mais suave, a curvatura será menor.

Consideraremos a curvatura positiva se o vetor velocidade girar em direção à parte interna do plano, dividido por nossa curva em duas partes, e negativa se girar para fora. Esta concordância não depende da direção em que a curva é percorrida. Nos pontos de inflexão, onde a rotação muda de direção, a curvatura será 0. Por exemplo, um círculo de raio 1 tem uma curvatura positiva constante de 1 (se medida em radianos).

Agora vamos esquecer os vetores tangentes e, ao contrário, anexar a cada ponto da curva um vetor perpendicular a ele, igual em comprimento à curvatura em um determinado ponto e direcionado para dentro se a curvatura for positiva, e para fora se for negativa , e então faça com que cada ponto se mova na direção do vetor correspondente com velocidade proporcional ao seu comprimento. Aqui está um exemplo:

Acontece que qualquer curva fechada num plano se comporta de maneira semelhante durante essa evolução, ou seja, eventualmente se transforma em um círculo. Esta é uma prova do análogo unidimensional da conjectura de Poincaré usando o fluxo de Ricci (no entanto, a afirmação em si neste caso já é óbvia, só que o método de prova ilustra o que acontece na dimensão 3).

Notemos, em conclusão, que o raciocínio de Perelman prova não apenas a conjectura de Poincaré, mas também a conjectura de geometrização de Thurston, muito mais geral, que em certo sentido descreve a estrutura de todas as variedades tridimensionais geralmente compactas. Mas este assunto está além do escopo deste artigo elementar.

Sergei Duzhin,
Doutor em Física e Matemática ciências,
Senior investigador
Filial de São Petersburgo
Instituto de Matemática da Academia Russa de Ciências

O teorema de Poincaré é uma fórmula matemática para o “Universo”. Grigory Perelman. Parte 1 (da série “ Homem de verdade em ciência")

Henri Poincaré (1854-1912), um dos maiores matemáticos, formulou a famosa ideia de uma esfera tridimensional deformada em 1904 e, na forma de uma pequena nota marginal colocada no final de um livro de 65 páginas artigo dedicado a uma questão completamente diferente, rabiscou algumas linhas de uma hipótese bastante estranha com as palavras: “Bem, esta questão pode nos levar longe demais”...

Marcus Du Sautoy, da Universidade de Oxford, acredita que o teorema de Poincaré "é problema central matemática e física, uma tentativa de compreender que forma Talvez Universo, é muito difícil chegar perto dela.”

Uma vez por semana, Grigory Perelman viajava para Princeton para participar de um seminário no Instituto de Estudos Avançados. No seminário, um dos matemáticos da Universidade de Harvard responde à pergunta de Perelman: “A teoria de William Thurston (1946-2012, matemático, trabalha na área de “Geometria tridimensional e topologia”), chamada de hipótese de geometrização, descreve todos possíveis superfícies tridimensionais e é um passo à frente em comparação com a conjectura de Poincaré. Se você provar a hipótese de William Thurston, então a conjectura de Poincaré abrirá todas as suas portas para você e, além disso, sua solução mudará todo o cenário topológico da ciência moderna».

Em março de 2003, seis importantes universidades americanas convidaram Perelman para dar uma série de palestras explicando seu trabalho. Em abril de 2003, Perelman fez uma viagem científica. Suas palestras se tornam um evento científico de destaque. John Ball (presidente da União Internacional de Matemática), Andrew Wiles (matemático, trabalha na área de aritmética de curvas elípticas, provou o teorema de Fermat em 1994), John Nash (matemático que trabalha na área de teoria dos jogos e geometria diferencial) vêm para ouvi-lo em Princeton.

Grigory Perelman conseguiu resolver um dos problemas dos sete milênios E descrever matematicamente assim chamado fórmula do universo, prove a conjectura de Poincaré. As mentes mais brilhantes lutam com essa hipótese há mais de 100 anos, e para cuja prova a comunidade matemática mundial (o Clay Mathematical Institute) prometeu US$ 1 milhão. Sua apresentação ocorreu em 8 de junho de 2010. Grigory Perelman não apareceu nisso, e a comunidade matemática mundial “de queixo caído”.

Em 2006, o matemático recebeu o maior prêmio matemático - a Medalha Fields - por resolver a conjectura de Poincaré. John Ball visitou pessoalmente São Petersburgo para persuadi-lo a aceitar o prêmio. Ele se recusou a aceitá-lo com as palavras: “É improvável que a sociedade seja capaz de avaliar seriamente o meu trabalho”.

“A Medalha (e medalha) Fields é concedida uma vez a cada 4 anos em cada congresso internacional de matemática a jovens cientistas (com menos de 40 anos de idade) que deram uma contribuição significativa para o desenvolvimento da matemática. Além da medalha, os premiados recebem 15 mil dólares canadenses (US$ 13 mil).

Em sua formulação original, a conjectura de Poincaré diz o seguinte: “Toda variedade tridimensional compacta simplesmente conectada sem fronteira é homeomórfica a uma esfera tridimensional.” Traduzido para a linguagem comum, isso significa que qualquer objeto tridimensional, por exemplo, um vidro, pode ser transformado em uma bola apenas por deformação, ou seja, não precisará ser cortado ou colado. Em outras palavras, Poincaré assumiu que o espaço não é tridimensional, mas contém um número significativamente maior de dimensões e Perelman 100 anos depois provou isso matematicamente.

A expressão de Grigory Perelman do teorema de Poincaré sobre a transformação da matéria em outro estado, a forma, é semelhante ao conhecimento apresentado no livro “Sensei IV” de Anastasia Novykh: “Na verdade, todo este Universo, infinito para nós, ocupa um espaço bilhões de vezes menor que a ponta das agulhas médicas mais finas". E também a capacidade de controlar o Universo material através de transformações introduzidas pelo Observador a partir das dimensões controladoras acima da sexta (de 7 a 72 inclusive) (relatório “PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS” tópico “Ezoosmic lattice”).

Grigory Perelman distinguiu-se pelo ascetismo de sua vida e pela severidade das exigências éticas impostas a si mesmo e aos outros. Olhando para ele, tem-se a sensação de que ele está apenas vive corporalmente em geral com todos os outros contemporâneos espaço, A Espiritualmente de alguma outra maneira, onde mesmo por US$ 1 milhão eles não vão o mais "inocente" compromissos com a consciência. E que tipo de espaço é esse, e é possível até olhar para ele com o canto do olho?..

A excepcional importância da hipótese apresentada há cerca de um século pelo matemático Poincaré diz respeito às estruturas tridimensionais e é elemento chave pesquisa moderna fundamentos do universo. Este enigma, segundo especialistas do Clay Institute, é um dos sete enigmas de fundamental importância para o desenvolvimento da matemática futura.

Perelman, rejeitando medalhas e prêmios, pergunta: “Por que preciso deles? Eles não têm nenhuma utilidade para mim. Todos entendem que se a evidência estiver correta, nenhum outro reconhecimento será necessário. Até desenvolver suspeitas, tive a opção de falar em voz alta sobre a desintegração da comunidade matemática como um todo, devido ao seu baixo nível moral, ou não dizer nada e permitir-me ser tratado como gado. Agora que fiquei mais do que desconfiado, não posso continuar sendo um gado e continuar calado, então tudo que posso fazer é ir embora.”

Para se dedicar à matemática moderna é preciso ter uma mente totalmente pura, sem a menor mistura que a desintegra, desorienta, substitui valores, e aceitar esse prêmio significa demonstrar fraqueza. Um cientista ideal se dedica apenas à ciência, não se preocupa com mais nada (poder e capital), deve ter uma mente pura, e para Perelman não há maior importância do que viver de acordo com esse ideal. Toda essa ideia de milhões é útil para a matemática, e um verdadeiro cientista precisa de tal incentivo? E não é ofensivo este desejo do capital de comprar e subjugar tudo neste mundo? Ou você pode vender sua pureza por um milhão? O dinheiro, não importa quanto exista, é equivalente a verdade da alma? Afinal, estamos lidando com uma avaliação a priori de problemas com os quais o dinheiro simplesmente não deveria ter nada a ver, não é mesmo?! Ganhar algo como um milhão na loteria ou apostar em tudo isso significa ceder à desintegração do científico, e comunidade humana como um todo(veja o relatório “PRIMODIUM FÍSICA DE ALLATRA” e no livro “AllatRa” as últimas 50 páginas sobre o caminho para a construção de uma sociedade criativa). E dinheiro(energia), que os empresários estão dispostos a dar à ciência, se precisar usar, então corretamente, ou algo assim, sem humilhar Espírito de Verdadeiro Serviço, não importa como você olhe, inestimável em termos monetários: “ O que é um milhão em comparação?, com pureza ou grandeza essas esferas (sobre as dimensões do Universo global e sobre Mundo espiritual ver livro"AllatRa" e relatório"PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS"), em que incapaz de penetrar até mesmo humano imaginação (mente)?! O que é um milhão céu estrelado por tempo ?!

Vamos dar uma interpretação dos demais termos que aparecem na formulação da hipótese:

Topologia - (do grego topos - lugar e logos - ensino) - ramo da matemática que estuda as propriedades topológicas das figuras, ou seja, propriedades que não se alteram sob quaisquer deformações produzidas sem quebras e colagens (mais precisamente, com mapeamentos um a um e contínuos). Exemplos de propriedades topológicas de figuras são a dimensão, o número de curvas que delimitam uma determinada área, etc. Assim, um círculo, uma elipse e o contorno de um quadrado têm as mesmas propriedades topológicas, porque estas linhas podem ser deformadas umas nas outras da maneira descrita acima; ao mesmo tempo, o anel e o círculo têm propriedades topológicas diferentes: o círculo é limitado por um contorno e o anel por dois.

Homeomorfismo (grego ομοιο - semelhante, μορφη - forma) é uma correspondência biunívoca entre dois espaços topológicos, nos quais ambos os mapas mutuamente inversos definidos por esta correspondência são contínuos. Esses mapeamentos são chamados de mapeamentos homeomórficos, ou topológicos, bem como homeomorfismos, e os espaços são considerados pertencentes ao mesmo tipo topológico e são chamados de homeomórficos, ou topologicamente equivalentes.

Variedade tridimensional sem aresta. Este é um objeto geométrico em que cada ponto possui uma vizinhança na forma de uma bola tridimensional. Exemplos de variedades 3 incluem, em primeiro lugar, todo o espaço tridimensional, denotado por R3, bem como quaisquer conjuntos abertos de pontos em R3, por exemplo, o interior de um toro sólido (donut). Se considerarmos um toro sólido fechado, ou seja, somamos seus pontos de fronteira (a superfície do toro), então obtemos uma variedade com uma aresta - os pontos de aresta não têm vizinhanças na forma de uma bola, mas apenas na forma de meia bola.

Um toro sólido (toro sólido) é um corpo geométrico homeomórfico ao produto de um disco bidimensional e um círculo D2 * S1. Informalmente, um toro sólido é um donut, enquanto um toro é apenas a sua superfície (a câmara oca de uma roda).

Simplesmente conectado. Isso significa que qualquer curva fechada contínua localizada inteiramente dentro de uma determinada variedade pode ser contraída suavemente até um ponto sem sair dessa variedade. Por exemplo, uma esfera bidimensional comum em R3 é simplesmente conectada (um elástico colocado de qualquer forma na superfície de uma maçã pode ser puxado suavemente até um ponto sem rasgar o elástico da maçã). Por outro lado, o círculo e o toro não estão simplesmente conectados.

Compactar. Uma variedade é compacta se alguma de suas imagens homeomórficas tiver dimensões limitadas. Por exemplo, um intervalo aberto em uma linha (todos os pontos de um segmento exceto suas extremidades) é não compacto, pois pode ser continuamente estendido até uma linha infinita. Mas um segmento fechado (com extremidades) é uma variedade compacta com uma aresta: para qualquer deformação contínua, as extremidades vão para alguns pontos específicos, e todo o segmento deve entrar em uma curva limitada conectando esses pontos.

Continua...

Ilnaz Basharov

Literatura:

– Relatório “PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS” de um grupo internacional de cientistas do Movimento Social Internacional “ALLATRA”, ed. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Novos. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013. http://schambala.com.ua/book/a... .

- Novos. A., “Sensei-IV”, K.: LOTOS, 2013, 632 p. http://shambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, Doutor em Física e Matemática. Ciências, pesquisador sênior da filial de São Petersburgo do Instituto de Matemática da Academia Russa de Ciências