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O que Grigory Perelman provou? Matemático Perelman Yakov: contribuição para a ciência. Famoso matemático russo Grigory Perelman

« Desafio do milênio”, resolvido por um gênio matemático russo, está relacionado à origem do Universo. Nem todo matemático é dado a entender a essência do enigma ...

JOGO MENTAL

Até recentemente, a matemática não prometia glória ou riqueza aos seus "sacerdotes". Eles nem ganharam um Prêmio Nobel. Não existe essa nomeação. De fato, de acordo com uma lenda muito popular, a esposa de Nobel uma vez o traiu com um matemático. E em retaliação, o homem rico privou todos os seus irmãos da chicane de seu respeito e prêmio em dinheiro.

A situação mudou em 2000. O Clay Mathematics Institute, um instituto particular de matemática, escolheu sete dos problemas mais difíceis e prometeu pagar um milhão de dólares por cada solução.

Os matemáticos eram tratados com respeito. Em 2001, as telas chegaram a lançar o filme "A Beautiful Mind", cujo personagem principal era um matemático.

Agora, apenas as pessoas distantes da civilização não sabem: um dos milhões prometidos - o primeiro - já foi concedido. O prêmio foi concedido a um cidadão russo, residente em São Petersburgo Grigory Perelman. Ele provou a conjectura de Poincaré, um quebra-cabeça que desafiou qualquer um por mais de 100 anos e que, por meio de seus esforços, tornou-se um teorema.

Nosso lindo barbudo de 44 anos limpou o nariz ao redor do mundo. E agora continua a mantê-lo - o mundo - em suspense. Já que não se sabe se o matemático honestamente merecerá um milhão de dólares ou recusará. O público progressista em muitos países é naturalmente agitado. Pelo menos os jornais de todos os continentes registram intrigas financeiras e matemáticas.

E no contexto dessas atividades fascinantes - adivinhação e distribuição do dinheiro de outras pessoas - o significado da conquista de Perelman foi de alguma forma perdido. O presidente do Clay Institute, Jim Carlson, é claro, afirmou uma vez, dizem eles, o objetivo fundo de premiação- não tanto uma busca de respostas, mas uma tentativa de aumentar o prestígio da ciência matemática e de interessar os jovens por ela. Mas ainda assim, qual é o ponto?

Grisha em sua juventude - mesmo assim ele era um gênio.

HIPÓTESE DE POINCARE - O QUE É?

O enigma, resolvido pelo gênio russo, afeta os fundamentos da seção de matemática chamada topologia. Isso - topologia - é freqüentemente chamado de "geometria em uma folha de borracha". Ele lida com as propriedades das formas geométricas que são preservadas se a forma for esticada, torcida, dobrada. Ou seja, é deformado sem quebras, cortes e colas.

A topologia é importante para a física matemática porque nos permite entender as propriedades do espaço. Ou avaliá-lo sem poder olhar a forma desse espaço do lado de fora. Por exemplo, nosso universo.

Ao explicar a conjectura de Poincaré, eles começam assim: imagine uma esfera bidimensional - pegue um disco de borracha e puxe-o sobre a bola. Para que a circunferência do disco seja coletada em um ponto. Da mesma forma, por exemplo, você pode tirar uma mochila esportiva com um cordão. O resultado é uma esfera: para nós - tridimensional, mas do ponto de vista da matemática - apenas bidimensional.

Em seguida, eles se oferecem para puxar o mesmo disco em um donut. Parece funcionar. Mas as bordas do disco irão convergir para um círculo, que não pode mais ser puxado para um ponto - ele cortará o donut.

Como outro escreveu em seu popular livro matemático russo, Vladimir Uspensky, "Ao contrário das esferas bidimensionais, as esferas tridimensionais são inacessíveis à nossa observação direta e é tão difícil para nós imaginá-las quanto para Vasily Ivanovich do conhecido trinômio quadrado anedótico."

Assim, de acordo com a hipótese de Poincaré, uma esfera tridimensional é a única coisa tridimensional cuja superfície pode ser puxada para um ponto por algum tipo de "hipercordão" hipotético.

Grigory Perelman: - Basta pensar, o binômio de Newton ...

Jules Henri Poincaré sugeriu isso em 1904. Agora Perelman convenceu a todos que entendem que o topologista francês estava certo. E transformou sua hipótese em um teorema.

A prova ajuda a entender que forma nosso universo tem. E isso nos permite supor razoavelmente que é a mesma esfera tridimensional.

Mas se o Universo é a única "figura" que pode ser contraída até um ponto, então, provavelmente, também pode ser esticada a partir de um ponto. O que serve como uma confirmação indireta da teoria do Big Bang, que afirma que o Universo se originou apenas do ponto.

Acontece que Perelman, junto com Poincaré, perturbou os chamados criacionistas - apoiadores começo divino universo. E derramaram água no moinho dos físicos materialistas.

O engenhoso matemático de São Petersburgo, Grigory Perelman, que ficou famoso em todo o mundo por provar a conjectura de Poincaré, finalmente explicou sua recusa ao prêmio de um milhão de dólares concedido por isso. Segundo o Komsomolskaya Pravda, o recluso cientista revelou-se em conversa com um jornalista e produtor da produtora cinematográfica President-Film, que, com o consentimento de Perelman, fará sobre ele o longa-metragem Fórmula do Universo.

Alexander Zabrovsky teve a sorte de conversar com o grande matemático - ele trocou Moscou por Israel há alguns anos e adivinhou primeiro entrar em contato com a mãe de Grigory Yakovlevich por meio da comunidade judaica de São Petersburgo, tendo-a ajudado. Ela conversou com o filho e, após sua boa caracterização, ele concordou com um encontro. Isso pode realmente ser chamado de conquista - os jornalistas não conseguiram "pegar" o cientista, embora tenham passado dias sentados em sua entrada.

Como disse Zabrovsky ao jornal, Perelman deu a impressão de "uma pessoa absolutamente sã, saudável, adequada e normal": "Realista, pragmático e sensato, mas não desprovido de sentimentalismo e emoção ... Tudo o que lhe foi atribuído na imprensa , como se estivesse "louco", - um absurdo completo! Ele sabe exatamente o que quer e sabe como atingir o objetivo. "

O filme, para o qual o matemático fez contato e aceitou ajudar, não será sobre ele mesmo, mas sobre a cooperação e o confronto das três principais escolas matemáticas mundiais: russa, chinesa e americana, que são as mais avançadas no caminho dos estudos. e administrar o Universo.

Quando perguntado por que Perelman recusou um milhão, ele respondeu:

"Eu sei como administrar o Universo. E me diga - por que eu deveria correr atrás de um milhão?"

O cientista está ofendido, como é chamado na imprensa russa

Perelman explicou que não se comunica com os jornalistas, porque eles não estão preocupados com a ciência, mas com questões pessoais e domésticas - desde os motivos da recusa de um milhão até a questão de cortar cabelos e unhas.

Especificamente, ele não deseja entrar em contato com a mídia russa por causa da atitude desrespeitosa para com ele. Por exemplo, na imprensa eles o chamam de Grisha, e tal familiaridade ofende.

Grigory Perelman disse que desde anos escolares acostumado com o que é chamado de "treinamento cerebral". Relembrando como, sendo "delegado" da URSS, recebeu medalha de ouro na Olimpíada de Matemática em Budapeste, ele disse: “Tentamos resolver problemas em que a capacidade de pensar abstratamente era uma condição indispensável.

Essa distração da lógica matemática era o ponto principal do treinamento diário. Para encontrar a solução certa, era necessário imaginar um "pedaço do mundo".

Como exemplo de uma tarefa tão "difícil", ele citou o seguinte: "Lembre-se lenda bíblica sobre como Jesus Cristo andou sobre a água, como em terra seca. Então eu tive que calcular o quão rápido ele tinha que se mover pelas águas para não cair.

Desde então, Perelman dedicou todas as suas atividades ao estudo do problema de estudar as propriedades do espaço tridimensional do Universo: “Isso é muito interessante, estou tentando abraçar a imensidão.

O cientista escreveu sua dissertação sob a orientação do acadêmico Alexandrov. "O tema era simples: 'Superfícies de sela na geometria euclidiana'. Você consegue imaginar superfícies iguais em tamanho e desigualmente espaçadas umas das outras no infinito? Precisamos medir as 'cavidades' entre elas", explicou o matemático.

O que significa a descoberta de Perelman, assustando os serviços de inteligência do mundo

A "Fórmula do Universo" A declaração de Poincaré é chamada por causa de sua importância no estudo de processos físicos complexos na teoria do universo e porque dá uma resposta à pergunta sobre a forma do Universo. Esta evidência desempenhará um grande papel no desenvolvimento da nanotecnologia."

"Aprendi a calcular vazios, junto com meus colegas aprenderemos os mecanismos para preencher" vazios "sociais e econômicos", disse ele. "Os vazios estão em toda parte. Eles podem ser calculados e isso oferece grandes oportunidades ...

Segundo a publicação, a escala do que Grigory Yakovlevich descobriu, que na verdade está à frente da ciência mundial de hoje, o tornou objeto de interesse constante de serviços especiais, não apenas russos, mas também estrangeiros.

Ele compreendeu algum super conhecimento que ajuda a entender o universo. E aqui surgem questões desse tipo: "O que acontecerá se seu conhecimento encontrar implementação prática?"

Na verdade, os serviços secretos precisam saber - Perelman, ou melhor, seu conhecimento, é uma ameaça à humanidade? Afinal, se com a ajuda de seu conhecimento é possível transformar o Universo em um ponto e depois desdobrá-lo, podemos morrer ou renascer em uma capacidade diferente? E então seremos? E precisamos mesmo administrar o universo?

E NESTE MOMENTO

Mãe genial: "Não nos faça perguntas sobre dinheiro!"

Quando se soube que o matemático havia recebido o Prêmio do Milênio, uma multidão de jornalistas se reuniu em frente à sua porta. Todos queriam parabenizar pessoalmente Perelman e saber se ele aceitaria seu milhão legítimo.

Batemos na porta frágil por um longo tempo (se ao menos pudéssemos substituí-la por dinheiro do prêmio), mas o matemático não a abriu. Mas sua mãe pontilhou de forma bastante inteligível o "i" direto do corredor.

Não queremos falar com ninguém e não vamos dar entrevistas - gritou Lyubov Leibovna. - E não nos faça perguntas sobre este prêmio e dinheiro.

As pessoas que moravam na mesma entrada ficaram muito surpresas ao ver um súbito interesse por Perelman.

Nosso Grisha é casado? um dos vizinhos riu. - Oh, eu tenho um prêmio. De novo. Não, ele não vai aceitar. Ele não precisa de nada, vive com um centavo, mas é feliz à sua maneira.

Dizem que na véspera o matemático foi visto com embalagens cheias de produtos da loja. Ele estava se preparando para "manter o cerco" com sua mãe. Da última vez, quando começou o hype sobre o prêmio na imprensa, Perelman não saiu do apartamento por três semanas.

POR FALAR NISSO

Pelo que mais eles darão um milhão de dólares ...

Em 1998, com recursos do bilionário Landon T. Clay, foi fundado em Cambridge (EUA) o Clay Mathematics Institute para popularizar a matemática. Em 24 de maio de 2000, os especialistas do instituto elegeram os sete problemas mais intrigantes, em sua opinião. E eles apontaram um milhão de dólares para cada um.

A lista é nomeada .

1. Problema de Cook

É necessário determinar se a verificação da correção da solução de um problema pode ser mais longa do que a obtenção da própria solução. Esse tarefa lógica importante para especialistas em criptografia - criptografia de dados.

2. Hipótese de Riemann

Existem os chamados números primos, como 2, 3, 5, 7, etc., que só são divisíveis por si mesmos. Quantos são não se sabe. Riemann acreditava que isso poderia ser determinado e a regularidade de sua distribuição poderia ser encontrada. Quem o encontrar também prestará serviços de criptografia.

3. Hipótese de Birch e Swinnerton-Dyer

O problema está relacionado com a resolução de equações com três incógnitas elevadas a uma potência. Precisamos descobrir como resolvê-los, não importa o quão difícil seja.

4. Hipótese de Hodge

No século XX, os matemáticos descobriram um método para estudar a forma objetos complexos. A ideia é usar “tijolos” simples no lugar do próprio objeto, que são colados e formam a sua semelhança. Precisamos provar que isso é sempre admissível.

5. Equações de Navier - Stokes

Vale a pena lembrá-los no avião. As equações descrevem as correntes de ar que o mantêm no ar. Agora as equações são resolvidas aproximadamente, de acordo com fórmulas aproximadas. É preciso encontrar as exatas e provar que no espaço tridimensional existe solução das equações, o que é sempre verdadeiro.

6. Equações de Yang-Mills

Existe uma hipótese no mundo da física: se uma partícula elementar tem massa, então seu limite inferior também existe. Mas qual não está claro. Você precisa chegar até ele. Esta é talvez a tarefa mais difícil. Para resolvê-lo, é necessário criar uma "teoria de tudo" - equações que combinam todas as forças e interações da natureza. Quem conseguir certamente receberá o Prêmio Nobel.

A última grande conquista da matemática pura é a prova da conjectura de Poincaré, expressa em 1904 e afirmando: “toda variedade tridimensional compacta sem fronteira, conectada, simplesmente conectada, é homeomorfa à esfera S 3 ” por Grigory Perelman de St. Petersburgo em 2002-2003.

Existem vários termos nesta frase que tentarei explicar de forma que seu significado geral fique claro para não-matemáticos (presumo que o leitor tenha terminado ensino médio e ainda se lembra de algo da matemática escolar).

Vamos começar com o conceito de homeomorfismo, que é central na topologia. Em geral, a topologia costuma ser definida como "geometria da borracha", ou seja, como a ciência das propriedades das imagens geométricas que não mudam durante deformações suaves sem lacunas e colagens, ou melhor, se é possível estabelecer uma relação biunívoca correspondência um-para-um entre dois objetos.

A ideia principal é mais fácil de explicar usando o exemplo clássico de uma caneca e um bagel. O primeiro pode ser transformado no segundo por deformação contínua.

Essas figuras mostram claramente que a caneca é homeomorfa ao donut, e isso é verdade tanto para suas superfícies (variedades bidimensionais, chamadas de toro) quanto para corpos cheios (variedades tridimensionais com limite).

Vamos dar uma interpretação do restante dos termos que aparecem na formulação da hipótese.

Uma variedade tridimensional sem fronteira. Este é um objeto tão geométrico, no qual cada ponto tem uma vizinhança na forma de uma bola tridimensional. Exemplos de 3-variedades são, em primeiro lugar, todo o espaço tridimensional, denotado por R 3 , bem como qualquer conjuntos abertos pontos em R 3 , por exemplo, o interior de um toro sólido (donut). Se considerarmos um toro sólido fechado, ou seja, somarmos seus pontos de contorno (a superfície de um toro), então já obtemos uma variedade com contorno - os pontos de contorno não têm vizinhanças na forma de uma bola, mas apenas na forma de uma metade da bola.
Conectado. O conceito de conectividade é o mais simples aqui. Uma variedade é conectada se consiste em uma peça, ou, o que é o mesmo, quaisquer dois de seus pontos podem ser conectados por uma linha contínua que não ultrapassa seus limites.
Simplesmente conectado. A noção de conexão única é mais complicada. Isso significa que qualquer curva fechada contínua localizada inteiramente dentro de uma determinada variedade pode ser suavemente contraída até um ponto sem sair dessa variedade. Por exemplo, uma esfera bidimensional comum em R 3 é simplesmente conectada (um elástico, arbitrariamente preso à superfície de uma maçã, pode ser contraído por uma deformação suave em um ponto sem rasgar o elástico da maçã). Por outro lado, o círculo e o toro não estão simplesmente conectados.
Compactar. Uma variedade é compacta se alguma de suas imagens homeomórficas tem dimensões limitadas. Por exemplo, um intervalo aberto em uma linha (todos os pontos de um segmento, exceto suas extremidades) não é compacto, pois pode ser estendido continuamente até uma linha infinita. Mas um segmento fechado (com extremidades) é uma variedade compacta com um limite: para qualquer deformação contínua, as extremidades vão para alguns pontos específicos e todo o segmento deve entrar em uma curva limitada conectando esses pontos.

Dimensão variedades é o número de graus de liberdade no ponto que "vive" nele. Cada ponto tem uma vizinhança na forma de um disco da dimensão correspondente, ou seja, um intervalo de linha no caso unidimensional, um círculo no plano no caso bidimensional, uma bola no caso tridimensional , etc. Do ponto de vista da topologia, existem apenas duas variedades unidimensionais conectadas sem limite: esta é a linha e o círculo. Destes, apenas o círculo é compacto.

Um exemplo de espaço que não é uma variedade é, por exemplo, um par de retas que se cruzam - afinal, no ponto de interseção de duas retas, qualquer bairro tem a forma de uma cruz, não tem um bairro que em si ser apenas um intervalo (e todos os outros pontos têm tais vizinhanças). Os matemáticos em tais casos dizem que estamos lidando com uma variedade singular, que tem um ponto singular.

Variedades compactas bidimensionais são bem conhecidas. Se considerarmos apenas orientado variedades sem fronteira, então, do ponto de vista topológico, elas formam uma lista simples, embora infinita: e assim por diante. Cada um desses coletores é obtido de uma esfera colando várias alças, cujo número é chamado de gênero da superfície.

A figura mostra superfícies de gênero 0, 1, 2 e 3. Como uma esfera se destaca de todas as superfícies nesta lista? Acontece que é simplesmente conectado: em uma esfera, qualquer curva fechada pode ser contraída até um ponto e, em qualquer outra superfície, sempre é possível indicar uma curva que não pode ser contraída até um ponto ao longo da superfície.

É curioso que variedades compactas tridimensionais sem fronteira também possam ser classificadas em certo sentido, ou seja, dispostas em uma determinada lista, embora não tão simples quanto no caso bidimensional, mas com uma estrutura bastante complexa. No entanto, a esfera 3D S 3 se destaca nesta lista exatamente da mesma forma que a esfera 2D na lista acima. O fato de que qualquer curva em S 3 se contrai até um ponto é tão fácil de provar quanto no caso bidimensional. Mas a afirmação inversa, ou seja, que essa propriedade é única precisamente para a esfera, ou seja, que existem curvas não contráteis em qualquer outra variedade tridimensional, é muito difícil e constitui exatamente o conteúdo da conjectura de Poincaré da qual estamos falando .

É importante entender que o manifold pode viver por conta própria, pode ser pensado como um objeto independente, não aninhado em nenhum lugar. (Imagine seres bidimensionais vivos na superfície de uma esfera comum, inconscientes da existência de uma terceira dimensão.) Felizmente, todas as superfícies bidimensionais da lista acima podem ser incorporadas no espaço R 3 usual, o que torna são mais fáceis de visualizar. Para o S 3 de 3 esferas (e em geral para qualquer variedade compacta de 3 sem limite) esse não é mais o caso, então algum esforço é necessário para entender sua estrutura.

Aparentemente maneira mais simples explicar a estrutura topológica da esfera tridimensional S 3 é com a ajuda da compactação de um ponto. Ou seja, a esfera tridimensional S 3 é uma compactação de um ponto do espaço tridimensional (ilimitado) usual R 3 .

Vamos explicar essa construção primeiro em exemplos simples. Vamos pegar uma linha reta infinita comum (um análogo unidimensional do espaço) e adicionar um ponto "infinitamente distante" a ela, supondo que, ao nos movermos ao longo de uma linha reta para a direita ou para a esquerda, acabamos chegando a esse ponto. Do ponto de vista topológico, não há diferença entre uma linha infinita e um segmento aberto limitado (sem extremidades). Esse segmento pode ser dobrado continuamente na forma de um arco, aproximar as pontas e colar o ponto que falta na junção. Obtemos, obviamente, um círculo - um análogo unidimensional de uma esfera.

Da mesma forma, se eu pegar um plano infinito e adicionar um ponto no infinito, para o qual todas as linhas do plano original, passando em qualquer direção, tendem, então obtemos uma esfera bidimensional (comum) S 2 . Esse procedimento pode ser observado por meio de uma projeção estereográfica, que atribui a cada ponto P da esfera, com exceção do polo norte de N, um determinado ponto do plano P.

Assim, uma esfera sem um ponto é topologicamente igual a um plano, e adicionar um ponto transforma o plano em uma esfera.

Em princípio, exatamente a mesma construção se aplica a uma esfera tridimensional e a um espaço tridimensional, apenas para sua implementação é necessário entrar na quarta dimensão, e isso não é tão fácil de representar no desenho. Então vou me limitar descrição verbal compactação de um ponto do espaço R 3 .

Imagine que ao nosso espaço físico (que nós, seguindo Newton, consideramos ser um espaço euclidiano ilimitado com três coordenadas x, y, z) tenha um ponto “no infinito” adicionado de tal forma que ao mover-se ao longo de uma linha reta em qualquer direção, você cai (ou seja, cada linha espacial se fecha em um círculo). Então obtemos uma variedade tridimensional compacta, que é, por definição, a esfera S 3 .

É fácil ver que a esfera S 3 é simplesmente conexa. De fato, qualquer curva fechada nesta esfera pode ser ligeiramente deslocada para que não passe pelo ponto adicionado. Então obtemos uma curva no espaço usual R 3 , que é facilmente contraída até um ponto por meio de homotetias, ou seja, contração contínua em todas as três direções.

Para entender como a variedade S 3 é estruturada, é muito instrutivo considerar sua partição em dois toros sólidos. Se o toro sólido for omitido do espaço R 3, algo não muito claro permanece. E se o espaço é compactado em uma esfera, esse complemento também se transforma em um toro sólido. Ou seja, a esfera S 3 é dividida em dois toros sólidos com um limite comum - um toro.

Aqui está como isso pode ser entendido. Vamos incorporar o toro em R 3 como de costume, na forma de uma rosquinha redonda, e desenhar uma linha vertical - o eixo de rotação dessa rosquinha. Desenhamos um plano arbitrário através do eixo, ele cruzará nosso toro sólido em dois círculos mostrados na figura em verde, e a parte adicional do plano é dividida em uma família contínua de círculos vermelhos. Entre eles está o eixo central, destacado em negrito, pois na esfera S 3 a linha se fecha em um círculo. Uma imagem tridimensional é obtida a partir desta imagem bidimensional, girando em torno de um eixo. Um conjunto completo de círculos girados preencherá um corpo tridimensional, homeomorfo a um toro sólido, apenas parecendo incomum.

Na verdade, o eixo central será um círculo axial nele, e o resto desempenhará o papel de paralelos - círculos que compõem o toro sólido usual.

Para ter algo para comparar com a 3-esfera, darei outro exemplo de uma variedade compacta de 3 dimensões, ou seja, um toro tridimensional. Um toro tridimensional pode ser construído da seguinte maneira. Vamos pegar um cubo tridimensional comum como material de origem:

Tem três pares de faces: esquerda e direita, superior e inferior, frontal e posterior. Em cada par de faces paralelas, identificamos em pares os pontos obtidos um do outro por transferência ao longo da aresta do cubo. Ou seja, assumiremos (de forma puramente abstrata, sem aplicar deformações físicas) que, por exemplo, A e A "são o mesmo ponto, e B e B" também são um ponto, mas diferentes do ponto A. Todos os pontos internos do cubo vamos considerar como de costume. O próprio cubo é um manifold com uma fronteira, mas depois da colagem feita, a fronteira se fecha sobre si mesma e desaparece. De fato, as vizinhanças dos pontos A e A" no cubo (eles ficam nas faces sombreadas esquerda e direita) são as metades das bolas, que, depois de coladas as faces, se fundem em uma bola inteira, que serve como um vizinhança do ponto correspondente do toro tridimensional.

Para sentir o dispositivo de um toro 3 com base em idéias comuns sobre o espaço físico, você precisa escolher três direções mutuamente perpendiculares: para frente, esquerda e para cima - e contar mentalmente como em histórias de fantasia que ao nos movermos em qualquer uma dessas direções por um tempo suficientemente longo, mas finito, retornaremos ao ponto de partida, mas na direção oposta. Esta é também uma “compactação do espaço”, mas não de um ponto, usada anteriormente para construir uma esfera, mas mais complexa.

Existem caminhos não contráteis no 3-torus; por exemplo, este é o segmento AA" na figura (no toro representa um caminho fechado). Não pode ser contraído, porque para qualquer deformação contínua, os pontos A e A" devem se mover ao longo de suas faces, permanecendo estritamente opostos um ao outro. outro (caso contrário, a curva será aberta).

Assim, vemos que existem 3-variedades compactas simplesmente conexas e não simplesmente conexas. Perelman provou que uma variedade simplesmente conexa é exatamente uma.

O ponto de partida da prova é o uso do chamado "fluxo de Ricci": pegamos uma variedade 3 compacta simplesmente conectada, dotamos-na de uma geometria arbitrária (ou seja, introduzimos alguma métrica com distâncias e ângulos) e então consideramos sua evolução ao longo do fluxo de Ricci. Richard Hamilton, que propôs essa ideia em 1981, esperava que com essa evolução nosso manifold se transformasse em uma esfera. Acontece que isso não é verdade - no caso tridimensional, o fluxo de Ricci é capaz de estragar o manifold, ou seja, torná-lo um pouco manifold (algo com pontos singulares, como no exemplo acima de linhas que se cruzam). Perelman, superando incríveis dificuldades técnicas, usando o pesado aparato das equações diferenciais parciais, conseguiu corrigir o fluxo de Ricci perto de pontos singulares de tal forma que durante a evolução a topologia da variedade não muda, não há pontos singulares e, em no final, ele se transforma em uma esfera redonda. Mas é preciso explicar, por fim, o que é esse fluxo de Ricci. Os fluxos usados por Hamilton e Perelman referem-se a uma mudança na métrica intrínseca em uma variedade abstrata, e isso é bastante difícil de explicar, então vou me limitar a descrever o fluxo "externo" de Ricci em variedades unidimensionais embutidas em um plano .

Imagine uma curva fechada suave no plano euclidiano, escolha uma direção nela e considere em cada ponto um vetor tangente de comprimento unitário. Então, ao contornar a curva na direção escolhida, esse vetor irá girar com alguma velocidade angular, que é chamada de curvatura. Onde a curva for mais íngreme, a curvatura (em valor absoluto) será maior, e onde for mais suave, a curvatura será menor.

A curvatura será considerada positiva se o vetor velocidade virar para dentro do plano dividido pela nossa curva em duas partes, e negativa se virar para fora. Esta convenção é independente da direção em que a curva é percorrida. Nos pontos de inflexão onde a rotação muda de direção, a curvatura será 0. Por exemplo, um círculo de raio 1 tem uma curvatura positiva constante de 1 (medida em radianos).

Agora vamos esquecer os vetores tangentes e anexar a cada ponto da curva, pelo contrário, um vetor perpendicular a ele, igual em comprimento à curvatura em um determinado ponto e direcionado para dentro se a curvatura for positiva e para fora se for negativa , e então forçaremos cada ponto a se mover na direção do vetor correspondente com velocidade proporcional ao seu comprimento. Aqui está um exemplo:

Acontece que qualquer curva fechada no plano se comporta de maneira semelhante durante essa evolução, ou seja, acaba se transformando em um círculo. Esta é a prova do análogo unidimensional da conjectura de Poincaré usando o fluxo de Ricci (no entanto, a própria afirmação neste caso já é óbvia, apenas o método de prova ilustra o que acontece na dimensão 3).

Em conclusão, notamos que o argumento de Perelman prova não apenas a conjectura de Poincaré, mas também a muito mais geral conjectura de geometrização de Thurston, que em certo sentido descreve a estrutura de todas as 3-variedades compactas em geral. Mas este assunto está além do escopo deste artigo elementar.

Por falta de espaço, não falarei de variedades não orientáveis, cujo exemplo é a famosa garrafa de Klein - uma superfície que não pode ser encaixada em um espaço sem autointerseções.

O matemático Perelman é uma pessoa muito famosa, apesar de levar uma vida solitária e evitar a imprensa de todas as maneiras possíveis. Sua prova da conjectura de Poincaré o colocou em pé de igualdade com os maiores cientistas da história mundial. O matemático Perelman recusou muitos prêmios concedidos pela comunidade científica. Este homem vive muito modestamente e é totalmente dedicado à ciência. Claro, vale a pena falar sobre ele e sua descoberta em detalhes.

Padre Grigory Perelman

Em 13 de junho de 1966, nasceu Grigory Yakovlevich Perelman, um matemático. foto dele em acesso livre um pouco, mas os mais famosos são apresentados neste artigo. Ele nasceu em Leningrado - capital cultural nosso país. Seu pai era engenheiro elétrico. Ele não tinha nada a ver com ciência, como muitos acreditam.

Yakov Perelman

Acredita-se amplamente que Grigory é filho de Yakov Perelman, um conhecido popularizador da ciência. No entanto, este é um equívoco, porque ele morreu em Leningrado sitiada em março de 1942, então não havia como ser pai. Este homem nasceu em Bialystok, cidade que antes pertencia a Império Russo e agora faz parte da Polônia. Yakov Isidorovich nasceu em 1882.

Yakov Perelman, o que é muito interessante, também foi atraído pela matemática. Além disso, ele gostava de astronomia e física. Este homem é considerado o fundador da ciência divertida, bem como um dos primeiros a escrever obras no gênero da literatura científica popular. Ele é o criador do livro "Live Mathematics". Perelman escreveu muitos outros livros. Além disso, sua bibliografia inclui mais de mil artigos. Quanto a um livro como "Live Mathematics", Perelman apresenta vários quebra-cabeças relacionados a essa ciência. Muitos deles são concebidos na forma de contos. Este livro destina-se principalmente a adolescentes.

Por um lado, outro livro é especialmente interessante, cujo autor é Yakov Perelman (" Matemática divertida"). Trilhões - você sabe que número é esse? É 10 21. Na URSS, por muito tempo, havia duas escalas em paralelo - "curto" e "longo". Segundo Perelman, "curto" era usado em finanças cálculos e vida cotidiana, e "longo" - em papéis científicos dedicado à física e à astronomia. Portanto, um trilhão em escala "curta" não existe. 10 21 é chamado de sextilhão nele. Essas escalas geralmente diferem significativamente.

No entanto, não vamos nos deter nisso em detalhes e passar para a história da contribuição para a ciência feita por Grigory Yakovlevich, e não por Yakov Isidorovich, cujas realizações foram menos modestas. A propósito, não foi seu conhecido homônimo que incutiu em Gregory o amor pela ciência.

A mãe de Perelman e sua influência sobre Grigory Yakovlevich

A mãe do futuro cientista ensinou matemática em uma escola profissionalizante. Além disso, ela era uma talentosa violinista. Provavelmente um amor pela matemática, bem como música clássica Grigory Yakovlevich adotou dela. Ambos igualmente atraíram Perelman. Quando se deparou com a escolha de onde entrar - no conservatório ou em uma universidade técnica, demorou muito para decidir. Quem sabe quem Grigory Perelman poderia ter se tornado se tivesse decidido obter uma educação musical.

A infância do futuro cientista

Já desde tenra idade, Gregory foi distinguido discurso competente tanto escrita quanto oral. Ele costumava surpreender os professores da escola com isso. Aliás, antes da 9ª série, Perelman estudou em uma escola secundária, aparentemente típica, que tantas existem na periferia. E então os professores do Palácio dos Pioneiros notaram um jovem talentoso. Ele foi levado para cursos para crianças superdotadas. Isso contribuiu para o desenvolvimento dos talentos únicos de Perelman.

Vitória nas Olimpíadas, formatura da escola

Desde então, começa o marco das vitórias de Gregory. Em 1982, ele recebeu na Olimpíada Internacional de Matemática realizada em Budapeste. Perelman participou junto com uma equipe de alunos soviéticos. Ele recebeu uma pontuação total, resolvendo todos os problemas na perfeição. Gregory se formou na décima primeira série da escola no mesmo ano. O próprio fato de participar desta prestigiada Olimpíada abriu para ele as portas das melhores instituições de ensino de nosso país. Mas Grigory Perelman não apenas participou, mas também recebeu uma medalha de ouro.

Não é de surpreender que ele tenha sido matriculado sem exames no Leningrado Universidade Estadual, na Faculdade de Mecânica e Matemática. A propósito, Gregory, curiosamente, não recebeu uma medalha de ouro na escola. Isso foi evitado pela avaliação em educação física. A aprovação nos padrões esportivos da época era obrigatória para todos, inclusive para quem dificilmente se imaginava no mastro de salto ou na barra. Em outras disciplinas, ele estudou por cinco.

Estudando na LSU

Nos anos seguintes, o futuro cientista continuou seus estudos na Universidade Estadual de Leningrado. Participou, e com grande sucesso, em várias competições matemáticas. Perelman até conseguiu a prestigiosa bolsa Lenin. Então ele se tornou o dono de 120 rublos - muito dinheiro na época. Ele devia estar bem na época.

Deve-se dizer que a Faculdade de Matemática e Mecânica desta universidade, que agora se chama São Petersburgo, estava em anos soviéticos um dos melhores da Rússia. Em 1924, por exemplo, V. Leontiev se formou. Quase imediatamente após concluir seus estudos, ele recebeu o Prêmio Nobel de Economia. Esse cientista é até chamado de pai da economia americana. Leonid Kantorovich, o único laureado nacional deste prêmio, que o recebeu por sua contribuição para esta ciência, era professor de matemática.

Educação continuada, vida nos EUA

Depois de se formar na Universidade Estadual de Leningrado, Grigory Perelman ingressou no Steklov Mathematical Institute para continuar seus estudos de pós-graduação. Logo ele voou para os EUA para apresentá-lo. instituição educacional. Este país sempre foi considerado um estado de liberdade ilimitada, especialmente em hora soviética entre os habitantes do nosso país. Muitos sonhavam em vê-la, mas o matemático Perelman não era um deles. Parece que as tentações do Ocidente passaram despercebidas para ele. O cientista ainda levava um estilo de vida modesto, até um tanto ascético. Ele comeu sanduíches com queijo, que engoliu com kefir ou leite. E, claro, o matemático Perelman trabalhou muito. Em particular, ele era um professor. O cientista se reuniu com seus colegas matemáticos. A América o entediou depois de 6 anos.

Retorno à Rússia

Grigory voltou para a Rússia, para seu instituto natal. Aqui ele trabalhou por 9 anos. Foi nessa época que ele deve ter começado a entender que o caminho para " Pura arte"mentira por isolamento, isolamento da sociedade. Grigory decidiu romper todas as relações com seus colegas. O cientista decidiu se trancar em seu apartamento em Leningrado e iniciar um trabalho grandioso ...

Topologia

Não é fácil explicar o que Perelman provou em matemática. Somente os grandes amantes desta ciência podem entender completamente o significado de sua descoberta. Nós tentaremos em linguagem simples falar sobre a hipótese que Perelman levantou. Grigory Yakovlevich foi atraído pela topologia. Este é um ramo da matemática, muitas vezes também chamado de geometria em uma folha de borracha. estudos de topologia formas geométricas que persistem quando a forma é dobrada, torcida ou esticada. Em outras palavras, se for absolutamente deformado elasticamente - sem colar, cortar e rasgar. A topologia é muito importante para uma disciplina como a física matemática. Dá uma ideia das propriedades do espaço. No nosso caso, estamos falando de um espaço infinito em contínua expansão, ou seja, do Universo.

conjectura de Poincaré

O grande físico, matemático e filósofo francês J. A. Poincaré foi o primeiro a formular essa hipótese. Isso aconteceu no início do século XX. Mas deve-se notar que ele fez uma suposição e não deu uma prova. Perelman encarregou-se de provar essa hipótese, de derivar uma solução matemática, logicamente verificada, depois de um século inteiro.

Ao falar sobre sua essência, eles geralmente começam da seguinte maneira. Pegue o disco de borracha. Deve ser puxado sobre a bola. Assim, você tem uma esfera bidimensional. É necessário que a circunferência do disco seja coletada em um ponto. Por exemplo, você pode fazer isso com uma mochila puxando-a e amarrando-a com um cordão. Acontece uma esfera. Claro, para nós é tridimensional, mas do ponto de vista da matemática será bidimensional.

Começam então as projeções figurativas e o raciocínio, de difícil compreensão para uma pessoa despreparada. Deve-se imaginar agora uma esfera tridimensional, ou seja, uma bola estendida sobre algo que vai para outra dimensão. Uma esfera tridimensional, de acordo com a hipótese, é o único objeto tridimensional existente que pode ser unido por um hipotético "hipercordão" em um ponto. A prova deste teorema ajuda-nos a compreender que forma tem o Universo. Além disso, graças a ele, pode-se presumir razoavelmente que o Universo é uma esfera tridimensional.

A hipótese de Poincaré e a teoria do Big Bang

Deve-se notar que esta hipótese é uma confirmação da teoria do Big Bang. Se o Universo é a única "figura" cuja característica distintiva é a capacidade de contraí-lo em um ponto, isso significa que ele pode ser esticado da mesma maneira. Surge a pergunta: se é uma esfera, o que há fora do universo? O homem, que é um subproduto pertencente apenas ao planeta Terra e nem mesmo ao cosmos como um todo, é capaz de conhecer esse mistério? Os interessados podem ser convidados a ler as obras de outro matemático mundialmente famoso - Stephen Hawking. No entanto, ele ainda não pode dizer nada de concreto a esse respeito. Esperemos que no futuro apareça outro Perelman e ele consiga resolver este enigma, que atormenta a imaginação de muitos. Quem sabe, talvez o próprio Grigory Yakovlevich ainda seja capaz de fazer isso.

Prêmio Nobel de Matemática

Perelman não recebeu este prestigioso prêmio por sua grande conquista. Estranho, não é? Na verdade, isso é explicado de maneira muito simples, visto que tal prêmio simplesmente não existe. Toda uma lenda foi criada sobre as razões pelas quais Nobel privou representantes de uma ciência tão importante. Até hoje, o Prêmio Nobel de matemática não foi concedido. Perelman provavelmente conseguiria se existisse. Reza a lenda que o motivo da rejeição dos matemáticos por Nobel é o seguinte: foi para o representante dessa ciência que sua noiva o deixou. Goste ou não, foi apenas com o advento do século 21 que a justiça finalmente prevaleceu. Foi então que surgiu outro prêmio para matemáticos. Vamos falar brevemente sobre sua história.

Como surgiu o Clay Institute Award?

Em um congresso matemático realizado em Paris em 1900, ele propôs uma lista de 23 problemas que precisavam ser resolvidos no novo século XX. Até o momento, 21 deles já são permitidos. A propósito, em 1970, Yu. V. Matiyasevich, formado em matemática e mecânica na Universidade Estadual de Leningrado, concluiu a solução do 10º desses problemas. No início do século 21, o American Clay Institute compilou uma lista semelhante a ela, composta por sete problemas de matemática. Eles deveriam ter sido resolvidos já no século 21. Uma recompensa de um milhão de dólares foi anunciada para resolver cada um deles. Já em 1904, Poincaré formulou um desses problemas. Ele apresentou a conjectura de que todas as superfícies tridimensionais que são homotipicamente equivalentes a uma esfera são homeomórficas a ela. conversando em palavras simples, se uma superfície tridimensional for um pouco semelhante a uma esfera, é possível achatá-la em uma esfera. Essa afirmação do cientista às vezes é chamada de fórmula do universo por causa de sua grande importância na compreensão de processos físicos complexos e também porque a resposta a ela significa resolver a questão da forma do universo. Também deve ser dito que esta descoberta desempenha um papel importante no desenvolvimento de nanotecnologias.

Então, o Clay Mathematics Institute decidiu escolher os 7 problemas mais difíceis. Para a solução de cada um deles foi prometido um milhão de dólares. E agora Grigory Perelman aparece com sua descoberta. O prêmio em matemática, é claro, vai para ele. Ele foi notado rapidamente, pois desde 2002 publica seu trabalho em recursos estrangeiros da Internet.

Como Perelman foi premiado com o Clay Award

Assim, em março de 2010, Perelman recebeu o merecido prêmio. O prêmio em matemática significava receber uma fortuna impressionante, cujo valor era de US $ 1 milhão. Grigory Yakovlevich deveria recebê-lo para a prova, mas em junho de 2010 o cientista ignorou a conferência matemática realizada em Paris, na qual este prêmio seria entregue. E em 1º de julho de 2010, Perelman anunciou publicamente sua recusa. Além disso, nunca pegou o dinheiro que lhe foi atribuído, apesar de todos os pedidos.

Por que o matemático Perelman recusou o prêmio?

Grigory Yakovlevich explicou isso pelo fato de sua consciência não permitir que ele recebesse um milhão, devido a vários outros matemáticos. O cientista notou que tinha muitos motivos para pegar o dinheiro e não pegá-lo. Levou muito tempo para decidir. Grigory Perelman, um matemático, citou desacordo com a comunidade científica como o principal motivo para recusar o prêmio. Ele observou que considera suas decisões injustas. Grigory Yakovlevich afirmou acreditar que a contribuição de Hamilton, um matemático alemão, para a solução desse problema não foi menor que a dele.

Aliás, um pouco depois teve até uma anedota sobre esse assunto: os matemáticos precisam alocar milhões com mais frequência, talvez alguém ainda decida pegá-los. Um ano após a recusa de Perelman, Demetrios Christodoul e Richard Hamilton receberam o Prêmio Shaw. O valor deste prêmio em matemática é de um milhão de dólares. Este prêmio às vezes também é referido como premio Nobel Leste. Hamilton o recebeu pela criação de uma teoria matemática. Foi isso que o matemático russo Perelman então desenvolveu em seus trabalhos dedicados à prova da conjectura de Poincaré. Ricardo aceitou o prêmio.

Outros prêmios recusados por Grigory Perelman

A propósito, em 1996, Grigory Yakovlevich recebeu um prêmio de prestígio para jovens matemáticos da European Mathematical Society. No entanto, ele se recusou a recebê-lo.

Dez anos depois, em 2006, o cientista recebeu a Medalha Fields por resolver a conjectura de Poincaré. Grigory Yakovlevich também a recusou.

A revista Science em 2006 chamou a prova da hipótese criada por Poincaré o avanço científico do ano. Deve-se notar que este é o primeiro trabalho no campo da matemática que ganhou tal título.

David Gruber e Sylvia Nazar publicaram um artigo em 2006 chamado Manifold Destiny. Fala sobre Perelman, sobre sua solução para o problema de Poincaré. Além disso, o artigo fala sobre a comunidade matemática e os princípios éticos existentes na ciência. Ele também apresenta uma rara entrevista com Perelman. Muito se fala também sobre as críticas de Yau Xingtang, o matemático chinês. Junto com seus alunos, ele tentou contestar a integridade das evidências apresentadas por Grigory Yakovlevich. Em uma entrevista, Perelman observou: "Aqueles que violam os padrões éticos na ciência não são considerados estranhos. Pessoas como eu são as que estão isoladas."

Em setembro de 2011, ele também recusou a adesão ao Academia Russa matemático Perelman. Sua biografia é apresentada em um livro publicado no mesmo ano. A partir dele poderá saber mais sobre o destino deste matemático, embora a informação recolhida se baseie no testemunho de terceiros. Seu autor - O livro foi compilado com base em entrevistas com colegas, professores, colegas e colegas de Perelman. Sergei Rukshin, professor de Grigory Yakovlevich, falou criticamente dela.

Grigory Perelman hoje

E hoje ele leva uma vida solitária. O matemático Perelman ignora a imprensa de todas as maneiras possíveis. Onde ele mora? Até recentemente, Grigory Yakovlevich morava com sua mãe em Kupchino. E desde 2014, o famoso matemático russo Grigory Perelman está na Suécia.

Foto de N. Chetverikova A última grande conquista da matemática pura é a prova da conjectura de Poincaré, expressa em 1904 e afirmando: “toda variedade tridimensional compacta, conectada, simplesmente conectada, sem fronteira, é homeomorfa à esfera S 3 ” por Grigory Perelman de São Petersburgo em 2002-2003.

Existem vários termos nesta frase, que tentarei explicar de forma que seu significado geral fique claro para os não matemáticos (presumo que o leitor tenha se formado no ensino médio e ainda se lembre de algo da matemática escolar).

A ideia principal é mais fácil de explicar usando o exemplo clássico de uma caneca e um bagel. O primeiro pode ser transformado no segundo por uma deformação contínua: Essas figuras mostram claramente que a caneca é homeomorfa ao donut, e esse fato é verdadeiro tanto para suas superfícies (variedades bidimensionais, chamadas de toro) quanto para corpos cheios ( variedades tridimensionais com contorno).

Vamos dar uma interpretação do restante dos termos que aparecem na formulação da hipótese.

1. Variedade tridimensional sem fronteira. Este é um objeto tão geométrico, no qual cada ponto tem uma vizinhança na forma de uma bola tridimensional. Exemplos de 3-variedades são, em primeiro lugar, todo o espaço tridimensional, denotado por R 3 , bem como quaisquer conjuntos abertos de pontos em R 3 , por exemplo, o interior de um toro sólido (donut). Se considerarmos um toro sólido fechado, ou seja, somarmos seus pontos de contorno (a superfície do toro), então já obtemos uma variedade com contorno - os pontos de contorno não possuem vizinhanças na forma de uma bola, mas apenas na forma de meia bola.

2. Conectado. O conceito de conectividade é o mais simples aqui. Uma variedade é conectada se consiste em uma peça, ou, algo semelhante, quaisquer dois de seus pontos podem ser conectados por uma linha contínua que não ultrapassa seus limites.

3. Simplesmente conectado. A noção de conexão única é mais complicada. Isso significa que qualquer curva fechada contínua localizada inteiramente dentro de uma determinada variedade pode ser suavemente contraída até um ponto sem sair dessa variedade. Por exemplo, uma esfera bidimensional comum em R 3 é simplesmente conectada (um elástico, arbitrariamente preso à superfície de uma maçã, pode ser contraído por uma deformação suave em um ponto sem rasgar o elástico da maçã). Por outro lado, o círculo e o toro não estão simplesmente conectados.

4. Compacto. Uma variedade é compacta se alguma de suas imagens homeomórficas tem dimensões limitadas. Por exemplo, um intervalo aberto em uma linha (todos os pontos de um segmento, exceto suas extremidades) não é compacto, pois pode ser estendido continuamente até uma linha infinita. Mas um segmento fechado (com extremidades) é uma variedade compacta com um limite: para qualquer deformação contínua, as extremidades vão para alguns pontos específicos e todo o segmento deve entrar em uma curva limitada conectando esses pontos.

Dimensão múltiplo é o número de graus de liberdade no ponto que "vive" nele. Cada ponto tem uma vizinhança na forma de um disco da dimensão correspondente, ou seja, um intervalo de linha no caso unidimensional, um círculo no plano no caso bidimensional, uma bola no caso tridimensional , etc. Do ponto de vista da topologia, existem apenas duas variedades unidimensionais conectadas sem limite: esta é a linha e o círculo. Destes, apenas o círculo é compacto.

Variedades compactas bidimensionais são bem conhecidas. Se considerarmos apenas orientado 1 variedades sem fronteira, então, do ponto de vista topológico, elas formam uma lista simples, embora infinita: e assim por diante. Cada um desses coletores é obtido de uma esfera colando várias alças, cujo número é chamado de gênero da superfície.

1 Por falta de espaço, não falarei de variedades não orientáveis, cujo exemplo é a famosa garrafa de Klein - uma superfície que não pode ser encaixada em um espaço sem autointerseções.

Aparentemente, a maneira mais simples de explicar a estrutura topológica da esfera tridimensional S 3 é com a ajuda da compactação de um ponto. Ou seja, a esfera tridimensional S 3 é uma compactação de um ponto do espaço tridimensional (ilimitado) usual R 3 .

Vamos explicar essa construção primeiro com exemplos simples. Vamos pegar uma linha reta infinita comum (um análogo unidimensional do espaço) e adicionar um ponto "infinitamente distante" a ela, supondo que, ao nos movermos ao longo de uma linha reta para a direita ou para a esquerda, acabamos chegando a esse ponto. Do ponto de vista topológico, não há diferença entre uma linha infinita e um segmento aberto limitado (sem extremidades). Esse segmento pode ser dobrado continuamente na forma de um arco, aproximar as pontas e colar o ponto que falta na junção. Obtemos, obviamente, um círculo - um análogo unidimensional de uma esfera.

Assim, uma esfera sem um ponto é topologicamente igual a um plano, e adicionar um ponto transforma o plano em uma esfera.

Em princípio, exatamente a mesma construção se aplica a uma esfera tridimensional e a um espaço tridimensional, apenas para sua implementação é necessário entrar na quarta dimensão, e isso não é tão fácil de representar no desenho. Portanto, limito-me a uma descrição verbal da compactação de um ponto do espaço R 3 .

Aqui está como isso pode ser entendido. Vamos incorporar o toro em R 3 como de costume, na forma de uma rosquinha redonda, e desenhar uma linha vertical - o eixo de rotação dessa rosquinha. Desenhe um plano arbitrário através do eixo, ele cruzará nosso toro sólido ao longo de dois círculos mostrados em verde na figura, e a parte adicional do plano é dividida em uma família contínua de círculos vermelhos. Entre eles está o eixo central, destacado em negrito, pois na esfera S 3 a linha se fecha em um círculo. Uma imagem tridimensional é obtida a partir desta imagem bidimensional, girando em torno de um eixo. Um conjunto completo de círculos girados preencherá um corpo tridimensional, homeomorfo a um toro sólido, apenas parecendo incomum.

Na verdade, o eixo central será um círculo axial nele, e o resto desempenhará o papel de paralelos - círculos que compõem o toro sólido usual.

Tem três pares de faces: esquerda e direita, superior e inferior, frontal e posterior. Em cada par de faces paralelas, identificamos em pares os pontos obtidos um do outro por transferência ao longo da aresta do cubo. Ou seja, assumiremos (de forma puramente abstrata, sem aplicar deformações físicas) que, por exemplo, A e A "são o mesmo ponto, e B e B" também são um ponto, mas diferentes do ponto A. Todos os pontos internos do cubo vamos considerar como de costume. O próprio cubo é um manifold com uma aresta, mas depois de colada, a aresta se fecha sobre si mesma e desaparece. De fato, as vizinhanças dos pontos A e A" no cubo (eles ficam nas faces sombreadas esquerda e direita) são as metades das bolas, que, depois de coladas as faces, se fundem em uma bola inteira, que serve como um vizinhança do ponto correspondente do toro tridimensional.

Para sentir a estrutura do 3-torus com base em ideias comuns sobre o espaço físico, você precisa escolher três direções mutuamente perpendiculares: para frente, para a esquerda e para cima - e considerar mentalmente, como nas histórias de ficção científica, que ao se mover em qualquer uma das Nessas direções, um tempo bastante longo, mas finito, voltaremos ao ponto de partida, mas na direção oposta. Isso também é uma “compactação do espaço”, mas não de um ponto, usado anteriormente para construir uma esfera, mas mais complexo.

Assim, vemos que existem 3-variedades compactas simplesmente conexas e não simplesmente conexas. Perelman provou que uma variedade simplesmente conexa é exatamente uma.

A ideia inicial da prova é usar o chamado "fluxo de Ricci": pegamos uma variedade 3 compacta simplesmente conectada, dotamos-a de uma geometria arbitrária (isto é, introduzimos alguma métrica com distâncias e ângulos) e então considere sua evolução ao longo do fluxo de Ricci. Richard Hamilton, que propôs essa ideia em 1981, esperava que com essa evolução nosso manifold se transformasse em uma esfera. Acontece que isso não é verdade - no caso tridimensional, o fluxo de Ricci é capaz de estragar o manifold, ou seja, torná-lo um pouco manifold (algo com pontos singulares, como no exemplo acima de linhas que se cruzam). Perelman, superando incríveis dificuldades técnicas, usando o pesado aparato das equações diferenciais parciais, conseguiu corrigir o fluxo de Ricci perto de pontos singulares de tal forma que durante a evolução a topologia da variedade não muda, não há pontos singulares e, em no final, ele se transforma em uma esfera redonda. Mas devemos finalmente explicar o que é esse fluxo de Ricci. Os fluxos usados por Hamilton e Perelman referem-se a uma mudança na métrica intrínseca em uma variedade abstrata, e isso é bastante difícil de explicar, então vou me limitar a descrever o fluxo "externo" de Ricci em variedades unidimensionais embutidas em um plano .

A curvatura será considerada positiva se o vetor velocidade virar para dentro do plano dividido pela nossa curva em duas partes, e negativa se virar para fora. Esta convenção não depende da direção em que a curva é percorrida. Nos pontos de inflexão onde a rotação muda de direção, a curvatura será 0. Por exemplo, um círculo de raio 1 tem uma curvatura positiva constante de 1 (medida em radianos).

Sergey Duzhin,
Doutor em Física e Matemática Ciências,
Senior investigador
Filial de São Petersburgo
Instituto de Matemática da Academia Russa de Ciências

O teorema de Poincaré é a fórmula matemática do "Universo". Grigory Perelman. Parte 1 (da série "Real Man in Science")

Henri Poincaré (1854-1912), um dos maiores matemáticos, em 1904 formulou a famosa ideia de uma esfera tridimensional deformada e, na forma de uma pequena nota marginal colocada no final de um artigo de 65 páginas em um questão completamente diferente, rabiscou algumas linhas de uma conjectura bastante estranha com as palavras: "Bem, esta questão pode nos levar longe demais" ...

Marcus Du Sotoy, da Universidade de Oxford, acredita que o teorema de Poincaré é "este o problema central da matemática e da física, Tentando entender que forma Talvez UniversoÉ muito difícil chegar perto dela."

Uma vez por semana, Grigory Perelman viajava para Princeton para participar de um seminário no Institute for Advanced Study. No seminário, um dos matemáticos Universidade de Harvard responde à pergunta de Perelman: “A teoria de William Thurston (1946-2012, matemático, trabalha no campo da “geometria e topologia tridimensionais”), chamada de hipótese da geometrização, descreve todas as superfícies tridimensionais possíveis e é um passo à frente em comparação à hipótese de Poincaré. Se você provar a suposição de William Thurston, a conjectura de Poincaré abrirá todas as suas portas para você e muito mais sua solução mudará toda a paisagem topológica da ciência moderna».

Seis importantes universidades americanas em março de 2003 convidaram Perelman para ler uma série de palestras explicando seu trabalho. Em abril de 2003, Perelman faz uma turnê científica. Suas palestras tornam-se um evento científico de destaque. John Ball (presidente da União Internacional de Matemática), Andrew Wiles (matemático, trabalha no campo da aritmética de curvas elípticas, provou o teorema de Fermat em 1994), John Nash (matemático que trabalha no campo da teoria dos jogos e geometria diferencial) vêm para Princeton para ouvi-lo.

Grigory Perelman conseguiu resolver uma das sete tarefas do milênio E descrever matematicamente o assim chamado a fórmula do universo, para provar a conjectura de Poincaré. As mentes mais brilhantes lutaram por essa hipótese por mais de 100 anos, e para cuja prova a comunidade matemática mundial (o Clay Mathematical Institute) prometeu US $ 1 milhão. Foi apresentado em 8 de junho de 2010. Grigory Perelman não apareceu nele , e a comunidade matemática mundial "de queixo caído".

Em 2006, por resolver a conjectura de Poincaré, o matemático recebeu o maior prêmio matemático - o Prêmio Fields (Medalha Fields). John Ball visitou pessoalmente São Petersburgo para persuadi-lo a aceitar o prêmio. Ele se recusou a aceitá-lo com as palavras: "A sociedade dificilmente consegue avaliar seriamente meu trabalho."

“O Prêmio Fields (e medalha) é concedido uma vez a cada 4 anos em cada congresso internacional de matemática para jovens cientistas (com menos de 40 anos) que fizeram uma contribuição significativa para o desenvolvimento da matemática. Além da medalha, os premiados recebem 15.000 dólares canadenses (US$ 13.000).”

Em sua formulação original, a conjectura de Poincaré é a seguinte: "Toda variedade tridimensional compacta simplesmente conectada sem fronteira é homeomorfa a uma esfera tridimensional." Traduzido para uma linguagem comum, isso significa que qualquer objeto tridimensional, por exemplo, um vidro, pode ser transformado em bola apenas por deformação, ou seja, não precisará ser cortado ou colado. Em outras palavras, Poincaré sugeriu que o espaço não é tridimensional, mas contém um número muito maior de dimensões, e Perelman 100 anos depois provou isso matematicamente.

A expressão de Grigory Perelman do teorema de Poincaré sobre a transformação da matéria em outro estado, forma é semelhante ao conhecimento estabelecido no livro de Anastasia Novykh "Sensei IV": agulhas". Bem como a capacidade de controlar o Universo material através de transformações introduzidas pelo Observador a partir do controle das dimensões acima da sexta (de 7 a 72 inclusive) (relatório "FÍSICA PRIMÁRIA DA ALLATRA" tópico "Grade Ezósmica").

Grigory Perelman se distinguia pela austeridade da vida, a severidade dos requisitos éticos tanto para si quanto para os outros. Olhando para ele, tem-se a sensação de que ele é apenas reside corporalmente em comum com todos os outros contemporâneos espaço, A Espiritualmente em algum outro, onde mesmo por $ 1 milhão não vá para o mais "inocente" compromissos com a consciência. E que tipo de espaço é esse, e dá para olhar pelo canto do olho? ..

A excepcional importância da hipótese apresentada há cerca de um século pelo matemático Poincaré diz respeito a estruturas tridimensionais e é elemento chave pesquisa contemporânea fundamentos do universo. Este enigma, segundo especialistas do Clay Institute, é um dos sete de fundamental importância para o desenvolvimento da matemática do futuro.

Perelman, rejeitando medalhas e prêmios, pergunta: “Por que preciso deles? Eles são absolutamente inúteis para mim. Todos entendem que, se a prova estiver correta, nenhum outro reconhecimento é necessário. Até que comecei a desconfiar, eu tinha a opção de falar em voz alta sobre a desintegração da comunidade matemática como um todo, devido ao seu baixo nível moral, ou não dizer nada e me deixar tratar como gado. Agora, quando me tornei mais do que suspeito, não posso permanecer um gado e continuar calado, então só posso ir embora.

Para fazer matemática moderna é preciso ter uma mente totalmente pura, sem a menor mistura que a desintegre, desoriente, substitua valores, e aceitar este prêmio significa demonstrar fraqueza. O cientista ideal se dedica apenas à ciência, não se preocupa com mais nada (poder e capital), ele deve ter uma mente pura, e para Perelman não há maior importância do que viver de acordo com esse ideal. Toda essa ideia com milhões é útil para a matemática e um verdadeiro cientista precisa de tal incentivo? E esse desejo do capital de comprar e subjugar tudo neste mundo não é um insulto? Ou você pode vender sua pureza por um milhão? O dinheiro, por mais que haja, é equivalente a verdade da alma? Afinal, estamos lidando com uma avaliação a priori de problemas que o dinheiro simplesmente não deveria ter a ver, certo?! Fazer de tudo isso algo como um milhão de loteria, ou uma bolsa, significa ceder à desintegração do científico e, de fato, a comunidade humana como um todo(Veja a reportagem "FÍSICA PRIMORDIAL DA ALLATRA" e no livro "AllatRa" as últimas 50 páginas sobre o caminho para a construção de uma sociedade criativa). E dinheiro(energia), que os empresários estão dispostos a doar para a ciência, se for preciso usar, então está correto, ou algo assim, sem humilhar O Espírito do Verdadeiro Serviço, diga-se o que se diga, um equivalente monetário inestimável: “ O que é um milhão, comparado, com pureza, ou majestade essas esferas (sobre as dimensões do universo global e sobre mundo espiritual ver livro"AllatRa" e relatar"FÍSICA PRIMORDIAL DA ALLATRA"), em que incapaz de penetrar mesmo humano imaginação (mente)?! O que é um milhão céu estrelado por tempo?

Vamos dar uma interpretação dos demais termos que aparecem na formulação da hipótese:

Topologia - (do grego topos - lugar e logos - ensino) - ramo da matemática que estuda as propriedades topológicas das figuras, ou seja, propriedades que não mudam sob quaisquer deformações produzidas sem descontinuidades e colagens (mais precisamente, sob mapeamentos um-para-um e contínuos). Exemplos de propriedades topológicas de figuras são a dimensão, o número de curvas que delimitam uma determinada área e assim por diante. Assim, um círculo, uma elipse, um contorno quadrado têm as mesmas propriedades topológicas, pois estas linhas podem ser deformadas uma na outra da maneira descrita acima; ao mesmo tempo, o anel e o círculo têm diferentes propriedades topológicas: o círculo é limitado por um contorno e o anel por dois.

Homeomorfismo (grego ομοιο - semelhante, μορφη - forma) é uma correspondência um-para-um entre dois espaços topológicos, sob os quais ambos os mapeamentos mutuamente inversos definidos por esta correspondência são contínuos. Esses mapeamentos são chamados de mapeamentos homeomorfos ou topológicos, assim como os homeomorfismos, e os espaços que dizem pertencer ao mesmo tipo topológico são chamados de homeomorfos ou topologicamente equivalentes.

Uma variedade tridimensional sem fronteira. Este é um objeto tão geométrico, no qual cada ponto tem uma vizinhança na forma de uma bola tridimensional. Exemplos de 3-variedades são, em primeiro lugar, todo o espaço tridimensional, denotado por R3 , bem como quaisquer conjuntos abertos de pontos em R3 , por exemplo, o interior de um toro sólido (donut). Se considerarmos um toro sólido fechado, ou seja, Se somarmos seus pontos de fronteira (a superfície de um toro), obteremos uma variedade com um limite - os pontos de limite não têm vizinhanças na forma de uma bola, mas apenas na forma de uma metade da bola.

Toro completo (toro completo) - corpo geométrico, homeomorfo ao produto de um disco bidimensional e o círculo D2 * S1. Informalmente, um toro sólido é um donut, enquanto um toro é apenas sua superfície (uma câmara oca de uma roda).

Simplesmente conectado. Isso significa que qualquer curva fechada contínua localizada inteiramente dentro de uma determinada variedade pode ser suavemente contraída até um ponto sem sair dessa variedade. Por exemplo, uma esfera bidimensional comum em R3 é simplesmente conectada (um elástico, arbitrariamente aplicado à superfície de uma maçã, pode ser contraído em um ponto por uma deformação suave sem remover o elástico da maçã). Por outro lado, o círculo e o toro não estão simplesmente conectados.

Compactar. Uma variedade é compacta se alguma de suas imagens homeomórficas tem dimensões limitadas. Por exemplo, um intervalo aberto em uma linha (todos os pontos de um segmento, exceto suas extremidades) não é compacto, pois pode ser estendido continuamente até uma linha infinita. Mas um segmento fechado (com extremidades) é uma variedade compacta com um limite: para qualquer deformação contínua, as extremidades vão para alguns pontos específicos e todo o segmento deve entrar em uma curva limitada conectando esses pontos.

Continua...

Ilnaz Basharov

Literatura:

– Relatório "PRIMARY ALLATRA PHYSICS" do grupo internacional de cientistas do Movimento Público Internacional ALLATRA, ed. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Novos. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Novos. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013, 632 p. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, Doutor em Física e Matemática Sci., Pesquisador Sênior, Filial de São Petersburgo do Instituto de Matemática da Academia Russa de Ciências

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