คำอธิบายความขัดแย้งของ Monty Hall The Monty Hall Paradox เป็นปริศนาตรรกะที่ไม่เหมาะสำหรับคนใจเสาะ

พบเธอที่เรียกว่า Monty Hall Paradox และว้าว แก้ไขมันแตกต่างกันกล่าวคือ: พิสูจน์ว่านี่คือความขัดแย้งหลอก.

เพื่อน ๆ ฉันยินดีที่จะรับฟังคำวิจารณ์เกี่ยวกับการหักล้างความขัดแย้งนี้ (หลอก-paradox ถ้าฉันพูดถูก) แล้วฉันจะเห็นด้วยตาตัวเองว่าตรรกะของฉันมันงี่เง่า ฉันจะเลิกคิดว่าตัวเองเป็นนักคิด และคิดที่จะเปลี่ยนประเภทของกิจกรรมเป็นแบบโคลงสั้น ๆ : o) ดังนั้นนี่คือเนื้อหาของงาน วิธีแก้ปัญหาที่เสนอและการโต้แย้งของฉันอยู่ด้านล่าง

ลองนึกภาพว่าคุณได้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณอยู่หน้าสามประตู เจ้าของที่พักซึ่งขึ้นชื่อเรื่องความซื่อสัตย์ วางรถไว้หลังประตูบานหนึ่ง และแพะไว้หลังประตูอีกสองบาน คุณไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับสิ่งที่อยู่เบื้องหลังประตูบานใด

เจ้าหน้าที่อำนวยความสะดวกบอกคุณ: “ก่อนอื่นคุณต้องเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง หลังจากนั้นฉันจะเปิดประตูที่เหลือบานหนึ่งซึ่งด้านหลังเป็นแพะ จากนั้นฉันจะแนะนำให้คุณเปลี่ยนตัวเลือกเดิมและเลือกประตูปิดที่เหลืออยู่แทนประตูที่คุณเลือกในตอนแรก คุณสามารถทำตามคำแนะนำของฉันและเลือกประตูอื่น หรือคุณสามารถยืนยันตัวเลือกเดิมของคุณ หลังจากนั้นฉันจะเปิดประตูที่คุณเลือกและคุณจะชนะสิ่งที่อยู่เบื้องหลังประตูนั้น”

คุณเลือกประตูหมายเลข 3 เจ้าหน้าที่อำนวยความสะดวกเปิดประตูหมายเลข 1 และแสดงว่ามีแพะอยู่ข้างหลัง จากนั้นโฮสต์จะขอให้คุณเลือกประตูหมายเลข 2

โอกาสในการชนะรถยนต์ของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่หากคุณทำตามคำแนะนำของเขา?
ความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์เป็นหนึ่งในปัญหาที่รู้จักกันดีของทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นขัดแย้งกับสามัญสำนึกในแวบแรก
เมื่อแก้ปัญหานี้ พวกเขามักจะให้เหตุผลดังนี้: หลังจากที่เจ้าภาพเปิดประตูหลังที่แพะอยู่ รถจะอยู่หลังประตูใดบานหนึ่งจากสองประตูที่เหลือเท่านั้น เนื่องจากผู้เล่นไม่สามารถรับใดๆ ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับประตูที่รถอยู่ข้างหลัง ความน่าจะเป็นที่จะหารถที่อยู่หลังประตูแต่ละบานจะเท่ากัน และการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นของประตูไม่ได้ทำให้ผู้เล่นได้เปรียบแต่อย่างใด อย่างไรก็ตาม เหตุผลบรรทัดนี้ไม่ถูกต้อง
หากเจ้าบ้านรู้อยู่เสมอว่าประตูไหนอยู่ข้างหลัง เปิดประตูที่เหลือที่มีแพะอยู่เสมอ และแจ้งให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือกเสมอ ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่ผู้เล่นเลือกคือ 1/3 และ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่เหลือคือ 2/3 ดังนั้น การเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นจะเพิ่มโอกาสของผู้เล่นในการชนะรถเป็นสองเท่า ข้อสรุปนี้ขัดแย้งกับการรับรู้สถานการณ์โดยสัญชาตญาณของคนส่วนใหญ่ ซึ่งเป็นสาเหตุที่ปัญหาที่อธิบายไว้นี้เรียกว่า Monty Hall Paradox

สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าโอกาสจะไม่เปลี่ยนแปลง ไม่มีความขัดแย้ง

และนี่คือเหตุผล: ตัวเลือกประตูบานแรกและบานที่สองคือ เป็นอิสระเหตุการณ์ มันเหมือนกับการโยนเหรียญ 2 ครั้ง สิ่งที่ตกลงมาในครั้งที่ 2 นั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับสิ่งที่ตกลงมาในครั้งแรกแต่อย่างใด

ดังนั้นที่นี่: หลังจากเปิดประตูพร้อมกับแพะ ผู้เล่นพบว่าตัวเองเข้ามา สถานการณ์ใหม่เมื่อมันมี 2 ประตู และความน่าจะเป็นที่จะเลือกรถหรือแพะคือ 1/2

อีกครั้ง: หลังจากเปิดประตูหนึ่งจากสามบาน ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่เหลือ ไม่เท่ากับ 2/3, เพราะ 2/3 คือความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลัง 2 ประตูใดๆ ไม่ถูกต้องที่จะระบุความน่าจะเป็นนี้กับประตูที่ไม่ได้เปิดและประตูที่เปิดอยู่ ก่อนการเปิดประตูเป็นการจัดแนวของความน่าจะเป็น แต่ หลังจากเมื่อเปิดประตูบานหนึ่ง ความน่าจะเป็นเหล่านี้จะกลายเป็น เป็นโมฆะเพราะ สถานการณ์เปลี่ยนไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการคำนวณความน่าจะเป็นใหม่, ที่ คนธรรมดาดำเนินการอย่างถูกต้องโดยตอบว่าจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนทางเลือก

ภาคผนวก: 1) ให้เหตุผลว่า:

ก) ความน่าจะเป็นที่จะหารถหลังประตูที่เลือกคือ 1/3

b) ความน่าจะเป็นที่รถอยู่หลังประตูที่ไม่ได้เลือกอีกสองบาน 2/3

ค) เพราะ เจ้าภาพเปิดประตูพร้อมกับแพะ จากนั้นความน่าจะเป็น 2/3 ไปที่ประตูที่ไม่ได้เลือก (และยังไม่ได้เปิด) ทั้งหมด

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเปลี่ยนทางเลือกเป็นประตูอื่นเพื่อให้ความน่าจะเป็นจาก 1/3 กลายเป็น 2/3 ไม่เป็นความจริง แต่เป็นเท็จ กล่าวคือ: ในย่อหน้า "c"เนื่องจากในตอนแรกความน่าจะเป็น 2/3 เกี่ยวข้องกับประตู 2 บานใดๆ รวมถึงอีก 2 บานที่เหลือที่ไม่ได้เปิด และเนื่องจากประตูบานหนึ่งถูกเปิด ความน่าจะเป็นนี้จะถูกแบ่งเท่าๆ กันระหว่าง 2 บานที่ไม่ได้เปิด เช่น ความน่าจะเป็นจะเท่ากันและการเลือกประตูอื่นจะไม่เพิ่มขึ้น

2) ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขจะคำนวณหากมีเหตุการณ์สุ่ม 2 เหตุการณ์ขึ้นไป และความน่าจะเป็นจะคำนวณแยกกันสำหรับแต่ละเหตุการณ์ จากนั้นจึงคำนวณความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันของ 2 เหตุการณ์ขึ้นไปเท่านั้น ในตอนแรกความน่าจะเป็นของการเดาคือ 1/3 แต่เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่รถไม่ได้อยู่หลังประตูที่เลือก แต่อยู่หลังอีกบานที่ไม่ได้เปิด คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข แต่คุณต้องคำนวณความน่าจะเป็นอย่างง่าย ซึ่งก็คือ 1 ใน 2 เหล่านั้น 1/2.

3) ดังนั้น นี่ไม่ใช่ความขัดแย้ง แต่เป็นความผิดพลาด! (19.11.2552)

ภาคผนวก 2: เมื่อวานผมอธิบายง่ายๆว่า กลยุทธ์การเลือกใหม่ยังคงได้เปรียบกว่า(ความขัดแย้งเป็นเรื่องจริง!): ด้วยตัวเลือกแรก การเข้าไปในแพะนั้นมีโอกาสมากกว่าการเข้าไปในรถถึง 2 เท่า เพราะมีแพะสองตัว ดังนั้นด้วยตัวเลือกที่สอง คุณต้องเปลี่ยนตัวเลือก ชัดเจนมาก :o)

หรืออีกนัยหนึ่ง: ไม่จำเป็นต้องทำเครื่องหมายในรถ แต่ต้องปฏิเสธแพะและแม้แต่ผู้นำเสนอก็ช่วยในเรื่องนี้โดยเปิดแพะ และเมื่อเริ่มเกมด้วยความน่าจะเป็น 2 ใน 3 ผู้เล่นก็จะประสบความสำเร็จเช่นกัน ดังนั้นเมื่อปฏิเสธแพะแล้ว คุณต้องเปลี่ยนตัวเลือก และมันก็ชัดเจนในทันใด :o)

ทุกสิ่งที่ฉันเขียนจนถึงตอนนี้เป็นการหักล้างแบบหลอกๆ นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของความจริงที่ว่าคุณต้องเจียมเนื้อเจียมตัวมากขึ้น เคารพในมุมมองของคนอื่น และไม่เชื่อถือการรับรองในตรรกะของคุณว่าการตัดสินใจของคนนั้นสมเหตุสมผล

ในเดือนธันวาคม พ.ศ. 2506 สถานีโทรทัศน์ NBC ของอเมริกาได้ออกอากาศรายการ Let's Make a Deal ("มาทำข้อตกลงกันเถอะ!") เป็นครั้งแรก ซึ่งผู้เข้าร่วมเลือกจากผู้ชมในสตูดิโอต่อรองราคากันเองและกับเจ้าภาพ เกมขนาดเล็กหรือเพียงแค่เดาคำตอบของคำถาม ในตอนท้ายของการออกอากาศ ผู้เข้าร่วมสามารถเล่น "ดีลประจำวัน" ข้างหน้ามีประตูสามบานซึ่งเป็นที่รู้กันว่าด้านหลังบานหนึ่งเป็นรางวัลใหญ่ (เช่น รถยนต์) และด้านหลังอีกสองบานเป็นของกำนัลที่มีค่าน้อยกว่าหรือไร้สาระโดยสิ้นเชิง (เช่น แพะมีชีวิต) . หลังจากที่ผู้เล่นเลือกแล้ว มอนตี ฮอลล์ ผู้ดำเนินรายการได้เปิดประตูบานหนึ่งจากสองบานที่เหลือ โดยแสดงให้เห็นว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง และให้ผู้เข้าร่วมดีใจที่ตนมีโอกาสชนะ

ในปี 1975 Steve Selvin นักวิทยาศาสตร์แห่ง UCLA ถามว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากในขณะนั้นหลังจากเปิดประตูโดยไม่มีรางวัล ผู้เข้าร่วมถูกขอให้เปลี่ยนตัวเลือก โอกาสของผู้เล่นที่จะได้รับรางวัลจะเปลี่ยนไปในกรณีนี้หรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้น จะเป็นไปในทิศทางใด? เขาส่งคำถามที่เกี่ยวข้องในรูปแบบของปัญหาไปยัง American Statistician (“American Statistician”) รวมถึง Monty Hall เอง ซึ่งให้คำตอบที่ค่อนข้างอยากรู้อยากเห็น แม้จะมีคำตอบนี้ (หรืออาจเป็นเพราะคำตอบนี้) ปัญหาก็กลายเป็นที่นิยมภายใต้ชื่อ "Monty Hall problem"

การกำหนดปัญหานี้ที่พบบ่อยที่สุดซึ่งตีพิมพ์ในปี 1990 ในนิตยสาร Parade มีดังนี้:

“ลองจินตนาการว่าคุณได้เป็นผู้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณต้องเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง สามประตู. หลังประตูบานหนึ่งเป็นรถ อีกสองประตูเป็นแพะ คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง เช่น หมายเลข 1 หลังจากนั้นเจ้าของที่พักซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและแพะอยู่ที่ไหน เปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ เช่น หมายเลข 3 ซึ่งด้านหลังมีแพะอยู่ หลังจากนั้นเขาจะถามคุณว่าคุณต้องการเปลี่ยนตัวเลือกและเลือกประตูหมายเลข 2 หรือไม่ โอกาสในการชนะรถของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่หากคุณยอมรับข้อเสนอของเจ้าของที่พักและเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ

หลังจากการเผยแพร่ เห็นได้ชัดว่าปัญหาถูกกำหนดขึ้นอย่างไม่ถูกต้อง: ไม่ได้กำหนดเงื่อนไขทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ผู้อำนวยความสะดวกอาจทำตามกลยุทธ์ “มอนตี้นรก”: เสนอให้เปลี่ยนตัวเลือกหากผู้เล่นเลือกรถในการเคลื่อนไหวครั้งแรกเท่านั้น เห็นได้ชัดว่าการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นจะนำไปสู่การสูญเสียที่รับประกันในสถานการณ์ดังกล่าว

ที่นิยมมากที่สุดคือปัญหาที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม - ผู้เข้าร่วมเกมรู้กฎต่อไปนี้ล่วงหน้า:

1. รถมีแนวโน้มที่จะวางไว้หลังประตูทั้ง 3 ประตูพอๆ กัน
2. ไม่ว่าในกรณีใด เจ้าภาพมีหน้าที่ต้องเปิดประตูพร้อมกับแพะ (แต่ไม่ใช่ตัวที่ผู้เล่นเลือก) และเสนอให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือก
3. ถ้าผู้นำมีทางเลือกที่จะเปิดประตูสองบาน เขาเลือกบานใดบานหนึ่งที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน

เบาะแส

ลองพิจารณาคนที่เลือกประตูที่ต่างกันในกรณีเดียวกัน (เช่น เมื่อรางวัลอยู่หลังประตูหมายเลข 1) ใครจะได้ประโยชน์จากการเปลี่ยนทางเลือก และใครจะไม่ได้?

สารละลาย

ตามที่แนะนำในคำแนะนำเครื่องมือ ให้พิจารณาผู้ที่เลือกต่างกัน สมมติว่ารางวัลอยู่หลังประตู #1 และหลังประตู #2 และ #3 เป็นแพะ สมมติว่าเรามีหกคน และแต่ละประตูถูกเลือกโดยคนสองคน และจากแต่ละคู่ก็เปลี่ยนการตัดสินใจ และอีกคู่หนึ่งไม่ได้เปลี่ยน

โปรดทราบว่าเจ้าของที่พักที่เลือกประตูหมายเลข 1 จะเปิดประตูบานใดบานหนึ่งจากสองบานตามความชอบของเขา ในขณะที่ไม่ว่าจะด้วยวิธีใดก็ตาม ผู้ที่ไม่ได้เปลี่ยนตัวเลือกจะได้รับรถ แต่เป็นคนที่เปลี่ยนตัวเลือกแรกของเขา จะยังคงอยู่โดยไม่มีรางวัล ทีนี้มาดูผู้ที่เลือกประตู #2 และ #3 เนื่องจากมีรถยนต์อยู่หลังประตูหมายเลข 1 เจ้าของที่พักจึงไม่สามารถเปิดได้ ซึ่งทำให้เขาไม่มีทางเลือก - เขาจึงเปิดประตูหมายเลข 3 และหมายเลข 2 ให้พวกเขาตามลำดับ ในเวลาเดียวกัน ผู้ที่เปลี่ยนการตัดสินในแต่ละคู่จะเลือกรางวัลตามผล และผู้ที่ไม่เปลี่ยนแปลงจะไม่เหลืออะไรเลย ดังนั้น จากสามคนที่เปลี่ยนใจ สองคนจะได้รับรางวัล และอีกหนึ่งคนจะได้แพะ ในขณะที่สามคนที่เหลือตัวเลือกเดิมไม่เปลี่ยนแปลง จะมีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะได้รับรางวัล

ควรสังเกตว่าหากรถอยู่หลังประตู #2 หรือ #3 ผลลัพธ์จะเหมือนกัน เฉพาะผู้ชนะเท่านั้นที่จะเปลี่ยนแปลง ดังนั้น สมมติว่าในขั้นต้นแต่ละประตูถูกเลือกด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน เราพบว่าผู้ที่เปลี่ยนตัวเลือกจะได้รับรางวัลบ่อยขึ้นสองเท่า นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่จะชนะในกรณีนี้จะสูงกว่า

ลองดูปัญหานี้จากมุมมองของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น เราจะถือว่าความน่าจะเป็นของตัวเลือกเริ่มต้นของแต่ละประตูนั้นเท่ากัน รวมถึงความน่าจะเป็นที่จะอยู่หลังประตูแต่ละบานของรถ นอกจากนี้ มีประโยชน์ในการสำรองที่ผู้นำ เมื่อเขาสามารถเปิดสองประตู เลือกแต่ละบานด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน จากนั้นปรากฎว่าหลังจากการตัดสินครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่รางวัลจะอยู่หลังประตูที่เลือกคือ 1/3 ในขณะที่ความน่าจะเป็นที่จะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งจากอีกสองบานคือ 2/3 ในเวลาเดียวกัน หลังจากที่เจ้าภาพเปิดหนึ่งในสองประตูที่ "ไม่ได้เลือก" ความน่าจะเป็นทั้งหมดของ 2/3 จะตกอยู่ที่ประตูที่เหลือเพียงบานเดียว ดังนั้นจึงเป็นการสร้างพื้นฐานสำหรับการเปลี่ยนการตัดสิน ซึ่งจะเพิ่มความน่าจะเป็นในการชนะ ถึง 2 เท่า ซึ่งแน่นอนว่าไม่ได้รับประกันในกรณีใดกรณีหนึ่งโดยเฉพาะ แต่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จมากขึ้นในกรณีของการทดลองซ้ำ ๆ ซ้ำ ๆ

คำต่อท้าย

ปัญหา Monty Hall ไม่ใช่การกำหนดครั้งแรกของปัญหานี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในปี 1959 มาร์ติน การ์ดเนอร์ตีพิมพ์ในวารสาร Scientific American ปัญหาที่คล้ายกัน “เกี่ยวกับนักโทษสามคน” (ปัญหานักโทษสามคน) โดยมีข้อความดังต่อไปนี้: “ในบรรดานักโทษสามคน หนึ่งคนควรได้รับการอภัยโทษ และสองคนควรถูกประหารชีวิต นักโทษ A เกลี้ยกล่อมผู้คุมให้บอกชื่อของอีกสองคนที่จะถูกประหารชีวิต (ไม่ว่าจะถูกประหารชีวิตทั้งคู่) หลังจากนั้นเมื่อได้รับชื่อ B เขาคิดว่าความน่าจะเป็นที่ความรอดของเขาจะไม่ 1/3 แต่ 1/2 ในเวลาเดียวกัน นักโทษ C อ้างว่าความน่าจะเป็นที่จะหลบหนีของเขากลายเป็น 2/3 ในขณะที่ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงสำหรับ A อันไหนถูกต้อง?"

อย่างไรก็ตาม การ์ดเนอร์ไม่ใช่คนแรก นับตั้งแต่ปี 1889 ในแคลคูลัสแห่งความน่าจะเป็น นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Joseph Bertrand (อย่าสับสนกับ Bertrand Russell ชาวอังกฤษ!) เสนอปัญหาที่คล้ายกัน (ดูกล่องที่ขัดแย้งกันของ Bertrand): "มี สามกล่อง แต่ละกล่องบรรจุเหรียญสองเหรียญ: เหรียญทองคำสองเหรียญในกล่องแรก เหรียญเงินสองเหรียญในกล่องที่สอง และอีกสองกล่องที่แตกต่างกันในกล่องที่สาม

หากคุณเข้าใจวิธีแก้ปัญหาทั้งสามข้อ คุณจะสังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันของแนวคิดได้อย่างง่ายดาย ในทางคณิตศาสตร์ พวกเขาทั้งหมดรวมกันเป็นหนึ่งโดยแนวคิดของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากรู้ว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้น ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าปกติทอยหนึ่งลูกคือ 1/6; อย่างไรก็ตาม หากทราบว่าหมายเลขที่ม้วนเป็นเลขคี่ ความน่าจะเป็นที่จะเป็นหมายเลขหนึ่งคือ 1/3 แล้ว ปัญหา Monty Hall เช่นเดียวกับอีกสองปัญหาที่อ้างถึง แสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขต้องได้รับการจัดการอย่างระมัดระวัง

ปัญหาเหล่านี้มักเรียกว่าความขัดแย้ง: ความขัดแย้งของ Monty Hall, ความขัดแย้งแบบกล่องของ Bertrand (อย่าสับสนอย่างหลังกับความขัดแย้งที่แท้จริงของ Bertrand ที่ระบุในหนังสือเล่มเดียวกันซึ่งพิสูจน์ความคลุมเครือของแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นที่มีอยู่ในขณะนั้น) - ซึ่ง แสดงถึงความขัดแย้งบางอย่าง (เช่น ใน " ความขัดแย้งของคนโกหก" วลี "ข้อความนี้เป็นเท็จ" ขัดแย้งกับกฎหมายของกลางที่แยกออก) ใน กรณีนี้อย่างไรก็ตาม ไม่มีข้อขัดแย้งกับข้อความที่เข้มงวด อย่างไรก็ตาม มีความขัดแย้งที่ชัดเจนกับ ความคิดเห็นของประชาชน” หรือเพียงแค่ “วิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจน” สำหรับปัญหา อันที่จริง คนส่วนใหญ่เมื่อพิจารณาถึงปัญหาแล้ว เชื่อว่าหลังจากเปิดประตูบานใดบานหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่จะพบรางวัลหลังประตูบานใดบานหนึ่งที่เหลืออยู่คือ 1/2 ด้วยการทำเช่นนั้น พวกเขายืนยันว่าไม่มีความแตกต่างไม่ว่าพวกเขาจะเห็นด้วยหรือไม่เห็นด้วยที่จะเปลี่ยนใจ ยิ่งไปกว่านั้น หลายคนพบว่ามันยากที่จะเข้าใจคำตอบอื่นนอกเหนือจากนี้ แม้ว่าจะได้รับการบอกวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดแล้วก็ตาม

คำตอบของ Monty Hall ต่อ Steve Selwyn

นายสตีฟ เซลวิน
ผู้ช่วยศาสตราจารย์ด้านชีวสถิติ
มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์

สตีฟที่รัก

ขอบคุณที่ส่งปัญหามาจาก American Statistical

แม้ว่าฉันจะไม่ได้เรียนวิชาสถิติที่มหาวิทยาลัย แต่ฉันรู้ว่าตัวเลขสามารถนำมาใช้เพื่อประโยชน์ของฉันได้เสมอหากต้องการที่จะจัดการกับมัน เหตุผลของคุณไม่ได้คำนึงถึงสถานการณ์สำคัญประการหนึ่ง: หลังจากช่องแรกว่างเปล่า ผู้เข้าร่วมจะไม่สามารถเปลี่ยนตัวเลือกของเขาได้อีกต่อไป ดังนั้นความน่าจะเป็นยังคงเหมือนเดิม: หนึ่งในสาม จริงไหม? และแน่นอนว่าหลังจากกล่องใดกล่องหนึ่งว่างเปล่า โอกาสจะไม่กลายเป็น 50/50 แต่ยังคงเหมือนเดิม - หนึ่งในสาม ดูเหมือนว่าผู้เข้าร่วมจะได้รับโอกาสมากขึ้นเมื่อกำจัดกล่องเดียว ไม่เลย. สองต่อหนึ่งกับเขาเหมือนเดิมและยังคงอยู่ และถ้าคุณมาที่การแสดงของฉันทันที กฎจะยังคงเหมือนเดิมสำหรับคุณ: ไม่มีช่องเปลี่ยนหลังจากการเลือก

ลองนึกภาพว่าคุณได้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณต้องเลือกหนึ่งในสามประตู หลังประตูบานหนึ่งเป็นรถ อีกสองประตูเป็นแพะ คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง เช่น หมายเลข 1 หลังจากนั้นเจ้าของที่พักซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและแพะอยู่ที่ไหน เปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ เช่น หมายเลข 3 ซึ่งด้านหลังมีแพะอยู่ หลังจากนั้นเขาจะถามคุณว่าคุณต้องการเปลี่ยนตัวเลือกและเลือกประตูหมายเลข 2 หรือไม่ โอกาสในการชนะรถของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่หากคุณยอมรับข้อเสนอของเจ้าของที่พักและเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ

สารละลาย.ให้เราทราบทันทีว่าปัญหานี้ไม่มีความขัดแย้ง งานประจำ ( ระดับแรก) กับสูตร Bayes ซึ่งต่อจากนิยามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

สูตรเบย์

แสดงโดย A เหตุการณ์ - คุณได้รับรางวัลรถยนต์

เราเสนอสมมติฐานสองข้อ: H 1 - คุณไม่เปลี่ยนประตูและ H 2 - คุณเปลี่ยนประตู

P(H 1)= 1/3 - a Priori (a Priori - หมายถึงก่อนการทดสอบ เจ้าภาพยังไม่ได้เปิดประตู) ความน่าจะเป็นของสมมติฐานที่คุณกำลังเปลี่ยนประตู

P H1 (A) - ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขที่คุณจะเดาประตูที่อยู่ด้านหลังรถหากเกิดสมมติฐานแรก H 1

P H2 (A) - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่คุณคาดเดาประตูที่อยู่ด้านหลังรถหากเกิดสมมติฐานที่สอง H 2

ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากสมมติฐาน H 1 เกิดขึ้น (ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้รถถ้าคุณไม่เปลี่ยนประตู):

ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากสมมติฐาน H 2 เกิดขึ้น (ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้รถถ้าคุณเปลี่ยนประตู):

ดังนั้น ผู้เข้าร่วมควรเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้น - ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่จะชนะจะเท่ากับ 2 ⁄ 3 .

การตรวจสอบทางสถิติของความขัดแย้ง Monty Hall

ที่นี่: "กลยุทธ์ 1" - อย่าเปลี่ยนตัวเลือก "กลยุทธ์ 2" - เปลี่ยนตัวเลือก ในทางทฤษฎี สำหรับกรณีที่มี 3 ประตู การกระจายความน่าจะเป็นคือ 33.(3)% และ 66.(6)% การจำลองเชิงตัวเลขควรให้ผลลัพธ์ที่คล้ายกัน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่พร้อมจะสร้างความสับสนให้กับนักคณิตศาสตร์เอง ซึ่งแตกต่างจากส่วนที่เหลือ หลักการที่แม่นยำและไม่สั่นคลอนของวิทยาศาสตร์นี้ พื้นที่นี้เต็มไปด้วยความแปลกประหลาดและความไม่ถูกต้อง ย่อหน้าใหม่เพิ่งถูกเพิ่มเข้ามาในส่วนนี้ - ความขัดแย้งของ Monty Hall โดยทั่วไปแล้วนี่คืองาน แต่จะแก้ไขด้วยวิธีที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงจากโรงเรียนหรือมหาวิทยาลัยทั่วไป

เรื่องราวต้นกำเนิด

ผู้คนใช้สมองคิดเรื่องความขัดแย้งของ Monty Hall มาตั้งแต่ปี 1975 แต่มันก็คุ้มค่าที่จะเริ่มต้นในปี 1963 ตอนนั้นเองที่รายการทีวีชื่อ Let's make a deal ปรากฏบนหน้าจอ ซึ่งแปลว่า "มาทำข้อตกลงกันเถอะ" ผู้จัดรายการไม่ใช่ใครอื่นนอกจาก Monty Hall ซึ่งบางครั้งทำให้ผู้ชมไขปริศนาที่แก้ไม่ได้ หนึ่งในสิ่งที่โดดเด่นที่สุดคือปัญหาที่เขานำเสนอในปี 1975 ปัญหาได้กลายเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นและความขัดแย้งที่เข้ากับกรอบของมัน นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่า ปรากฏการณ์นี้เป็นเหตุให้เกิดการถกเถียงและวิพากษ์วิจารณ์อย่างรุนแรงจากบรรดานักวิทยาศาสตร์ The Monty Hall paradox ตีพิมพ์ในนิตยสาร Parade ในปี 1990 และตั้งแต่นั้นมาก็มีการพูดถึงมากขึ้นและ ปัญหาความขัดแย้งทุกสมัยและประชาชน ตอนนี้เราหันไปใช้การกำหนดและการตีความโดยตรง

คำชี้แจงปัญหา

มีการตีความหลายอย่างเกี่ยวกับความขัดแย้งนี้ แต่เราตัดสินใจที่จะนำเสนอแบบคลาสสิกซึ่งแสดงอยู่ในโปรแกรม มีสามประตูอยู่ข้างหน้าคุณ ข้างหลังคันหนึ่งมีรถ ข้างหลังอีก 2 คัน มีแพะอยู่ตัวละหนึ่งตัว เจ้าภาพเชิญให้คุณเลือกประตูบานหนึ่ง และสมมติว่าคุณหยุดที่หมายเลข 1 จนถึงตอนนี้ คุณไม่รู้ว่าอะไรอยู่เบื้องหลังประตูบานแรกนี้ เนื่องจากพวกเขาเปิดประตูบานที่สามให้คุณและแสดงว่ามีแพะอยู่ ข้างหลังมัน. ดังนั้นคุณยังไม่แพ้ เพราะคุณยังไม่ได้เลือกประตูที่ซ่อนตัวเลือกที่แพ้ ดังนั้นโอกาสในการได้รถของคุณจึงเพิ่มขึ้น

แต่โฮสต์แนะนำให้คุณเปลี่ยนใจ มีประตูสองบานอยู่ข้างหน้าคุณ บานหนึ่งเป็นแพะ อีกบานหนึ่งเป็นรางวัลที่ปรารถนา นี่คือจุดสำคัญของปัญหา ดูเหมือนว่าไม่ว่าคุณจะเลือกประตูใดในสองประตู โอกาสคือ 50/50 แต่ในความเป็นจริง หากคุณเปลี่ยนใจ โอกาสที่คุณจะชนะก็จะมากขึ้น ยังไง?

ตัวเลือกแรกที่คุณทำในเกมนี้เป็นการสุ่ม คุณไม่สามารถคาดเดาได้จากระยะไกลว่าประตูใดในสามประตูที่ซ่อนอยู่ด้านหลัง ดังนั้นคุณจึงสุ่มชี้ไปที่ประตูแรกที่เจอ ในทางกลับกันผู้นำก็รู้ว่าทุกสิ่งอยู่ที่ไหน เขามีประตูที่มีรางวัล ประตูที่คุณชี้ไป และประตูที่สามที่ไม่มีรางวัล ซึ่งเขาเปิดให้คุณเป็นเบาะแสแรก คำใบ้ที่สองอยู่ในข้อเสนอของเขาที่จะเปลี่ยนทางเลือก

ตอนนี้คุณจะไม่สุ่มเลือกหนึ่งในสามอีกต่อไป และคุณยังสามารถเปลี่ยนใจเพื่อรับรางวัลที่ต้องการได้อีกด้วย เป็นข้อเสนอของเจ้าภาพที่ทำให้บุคคลเชื่อว่ารถไม่ได้อยู่หลังประตูที่เขาเลือก แต่อยู่หลังประตูอื่น นี่คือสาระสำคัญทั้งหมดของความขัดแย้งเนื่องจากในความเป็นจริงคุณยังคงต้องเลือก (แม้ว่าจะจากสองและไม่ใช่จากสาม) โดยการสุ่ม แต่โอกาสในการชนะจะเพิ่มขึ้น ตามสถิติจากผู้เล่น 30 คนที่เปลี่ยนใจ 18 คนชนะรถ และนี่คือ 60% และจากคน 30 คนเดิมที่ไม่เปลี่ยนการตัดสินใจ - มีเพียง 11 คนนั่นคือ 36%

การตีความเป็นตัวเลข

ตอนนี้ให้ Monty Hall ขัดแย้งกันมากขึ้น คำจำกัดความที่แม่นยำ. ตัวเลือกแรกของผู้เล่นจะแบ่งประตูออกเป็นสองกลุ่ม ความน่าจะเป็นที่รางวัลจะอยู่ด้านหลังประตูที่คุณเลือกคือ 1/3 และด้านหลังประตูที่เหลือคือ 2/3 เจ้าภาพเปิดประตูบานหนึ่งของกลุ่มที่สอง ดังนั้นเขาจึงโอนความน่าจะเป็นที่เหลือทั้งหมด 2/3 ไปยังประตูบานหนึ่งที่คุณไม่ได้เลือกและไม่ได้เปิด เป็นเหตุผลที่หลังจากการคำนวณดังกล่าวแล้วการเปลี่ยนใจของคุณจะทำกำไรได้มากกว่า แต่ในขณะเดียวกันสิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่ายังมีโอกาสที่จะสูญเสีย บางครั้งผู้นำเสนอก็ฉลาดแกมโกง เนื่องจากในตอนแรกคุณสามารถแหย่ประตูที่ถูกต้องและถูกรางวัล จากนั้นจึงปฏิเสธโดยสมัครใจ

เราทุกคนเคยชินกับข้อเท็จจริงที่ว่า คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน ควบคู่ไปกับสามัญสำนึก ในที่นี้ ตัวเลขทำงาน ไม่ใช่คำพูด สูตรที่แน่นอน ไม่ใช่ความคิดที่คลุมเครือ พิกัด ไม่ใช่ข้อมูลสัมพัทธ์ แต่เธอ ส่วนใหม่ทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เรียกว่าระเบิดรูปแบบที่คุ้นเคยทั้งหมด ดูเหมือนว่างานในพื้นที่นี้ไม่เหมาะกับกรอบของสามัญสำนึกและขัดแย้งกับสูตรและการคำนวณทั้งหมดโดยสิ้นเชิง ด้านล่างนี้ เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับความขัดแย้งของทฤษฎีความน่าจะเป็นอื่นๆ ที่มีบางอย่างเหมือนกันกับทฤษฎีที่อธิบายไว้ข้างต้น

เด็กชายและเด็กหญิงขัดแย้งกัน

เมื่อมองแวบแรกงานนั้นไร้สาระ แต่ปฏิบัติตามสูตรทางคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัดและมีวิธีแก้ไขสองวิธี ดังนั้น ชายคนหนึ่งมีลูกสองคน หนึ่งในนั้นต้องเป็นเด็กผู้ชาย ความน่าจะเป็นที่คนที่สองเป็นเด็กชายคืออะไร?

ตัวเลือกที่ 1.เราพิจารณาการรวมกันของเด็กสองคนในครอบครัว:

• สาว/สาว.
• เด็กผู้หญิง
• ชายหญิง.
• เด็กชาย/เด็กชาย.

เห็นได้ชัดว่าชุดค่าผสมแรกไม่เหมาะกับเรา ดังนั้นจากสามชุดสุดท้าย เรามีโอกาส 1/3 ที่ลูกคนที่สองจะเป็นผู้ชายตัวเล็ก

ตัวเลือก 2หากเราจินตนาการถึงกรณีดังกล่าวในทางปฏิบัติ ละทิ้งเศษส่วนและสูตร ดังนั้น จากข้อเท็จจริงที่ว่าบนโลกนี้มีเพียงสองเพศ ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กชายคือ 1/2

ประสบการณ์นี้แสดงให้เราเห็นว่าสถิติที่มีชื่อเสียงสามารถจัดการได้อย่างไร ดังนั้น "เจ้าหญิงนิทรา" จึงถูกฉีดยานอนหลับและโยนเหรียญ หากโผล่หัวขึ้นมา เธอจะถูกปลุกให้ตื่นขึ้นและการทดลองสิ้นสุดลง หากหางหลุดออกมา พวกมันก็จะปลุกเธอ ฉีดยาครั้งที่สองทันที และเธอก็ลืมไปว่าตื่นขึ้น และหลังจากนั้นพวกมันก็ตื่นขึ้นอีกครั้งในวันที่สองเท่านั้น หลังจากตื่นขึ้นอย่างเต็มที่ "ความงาม" ไม่รู้ว่าเธอลืมตาขึ้นวันไหนหรือมีโอกาสที่เหรียญจะตกหาง ตามวิธีแก้ปัญหาแรก ความน่าจะเป็นที่จะออกก้อย (หรือออกหัว) คือ 1/2 สาระสำคัญของตัวเลือกที่สองคือหากทำการทดลอง 1,000 ครั้งในกรณีของนกอินทรี "ความงาม" จะถูกปลุก 500 ครั้งและหายาก - 1,000 ตอนนี้ความน่าจะเป็นที่จะได้รับหางคือ 2/3.

ความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์เป็นหนึ่งในปัญหาที่รู้จักกันดีของทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นขัดแย้งกับสามัญสำนึกในแวบแรก โจทย์กำหนดเป็นคำอธิบายของเกมสมมุติตามรายการทีวีอเมริกัน Let's Make a Deal และตั้งชื่อตามพิธีกรรายการนี้ การกำหนดปัญหานี้ที่พบบ่อยที่สุดซึ่งตีพิมพ์ในปี 1990 ในนิตยสาร Parade มีดังนี้:

ลองนึกภาพว่าคุณได้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณต้องเลือกหนึ่งในสามประตู หลังประตูบานหนึ่งเป็นรถ อีกสองประตูเป็นแพะ คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง เช่น หมายเลข 1 หลังจากนั้นเจ้าของที่พักซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและแพะอยู่ที่ไหน เปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ เช่น หมายเลข 3 ซึ่งด้านหลังมีแพะอยู่ หลังจากนั้นเขาจะถามคุณว่าคุณต้องการเปลี่ยนตัวเลือกและเลือกประตูหมายเลข 2 หรือไม่ โอกาสในการชนะรถของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่หากคุณยอมรับข้อเสนอของเจ้าของที่พักและเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ

แม้ว่าการกำหนดปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันดีที่สุด แต่ก็ค่อนข้างมีปัญหาเนื่องจากไม่ได้กำหนดเงื่อนไขที่สำคัญบางประการของปัญหา ต่อไปนี้เป็นข้อความที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น

เมื่อแก้ปัญหานี้ พวกเขามักจะให้เหตุผลดังนี้: หลังจากที่เจ้าภาพเปิดประตูหลังที่แพะอยู่ รถจะอยู่หลังประตูใดบานหนึ่งจากสองประตูที่เหลือเท่านั้น เนื่องจากผู้เล่นไม่สามารถรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับประตูที่รถอยู่ด้านหลัง ความน่าจะเป็นที่จะพบรถหลังประตูแต่ละบานจึงเท่ากัน และการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นของประตูไม่ได้ทำให้ผู้เล่นได้เปรียบแต่อย่างใด อย่างไรก็ตาม เหตุผลบรรทัดนี้ไม่ถูกต้อง หากเจ้าบ้านรู้อยู่เสมอว่าประตูไหนอยู่ข้างหลัง เปิดประตูที่เหลือที่มีแพะอยู่เสมอ และแจ้งให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือกเสมอ ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่ผู้เล่นเลือกคือ 1/3 และ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่เหลือคือ 2/3 ดังนั้น การเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นจะเพิ่มโอกาสของผู้เล่นในการชนะรถเป็นสองเท่า ข้อสรุปนี้ขัดแย้งกับการรับรู้สถานการณ์โดยสัญชาตญาณของคนส่วนใหญ่ ซึ่งเป็นสาเหตุที่ปัญหาที่อธิบายไว้นี้เรียกว่า Monty Hall Paradox

การตัดสินใจด้วยวาจา

คำตอบที่ถูกต้องสำหรับปัญหานี้มีดังต่อไปนี้: ใช่ โอกาสในการชนะรถจะเพิ่มเป็นสองเท่าหากผู้เล่นทำตามคำแนะนำของเจ้าภาพและเปลี่ยนตัวเลือกแรกของเขา

คำอธิบายที่ง่ายที่สุดสำหรับคำตอบนี้คือการพิจารณาต่อไปนี้ เพื่อที่จะชนะรถโดยไม่ต้องเปลี่ยนทางเลือก ผู้เล่นจะต้องเดาประตูที่รถยืนอยู่ทันที ความน่าจะเป็นคือ 1/3 หากผู้เล่นชนประตูโดยมีแพะอยู่ข้างหลัง (และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ 2/3 เนื่องจากมีแพะสองตัวและรถเพียงคันเดียว) จากนั้นเขาสามารถชนะรถได้โดยเปลี่ยนใจเนื่องจากรถ ยังเหลือแพะอยู่ 1 ตัว และเจ้าภาพได้เปิดประตูพร้อมกับแพะแล้ว

ดังนั้น โดยไม่เปลี่ยนตัวเลือก ผู้เล่นจะยังคงมีความน่าจะเป็นเริ่มต้นที่จะชนะ 1/3 และเมื่อเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้น ผู้เล่นจะหันไปหาข้อได้เปรียบของเขาสองเท่าจากความน่าจะเป็นที่เหลืออยู่ซึ่งเขาเดาไม่ถูกในตอนเริ่มต้น

นอกจากนี้ยังสามารถอธิบายได้โดยสัญชาตญาณโดยสลับเหตุการณ์ทั้งสอง เหตุการณ์แรกคือการตัดสินใจของผู้เล่นที่จะเปลี่ยนประตู เหตุการณ์ที่สองคือการเปิดประตูพิเศษ สิ่งนี้ยอมรับได้ เนื่องจากการเปิดประตูเพิ่มไม่ได้ทำให้ผู้เล่นเสียประตู ข้อมูลใหม่(เอกสารดูในบทความนี้).

จากนั้นปัญหาจะลดลงเป็นสูตรต่อไปนี้ ในช่วงเวลาแรก ผู้เล่นแบ่งประตูออกเป็นสองกลุ่ม: ในกลุ่มแรกมีหนึ่งประตู (ประตูที่เขาเลือก) ในกลุ่มที่สองมีประตูเหลืออีกสองประตู ในช่วงเวลาต่อไป ผู้เล่นจะเลือกระหว่างกลุ่มต่างๆ เห็นได้ชัดว่าสำหรับกลุ่มแรกความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 สำหรับกลุ่มที่สองคือ 2/3 ผู้เล่นเลือกกลุ่มที่สอง ในกลุ่มที่สอง เขาเปิดได้ทั้งสองประตู หนึ่งเปิดโดยโฮสต์และที่สองโดยผู้เล่นเอง

ลองให้คำอธิบายที่ "เข้าใจได้มากที่สุด" กำหนดปัญหาใหม่: โฮสต์ที่ซื่อสัตย์ประกาศกับผู้เล่นว่ามีรถอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งจากสามประตู และเชิญให้เขาชี้ไปที่ประตูบานใดบานหนึ่งก่อน จากนั้นเลือกหนึ่งในสองการกระทำ: เปิดประตูที่ระบุ (ใน สูตรเก่านี้เรียกว่า "อย่าเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ ") หรือเปิดอีกสองตัว (ในสูตรเก่า นี่แค่ "เปลี่ยนตัวเลือก" คิดว่านี่คือกุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจ!) เป็นที่ชัดเจนว่าผู้เล่นจะเลือกการกระทำที่สองจากสองการกระทำ เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะได้รับรถในกรณีนี้จะสูงเป็นสองเท่า และสิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ผู้นำ "แสดงแพะ" ก่อนเลือกการกระทำไม่ได้ช่วยและไม่รบกวนการเลือกเพราะหลังประตูบานใดบานหนึ่งมีแพะอยู่เสมอและผู้นำจะแสดงในทุกเส้นทาง ของเกมเพื่อให้ผู้เล่นสามารถบนแพะนี้และไม่ต้องดู ธุรกิจของผู้เล่น หากเขาเลือกการกระทำที่สอง คือการกล่าว "ขอบคุณ" ต่อเจ้าภาพที่ช่วยเขาให้ไม่ต้องลำบากในการเปิดประตูบานใดบานหนึ่งจากสองบานด้วยตัวเอง และเปิดอีกบาน ดีหรือง่ายยิ่งขึ้น ลองนึกภาพสถานการณ์นี้จากมุมมองของเจ้าภาพซึ่งกำลังทำตามขั้นตอนที่คล้ายกันกับผู้เล่นหลายสิบคน เนื่องจากเขารู้ดีว่ามีอะไรอยู่เบื้องหลังประตู ดังนั้น โดยเฉลี่ยแล้ว ในสองกรณีจากสามกรณี เขาจะเห็นล่วงหน้าว่าผู้เล่นเลือกประตูที่ "ผิด" ดังนั้นสำหรับเขาแล้วไม่มีความขัดแย้งอย่างแน่นอนว่ากลยุทธ์ที่ถูกต้องคือการเปลี่ยนตัวเลือกหลังจากเปิดประตูบานแรก หลังจากนั้นในสองกรณีเดียวกันจากสามกรณี ผู้เล่นจะออกจากสตูดิโอเพื่อ รถใหม่.

ในที่สุด การพิสูจน์ที่ "ไร้เดียงสา" ที่สุด ให้เรียกผู้ที่ยืนหยัดตามทางเลือกของตนว่า "ดื้อรั้น" และผู้ที่ปฏิบัติตามคำสั่งของผู้นำให้เรียกว่า "ตั้งใจ" จากนั้นคนปากแข็งจะเป็นผู้ชนะถ้าเขาเดารถได้ในตอนแรก (1/3) และคนที่ตั้งใจ - ถ้าเขาพลาดและชนแพะก่อน (2/3) ท้ายที่สุดในกรณีนี้เท่านั้นที่เขาจะชี้ไปที่ประตูพร้อมกับรถ

กุญแจสู่ความเข้าใจ

แม้จะอธิบายปรากฏการณ์นี้ได้ง่าย แต่หลายคนเชื่อโดยสัญชาตญาณว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผู้เล่นเปลี่ยนตัวเลือกของเขา โดยปกติแล้ว ความเป็นไปไม่ได้ที่จะเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่จะชนะนั้นเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อคำนวณความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในอดีตไม่สำคัญ เช่น เมื่อโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะออกหัวหรือก้อย ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเคยออกหัวหรือออกก้อยกี่ครั้ง ดังนั้นหลายคนเชื่อว่าในขณะที่ผู้เล่นเลือกหนึ่งประตูจากสองประตู มันไม่สำคัญอีกต่อไปว่าในอดีตมีตัวเลือกหนึ่งประตูจากสามประตู และความน่าจะเป็นที่จะชนะรถยนต์จะเท่ากันเมื่อเปลี่ยนตัวเลือก และออกจากตัวเลือกเดิม

อย่างไรก็ตาม แม้ว่าการพิจารณาดังกล่าวจะเป็นจริงในกรณีของการโยนเหรียญ แต่ก็ไม่เป็นความจริงสำหรับทุกเกม ในกรณีนี้ควรละเว้นการเปิดประตูโดยเจ้านาย โดยพื้นฐานแล้วผู้เล่นจะต้องเลือกระหว่างประตูบานหนึ่งที่พวกเขาเลือกก่อนกับอีกสองบาน การเปิดบานใดบานหนึ่งมีไว้เพื่อเบี่ยงเบนความสนใจของผู้เล่นเท่านั้น เป็นที่รู้กันว่ามีรถหนึ่งคันและแพะสองตัว ตัวเลือกเริ่มต้นของผู้เล่นสำหรับประตูใดประตูหนึ่งจะแบ่งผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของเกมออกเป็นสองกลุ่ม: รถอยู่หลังประตูที่ผู้เล่นเลือก (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ 1/3) หรืออยู่ด้านหลังอีกสองประตู (ความน่าจะเป็น ของนี่คือ 2/3) ในเวลาเดียวกัน เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าไม่ว่าในกรณีใด ๆ จะมีแพะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งจากสองประตูที่เหลือ และการเปิดประตูนี้ เจ้าภาพไม่ได้ให้ข้อมูลเพิ่มเติมแก่ผู้เล่นเกี่ยวกับสิ่งที่อยู่หลังประตูที่ผู้เล่นเลือก ผู้เล่น ดังนั้นการเปิดประตูด้วยแพะโดยผู้นำจะไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็น (2/3) ที่รถอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งที่เหลืออยู่ และตั้งแต่นั้นมา เปิดประตูผู้เล่นไม่ได้เลือก จากนั้นความน่าจะเป็นทั้งหมดนี้จะเข้มข้นในกรณีที่รถอยู่หลังประตูที่ปิดอยู่

การให้เหตุผลโดยสัญชาตญาณมากขึ้น: ให้ผู้เล่นดำเนินการตามกลยุทธ์ "เปลี่ยนทางเลือก" จากนั้นเขาจะแพ้ก็ต่อเมื่อเขาเลือกรถในตอนแรก และความน่าจะเป็นคือหนึ่งในสาม ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะ: 1-1/3=2/3 หากผู้เล่นปฏิบัติตามกลยุทธ์ "อย่าเปลี่ยนตัวเลือก" เขาจะชนะก็ต่อเมื่อเขาเลือกรถในตอนแรก และความน่าจะเป็นคือหนึ่งในสาม

ลองนึกภาพสถานการณ์นี้จากมุมมองของเจ้าภาพซึ่งกำลังทำตามขั้นตอนที่คล้ายกันกับผู้เล่นหลายสิบคน เนื่องจากเขารู้ดีว่ามีอะไรอยู่เบื้องหลังประตู ดังนั้น โดยเฉลี่ยแล้ว ในสองกรณีจากสามกรณี เขาจะเห็นล่วงหน้าว่าผู้เล่นเลือกประตูที่ "ผิด" ดังนั้นสำหรับเขาแล้วไม่มีความขัดแย้งอย่างแน่นอนว่ากลยุทธ์ที่ถูกต้องคือการเปลี่ยนตัวเลือกหลังจากเปิดประตูบานแรก: ในสองกรณีเดียวกันจากสามกรณี ผู้เล่นจะออกจากสตูดิโอด้วยรถคันใหม่

อีกสาเหตุหนึ่งที่ทำให้เข้าใจวิธีแก้ปัญหานี้ได้ยากก็คือ ผู้คนมักจะจินตนาการถึงเกมที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย โดยที่ไม่มีใครรู้ล่วงหน้าว่าเจ้าภาพจะเปิดประตูพร้อมกับแพะหรือไม่ และแนะนำให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือก ในกรณีนี้ ผู้เล่นไม่ทราบกลยุทธ์ของเจ้าบ้าน (กล่าวคือ ไม่ทราบกฎทั้งหมดของเกม) และไม่สามารถทำ ทางเลือกที่ดีที่สุด. ตัวอย่างเช่น หากผู้อำนวยความสะดวกจะเสนอทางเลือกในการเปลี่ยนเฉพาะในกรณีที่ผู้เล่นเลือกประตูที่มีรถในตอนแรก เห็นได้ชัดว่าผู้เล่นควรปล่อยให้การตัดสินใจเดิมไม่เปลี่ยนแปลง ด้วยเหตุนี้จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องคำนึงถึงการกำหนดโจทย์ Monty Hall ที่แน่นอน (ด้วยตัวเลือกนี้ ผู้นำที่มีกลยุทธ์ต่างกันสามารถบรรลุความน่าจะเป็นระหว่างประตูได้ ในกรณีทั่วไป (โดยเฉลี่ย) จะเป็น 1/2 คูณ 1/2)

เพิ่มจำนวนประตู

เพื่อให้เข้าใจแก่นแท้ของสิ่งที่เกิดขึ้นได้ง่ายขึ้น เราสามารถพิจารณากรณีที่ผู้เล่นไม่เห็นประตูสามบานต่อหน้าเขา แต่ยกตัวอย่างเป็นร้อย ในเวลาเดียวกันมีรถอยู่หลังประตูบานหนึ่งและมีแพะอยู่ข้างหลังอีก 99 ตัว ผู้เล่นเลือกประตูใดประตูหนึ่งในขณะที่ 99% ของกรณีเขาจะเลือกประตูที่มีแพะและโอกาสในการเลือกประตูที่มีรถยนต์ในทันทีนั้นน้อยมาก - คือ 1% หลังจากนั้นเจ้าภาพเปิดประตู 98 ประตูพร้อมแพะและขอให้ผู้เล่นเลือกประตูที่เหลือ ในกรณีนี้ 99% ของกรณี รถจะอยู่หลังประตูที่เหลือนี้ เนื่องจากโอกาสที่ผู้เล่นจะเลือกประตูที่ถูกต้องในทันทีนั้นมีน้อยมาก เป็นที่ชัดเจนว่าในสถานการณ์เช่นนี้ ผู้เล่นที่คิดอย่างมีเหตุผลควรยอมรับข้อเสนอของผู้นำเสมอ

เมื่อพิจารณาถึงจำนวนประตูที่เพิ่มขึ้น คำถามมักจะเกิดขึ้น: ถ้าในปัญหาเดิม ผู้นำเปิดหนึ่งประตูจากสามบาน (นั่นคือ 1/3 ของ ทั้งหมดประตู) ทำไมเราถึงคิดว่าในกรณีของประตู 100 ประตู เจ้าภาพจะเปิด 98 ประตูด้วยแพะ ไม่ใช่ 33 ประตู การพิจารณานี้มักจะเป็นหนึ่งในเหตุผลสำคัญที่ความขัดแย้งของ Monty Hall ขัดแย้งกับการรับรู้โดยสัญชาตญาณของสถานการณ์ สมมุติว่าเปิด 98 ประตูจะถูก เพราะ เงื่อนไขที่จำเป็นภารกิจคือมีทางเลือกเดียวสำหรับผู้เล่นซึ่งเสนอโดยผู้ดูแล ดังนั้นเพื่อให้งานมีความคล้ายคลึงกัน ในกรณีของ 4 ประตู ผู้นำจะต้องเปิด 2 ประตู ในกรณีของ 5 ประตู - 3 และอื่น ๆ เพื่อให้มีประตูอื่นที่ยังไม่ได้เปิดเสมอ ที่ผู้เล่นเลือกในตอนแรก หากวิทยากรเปิดประตูน้อยลง งานก็จะไม่เหมือนกับงานเดิมของ Monty Hall อีกต่อไป

ควรสังเกตว่าในกรณีของประตูหลายบาน แม้ว่าเจ้าภาพไม่ได้ปิดหนึ่งประตู แต่มีหลายประตู และเสนอให้ผู้เล่นเลือกหนึ่งในนั้น จากนั้นเมื่อเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้น โอกาสของผู้เล่นในการชนะรถจะ ยังคงเพิ่มขึ้นแม้ว่าจะไม่มาก ตัวอย่างเช่น พิจารณาสถานการณ์ที่ผู้เล่นเลือกประตูหนึ่งจากทั้งหมดร้อยประตู จากนั้นผู้อำนวยความสะดวกจะเปิดประตูที่เหลือเพียงบานเดียว โดยเชื้อเชิญให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือก ในขณะเดียวกัน โอกาสที่รถจะอยู่หลังประตูเดิมที่ผู้เล่นเลือกไว้ยังคงเท่าเดิม - 1/100 และสำหรับประตูที่เหลือ โอกาสจะเปลี่ยนไป: ความน่าจะเป็นทั้งหมดที่รถจะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งที่เหลืออยู่ ( 99/100) ตอนนี้ไม่ได้กระจายอยู่ที่ 99 ประตู แต่เป็น 98 ดังนั้นความน่าจะเป็นในการค้นหารถหลังประตูแต่ละบานจะไม่ใช่ 1/100 แต่เป็น 99/9800 ความน่าจะเป็นที่เพิ่มขึ้นจะอยู่ที่ประมาณ 0.01%

ต้นไม้ตัดสินใจ

ต้นไม้ การแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ผู้เล่นและเจ้าภาพแสดงความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการ

สถานการณ์ของเกมสามารถอธิบายได้โดยใช้แผนผังการตัดสินใจ

ในสองกรณีแรก เมื่อผู้เล่นเลือกประตูหลังที่แพะอยู่ การเปลี่ยนทางเลือกจะส่งผลให้ชนะ ในสองกรณีสุดท้าย เมื่อผู้เล่นเลือกประตูที่มีรถเป็นครั้งแรก การเปลี่ยนตัวเลือกจะส่งผลให้แพ้

ความน่าจะเป็นทั้งหมดที่การเปลี่ยนแปลงตัวเลือกจะนำไปสู่การชนะจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์สองรายการแรก นั่นคือ

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่การปฏิเสธที่จะเปลี่ยนตัวเลือกจะนำไปสู่การชนะเท่ากับ

ทำการทดลองที่คล้ายกัน

มีวิธีง่ายๆ ที่จะทำให้แน่ใจว่าการเปลี่ยนตัวเลือกเดิมจะส่งผลให้ชนะโดยเฉลี่ย 2 ใน 3 ครั้ง ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถจำลองเกมที่อธิบายไว้ในปัญหา Monty Hall โดยใช้ เล่นไพ่. บุคคลหนึ่ง (ผู้แจกจ่ายการ์ด) รับบทเป็นผู้นำ Monty Hall และคนที่สอง - บทบาทของผู้เล่น ไพ่สามใบถูกนำมาใช้ในเกม ซึ่งใบหนึ่งแสดงถึงประตูที่มีรถ (เช่น เอซโพดำ) และอีกสองใบที่เหมือนกัน (เช่น ไพ่สองใบสีแดง) เป็นประตูที่มีแพะ

เจ้าภาพวางไพ่สามใบคว่ำหน้าลง เชิญผู้เล่นรับไพ่หนึ่งใบ หลังจากที่ผู้เล่นเลือกไพ่ หัวหน้าจะดูไพ่ที่เหลืออีกสองใบและเผยให้เห็นผีสางสีแดง หลังจากนั้นไพ่ที่เหลือจากผู้เล่นและผู้นำจะเปิดขึ้นและหากไพ่ที่ผู้เล่นเลือกคือเอซโพดำคะแนนจะถูกบันทึกเพื่อสนับสนุนตัวเลือกเมื่อผู้เล่นไม่เปลี่ยนตัวเลือกและหาก ผู้เล่นมีไพ่ผีแดงและผู้นำมีเอซโพดำ จากนั้นจะมีการให้คะแนนตามตัวเลือกเมื่อผู้เล่นเปลี่ยนตัวเลือก หากเราเล่นเกมดังกล่าวหลายรอบ อัตราส่วนระหว่างคะแนนที่สนับสนุนทั้งสองตัวเลือกจะสะท้อนถึงอัตราส่วนของความน่าจะเป็นของตัวเลือกเหล่านี้ได้ค่อนข้างดี ในกรณีนี้ ปรากฎว่าจำนวนคะแนนที่สนับสนุนการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นนั้นมากกว่าสองเท่าโดยประมาณ

การทดลองดังกล่าวไม่เพียงแต่ทำให้แน่ใจว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะเมื่อเปลี่ยนตัวเลือกนั้นสูงเป็นสองเท่า แต่ยังแสดงให้เห็นได้ดีว่าทำไมสิ่งนี้จึงเกิดขึ้น ในขณะที่ผู้เล่นเลือกไพ่สำหรับตัวเอง มันจะพิจารณาแล้วว่าเอซโพดำอยู่ในมือของเขาหรือไม่ ผู้นำเปิดไพ่ใบใดใบหนึ่งเพิ่มเติมไม่ได้เปลี่ยนสถานการณ์ - ผู้เล่นถือไพ่ในมือแล้วและยังคงอยู่ที่นั่นโดยไม่คำนึงถึงการกระทำของผู้นำ ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะเลือกเอซโพดำ สามใบเห็นได้ชัดว่าคือ 1/3 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้เลือก (และจากนั้นผู้เล่นจะชนะหากเขาเปลี่ยนตัวเลือกเดิม) คือ 2/3

กล่าวถึง

ในภาพยนตร์เรื่อง Twenty-one อาจารย์ Miki Rosa ท้าให้ตัวละครหลัก Ben ไขปริศนา: มีรถสกู๊ตเตอร์ 2 คันและรถอีก 1 คันหลังประตู 3 ประตู คุณต้องเดาประตูเพื่อชิงรถ หลังจากตัวเลือกแรก มิกิเสนอที่จะเปลี่ยนตัวเลือก เบ็นเห็นด้วยและพิสูจน์เหตุผลทางคณิตศาสตร์ในการตัดสินใจของเขา ดังนั้นเขาจึงผ่านการทดสอบสำหรับทีมของมิกิโดยไม่สมัครใจ

ในนวนิยายเรื่อง "Nedotepa" ของ Sergei Lukyanenko ตัวละครหลักใช้เทคนิคนี้ ชนะรถม้าและมีโอกาสเดินทางต่อ

ในซีรีส์โทรทัศน์เรื่อง 4isla (ตอนที่ 13 ของฤดูกาลที่ 1 "Man Hunt") หนึ่งในตัวละครหลัก ชาร์ลี เอปส์ ในการบรรยายยอดนิยมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ อธิบายถึงความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์ โดยแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนโดยใช้กระดานทำเครื่องหมายบน ด้านหลังซึ่งเป็นแพะทาสีและรถ ชาร์ลีพบรถโดยเปลี่ยนการเลือก อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าเขาเรียกใช้การทดสอบเพียงครั้งเดียว ในขณะที่ประโยชน์ของกลยุทธ์การเปลี่ยนผ่านคือสถิติ และควรเรียกใช้ชุดการทดสอบเพื่อแสดงตัวอย่างที่ถูกต้อง

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146