มีสามประตูอยู่ข้างหน้าคุณ ความขัดแย้งของ Monty Hall - คำอธิบายสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นของตัวเลือก

เกี่ยวกับลอตเตอรี่

เกมนี้ได้รับตัวละครจำนวนมากและกลายเป็นส่วนสำคัญของ ชีวิตที่ทันสมัย. และแม้ว่าลอตเตอรีจะขยายขีดความสามารถมากขึ้นเรื่อย ๆ แต่หลายคนก็ยังมองว่าเป็นเพียงช่องทางรวย ให้และไม่ฟรีและไม่น่าเชื่อถือ ในทางกลับกัน ดังที่หนึ่งในวีรบุรุษของ Jack London ได้กล่าวไว้ใน การพนันไม่สามารถ แต่คำนึงถึงข้อเท็จจริง - บางครั้งผู้คนก็โชคดี

คณิตศาสตร์ของกรณี ประวัติทฤษฎีความน่าจะเป็น

อเล็กซานเดอร์ บูเฟตอฟ

การถอดเสียงและวิดีโอบันทึกการบรรยายของดุษฎีบัณฑิตสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ พิธีกร นักวิจัย Steklov Institute of Mathematics, Lead Research Fellow, IPTP RAS, ศาสตราจารย์, คณะคณิตศาสตร์, Higher School of Economics, ผู้อำนวยการฝ่ายวิจัย ศูนย์แห่งชาติ การวิจัยทางวิทยาศาสตร์ในฝรั่งเศส (CNRS) โดย Alexander Bufetov ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของชุดการบรรยายสาธารณะ Polit.ru เมื่อวันที่ 6 กุมภาพันธ์ 2014

ภาพลวงตาของความสม่ำเสมอ: ทำไมความบังเอิญจึงดูไม่เป็นธรรมชาติ

แนวคิดของเราเกี่ยวกับการสุ่ม สม่ำเสมอ และเป็นไปไม่ได้มักจะแตกต่างจากข้อมูลของสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น ใน "โอกาสที่ไม่สมบูรณ์ โอกาสครอบงำชีวิตของเราอย่างไร” นักฟิสิกส์ชาวอเมริกันและผู้นิยมวิทยาศาสตร์ Leonard Mlodinov พูดถึงสาเหตุที่อัลกอริทึมแบบสุ่มดูแปลกมาก อะไรคือสิ่งที่จับได้ของการสับเพลงแบบ “สุ่ม” ใน iPod และอะไรเป็นตัวกำหนดความสำเร็จของนักวิเคราะห์หุ้น ทฤษฎีและการปฏิบัติเผยแพร่ข้อความที่ตัดตอนมาจากหนังสือ

ความมุ่งมั่น

ความมุ่งมั่นเป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ทั่วไปและ ปรัชญาเกี่ยวกับความเป็นเหตุเป็นผล รูปแบบ ความเชื่อมโยงทางพันธุกรรม ปฏิสัมพันธ์ เงื่อนไขของปรากฏการณ์และกระบวนการต่างๆ ที่เกิดขึ้นในโลก

พระเจ้าคือสถิติ

Deborah Nolan ศาสตราจารย์ด้านสถิติแห่ง University of California at Berkeley ขอให้นักเรียนทำสิ่งที่แปลกประหลาดมากในแวบแรก กลุ่มแรกต้องโยนเหรียญร้อยครั้งและเขียนผลลัพธ์: หัวหรือก้อย คนที่สองต้องจินตนาการว่าเธอกำลังโยนเหรียญ และทำรายการผลลัพธ์ "ในจินตนาการ" หลายร้อยรายการ

อะไรคือระดับ

หากทราบเงื่อนไขเริ่มต้นของระบบ เป็นไปได้โดยใช้กฎของธรรมชาติเพื่อทำนายสถานะสุดท้ายของระบบ

ปัญหาเจ้าสาวจู้จี้จุกจิก

ฮูเซน-ซาด เอส.เอ็ม.

ความขัดแย้งของ Zeno

เป็นไปได้ไหมที่จะเดินทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง? นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea เชื่อว่าการเคลื่อนไหวไม่สามารถดำเนินการได้เลย แต่เขาโต้แย้งเรื่องนี้ได้อย่างไร? Colm Keller พูดถึงวิธีแก้ปัญหาความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงของ Zeno

ความขัดแย้งของเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ลองนึกภาพโรงแรมที่มีจำนวนห้องไม่สิ้นสุด รถบัสมาพร้อมกับแขกในอนาคตจำนวนไม่ จำกัด แต่การวางทั้งหมดนั้นไม่ง่ายนัก นี่เป็นเรื่องยุ่งยากไม่รู้จบและแขกก็เหนื่อยไม่รู้จบ และหากคุณไม่สามารถรับมือกับงานได้ คุณอาจสูญเสียเงินจำนวนมหาศาล! จะทำอย่างไร?

การพึ่งพาความสูงของเด็กกับความสูงของพ่อแม่

แน่นอนว่าพ่อแม่ที่อายุน้อยต้องการรู้ว่าลูกของพวกเขาจะสูงแค่ไหนเมื่อโตเป็นผู้ใหญ่ สถิติทางคณิตศาสตร์สามารถนำเสนอความสัมพันธ์เชิงเส้นอย่างง่ายในการประมาณความสูงของเด็กอย่างคร่าว ๆ ตามความสูงของพ่อและแม่เท่านั้น และยังระบุความแม่นยำของการประมาณดังกล่าวด้วย

ความขัดแย้งของ Monty Hall น่าจะเป็นความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงที่สุดในทฤษฎีความน่าจะเป็น มีหลายรูปแบบเช่นความขัดแย้งของนักโทษสามคน และมีการตีความและอธิบายความขัดแย้งนี้มากมาย แต่ในที่นี้ ข้าพเจ้าต้องการไม่เพียงให้คำอธิบายที่เป็นทางการเท่านั้น แต่ยังแสดงให้เห็นพื้นฐาน "ทางกายภาพ" ของสิ่งที่เกิดขึ้นในความขัดแย้งของ Monty Hall และเรื่องอื่นๆ เช่นเขา

คำพูดคลาสสิกคือ:

“คุณอยู่ในเกม มีสามประตูอยู่ข้างหน้าคุณ หนึ่งในนั้นมีรางวัล พิธีกรเชิญชวนให้ลองทายว่ารางวัลอยู่ที่ไหน คุณชี้ไปที่ประตูบานหนึ่ง (สุ่ม)

สูตรของ Monty Hall Paradox

เจ้าภาพรู้ว่ารางวัลอยู่ที่ไหน ในขณะที่เขาไม่เปิดประตูที่คุณแสดง แต่มันเปิดประตูที่เหลือให้คุณอีกบานหนึ่งซึ่งไม่มีรางวัล คำถามคือคุณควรเปลี่ยนทางเลือกของคุณหรืออยู่กับการตัดสินใจแบบเดิม?

กลายเป็นว่าหากคุณเพียงแค่เปลี่ยนตัวเลือกของคุณ โอกาสในการชนะของคุณก็จะเพิ่มขึ้น!

ความขัดแย้งของสถานการณ์นั้นชัดเจน ทุกสิ่งที่เกิดขึ้นดูเหมือนจะสุ่ม ไม่สำคัญว่าคุณจะเปลี่ยนใจหรือไม่ แต่มันไม่ใช่

คำอธิบาย "ทางกายภาพ" ของธรรมชาติของความขัดแย้งนี้

ในตอนแรก เราจะไม่พูดถึงรายละเอียดปลีกย่อยทางคณิตศาสตร์ แต่เพียงแค่ดูที่สถานการณ์โดยไม่มีอคติ

ในเกมนี้คุณต้องทำก่อนเท่านั้น การเลือกแบบสุ่ม. เจ้าภาพก็เล่าให้ฟัง ข้อมูลเพิ่มเติม ซึ่งช่วยให้คุณเพิ่มโอกาสในการชนะ

วิทยากรให้ข้อมูลเพิ่มเติมแก่คุณอย่างไร? ง่ายมาก. โปรดทราบว่ามันเปิดขึ้น ไม่ใด ๆประตู.

เพื่อความง่าย (แม้ว่าจะมีองค์ประกอบของเล่ห์เหลี่ยมในเรื่องนี้) ลองพิจารณาสถานการณ์ที่เป็นไปได้มากขึ้น: คุณชี้ไปที่ประตูที่ไม่มีรางวัล จากนั้นหลังประตูบานหนึ่งที่เหลืออยู่ รางวัล มี. นั่นคือผู้นำไม่มีทางเลือก มันเปิดประตูที่เฉพาะเจาะจงมาก (คุณชี้ไปที่ประตูบานหนึ่ง มีรางวัลอยู่ด้านหลังอีกบานหนึ่ง เหลือประตูเพียงบานเดียวที่เจ้าบ้านจะเปิดได้)

ในช่วงเวลาแห่งการเลือกที่มีความหมายนี้เองที่เขาให้ข้อมูลที่คุณสามารถนำไปใช้ได้

ใน กรณีนี้การใช้ข้อมูลคือการที่คุณเปลี่ยนการตัดสินใจ

อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกที่สองของคุณก็มีอยู่แล้วเช่นกัน ไม่ได้ตั้งใจ(หรือไม่สุ่มเท่าตัวเลือกแรก) ท้ายที่สุดคุณเลือกจากประตูที่ปิดและบานหนึ่งเปิดอยู่แล้ว ไม่ใช่โดยพลการ.

ที่จริง หลังจากทะเลาะกันแล้ว คุณอาจมีความรู้สึกว่าเปลี่ยนใจดีกว่า มันเป็นอย่างนั้นจริงๆ มาแสดงเป็นทางการกันดีกว่า

คำอธิบายที่เป็นทางการมากขึ้นของ Monty Hall Paradox

ในความเป็นจริง ตัวเลือกแรกแบบสุ่มของคุณจะแบ่งประตูทั้งหมดออกเป็นสองกลุ่ม ด้านหลังประตูที่คุณเลือก รางวัลจะอยู่ด้วยความน่าจะเป็น 1/3 ด้านหลังอีก 2 ประตู - ด้วยความน่าจะเป็น 2/3 ตอนนี้โฮสต์ทำการเปลี่ยนแปลง: เขาเปิดประตูหนึ่งบานในกลุ่มที่สอง และตอนนี้ความน่าจะเป็น 2/3 ทั้งหมดใช้กับประตูที่ปิดในกลุ่มของสองประตูเท่านั้น

เป็นที่ชัดเจนว่าตอนนี้มีกำไรมากขึ้นสำหรับคุณที่จะเปลี่ยนใจ

แม้ว่าแน่นอนว่าคุณยังมีโอกาสแพ้

อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนการเลือกของคุณจะเพิ่มโอกาสในการชนะ

ความขัดแย้งของ Monty Hall

ความขัดแย้งของ Monty Hall เป็นปัญหาที่น่าจะเป็นซึ่งวิธีแก้ปัญหา (ตามที่บางคน) ขัดต่อสามัญสำนึก การกำหนดภารกิจ:

ลองนึกภาพว่าคุณได้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณต้องเลือกหนึ่งในสามประตู หลังประตูบานหนึ่งเป็นรถ อีกสองประตูเป็นแพะ
คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง เช่น หมายเลข 1 หลังจากนั้นเจ้าของที่พักซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและแพะอยู่ที่ไหน เปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ เช่น หมายเลข 3 ซึ่งด้านหลังมีแพะอยู่

ความขัดแย้งของ Monty Hall คณิตศาสตร์ที่ไม่ถูกต้องที่สุดเท่าที่เคยมีมา

หลังจากนั้นเขาจะถามคุณว่าต้องการเปลี่ยนตัวเลือกและเลือกประตูหมายเลข 2 หรือไม่
โอกาสในการชนะรางวัลรถยนต์ของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่ หากคุณยอมรับข้อเสนอของเจ้าของที่พักและเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ

เมื่อแก้ปัญหา มักจะเข้าใจผิดว่าตัวเลือกทั้งสองเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อตัวเลือกเปลี่ยนไป ในความเป็นจริง นี่ไม่ใช่กรณี ดังที่คุณเห็นได้จากการจดจำสูตร Bayes หรือดูผลการจำลองด้านล่าง:

ที่นี่: "กลยุทธ์ 1" - อย่าเปลี่ยนตัวเลือก "กลยุทธ์ 2" - เปลี่ยนตัวเลือก ในทางทฤษฎี สำหรับกรณีที่มี 3 ประตู การกระจายความน่าจะเป็นคือ 33.(3)% และ 66.(6)% การจำลองเชิงตัวเลขควรให้ผลลัพธ์ที่คล้ายกัน

ลิงค์

ความขัดแย้งของ Monty Hall- งานจากส่วนของทฤษฎีความน่าจะเป็นในการแก้ปัญหาซึ่งมีความขัดแย้งกับสามัญสำนึก

ที่มา[แก้ไข | แก้ไขข้อความวิกิ]

ในตอนท้ายของปี 2506 ออกอากาศ รายการทอล์คโชว์ใหม่หัวข้อ "มาทำข้อตกลงกันเถอะ" ("มาทำข้อตกลงกันเถอะ") ตามสถานการณ์ของคำถาม ผู้ชมจากผู้ชมจะได้รับรางวัลสำหรับคำตอบที่ถูกต้อง มีโอกาสที่จะทวีคูณด้วยการวางเดิมพันใหม่ แต่เสี่ยงกับชัยชนะที่มีอยู่ ผู้ก่อตั้งรายการคือ Stefan Hatosu และ Monty Hall ซึ่งคนหลังได้เป็นเจ้าภาพถาวรเป็นเวลาหลายปี

หนึ่งในงานสำหรับผู้เข้าร่วมคือการวาดภาพของรางวัลใหญ่ซึ่งอยู่ด้านหลังหนึ่งในสามประตู สำหรับอีกสองคนที่เหลือมีรางวัลจูงใจ ในทางกลับกัน ผู้นำเสนอรู้ลำดับตำแหน่งของพวกเขา ผู้เข้าแข่งขันต้องตัดสินประตูที่ชนะโดยการเดิมพันเงินรางวัลทั้งหมดจากการแสดง

เมื่อผู้เดาตัดสินใจเลือกหมายเลข เจ้าภาพเปิดประตูบานหนึ่งที่เหลืออยู่ ซึ่งด้านหลังมีรางวัลจูงใจ และเสนอให้ผู้เล่นเปลี่ยนประตูที่เลือกไว้ในตอนแรก

สูตร[แก้ไข | แก้ไขข้อความวิกิ]

สำหรับปัญหาที่เฉพาะเจาะจง ความขัดแย้งนี้ถูกตั้งขึ้นเป็นครั้งแรกโดย Steve Selvin ในปี 1975 ซึ่งได้ส่งคำถามไปยัง The American Statistician และพิธีกร Monty Hall: โอกาสของผู้เข้าแข่งขันที่จะชนะรางวัลใหญ่จะเปลี่ยนไปหรือไม่ หากหลังจากเปิดประตูพร้อมกับสิ่งจูงใจแล้ว เขาจะเปลี่ยนไป ทางเลือกของเขา? หลังจากเหตุการณ์นี้ แนวคิดของ "Monty Hall Paradox" ก็ปรากฏขึ้น

ในปี 1990 Paradox เวอร์ชันที่พบบ่อยที่สุดได้รับการตีพิมพ์ในนิตยสาร Parade (นิตยสาร "Parade") พร้อมตัวอย่าง:

“ลองนึกภาพตัวเองในเกมทีวีที่คุณต้องเลือกหนึ่งในสามประตู: แพะที่อยู่ข้างหลังสองประตู และรถที่อยู่ข้างหลังประตูที่สาม เมื่อคุณเลือก ตัวอย่างเช่น สมมติว่าประตูที่ชนะคือหมายเลข 1 เจ้าภาพจะเปิดหนึ่งในสองประตูที่เหลือ เช่น ประตูหมายเลข 3 ซึ่งเป็นประตูหลังเป็นแพะ คุณมีโอกาสที่จะเปลี่ยนการเลือกของคุณเป็นประตูอื่นหรือไม่? คุณสามารถเพิ่มโอกาสในการชนะรางวัลรถยนต์โดยเปลี่ยนตัวเลือกจากประตูหมายเลขหนึ่งเป็นประตูหมายเลขสองได้หรือไม่”

ถ้อยคำนี้เป็นเวอร์ชันที่เรียบง่ายเพราะ ยังคงมีปัจจัยที่มีอิทธิพลต่อโฮสต์ซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและสนใจที่จะสูญเสียผู้เข้าร่วม

เพื่อให้ปัญหากลายเป็นคณิตศาสตร์ล้วน ๆ จำเป็นต้องกำจัดปัจจัยมนุษย์โดยแนะนำการเปิดประตูด้วยรางวัลจูงใจและความสามารถในการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นเป็นเงื่อนไขสำคัญ

วิธีแก้ปัญหา[แก้ไข | แก้ไขข้อความวิกิ]

เมื่อเปรียบเทียบอัตราต่อรองอย่างรวดเร็วการเปลี่ยนหมายเลขประตูจะไม่ให้ประโยชน์ใด ๆ เพราะ ตัวเลือกทั้งสามมีโอกาสชนะ 1/3 (ประมาณ 33.33% ในแต่ละประตูทั้งสามบาน) ในขณะเดียวกัน การเปิดหนึ่งในประตูจะไม่ส่งผลต่อโอกาสของอีกสองประตูที่เหลือ ซึ่งโอกาสจะกลายเป็น 1/2 ถึง 1/2 (50% สำหรับแต่ละประตูที่เหลืออีกสองบาน) การตัดสินนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่าการเลือกประตูโดยผู้เล่นและการเลือกประตูโดยเจ้าบ้านเป็นสองเหตุการณ์ที่เป็นอิสระจากกันซึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อกันและกัน ในความเป็นจริงจำเป็นต้องพิจารณาลำดับเหตุการณ์ทั้งหมดโดยรวม ตามทฤษฎีความน่าจะเป็น โอกาสของประตูแรกที่เลือกตั้งแต่ต้นจนจบเกมคือ 1/3 อย่างสม่ำเสมอ (ประมาณ 33.33%) และอีกสองประตูที่เหลือมีทั้งหมด 1/3 + 1 /3 = 2/3 (ประมาณ 66.66%) เมื่อหนึ่งในสองประตูที่เหลือเปิดออก โอกาสจะกลายเป็น 0% (รางวัลจูงใจซ่อนอยู่ด้านหลัง) และด้วยเหตุนี้ โอกาสที่ประตูที่ไม่ได้เลือกจะปิดจะเป็น 66.66% เช่น สองเท่าของเดิม

เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจผลลัพธ์ของตัวเลือก เราสามารถพิจารณาสถานการณ์ทางเลือกซึ่งจำนวนตัวเลือกจะมากกว่า เช่น หนึ่งพัน ความน่าจะเป็นในการเลือกตัวเลือกที่ชนะจะเท่ากับ 1/1000 (0.1%) โดยมีเงื่อนไขว่าต่อมาเก้าร้อยเก้าสิบแปดตัวเลือกที่ผิดถูกเปิดออกจากตัวเลือกที่เหลืออีกเก้าร้อยเก้าสิบเก้าตัวเลือก เห็นได้ชัดว่าความน่าจะเป็นของประตูที่เหลืออยู่หนึ่งประตูจากเก้าร้อยเก้าสิบเก้าตัวเลือกที่ไม่ได้เลือกนั้นสูงกว่า เพียงคนเดียวที่ถูกเลือกในตอนเริ่มต้น

การกล่าวถึง[แก้ไข | แก้ไขข้อความวิกิ]

คุณสามารถพบกับการกล่าวถึง Monty Hall Paradox ได้ใน "Twenty-one" (ภาพยนตร์โดย Robert Luketich), "Kluttyop" (นวนิยายโดย Sergei Lukyanenko), ทีวีซีรีส์ "4isla" (ละครโทรทัศน์), "The Mysterious Nighttime Killing of a Dog" (นวนิยายโดย Mark Haddon), "XKCD" (หนังสือการ์ตูน), MythBusters (รายการโทรทัศน์)

ดูเพิ่มเติม[แก้ไข | แก้ไขข้อความวิกิ]

ในภาพเป็นกระบวนการเลือกระหว่างประตูปิดสองบานจากสามบานที่เสนอไว้ในตอนแรก

ตัวอย่างการแก้ปัญหาในคอมบิเนเตอร์

คอมบิเนเตอร์เป็นศาสตร์ที่ทุกคนพบเจอใน ชีวิตประจำวัน: มีกี่วิธีในการเลือกผู้เข้าร่วมทำความสะอาดชั้นเรียน 3 คน หรือวิธีสร้างคำจากตัวอักษรที่กำหนด

โดยทั่วไป combinatorics ช่วยให้คุณสามารถคำนวณจำนวนของชุดค่าผสมต่างๆ ตามเงื่อนไขบางประการที่สามารถสร้างขึ้นจากวัตถุที่กำหนด (เหมือนกันหรือต่างกัน)

ในฐานะที่เป็นวิทยาศาสตร์ combinatorics เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 16 และตอนนี้นักเรียนทุกคน (และบ่อยครั้งแม้แต่เด็กนักเรียน) กำลังศึกษาเรื่องนี้ พวกเขาเริ่มศึกษาด้วยแนวคิดของการเรียงสับเปลี่ยน การจัดวาง การผสม (โดยมีหรือไม่มีการทำซ้ำ) คุณจะพบปัญหาในหัวข้อเหล่านี้ด้านล่าง กฎของ combinatorics ที่มีชื่อเสียงที่สุดคือกฎของผลรวมและผลคูณ ซึ่งมักใช้ในปัญหาเกี่ยวกับ combinatorial ทั่วไป

ด้านล่างนี้คุณจะพบตัวอย่างงานต่างๆ พร้อมโซลูชันสำหรับแนวคิดและกฎเชิงผสมที่จะช่วยให้คุณจัดการกับงานทั่วไปได้ หากมีปัญหากับงาน ให้สั่งการทดสอบ combinatorics

ปัญหาใน combinatorics พร้อมวิธีแก้ปัญหาออนไลน์

ภารกิจที่ 1แม่มีแอปเปิ้ล 2 ลูกและลูกแพร์ 3 ลูก ทุกวันเป็นเวลา 5 วันติดต่อกัน เธอแจกผลไม้หนึ่งชิ้น สามารถทำได้กี่วิธี?

การแก้ปัญหาใน combinatorics 1 (pdf, 35 Kb)

ภารกิจที่ 2องค์กรสามารถจัดหางานพิเศษให้กับผู้หญิง 4 คนในผู้ชายอีก 6 คนในพนักงานคนที่สามถึง 3 คนโดยไม่คำนึงถึงเพศ สามารถบรรจุตำแหน่งงานว่างได้กี่วิธีหากมีผู้สมัคร 14 คน เป็นหญิง 6 คน ชาย 8 คน

วิธีแก้ปัญหาใน combinatorics 2 (pdf, 39 Kb)

ภารกิจที่ 3มีตู้โดยสาร 9 ตู้ คน 4 คนสามารถนั่งบนรถไฟได้กี่วิธี โดยต้องนั่งคนละคัน

การแก้ปัญหาใน combinatorics 3 (pdf, 33 Kb)

ภารกิจที่ 4ในกลุ่มมี 9 คน สามารถสร้างกลุ่มย่อยได้กี่กลุ่ม โดยกลุ่มย่อยต้องมีอย่างน้อย 2 คน

วิธีแก้ปัญหาใน combinatorics 4 (pdf, 34 Kb)

ภารกิจที่ 5ควรแบ่งกลุ่มนักเรียน 20 คนออกเป็น 3 ทีมและทีมแรกควรมี 3 คนทีมที่สอง - 5 และทีมที่สาม - 12 สามารถทำได้กี่วิธี

การแก้ปัญหาใน combinatorics 5 (pdf, 37 Kb)

ภารกิจที่ 6ในการเข้าร่วมทีม โค้ชจะเลือกเด็กผู้ชาย 5 คนจาก 10 คน เขาจะฟอร์มทีมได้กี่วิธีหากต้องมีเด็กผู้ชาย 2 คนอยู่ในทีม

ปัญหาเชิงผสมพร้อมวิธีแก้ปัญหา 6 (pdf, 33 Kb)

ภารกิจที่ 7ผู้เล่นหมากรุก 15 คนเข้าร่วมการแข่งขันหมากรุก และแต่ละคนเล่นเกมกับคนอื่นเพียงเกมเดียว การแข่งขันครั้งนี้มีการแข่งขันทั้งหมดกี่เกม?

ปัญหาเชิงผสมผสานกับวิธีแก้ปัญหา 7 (pdf, 37 Kb)

ภารกิจที่ 8เศษส่วนที่แตกต่างกันสามารถเกิดจากตัวเลข 3, 5, 7, 11, 13, 17 ได้กี่ส่วนเพื่อให้แต่ละส่วนมี 2 ตัวเลขต่างๆ? เศษส่วนที่เหมาะสมมีกี่ตัว

ปัญหาเชิงผสมพร้อมวิธีแก้ปัญหา 8 (pdf, 32 Kb)

ภารกิจที่ 9เรียงตัวอักษรในคำว่า Horus และ Institute ได้กี่คำ

ปัญหาเชิงผสมพร้อมวิธีแก้ปัญหา 9 (pdf, 32 Kb)

ภารกิจที่ 10.ตัวเลขใดตั้งแต่ 1 ถึง 1,000,000 ที่มากกว่า: หน่วยที่เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น

ปัญหาเชิงผสมพร้อมวิธีแก้ปัญหา 10 (pdf, 39 Kb)

พร้อมตัวอย่าง

ต้องการการแก้ปัญหาใน combinatorics? ค้นหาในคำแนะนำ:

วิธีแก้ปัญหาอื่น ๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

ลองนึกภาพว่านายธนาคารคนหนึ่งเสนอให้คุณเลือกหนึ่งในสามกล่องปิด ในหนึ่งในนั้น 50 เซ็นต์ ในอีกอันหนึ่ง - หนึ่งดอลลาร์ ในที่สาม - 10,000 ดอลลาร์ เลือกตัวไหนก็รับรางวัลไปเลย

คุณเลือกโดยการสุ่ม พูดช่องที่ 1 จากนั้นนายธนาคาร (ซึ่งแน่นอนว่ารู้ว่าทุกอย่างอยู่ที่ไหน) ต่อหน้าต่อตาคุณเปิดกล่องที่มีหนึ่งดอลลาร์ (สมมติว่านี่คือหมายเลข 2) หลังจากนั้นเขาเสนอให้คุณเปลี่ยนกล่องที่เลือกในตอนแรก 1 ถึงกล่องที่ 3

คุณควรเปลี่ยนใจไหม สิ่งนี้จะเพิ่มโอกาสในการได้รับ 10,000 หรือไม่

นี่คือความขัดแย้งของ Monty Hall - ปัญหาของทฤษฎีความน่าจะเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ขัดแย้งกับสามัญสำนึกในแวบแรก ผู้คนเกาหัวกับปัญหานี้มาตั้งแต่ปี 2518

ความขัดแย้งได้รับการตั้งชื่อตามพิธีกรรายการโทรทัศน์ยอดนิยมของอเมริกา Let's Make a Deal รายการทีวีนี้มีกฎคล้ายๆ กัน เฉพาะผู้เข้าร่วมเท่านั้นที่เลือกประตู สองประตูเป็นแพะซ่อน และประตูที่สามเป็นรถคาดิลแลค

ผู้เล่นส่วนใหญ่ให้เหตุผลว่าหลังจากมีประตูปิดสองบานและมี Cadillac อยู่ข้างหลังหนึ่งประตู จากนั้น โอกาสที่จะได้รับมันคือ 50-50 เห็นได้ชัดว่าเมื่อเจ้าบ้านเปิดประตูบานหนึ่งและเชิญให้คุณเปลี่ยนใจ เขา เริ่มต้น เกมส์ใหม่. ไม่ว่าคุณจะเปลี่ยนใจหรือไม่ก็ตาม โอกาสของคุณก็ยังอยู่ที่ 50 เปอร์เซ็นต์ ใช่มั้ย?

ปรากฎว่าไม่ได้ ความจริงแล้ว การเปลี่ยนความคิดของคุณ จะเพิ่มโอกาสในการประสบความสำเร็จเป็นสองเท่า ทำไม

คำอธิบายที่ง่ายที่สุดสำหรับคำตอบนี้คือการพิจารณาต่อไปนี้ เพื่อที่จะชนะรถโดยไม่ต้องเปลี่ยนทางเลือก ผู้เล่นจะต้องเดาประตูที่รถยืนอยู่ทันที ความน่าจะเป็นคือ 1/3 หากผู้เล่นชนประตูโดยมีแพะอยู่ข้างหลัง (และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ 2/3 เนื่องจากมีแพะสองตัวและรถเพียงคันเดียว) จากนั้นเขาสามารถชนะรถได้โดยเปลี่ยนใจเนื่องจากรถ ยังเหลือแพะอยู่ 1 ตัว และเจ้าภาพได้เปิดประตูพร้อมกับแพะแล้ว

ดังนั้น โดยไม่เปลี่ยนตัวเลือก ผู้เล่นจะยังคงมีความน่าจะเป็นเริ่มต้นที่จะชนะ 1/3 และเมื่อเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้น ผู้เล่นจะหันไปหาข้อได้เปรียบของเขาสองเท่าจากความน่าจะเป็นที่เหลืออยู่ซึ่งเขาเดาไม่ถูกในตอนเริ่มต้น

นอกจากนี้ยังสามารถอธิบายได้โดยสัญชาตญาณโดยสลับเหตุการณ์ทั้งสอง เหตุการณ์แรกคือการตัดสินใจของผู้เล่นที่จะเปลี่ยนประตู เหตุการณ์ที่สองคือการเปิดประตูพิเศษ สิ่งนี้ยอมรับได้ เนื่องจากการเปิดประตูเพิ่มไม่ได้ทำให้ผู้เล่นเสียประตู ข้อมูลใหม่(เอกสารดูในบทความนี้). จากนั้นปัญหาจะลดลงเป็นสูตรต่อไปนี้ ในช่วงเวลาแรก ผู้เล่นแบ่งประตูออกเป็นสองกลุ่ม: ในกลุ่มแรกมีหนึ่งประตู (ประตูที่เขาเลือก) ในกลุ่มที่สองมีประตูเหลืออีกสองประตู ในช่วงเวลาต่อไป ผู้เล่นจะเลือกระหว่างกลุ่มต่างๆ เห็นได้ชัดว่าสำหรับกลุ่มแรกความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 สำหรับกลุ่มที่สองคือ 2/3 ผู้เล่นเลือกกลุ่มที่สอง ในกลุ่มที่สอง เขาเปิดได้ทั้งสองประตู หนึ่งเปิดโดยโฮสต์และที่สองโดยผู้เล่นเอง

ลองให้คำอธิบายที่ "เข้าใจได้มากที่สุด" กำหนดปัญหาใหม่: โฮสต์ที่ซื่อสัตย์ประกาศกับผู้เล่นว่ามีรถอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งจากสามประตู และแนะนำให้เขาชี้ไปที่ประตูบานใดบานหนึ่งก่อน จากนั้นเลือกหนึ่งในสองการกระทำ: เปิดประตูที่ระบุ (ใน สูตรเก่านี้เรียกว่า "อย่าเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ") หรือเปิดอีกสองตัวเลือก (ในถ้อยคำเก่า นี่แค่ "เปลี่ยนตัวเลือก" ลองคิดดู นี่คือกุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจ!) เป็นที่ชัดเจนว่าผู้เล่นจะเลือกการกระทำที่สองจากสองการกระทำ เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะได้รับรถในกรณีนี้จะสูงเป็นสองเท่า และสิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่เจ้าภาพก่อนที่จะเลือกการกระทำ "แสดงแพะ" ไม่ได้ช่วยและไม่รบกวนการเลือกเพราะด้านหลังประตูบานใดบานหนึ่งมีแพะอยู่เสมอและเจ้าภาพจะแสดงมันได้ตลอดเวลา ในระหว่างเกม ดังนั้นผู้เล่นสามารถจับแพะตัวนี้และไม่ต้องเฝ้าดู ธุรกิจของผู้เล่น หากเขาเลือกการกระทำที่สอง คือการกล่าว "ขอบคุณ" ต่อเจ้าภาพที่ช่วยให้เขาไม่ต้องประสบปัญหาในการเปิดประตูบานใดบานหนึ่งจากสองบานด้วยตัวเอง และเปิดอีกบาน ดีหรือง่ายยิ่งขึ้น ลองนึกภาพสถานการณ์นี้จากมุมมองของเจ้าภาพซึ่งกำลังทำตามขั้นตอนที่คล้ายกันกับผู้เล่นหลายสิบคน เนื่องจากเขารู้ดีว่ามีอะไรอยู่เบื้องหลังประตู ดังนั้น โดยเฉลี่ยแล้ว ในสองกรณีจากสามกรณี เขาจะเห็นล่วงหน้าว่าผู้เล่นเลือกประตูที่ "ผิด" ดังนั้นสำหรับเขาแล้วไม่มีความขัดแย้งอย่างแน่นอนว่ากลยุทธ์ที่ถูกต้องคือการเปลี่ยนตัวเลือกหลังจากเปิดประตูบานแรก: ในสองกรณีเดียวกันจากสามกรณี ผู้เล่นจะออกจากสตูดิโอด้วยรถคันใหม่

ในที่สุด การพิสูจน์ที่ "ไร้เดียงสา" ที่สุด ให้เรียกผู้ที่ยืนหยัดตามทางเลือกของตนว่า "ดื้อรั้น" และผู้ที่ปฏิบัติตามคำสั่งของผู้นำให้เรียกว่า "ตั้งใจ" จากนั้นคนปากแข็งจะเป็นผู้ชนะถ้าเขาเดารถได้ในตอนแรก (1/3) และคนที่ตั้งใจ - ถ้าเขาพลาดและชนแพะก่อน (2/3) ท้ายที่สุดในกรณีนี้เท่านั้นที่เขาจะชี้ไปที่ประตูพร้อมกับรถ

มอนตี ฮอลล์ โปรดิวเซอร์และพิธีกรรายการ มาทำข้อตกลงกันเถอะตั้งแต่ พ.ศ. 2506 ถึง พ.ศ. 2534

ในปี 1990 ปัญหานี้และแนวทางแก้ไขได้รับการตีพิมพ์ในนิตยสาร Parade ของอเมริกา สิ่งพิมพ์ดังกล่าวทำให้เกิดความคิดเห็นที่ขุ่นเคืองจากผู้อ่านซึ่งหลายคนมีปริญญาทางวิทยาศาสตร์

ข้อร้องเรียนหลักคือไม่ได้ระบุเงื่อนไขทั้งหมดของปัญหา และความแตกต่างเล็กน้อยอาจส่งผลต่อผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น โฮสต์สามารถเสนอให้เปลี่ยนการตัดสินใจได้ก็ต่อเมื่อผู้เล่นเลือกรถในการเคลื่อนไหวครั้งแรก เห็นได้ชัดว่าการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นในสถานการณ์ดังกล่าวจะนำไปสู่การสูญเสียที่รับประกันได้

อย่างไรก็ตาม ตลอดรายการทีวีมอนตี ฮอลล์ คนที่เปลี่ยนใจมักจะชนะสองเท่า:

จากผู้เล่น 30 คนที่เปลี่ยนใจ Cadillac ชนะ 18 - นั่นคือ 60%

จากผู้เล่น 30 คนที่เหลือตามตัวเลือก Cadillac ชนะ 11 คนนั่นคือประมาณ 36%

ดังนั้นเหตุผลที่ให้ในการตัดสินใจไม่ว่าจะดูไร้เหตุผลเพียงใดก็ได้รับการยืนยันโดยการปฏิบัติ

เพิ่มจำนวนประตู

เพื่อให้เข้าใจแก่นแท้ของสิ่งที่เกิดขึ้นได้ง่ายขึ้น เราสามารถพิจารณากรณีที่ผู้เล่นไม่เห็นประตูสามบานต่อหน้าเขา แต่ยกตัวอย่างเป็นร้อย ในเวลาเดียวกันมีรถอยู่หลังประตูบานหนึ่งและมีแพะอยู่ข้างหลังอีก 99 ตัว ผู้เล่นเลือกประตูใดประตูหนึ่งในขณะที่ 99% ของกรณีเขาจะเลือกประตูที่มีแพะและโอกาสในการเลือกประตูที่มีรถยนต์ในทันทีนั้นน้อยมาก - คือ 1% หลังจากนั้นเจ้าภาพเปิดประตู 98 ประตูพร้อมแพะและขอให้ผู้เล่นเลือกประตูที่เหลือ ในกรณีนี้ 99% ของกรณี รถจะอยู่หลังประตูที่เหลือนี้ เนื่องจากโอกาสที่ผู้เล่นจะเลือกประตูที่ถูกต้องในทันทีนั้นมีน้อยมาก เป็นที่ชัดเจนว่าในสถานการณ์เช่นนี้ ผู้เล่นที่คิดอย่างมีเหตุผลควรยอมรับข้อเสนอของผู้นำเสมอ

เมื่อพิจารณาถึงจำนวนประตูที่เพิ่มขึ้น คำถามมักจะเกิดขึ้น: ถ้าในปัญหาเดิม ผู้นำเปิดหนึ่งประตูจากสามบาน (นั่นคือ 1/3 ของ ทั้งหมดประตู) ทำไมเราถึงคิดว่าในกรณีของประตู 100 ประตู เจ้าภาพจะเปิด 98 ประตูด้วยแพะ ไม่ใช่ 33 ประตู การพิจารณานี้มักจะเป็นหนึ่งในเหตุผลสำคัญที่ความขัดแย้งของ Monty Hall ขัดแย้งกับการรับรู้โดยสัญชาตญาณของสถานการณ์ สมมุติว่าเปิด 98 ประตูจะถูก เพราะ เงื่อนไขที่จำเป็นภารกิจคือมีทางเลือกเดียวสำหรับผู้เล่นซึ่งเสนอโดยผู้ดูแล ดังนั้นเพื่อให้งานมีความคล้ายคลึงกัน ในกรณีของ 4 ประตู ผู้นำจะต้องเปิด 2 ประตู ในกรณีของ 5 ประตู - 3 และอื่น ๆ เพื่อให้มีประตูอื่นที่ยังไม่ได้เปิดเสมอ ที่ผู้เล่นเลือกในตอนแรก หากวิทยากรเปิดประตูน้อยลง งานก็จะไม่เหมือนกับงานเดิมของ Monty Hall อีกต่อไป

ควรสังเกตว่าในกรณีของประตูหลายบาน แม้ว่าเจ้าภาพไม่ได้ปิดหนึ่งประตู แต่มีหลายประตู และเสนอให้ผู้เล่นเลือกหนึ่งในนั้น จากนั้นเมื่อเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้น โอกาสของผู้เล่นในการชนะรถจะ ยังคงเพิ่มขึ้นแม้ว่าจะไม่มาก ตัวอย่างเช่น พิจารณาสถานการณ์ที่ผู้เล่นเลือกประตูหนึ่งจากทั้งหมดร้อยประตู จากนั้นผู้อำนวยความสะดวกจะเปิดประตูที่เหลือเพียงบานเดียว โดยเชื้อเชิญให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือก ในขณะเดียวกัน โอกาสที่รถจะอยู่หลังประตูเดิมที่ผู้เล่นเลือกไว้ยังคงเท่าเดิม - 1/100 และสำหรับประตูที่เหลือ โอกาสจะเปลี่ยนไป: ความน่าจะเป็นทั้งหมดที่รถจะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งที่เหลืออยู่ ( 99/100) ตอนนี้ไม่ได้กระจายอยู่ที่ 99 ประตู แต่เป็น 98 ดังนั้นความน่าจะเป็นในการค้นหารถหลังประตูแต่ละบานจะไม่ใช่ 1/100 แต่เป็น 99/9800 ความน่าจะเป็นที่เพิ่มขึ้นจะอยู่ที่ประมาณ 1%

ต้นไม้ การแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ผู้เล่นและโฮสต์ แสดงความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการ สถานการณ์ของเกมสามารถอธิบายได้อย่างเป็นทางการโดยใช้แผนผังการตัดสินใจ ในสองกรณีแรก เมื่อผู้เล่นเลือกประตูหลังที่แพะอยู่ การเปลี่ยนทางเลือกจะส่งผลให้ชนะ ในสองกรณีสุดท้าย เมื่อผู้เล่นเลือกประตูที่มีรถเป็นครั้งแรก การเปลี่ยนตัวเลือกจะส่งผลให้แพ้

ถ้ายังไม่เข้าใจก็ถ่มน้ำลายใส่สูตรไปเลยตรวจสอบทุกอย่างทางสถิติ คำอธิบายอื่นที่เป็นไปได้:

• ผู้เล่นที่มีกลยุทธ์ในการเปลี่ยนประตูที่เลือกทุกครั้งจะแพ้ก็ต่อเมื่อเขาเลือกประตูด้านหลังที่มีรถอยู่ในตอนแรกเท่านั้น
• เนื่องจากโอกาสในการเลือกรถในการลองครั้งแรกคือ 1 ใน 3 (หรือ 33%) โอกาสที่จะไม่เลือกรถหากผู้เล่นเปลี่ยนตัวเลือกคือ 1 ใน 3 (หรือ 33%)
• ซึ่งหมายความว่าผู้เล่นที่ใช้กลยุทธ์เปลี่ยนประตูจะชนะด้วยความน่าจะเป็น 66% หรือสองต่อสาม
• สิ่งนี้จะเพิ่มโอกาสในการชนะเป็นสองเท่าของผู้เล่นที่มีกลยุทธ์ที่จะไม่เปลี่ยนตัวเลือกทุกครั้ง

ยังไม่เชื่อ? สมมติว่าคุณเลือกประตู #1 นี่คือทั้งหมด ตัวเลือกที่เป็นไปได้สิ่งที่อาจเกิดขึ้นในกรณีนี้

“การโกหกมีสามประเภท: การโกหก การโกหกที่โจ่งแจ้งและสถิติ วลีนี้ที่มาร์ก ทเวนอ้างถึงนายกรัฐมนตรีอังกฤษเบนจามิน ดิสราเอลี สะท้อนทัศนคติของคนส่วนใหญ่ที่มีต่อกฎทางคณิตศาสตร์ได้เป็นอย่างดี แท้จริงแล้วทฤษฎีความน่าจะเป็นบางครั้งก็เกิดขึ้น ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งซึ่งยากที่จะเชื่อตั้งแต่แรกเห็น และอย่างไรก็ตาม ได้รับการยืนยันโดยวิทยาศาสตร์ "ทฤษฎีและการปฏิบัติ" ระลึกถึงความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงที่สุด

ปัญหามอนตี ฮอลล์

มันเป็นงานที่ศาสตราจารย์ MIT เจ้าเล่ห์เสนอให้กับนักเรียนในภาพยนตร์เรื่อง Twenty-One ให้คำตอบที่ถูกต้อง ตัวละครหลักเข้าร่วมทีมนักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่ที่เอาชนะคาสิโนในลาสเวกัส

ถ้อยคำคลาสสิกมีลักษณะดังนี้: “สมมติว่าผู้เล่นบางคนได้รับเชิญให้เข้าร่วมรายการทีวีชื่อดังของอเมริกา Let’s Make a Deal ซึ่งจัดโดย Monty Hall และเขาต้องเลือกประตูใดประตูหนึ่งจากสามประตู หลังประตูสองบานคือแพะ หลังหนึ่งคือรางวัลหลัก รถยนต์ ผู้นำเสนอรู้ตำแหน่งของรางวัล หลังจากที่ผู้เล่นเลือกแล้ว ผู้อำนวยความสะดวกจะเปิดประตูบานหนึ่งที่เหลืออยู่ ซึ่งด้านหลังเป็นแพะ และเชื้อเชิญให้ผู้เล่นเปลี่ยนใจ ผู้เล่นควรเห็นด้วยหรือดีกว่าที่จะคงตัวเลือกเดิมไว้”

นี่คือแนวเหตุผลทั่วไป: หลังจากที่เจ้าภาพเปิดประตูบานหนึ่งและโชว์แพะ ผู้เล่นต้องเลือกระหว่างสองประตู รถอยู่ข้างหลังคันหนึ่ง ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะเดาได้คือ ½ ดังนั้นจึงไม่มีความแตกต่าง - เพื่อเปลี่ยนตัวเลือกของคุณหรือไม่ ถึงกระนั้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นบอกว่าคุณสามารถเพิ่มโอกาสในการชนะได้โดยการเปลี่ยนการตัดสินใจของคุณ มาดูกันว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น

ในการทำเช่นนี้ให้ย้อนกลับไปหนึ่งขั้นตอน ในตอนที่เราเลือกครั้งแรก เราแบ่งประตูออกเป็นสองส่วน: ส่วนที่เราเลือกและอีกสองบาน เห็นได้ชัดว่า ความน่าจะเป็นที่รถซ่อนอยู่หลังประตู "ของเรา" คือ ⅓ - ตามลำดับ รถจะอยู่หลังหนึ่งในสองประตูที่เหลือโดยมีความน่าจะเป็นเป็น ⅔ เมื่อผู้อำนวยความสะดวกระบุว่ามีแพะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่ง ปรากฎว่าโอกาส ⅔ เหล่านี้ตกอยู่ที่ประตูบานที่สอง และสิ่งนี้จะลดทางเลือกของผู้เล่นลงเหลือสองประตู โดยประตูหนึ่ง (เลือกไว้ในตอนแรก) รถมีความน่าจะเป็นที่ ⅓ และด้านหลังอีกประตูหนึ่งมีความน่าจะเป็นที่ ⅔ ทางเลือกจะชัดเจน ซึ่งแน่นอนว่าไม่ได้ปฏิเสธความจริงที่ว่าตั้งแต่เริ่มต้นผู้เล่นสามารถเลือกประตูด้วยรถยนต์ได้

ภารกิจของนักโทษทั้งสาม

The Three Prisoners Paradox คล้ายกับปัญหาของ Monty Hall แม้ว่าการกระทำจะเกิดขึ้นในฉากที่ดราม่ากว่า นักโทษสามคน (A, B และ C) ถูกตัดสินประหารชีวิตและถูกขังเดี่ยว เจ้าเมืองสุ่มเลือกหนึ่งในนั้นและประทานอภัยโทษ พัศดีรู้ว่าใครในสามคนนี้ได้รับการอภัยโทษ แต่เขาได้รับคำสั่งให้เก็บเป็นความลับ นักโทษ A ขอให้ผู้คุมบอกชื่อนักโทษคนที่สอง (นอกจากตัวเขาเอง) ที่จะต้องถูกประหารอย่างแน่นอน: “ถ้า B ได้รับการอภัยโทษ ให้บอกฉันว่า C จะถูกประหารชีวิต ถ้า C ได้รับการอภัยโทษ ให้บอกฉันว่า B จะถูกประหารชีวิต ถ้าประหารทั้งคู่แต่ข้าเมตตาให้โยนเหรียญแล้วพูดชื่อสองคนนี้ ผู้คุมบอกว่านักโทษ B จะถูกประหาร นักโทษ A ควรดีใจไหม?

ดูเหมือนว่าใช่ ท้ายที่สุด ก่อนที่จะได้รับข้อมูลนี้ ความน่าจะเป็นของการเสียชีวิตของนักโทษ A คือ ⅔ และตอนนี้เขารู้แล้วว่าหนึ่งในนักโทษอีกสองคนจะถูกประหารชีวิต ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของการประหารชีวิตของเขาลดลงเหลือ ½ แต่ในความเป็นจริง นักโทษ A ไม่ได้เรียนรู้อะไรใหม่: หากเขาไม่ได้รับการอภัยโทษ เขาจะถูกบอกชื่อนักโทษอีกคน และเขารู้อยู่แล้วว่าหนึ่งในสองคนที่เหลือจะถูกประหารชีวิต ถ้าเขาโชคดีและการประหารชีวิตถูกยกเลิก เขาจะได้ยิน ชื่อสุ่ม B หรือ C ดังนั้นโอกาสในการรอดของเขาจึงไม่เปลี่ยนแปลงแต่อย่างใด

ทีนี้ลองนึกดูว่าหนึ่งในนักโทษที่เหลือเรียนรู้เกี่ยวกับคำถามของนักโทษ A และคำตอบที่ได้รับ สิ่งนี้จะเปลี่ยนความคิดของเขาเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการให้อภัย

ถ้านักโทษ B ได้ยินการสนทนา เขารู้ว่าเขาจะต้องถูกประหารชีวิตอย่างแน่นอน และถ้านักโทษเป็น B ความน่าจะเป็นที่จะได้รับการอภัยโทษจะเป็น ⅔ ทำไมมันถึงเกิดขึ้น? นักโทษ A ยังไม่ได้รับข้อมูลใด ๆ และโอกาสที่จะได้รับการอภัยโทษยังคงมีอยู่ ⅓ นักโทษ B จะไม่ได้รับการอภัยโทษอย่างแน่นอน และโอกาสของเขาก็เป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่นักโทษคนที่สามจะได้รับการปล่อยตัวคือ ⅔

ความขัดแย้งของสองซองจดหมาย

ความขัดแย้งนี้กลายเป็นที่รู้จักโดยนักคณิตศาสตร์ Martin Gardner และมีสูตรดังต่อไปนี้: "สมมติว่าคุณและเพื่อนได้รับซองจดหมายสองซอง ซองหนึ่งบรรจุเงินจำนวนหนึ่ง X และอีกซองหนึ่งบรรจุจำนวนเงินสองเท่า คุณเปิดซองอย่างอิสระ นับเงิน หลังจากนั้นคุณสามารถแลกเปลี่ยนได้ ซองจดหมายเหมือนกัน ดังนั้นจึงมีโอกาส ½ ที่คุณจะได้รับซองจดหมายในจำนวนที่น้อยกว่า สมมติว่าคุณเปิดซองจดหมายแล้วพบเงิน 10 ดอลลาร์อยู่ในนั้น ดังนั้น ซองจดหมายของเพื่อนของคุณอาจมีมูลค่าเท่ากับ $5 หรือ $20 หากคุณตัดสินใจที่จะแลกเปลี่ยน คุณสามารถคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเงินสุดท้ายได้ นั่นคือ ค่าเฉลี่ย มันคือ 1/2x$5+1/2x20=$12.5 ดังนั้นการแลกเปลี่ยนจึงเป็นประโยชน์สำหรับคุณ และเป็นไปได้มากว่าเพื่อนของคุณจะโต้แย้งในลักษณะเดียวกัน แต่เห็นได้ชัดว่าการแลกเปลี่ยนไม่สามารถเป็นประโยชน์สำหรับคุณทั้งคู่ ความผิดพลาดคืออะไร?

ความขัดแย้งคือจนกว่าคุณจะเปิดซอง ความน่าจะเป็นจะทำงานอย่างยุติธรรม: จริงๆ แล้วคุณมีโอกาส 50 เปอร์เซ็นต์ที่จะพบ X ในซองของคุณและมีโอกาส 50 เปอร์เซ็นต์ที่จะพบ 2X ในซองของคุณ และสามัญสำนึกบอกว่าข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนเงินที่คุณมีจะไม่ส่งผลต่อเนื้อหาในซองที่สอง

อย่างไรก็ตาม ทันทีที่คุณเปิดซองจดหมาย สถานการณ์จะเปลี่ยนไปอย่างมาก (ความขัดแย้งนี้ค่อนข้างคล้ายกับเรื่องราวของแมวของชเรอดิงเงอร์ ซึ่งการปรากฎตัวของผู้สังเกตการณ์ส่งผลต่อสถานการณ์) ความจริงก็คือเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขของความขัดแย้งความน่าจะเป็นในการค้นหาซองที่สองในจำนวนที่มากกว่าหรือน้อยกว่าของคุณจะต้องเท่ากัน แต่ค่าใดๆ ของผลรวมนี้ตั้งแต่ศูนย์ถึงอนันต์ก็มีความเป็นไปได้เท่ากัน และถ้ามีจำนวนความเป็นไปได้ที่น่าจะเป็นไปได้เท่าๆ กัน ก็จะรวมกันเป็นอนันต์ และนี่เป็นไปไม่ได้

เพื่อความชัดเจน คุณสามารถจินตนาการว่าคุณพบเงิน 1 เซ็นต์ในซองจดหมายของคุณ แน่นอนว่าซองที่สองไม่สามารถบรรจุได้ครึ่งหนึ่ง

เป็นที่น่าแปลกใจว่าการอภิปรายเกี่ยวกับการแก้ปัญหาความขัดแย้งยังคงดำเนินต่อไปในปัจจุบัน ในขณะเดียวกันก็มีความพยายามที่จะอธิบายความขัดแย้งจากภายในและพัฒนา กลยุทธ์ที่ดีที่สุดพฤติกรรมในสถานการณ์ดังกล่าว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ศาสตราจารย์โทมัส คัฟเวอร์ เสนอแนวทางดั้งเดิมในการจัดทำกลยุทธ์ - เพื่อเปลี่ยนหรือไม่เปลี่ยนซองจดหมาย ซึ่งได้รับคำแนะนำจากความคาดหวังโดยสัญชาตญาณ สมมติว่าคุณเปิดซองจดหมายแล้วพบเงิน 10 ดอลลาร์ในนั้น ซึ่งเป็นจำนวนเงินเล็กน้อยจากการประมาณการของคุณ มันก็คุ้มค่าที่จะแลกมัน และถ้าในซองมีเงิน $1,000 ซึ่งเกินความคาดหมายของคุณ คุณก็ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยน กลยุทธ์ที่ใช้งานง่ายนี้ หากคุณได้รับข้อเสนอให้เลือกซองจดหมายสองซองเป็นประจำ จะทำให้คุณมีโอกาสที่จะเพิ่มเงินรางวัลรวมมากกว่ากลยุทธ์ในการเปลี่ยนซองจดหมายอย่างต่อเนื่อง

เด็กชายและเด็กหญิงขัดแย้งกัน

ความขัดแย้งนี้เสนอโดย Martin Gardner และมีสูตรดังต่อไปนี้: "คุณสมิ ธ มีลูกสองคน มีเด็กอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้ชาย อะไรคือความน่าจะเป็นที่คนที่สองเป็นเด็กผู้ชายด้วย?

ดูเหมือนว่างานจะง่าย อย่างไรก็ตาม หากคุณเริ่มเข้าใจ สถานการณ์ที่น่าสงสัยจะถูกเปิดเผย: คำตอบที่ถูกต้องจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับวิธีที่เราคำนวณความน่าจะเป็นของเพศของเด็กอีกคน

ตัวเลือกที่ 1

พิจารณาการรวมกันที่เป็นไปได้ทั้งหมดในครอบครัวที่มีลูกสองคน:

เด็กหญิง/เด็กหญิง

เด็กผู้หญิง

ชายหญิง

เด็กชาย/เด็กชาย

ตัวเลือกสาว/สาวไม่เหมาะกับเราตามเงื่อนไขของปัญหา ดังนั้น สำหรับครอบครัวของนายสมิธ จึงมีสามตัวเลือกที่เป็นไปได้เท่าๆ กัน ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่เด็กอีกคนจะเป็นเด็กผู้ชายคือ ⅓ นี่คือคำตอบที่การ์ดเนอร์ให้ไว้ในตอนแรก

ตัวเลือก 2

ลองนึกภาพว่าเราพบคุณสมิธบนถนนตอนที่เขากำลังเดินเล่นกับลูกชาย อะไรคือความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นผู้ชายด้วย? เนื่องจากเพศของลูกคนที่สองไม่ขึ้นอยู่กับเพศของลูกคนแรก คำตอบที่ชัดเจน (และถูกต้อง) คือ ½

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้นเพราะดูเหมือนว่าจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับวิธีที่เราเข้าใกล้ปัญหาในการคำนวณความน่าจะเป็น ในกรณีแรก เราได้พิจารณารุ่นที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตระกูล Smith ประการที่สอง - เราถือว่าทุกครอบครัวที่อยู่ภายใต้เงื่อนไขบังคับ "ต้องมีเด็กผู้ชายหนึ่งคน" การคำนวณความน่าจะเป็นของเพศของเด็กคนที่สองดำเนินการโดยมีเงื่อนไขนี้ (ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเรียกว่า "ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข") ซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แตกต่างจากครั้งแรก

ในเดือนธันวาคม พ.ศ. 2506 ทางช่องทีวีอเมริกัน กสชโปรแกรมเปิดตัวครั้งแรก มาทำข้อตกลงกันเถอะ("มาทำข้อตกลงกันเถอะ!") ซึ่งผู้เข้าร่วมเลือกจากผู้ชมในสตูดิโอต่อรองราคากันเองและกับเจ้าภาพ เกมขนาดเล็กหรือเพียงแค่เดาคำตอบของคำถาม ในตอนท้ายของการออกอากาศ ผู้เข้าร่วมสามารถเล่น "ดีลประจำวัน" ข้างหน้ามีประตูสามบานซึ่งเป็นที่รู้กันว่าด้านหลังบานหนึ่งเป็นรางวัลใหญ่ (เช่น รถยนต์) และด้านหลังอีกสองบานเป็นของกำนัลที่มีค่าน้อยกว่าหรือไร้สาระโดยสิ้นเชิง (เช่น แพะมีชีวิต) . หลังจากที่ผู้เล่นเลือกแล้ว มอนตี ฮอลล์ ผู้ดำเนินรายการได้เปิดประตูบานหนึ่งจากสองบานที่เหลือ โดยแสดงให้เห็นว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง และให้ผู้เข้าร่วมดีใจที่ตนมีโอกาสชนะ

ในปี 1975 Steve Selvin นักวิทยาศาสตร์แห่ง UCLA ถามว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากในขณะนั้นหลังจากเปิดประตูโดยไม่มีรางวัล ผู้เข้าร่วมถูกขอให้เปลี่ยนตัวเลือก โอกาสของผู้เล่นที่จะได้รับรางวัลจะเปลี่ยนไปในกรณีนี้หรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้น จะเป็นไปในทิศทางใด? เขาส่งคำถามที่เกี่ยวข้องเป็นประเด็นไปยังวารสาร นักสถิติชาวอเมริกัน("นักสถิติชาวอเมริกัน") และรวมถึงตัวมอนตี้ ฮอลล์เองด้วย ซึ่งให้คำตอบที่ค่อนข้างสงสัยแก่เขา แม้จะมีคำตอบนี้ (หรืออาจเป็นเพราะคำตอบนี้) ปัญหาก็กลายเป็นที่นิยมภายใต้ชื่อ "Monty Hall problem"

งาน

คุณลงเอยที่การแสดง Monty Hall ในฐานะผู้เข้าร่วม - และในนาทีสุดท้าย เมื่อเปิดประตูพร้อมกับแพะ พิธีกรแนะนำให้คุณเปลี่ยนตัวเลือก การตัดสินใจของคุณ - เห็นด้วยหรือไม่ - ส่งผลต่อโอกาสในการชนะหรือไม่?

เบาะแส

พยายามพิจารณาคนที่เลือกประตูที่แตกต่างกันในกรณีเดียวกัน (เช่น เมื่อรางวัลอยู่หลังประตูหมายเลข 1) ใครจะได้ประโยชน์จากการเปลี่ยนทางเลือก และใครจะไม่ได้?

สารละลาย

ตามที่แนะนำในคำแนะนำเครื่องมือ ให้พิจารณาผู้ที่เลือกต่างกัน สมมติว่ารางวัลอยู่หลังประตู #1 และหลังประตู #2 และ #3 เป็นแพะ สมมติว่าเรามีหกคน และแต่ละประตูถูกเลือกโดยคนสองคน และจากแต่ละคู่ก็เปลี่ยนการตัดสินใจ และอีกคู่หนึ่งไม่ได้เปลี่ยน

โปรดทราบว่าเจ้าของที่พักที่เลือกประตูหมายเลข 1 จะเปิดประตูบานใดบานหนึ่งจากสองบานตามความชอบของเขา ในขณะที่ไม่ว่าจะด้วยวิธีใดก็ตาม ผู้ที่ไม่ได้เปลี่ยนตัวเลือกจะได้รับรถ แต่เป็นคนที่เปลี่ยนตัวเลือกแรกของเขา จะยังคงอยู่โดยไม่มีรางวัล ทีนี้มาดูผู้ที่เลือกประตู #2 และ #3 เนื่องจากมีรถยนต์อยู่หลังประตูหมายเลข 1 เจ้าของที่พักจึงไม่สามารถเปิดได้ ซึ่งทำให้เขาไม่มีทางเลือก - เขาจึงเปิดประตูหมายเลข 3 และหมายเลข 2 ให้พวกเขาตามลำดับ ในเวลาเดียวกัน ผู้ที่เปลี่ยนการตัดสินในแต่ละคู่จะเลือกรางวัลตามผล และผู้ที่ไม่เปลี่ยนแปลงจะไม่เหลืออะไรเลย ดังนั้น จากสามคนที่เปลี่ยนใจ สองคนจะได้รับรางวัล และอีกหนึ่งคนจะได้แพะ ในขณะที่สามคนที่เหลือตัวเลือกเดิมไม่เปลี่ยนแปลง จะมีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะได้รับรางวัล

ควรสังเกตว่าหากรถอยู่หลังประตู #2 หรือ #3 ผลลัพธ์จะเหมือนกัน เฉพาะผู้ชนะเท่านั้นที่จะเปลี่ยนแปลง ดังนั้น สมมติว่าในขั้นต้นแต่ละประตูถูกเลือกด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน เราพบว่าผู้ที่เปลี่ยนตัวเลือกจะได้รับรางวัลบ่อยขึ้นสองเท่า นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่จะชนะในกรณีนี้จะสูงกว่า

ลองดูปัญหานี้จากมุมมองของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น เราจะถือว่าความน่าจะเป็นของตัวเลือกเริ่มต้นของแต่ละประตูนั้นเท่ากัน รวมถึงความน่าจะเป็นที่จะอยู่หลังประตูแต่ละบานของรถ นอกจากนี้ มีประโยชน์ในการสำรองที่ผู้นำ เมื่อเขาสามารถเปิดสองประตู เลือกแต่ละบานด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน จากนั้นปรากฎว่าหลังจากการตัดสินครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่รางวัลจะอยู่หลังประตูที่เลือกคือ 1/3 ในขณะที่ความน่าจะเป็นที่จะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งจากอีกสองบานคือ 2/3 ในเวลาเดียวกัน หลังจากที่เจ้าภาพเปิดหนึ่งในสองประตูที่ "ไม่ได้เลือก" ความน่าจะเป็นทั้งหมดของ 2/3 จะตกอยู่ที่ประตูที่เหลือเพียงบานเดียว ดังนั้นจึงเป็นการสร้างพื้นฐานสำหรับการเปลี่ยนการตัดสิน ซึ่งจะเพิ่มความน่าจะเป็นในการชนะ ถึง 2 เท่า ซึ่งแน่นอนว่าไม่ได้รับประกันในกรณีใดกรณีหนึ่งโดยเฉพาะ แต่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จมากขึ้นในกรณีของการทดลองซ้ำ ๆ ซ้ำ ๆ

คำต่อท้าย

ปัญหา Monty Hall ไม่ใช่การกำหนดครั้งแรกของปัญหานี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในปี 1959 Martin Gardner ได้ตีพิมพ์ในวารสาร วิทยาศาสตร์อเมริกันปัญหาคล้าย “เกี่ยวกับนักโทษสามคน” (Three Prisoners problem) โดยมีรูปแบบดังนี้ “ ในบรรดานักโทษทั้งสามคน คนหนึ่งควรได้รับการอภัยโทษ และสองคนควรถูกประหารชีวิต นักโทษ A เกลี้ยกล่อมผู้คุมให้บอกชื่อของอีกสองคนที่จะถูกประหารชีวิต (ไม่ว่าจะถูกประหารชีวิตทั้งคู่) หลังจากนั้นเมื่อได้รับชื่อ B เขาคิดว่าความน่าจะเป็นที่ความรอดของเขาจะไม่ 1/3 แต่ 1/2 ในเวลาเดียวกัน นักโทษ C อ้างว่าความน่าจะเป็นที่จะหลบหนีของเขากลายเป็น 2/3 ในขณะที่ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงสำหรับ A ข้อใดถูกต้อง»

อย่างไรก็ตาม การ์ดเนอร์ไม่ใช่คนแรก นับตั้งแต่ปี 1889 ในแคลคูลัสของความน่าจะเป็น นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Joseph Bertrand (อย่าสับสนกับ Bertrand Russell ชาวอังกฤษ!) เสนอปัญหาที่คล้ายกัน (ดู Bertrand's box paradox): “ มีกล่องอยู่สามกล่อง แต่ละกล่องบรรจุเหรียญสองเหรียญ: เหรียญทองคำสองเหรียญในกล่องแรก เหรียญเงินสองกล่องในกล่องที่สอง และอีกสองกล่องที่แตกต่างกันในกล่องที่สาม จากกล่องที่สุ่มเลือก เหรียญถูกดึงออกมาแบบสุ่มซึ่งกลายเป็นทองคำ โอกาสที่เหรียญที่เหลืออยู่ในกล่องจะเป็นทองคำเป็นเท่าใด?»

หากคุณเข้าใจวิธีแก้ปัญหาทั้งสามข้อ คุณจะสังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันของแนวคิดได้อย่างง่ายดาย ในทางคณิตศาสตร์ พวกเขาทั้งหมดรวมกันเป็นหนึ่งโดยแนวคิดของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากรู้ว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้น ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าปกติทอยหนึ่งลูกคือ 1/6; อย่างไรก็ตาม หากทราบว่าหมายเลขที่ม้วนเป็นเลขคี่ ความน่าจะเป็นที่จะเป็นหมายเลขหนึ่งคือ 1/3 แล้ว ปัญหา Monty Hall เช่นเดียวกับอีกสองปัญหาที่อ้างถึง แสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขต้องได้รับการจัดการอย่างระมัดระวัง

ปัญหาเหล่านี้มักเรียกว่าความขัดแย้ง: ความขัดแย้งของ Monty Hall, ความขัดแย้งแบบกล่องของ Bertrand (อย่าสับสนอย่างหลังกับความขัดแย้งที่แท้จริงของ Bertrand ที่ระบุในหนังสือเล่มเดียวกันซึ่งพิสูจน์ความคลุมเครือของแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นที่มีอยู่ในขณะนั้น) - ซึ่ง แสดงถึงความขัดแย้งบางอย่าง (เช่น ใน " ความขัดแย้งของคนโกหก" วลี "ข้อความนี้เป็นเท็จ" ขัดแย้งกับกฎหมายของกลางที่แยกออก) อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ไม่มีการขัดแย้งกับการยืนยันอย่างเข้มงวด อย่างไรก็ตาม มีความขัดแย้งที่ชัดเจนกับ ความคิดเห็นของประชาชน” หรือเพียงแค่ “วิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจน” สำหรับปัญหา อันที่จริง คนส่วนใหญ่เมื่อพิจารณาถึงปัญหาแล้ว เชื่อว่าหลังจากเปิดประตูบานใดบานหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่จะพบรางวัลหลังประตูบานใดบานหนึ่งที่เหลืออยู่คือ 1/2 ด้วยการทำเช่นนั้น พวกเขายืนยันว่าไม่มีความแตกต่างไม่ว่าพวกเขาจะเห็นด้วยหรือไม่เห็นด้วยที่จะเปลี่ยนใจ ยิ่งไปกว่านั้น หลายคนพบว่ามันยากที่จะเข้าใจคำตอบอื่นนอกเหนือจากนี้ แม้ว่าจะได้รับการบอกวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดแล้วก็ตาม

ในเดือนธันวาคม พ.ศ. 2506 สถานีโทรทัศน์ NBC ของอเมริกาได้ออกอากาศรายการ Let's Make a Deal (“มาทำข้อตกลงกันเถอะ!”) เป็นครั้งแรก ซึ่งผู้เข้าร่วมซึ่งเลือกจากผู้ชมในสตูดิโอต่อรองราคากันเองและกับเจ้าภาพ เกมหรือเพียงแค่เดาคำตอบสำหรับคำถาม ในตอนท้ายของการออกอากาศ ผู้เข้าร่วมสามารถเล่น "ดีลประจำวัน" ข้างหน้ามีประตูสามบานซึ่งเป็นที่รู้กันว่าด้านหลังบานหนึ่งเป็นรางวัลใหญ่ (เช่น รถยนต์) และด้านหลังอีกสองบานเป็นของกำนัลที่มีค่าน้อยกว่าหรือไร้สาระโดยสิ้นเชิง (เช่น แพะมีชีวิต) . หลังจากที่ผู้เล่นเลือกแล้ว มอนตี ฮอลล์ ผู้ดำเนินรายการได้เปิดประตูบานหนึ่งจากสองบานที่เหลือ โดยแสดงให้เห็นว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง และให้ผู้เข้าร่วมดีใจที่ตนมีโอกาสชนะ

ในปี 1975 Steve Selvin นักวิทยาศาสตร์แห่ง UCLA ถามว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากในขณะนั้นหลังจากเปิดประตูโดยไม่มีรางวัล ผู้เข้าร่วมถูกขอให้เปลี่ยนตัวเลือก โอกาสของผู้เล่นที่จะได้รับรางวัลจะเปลี่ยนไปในกรณีนี้หรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้น จะเป็นไปในทิศทางใด? เขาส่งคำถามที่เกี่ยวข้องในรูปแบบของปัญหาไปยัง American Statistician (“American Statistician”) รวมถึง Monty Hall เอง ซึ่งให้คำตอบที่ค่อนข้างอยากรู้อยากเห็น แม้จะมีคำตอบนี้ (หรืออาจเป็นเพราะคำตอบนี้) ปัญหาก็กลายเป็นที่นิยมภายใต้ชื่อ "Monty Hall problem"

การกำหนดปัญหานี้ที่พบบ่อยที่สุดซึ่งตีพิมพ์ในปี 1990 ในนิตยสาร Parade มีดังนี้:

“ลองจินตนาการว่าคุณได้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณต้องเลือกหนึ่งในสามประตู หลังประตูบานหนึ่งเป็นรถ อีกสองประตูเป็นแพะ คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง เช่น หมายเลข 1 หลังจากนั้นเจ้าของที่พักซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและแพะอยู่ที่ไหน เปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ เช่น หมายเลข 3 ซึ่งด้านหลังมีแพะอยู่ หลังจากนั้นเขาจะถามคุณว่าคุณต้องการเปลี่ยนตัวเลือกและเลือกประตูหมายเลข 2 หรือไม่ โอกาสในการชนะรถของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่หากคุณยอมรับข้อเสนอของเจ้าของที่พักและเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ

หลังจากการตีพิมพ์ เห็นได้ชัดว่าปัญหาถูกกำหนดขึ้นอย่างไม่ถูกต้อง: ไม่ได้กำหนดเงื่อนไขทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ผู้อำนวยความสะดวกอาจทำตามกลยุทธ์ “มอนตี้นรก”: เสนอให้เปลี่ยนตัวเลือกหากผู้เล่นเลือกรถในการเคลื่อนไหวครั้งแรกเท่านั้น เห็นได้ชัดว่าการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นจะนำไปสู่การสูญเสียที่รับประกันในสถานการณ์ดังกล่าว

ที่นิยมมากที่สุดคือปัญหาที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม - ผู้เข้าร่วมเกมรู้กฎต่อไปนี้ล่วงหน้า:

1. รถมีแนวโน้มที่จะวางไว้หลังประตูทั้ง 3 ประตูพอๆ กัน
2. ไม่ว่าในกรณีใด เจ้าภาพมีหน้าที่ต้องเปิดประตูพร้อมกับแพะ (แต่ไม่ใช่ตัวที่ผู้เล่นเลือก) และเสนอให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือก
3. ถ้าผู้นำมีทางเลือกที่จะเปิดประตูสองบาน เขาเลือกบานใดบานหนึ่งที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน

เบาะแส

พยายามพิจารณาคนที่เลือกประตูที่แตกต่างกันในกรณีเดียวกัน (เช่น เมื่อรางวัลอยู่หลังประตูหมายเลข 1) ใครจะได้ประโยชน์จากการเปลี่ยนทางเลือก และใครจะไม่ได้?

สารละลาย

ตามที่แนะนำในคำแนะนำเครื่องมือ ให้พิจารณาผู้ที่เลือกต่างกัน สมมติว่ารางวัลอยู่หลังประตู #1 และหลังประตู #2 และ #3 เป็นแพะ สมมติว่าเรามีหกคน และแต่ละประตูถูกเลือกโดยคนสองคน และจากแต่ละคู่ก็เปลี่ยนการตัดสินใจ และอีกคู่หนึ่งไม่ได้เปลี่ยน

โปรดทราบว่าเจ้าของที่พักที่เลือกประตูหมายเลข 1 จะเปิดประตูบานใดบานหนึ่งจากสองบานตามความชอบของเขา ในขณะที่ไม่ว่าจะด้วยวิธีใดก็ตาม ผู้ที่ไม่ได้เปลี่ยนตัวเลือกจะได้รับรถ แต่เป็นคนที่เปลี่ยนตัวเลือกแรกของเขา จะยังคงอยู่โดยไม่มีรางวัล ทีนี้มาดูผู้ที่เลือกประตู #2 และ #3 เนื่องจากมีรถยนต์อยู่หลังประตูหมายเลข 1 เจ้าของที่พักจึงไม่สามารถเปิดได้ ซึ่งทำให้เขาไม่มีทางเลือก - เขาจึงเปิดประตูหมายเลข 3 และหมายเลข 2 ให้พวกเขาตามลำดับ ในเวลาเดียวกัน ผู้ที่เปลี่ยนการตัดสินในแต่ละคู่จะเลือกรางวัลตามผล และผู้ที่ไม่เปลี่ยนแปลงจะไม่เหลืออะไรเลย ดังนั้น จากสามคนที่เปลี่ยนใจ สองคนจะได้รับรางวัล และอีกหนึ่งคนจะได้แพะ ในขณะที่สามคนที่เหลือตัวเลือกเดิมไม่เปลี่ยนแปลง จะมีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะได้รับรางวัล

ควรสังเกตว่าหากรถอยู่หลังประตู #2 หรือ #3 ผลลัพธ์จะเหมือนกัน เฉพาะผู้ชนะเท่านั้นที่จะเปลี่ยนแปลง ดังนั้น สมมติว่าในขั้นต้นแต่ละประตูถูกเลือกด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน เราพบว่าผู้ที่เปลี่ยนตัวเลือกจะได้รับรางวัลบ่อยขึ้นสองเท่า นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่จะชนะในกรณีนี้จะสูงกว่า

ลองดูปัญหานี้จากมุมมองของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น เราจะถือว่าความน่าจะเป็นของตัวเลือกเริ่มต้นของแต่ละประตูนั้นเท่ากัน รวมถึงความน่าจะเป็นที่จะอยู่หลังประตูแต่ละบานของรถ นอกจากนี้ มีประโยชน์ในการสำรองที่ผู้นำ เมื่อเขาสามารถเปิดสองประตู เลือกแต่ละบานด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน จากนั้นปรากฎว่าหลังจากการตัดสินครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่รางวัลจะอยู่หลังประตูที่เลือกคือ 1/3 ในขณะที่ความน่าจะเป็นที่จะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งจากอีกสองบานคือ 2/3 ในเวลาเดียวกัน หลังจากที่เจ้าภาพเปิดหนึ่งในสองประตูที่ "ไม่ได้เลือก" ความน่าจะเป็นทั้งหมดของ 2/3 จะตกอยู่ที่ประตูที่เหลือเพียงบานเดียว ดังนั้นจึงเป็นการสร้างพื้นฐานสำหรับการเปลี่ยนการตัดสิน ซึ่งจะเพิ่มความน่าจะเป็นในการชนะ ถึง 2 เท่า ซึ่งแน่นอนว่าไม่ได้รับประกันในกรณีใดกรณีหนึ่งโดยเฉพาะ แต่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จมากขึ้นในกรณีของการทดลองซ้ำ ๆ ซ้ำ ๆ

คำต่อท้าย

ปัญหา Monty Hall ไม่ใช่การกำหนดครั้งแรกของปัญหานี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในปี 1959 มาร์ติน การ์ดเนอร์ตีพิมพ์ในวารสาร Scientific American ปัญหาที่คล้ายกัน “เกี่ยวกับนักโทษสามคน” (ปัญหานักโทษสามคน) โดยมีข้อความดังต่อไปนี้: “ในบรรดานักโทษสามคน หนึ่งคนควรได้รับการอภัยโทษ และสองคนควรถูกประหารชีวิต นักโทษ A เกลี้ยกล่อมผู้คุมให้บอกชื่อของอีกสองคนที่จะถูกประหารชีวิต (ไม่ว่าจะถูกประหารชีวิตทั้งคู่) หลังจากนั้นเมื่อได้รับชื่อ B เขาคิดว่าความน่าจะเป็นที่ความรอดของเขาจะไม่ 1/3 แต่ 1/2 ในเวลาเดียวกัน นักโทษ C อ้างว่าความน่าจะเป็นที่จะหลบหนีของเขากลายเป็น 2/3 ในขณะที่ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงสำหรับ A อันไหนถูกต้อง?"

อย่างไรก็ตาม การ์ดเนอร์ไม่ใช่คนแรก นับตั้งแต่ปี 1889 ในแคลคูลัสแห่งความน่าจะเป็น นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Joseph Bertrand (อย่าสับสนกับ Bertrand Russell ชาวอังกฤษ!) เสนอปัญหาที่คล้ายกัน (ดูกล่องที่ขัดแย้งกันของ Bertrand): "มี สามกล่อง แต่ละกล่องบรรจุเหรียญสองเหรียญ: เหรียญทองคำสองเหรียญในกล่องแรก เหรียญเงินสองเหรียญในกล่องที่สอง และอีกสองกล่องที่แตกต่างกันในกล่องที่สาม

หากคุณเข้าใจวิธีแก้ปัญหาทั้งสามข้อ คุณจะสังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันของแนวคิดได้อย่างง่ายดาย ในทางคณิตศาสตร์ พวกเขาทั้งหมดรวมกันเป็นหนึ่งโดยแนวคิดของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากรู้ว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้น ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: ความน่าจะเป็นที่หน่วยหนึ่งจะออกบนลูกเต๋าปกติคือ 1/6; อย่างไรก็ตาม หากทราบว่าหมายเลขที่ม้วนเป็นเลขคี่ ความน่าจะเป็นที่จะเป็นหมายเลขหนึ่งคือ 1/3 แล้ว ปัญหา Monty Hall เช่นเดียวกับอีกสองปัญหาที่อ้างถึง แสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขต้องได้รับการจัดการอย่างระมัดระวัง

ปัญหาเหล่านี้มักเรียกว่าความขัดแย้ง: ความขัดแย้งของ Monty Hall, ความขัดแย้งแบบกล่องของ Bertrand (อย่าสับสนอย่างหลังกับความขัดแย้งที่แท้จริงของ Bertrand ที่ระบุในหนังสือเล่มเดียวกันซึ่งพิสูจน์ความคลุมเครือของแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นที่มีอยู่ในขณะนั้น) - ซึ่ง แสดงถึงความขัดแย้งบางอย่าง (เช่น ใน " ความขัดแย้งของคนโกหก" วลี "ข้อความนี้เป็นเท็จ" ขัดแย้งกับกฎหมายของกลางที่แยกออก) อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ไม่มีการขัดแย้งกับการยืนยันอย่างเข้มงวด แต่มีความขัดแย้งอย่างชัดเจนกับ "ความคิดเห็นของประชาชน" หรือ "วิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจน" ของปัญหา อันที่จริง คนส่วนใหญ่เมื่อพิจารณาถึงปัญหาแล้ว เชื่อว่าหลังจากเปิดประตูบานใดบานหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่จะพบรางวัลหลังประตูบานใดบานหนึ่งที่เหลืออยู่คือ 1/2 ด้วยการทำเช่นนั้น พวกเขายืนยันว่าไม่มีความแตกต่างไม่ว่าพวกเขาจะเห็นด้วยหรือไม่เห็นด้วยที่จะเปลี่ยนใจ ยิ่งไปกว่านั้น หลายคนพบว่ามันยากที่จะเข้าใจคำตอบอื่นนอกเหนือจากนี้ แม้ว่าจะได้รับการบอกวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดแล้วก็ตาม

คำตอบของ Monty Hall ต่อ Steve Selwyn

นายสตีฟ เซลวิน
ผู้ช่วยศาสตราจารย์ด้านชีวสถิติ
มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์

สตีฟที่รัก

ขอบคุณที่ส่งปัญหามาจาก American Statistical

แม้ว่าฉันจะไม่ได้เรียนวิชาสถิติที่มหาวิทยาลัย แต่ฉันรู้ว่าตัวเลขสามารถนำมาใช้เพื่อประโยชน์ของฉันได้เสมอหากต้องการที่จะจัดการกับมัน เหตุผลของคุณไม่ได้คำนึงถึงสถานการณ์สำคัญประการหนึ่ง: หลังจากช่องแรกว่างเปล่า ผู้เข้าร่วมจะไม่สามารถเปลี่ยนตัวเลือกของเขาได้อีกต่อไป ดังนั้นความน่าจะเป็นยังคงเหมือนเดิม: หนึ่งในสาม จริงไหม? และแน่นอนว่าหลังจากกล่องใดกล่องหนึ่งว่างเปล่า โอกาสจะไม่กลายเป็น 50/50 แต่ยังคงเหมือนเดิม - หนึ่งในสาม ดูเหมือนว่าผู้เข้าร่วมจะได้รับโอกาสมากขึ้นเมื่อกำจัดกล่องเดียว ไม่เลย. สองต่อหนึ่งกับเขาเหมือนเดิมและยังคงอยู่ และถ้าคุณมาที่การแสดงของฉันทันที กฎจะยังคงเหมือนเดิมสำหรับคุณ: ไม่มีช่องเปลี่ยนหลังจากการเลือก