Ev › Çeşitli › Fraktal öğeler. Uzay Araştırma Laboratuvarı

Fraktal öğeler. Uzay Araştırma Laboratuvarı

70'lerin sonlarında ortaya çıkan fraktal ve fraktal geometri kavramları, 80'lerin ortalarından itibaren matematikçilerin ve programcıların günlük yaşamına sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Fraktal kelimesi Latince fractus'tan türetilmiştir ve çeviride parçalardan oluşan anlamına gelir. 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından incelediği düzensiz fakat kendine benzer yapıları ifade etmek için önerildi. Fraktal geometrinin doğuşu genellikle Mandelbrot'un 1977'de 'The Fractal Geometry of Nature' adlı kitabının yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. Mandelbrot'un çalışmalarında 1875-1925 döneminde aynı alanda çalışan diğer bilim adamlarının bilimsel sonuçları kullanılmıştır (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Ama ancak bizim zamanımızda onların eserlerini tek bir sistemde birleştirmek mümkündü.
Fraktalların günümüzde bilgisayar grafiklerindeki rolü oldukça büyüktür. Örneğin, çok karmaşık bir şekle sahip çizgileri ve yüzeyleri birkaç katsayı yardımıyla tanımlamak gerektiğinde kurtarmaya gelirler. Bilgisayar grafikleri açısından fraktal geometri, yapay bulutların, dağların ve deniz yüzeyinin oluşturulması için vazgeçilmezdir. aslında bulundu akciğer yolu görüntüleri doğal olanlara çok benzeyen karmaşık Öklid dışı nesnelerin temsilleri.
Fraktalların temel özelliklerinden biri kendine benzerliktir. çok basit durum fraktalın küçük bir kısmı tüm fraktal hakkında bilgi içerir. Mandelbrot tarafından verilen fraktal tanımı şu şekildedir: "Bir fraktal, bir anlamda bütüne benzeyen parçalardan oluşan bir yapıdır."

var Büyük sayı fraktal denilen matematiksel nesneler (Sierpinski üçgeni, Koch kar tanesi, Peano eğrisi, Mandelbrot kümesi ve Lorentz çekicileri). Fraktallar, gerçek dünyanın birçok fiziksel olgusunu ve oluşumunu büyük bir doğrulukla tanımlar: dağlar, bulutlar, çalkantılı (girdap) akımlar, ağaçların kökleri, dalları ve yaprakları, basit geometrik şekillere karşılık gelmekten uzak kan damarları. Benoit Mandelbrot, ufuk açıcı çalışması "Doğanın Fraktal Geometrisi"nde ilk kez dünyamızın fraktal doğasından bahsetti.
Fraktal terimi, Benoit Mandelbrot tarafından 1977'de "Fractals, Form, Chaos and Dimension" adlı temel çalışmasıyla tanıtıldı. Mandelbrot'a göre fraktal kelimesi, fraktalın özünü "kırık", düzensiz bir küme olarak yansıtan Latince fractus - fraksiyonel ve frangere - to break kelimelerinden gelir.

Fraktalların sınıflandırılması.

Tüm fraktal çeşitlerini temsil etmek için, genel kabul görmüş sınıflandırmalarına başvurmak uygundur. Fraktalların üç sınıfı vardır.

1. Geometrik fraktallar.

Bu sınıfın fraktalları en belirgin olanlarıdır. İki boyutlu durumda, jeneratör adı verilen bir sürekli çizgi (veya üç boyutlu durumda yüzey) kullanılarak elde edilirler. Algoritmanın bir adımında, kesikli çizgiyi oluşturan segmentlerin her biri uygun ölçekte kesikli çizgi üreteci ile değiştirilir. Bu işlemin sonsuz tekrarı sonucunda geometrik bir fraktal elde edilir.

Örneğin, bu tür fraktal nesnelerden birini düşünün - Koch üçlü eğrisi.

Triadik Koch eğrisinin inşası.

1 uzunluğunda düz bir doğru parçası alın. tohum. Tohumu 1/3 uzunluğunda üç eşit parçaya bölelim, orta kısmı atalım ve yerine 1/3 uzunluğunda iki bakladan oluşan kırık bir çizgi koyalım.

Toplam uzunluğu 4/3 olan 4 bağlantıdan oluşan kırık bir çizgi alıyoruz - sözde birinci nesil.

Yeni nesil Koch eğrisine geçmek için her halkanın orta kısmını atıp değiştirmek gerekir. Buna göre, ikinci neslin uzunluğu 16/9, üçüncü - 64/27 olacaktır. bu işlemi sonsuza kadar devam ettirirseniz, sonuç üçlü bir Koch eğrisi olacaktır.

Şimdi kutsal üçlü Koch eğrisini ele alalım ve fraktallara neden "canavar" dendiğini öğrenelim.

İlk olarak, bu eğrinin uzunluğu yoktur - daha önce gördüğümüz gibi, nesillerin sayısıyla birlikte uzunluğu sonsuza gitme eğilimindedir.

İkincisi, bu eğriye bir teğet oluşturmak imkansızdır - noktalarının her biri, türevin olmadığı bir bükülme noktasıdır - bu eğri düzgün değildir.

Uzunluk ve pürüzsüzlük, hem Öklid geometrisi hem de Lobachevsky ve Riemann geometrisi tarafından incelenen eğrilerin temel özellikleridir. Triadik Koch eğrisine geleneksel yöntemler geometrik analiz uygulanamaz olduğu ortaya çıktı, bu nedenle Koch eğrisinin bir canavar olduğu ortaya çıktı - geleneksel geometrilerin pürüzsüz sakinleri arasında bir "canavar".

"Ejderha" Harter-Hateway'in inşası.

Başka bir fraktal nesne elde etmek için yapım kurallarını değiştirmeniz gerekir. Üreten eleman, dik açılarla bağlanmış iki eşit parça olsun. Sıfır oluşturmada, açı üstte olacak şekilde birim segmenti bu üretici elemanla değiştiririz. Böyle bir değiştirme ile halkanın ortasında bir kayma meydana geldiğini söyleyebiliriz. inşa ederken sonraki nesiller kural yerine getirilir: soldaki ilk bağlantı, bir üretici eleman ile değiştirilir, böylece bağlantının ortası hareket yönünün soluna kaydırılır ve sonraki bağlantılar değiştirilirken, orta noktaların yer değiştirme yönleri segmentlerin dönüşümlü olması gerekir. Şekil, yukarıda açıklanan ilkeye göre oluşturulmuş eğrinin ilk birkaç neslini ve 11. neslini göstermektedir. n'nin sonsuza eğilimli olduğu eğriye Harter-Hateway ejderi denir.
Bilgisayar grafiklerinde, ağaç ve çalıların görüntüleri elde edilirken geometrik fraktalların kullanılması gereklidir. İki boyutlu geometrik fraktallar, üç boyutlu dokular (bir nesnenin yüzeyindeki desenler) oluşturmak için kullanılır.

2. Cebirsel fraktallar

Bu, en büyük fraktal grubudur. n-boyutlu uzaylarda doğrusal olmayan işlemler kullanılarak elde edilirler. İki boyutlu süreçler en çok incelenenlerdir. Doğrusal olmayan yinelemeli bir süreci ayrı bir dinamik sistem olarak yorumlamak, bu sistemlerin teorisinin terminolojisini kullanabilir: faz portresi, sabit durum süreci, çekici, vb.
Doğrusal olmayan dinamik sistemlerin birkaç kararlı duruma sahip olduğu bilinmektedir. Belirli sayıda iterasyondan sonra dinamik sistemin kendini içinde bulduğu durum, başlangıç durumuna bağlıdır. Bu nedenle, her kararlı durum (veya dedikleri gibi, bir çekici), sistemin mutlaka dikkate alınan nihai durumlara düşeceği belirli bir başlangıç durumları alanına sahiptir. Böylece, sistemin faz uzayı, çekicilerin çekim alanlarına bölünmüştür. Faz uzayı iki boyutlu ise çekim bölgeleri farklı renklerle renklendirilerek bu sistemin renkli faz portresi elde edilebilir (yinelemeli süreç). Renk seçim algoritmasını değiştirerek, süslü çok renkli desenlerle karmaşık fraktal desenler elde edebilirsiniz. Matematikçiler için bir sürpriz, ilkel algoritmalar kullanarak çok karmaşık önemsiz olmayan yapılar üretme yeteneğiydi.

Mandelbrot seti.

Örnek olarak Mandelbrot setini ele alalım. Yapım algoritması oldukça basittir ve basit bir yinelemeli ifadeye dayanır: Z = Z[i] * Z[i] + C, Nerede Zi Ve C karmaşık değişkenlerdir. Yinelemeler, karmaşık düzlemin bir alt kümesi olan dikdörtgen veya kare bir bölgeden her bir başlangıç noktası için gerçekleştirilir. Yinelemeli süreç şuna kadar devam eder: Z[i] merkezi (0,0) noktasında bulunan 2 yarıçaplı dairenin ötesine geçmez (bu, dinamik sistemin çekicisinin sonsuzda olduğu anlamına gelir) veya yeterince fazla sayıda yinelemeden sonra (örneğin , 200-500) Z[i] daire üzerinde bir noktada birleşir. İterasyon sayısına bağlı olarak Z[i] dairenin içinde kaldı, noktanın rengini ayarlayabilirsiniz C(Eğer Z[i] yeterince fazla sayıda yineleme için dairenin içinde kalır, yineleme işlemi durur ve bu tarama noktası siyaha boyanır).

3. Stokastik fraktallar

Bir başka iyi bilinen fraktal sınıfı, yinelemeli bir süreçte parametrelerinden herhangi birinin rastgele değiştirilmesi durumunda elde edilen stokastik fraktallardır. Bu, doğal olanlara çok benzeyen nesnelerle sonuçlanır - asimetrik ağaçlar, girintili kıyı şeritleri, vb. Arazi ve deniz yüzeyinin modellenmesinde iki boyutlu stokastik fraktallar kullanılmaktadır.
Fraktalların başka sınıflandırmaları da vardır, örneğin, fraktalların deterministik (cebirsel ve geometrik) ve deterministik olmayan (stokastik) olarak bölünmesi.

Fraktalların kullanımı hakkında

Her şeyden önce, fraktallar, en basit formüller ve algoritmaların yardımıyla olağanüstü güzellik ve karmaşıklığın resimleri elde edildiğinde, inanılmaz matematiksel sanatın bir alanıdır! Oluşturulan görüntülerin konturlarında genellikle yapraklar, ağaçlar ve çiçekler tahmin edilir.

Fraktalların en güçlü uygulamalarından bazıları bilgisayar grafikleri. Birincisi, görüntülerin fraktal olarak sıkıştırılması ve ikincisi, manzaraların, ağaçların, bitkilerin inşası ve fraktal dokuların oluşturulmasıdır. Modern fizik ve mekanik, fraktal nesnelerin davranışını incelemeye yeni başlıyor. Ve tabii ki, fraktallar doğrudan matematiğin kendisinde uygulanır.
Fraktal görüntü sıkıştırma algoritmalarının avantajları, paketlenmiş dosyanın çok küçük boyutu ve kısa görüntü kurtarma süresidir. Fraktal olarak paketlenmiş resimler, pikselleşme görünümü olmadan ölçeklenebilir. Ancak sıkıştırma işlemi uzun sürer ve bazen saatlerce sürer. Kayıplı fraktal paketleme algoritması, sıkıştırma düzeyini jpeg formatına benzer şekilde ayarlamanıza olanak tanır. Algoritma, bazı küçük parçalara benzer şekilde görüntünün büyük parçalarını aramaya dayanmaktadır. Ve sadece hangi parçanın hangi parçaya benzediği çıktı dosyasına yazılır. Sıkıştırırken, genellikle kare bir ızgara kullanılır (parçalar karedir), bu da resmi geri yüklerken hafif bir açısallığa yol açar, altıgen bir ızgara böyle bir dezavantajdan muaftır.
Yinelenen, fraktal ve "dalga" (jpeg gibi) kayıpsız sıkıştırmayı birleştiren "Sting" adlı yeni bir görüntü formatı geliştirdi. Yeni biçim, daha sonra yüksek kaliteli ölçeklendirme olasılığı olan görüntüler oluşturmanıza olanak tanır ve grafik dosyalarının hacmi, sıkıştırılmamış görüntülerin hacminin% 15-20'sidir.
Fraktalların dağlara, çiçeklere ve ağaçlara benzeme eğilimi, bazıları tarafından istismar edilmektedir. grafik editörleri 3D stüdyosu MAX'tan fraktal bulutlar, World Builder'daki fraktal dağlar gibi. Fraktal ağaçlar, dağlar ve bütün manzaralar verilir basit formüller, programlaması kolaydır ve yaklaşıldığında ayrı üçgenlere ve küplere bölünmez.
Matematiğin kendisinde fraktalların kullanımını göz ardı edemezsiniz. Küme teorisinde, Cantor seti, mükemmel hiçbir yerde yoğun olmayan kümelerin varlığını kanıtlar; ölçü teorisinde, kendine özgü "Cantor merdiveni" işlevi, tekil ölçü dağıtım işlevinin iyi bir örneğidir.
Mekanik ve fizikte, fraktallar nedeniyle kullanılır. benzersiz özellik birçok doğa nesnesinin ana hatlarını tekrarlayın. Fraktallar, ağaçlara, dağ yüzeylerine ve yarıklara, çizgi parçaları veya çokgenlerle (aynı miktarda depolanmış veriyle) yapılan yaklaşımlardan daha yüksek doğrulukla yaklaşmanıza olanak tanır. Doğal nesneler gibi fraktal modeller de "pürüzlülüğe" sahiptir ve bu özellik, modelde keyfi olarak büyük bir artışla korunur. Fraktallar üzerinde tekdüze bir ölçümün varlığı, integral almayı, potansiyel teoriyi, halihazırda incelenen denklemlerde standart nesneler yerine bunları kullanmayı mümkün kılar.
Fraktal yaklaşım ile kaos, mavi düzensizlik olmaktan çıkar ve ince bir yapı kazanır. Fraktal bilim henüz çok genç ve önünde büyük bir gelecek var. Fraktalların güzelliği tükenmekten çok uzak ve bize yine de pek çok şaheser verecek - göze hoş gelenler ve zihne gerçek zevk verenler.

Fraktal oluşturma hakkında

Ardışık yaklaşım yöntemi

Bu resme bakıldığında, kendine benzer bir fraktalın (bu durumda Sierpinski piramidi) nasıl inşa edilebileceğini anlamak zor değil. Sıradan bir piramit (tetrahedron) almamız, ardından ortasını (oktahedron) kesmemiz ve bunun sonucunda dört küçük piramit elde etmemiz gerekiyor. Her biriyle aynı işlemi gerçekleştiriyoruz vb. Bu biraz naif ama açıklayıcı bir açıklama.

Yöntemin özünü daha kesin olarak ele alalım. Bazı IFS sistemi olsun, yani kasılma haritalama sistemi S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (örneğin, piramidimiz için eşlemeler S i (x)=1/2*x+o i , burada o i şöyle görünür) dörtyüzlünün köşeleri, i=1,..,4). Sonra R n'de bir kompakt A 1 kümesi seçiyoruz (bizim durumumuzda bir tetrahedron seçiyoruz). Ve tümevarımla A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) kümelerinin sırasını belirleriz. Artan k ile A k kümelerinin sistemin gerekli çekicisine yaklaştığı bilinmektedir. S.

Bu yinelemelerin her birinin bir çekici olduğuna dikkat edin. yinelenen yinelenen işlevler sistemi(İngilizce terim DigraphIFS, RIF'ler ve ayrıca Grafiğe yönelik IFS) ve bu nedenle programımızla oluşturmaları kolaydır.

Nokta veya olasılık yöntemiyle inşaat

Bu, bir bilgisayarda uygulanması en kolay yöntemdir. Basit olması için, düz bir öz çekim kümesi durumunu düşünün. Öyleyse izin ver (S

) bazı afin kasılmalar sistemidir. Eşlemeler S

şu şekilde temsil edilebilir: S

2x2 ve o boyutunda sabit matris

İki boyutlu vektör sütunu.

İlk eşleme S 1'in sabit bir noktasını başlangıç noktası olarak alalım:
x:=o1;
Burada tüm sabit daralma noktaları S 1 ,..,S m'nin fraktala ait olduğu gerçeğini kullanıyoruz. Başlangıç noktası olarak rastgele bir nokta seçilebilir ve onun tarafından oluşturulan noktaların sırası bir fraktala küçülür, ancak ekranda fazladan birkaç nokta belirir.
Ekrandaki x=(x 1 ,x 2) noktasına dikkat edin:
putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
1'den m'ye kadar rastgele bir j sayısı seçiyoruz ve x noktasının koordinatlarını yeniden hesaplıyoruz:
j:=Rastgele(m)+1;
x:=Sj(x);
Adım 2'ye geçiyoruz veya yeterince fazla sayıda yineleme yaptıysak duruyoruz.

Not. Eşlemelerin sıkıştırma katsayıları S i farklıysa, fraktal eşit olmayan noktalarla doldurulacaktır. Eşlemeler S i benzerlikler ise, algoritma biraz karmaşıklaştırılarak bu önlenebilir. Bunu yapmak için, algoritmanın 3. adımında, 1'den m'ye j sayısı p 1 =r 1 s ,..,p m =r ms olasılıklarıyla seçilmelidir, burada r i eşlemelerin daralma katsayılarını gösterir S i ve s sayısı (benzerlik boyutu olarak adlandırılır) r 1 s +...+r m s =1 denkleminden bulunur. Bu denklemin çözümü, örneğin Newton yöntemiyle bulunabilir.

Fraktallar ve algoritmaları hakkında

Fraktal, Latince "fractus" sıfatından gelir ve çeviride parçalardan oluşan anlamına gelir ve karşılık gelen Latince "frangere" fiili, kırmak, yani düzensiz parçalar oluşturmak anlamına gelir. 70'lerin sonlarında ortaya çıkan fraktal ve fraktal geometri kavramları, 80'lerin ortalarından itibaren matematikçilerin ve programcıların günlük yaşamına sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Terim, 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından incelediği düzensiz fakat kendine benzer yapıları ifade etmek için önerildi. Fraktal geometrinin doğuşu genellikle Mandelbrot'un "Doğanın Fraktal Geometrisi" - "Doğanın Fraktal Geometrisi" adlı kitabının 1977'de yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. Çalışmalarında 1875-1925 döneminde aynı alanda çalışmış diğer bilim adamlarının (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) bilimsel sonuçlarını kullanmıştır.

Ayarlamalar

H.-O.'nun kitabında önerilen algoritmalarda bazı ayarlamalar yapmama izin verin. Paytgen ve P.H. Richter "Fraktalların Güzelliği" M. 1993, tamamen yazım hatalarını ortadan kaldırmak ve süreçleri anlamayı kolaylaştırmak için, çünkü onları inceledikten sonra pek çok şey benim için bir sır olarak kaldı. Ne yazık ki, bu "anlaşılabilir" ve "basit" algoritmalar, sallanan bir yaşam tarzına öncülük ediyor.

Fraktalların inşası, z \u003d z 2 + c geri bildirimli karmaşık bir sürecin belirli bir doğrusal olmayan işlevine dayanır, çünkü z ve c karmaşık sayılardır, o zaman z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, gereklidir daha gerçekçi hale getirmek için onu x ve y'ye ayrıştırmak sıradan adam uçak:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Tüm çiftlerden oluşan düzlem (x, y) sabit değerlerle kabul edilebilir. p ve q, hem de dinamik olanlar için. İlk durumda, düzlemin tüm noktalarını (x, y) yasaya göre sıralamak ve yinelemeli süreçten çıkmak için gerekli olan fonksiyonun tekrar sayısına bağlı olarak bunları renklendirmek veya izin verilen maksimum değerde renklendirmemek (siyah) tekrar sayısı arttıkça Julia setinin görüntüsünü elde ederiz. Aksine, ilk değer çiftini (x, y) belirler ve p ve q parametrelerinin dinamik olarak değişen değerleri ile renk kaderini izlersek, o zaman Mandelbrot kümeleri adı verilen görüntüler elde ederiz.

Fraktal renklendirme algoritmaları sorusu üzerine.

Genellikle setin gövdesi siyah bir alan olarak temsil edilir, ancak siyah rengin başka herhangi bir renkle değiştirilebileceği açıktır, ancak bu da ilginç olmayan bir sonuçtur. Tüm renklere boyanmış bir setin görüntüsünü elde etmek, döngüsel işlemler kullanılarak çözülemeyecek bir iştir, çünkü kümenin gövdesini oluşturan iterasyon sayısı mümkün olan maksimuma eşittir ve her zaman aynıdır. Seti renklendirin farklı renkler belki de renk numarası olarak döngüden çıkış koşulunu (z_magnitude) kontrol etmenin sonucunu kullanarak veya ona benzer, ancak diğer matematiksel işlemlerle.

"Fraktal mikroskop" uygulaması

sınır fenomenlerini göstermek için.

Çekiciler, düzlemde hakimiyet mücadelesine öncülük eden merkezlerdir. Çekiciler arasında dönen bir deseni temsil eden bir sınır vardır. Kümenin sınırları içindeki değerlendirme ölçeğini artırarak, doğal dünyada yaygın bir fenomen olan deterministik kaosun durumunu yansıtan önemsiz olmayan modeller elde edilebilir.

Coğrafyacılar tarafından incelenen nesneler, uygulamalarının zor bir pratik görev haline gelmesiyle bağlantılı olarak, çok karmaşık bir şekilde düzenlenmiş sınırlara sahip bir sistem oluşturur. Doğal kompleksler, bölge uzaklaştıkça bölge üzerindeki etki güçlerini kaybeden çekiciler olarak hareket eden tipik çekirdeklere sahiptir.

Mandelbrot ve Julia setleri için fraktal bir mikroskop kullanarak, değerlendirme ölçeğinden bağımsız olarak eşit derecede karmaşık olan sınır süreçleri ve fenomenler hakkında bir fikir oluşturabilir ve böylece bir uzmanın algısını dinamik ve görünüşte kaotik bir toplantı için hazırlayabilir. fraktal geometri doğasını anlamak için uzay ve zamanda doğal nesne. Rengarenk renkler ve fraktal müzik kesinlikle öğrencilerin zihinlerinde derin bir iz bırakacaktır.

Fraktallara binlerce yayın ve devasa İnternet kaynakları ayrılmıştır, ancak bilgisayar biliminden uzak birçok uzman için bu terim tamamen yeni görünmektedir. Çeşitli bilgi alanlarındaki uzmanların ilgi alanı olan fraktallar, bilgisayar bilimi dersinde uygun yerlerini almalıdır.

örnekler

SIERPINSKI IZGARA

Bu, Mandelbrot'un fraktal boyutlar ve yinelemeler kavramlarını geliştirirken denediği fraktallardan biridir. Büyük üçgenin orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan üçgenler, ana üçgenden kesilerek daha fazla delikli bir üçgen oluşturulur. Bu durumda, başlatıcı büyük bir üçgendir ve şablon, daha büyük olana benzer üçgenleri kesmek için bir işlemdir. Sıradan bir dörtyüzlü kullanarak ve daha küçük dörtyüzlüleri keserek bir üçgenin 3B versiyonunu da elde edebilirsiniz. Böyle bir fraktalın boyutu ln3/ln2 = 1.584962501'dir.

Elde etmek üzere Sierpinski halısı, bir kare alın, dokuz kareye bölün ve ortadakini kesin. Kalan küçük kareler için de aynısını yapacağız. Sonunda, alanı olmayan, ancak sonsuz bağlantılara sahip düz bir fraktal ızgara oluşur. Mekansal biçiminde, Sierpinski süngeri, her geçiş elemanının sürekli olarak kendi türüyle değiştirildiği bir geçiş formları sistemine dönüştürülür. Bu yapı, kemik dokusunun bir bölümüne çok benzer. Bir gün bu tür tekrar eden yapılar, bina yapılarının bir unsuru haline gelecektir. Mandelbrot, statik ve dinamiklerinin yakından incelenmeyi hak ettiğine inanıyor.

KOÇ EĞRİSİ

Koch eğrisi, en tipik deterministik fraktallardan biridir. On dokuzuncu yüzyılda, Georg Kontor ve Karl Weierstraße'nin çalışmalarını incelerken, alışılmadık davranışlara sahip bazı garip eğrilerin tanımlarıyla karşılaşan Helge von Koch adlı bir Alman matematikçi tarafından icat edildi. Başlatıcı - doğrudan hat. Jeneratör, kenarları daha büyük segmentin uzunluğunun üçte birine eşit olan bir eşkenar üçgendir. Bu üçgenler her parçanın ortasına tekrar tekrar eklenir. Mandelbrot, araştırmasında Koch eğrileri ile birçok deney yaptı ve bir dörtyüzlü kullanarak ve yüzlerinin her birine daha küçük dörtyüzlüler ekleyerek Koch Adaları, Koch Haçları, Koch Kar Taneleri gibi şekiller ve hatta Koch eğrisinin üç boyutlu temsillerini elde etti. Koch eğrisinin boyutu ln4/ln3 = 1,261859507'dir.

Fraktal Mandelbrot

Bu, oldukça sık gördüğünüz Mandelbrot seti DEĞİLDİR. Mandelbrot seti doğrusal olmayan denklemlere dayalıdır ve karmaşık bir fraktaldır. Bu aynı zamanda, bu nesne ona benzemese de, Koch eğrisinin bir çeşididir. Başlatıcı ve oluşturucu da Koch eğrisi ilkesine dayalı olarak fraktallar oluşturmak için kullanılanlardan farklıdır, ancak fikir aynı kalır. Eşkenar üçgenleri bir eğri parçasına iliştirmek yerine, kareler bir kareye iliştirilir. Bu fraktal, her yinelemede ayrılan alanın tam olarak yarısını kaplaması nedeniyle, 3/2 = 1.5 gibi basit bir fraktal boyuta sahiptir.

DARER'IN BEŞGENİ

Bir fraktal, birbirine sıkıştırılmış bir grup beşgen gibi görünür. Aslında, başlatıcı olarak bir beşgen ve jeneratör olarak sözde altın orana (1.618033989 veya 1/(2cos72)) tam olarak eşit olan en büyük kenarın en küçüğüne oranı olan ikizkenar üçgenler kullanılarak oluşturulur. . Bu üçgenler, her bir beşgenin ortasından kesilerek, bir büyük beşgene yapıştırılmış 5 küçük beşgen gibi görünen bir şekil elde edilir.

Bu fraktalın bir varyantı, başlatıcı olarak bir altıgen kullanılarak elde edilebilir. Bu fraktal, Davut Yıldızı olarak adlandırılır ve Koch'un Kar Tanesi'nin altıgen versiyonuna oldukça benzer. Darer beşgeninin fraktal boyutu ln6/ln(1+g)'dir; burada g, üçgenin büyük kenarının uzunluğunun küçük kenarının uzunluğuna oranıdır. Bu durumda g Altın Orandır, yani fraktal boyut yaklaşık olarak 1,86171596'dır. Davut Yıldızı'nın fraktal boyutu ln6/ln3 veya 1.630929754'tür.

karmaşık fraktallar

Aslında, herhangi bir karmaşık fraktalın küçük bir alanını yakınlaştırırsanız ve ardından aynısını o alanın küçük bir alanında yaparsanız, iki büyütme birbirinden önemli ölçüde farklı olacaktır. İki resim detay olarak çok benzer olacak, ancak tamamen aynı olmayacaklar.

Şekil 1. Mandelbrot setinin yaklaşımı

Örneğin, burada gösterilen Mandelbrot setinin resimlerini karşılaştırın, bunlardan biri diğerinin bazı alanlarını artırarak elde edildi. Gördüğünüz gibi, kesinlikle aynı değiller, ancak her ikisinde de yanan dokunaçların farklı yönlere gittiği siyah bir daire görüyoruz. Bu öğeler, Mandelbrot kümesinde azalan oranda süresiz olarak tekrarlanır.

Deterministik fraktallar doğrusaldır, karmaşık fraktallar ise doğrusal değildir. Doğrusal olmayan bu fraktallar, Mandelbrot'un doğrusal olmayan cebirsel denklemler dediği şey tarafından üretilir. İyi örnek ikinci dereceden Mandelbrot ve Julia kümelerini oluşturmak için kullanılan denklem olan Zn+1=ZnІ + C işlemidir. Bu matematiksel denklemleri çözmek, karmaşık ve hayali sayıları içerir. Denklem karmaşık düzlemde grafiksel olarak yorumlandığında, düz çizgilerin eğrilere dönüştüğü, kendine benzerlik etkilerinin çeşitli ölçek seviyelerinde ortaya çıktığı, ancak deformasyonların olmadığı garip bir şekil ortaya çıkıyor. Aynı zamanda, tüm resim bir bütün olarak tahmin edilemez ve çok kaotiktir.

Resimlere bakarak görebileceğiniz gibi, karmaşık fraktallar gerçekten de çok karmaşıktır ve bilgisayar yardımı olmadan oluşturulması imkansızdır. Renkli sonuçlar elde etmek için bu bilgisayarda güçlü bir matematik yardımcı işlemcisi ve yüksek çözünürlüklü bir monitör bulunmalıdır. Deterministik fraktalların aksine, karmaşık fraktallar 5-10 iterasyonda hesaplanmazlar. Bilgisayar ekranındaki hemen hemen her nokta ayrı bir fraktal gibidir. Matematiksel işlem sırasında, her nokta ayrı bir model olarak ele alınır. Her nokta belirli bir değere karşılık gelir. Denklem her nokta için yerleşiktir ve gerçekleştirilir, örneğin 1000 yineleme. Ev bilgisayarları için kabul edilebilir bir zaman aralığında nispeten bozulmamış bir görüntü elde etmek için, bir nokta için 250 iterasyon gerçekleştirmek mümkündür.

Bugün gördüğümüz fraktalların çoğu güzel renklere sahip. Belki de fraktal görüntüler çok büyüdü estetik değer tam olarak renk şemaları nedeniyle. Denklem hesaplandıktan sonra, bilgisayar sonuçları analiz eder. Sonuçlar sabit kalırsa veya belirli bir değer etrafında dalgalanırsa, nokta genellikle siyaha döner. Bir adımdaki değer sonsuza gidiyorsa, nokta farklı bir renge, belki maviye veya kırmızıya boyanır. Bu işlem sırasında bilgisayar tüm hareket hızlarına renk atar.

Genellikle, hızlı hareket eden noktalar kırmızıya boyanırken, daha yavaş olanlar sarıya vb. koyu noktalar muhtemelen en kararlı olanlardır.

Karmaşık fraktallar, deterministik fraktallardan, sonsuz derecede karmaşık olmaları ve yine de çok basit bir formülle üretilebilmeleri bakımından farklılık gösterir. Deterministik fraktallar formüllere veya denklemlere ihtiyaç duymazlar. Sadece biraz çizim kağıdı alın ve herhangi bir zorluk çekmeden 3 veya 4 yinelemeye kadar bir Sierpinski eleği oluşturabilirsiniz. Bir sürü Julia ile yapmaya çalışın! Gidip İngiltere kıyı şeridinin uzunluğunu ölçmek daha kolay!

MANDERBOT TAKIMI

Şekil 2. Mandelbrot seti

Mandelbrot ve Julia kümeleri, muhtemelen karmaşık fraktallar arasında en yaygın olan iki kümedir. Birçok bulunabilirler bilimsel dergiler, kitap kapakları, kartpostallar ve bilgisayar ekran koruyucuları. Benoit Mandelbrot tarafından inşa edilen Mandelbrot seti, muhtemelen insanların fraktal kelimesini duyduklarında sahip oldukları ilk çağrışımdır. Parıldayan ağaç ve daire alanlarının eklendiği bir karta benzeyen bu fraktal, Zn+1=Zna+C basit formülüyle üretilir; burada Z ve C karmaşık sayılar ve a pozitif bir sayıdır.

En sık görülen Mandelbrot kümesi 2. derece Mandelbrot kümesidir, yani a=2. Mandelbrot kümesinin sadece Zn+1=ZnІ+C değil, formüldeki üssü herhangi bir pozitif sayı olabilen bir fraktal olması birçok insanı yanılttı. Bu sayfada, a üssünün çeşitli değerleri için Mandelbrot kümesinin bir örneğini görüyorsunuz.
Şekil 3. a=3.5'te kabarcıkların görünümü

Z=Z*tg(Z+C) işlemi de popülerdir. Teğet fonksiyonunun dahil edilmesi sayesinde, elmayı andıran bir alanla çevrili Mandelbrot seti elde edilir. Kosinüs işlevini kullanırken, hava kabarcığı efektleri elde edilir. Kısacası, çeşitli güzel resimler üretmek için Mandelbrot setini ince ayar yapmanın sonsuz sayıda yolu vardır.

ÇOKLU JULİA

Şaşırtıcı bir şekilde, Julia setleri Mandelbrot seti ile aynı formüle göre oluşturulmuştur. Julia seti, sete adını veren Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından icat edildi. Mandelbrot ve Julia setleriyle görsel olarak tanıştıktan sonra ortaya çıkan ilk soru, "her iki fraktal da aynı formülle üretiliyorsa, neden bu kadar farklılar?" Önce Julia setinin resimlerine bakın. İşin garibi, farklı Julia setleri var. Farklı başlangıç noktaları kullanarak bir fraktal çizerken (yineleme sürecini başlatmak için), çeşitli görüntüler. Bu sadece Julia seti için geçerlidir.

Şekil 4. Julia seti

Resimde görülmese de, bir Mandelbrot fraktalı aslında birbirine bağlı bir grup Julia fraktalından oluşur. Mandelbrot kümesinin her noktası (veya koordinatı) bir Julia fraktalına karşılık gelir. Z=ZI+C denkleminde başlangıç değerleri olarak bu noktalar kullanılarak Julia setleri oluşturulabilir. Ancak bu, Mandelbrot fraktalında bir nokta seçip onu arttırırsanız, bir Julia fraktalı elde edebileceğiniz anlamına gelmez. Bu iki nokta aynıdır, ancak yalnızca matematiksel anlamda. Bu noktayı alıp bu formüle göre hesaplarsak, Mandelbrot fraktalının belli bir noktasına karşılık gelen Julia fraktalını elde edebiliriz.

Tüm fraktal çeşitlerini temsil etmek için, genel kabul görmüş sınıflandırmalarına başvurmak uygundur.

2.1 Geometrik fraktallar

Bu sınıfın fraktalları en belirgin olanlarıdır. İki boyutlu durumda, adı verilen bir sürekli çizgi (veya üç boyutlu durumda yüzey) kullanılarak elde edilirler. jeneratör. Algoritmanın bir adımında, kesikli çizgiyi oluşturan segmentlerin her biri, uygun ölçekte kesikli çizgi üreteci ile değiştirilir. Bu işlemin sonsuz tekrarı sonucunda geometrik bir fraktal elde edilir.

Şekil 1. Üçlü Koch eğrisinin oluşturulması.

Bu fraktal nesnelerden birini düşünün - üçlü Koch eğrisi. Eğrinin inşası, birim uzunluktaki bir segmentle başlar (Şekil 1) - bu, Koch eğrisinin 0. neslidir. Ayrıca, her bağlantı (sıfır nesilde bir segment) şu şekilde değiştirilir: türevi 1 ile gösterilen n=1. Böyle bir yer değiştirme sonucunda yeni nesil Koch eğrisi elde edilir. 1. nesilde bu, her birinin uzunluğu 4 düz bağlantıdan oluşan bir eğridir. 1/3 . 3. nesli elde etmek için aynı işlemler gerçekleştirilir - her bağlantı, azaltılmış bir biçimlendirme elemanı ile değiştirilir. Bu nedenle, sonraki her nesli elde etmek için, önceki neslin tüm bağlantılarının azaltılmış bir biçimlendirme elemanı ile değiştirilmesi gerekir. eğri N herhangi bir sonlu için inci nesil N isminde prefraktal. Şekil 1, eğrinin beş neslini göstermektedir. -de N sonsuza giden Koch eğrisi fraktal bir nesneye dönüşür.

Şekil 2. Harter-Hateway'in "ejderhasının" inşası.

Başka bir fraktal nesne elde etmek için yapım kurallarını değiştirmeniz gerekir. Üreten eleman, dik açılarla bağlanmış iki eşit parça olsun. Sıfır oluşturmada, açı üstte olacak şekilde birim segmenti bu üretici elemanla değiştiririz. Böyle bir değiştirme ile halkanın ortasında bir kayma meydana geldiğini söyleyebiliriz. Sonraki nesilleri oluştururken, kural yerine getirilir: soldaki ilk bağlantı, bağlantının ortası hareket yönünün soluna kaydırılacak şekilde bir üretici eleman ile değiştirilir ve sonraki bağlantılar değiştirilirken, segmentlerin orta noktalarının yer değiştirme yönleri değişmelidir. Şekil 2, yukarıda açıklanan ilkeye göre oluşturulmuş eğrinin ilk birkaç neslini ve 11. neslini göstermektedir. Sınırlayıcı fraktal eğri (en N sonsuza eğilimli) denir Harter-Hateway ejderhası .

Bilgisayar grafiklerinde, ağaçların, çalıların ve kıyı şeridinin görüntüleri elde edilirken geometrik fraktalların kullanılması gereklidir. Hacimsel dokular (bir nesnenin yüzeyindeki desenler) oluşturmak için iki boyutlu geometrik fraktallar kullanılır.

2.2 cebirsel fraktallar

Bu, en büyük fraktal grubudur. Doğrusal olmayan süreçler kullanılarak elde edilirler. N boyutlu uzaylar. İki boyutlu süreçler en çok incelenenlerdir. Doğrusal olmayan yinelemeli bir süreci ayrı bir dinamik sistem olarak yorumlamak, bu sistemlerin teorisinin terminolojisini kullanabilir: faz portresi, kararlı hal, cazibe merkezi vesaire.

Doğrusal olmayan dinamik sistemlerin birkaç kararlı duruma sahip olduğu bilinmektedir. Belirli sayıda iterasyondan sonra dinamik sistemin kendini içinde bulduğu durum, başlangıç durumuna bağlıdır. Bu nedenle, her kararlı durum (veya dedikleri gibi, bir çekici), sistemin mutlaka dikkate alınan nihai durumlara düşeceği belirli bir başlangıç durumları alanına sahiptir. Böylece sistemin faz uzayı ikiye ayrılır. çekim alanlarıçekiciler Faz uzayı iki boyutlu ise çekim bölgeleri farklı renklerle boyanarak elde edilebilir. renkli faz portresi bu sistem (yinelemeli süreç). Renk seçim algoritmasını değiştirerek, süslü çok renkli desenlerle karmaşık fraktal desenler elde edebilirsiniz. Matematikçiler için bir sürpriz, ilkel algoritmalar kullanarak çok karmaşık önemsiz olmayan yapılar üretme yeteneğiydi.

Şekil 3. Mandelbrot seti.

Örnek olarak Mandelbrot setini ele alalım (bkz. Şekil 3 ve Şekil 4). Yapım algoritması oldukça basittir ve basit bir yinelemeli ifadeye dayanır:

Z = Z[Ben] * Z[ben] + C,

Nerede Z ben ve C karmaşık değişkenlerdir. İterasyonlar her başlangıç noktası için gerçekleştirilir C dikdörtgen veya kare alan - karmaşık düzlemin bir alt kümesi. Yinelemeli süreç şuna kadar devam eder: Z[i], merkezi (0,0) noktasında bulunan 2 yarıçaplı dairenin ötesine geçmeyecek (bu, dinamik sistemin çekicisinin sonsuzda olduğu anlamına gelir) veya yeterince fazla sayıda yinelemeden sonra (örneğin, 200-500) Z[i] daire üzerinde bir noktaya yakınsar. İterasyon sayısına bağlı olarak Z[i] dairenin içinde kaldı, noktanın rengini ayarlayabilirsiniz C(Eğer Z[i] yeterince fazla sayıda yineleme için dairenin içinde kalır, yineleme işlemi durur ve bu tarama noktası siyaha boyanır).

Şekil 4. Mandelbrot setinin 200 kat büyütülmüş sınır parçası.

Yukarıdaki algoritma, sözde Mandelbrot kümesine bir yaklaşım verir. Mandelbrot seti, sırasındaki noktaları içerir. sonsuz yineleme sayısı sonsuza gitmez (noktalar siyahtır). Kümenin sınırına ait noktalar (karmaşık yapıların ortaya çıktığı yer burasıdır) sonlu sayıda yinelemede sonsuza gider ve kümenin dışında kalan noktalar birkaç yinelemeden sonra (beyaz arka plan) sonsuza gider.

2.3 Stokastik fraktallar

Fraktalların başka sınıflandırmaları da vardır, örneğin, fraktalların deterministik (cebirsel ve geometrik) ve deterministik olmayan (stokastik) olarak bölünmesi.

fraktal

fraktal (lat. kırık- ezilmiş, kırılmış, kırılmış) - kendine benzerlik özelliğine sahip geometrik bir şekil, yani her biri bir bütün olarak tüm şekle benzeyen birkaç parçadan oluşur Matematikte fraktallar şu şekilde anlaşılır: Öklid uzayında kesirli bir metrik boyuta (Minkowski veya Hausdorff anlamında) veya topolojik dışında bir metrik boyuta sahip nokta kümeleri. Fraktazm, fraktalları incelemek ve derlemek için bağımsız bir kesin bilimdir.

Başka bir deyişle fraktallar, kesirli bir boyuta sahip geometrik nesnelerdir. Örneğin bir çizginin boyutu 1, bir alanın 2, bir hacmin boyutu 3'tür. Bir fraktal için boyut değeri 1 ile 2 veya 2 ile 3 arasında olabilir. Örneğin buruşuk bir kağıdın fraktal boyutu top yaklaşık 2.5'tir. Matematikte, fraktalların boyutunu hesaplamak için özel bir karmaşık formül vardır. Trakeal tüplerin dalları, ağaçların yaprakları, koldaki damarlar, nehir fraktallardır. Basit bir ifadeyle, bir fraktal, belirli bir kısmı tekrar tekrar tekrarlanan, boyut olarak değişen geometrik bir figürdür - bu, kendi kendine benzerlik ilkesidir. Fraktallar kendilerine benzerler, her seviyede (yani her ölçekte) kendilerine benzerler. Birçok farklı fraktal türü vardır. Prensip olarak, ister bulut ister oksijen molekülü olsun, gerçek dünyada var olan her şeyin bir fraktal olduğu iddia edilebilir.

"Kaos" kelimesi öngörülemeyen bir şeyi ima eder, ancak aslında kaos oldukça düzenlidir ve belirli yasalara uyar. Kaos ve fraktalları incelemenin amacı, ilk bakışta öngörülemez ve tamamen kaotik görünebilecek kalıpları tahmin etmektir.

Bu bilgi alanındaki öncü, Fransız-Amerikalı matematikçi Profesör Benoit B. Mandelbrot idi. 1960'ların ortalarında, amacı kırık, buruşuk ve bulanık şekilleri analiz etmek olan fraktal geometriyi geliştirdi. Mandelbrot seti (şekilde gösterilmiştir), bir kişinin "fraktal" kelimesini duyduğunda sahip olduğu ilk çağrışımdır. Bu arada Mandelbrot, İngiltere kıyı şeridinin fraktal boyutunun 1.25 olduğunu belirledi.

Fraktallar bilimde giderek daha fazla kullanılmaktadır. Onlar tanımlar gerçek dünya geleneksel fizik veya matematikten bile daha iyi. Brownian hareketi, örneğin, suda asılı duran toz parçacıklarının rastgele ve kaotik hareketidir. Bu tür hareket, fraktal geometrinin belki de en pratik yönüdür. Rastgele Brownian hareketi, büyük miktarda veri ve istatistik içeren olayları tahmin etmek için kullanılabilen bir frekans tepkisine sahiptir. Örneğin Mandelbrot, Brownian hareketini kullanarak yün fiyatındaki değişiklikleri tahmin etti.

"Fraktal" kelimesi sadece matematiksel bir terim olarak kullanılamaz. Basında ve popüler bilim literatüründe bir fraktal, aşağıdaki özelliklerden herhangi birine sahip olan şekiller olarak adlandırılabilir:

Tüm ölçeklerde önemsiz olmayan bir yapıya sahiptir. Bu, normal şekillerden (bir daire, bir elips, düzgün bir fonksiyonun grafiği gibi) farkıdır: eğer normal bir şeklin küçük bir parçasını çok büyük bir ölçekte ele alırsak, düz bir çizginin bir parçası gibi görünecektir. . Bir fraktal için yakınlaştırma yapının basitleştirilmesine yol açmaz, tüm ölçeklerde eşit derecede karmaşık bir resim göreceğiz.

Kendine benzer veya yaklaşık olarak kendine benzer.

Kesirli bir metrik boyuta veya topolojik olandan daha üstün bir metrik boyuta sahiptir.

Hesaplamada fraktalların en kullanışlı kullanımı, fraktal veri sıkıştırmadır. Aynı zamanda, resimler geleneksel yöntemlere göre çok daha iyi sıkıştırılır - 600:1'e kadar. Fraktal sıkıştırmanın bir başka avantajı da, yakınlaştırdığınızda, resmi büyük ölçüde kötüleştiren pikselleşme etkisinin olmamasıdır. Ayrıca, büyütme işleminden sonra fraktal olarak sıkıştırılmış bir görüntü genellikle öncekinden daha iyi görünür. Bilgisayar bilimcileri, sonsuz karmaşıklık ve güzellikteki fraktalların basit formüllerle üretilebileceğini de biliyorlar. Film endüstrisi, gerçekçi peyzaj öğeleri (bulutlar, kayalar ve gölgeler) oluşturmak için fraktal grafik teknolojisini kapsamlı bir şekilde kullanır.

Akışlardaki türbülansın incelenmesi fraktallara çok iyi uyum sağlar. Bu, karmaşık akışların dinamiklerinin daha iyi anlaşılmasını sağlar. Alevler fraktallar kullanılarak da modellenebilir. Gözenekli malzemeler, çok karmaşık bir geometriye sahip oldukları için fraktal formda iyi temsil edilirler. Verileri mesafeler boyunca iletmek için, boyutlarını ve ağırlıklarını büyük ölçüde azaltan fraktal şekilli antenler kullanılır. Fraktallar, yüzeylerin eğriliğini tanımlamak için kullanılır. Pürüzlü bir yüzey, iki farklı fraktalın bir kombinasyonu ile karakterize edilir.

Kıyılar, bulutlar, ağaç taçları, kar taneleri, insan veya hayvanların dolaşım sistemi ve alveol sistemi gibi doğadaki birçok nesne fraktal özelliklere sahiptir.

Fraktallar, özellikle uçakta, güzellik ve bir bilgisayarla yapım kolaylığı kombinasyonu nedeniyle popülerdir.

Alışılmadık özelliklere sahip kendine benzer kümelerin ilk örnekleri 19. yüzyılda ortaya çıktı (örneğin, Bolzano işlevi, Weierstrass işlevi, Cantor kümesi). "Fraktal" terimi, 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından tanıtıldı ve 1977'de "The Fractal Geometry of Nature" adlı kitabının yayınlanmasıyla geniş bir popülerlik kazandı.

Soldaki şekil, basit bir örnek olarak, birbirine sıkıştırılmış bir grup beşgen gibi görünen bir Darer Pentagon fraktalını göstermektedir. Aslında, başlatıcı olarak bir beşgen ve en büyük kenarın en küçüğüne oranı tam olarak sözde altın orana (1.618033989 veya 1/(2cos72°)) eşit olan ikizkenar üçgenler kullanılarak oluşturulur. jeneratör. Bu üçgenler, her bir beşgenin ortasından kesilerek, bir büyük beşgene yapıştırılmış 5 küçük beşgen gibi görünen bir şekil elde edilir.

Kaos teorisi, karmaşık doğrusal olmayan sistemlerin kalıtsal olarak tahmin edilemez olduğunu söyler, ancak aynı zamanda bu tür öngörülemeyen sistemleri ifade etmenin yolunun tam eşitliklerde değil, sistemin davranışının temsillerinde - garip çekicilerin grafiklerinde - doğru olduğunu iddia eder. fraktallara benziyor. Böylece birçok kişi tarafından öngörülemezlik olarak düşünülen kaos teorisi, en istikrarsız sistemlerde bile öngörülebilirlik bilimi haline gelir. Dinamik sistemler doktrini, basit denklemlerin, sistemin asla kararlı bir duruma dönmediği ve aynı zamanda hiçbir düzenliliğin ortaya çıkmadığı kaotik davranışlar üretebileceğini göstermektedir. Genellikle bu tür sistemler, bir anahtar parametrenin belirli bir değerine kadar oldukça normal davranır, ardından daha fazla gelişme için iki olasılığın olduğu bir geçiş yaşar, ardından dört ve son olarak da kaotik bir dizi olasılık vardır.

Teknik nesnelerde meydana gelen süreçlerin şemaları, açıkça tanımlanmış bir fraktal yapıya sahiptir. Minimum teknik sistemin (TS) yapısı, TS içindeki iki tür sürecin akışını ifade eder - ana ve destekleyici olanlar ve bu bölüm koşullu ve görecelidir. Herhangi bir süreç, destekleyici süreçlerle ilgili olarak ana süreç olabilir ve destekleyici süreçlerden herhangi biri, "onların" destekleyici süreçleriyle ilgili olarak ana süreç olarak kabul edilebilir. Diyagramdaki daireler, özel olarak "kendi" TS'sini yaratmanın gerekli olmadığı bu süreçlerin akışını sağlayan fiziksel etkileri gösterir. Bu süreçler, maddeler, alanlar, maddeler ve alanlar arasındaki etkileşimin sonucudur. Daha doğrusu, fiziksel etki, ilkesini etkileyemeyeceğimiz ve yapısına müdahale etmek istemediğimiz veya müdahale etme şansımız olmayan bir araçtır.

Şemada gösterilen ana sürecin akışı, onları oluşturan TS için ana olan üç destekleyici sürecin varlığı ile sağlanır. Adalet adına, minimum bir TS'nin işleyişi için bile üç sürecin açıkça yeterli olmadığını not ediyoruz, yani. plan çok ama çok abartılı.

Her şey şemada gösterildiği kadar basit değil. Kullanışlı ( bir kişi için gerekli) İşlem %100 verimle gerçekleştirilemez. Dağıtılan enerji, ısıtma, titreşim vb. gibi zararlı süreçlerin yaratılmasına harcanır. Sonuç olarak, faydalı sürece paralel olarak zararlı olanlar da ortaya çıkar. "Kötü" bir süreci "iyi" bir süreçle değiştirmek her zaman mümkün değildir, bu nedenle sisteme zarar veren sonuçları telafi etmek için yeni süreçlerin düzenlenmesi gerekir. Tipik bir örnek, kişiyi ustaca yağlama şemaları düzenlemeye, pahalı sürtünme önleyici malzemeler kullanmaya veya bileşenleri ve parçaları yağlamak veya bunları periyodik olarak değiştirmek için zaman harcamaya zorlayan sürtünmeyle mücadele etme ihtiyacıdır.

Değişken bir Ortamın kaçınılmaz etkisinin varlığıyla bağlantılı olarak, yararlı bir sürecin kontrol edilmesi gerekebilir. Yönetim hem otomatik cihazlar hem de doğrudan bir kişi tarafından gerçekleştirilebilir. Süreç şeması aslında bir dizi özel komuttur, yani. algoritma. Her komutun özü (açıklaması), tek bir faydalı sürecin, eşlik eden zararlı süreçlerin ve bir dizi gerekli kontrol sürecinin birleşimidir. Böyle bir algoritmada, destekleyici süreçler kümesi sıradan bir alt programdır - ve burada ayrıca bir fraktal buluyoruz. Çeyrek asır önce oluşturulan R. Koller'in yöntemi, yalnızca 12 çift işlev (süreç) içeren oldukça sınırlı bir diziye sahip sistemler oluşturmayı mümkün kılar.

Matematikte alışılmadık özelliklere sahip kendine benzer kümeler

İle başlayan geç XIX yüzyılda matematikte, klasik analiz açısından patolojik özelliklere sahip kendine benzer nesnelerin örnekleri vardır. Bunlar aşağıdakileri içerir:

Cantor kümesi, yoğun olmayan, sayılamayan mükemmel bir kümedir. Prosedürü değiştirerek, yoğun olmayan bir pozitif uzunluk kümesi de elde edilebilir.

Sierpinski üçgeni (“masa örtüsü”) ve Sierpinski halısı, uçaktaki Cantor setinin benzerleridir.

Menger'in süngeri - üç boyutlu uzayda ayarlanan Cantor'un bir benzeri;

Weierstrass ve van der Waerden tarafından hiçbir yerde türevlenemeyen sürekli fonksiyon örnekleri.

Koch eğrisi - herhangi bir noktada teğeti olmayan, kendisiyle kesişmeyen sonsuz uzunlukta sürekli bir eğri;

Peano eğrisi, bir karenin tüm noktalarından geçen sürekli bir eğridir.

Bir Brown parçacığının yörüngesi de 1 olasılıkla hiçbir yerde ayırt edilemez. Hausdorff boyutu iki

Fraktal eğriler elde etmek için özyinelemeli prosedür

Koch eğrisinin inşası

Bir düzlemde fraktal eğriler elde etmek için basit bir yinelemeli prosedür vardır. Jeneratör adı verilen sınırlı sayıda bağlantıya sahip keyfi bir kırık çizgi tanımlarız. Ardından, içindeki her parçayı bir jeneratörle (daha doğrusu, bir jeneratöre benzer kesikli bir çizgi) değiştiririz. Ortaya çıkan kesik çizgide, her segmenti yine bir jeneratörle değiştiriyoruz. Sonsuza doğru devam edersek, limitte bir fraktal eğri elde ederiz. Sağdaki şekil, Koch eğrisi için bu prosedürün ilk dört adımını göstermektedir.

Bu tür eğrilere örnekler:

ejderha Eğrisi,

Koch eğrisi (Koch kar tanesi),

Levy Eğrisi,

minkowski eğrisi,

Hilbert Eğrisi,

Kırık (eğri) ejderha (Fractal Harter-Hateway),

Peano eğrisi.

Benzer bir prosedür kullanılarak bir Pisagor ağacı elde edilir.

Sabit Büzülme Eşleme Noktaları Olarak Fraktallar

Kendine benzerlik özelliği matematiksel olarak aşağıdaki gibi kesin bir şekilde ifade edilebilir. Düzlemin büzülme haritaları olsun. Düzlemin tüm kompakt (kapalı ve sınırlı) alt kümelerinin kümesi üzerinde aşağıdaki eşlemeyi göz önünde bulundurun:

Eşlemenin, Hausdorff metriği ile kompakt kümeler kümesi üzerinde bir daralma eşlemesi olduğu gösterilebilir. Bu nedenle, Banach teoremine göre, bu eşlemenin benzersiz bir sabit noktası vardır. Bu sabit nokta bizim fraktalımız olacak.

Yukarıda açıklanan fraktal eğrileri elde etmek için yinelemeli prosedür, bu yapının özel bir durumudur. İçinde, tüm eşlemeler benzerlik eşlemeleridir ve üreteç bağlantılarının sayısıdır.

Sierpinski üçgeni ve eşleme için , , merkezleri düzenli bir üçgenin köşelerinde olan ve 1/2 katsayılı homotetiklerdir. Haritalama altında Sierpinski üçgeninin kendisine dönüştüğünü görmek kolaydır.

Eşlemelerin katsayılı benzerlik dönüşümleri olması durumunda, fraktalın boyutu (bazı ek teknik koşullar altında) denklemin çözümü olarak hesaplanabilir. Böylece, Sierpinski üçgeni için şunu elde ederiz: .

Aynı Banach teoremine göre, herhangi bir kompakt kümeden başlayıp ona haritanın yinelemelerini uygulayarak, fraktalımıza (Hausdorff metriği anlamında) yakınsayan bir kompakt kümeler dizisi elde ederiz.

Karmaşık dinamiklerde fraktallar

Julia seti

Julia'nın başka bir seti

Fraktallar, doğrusal olmayan dinamik sistemlerin incelenmesinde doğal olarak ortaya çıkar. En çok çalışılan durum, dinamik sistemin bir polinomun yinelemeleri veya düzlemdeki karmaşık bir değişkenin holomorfik bir fonksiyonu tarafından tanımlandığı durumdur. Bu alandaki ilk çalışmalar 20. yüzyılın başlarına kadar uzanıyor ve Fatou ve Julia isimleriyle ilişkilendiriliyor.

İzin vermek F(z) - polinom, z 0 karmaşık bir sayıdır. Aşağıdaki sırayı göz önünde bulundurun: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Eğilim gösterdiğimiz için bu dizinin davranışıyla ilgileniyoruz. N sonsuzluğa. Bu sıra şunları yapabilir:

sonsuzluk için çabalamak

nihai için çabalamak

limitte döngüsel davranış sergiler, örneğin: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

kaotik davranmak, yani bahsedilen üç davranış türünden hiçbirini göstermemek.

değer kümeleri z Dizinin belirli bir davranış türü ve farklı türler arasındaki çatallanma noktaları kümeleri sergilediği 0, genellikle fraktal özelliklere sahiptir.

Bu nedenle, Julia seti, polinom için çatallanma noktalarının setidir. F(z)=z 2 +C(veya diğer benzer işlev), yani bu değerler z 0 , bunun için dizinin davranışı ( z N) keyfi olarak küçük değişikliklerle önemli ölçüde değişebilir z 0 .

Fraktal kümeler elde etmek için başka bir seçenek, polinomun içine bir parametre eklemektir. F(z) ve dizinin ( z N) sabit için belirli bir davranış gösterir z 0 . Böylece, Mandelbrot kümesi, ( z N) İçin F(z)=z 2 +C Ve z 0 sonsuza gitmez.

Bir diğer ünlü örnek bu tür Newton havuzlarıdır.

Karşılık gelen dinamik sistemlerin davranışına bağlı olarak düzlem noktalarını renklendirerek karmaşık dinamiklere dayalı güzel grafik görüntüler oluşturmak popülerdir. Örneğin Mandelbrot setini tamamlamak için çabalama hızına bağlı olarak noktaları renklendirebilirsiniz ( z N) sonsuza (diyelim ki en küçük sayı olarak tanımlandı) N, nerede | z N| sabit bir büyük değeri aşıyor A.

Biyomorflar, karmaşık dinamikler temelinde inşa edilmiş ve canlı organizmalara benzeyen fraktallardır.

Stokastik fraktallar

Julia setine dayalı rastgele fraktal

Doğal nesneler genellikle fraktal bir şekle sahiptir. Modellemeleri için stokastik (rastgele) fraktallar kullanılabilir. Stokastik fraktal örnekleri:

düzlemde ve uzayda Brown hareketinin yörüngesi;

düzlemde Brown hareketinin yörüngesinin sınırı. 2001'de Lawler, Schramm ve Werner, Mandelbrot'un boyutunun 4/3 olduğu varsayımını kanıtladı.

Schramm-Löwner evrimleri, istatistiksel mekaniğin kritik iki boyutlu modellerinde, örneğin Ising modelinde ve süzülmede ortaya çıkan uyumlu olarak değişmez fraktal eğrilerdir.

çeşitli rasgele fraktal türleri, yani her adımda bir rasgele parametrenin tanıtıldığı yinelemeli bir prosedür kullanılarak elde edilen fraktallar. Plazma, bilgisayar grafiklerinde böyle bir fraktal kullanımına bir örnektir.

Doğada

Trakea ve bronşların önden görünümü

bronş ağacı

kan damarı ağı

Başvuru

Doğa Bilimleri

Fizikte fraktallar, türbülanslı sıvı akışı, karmaşık difüzyon-adsorpsiyon süreçleri, alevler, bulutlar vb. gibi doğrusal olmayan süreçlerin modellenmesi sırasında doğal olarak ortaya çıkar. Fraktallar, örneğin petrokimyada gözenekli malzemelerin modellenmesinde kullanılır. Biyolojide, popülasyonları modellemek ve iç organ sistemlerini (kan damarları sistemi) tanımlamak için kullanılırlar.

radyo mühendisliği

fraktal antenler

Anten cihazlarının tasarımında fraktal geometrinin kullanımı ilk olarak, o zamanlar binalara harici anten takmanın yasak olduğu Boston şehir merkezinde yaşayan Amerikalı mühendis Nathan Cohen tarafından uygulandı. Nathan, alüminyum folyodan Koch eğrisi şeklinde bir şekil kesti ve bir kağıda yapıştırdı, ardından alıcıya iliştirdi. Cohen kendi şirketini kurdu ve seri üretimine başladı.

Bilgisayar Bilimi

Görüntü Sıkıştırma

Ana makale: Fraktal Sıkıştırma Algoritması

fraktal ağaç

Fraktallar kullanan görüntü sıkıştırma algoritmaları vardır. Görüntünün kendisi yerine, bu görüntünün (veya ona yakın bazılarının) sabit bir nokta olduğu bir daralma haritasını saklayabileceğiniz fikrine dayanırlar. Bu algoritmanın varyantlarından biri kullanıldı [ kaynak belirtilmemiş 895 gün] Microsoft tarafından ansiklopedisini yayınlarken, ancak bu algoritmalar yaygın olarak kullanılmadı.

Bilgisayar grafikleri

Başka bir fraktal ağaç

Fraktallar, ağaçlar, çalılar, dağ manzaraları, deniz yüzeyleri vb. gibi doğal nesnelerin görüntülerini oluşturmak için bilgisayar grafiklerinde yaygın olarak kullanılır. Fraktal görüntüler oluşturmak için kullanılan birçok program vardır, bkz. Fractal Generator (program).

merkezi olmayan ağlar

Netsukuku'nun IP adresi atama sistemi, ağ düğümleri hakkındaki bilgileri kompakt bir şekilde depolamak için fraktal bilgi sıkıştırma ilkesini kullanır. Netsukuku ağındaki her düğüm, komşu düğümlerin durumu hakkında yalnızca 4 KB bilgi depolarken, herhangi bir yeni düğüm, örneğin IP adreslerinin dağıtımının merkezi olarak düzenlenmesine gerek kalmadan genel ağa bağlanır; İnternet. Böylece, fraktal bilgi sıkıştırma ilkesi, tamamen merkezi olmayan ve dolayısıyla tüm ağın en kararlı çalışmasını garanti eder.

Fraktallar neredeyse bir asırdır bilinmektedir, iyi çalışılmıştır ve yaşamda sayısız uygulamaları vardır. Bu fenomen çok basit bir fikre dayanmaktadır: sadece iki işlem - kopyalama ve ölçekleme - kullanılarak nispeten basit yapılardan sonsuz sayıda güzellik ve çeşitlilik figürü elde edilebilir.

Bu kavramın kesin bir tanımı yoktur. Bu nedenle "fraktal" kelimesi matematiksel bir terim değildir. genellikle denir geometrik şekil, aşağıdaki özelliklerden birini veya daha fazlasını karşılayan:

herhangi bir büyütmede karmaşık bir yapıya sahiptir;
(yaklaşık olarak) kendine benzer;
topolojik olandan daha büyük olan kesirli bir Hausdorff (fraktal) boyutuna sahiptir;
özyinelemeli prosedürlerle inşa edilebilir.

19. ve 20. yüzyılın başında, fraktalların incelenmesi sistematik olmaktan çok epizodikti, çünkü daha önceki matematikçiler esas olarak "iyi" nesneleri inceliyorlardı. ortak yöntemler ve teoriler. 1872'de Alman matematikçi Karl Weierstrass, hiçbir yerde türevlenemeyen sürekli bir fonksiyon örneği oluşturdu. Ancak yapısı tamamen soyuttu ve anlaşılması zordu. Bu nedenle, 1904'te İsveçli Helge von Koch, hiçbir yerde teğeti olmayan sürekli bir eğri buldu ve onu çizmesi oldukça basit. Bir fraktalın özelliklerine sahip olduğu ortaya çıktı. Bu eğrinin bir varyasyonuna Koch kar tanesi denir.

Figürlerin kendi kendine benzerliği fikirleri, Benoit Mandelbrot'un gelecekteki akıl hocası olan Fransız Paul Pierre Levy tarafından alındı. 1938'de, başka bir fraktal olan Lévy C-eğrisinin tanımlandığı “Düzlem ve Mekansal Eğriler ve Bütüne Benzer Parçalardan Oluşan Yüzeyler” adlı makalesi yayınlandı. Yukarıdaki fraktalların tümü şartlı olarak bir yapıcı (geometrik) fraktal sınıfına atfedilebilir.

Diğer bir sınıf, Mandelbrot setini içeren dinamik (cebirsel) fraktallardır. Bu yöndeki ilk çalışmalar 20. yüzyılın başlarına kadar uzanıyor ve Fransız matematikçiler Gaston Julia ve Pierre Fatou'nun isimleriyle ilişkilendiriliyor. 1918'de, Julia'nın, Mandelbrot kümesiyle yakından ilişkili bütün bir fraktal ailesi olan Julia kümelerinin tanımlandığı karmaşık rasyonel işlevlerin yinelemelerine ayrılmış yaklaşık iki yüz sayfalık çalışması yayınlandı. Bu çalışma, Fransız Akademisi ödülüne layık görüldü, ancak tek bir illüstrasyon içermediğinden, keşfedilen nesnelerin güzelliğini takdir etmek imkansızdı. Bu çalışma Julia'yı dönemin matematikçileri arasında üne kavuştursa da kısa sürede unutuldu.

Sadece yarım yüzyıl sonra, bilgisayarların ortaya çıkmasıyla dikkatler Julia ve Fatou'nun çalışmalarına çevrildi: fraktallar dünyasının zenginliğini ve güzelliğini görünür kılan onlardı. Ne de olsa Fatou, artık Mandelbrot setinin görüntüleri olarak bildiğimiz görüntülere asla bakamaz, çünkü gerekli sayıda hesaplama manuel olarak yapılamaz. Bunun için bilgisayarı kullanan ilk kişi Benoit Mandelbrot'tur.

1982'de Mandelbrot'un, yazarın o dönemde mevcut olan fraktallar hakkında neredeyse tüm bilgileri toplayıp sistematik hale getirdiği ve kolay ve erişilebilir bir şekilde sunduğu "The Fractal Geometry of Nature" adlı kitabı yayınlandı. Mandelbrot sunumunda ağırlıklı olarak ağır formüller ve matematiksel yapılara değil, okuyucuların geometrik sezgilerine vurgu yaptı. Yazarın monografın bilimsel bileşenini ustalıkla seyrelttiği bilgisayar tarafından oluşturulan çizimler ve tarihi hikayeler sayesinde, kitap en çok satanlar arasına girdi ve fraktallar genel halk tarafından tanındı. Matematikçi olmayanlar arasındaki başarıları büyük ölçüde, bir lise öğrencisinin bile anlayabileceği çok basit yapılar ve formüller yardımıyla inanılmaz karmaşıklık ve güzellikte görüntüler elde edilmesinden kaynaklanmaktadır. Kişisel bilgisayarlar yeterince güçlü hale geldiğinde, sanatta bütün bir akım bile ortaya çıktı - fraktal resim ve neredeyse her bilgisayar sahibi bunu yapabilirdi. Artık internette bu konuya adanmış birçok siteyi kolayca bulabilirsiniz.

NNN editörleri yanlışlıkla çok ilginç malzeme, xtsarx kullanıcısının blogunda sunulan, teorinin unsurlarına adanmış fraktallar ve pratik uygulaması. Bilindiği üzere fraktallar teorisi, nanosistemlerin fizik ve kimyasında önemli bir rol oynamaktadır. Geniş bir okuyucu yelpazesinin erişebileceği bir dilde sunulan ve bol miktarda grafik ve hatta video materyali ile desteklenen bu sağlam malzemeye katkımızı yaptıktan sonra dikkatinize sunuyoruz. NNN okuyucularının bu materyali ilginç bulacağını umuyoruz.

Doğa o kadar gizemlidir ki, onu ne kadar çok incelerseniz o kadar çok soru ortaya çıkar... Gece şimşeği - dallanan deşarjların mavi "akışları", pencerede donmuş desenler, kar taneleri, dağlar, bulutlar, ağaç kabuğu - tüm bunlar olağanın ötesine geçiyor Öklid geometrisi. Taşı, adanın sınırlarını çizgilerle, dairelerle, üçgenlerle tarif edemeyiz. Ve burada kurtarmaya geldik fraktallar. Nedir bu tanıdık yabancılar?

"Mikroskop altında, bir pire üzerinde olduğunu keşfetti.
Isıran pire, bir pire üzerinde yaşar;
O pirenin üzerinde küçük bir pire var,
Kızgınlıkla pireye diş saplar
Pire ve böylece sonsuza dek. D.Swift.

biraz tarih

İlk fikirler fraktal geometri 19. yüzyılda ortaya çıktı. Kantor, basit bir özyinelemeli (tekrarlayan) prosedür kullanarak, çizgiyi bir dizi bağlantısız noktaya (Cantor Tozu denilen) dönüştürdü. Çizgiyi aldı ve ortadaki üçüncüyü çıkardı ve ardından kalan bölümlerle aynı şeyi tekrarladı.

Pirinç. 1. Peano eğrisi 1,2–5 yineleme.

Peano boyalı özel çeşitçizgiler. Peano şunları yaptı:: İlk adımda düz bir çizgi aldı ve orijinal çizginin uzunluğundan 3 kat daha kısa olan 9 parça ile değiştirdi. Sonra ortaya çıkan çizginin her bir parçası için aynı şeyi yaptı. Ve böylece sonsuza kadar. Benzersizliği, tüm düzlemi doldurmasında yatmaktadır. Düzlemdeki her nokta için Peano doğrusuna ait bir nokta bulunabileceği kanıtlanmıştır. Peano'nun eğrisi ve Cantor'un tozu, sıradan geometrik nesnelerin ötesine geçti. Açıkça boyutlandırılmamışlardı.. Cantor'un tozu, görünüşte tek boyutlu bir düz çizgi temelinde inşa edildi, ancak noktalardan oluşuyordu (boyut 0). Ve Peano eğrisi tek boyutlu bir çizgi temelinde inşa edildi ve sonuç bir düzlemdi. Bilimin diğer birçok alanında, yukarıda açıklananlar (Brown hareketi, hisse senedi fiyatları) gibi garip sonuçlara yol açan problemler ortaya çıktı. Her birimiz bu prosedürü yapabiliriz ...

Fraktalların Babası

20. yüzyıla kadar, herhangi bir sistematikleştirme girişimi olmaksızın, bu tür garip nesneler hakkında bir veri birikimi vardı. yani onlar alana kadar öyleydi Benoit Mandelbrot – modern fraktal geometrinin ve fraktal kelimesinin babası.

Pirinç. 2. Benoit Mandelbrot.

IBM'de matematiksel analist olarak çalışırken, elektronik devrelerde istatistik kullanılarak tanımlanamayan gürültü üzerine çalıştı. Yavaş yavaş gerçekleri karşılaştırarak, matematikte yeni bir yönün keşfine geldi - fraktal geometri.

"Fraktal" terimi, 1975 yılında B. Mandelbrot tarafından tanıtıldı. Mandelbrot'a göre, fraktal(Latince "fractus" - kesirli, kırık, kırık) denir bir bütün gibi parçalardan oluşan bir yapı. Kendine benzerlik özelliği, fraktalları klasik geometri nesnelerinden keskin bir şekilde ayırır. Terim kendine benzerlik araç hem nesnenin en küçük ölçeklerinde hem de makro ölçekte ince, tekrar eden bir yapının varlığı.

Pirinç. 3. "Fraktal" kavramının tanımına.

Kendine benzerlik örnekleri şunlardır:: Koch, Levy, Minkowski eğrileri, Sierpinski üçgeni, Menger süngeri, Pisagor ağacı vb.

Matematiksel bir bakış açısından, fraktal her şeyden önce, kesirli (ara, "tamsayı değil") boyutuyla ayarla. Pürüzsüz bir Öklid çizgisi tam olarak bir boyutlu uzayı doldururken, bir fraktal eğri bir boyutlu uzayın ötesine geçer, sınırların ötesine geçerek iki boyutlu uzaya girer.Böylece Koch eğrisinin fraktal boyutu 1 ile 2 arasında olacaktır. her şeyden önce, fraktal bir nesnenin uzunluğunu tam olarak ölçemeyeceği anlamına gelir! Bu geometrik fraktallardan ilki çok ilginç ve oldukça ünlü - Koç kar tanesi.

Pirinç. 4. "Fraktal" kavramının tanımına.

Temel alınarak inşa edilmiştir eşkenar üçgen. Her satırı, her biri orijinal uzunluğun 1/3'ü kadar 4 satırla değiştirilmiştir. Böylece, her yinelemede eğrinin uzunluğu üçte bir oranında artar. Ve sonsuz sayıda yineleme yaparsak, bir fraktal elde ederiz - sonsuz uzunlukta bir Koch kar tanesi. Sonsuz eğrimizin sınırlı bir alanı kapsadığı ortaya çıktı. Aynısını Öklid geometrisinden yöntemler ve şekillerle yapmaya çalışın.
Koch kar tanesinin boyutu(bir kar tanesi 3 kat büyüdüğünde boyu 4 kat artar) D=log(4)/log(3)=1.2619.

fraktal hakkında

Fraktallar, bilim ve teknolojide giderek daha fazla uygulama buluyor. Bunun temel nedeni, gerçek dünyayı bazen geleneksel fizik veya matematikten bile daha iyi tanımlamalarıdır. Doğadaki fraktal nesnelere sonsuz sayıda örnek verebilirsiniz - bunlar bulutlar, kar taneleri, dağlar ve bir şimşek çakması ve son olarak karnabahardır. Doğal bir nesne olarak bir fraktal, sonsuz sürekli bir hareket, yeni bir oluşum ve gelişmedir.

Pirinç. 5. Ekonomide fraktallar.

Ayrıca, fraktallar merkezi olmayan bilgisayar ağlarında uygulama bulur Ve "fraktal antenler" . Çeşitli stokastik (deterministik olmayan) "rastgele" süreçlerin modellenmesi için çok ilginç ve umut verici olan, "Brown fraktalları" olarak adlandırılanlardır. Nanoteknoloji söz konusu olduğunda, fraktallar da önemli bir rol oynar. , çünkü hiyerarşik öz-örgütlenmeleri nedeniyle birçok nanosistemlerin tamsayı olmayan bir boyutu vardır, yani geometrik, fiziko-kimyasal veya fonksiyonel yapıları bakımından fraktallardır. Örneğin, Kimyasal fraktal sistemlerin çarpıcı bir örneği "dendrimer" molekülleridir. . Ek olarak, fraktalite ilkesi (kendine benzer, ölçekleme yapısı) sistemin hiyerarşik yapısının bir yansımasıdır ve bu nedenle nanosistemlerin yapısını ve özelliklerini tanımlamaya yönelik standart yaklaşımlardan daha genel ve evrenseldir.

Pirinç. 6. "Dendrimer" molekülleri.

Pirinç. 7. Mimari ve inşaat sürecinde iletişimin grafik modeli. Mikroişlemler açısından ilk etkileşim seviyesi.

Pirinç. 8. Mimari ve inşaat sürecinde iletişimin grafik modeli. Makro süreçlerin konumlarından ikinci etkileşim seviyesi (modelin bir parçası).

Pirinç. 9. Mimari ve inşaat sürecinde iletişimin grafik modeli. Makro süreçler açısından ikinci etkileşim seviyesi (tüm model)

Pirinç. 10. Grafik modelin düzlemsel gelişimi. İlk homeostatik durum.

Fraktallar ve altın Oran "Fraktallar" 1. bölüm "Fraktallar" 2. bölüm "Fraktallar" 3. bölüm "Fraktallar" 4. bölüm "Fraktallar" 5. bölüm