Ev › Çeşitli › Bir uçak figürünün alanını bulun. Kesin integral

Bir uçak figürünün alanını bulun. Kesin integral

Şimdi integral hesabın uygulamalarının değerlendirilmesine dönüyoruz. Bu derste tipik ve en yaygın bir görevi analiz edeceğiz. belirli bir integral kullanarak düz bir şeklin alanını hesaplama. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayan herkes onu bulsun. Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonlara sahip bir yazlık kulübeye yaklaşmanız ve alanını belirli bir integral kullanarak bulmanız gerekecek.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) Belirsiz integrali en az orta düzeyde anlar. Bu nedenle, aptallar önce dersi okumalıdır. Olumsuz.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilme ve belirli integrali hesaplayabilme. sıcak dövme dostane ilişkiler belirli integraller ile sayfada bulunabilir Kesin integral. Çözüm örnekleri. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizimin oluşturulmasını içerir., bu nedenle bilginiz ve çizim becerileriniz de acil bir konu olacaktır. En azından, bir düz çizgi, bir parabol ve bir hiperbol inşa edebilmek gerekir.

Eğrisel bir yamuk ile başlayalım. Eğrisel bir yamuk, bazı fonksiyonların grafiğiyle sınırlanmış düz bir şekildir. y = F(X), eksen ÖKÜZ ve çizgiler X = A; X = B.

Eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir

(Var olan) herhangi bir belirli integralin çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste Kesin integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştik. Ve şimdi başka bir ifade zamanı yararlı gerçek. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.. Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak bazı şekillerin alanına karşılık gelir. Belirli integrali düşünün

İntegrand

düzlemde bir eğri tanımlar (istenirse çizilebilir) ve belirli integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına sayısal olarak eşittir.

örnek 1

, , , .

Bu tipik bir görev bildirimidir. Kararın en önemli noktası bir çizimin inşasıdır.. Ayrıca, çizim inşa edilmelidir SAĞ.

Bir plan oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm satırları (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra- paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Noktasal yapı tekniği şu adreste bulunabilir: referans malzemesi Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada, dersimizle ilgili olarak çok yararlı olan materyalleri de bulabilirsiniz - hızlı bir şekilde bir parabol nasıl inşa edilir.

Bu problemde, çözüm şöyle görünebilir.

Bir çizim yapalım (denklemin y= 0 ekseni belirtir ÖKÜZ):

Eğrisel yamuğu taramayacağız, burada hangi alanın olduğu açık. söz konusu. Çözüm şöyle devam ediyor:

[-2; 1] fonksiyon grafiği y = X 2+2 konumlu eksen üzerindeÖKÜZ, Bu yüzden:

Cevap: .

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler

derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri. Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman yararlıdır. İÇİNDE bu durumÇizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 yazılacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki cevabımız olsaydı: 20 birim kare, o zaman, belli ki, bir yerde bir hata yapılmıştı - 20 hücre, söz konusu şekle açıkça uymuyor, en fazla bir düzine. Cevap olumsuz çıktıysa, görev de yanlış çözüldü.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın xy = 4, X = 2, X= 4 ve eksen ÖKÜZ.

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Eğrisel yamuk bulunursa ne yapılmalı aks altıÖKÜZ?

Örnek 3

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın y = eski, X= 1 ve koordinat eksenleri.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Eğrisel bir yamuk ise tamamen aksın altında ÖKÜZ , o zaman alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse, negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle, az önce ele alınan formülde eksi görünür.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını bulun y = 2X – X 2 , y = -X.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Alan problemlerinde çizim yaparken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişme noktalarını bulun y = 2X – X 2 ve düz y = -X. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yol analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Yani entegrasyonun alt limiti A= 0, entegrasyonun üst sınırı B= 3. Çizgileri nokta nokta oluşturmak genellikle daha karlı ve daha hızlıdır, öte yandan entegrasyonun sınırları “kendi kendine” ortaya çıkar. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya dişli yapı entegrasyonun sınırlarını ortaya çıkarmadıysa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) limitleri bulmak için analitik yöntem hala bazen kullanılmalıdır. Görevimize geri dönüyoruz: önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Bir çizim yapalım:

Noktasal inşaatta, entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla "otomatik" olarak bulunduğunu tekrarlıyoruz.

Ve şimdi çalışma formülü:

[ A; B] bazı sürekli işlevler F(X) büyük veya eşit bazı sürekli işlev G(X), o zaman karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede olduğunu düşünmek gerekli değildir - eksenin üstünde veya eksenin altında, ancak Hangi grafiğin ÜSTTE olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

İncelenen örnekte, segmentte parabolün düz çizginin üzerinde olduğu ve dolayısıyla 2'den olduğu açıktır. X – X 2 çıkarılmalıdır - X.

Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:

İstenen rakam bir parabol ile sınırlıdır y = 2X – X 2 üst ve düz y = -X aşağıdan.

2. segmentte X – X 2 ≥ -X. İlgili formüle göre:

Cevap: .

Aslında, alt yarı düzlemde eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bkz. Örnek No. 3) şöyledir: özel durum formüller

eksen beri ÖKÜZ denklem ile verilir y= 0 ve fonksiyonun grafiği G(X) eksenin altında bulunur ÖKÜZ, O

Ve şimdi bağımsız bir çözüm için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını bulun

Alanı belirli bir integral kullanarak hesaplamak için problem çözme sürecinde bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten dolayı... yanlış şeklin alanını buldu.

Örnek 7

Önce çizelim:

Alanını bulmamız gereken şekil mavi ile gölgelendirilmiştir.(duruma dikkatlice bakın - şeklin nasıl sınırlı olduğu!). Ancak pratikte dikkatsizlik nedeniyle genellikle şeklin gölgeli alanını bulmaları gerektiğine karar verirler. yeşil!

Bu örnek, içinde şeklin alanının iki belirli integral kullanılarak hesaplanması açısından da yararlıdır. Gerçekten mi:

1) Segmentte [-1; 1] aksın üstünde ÖKÜZ grafik düz y = X+1;

2) Eksenin üzerindeki segmentte ÖKÜZ hiperbolün grafiği bulunur y = (2/X).

Alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Örnek 8

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın

Denklemleri "okul" formunda sunalım

ve çizgi çizmeyi yapın:

Üst limitimizin “iyi” olduğu çizimden görülmektedir: B = 1.

Ancak alt sınır nedir? Bunun bir tamsayı olmadığı açık, ama ne?

Belki, A=(-1/3)? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, pekala ortaya çıkabilir A=(-1/4). Ya grafiği hiç doğru anlamazsak?

Bu gibi durumlarda, ek zaman harcamak ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak iyileştirmek gerekir.

Grafiklerin kesişme noktalarını bulun

Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:

Buradan, A=(-1/3).

Diğer çözüm önemsizdir. Asıl mesele, ikamelerde ve işaretlerde kafa karıştırmamak. Buradaki hesaplamalar en kolay değil. segmentte

, ,

ilgili formüle göre:

Cevap:

Dersin sonunda, iki görevi daha zor olarak ele alacağız.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın

Çözüm: Çizimde bu şekli çizin.

Nokta nokta çizim için bilmeniz gerekenler dış görünüş sinüzoidler. Genel olarak, tüm temel fonksiyonların grafiklerini ve sinüsün bazı değerlerini bilmek faydalıdır. Değerler tablosunda bulunabilirler. trigonometrik fonksiyonlar . Bazı durumlarda (örneğin, bu durumda), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının ilke olarak doğru bir şekilde görüntülenmesi gereken şematik bir çizim oluşturulmasına izin verilir.

Burada entegrasyon limitleriyle ilgili herhangi bir sorun yoktur, doğrudan koşuldan kaynaklanırlar:

- "x" sıfırdan "pi"ye değişir. Bir karar daha veriyoruz:

Segmentte, fonksiyonun grafiği y= günah 3 X eksenin üzerinde bulunan ÖKÜZ, Bu yüzden:

(1) Sinüs ve kosinüslerin tek kuvvetlerde nasıl entegre edildiğini derste görebilirsiniz. Trigonometrik fonksiyonların integralleri. Bir sinüsü sıkıştırıyoruz.

(2) Formda temel trigonometrik özdeşliği kullanıyoruz

(3) Değişkeni değiştirelim T= çünkü X, ardından: eksenin üzerinde bulunur, yani:

Not: küpteki teğetin integralinin nasıl alındığına dikkat edin, burada temel trigonometrik özdeşliğin sonucu kullanılır

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında çok fazla bilgiye ihtiyacınız yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizimin oluşturulmasını içerir., bu nedenle bilginiz ve çizim becerileriniz çok daha alakalı bir konu olacaktır. Bu bağlamda, ana temel fonksiyonların grafiklerinin hafızasını tazelemek ve en azından düz bir çizgi ve bir hiperbol oluşturabilmek faydalıdır.

Eğrisel bir yamuk, bir eksen, düz çizgiler ve bu aralıkta işaret değiştirmeyen bir parça üzerinde sürekli bir fonksiyonun grafiği ile sınırlanmış düz bir şekildir. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil apsis:

Daha sonra eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. (Var olan) herhangi bir belirli integralin çok iyi bir geometrik anlamı vardır.

Geometri açısından, belirli integral ALAN'dır..

Yani, belirli integral (varsa), geometrik olarak bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin, belirli integrali ele alalım. İntegrand, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyen çizimi tamamlayabilir) ve belirli integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına sayısal olarak eşittir.

örnek 1

Bu tipik bir görev bildirimidir. İlk ve can alıcı noktaçözümler - çizim oluşturma. Ayrıca, çizim inşa edilmelidir SAĞ.

Bu problemde, çözüm şöyle görünebilir.
Bir çizim yapalım (ekseni denklemin tanımladığını unutmayın):

Segmentte, fonksiyonun grafiği bulunur eksen üzerinde, Bu yüzden:

Cevap:

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman yararlıdır. Bu durumda, "gözle" çizimdeki hücre sayısını sayarız - pekala, yaklaşık 9 yazılacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki cevabımız olsaydı: 20 birim kare, o zaman, belli ki, bir yerde bir hata yapılmıştı - 20 hücre, söz konusu şekle açıkça uymuyor, en fazla bir düzine. Cevap olumsuz çıktıysa, görev de yanlış çözüldü.

Örnek 3

Çizgiler ve koordinat eksenleri ile sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Eğrisel yamuk bulunursa aks altı(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), ardından alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Bu durumda:

Dikkat! İki tür görevi karıştırmayın:

1) Herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse, negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle, az önce ele alınan formülde eksi görünür.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak, alan problemlerinde bir çizim oluştururken, en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile doğrunun kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yol analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Dolayısıyla, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırıdır.

Mümkünse bu yöntemi kullanmamak en iyisidir..

Hatları nokta nokta inşa etmek çok daha karlı ve hızlı olurken, entegrasyonun sınırları sanki “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya dişli yapı entegrasyonun sınırlarını ortaya çıkarmadıysa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) limitleri bulmak için analitik yöntem hala bazen kullanılmalıdır. Ve böyle bir örneği de ele alacağız.

Görevimize geri dönüyoruz: önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Bir çizim yapalım:

Ve şimdi çalışma formülü: Aralıkta sürekli bir işlev varsa büyük veya eşit biraz sürekli fonksiyon , sonra şeklin alanı, grafik sınırlı Bu fonksiyonların ve düz çizgilerin , , formülü ile bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede olduğunu düşünmek gerekli değildir - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak, Hangi grafiğin ÜSTTE olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

İncelenen örnekte, segmentte parabolün düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarılması gerektiği açıktır.

Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:

İstenen şekil yukarıdan bir parabol ve aşağıdan düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Örnek 4

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Önce bir çizim yapalım:

Alanını bulmamız gereken şekil mavi ile gölgelendirilmiştir.(duruma dikkatlice bakın - şeklin nasıl sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, genellikle şeklin yeşil gölgeli alanını bulmanız gereken bir "aksaklık" meydana gelir!

Bu örnek, içinde şeklin alanının iki belirli integral kullanılarak hesaplanması açısından da yararlıdır.

Gerçekten:

1) Eksenin üzerindeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üzerindeki segmentte bir hiperbol grafiği bulunur.

Alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Siteye matematiksel formüller nasıl eklenir?

Bir web sayfasına bir veya iki matematiksel formül eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede açıklandığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha'nın otomatik olarak oluşturduğu resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. Basitliğe ek olarak, bu evrensel yöntem, sitenin arama motorlarında görünürlüğünü artırmaya yardımcı olacaktır. Uzun süredir çalışıyor (ve bence sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki olarak modası geçmiş.

Sitenizde sürekli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesi kullanan web tarayıcılarında matematik notasyonunu görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'i kullanmanızı öneririm.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, doğru zamanda uzak bir sunucudan otomatik olarak yüklenecek olan bir MathJax betiğini sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz (sunucu listesi); (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza yükleyin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. İkinci yöntem daha karmaşık ve zaman alıcıdır ve sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandırmanıza olanak tanır ve ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenle geçici olarak kullanılamaz hale gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlara rağmen daha basit, daha hızlı ve teknik beceri gerektirmediği için ilk yöntemi seçtim. Örneğimi takip edin ve 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

Ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan MathJax kitaplığı komut dosyasına bağlanabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketler arasına yapıştırılması gerekir. Ve veya etiketten hemen sonra . İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yüklenir ve sayfayı daha az yavaşlatır. Ancak ikinci seçenek, MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz, periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu yapıştırırsanız, sayfalar daha yavaş yüklenir, ancak MathJax güncellemelerini sürekli izlemenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol panelinde, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıdaki yükleme kodunun birinci veya ikinci sürümünü içine kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin. şablonun başlangıcı (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç gerekli değildir). Bu kadar. Şimdi MathML, LaTeX ve ASCIIMathML biçimlendirme sözdizimini öğrenin ve matematik formüllerini web sayfalarınıza yerleştirmeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal, sürekli olarak sınırsız sayıda uygulanan belirli bir kurala göre oluşturulur. Bu tür zamanların her birine iterasyon denir.

Bir Menger süngeri oluşturmak için yinelemeli algoritma oldukça basittir: 1 kenarı olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit kübe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzler boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Kalan 20 küçük küpten oluşan bir set ortaya çıkıyor. Bu küplerin her biri ile aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ederiz. Bu işleme süresiz devam ederek Menger süngerini elde ediyoruz.

Çift katlı integrali hesaplamanın gerçek sürecini düşünmeye ve geometrik anlamını tanımaya başlıyoruz.

Çift katlı integral sayısal olarak düz bir şeklin alanına (entegrasyon bölgesi) eşittir. Bu en basit hal iki değişkenin işlevi bire eşit olduğunda çift katlı integral: .

Önce sorunu ele alalım Genel görünüm. Şimdi gerçekten ne kadar basit olduğuna şaşıracaksınız! Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin alanını hesaplayalım. Kesinlik için, aralıkta olduğunu varsayıyoruz. Bu rakamın alanı sayısal olarak şuna eşittir:

Alanı çizimde gösterelim:

Alanı atlamanın ilk yolunu seçelim:

Böylece:

Ve hemen önemli bir teknik numara: yinelenen integraller ayrı olarak düşünülebilir. Önce iç integral, sonra dış integral. Bu yöntem, çaydanlıklar konusuna yeni başlayanlar için şiddetle tavsiye edilir.

1) İntegrasyon "y" değişkeni üzerinden yapılırken iç integrali hesaplayınız:

Buradaki belirsiz integral en basit olanıdır ve daha sonra tek farkla banal Newton-Leibniz formülü kullanılır. entegrasyonun sınırları sayılar değil, işlevlerdir. Önce üst limiti “y” (ters türev fonksiyonu) yerine koyduk, sonra alt limiti

2) Birinci paragrafta elde edilen sonuç dış integrale yazılmalıdır:

Tüm çözüm için daha kompakt bir gösterim şöyle görünür:

Ortaya çıkan formül - bu, "sıradan" belirli integrali kullanarak düz bir şeklin alanını hesaplamak için tam olarak çalışan formüldür! Derse bakın Belirli bir integral kullanarak alan hesaplama, her fırsatta orada!

Yani, çift katlı integral kullanarak alan hesaplama problemi biraz farklı Belirli bir integral kullanarak alanı bulma probleminden! Aslında, onlar bir ve aynıdır!

Buna göre, hiçbir zorluk çıkmamalıdır! Aslında bu sorunla defalarca karşılaştığınız için çok fazla örneği ele almayacağım.

Örnek 9

Çözüm: Alanı çizimde gösterelim:

Bölgenin aşağıdaki geçiş sırasını seçelim:

Burada ve aşağıda, bir alanın nasıl katedileceği konusuna girmeyeceğim çünkü ilk paragraf çok ayrıntılıydı.

Böylece:

Daha önce de belirttiğim gibi, yeni başlayanlar için yinelemeli integralleri ayrı ayrı hesaplamak daha iyidir, aynı yönteme bağlı kalacağım:

1) İlk olarak, Newton-Leibniz formülünü kullanarak iç integrali ele alıyoruz:

2) Birinci adımda elde edilen sonuç dış integralde yerine yazılır:

Nokta 2 aslında belirli bir integral kullanarak düz bir şeklin alanını bulmaktır.

Cevap:

İşte çok aptalca ve saf bir görev.

Bağımsız bir çözüm için ilginç bir örnek:

Örnek 10

Çift katlı integrali kullanarak, çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını hesaplayın , ,

Örnek Örnek dersin sonunda çözümü sonlandırmak.

Örnek 9-10'da, alanı baypas etmek için birinci yolu kullanmak çok daha karlı, bu arada meraklı okuyucular baypasın sırasını değiştirebilir ve ikinci şekilde alanları hesaplayabilir. Hata yapmazsanız doğal olarak aynı alan değerleri elde edilir.

Ancak bazı durumlarda, alanı atlamanın ikinci yolu daha etkilidir ve genç ineğin kursunun sonunda, bu konuyla ilgili birkaç örneğe daha bakalım:

Örnek 11

Çift katlı integrali kullanarak çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını hesaplayın.

Çözüm: yanlarında yatan bir esinti olan iki parabolü dört gözle bekliyoruz. Gülümsemeye gerek yok, çoklu integrallerde benzer şeylerle sıklıkla karşılaşılır.

Çizim yapmanın en kolay yolu nedir?

Parabolü iki fonksiyon olarak gösterelim:
- üst dal ve - alt dal.

Benzer şekilde, bir üst ve alt olarak bir parabol hayal edin. dallar.

Sonra, nokta nokta çizim sürücüleri, bu da çok tuhaf bir rakamla sonuçlanır:

Şeklin alanı, aşağıdaki formüle göre çift katlı integral kullanılarak hesaplanır:

Bölgeyi atlamak için ilk yolu seçersek ne olur? İlk olarak, bu alanın iki bölüme ayrılması gerekecektir. İkinci olarak, şu üzücü tabloyu gözlemleyeceğiz: . İntegraller elbette süper karmaşık bir seviyede değildir, ancak ... eski bir matematik deyişi vardır: köklerle dost olanın yola ihtiyacı yoktur.

Bu nedenle, koşulda verilen yanlış anlamadan ters fonksiyonları ifade ediyoruz:

ters fonksiyonlar v bu örnek herhangi bir yaprak, meşe palamudu, dal ve kök olmaksızın tüm parabolü anında yerleştirme avantajına sahiptirler.

İkinci yönteme göre, alan geçişi aşağıdaki gibi olacaktır:

Böylece:

Dedikleri gibi, farkı hissedin.

1) İç integrali ele alıyoruz:

Sonucu dış integralde yerine koyarız:

"y" değişkeni üzerinden entegrasyon utanç verici olmamalı, eğer "zyu" harfi olsaydı - onun üzerinden entegrasyon harika olurdu. Dersin ikinci paragrafını kim okusa da Dönen bir cismin hacmi nasıl hesaplanır, artık "y" üzerinden entegrasyondan en ufak bir utanç duymuyor.

Ayrıca ilk adıma dikkat edin: integral çifttir ve entegrasyon segmenti sıfıra yakın simetriktir. Bu nedenle, segment yarıya indirilebilir ve sonuç iki katına çıkarılabilir. Bu teknik derste ayrıntılı olarak yorumlandı Etkili Yöntemler belirli bir integralin hesaplanması.

Ne eklemek…. Tüm!

Cevap:

Entegrasyon tekniğinizi test etmek için hesaplamayı deneyebilirsiniz. . Cevap tamamen aynı olmalıdır.

Örnek 12

Çift katlı integrali kullanarak çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını hesaplayın

Bu bir kendin yap örneğidir. Alanı atlamak için ilk yolu kullanmaya çalışırsanız, şeklin artık ikiye değil, üç parçaya bölüneceğini not etmek ilginçtir! Ve buna göre, üç çift yinelenen integral elde ederiz. Bazen olur.

Ana sınıf sona erdi ve büyük usta seviyesine geçme zamanı - Çift katlı integral nasıl hesaplanır? Çözüm örnekleri. İkinci yazıda bu kadar manyak olmamaya çalışacağım =)

Sana başarılar diliyorum!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2:Çözüm: bir alan çiz çizimde:

Bölgenin aşağıdaki geçiş sırasını seçelim:

Böylece:
Ters fonksiyonlara geçelim:

Böylece:
Cevap:

Örnek 4:Çözüm: Direk fonksiyonlara geçelim:

Çizimi çalıştıralım:

Alanın geçiş sırasını değiştirelim:

Cevap:

Çözüm.

Kararın ilk ve en önemli anı, bir çizimin oluşturulmasıdır..

Bir çizim yapalım:

Denklem y=0 x eksenini ayarlar;

- x=-2 Ve x=1 - düz, eksene paralel kuruluş birimi;

- y \u003d x 2 +2 - dalları yukarı doğru yönlendirilmiş, tepe noktası (0;2) noktasında olan bir parabol.

Yorum. Bir parabol oluşturmak için, koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmak yeterlidir, yani. koyarak x=0 eksen ile kesişimi bulun kuruluş birimi ve uygun olana karar vermek ikinci dereceden denklem, eksen ile kesişimi bulun Ah .

Bir parabolün tepe noktası aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

Çizgiler ve nokta nokta çizebilirsiniz.

[-2;1] aralığında fonksiyonun grafiği y=x2 +2 bulunan eksen üzerinde Öküz , Bu yüzden:

Cevap: S \u003d 9 birim kare

Eğrisel yamuk bulunursa ne yapılmalı aks altı Ah?

B)Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın y=-e x , x=1 ve koordinat eksenleri.

Çözüm.

Bir çizim yapalım.

Eğrisel bir yamuk ise tamamen aksın altında Ah , daha sonra alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Cevap: S=(e-1) metrekare birim" 1,72 metrekare birim

Dikkat! İki tür görevi karıştırmayın:

1) Herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse, negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle, az önce ele alınan formülde eksi görünür.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur.

İle)Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını bulun y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Çözüm.

İlk önce bir çizim yapmalısın. Genel olarak, alan problemlerinde bir çizim oluştururken, en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişme noktalarını bulun ve doğrudan Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yol analitiktir.

Denklemi çözüyoruz:

Yani entegrasyonun alt limiti bir=0 , entegrasyonun üst sınırı b=3 .

Verilen doğruları oluşturuyoruz: 1. Parabol - (1;1) noktasındaki tepe noktası; eksen kesişimi Ah - puan(0;0) ve (0;2). 2. Düz çizgi - 2. ve 4. koordinat açılarının açıortayı. Ve şimdi Dikkat! [ bir;b] bazı sürekli işlevler f(x) bazı sürekli fonksiyonlara eşit veya daha büyük gr(x), ardından karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir: .

Ve şeklin nerede olduğu önemli değil - eksenin üstünde veya eksenin altında, ancak hangi grafiğin YÜKSEK (başka bir tabloya göre) ve hangisinin ALTTA olduğu önemlidir. İncelenen örnekte, segmentte parabolün düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarılması gerektiği açıktır.

Doğruları nokta nokta oluşturmak mümkünken, entegrasyonun sınırları "kendiliğinden" bulunmuş gibi bulunur. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya dişli yapı entegrasyonun sınırlarını ortaya çıkarmadıysa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) limitleri bulmak için analitik yöntem hala bazen kullanılmalıdır.