Ev › Salon › Grigory Perelman, Tanrı'nın olmadığını kanıtladı. Matematikçi Perelman Yakov: bilime katkı

Grigory Perelman, Tanrı'nın olmadığını kanıtladı. Matematikçi Perelman Yakov: bilime katkı

« Milenyum Mücadelesi”, bir Rus matematik dehası tarafından çözülmüştür, Evrenin kökeni ile ilgilidir. Bilmecenin özünü anlamak için her matematikçi verilmez ...

AKIL OYUNU

Yakın zamana kadar matematik, "rahiplerine" ne şan ne de zenginlik vaat etmiyordu. Onlar bile Nobel Ödülü vermedi Böyle bir adaylık yok. Nitekim çok popüler bir efsaneye göre Nobel'in karısı bir keresinde onu bir matematikçiyle aldatmıştır. Ve misilleme olarak, zengin adam tüm şık kardeşlerini saygısından ve ödül parasından mahrum etti.

2000 yılında durum değişti. Özel Clay Mathematics Institute en çok yedi tanesini seçti. zor görevler ve her karar için bir milyon dolar ödeme sözü verdi.

Matematikçilere saygıyla davranılırdı. 2001 yılında, ana karakteri bir matematikçi olan "A Beautiful Mind" filmi bile ekranlarda yayınlandı.

Şimdi sadece medeniyetten uzak insanlar farkında değil: vaat edilen milyonlardan biri - ilki - çoktan ödüllendirildi. Ödül, St. Petersburg'da ikamet eden bir Rus vatandaşına verildi. Grigory Perelman. 100 yılı aşkın bir süredir kimseye meydan okuyan ve çabalarıyla bir teorem haline gelen Poincaré varsayımını kanıtladı.

44 yaşındaki sakallı sevimli adamımız burnunu dünyanın dört bir yanına sildi. Ve şimdi onu - dünyayı - askıya almaya devam ediyor. Matematikçinin dürüstçe bir milyon doları hak edip etmeyeceği bilinmediği için reddediyor. Pek çok ülkedeki ilerici kamuoyu doğal olarak tedirgin. En azından tüm kıtalardaki gazeteler finansal ve matematiksel entrikaları anlatıyor.

Ve bu büyüleyici faaliyetlerin arka planına karşı - falcılık ve başkalarının parasını paylaşmak - Perelman'ın başarısının anlamı bir şekilde kayboldu. Kil Enstitüsü başkanı Jim Carlson, elbette, bir keresinde amacını belirtti. ödül havuzu- matematik biliminin prestijini artırma ve gençlerin ilgisini çekme girişimi kadar cevap arayışı değil. Ama yine de, amaç ne?

Grisha gençliğinde - o zaman bile bir dahiydi.

POINCARE HİPOTEZİ - NEDİR?

Rus dehasının çözdüğü bilmece, matematiğin topoloji denen bölümünün temellerini etkiliyor. Bu - topoloji - genellikle "lastik levha üzerinde geometri" olarak adlandırılır. Özelliklerle ilgilenir geometrik şekiller, form gerilirse, bükülürse, bükülürse korunur. Yani kırılmadan, kesilmeden ve yapıştırılmadan deforme olur.

Topoloji, uzayın özelliklerini anlamamıza izin verdiği için matematiksel fizik için önemlidir. Ya da bu mekanın şekline dışarıdan bakamadan değerlendirin. Örneğin, evrenimiz.

Poincare varsayımını açıklarken şöyle başlarlar: iki boyutlu bir küre hayal edin - bir lastik disk alın ve topun üzerinden çekin. Böylece diskin çevresi bir noktada toplanır. Benzer şekilde, örneğin bir spor sırt çantasını iple çekebilirsiniz. Sonuç bir küredir: bizim için - üç boyutlu, ancak matematik açısından - yalnızca iki boyutlu.

Sonra aynı diski bir çörek üzerine çekmeyi teklif ederler. Çalışıyor gibi görünüyor. Ancak diskin kenarları, artık bir noktaya çekilemeyen bir daireye dönüşecek - çörek kesecek.

kendi yazdığı gibi popüler kitap bir diğer Rus matematikçi, Vladimir Uspensky, "İki boyutlu kürelerin aksine, üç boyutlu kürelere doğrudan gözlemimizle erişilemez ve onları hayal etmemiz, iyi bilinen anekdot kare üçlüsünden Vasily Ivanovich için olduğu kadar zor."

Dolayısıyla, Poincaré hipotezine göre, üç boyutlu bir küre, yüzeyi bir tür varsayımsal "hiperkord" ile bir noktaya çekilebilen tek üç boyutlu şeydir.

Grigory Perelman: - Bir düşünün, Newton'un iki terimlisi...

Jules Henri Poincare bunu 1904'te önerdi. Şimdi Perelman, anlayan herkesi Fransız topologunun haklı olduğuna ikna etti. Ve hipotezini bir teoreme dönüştürdü.

Kanıt, evrenimizin hangi şekle sahip olduğunu anlamaya yardımcı olur. Ve bunun aynı üç boyutlu küre olduğunu oldukça makul bir şekilde varsaymamıza izin veriyor.

Ancak Evren bir noktaya kadar daraltılabilen tek "şekil" ise, o zaman muhtemelen bir noktadan gerilebilir. Bu, Evrenin tam da noktadan kaynaklandığını iddia eden Big Bang teorisinin dolaylı bir teyidi olarak hizmet ediyor.

Perelman'ın Poincare ile birlikte sözde yaratılışçıları - destekçileri - üzdüğü ortaya çıktı. ilahi başlangıç Evren. Ve materyalist fizikçilerin değirmenine su döktüler.

Poincaré varsayımını kanıtlaması ile dünya çapında ün kazanan St. Petersburglu dahi matematikçi Grigory Perelman, sonunda bunun için verilen milyon dolarlık ödülü reddettiğini açıkladı. devletler olarak" TVNZ Münzevi bilim adamı, Perelman'ın izniyle kendisi hakkında "Formula of the Universe" adlı uzun metrajlı filmi çekecek olan "President-Film" film şirketinin bir gazetecisi ve yapımcısıyla yaptığı konuşmada kendini açıkladı.

Alexander Zabrovsky, büyük matematikçiyle konuştuğu için şanslıydı - birkaç yıl önce İsrail'e gitmek üzere Moskova'dan ayrıldı ve ilk olarak Grigory Yakovlevich'in annesiyle St. Oğluyla konuştu ve iyi tanımladıktan sonra bir görüşme yapmayı kabul etti. Bu gerçekten bir başarı olarak adlandırılabilir - gazeteciler bilim adamını girişinde günlerce oturarak geçirmelerine rağmen "yakalayamadılar".

Zabrovsky'nin gazeteye söylediği gibi, Perelman "kesinlikle aklı başında, sağlıklı, yeterli ve normal bir insan" izlenimi verdi: "Gerçekçi, pragmatik ve mantıklı, ancak duygusallık ve heyecandan yoksun değil ... Basında kendisine atfedilen her şey , sanki "aklını kaçırmış" gibi - tam bir saçmalık! Tam olarak ne istediğini biliyor ve hedefe nasıl ulaşacağını biliyor. "

Matematikçinin temas kurduğu ve yardım etmeyi kabul ettiği film, kendisi hakkında değil, üç ana dünya matematik okulunun işbirliği ve yüzleşmesini konu alacak: çalışma yolunda en ileri olan Rus, Çin ve Amerikan. ve Evreni yönetmek.

Perelman'ın neden bir milyonu reddettiği sorulduğunda şu yanıtı verdi:

"Evreni nasıl yöneteceğimi biliyorum. Ve söyle bana - neden bir milyonun peşinden koşayım?"

Bilim adamı, Rus basınında kendisine söylendiği şekliyle gücendi.

Perelman, gazetecilerle iletişim kurmadığını, çünkü bilimle değil, kişisel ve ev içi meselelerle - bir milyonu reddetme nedenlerinden saç ve tırnak kesme sorununa kadar - açıkladı.

Spesifik olarak, kendisine karşı saygısız tavır nedeniyle Rus medyasıyla iletişim kurmak istemiyor. Örneğin, basında ona Grisha diyorlar ve bu tür bir aşinalık rahatsız ediyor.

Grigory Perelman, o zamandan beri okul yılları"beyin eğitimi" denen şeye alışkın. SSCB'den bir "delege" olarak nasıl kabul edildiğini hatırlayarak altın madalya Budapeşte'deki Matematik Olimpiyatı'nda şunları söyledi: “Soyut düşünme yeteneğinin vazgeçilmez bir koşul olduğu sorunları çözmeye çalıştık.

Matematiksel mantıktan bu soyutlamada ana nokta günlük egzersizler. Doğru çözümü bulmak için "dünyadan bir parça" hayal etmek gerekiyordu.

Böylesine "zor" bir göreve örnek olarak şunları gösterdi: "Unutma İncil efsanesiİsa Mesih'in karada olduğu gibi suda nasıl yürüdüğü hakkında. Bu yüzden, düşmemek için sularda ne kadar hızlı hareket etmesi gerektiğini hesaplamam gerekiyordu.

O zamandan beri Perelman, tüm faaliyetlerini Evrenin üç boyutlu uzayının özelliklerini inceleme problemini incelemeye adadı: "Bu çok ilginç. Enginliği kucaklamaya çalışıyorum."

Bilim adamı tezini Akademisyen Aleksandrov'un rehberliğinde yazdı. Matematikçi, "Konu basitti: 'Öklid geometrisinde eyer yüzeyleri'. Eşit boyutta ve sonsuzda birbirinden eşit olmayan şekilde yerleştirilmiş yüzeyler hayal edebiliyor musunuz? Aralarındaki 'boşlukları' ölçmemiz gerekiyor,' diye açıkladı matematikçi.

Dünya istihbarat servislerini korkutan Perelman'ın keşfi ne anlama geliyor?

"Evrenin Formülü" Poincare'nin ifadesi, evren teorisindeki karmaşık fiziksel süreçlerin incelenmesindeki önemi ve Evrenin şekli hakkındaki soruya bir cevap verdiği için çağrılmıştır. Bu kanıt, nanoteknolojinin gelişmesinde büyük rol oynayacak."

"Boşlukların nasıl hesaplanacağını öğrendim, meslektaşlarımla birlikte sosyal ve ekonomik "boşlukları" doldurma mekanizmalarını öğreneceğiz. Boşluklar her yerde. Hesaplanabilirler ve bu büyük fırsatlar sunuyor ...

Yayına göre, Grigory Yakovlevich'in keşfettiği ve aslında bugünün dünya biliminin ötesine geçen ölçeği, onu yalnızca Rus değil, aynı zamanda yabancı özel servislerin de sürekli ilgisinin nesnesi haline getirdi.

Evreni anlamaya yardımcı olan bazı süper bilgileri kavradı. Ve burada şu türden sorular ortaya çıkıyor: "Bilgisi pratik uygulama bulursa ne olacak?"

Aslında, gizli servislerin bilmesi gerekiyor - Perelman veya daha doğrusu bilgisi insanlık için bir tehdit mi? Ne de olsa, bilgisinin yardımıyla Evreni bir noktaya çevirmek ve sonra onu açmak mümkünse, o zaman farklı bir kapasitede ölebilir veya yeniden doğabilir miyiz? Ve sonra olacak mıyız? Ve evreni yönetmemiz gerekiyor mu?

VE BU ZAMAN

Dahi anne: "Bize para hakkında soru sormayın!"

Matematikçinin Milenyum Ödülü'ne layık görüldüğü öğrenilince, kapısının önünde bir gazeteci kalabalığı toplandı. Herkes Perelman'ı şahsen tebrik etmek ve meşru milyonunu alıp almayacağını öğrenmek istedi.

Uzun süre dayanıksız kapıyı çaldık (keşke onu prim parasıyla değiştirebilseydik), ama matematikçi kapıyı açmadı. Ama annesi oldukça anlaşılır bir şekilde koridordan "i" harfini noktaladı.

Kimseyle konuşmak istemiyoruz ve herhangi bir röportaj vermeyeceğiz, - diye bağırdı Lyubov Leibovna. - Ve bize bu ödül ve para hakkında soru sormayın.

Aynı girişte oturanlar, Perelman'a ani bir ilgi görünce çok şaşırdı.

Grisha'mız evli mi? komşulardan biri kıkırdadı. - Bir ödülüm var. Tekrar. Hayır, almayacak. Hiçbir şeye ihtiyacı yok, bir kuruşla yaşıyor ama kendi yolunda mutlu.

Matematikçinin arifesinde mağazadan tam paket ürünlerle görüldüğünü söylüyorlar. Annesiyle birlikte "kuşatmayı" sürdürmeye hazırlanıyordu. En son, ödülle ilgili basında çıkan yutturmaca başladığında, Perelman üç hafta boyunca daireden çıkmadı.

BU ARADA

Başka ne için bir milyon dolar verecekler ...

1998 yılında, milyarder Landon T. Clay'in fonlarıyla, matematiği yaygınlaştırmak için Cambridge'de (ABD) Clay Matematik Enstitüsü kuruldu. 24 Mayıs 2000'de enstitünün uzmanları, kendilerine göre en kafa karıştırıcı yedi sorunu seçtiler. Ve her biri için bir milyon dolar tahsis ettiler.

listenin adı .

1. Aşçı sorunu

Bir problemin çözümünün doğruluğunun doğrulanmasının, çözümün kendisinin elde edilmesinden daha uzun olup olmayacağını belirlemek gerekir. Bu mantıksal görev, kriptografi - veri şifreleme uzmanları için önemlidir.

2. Riemann hipotezi

2, 3, 5, 7 gibi sadece kendisine bölünebilen asal sayılar vardır. Kaç tane olduğu bilinmiyor. Riemann, bunun belirlenebileceğine ve dağılımlarının düzenliliğinin bulunabileceğine inanıyordu. Kim bulursa kriptografi hizmeti de verecek.

3. Birch ve Swinnerton-Dyer hipotezi

Problem, bir kuvvete yükseltilmiş üç bilinmeyenli denklemleri çözmekle ilgilidir. Ne kadar zor olursa olsun, onları nasıl çözeceğimizi bulmalıyız.

4. Hodge hipotezi

Yirminci yüzyılda, matematikçiler formu incelemek için bir yöntem keşfettiler. karmaşık nesneler. Fikir, nesnenin kendisi yerine birbirine yapıştırılmış ve benzerliğini oluşturan basit "tuğlalar" kullanmaktır. Bunun her zaman kabul edilebilir olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

5. Navier - Stokes denklemleri

Onları uçakta hatırlamaya değer. Denklemler, onu havada tutan hava akımlarını tanımlar. Şimdi denklemler, yaklaşık formüllere göre yaklaşık olarak çözülmüştür. Kesin olanları bulmak ve üç boyutlu uzayda denklemlerin her zaman doğru olan bir çözümünün olduğunu kanıtlamak gerekir.

6. Yang-Mills denklemleri

Fizik dünyasında bir hipotez vardır: Bir temel parçacığın kütlesi varsa, alt sınırı da vardır. Ama hangisi belli değil. Ona ulaşmalısın. Bu belki de en zor görevdir. Bunu çözmek için, doğadaki tüm güçleri ve etkileşimleri birleştiren denklemler olan bir "her şeyin teorisi" yaratmak gerekir. Kim başarılı olursa, kesinlikle Nobel Ödülü'nü alacak.

Saf matematiğin son büyük başarısı, 1904'te ifade edilen ve St. Petersburg'da 2002–2003'te.

Bu ifadede, genel anlamlarını matematikçi olmayanlar için açık hale getirecek şekilde açıklamaya çalışacağım birkaç terim var (okuyucunun konuyu bitirdiğini varsayıyorum). lise ve hala okul matematiğinden bir şeyler hatırlıyor).

Topolojide merkezi olan homeomorfizm kavramıyla başlayalım. Genel olarak, topoloji genellikle "kauçuk geometri" olarak tanımlanır, yani boşluklar ve yapıştırma olmadan düzgün deformasyonlar sırasında değişmeyen geometrik görüntülerin özelliklerinin bilimi veya daha doğrusu, bire bir kurmak mümkün ise - iki nesne arasında bir ve bire bir yazışma .

Ana fikir, klasik bir kupa ve simit örneğini kullanarak açıklamak en kolayıdır. Birincisi, sürekli deformasyonla ikinciye dönüştürülebilir.

Bu şekiller kupanın halkaya homeomorfik olduğunu açıkça göstermektedir ve bu gerçek hem yüzeyleri (simit adı verilen iki boyutlu manifoldlar) hem de dolu cisimler (sınırlı üç boyutlu manifoldlar) için geçerlidir.

Hipotezin formülasyonunda ortaya çıkan diğer terimlerin bir yorumunu verelim.

Sınırsız üç boyutlu bir manifold. Bu, her noktanın üç boyutlu bir top şeklinde bir mahalleye sahip olduğu çok geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri, ilk olarak, R3 ile gösterilen tüm üç boyutlu uzayın yanı sıra herhangi bir açık setler R3'teki noktalar, örneğin katı bir simidin (çörek) içi. Kapalı bir katı simidi ele alırsak, yani sınır noktalarını (simitin yüzeyi) toplarsak, o zaman zaten sınırı olan bir manifold elde ederiz - sınır noktalarının top şeklinde komşulukları yoktur, yalnızca topun yarısı şeklinde.
bağlandı. Bağlanabilirlik kavramı burada en basit olanıdır. Bir manifold, tek parçadan oluşuyorsa veya aynı şekilde herhangi iki noktası, sınırlarını aşmayan sürekli bir çizgi ile bağlanabiliyorsa bağlantılıdır.
Basitçe bağlandı. Tek bağlantılılık kavramı daha karmaşıktır. Bu, tamamen belirli bir manifold içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan bir iki boyutlu küre basitçe bağlıdır (bir elmanın yüzeyine gelişigüzel bir şekilde bağlanan bir elastik bant, elastik bandı elmadan koparmadan bir noktaya yumuşak bir deformasyonla büzülebilir). Öte yandan, daire ve simit basitçe bağlantılı değildir.
Kompakt. Bir manifold, homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir parçanın uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak (uçları olan) kapalı bir parça, sınırları olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için, uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parça, bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmelidir.

Boyut manifoldlar, üzerinde "yaşayan" noktadaki serbestlik derecesi sayısıdır. Her noktanın, karşılık gelen boyutta bir disk şeklinde bir komşuluğu vardır, yani tek boyutlu durumda bir çizgi aralığı, iki boyutlu durumda düzlem üzerinde bir daire, üç boyutlu durumda bir top , vb. Topoloji açısından bakıldığında, yalnızca iki adet tek boyutlu bağlı sınırsız manifold vardır: bu çizgi ve dairedir. Bunlardan sadece daire kompakttır.

Manifold olmayan bir uzay örneği, örneğin, kesişen bir çift çizgidir - sonuçta, iki çizginin kesiştiği noktada, herhangi bir komşuluk bir haç şeklindedir, bir komşuluğu yoktur. kendisi sadece bir aralık olabilir (ve diğer tüm noktaların böyle komşulukları vardır). Bu tür durumlarda matematikçiler, bir tekil noktası olan tekil bir manifoldla uğraştığımızı söylerler.

İki boyutlu kompakt manifoldlar iyi bilinmektedir. sadece düşünürsek odaklı sınırsız manifoldlar, o zaman topolojik bir bakış açısından sonsuz da olsa basit bir liste oluştururlar: vb. Bu tür her bir manifold, sayısı yüzeyin cinsi olarak adlandırılan birkaç tutamağın yapıştırılmasıyla bir küreden elde edilir.

Şekil 0, 1, 2 ve 3 cinsi yüzeyleri göstermektedir. Bir küre bu listedeki tüm yüzeylerden nasıl ayrılır? Basitçe bağlantılı olduğu ortaya çıktı: bir küre üzerinde, herhangi bir kapalı eğri bir noktaya kadar daraltılabilir ve başka herhangi bir yüzeyde, yüzey boyunca bir noktaya kadar daraltılamayan bir eğriyi belirtmek her zaman mümkündür.

Sınırsız üç boyutlu kompakt manifoldların da belirli bir anlamda sınıflandırılabilmeleri, yani iki boyutlu durumdaki kadar basit olmasa da oldukça karmaşık bir yapıya sahip olmalarına rağmen belirli bir listede düzenlenebilmeleri ilginçtir. Ancak 3B küre S 3, yukarıdaki listede yer alan 2B küre ile tamamen aynı şekilde bu listede öne çıkıyor. S 3 üzerindeki herhangi bir eğrinin bir noktaya kadar büzüldüğü gerçeğini kanıtlamak, iki boyutlu durumda olduğu kadar kolaydır. Ancak tersi iddia, yani bu özelliğin tam olarak küre için benzersiz olduğu, yani diğer herhangi bir üç boyutlu manifold üzerinde büzülmez eğriler olduğu iddiası çok zordur ve tam olarak bahsettiğimiz Poincare varsayımının içeriğini oluşturur. .

Manifoldun kendi başına yaşayabileceğini, herhangi bir yere yuvalanmamış bağımsız bir nesne olarak düşünülebileceğini anlamak önemlidir. (Üçüncü bir boyutun varlığından habersiz, sıradan bir kürenin yüzeyinde yaşayan iki boyutlu varlıkları hayal edin.) Neyse ki, yukarıdaki listedeki tüm iki boyutlu yüzeyler olağan R3 uzayına gömülebilir; görselleştirmeleri daha kolay. 3-küre S 3 için (ve genel olarak herhangi bir kompakt 3-manifold için sınırsız) bu artık geçerli değildir, dolayısıyla yapısını anlamak için biraz çaba gerekir.

Görünüşe göre en basit yol S 3 üç boyutlu kürenin topolojik yapısını tek noktalı kompaktlaştırma yardımıyla açıklamaktır. Yani, üç boyutlu küre S3, olağan üç boyutlu (sınırsız) alanın R3 tek noktalı bir kompaktlaştırmasıdır.

Önce bu yapıyı açıklayalım basit örnekler. Sıradan bir sonsuz düz çizgiyi (tek boyutlu bir uzay analoğu) alalım ve düz bir çizgi boyunca sağa veya sola hareket ederken sonunda bu noktaya geldiğimizi varsayarak ona "sonsuz derecede uzak" bir nokta ekleyelim. Topolojik bir bakış açısından, sonsuz bir çizgi ile sınırlı bir açık parça (uç noktaları olmadan) arasında fark yoktur. Böyle bir parça sürekli olarak bir yay şeklinde bükülebilir, uçları birbirine yaklaştırabilir ve eksik noktayı bağlantı noktasına yapıştırabilir. Açıkçası, bir daire elde ediyoruz - bir kürenin tek boyutlu bir analoğu.

Benzer şekilde, sonsuz bir düzlem alırsam ve orijinal düzlemin herhangi bir yönden geçen tüm çizgilerinin yöneldiği sonsuzda bir nokta eklersem, o zaman iki boyutlu (sıradan) bir küre elde ederiz S 2 . Bu prosedür, N'nin kuzey kutbu hariç, kürenin her bir P noktasına P düzleminin belirli bir noktasını atayan bir stereografik izdüşüm aracılığıyla gözlemlenebilir.

Böylece, tek noktası olmayan bir küre, topolojik olarak bir düzlemle aynıdır ve bir nokta eklemek, düzlemi bir küreye dönüştürür.

Prensip olarak, tam olarak aynı yapı üç boyutlu bir küre ve üç boyutlu uzay için geçerlidir, yalnızca uygulanması için dördüncü boyuta girmek gerekir ve bunu çizimde tasvir etmek o kadar kolay değildir. Bu yüzden kendimi sınırlayacağım sözlü açıklama R3 uzayının tek noktalı kompaktlaştırılması.

Fiziksel uzayımıza (Newton'u takip ederek, x, y, z üç koordinatlı sınırsız bir Öklid uzayı olarak kabul ediyoruz), herhangi bir düz çizgi boyunca hareket ederken "sonsuzda" bir nokta eklendiğini hayal edin. yön, siz düşersiniz (yani, her bir uzamsal çizgi bir daire şeklinde kapanır). Sonra kompakt bir üç boyutlu manifold elde ederiz ki bu, tanımı gereği S3 küresidir.

S 3 küresinin basitçe bağlantılı olduğunu görmek kolaydır. Aslında, bu küre üzerindeki herhangi bir kapalı eğri, eklenen noktadan geçmeyecek şekilde hafifçe kaydırılabilir. Daha sonra, normal uzay R3'te, homotetiler aracılığıyla bir noktaya kolayca büzülen bir eğri elde ederiz, yani üç yönde de sürekli daralma.

Manifold S3'ün nasıl yapılandırıldığını anlamak için, onun iki katı tori'ye bölünmesini ele almak çok öğreticidir. R 3 uzayından katı simit çıkarılırsa, o zaman çok net olmayan bir şey kalır. Ve boşluk bir küre şeklinde sıkıştırılırsa, bu tamamlayıcı da katı bir torusa dönüşür. Yani, S3 küresi, ortak bir sınıra sahip iki katı tori'ye bölünmüştür - bir torus.

İşte nasıl anlaşılabileceği. Simidi her zamanki gibi yuvarlak bir halka şeklinde R 3'e yerleştirelim ve dikey bir çizgi çizelim - bu halkanın dönme ekseni. Eksen boyunca keyfi bir düzlem çiziyoruz, şekilde gösterilen iki daire içinde katı torusumuzu kesecek yeşil ve düzlemin ek kısmı sürekli bir kırmızı daire ailesine bölünmüştür. Bunların arasında, daha kalın vurgulanan merkezi eksen vardır, çünkü S 3 küresinde çizgi bir daire şeklinde kapanır. Bu iki boyutlu resimden bir eksen etrafında döndürülerek üç boyutlu resim elde edilir. Tam bir döndürülmüş daire seti daha sonra üç boyutlu bir gövdeyi dolduracak, homeomorfik bir torusa dönüşecek, sadece alışılmadık görünüyor.

Aslında, merkezi eksen, içinde eksenel bir daire olacak ve geri kalanı, normal katı torusu oluşturan daireler - paralellikler rolünü oynayacak.

3-küreyi karşılaştıracak bir şeye sahip olmak için, kompakt bir 3-manifoldun başka bir örneğini, yani üç boyutlu bir simidi vereceğim. Üç boyutlu bir simit aşağıdaki gibi inşa edilebilir. Kaynak malzeme olarak sıradan bir üç boyutlu küpü ele alalım:

Üç çift yüzü vardır: sol ve sağ, üst ve alt, ön ve arka. Her paralel yüz çiftinde, küpün kenarı boyunca aktararak birbirinden elde edilen noktaları çiftler halinde tanımlarız. Yani, örneğin A ve A'nın "aynı nokta olduğunu ve B ve B"nin de bir nokta olduğunu ancak A noktasından farklı olduğunu (tamamen soyut olarak, fiziksel deformasyonlar uygulamadan) varsayacağız. küpü her zamanki gibi ele alacağız. Küpün kendisi sınırı olan bir manifolddur, ancak yapıştırma yapıldıktan sonra sınır kendi üzerine kapanır ve kaybolur. Aslında, küpteki A ve A" noktalarının komşulukları (sol ve sağ gölgeli yüzlerde bulunurlar), yüzleri birbirine yapıştırdıktan sonra bütün bir top halinde birleşen topların yarısıdır. üç boyutlu simidin karşılık gelen noktasının komşuluğu.

Fiziksel alanla ilgili sıradan fikirlere dayanan 3 torusun yapısını hissetmek için, karşılıklı olarak üç dikey yön seçmeniz gerekir: ileri, sol ve yukarı - ve bilim kurgu hikayelerinde olduğu gibi, herhangi birinde hareket ederken zihinsel olarak düşünün. Bu yönler, oldukça uzun ama sınırlı bir süre, başlangıç noktasına ancak ters yönden döneceğiz. Bu aynı zamanda bir "uzayın sıkıştırılmasıdır", ancak tek noktalı değil, daha önce bir küre oluşturmak için kullanılmış, ancak daha karmaşıktır.

3'lü torus üzerinde büzülmeyen yollar vardır; örneğin, bu şekildeki AA" segmentidir (simit üzerinde kapalı bir yolu gösterir). Daraltılamaz, çünkü herhangi bir sürekli deformasyon için, A ve A" noktaları yüzleri boyunca hareket etmeli ve birbirlerinin tam karşısında kalmalıdır. diğer (aksi takdirde eğri açılacaktır).

Böylece, basit bağlantılı ve basit bağlı olmayan kompakt 3-manifoldların olduğunu görüyoruz. Perelman, basit bağlı bir manifoldun tam olarak bir olduğunu kanıtladı.

Kanıtın başlangıç noktası, sözde "Ricci akışı"nın kullanılmasıdır: basit bir şekilde bağlanmış, kompakt bir 3-manifoldu alırız, keyfi bir geometri ile donatırız (yani, mesafeler ve açılarla bazı metrikler veririz) ve sonra düşünürüz Ricci akışı boyunca evrimi. 1981'de bu fikri ortaya atan Richard Hamilton, bu evrimle manifoldumuzun bir küreye dönüşeceğini umuyordu. Bunun doğru olmadığı ortaya çıktı - üç boyutlu durumda, Ricci akışı manifoldu bozabilir, yani onu biraz manifold yapabilir (yukarıdaki kesişen çizgi örneğinde olduğu gibi tekil noktaları olan bir şey). Perelman, inanılmaz teknik zorlukların üstesinden gelerek, kısmi diferansiyel denklemlerin ağır aparatını kullanarak, Ricci akışını tekil noktalara yakın bir şekilde, evrim sırasında manifoldun topolojisinin değişmeyeceği, tekil noktaların olmayacağı ve sonunda yuvarlak bir küreye dönüşür. Ama son olarak Ricci'nin bu akışının ne olduğunu açıklamak gerekiyor. Hamilton ve Perelman tarafından kullanılan akışlar, soyut bir manifold üzerindeki içsel metrikteki bir değişikliğe atıfta bulunur ve bunu açıklamak oldukça zordur, bu nedenle kendimi bir düzleme gömülü tek boyutlu manifoldlar üzerindeki "dış" Ricci akışını açıklamakla sınırlayacağım. .

Öklid düzleminde pürüzsüz, kapalı bir eğri hayal edin, bunun üzerinde bir yön seçin ve her noktada birim uzunlukta bir teğet vektör düşünün. Ardından, seçilen yönde eğri etrafında dönerken, bu vektör eğrilik adı verilen bir açısal hız ile dönecektir. Eğrinin daha dik olduğu yerde eğrilik (mutlak değer olarak) daha büyük olacak ve daha yumuşak olduğu yerde eğrilik daha az olacaktır.

Hız vektörü eğrimizin ikiye böldüğü düzlemin iç kısmına doğru dönerse eğrilik pozitif, dışa doğru dönerse negatif kabul edilir. Bu kural, eğrinin geçtiği yönden bağımsızdır. Dönmenin yön değiştirdiği bükülme noktalarında eğrilik 0 olacaktır. Örneğin, yarıçapı 1 olan bir dairenin sabit pozitif eğriliği 1'dir (radyan cinsinden ölçülür).

Şimdi teğet vektörleri unutalım ve eğrinin her noktasına, tam tersine, belirli bir noktadaki eğriliğe eşit uzunlukta ve eğrilik pozitifse içe doğru, negatifse dışa doğru ona dik bir vektör iliştirelim. , ve sonra her noktayı, uzunluğuyla orantılı hızla karşılık gelen vektör yönünde hareket etmeye zorlayacağız. İşte bir örnek:

Böyle bir evrim sırasında düzlemdeki herhangi bir kapalı eğrinin benzer şekilde davrandığı, yani sonunda bir daireye dönüştüğü ortaya çıktı. Bu, Ricci akışını kullanan Poincare varsayımının tek boyutlu analoğunun kanıtıdır (ancak, bu durumda ifadenin kendisi zaten açıktır, sadece ispat yöntemi 3. boyutta ne olduğunu göstermektedir).

Sonuç olarak, Perelman'ın argümanının yalnızca Poincaré varsayımını değil, aynı zamanda çok daha genel olan Thurston geometrileştirme varsayımını da kanıtladığını not ediyoruz. belli bir anlamda genel olarak tüm kompakt 3-manifoldların yapısını açıklar. Ancak bu konu, bu temel makalenin kapsamı dışındadır.

Yer olmadığı için, yönlendirilemeyen manifoldlardan bahsetmeyeceğim, bunun bir örneği ünlü Klein şişesidir - kendi kendine kesişmeyen bir alana gömülemeyen bir yüzey.

Clay Matematik Enstitüsü, Grigory Perelman'a Milenyum Ödülü'nü verdi ve böylece bir Rus matematikçi tarafından gerçekleştirilen Poincaré varsayımının doğru olduğunu resmen kabul etti. Bunu yaparken enstitünün kendi kurallarını çiğnemek zorunda kalması dikkat çekicidir - onlara göre, yalnızca çalışmalarını hakemli dergilerde yayınlayan bir yazar yaklaşık bir milyon dolar aldığını iddia edebilir, bu tam olarak ödül. Grigory Perelman'ın çalışması hiçbir zaman resmi olarak gün ışığına çıkmadı - arXiv.org web sitesinde (bir, iki ve üç) birkaç ön baskı seti olarak kaldı. Ancak enstitünün kararına neyin sebep olduğu o kadar da önemli değil - Milenyum Ödülü'nün verilmesi 100 yılı aşkın tarihe son veriyor.

Kupa, çörek ve biraz topoloji

Poincaré varsayımının ne olduğunu bulmadan önce, bu hipotezin hangi matematiğin - topoloji - ait olduğunu anlamak gerekir. Manifoldların topolojisi, belirli deformasyonlar altında değişmeyen yüzeylerin özellikleriyle ilgilenir. Klasik bir örnekle açıklayalım. Okuyucunun önünde bir çörek ve boş bir bardak olduğunu varsayalım. Geometri ve sağduyu açısından bunlar farklı nesnelerdir, çünkü çörekten kahveyi tüm arzunuzla içemeyeceksiniz.

Ancak topolog, fincan ve çörek aynı şey olduğunu söyleyecektir. Ve bunu şu şekilde açıklayacak: Bir fincan ve bir halkanın içi boş, çok elastik bir malzemeden yapılmış yüzeyler olduğunu hayal edin (bir matematikçi bir çift kompakt iki boyutlu manifold olduğunu söylerdi). Spekülatif bir deney yapalım: önce bardağın altını, ardından sapını şişiriyoruz, ardından bir torusa dönüşecek (çörek şekli matematiksel olarak böyle adlandırılıyor). Bu sürecin nasıl göründüğünü görebilirsiniz.

Elbette meraklı bir okuyucunun bir sorusu vardır: Yüzeyler buruşuk olabileceğine göre, nasıl ayırt edilebilirler? Sonuçta, örneğin, sezgisel olarak açıktır - bir simidi nasıl hayal ederseniz edin, ondan boşluklar ve yapıştırmalar olmadan bir küre elde edemezsiniz. Burada sözde değişmezler - deformasyon altında değişmeyen yüzey özellikleri - Poincaré hipotezinin formülasyonu için gerekli bir kavram devreye giriyor.

Sağduyu bize bir deliğin simidi küreden ayırdığını söyler. Bununla birlikte, bir delik matematiksel bir kavram olmaktan uzaktır, bu nedenle resmileştirilmesi gerekir. Bu şu şekilde yapılır - yüzeyde bir ilmek oluşturan çok ince bir elastik ipliğimiz olduğunu hayal edin (bu spekülatif deneyde, öncekinden farklı olarak, yüzeyin kendisinin katı olduğunu düşünüyoruz). İlmeği yüzeyden koparmadan ve kırmadan hareket ettireceğiz. İplik çok küçük bir daireye (neredeyse bir noktaya) kadar büzülebilirse, o zaman ilmekin büzülebilir olduğu söylenir. Aksi takdirde, döngü geri çekilemez olarak adlandırılır.

Bir torusun temel grubu n 1 (T 2) ile gösterilir. Önemsiz olmadığı için, farenin kolları geri çekilemeyen bir halka oluşturur. Hayvanın yüzündeki hüzün bu gerçeğin farkına varılmasının sonucudur.

Dolayısıyla, bir küre üzerindeki herhangi bir ilmeğin büzülebilir olduğunu görmek kolaydır (yaklaşık olarak nasıl göründüğünü görebilirsiniz), ancak bir simit için durum artık böyle değildir: bir çörek üzerinde iki adede kadar ilmek vardır - biri içine geçirilir bir delik ve diğeri, çekilemeyen "çevre boyunca" deliği atlar. Bu resimde, büzülemeyen ilmek örnekleri kırmızı ve mor sırasıyla. Yüzeyde döngüler olduğunda, matematikçiler "bir çeşitliliğin temel grubu önemsiz değildir" derler ve böyle döngüler yoksa önemsizdir.

Şimdi, Poincare varsayımını dürüstçe formüle etmek için, meraklı okuyucunun biraz daha sabırlı olması gerekiyor: genel olarak üç boyutlu bir manifoldun ve özel olarak da üç boyutlu bir kürenin ne olduğunu bulmamız gerekiyor.

Bir an için yukarıda tartıştığımız yüzeylere geri dönelim. Her biri o kadar küçük parçalara bölünebilir ki, her biri neredeyse bir uçak parçasına benzeyecektir. Düzlemin yalnızca iki boyutu olduğundan, manifoldun da iki boyutlu olduğu söylenir. Üç boyutlu bir manifold, her biri sıradan bir üç boyutlu uzay parçasına çok benzeyen küçük parçalara bölünebilen bir yüzeydir.

şef" aktör"Hipotez üç boyutlu bir küredir. Üç boyutlu bir küreyi dört boyutlu uzayda sıradan bir kürenin benzeri olarak hayal etmek muhtemelen aklınızı kaybetmeden imkansızdır. Ancak, bu nesneyi tarif etmek oldukça kolaydır, öyle ki "parçalar halinde" oldukça kolay bir şekilde konuşun.Bir küre gören herkes, sıradan bir kürenin kuzeyden ve kuzeyden birbirine yapıştırılabileceğini bilir ve Güney Yarımküre ekvator boyunca. Böylece, ekvatorun bir benzeri olan bir küre boyunca iki toptan (kuzey ve güney) üç boyutlu bir küre birbirine yapıştırılır.

Üç boyutlu manifoldlarda, sıradan yüzeylerde aldığımız döngülerin aynıları düşünülebilir. Dolayısıyla, Poincaré varsayımı şunu belirtir: "Üç boyutlu bir manifoldun temel grubu önemsizse, o zaman bir küreye homeomorftur." Gayri resmi dile tercüme edilen anlaşılmaz "bir küreye homeomorfik" ifadesi, yüzeyin bir küreye deforme olabileceği anlamına gelir.

biraz tarih

Genel olarak konuşursak, matematikte çok sayıda karmaşık ifadeyi formüle etmek mümkündür. Bununla birlikte, bunu veya bu hipotezi harika yapan, onu diğerlerinden ayıran nedir? İşin garibi, ancak büyük hipotez, her biri büyük bir hata - yanlışlık içeren çok sayıda yanlış kanıtla ayırt edilir ve bu, genellikle matematiğin tamamen yeni bir bölümünün ortaya çıkmasına yol açar.

Bu nedenle, başlangıçta, diğer şeylerin yanı sıra parlak hatalar yapma yeteneği ile ayırt edilen Henri Poincaré, hipotezi yukarıda yazdığımızdan biraz farklı bir biçimde formüle etti. Bir süre sonra, iddiasına, homolojik Poincaré 3-küresi olarak bilinen bir karşı örnek verdi ve 1904'te, çoktan ortaya çıkmış bir varsayım formüle etti. modern biçim. Bu arada, son zamanlarda bilim adamları küreyi astrofizikte uyarladılar - Evrenin homolog bir Poincaré 3-küre olabileceği ortaya çıktı.

Hipotezin diğer geometri arkadaşları arasında fazla heyecan yaratmadığı söylenmelidir. 1934 yılında İngiliz matematikçi John Henry Whitehead hipotezin ispatının kendi versiyonunu sunduğunda durum böyleydi. Bununla birlikte, çok geçmeden kendisi, daha sonra tüm Whitehead manifoldları teorisinin ortaya çıkmasına yol açan bir akıl yürütme hatası buldu.

Bundan sonra, son derece zor bir görevin ihtişamı, hipoteze yavaş yavaş yerleşti. Birçok büyük matematikçi fırtına gibi almaya çalıştı. Örneğin, belgelerde ad yerine baş harfleri yazan (kesinlikle resmi olarak) bir matematikçi olan Amerikalı R.H.Bing. Hipotezi kanıtlamak için birkaç başarısız girişimde bulundu ve bu süreçte kendi ifadesini formüle etti - sözde "P özelliği varsayımı" (P Özelliği varsayımı). Bing tarafından bir ara ifade olarak kabul edilen bu ifadenin, Poincaré varsayımının kendisinin ispatından neredeyse daha karmaşık olduğu dikkat çekicidir.

Bunu kanıtlamak için hayatlarını ortaya koyan bilim adamları ve insanlar arasında vardı. matematiksel gerçek. Örneğin, Yunan asıllı ünlü matematikçi Christos Papakiriakopoulos. On yıldan fazla bir süre Princeton'da çalışırken varsayımını kanıtlamaya çalıştı, başarısız oldu. 1976'da kanserden öldü.

Poincaré varsayımının üçün üzerindeki boyut manifoldlarına genelleştirilmesinin, orijinalinden fark edilir derecede daha basit olduğu dikkat çekicidir - ekstra boyutlar, manifoldları manipüle etmeyi kolaylaştırdı. Böylece, n boyutlu manifoldlar için (n en az 5 olduğunda), varsayım 1961'de Stephen Smale tarafından kanıtlandı. n = 4 için varsayım, Michael Friedman tarafından 1982'de Smale'ninkinden tamamen farklı bir yöntemle kanıtlandı. Kanıtı için, ikincisi Fields Madalyasını aldı - en yüksek ödül matematikçiler için.

Anlatılan eserler çok uzaktır. tam liste yüzyılı aşkın hipotezi çözmeye çalışır. Ve çalışmaların her biri matematikte bütün bir yönün ortaya çıkmasına yol açsa ve bu anlamda başarılı ve önemli kabul edilebilse de, yalnızca Rus Grigory Perelman sonunda Poincaré varsayımını kanıtlamayı başardı.

Perelman ve kanıt

1992'de, o zamanlar Matematik Enstitüsü'nün bir çalışanı olan Grigory Perelman. Steklov, Richard Hamilton'ın dersine girdi. Amerikalı matematikçi Ricci akışlarından - Thurston'ın geometrileştirme varsayımını incelemek için yeni bir araçtan - Poincaré varsayımının basit bir sonuç olarak elde edildiği bir olgudan bahsetti. Bir anlamda ısı transferi denklemlerine benzetilerek oluşturulan bu akışlar, bu yazının başında iki boyutlu yüzeyleri deforme ettiğimiz gibi, yüzeylerin zamanla deforme olmasına neden oldu. Bazı durumlarda, böyle bir deformasyonun sonucunun, yapısı kolayca anlaşılabilen bir nesne olduğu ortaya çıktı. Asıl zorluk, deformasyon sırasında, bir anlamda astrofizikteki kara deliklere benzeyen, sonsuz eğriliğe sahip tekilliklerin ortaya çıkmasıydı.

Dersten sonra Perelman, Hamilton'a yaklaştı. Daha sonra Richard'ın kendisini hoş bir şekilde şaşırttığını söyledi: "Gülümsedi ve çok sabırlıydı. Hatta sadece birkaç yıl sonra yayınlanan bazı gerçekleri bile bana anlattı. Bunu tereddüt etmeden yaptı. Açıklığı ve nezaketi beni şaşırttı. Söyleyemem. çoğu modern matematikçinin böyle davrandığını."

Amerika Birleşik Devletleri'ne yaptığı bir geziden sonra Perelman, Rusya'ya döndü ve burada Ricci akışlarının tekillikleri sorununu çözmek ve geometrikleşme hipotezini (ve Poincaré hipotezini hiç de değil) gizlice kanıtlamak için çalışmaya başladı. Perelman'ın ilk ön baskısının 11 Kasım 2002'de ortaya çıkmasının matematik camiasını şok etmesi şaşırtıcı değil. Bir süre sonra birkaç eser daha ortaya çıktı.

Bundan sonra Perelman kanıt tartışmasından çekildi ve hatta matematik yapmayı bıraktığını söylüyorlar. Matematikçiler için en prestijli ödül olan Fields Madalyası ile ödüllendirildiği 2006 yılında bile yalnız yaşam tarzını bozmadı. Yazarın bu davranışının nedenlerini tartışmanın bir anlamı yok - bir dahinin tuhaf davranma hakkı vardır (örneğin, Amerika'da olmak, Perelman tırnaklarını kesmedi, özgürce büyümelerine izin verdi).

Her ne olursa olsun, Perelman'ın ispatı kendi başına bir can aldı: üç ön baskı, modern matematikçilerin peşini bırakmadı. Rus matematikçinin fikirlerini test etmenin ilk sonuçları 2006'da ortaya çıktı - Michigan Üniversitesi'nden büyük geometri bilimciler Bruce Kleiner ve John Lott bir ön baskı yayınladı. kendi işi, daha çok bir kitap gibi - 213 sayfa. Bu çalışmada bilim adamları, Rus matematikçinin çalışmasında yalnızca kısaca belirtilen çeşitli ifadeleri ayrıntılı olarak açıklayarak Perelman'ın tüm hesaplamalarını dikkatlice kontrol ettiler. Araştırmacıların kararı kesindi: kanıtlar kesinlikle doğru.

Bu hikayede beklenmedik bir dönüş aynı yılın Temmuz ayında geldi. dergide Asya Matematik DergisiÇinli matematikçiler Xiping Zhu ve Huaidong Cao'nun "Thurston Geometrizasyon Sanısı ve Poincaré Sanısı'nın Eksiksiz Bir Kanıtı" başlıklı bir makalesi çıktı. Bu çalışma çerçevesinde, Perelman'ın sonuçları önemli, faydalı, ancak yalnızca orta düzeyde kabul edildi. bu iş Batı'daki uzmanlar arasında şaşkınlık yarattı, ancak Doğu'da çok olumlu eleştiriler aldı. Özellikle, sonuçlar, sicim teorisinin temelini oluşturan Calabi-Yau teorisinin kurucularından biri olan Shintan Yau ile Cao ve Ju'nun öğretmeni tarafından desteklendi. Mutlu bir tesadüf eseri, derginin genel yayın yönetmeni Yau idi. Asya Matematik Dergisi eserin yayınlandığı yer.

Bundan sonra matematikçi, Çinli matematikçilerin başarılarından bahsederek popüler derslerle dünyayı dolaşmaya başladı. Sonuç olarak, çok yakında Perelman ve hatta Hamilton'ın sonuçlarının arka plana düşme tehlikesi vardı. Bu, matematik tarihinde birden çok kez oldu - belirli matematikçilerin adlarını taşıyan birçok teorem, tamamen farklı kişiler tarafından icat edildi.

Ancak bu olmadı ve muhtemelen şimdi de olmayacak. Clay Ödülü'nün Perelman'a sunumu (reddetse bile) sonsuza dek çimentolandı. kamu bilinci gerçek: Rus matematikçi Grigory Perelman, Poincaré varsayımını kanıtladı. Aslında, Ricci akışlarının tamamen yeni bir tekillik teorisini geliştirerek daha genel bir gerçeği kanıtlamış olması önemli değil. Olsa bile. Ödül bir kahraman buldu.

Fotoğraf: N. Chetverikova Saf matematiğin son büyük başarısı, 1904'te ifade edilen ve "her bağlı, basit bağlantılı, kompakt üç boyutlu manifoldun sınırsız, S 3 küresine homeomorfik olduğunu" belirten Poincaré varsayımının kanıtıdır. 2002-2003'te St. Petersburg'dan Grigory Perelman.

Bu cümlede, genel anlamları matematik olmayanlar için netleşecek şekilde açıklamaya çalışacağım birkaç terim var (okuyucunun liseden mezun olduğunu ve hala okul matematiğinden bir şeyler hatırladığını varsayıyorum).

Ana fikir, klasik bir kupa ve simit örneğini kullanarak açıklamak en kolayıdır. Birincisi, sürekli bir deformasyonla ikinciye dönüştürülebilir: Bu rakamlar, kupanın halkaya homeomorfik olduğunu açıkça göstermektedir ve bu gerçek, hem yüzeyleri (simit adı verilen iki boyutlu manifoldlar) hem de dolu cisimler için doğrudur ( Sınırlı üç boyutlu manifoldlar).

Hipotezin formülasyonunda ortaya çıkan diğer terimlerin bir yorumunu verelim.

1. Sınırsız üç boyutlu manifold. Bu, her noktanın üç boyutlu bir top şeklinde bir mahalleye sahip olduğu çok geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri, ilk olarak, R3 ile gösterilen tüm üç boyutlu uzayın yanı sıra R3'teki herhangi bir açık nokta kümesi, örneğin katı bir torusun (çörek) iç kısmıdır. Kapalı bir katı simidi ele alırsak, yani sınır noktalarını (simitin yüzeyi) eklersek, o zaman zaten sınırı olan bir manifold elde ederiz - sınır noktalarının top şeklinde komşulukları yoktur, yalnızca formda topun yarısında.

2. Bağlandı. Bağlanabilirlik kavramı burada en basit olanıdır. Bir manifold, tek bir parçadan oluşuyorsa veya aynı şekilde herhangi iki noktası, sınırlarını aşmayan sürekli bir çizgi ile bağlanabiliyorsa bağlantılıdır.

3. Basitçe bağlanın. Tek bağlantılılık kavramı daha karmaşıktır. Bu, tamamen belirli bir manifold içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan bir iki boyutlu küre basitçe bağlıdır (bir elmanın yüzeyine gelişigüzel bir şekilde bağlanan bir elastik bant, elastik bandı elmadan koparmadan bir noktaya yumuşak bir deformasyonla büzülebilir). Öte yandan, daire ve simit basitçe bağlantılı değildir.

4. Kompakt. Bir manifold, homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir parçanın uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak (uçları olan) kapalı bir parça, sınırları olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için, uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parça, bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmelidir.

Boyut manifold, üzerinde "yaşayan" noktadaki serbestlik derecesi sayısıdır. Her noktanın, karşılık gelen boyutta bir disk şeklinde bir komşuluğu vardır, yani tek boyutlu durumda bir çizgi aralığı, iki boyutlu durumda düzlem üzerinde bir daire, üç boyutlu durumda bir top , vb. Topoloji açısından bakıldığında, yalnızca iki adet tek boyutlu bağlı sınırsız manifold vardır: bu çizgi ve dairedir. Bunlardan sadece daire kompakttır.

İki boyutlu kompakt manifoldlar iyi bilinmektedir. sadece düşünürsek odaklı 1 sınırsız manifoldlar, o zaman topolojik bir bakış açısından sonsuz da olsa basit bir liste oluştururlar: vb. Bu tür her bir manifold, sayısı yüzeyin cinsi olarak adlandırılan birkaç tutamağın yapıştırılmasıyla bir küreden elde edilir.

1 Yer olmadığı için, yönlendirilemeyen manifoldlardan bahsetmeyeceğim, bunun bir örneği ünlü Klein şişesidir - kendi kendine kesişmeyen bir alana gömülemeyen bir yüzey.

Görünüşe göre, üç boyutlu S 3 küresinin topolojik yapısını açıklamanın en basit yolu, tek noktalı kompaktlaştırmanın yardımıyladır. Yani, üç boyutlu küre S3, olağan üç boyutlu (sınırsız) alanın R3 tek noktalı bir kompaktlaştırmasıdır.

Bu yapıyı önce basit örneklerle açıklayalım. Sıradan bir sonsuz düz çizgiyi (tek boyutlu bir uzay analoğu) alalım ve düz bir çizgi boyunca sağa veya sola hareket ederken sonunda bu noktaya geldiğimizi varsayarak ona "sonsuz derecede uzak" bir nokta ekleyelim. Topolojik bir bakış açısından, sonsuz bir çizgi ile sınırlı bir açık parça (uç noktaları olmadan) arasında fark yoktur. Böyle bir parça sürekli olarak bir yay şeklinde bükülebilir, uçları birbirine yaklaştırabilir ve eksik noktayı bağlantı noktasına yapıştırabilir. Açıkçası, bir daire elde ediyoruz - bir kürenin tek boyutlu bir analoğu.

Benzer şekilde, sonsuz bir düzlem alırsam ve orijinal düzlemin herhangi bir yönden geçen tüm çizgilerinin yöneldiği sonsuzda bir nokta eklersem, o zaman iki boyutlu (sıradan) bir küre elde ederiz S 2 . Bu prosedür, N'nin kuzey kutbu hariç, kürenin her P noktasına P düzleminin belirli bir noktasını atayan bir stereografik izdüşüm kullanılarak gözlemlenebilir:

Böylece, tek noktası olmayan bir küre, topolojik olarak bir düzlemle aynıdır ve bir nokta eklemek, düzlemi bir küreye dönüştürür.

Prensip olarak, tam olarak aynı yapı üç boyutlu bir küre ve üç boyutlu uzay için geçerlidir, yalnızca uygulanması için dördüncü boyuta girmek gerekir ve bunu çizimde tasvir etmek o kadar kolay değildir. Bu nedenle, kendimi R3 uzayının tek noktalı kompaktlaştırmasının sözel bir tanımıyla sınırlıyorum.

İşte nasıl anlaşılabileceği. Simidi her zamanki gibi yuvarlak bir halka şeklinde R 3'e yerleştirelim ve dikey bir çizgi çizelim - bu halkanın dönme ekseni. Eksen boyunca keyfi bir düzlem çizin, şekilde yeşil ile gösterilen iki daire boyunca katı torusumuzu kesecek ve düzlemin ek kısmı sürekli bir kırmızı daire ailesine bölünecektir. Bunların arasında, daha kalın vurgulanan merkezi eksen vardır, çünkü S 3 küresinde çizgi bir daire şeklinde kapanır. Bu iki boyutlu resimden bir eksen etrafında döndürülerek üç boyutlu resim elde edilir. Tam bir döndürülmüş daire seti daha sonra üç boyutlu bir gövdeyi dolduracak, homeomorfik bir torusa dönüşecek, sadece alışılmadık görünüyor.

Aslında, merkezi eksen, içinde eksenel bir daire olacak ve geri kalanı, normal katı torusu oluşturan daireler - paralellikler rolünü oynayacak.

Üç çift yüzü vardır: sol ve sağ, üst ve alt, ön ve arka. Her paralel yüz çiftinde, küpün kenarı boyunca aktararak birbirinden elde edilen noktaları çiftler halinde tanımlarız. Yani, örneğin A ve A'nın "aynı nokta olduğunu ve B ve B"nin de bir nokta olduğunu ancak A noktasından farklı olduğunu (tamamen soyut olarak, fiziksel deformasyonlar uygulamadan) varsayacağız. küpü her zamanki gibi ele alacağız. Küpün kendisi kenarlı bir manifolddur, ancak yapıştırma yapıldıktan sonra kenar kendi üzerine kapanır ve kaybolur. Aslında, küpteki A ve A" noktalarının komşulukları (sol ve sağ gölgeli yüzlerde bulunurlar), yüzleri birbirine yapıştırdıktan sonra bütün bir top halinde birleşen topların yarısıdır. üç boyutlu simidin karşılık gelen noktasının komşuluğu.

3 torusun yapısını fiziksel alanla ilgili sıradan fikirlere dayanarak hissetmek için, karşılıklı olarak üç dikey yön seçmeniz gerekir: ileri, sol ve yukarı - ve bilim kurgu hikayelerinde olduğu gibi, herhangi birinde hareket ederken zihinsel olarak düşünün. bu yönler, oldukça uzun ama sınırlı bir süre , başlangıç noktasına geri döneceğiz, ancak ters yönden Bu aynı zamanda bir "uzayın sıkıştırılması", ancak daha önce bir küre oluşturmak için kullanılan tek nokta değil, ama daha karmaşık.

Böylece, basit bağlantılı ve basit bağlı olmayan kompakt 3-manifoldların olduğunu görüyoruz. Perelman, basit bağlı bir manifoldun tam olarak bir olduğunu kanıtladı.

Kanıtın ilk fikri, sözde "Ricci akışını" kullanmaktır: basit bir şekilde bağlanmış, kompakt bir 3-manifoldu alıyoruz, ona keyfi bir geometri veriyoruz (yani, mesafeler ve açılarla bazı metrikler getiriyoruz) ve sonra Ricci akışı boyunca evrimini düşünün. 1981'de bu fikri ortaya atan Richard Hamilton, bu evrimle manifoldumuzun bir küreye dönüşeceğini umuyordu. Bunun doğru olmadığı ortaya çıktı - üç boyutlu durumda, Ricci akışı manifoldu bozabilir, yani onu biraz manifold yapabilir (yukarıdaki kesişen çizgi örneğinde olduğu gibi tekil noktaları olan bir şey). Perelman, inanılmaz teknik zorlukların üstesinden gelerek, kısmi diferansiyel denklemlerin ağır aparatını kullanarak, Ricci akışını tekil noktalara yakın bir şekilde, evrim sırasında manifoldun topolojisinin değişmeyeceği, tekil noktaların olmayacağı ve Sonunda yuvarlak bir küreye dönüşür. Ama sonunda bu Ricci akışının ne olduğunu açıklamalıyız. Hamilton ve Perelman tarafından kullanılan akışlar, soyut bir manifold üzerindeki içsel metrikteki bir değişikliğe atıfta bulunur ve bunu açıklamak oldukça zordur, bu nedenle kendimi bir düzleme gömülü tek boyutlu manifoldlar üzerindeki "dış" Ricci akışını açıklamakla sınırlayacağım. .

Hız vektörü eğrimizin ikiye böldüğü düzlemin iç kısmına doğru dönerse eğrilik pozitif, dışa doğru dönerse negatif kabul edilir. Bu kural, eğrinin geçildiği yöne bağlı değildir. Dönmenin yön değiştirdiği bükülme noktalarında eğrilik 0 olacaktır. Örneğin, yarıçapı 1 olan bir dairenin sabit pozitif eğriliği 1'dir (radyan cinsinden ölçülür).

Düzlemdeki herhangi bir kapalı eğrinin böyle bir evrim sırasında benzer şekilde davrandığı, yani sonunda bir daireye dönüştüğü ortaya çıktı. Bu, Ricci akışını kullanan Poincare varsayımının tek boyutlu analoğunun kanıtıdır (ancak, bu durumda ifadenin kendisi zaten açıktır, sadece ispat yöntemi 3. boyutta ne olduğunu göstermektedir).

Sonuç olarak, Perelman'ın argümanının yalnızca Poincaré varsayımını değil, aynı zamanda genel olarak tüm kompakt 3-manifoldların yapısını bir anlamda tanımlayan çok daha genel Thurston geometrileştirme varsayımını da kanıtladığını not ediyoruz. Ancak bu konu, bu temel makalenin kapsamı dışındadır.

Sergey Düzin,
Fizik ve Matematik Doktoru Bilimler,
kıdemli Araştırmacı
Petersburg şubesi
Rusya Bilimler Akademisi Matematik Enstitüsü

Poincaré'nin teoremi, "Evrenin" matematiksel formülüdür. Grigory Perelman. 1. Bölüm (diziden " Gerçek adam bilimde")

En büyük matematikçilerden biri olan Henri Poincare (1854-1912), 1904'te ünlü deforme olmuş üç boyutlu küre fikrini formüle etti ve 65 sayfalık bir makalenin sonuna küçük bir marjinal not şeklinde kondu. bambaşka bir konu, birkaç satırlık oldukça garip bir varsayım karaladı: "Eh, bu soru bizi çok uzağa götürebilir" ...

Oxford Üniversitesi'nden Marcus Du Sotoy, Poincaré teoreminin "bu merkezi sorun matematik ve fizik, anlamaya çalışmak hangi form Belki Evren Ona yaklaşmak çok zor."

Grigory Perelman, Institute for Advanced Study'de bir seminere katılmak için haftada bir kez Princeton'a gidiyordu. Seminerde Harvard Üniversitesi matematikçilerinden biri Perelman'ın sorusunu yanıtlıyor: “Geometrizasyon hipotezi olarak adlandırılan William Thurston'ın (1946-2012, matematikçi,“ Üç boyutlu geometri ve topoloji ”alanında çalışan teorisi) mümkün olan her şeyi açıklıyor. üç boyutlu yüzeyler ve Poincaré hipotezi ile karşılaştırıldığında ileri bir adımdır. William Thurston'ın varsayımını kanıtlarsanız, Poincare varsayımı size tüm kapılarını ve daha fazlasını açacaktır. çözümü, modern bilimin tüm topolojik manzarasını değiştirecek».

Mart 2003'te önde gelen altı Amerikan üniversitesi, Perelman'ı çalışmalarını açıklayan bir dizi dersi okumaya davet ediyor. Nisan 2003'te Perelman bilimsel bir gezi yapar. Dersleri olağanüstü bir bilimsel olay haline gelir. John Ball (Uluslararası Matematik Birliği başkanı), Andrew Wiles (matematikçi, eliptik eğrilerin aritmetiği alanında çalışıyor, 1994'te Fermat teoremini kanıtladı), John Nash (oyun teorisi ve diferansiyel geometri alanında çalışan matematikçi) Princeton onu dinlemek için.

Grigory Perelman milenyumun yedi görevinden birini çözmeyi başardı. Ve matematiksel olarak tanımla sözde evrenin formülü, Poincaré varsayımını kanıtlamak için. En parlak beyinler, 100 yıldan fazla bir süredir bu hipotez üzerinde savaştı ve dünya matematik topluluğunun (Clay Mathematical Institute) 1 milyon dolar vaat ettiği kanıtı için 8 Haziran 2010'da sunuldu. , ve dünya matematik topluluğu "ağzı açık bıraktı."

2006 yılında, matematikçi Poincaré varsayımını çözdüğü için en yüksek matematik ödülü olan Fields Ödülü'ne (Fields Madalyası) layık görüldü. John Ball, ödülü kabul etmesi için St. Petersburg'u bizzat ziyaret etti. Bunu şu sözlerle kabul etmeyi reddetti: "Toplum işimi ciddi bir şekilde değerlendiremiyor."

“Fields Ödülü (ve madalyası), her uluslararası matematik kongresinde 4 yılda bir, matematiğin gelişimine önemli katkılarda bulunan genç bilim insanlarına (40 yaş altı) verilir. Madalyaya ek olarak, ödül alanlara 15.000 Kanada doları (13.000 $) verildi.”

Orijinal formülasyonunda, Poincaré varsayımı şu şekildedir: "Sınırsız, basit bir şekilde bağlanmış her kompakt üç boyutlu manifold, üç boyutlu bir küreye homeomorfiktir." Ortak bir dile çevrildiğinde bu, herhangi bir üç boyutlu nesnenin, örneğin bir camın tek başına deformasyonla topa dönüştürülebileceği, yani kesilmesine veya yapıştırılmasına gerek kalmayacağı anlamına gelir. Başka bir deyişle, Poincaré şunu önerdi: uzay üç boyutlu değildir, ancak çok daha fazla sayıda boyut içerir ve 100 yıl sonra Perelman matematiksel olarak kanıtladı.

Grigory Perelman'ın Poincaré'nin maddenin başka bir duruma, forma dönüşmesine ilişkin teoremini açıklaması, Anastasia Novykh'in "Sensei IV": iğneler" kitabında ortaya koyduğu bilgiye benzer. Gözlemci tarafından altıncının üzerindeki boyutların kontrolünden (7'den 72'ye dahil) getirilen dönüşümler aracılığıyla maddi Evreni kontrol etme yeteneğinin yanı sıra ("PRİMER ALLATRA FİZİĞİ" konusu "Ezoosmik ızgara" raporunu bildirin).

Grigory Perelman, hayatın sadeliği, hem kendisi hem de başkaları için etik gereksinimlerin ciddiyeti ile ayırt edildi. Ona bakınca insan sadece onun olduğu hissine kapılıyor. bedensel ikamet diğer tüm çağdaşlarla ortak olarak uzay, A Ruhsal olarak başka, nerede bile 1 milyon dolar için gitmeyin en "masum" vicdanla uzlaşma. Ve bu nasıl bir alan ve ona göz ucuyla bakmak bile mümkün mü? ..

Yaklaşık bir asır önce matematikçi Poincaré tarafından ortaya atılan hipotezin istisnai önemi, üç boyutlu yapılarla ilgilidir ve anahtar elemançağdaş araştırma evrenin temelleri. Clay Enstitüsü uzmanlarına göre bu bilmece, geleceğin matematiğinin gelişimi için temel olarak önemli olan yedi bilmeceden biridir.

Madalyaları ve ödülleri reddeden Perelman, “Onlara neden ihtiyacım var? Benim için kesinlikle işe yaramazlar. Herkes, kanıt doğruysa, başka bir tanıma gerekmediğini anlar. Kuşku geliştirene kadar, ya düşük ahlaki seviyesi nedeniyle matematik topluluğunun bir bütün olarak parçalanması hakkında yüksek sesle konuşma ya da hiçbir şey söylememe ve kendime sığır gibi davranılmasına izin verme seçeneğim vardı. Şimdi, şüphelenmekten de öteye geçtiğimde, sığır gibi kalıp sessiz kalmaya devam edemem, bu yüzden sadece gidebilirim.

Modern matematiği yapabilmek için, onu parçalayan, yönünü değiştiren, değerlerin yerine geçen en ufak bir karışım olmadan tamamen saf bir zihne sahip olmanız gerekir ve bu ödülü kabul etmek, zayıflık göstermek anlamına gelir. İdeal bilim adamı sadece bilimle uğraşır, başka hiçbir şeyi (güç ve sermaye) umursamaz, saf bir zihne sahip olmalıdır ve Perelman için bu ideale göre yaşamaktan daha büyük bir önem yoktur. Milyonlarla tüm bu fikir matematik için faydalı mı ve gerçek bir bilim adamının böyle bir teşvike ihtiyacı var mı? Ve sermayenin bu dünyadaki her şeyi satın alma ve boyun eğdirme arzusu aşağılayıcı değil mi? veya satabilirsin onun saflığı bir milyon için mi? Para ne kadar olursa olsun eşdeğerdir ruhun gerçeği? Ne de olsa, paranın basitçe yapmak zorunda olmaması gereken sorunların a priori bir değerlendirmesiyle uğraşıyoruz, değil mi?! Tüm bunları bir loto-milyon gibi bir şey yapmak veya bir tote yapmak, bilimsel olanın dağılmasına izin vermek anlamına gelir ve aslında bir bütün olarak insan topluluğu("PRIMORDIAL ALLATRA FİZİĞİ" raporuna ve yaratıcı bir toplum inşa etmenin yolu hakkında "AllatRa" kitabının son 50 sayfasına bakın). VE peşin(enerji), hangi işadamlarının bilime bağışlamaya hazır olduğu, eğer kullanılması gerekiyorsa, o zaman doğrudur veya küçük düşürmeden başka bir şey Gerçek Hizmetin Ruhu, ne derse desin, paha biçilmez bir parasal eşdeğer: “ Bir milyon nedir, karşılaştırıldığında, saflıkla veya Majesteleri bu küreler (küresel evrenin boyutları hakkında ve yaklaşık ruhsal dünya kitaba bak"Allat Ra" ve rapor"İLKAL ALLATRA FİZİĞİ"), burada nüfuz edemiyor hatta insan hayal gücü (akıl)?! milyon nedir yıldızlı gökyüzü Zaman için?

Hipotezin formülasyonunda görünen kalan terimlerin bir yorumunu verelim:

Topoloji - (Yunanca topos - yer ve logolar - öğretimden) - şekillerin topolojik özelliklerini inceleyen bir matematik dalı, yani. süreksizlikler ve yapıştırmalar olmaksızın (daha doğrusu bire bir ve sürekli eşlemelerde) üretilen hiçbir deformasyon altında değişmeyen özellikler. Şekillerin topolojik özelliklerine örnek olarak boyut, belirli bir alanı sınırlayan eğri sayısı vb. verilebilir. Dolayısıyla, bir daire, bir elips, bir kare kontur aynı topolojik özelliklere sahiptir, çünkü bu çizgiler, yukarıda açıklanan şekilde birbiri içine deforme edilebilir; aynı zamanda, halka ve daire farklı topolojik özelliklere sahiptir: daire bir konturla ve halka iki konturla sınırlanmıştır.

Homeomorfizm (Yunanca ομοιο - benzer, μορφη - şekil), bu yazışma tarafından tanımlanan karşılıklı olarak ters eşlemelerin sürekli olduğu iki topolojik uzay arasındaki bire bir yazışmadır. Bu eşlemelere homeomorfik veya topolojik eşlemelerin yanı sıra homeomorfizmler denir ve aynı topolojik tipe ait olduğu söylenen uzaylara homeomorfik veya topolojik olarak eşdeğer denir.

Sınırsız üç boyutlu bir manifold. Bu, her noktanın üç boyutlu bir top şeklinde bir mahalleye sahip olduğu çok geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri, ilk olarak, R3 ile gösterilen tüm üç boyutlu uzayın yanı sıra R3'teki herhangi bir açık nokta kümesi, örneğin katı bir torusun (çörek) içidir. Kapalı bir katı torus düşünürsek, yani. Sınır noktalarını (simitin yüzeyi) eklersek, o zaman sınırı olan bir manifold elde ederiz - sınır noktalarının top şeklinde komşulukları yoktur, sadece topun yarısı şeklindedir.

Bir katı simit (katı simit), iki boyutlu bir disk ve bir daire D2 * S1'in ürününe homeomorfik bir geometrik cisimdir. Gayri resmi olarak, katı bir simit bir halka iken, bir simit yalnızca yüzeyidir (tekerleğin içi boş bir odası).

Basitçe bağlandı. Bu, tamamen belirli bir manifold içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan bir iki boyutlu küre basitçe bağlıdır (bir elmanın yüzeyine keyfi olarak uygulanan bir elastik bant, elastik bandı elmadan çıkarmadan yumuşak bir deformasyonla bir noktaya kadar büzülebilir). Öte yandan, daire ve simit basitçe bağlantılı değildir.

Kompakt. Bir manifold, homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir parçanın uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak (uçları olan) kapalı bir parça, sınırları olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için, uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parça, bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmelidir.

Devam edecek...

İlnaz Başarov

Edebiyat:

– ALLATRA Uluslararası Halk Hareketi'nin uluslararası bilim insanları grubunun "PRİMER ALLATRA FİZİĞİ" raporu, ed. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Yeni olanlar. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Yeni olanlar. A., “Sensei-IV”, K.: LOTOS, 2013, 632 s. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Düzhin, Fizik ve Matematik Doktoru Sci., Kıdemli Araştırmacı, Rusya Bilimler Akademisi Matematik Enstitüsü St. Petersburg Şubesi

Kategoride popüler: