Ev › Yakıt sistemi › Grigory Perelman neyi kanıtladı? Matematikçi Perelman Yakov: bilime katkı. Ünlü Rus matematikçi Grigory Perelman

Grigory Perelman neyi kanıtladı? Matematikçi Perelman Yakov: bilime katkı. Ünlü Rus matematikçi Grigory Perelman

« Milenyum Mücadelesi”, bir Rus matematik dehası tarafından çözülmüştür, Evrenin kökeni ile ilgilidir. Bilmecenin özünü anlamak için her matematikçi verilmez ...

AKIL OYUNU

Yakın zamana kadar matematik, "rahiplerine" ne şan ne de zenginlik vaat etmiyordu. Nobel Ödülü bile alamadılar. Böyle bir adaylık yok. Nitekim çok popüler bir efsaneye göre Nobel'in karısı bir keresinde onu bir matematikçiyle aldatmıştır. Ve misilleme olarak, zengin adam tüm şık kardeşlerini saygısından ve ödül parasından mahrum etti.

2000 yılında durum değişti. Özel bir matematik enstitüsü olan Clay Mathematics Institute, en zor problemlerden yedisini seçti ve her çözüm için bir milyon dolar ödeme sözü verdi.

Matematikçilere saygıyla davranılırdı. 2001 yılında, ana karakteri bir matematikçi olan "A Beautiful Mind" filmi bile ekranlarda yayınlandı.

Şimdi sadece medeniyetten uzak insanlar farkında değil: vaat edilen milyonlardan biri - ilki - çoktan ödüllendirildi. Ödül, St. Petersburg'da ikamet eden bir Rus vatandaşına verildi. Grigory Perelman. 100 yılı aşkın bir süredir kimseye meydan okuyan ve çabalarıyla bir teorem haline gelen Poincaré varsayımını kanıtladı.

44 yaşındaki sakallı sevimli adamımız burnunu dünyanın dört bir yanına sildi. Ve şimdi onu - dünyayı - askıya almaya devam ediyor. Matematikçinin dürüstçe bir milyon doları hak edip etmeyeceği bilinmediği için reddediyor. Pek çok ülkedeki ilerici kamuoyu doğal olarak tedirgin. En azından tüm kıtalardaki gazeteler finansal ve matematiksel entrikaları anlatıyor.

Ve bu büyüleyici faaliyetlerin arka planına karşı - falcılık ve başkalarının parasını paylaşmak - Perelman'ın başarısının anlamı bir şekilde kayboldu. Kil Enstitüsü başkanı Jim Carlson, elbette, bir keresinde amacını belirtti. ödül havuzu- matematik biliminin prestijini artırma ve gençlerin ilgisini çekme girişimi kadar cevap arayışı değil. Ama yine de, amaç ne?

Grisha gençliğinde - o zaman bile bir dahiydi.

POINCARE HİPOTEZİ - NEDİR?

Rus dehasının çözdüğü bilmece, matematiğin topoloji denen bölümünün temellerini etkiliyor. Bu - topoloji - genellikle "lastik levha üzerinde geometri" olarak adlandırılır. Şeklin gerilmesi, bükülmesi, bükülmesi durumunda korunan geometrik şekillerin özelliklerini ele alır. Yani kırılmadan, kesilmeden ve yapıştırılmadan deforme olur.

Topoloji, uzayın özelliklerini anlamamıza izin verdiği için matematiksel fizik için önemlidir. Ya da bu mekanın şekline dışarıdan bakamadan değerlendirin. Örneğin, evrenimiz.

Poincare varsayımını açıklarken şöyle başlarlar: iki boyutlu bir küre hayal edin - bir lastik disk alın ve topun üzerinden çekin. Böylece diskin çevresi bir noktada toplanır. Benzer şekilde, örneğin bir spor sırt çantasını iple çekebilirsiniz. Sonuç bir küredir: bizim için - üç boyutlu, ancak matematik açısından - yalnızca iki boyutlu.

Sonra aynı diski simit üzerine çekmeyi teklif ediyorlar. Çalışıyor gibi görünüyor. Ancak diskin kenarları, artık bir noktaya çekilemeyen bir daireye dönüşecek - çörek kesecek.

Bir başkasının popüler kitabında yazdığı gibi Rus matematikçi, Vladimir Uspensky, "İki boyutlu kürelerin aksine, üç boyutlu kürelere doğrudan gözlemimizle erişilemez ve onları hayal etmemiz, iyi bilinen anekdot kare üçlüsünden Vasily Ivanovich için olduğu kadar zor."

Dolayısıyla, Poincaré hipotezine göre, üç boyutlu bir küre, yüzeyi bir tür varsayımsal "hiperkord" ile bir noktaya çekilebilen tek üç boyutlu şeydir.

Grigory Perelman: - Bir düşünün, Newton'un iki terimlisi...

Jules Henri Poincare bunu 1904'te önerdi. Şimdi Perelman, anlayan herkesi Fransız topologunun haklı olduğuna ikna etti. Ve hipotezini bir teoreme dönüştürdü.

Kanıt, evrenimizin hangi şekle sahip olduğunu anlamaya yardımcı olur. Ve bunun aynı üç boyutlu küre olduğunu oldukça makul bir şekilde varsaymamıza izin veriyor.

Ancak Evren bir noktaya kadar daraltılabilen tek "şekil" ise, o zaman muhtemelen bir noktadan gerilebilir. Bu, Evrenin tam da noktadan kaynaklandığını iddia eden Big Bang teorisinin dolaylı bir teyidi olarak hizmet ediyor.

Perelman'ın Poincare ile birlikte sözde yaratılışçıları - destekçileri - üzdüğü ortaya çıktı. ilahi başlangıç Evren. Ve materyalist fizikçilerin değirmenine su döktüler.

Poincaré varsayımını kanıtlaması ile dünya çapında ün kazanan St. Petersburglu dahi matematikçi Grigory Perelman, sonunda bunun için verilen milyon dolarlık ödülü reddettiğini açıkladı. Komsomolskaya Pravda'ya göre, münzevi bilim adamı, Perelman'ın izniyle kendisi hakkında Formula of the Universe adlı uzun metrajlı filmi çekecek olan President-Film film şirketinin bir gazetecisi ve yapımcısıyla yaptığı konuşmada kendini gösterdi.

Alexander Zabrovsky, büyük matematikçiyle konuştuğu için şanslıydı - birkaç yıl önce İsrail'e gitmek üzere Moskova'dan ayrıldı ve ilk olarak Grigory Yakovlevich'in annesiyle St. Oğluyla konuştu ve iyi tanımladıktan sonra bir görüşme yapmayı kabul etti. Bu gerçekten bir başarı olarak adlandırılabilir - gazeteciler bilim adamını girişinde günlerce oturarak geçirmelerine rağmen "yakalayamadılar".

Zabrovsky'nin gazeteye söylediği gibi, Perelman "kesinlikle aklı başında, sağlıklı, yeterli ve normal bir insan" izlenimi verdi: "Gerçekçi, pragmatik ve mantıklı, ancak duygusallık ve heyecandan yoksun değil ... Basında kendisine atfedilen her şey , sanki "aklını kaçırmış" gibi - tam bir saçmalık! Tam olarak ne istediğini biliyor ve hedefe nasıl ulaşacağını biliyor. "

Matematikçinin temas kurduğu ve yardım etmeyi kabul ettiği film, kendisi hakkında değil, üç ana dünya matematik okulunun işbirliği ve yüzleşmesini konu alacak: çalışma yolunda en ileri olan Rus, Çin ve Amerikan. ve Evreni yönetmek.

Perelman'ın neden bir milyonu reddettiği sorulduğunda şu yanıtı verdi:

"Evreni nasıl yöneteceğimi biliyorum. Ve söyle bana - neden bir milyonun peşinden koşayım?"

Bilim adamı, Rus basınında kendisine söylendiği şekliyle gücendi.

Perelman, gazetecilerle iletişim kurmadığını, çünkü bilimle değil, kişisel ve ev içi meselelerle - bir milyonu reddetme nedenlerinden saç ve tırnak kesme sorununa kadar - açıkladı.

Spesifik olarak, kendisine karşı saygısız tavır nedeniyle Rus medyasıyla iletişim kurmak istemiyor. Örneğin, basında ona Grisha diyorlar ve bu tür bir aşinalık rahatsız ediyor.

Grigory Perelman, o zamandan beri okul yılları"beyin eğitimi" denen şeye alışkın. SSCB'den bir "delege" olarak nasıl kabul edildiğini hatırlayarak altın madalya Budapeşte'deki Matematik Olimpiyatı'nda şunları söyledi: “Soyut düşünme yeteneğinin vazgeçilmez bir koşul olduğu sorunları çözmeye çalıştık.

Matematiksel mantıktan bu dikkat dağıtma, günlük eğitimin ana noktasıydı. Doğru çözümü bulmak için "dünyadan bir parça" hayal etmek gerekiyordu.

Böylesine "zor" bir göreve örnek olarak şunları gösterdi: "Unutma İncil efsanesiİsa Mesih'in karada olduğu gibi suda nasıl yürüdüğü hakkında. Bu yüzden, düşmemek için sularda ne kadar hızlı hareket etmesi gerektiğini hesaplamam gerekiyordu.

O zamandan beri Perelman, tüm faaliyetlerini Evrenin üç boyutlu uzayının özelliklerini inceleme problemini incelemeye adadı: "Bu çok ilginç. Enginliği kucaklamaya çalışıyorum."

Bilim adamı tezini Akademisyen Alexandrov'un rehberliğinde yazdı. Matematikçi, "Konu basitti: 'Öklid geometrisinde eyer yüzeyleri'. Eşit boyutta ve sonsuzda birbirinden eşit olmayan şekilde yerleştirilmiş yüzeyler hayal edebiliyor musunuz? Aralarındaki 'boşlukları' ölçmemiz gerekiyor,' diye açıkladı matematikçi.

Dünya istihbarat servislerini korkutan Perelman'ın keşfi ne anlama geliyor?

"Evrenin Formülü" Poincare'nin ifadesi, evren teorisindeki karmaşık fiziksel süreçlerin incelenmesindeki önemi ve Evrenin şekli hakkındaki soruya bir cevap verdiği için çağrılmıştır. Bu kanıt, nanoteknolojinin gelişmesinde büyük rol oynayacak."

"Boşlukların nasıl hesaplanacağını öğrendim, meslektaşlarımla birlikte sosyal ve ekonomik "boşlukları" doldurma mekanizmalarını öğreneceğiz. Boşluklar her yerde. Hesaplanabilirler ve bu büyük fırsatlar sunuyor ...

Yayına göre, Grigory Yakovlevich'in keşfettiği ve aslında bugünün dünya biliminin ötesine geçen ölçeği, onu yalnızca Rus değil, aynı zamanda yabancı özel servislerin de sürekli ilgisinin nesnesi haline getirdi.

Evreni anlamaya yardımcı olan bazı süper bilgileri kavradı. Ve burada şu türden sorular ortaya çıkıyor: "Bilgisi pratik uygulama bulursa ne olacak?"

Aslında, gizli servislerin bilmesi gerekiyor - Perelman veya daha doğrusu bilgisi insanlık için bir tehdit mi? Ne de olsa, bilgisinin yardımıyla Evreni bir noktaya çevirmek ve sonra onu açmak mümkünse, o zaman farklı bir kapasitede ölebilir veya yeniden doğabilir miyiz? Ve sonra olacak mıyız? Ve evreni yönetmemiz gerekiyor mu?

VE BU ZAMAN

Dahi anne: "Bize para hakkında soru sormayın!"

Matematikçinin Milenyum Ödülü'ne layık görüldüğü öğrenilince, kapısının önünde bir gazeteci kalabalığı toplandı. Herkes Perelman'ı şahsen tebrik etmek ve meşru milyonunu alıp almayacağını öğrenmek istedi.

Uzun süre dayanıksız kapıyı çaldık (keşke onu prim parasıyla değiştirebilseydik), ama matematikçi kapıyı açmadı. Ama annesi oldukça anlaşılır bir şekilde koridordan "i" harfini noktaladı.

Kimseyle konuşmak istemiyoruz ve herhangi bir röportaj vermeyeceğiz, - diye bağırdı Lyubov Leibovna. - Ve bize bu ödül ve para hakkında soru sormayın.

Aynı girişte oturanlar, Perelman'a ani bir ilgi görünce çok şaşırdı.

Grisha'mız evli mi? komşulardan biri kıkırdadı. - Bir ödülüm var. Tekrar. Hayır, almayacak. Hiçbir şeye ihtiyacı yok, bir kuruşla yaşıyor ama kendi yolunda mutlu.

Matematikçinin arifesinde mağazadan tam paket ürünlerle görüldüğünü söylüyorlar. Annesiyle birlikte "kuşatmayı" sürdürmeye hazırlanıyordu. En son, ödülle ilgili basında çıkan yutturmaca başladığında, Perelman üç hafta boyunca daireden çıkmadı.

BU ARADA

Başka ne için bir milyon dolar verecekler ...

1998 yılında, milyarder Landon T. Clay'in fonlarıyla, matematiği yaygınlaştırmak için Cambridge'de (ABD) Clay Matematik Enstitüsü kuruldu. 24 Mayıs 2000'de enstitünün uzmanları, kendilerine göre en kafa karıştırıcı yedi sorunu seçtiler. Ve her biri için bir milyon dolar tahsis ettiler.

listenin adı .

1. Aşçı sorunu

Bir problemin çözümünün doğruluğunun doğrulanmasının, çözümün kendisinin elde edilmesinden daha uzun olup olmayacağını belirlemek gerekir. Bu mantıksal görev kriptografi - veri şifreleme uzmanları için önemlidir.

2. Riemann hipotezi

2, 3, 5, 7 gibi sadece kendisine bölünebilen asal sayılar vardır. Kaç tane olduğu bilinmiyor. Riemann, bunun belirlenebileceğine ve dağılımlarının düzenliliğinin bulunabileceğine inanıyordu. Kim bulursa kriptografi hizmeti de verecek.

3. Birch ve Swinnerton-Dyer hipotezi

Problem, bir kuvvete yükseltilmiş üç bilinmeyenli denklemleri çözmekle ilgilidir. Ne kadar zor olursa olsun, onları nasıl çözeceğimizi bulmalıyız.

4. Hodge hipotezi

Yirminci yüzyılda, matematikçiler formu incelemek için bir yöntem keşfettiler. karmaşık nesneler. Fikir, nesnenin kendisi yerine birbirine yapıştırılmış ve benzerliğini oluşturan basit "tuğlalar" kullanmaktır. Bunun her zaman kabul edilebilir olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

5. Navier - Stokes denklemleri

Onları uçakta hatırlamaya değer. Denklemler, onu havada tutan hava akımlarını tanımlar. Şimdi denklemler, yaklaşık formüllere göre yaklaşık olarak çözülmüştür. Kesin olanları bulmak ve üç boyutlu uzayda denklemlerin her zaman doğru olan bir çözümünün olduğunu kanıtlamak gerekir.

6. Yang-Mills denklemleri

Fizik dünyasında bir hipotez vardır: Bir temel parçacığın kütlesi varsa, alt sınırı da vardır. Ama hangisi belli değil. Ona ulaşmalısın. Bu belki de en zor görevdir. Bunu çözmek için, doğadaki tüm güçleri ve etkileşimleri birleştiren denklemler olan bir "her şeyin teorisi" yaratmak gerekir. Kim başarılı olursa, kesinlikle Nobel Ödülü'nü alacak.

Saf matematiğin son büyük başarısı, 1904'te ifade edilen ve St. Petersburg'da 2002–2003'te.

Bu ifadede, genel anlamlarını matematikçi olmayanlar için açık hale getirecek şekilde açıklamaya çalışacağım birkaç terim var (okuyucunun konuyu bitirdiğini varsayıyorum). lise ve hala okul matematiğinden bir şeyler hatırlıyor).

Topolojide merkezi olan homeomorfizm kavramıyla başlayalım. Genel olarak, topoloji genellikle "kauçuk geometri" olarak tanımlanır, yani boşluklar ve yapıştırma olmadan düzgün deformasyonlar sırasında değişmeyen geometrik görüntülerin özelliklerinin bilimi veya daha doğrusu, bire bir kurmak mümkün ise - iki nesne arasında bir ve bire bir yazışma .

Ana fikir, klasik bir kupa ve simit örneğini kullanarak açıklamak en kolayıdır. Birincisi, sürekli deformasyonla ikinciye dönüştürülebilir.

Bu şekiller kupanın halkaya homeomorfik olduğunu açıkça göstermektedir ve bu gerçek hem yüzeyleri (simit adı verilen iki boyutlu manifoldlar) hem de dolu cisimler (sınırlı üç boyutlu manifoldlar) için geçerlidir.

Hipotezin formülasyonunda ortaya çıkan diğer terimlerin bir yorumunu verelim.

Sınırsız üç boyutlu bir manifold. Bu, her noktanın üç boyutlu bir top şeklinde bir mahalleye sahip olduğu çok geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri, ilk olarak, R3 ile gösterilen tüm üç boyutlu uzayın yanı sıra herhangi bir açık setler R3'teki noktalar, örneğin katı bir simidin (çörek) içi. Kapalı bir katı simidi ele alırsak, yani sınır noktalarını (simitin yüzeyi) toplarsak, o zaman zaten sınırı olan bir manifold elde ederiz - sınır noktalarının top şeklinde komşulukları yoktur, yalnızca topun yarısı şeklinde.
bağlandı. Bağlanabilirlik kavramı burada en basit olanıdır. Bir manifold, tek parçadan oluşuyorsa veya aynı şekilde herhangi iki noktası, sınırlarını aşmayan sürekli bir çizgi ile bağlanabiliyorsa bağlantılıdır.
Basitçe bağlandı. Tek bağlantılılık kavramı daha karmaşıktır. Bu, tamamen belirli bir manifold içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan bir iki boyutlu küre basitçe bağlıdır (bir elmanın yüzeyine gelişigüzel bir şekilde bağlanan bir elastik bant, elastik bandı elmadan koparmadan bir noktaya yumuşak bir deformasyonla büzülebilir). Öte yandan, daire ve simit basitçe bağlantılı değildir.
Kompakt. Bir manifold, homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir parçanın uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak (uçları olan) kapalı bir parça, sınırları olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için, uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parça, bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmelidir.

Boyut manifoldlar, üzerinde "yaşayan" noktadaki serbestlik derecesi sayısıdır. Her noktanın, karşılık gelen boyutta bir disk şeklinde bir komşuluğu vardır, yani tek boyutlu durumda bir çizgi aralığı, iki boyutlu durumda düzlem üzerinde bir daire, üç boyutlu durumda bir top , vb. Topoloji açısından bakıldığında, yalnızca iki adet tek boyutlu bağlı sınırsız manifold vardır: bu çizgi ve dairedir. Bunlardan sadece daire kompakttır.

Manifold olmayan bir uzay örneği, örneğin, kesişen bir çift çizgidir - sonuçta, iki çizginin kesiştiği noktada, herhangi bir komşuluk bir haç şeklindedir, bir komşuluğu yoktur. kendisi sadece bir aralık olabilir (ve diğer tüm noktaların böyle komşulukları vardır). Bu tür durumlarda matematikçiler, bir tekil noktası olan tekil bir manifoldla uğraştığımızı söylerler.

İki boyutlu kompakt manifoldlar iyi bilinmektedir. sadece düşünürsek odaklı sınırsız manifoldlar, o zaman topolojik bir bakış açısından sonsuz da olsa basit bir liste oluştururlar: vb. Bu tür her bir manifold, sayısı yüzeyin cinsi olarak adlandırılan birkaç tutamağın yapıştırılmasıyla bir küreden elde edilir.

Şekil 0, 1, 2 ve 3 cinsi yüzeyleri göstermektedir. Bir küre bu listedeki tüm yüzeylerden nasıl ayrılır? Basitçe bağlantılı olduğu ortaya çıktı: bir küre üzerinde, herhangi bir kapalı eğri bir noktaya kadar daraltılabilir ve başka herhangi bir yüzeyde, yüzey boyunca bir noktaya kadar daraltılamayan bir eğriyi belirtmek her zaman mümkündür.

Sınırsız üç boyutlu kompakt manifoldların da belirli bir anlamda sınıflandırılabilmeleri, yani iki boyutlu durumdaki kadar basit olmasa da oldukça karmaşık bir yapıya sahip olmalarına rağmen belirli bir listede düzenlenebilmeleri ilginçtir. Ancak 3B küre S 3, yukarıdaki listede yer alan 2B küre ile tamamen aynı şekilde bu listede öne çıkıyor. S 3 üzerindeki herhangi bir eğrinin bir noktaya kadar büzüldüğü gerçeğini kanıtlamak, iki boyutlu durumda olduğu kadar kolaydır. Ancak tersi iddia, yani bu özelliğin tam olarak küre için benzersiz olduğu, yani diğer herhangi bir üç boyutlu manifold üzerinde büzülmez eğriler olduğu iddiası çok zordur ve tam olarak bahsettiğimiz Poincare varsayımının içeriğini oluşturur. .

Manifoldun kendi başına yaşayabileceğini, herhangi bir yere yuvalanmamış bağımsız bir nesne olarak düşünülebileceğini anlamak önemlidir. (Üçüncü bir boyutun varlığından habersiz, sıradan bir kürenin yüzeyinde yaşayan iki boyutlu varlıkları hayal edin.) Neyse ki, yukarıdaki listedeki tüm iki boyutlu yüzeyler olağan R3 uzayına gömülebilir; görselleştirmeleri daha kolay. 3-küre S 3 için (ve genel olarak herhangi bir kompakt 3-manifold sınırsız için) bu artık geçerli değildir, dolayısıyla yapısını anlamak için biraz çaba gerekir.

Görünüşe göre en basit yol S 3 üç boyutlu kürenin topolojik yapısını tek noktalı kompaktlaştırma yardımıyla açıklamaktır. Yani, üç boyutlu küre S3, olağan üç boyutlu (sınırsız) alanın R3 tek noktalı bir kompaktlaştırmasıdır.

Önce bu yapıyı açıklayalım basit örnekler. Sıradan bir sonsuz düz çizgiyi (tek boyutlu bir uzay analoğu) alalım ve düz bir çizgi boyunca sağa veya sola hareket ederken sonunda bu noktaya geldiğimizi varsayarak ona "sonsuz derecede uzak" bir nokta ekleyelim. Topolojik bir bakış açısından, sonsuz bir çizgi ile sınırlı bir açık parça (uç noktaları olmadan) arasında fark yoktur. Böyle bir parça sürekli olarak bir yay şeklinde bükülebilir, uçları birbirine yaklaştırabilir ve eksik noktayı bağlantı noktasına yapıştırabilir. Açıkçası, bir daire elde ediyoruz - bir kürenin tek boyutlu bir analoğu.

Benzer şekilde, sonsuz bir düzlem alırsam ve orijinal düzlemin herhangi bir yönden geçen tüm çizgilerinin yöneldiği sonsuzda bir nokta eklersem, o zaman iki boyutlu (sıradan) bir küre elde ederiz S 2 . Bu prosedür, N'nin kuzey kutbu hariç, kürenin her bir P noktasına P düzleminin belirli bir noktasını atayan bir stereografik izdüşüm aracılığıyla gözlemlenebilir.

Böylece, tek noktası olmayan bir küre, topolojik olarak bir düzlemle aynıdır ve bir nokta eklemek, düzlemi bir küreye dönüştürür.

Prensip olarak, tam olarak aynı yapı üç boyutlu bir küre ve üç boyutlu uzay için geçerlidir, yalnızca uygulanması için dördüncü boyuta girmek gerekir ve bunu çizimde tasvir etmek o kadar kolay değildir. Bu yüzden kendimi sınırlayacağım sözlü açıklama R3 uzayının tek noktalı kompaktlaştırılması.

Fiziksel uzayımıza (Newton'u takip ederek, x, y, z üç koordinatlı sınırsız bir Öklid uzayı olarak kabul ediyoruz), herhangi bir düz çizgi boyunca hareket ederken "sonsuzda" bir nokta eklendiğini hayal edin. yön, siz düşersiniz (yani, her bir uzamsal çizgi bir daire şeklinde kapanır). Sonra kompakt bir üç boyutlu manifold elde ederiz ki bu, tanımı gereği S3 küresidir.

S 3 küresinin basitçe bağlantılı olduğunu görmek kolaydır. Aslında, bu küre üzerindeki herhangi bir kapalı eğri, eklenen noktadan geçmeyecek şekilde hafifçe kaydırılabilir. Daha sonra, normal uzay R3'te, homotetiler aracılığıyla bir noktaya kolayca büzülen bir eğri elde ederiz, yani üç yönde de sürekli daralma.

Manifold S3'ün nasıl yapılandırıldığını anlamak için, onun iki katı tori'ye bölünmesini ele almak çok öğreticidir. R 3 uzayından katı simit çıkarılırsa, o zaman çok net olmayan bir şey kalır. Ve boşluk bir küre şeklinde sıkıştırılırsa, bu tamamlayıcı da katı bir torusa dönüşür. Yani, S3 küresi, ortak bir sınıra sahip iki katı tori'ye bölünmüştür - bir torus.

İşte nasıl anlaşılabileceği. Simidi her zamanki gibi yuvarlak bir halka şeklinde R 3'e yerleştirelim ve dikey bir çizgi çizelim - bu halkanın dönme ekseni. Eksen boyunca keyfi bir düzlem çiziyoruz, şekilde gösterilen iki daire içinde katı torusumuzu kesecek yeşil ve düzlemin ek kısmı sürekli bir kırmızı daire ailesine bölünmüştür. Bunların arasında, daha kalın vurgulanan merkezi eksen vardır, çünkü S 3 küresinde çizgi bir daire şeklinde kapanır. Bu iki boyutlu resimden bir eksen etrafında döndürülerek üç boyutlu resim elde edilir. Tam bir döndürülmüş daire seti daha sonra üç boyutlu bir gövdeyi dolduracak, homeomorfik bir torusa dönüşecek, sadece alışılmadık görünüyor.

Aslında, merkezi eksen, içinde eksenel bir daire olacak ve geri kalanı, normal katı torusu oluşturan daireler - paralellikler rolünü oynayacak.

3-küreyi karşılaştıracak bir şeye sahip olmak için, kompakt bir 3-manifoldun başka bir örneğini, yani üç boyutlu bir simidi vereceğim. Üç boyutlu bir simit aşağıdaki gibi inşa edilebilir. Kaynak malzeme olarak sıradan bir üç boyutlu küpü ele alalım:

Üç çift yüzü vardır: sol ve sağ, üst ve alt, ön ve arka. Her paralel yüz çiftinde, küpün kenarı boyunca aktararak birbirinden elde edilen noktaları çiftler halinde tanımlarız. Yani, örneğin A ve A'nın "aynı nokta olduğunu ve B ve B"nin de bir nokta olduğunu ancak A noktasından farklı olduğunu (tamamen soyut olarak, fiziksel deformasyonlar uygulamadan) varsayacağız. küpü her zamanki gibi ele alacağız. Küpün kendisi sınırı olan bir manifolddur, ancak yapıştırma yapıldıktan sonra sınır kendi üzerine kapanır ve kaybolur. Aslında, küpteki A ve A" noktalarının komşulukları (sol ve sağ gölgeli yüzlerde bulunurlar), yüzleri birbirine yapıştırdıktan sonra bütün bir top halinde birleşen topların yarısıdır. üç boyutlu simidin karşılık gelen noktasının komşuluğu.

Fiziksel alanla ilgili sıradan fikirlere dayanan 3'lü torus cihazını hissetmek için, karşılıklı olarak üç dikey yön seçmeniz gerekir: ileri, sol ve yukarı - ve zihinsel olarak olduğu gibi sayın fantezi hikayeleri bu yönlerden herhangi birinde yeterince uzun ama sınırlı bir süre hareket ettiğimizde, başlangıç noktasına geri döneceğiz, ancak ters yönden. Bu aynı zamanda bir "uzayın sıkıştırılmasıdır", ancak tek noktalı değil, daha önce bir küre oluşturmak için kullanılmış, ancak daha karmaşıktır.

3'lü torus üzerinde büzülmeyen yollar vardır; örneğin, bu şekildeki AA" segmentidir (simit üzerinde kapalı bir yolu gösterir). Daraltılamaz, çünkü herhangi bir sürekli deformasyon için, A ve A" noktaları yüzleri boyunca hareket etmeli ve birbirlerinin tam karşısında kalmalıdır. diğer (aksi takdirde eğri açılacaktır).

Böylece, basit bağlantılı ve basit bağlı olmayan kompakt 3-manifoldların olduğunu görüyoruz. Perelman, basit bağlı bir manifoldun tam olarak bir olduğunu kanıtladı.

Kanıtın başlangıç noktası, sözde "Ricci akışı"nın kullanılmasıdır: basit bir şekilde bağlanmış, kompakt bir 3-manifoldu alırız, keyfi bir geometri ile donatırız (yani, mesafeler ve açılarla bazı metrikler veririz) ve sonra düşünürüz Ricci akışı boyunca evrimi. 1981'de bu fikri ortaya atan Richard Hamilton, bu evrimle manifoldumuzun bir küreye dönüşeceğini umuyordu. Bunun doğru olmadığı ortaya çıktı - üç boyutlu durumda, Ricci akışı manifoldu bozabilir, yani onu biraz manifold yapabilir (yukarıdaki kesişen çizgi örneğinde olduğu gibi tekil noktaları olan bir şey). Perelman, inanılmaz teknik zorlukların üstesinden gelerek, kısmi diferansiyel denklemlerin ağır aparatını kullanarak, Ricci akışını tekil noktalara yakın bir şekilde, evrim sırasında manifoldun topolojisinin değişmeyeceği, tekil noktaların olmayacağı ve sonunda yuvarlak bir küreye dönüşür. Ama son olarak Ricci'nin bu akışının ne olduğunu açıklamak gerekiyor. Hamilton ve Perelman tarafından kullanılan akışlar, soyut bir manifold üzerindeki içsel metrikteki bir değişikliğe atıfta bulunur ve bunu açıklamak oldukça zordur, bu nedenle kendimi bir düzleme gömülü tek boyutlu manifoldlar üzerindeki "dış" Ricci akışını açıklamakla sınırlayacağım. .

Öklid düzleminde pürüzsüz, kapalı bir eğri hayal edin, bunun üzerinde bir yön seçin ve her noktada birim uzunlukta bir teğet vektör düşünün. Ardından, seçilen yönde eğri etrafında dönerken, bu vektör eğrilik adı verilen bir açısal hız ile dönecektir. Eğrinin daha dik olduğu yerde eğrilik (mutlak değer olarak) daha büyük olacak ve daha yumuşak olduğu yerde eğrilik daha az olacaktır.

Hız vektörü eğrimizin ikiye böldüğü düzlemin iç kısmına doğru dönerse eğrilik pozitif, dışa doğru dönerse negatif kabul edilir. Bu kural, eğrinin geçtiği yönden bağımsızdır. Dönmenin yön değiştirdiği bükülme noktalarında eğrilik 0 olacaktır. Örneğin, yarıçapı 1 olan bir dairenin sabit pozitif eğriliği 1'dir (radyan cinsinden ölçülür).

Şimdi teğet vektörleri unutalım ve eğrinin her noktasına, tam tersine, belirli bir noktadaki eğriliğe eşit uzunlukta ve eğrilik pozitifse içe doğru, negatifse dışa doğru ona dik bir vektör iliştirelim. , ve sonra her noktayı, uzunluğuyla orantılı hızla karşılık gelen vektör yönünde hareket etmeye zorlayacağız. İşte bir örnek:

Böyle bir evrim sırasında düzlemdeki herhangi bir kapalı eğrinin benzer şekilde davrandığı, yani sonunda bir daireye dönüştüğü ortaya çıktı. Bu, Ricci akışını kullanan Poincare varsayımının tek boyutlu analoğunun kanıtıdır (ancak, bu durumda ifadenin kendisi zaten açıktır, sadece ispat yöntemi 3. boyutta ne olduğunu göstermektedir).

Sonuç olarak, Perelman'ın argümanının yalnızca Poincaré varsayımını değil, aynı zamanda genel olarak tüm kompakt 3-manifoldların yapısını bir anlamda tanımlayan çok daha genel Thurston geometrileştirme varsayımını da kanıtladığını not ediyoruz. Ancak bu konu, bu temel makalenin kapsamı dışındadır.

Yer olmadığı için, yönlendirilemeyen manifoldlardan bahsetmeyeceğim, bunun bir örneği ünlü Klein şişesidir - kendi kendine kesişmeyen bir alana gömülemeyen bir yüzey.

Matematikçi Perelman, yalnız bir yaşam sürmesine ve basından mümkün olan her şekilde kaçınmasına rağmen çok ünlü bir kişidir. Poincare varsayımına ilişkin kanıtı, onu dünya tarihindeki en büyük bilim adamlarıyla aynı seviyeye getirdi. Matematikçi Perelman, bilim camiası tarafından verilen birçok ödülü reddetti. Bu adam çok mütevazı yaşıyor ve tamamen bilime bağlı. Elbette ondan ve keşfinden ayrıntılı olarak bahsetmeye değer.

Peder Grigory Perelman

13 Haziran 1966'da bir matematikçi olan Grigory Yakovlevich Perelman doğdu. Onun fotoğrafı serbest erişim biraz ama en ünlüsü bu makalede sunulmaktadır. Leningrad'da doğdu - kültürel sermayeÜlkemiz. Babası bir elektrik mühendisiydi. Birçoğunun inandığı gibi bilimle hiçbir ilgisi yoktu.

Yakov Perelman

Grigory'nin bilimi yaygınlaştıran Yakov Perelman'ın oğlu olduğuna inanılıyor. Ancak, bu bir yanılgıdır, çünkü o öldü. kuşatılmış Leningrad Mart 1942'de, yani baba olması mümkün değildi.Bu adam daha önce Bialystok'a ait bir şehir olan Bialystok'ta doğdu. Rus imparatorluğu ve şimdi Polonya'nın bir parçası. Yakov Isidorovich 1882'de doğdu.

Çok ilginç olan Yakov Perelman, matematiğe de ilgi duyuyordu. Ayrıca astronomi ve fiziğe düşkündü. Bu adam, eğlenceli bilimin kurucusu olduğu kadar popüler bilim edebiyatı türünde eserler yazan ilk kişilerden biri olarak kabul edilir. Canlı Matematik kitabının yaratıcısıdır. Perelman başka birçok kitap yazdı. Ayrıca bibliyografyasında binden fazla makale bulunmaktadır. "Canlı Matematik" gibi bir kitaba gelince, Perelman içinde bu bilimle ilgili çeşitli bulmacalar sunuyor. Birçoğu kısa öyküler şeklinde tasarlanmıştır. Bu kitap öncelikle gençler için tasarlanmıştır.

Bir açıdan, yazarı Yakov Perelman (" eğlenceli matematik"). Trilyon - bu sayının ne olduğunu biliyor musunuz? 10 21. SSCB'de uzun süredir paralel iki ölçek vardı - "kısa" ve "uzun". Perelman'a göre "kısa" finansal olarak kullanıldı hesaplamalar ve günlük yaşam ve "uzun" - içinde bilimsel belgeler fizik ve astronomiye adanmıştır. Yani, "kısa" ölçekte bir trilyon mevcut değil. 10 21 içinde sekstilyon olarak adlandırılır. Bu ölçekler genellikle önemli ölçüde farklılık gösterir.

Bununla birlikte, bunun üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız ve başarıları daha az mütevazı olan Yakov Isidorovich tarafından değil, Grigory Yakovlevich tarafından yapılan bilime katkı hakkında bir hikayeye geçmeyeceğiz. Bu arada, Gregory'ye bilim sevgisini aşılayan ünlü adaşı değildi.

Perelman'ın annesi ve Grigory Yakovlevich üzerindeki etkisi

Geleceğin bilim adamının annesi bir meslek okulunda matematik öğretti. Ayrıca yetenekli bir kemancıydı. Muhtemelen matematik sevgisi ve aynı zamanda klasik müzik Grigory Yakovlevich onu ondan aldı. Her ikisi de Perelman'ı eşit derecede cezbetti. Konservatuvara mı yoksa teknik bir üniversiteye mi gireceği seçimiyle karşı karşıya kaldığında, uzun süre karar veremedi. Müzik eğitimi almaya karar vermiş olsaydı, Grigory Perelman'ın kim olabileceğini kim bilebilirdi.

Geleceğin bilim adamının çocukluğu

Zaten genç yaştan itibaren, Gregory ayırt edildi yetkin konuşma hem yazılı hem de sözlü. Bununla okuldaki öğretmenleri sık sık şaşırttı. Bu arada, 9. sınıftan önce Perelman, görünüşe göre tipik bir ortaokulda okudu ve kenar mahallelerde çok sayıda var. Ve sonra Öncüler Sarayı'ndan öğretmenler yetenekli bir genç adam fark etti. Üstün zekalı çocuklar için kurslara götürüldü. Bu, Perelman'ın benzersiz yeteneklerinin gelişmesine katkıda bulundu.

Olimpiyatlarda zafer, okuldan mezuniyet

O zamandan beri Gregory için zaferlerin dönüm noktası başlıyor. 1982 yılında Budapeşte'de düzenlenen Uluslararası Matematik Olimpiyatı'nda birinci oldu. Perelman, buna bir Sovyet okul çocukları ekibiyle birlikte katıldı. Tam puan aldı, tüm sorunları kusursuz bir şekilde çözdü. Gregory, aynı yıl okulun on birinci sınıfından mezun oldu. Bu prestijli Olimpiyata katılma gerçeği, ona ülkemizin en iyi eğitim kurumlarının kapılarını açtı. Ancak Grigory Perelman sadece katılmakla kalmadı, aynı zamanda altın madalya aldı.

Leningrad'a sınavsız kaydolması şaşırtıcı değil. Devlet Üniversitesi, Mekanik ve Matematik Fakültesi'nde. Bu arada, Gregory, garip bir şekilde, okulda altın madalya almadı. Bu, beden eğitimindeki değerlendirme ile önlendi. O zamanlar spor standartlarını geçmek, kendilerini zıplamak için direkte veya barda hayal bile edemeyenler de dahil olmak üzere herkes için zorunluydu. Diğer konularda beş yıl çalıştı.

LSU'da okuyor

Önümüzdeki birkaç yıl içinde, geleceğin bilim adamı eğitimine Leningrad Devlet Üniversitesi'nde devam etti. Çeşitli matematik yarışmalarına katıldı ve büyük bir başarı ile katıldı. Perelman, prestijli Lenin Bursunu bile almayı başardı. Böylece 120 ruble sahibi oldu - o zamanlar çok para. O zamanlar iyi çalışıyor olmalı.

Şimdi St. Petersburg olarak adlandırılan bu üniversitenin Matematik ve Mekanik Fakültesi'nin içinde olduğu söylenmelidir. Sovyet yılları Rusya'nın en iyilerinden biri. Örneğin 1924'te V. Leontiev ondan mezun oldu. Çalışmalarını tamamladıktan hemen sonra Nobel Ekonomi Ödülü'nü aldı. Bu bilim adamına Amerikan ekonomisinin babası bile deniyor. Bu bilime katkılarından dolayı ödülü alan bu ödülün tek yerli sahibi Leonid Kantorovich bir matematik profesörüydü.

Sürekli eğitim, ABD'de yaşam

Grigory Perelman, Leningrad Devlet Üniversitesi'nden mezun olduktan sonra lisansüstü eğitimine devam etmek için Steklov Matematik Enstitüsü'ne girdi. Kısa süre sonra bunu sunmak için ABD'ye uçtu. Eğitim kurumu. Bu ülke her zaman sınırsız bir özgürlük devleti olarak görülmüştür, özellikle de Sovyet zamanıülkemizin sakinleri arasında. Birçoğu onu görmeyi hayal etti ama matematikçi Perelman onlardan biri değildi. Görünüşe göre Batı'nın cazibesi onun için fark edilmedi. Bilim adamı, biraz münzevi bile olsa, mütevazı bir yaşam tarzı sürdürdü. Kefir veya sütle yıkadığı peynirli sandviç yedi. Ve tabii ki matematikçi Perelman çok çalıştı. Özellikle, o bir öğretmendi. Bilim adamı, matematikçi arkadaşlarıyla bir araya geldi. Amerika onu 6 yıl sonra sıktı.

Rusya'ya dön

Grigory, Rusya'ya, yerel enstitüsüne döndü. Burada 9 yıl çalıştı. Yolun ne olduğunu o zaman anlamaya başlamış olmalı. Saf sanat"tecrit yoluyla, toplumdan tecrit yoluyla yatıyor. Grigory, meslektaşlarıyla tüm ilişkilerini kesmeye karar verdi. Bilim adamı, kendisini Leningrad'daki dairesine kapatmaya ve görkemli bir çalışmaya başlamaya karar verdi ...

topoloji

Perelman'ın matematikte neyi kanıtladığını açıklamak kolay değil. Sadece bu bilimin büyük aşıkları onun keşfinin önemini tam olarak anlayabilir. Deneyeceğiz sade bir dille Perelman'ın ortaya koyduğu hipotez hakkında konuşun. Grigory Yakovlevich topolojiden etkilenmişti. Bu, matematiğin bir dalıdır ve genellikle kauçuk levha üzerinde geometri olarak da adlandırılır. Topoloji çalışmaları geometrik şekillerşekil büküldüğünde, büküldüğünde veya gerildiğinde devam eden. Başka bir deyişle, kesinlikle elastik olarak deforme olmuşsa - yapıştırmadan, kesmeden ve yırtmadan. Topoloji, matematiksel fizik gibi bir disiplin için çok önemlidir. Uzayın özellikleri hakkında fikir verir. Bizim durumumuzda sürekli genişleyen sonsuz bir uzaydan yani Evren'den bahsediyoruz.

Poincare varsayımı

Büyük Fransız fizikçi, matematikçi ve filozof J. A. Poincaré bu hipotezi ilk ortaya atan kişiydi. Bu, 20. yüzyılın başında oldu. Ancak bir varsayımda bulunduğunu ve bir kanıt vermediğini belirtmek gerekir. Perelman, bütün bir yüzyıl sonra bu hipotezi kanıtlamayı, mantıksal olarak doğrulanmış matematiksel bir çözüm elde etmeyi görev edindi.

Özünden bahsederken genellikle şöyle başlarlar. Lastik diski alın. Topun üzerinden çekilmelidir. Böylece iki boyutlu bir küreniz olur. Diskin çevresinin bir noktada toplanması gerekir. Örneğin, bunu bir sırt çantasıyla çekip iple bağlayarak yapabilirsiniz. Bir küre çıkıyor. Elbette bizim için üç boyutlu ama matematik açısından iki boyutlu olacak.

Ardından, hazırlıksız bir kişi için anlaşılması zor olan mecazi projeksiyonlar ve akıl yürütme başlar. Şimdi üç boyutlu bir küre, yani başka bir boyuta giden bir şeyin üzerine gerilmiş bir top hayal etmeliyiz. Hipoteze göre üç boyutlu bir küre, bir noktada varsayımsal bir "hiperkord" ile bir araya getirilebilen mevcut tek üç boyutlu nesnedir. Bu teoremin kanıtı, Evrenin nasıl bir şekle sahip olduğunu anlamamıza yardımcı olur. Ek olarak, onun sayesinde, Evrenin böylesine üç boyutlu bir küre olduğu makul bir şekilde varsayılabilir.

Poincare Hipotezi ve Büyük Patlama Teorisi

Bu hipotezin Big Bang teorisinin bir teyidi olduğuna dikkat edilmelidir. Evren, ayırt edici özelliği onu bir noktaya daraltma yeteneği olan tek "şekil" ise, bu, aynı şekilde gerilebileceği anlamına gelir. Soru ortaya çıkıyor: eğer bir küre ise, evrenin dışında ne var? Kâinatın bütününe ait olmayıp, yalnızca Dünya gezegenine ait bir yan ürün olan insan, bu gizemi kavrayabilir mi? İlgilenenler, dünyaca ünlü başka bir matematikçi olan Stephen Hawking'in eserlerini okumaya davet edilebilir. Ancak henüz bu skorla ilgili somut bir şey söyleyemiyor. Umarız gelecekte başka bir Perelman ortaya çıkar ve birçok kişinin hayal gücüne eziyet eden bu bilmeceyi çözebilir. Kim bilir, belki Grigory Yakovlevich'in kendisi yine de yapabilir.

Nobel Matematik Ödülü

Perelman, bu prestijli ödülü büyük başarısından dolayı almadı. Garip, değil mi? Aslında, böyle bir ödülün olmadığı göz önüne alındığında, bu çok basit bir şekilde açıklanmaktadır. Nobel'in temsilcileri bu kadar önemli bir bilimden mahrum bırakmasının nedenleri hakkında koca bir efsane yaratıldı. Bugüne kadar matematikte Nobel Ödülü verilmedi. Varsa Perelman muhtemelen alırdı. Nobel'in matematikçileri reddetmesinin nedeninin şu olduğuna dair bir efsane var: gelini onu bu bilimin temsilcisine terk etti. Beğenin ya da beğenmeyin, ancak 21. yüzyılın gelişiyle birlikte adalet nihayet galip geldi. O zaman matematikçiler için başka bir ödül ortaya çıktı. Kısaca tarihinden bahsedelim.

Clay Enstitüsü Ödülü nasıl ortaya çıktı?

1900'de Paris'te düzenlenen bir matematik kongresinde, yeni 20. yüzyılda çözülmesi gereken 23 problemlik bir liste önerdi. Bugüne kadar 21 tanesine zaten izin verildi. Bu arada, 1970 yılında Leningrad Devlet Üniversitesi'nde matematik ve mekanik mezunu olan Yu.V. Matiyasevich, bu problemlerin 10'uncusunun çözümünü tamamladı. 21. yüzyılın başında American Clay Institute buna benzer yedi matematik probleminden oluşan bir liste derledi. 21. yüzyılda çoktan çözülmüş olmaları gerekirdi. Her birini çözmek için bir milyon dolarlık ödül açıklandı. 1904 gibi erken bir tarihte, Poincaré bu sorunlardan birini formüle etti. Bir küreye homotipik olarak eşdeğer olan tüm üç boyutlu yüzeylerin küreye homeomorfik olduğu varsayımını ortaya koydu. konuşmak basit kelimelerle, eğer üç boyutlu bir yüzey bir şekilde bir küreye benziyorsa, onu bir küre haline getirmek mümkündür. Bilim adamının bu ifadesine, karmaşık fiziksel süreçlerin anlaşılmasındaki büyük önemi ve ayrıca buna verilecek yanıtın evrenin şekli sorusunu çözmek anlamına gelmesi nedeniyle bazen evrenin formülü denir. Bu keşfin nanoteknolojilerin gelişmesinde önemli bir rol oynadığını da söylemek gerekir.

Böylece Clay Matematik Enstitüsü en zor 7 problemi seçmeye karar verdi. Her birinin çözümü için bir milyon dolar söz verildi. Ve şimdi Grigory Perelman keşfiyle karşımıza çıkıyor. Matematikteki ödül elbette ona gidiyor. 2002'den beri çalışmalarını yabancı İnternet kaynaklarında yayınladığı için oldukça hızlı fark edildi.

Perelman'a Kil Ödülü nasıl verildi?

Böylece, Mart 2010'da Perelman hak ettiği ödülü aldı. Matematikte ödül, büyüklüğü 1 milyon dolar olan etkileyici bir servet almak anlamına geliyordu. Grigory Yakovlevich'in ispat için alması gerekiyordu, ancak bilim adamı Haziran 2010'da Paris'te düzenlenen ve bu ödülün verileceği matematik konferansını görmezden geldi. Ve 1 Temmuz 2010'da Perelman, reddini kamuoyuna açıkladı. Üstelik kendisine verilen parayı da tüm taleplere rağmen almamıştır.

Matematikçi Perelman ödülü neden reddetti?

Grigory Yakovlevich bunu, vicdanının diğer birkaç matematikçiden dolayı bir milyon almasına izin vermediği gerçeğiyle açıkladı. Bilim adamı, hem parayı almak hem de almamak için birçok nedeni olduğunu kaydetti. Karar vermesi uzun zaman aldı. Bir matematikçi olan Grigory Perelman, ödülü reddetmenin ana nedeni olarak bilim camiası ile olan anlaşmazlığı gösterdi. Kararlarını haksız bulduğunu kaydetti. Grigory Yakovlevich, Alman matematikçi Hamilton'ın bu sorunun çözümüne katkısının kendisininkinden az olmadığına inandığını belirtti.

Bu arada, biraz sonra bu konuyla ilgili bir anekdot bile vardı: matematikçilerin milyonları daha sık ayırması gerekiyor, belki birileri yine de onları almaya karar verir. Perelman'ın reddetmesinden bir yıl sonra, Demetrios Christodoul ve Richard Hamilton, Shaw Ödülü'ne layık görüldü. Matematikte bu ödülün miktarı bir milyon dolardır. Bu ödül bazen şu şekilde de anılır: Nobel Ödülü Doğu. Hamilton onu matematiksel bir teori yarattığı için aldı. Rus matematikçi Perelman'ın daha sonra Poincaré varsayımının ispatına adanmış çalışmalarında geliştirdiği şey buydu. Richard ödülü kabul etti.

Grigory Perelman tarafından reddedilen diğer ödüller

Bu arada, 1996'da Grigory Yakovlevich, Avrupa Matematik Derneği'nden genç matematikçiler için prestijli bir ödüle layık görüldü. Ancak, onu almayı reddetti.

On yıl sonra, 2006'da bilim adamına Poincare varsayımını çözdüğü için Fields Madalyası verildi. Grigory Yakovlevich de onu reddetti.

2006'da Science dergisi, Poincaré tarafından oluşturulan hipotezin kanıtını yılın bilimsel atılımı olarak adlandırdı. Unutulmamalıdır ki bu, matematik alanında böyle bir unvan kazanmış ilk çalışmadır.

David Gruber ve Sylvia Nazar, 2006'da Manifold Destiny adlı bir makale yayınladılar. Perelman'dan, Poincaré sorununa getirdiği çözümden bahsediyor. Ayrıca makale, matematik camiasından ve bilimde var olan etik ilkelerden bahsetmektedir. Aynı zamanda Perelman ile ender bir röportajı da içeriyor. Çinli matematikçi Yau Xingtang'ın eleştirisi hakkında da çok şey söyleniyor. Öğrencileri ile birlikte Grigory Yakovlevich tarafından sunulan kanıtların eksiksizliğine itiraz etmeye çalıştı. Bir röportajda Perelman şunları kaydetti: "Bilimde etik standartları ihlal edenler yabancı sayılmaz. Benim gibi insanlar izole edilmiş kişilerdir."

Eylül 2011'de üyeliği de reddetti. Rus Akademisi matematikçi Perelman. Biyografisi aynı yıl yayınlanan bir kitapta sunulmuştur. Toplanan bilgiler üçüncü şahısların ifadesine dayansa da, ondan bu matematikçinin kaderi hakkında daha fazla bilgi edinebilirsiniz. Yazarı - Kitap, Perelman'ın sınıf arkadaşları, öğretmenleri, meslektaşları ve meslektaşları ile yapılan görüşmelere dayanarak derlendi. Grigory Yakovlevich'in öğretmeni Sergei Rukshin, onun hakkında eleştirel bir şekilde konuştu.

Grigory Perelman bugün

Ve bugün yalnız bir hayat sürüyor. Matematikçi Perelman, basını mümkün olan her şekilde görmezden gelir. Nerede yaşıyor? Yakın zamana kadar Grigory Yakovlevich, annesiyle Kupchino'da yaşıyordu. Ve 2014'ten beri ünlü Rus matematikçi Grigory Perelman İsveç'te.

Fotoğraf: N. Chetverikova Saf matematiğin son büyük başarısı, 1904'te ifade edilen ve "her bağlı, basit bağlantılı, sınırsız kompakt üç boyutlu manifold, S 3 küresine homeomorfiktir" diyen Poincaré varsayımının kanıtıdır. 2002-2003'te St. Petersburg'dan Grigory Perelman.

Bu cümlede, genel anlamları matematik olmayanlar için netleşecek şekilde açıklamaya çalışacağım birkaç terim var (okuyucunun liseden mezun olduğunu ve hala okul matematiğinden bir şeyler hatırladığını varsayıyorum).

Ana fikir, klasik bir kupa ve simit örneğini kullanarak açıklamak en kolayıdır. Birincisi, sürekli bir deformasyonla ikinciye dönüştürülebilir: Bu şekiller, kupanın halkaya homeomorfik olduğunu açıkça göstermektedir ve bu gerçek, hem yüzeyleri (simit adı verilen iki boyutlu manifoldlar) hem de dolu cisimler için doğrudur ( Sınırlı üç boyutlu manifoldlar).

Hipotezin formülasyonunda ortaya çıkan diğer terimlerin bir yorumunu verelim.

1. Sınırsız üç boyutlu manifold. Bu, her noktanın üç boyutlu bir top şeklinde bir mahalleye sahip olduğu çok geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri, ilk olarak, R3 ile gösterilen tüm üç boyutlu uzayın yanı sıra R3'teki herhangi bir açık nokta kümesi, örneğin katı bir torusun (çörek) iç kısmıdır. Kapalı bir katı simidi ele alırsak, yani sınır noktalarını (simitin yüzeyi) eklersek, o zaman zaten sınıra sahip bir manifold elde ederiz - sınır noktalarının top şeklinde komşulukları yoktur, yalnızca formda topun yarısında.

2. Bağlandı. Bağlanabilirlik kavramı burada en basit olanıdır. Bir manifold, tek bir parçadan oluşuyorsa veya aynı şekilde herhangi iki noktası, sınırlarını aşmayan sürekli bir çizgi ile bağlanabiliyorsa bağlantılıdır.

3. Basitçe bağlanın. Tek bağlantılılık kavramı daha karmaşıktır. Bu, tamamen belirli bir manifold içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan bir iki boyutlu küre basitçe bağlıdır (bir elmanın yüzeyine gelişigüzel bir şekilde bağlanan bir elastik bant, elastik bandı elmadan koparmadan bir noktaya yumuşak bir deformasyonla büzülebilir). Öte yandan, daire ve simit basitçe bağlantılı değildir.

4. Kompakt. Bir manifold, homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir parçanın uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak (uçları olan) kapalı bir parça, sınırları olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için, uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parça, bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmelidir.

Boyut manifold, üzerinde "yaşayan" noktadaki serbestlik derecesi sayısıdır. Her noktanın, karşılık gelen boyutta bir disk şeklinde bir komşuluğu vardır, yani tek boyutlu durumda bir çizgi aralığı, iki boyutlu durumda düzlem üzerinde bir daire, üç boyutlu durumda bir top , vb. Topoloji açısından bakıldığında, yalnızca iki adet tek boyutlu bağlı sınırsız manifold vardır: bu çizgi ve dairedir. Bunlardan sadece daire kompakttır.

İki boyutlu kompakt manifoldlar iyi bilinmektedir. sadece düşünürsek odaklı 1 sınırsız manifoldlar, o zaman topolojik bir bakış açısından sonsuz da olsa basit bir liste oluştururlar: vb. Bu tür her bir manifold, sayısı yüzeyin cinsi olarak adlandırılan birkaç tutamağın yapıştırılmasıyla bir küreden elde edilir.

1 Yer olmadığı için, yönlendirilemeyen manifoldlardan bahsetmeyeceğim, bunun bir örneği ünlü Klein şişesidir - kendi kendine kesişmeyen bir alana gömülemeyen bir yüzey.

Görünüşe göre, üç boyutlu S 3 küresinin topolojik yapısını açıklamanın en basit yolu, tek noktalı kompaktlaştırmanın yardımıyladır. Yani, üç boyutlu küre S3, olağan üç boyutlu (sınırsız) alanın R3 tek noktalı bir kompaktlaştırmasıdır.

Bu yapıyı önce basit örneklerle açıklayalım. Sıradan bir sonsuz düz çizgiyi (tek boyutlu bir uzay analoğu) alalım ve düz bir çizgi boyunca sağa veya sola hareket ederken sonunda bu noktaya geldiğimizi varsayarak ona "sonsuz derecede uzak" bir nokta ekleyelim. Topolojik bir bakış açısından, sonsuz bir çizgi ile sınırlı bir açık parça (uç noktaları olmadan) arasında fark yoktur. Böyle bir parça sürekli olarak bir yay şeklinde bükülebilir, uçları birbirine yaklaştırabilir ve eksik noktayı bağlantı noktasına yapıştırabilir. Açıkçası, bir daire elde ediyoruz - bir kürenin tek boyutlu bir analoğu.

Benzer şekilde, sonsuz bir düzlem alırsam ve orijinal düzlemin herhangi bir yönden geçen tüm çizgilerinin yöneldiği sonsuzda bir nokta eklersem, o zaman iki boyutlu (sıradan) bir küre elde ederiz S 2 . Bu prosedür, N'nin kuzey kutbu hariç, kürenin her P noktasına P düzleminin belirli bir noktasını atayan bir stereografik izdüşüm kullanılarak gözlemlenebilir:

Böylece, tek noktası olmayan bir küre, topolojik olarak bir düzlemle aynıdır ve bir nokta eklemek, düzlemi bir küreye dönüştürür.

Prensip olarak, tam olarak aynı yapı üç boyutlu bir küre ve üç boyutlu uzay için geçerlidir, yalnızca uygulanması için dördüncü boyuta girmek gerekir ve bunu çizimde tasvir etmek o kadar kolay değildir. Bu nedenle, kendimi R3 uzayının tek noktalı kompaktlaştırmasının sözel bir tanımıyla sınırlıyorum.

İşte nasıl anlaşılabileceği. Simidi her zamanki gibi yuvarlak bir halka şeklinde R 3'e yerleştirelim ve dikey bir çizgi çizelim - bu halkanın dönme ekseni. Eksen boyunca keyfi bir düzlem çizin, şekilde yeşil ile gösterilen iki daire boyunca katı torusumuzu kesecek ve düzlemin ek kısmı sürekli bir kırmızı daire ailesine bölünecektir. Bunların arasında, daha kalın vurgulanan merkezi eksen vardır, çünkü S 3 küresinde çizgi bir daire şeklinde kapanır. Bu iki boyutlu resimden bir eksen etrafında döndürülerek üç boyutlu resim elde edilir. Tam bir döndürülmüş daire seti daha sonra üç boyutlu bir gövdeyi dolduracak, homeomorfik bir torusa dönüşecek, sadece alışılmadık görünüyor.

Aslında, merkezi eksen, içinde eksenel bir daire olacak ve geri kalanı, normal katı torusu oluşturan daireler - paralellikler rolünü oynayacak.

Üç çift yüzü vardır: sol ve sağ, üst ve alt, ön ve arka. Her paralel yüz çiftinde, küpün kenarı boyunca aktararak birbirinden elde edilen noktaları çiftler halinde tanımlarız. Yani, örneğin A ve A'nın "aynı nokta olduğunu ve B ve B"nin de bir nokta olduğunu ancak A noktasından farklı olduğunu (tamamen soyut olarak, fiziksel deformasyonlar uygulamadan) varsayacağız. küpü her zamanki gibi ele alacağız. Küpün kendisi kenarlı bir manifolddur, ancak yapıştırma yapıldıktan sonra kenar kendi üzerine kapanır ve kaybolur. Aslında, küpteki A ve A" noktalarının komşulukları (sol ve sağ gölgeli yüzlerde bulunurlar), yüzleri birbirine yapıştırdıktan sonra bütün bir top halinde birleşen topların yarısıdır. üç boyutlu simidin karşılık gelen noktasının komşuluğu.

3 torusun yapısını fiziksel alanla ilgili sıradan fikirlere dayanarak hissetmek için, karşılıklı olarak üç dikey yön seçmeniz gerekir: ileri, sol ve yukarı - ve bilim kurgu hikayelerinde olduğu gibi, herhangi birinde hareket ederken zihinsel olarak düşünün. bu yönler, oldukça uzun ama sınırlı bir süre , başlangıç noktasına geri döneceğiz, ancak ters yönden Bu aynı zamanda bir "uzayın sıkıştırılması", ancak daha önce bir küre oluşturmak için kullanılan tek nokta değil, ama daha karmaşık.

Böylece, basit bağlantılı ve basit bağlı olmayan kompakt 3-manifoldların olduğunu görüyoruz. Perelman, basit bağlı bir manifoldun tam olarak bir olduğunu kanıtladı.

Kanıtın ilk fikri, sözde "Ricci akışını" kullanmaktır: basit bir şekilde bağlanmış, kompakt bir 3-manifoldu alıyoruz, ona keyfi bir geometri veriyoruz (yani, mesafeler ve açılarla bazı metrikler getiriyoruz) ve sonra Ricci akışı boyunca evrimini düşünün. 1981'de bu fikri ortaya atan Richard Hamilton, bu evrimle manifoldumuzun bir küreye dönüşeceğini umuyordu. Bunun doğru olmadığı ortaya çıktı - üç boyutlu durumda, Ricci akışı manifoldu bozabilir, yani onu biraz manifold yapabilir (yukarıdaki kesişen çizgi örneğinde olduğu gibi tekil noktaları olan bir şey). Perelman, inanılmaz teknik zorlukların üstesinden gelerek, kısmi diferansiyel denklemlerin ağır aparatını kullanarak, Ricci akışını tekil noktalara yakın bir şekilde, evrim sırasında manifoldun topolojisinin değişmeyeceği, tekil noktaların olmayacağı ve Sonunda yuvarlak bir küreye dönüşür. Ama sonunda bu Ricci akışının ne olduğunu açıklamalıyız. Hamilton ve Perelman tarafından kullanılan akışlar, soyut bir manifold üzerindeki içsel metrikteki bir değişikliğe atıfta bulunur ve bunu açıklamak oldukça zordur, bu nedenle kendimi bir düzleme gömülü tek boyutlu manifoldlar üzerindeki "dış" Ricci akışını açıklamakla sınırlayacağım. .

Hız vektörü eğrimizin ikiye böldüğü düzlemin iç kısmına doğru dönerse eğrilik pozitif, dışa doğru dönerse negatif kabul edilir. Bu kural, eğrinin geçildiği yöne bağlı değildir. Dönmenin yön değiştirdiği bükülme noktalarında eğrilik 0 olacaktır. Örneğin, yarıçapı 1 olan bir dairenin sabit pozitif eğriliği 1'dir (radyan cinsinden ölçülür).

Düzlemdeki herhangi bir kapalı eğrinin böyle bir evrim sırasında benzer şekilde davrandığı, yani sonunda bir daireye dönüştüğü ortaya çıktı. Bu, Ricci akışını kullanan Poincare varsayımının tek boyutlu analoğunun kanıtıdır (ancak, bu durumda ifadenin kendisi zaten açıktır, sadece ispat yöntemi 3. boyutta ne olduğunu göstermektedir).

Sergey Düzin,
Fizik ve Matematik Doktoru Bilimler,
kıdemli Araştırmacı
Petersburg şubesi
Rusya Bilimler Akademisi Matematik Enstitüsü

Poincaré'nin teoremi, "Evrenin" matematiksel formülüdür. Grigory Perelman. Bölüm 1 ("Bilimde Gerçek Adam" serisinden)

En büyük matematikçilerden biri olan Henri Poincare (1854-1912), 1904'te ünlü deforme olmuş üç boyutlu küre fikrini formüle etti ve 65 sayfalık bir makalenin sonuna küçük bir marjinal not şeklinde kondu. bambaşka bir konu, birkaç satırlık oldukça garip bir varsayım karaladı: "Eh, bu soru bizi çok uzağa götürebilir" ...

Oxford Üniversitesi'nden Marcus Du Sotoy, Poincaré teoreminin "bu matematik ve fiziğin temel problemi, anlamaya çalışmak hangi form Belki Evren Ona yaklaşmak çok zor."

Grigory Perelman, Institute for Advanced Study'de bir seminere katılmak için haftada bir kez Princeton'a gidiyordu. Seminerde, matematikçilerden biri Harvard Üniversitesi Perelman'ın sorusunu yanıtlıyor: "Geometrizasyon hipotezi olarak adlandırılan William Thurston'ın (1946-2012, matematikçi, "Üç boyutlu geometri ve topoloji" alanında çalışan) teorisi, tüm olası üç boyutlu yüzeyleri tanımlar ve karşılaştırıldığında ileriye doğru bir adımdır. Poincaré hipotezine. William Thurston'ın varsayımını kanıtlarsanız, Poincare varsayımı size tüm kapılarını ve daha fazlasını açacaktır. çözümü, modern bilimin tüm topolojik manzarasını değiştirecek».

Mart 2003'te önde gelen altı Amerikan üniversitesi, Perelman'ı çalışmalarını açıklayan bir dizi dersi okumaya davet ediyor. Nisan 2003'te Perelman bilimsel bir gezi yapar. Dersleri olağanüstü bir bilimsel olay haline gelir. John Ball (Uluslararası Matematik Birliği başkanı), Andrew Wiles (matematikçi, eliptik eğrilerin aritmetiği alanında çalışıyor, 1994'te Fermat teoremini kanıtladı), John Nash (oyun teorisi ve diferansiyel geometri alanında çalışan matematikçi) Princeton onu dinlemek için.

Grigory Perelman milenyumun yedi görevinden birini çözmeyi başardı. Ve matematiksel olarak tanımla sözde evrenin formülü, Poincaré varsayımını kanıtlamak için. En parlak beyinler, 100 yıldan fazla bir süredir bu hipotez üzerinde savaştı ve dünya matematik topluluğunun (Clay Mathematical Institute) 1 milyon dolar vaat ettiği kanıtı için 8 Haziran 2010'da sunuldu. , ve dünya matematik topluluğu "ağzı açık bıraktı."

2006 yılında, matematikçi Poincaré varsayımını çözdüğü için en yüksek matematik ödülü olan Fields Ödülü'ne (Fields Madalyası) layık görüldü. John Ball, ödülü kabul etmesi için St. Petersburg'u bizzat ziyaret etti. Bunu şu sözlerle kabul etmeyi reddetti: "Toplum işimi ciddi bir şekilde değerlendiremiyor."

“Fields Ödülü (ve madalyası), her uluslararası matematik kongresinde 4 yılda bir, matematiğin gelişimine önemli katkılarda bulunan genç bilim insanlarına (40 yaş altı) verilir. Madalyaya ek olarak, ödül alanlara 15.000 Kanada doları (13.000 $) verildi.”

Orijinal formülasyonunda, Poincaré varsayımı şu şekildedir: "Sınırsız, basit bir şekilde bağlanmış her kompakt üç boyutlu manifold, üç boyutlu bir küreye homeomorfiktir." Ortak bir dile çevrildiğinde bu, herhangi bir üç boyutlu nesnenin, örneğin bir camın tek başına deformasyonla topa dönüştürülebileceği, yani kesilmesine veya yapıştırılmasına gerek kalmayacağı anlamına gelir. Başka bir deyişle, Poincaré şunu önerdi: uzay üç boyutlu değildir, ancak çok daha fazla sayıda boyut içerir ve 100 yıl sonra Perelman matematiksel olarak kanıtladı.

Grigory Perelman'ın Poincaré'nin maddenin başka bir duruma, forma dönüşmesine ilişkin teoremini açıklaması, Anastasia Novykh'in "Sensei IV": iğneler" kitabında ortaya koyduğu bilgiye benzer. Gözlemci tarafından altıncının üzerindeki boyutların kontrolünden (7'den 72'ye dahil) getirilen dönüşümler aracılığıyla maddi Evreni kontrol etme yeteneğinin yanı sıra ("PRİMER ALLATRA FİZİĞİ" konusu "Ezoosmik ızgara" raporunu bildirin).

Grigory Perelman, hayatın sadeliği, hem kendisi hem de başkaları için etik gereksinimlerin ciddiyeti ile ayırt edildi. Ona bakınca insan sadece onun olduğu hissine kapılıyor. bedensel ikamet diğer tüm çağdaşlarla ortak olarak uzay, A Ruhsal olarak başka, nerede bile 1 milyon dolar için gitmeyin en "masum" vicdanla uzlaşma. Ve bu nasıl bir alan ve ona göz ucuyla bakmak bile mümkün mü? ..

Yaklaşık bir asır önce matematikçi Poincaré tarafından ortaya atılan hipotezin istisnai önemi, üç boyutlu yapılarla ilgilidir ve anahtar elemançağdaş araştırma evrenin temelleri. Clay Institute uzmanlarına göre bu bilmece, geleceğin matematiğinin gelişimi için temel olarak önemli olan yedi bilmeceden biridir.

Madalyaları ve ödülleri reddeden Perelman, “Onlara neden ihtiyacım var? Benim için kesinlikle işe yaramazlar. Herkes, kanıt doğruysa, başka bir tanıma gerekmediğini anlar. Şüphe duyana kadar, ya düşük ahlaki seviyesi nedeniyle matematik topluluğunun bir bütün olarak parçalanması hakkında yüksek sesle konuşma ya da hiçbir şey söylememe ve kendime sığır gibi davranılmasına izin verme seçeneğim vardı. Şimdi, şüphelenmekten de öteye geçtiğimde, sığır gibi kalıp sessiz kalmaya devam edemem, bu yüzden sadece gidebilirim.

Modern matematiği yapabilmek için, onu parçalayan, yönünü değiştiren, değerlerin yerine geçen en ufak bir karışım olmadan tamamen saf bir zihne sahip olmanız gerekir ve bu ödülü kabul etmek, zayıflık göstermek anlamına gelir. İdeal bilim adamı sadece bilimle uğraşır, başka hiçbir şeyi (güç ve sermaye) umursamaz, saf bir zihne sahip olmalıdır ve Perelman için bu ideale göre yaşamaktan daha büyük bir önem yoktur. Milyonlarla tüm bu fikir matematik için faydalı mı ve gerçek bir bilim adamının böyle bir teşvike ihtiyacı var mı? Ve sermayenin bu dünyadaki her şeyi satın alma ve boyun eğdirme arzusu aşağılayıcı değil mi? veya satabilirsin onun saflığı bir milyon için mi? Para ne kadar olursa olsun eşdeğerdir ruhun gerçeği? Ne de olsa, paranın basitçe yapmak zorunda olmaması gereken sorunların a priori bir değerlendirmesiyle uğraşıyoruz, değil mi?! Tüm bunları bir loto-milyon gibi bir şey yapmak veya bir tote yapmak, bilimsel olanın dağılmasına izin vermek anlamına gelir ve aslında bir bütün olarak insan topluluğu("PRIMORDIAL ALLATRA FİZİĞİ" raporuna ve yaratıcı bir toplum inşa etmenin yolu hakkında "AllatRa" kitabının son 50 sayfasına bakın). VE peşin(enerji), hangi işadamlarının bilime bağışlamaya hazır olduğu, eğer kullanılması gerekiyorsa, o zaman doğrudur veya küçük düşürmeden başka bir şey Gerçek Hizmetin Ruhu, ne derse desin, paha biçilmez bir parasal eşdeğer: “ Bir milyon nedir, karşılaştırıldığında, saflıkla veya Majesteleri bu küreler (küresel evrenin boyutları hakkında ve yaklaşık ruhsal dünya kitaba bak"Allat Ra" ve rapor"İLKAL ALLATRA FİZİĞİ"), burada nüfuz edemiyor hatta insan hayal gücü (akıl)?! milyon nedir yıldızlı gökyüzü Zaman için?

Hipotezin formülasyonunda görünen kalan terimlerin bir yorumunu verelim:

Topoloji - (Yunanca topos - yer ve logolar - öğretimden) - şekillerin topolojik özelliklerini inceleyen bir matematik dalı, yani. süreksizlikler ve yapıştırmalar olmaksızın (daha doğrusu bire bir ve sürekli eşlemelerde) üretilen hiçbir deformasyon altında değişmeyen özellikler. Şekillerin topolojik özelliklerine örnek olarak boyut, belirli bir alanı sınırlayan eğri sayısı vb. verilebilir. Dolayısıyla, bir daire, bir elips, bir kare kontur aynı topolojik özelliklere sahiptir, çünkü bu çizgiler, yukarıda açıklanan şekilde birbiri içine deforme edilebilir; aynı zamanda, halka ve daire farklı topolojik özelliklere sahiptir: daire bir konturla ve halka iki konturla sınırlanmıştır.

Homeomorfizm (Yunanca ομοιο - benzer, μορφη - şekil), bu yazışma tarafından tanımlanan karşılıklı olarak ters eşlemelerin sürekli olduğu iki topolojik uzay arasındaki bire bir yazışmadır. Bu eşlemelere homeomorfik veya topolojik eşlemelerin yanı sıra homeomorfizmler denir ve aynı topolojik tipe ait olduğu söylenen uzaylara homeomorfik veya topolojik olarak eşdeğer denir.

Sınırsız üç boyutlu bir manifold. Bu, her noktanın üç boyutlu bir top şeklinde bir mahalleye sahip olduğu çok geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri, ilk olarak, R3 ile gösterilen tüm üç boyutlu uzayın yanı sıra R3'teki herhangi bir açık nokta kümesi, örneğin katı bir torusun (çörek) içidir. Kapalı bir katı torus düşünürsek, yani. Sınır noktalarını (simitin yüzeyi) eklersek, o zaman sınırı olan bir manifold elde ederiz - sınır noktalarının top şeklinde komşulukları yoktur, sadece topun yarısı şeklindedir.

Tam simit (tam simit) - geometrik gövde, iki boyutlu bir diskin ve D2 * S1 dairesinin ürününe homeomorfik. Gayri resmi olarak, katı bir simit bir halka iken, bir simit yalnızca yüzeyidir (tekerleğin içi boş bir odası).

Basitçe bağlandı. Bu, tamamen belirli bir manifold içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan bir iki boyutlu küre basitçe bağlıdır (bir elmanın yüzeyine keyfi olarak uygulanan bir elastik bant, elastik bandı elmadan çıkarmadan yumuşak bir deformasyonla bir noktaya kadar büzülebilir). Öte yandan, daire ve simit basitçe bağlantılı değildir.

Kompakt. Bir manifold, homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir parçanın uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak (uçları olan) kapalı bir parça, sınırları olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için, uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parça, bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmelidir.

Devam edecek...

İlnaz Başarov

Edebiyat:

– ALLATRA Uluslararası Halk Hareketi'nin uluslararası bilim insanları grubunun "PRİMER ALLATRA FİZİĞİ" raporu, ed. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Yeni olanlar. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Yeni olanlar. A., “Sensei-IV”, K.: LOTOS, 2013, 632 s. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Düzhin, Fizik ve Matematik Doktoru Sci., Kıdemli Araştırmacı, Rusya Bilimler Akademisi Matematik Enstitüsü St. Petersburg Şubesi

Kategoride popüler: