Kako množiti jednostavne razlomke. Pravila množenja i dijeljenja razlomaka cijelim brojem
Množenje i dijeljenje razlomaka.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Ova operacija je puno ljepša od zbrajanja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećam vas: da biste pomnožili razlomak s razlomkom, morate pomnožiti brojnike (ovo će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti nazivnik). To je:
Na primjer:
Sve je krajnje jednostavno. I nemojte, molim vas, tražiti zajednički nazivnik! Ne treba ovdje...
Da biste podijelili razlomak na razlomak, morate okrenuti drugi(ovo je važno!) razlomak i pomnožite ih, tj.:
Na primjer:
Ako se uhvati množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima, u redu je. Kao i kod zbrajanja, pravimo razlomak od cijelog broja s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:
U srednjoj školi često se morate baviti trokatnim (ili čak četverokatnim!) razlomcima. Na primjer:
Kako ovaj razlomak dovesti u pristojan oblik? Da, vrlo jednostavno! Koristite dijeljenje kroz dvije točke:
Ali ne zaboravite na redoslijed podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trokatnici je lako pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:
U prvom slučaju (izraz lijevo):
U drugom (izraz desno):
Osjeti razliku? 4 i 1/9!
Koji je redoslijed podjele? Ili zagrade, ili (kao ovdje) duljinu horizontalnih crtica. Razviti oko. A ako nema zagrada ili crtica, na primjer:
zatim podijeli-množi redom, slijeva na desno!
I još jedan vrlo jednostavan i važan trik. U akcijama sa diplomama, dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu s bilo kojim razlomkom, na primjer s 13/15:
Snimak se preokrenuo! I uvijek se dogodi. Kada dijelite 1 bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnut.
To su sve radnje s razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Bilješka praktične savjete, i njih (grešaka) će biti manje!
Praktični savjeti:
1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost! Ovo nisu obične riječi, nisu dobre želje! Ovo je teška potreba! Napravite sve izračune na ispitu kao cjeloviti zadatak, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati dva dodatna retka u nacrtu, nego zabrljati pri računanju u glavi.
2. U primjerima sa različiti tipovi razlomci - idite na obične razlomke.
3. Sve razlomke svodimo do kraja.
4. Višerazinske frakcijske izraze reduciramo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (vodimo redoslijed dijeljenja!).
5. Jedinicu dijelimo na razlomak u mislima, jednostavnim okretanjem razlomka.
Ovdje su zadaci koje morate izvršiti. Nakon svih zadataka daju se odgovori. Koristite materijale ove teme i praktične savjete. Procijenite koliko biste primjera mogli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...
Zapamti točan odgovor dobiveno iz drugog (pogotovo trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.
Tako, riješiti u ispitnom načinu ! Usput, ovo je priprema za ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeći. Sve smo odlučili – ponovno provjerili od prvog do zadnjeg. Ali samo Zatim pogledajte odgovore.
Izračunati:
Jeste li se odlučili?
Tražite odgovore koji odgovaraju vašima. Ja sam ih posebno zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, zapisanih s točkom i zarezom.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
A sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretno za vas! Elementarni izračuni s razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...
Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješiv Problemi.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Množenje obični razlomci
Razmotrite primjer.
Neka se na tanjuru nalazi $\frac(1)(3)$ dio jabuke. Moramo pronaći $\frac(1)(2)$ dio toga. Traženi dio je rezultat množenja razlomaka $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(2)$. Rezultat množenja dva obična razlomka je obični razlomak.
Množenje dva obična razlomka
Pravilo za množenje običnih razlomaka:
Rezultat množenja razlomka s razlomkom je razlomak čiji je brojnik jednak umnošku brojnika pomnoženih razlomaka, a nazivnik jednak umnošku nazivnika:
Primjer 1
Pomnožite obične razlomke $\frac(3)(7)$ i $\frac(5)(11)$.
Riješenje.
Poslužimo se pravilom množenja običnih razlomaka:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Odgovor:$\frac(15)(77)$
Ako se kao rezultat množenja razlomaka dobije poništivi ili nepravi razlomak, potrebno ga je pojednostaviti.
Primjer 2
Pomnožite razlomke $\frac(3)(8)$ i $\frac(1)(9)$.
Riješenje.
Za množenje običnih razlomaka koristimo pravilo:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Kao rezultat, dobili smo svodivi razlomak (na temelju dijeljenja s $3$. Podijelimo brojnik i nazivnik razlomka s $3$, dobivamo:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Kratko rješenje:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Odgovor:$\frac(1)(24).$
Kada množite razlomke, možete smanjiti brojnike i nazivnike kako biste pronašli njihov umnožak. U tom se slučaju brojnik i nazivnik razlomka rastavljaju na jednostavne faktore, nakon čega se reduciraju ponavljajući faktori i pronalazi rezultat.
Primjer 3
Izračunajte umnožak razlomaka $\frac(6)(75)$ i $\frac(15)(24)$.
Riješenje.
Upotrijebimo formulu za množenje običnih razlomaka:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Očito, brojnik i nazivnik sadrže brojeve koji se u parovima mogu reducirati brojevima $2$, $3$ i $5$. Rastavljamo brojnik i nazivnik na jednostavne faktore i vršimo redukciju:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Odgovor:$\frac(1)(20).$
Pri množenju razlomaka može se primijeniti komutativni zakon:
Množenje razlomka prirodnim brojem
Pravilo množenja običnog razlomka prirodnim brojem:
Rezultat množenja razlomka prirodnim brojem je razlomak u kojem je brojnik jednak umnošku brojnika pomnoženog razlomka s prirodnim brojem, a nazivnik jednak nazivniku pomnoženog razlomka:
gdje je $\frac(a)(b)$ obični razlomak, $n$ je prirodni broj.
Primjer 4
Pomnožite razlomak $\frac(3)(17)$ sa $4$.
Riješenje.
Poslužimo se pravilom množenja običnog razlomka prirodnim brojem:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Odgovor:$\frac(12)(17).$
Ne zaboravite provjeriti rezultat množenja na kontraktibilnost razlomka ili nepravilnog razlomka.
Primjer 5
Pomnožite razlomak $\frac(7)(15)$ sa $3$.
Riješenje.
Upotrijebimo formulu za množenje razlomka prirodnim brojem:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Prema kriteriju dijeljenja s brojem $3$), može se odrediti da se dobiveni razlomak može smanjiti:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Rezultat je nepravi razlomak. Uzmimo cijeli dio:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Kratko rješenje:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Također je bilo moguće smanjiti razlomke zamjenom brojeva u brojniku i nazivniku njihovim proširenjem na proste faktore. U ovom slučaju rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Odgovor:$1\frac(2)(5).$
Kada razlomak množite prirodnim brojem, možete koristiti komutativni zakon:
Dijeljenje običnih razlomaka
Operacija dijeljenja je obratna od množenja, a rezultat je razlomak, s kojim morate pomnožiti poznati razlomak da biste dobili poznato djelo dva razlomka.
Dijeljenje dva obična razlomka
Pravilo dijeljenja običnih razlomaka: Očito, brojnik i nazivnik dobivenog razlomka mogu se rastaviti na jednostavne faktore i smanjiti:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Kao rezultat, dobili smo nepravilan razlomak, iz kojeg odabiremo cijeli dio:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Odgovor:$1\frac(5)(9).$
§ 87. Zbrajanje razlomaka.
Zbrajanje razlomaka ima mnogo sličnosti sa zbrajanjem cijelih brojeva. Zbrajanje razlomaka je radnja koja se sastoji u tome da se nekoliko zadanih brojeva (članova) kombinira u jedan broj (zbroj), koji sadrži sve jedinice i razlomke jedinica pojmova.
Razmotrit ćemo redom tri slučaja:
1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Zbrajanje mješovitih brojeva.
1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
Razmotrimo primjer: 1/5 + 2/5.
Uzmite segment AB (slika 17), uzmite ga kao jedinicu i podijelite ga na 5 jednakih dijelova, tada će dio AC ovog segmenta biti jednak 1/5 segmenta AB, a dio istog segmenta CD bit će jednak 2/5 AB.
Iz crteža se može vidjeti da ako uzmemo segment AD, tada će on biti jednak 3/5 AB; ali segment AD je upravo zbroj segmenta AC i CD. Dakle, možemo napisati:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Promatrajući te članove i dobiveni iznos, vidimo da je brojnik zbroja dobiven zbrajanjem brojnika članova, a nazivnik je ostao nepromijenjen.
Iz ovoga dobivamo sljedeće pravilo: Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike i ostaviti isti nazivnik.
Razmotrite primjer:
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Zbrojimo razlomke: 3/4 + 3/8 Prvo ih treba svesti na najmanji zajednički nazivnik:
Međukarika 6/8 + 3/8 nije mogla biti napisana; napisali smo to ovdje radi veće jasnoće.
Dakle, da biste zbrojili razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zbrojiti njihove brojnike i potpisati zajednički nazivnik.
Razmotrimo primjer (zapisat ćemo dodatne faktore preko odgovarajućih razlomaka):
3. Zbrajanje mješovitih brojeva.
Zbrojimo brojeve: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Dovedimo najprije razlomke naših brojeva na zajednički nazivnik i ponovno ih prepišimo:
Sada redom zbrojite cijeli i razlomački dio:
§ 88. Oduzimanje razlomaka.
Oduzimanje razlomaka definirano je na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. Ovo je radnja kojom se, zadanim zbrojem dva člana i jednog od njih, pronalazi drugi član. Razmotrimo redom tri slučaja:
1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.
1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.
Razmotrite primjer:
13 / 15 - 4 / 15
Uzmimo segment AB (slika 18), uzmimo ga kao jedinicu i podijelimo na 15 jednakih dijelova; tada će AC dio ovog segmenta biti 1/15 AB, a AD dio istog segmenta će odgovarati 13/15 AB. Ostavimo još jedan segment ED, jednak 4/15 AB.
Trebamo oduzeti 4/15 od 13/15. Na crtežu to znači da se segment ED mora oduzeti od segmenta AD. Kao rezultat toga, segment AE će ostati, što je 9/15 segmenta AB. Dakle, možemo napisati:
Primjer koji smo napravili pokazuje da je brojnik razlike dobiven oduzimanjem brojnika, a nazivnik je ostao isti.
Dakle, da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, trebate oduzeti brojnik umanjenika od brojnika umanjenika i ostaviti isti nazivnik.
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Primjer. 3/4 - 5/8
Prvo, svedimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik:
Međukarika 6 / 8 - 5 / 8 je ovdje napisana radi jasnoće, ali se ubuduće može preskočiti.
Dakle, da biste od razlomka oduzeli razlomak, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zatim od brojnika umanjenika oduzeti brojnik umanjenika i pod njihovu razliku potpisati zajednički nazivnik.
Razmotrite primjer:
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.
Primjer. 10 3/4 - 7 2/3.
Dovedimo razlomke manjeg i umanjenog na najmanji zajednički nazivnik:
Oduzeli smo cjelinu od cjeline i razlomak od razlomka. Ali postoje slučajevi kada je razlomački dio umanjenika veći od razlomačkog dijela umanjenika. U takvim slučajevima treba uzeti jednu jedinicu od cijelog dijela reduciranog, podijeliti ga na one dijelove u kojima je izražen razlomački dio i dodati razlomačkom dijelu reduciranog. I tada će se oduzimanje izvršiti na isti način kao u prethodnom primjeru:
§ 89. Množenje razlomaka.
Kada proučavamo množenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:
1. Množenje razlomka cijelim brojem.
2. Pronalaženje razlomka zadanog broja.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
4. Množenje razlomka razlomkom.
5. Množenje mješovitih brojeva.
6. Pojam kamate.
7. Određivanje postotaka zadanog broja. Razmotrimo ih redom.
1. Množenje razlomka cijelim brojem.
Množenje razlomka cijelim brojem ima isto značenje kao i množenje cijelog broja cijelim brojem. Množenje razlomka (množnika) cijelim brojem (množiteljem) znači sastavljanje zbroja istih članova, pri čemu je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.
Dakle, ako trebate pomnožiti 1/9 sa 7, onda to možete učiniti ovako:
Lako smo dobili rezultat, jer se radnja svela na zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Stoga,
Razmatranje ove radnje pokazuje da je množenje razlomka s cijelim brojem jednako povećanju ovog razlomka onoliko puta koliko ima jedinica u cijelom broju. A budući da se povećanje razlomka postiže ili povećanjem njegovog brojnika
ili smanjenjem njegovog nazivnika 
, onda možemo ili pomnožiti brojnik s cijelim brojem, ili podijeliti nazivnik s njim, ako je takvo dijeljenje moguće.
Odavde dobivamo pravilo:
Da biste pomnožili razlomak s cijelim brojem, morate pomnožiti brojnik s ovim cijelim brojem i ostaviti nazivnik istim ili, ako je moguće, podijeliti nazivnik s tim brojem, ostavljajući brojnik nepromijenjenim.
Prilikom množenja moguće su kratice, npr.
2. Pronalaženje razlomka zadanog broja. Postoje mnogi problemi u kojima morate pronaći, odnosno izračunati, dio zadanog broja. Razlika između ovih zadataka i ostalih je u tome što daju broj nekih predmeta ili mjernih jedinica i potrebno je pronaći dio tog broja, koji je i ovdje označen određenim razlomkom. Radi lakšeg razumijevanja, prvo ćemo dati primjere takvih problema, a zatim predstaviti način njihovog rješavanja.
Zadatak 1. Imao sam 60 rubalja; 1/3 ovog novca sam potrošio na kupovinu knjiga. Koliko su koštale knjige?
Zadatak 2. Vlak mora prijeći udaljenost između gradova A i B, jednaku 300 km. Već je prevalio 2/3 te udaljenosti. Koliko je ovo kilometara?
Zadatak 3. U selu ima 400 kuća, od kojih su 3/4 zidane, ostale su drvene. Koliko ima kuća od cigle?
Evo nekih od mnogih problema s kojima se moramo suočiti da bismo pronašli razlomak zadanog broja. Obično se nazivaju zadacima traženja razlomka zadanog broja.
Rješenje problema 1. Od 60 rubalja. Potrošio sam 1/3 na knjige; Dakle, da biste pronašli cijenu knjiga, trebate podijeliti broj 60 s 3:
Problem 2 rješenje. Smisao problema je da trebate pronaći 2/3 od 300 km. Izračunajte prvu 1/3 od 300; to se postiže dijeljenjem 300 km s 3:
300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).
Da biste pronašli dvije trećine od 300, trebate udvostručiti dobiveni kvocijent, odnosno pomnožiti s 2:
100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).
Rješenje problema 3. Ovdje trebate odrediti broj kuća od cigle, koje su 3/4 od 400. Hajde prvo pronaći 1/4 od 400,
400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).
Da bismo izračunali tri četvrtine od 400, dobiveni kvocijent treba utrostručiti, odnosno pomnožiti s 3:
100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).
Na temelju rješenja ovih problema možemo izvesti sljedeće pravilo:
Da biste pronašli vrijednost razlomka određenog broja, morate taj broj podijeliti s nazivnikom razlomka i pomnožiti dobiveni kvocijent s njegovim brojnikom.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
Ranije (§ 26) je utvrđeno da množenje cijelih brojeva treba shvatiti kao zbrajanje identičnih članova (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). U ovom stavku (stavak 1) utvrđeno je da množenje razlomka cijelim brojem znači pronalaženje zbroja identičnih članova koji su jednaki tom razlomku.
U oba slučaja množenje se sastojalo u pronalaženju zbroja identičnih članova.
Sada prelazimo na množenje cijelog broja razlomkom. Ovdje ćemo se susresti s takvim, na primjer, množenjem: 9 2 / 3. Sasvim je očito da prethodna definicija množenja ne vrijedi za ovaj slučaj. To je vidljivo iz činjenice da takvo množenje ne možemo zamijeniti zbrajanjem jednakih brojeva.
Zbog toga ćemo morati dati novu definiciju množenja, odnosno, drugim riječima, odgovoriti na pitanje što treba razumjeti pod množenjem razlomkom, kako tu radnju treba razumjeti.
Značenje množenja cijelog broja razlomkom jasno je iz sljedeće definicije: pomnožiti cijeli broj (množitelj) s razlomkom (množiteljem) znači pronaći ovaj razlomak množitelja.
Naime, množenje 9 sa 2/3 znači pronalazak 2/3 od devet jedinica. U prethodnom odlomku takvi su problemi riješeni; tako da je lako shvatiti da na kraju imamo 6.
Ali sada se postavlja zanimljivo i važno pitanje: zašto na prvi pogled takav razne aktivnosti, kao nalaženje zbroja jednakih brojeva i nalaženje razlomka broja, u aritmetici se nazivaju istom riječju "množenje"?
To se događa jer prethodna radnja (više puta ponavljanje broja s članovima) i nova radnja (traženje razlomka broja) daju odgovor na homogena pitanja. To znači da ovdje polazimo od toga da se homogena pitanja ili zadaci rješavaju jednom te istom radnjom.
Da biste to razumjeli, razmislite o sljedećem problemu: „1 metar tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 4 m takve tkanine?
Ovaj problem se rješava množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubalja).
Uzmimo isti problem, ali u njemu će količina tkanine biti izražena kao razlomak: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 3/4 m takve tkanine?
Ovaj problem također treba riješiti množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (3/4).
Također možete promijeniti brojeve u njemu nekoliko puta bez promjene značenja problema, na primjer, uzeti 9/10 m ili 2 3/10 m, itd.
Kako su ovi zadaci istog sadržaja i razlikuju se samo u brojevima, radnje kojima se rješavaju nazivamo istom riječju – množenje.
Kako se cijeli broj množi razlomkom?
Uzmimo brojeve na koje smo naišli u posljednjem problemu:
Prema definiciji, moramo pronaći 3/4 od 50. Prvo nađemo 1/4 od 50, a zatim 3/4.
1/4 od 50 je 50/4;
3/4 od 50 je .
Stoga.
Razmotrite još jedan primjer: 12 5 / 8 = ?
1/8 od 12 je 12/8,
5/8 od broja 12 je .
Stoga,
Odavde dobivamo pravilo:
Da biste pomnožili cijeli broj s razlomkom, morate cijeli broj pomnožiti s brojnikom razlomka i taj umnožak učiniti brojnikom, a nazivnik zadanog razlomka potpisati kao nazivnik.
Ovo pravilo pišemo slovima:
Kako bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati kvocijentom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom množenja broja kvocijentom koje je navedeno u § 38.
Morate imati na umu da prije izvođenja množenja trebate učiniti (ako je moguće) posjekotine, Na primjer:
4. Množenje razlomka razlomkom. Množenje razlomka razlomkom ima isto značenje kao i množenje cijelog broja razlomkom, odnosno kod množenja razlomka razlomkom treba pronaći razlomak u množitelju iz prvog razlomka (množeča).
Naime, množenje 3/4 sa 1/2 (pola) znači pronaći polovicu od 3/4.
Kako se množi razlomak s razlomkom?
Uzmimo primjer: 3/4 puta 5/7. To znači da trebate pronaći 5/7 od 3/4. Pronađite prvo 1/7 od 3/4, a zatim 5/7
1/7 od 3/4 bi se izrazilo ovako:
5/7 brojevi 3/4 bit će izraženi na sljedeći način:
Tako,
Drugi primjer: 5/8 puta 4/9.
1/9 od 5/8 je,
4/9 brojevi 5/8 su .
Tako, 
Iz ovih primjera može se zaključiti sljedeće pravilo:
Da biste pomnožili razlomak s razlomkom, morate brojnik pomnožiti s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom i tako da prvi umnožak bude brojnik, a drugi umnožak nazivnik umnoška.
Ovo je pravilo u opći pogled može se napisati ovako:
Prilikom množenja potrebno je (ako je moguće) smanjiti. Razmotrite primjere:
5. Množenje mješovitih brojeva. Budući da se mješoviti brojevi mogu lako zamijeniti nepravilnim razlomcima, ta se okolnost obično koristi pri množenju mješovitih brojeva. To znači da u onim slučajevima gdje su množenik, ili množitelj, ili oba faktora izraženi kao mješoviti brojevi, tada se zamjenjuju nepravilnim razlomcima. Pomnožite, na primjer, mješovite brojeve: 2 1/2 i 3 1/5. Svaki od njih pretvorimo u nepravi razlomak, a zatim ćemo dobivene razlomke pomnožiti prema pravilu množenja razlomka razlomkom:
Pravilo. Da biste množili mješovite brojeve, prvo ih morate pretvoriti u neprave razlomke, a zatim množiti prema pravilu množenja razlomka razlomkom.
Bilješka. Ako je jedan od faktora cijeli broj, tada se množenje može izvršiti na temelju zakona distribucije na sljedeći način:
6. Pojam kamate. Prilikom rješavanja zadataka i izvođenja raznih praktičnih izračuna koristimo sve vrste razlomaka. Ali treba imati na umu da mnoge količine za sebe ne dopuštaju bilo kakve, već prirodne potpodjele. Na primjer, možete uzeti stoti dio (1/100) rublje, to će biti peni, dvije stotine su 2 kopejke, tri stotinke su 3 kopejke. Možete uzeti 1/10 rublje, to će biti "10 kopejki, ili novčić. Možete uzeti četvrtinu rublje, tj. 25 kopejki, pola rublje, tj. 50 kopejki (pedeset kopejki). Ali oni praktički ne Ne uzimajte, na primjer, 2/7 rublje jer se rublja ne dijeli na sedmine.
Mjerna jedinica za težinu, tj. kilogram, dopušta prije svega decimalne podjele, na primjer, 1/10 kg ili 100 g. I takve dijelove kilograma kao što su 1/6, 1/11, 1/ 13 je neuobičajeno.
Općenito, naše (metričke) mjere su decimalne i dopuštaju decimalno dijeljenje.
Međutim, treba napomenuti da je izuzetno korisno i prikladno u velikom broju slučajeva koristiti istu (ujednačenu) metodu podjele količina. Dugogodišnje iskustvo pokazalo je da je takva opravdana podjela podjela na "stotinke". Razmotrimo nekoliko primjera koji se odnose na najrazličitija područja ljudske prakse.
1. Cijena knjiga smanjena je za 12/100 prethodne cijene.
Primjer. Prethodna cijena knjige je 10 rubalja. Pala je za 1 rublju. 20 kop.
2. Štedionice isplaćuju tijekom godine štedišama 2/100 iznosa položenog na štednju.
Primjer. U blagajnu se stavlja 500 rubalja, prihod od ovog iznosa za godinu je 10 rubalja.
3. Broj maturanata jedne škole bio je 5/100 od ukupnog broja učenika.
PRIMJER U školi je studiralo samo 1200 učenika, a 60 ih je završilo školu.
Stoti dio broja naziva se postotak..
Riječ "posto" je posuđena iz latinskog jezika i njen korijen "cent" znači stotinu. Zajedno s prijedlogom (pro centum), ova riječ znači "za sto". Značenje ovog izraza proizlazi iz činjenice da je u početku u stari rim kamata je bila novac koji je dužnik plaćao zajmodavcu "za svaku stotku". Riječ "cent" čuje se u tako poznatim riječima: centner (sto kilograma), centimetar (kažu centimetar).
Na primjer, umjesto da kažemo da je tvornica proizvela 1/100 svih proizvoda koje je proizvela tijekom prošlog mjeseca, reći ćemo ovo: tvornica je proizvela jedan posto otpada tijekom prošlog mjeseca. Umjesto da kažemo: tvornica je proizvela 4/100 proizvoda više od utvrđenog plana, reći ćemo: tvornica je premašila plan za 4 posto.
Gornji primjeri mogu se izraziti drugačije:
1. Cijena knjiga snižena je za 12 posto u odnosu na prethodnu cijenu.
2. Štedionice isplaćuju štedišama 2 posto godišnje od iznosa položenog na štednju.
3. Broj maturanata jedne škole bio je 5 posto od broja svih učenika škole.
Da bi se slovo skratilo, uobičajeno je da se umjesto riječi "postotak" piše znak %.
Međutim, treba imati na umu da se znak % obično ne piše u izračunima, može se napisati u izjavi problema iu konačnom rezultatu. Kada izvodite izračune, trebate napisati razlomak s nazivnikom 100 umjesto cijelog broja s ovom ikonom.
Morate biti u mogućnosti zamijeniti cijeli broj s navedenom ikonom razlomkom s nazivnikom 100:
Nasuprot tome, morate se naviknuti pisati cijeli broj s označenom ikonom umjesto razlomka s nazivnikom 100:
7. Određivanje postotaka zadanog broja.
Zadatak 1.Škola je dobila 200 kubika. m drva za ogrjev, od čega ogrjevno drvo breze čini 30%. Koliko je bilo brezovih drva?
Značenje ovog problema je da je ogrjevno drvo od breze bilo samo dio drva za ogrjev koji je isporučen školi, a taj dio je izražen u razlomku 30/100. Dakle, suočeni smo sa zadatkom da pronađemo razlomak broja. Da bismo ga riješili, moramo pomnožiti 200 sa 30 / 100 (zadaci za pronalaženje razlomka broja rješavaju se množenjem broja razlomkom.).
Dakle, 30% od 200 je jednako 60.
Razlomak 30 / 100 koji se susreće u ovom problemu može se smanjiti za 10. Bilo bi moguće izvršiti ovu redukciju od samog početka; rješenje problema ne bi se promijenilo.
Zadatak 2. U kampu je bilo 300 djece različite dobi. Djece od 11 godina bilo je 21%, djece od 12 godina bilo je 61% i konačno 13-godišnjaka bilo je 18%. Koliko je djece svake dobi bilo u kampu?
U ovom zadatku potrebno je izvršiti tri izračuna, odnosno sukcesivno pronaći broj djece od 11 godina, zatim od 12 godina i na kraju od 13 godina.
Dakle, ovdje će biti potrebno tri puta pronaći razlomak broja. Učinimo to:
1) Koliko je djece imalo 11 godina?
2) Koliko je djece imalo 12 godina?
3) Koliko je djece imalo 13 godina?
Nakon rješavanja zadatka korisno je zbrojiti pronađene brojeve; njihov zbroj bi trebao biti 300:
63 + 183 + 54 = 300
Također treba obratiti pozornost na činjenicu da je zbroj postotaka danih u uvjetu zadatka 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ovo sugerira da ukupni broj djece koja su bila u logoru uzeto je kao 100%.
3 a da cha 3. Radnik je dobivao 1200 rubalja mjesečno. Od toga je 65% trošio na hranu, 6% na stan i grijanje, 4% na plin, struju i radio, 10% na kulturne potrebe i 15% je uštedio. Koliko je novca potrošeno za potrebe navedene u zadatku?
Da biste riješili ovaj problem, morate 5 puta pronaći razlomak broja 1200. Učinimo to.
1) Koliko se novca troši na hranu? U zadatku stoji da je taj trošak 65% svih zarada, odnosno 65/100 od broja 1200. Izračunajmo:
2) Koliko je novca plaćen stan s grijanjem? Raspravljajući kao i prethodni, dolazimo do sljedećeg izračuna:
3) Koliko ste novca platili za plin, struju i radio?
4) Koliko se novca troši na kulturne potrebe?
5) Koliko je novca radnik uštedio?
Za provjeru je korisno zbrojiti brojeve iz ovih 5 pitanja. Iznos bi trebao biti 1200 rubalja. Sva zarada je uzeta kao 100%, što je lako provjeriti zbrajanjem postotaka navedenih u tvrdnji problema.
Riješili smo tri problema. Unatoč tome što su ti zadaci bili različiti (doprema drva za školu, broj djece različite dobi, troškovi radnika), rješavani su na isti način. To se dogodilo jer je u svim zadacima trebalo pronaći nekoliko postotaka od zadanih brojeva.
§ 90. Dijeljenje razlomaka.
Kada proučavamo dijeljenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:
1. Podijeli cijeli broj cijelim brojem.
2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
4. Dijeljenje razlomka razlomkom.
5. Dijeljenje mješovitih brojeva.
6. Pronalaženje broja zadani njegov razlomak.
7. Pronalaženje broja prema njegovom postotku.
Razmotrimo ih redom.
1. Podijeli cijeli broj cijelim brojem.
Kao što je naznačeno u odjeljku o cijelim brojevima, dijeljenje je radnja koja se sastoji u tome da se za umnožak dva faktora (dividenda) i jednog od tih faktora (djelitelj) pronađe drugi faktor.
Dijeljenje cijelog broja s cijelim brojem razmatrali smo u odjelu cijelih brojeva. Tu smo susreli dva slučaja dijeljenja: dijeljenje bez ostatka, odnosno "u cijelosti" (150 : 10 = 15) i dijeljenje s ostatkom (100 : 9 = 11 i 1 u ostatku). Stoga možemo reći da u području cijelih brojeva nije uvijek moguće točno dijeljenje, jer dividenda nije uvijek umnožak djelitelja i cijelog broja. Nakon uvođenja množenja razlomkom svaki slučaj dijeljenja cijelih brojeva možemo smatrati mogućim (isključuje se samo dijeljenje nulom).
Na primjer, dijeljenje 7 s 12 znači pronalaženje broja čiji bi umnožak puta 12 bio 7. Ovaj broj je razlomak 7/12 jer je 7/12 12 = 7. Drugi primjer: 14: 25 = 14/25 jer je 14/25 25 = 14.
Dakle, da biste cijeli broj podijelili s cijelim brojem, morate napraviti razlomak, čiji je brojnik jednak djelitelju, a nazivnik je djelitelj.
2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem.
Razlomak 6 / 7 podijelite s 3. Prema gore navedenoj definiciji dijeljenja, ovdje imamo umnožak (6 / 7) i jedan od faktora (3); potrebno je pronaći takav drugi faktor, koji bi iz množenja s 3 dao ovaj posao 6/7. Očito, trebao bi biti tri puta manji od ovog proizvoda. To znači da je zadatak koji smo postavili bio smanjiti razlomak 6/7 3 puta.
Već znamo da se razlomak može smanjiti smanjenjem brojnika ili povećanjem nazivnika. Stoga možete napisati:
U ovaj slučaj brojnik 6 je djeljiv s 3, pa brojnik treba smanjiti 3 puta.
Uzmimo još jedan primjer: 5/8 podijeljeno s 2. Ovdje brojnik 5 nije djeljiv s 2, što znači da će se nazivnik morati pomnožiti s ovim brojem:
Na temelju toga možemo navesti pravilo: Da biste razlomak podijelili s cijelim brojem, morate brojnik razlomka podijeliti s tim cijelim brojem(ako je moguće), ostavljajući isti nazivnik, ili pomnožite nazivnik razlomka ovim brojem, ostavljajući isti brojnik.
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
Neka se traži 5 podijeliti s 1/2, tj. pronaći broj koji će nakon množenja s 1/2 dati umnožak 5. Očito, taj broj mora biti veći od 5, budući da je 1/2 pravilan razlomak, a kod množenja broja pravilnim razlomkom umnožak mora biti manji od množenika. Da bi bilo jasnije, zapišimo svoje radnje na sljedeći način: 5: 1 / 2 = x , dakle x 1/2 \u003d 5.
Moramo pronaći takav broj x , što bi, kada se pomnoži s 1/2, dalo 5. Budući da množenje određenog broja s 1/2 znači pronalaženje 1/2 tog broja, tada, dakle, 1/2 nepoznatog broja x je 5, a cijeli broj x dvostruko više, tj. 5 2 \u003d 10.
Dakle, 5: 1/2 = 5 2 = 10
Provjerimo: 
Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 6 s 2/3. Pokušajmo prvo pomoću crteža pronaći željeni rezultat (slika 19).
Sl.19
Nacrtaj odsječak AB, jednak 6 nekih jedinica, te svaku jedinicu podijeli na 3 jednaka dijela. U svakoj jedinici tri trećine (3/3) u cijelom segmentu AB je 6 puta veće, tj. e. 18/3. Povezujemo uz pomoć malih zagrada 18 dobivenih segmenata od 2; Bit će samo 9 segmenata. To znači da je razlomak 2/3 sadržan u b jedinica 9 puta, odnosno, drugim riječima, razlomak 2/3 je 9 puta manji od 6 cijelih jedinica. Stoga,
Kako doći do ovog rezultata bez crteža koristeći samo izračune? Raspravljat ćemo na sljedeći način: potrebno je podijeliti 6 s 2/3, tj. potrebno je odgovoriti na pitanje koliko je puta 2/3 sadržano u 6. Utvrdimo prvo: koliko je puta 1/3 sadržano u 6? U cijeloj jedinici - 3 trećine, au 6 jedinica - 6 puta više, tj. 18 trećina; da bismo pronašli ovaj broj, moramo pomnožiti 6 s 3. Dakle, 1/3 je sadržano u b jedinicama 18 puta, a 2/3 je sadržano u b jedinicama ne 18 puta, već upola manje puta, tj. 18: 2 = 9 . Stoga smo pri dijeljenju 6 s 2/3 učinili sljedeće:
Odavde dobivamo pravilo za dijeljenje cijelog broja razlomkom. Da biste cijeli broj podijelili razlomkom, morate taj cijeli broj pomnožiti s nazivnikom zadanog razlomka i, čineći ovaj umnožak brojnikom, podijeliti ga s brojnikom zadanog razlomka.
Pravilo pišemo slovima:
Kako bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati kvocijentom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom dijeljenja broja kvocijentom koje je navedeno u § 38. Imajte na umu da je tamo dobivena ista formula.
Prilikom dijeljenja moguće su kratice, npr.
4. Dijeljenje razlomka razlomkom.
Neka je potrebno podijeliti 3/4 s 3/8. Što će označavati broj koji će se dobiti dijeljenjem? Odgovorit će na pitanje koliko je puta razlomak 3/8 sadržan u razlomku 3/4. Da bismo razumjeli ovo pitanje, napravimo crtež (slika 20).
Uzmite dužinu AB, uzmite je kao jedinicu, podijelite je na 4 jednaka dijela i označite 3 takva dijela. Segment AC bit će jednak 3/4 segmenta AB. Podijelimo sada svaki od četiri početna segmenta na pola, tada će segment AB biti podijeljen na 8 jednakih dijelova i svaki takav dio će biti jednak 1/8 segmenta AB. Spojimo 3 takva segmenta lukovima, tada će svaki od segmenta AD i DC biti jednak 3/8 segmenta AB. Crtež pokazuje da se segment jednak 3/8 nalazi u segmentu jednakom 3/4 točno 2 puta; Dakle, rezultat dijeljenja može se napisati ovako:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 15/16 s 3/32:
Možemo razmišljati ovako: trebamo pronaći broj koji će, nakon što se pomnoži s 3/32, dati umnožak jednak 15/16. Zapišimo izračune ovako:
15 / 16: 3 / 32 = x
3 / 32 x = 15 / 16
3/32 nepoznati broj x čine 15/16
1/32 nepoznati broj x je,
32 / 32 broja x šminka .
Stoga,
Dakle, da biste razlomak podijelili s razlomkom, trebate pomnožiti brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti s brojnikom drugog i prvi umnožak učiniti brojnikom, a drugo nazivnik.
Napišimo pravilo koristeći slova:
Prilikom dijeljenja moguće su kratice, npr.
5. Dijeljenje mješovitih brojeva.
Kod dijeljenja mješovitih brojeva treba ih prvo pretvoriti u neprave razlomke, a zatim dobivene razlomke podijeliti prema pravilima dijeljenja razlomaka. Razmotrite primjer:
Pretvorite mješovite brojeve u neprave razlomke:
Sada podijelimo:
Dakle, da biste podijelili mješovite brojeve, morate ih pretvoriti u neprave razlomke, a zatim podijeliti prema pravilu za dijeljenje razlomaka.
6. Pronalaženje broja zadani njegov razlomak.
Među raznim zadacima o razlomcima ponekad se nalaze i oni u kojima je zadana vrijednost nekog razlomka nepoznatog broja i potrebno je pronaći taj broj. Ova vrsta problema bit će inverzna problemu pronalaženja razlomka zadanog broja; tamo je dan broj i potrebno je pronaći neki razlomak ovog broja, ovdje je dan razlomak broja i potrebno je pronaći sam taj broj. Ova ideja će postati još jasnija ako se okrenemo rješenju ove vrste problema.
Zadatak 1. Prvog dana staklari su ostaklili 50 prozora, što je 1/3 svih prozora izgrađene kuće. Koliko prozora ima ova kuća?
Riješenje. Zadatak kaže da 50 ostakljenih prozora čini 1/3 svih prozora kuće, što znači da ukupno ima 3 puta više prozora, tj.
Kuća je imala 150 prozora.
Zadatak 2. Trgovina je prodala 1500 kg brašna, što je 3/8 ukupnih zaliha brašna u trgovini. Kolika je bila početna zaliha brašna u trgovini?
Riješenje. Iz uvjeta zadatka je vidljivo da prodanih 1.500 kg brašna čini 3/8 ukupne zalihe; to znači da će 1/8 ove zalihe biti 3 puta manje, tj. da biste je izračunali, trebate smanjiti 1500 3 puta:
1500: 3 = 500 (to je 1/8 dionica).
Očito će cjelokupna zaliha biti 8 puta veća. Stoga,
500 8 \u003d 4000 (kg).
Početna zaliha brašna u trgovini bila je 4000 kg.
Iz razmatranja ovog problema može se izvesti sljedeće pravilo.
Da biste pronašli broj prema zadanoj vrijednosti njegovog razlomka, dovoljno je tu vrijednost podijeliti s brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti s nazivnikom razlomka.
Riješili smo dva zadatka o pronalaženju broja zadanog njegovog razlomka. Takvi se zadaci, kao što se posebno dobro vidi iz posljednjeg, rješavaju dvije radnje: dijeljenjem (kada se nađe jedan dio) i množenjem (kada se nađe cijeli broj).
Međutim, nakon što smo proučili dijeljenje razlomaka, gore navedene probleme možemo riješiti jednom radnjom, naime: dijeljenjem razlomkom.
Na primjer, posljednji zadatak može se riješiti jednom akcijom ovako:
Ubuduće ćemo problem nalaženja broja njegovim razlomkom rješavati jednom radnjom – dijeljenjem.
7. Pronalaženje broja prema njegovom postotku.
U ovim zadacima morat ćete pronaći broj, znajući nekoliko postotaka tog broja.
Zadatak 1. Početkom ove godine dobio sam od štedionice 60 rubalja. prihod od iznosa koji sam stavio na štednju prije godinu dana. Koliko sam novca stavio na štedionicu? (Blagajne daju štedišama 2% prihoda godišnje.)
Značenje problema je u tome što sam određeni iznos novca položio u štedionicu i tamo ležao godinu dana. Nakon godinu dana dobio sam od nje 60 rubalja. prihoda, što je 2/100 novca koji sam uložio. Koliko sam novca položio?
Dakle, znajući dio ovog novca, izražen na dva načina (u rubljama i u razlomcima), moramo pronaći cijeli, još nepoznati, iznos. Ovo je običan problem pronalaženja broja s obzirom na njegov razlomak. Podjelom se rješavaju sljedeći zadaci:
Dakle, 3000 rubalja stavljeno je u štedionicu.
Zadatak 2. Ribiči su u dva tjedna ispunili mjesečni plan za 64 posto, ulovivši 512 tona ribe. Kakav je bio njihov plan?
Iz stanja problema poznato je da su ribari dio plana ispunili. Ovaj dio iznosi 512 tona, što je 64% od plana. Koliko tona ribe treba uloviti prema planu, ne znamo. Rješenje problema sastoji se u pronalaženju tog broja.
Takvi se zadaci rješavaju dijeljenjem:
Dakle, prema planu treba pripremiti 800 tona ribe.
Zadatak 3. Vlak je išao iz Rige za Moskvu. Kada je prošao 276. kilometar, jedan od putnika je pitao konduktera koji je prolazio koliki su dio puta već prešli. Na to je kondukter odgovorio: “Već smo prešli 30% cijelog puta.” Kolika je udaljenost od Rige do Moskve?
Iz uvjeta zadatka vidljivo je da 30% puta od Rige do Moskve iznosi 276 km. Moramo pronaći cijelu udaljenost između ovih gradova, tj. za ovaj dio pronaći cijeli:
§ 91. Recipročni brojevi. Zamjena dijeljenja množenjem.
Uzmite razlomak 2/3 i premjestite brojnik na mjesto nazivnika, dobit ćemo 3/2. Dobili smo razlomak, recipročnu vrijednost ovoga.
Da biste dobili razlomak koji je recipročan razlomku, potrebno je njegov brojnik staviti na mjesto nazivnika, a nazivnik na mjesto brojnika. Na taj način možemo dobiti razlomak koji je recipročan bilo kojem razlomku. Na primjer:
3/4, obrnuto 4/3; 5/6 , obrnuto 6/5
Dva razlomka koja imaju svojstvo da je brojnik prvoga nazivnik drugoga, a nazivnik prvoga brojnik drugoga nazivaju se međusobno inverzni.
Sada razmislimo o tome koji će razlomak biti recipročna vrijednost 1/2. Očito će biti 2/1, ili samo 2. Tražeći recipročnu vrijednost ovoga, dobili smo cijeli broj. I ovaj slučaj nije usamljen; naprotiv, za sve razlomke s brojnikom 1 (jedan), recipročne vrijednosti će biti cijeli brojevi, na primjer:
1/3, obrnuto 3; 1/5, obrnuto 5
Budući da smo se pri pronalaženju recipročnih veličina susreli i s cijelim brojevima, ubuduće nećemo govoriti o recipročnim veličinama, već o recipročnim veličinama.
Smislimo kako napisati recipročnu vrijednost cijelog broja. Za razlomke se to rješava jednostavno: trebate staviti nazivnik na mjesto brojnika. Na isti način možete dobiti recipročnu vrijednost cijelog broja, budući da svaki cijeli broj može imati nazivnik 1. Stoga će recipročna vrijednost broja 7 biti 1/7, jer 7 = 7/1; za broj 10 obrnuto je 1/10 jer je 10 = 10/1
Ova ideja se može izraziti na drugi način: recipročna vrijednost zadanog broja dobiva se dijeljenjem jedan s dati broj . Ova izjava vrijedi ne samo za cijele brojeve, već i za razlomke. Doista, ako želite napisati broj koji je recipročan razlomku 5/9, tada možemo uzeti 1 i podijeliti ga s 5/9, tj.
Istaknimo sada jednu vlasništvo međusobno recipročne brojeve, koji će nam biti od koristi: umnožak međusobno recipročnih brojeva jednak je jedan. Doista:
Koristeći ovo svojstvo, recipročne vrijednosti možemo pronaći na sljedeći način. Nađimo recipročnu vrijednost od 8.
Označimo ga slovom x , zatim 8 x = 1, dakle x = 1/8. Nađimo još jedan broj, inverzan od 7/12, označimo ga slovom x , zatim 7/12 x = 1, dakle x = 1:7 / 12 ili x = 12 / 7 .
Ovdje smo uveli koncept recipročnih brojeva kako bismo malo dopunili informacije o dijeljenju razlomaka.
Kada podijelimo broj 6 sa 3 / 5, tada radimo sljedeće:
Obratite posebnu pozornost na izraz i usporedite ga sa zadanim: .
Ako izraz uzmemo zasebno, bez veze s prethodnim, tada je nemoguće riješiti pitanje odakle je došao: od dijeljenja 6 s 3/5 ili od množenja 6 s 5/3. U oba slučaja rezultat je isti. Tako možemo reći da se dijeljenje jednog broja drugim može zamijeniti množenjem dividende recipročnom vrijednošću djelitelja.
Primjeri koje navodimo u nastavku u potpunosti potvrđuju ovaj zaključak.
Da biste ispravno pomnožili razlomak s razlomkom ili razlomak s brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.
Množenje razlomka razlomkom.
Da biste pomnožili razlomak s razlomkom, morate izračunati umnožak brojnika i umnožak nazivnika tih razlomaka.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Razmotrite primjer:
Množimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka, a također množimo i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ puta 3)(7 \puta 3) = \frac(4)(7)\\\)
Razlomak \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) smanjen je za 3.
Množenje razlomka brojem.
Počnimo s pravilom bilo koji broj može se prikazati kao razlomak \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Iskoristimo ovo pravilo za množenje.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Nepravi razlomak \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvoreno u mješoviti razlomak.
Drugim riječima, Kada broj množite razlomkom, pomnožite broj s brojnikom, a nazivnik ostavite nepromijenjenim. Primjer:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Množenje mješovitih razlomaka.
Da biste pomnožili mješovite razlomke, prvo morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravi razlomak, a zatim upotrijebiti pravilo množenja. Brojnik se množi s brojnikom, nazivnik se množi s nazivnikom.
Primjer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.
Razlomak \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzan razlomak \(\bf \frac(b)(a)\), pod uvjetom da je a≠0,b≠0.
Razlomci \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazivaju se recipročnim vrijednostima. Umnožak recipročnih razlomaka je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \puta \frac(b)(a) = 1 \\\)
Primjer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak s razlomkom?
Odgovor: umnožak običnih razlomaka je množenje brojnika s brojnikom, nazivnika s nazivnikom. Da biste dobili umnožak mješovitih razlomaka, morate ih pretvoriti u nepravi razlomak i pomnožiti prema pravilima.
Kako pomnožiti razlomke s različitim nazivnicima?
Odgovor: nije važno da li su isti ili različite nazivnike za razlomke, množenje se događa prema pravilu pronalaženja umnoška brojnika s brojnikom, nazivnika s nazivnikom.
Kako pomnožiti mješovite razlomke?
Odgovor: prije svega trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravi razlomak, a zatim pronaći umnožak prema pravilima množenja.
Kako pomnožiti broj razlomkom?
Odgovor: Broj množimo s brojnikom, a nazivnik ostavljamo isti.
Primjer #1:
Izračunajte umnožak: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Riješenje:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( crveno) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Primjer #2:
Izračunajte umnožak broja i razlomka: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Riješenje:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Primjer #3:
Napišite recipročnu vrijednost \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)
Primjer #4:
Izračunajte umnožak dva recipročna razlomka: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Riješenje:
a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104) = 1\)
Primjer #5:
Mogu li međusobno inverzni razlomci biti:
a) oba prava razlomka;
b) istodobno nepravi razlomci;
c) prirodni brojevi istodobno?
Riješenje:
a) Odgovorimo na primjeru na prvo pitanje. Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravilan, njegova će recipročna vrijednost biti jednaka \(\frac(3)(2)\) - nepravi razlomak. Odgovor: ne.
b) u gotovo svim nabrajanjima razlomaka ovaj uvjet nije ispunjen, ali ima brojeva koji ujedno ispunjavaju uvjet da su nepravi razlomak. Na primjer, nepravi razlomak je \(\frac(3)(3)\) , njegov recipročan iznos je \(\frac(3)(3)\). Dobivamo dva neprava razlomka. Odgovor: ne uvijek pod određenim uvjetima, kada su brojnik i nazivnik jednaki.
c) prirodni brojevi su brojevi kojima se služimo pri računanju, npr. 1, 2, 3, .... Ako uzmemo broj \(3 = \frac(3)(1)\), tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac(1)(3)\). Razlomak \(\frac(1)(3)\) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Broj 1 je prirodan broj. Odgovor: oni mogu biti istovremeno prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je taj broj 1.
Primjer #6:
Izvedite umnožak mješovitih razlomaka: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Riješenje:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Primjer #7:
Mogu li dva recipročna broja biti istovremeno mješoviti brojevi?
Pogledajmo primjer. Uzmimo mješoviti razlomak \(1\frac(1)(2)\), pronađimo njegovu recipročnu vrijednost, za to ga prevodimo u nepravi razlomak \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Njegov recipročni iznos bit će jednak \(\frac(2)(3)\) . Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravi razlomak. Odgovor: Dva međusobno inverzna razlomka ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.
U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:Recimo da Ahilej trči deset puta brže od kornjače i da je tisuću koraka iza nje. Za vrijeme dok Ahil pretrči ovu udaljenost, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti unedogled, Ahil nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i danas, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... u proučavanje problematike uključeni su matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema ..."[Wikipedia," Zenonove aporije "]. Svi shvaćaju da su zavareni, ali nitko ne shvaća u čemu je prijevara.
S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko ja razumijem, matematički aparat primjene varijabilne jedinice mjerenje ili još nije razvijeno, ili nije primijenjeno na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, inercijom mišljenja, primjenjujemo konstantne jedinice vremena na recipročne. S fizičke strane to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.
Okrenemo li logikom na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."
Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Zenonovim jezikom to izgleda ovako:
U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahil će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača puzati sto koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali to nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o nesavladivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku miruje, a budući da miruje u svakom trenutku, uvijek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks prevladava se vrlo jednostavno - dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da bi se utvrdila činjenica kretanja automobila, potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije različite točke prostor u jednom trenutku u vremenu, ali je nemoguće utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još uvijek su potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći). Ono što želim posebno istaknuti je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba miješati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 4. srpnja 2018
Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane u Wikipediji. Mi gledamo.
Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, kod kojih je um odsutan od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta za vrijeme ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je ispod ruševina svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.
Koliko god se matematičari skrivali iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i isplaćujemo plaće. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i rasporedimo ga na stolu u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim sa svake hrpe uzmemo po jednu novčanicu i damo matematičaru njegovu "matematičku plaću". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez istovrsnih elemenata nije jednak skupu s istovrsnim elementima. Ovdje počinje zabava.
Prije svega, proradit će zastupnička logika: "možete na druge, ali ne na mene!" Nadalje, počet ćemo nas uvjeravati da na novčanicama iste denominacije postoje različite brojeve računa, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa mi računamo plaću u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar izbezumljeno prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki je novčić jedinstven...
A sad imam najviše interes Pitaj: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost ovdje nije ni blizu.
Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo multiset. Ali ako uzmemo u obzir nazive istih stadiona, dobivamo puno, jer su nazivi različiti. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup u isto vrijeme. Kako u redu? I tu matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i koristiti ga, ali oni su šamani za to, da bi svoje potomke naučili svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbroj znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima zapisujemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to elementarno mogu.
Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.
1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u brojčani grafički simbol. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu primljenu sliku režemo na više slika koje sadrže zasebne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Dobivene brojeve zbrojite. E sad, to je matematika.
Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.
Sa stajališta matematike nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima računajući, zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S velikim brojem 12345, ne želim zavarati glavu, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to učinili. Pogledajmo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.
Nula u svim brojevnim sustavima izgleda isto i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dopustiti, ali za znanstvenike ne. Stvarnost nisu samo brojke.
Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo uspoređivati brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različite rezultate nakon što ih usporediš, onda to nema nikakve veze s matematikom.
Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko izvodi tu radnju.
Oh! Nije li ovo ženski WC?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje neograničene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?
Žensko... Aureola na vrhu i strelica prema dolje je muško.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom brojevnom sustavu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
