Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemas. Dviejų kintamųjų lygčių sistemos, sprendiniai

Pirmiausia prisiminkime dviejų kintamųjų lygčių sistemos sprendinio apibrėžimą.

1 apibrėžimas

Skaičių pora vadinama lygčių sistemos su dviem kintamaisiais sprendiniu, jei juos pakeitus į lygtį gaunama teisinga lygybė.

Toliau nagrinėsime dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemas.

Egzistuoti keturi pagrindiniai lygčių sistemų sprendimo būdai: pakeitimo metodas, papildymo metodas, grafinis metodas, naujas kintamųjų valdymo metodas. Pažvelkime į šiuos metodus konkrečių pavyzdžių. Norėdami apibūdinti pirmųjų trijų metodų naudojimo principą, apsvarstysime dviejų metodų sistemą tiesines lygtis su dviem nežinomaisiais:

Pakeitimo metodas

Pakeitimo metodas yra toks: imama bet kuri iš šių lygčių ir $y$ išreiškiama $x$, tada $y$ pakeičiama į sistemos lygtį, iš kurios randamas kintamasis $x.$. Po to galime nesunkiai apskaičiuoti kintamąjį $y.$

1 pavyzdys

Iš antrosios lygties $y$ išreikškime $x$:

Pakeiskite pirmąją lygtį, raskite $x$:

\ \ \

Rasti $y$:

Atsakymas: $(-2,\ 3)$

Papildymo būdas.

Apsvarstykite šį metodą pavyzdžiu:

2 pavyzdys

\[\left\( \begin (masyvas)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end (masyvas) \right.\]

Antrąją lygtį padauginkite iš 3, gausime:

\[\left\( \begin(masyvas)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(masyvas) \right.\]

Dabar sudėkime abi lygtis kartu:

\ \ \

Raskite $y$ iš antrosios lygties:

\[-6-y=-9\] \

Atsakymas: $(-2,\ 3)$

1 pastaba

Atkreipkite dėmesį, kad taikant šį metodą būtina vieną arba abi lygtis padauginti iš tokių skaičių, kad pridėjus vienas iš kintamųjų „dingtų“.

Grafinis būdas

Grafinis metodas yra toks: koordinačių plokštumoje atvaizduojamos abi sistemos lygtys ir randamas jų susikirtimo taškas.

3 pavyzdys

\[\left\( \begin (masyvas)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end (masyvas) \right.\]

Išreikškime $y$ iš abiejų lygčių kaip $x$:

\[\left\( \begin(masyvas)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(masyvas) \right.\]

Nubraižykime abu grafikus toje pačioje plokštumoje:

1 paveikslas.

Atsakymas: $(-2,\ 3)$

Kaip įvesti naujus kintamuosius

Mes apsvarstysime šį metodą šiame pavyzdyje:

4 pavyzdys

\[\left\( \begin(masyvas)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(masyvas) \right .\]

Sprendimas.

Ši sistema yra lygiavertė sistemai

\[\left\( \begin(masyvas)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(masyvas) \ teisingai.\]

Tegul $2^x=u\ (u>0)$ ir $3^y=v\ (v>0)$, gauname:

\[\left\( \begin(masyvas)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(masyvas) \right.\]

Gautą sistemą išsprendžiame pridėjimo metodu. Pridėkime lygtis:

\ \

Tada iš antrosios lygties tai gauname

Grįžtant prie pakeitimo, gauname nauja sistema eksponentinės lygtys:

\[\left\( \begin(masyvas)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(masyvas) \right.\]

Mes gauname:

\[\left\( \begin(masyvas)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(masyvas) \right.\]

Instrukcija

Papildymo būdas.
Turite parašyti du griežtai vienas po kito:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Savavališkai pasirinktoje (iš sistemos) lygtyje vietoj jau rasto „žaidimo“ įterpkite skaičių 11 ir apskaičiuokite antrąjį nežinomąjį:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Šios lygčių sistemos atsakymas: x=116, y=11.

Grafinis būdas.
Jį sudaro praktinis taško, kuriame linijos yra matematiškai parašytos lygčių sistemoje, koordinatės. Turėtumėte braižyti abiejų linijų grafikus atskirai toje pačioje koordinačių sistemoje. Bendras vaizdas: - y \u003d kx + b. Norint sukurti tiesią liniją, pakanka rasti dviejų taškų koordinates, o x pasirenkamas savavališkai.
Tegul sistema pateikiama: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Tiesi linija nutiesta pagal pirmąją, patogumui ją reikia užrašyti: y \u003d 2x-4. Sugalvokite (lengvesnes) x reikšmes, pakeiskite ją į lygtį, išspręskite, suraskite y. Gaunami du taškai, išilgai kurių nutiesta tiesi linija. (žr. pav.)
x 0 1

y -4 -2
Tiesi linija sudaroma pagal antrąją lygtį: y \u003d -3x + 1.
Taip pat sukurkite liniją. (žr. pav.)

1-5
Grafike raskite dviejų sukonstruotų tiesių susikirtimo taško koordinates (jei tiesės nesikerta, tai lygčių sistema neturi – taigi).

Susiję vaizdo įrašai

Naudingas patarimas

Jei ta pati lygčių sistema išspręsta trimis Skirtingi keliai, atsakymas bus toks pat (jei sprendimas teisingas).

Šaltiniai:

• Algebra 8 klasė
• internete išspręskite lygtį su dviem nežinomaisiais
• Tiesinių lygčių sistemų su dviem sprendimo pavyzdžiai

Sistema lygtys yra matematinių įrašų, kurių kiekviename yra tam tikras skaičius kintamųjų, rinkinys. Yra keletas būdų, kaip juos išspręsti.

Jums reikės

• -Liniuote ir pieštukas;
• - skaičiuotuvas.

Instrukcija

Apsvarstykite sistemos sprendimo seką, kurią sudaro tiesinės lygtys, kurių forma yra: a1x + b1y = c1 ir a2x + b2y = c2. Kur x ir y yra nežinomi kintamieji, o b,c yra laisvieji nariai. Taikant šį metodą, kiekviena sistema yra taškų, atitinkančių kiekvieną lygtį, koordinatės. Pirma, kiekvienu atveju vieną kintamąjį išreikškite kitu. Tada nustatykite x kintamąjį į bet kokį reikšmių skaičių. Pakanka dviejų. Įjunkite lygtį ir raskite y. Sukurkite koordinačių sistemą, pažymėkite joje gautus taškus ir per juos nubrėžkite tiesią liniją. Panašūs skaičiavimai turi būti atlikti ir kitoms sistemos dalims.

Sistema turi unikalų sprendimą, jei sukonstruotos linijos susikerta ir viena bendras taškas. Tai nenuoseklu, jei jie yra lygiagrečiai vienas kitam. Ir turi be galo daug sprendimų, kai linijos susilieja viena su kita.

Šis metodas laikomas labai aiškiu. Pagrindinis trūkumas yra tas, kad apskaičiuoti nežinomieji turi apytiksles reikšmes. Tikslesnį rezultatą duoda vadinamieji algebriniai metodai.

Verta patikrinti bet kokį lygčių sistemos sprendimą. Norėdami tai padaryti, vietoj kintamųjų pakeiskite gautas reikšmes. Jo sprendimą taip pat galite rasti keliais būdais. Jei sistemos sprendimas yra teisingas, tada visi turėtų pasirodyti vienodi.

Dažnai yra lygčių, kuriose vienas iš terminų yra nežinomas. Norėdami išspręsti lygtį, turite atsiminti ir atlikti tam tikrą veiksmų rinkinį su šiais skaičiais.

Jums reikės

• - popierius;
• - Rašiklis arba pieštukas.

Instrukcija

Įsivaizduokite, kad priešais jus yra 8 triušiai, o jūs turite tik 5 morkas. Pagalvokite, kad reikia nusipirkti daugiau morkų, kad kiekvienas triušis gautų morką.

Pavaizduokime šią problemą lygties forma: 5 + x = 8. Pakeiskime x skaičių 3. Iš tiesų, 5 + 3 = 8.

Kai pakeitėte skaičių x, atlikote tą pačią operaciją, kaip ir atėmėte 5 iš 8. Taigi, norėdami rasti nežinomas terminas, iš sumos atimkite žinomą terminą.

Tarkime, kad turite 20 triušių ir tik 5 morkas. Kurkime. Lygtis yra lygybė, kuri galioja tik tam tikroms į ją įtrauktų raidžių reikšmėms. Raidės, kurių reikšmes norite rasti, yra vadinamos. Parašykite lygtį su vienu nežinomuoju, pavadinkite ją x. Sprendžiant mūsų uždavinį apie triušius, gaunama tokia lygtis: 5 + x = 20.

Raskime skirtumą tarp 20 ir 5. Atimant skaičius, iš kurio jis atimamas, sumažinamas. Skaičius, kuris buvo atimtas, vadinamas , o galutinis rezultatas vadinamas skirtumu. Taigi, x = 20 - 5; x = 15. Reikia nusipirkti 15 morkų triušiams.

Patikrinkite: 5 + 15 = 20. Lygtis teisinga. Žinoma, kada Mes kalbame apie tokius paprastus, tikrinti nereikia. Tačiau kalbant apie lygtis su triženkliais, keturiais skaitmenimis ir pan., būtina patikrinti, kad būtumėte visiškai tikri dėl savo darbo rezultato.

Susiję vaizdo įrašai

Naudingas patarimas

Norėdami rasti nežinomą minuendą, prie skirtumo turite pridėti potraukį.

Norint rasti nežinomą dalį, reikia atimti skirtumą iš mažosios dalies.

4 patarimas: kaip išspręsti trijų lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą

Trijų lygčių sistema su trimis nežinomaisiais gali neturėti sprendinių, nepaisant pakankamo lygčių skaičiaus. Galite pabandyti ją išspręsti naudodami pakeitimo metodą arba naudodami Cramer metodą. Cramerio metodas, be sistemos sprendimo, leidžia įvertinti, ar sistema yra išsprendžiama prieš surandant nežinomųjų reikšmes.

Instrukcija

Pakeitimo metodas susideda iš nuoseklaus vieno nežinomojo per dviejų kitų ir gauto rezultato pakeitimo sistemos lygtimis. Pateikiame trijų lygčių sistemą bendra forma:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Išreikškite x iš pirmosios lygties: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ir pakeiskite antrąja ir trečiąja lygtimis, tada išreikškite y iš antrosios lygties ir pakeiskite trečiąja. Per sistemos lygčių koeficientus gausite tiesinę z išraišką. Dabar eikite „atgal“: prijunkite z prie antrosios lygties ir raskite y, tada prijunkite z ir y prie pirmosios lygties ir raskite x. Procesas paprastai parodytas paveikslėlyje, kol randamas z. Be to, įrašas bendra forma bus pernelyg sudėtingas, praktiškai pakeisdami , galite gana lengvai rasti visus tris nežinomus.

Cramerio metodas susideda iš sistemos matricos sudarymo ir šios matricos determinanto apskaičiavimo, taip pat dar trijų pagalbinių matricų. Sistemos matrica sudaryta iš koeficientų nežinomuose lygčių dėmenyse. Stulpelis, kuriame yra skaičiai dešinėje lygčių pusėje, stulpelis dešinėje. Jis nenaudojamas sistemoje, bet naudojamas sprendžiant sistemą.

Susiję vaizdo įrašai

pastaba

Visos sistemos lygtys turi pateikti papildomos informacijos, nepriklausančios nuo kitų lygčių. Priešingu atveju sistema bus nepakankamai apibrėžta ir nebus galima rasti vienareikšmiško sprendimo.

Naudingas patarimas

Išsprendę lygčių sistemą, rastąsias reikšmes pakeiskite į pradinę sistemą ir patikrinkite, ar jos tenkina visas lygtis.

Savaime lygtis su trimis nežinomas turi daug sprendinių, todėl dažniausiai jis papildomas dar dviem lygtimis arba sąlygomis. Priklausomai nuo to, kokie yra pradiniai duomenys, labai priklausys sprendimo eiga.

Jums reikės

• - trijų lygčių sistema su trimis nežinomaisiais.

Instrukcija

Jei dvi iš trijų sistemų turi tik du iš trijų nežinomųjų, pabandykite kai kuriuos kintamuosius išreikšti kitais ir prijungti juos prie lygtis su trimis nežinomas. Jūsų tikslas yra tai paversti įprasta lygtis su nežinomybe. Jei tai yra , tolesnis sprendimas yra gana paprastas - pakeiskite rastą reikšmę kitomis lygtimis ir suraskite visus kitus nežinomus.

Kai kurias lygčių sistemas iš vienos lygties galima atimti kita. Pažiūrėkite, ar įmanoma padauginti vieną iš arba kintamąjį, kad du nežinomieji būtų sumažinti vienu metu. Jei yra tokia galimybė, pasinaudokite ja, greičiausiai, tolesnis sprendimas nebus sunkus. Nepamirškite, kad dauginant iš skaičiaus turite padauginti ir kairę, ir dešinę pusę. Panašiai, atimdami lygtis, atminkite, kad dešinė pusė taip pat turi būti atimta.

Jeigu ankstesniais būdais nepadėjo, bet kokias lygtis su trimis naudokite bendruoju metodu nežinomas. Norėdami tai padaryti, perrašykite lygtis į formą a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Dabar sukurkite koeficientų matricą ties x (A), nežinomųjų (X) ir laisvųjų (B) matricą. Atkreipkite dėmesį, padauginę koeficientų matricą iš nežinomųjų matricos, gausite matricą, laisvųjų narių matricą, tai yra A * X \u003d B.

Suraskite laipsnio (-1) matricą A, atkreipkite dėmesį, kad ji neturėtų būti lygi nuliui. Po to gautą matricą padauginkite iš matricos B, taip gausite norimą matricą X, nurodant visas reikšmes.

Taip pat galite rasti trijų lygčių sistemos sprendimą naudodami Cramerio metodą. Norėdami tai padaryti, suraskite sistemos matricą atitinkantį trečiosios eilės determinantą ∆. Tada iš eilės raskite dar tris determinantus ∆1, ∆2 ir ∆3, pakeisdami laisvųjų terminų reikšmes vietoj atitinkamų stulpelių reikšmių. Dabar raskite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Šaltiniai:

• lygčių su trimis nežinomaisiais sprendiniai

Pradėdami spręsti lygčių sistemą, išsiaiškinkite, kas yra šios lygtys. Tiesinių lygčių sprendimo būdai yra gerai išnagrinėti. Netiesinės lygtys dažniausiai neišsprendžiamos. Yra tik vienas ypatingas atvejis, kiekvienas iš jų praktiškai individualus. Todėl sprendimo metodų tyrimas turėtų prasidėti tiesinėmis lygtimis. Tokias lygtis galima išspręsti net grynai algoritmiškai.

rastų nežinomųjų vardikliai lygiai tokie pat. Taip, ir skaitikliai matomi kai kurie jų konstrukcijos modeliai. Jei lygčių sistemos matmuo būtų didesnis nei du, tai pašalinimo metodas sukeltų labai sudėtingus skaičiavimus. Norint jų išvengti, buvo sukurti grynai algoritminiai sprendimai. Paprasčiausias iš jų yra Cramerio algoritmas (Cramer formulės). Nes turėtum žinoti bendra sistema lygtys iš n lygčių.

n tiesinių algebrinių lygčių su n nežinomųjų sistema turi formą (žr. 1a pav.). Jame aij yra sistemos koeficientai,
хj – nežinomieji, bi – laisvieji nariai (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Tokią sistemą galima kompaktiškai parašyti matricos forma AX=B. Čia A – sistemos koeficientų matrica, X – nežinomųjų stulpelių matrica, B – laisvųjų dėmenų stulpelių matrica (žr. 1b pav.). Pagal Cramerio metodą kiekvienas nežinomasis xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Koeficientų matricos determinantas ∆ vadinamas pagrindiniu determinantu, o ∆i – pagalbiniu. Kiekvienam nežinomam pagalbinis determinantas randamas pagrindinio determinanto i-tą stulpelį pakeičiant laisvųjų terminų stulpeliu. Kramerio metodas, skirtas antros ir trečios eilės sistemoms, išsamiai pateiktas fig. 2.

Sistema yra dviejų ar daugiau lygybių, kurių kiekviena turi du ar daugiau nežinomųjų, sąjunga. Yra du pagrindiniai būdai, kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemas, kurios naudojamos sistemoje mokyklos mokymo programa. Vienas iš jų vadinamas metodu, kitas – papildymo metodu.

Standartinė dviejų lygčių sistemos forma

At Standartinė forma pirmoji lygtis yra a1*x+b1*y=c1, antroji lygtis yra a2*x+b2*y=c2 ir pan. Pavyzdžiui, dviejų sistemos dalių atveju a1, a2, b1, b2, c1, c2 yra tam tikri skaitiniai koeficientai, pateikti konkrečiose lygtyse. Savo ruožtu x ir y yra nežinomi, kurių reikšmes reikia nustatyti. Norimos reikšmės abi lygtis vienu metu paverčia tikromis lygybėmis.

Sistemos sprendimas papildymo metodu

Norėdami išspręsti sistemą, tai yra, rasti tas x ir y reikšmes, kurios pavers jas tikrosiomis lygybėmis, turite atlikti kelis paprastus veiksmus. Pirmasis iš jų – bet kurią lygtį paversti taip, kad abiejų lygčių kintamojo x arba y skaitiniai koeficientai absoliučia verte sutaptų, bet skirtųsi ženklu.

Pavyzdžiui, tebūnie pateikta sistema, susidedanti iš dviejų lygčių. Pirmasis iš jų turi formą 2x+4y=8, antrasis turi formą 6x+2y=6. Vienas iš užduoties atlikimo variantų yra padauginti antrą lygtį iš koeficiento -2, todėl ji bus suformuota -12x-4y=-12. Teisingas koeficiento pasirinkimas yra viena iš pagrindinių užduočių sprendžiant sistemą pridėjimo metodu, nes tai lemia visą tolesnę nežinomųjų radimo procedūros eigą.

Dabar reikia pridėti dvi sistemos lygtis. Akivaizdu, kad abipusis vienodos vertės, bet priešingų ženklų koeficientų kintamųjų naikinimas atves į formą -10x=-4. Po to reikia išspręsti šią paprastą lygtį, iš kurios vienareikšmiškai išplaukia, kad x=0,4.

Paskutinis žingsnis sprendimo procese yra vieno iš kintamųjų rastos vertės pakeitimas bet kurioje iš pradinių sistemoje esančių lygybių. Pavyzdžiui, pirmoje lygtyje pakeitę x=0,4, galite gauti išraišką 2*0,4+4y=8, iš kurios y=1,8. Taigi, x=0.4 ir y=1.8 yra pavyzdyje parodytos sistemos šaknys.

Norint įsitikinti, kad šaknys buvo rastos teisingai, naudinga patikrinti, rastąsias reikšmes pakeičiant į antrąją sistemos lygtį. Pavyzdžiui, į Ši byla gaunama 0,4*6+1,8*2=6 formos lygybė, kuri yra teisinga.

Susiję vaizdo įrašai

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų (SLAE) sprendimas neabejotinai yra svarbiausia tiesinės algebros kurso tema. Daugybė problemų iš visų matematikos šakų redukuojama iki tiesinių lygčių sistemų sprendimo. Šie veiksniai paaiškina šio straipsnio kūrimo priežastį. Straipsnio medžiaga parinkta ir susisteminta taip, kad jos pagalba galėtumėte

• pasirinkti optimalų metodą tiesinių algebrinių lygčių sistemai išspręsti,
• studijuoti pasirinkto metodo teoriją,
• Išspręskite savo tiesinių lygčių sistemą, išsamiai apsvarstę tipinių pavyzdžių ir uždavinių sprendimus.

Trumpas straipsnio medžiagos aprašymas.

Pirmiausia pateikiame visus reikiamus apibrėžimus, sąvokas ir įvedame tam tikrą žymėjimą.

Toliau nagrinėjame linijinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir kurios turi unikalų sprendimą, sprendimo būdus. Pirma, sutelkime dėmesį į Cramerio metodą, antra, parodysime matricos metodą tokioms lygčių sistemoms spręsti ir, trečia, analizuosime Gauso metodą (nežinomų kintamųjų nuoseklaus pašalinimo metodą). Siekdami įtvirtinti teoriją, tikrai įvairiais būdais išspręsime keletą SLAE.

Po to pereiname prie tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo bendras vaizdas, kurioje lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra išsigimusi. Suformuluojame Kronecker-Capelli teoremą, kuri leidžia nustatyti SLAE suderinamumą. Panagrinėkime sistemų sprendimą (jų suderinamumo atveju) naudodami matricos bazinio minoro sąvoką. Taip pat apsvarstysime Gauso metodą ir išsamiai apibūdinsime pavyzdžių sprendimus.

Būtinai apsistokite ties vienarūšių ir nehomogeniškų tiesinių algebrinių lygčių sistemų bendrojo sprendimo struktūra. Pateiksime pamatinės sprendinių sistemos sampratą ir parodykime, kaip bendrasis SLAE sprendimas parašytas naudojant pamatinės sprendinių sistemos vektorius. Norėdami geriau suprasti, pažvelkime į keletą pavyzdžių.

Apibendrinant, mes atsižvelgiame į lygčių sistemas, kurios yra sumažintos iki tiesinių, taip pat į įvairias problemas, kurias sprendžiant kyla SLAE.

Puslapio naršymas.

Apibrėžimai, sąvokos, pavadinimai.

Nagrinėsime p tiesinių algebrinių lygčių sistemas su n nežinomų kintamųjų (p gali būti lygus n ) formos

Nežinomi kintamieji, - koeficientai (kai kurie realieji arba kompleksiniai skaičiai), - laisvieji nariai (taip pat realieji ar kompleksiniai skaičiai).

Ši SLAE forma vadinama koordinuoti.

IN matricos formaši lygčių sistema turi formą,
Kur - pagrindinė sistemos matrica, - nežinomų kintamųjų matrica-stulpelis, - laisvųjų narių matrica-stulpelis.

Jei prie matricos A kaip (n + 1)-ąjį stulpelį pridėsime laisvųjų terminų matricos stulpelį, tai gausime vadinamąją. išplėstinė matrica tiesinių lygčių sistemos. Paprastai papildyta matrica žymima raide T, o laisvųjų terminų stulpelis atskiriamas vertikali linija iš likusių stulpelių, ty

Sprendžiant tiesinių algebrinių lygčių sistemą vadinamas nežinomų kintamųjų reikšmių rinkiniu, kuris visas sistemos lygtis paverčia tapatybėmis. Nurodytų nežinomų kintamųjų verčių matricos lygtis taip pat virsta tapatybe.

Jei lygčių sistema turi bent vieną sprendinį, tada ji vadinama Bendras.

Jei lygčių sistema neturi sprendinių, tada ji vadinama nesuderinamas.

Jei SLAE turi unikalų sprendimą, tada jis vadinamas tam tikras; jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada - neapibrėžtas.

Jei visų sistemos lygčių laisvieji nariai lygūs nuliui , tada sistema iškviečiama vienalytis, kitaip - nevienalytis.

Elementariųjų tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.

Jei sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir jos pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui, vadinsime tokias SLAE elementarus. Tokios lygčių sistemos turi unikalų sprendimą, o vienalytės sistemos atveju visi nežinomi kintamieji yra lygūs nuliui.

Mes pradėjome studijuoti tokius SLAE m vidurinė mokykla. Jas spręsdami paėmėme vieną lygtį, vieną nežinomą kintamąjį išreiškėme kitomis ir pakeitėme į likusias lygtis, tada paėmėme kitą lygtį, išreiškėme kitą nežinomą kintamąjį ir pakeitėme į kitas lygtis ir pan. Arba jie naudojo pridėjimo metodą, ty pridėjo dvi ar daugiau lygčių, kad pašalintų kai kuriuos nežinomus kintamuosius. Mes nenagrinėsime šių metodų išsamiai, nes jie iš esmės yra Gauso metodo modifikacijos.

Pagrindiniai elementariųjų tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai yra Cramerio metodas, matricinis metodas ir Gauso metodas. Sutvarkykime juos.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Cramerio metodu.

Išspręskime tiesinių algebrinių lygčių sistemą

kurioje lygčių skaičius lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, o sistemos pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio, tai yra, .

Leisti būti pagrindinės sistemos matricos determinantas ir yra determinantai matricų, kurios gaunamos iš A pakeičiant 1, 2, …, n stulpelyje atitinkamai į laisvųjų narių stulpelį:

Su tokiu žymėjimu nežinomi kintamieji apskaičiuojami pagal Cramerio metodo formules as . Taip Kramerio metodu randamas tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas.

Pavyzdys.

Cramerio metodas .

Sprendimas.

Pagrindinė sistemos matrica turi formą . Apskaičiuokite jo determinantą (jei reikia, žr. straipsnį):

Kadangi sistemos pagrindinės matricos determinantas nėra nulis, tai sistema turi unikalų sprendimą, kurį galima rasti Cramerio metodu.

Sudarykite ir apskaičiuokite reikiamus determinantus (determinantas gaunamas pirmą matricos A stulpelį pakeitus laisvųjų narių stulpeliu, determinantas - antrąjį stulpelį pakeitus laisvųjų narių stulpeliu, - trečią matricos A stulpelį pakeitus laisvųjų narių stulpeliu ):

Nežinomų kintamųjų paieška naudojant formules :

Atsakymas:

Pagrindinis Cramerio metodo trūkumas (jei jį galima pavadinti trūkumu) yra determinantų skaičiavimo sudėtingumas, kai sistemos lygčių skaičius yra didesnis nei trys.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas matriciniu metodu (naudojant atvirkštinę matricą).

Tegul tiesinių algebrinių lygčių sistema pateikiama matricos forma , kur matricos A matmenys yra n x n, o jos determinantas nėra lygus nuliui.

Kadangi , Tada matrica A yra apverčiama, tai yra, yra atvirkštinė matrica . Jei abi lygybės dalis padauginsime iš kairėje pusėje, tai gausime formulę nežinomų kintamųjų stulpelių matricai rasti. Taigi gavome tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą matricos metodu.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą matricos metodas.

Sprendimas.

Perrašykime lygčių sistemą matricine forma:

Nes

tada SLAE galima išspręsti matricos metodu. Naudojant atvirkštinę matricą, šios sistemos sprendimą galima rasti kaip .

Sukurkime atvirkštinę matricą naudodami matricos A elementų algebrinių komplementų matricą (jei reikia, žr. straipsnį):

Belieka paskaičiuoti – nežinomų kintamųjų matricą padauginus atvirkštinę matricą laisvų narių matricos stulpelyje (jei reikia, žr. straipsnį):

Atsakymas:

arba kitu žymėjimu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Pagrindinė problema ieškant sprendimų tiesinių algebrinių lygčių sistemoms matricos metodu yra atvirkštinės matricos paieškos sudėtingumas, ypač kvadratinėms matricoms, kurių eilė aukštesnė už trečiąją.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu.

Tarkime, kad turime rasti n tiesinių lygčių su n nežinomų kintamųjų sistemos sprendimą
kurios pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio.

Gauso metodo esmė susideda iš nuoseklaus nežinomų kintamųjų pašalinimo: pirma, x 1 neįtraukiamas į visas sistemos lygtis, pradedant nuo antrosios, tada x 2 neįtraukiamas iš visų lygčių, pradedant nuo trečiosios ir tt, kol tik nežinomas kintamasis. x n lieka paskutinėje lygtyje. Toks sistemos lygčių transformavimo procesas, skirtas nuosekliai pašalinti nežinomus kintamuosius, vadinamas tiesioginis Gauso metodas. Užbaigus Gauso metodo eigą į priekį, x n randamas pagal paskutinę lygtį, x n-1 apskaičiuojamas iš priešpaskutinės lygties, naudojant šią reikšmę, ir tt x 1 randamas iš pirmosios lygties. Nežinomų kintamųjų skaičiavimo procesas, pereinant nuo paskutinės sistemos lygties prie pirmosios, vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Trumpai apibūdinkime nežinomų kintamųjų pašalinimo algoritmą.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Nežinomą kintamąjį x 1 pašaliname iš visų sistemos lygčių, pradedant nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, pirmąją lygtį, padaugintą iš, pridėkite prie antrosios sistemos lygties, pirmąją, padaugintą iš, pridėkite prie trečiosios lygties ir taip toliau, pridėkite pirmąją, padaugintą iš, prie n-osios lygties. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur .

Gautume tą patį rezultatą, jei pirmoje sistemos lygtyje išreikštume x 1 kitais nežinomais kintamaisiais ir gautą išraišką pakeistume visomis kitomis lygtimis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antrosios.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su gautos sistemos dalimi, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, pridėkite antrąjį, padaugintą iš, prie trečiosios sistemos lygties, antrąjį, padaugintą iš, pridėkite prie ketvirtosios lygties ir taip toliau, pridėkite antrąjį, padaugintą iš, prie n-osios lygties. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur . Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiosios.

Toliau mes pereiname prie nežinomo x 3 pašalinimo, elgdamiesi panašiai su paveiksle pažymėta sistemos dalimi

Taigi tęsiame tiesioginę Gauso metodo eigą, kol sistema įgaus formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinę Gauso metodo eigą: apskaičiuojame x n iš paskutinės lygties kaip , naudojant gautą reikšmę x n randame x n-1 iš priešpaskutinės lygties ir taip toliau, randame x 1 iš pirmosios. lygtis.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išskirkime nežinomą kintamąjį x 1 iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių. Norėdami tai padaryti, prie abiejų antrosios ir trečiosios lygčių dalių pridedame atitinkamas pirmosios lygties dalis, padaugintas atitinkamai iš ir iš:

Dabar iš trečiosios lygties neįtraukiame x 2, prie jos kairės ir dešinės dalių pridėdami kairę ir dešinę antrosios lygties dalis, padaugintą iš:

Tuo baigiamas Gauso metodo į priekį kursas, pradedame atvirkštinį kursą.

Iš gautos lygčių sistemos paskutinės lygties randame x 3:

Iš antrosios lygties gauname .

Iš pirmosios lygties randame likusį nežinomą kintamąjį ir tai užbaigia atvirkštinę Gauso metodo eigą.

Atsakymas:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.

Bendruoju atveju sistemos p lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų n skaičiumi:

Tokie SLAE gali neturėti sprendimų, turėti vieną sprendimą arba turėti be galo daug sprendimų. Šis teiginys taip pat taikomas lygčių sistemoms, kurių pagrindinė matrica yra kvadratinė ir išsigimusi.

Kronecker-Capelli teorema.

Prieš randant tiesinių lygčių sistemos sprendimą, būtina nustatyti jos suderinamumą. Pateikiamas atsakymas į klausimą, kada SLAE suderinamas, o kada nesuderinamas Kronecker-Capelli teorema:
kad p lygčių sistema su n nežinomųjų (p gali būti lygi n ) būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad sistemos pagrindinės matricos rangas būtų lygus išplėstinės matricos rangui, tai yra Rank( A)=Reitingas(T) .

Kaip pavyzdį panagrinėkime Kronecker-Cappelli teoremos taikymą tiesinių lygčių sistemos suderinamumui nustatyti.

Pavyzdys.

Sužinokite, ar tiesinių lygčių sistema turi sprendimus.

Sprendimas.

. Naudokime nepilnamečių ribojimo metodą. Antrosios eilės nepilnametis skiriasi nuo nulio. Panagrinėkime jį supančius trečios eilės nepilnamečius:

Kadangi visi besiribojantys trečios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, pagrindinės matricos rangas yra du.

Savo ruožtu padidintos matricos rangas yra lygus trims, nes trečios eilės nepilnametis

skiriasi nuo nulio.

Taigi, Diapazonas(A) , todėl pagal Kronecker-Capelli teoremą galime daryti išvadą, kad pradinė tiesinių lygčių sistema yra nenuosekli.

Atsakymas:

Sprendimo sistemos nėra.

Taigi, mes išmokome nustatyti sistemos nenuoseklumą naudodami Kronecker-Capelli teoremą.

Bet kaip rasti SLAE sprendimą, jei nustatytas jo suderinamumas?

Norėdami tai padaryti, mums reikia matricos pagrindinio minoro sampratos ir matricos rango teoremos.

Iškviečiama matricos A aukščiausios eilės mažoji, išskyrus nulį pagrindinis.

Iš bazinio minoro apibrėžimo matyti, kad jo eilė lygi matricos rangui. Nenulinėje matricoje A gali būti keli pagrindiniai minorai; visada yra vienas pagrindinis minoras.

Pavyzdžiui, apsvarstykite matricą .

Visi šios matricos trečiosios eilės minoriniai yra lygūs nuliui, nes šios matricos trečiosios eilės elementai yra atitinkamų pirmosios ir antrosios eilučių elementų suma.

Šie antros eilės nepilnamečiai yra pagrindiniai, nes jie nėra lygūs nuliui

Nepilnamečiai nėra pagrindiniai, nes jie lygūs nuliui.

Matricos rango teorema.

Jei matricos, kurios eilės p pagal n, rangas yra r, tai visi matricos eilučių (ir stulpelių) elementai, kurie nesudaro pasirinkto pagrindinio mažojo, yra tiesiškai išreiškiami atitinkamais eilučių (ir stulpelių) elementais. ), kurie sudaro pagrindinį nepilnametį.

Ką mums suteikia matricos rango teorema?

Jei Kronecker-Capelli teorema nustatėme sistemos suderinamumą, tada pasirenkame bet kurį pagrindinį pagrindinės sistemos matricos minorą (jos eilė lygi r) ir iš sistemos pašaliname visas lygtis, kurios sudaryti pasirinktą pagrindinį minorą. Tokiu būdu gautas SLAE bus lygiavertis pradiniam, nes išmestos lygtys vis dar yra perteklinės (pagal matricos rango teoremą, tai yra tiesinis likusių lygčių derinys).

Dėl to, atmetus perteklines sistemos lygtis, galimi du atvejai.

Jei lygčių skaičius r gautoje sistemoje yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, tada jis bus apibrėžtas ir vienintelis sprendimas gali būti rastas Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Pavyzdys.

.

Sprendimas.

Sistemos pagrindinės matricos rangas yra lygus dviem, nes antros eilės minorinis skiriasi nuo nulio. Išplėstinis matricos rangas taip pat yra lygus dviem, nes vienintelis trečiosios eilės minoras yra lygus nuliui

o pirmiau aptartas antros eilės minoras skiriasi nuo nulio. Remiantis Kronecker-Capelli teorema, galima teigti pirminės tiesinių lygčių sistemos suderinamumą, nes Rank(A)=Rank(T)=2 .

Kaip pagrindą imamės nepilnamečio . Jį sudaro pirmosios ir antrosios lygčių koeficientai:


Trečioji sistemos lygtis nedalyvauja formuojant pagrindinį minorą, todėl ją ištraukiame iš sistemos pagal matricos rango teoremą:


Taip gavome elementarią tiesinių algebrinių lygčių sistemą. Išspręskime tai Cramerio metodu:


Atsakymas:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jei lygčių skaičius r gautoje SLAE mažesnis už skaičių nežinomų kintamųjų n, tada kairėje lygčių pusėje paliekame pagrindinį mažąjį sudarančius terminus, o likusius narius perkeliame į dešinę sistemos lygčių pusę su priešingu ženklu.

Nežinomi kintamieji (jų yra r), likę kairėje lygčių pusėje, vadinami pagrindinis.

Nežinomi kintamieji (jų yra n - r), kurie atsidūrė dešinėje pusėje, vadinami Laisvas.

Dabar darome prielaidą, kad laisvieji nežinomi kintamieji gali turėti savavališkas reikšmes, o r pagrindiniai nežinomi kintamieji bus išreikšti laisvaisiais nežinomais kintamaisiais unikaliu būdu. Jų išraišką galima rasti išsprendus gautą SLAE Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Paimkime pavyzdį.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių algebrinių lygčių sistemą .

Sprendimas.

Raskite pagrindinės sistemos matricos rangą besiribojančių nepilnamečių metodu. Paimkime 1 1 = 1 kaip nulinį pirmos eilės mažąjį. Pradėkime ieškoti ne nulio antros eilės nepilnamečio, kuris supa šį nepilnametį:


Taigi radome ne nulį antros eilės minorą. Pradėkime ieškoti ne nulio besiribojančio trečios eilės nepilnamečio:


Taigi pagrindinės matricos rangas yra trys. Papildytos matricos rangas taip pat lygus trims, tai yra, sistema yra nuosekli.

Rastas ne nulis trečios eilės minoras bus laikomas baziniu.

Aiškumo dėlei parodome elementus, kurie sudaro pagrindinį mažąjį:


Terminus, dalyvaujančius pagrindiniame minore, paliekame kairėje sistemos lygčių pusėje, o likusius su priešingais ženklais perkeliame į dešines:


Mes suteikiame laisvus nežinomus kintamuosius x 2 ir x 5 savavališkas reikšmes, tai yra, imame , kur yra savavališki skaičiai. Šiuo atveju SLAE įgauna formą


Gautą elementariąją tiesinių algebrinių lygčių sistemą sprendžiame Cramerio metodu:


Vadinasi,.

Atsakyme nepamirškite nurodyti laisvų nežinomų kintamųjų.

Atsakymas:

Kur yra savavališki skaičiai.

Apibendrinti.

Norėdami išspręsti bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemą, pirmiausia išsiaiškiname jos suderinamumą naudodamiesi Kronecker-Capelli teorema. Jei pagrindinės matricos rangas nėra lygus išplėstinės matricos rangui, tada darome išvadą, kad sistema yra nenuosekli.

Jei pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui, tada pasirenkame pagrindinį minorą ir atmetame sistemos lygtis, kurios nedalyvauja formuojant pasirinktą pagrindinį minorą.

Jei bazinio minoro tvarka lygi nežinomų kintamųjų skaičiui, tai SLAE turi unikalų sprendimą, kurį galima rasti bet kuriuo mums žinomu metodu.

Jei pagrindinės mažosios eilės tvarka yra mažesnė už nežinomų kintamųjų skaičių, tada terminus su pagrindiniais nežinomais kintamaisiais paliekame sistemos lygčių kairėje pusėje, likusius terminus perkeliame į dešiniąsias puses ir suteikiame savavališkas reikšmes. į laisvus nežinomus kintamuosius. Iš gautos tiesinių lygčių sistemos pagrindinius nežinomus kintamuosius randame Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Gauso metodas bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti.

Naudojant Gauso metodą, galima išspręsti bet kokios rūšies tiesinių algebrinių lygčių sistemas be išankstinio jų suderinamumo tyrimo. Nežinomų kintamųjų nuoseklaus pašalinimo procesas leidžia padaryti išvadą tiek apie SLAE suderinamumą, tiek nenuoseklumą, o jei yra sprendimas, jį galima rasti.

Skaičiavimo požiūriu pirmenybė teikiama Gauso metodui.

Ziurek Išsamus aprašymas ir analizavo pavyzdžius straipsnyje Gauso metodas sprendžiant bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemas.

Vienarūšių ir nehomogeninių tiesinių algebrinių sistemų bendrojo sprendinio fiksavimas naudojant pamatinės sprendinių sistemos vektorius.

Šiame skyriuje mes sutelksime dėmesį į jungtines vienarūšes ir nehomogenines tiesinių algebrinių lygčių sistemas, turinčias begalinį sprendinių skaičių.

Pirmiausia panagrinėkime vienarūšes sistemas.

Fundamentali sprendimų sistema Homogeninė p tiesinių algebrinių lygčių sistema su n nežinomų kintamųjų yra (n – r) tiesiškai nepriklausomų šios sistemos sprendinių aibė, kur r yra pagrindinės sistemos matricos bazinio minoro eilė.

Jei tiesiškai nepriklausomus vienalytės SLAE sprendimus pažymėsime kaip X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) yra n matmenų matricų stulpeliai 1 ) , tada šios vienalytės sistemos bendras sprendinys pavaizduotas kaip tiesinė pagrindinės sprendinių sistemos vektorių kombinacija su savavališkais pastoviais koeficientais С 1 , С 2 , …, С (n-r), tai yra, .

Ką reiškia terminas bendras homogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas (oroslau)?

Reikšmė paprasta: viską nustato formulė galimi sprendimai pradinis SLAE, kitaip tariant, imant bet kokią savavališkų konstantų С 1 , С 2 , …, С (n-r) reikšmių rinkinį, pagal formulę gauname vieną iš pirminio vienarūšio SLAE sprendinių.

Taigi, jei rasime pagrindinę sprendinių sistemą, visus šio vienalyčio SLAE sprendimus galime nustatyti kaip .

Parodykime pagrindinės vienalytės SLAE sprendimų sistemos konstravimo procesą.

Parenkame pradinės tiesinių lygčių sistemos pagrindinį minorą, iš sistemos išbraukiame visas kitas lygtis, o į dešinę sistemos lygčių pusę su priešingais ženklais perkeliame visus terminus, kuriuose yra laisvųjų nežinomų kintamųjų. Duokime nemokamų nežinomųjų kintamos reikšmės 1,0,0,…,0 ir apskaičiuokite pagrindinius nežinomuosius, bet kokiu būdu išspręsdami gautą elementarią tiesinių lygčių sistemą, pavyzdžiui, Cramerio metodu. Taigi bus gautas X (1) – pirmasis pagrindinės sistemos sprendimas. Jei laisviesiems nežinomiesiems duosime reikšmes 0,1,0,0,…,0 ir apskaičiuosime pagrindinius nežinomuosius, gausime X (2) . Ir taip toliau. Jei laisviesiems nežinomiems kintamiesiems duosime reikšmes 0,0,…,0,1 ir apskaičiuosime pagrindinius nežinomuosius, gausime X (n-r) . Taip bus sukonstruota pamatinė vienalytės SLAE sprendinių sistema ir jos bendras sprendimas gali būti parašytas forma .

Nehomogeninėms tiesinių algebrinių lygčių sistemoms bendras sprendimas pavaizduotas kaip

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Pavyzdys.

Raskite pagrindinę sprendinių sistemą ir bendrą homogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą .

Sprendimas.

Vienarūšių tiesinių lygčių sistemų pagrindinės matricos rangas visada yra lygus išplėstinės matricos rangui. Raskime pagrindinės matricos rangą nepilnamečių ribojimo metodu. Kaip pirmos eilės minorą, imame pagrindinės sistemos matricos elementą a 1 1 = 9. Raskite antrosios eilės besiribojantį ne nulį mažą:

Randamas antros eilės minoras, kitoks nei nulis. Pereikime per trečios eilės nepilnamečius, besiribojančius su juo, ieškodami nulinio vieneto:

Visi besiribojantys trečiosios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, todėl pagrindinės ir išplėstinės matricos rangas yra du. Paimkime pagrindinį minorą. Aiškumo dėlei atkreipiame dėmesį į ją sudarančius sistemos elementus:

Trečioji originalios SLAE lygtis nedalyvauja formuojant pagrindinį minorą, todėl ją galima atmesti:

Sąvokas, kuriose yra pagrindiniai nežinomieji, paliekame dešiniosiose lygčių pusėse, o terminus su laisvaisiais nežinomaisiais perkeliame į dešinę:

Sukurkime pagrindinę pirminės homogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendinių sistemą. Pagrindinė šio SLAE sprendimų sistema susideda iš dviejų sprendinių, nes pradiniame SLAE yra keturi nežinomi kintamieji, o jo pagrindinės minorinės eilės tvarka yra dvi. Norėdami rasti X (1), laisviesiems nežinomiems kintamiesiems suteikiame reikšmes x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, tada randame pagrindinius nežinomus iš lygčių sistemos
.

1. Pakeitimo metodas: iš bet kurios sistemos lygties vieną nežinomąjį išreiškiame kita ir pakeičiame antrąja sistemos lygtimi.

Užduotis. Išspręskite lygčių sistemą:

Sprendimas. Iš pirmosios sistemos lygties išreiškiame adresu per X ir pakeiskite į antrąją sistemos lygtį. Paimkime sistemą lygiavertis originalui.

Įvedus tokias sąlygas, sistema įgis tokią formą:

Iš antrosios lygties randame: . Šios reikšmės pakeitimas į lygtį adresu = 2 - 2X, mes gauname adresu= 3. Todėl šios sistemos sprendinys yra skaičių pora .

2. Algebrinis sudėjimo metodas: pridėję dvi lygtis, gaukite lygtį su vienu kintamuoju.

Užduotis. Išspręskite sistemos lygtį:

Sprendimas. Abi antrosios lygties puses padauginus iš 2, gauname sistemą lygiavertis originalui. Sudėjus dvi šios sistemos lygtis, gauname sistemą

Sumažinus panašius terminus, ši sistema bus tokia: Iš antrosios lygties randame . Šios reikšmės pakeitimas į 3 lygtį X + 4adresu= 5, gauname , kur. Todėl šios sistemos sprendimas yra skaičių pora .

3. Naujų kintamųjų įvedimo metodas: sistemoje ieškome kai kurių pasikartojančių išraiškų, kurias žymėsime naujais kintamaisiais, taip supaprastindami sistemos formą.

Užduotis. Išspręskite lygčių sistemą:

Sprendimas. Parašykime šią sistemą kitaip:

Leisti x + y = u, hu = v. Tada gauname sistemą

Išspręskime tai pakeitimo metodu. Iš pirmosios sistemos lygties išreiškiame u per v ir pakeiskite į antrąją sistemos lygtį. Paimkime sistemą tie.

Iš antrosios sistemos lygties randame v 1 = 2, v 2 = 3.

Pakeičiant šias reikšmes į lygtį u = 5 - v, mes gauname u 1 = 3,
u 2 = 2. Tada turime dvi sistemas

Išspręsdami pirmąją sistemą, gauname dvi skaičių poras (1; 2), (2; 1). Antroji sistema neturi sprendimų.

Pratimai savarankiškam darbui

1. Išspręskite lygčių sistemas keitimo metodu.

Pamokos turinys

Tiesinės lygtys su dviem kintamaisiais

Pietums mokykloje mokinys turi 200 rublių. Pyragas kainuoja 25 rublius, o kavos puodelis – 10 rublių. Kiek pyragų ir kavos puodelių galite nusipirkti už 200 rublių?

Pažymėkite pyragų skaičių x, ir kavos puodelių skaičius y. Tada pyragų kaina bus pažymėta išraiška 25 x, o kavos puodelių kaina 10 y .

25x- kaina x pyragaičiai
10y- kaina y puodeliai kavos

Bendra suma turėtų būti 200 rublių. Tada gauname lygtį su dviem kintamaisiais x Ir y

25x+ 10y= 200

Kiek šaknų turi ši lygtis?

Viskas priklauso nuo mokinio apetito. Jei jis perka 6 pyragus ir 5 puodelius kavos, tada lygties šaknys bus skaičiai 6 ir 5.

Teigiama, kad 6 ir 5 reikšmių pora yra 25 lygties šaknys x+ 10y= 200. Rašoma kaip (6; 5) , o pirmasis skaičius yra kintamojo reikšmė x, o antrasis – kintamojo reikšmė y .

6 ir 5 nėra vienintelės šaknys, kurios apverčia 25 lygtį x+ 10y= 200 iki tapatybės. Jei pageidauja, už tuos pačius 200 rublių studentas gali nusipirkti 4 pyragus ir 10 puodelių kavos:

Šiuo atveju 25 lygties šaknys x+ 10y= 200 yra reikšmių pora (4; 10).

Be to, studentas gali išvis nepirkti kavos, o nusipirkti pyragų už visus 200 rublių. Tada 25 lygties šaknys x+ 10y= 200 bus reikšmės 8 ir 0

Arba atvirkščiai, pirkite ne pyragus, o nusipirkite kavos už visus 200 rublių. Tada 25 lygties šaknys x+ 10y= 200 bus reikšmės 0 ir 20

Pabandykime išvardyti visas galimas 25 lygties šaknis x+ 10y= 200. Sutikime, kad vertybės x Ir y priklauso sveikųjų skaičių aibei. Ir tegul šios vertės yra didesnės arba lygios nuliui:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Taigi bus patogu ir pačiam mokiniui. Tortus patogiau pirkti visą, nei, pavyzdžiui, kelis sveikus pyragus ir pusę torto. Kavą taip pat patogiau gerti į visus puodelius nei, pavyzdžiui, kelis sveikus puodelius ir pusę puodelio.

Atkreipkite dėmesį, kad keistai x neįmanoma pasiekti lygybės pagal bet kurį y. Tada vertybės x bus tokie skaičiai 0, 2, 4, 6, 8. Ir žinant x galima nesunkiai nustatyti y

Taigi, mes gavome šias verčių poras (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Šios poros yra 25 lygties sprendiniai arba šaknys x+ 10y= 200. Jie paverčia šią lygtį tapatybe.

Tipo lygtis ax + by = c paskambino tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais. Šios lygties sprendimas arba šaknys yra reikšmių pora ( x; y), kuris paverčia jį tapatybe.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad jei tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais parašyta kaip ax + b y = c , tada jie sako, kad tai parašyta kanoninis(įprasta) forma.

Kai kurios dviejų kintamųjų tiesinės lygtys gali būti sumažintos iki kanoninės formos.

Pavyzdžiui, lygtis 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) galima atvesti į galvą ax + by = c. Atidarykime skliaustus abiejose šios lygties dalyse, gausime 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Terminai, kuriuose yra nežinomųjų, yra sugrupuoti kairėje lygties pusėje, o terminai be nežinomųjų – dešinėje. Tada gauname 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Abiejose dalyse pateikiame panašius terminus, gauname 16 lygtį x+ 8y= 32. Ši lygtis redukuojama į formą ax + by = c ir yra kanoninis.

Anksčiau nagrinėta 25 lygtis x+ 10y= 200 taip pat yra dviejų kintamųjų tiesinė lygtis kanonine forma. Šioje lygtyje parametrai a , b Ir c yra lygios atitinkamai 25, 10 ir 200 reikšmėms.

Tiesą sakant, lygtis ax + by = c turi begalę sprendimų. Lygties sprendimas 25x+ 10y= 200, jos šaknų ieškojome tik sveikųjų skaičių aibėje. Dėl to mes gavome keletą reikšmių porų, kurios pavertė šią lygtį tapatybe. Bet racionaliųjų skaičių aibėje lygtis 25 x+ 10y= 200 turės begalinį sprendinių skaičių.

Norėdami gauti naujas verčių poras, turite paimti savavališką reikšmę x, tada išreikškite y. Pavyzdžiui, paimkime kintamąjį x reikšmė 7. Tada gauname lygtį su vienu kintamuoju 25×7 + 10y= 200 kuriame išreikšti y

Leisti x= 15. Tada lygtis 25x+ 10y= 200 tampa 25 × 15 + 10y= 200. Iš čia mes tai randame y = −17,5

Leisti x= –3 . Tada lygtis 25x+ 10y= 200 tampa 25 × (–3) + 10y= 200. Iš čia mes tai randame y = −27,5

Dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistema

Dėl lygties ax + by = c galite paimti bet kokį skaičių savavališkų verčių x ir rasti vertes y. Paėmus atskirai, tokia lygtis turės begalinį sprendinių skaičių.

Tačiau taip pat atsitinka, kad kintamieji x Ir y sujungti ne viena, o dviem lygtimis. Šiuo atveju jie sudaro vadinamąjį tiesinių lygčių sistema su dviem kintamaisiais. Tokia lygčių sistema gali turėti vieną reikšmių porą (arba kitaip: „vieną sprendimą“).

Taip pat gali atsitikti taip, kad sistema apskritai neturi sprendimų. Tiesinių lygčių sistema retais ir išskirtiniais atvejais gali turėti be galo daug sprendinių.

Dvi tiesinės lygtys sudaro sistemą, kai reikšmės x Ir y yra įtrauktos į kiekvieną iš šių lygčių.

Grįžkime prie pačios pirmosios 25 lygties x+ 10y= 200. Viena iš šios lygties reikšmių porų buvo pora (6; 5). Tai yra atvejis, kai už 200 rublių buvo galima nusipirkti 6 pyragus ir 5 puodelius kavos.

Sudarykime uždavinį taip, kad pora (6; 5) taptų vienintelis sprendimas 25 lygčiai x+ 10y= 200. Norėdami tai padaryti, sudarome kitą lygtį, kuri susietų tą patį x pyragaičiai ir y puodeliai kavos.

Užduoties tekstą išdėstykime taip:

„Mokslinukas už 200 rublių nusipirko kelis pyragus ir kelis puodelius kavos. Pyragas kainuoja 25 rublius, o kavos puodelis – 10 rublių. Kiek pyragų ir kavos puodelių mokinys nusipirko, jei žinoma, kad pyragų skaičius vienu daugiau nei kavos puodelių?

Pirmąją lygtį jau turime. Tai 25 lygtis x+ 10y= 200. Dabar parašykime sąlygos lygtį „Pyragų skaičius yra vienu vienetu daugiau nei kavos puodelių“ .

Tortų skaičius yra x, o kavos puodelių skaičius yra y. Šią frazę galite parašyti naudodami lygtį x − y= 1. Ši lygtis reikštų, kad skirtumas tarp pyragų ir kavos yra 1.

x=y+1. Ši lygtis reiškia, kad pyragų skaičius yra vienu daugiau nei kavos puodelių. Todėl, norint gauti lygybę, prie kavos puodelių skaičiaus pridedamas vienas. Tai galima lengvai suprasti, jei naudosime svorio modelį, kurį svarstėme nagrinėdami paprasčiausias problemas:

Gavome dvi lygtis: 25 x+ 10y= 200 ir x=y+ 1. Kadangi reikšmės x Ir y, būtent 6 ir 5 yra įtrauktos į kiekvieną iš šių lygčių, tada jos kartu sudaro sistemą. Užrašykime šią sistemą. Jei lygtys sudaro sistemą, tada jos įrėmintos sistemos ženklu. Sistemos ženklas yra garbanotas skliaustas:

Išspręskime šią sistemą. Tai leis mums pamatyti, kaip gauname 6 ir 5 reikšmes. Tokių sistemų sprendimo būdų yra daug. Apsvarstykite populiariausius iš jų.

Pakeitimo metodas

Šio metodo pavadinimas kalba pats už save. Jo esmė yra pakeisti vieną lygtį kita, prieš tai išreiškus vieną iš kintamųjų.

Mūsų sistemoje nieko nereikia išreikšti. Antroje lygtyje x = y+ 1 kintamasis x jau išreikštas. Šis kintamasis yra lygus išraiškai y+1. Tada galite pakeisti šią išraišką pirmoje lygtyje vietoj kintamojo x

Pakeitus išraišką y Vietoj to + 1 į pirmąją lygtį x, gauname lygtį 25(y+ 1) + 10y= 200 . Tai tiesinė lygtis su vienu kintamuoju. Šią lygtį gana lengva išspręsti:

Mes radome kintamojo reikšmę y. Dabar šią reikšmę pakeičiame viena iš lygčių ir randame vertę x. Tam patogu naudoti antrąją lygtį x = y+1. Įdėkime į tai vertę y

Taigi pora (6; 5) yra lygčių sistemos sprendimas, kaip ir ketinome. Mes patikriname ir įsitikiname, kad pora (6; 5) atitinka sistemą:

2 pavyzdys

Pakeiskite pirmąją lygtį x= 2 + yį antrą lygtį 3 x - 2y= 9. Pirmoje lygtyje kintamasis x yra lygus išraiškai 2 + y. Vietoj to, šią išraišką pakeičiame antrąja lygtimi x

Dabar suraskime vertę x. Norėdami tai padaryti, pakeiskite vertę yį pirmąją lygtį x= 2 + y

Taigi sistemos sprendimas yra poros reikšmė (5; 3)

3 pavyzdys. Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Čia, skirtingai nei ankstesniuose pavyzdžiuose, vienas iš kintamųjų nėra aiškiai išreikštas.

Norėdami pakeisti vieną lygtį kita, pirmiausia turite .

Pageidautina išreikšti kintamąjį, kurio koeficientas yra vienas. Koeficiento vienetas turi kintamąjį x, kuris yra pirmoje lygtyje x+ 2y= 11. Išreikškime šį kintamąjį.

Po kintamos išraiškos x, mūsų sistema atrodys taip:

Dabar pirmąją lygtį pakeičiame antrąja ir randame reikšmę y

Pakaitalas y x

Taigi sistemos sprendimas yra reikšmių pora (3; 4)

Žinoma, galite išreikšti ir kintamąjį y. Šaknys nepasikeis. Bet jei išreiškiate y, rezultatas nėra labai paprasta lygtis, kurios sprendimas užtruks daugiau laiko. Tai atrodys taip:

Mes tai matome šis pavyzdys išreikšti x daug patogiau nei išreikšti y .

4 pavyzdys. Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Išreikškite pirmoje lygtyje x. Tada sistema įgis tokią formą:

y

Pakaitalas yį pirmąją lygtį ir raskite x. Galite naudoti pradinę 7 lygtį x+ 9y= 8 , arba naudokite lygtį, kurioje išreiškiamas kintamasis x. Mes naudosime šią lygtį, nes ji yra patogi:

Taigi sistemos sprendimas yra reikšmių pora (5; −3)

Papildymo būdas

Sudėjimo metodas yra į sistemą įtrauktų lygčių pridėjimas po termino. Dėl šio papildymo gaunama nauja vieno kintamojo lygtis. Ir šią lygtį išspręsti gana paprasta.

Išspręskime šią lygčių sistemą:

Pridėkite pirmosios lygties kairę pusę prie antrosios lygties kairiosios pusės. Ir pirmosios lygties dešinė pusė su antrosios lygties dešine puse. Gauname tokią lygybę:

Čia yra panašūs terminai:

Dėl to gavome paprasčiausią lygtį 3 x= 27, kurio šaknis yra 9. Žinant reikšmę x galite rasti vertę y. Pakeiskite vertę xį antrą lygtį x − y= 3. Gauname 9 − y= 3. Iš čia y= 6 .

Taigi sistemos sprendimas yra reikšmių pora (9; 6)

2 pavyzdys

Pridėkite pirmosios lygties kairę pusę prie antrosios lygties kairiosios pusės. Ir pirmosios lygties dešinė pusė su antrosios lygties dešine puse. Gautoje lygybėje pateikiame tokius terminus:

Dėl to gavome paprasčiausią 5 lygtį x= 20, kurios šaknis yra 4. Žinant reikšmę x galite rasti vertę y. Pakeiskite vertę xį pirmąją 2 lygtį x+y= 11. Gaukime 8+ y= 11. Iš čia y= 3 .

Taigi sistemos sprendimas yra reikšmių pora (4;3)

Papildymo procesas nėra išsamiai aprašytas. Tai turi būti padaryta mintyse. Sudedant abi lygtys turi būti sumažintos iki kanoninės formos. Tai yra, į protą ac+by=c .

Iš nagrinėjamų pavyzdžių matyti, kad pagrindinis lygčių pridėjimo tikslas yra atsikratyti vieno iš kintamųjų. Bet ne visada įmanoma iš karto išspręsti lygčių sistemą sudėjimo metodu. Dažniausiai sistema preliminariai suvedama į tokią formą, kad būtų galima pridėti į šią sistemą įtrauktas lygtis.

Pavyzdžiui, sistema gali būti išspręstas tiesiogiai pridėjimo metodu. Sudėjus abi lygtis, terminai y Ir −y išnyksta, nes jų suma lygi nuliui. Dėl to susidaro paprasčiausia lygtis 11 x= 22 , kurios šaknis yra 2. Tada bus galima nustatyti y lygus 5.

Ir lygčių sistema Sudėjimo metodas negali būti išspręstas iš karto, nes dėl to vienas iš kintamųjų neišnyks. Sudėjus bus gauta 8 lygtis x+ y= 28 , kuri turi begalinį sprendinių skaičių.

Jei abi lygties dalys yra padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, tada bus gauta lygtis, lygiavertė duotajai. Ši taisyklė galioja ir tiesinių lygčių sistemai su dviem kintamaisiais. Vieną iš lygčių (arba abi lygtis) galima padauginti iš tam tikro skaičiaus. Rezultatas yra lygiavertė sistema, kurios šaknys sutaps su ankstesne.

Grįžkime prie pačios pirmosios sistemos, kurioje buvo aprašyta, kiek pyragų ir kavos puodelių studentas nupirko. Šios sistemos sprendimas buvo reikšmių pora (6; 5) .

Abi į šią sistemą įtrauktas lygtis padauginame iš kai kurių skaičių. Tarkime, kad pirmąją lygtį padauginame iš 2, o antrąją iš 3

Rezultatas yra sistema
Šios sistemos sprendimas vis dar yra reikšmių pora (6; 5)

Tai reiškia, kad į sistemą įtrauktos lygtys gali būti sumažintos iki formos, tinkamos taikyti sudėjimo metodą.

Atgal į sistemą , kurio negalėjome išspręsti pridėjimo metodu.

Pirmąją lygtį padauginkite iš 6, o antrąją iš –2

Tada gauname tokią sistemą:

Sudedame į šią sistemą įtrauktas lygtis. Sudedamųjų dalių pridėjimas 12 x ir -12 x bus 0, pridėjus 18 y ir 4 y duos 22 y, o sudėjus 108 ir −20 gaunama 88. Tada gaunama lygtis 22 y= 88, vadinasi y = 4 .

Jei iš pradžių sunku mintyse sudėti lygtis, tuomet galite užrašyti, kaip pirmosios lygties kairioji pusė pridedama prie antrosios lygties kairės pusės, o pirmosios lygties dešinė – prie dešinės pusės. antroji lygtis:

Žinant, kad kintamojo reikšmė y yra 4, galite rasti vertę x. Pakaitalas yį vieną iš lygčių, pavyzdžiui, į pirmąją 2 lygtį x+ 3y= 18 . Tada gauname lygtį su vienu kintamuoju 2 x+ 12 = 18 . Perkeliame 12 į dešinę pusę, pakeitę ženklą, gauname 2 x= 6, vadinasi x = 3 .

4 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Antrąją lygtį padauginkite iš −1. Tada sistema bus tokios formos:

Sudėkime abi lygtis. Komponentų papildymas x Ir −x bus 0, pridėjus 5 y ir 3 y duos 8 y, o sudėjus 7 ir 1 gauname 8. Rezultatas yra 8 lygtis y= 8 , kurios šaknis yra 1. Žinant, kad reikšmė y yra 1, galite rasti vertę x .

Pakaitalas yį pirmąją lygtį, gauname x+ 5 = 7, vadinasi x= 2

5 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Pageidautina, kad terminai, turintys tuos pačius kintamuosius, būtų išdėstyti vienas po kito. Todėl antroje lygtyje terminai 5 y ir −2 x keisti vietomis. Dėl to sistema bus tokia:

Antrąją lygtį padauginkite iš 3. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus gauname lygtį 8 y= 16 , kurios šaknis yra 2.

Pakaitalas yĮ pirmąją lygtį gauname 6 x− 14 = 40 . Perkeliame terminą −14 į dešinę pusę, pakeitę ženklą, gauname 6 x= 54 . Iš čia x= 9.

6 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Atsikratykime trupmenų. Pirmąją lygtį padauginkite iš 36, o antrąją iš 12

Gautoje sistemoje Pirmąją lygtį galima padauginti iš –5, o antrąją – iš 8

Sudėkime lygtis gautoje sistemoje. Tada gauname paprasčiausią lygtį −13 y= –156 . Iš čia y= 12. Pakaitalas yį pirmąją lygtį ir raskite x

7 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Abi lygtis paverčiame normalia forma. Čia patogu taikyti proporcingumo taisyklę abiejose lygtyse. Jei pirmoje lygtyje dešinė pusė pavaizduota kaip , o antrosios lygties dešinė pusė kaip , tada sistema įgis tokią formą:

Mes turime proporciją. Padauginame kraštutinius ir vidurinius jo terminus. Tada sistema įgis tokią formą:

Pirmąją lygtį padauginame iš –3, o antroje atveriame skliaustus:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus šias lygtis, gauname lygybę, kurios abiejose dalyse bus nulis:

Pasirodo, sistema turi be galo daug sprendimų.

Tačiau negalime tiesiog paimti savavališkų vertybių iš dangaus x Ir y. Mes galime nurodyti vieną iš reikšmių, o kita bus nustatyta priklausomai nuo mūsų nurodytos reikšmės. Pavyzdžiui, tegul x= 2. Pakeiskite šią reikšmę sistemoje:

Išsprendus vieną iš lygčių, reikšmė for y, kuris tenkins abi lygtis:

Gauta reikšmių pora (2; -2) patenkins sistemą:

Suraskime kitą vertybių porą. Leisti x= 4. Pakeiskite šią reikšmę sistemoje:

Iš akies galima nustatyti, kad y lygus nuliui. Tada gauname reikšmių porą (4; 0), kuri atitinka mūsų sistemą:

8 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Pirmąją lygtį padauginkite iš 6, o antrąją iš 12

Perrašykime tai, kas liko:

Pirmąją lygtį padauginkite iš −1. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus susidaro 6 lygtis b= 48 , kurio šaknis yra 8. Pakaitalas bį pirmąją lygtį ir raskite a

Tiesinių lygčių sistema su trimis kintamaisiais

Linijinė lygtis su trimis kintamaisiais apima tris kintamuosius su koeficientais, taip pat pertrauką. Kanonine forma jis gali būti parašytas taip:

ax + by + cz = d

Ši lygtis turi begalinį sprendinių skaičių. Pateikiame du kintamuosius įvairios reikšmės, galite rasti trečiąją reikšmę. Sprendimas šiuo atveju yra reikšmių trigubas ( x; y; z), kuri lygtį paverčia tapatybe.

Jei kintamieji x, y, z yra tarpusavyje sujungtos trimis lygtimis, tada susidaro trijų tiesinių lygčių su trimis kintamaisiais sistema. Norėdami išspręsti tokią sistemą, galite taikyti tuos pačius metodus, kurie taikomi tiesinėms lygtims su dviem kintamaisiais: pakeitimo metodu ir pridėjimo metodu.

1 pavyzdys. Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Išreiškiame trečiąja lygtimi x. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar atlikime pakeitimą. Kintamasis x yra lygus išraiškai 3 − 2y − 2z . Pakeiskite šią išraišką į pirmąją ir antrąją lygtis:

Atidarykime skliaustus abiejose lygtyse ir pateikime panašius terminus:

Priėjome tiesinių lygčių sistemą su dviem kintamaisiais. Šiuo atveju patogu taikyti papildymo būdą. Dėl to kintamasis y išnyks ir galėsime rasti kintamojo reikšmę z

Dabar suraskime vertę y. Tam patogu naudoti lygtį − y+ z= 4. Pakeiskite reikšmę z

Dabar suraskime vertę x. Tam patogu naudoti lygtį x= 3 − 2y − 2z . Pakeiskite reikšmes į jį y Ir z

Taigi, reikšmių trigubas (3; -2; 2) yra mūsų sistemos sprendimas. Tikrindami įsitikiname, kad šios reikšmės atitinka sistemą:

2 pavyzdys. Išspręskite sistemą pridėjimo metodu

Pridėkime pirmąją lygtį su antrąja, padauginta iš −2.

Jei antroji lygtis padauginama iš –2, ji įgis tokią formą −6x+ 6y- 4z = −4 . Dabar pridėkite jį prie pirmosios lygties:

Matome, kad elementariųjų transformacijų rezultate buvo nustatyta kintamojo reikšmė x. Jis lygus vienam.

Atgal į pagrindinė sistema. Sudėkime antrą lygtį su trečiąja, padauginta iš −1. Jei trečioji lygtis padauginama iš −1, ji įgis tokią formą −4x + 5y − 2z = −1 . Dabar pridėkite jį prie antrosios lygties:

Gauta lygtis x - 2y= -1 . Pakeiskite vertę x kurį radome anksčiau. Tada galime nustatyti vertę y

Dabar mes žinome vertybes x Ir y. Tai leidžia nustatyti vertę z. Mes naudojame vieną iš lygčių, įtrauktų į sistemą:

Taigi, reikšmių trigubas (1; 1; 1) yra mūsų sistemos sprendimas. Tikrindami įsitikiname, kad šios reikšmės atitinka sistemą:

Tiesinių lygčių sistemų sudarymo užduotys

Lygčių sistemų sudarymo uždavinys sprendžiamas įvedant kelis kintamuosius. Toliau lygtys sudaromos remiantis uždavinio sąlygomis. Iš sudarytų lygčių jie sudaro sistemą ir ją išsprendžia. Išsprendus sistemą, reikia patikrinti, ar jos sprendimas atitinka problemos sąlygas.

1 užduotis. Iš miesto į kolūkį išvažiavo automobilis „Volga“. Ji grįžo atgal kitu keliu, kuris buvo 5 km trumpesnis nei pirmasis. Iš viso automobilis į abi puses nuvažiavo 35 km. Kiek kilometrų yra kiekvienas kelias?

Sprendimas

Leisti x- pirmojo kelio ilgis, y- antrojo ilgis. Jei automobilis nuvažiavo 35 km į abi puses, tada pirmąją lygtį galima parašyti kaip x+ y= 35. Ši lygtis apibūdina abiejų kelių ilgių sumą.

Teigiama, kad automobilis grįžo atgal keliu, kuris buvo 5 km trumpesnis nei pirmasis. Tada antrą lygtį galima parašyti kaip x− y= 5. Ši lygtis rodo, kad kelių ilgių skirtumas yra 5 km.

Arba antroji lygtis gali būti parašyta kaip x= y+ 5. Mes naudosime šią lygtį.

Kadangi kintamieji x Ir y abiejose lygtyse žymi tą patį skaičių, tada iš jų galime sudaryti sistemą:

Išspręskime šią sistemą vienu iš anksčiau tyrinėtų metodų. Šiuo atveju patogu naudoti pakeitimo metodą, nes antroje lygtyje kintamasis x jau išreikštas.

Pakeiskite antrąją lygtį pirmąja ir raskite y

Pakeiskite rastą vertę yį antrą lygtį x= y+ 5 ir surask x

Pirmojo kelio ilgis buvo žymimas kintamuoju x. Dabar mes atradome jo prasmę. Kintamasis x yra 20. Taigi pirmojo kelio ilgis yra 20 km.

O antrojo kelio ilgį nurodė y. Šio kintamojo reikšmė yra 15. Taigi antrojo kelio ilgis yra 15 km.

Patikrinkime. Pirmiausia įsitikinkime, kad sistema išspręsta teisingai:

Dabar patikrinkime, ar sprendimas (20; 15) atitinka uždavinio sąlygas.

Teigiama, kad iš viso automobilis į abi puses nuvažiavo 35 km. Sudedame abiejų kelių ilgius ir įsitikiname, kad sprendimas (20; 15) tenkina ši sąlyga: 20 km + 15 km = 35 km

Kita sąlyga: automobilis grįžo atgal kitu keliu, kuris buvo 5 km trumpesnis nei pirmasis . Matome, kad sprendimas (20; 15) taip pat tenkina šią sąlygą, nes 15 km yra trumpesnis nei 20 km 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Sudarant sistemą svarbu, kad kintamieji reikštų tuos pačius skaičius visose į šią sistemą įtrauktose lygtyse.

Taigi mūsų sistemoje yra dvi lygtys. Šios lygtys savo ruožtu apima kintamuosius x Ir y, kurie žymi tuos pačius skaičius abiejose lygtyse, ty kelių ilgius, lygius 20 km ir 15 km.

2 užduotis. Ant platformos buvo pakrauti ąžuoliniai ir pušiniai pabėgiai, iš viso 300 pabėgių. Yra žinoma, kad visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei visi pušiniai pabėgiai. Nustatykite, kiek ąžuolinių ir pušinių pabėgių buvo atskirai, jei kiekvienas ąžuolinis pabėgis svėrė 46 kg, o kiekvienas pušies pabėgis 28 kg.

Sprendimas

Leisti xąžuolas ir y ant platformos buvo pakrauti pušiniai pabėgiai. Jei iš viso buvo 300 miegamųjų, tada pirmąją lygtį galima parašyti kaip x+y = 300 .

Visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 46 x kg, o pušis svėrė 28 y kilogramas. Kadangi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei pušiniai pabėgiai, antrą lygtį galima parašyti kaip 28y- 46x= 1000 . Ši lygtis rodo, kad ąžuolinių ir pušinių pabėgių masės skirtumas yra 1000 kg.

Tonos perskaičiuotos į kilogramus, nes ąžuolinių ir pušinių pabėgių masė matuojama kilogramais.

Dėl to gauname dvi lygtis, kurios sudaro sistemą

Išspręskime šią sistemą. Išreikškite pirmoje lygtyje x. Tada sistema įgis tokią formą:

Pirmąją lygtį pakeiskite antrąja ir raskite y

Pakaitalas yį lygtį x= 300 − y ir sužinok ką x

Tai reiškia, kad ant platformos buvo pakrauta 100 ąžuolinių ir 200 pušinių pabėgių.

Patikrinkime, ar sprendimas (100; 200) atitinka uždavinio sąlygas. Pirmiausia įsitikinkime, kad sistema išspręsta teisingai:

Teigiama, kad iš viso buvo 300 miegamųjų. Sumuojame ąžuolinių ir pušinių pabėgių skaičių ir įsitikiname, kad tirpalas (100; 200) tenkina šią sąlygą: 100 + 200 = 300.

Kita sąlyga: visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei visos pušys . Matome, kad sprendimas (100; 200) taip pat tenkina šią sąlygą, nes 46 × 100 kg ąžuoliniai pabėgiai yra lengvesni nei 28 × 200 kg pušiniai pabėgiai: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

3 užduotis. Mes paėmėme tris vario ir nikelio lydinio gabalus santykiu 2: 1, 3: 1 ir 5: 1 pagal svorį. Iš jų 12 kg sveriantis gabalas buvo lydytas vario ir nikelio santykiu 4:1. Raskite kiekvieno pradinio gabalo masę, jei pirmojo iš jų masė yra dvigubai didesnė už antrojo.