hjem › Salong › Omfattende veiledning (2019). Funksjonsderivat

Omfattende veiledning (2019). Funksjonsderivat

tabell 2

Tabell 1

Konseptet med grensen til en variabel. Funksjonsderivat. Avledet tabell. Differensieringsregler

Måter å stille inn funksjoner på. Typer elementære funksjoner

Å spesifisere en funksjon betyr å spesifisere en regel eller lov i henhold til en gitt verdi av et argument X den tilsvarende verdien av funksjonen bestemmes på.

Ta i betraktning måter å definere en funksjon på .

1. Analytisk metode - sette en funksjon ved hjelp av formler. For eksempel følger oppløsningen av medisinske stoffer fra tabletter ved fremstilling av løsninger ligningen m \u003d m 0 e - kt, Hvor m0 Og m- henholdsvis den første og gjenværende ved oppløsningstidspunktet t mengden av stoffet i tabletten, k- en konstant positiv verdi.

2. Grafisk måte - dette er en oppgave til en funksjon i form av en graf. For eksempel, ved å bruke en elektrokardiograf på papir eller på en dataskjerm, registreres verdien av biopotensialforskjellen som oppstår under hjertets arbeid. U som en funksjon av tid t: U = f(t).

3. Tabellform er en funksjonstilordning ved hjelp av en tabell. Denne måten å sette funksjonen på brukes i eksperimenter og observasjoner. For eksempel, ved å måle pasientens kroppstemperatur med bestemte intervaller, er det mulig å sette sammen en tabell over kroppstemperaturverdier T som en funksjon av tid t. På grunnlag av tabelldata er det noen ganger mulig å tilnærme samsvaret mellom et argument og en funksjon med en formel. Slike formler kalles empiriske, dvs. hentet fra erfaring.

I matematikk skiller man elementær Og kompleks funksjoner. Her er hovedtypene av elementære funksjoner:

1. Strømfunksjon – y = f(x) = x n, Hvor X- argument n- et hvilket som helst reelt tall ( 1, 2, - 2, etc.).

2. Eksponentiell funksjon – y = f(x) = a x, Hvor EN- permanent positivt tall, forskjellig fra enhet ( a > 0, a ≠ 0), For eksempel:

y=10x(a=10);

y = e x; y \u003d e -x (a \u003d e ≈ 2,718 ...)

Vi trekker frem de to siste funksjonene, de kalles eksponentielle funksjoner eller utstillere og beskrive en rekke fysiske, biofysiske, kjemiske og sosiale prosesser. Og y = e x - stigende eksponent, y=e-x er en synkende eksponent.

3.Logaritmisk funksjon med hvilken som helst grunn EN: y = log x, Hvor y - kraften du må heve bunnen av funksjonen til for å få gitt nummer x, dvs. a y = x.

Hvis basen a = 10, Det y kalt desimal logaritme tall x og betegnet y = log x; Hvis a=e, Det y kalt naturlig logaritme tall x og betegnet y \u003d 1n x.

Husker noen logaritmeregler :

La to tall gis EN Og b, Deretter:

· lg (a b) = lg a + lg b;

· lg = lg a - lg b;

· lg ab = b lg a;

Ingenting vil endre seg når du erstatter en karakter lg på ln.

Det er også nyttig å huske på det lg 10 = 1, ln e = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Trigonometriske funksjoner : y=sinx, y=cosx, y=tgx og så videre.

Her er grafene for noen elementære funksjoner (se fig. 1):

En variabelverdi kan endre seg slik at den i ferd med å øke eller redusere den nærmer seg en endelig konstant verdi, som er grensen.

A-priory grensen for variabelen x er konstantverdien A, som variabelen x nærmer seg i prosessen med endringen slik at modulen til forskjellen mellom x og A, dvs. | x - A |, har en tendens til null.

Begrens notasjon: x → A eller lim x = A(her → er et tegn på grenseovergangen, lim fra latin begrenset, oversatt til russisk - grense). Tenk på et elementært eksempel:

x: 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), fordi

| x - A |: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…→ 0.

La oss introdusere konseptene argumentøkning og funksjonsøkning.

Hvis variabelen X endrer verdien fra x 1 før x 2, så forskjellen x 2 - x 1 \u003d Δx kalles økningen av argumentet, og Δx(les delta X) er et enkelt trinnsymbol. Tilsvarende funksjonsendring y 2 - y 1 \u003d Δy kalles funksjonsøkning. La oss vise det på grafen til funksjonen y = f(x)(Fig. 2). Geometrisk er økningen av argumentet representert av økningen av abscissen til punktet på kurven, og økningen av funksjonen er økningen av ordinaten til dette punktet.

Den deriverte av en gitt funksjon y \u003d f (x) med hensyn til argumentet x er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen Δy og økningen av argumentet Δx, når sistnevnte har en tendens til null (Δx → 0 ).

Den deriverte av en funksjon er angitt (les " på slag") eller , eller dy/dx(les "de y av de x"). Altså den deriverte av funksjonen y = f(x) er lik:

(4)

Regel for å finne den deriverte av en funksjon y = f(x) ved argument X inneholdt i definisjonen av denne verdien: du må spesifisere økningen av argumentet Δх, finn funksjonsøkningen Δy, lag et forhold og finn grensen for dette forholdet når Δх→ 0.

Prosessen med å finne den deriverte kalles differensiering av funksjonen. Dette er grenen av høyere matematikk kalt "Differensialregning".

Tabellen over derivater av de grunnleggende elementære funksjonene oppnådd av regelen ovenfor er gitt nedenfor.

nr. p / s	Funksjonstyper	Funksjonsderivat
	Konstant y=c	y" = 0
	Potensfunksjon y = x n (n kan være positiv, negativ, heltall, brøk)	y" = nx n-1
	Eksponentiell funksjon y = a x (a > 0; a ≠ 1) y = e x y \u003d e -x, y \u003d e -kx (k \u003d const)	y" = a x log a y" = e x y" \u003d - e -x, y" \u003d -k e -kx
	logaritmisk funksjon y = log a x (a > 0; a ≠ 1) y = log x	y" = y" =
	Trigonometriske funksjoner: y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x	y" = cos x y" = - sin x y" = y" =

Hvis uttrykket hvis deriverte skal finnes er summen, differansen, produktet eller kvotienten av flere funksjoner, f.eks. u, v , z, så brukes følgende differensieringsregler (tabell 2).

Her er noen eksempler på beregning av derivater ved hjelp av tabell 1 og 2.

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x sin x)" = (x)" sin x + x (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5tgx)" = 5(tgx)" = .

Den fysiske betydningen av derivatet er at den bestemmer hastigheten (hastigheten) for endring av funksjonen.

Tenk på et eksempel på rettlinjet bevegelse. Hastigheten til kroppen er lik forholdet mellom banen ∆S gått forbi kroppen i løpet av tiden Δt, til dette tidsintervallet v = . Hvis bevegelsen er ujevn, er forholdet gjennomsnittshastigheten på denne delen av banen, og hastigheten som tilsvarer hvert gitt tidspunkt kalles øyeblikkelig hastighet og er definert som grensen for forholdet ved Δt→0, dvs.

Oppsummerer resultatet oppnådd, kan det argumenteres for at den deriverte av funksjonen f(x) etter tid t er den momentane endringshastigheten til funksjonen. Konseptet med øyeblikkelig hastighet refererer ikke bare til mekaniske bevegelser, men også til alle prosesser som utvikler seg over tid. Du kan finne hastigheten for sammentrekning eller avslapning av muskelen, hastigheten på krystallisering av løsningen, hastigheten på herding av fyllmaterialet, hastigheten på spredning av en epidemisk sykdom, etc.

Betydning øyeblikkelig akselerasjon i alle disse prosessene er lik den tidsderiverte av hastighetsfunksjonen:

. (5)

I mekanikk, den andre deriverte av banen med hensyn til tid.

Konseptet med en derivert, som en størrelse som karakteriserer endringshastigheten til en funksjon, brukes for ulike avhengigheter. For eksempel må du finne ut hvor raskt temperaturen endres langs en metallstang hvis en av endene varmes opp. I denne saken temperatur er en funksjon av koordinaten x, dvs. T = f(x) og karakteriserer hastigheten på temperaturendringer i rommet.

Den deriverte av en funksjon f(x) med hensyn til koordinaten x kalles gradient denne funksjonen(forkortelsen grad fra lat. gradient brukes ofte). Gradientene til forskjellige variabler er vektormengder, alltid rettet i retning av å øke verdien av variabler .

Merk at gradientene til mange mengder er en av hovedårsakene til metabolske prosesser som forekommer i biologiske systemer. Disse er for eksempel konsentrasjonsgradient, elektrokjemisk potensialgradient (μ er den greske bokstaven "mu"), elektrisk potensialgradient.

I det små Δx kan skrives:

. (6)

Hva er et derivat?
Definisjon og betydning av den deriverte av en funksjon

Mange vil bli overrasket over den uventede plasseringen av denne artikkelen i forfatterens kurs om den deriverte av en funksjon av en variabel og dens applikasjoner. Tross alt, som det var fra skolen: en standard lærebok gir først og fremst en definisjon av et derivat, dets geometriske, mekaniske betydning. Deretter finner studentene derivater av funksjoner per definisjon, og faktisk først da blir differensieringsteknikken perfeksjonert ved å bruke avledede tabeller.

Men fra mitt synspunkt er følgende tilnærming mer pragmatisk: først og fremst er det tilrådelig å FORSTÅ GODT funksjonsgrense, og spesielt infinitesimals. Faktum er det definisjonen av derivatet er basert på konseptet om en grense, som er lite vurdert i skoleløpet. Det er derfor en betydelig del av unge forbrukere av granittkunnskap trenger dårlig inn i selve essensen av derivatet. Altså, hvis du er dårlig orientert i differensialregning, eller en klok hjerne for lange år med vellykket avhending av denne bagasjen, vennligst start fra funksjonsgrenser. Samtidig mestre / husk avgjørelsen deres.

Den samme praktiske følelsen tilsier at det først er lønnsomt lære å finne derivater, gjelder også derivater av komplekse funksjoner. Teori er en teori, men som de sier, du vil alltid differensiere. I denne forbindelse er det bedre å utarbeide de oppførte grunnleggende leksjonene, og kanskje bli differensieringsmester uten engang å innse essensen av handlingene deres.

Jeg anbefaler å starte materialet på denne siden etter å ha lest artikkelen. De enkleste problemene med et derivat, hvor spesielt problemet med tangenten til grafen til en funksjon vurderes. Men det kan bli forsinket. Faktum er at mange anvendelser av derivatet ikke krever å forstå det, og det er ikke overraskende at den teoretiske leksjonen dukket opp ganske sent - da jeg trengte å forklare finne intervaller for økning/reduksjon og ekstremum funksjoner. Dessuten var han i faget ganske lenge." Funksjoner og grafer”, helt til jeg bestemte meg for å legge den inn tidligere.

Derfor, kjære tekanner, ikke skynd deg å absorbere essensen av derivatet, som sultne dyr, fordi metningen vil være smakløs og ufullstendig.

Konseptet med å øke, redusere, maksimum, minimum av en funksjon

Mange studieveiledere føre til konseptet med et derivat ved hjelp av noen praktiske problemer, og jeg kom også opp med interessant eksempel. Tenk deg at vi må reise til en by som kan nås på forskjellige måter. Vi forkaster umiddelbart de buede svingete stiene, og vi vil bare vurdere rette linjer. Men rettlinjede retninger er også forskjellige: du kan komme deg til byen langs en flat autobahn. Eller på en kupert motorvei - opp og ned, opp og ned. En annen vei går bare oppover, og en annen går nedover hele tiden. Spenningssøkende vil velge en rute gjennom kløften med en bratt klippe og en bratt stigning.

Men uansett hva du ønsker, er det ønskelig å kjenne området, eller i det minste ha et topografisk kart over det. Hva om det ikke er slik informasjon? Tross alt kan du velge for eksempel en flat sti, men som et resultat snuble du over en skibakke med morsomme finner. Ikke det faktum at navigatoren og til og med et satellittbilde vil gi pålitelige data. Derfor ville det vært fint å formalisere lindring av banen ved hjelp av matematikk.

Tenk på en vei (fra siden):

Bare i tilfelle minner jeg deg om et elementært faktum: reisen finner sted fra venstre til høyre. For enkelhets skyld antar vi at funksjonen kontinuerlige i det aktuelle området.

Hva er funksjonene til denne grafen?

Med mellomrom funksjon øker, det vil si hver av dens neste verdi mer den forrige. Grovt sett går timeplanen ned opp(vi klatrer bakken). Og på intervallet funksjonen avtar- hver neste verdi mindre den forrige, og timeplanen vår går ovenfra og ned(går ned bakken).

La oss også ta hensyn til spesielle punkter. På punktet vi når maksimum, det er finnes en slik del av banen der verdien vil være størst (høyest). På samme punkt, minimum, Og finnes slik dens nabolag, der verdien er den minste (laveste).

Mer streng terminologi og definisjoner vil bli vurdert i leksjonen. om ytterpunktene av funksjonen mens vi studerer en til viktig funksjon: imellom funksjonen øker, men den øker i forskjellige hastigheter. Og det første som fanger oppmerksomheten er at diagrammet svever opp på intervallet mye kulere enn på intervallet. Er det mulig å måle veiens bratthet ved hjelp av matematiske verktøy?

Funksjonsendringshastighet

Tanken er denne: ta litt verdi (les "delta x"), som vi vil kalle argumentøkning, og la oss begynne å "prøve det videre" til forskjellige punkter på veien:

1) La oss se på punktet lengst til venstre: forbi avstanden, klatrer vi skråningen til en høyde ( grønn linje). Verdien kalles funksjonsøkning, og i dette tilfellet er denne økningen positiv (forskjellen mellom verdier langs aksen er større enn null). La oss lage forholdet , som vil være målet på brattheten til veien vår. Det er åpenbart et veldig spesifikt tall, og siden begge trinnene er positive, så .

Merk følgende! Betegnelse er EN symbol, det vil si at du ikke kan "rive av" "deltaen" fra "x" og vurdere disse bokstavene separat. Kommentaren gjelder selvfølgelig også funksjonens inkrementsymbol.

La oss utforske arten av den resulterende brøken mer meningsfylt. Anta at vi først er i en høyde på 20 meter (i den venstre svarte prikken). Etter å ha overvunnet avstanden på meter (rød rød linje), vil vi være i en høyde på 60 meter. Deretter vil økningen av funksjonen være meter (grønn linje) og: . Dermed, på hver meter denne delen av veien høyden øker gjennomsnitt med 4 meter…har du glemt klatreutstyret ditt? =) Med andre ord, det konstruerte forholdet karakteriserer den GJENNOMSNITTLIGE ENDRINGSRATE (i dette tilfellet vekst) av funksjonen.

Merk : De numeriske verdiene til det aktuelle eksemplet tilsvarer proporsjonene på tegningen bare omtrentlig.

2) La oss nå gå samme avstand fra den svarte prikken lengst til høyre. Her er stigningen mer skånsom, så inkrementet (crimson line) er relativt lite, og forholdet sammenlignet med forrige tilfelle vil være ganske beskjedent. Relativt sett, meter og funksjonsveksthastighet er . Det vil si her for hver meter av veien det er gjennomsnitt en halv meter opp.

3) Et lite eventyr i fjellsiden. La oss se på den øverste svarte prikken på y-aksen. La oss anta at dette er et merke på 50 meter. Igjen overvinner vi avstanden, som et resultat av at vi befinner oss lavere - på nivået 30 meter. Siden bevegelsen har blitt gjort ovenfra og ned(i "motsatt" retning av aksen), deretter den siste økningen av funksjonen (høyden) vil være negativ: meter (brun strek på tegningen). Og i dette tilfellet snakker vi om forfallshastighet egenskaper: , det vil si at for hver meter av banen til denne delen avtar høyden gjennomsnitt med 2 meter. Ta vare på klær på det femte punktet.

La oss nå stille spørsmålet: hva er den beste verdien av "målestandard" å bruke? Det er tydelig at 10 meter er veldig røft. Et godt dusin ujevnheter kan lett passe på dem. Hvorfor er det humper, det kan være en dyp kløft nedenfor, og etter noen få meter - den andre siden med en videre bratt stigning. Dermed vil vi med en ti meter ikke få en forståelig karakteristikk av slike deler av banen gjennom forholdet.

Fra diskusjonen ovenfor følger følgende konklusjon: jo mindre verdi, jo mer nøyaktig vil vi beskrive avlastningen av veien. Dessuten er følgende fakta sanne:

– For enhver løftepunkter du kan velge en verdi (om enn en veldig liten en) som passer innenfor grensene til en eller annen oppgang. Og dette betyr at den tilsvarende høydeøkningen garantert vil være positiv, og ulikheten vil riktig indikere veksten av funksjonen ved hvert punkt i disse intervallene.

- Like måte, for noen skråningspunkt, er det en verdi som vil passe helt på denne skråningen. Derfor er den tilsvarende økningen i høyde entydig negativ, og ulikheten vil korrekt vise reduksjonen i funksjonen ved hvert punkt i det gitte intervallet.

– Av spesiell interesse er tilfellet når endringshastigheten til funksjonen er null: . For det første er en null høydeøkning () et tegn på en jevn bane. Og for det andre er det andre nysgjerrige situasjoner, eksempler på som du ser i figuren. Tenk deg at skjebnen har ført oss helt til toppen av en høyde med svevende ørner eller bunnen av en kløft med kvekende frosker. Hvis du tar et lite skritt i en hvilken som helst retning, vil høydeendringen være ubetydelig, og vi kan si at endringshastigheten til funksjonen faktisk er null. Det samme mønsteret er observert på punkter.

Dermed har vi nærmet oss en fantastisk mulighet til å karakterisere endringshastigheten til en funksjon perfekt nøyaktig. Tross alt lar matematisk analyse oss rette økningen av argumentet til null: det vil si å gjøre det uendelig liten.

Som et resultat oppstår et annet logisk spørsmål: er det mulig å finne veien og dens tidsplan en annen funksjon, hvilken ville fortelle oss om alle flater, oppoverbakker, nedoverbakker, topper, lavland, samt økning/nedgang på hvert punkt på stien?

Hva er et derivat? Definisjon av et derivat.
Den geometriske betydningen av deriverte og differensial

Les nøye og ikke for raskt - materialet er enkelt og tilgjengelig for alle! Det er greit hvis noe virker uklart noen steder, du kan alltids gå tilbake til artikkelen senere. Jeg vil si mer, det er nyttig å studere teorien flere ganger for å kvalitativt forstå alle punktene (rådene er spesielt relevante for "tekniske" studenter, for hvem høyere matematikk spiller en betydelig rolle i utdanningsprosessen).

Naturligvis, i selve definisjonen av derivatet på et punkt, vil vi erstatte det med:

Hva har vi kommet til? Og vi kom til den konklusjon at for en funksjon i henhold til loven er justert annen funksjon, som kalles avledet funksjon(eller ganske enkelt derivat).

Deriverten karakteriserer endringshastighet funksjoner. Hvordan? Tanken går som en rød tråd helt fra begynnelsen av artikkelen. Tenk på et poeng domener funksjoner. La funksjonen være differensierbar på et gitt punkt. Deretter:

1) Hvis , øker funksjonen ved punktet . Og det er det åpenbart intervall(selv om den er veldig liten) som inneholder punktet der funksjonen vokser, og grafen går "fra bunn til topp".

2) Hvis , reduseres funksjonen ved punktet . Og det er et intervall som inneholder et punkt der funksjonen avtar (grafen går "fra topp til bunn").

3) Hvis , da uendelig nær nær punktet holder funksjonen hastigheten konstant. Dette skjer, som nevnt, for en funksjonskonstant og på kritiske punkter i funksjonen, spesielt på minimum og maksimum poeng.

Litt semantikk. Hva betyr verbet "differensiere" i vid forstand? Å skille betyr å skille ut en funksjon. Ved å differensiere funksjonen "velger" vi endringshastigheten i form av en derivert av funksjonen. Og hva menes forresten med ordet «derivat»? Funksjon skjedde fra funksjonen.

Begrepene tolker meget vellykket den mekaniske betydningen av derivatet :
La oss vurdere loven om endring av kroppens koordinater, som avhenger av tid, og funksjonen til bevegelseshastigheten til den gitte kroppen. Funksjonen karakteriserer endringshastigheten til kroppskoordinaten, derfor er den den første deriverte av funksjonen med hensyn til tid: . Hvis konseptet "kroppsbevegelse" ikke fantes i naturen, ville det ikke eksistert derivat begrepet "hastighet".

Akselerasjonen til kroppen er hastigheten for endring av hastighet, derfor: . Hvis de opprinnelige konseptene "kroppsbevegelse" og "kroppsbevegelseshastighet" ikke fantes i naturen, ville det ikke vært noe derivat begrepet akselerasjon av en kropp.

Men fra mitt synspunkt er følgende tilnærming mer pragmatisk: først og fremst er det tilrådelig å FORSTÅ grensen for funksjonen GODT, og spesielt, infinitesimals. Faktum er det

definisjonen av derivatet er basert på konseptet om en grense , som er lite vurdert i skoleløpet. Det er derfor en betydelig del av unge forbrukere av granittkunnskap trenger dårlig inn i selve essensen av derivatet. Derfor, hvis du ikke er godt kjent med differensialregning, eller den kloke hjernen har klart å kvitte seg med denne bagasjen i løpet av årene, vennligst start med funksjonsgrenser . Samtidig mestre / husk avgjørelsen deres.

Den samme praktiske følelsen tilsier at det først er lønnsomt

lære å finne deriverte, inkludert deriverte av komplekse funksjoner . Teori er en teori, men som de sier, du vil alltid differensiere. I denne forbindelse er det bedre å utarbeide de oppførte grunnleggende leksjonene, og kanskje bli differensieringsmester uten engang å innse essensen av handlingene deres.

Jeg anbefaler å starte materialet på denne siden etter å ha lest artikkelen. De enkleste problemene med et derivat, hvor spesielt problemet med tangenten til grafen til en funksjon vurderes. Men det kan bli forsinket. Faktum er at mange anvendelser av derivatet ikke krever å forstå det, og det er ikke overraskende at den teoretiske leksjonen dukket opp ganske sent - da jeg trengte å forklare finne intervaller for økning/reduksjon og ekstremum funksjoner. Dessuten var han i faget ganske lenge." Funksjoner og grafer”, helt til jeg bestemte meg for å legge den inn tidligere.

Derfor, kjære tekanner, ikke skynd deg å absorbere essensen av derivatet, som sultne dyr, fordi metningen vil være smakløs og ufullstendig.

Konseptet med å øke, redusere, maksimum, minimum av en funksjon

Mange opplæringsprogrammer fører til konseptet med et derivat ved hjelp av noen praktiske problemer, og jeg kom også med et interessant eksempel. Tenk deg at vi må reise til en by som kan nås på forskjellige måter. Vi forkaster umiddelbart de buede svingete stiene, og vi vil bare vurdere rette linjer. Men rettlinjede retninger er også forskjellige: du kan komme deg til byen langs en flat autobahn. Eller på en kupert motorvei - opp og ned, opp og ned. En annen vei går bare oppover, og en annen går nedover hele tiden. Spenningssøkende vil velge en rute gjennom kløften med en bratt klippe og en bratt stigning.

satellittbilde vil gi pålitelige data. Derfor ville det vært fint å formalisere lindring av banen ved hjelp av matematikk.

Tenk på en vei (fra siden):

Bare i tilfelle minner jeg deg om et elementært faktum: reisen skjer fra venstre til høyre. For enkelhets skyld antar vi at funksjonen er kontinuerlig på den delen som vurderes.

Hva er funksjonene til denne grafen?

Med mellomrom funksjonen øker, det vil si at hver påfølgende verdi av den er større enn den forrige. Grovt sett går grafen nedenfra og opp (vi klatrer bakken). Og på intervallet reduseres funksjonen - hver neste verdi er mindre enn den forrige, og grafen vår går fra topp til bunn (vi går nedover skråningen).

La oss også ta hensyn til spesielle punkter. På det punktet vi

vi når maksimum , det vil si at det er en slik del av banen der verdien vil være størst (høyest). På samme punkt nås et minimum, og det er et slikt nabolag der verdien er den minste (laveste).

Mer streng terminologi og definisjoner vil bli vurdert i leksjonen. om ytterpunktene av funksjonen, men la oss nå studere en viktig funksjon til: på intervallene funksjonen øker, men den øker i forskjellige hastigheter. Og det første som fanger oppmerksomheten er at intervallgrafen stiger mye kulere enn på intervallet. Er det mulig å måle veiens bratthet ved hjelp av matematiske verktøy?

Funksjonsendringshastighet

Tanken er denne: ta litt verdi

(les "delta x") , som vi vil kalleargumentøkning, og la oss begynne å "prøve det videre" til forskjellige punkter på veien:

1) La oss se på punktet lengst til venstre: omgå avstanden, klatrer vi skråningen til en høyde (grønn linje). Mengden kalles funksjonsøkning, og i dette tilfellet er denne økningen positiv (forskjellen mellom verdier langs aksen er større enn

null). La oss lage forholdet , som vil være målet på brattheten til veien vår. Dette er åpenbart et veldig spesifikt tall, og siden begge inkrementene er positive, da.

Merk følgende! Betegnelsen er et ENKEL symbol, det vil si at du ikke kan "rive av" "delta" fra "x" og vurdere disse bokstavene separat. Kommentaren gjelder selvfølgelig også funksjonens inkrementsymbol.

La oss utforske arten av den resulterende brøken mer meningsfylt. La

i utgangspunktet er vi i en høyde på 20 meter (i den venstre svarte prikken). Etter å ha overvunnet avstanden på meter (rød rød linje), vil vi være i en høyde på 60 meter. Deretter vil økningen av funksjonen være

meter (grønn linje) og:. Så

Dermed på hver meter av denne delen av veien høyden øker gjennomsnittlig 4 meter ... glemte du klatreutstyret ditt? =) Med andre ord, det konstruerte forholdet karakteriserer den GJENNOMSNITTLIGE ENDRINGSRATE (i dette tilfellet vekst) av funksjonen.

Merk: de numeriske verdiene i det aktuelle eksemplet tilsvarer proporsjonene på tegningen bare omtrentlig.

2) La oss nå gå samme avstand fra den svarte prikken lengst til høyre. Her er stigningen mer mild, så økningen

(magenta linje) er relativt liten, og forholdet

sammenlignet med forrige sak vil være svært beskjeden. Relativt sett, meter og funksjonsveksthastighet

er . Det vil si at her for hver meter av stien er det gjennomsnittlig en halv meter stigning.

3) Et lite eventyr i fjellsiden. La oss se på den øverste svarte prikken på y-aksen. La oss anta at dette er et merke på 50 meter. Igjen overvinner vi avstanden, som et resultat av at vi befinner oss lavere - på nivået 30 meter. Siden bevegelsen ble utført fra topp til bunn (i "motsatt" retning av aksen), den endelige økningen av funksjonen (høyden) vil være negativ:meter (brun strek på tegningen). Og i dette tilfellet snakker vi om hastighet

synkende funksjon: , altså for hver meter av stien

I dette området synker høyden med gjennomsnittlig 2 meter. Ta vare på klær på det femte punktet.

La oss nå stille spørsmålet: hva er den beste verdien av "målestandard" å bruke? Det er tydelig at 10 meter er veldig røft. Et godt dusin ujevnheter kan lett passe på dem. Hvorfor er det humper, det kan være en dyp kløft nedenfor, og etter noen få meter - den andre siden med en videre bratt stigning. Dermed vil vi med en ti-meter ikke få en forståelig karakterisering av slike deler av veien gjennom

forhold .

Fra diskusjonen ovenfor følger følgende konklusjon: jo mindre verdi, jo mer nøyaktig vil vi beskrive avlastningen av veien. Dessuten rettferdig

Alternativ fysisk betydning av begrepet en avledet av en funksjon.

Nikolay Brylev

En artikkel for de som tenker selv. For de som ikke kan forstå hvordan det er mulig å vite ved hjelp av det ukjente og av denne grunn ikke kan gå med på introduksjonen av ukjente begreper i erkjennelsens verktøy: "uendelig", "å gå til null", "uendelig liten", "nabolaget til et punkt", etc. .P.

Hensikten med denne artikkelen er ikke å nedverdige ideen om å introdusere et veldig nyttig grunnleggende konsept i matematikk og fysikk. begreper derivert av en funksjon(differensial), og forstå det dypt fysisk sans, basert på naturvitenskapens generelle globale avhengigheter. Målet er å gi konseptet avledet funksjon(differensiell) årsaksstruktur og dyp betydning interaksjonsfysikk. Denne betydningen i dag er umulig å gjette, fordi det allment aksepterte konseptet er justert til den betinget formelle, ikke-strenge, matematiske tilnærmingen til differensialregning.

1.1 Det klassiske konseptet med den deriverte av en funksjon.

Til å begynne med, la oss gå til det universelt brukte, generelt aksepterte, som har eksistert i nesten tre århundrer, som har blitt en klassiker, matematisk konsept (definisjon) av den deriverte av en funksjon (differensial).

Dette konseptet er forklart i alle tallrike lærebøker på samme måte og omtrent slik.

La verdien u avhenger av x-argumentet as u = f(x). Hvis f(x ) ble fikset på to punkter i argumentverdiene: x2, x1, , så får vi mengdene u 1 = f (x 1 ), og u 2 = f (x 2 ). Forskjellen mellom to argumentverdier x 2, x 1 kalles inkrementet til argumentet og betegnes som Δ x = x 2 - x 1 (derav x 2=x1+ Δ x) . Hvis argumentet har endret seg til Δ x \u003d x 2 - x 1, , så har funksjonen endret seg (økt) som forskjellen mellom funksjonens to verdier u 1 \u003d f (x 1), u 2 \u003d f (x 2 ) med økningen av funksjonen∆f. Det skrives vanligvis slik:

∆f= u 1 - u 2 \u003d f (x 2) - f (x 1 ). Eller med tanke på det x 2 = x 1 + Δ x , kan vi skrive at endringen i funksjonen er lik∆f= f (x 1 + Δx)- f (x 1 ). Og denne endringen skjedde, selvfølgelig, på rekkevidden av mulige verdier for funksjonen x2 og x1,.

Det antas at hvis verdiene x 2 og x 1, uendelig nær i størrelsesorden til hverandre, deretter Δ x \u003d x 2 - x 1, - uendelig liten.

Avledet definisjon: Derivativ funksjon f (x) ved punktet x 0 kalles grensen for inkrementforholdet til funksjonen Δ f på dette punktet til økningen av argumentet Δx når sistnevnte har en tendens til null (uendelig liten). Innspilt slik.

Lim Δx →0 (∆f(x0)/ Δx)=lim Δx→0 ((f (x + Δx)-f (x 0))/ Δx)=f ` (x0)

Å finne den deriverte kalles differensiering . Introdusert definisjon av en differensierbar funksjon : Funksjon f , som har en derivert ved hvert punkt i et eller annet intervall, kalles differensierbar på dette intervallet.

1.2 Den generelt aksepterte fysiske betydningen av den deriverte av en funksjon

Og nå om den allment aksepterte fysiske betydningen av derivatet .

om hennes såkalte fysisk, eller heller pseudofysisk og geometriske betydninger kan også leses i enhver lærebok om matematikk (materialanalyse, differensialregning). Jeg oppsummerer kort innholdet deres om emnet om hennes fysiske natur:

Den fysiske betydningen av derivatet x `(t ) fra en kontinuerlig funksjon x (t) ved punkt t 0 er den øyeblikkelige endringshastigheten til verdien av funksjonen, forutsatt at endringen i argumentet Δ t har en tendens til null.

Og for å forklare elevene dette fysisk mening lærere kan for eksempel så.

Tenk deg at du flyr i et fly og har en klokke på hånden. Når du flyr, har du en hastighet lik hastigheten til et fly?, - læreren henvender seg til publikum.

Ja, svarer elevene.

Og hva er hastigheten til deg og flyet i hvert øyeblikk på klokken din?

En hastighet lik hastigheten til et fly!, - svarer flinke og fremragende elever unisont.

Egentlig ikke, sier læreren. – Hastighet, som et fysisk konsept, er banen til et fly reist per tidsenhet (for eksempel per time (km/t)), og når du så på klokken, gikk det bare et øyeblikk. Dermed, øyeblikkelig hastighet (avstanden tilbakelagt på et øyeblikk) er den deriverte av funksjonen som beskriver flyets bane i tid. Øyeblikkelig hastighet - dette er den fysiske betydningen av derivatet.

1.3 Problemer med strengheten til metodikken for dannelsen av det matematiske konseptet av den deriverte av en funksjon.

EN publikumstudenter, saktmodig vant til utdanningssystemet,umiddelbart og fullstendiglære tvilsomme sannheter, som regel, spør ikke læreren flere spørsmål om konsept og fysisk betydning av derivatet. Men en nysgjerrig, dypt og selvstendig tenkende person kan ikke assimilere dette som en streng vitenskapelig sannhet. Han vil helt sikkert stille en rekke spørsmål, som han åpenbart ikke vil vente på et begrunnet svar på fra en lærer av noen rang. Spørsmålene er som følger.

1. Er eksakte (korrekte, vitenskapelige, har en objektiv verdi, kausal essens) slike konsepter (uttrykk) for "eksakt" vitenskap - matematikk som: øyeblikk - en uendelig liten verdi, aspirasjon til null, aspirasjon til uendelig, litenhet, uendelig, aspirasjon? Hvordan kan å vite noen enhet i størrelsen på endringen, opererer med ukjente konsepter, uten størrelse? Mer Den store Aristoteles (384-322 f.Kr.) i det fjerde kapittelet i avhandlingen "FYSIKK", fra uminnelige tider, sendte: "Hvis det uendelige, fordi det er uendelig, er ukjennelig, så er det uendelige i mengde eller størrelse ukjennelig, hvor stort det er, og det uendelige i natur er ukjennelig, hva er dets kvalitet. Siden begynnelsen er uendelig både i mengde og i natura, så er det umulig å kjenne de som er dannet av dem: Tross alt, først da tror vi at vi har visst komplisert ting når vi finner ut fra hva og hvor mange [begynnelser] den består av ... " Aristoteles, "Fysikk", 4 kap..

2. Hvordan kan derivater har en fysisk betydning identisk med en eller annen øyeblikkelig hastighet, hvis øyeblikkelig hastighet ikke er et fysisk konsept, men et veldig betinget, "unøyaktig" matematikkbegrep, fordi dette er grensen for en funksjon, og grensen er et betinget matematisk konsept?

3. Hvorfor er det matematiske konseptet av et punkt, som bare har én egenskap - koordinaten (som ikke har andre egenskaper: størrelse, areal, intervall) erstattet i den matematiske definisjonen av den deriverte med konseptet om området til et punkt, som faktisk har et intervall, bare ubestemt i størrelsesorden. For i begrepet en derivert er begrepene og mengdene Δ x = x 2 - x 1 og x 0 .

4. Riktig om i det hele tatt fysisk mening forklare med matematiske begreper som ikke har noen fysisk betydning?

5. Hvorfor årsakssammenheng (funksjon), avhengig av årsaken (argument, egenskap, parameter) må selv ha endelig betong definert i størrelsesorden grense endringer (konsekvenser) med en ubestemt liten, ikke har en størrelsesendring i størrelsen på årsaken?

6. Det er funksjoner i matematikk som ikke har en derivert (ikke-differensierbare funksjoner i ikke-glatt analyse). Dette betyr at i disse funksjonene, når argumentet (dets parameter, egenskap) endres, endres ikke funksjonen (matematisk objekt). Men det er ingen gjenstander i naturen som ikke vil endre seg når deres egne egenskaper endres. Hvorfor har da matematikk råd til slike friheter som bruken av en matematisk modell som ikke tar hensyn til universets grunnleggende årsak-virkningsforhold?

Jeg vil svare. I det foreslåtte, klassiske konseptet som finnes i matematikk – øyeblikkelig hastighet, avledet, fysisk og vitenskapelig generelt, er det ingen korrekt mening og kan ikke skyldes den uvitenskapelige uriktigheten og ukjenneligheten til begrepene som brukes for dette! Det eksisterer ikke i begrepet "uendelighet", og i begrepet "øyeblikk", og i begrepet "streve mot null eller uendelig".

Men den sanne, renset for de slappe konseptene i moderne fysikk og matematikk (tendens til null, uendelig verdi, uendelig, etc.)

DEN FYSISKE BETYDNING AV KONSEPTET EN DERIVATFUNKSJON FINNES!

Det er dette som skal diskuteres nå.

1.4 Ekte fysisk betydning og kausal struktur av derivatet.

For å forstå den fysiske essensen, «rist av ørene et tykt lag av århundregamle nudler», hengt stille av Gottfried Leibniz (1646-1716) og hans tilhengere, må man, som vanlig, vende seg til metodikken for kunnskap og strenge grunnprinsipper. Riktignok bør det bemerkes at på grunn av den rådende relativismen, for tiden, blir disse prinsippene ikke lenger fulgt i vitenskapen.

La meg avvike kort.

I følge dypt og oppriktig troende Isaac Newton (1643-1727) og Gottfried Leibniz skjedde ikke endring av gjenstander, endring av egenskapene deres uten Den Allmektiges deltakelse. Studiet av den allmektige kilden til variasjon av enhver naturvitenskapsmann var på den tiden full av forfølgelse av en mektig kirke og ble ikke utført for selvopprettholdelsesformål. Men allerede på 1800-tallet fant naturviterne ut det ÅRSAKSESSENS VED ENDRING AV EGENSKAPER TIL ENHVER OBJEKT - SAMLINGER. "Interaksjon er en årsakssammenheng i sin fulle utvikling", bemerket Hegel (1770-1831) «På nærmeste måte fremstår interaksjon som den gjensidige årsakssammenhengen av forutsatte, gjensidig betingende stoffer; hver er, i forhold til den andre, både en aktiv og en passiv substans. . F. Engels (1820-1895) spesifiserte: «Interaksjon er det første som kommer foran oss når vi vurderer å flytte (endre) materie som en helhet, sett fra moderne naturvitenskaps synspunkt ... Dermed bekrefter naturvitenskapen at ... at interaksjonen er den sanne causa finalis (den ultimate grunnårsaken) til ting. Vi kan ikke gå utover kunnskapen om denne interaksjonen nettopp fordi det ikke er noe mer å vite bak det. Ikke desto mindre begynte ingen av de lyse hodene på 1800-tallet å gjenoppbygge bygningen av naturvitenskap, etter å ha tatt for seg hovedårsaken til variabiliteten.Som et resultat forble bygningen den samme - med en grunnleggende "råttenhet". Som et resultat mangler fortsatt årsaksstrukturen (samspillet) i de aller fleste grunnleggende naturvitenskapelige begreper (energi, kraft, masse, ladning, temperatur, hastighet, momentum, treghet osv.), bl.a. matematisk konsept for den deriverte av en funksjon- som en matematisk modell som beskriver " mengden øyeblikkelig endring" av et objekt fra en "uendelig liten" endring i dets årsaksparameter. En teori om interaksjoner som kombinerer til og med de fire kjente grunnleggende interaksjonene (elektromagnetisk, gravitasjonsmessig, sterk, svak) er ennå ikke opprettet. Nå er det allerede "klippet opp" mye mer og "karmer" kryper ut overalt. Praksis - kriteriet for sannhet, bryter fullstendig alle de teoretiske modellene bygget på en slik bygning som hevder å være universelle og globale. Derfor vil det likevel være nødvendig å gjenoppbygge bygningen av naturvitenskap, fordi det ikke er noe annet sted å "svømme", vitenskapen har lenge utviklet seg med "poke" -metoden - dumt, kostbart og ineffektivt. Fremtidens fysikk, det 21. århundres fysikk og påfølgende århundrer, må bli fysikken til interaksjoner. Og i fysikk er det rett og slett nødvendig å introdusere et nytt grunnleggende konsept - "hendelse-interaksjon". Samtidig er det gitt et grunnleggende grunnlag for de grunnleggende konseptene og relasjonene til moderne fysikk og matematikk, og bare i dette tilfellet er rotformelen"causa finalis" (siste første årsak) formel å underbygge alle grunnformlene som fungerer i praksis. Betydningen av verdenskonstanter og mye mer klargjøres. Og det er meg for deg kjære leser, jeg skal vise deg nå.

Så, formulering av problemet.

La oss skissere inn generelt modell. La et abstrakt gjenstand for erkjennelse, gjenkjennelig i størrelse og natur (vi betegner det -u) er en relativ helhet som har en bestemt natur (dimensjon) og størrelse. Objektet og dets egenskaper er et kausalt system. Et objekt avhenger i verdi av verdien av dets egenskaper, parametere, og i dimensjon av deres dimensjon. Årsaksparameteren vil derfor bli betegnet med - x, og den undersøkende parameteren vil bli betegnet med - u. I matematikk er en slik årsakssammenheng formelt beskrevet av en funksjon (avhengighet) av dens egenskaper - parametere u = f (x). En skiftende parameter (egenskap til et objekt) innebærer en endring i verdien av funksjonen - et relativt heltall. Dessuten er den objektivt bestemte erkjente verdien av helheten (tallet) en relativ verdi oppnådd som en relasjon til dens individuelle del (til et eller annet mål generelt akseptert enkelt standard for helheten - u at, En enkelt standard er en formell verdi, men generelt sett akseptert som et objektivt sammenlignende mål.

Deretter u =k*u etasje . Den objektive verdien av parameteren (egenskapen) er forholdet til enhetsdelen (standarden) av parameteren (egenskapen) -x= Jeg* x dette. Dimensjonene til heltallet og dimensjonen til parameteren og deres enhetsstandarder er ikke identiske. Odds k , Jeger numerisk lik henholdsvis u, x, siden referanseverdiene til u ogx detteer singel. Som et resultat av interaksjoner endres parameteren og denne kausale endringen medfører følgelig en endring i funksjonen (relativ helhet, objekt, system).

Nødvendig for å definere formell den generelle avhengigheten av størrelsen på endringen av objektet på interaksjonene - årsakene til denne endringen. Denne uttalelsen av problemet gjenspeiler den sanne, kausale, kausale (ifølge F. Bacon) konsistente, tilnærmingen interaksjonsfysikk.

Beslutning og konsekvenser.

Interaksjon er en vanlig evolusjonsmekanisme - årsaken til variabilitet. Hva er egentlig en interaksjon (kortdistanse, langdistanse)? Fordi det generell teori interaksjon og en teoretisk modell for samspillet mellom objekter, bærere av tilsvarende egenskaper i naturvitenskap mangler fortsatt, vi må skape(mer om dette på).Men siden den tenkende leser vil vite om den sanne fysiske essensen av derivatet umiddelbart og nå, da vil vi klare oss med bare korte, men strenge og nødvendige konklusjoner fra dette arbeidet for å forstå essensen av derivatet.

"Enhver, selv den mest komplekse interaksjonen av objekter, kan representeres på en slik skala av tid og rom (utvidet i tid og vist i et koordinatsystem på en slik måte) at i hvert øyeblikk av tiden, på et gitt punkt i rommet , bare to objekter, to bærere av tilsvarende egenskaper, vil samhandle, og i dette øyeblikket vil de bare samhandle med sine to proporsjonale egenskaper.

« Enhver (lineær, ikke-lineær) endring av en egenskap (parameter) av en bestemt art til ethvert objekt kan dekomponeres (representeres) som et resultat (konsekvens) av hendelser - interaksjoner av samme art, som følger i formelle rom og tid, henholdsvis lineært eller ikke-lineært (jevnt eller ujevnt). Samtidig, i hver elementær, enkelt hendelse-interaksjon (nær interaksjon), endres egenskapen lineært fordi den skyldes den eneste årsaken til endringen - en elementær tilsvarende interaksjon (og derfor er det en funksjon av én variabel). ... Følgelig kan enhver endring (lineær eller ikke-lineær), som et resultat av interaksjoner, representeres som summen av elementære lineære endringer som følger i formelt rom og tid lineært eller ikke-lineært."

« Av samme grunn kan enhver interaksjon dekomponeres til endringskvanta (udelelige lineære stykker). Et elementært kvantum av enhver art (dimensjon) er resultatet av en elementær hendelsesinteraksjon i henhold til en gitt natur (dimensjon). Størrelsen og dimensjonen til et kvante bestemmes av størrelsen på den samvirkende egenskapen og arten av denne egenskapen. For eksempel, med en ideell, absolutt elastisk kollisjon av baller (uten å ta hensyn til termiske og andre energitap), utveksler kulene sine momenta (tilsvarende egenskaper). En endring i momentumet til en ball er en del av lineær energi (gitt til den eller tatt bort fra den) - det er et kvante som har dimensjonen til vinkelmomentet. Hvis baller med faste momentumverdier samhandler, er tilstanden til vinkelmomentverdien til hver ball på ethvert observert interaksjonsintervall den "tillatte" verdien (i analogi med synspunktene til kvantemekanikk).»

I fysisk og matematisk formalisme har det blitt allment akseptert at enhver egenskap til enhver tid og når som helst i rommet (for enkelhets skyld, la oss ta en lineær, en-koordinat) har en verdi som kan uttrykkes ved å skrive

(1)

hvor er dimensjonen.

Denne plata er blant annet essensen og dyp fysisk betydning av et komplekst tall, forskjellig fra den generelt aksepterte geometriske representasjonen (ifølge Gauss), som et punkt på planet..( Merk. forfatter)

På sin side kan endringsmodulen , betegnet i (1) som , uttrykkes, under hensyntagen til interaksjonshendelser, som

(2)

fysisk mening Dette grunnleggende for et stort antall av de mest kjente relasjonene innen naturvitenskap, rotformelen, er at det i tidsintervallet og i intervallet til et homogent lineært (enkeltkoordinat) rom var - tilsvarende hendelser-kortdistanse interaksjoner av samme art, som følger i tid og rom i samsvar med deres funksjoner -fordelinger av hendelser i rom - og tid. Hver av hendelsene endret seg til noen . Vi kan si at i nærvær av homogenitet av gjenstander for interaksjon på et visst intervall av rom og tid, snakker vi om om noen konstant, lineær, gjennomsnittlig verdi av elementær endring - avledet verdi om størrelsen på endringen , en formelt beskrevet funksjon som er karakteristisk for interaksjonsmediet og kjennetegner miljøet og interaksjonsprosessen av en viss art (dimensjon). Med tanke på at det kan være forskjellige typer distribusjonsfunksjoner av hendelser i rom og tid , så er det variable rom-tidsdimensjoner y som en integrert av distribusjonsfunksjonerhendelser i tid og plass , nemlig [tid - t] og[ koordinat - x ] kan være i potensen k(k - ikke lik null).

Hvis vi angir, i et tilstrekkelig homogent miljø, verdien av gjennomsnittlig tidsintervall mellom hendelser - , og verdien av gjennomsnittlig avstandsintervall mellom hendelser - , så kan vi skrive at det totale antallet hendelser i intervallet tid og rom er lik

(3)

Dette grunnleggende rekord(3) er i samsvar med naturvitenskapens grunnleggende rom-tidsidentiteter (Maxwells elektrodynamikk, hydrodynamikk, bølgeteori, Hookes lov, Plancks formel for energi, etc.) og er den sanne grunnårsaken til den logiske riktigheten av fysiske og matematiske konstruksjoner . Denne oppføringen (3) stemmer overens med den velkjente i matematikk "middelsetningen". La oss omskrive (2) under hensyntagen til (3)

(4) - for tidsforhold;

(5) - for romlige forhold.

Av disse ligningene (3-5) følger det generell lov om samhandling:

verdien av enhver endring i et objekt (egenskap) er proporsjonal med antall hendelser-interaksjoner (nære interaksjoner) som er i samsvar med det som forårsaker det. Samtidig samsvarer arten av endringen (typen av avhengighet i tid og rom) med arten av sekvensen i tid og rom av disse hendelsene.

Vi fikk generelle grunnleggende forhold for naturvitenskap for lineært rom og tid, fjernet fra begrepet uendelighet, aspirasjoner til null, øyeblikkelig hastighet, etc. Av samme grunn brukes ikke betegnelsene uendelig liten dt og dx av samme grunn. I stedet for dem, endelige Δti og Δxi . Fra disse generaliseringene (2-6) følger:

- den generelle fysiske betydningen av derivatet (differensial) (4) og gradient (5), så vel som "verdens" konstanter, som verdiene av den gjennomsnittlige (gjennomsnittlige) lineære endringen av funksjonen (objektet) med en enkelt hendelse -interaksjon av argumentet (egenskapen) som har en viss dimensjon (natur) med proporsjonale (av samme art) egenskaper til andre objekter. Forholdet mellom størrelsen på endringen og antall hendelser-interaksjoner som initierer den, er faktisk verdien av den deriverte av funksjonen, som gjenspeiler den kausale avhengigheten til objektet av egenskapen.

; (7) - derivert av funksjonen

; (8) - funksjonsgradient

- fysisk betydning av integralet, som summen av verdiene til funksjonen endres under hendelser etter argument

; (9)

- underbyggelse (bevis og forståelig fysisk betydning) av Lagranges teorem for endelige inkrementer(formler med endelige inkrementer), i mange henseender grunnleggende for differensialregning. For kl lineære funksjoner og det er verdier for deres integraler i uttrykk (4)(5) og . Deretter

(10)

(10.1)

Formel (10.1) er faktisk Lagranges formel for endelige trinn [ 5].

Når vi spesifiserer et objekt med et sett av dets egenskaper (parametere), får vi lignende avhengigheter for variabiliteten til objektet som en funksjon av variabiliteten til dets egenskaper (parametere) og klargjør fysisk betydningen av den partielle deriverte av en funksjon flere variable parametere.

(11)

Taylor formel for en funksjon av en variabel, som også har blitt klassisk,

har formen

(12)

Representerer dekomponeringen av en funksjon (formelt kausalsystem) til en serie der endringen er lik

dekomponeres i komponenter, i henhold til prinsippet om dekomponering av den generelle strømmen av hendelser av samme art til understrømmer med forskjellige følgende egenskaper. Hver delflyt karakteriserer lineariteten (ikke-lineariteten) til hendelsesforløpet i rom eller tid. Dette er fysisk betydning av Taylor-formelen . Så, for eksempel, identifiserer det første leddet i Taylors formel endringen i lineært følgende hendelser i tid (rom).

kl. Sekund på ikke-lineær følge se arrangementer osv.

- den fysiske betydningen av en konstant endringshastighet (bevegelse)[m/s], som har betydningen av en enkelt lineær forskyvning (endring, økning) av en verdi (koordinater, baner), med lineært følgende hendelser.

(13)

Av denne grunn er ikke hastighet en kausal avhengighet av et formelt valgt koordinatsystem eller tidsintervall. Hastighet er en uformell avhengighet av suksesjonsfunksjonen (fordelingen) i tid og rom av hendelser som fører til en endring i koordinater.

(14)

Og enhver kompleks bevegelse kan dekomponeres i komponenter, der hver komponent er avhengig av følgende lineære eller ikke-lineære hendelser. Av denne grunn utvides punktkinematikken (punktligningen) i samsvar med Lagrange- eller Taylor-formelen.

Det er når den lineære hendelsesforløpet endres til ikke-lineær at hastigheten blir akselerasjon.

- fysisk betydning av akselerasjon- , som en verdi numerisk lik en enkelt forskyvning , med en ikke-lineær rekkefølge av hendelser-interaksjoner som forårsaker denne forskyvningen . hvori, eller . Samtidig vil den totale forskyvningen ved ikke-lineær rekkefølge av hendelser (med en lineær endring i rekkefølgehastigheten av hendelser) for er lik (15) - formel kjent fra skolebenk

- den fysiske betydningen av et objekts akselerasjon av fritt fall- , som en konstant verdi, numerisk lik forholdet mellom den lineære kraften som virker på objektet (faktisk den såkalte "øyeblikkelige" lineære forskyvningen ), korrelert til det ikke-lineære antallet påfølgende hendelser - interaksjoner med miljøet i formell tid, forårsaker denne styrken.

Følgelig en verdi lik tallet ikke-lineær følge hendelser, eller relasjon - fikk navnet kroppsvekt , og verdien - kroppsvekt , som kreftene som virker på kroppen (på støtten) i hvile.La oss forklare det ovenfor, fordi mye brukt, grunnleggende fysisk begrep om masse i moderne fysikk er ikke kausalt strukturert fra noen interaksjoner i det hele tatt. Og fysikken kjenner til fakta om endringer i massen av kropper i løpet av visse reaksjoner (fysiske interaksjoner) inne i dem. For eksempel, under radioaktivt forfall, avtar den totale massen av materie.Når et legeme er i ro i forhold til jordoverflaten, endres ikke det totale antallet hendelser - interaksjoner av partikler i denne kroppen med et inhomogent medium med en gradient (ellers kalt et gravitasjonsfelt). Og dette betyr at kraften som virker på kroppen ikke endres, og treghetsmassen er proporsjonal med antall hendelser som forekommer gjenstander i kroppen og gjenstander i miljøet, lik forholdet mellom kraften og dens konstante akselerasjon .

Når et legeme beveger seg i et gravitasjonsfelt (faller), forblir forholdet mellom den skiftende kraften som virker på det og det skiftende antallet hendelser også konstant og forholdet - tilsvarer gravitasjonsmassen. dette innebærer analytisk identitet av treghets- og gravitasjonsmasse. Når et legeme beveger seg ikke-lineært, men horisontalt til jordens overflate (langs den sfæriske ekvipotensialoverflaten til jordens gravitasjonsfelt), så har gravitasjonsfeltet ingen gradient i denne banen. Men enhver kraft som virker på kroppen er proporsjonal med antall hendelser som både akselererer og bremser kroppen. Det vil si at ved horisontal bevegelse endres årsaken til kroppens bevegelse ganske enkelt. Og et ikke-lineært skiftende antall hendelser gir akselerasjon til kroppen og (Newtons 2. lov). Med en lineær sekvens av hendelser (både akselererende og bremsende), er kroppens hastighet konstant og den fysiske mengden, med en slik sekvens av hendelser, i fysikk kalles momentum.

- Den fysiske betydningen av vinkelmomentet, som kroppens bevegelse under påvirkning av hendelser som følger lineært i tid.

(16)

- Den fysiske betydningen av elektrisk ladning objekt introdusert i feltet, som forholdet mellom kraften som virker på den "ladede" gjenstanden (Lorentz-kraften) ved punktet av feltet og verdien av ladningen til feltet i feltet. For kraft er resultatet av samspillet mellom de proporsjonale egenskapene til objektet introdusert i feltet og objektet til feltet. Interaksjonen kommer til uttrykk i endringen av disse proporsjonale egenskapene til begge. Som et resultat av hver enkelt interaksjon, utveksler objekter moduler av deres endringer, og endrer hverandre, som er verdien av den "øyeblikkelige" kraften som virker på dem, som en avledning av den virkende kraften på et romintervall. Men i moderne fysikk har feltet, en spesiell type materie, dessverre ikke en ladning (den har ikke ladningsbærerobjekter), men har en annen karakteristikk - spenningen på intervallet (forskjellen i potensialer (ladninger) i et visst tomrom). Dermed, lade viser i sin størrelse hvor mange ganger kraften som virker på en ladet gjenstand avviker fra feltstyrken ved et gitt punkt (fra den "øyeblikkelige" kraften). (17)

Deretter den positive ladningen til objektet– blir sett på som en ladning som i absolutt verdi (større) overstiger ladningen til feltpunktet, og negativ - mindre enn ladningen til feltpunktet. Dette innebærer forskjellen i tegnene til kreftene til frastøting og tiltrekning. Som bestemmer tilstedeværelsen av en retning for den fungerende kraften til "frastøting - tiltrekning". Det viser seg at ladningen er kvantitativt lik antall hendelser-interaksjoner som endrer den i hver hendelse med størrelsen på feltstyrken. Størrelsen på ladningen, i samsvar med begrepet tall (verdi), er et forhold med en referanse, enhet, prøveladning -. Herfra . Når ladningen beveger seg, når hendelsene følger lineært (feltet er homogent), integralene , og når det homogene feltet beveger seg i forhold til ladningen. Derav de kjente relasjonene til fysikk ;

- Den fysiske betydningen av den elektriske feltstyrken, som forholdet mellom kraften som virker på det ladede objektet og antall pågående hendelser - interaksjoner mellom det ladede objektet og det ladede mediet. Det er en konstant karakteristikk av det elektriske feltet. Det er også den deriverte med hensyn til koordinaten til Lorentz-styrken.Elektrisk feltstyrke- dette er en fysisk størrelse numerisk lik kraften som virker på en enhetsladning i en enkelt hendelse-interaksjon () av et ladet legeme og et felt (ladet medium).

(18)

-Den fysiske betydningen av potensial, strøm, spenning og motstand (elektrisk Strømføringsevne).

Med hensyn til endringen i siktelsens størrelse

(19)

(20)

(21)

Hvor kalles potensialet til feltpunktet og det tas som energikarakteristikken til et gitt feltpunkt, men faktisk er det ladningen til feltpunktet, som avviker med en faktor av test-(referanse)ladningen. Eller: . Under samspillet mellom ladningen introdusert i feltet og ladningen til feltet av feltet, skjer en utveksling av tilsvarende egenskaper - ladninger. Utveksling er et fenomen beskrevet som "Lorentz-kraften virker på ladningen introdusert i feltet", lik i absolutt verdi størrelsen på endringen i ladningen, så vel som størrelsen på den relative endringen i potensialet til feltpunktet . Når en ladning introduseres i jordens felt, siste endring kan neglisjeres på grunn av den relative litenheten til denne endringen sammenlignet med den enorme verdien av den totale ladningen til et punkt i jordens felt.

Fra (20) er det merkbart at strømmen (I ) er den tidsderiverte av størrelsen på ladningsendringen over et tidsintervall, og endrer ladningen i størrelse i en hendelsesinteraksjon (kortdistanseinteraksjon) med ladningen til medium (feltpoeng).

* Inntil nå, i fysikk, er det antatt at hvis: en leder har et tverrsnitt av arealet S, er ladningen til hver partikkel lik q 0, og volumet til lederen, begrenset av tverrsnitt 1 og 2 og lengde (), inneholder partikler, hvor n er konsentrasjonen av partikler. Det er den totale kostnaden. Hvis partiklene beveger seg i samme retning med en gjennomsnittshastighet v, vil med tiden alle partiklene som er innelukket i volumet som vurderes, passere gjennom tverrsnittet 2. Derfor er strømstyrken

Det samme, kan vi si når det gjelder vår metodologiske generalisering (3-6), bare i stedet for antall partikler, bør vi si antall hendelser, som i betydning er mer sant, fordi det er mye mer ladede partikler (hendelser) i en leder enn for eksempel elektroner i et metall . Avhengighet vil bli omskrevet i skjemaet Derfor er gyldigheten av (3-6) og andre generaliseringer av dette arbeidet igjen bekreftet.

To punkter i et homogent felt, adskilt i rommet, med forskjellige potensialer (ladninger) har en potensiell energi i forhold til hverandre, som er numerisk lik arbeidet med å endre potensialet fra en verdi til . Det er lik deres forskjell.

. (22)

Ellers kan man skrive Ohms lov ved å rette likhetstegn

. (23)

Hvor i dette tilfellet er motstanden, som viser antall hendelser som kreves for å endre størrelsen på ladningen, forutsatt at ladningen i hvert tilfelle vil endres med en konstant verdi av den såkalte "øyeblikkelige" strømmen, avhengig av egenskapene til konduktøren. Av dette følger det at strømmen er en tidsderivert av mengden og spenningsbegrepet. Det bør huskes at i SI-enheter er elektrisk ledningsevne uttrykt i Siemens med dimensjonen: Cm \u003d 1 / Ohm \u003d Ampere / Volt \u003d kg -1 m -2 s ³A². Motstand i fysikk er den gjensidige av produktet av elektrisk ledningsevne (motstanden til en enhetsseksjon av materialet) og lengden på lederen. Hva kan skrives (i betydningen generalisering (3-6)) som

(24)

- Fysisk betydning av magnetfeltinduksjon. Empirisk ble det funnet at forholdet mellom den maksimale verdien av kraftmodulen som virker på en strømførende leder (Ampère force) og strømstyrken - I til lengden på lederen - l, ikke er avhengig av strømstyrken i lederen, heller ikke på lederens lengde. Det ble tatt som en karakteristikk av magnetfeltet på stedet hvor lederen er plassert - induksjonen av magnetfeltet, en verdi avhengig av strukturen til feltet - , som tilsvarer

(25)

og siden da.

Når vi roterer rammen i et magnetfelt, øker vi først og fremst antallet hendelser - interaksjoner mellom ladede objekter i rammen og ladede objekter i feltet. Av dette følger avhengigheten av EMF og strømmen i rammen av rotasjonshastigheten til rammen og feltstyrken nær rammen. Vi stopper rammen - det er ingen interaksjoner - det er ingen strøm. W virvle (endre) felt - strømmen gikk i rammen.

- Den fysiske betydningen av temperatur. I dag i fysikk er konseptet - et mål på temperatur ikke helt trivielt. En kelvin er lik 1/273,16 av den termodynamiske temperaturen til trippelpunktet til vann. Begynnelsen av skalaen (0 K) faller sammen med absolutt null. Konvertering til grader Celsius: ° С \u003d K -273,15 (temperaturen på trippelpunktet til vann er 0,01 ° C).
I 2005 ble definisjonen av kelvin raffinert. I det obligatoriske tekniske vedlegget til ITS-90-teksten, fastsatte den rådgivende komité for termometri kravene til isotopsammensetningen til vann ved implementering av temperaturen til trippelpunktet for vann.

Likevel, fysisk betydning og essensen av begrepet temperatur mye enklere og klarere. Temperatur, i sin essens, er en konsekvens av hendelser - interaksjoner som skjer inne i stoffet som har både "indre" og "ytre" årsaker. Flere hendelser - mer temperatur, færre arrangementer- lavere temperatur. Derav fenomenet temperaturendringer i mange kjemiske reaksjoner. P. L. Kapitsa pleide også å si "... målet for temperatur er ikke selve bevegelsen, men tilfeldigheten i denne bevegelsen. Tilfeldigheten i kroppens tilstand bestemmer dens temperaturtilstand, og denne ideen (som først ble utviklet av Boltzmann) om at en viss temperaturtilstand av kroppen er ikke i det hele tatt bestemt av bevegelsesenergien, men av tilfeldigheten til denne bevegelsen, og er det nye konseptet i beskrivelsen av temperaturfenomener, som vi må bruke ... " (Rapport fra prisvinneren Nobel pris 1978 Peter Leonidovich Kapitsa "Properties of liquid helium", lest på konferansen "Problems moderne vitenskap"ved Moskva-universitetet 21. desember 1944)
Under målestokken for kaos bør man forstå den kvantitative egenskapen til tallet hendelsesinteraksjoner per tidsenhet i en enhetsvolum av materie - dens temperatur. Det er ingen tilfeldighet at Den internasjonale komiteen for vekter og mål kommer til å endre definisjonen av kelvin (et mål på temperatur) i 2011 for å bli kvitt de vanskelige reproduserbare forholdene til «trippelpunktet av vann». I den nye definisjonen vil kelvinen bli uttrykt i termer av andre og verdien av Boltzmann-konstanten. Noe som nøyaktig tilsvarer den grunnleggende generaliseringen (3-6) i dette arbeidet. I dette tilfellet uttrykker Boltzmann-konstanten endringen i tilstanden til en viss mengde materie i løpet av en enkelt hendelse (se den fysiske betydningen av den deriverte), og størrelsen og dimensjonen til tiden karakteriserer antall hendelser i et tidsintervall . Dette beviser nok en gang det kausal struktur av temperatur - hendelser-interaksjoner. Som et resultat av hendelser-interaksjoner utveksler objekter i hver hendelse kinetisk energi (impulsøyeblikk som ved kollisjon av kuler), og mediet oppnår til slutt termodynamisk likevekt (termodynamikkens første lov).

- Den fysiske betydningen av energi og styrke.

I moderne fysikk har energien E en annen dimensjon (natur). Hvor mange naturer, så mange energier. For eksempel:

Kraft multiplisert med lengde (E ≈ F l≈N*m);

Trykk ganger volum (E ≈ P V≈N*m3/m2 ≈N*m);

Impulsen multiplisert med hastigheten (E ≈ p v≈kg * m / s * m / s ≈ (N * s 2) / m * (m / s * m / s) ≈ N * m);

Masse ganger kvadratet av hastigheten (E ≈ m v 2 ≈N*m);

Strøm multiplisert med spenning (E ≈ I U ≈

Fra disse relasjonene følger et raffinert energibegrep og en sammenheng med en enkelt standard (måleenhet) for energi, hendelser og forandring.

Energi, – er en kvantitativ karakteristikk av en endring i enhver fysisk parameter av materie under påvirkning av hendelser-interaksjoner av samme dimensjon, som forårsaker denne endringen. Ellers kan vi si at energi er en kvantitativ egenskap brukt i noen tid (i en viss avstand) på egenskapen til en ekstern virkende kraft. Størrelsen på energi (antall) er forholdet mellom størrelsen på en endring av en viss natur og den formelle, allment aksepterte standarden for energi av denne arten. Energidimensjonen er dimensjonen til den formelle, allment aksepterte energistandarden. Årsaksmessig avhenger energiens størrelse og dimensjon, dens endring i tid og rom, formelt av den totale størrelsen på endringen i forhold til standarden og standardens dimensjon, og uformelt avhenger av arten av rekkefølgen av hendelser.

Den totale verdien av endringen - avhenger av antall hendelser-interaksjoner som endrer verdien av den totale endringen i en hendelse med - den gjennomsnittlige enhetskraften - den deriverte verdien.

Standarden for energi av en viss art (dimensjon) må samsvare med det generelle konseptet standard (singularitet, fellesskap, uforanderlighet), har dimensjonen til hendelsessekvensfunksjonen i rom-tid og den endrede verdien.

Disse forholdene er faktisk vanlige for energien til enhver endring i materie.

Om styrke. og verdien eller faktisk er det den samme "umiddelbare" kraften som endrer energi.

. (26)

Altså under generelt konsept Treghet skal forstås som verdien av en elementær relativ endring i energi under påvirkning av en enkelt hendelsesinteraksjon (i motsetning til kraft, ikke korrelert med størrelsen på intervallet, men den antatte tilstedeværelsen av et invariansintervall for handlingen), som har et faktisk tidsintervall (mellomrom) av sin invarians frem til neste hendelse.

Et intervall er forskjellen mellom to tidspunkter for begynnelsen av denne og neste sammenlignbare hendelser-interaksjoner, eller to punkter-koordinater av hendelser i rommet.

Treghet har dimensjonen energi, fordi energi er den integrerte summen av verdiene av treghet i tid under påvirkning av hendelser-interaksjoner. Mengden energiforandring er lik summen av treghet

(27)

Ellers kan vi si at tregheten som tildeles en abstrakt egenskap av den th hendelsesinteraksjonen er energien til egenskapsendring, som hadde en viss tid med invarians til neste hendelsesinteraksjon;

- tidens fysiske betydning som en formell måte å vite størrelsen på varigheten av endringen (invarians), som en måte å måle størrelsen på varigheten i sammenligning med den formelle standarden for varigheten, som et mål på varigheten av endringen (varighet, varighet

Og det er på tide å stoppe mange spekulasjoner om tolkningen av dette grunnleggende naturvitenskapelige konseptet.

- fysisk betydning av koordinatrom , som verdier (mål) for endring (stier, avstander),

(32)

som har dimensjonen til en formell, enhetlig standard av rom (koordinater) og verdien av koordinaten, som en integral av funksjonen til rekkefølgen av hendelser i rommet lik Total koordinere standarder på intervallet. Ved måling av koordinaten, for enkelhets skyld, en lineær endring integrand en funksjon hvis integral er lik antall formelt valgte referanseintervaller for enhetskoordinater;

- fysisk betydning av alle grunnleggende fysiske egenskaper(parametere) som karakteriserer egenskapene til et medium under elementær tilsvarende interaksjon med det (dielektrisk og magnetisk permeabilitet, Plancks konstant, friksjonskoeffisienter og overflatespenning, spesifikk varme, verdenskonstanter, etc.).

Dermed oppnås nye avhengigheter som har en enkelt original notasjonsform og en enkelt metodisk ensartet kausal betydning. Og denne kausale betydningen erverves med introduksjonen av et globalt fysisk prinsipp – «hendelse-interaksjon» i naturvitenskapen.

Her, kjære leser, hva bør være i de mest generelle termer en ny matematikk utstyrt med fysisk mening og sikkerhet Og ny interaksjonsfysikk i det 21. århundre , renset for en sverm av irrelevante, uten sikkerhet, størrelse og dimensjon, og derav sunn fornuftsbegreper. Slikt f.eks. Hvordan klassisk derivert og øyeblikkelig hastighet – har lite til felles med det fysiske konseptet hastighet. Hvordan begrepet treghet - en viss evne til kroppen til å holde fart ... Hvordan treghetsreferansesystem (ISO) , som ikke har noe med begrepet en referanseramme(CO). For ISO, i motsetning til den vanlige referanserammen (CO) er ikke et objektivt system for kunnskap om størrelsen på bevegelse (endring). I forhold til ISO, etter sin definisjon, hviler eller beveger kroppen seg bare i en rett linje eller jevnt. Og også mange andre ting som dumt har blitt replikert i mange århundrer som urokkelige sannheter. Disse pseudo-sannhetene, som har blitt grunnleggende, er ikke lenger i stand til fundamentalt, konsekvent og kausalt beskrive med generelle avhengigheter tallrike fenomener i universet, som eksisterer og endrer seg i henhold til de ensartede naturlovene.