Betegnelser i aritmetisk progresjon. Algebra: Aritmetiske og geometriske progresjoner

Aritmetikk og geometrisk progresjon

Teoretisk informasjon

Teoretisk informasjon

	Aritmetisk progresjon	Geometrisk progresjon
Definisjon	Aritmetisk progresjon en n en sekvens kalles, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik det forrige medlemmet, lagt til med samme nummer d (d- progresjonsforskjell)	geometrisk progresjon b n en sekvens av tall som ikke er null kalles, hvor hvert ledd, fra det andre, er lik det forrige leddet multiplisert med det samme tallet q (q- nevner for progresjon)
Tilbakevendende formel	For enhver naturlig n a n + 1 = a n + d	For enhver naturlig n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
formel for n. ledd	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
karakteristisk egenskap
Summen av de første n leddene

Eksempler på oppgaver med kommentarer

Øvelse 1

I aritmetisk progresjon (en n) en 1 = -6, en 2

I henhold til formelen til det n-te leddet:

en 22 = en 1+ d (22 - 1) = en 1+ 21d

Etter tilstand:

en 1= -6, altså en 22= -6 + 21d.

Det er nødvendig å finne forskjellen i progresjoner:

d= en 2 – en 1 = -8 – (-6) = -2

en 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Svar : en 22 = -48.

Oppgave 2

Finn det femte leddet i den geometriske progresjonen: -3; 6;....

1. vei (bruker n-term formel)

I henhold til formelen til det n-te medlemmet av en geometrisk progresjon:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Fordi b 1 = -3,

2. vei (ved hjelp av rekursiv formel)

Siden nevneren for progresjonen er -2 (q = -2), så:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Svar : b 5 = -48.

Oppgave 3

I aritmetisk progresjon ( a n) a 74 = 34; en 76= 156. Finn det syttifemte leddet i denne progresjonen.

For en aritmetisk progresjon har den karakteristiske egenskapen formen .

Derfor:

.

Bytt ut dataene i formelen:

Svar: 95.

Oppgave 4

I aritmetisk progresjon ( a n ) a n= 3n - 4. Finn summen av de første sytten leddene.

For å finne summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon, brukes to formler:

.

Hvilken i denne saken mer praktisk å bruke?

Ved betingelse er formelen til det n-te medlemmet av den opprinnelige progresjonen kjent ( en n) en n= 3n - 4. Finnes umiddelbart og en 1, Og en 16 uten å finne d. Derfor bruker vi den første formelen.

Svar: 368.

Oppgave 5

I aritmetisk progresjon en n) en 1 = -6; en 2= -8. Finn det tjueandre leddet i progresjonen.

I henhold til formelen til det n-te leddet:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = en 1+ 21d.

Etter betingelse, hvis en 1= -6, da en 22= -6 + 21d. Det er nødvendig å finne forskjellen i progresjoner:

d= en 2 – en 1 = -8 – (-6) = -2

en 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Svar : en 22 = -48.

Oppgave 6

Flere påfølgende ledd av en geometrisk progresjon er registrert:

Finn leddet for progresjonen, angitt med bokstaven x .

Når vi løser, bruker vi formelen for n-te ledd b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 for geometriske progresjoner. Det første medlemmet av progresjonen. For å finne nevneren for progresjonen q, må du ta noen av disse termene for progresjonen og dele på den forrige. I vårt eksempel kan du ta og dele med. Vi får at q \u003d 3. I stedet for n erstatter vi 3 i formelen, siden det er nødvendig å finne det tredje leddet i en gitt geometrisk progresjon.

Ved å erstatte de funnet verdiene i formelen får vi:

.

Svar : .

Oppgave 7

Fra de aritmetiske progresjonene gitt av formelen til det n-te leddet, velg den som betingelsen er oppfylt for en 27 > 9:

Siden den angitte betingelsen må være oppfylt for den 27. terminen av progresjonen, erstatter vi 27 i stedet for n i hver av de fire progresjonene. I 4. progresjon får vi:

.

Svar: 4.

Oppgave 8

I aritmetisk progresjon en 1= 3, d = -1,5. Spesifiser høyeste verdi n , for hvilken ulikheten en n > -6.

Aritmetiske progresjonsproblemer har eksistert siden antikken. De dukket opp og krevde en løsning, fordi de hadde et praktisk behov.

Så i en av papyriene det gamle Egypt, som har matematisk innhold - Rhind-papyrusen (XIX århundre f.Kr.) - inneholder følgende oppgave: del ti mål brød i ti personer, forutsatt at forskjellen mellom hver av dem er en åttendedel av et mål.

Og i de matematiske verkene til de gamle grekerne er det elegante teoremer knyttet til aritmetisk progresjon. Så, Hypsicles of Alexandria (2. århundre, som kompilerte mange interessante problemer og la den fjortende boken til Euclids "Elements", formulerte ideen: "I en aritmetisk progresjon med et jevnt antall medlemmer, summen av medlemmene i 2. halvdel mer enn beløpet medlemmer av 1. på ruten 1/2 av antall medlemmer.

Sekvensen an er angitt. Tallene til sekvensen kalles dens medlemmer og er vanligvis angitt med bokstaver med indekser som indikerer serienummeret til dette medlemmet (a1, a2, a3 ... les: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" og så videre).

Rekkefølgen kan være uendelig eller endelig.

Hva er en aritmetisk progresjon? Det forstås som oppnådd ved å legge til forrige ledd (n) med samme tall d, som er forskjellen i progresjonen.

Hvis d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, så anses en slik progresjon å være økende.

En aritmetisk progresjon sies å være endelig hvis bare noen få av de første leddene tas i betraktning. Med et veldig stort antall medlemmer er dette allerede uendelig progresjon.

Enhver aritmetisk progresjon er gitt av følgende formel:

an =kn+b, mens b og k er noen tall.

Utsagnet, som er det motsatte, er helt sant: hvis sekvensen er gitt av en lignende formel, er dette nøyaktig en aritmetisk progresjon, som har egenskapene:

1. Hvert medlem av progresjonen er det aritmetiske gjennomsnittet av det forrige medlemmet og det neste.
2. Det motsatte: hvis, fra den andre, er hvert ledd det aritmetiske gjennomsnittet av forrige ledd og neste ledd, dvs. hvis betingelsen er oppfylt, er den gitte sekvensen en aritmetisk progresjon. Denne likheten er samtidig et tegn på progresjon, så det kalles vanligvis en karakteristisk egenskap ved progresjon.
   På samme måte er teoremet som reflekterer denne egenskapen sant: en sekvens er en aritmetisk progresjon bare hvis denne likheten er sann for noen av medlemmene i sekvensen, med start fra 2.

Den karakteristiske egenskapen for alle fire tall i en aritmetisk progresjon kan uttrykkes med formelen an + am = ak + al hvis n + m = k + l (m, n, k er tallene for progresjonen).

I en aritmetisk progresjon kan ethvert nødvendig (Nte) ledd bli funnet ved å bruke følgende formel:

For eksempel: det første leddet (a1) i en aritmetisk progresjon er gitt og er lik tre, og forskjellen (d) er lik fire. Du må finne det førtifemte leddet i denne progresjonen. a45 = 1+4(45-1)=177

Formelen an = ak + d(n - k) lar oss bestemme nte medlem aritmetisk progresjon gjennom noen av dets k-te ledd, forutsatt at det er kjent.

Summen av medlemmene av en aritmetisk progresjon (forutsatt at de 1. n medlemmene av den endelige progresjonen) beregnes som følger:

Sn = (a1+an) n/2.

Hvis det første leddet også er kjent, er en annen formel praktisk for beregning:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Summen av en aritmetisk progresjon som inneholder n ledd, beregnes som følger:

Valget av formler for beregninger avhenger av betingelsene for oppgavene og de første dataene.

Naturlige serier av alle tall som 1,2,3,...,n,...- det enkleste eksempelet aritmetisk progresjon.

I tillegg til den aritmetiske progresjonen er det også en geometrisk, som har sine egne egenskaper og egenskaper.

Leksjonstype: lære nytt materiale.

Leksjonens mål:

• utvidelse og utdyping av elevenes ideer om oppgaver løst ved hjelp av aritmetisk progresjon; organisering av søkeaktivitet til studenter når man utleder formelen for summen av de første n medlemmene av en aritmetisk progresjon;
• utvikling av ferdigheter til å selvstendig tilegne seg ny kunnskap, bruke allerede ervervet kunnskap for å oppnå oppgaven;
• utvikling av ønsket og behovet for å generalisere de oppnådde fakta, utviklingen av uavhengighet.

Oppgaver:

• generalisere og systematisere eksisterende kunnskap om emnet "Aritmetisk progresjon";
• utlede formler for å beregne summen av de første n medlemmene av en aritmetisk progresjon;
• lære hvordan man bruker de oppnådde formlene for å løse ulike problemer;
• gjøre elevene oppmerksomme på fremgangsmåten for å finne verdien av et numerisk uttrykk.

Utstyr:

• kort med oppgaver for arbeid i grupper og par;
• evaluering papir;
• presentasjon"Aritmetisk progresjon".

I. Aktualisering av grunnleggende kunnskap.

1. Selvstendig arbeid i par.

1. alternativ:

Definer en aritmetisk progresjon. Skriv ned en rekursiv formel som definerer en aritmetisk progresjon. Gi et eksempel på en aritmetisk progresjon og angi forskjellen.

Andre alternativ:

Skriv ned formelen for det n. leddet i en aritmetisk progresjon. Finn det 100. leddet i en aritmetisk progresjon ( en n}: 2, 5, 8 …
På dette tidspunktet to studenter motsatt side styrene utarbeider svar på de samme spørsmålene.
Studentene vurderer partnerens arbeid ved å sammenligne det med styret. (Bokblader med svar overleveres).

2. Spilløyeblikk.

Øvelse 1.

Lærer. Jeg unnfanget en viss aritmetisk progresjon. Still meg bare to spørsmål, slik at du etter svarene raskt kan navngi det 7. medlemmet i denne progresjonen. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Spørsmål fra studenter.

1. Hva er det sjette leddet i progresjonen og hva er forskjellen?
2. Hva er det åttende leddet i progresjonen og hva er forskjellen?

Hvis det ikke er flere spørsmål, kan læreren stimulere dem - et "forbud" mot d (forskjell), det vil si at det ikke er lov å spørre hva forskjellen er. Du kan stille spørsmål: hva er 6. termin i progresjonen og hva er 8. termin i progresjonen?

Oppgave 2.

Det er skrevet 20 tall på tavlen: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Læreren står med ryggen mot tavlen. Elevene sier nummeret på nummeret, og læreren ringer umiddelbart selv nummeret. Forklar hvordan jeg kan gjøre det?

Læreren husker formelen til n. termin a n \u003d 3n - 2 og, ved å erstatte de gitte verdiene av n, finner du de tilsvarende verdiene en n .

II. Redegjørelse av pedagogisk oppgave.

Jeg foreslår å løse et gammelt problem som dateres tilbake til det 2. årtusen f.Kr., funnet i egyptiske papyrus.

Oppgave:"La det bli sagt til dere: del 10 mål bygg mellom 10 personer, forskjellen mellom hver person og hans nabo er 1/8 av målet."

• Hvordan forholder dette problemet seg til temaet aritmetisk progresjon? (Hver neste person får 1/8 av målet mer, så forskjellen er d=1/8, 10 personer, så n=10.)
• Hva tror du tallet 10 betyr? (Summen av alle medlemmer av progresjonen.)
• Hva mer trenger du å vite for å gjøre det enkelt og enkelt å dele bygg etter tilstanden til problemet? (Første termin av progresjonen.)

Leksjonens mål- å oppnå avhengigheten av summen av vilkårene for progresjonen på antallet, den første terminen og forskjellen, og sjekke om problemet ble løst riktig i eldgamle tider.

Før vi utleder formelen, la oss se hvordan de gamle egypterne løste problemet.

Og de løste det slik:

1) 10 mål: 10 = 1 mål - gjennomsnittlig andel;
2) 1 mål ∙ = 2 mål - doblet gjennomsnitt dele.
doblet gjennomsnitt andelen er summen av andelene til 5. og 6. person.
3) 2 mål - 1/8 mål = 1 7/8 mål - to ganger andelen av den femte personen.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - andelen av den femte; og så videre, du kan finne andelen til hver forrige og etterfølgende person.

Vi får sekvensen:

III. Løsningen av oppgaven.

1. Arbeid i grupper

1. gruppe: Finn summen av 20 påfølgende naturlige tall: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Generelt

II gruppe: Finn summen av naturlige tall fra 1 til 100 (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Konklusjon:

III gruppe: Finn summen av naturlige tall fra 1 til 21.

Løsning: 1+21=2+20=3+19=4+18...

Konklusjon:

IV gruppe: Finn summen av naturlige tall fra 1 til 101.

Konklusjon:

Denne metoden for å løse de vurderte problemene kalles "Gauss-metoden".

2. Hver gruppe presenterer løsningen på problemet på tavlen.

3. Generalisering av de foreslåtte løsningene for en vilkårlig aritmetisk progresjon:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Vi finner denne summen ved å argumentere på samme måte:

4. Har vi løst oppgaven?(Ja.)

IV. Primær forståelse og anvendelse av de oppnådde formlene for å løse problemer.

1. Kontroller løsningen av et gammelt problem med formelen.

2. Anvendelse av formelen for å løse ulike problemer.

3. Øvelser for dannelse av evnen til å anvende formelen i problemløsning.

A) nr. 613

Gitt :( og n) - aritmetisk progresjon;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Finne: S 1500

Løsning: , og 1 = 1, og 1500 = 1500,

B) Gitt: ( og n) - aritmetisk progresjon;
(og n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Finne: n
Løsning:

V. Selvstendig arbeid med gjensidig verifisering.

Denis gikk på jobb som kurer. I den første måneden var lønnen hans 200 rubler, i hver påfølgende måned økte den med 30 rubler. Hvor mye tjente han på et år?

Gitt :( og n) - aritmetisk progresjon;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Finne: S 12
Løsning:

Svar: Denis mottok 4380 rubler for året.

VI. Lekseundervisning.

1. s. 4.3 - lær utledningen av formelen.
2. №№ 585, 623 .
3. Lag en oppgave som kan løses ved å bruke formelen for summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon.

VII. Oppsummering av leksjonen.

1. Scoreark

2. Fortsett setningene

• I dag i timen lærte jeg...
• Lærte formler...
• Jeg tror at …

3. Kan du finne summen av tall fra 1 til 500? Hvilken metode vil du bruke for å løse dette problemet?

Bibliografi.

1. Algebra, 9. klasse. Lærebok for utdanningsinstitusjoner. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskva: Opplysning, 2009.

Ja, ja: aritmetisk progresjon er ikke et leketøy for deg :)

Vel, venner, hvis du leser denne teksten, så forteller de interne cap-bevisene meg at du fortsatt ikke vet hva en aritmetisk progresjon er, men du vil virkelig (nei, slik: SÅÅÅÅ!) vite det. Derfor vil jeg ikke plage deg med lange introduksjoner og vil umiddelbart gå i gang.

For å starte, et par eksempler. Vurder flere sett med tall:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Hva har alle disse settene til felles? Ved første øyekast ingenting. Men faktisk er det noe. Nemlig: hvert neste element skiller seg fra det forrige med samme tall.

Døm selv. Det første settet er bare påfølgende tall, hvert av dem flere enn det forrige. I det andre tilfellet er forskjellen mellom tilstøtende tall allerede lik fem, men denne forskjellen er fortsatt konstant. I det tredje tilfellet er det røtter generelt. Imidlertid, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mens $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dvs. i så fall øker hvert neste element ganske enkelt med $\sqrt(2)$ (og ikke vær redd for at dette tallet er irrasjonelt).

Altså: alle slike sekvenser kalles bare aritmetiske progresjoner. La oss gi en streng definisjon:

Definisjon. En tallsekvens der hver neste skiller seg fra den forrige med nøyaktig samme mengde kalles en aritmetisk progresjon. Selve beløpet som tallene avviker med kalles progresjonsforskjellen og er oftest betegnet med bokstaven $d$.

Notasjon: $\left(((a)_(n)) \right)$ er selve progresjonen, $d$ er forskjellen.

Og bare et par viktige bemerkninger. For det første vurderes kun progresjon ryddig rekkefølge av tall: de er tillatt å lese strengt i den rekkefølgen de er skrevet i - og ingenting annet. Du kan ikke omorganisere eller bytte tall.

For det andre kan sekvensen i seg selv være enten endelig eller uendelig. For eksempel er mengden (1; 2; 3) åpenbart en endelig aritmetisk progresjon. Men hvis du skriver noe sånt som (1; 2; 3; 4; ...) - er dette allerede en uendelig progresjon. Ellipsen etter de fire antyder så å si at ganske mange tall går lenger. Uendelig mange, for eksempel. :)

Jeg vil også merke meg at progresjonene øker og avtar. Vi har allerede sett økende - samme sett (1; 2; 3; 4; ...). Her er eksempler på avtagende progresjoner:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: siste eksempel kan virke altfor komplisert. Men resten tror jeg du skjønner. Derfor introduserer vi nye definisjoner:

Definisjon. En aritmetisk progresjon kalles:

1. øker hvis hvert neste element er større enn det forrige;
2. avtagende, hvis tvert imot hvert påfølgende element er mindre enn det forrige.

I tillegg er det såkalte "stasjonære" sekvenser - de består av samme repeterende nummer. For eksempel (3; 3; 3; ...).

Bare ett spørsmål gjenstår: hvordan skille en økende progresjon fra en avtagende? Heldigvis avhenger alt her kun av tegnet til tallet $d$, dvs. progresjonsforskjeller:

1. Hvis $d \gt 0$, øker progresjonen;
2. Hvis $d \lt 0$, så er progresjonen åpenbart synkende;
3. Til slutt er det tilfellet $d=0$ - i dette tilfellet reduseres hele progresjonen til en stasjonær sekvens av identiske tall: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

La oss prøve å beregne forskjellen $d$ for de tre avtagende progresjonene ovenfor. For å gjøre dette er det nok å ta to tilstøtende elementer (for eksempel den første og andre) og trekke fra tallet til høyre, tallet til venstre. Det vil se slik ut:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Som du kan se, viste forskjellen seg i alle tre tilfellene å være negativ. Og nå som vi mer eller mindre har funnet ut av definisjonene, er det på tide å finne ut hvordan progresjoner beskrives og hvilke egenskaper de har.

Medlemmer av progresjonen og den tilbakevendende formelen

Siden elementene i sekvensene våre ikke kan byttes ut, kan de nummereres:

\[\venstre(((a)_(n)) \høyre)=\venstre\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \Ikke sant\)\]

Individuelle elementer i dette settet kalles medlemmer av progresjonen. De er indikert på denne måten ved hjelp av et tall: det første medlemmet, det andre medlemmet, og så videre.

I tillegg, som vi allerede vet, er nabomedlemmer av progresjonen relatert med formelen:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Høyrepil ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kort sagt, for å finne $n$th ledd i progresjonen, må du kjenne $n-1$th ledd og forskjellen $d$. En slik formel kalles tilbakevendende, fordi med dens hjelp kan du finne et hvilket som helst tall, bare kjenne den forrige (og faktisk alle de forrige). Dette er veldig upraktisk, så det er en mer vanskelig formel som reduserer enhver beregning til det første leddet og forskjellen:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \høyre)d\]

Du har sikkert vært borti denne formelen før. De liker å gi det i alle slags oppslagsverk og reshebniks. Og i enhver fornuftig lærebok i matematikk er den en av de første.

Jeg foreslår imidlertid at du øver deg litt.

Oppgave nummer 1. Skriv ned de tre første leddene i den aritmetiske progresjonen $\left(((a)_(n)) \right)$ hvis $((a)_(1))=8,d=-5$.

Løsning. Så vi kjenner det første leddet $((a)_(1))=8$ og progresjonsforskjellen $d=-5$. La oss bruke formelen som nettopp ble gitt og erstatte $n=1$, $n=2$ og $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\venstre(1-1 \høyre)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\venstre(2-1 \høyre)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\venstre(3-1 \høyre)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Svar: (8; 3; -2)

Det er alt! Merk at progresjonen vår er synkende.

Selvfølgelig kunne ikke $n=1$ blitt erstattet - vi kjenner allerede den første termen. Ved å erstatte enheten sørget vi imidlertid for at formelen vår fungerer selv for første termin. I andre tilfeller gikk alt ned på banal aritmetikk.

Oppgave nummer 2. Skriv ut de tre første leddene i en aritmetisk progresjon hvis dens syvende ledd er −40 og dens syttende ledd er −50.

Løsning. Vi skriver tilstanden til problemet på vanlige vilkår:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Ikke sant.\]

Jeg setter systemets tegn fordi disse kravene må oppfylles samtidig. Og nå legger vi merke til at hvis vi trekker den første likningen fra den andre likningen (vi har rett til å gjøre dette, fordi vi har et system), får vi dette:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\venstre(((a)_(1))+6d \right)=-50-\venstre(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Akkurat sånn fant vi progresjonsforskjellen! Det gjenstår å erstatte det funnet tallet i noen av likningene i systemet. For eksempel, i den første:

\[\begin(matrise) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrise)\]

Nå, når du kjenner det første leddet og forskjellen, gjenstår det å finne det andre og tredje leddet:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Klar! Problem løst.

Svar: (-34; -35; -36)

Legg merke til en merkelig egenskap ved progresjonen som vi oppdaget: hvis vi tar $n$th og $m$th leddene og trekker dem fra hverandre, får vi forskjellen av progresjonen multiplisert med tallet $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \venstre(n-m \høyre)\]

Enkelt, men veldig nyttig eiendom, som du definitivt trenger å vite - med dens hjelp kan du betydelig fremskynde løsningen av mange problemer i progresjon. Her er et godt eksempel på dette:

Oppgave nummer 3. Det femte leddet i den aritmetiske progresjonen er 8,4, og dets tiende ledd er 14,4. Finn det femtende leddet i denne progresjonen.

Løsning. Siden $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, og vi må finne $((a)_(15))$, legger vi merke til følgende:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Men etter betingelse $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, så $5d=6$, hvorfra har vi:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Svar: 20.4

Det er alt! Vi trengte ikke å komponere noen ligningssystemer og beregne det første leddet og forskjellen - alt ble bestemt på bare et par linjer.

La oss nå vurdere en annen type problem - søket etter negative og positive medlemmer av progresjonen. Det er ingen hemmelighet at hvis progresjonen øker, mens den første termen er negativ, vil før eller siden positive termer vises i den. Og omvendt: vilkårene for en avtagende progresjon vil før eller siden bli negative.

Samtidig er det langt fra alltid mulig å finne dette øyeblikket "på pannen", og sortere sekvensielt gjennom elementene. Ofte er problemer utformet på en slik måte at uten å kunne formlene, ville beregninger ta flere ark - vi ville bare sovne til vi fant svaret. Derfor vil vi prøve å løse disse problemene på en raskere måte.

Oppgave nummer 4. Hvor mange negative ledd i en aritmetisk progresjon -38,5; -35,8; …?

Løsning. Så $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, hvorfra vi umiddelbart finner forskjellen:

Merk at forskjellen er positiv, så progresjonen øker. Det første leddet er negativt, så på et tidspunkt vil vi faktisk snuble over positive tall. Spørsmålet er bare når dette vil skje.

La oss prøve å finne ut: hvor lenge (dvs. opp til hvilket naturlig tall $n$) negativiteten til begrepene er bevart:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Høyrepil ((a)_(1))+\venstre(n-1 \høyre)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \venstre(n-1 \høyre) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Høyrepil ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Den siste linjen trenger avklaring. Så vi vet at $n \lt 15\frac(7)(27)$. På den annen side vil bare heltallsverdier av tallet passe oss (også: $n\in \mathbb(N)$), så det største tillatte tallet er nøyaktig $n=15$, og ikke i noe tilfelle 16.

Oppgave nummer 5. I aritmetisk progresjon $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Finn nummeret på det første positive leddet i denne progresjonen.

Dette ville være nøyaktig det samme problemet som det forrige, men vi vet ikke $((a)_(1))$. Men nabobegrepene er kjent: $((a)_(5))$ og $((a)_(6))$, så vi kan enkelt finne progresjonsforskjellen:

I tillegg, la oss prøve å uttrykke det femte leddet i form av det første og forskjellen ved å bruke standardformelen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nå fortsetter vi analogt med det forrige problemet. Vi finner ut på hvilket tidspunkt i sekvensen vår positive tall vil vises:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Høyrepil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Minimum heltallsløsning av denne ulikheten er tallet 56.

Vennligst merk: i siste oppdrag alt kom ned til streng ulikhet, så alternativet $n=55$ vil ikke passe oss.

Nå som vi har lært å løse enkle problemer, la oss gå videre til mer komplekse. Men først, la oss lære en annen veldig nyttig egenskap ved aritmetiske progresjoner, som vil spare oss for mye tid og ulik celler i fremtiden. :)

Aritmetisk gjennomsnitt og like innrykk

Tenk på flere påfølgende ledd i den økende aritmetiske progresjonen $\left(((a)_(n)) \right)$. La oss prøve å merke dem på en talllinje:

Aritmetiske progresjonsmedlemmer på talllinjen

Jeg la spesielt merke til de vilkårlige medlemmene $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, og ikke noen $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ osv. Fordi regelen, som jeg nå skal fortelle deg, fungerer på samme måte for alle "segmenter".

Og regelen er veldig enkel. La oss huske den rekursive formelen og skrive den ned for alle merkede medlemmer:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Imidlertid kan disse likhetene omskrives annerledes:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Vel, hva så? Men det faktum at begrepene $((a)_(n-1))$ og $((a)_(n+1))$ ligger i samme avstand fra $((a)_(n)) $ . Og denne avstanden er lik $d$. Det samme kan sies om begrepene $((a)_(n-2))$ og $((a)_(n+2))$ - de er også fjernet fra $((a)_(n) )$ med samme avstand lik $2d$. Du kan fortsette i det uendelige, men bildet illustrerer meningen godt

Medlemmene av progresjonen ligger i samme avstand fra sentrum

Hva betyr dette for oss? Dette betyr at du kan finne $((a)_(n))$ hvis nabotallene er kjent:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vi har utledet et fantastisk utsagn: hvert medlem av en aritmetisk progresjon er lik det aritmetiske gjennomsnittet til nabomedlemmene! Dessuten kan vi avvike fra $((a)_(n))$ til venstre og høyre, ikke med ett trinn, men med $k$ trinn - og fortsatt vil formelen være riktig:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]

De. vi kan enkelt finne noen $((a)_(150))$ hvis vi kjenner $((a)_(100))$ og $((a)_(200))$, fordi $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Ved første øyekast kan det virke som at dette faktum ikke gir oss noe nyttig. Men i praksis er mange oppgaver spesielt "skjerpet" for bruk av det aritmetiske gjennomsnittet. Ta en titt:

Oppgave nummer 6. Finn alle verdiene av $x$ slik at tallene $-6((x)^(2))$, $x+1$ og $14+4((x)^(2))$ er påfølgende medlemmer av en aritmetisk progresjon (i spesifisert rekkefølge).

Løsning. Siden disse tallene er medlemmer av en progresjon, er den aritmetiske gjennomsnittsbetingelsen oppfylt for dem: det sentrale elementet $x+1$ kan uttrykkes i form av naboelementer:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Det ble klassisk kvadratisk ligning. Dens røtter: $x=2$ og $x=-3$ er svarene.

Svar: -3; 2.

Oppgave nummer 7. Finn verdiene til $$ slik at tallene $-1;4-3;(()^(2))+1$ danner en aritmetisk progresjon (i den rekkefølgen).

Løsning. Igjen uttrykker vi mellomleddet i form av det aritmetiske gjennomsnittet av naboledd:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \venstre| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

En annen andregradsligning. Og igjen to røtter: $x=6$ og $x=1$.

Svar: 1; 6.

Hvis du i ferd med å løse et problem får noen brutale tall, eller du ikke er helt sikker på riktigheten av svarene som er funnet, så er det et fantastisk triks som lar deg sjekke: løste vi problemet riktig?

La oss si at vi i oppgave 6 fikk svar -3 og 2. Hvordan kan vi sjekke at disse svarene er riktige? La oss bare koble dem til den opprinnelige tilstanden og se hva som skjer. La meg minne deg på at vi har tre tall ($-6(()^(2))$, $+1$ og $14+4(()^(2))$), som skal danne en aritmetisk progresjon. Erstatt $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Høyrepil \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Vi fikk tallene -54; −2; 50 som avviker med 52 er utvilsomt en aritmetisk progresjon. Det samme skjer for $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Høyrepil \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Igjen en progresjon, men med en forskjell på 27. Dermed er problemet løst riktig. De som ønsker det kan sjekke den andre oppgaven på egen hånd, men jeg vil si med en gang: alt er riktig også der.

Generelt, mens vi løste de siste oppgavene, snublet vi over en annen interessant fakta, som også må huskes:

Hvis tre tall er slik at det andre er gjennomsnittet av det første og siste, danner disse tallene en aritmetisk progresjon.

I fremtiden vil forståelsen av denne uttalelsen tillate oss å bokstavelig talt "konstruere" de nødvendige progresjonene basert på tilstanden til problemet. Men før vi engasjerer oss i en slik "konstruksjon", bør vi ta hensyn til enda et faktum, som følger direkte av det som allerede er vurdert.

Gruppering og sum av elementer

La oss gå tilbake til talllinjen igjen. Vi noterer der flere medlemmer av progresjonen, mellom hvilke kanskje. verdt mange andre medlemmer:

6 elementer markert på talllinjen

La oss prøve å uttrykke "venstre hale" i form av $((a)_(n))$ og $d$, og "høyre hale" i form av $((a)_(k))$ og $ d$. Det er veldig enkelt:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Merk nå at følgende summer er like:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Enkelt sagt, hvis vi som en start betrakter to elementer av progresjonen, som totalt er lik et eller annet tall $S$, og så begynner vi å gå fra disse elementene i motsatte retninger (mot hverandre eller omvendt for å bevege oss bort), deretter summene av elementene som vi kommer til å snuble over vil også være like$S$. Dette kan best representeres grafisk:

Samme innrykk gir like summer

Forståelse denne faktaen vil tillate oss å løse problemer grunnleggende mer høy level kompleksitet enn de som er omtalt ovenfor. For eksempel disse:

Oppgave nummer 8. Bestem forskjellen på en aritmetisk progresjon der første ledd er 66, og produktet av andre og tolvte ledd er minst mulig.

Løsning. La oss skrive ned alt vi vet:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Så vi vet ikke forskjellen på progresjonen $d$. Faktisk vil hele løsningen bygges rundt forskjellen, siden produktet $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ kan skrives om som følger:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \venstre(d+66 \høyre)\cdot \venstre(d+6 \høyre). \end(align)\]

For de i tanken: Jeg har tatt fellesfaktor 11 ut av den andre braketten. Dermed er det ønskede produktet en kvadratisk funksjon med hensyn til variabelen $d$. Tenk derfor på funksjonen $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafen vil være en parabel med grener opp, fordi hvis vi åpner parentesene får vi:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Som du kan se, er koeffisienten på høyeste ledd 11 - dette er positivt tall, så vi har egentlig å gjøre med en parabel med grener opp:

graf av en kvadratisk funksjon - parabel

Vær oppmerksom på: denne parabelen tar minimumsverdien i toppunktet med abscissen $((d)_(0))$. Selvfølgelig kan vi beregne denne abscissen i henhold til standardskjemaet (det er en formel $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), men det ville være mye mer rimelig å legg merke til at ønsket toppunkt ligger på aksesymmetrien til parablen, så punktet $((d)_(0))$ er like langt fra røttene til ligningen $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Derfor hadde jeg ikke hastverk med å åpne brakettene: i den opprinnelige formen var røttene veldig, veldig enkle å finne. Derfor er abscissen lik det aritmetiske gjennomsnittet av tallene −66 og −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Hva gir oss det oppdagede tallet? Med det tar det nødvendige produktet minste verdi(Vi har forresten ikke beregnet $((y)_(\min ))$ - vi er ikke pålagt å gjøre dette). Samtidig er dette tallet forskjellen på den innledende progresjonen, dvs. vi fant svaret :)

Svar: -36

Oppgave nummer 9. Sett inn tre tall mellom tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac(1)(6)$ slik at de sammen med de gitte tallene danner en aritmetisk progresjon.

Løsning. Faktisk må vi lage en sekvens med fem tall, med den første og siste nummer allerede kjent. Angi de manglende tallene med variablene $x$, $y$ og $z$:

\[\venstre(((a)_(n)) \right)=\venstre\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Merk at tallet $y$ er "midten" av sekvensen vår - det er like langt fra tallene $x$ og $z$, og fra tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac (1)(6)$. Og hvis vi er med fra tallene $x$ og $z$ dette øyeblikket vi kan ikke få $y$, da er situasjonen annerledes med endene av progresjonen. Husk det aritmetiske gjennomsnittet:

Når vi nå kjenner $y$, vil vi finne de gjenværende tallene. Merk at $x$ ligger mellom $-\frac(1)(2)$ og $y=-\frac(1)(3)$ nettopp funnet. Derfor

Ved å argumentere på samme måte finner vi det gjenværende tallet:

Klar! Vi fant alle tre tallene. La oss skrive dem ned i svaret i den rekkefølgen de skal settes inn mellom de opprinnelige tallene.

Svar: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Oppgave nummer 10. Mellom tallene 2 og 42 setter du inn flere tall som sammen med de gitte tallene danner en aritmetisk progresjon, hvis det er kjent at summen av det første, andre og siste av de innsatte tallene er 56.

Løsning. En enda vanskeligere oppgave, som imidlertid løses på samme måte som de foregående – gjennom det aritmetiske gjennomsnittet. Problemet er at vi ikke vet nøyaktig hvor mange tall vi skal sette inn. Derfor antar vi for nøyaktighetens skyld at etter innsetting vil det være nøyaktig $n$ tall, og det første av dem er 2, og det siste er 42. I dette tilfellet kan den ønskede aritmetiske progresjonen representeres som:

\[\venstre(((a)_(n)) \høyre)=\venstre\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Vær imidlertid oppmerksom på at tallene $((a)_(2))$ og $((a)_(n-1))$ er hentet fra tallene 2 og 42 som står i kantene med ett skritt mot hverandre , dvs. til midten av sekvensen. Og dette betyr det

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Men så kan uttrykket ovenfor omskrives slik:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \venstre(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Når vi kjenner $((a)_(3))$ og $((a)_(1))$, kan vi enkelt finne progresjonsforskjellen:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\venstre(3-1 \høyre)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Høyrepil d=5. \\ \end(align)\]

Det gjenstår bare å finne de gjenværende medlemmene:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Dermed vil vi allerede på 9. trinn komme til venstre ende av sekvensen - tallet 42. Totalt måtte bare 7 tall settes inn: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Svar: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstoppgaver med progresjoner

Avslutningsvis vil jeg ta for meg et par relativt enkle problemer. Vel, som enkle: For de fleste elever som studerer matematikk på skolen og ikke har lest det som er skrevet ovenfor, kan disse oppgavene virke som en gest. Likevel er det nettopp slike oppgaver som kommer over i OGE og BRUK i matematikk, så jeg anbefaler at du setter deg inn i dem.

Oppgave nummer 11. Teamet produserte 62 deler i januar, og i hver påfølgende måned produserte de 14 flere deler enn i den forrige. Hvor mange deler produserte brigaden i november?

Løsning. Det er klart at antall deler, malt etter måned, vil være en økende aritmetisk progresjon. Og:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\venstre(n-1 \høyre)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November er den 11. måneden i året, så vi må finne $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Derfor skal 202 deler produseres i november.

Oppgave nummer 12. Bokbinderverkstedet bandt inn 216 bøker i januar, og hver måned bandt det inn 4 flere bøker enn forrige måned. Hvor mange bøker bandt verkstedet i desember?

Løsning. Alt det samme:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\venstre(n-1 \høyre)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember er den siste, 12. måneden i året, så vi ser etter $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Dette er svaret – 260 bøker bindes inn i desember.

Vel, hvis du har lest så langt, skynder jeg meg å gratulere deg: du har fullført "Young fighter-kurset" i aritmetiske progresjoner. Du kan trygt gå til neste leksjon, hvor vi skal studere progresjonssumformelen, samt viktige og svært nyttige konsekvenser av den.

Eller aritmetikk - dette er en type ordnet numerisk sekvens, hvis egenskaper studeres i et skolealgebrakurs. Denne artikkelen diskuterer i detalj spørsmålet om hvordan man finner summen av en aritmetisk progresjon.

Hva er denne progresjonen?

Før du går videre til vurderingen av spørsmålet (hvordan finne summen av en aritmetisk progresjon), er det verdt å forstå hva som vil bli diskutert.

Enhver sekvens av reelle tall som oppnås ved å legge til (subtrahere) en verdi fra hvert forrige tall kalles en algebraisk (aritmetisk) progresjon. Denne definisjonen, oversatt til matematikkspråket, har formen:

Her er i ordenstallet til elementet i serien a i . Dermed kan du enkelt gjenopprette hele serien hvis du bare kjenner ett startnummer. Parameteren d i formelen kalles progresjonsforskjellen.

Det kan enkelt vises at følgende likhet gjelder for serien med tall som vurderes:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Det vil si, for å finne verdien av det n-te elementet i rekkefølge, legg til differansen d til det første elementet a 1 n-1 ganger.

Hva er summen av en aritmetisk progresjon: formel

Før du gir formelen for den angitte mengden, er det verdt å vurdere en enkel spesielt tilfelle. Gitt en progresjon av naturlige tall fra 1 til 10, må du finne summen deres. Siden det er få ledd i progresjonen (10), er det mulig å løse oppgaven front-on, det vil si summere alle elementene i rekkefølge.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Det er verdt å vurdere en interessant ting: siden hvert ledd er forskjellig fra det neste med samme verdi d \u003d 1, vil den parvise summeringen av den første med den tiende, den andre med den niende, og så videre gi det samme resultatet . Egentlig:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Som du kan se, er det bare 5 av disse summene, det vil si nøyaktig to ganger mindre enn antall elementer i serien. Deretter multipliserer du antall summer (5) med resultatet av hver sum (11), vil du komme til resultatet oppnådd i det første eksemplet.

Hvis vi generaliserer disse argumentene, kan vi skrive følgende uttrykk:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Dette uttrykket viser at det slett ikke er nødvendig å summere alle elementene på rad, det er nok å vite verdien av den første a 1 og den siste a n , og også totalt antall vilkår n.

Det antas at Gauss først tenkte på denne likheten da han lette etter en løsning på problemet satt av skolelæreren: å summere de første 100 heltallene.

Sum av elementer fra m til n: formel

Formelen gitt i forrige avsnitt svarer på spørsmålet om hvordan man finner summen av en aritmetisk progresjon (av de første elementene), men ofte i oppgaver er det nødvendig å summere en serie tall i midten av progresjonen. Hvordan gjøre det?

Den enkleste måten å svare på dette spørsmålet på er ved å vurdere følgende eksempel: la det være nødvendig å finne summen av ledd fra mnd til nth. For å løse oppgaven bør et gitt segment fra m til n av progresjonen representeres som en ny tallserie. I slike representasjon m-th ledd a m vil være det første, og n vil være nummerert n-(m-1). I dette tilfellet, ved å bruke standardformelen for summen, vil følgende uttrykk oppnås:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Eksempel på bruk av formler

Når du vet hvordan du finner summen av en aritmetisk progresjon, er det verdt å vurdere et enkelt eksempel på bruk av formlene ovenfor.

Nedenfor er gitt numerisk rekkefølge, bør du finne summen av medlemmene, fra den 5. og slutter med den 12.:

De oppgitte tallene indikerer at differansen d er lik 3. Ved å bruke uttrykket for det n'te elementet kan du finne verdiene til de 5. og 12. medlemmene av progresjonen. Det viser seg:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Når du kjenner verdiene til tallene på slutten av den algebraiske progresjonen som vurderes, og også vet hvilke tall i serien de opptar, kan du bruke formelen for summen oppnådd i forrige avsnitt. Få:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Det er verdt å merke seg at denne verdien kan oppnås annerledes: først, finn summen av de første 12 elementene ved å bruke standardformelen, beregn deretter summen av de første 4 elementene med samme formel, og trekk deretter den andre fra den første summen .