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Paradoxo de Monty Hall quando 2 é maior que 3. Paradoxo de Monty Hall: formulação e explicação

sobre loterias

Este jogo há muito adquiriu um caráter de massa e tornou-se parte integrante do vida moderna. E embora a loteria esteja expandindo cada vez mais suas capacidades, muitas pessoas ainda a veem apenas como uma forma de enriquecer. Deixe e não livre e não confiável. Por outro lado, como observou um dos heróis de Jack London, em jogatina não se pode deixar de levar em conta os fatos - às vezes as pessoas têm sorte.

Matemática do caso. História da teoria da probabilidade

Alexandre Bufetov

Transcrição e gravação em vídeo de palestra do Doutor em Ciências Físicas e Matemáticas, apresentador investigador Steklov Institute of Mathematics, Pesquisador Líder, IPTP RAS, Professor, Faculdade de Matemática, Escola Superior de Economia, Diretor de Pesquisa Centro Nacional pesquisa científica na França (CNRS) por Alexander Bufetov, entregue como parte da série Polit.ru Public Lectures em 6 de fevereiro de 2014.

A ilusão de regularidade: por que a aleatoriedade parece antinatural

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Determinismo

O determinismo é um conceito científico geral e filosofia sobre causalidade, padrões, conexão genética, interação e condicionalidade de todos os fenômenos e processos que ocorrem no mundo.

Deus é estatística

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o que é determinismo

Se as condições iniciais do sistema forem conhecidas, é possível, usando as leis da natureza, prever seu estado final.

O problema da noiva exigente

Huseyn-Zade S. M.

paradoxo de Zenão

É possível ir de um ponto a outro no espaço? O antigo filósofo grego Zeno de Elea acreditava que o movimento não poderia ser realizado de forma alguma, mas como ele argumentou isso? Colm Keller fala sobre como resolver o famoso paradoxo de Zenão.

Paradoxos de conjuntos infinitos

Imagine um hotel com um número infinito de quartos. Um ônibus chega com um número infinito de futuros hóspedes. Mas colocá-los todos não é tão fácil. Este é um aborrecimento sem fim e os convidados estão sempre cansados. E se você não conseguir cumprir a tarefa, poderá perder uma quantia infinita de dinheiro! O que fazer?

A dependência da altura da criança em relação à altura dos pais

Os pais jovens, é claro, querem saber a altura de seus filhos quando adultos. As estatísticas matemáticas podem oferecer uma relação linear simples para estimar aproximadamente a altura das crianças, com base apenas na altura do pai e da mãe, e também indicar a precisão de tal estimativa.

O paradoxo de Monty Hall é provavelmente o paradoxo mais famoso da teoria da probabilidade. Existem muitas variações dele, por exemplo, o paradoxo dos três prisioneiros. E há muitas interpretações e explicações desse paradoxo. Mas aqui, gostaria de dar não apenas uma explicação formal, mas mostrar a base "física" do que acontece no paradoxo de Monty Hall e outros como ele.

A redação clássica é:

“Você está no jogo. Há três portas à sua frente. Um deles tem um prêmio. O anfitrião convida você a tentar adivinhar onde está o prêmio. Você aponta para uma das portas (ao acaso).

Formulação do Paradoxo de Monty Hall

O anfitrião sabe onde está o prêmio. Ele, enquanto, não abre aquela porta em que você mostrou. Mas abre mais uma das portas restantes para você, atrás da qual não há prêmio. A questão é: você deve mudar sua escolha ou permanecer com a mesma decisão?

Acontece que, se você apenas mudar sua escolha, suas chances de ganhar aumentarão!

O paradoxo da situação é óbvio. Tudo o que acontece parece ser aleatório. Não importa se você mudar de ideia ou não. Mas isso não.

Explicação "física" da natureza desse paradoxo

Não vamos, a princípio, entrar em sutilezas matemáticas, mas simplesmente olhar para a situação sem preconceitos.

Neste jogo, você só faz primeiro seleção aleatória. O anfitrião então lhe diz Informações adicionais , o que permite aumentar suas chances de ganhar.

Como o facilitador fornece informações adicionais? Muito simples. Observe que ele abre nenhum porta.

Vamos, para simplificar (embora haja um elemento de astúcia nisso), considere uma situação mais provável: você apontou para uma porta que não tem um prêmio. Então, atrás de uma das portas restantes, o prêmio Há. Ou seja, o líder não tem escolha. Abre uma porta muito específica. (Você apontou para um, há um prêmio atrás do outro, só resta uma porta que o anfitrião pode abrir.)

É nesse momento de escolha significativa que ele lhe dá informações que você pode usar.

EM este caso, o uso da informação é que você muda a decisão.

A propósito, sua segunda escolha já é demais não acidental(ou melhor, não tão aleatório quanto a primeira escolha). Afinal, você escolhe entre portas fechadas, e uma já está aberta e não arbitrário.

Na verdade, já depois dessas discussões, você pode ter a sensação de que é melhor mudar de ideia. É realmente. Vamos mostrá-lo mais formalmente.

Uma explicação mais formal do paradoxo de Monty Hall

Na verdade, sua primeira escolha aleatória divide todas as portas em dois grupos. Atrás da porta que você escolheu, o prêmio está localizado com probabilidade de 1/3, atrás das outras duas - com probabilidade de 2/3. Agora o anfitrião faz uma mudança: ele abre uma porta no segundo grupo. E agora toda a probabilidade de 2/3 se aplica apenas à porta fechada no grupo de duas portas.

É claro que agora é mais lucrativo para você mudar de ideia.

Embora, é claro, você ainda tenha uma chance de perder.

No entanto, alterar sua seleção aumenta suas chances de ganhar.

O Paradoxo de Monty Hall

O paradoxo de Monty Hall é um problema probabilístico, cuja solução (segundo alguns) é contrária ao senso comum. Formulação da Tarefa:

Imagine que você se tornou um participante de um jogo no qual deve escolher uma das três portas. Atrás de uma das portas está um carro, atrás das outras duas portas estão cabras.
Você escolhe uma das portas, por exemplo, a número 1, depois disso o anfitrião, que sabe onde está o carro e onde estão as cabras, abre uma das portas restantes, por exemplo, a número 3, atrás da qual está uma cabra.

O paradoxo de Monty Hall. A matemática mais imprecisa de todos os tempos

Depois disso, ele pergunta se você gostaria de mudar sua escolha e escolher a porta número 2.
Suas chances de ganhar um carro aumentarão se você aceitar a oferta do anfitrião e mudar sua escolha?

Ao resolver um problema, muitas vezes assume-se erroneamente que as duas escolhas são independentes e, portanto, a probabilidade não mudará quando a escolha mudar. Na verdade, este não é o caso, como você pode ver lembrando-se da fórmula de Bayes ou observando os resultados da simulação abaixo:

Aqui: "estratégia 1" - não altere a escolha, "estratégia 2" - altere a escolha. Teoricamente, para o caso com 3 portas, a distribuição de probabilidade é 33,(3)% e 66,(6)%. Simulações numéricas devem dar resultados semelhantes.

links

O Paradoxo de Monty Hall- uma tarefa da seção de teoria da probabilidade, em cuja solução há uma contradição com o senso comum.

Origem[editar | editar texto wiki]

No final de 1963, foi ao ar novo talk show intitulado "Vamos fazer um acordo" ("Vamos fazer um acordo"). De acordo com o cenário do quiz, os telespectadores da plateia receberam prêmios pelas respostas corretas, podendo multiplicá-los fazendo novas apostas, mas arriscando os ganhos já existentes. Os fundadores do show foram Stefan Hatosu e Monty Hall, o último dos quais se tornou seu anfitrião permanente por muitos anos.

Uma das tarefas dos participantes era o sorteio do Grande Prêmio, que ficava atrás de uma das três portas. Para os dois restantes houve prémios de incentivo, por sua vez, o apresentador sabia a ordem da sua localização. O competidor teve que determinar a porta vencedora apostando todos os seus ganhos no show.

Quando o adivinhador decidia o número, o anfitrião abria uma das portas restantes, atrás da qual havia um prêmio de incentivo, e oferecia ao jogador a troca da porta originalmente selecionada.

Formulações[editar | editar texto wiki]

Como um problema específico, o paradoxo foi colocado pela primeira vez por Steve Selvin em 1975, que apresentou ao The American Statistician e ao apresentador Monty Hall a pergunta: as chances do competidor de ganhar o Grande Prêmio mudarão se, após abrir a porta com incentivo, ele mudará a escolha dele? Após este incidente, surgiu o conceito de "Monty Hall Paradox".

Em 1990, a versão mais comum do paradoxo foi publicada na Parade Magazine (Revista "Parade") com um exemplo:

“Imagine-se em um jogo de TV onde você tem que dar preferência a uma das três portas: cabras atrás de duas delas e um carro atrás da terceira. Quando você faz uma escolha, assumindo, por exemplo, que a porta vencedora é a número um, o anfitrião abre uma das duas portas restantes, por exemplo, a número três, atrás da qual está uma cabra. Você tem a chance de mudar sua seleção para outra porta? Você pode aumentar suas chances de ganhar um carro mudando sua escolha da porta número um para a porta número dois?”

Esta redação é uma versão simplificada, porque resta o fator de influência do anfitrião, que sabe exatamente onde está o carro e tem interesse em perder o participante.

Para que o problema se torne puramente matemático, é necessário eliminar o fator humano, introduzindo como condições integrais a abertura de uma porta com prêmio de incentivo e a possibilidade de alterar a escolha inicial.

Solução[editar | editar texto wiki]

Ao comparar as probabilidades à primeira vista, alterar o número da porta não trará nenhuma vantagem, porque. todas as três opções têm 1/3 de chance de ganhar (aprox. 33,33% em cada uma das três portas). Ao mesmo tempo, a abertura de uma das portas não afetará as chances das duas restantes, cujas chances serão de 1/2 a 1/2 (50% para cada uma das duas portas restantes). Esse julgamento é baseado na suposição de que a escolha da porta pelo jogador e a escolha da porta pelo anfitrião são dois eventos independentes que não afetam um ao outro. Na verdade, é necessário considerar toda a sequência de eventos como um todo. De acordo com a teoria da probabilidade, as chances da primeira porta escolhida desde o início até o final do jogo são invariavelmente 1/3 (aprox. 33,33%), e as duas portas restantes têm um total de 1/3 + 1 /3 = 2/3 (aprox. 66,66%). Quando uma das duas portas restantes é aberta, suas chances se tornam 0% (o prêmio de incentivo está escondido atrás dela) e, como resultado, as chances de uma porta não selecionada fechada serão de 66,66%, ou seja, o dobro do original.

Para facilitar a compreensão dos resultados da escolha, podemos considerar uma situação alternativa em que o número de opções será maior, por exemplo, mil. A probabilidade de escolher a opção vencedora será de 1/1000 (0,1%). Desde que novecentas e noventa e oito erradas sejam posteriormente abertas das novecentas e noventa e nove opções restantes, torna-se óbvio que a probabilidade de uma porta restante em novecentas e noventa e nove não escolhidas é maior do que a da apenas um escolhido no início.

Menções[editar | editar texto wiki]

Você pode encontrar a menção do Paradoxo de Monty Hall em "Twenty-one" (filme de Robert Luketich), "Kluttyop" (romance de Sergei Lukyanenko), série de TV "4isla" (série de TV), "The Mysterious Nighttime Killing of a Dog" (romances de Mark Haddon), "XKCD" (história em quadrinhos), MythBusters (programa de TV).

Veja também[editar | editar texto wiki]

Na imagem, o processo de escolha entre duas portas fechadas das três originalmente propostas

Exemplos de soluções para problemas em combinatória

Combinatóriaé uma ciência que todos encontram em Vida cotidiana: quantas maneiras de escolher 3 atendentes para limpar a classe ou quantas maneiras de formar uma palavra com as letras dadas.

Em geral, a combinatória permite calcular quantas combinações diferentes, de acordo com certas condições, podem ser feitas a partir de determinados objetos (iguais ou diferentes).

Como ciência, a combinatória surgiu no século 16 e agora todo aluno (e muitas vezes até um estudante) a estuda. Eles começam estudando com os conceitos de permutações, posicionamentos, combinações (com ou sem repetições), você encontrará problemas sobre esses tópicos abaixo. As regras mais famosas da combinatória são as regras da soma e do produto, que são mais usadas em problemas combinatórios típicos.

Abaixo você encontrará vários exemplos de tarefas com soluções para conceitos e regras combinatórias que o ajudarão a lidar com tarefas típicas. Se houver dificuldades com as tarefas, peça um teste de combinatória.

Problemas em combinatória com soluções online

Tarefa 1. Mamãe tem 2 maçãs e 3 peras. Todos os dias, durante 5 dias seguidos, ela distribui uma peça de fruta. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Solução do problema em combinatória 1 (pdf, 35 Kb)

Tarefa 2. Uma empresa pode fornecer trabalho em uma especialidade para 4 mulheres, em outra - para 6 homens, em uma terceira - para 3 funcionários, independentemente do sexo. De quantas maneiras as vagas podem ser preenchidas se houver 14 candidatos: 6 mulheres e 8 homens?

Solução do problema em combinatória 2 (pdf, 39 Kb)

Tarefa 3. Há 9 vagões em um trem de passageiros. De quantas maneiras 4 pessoas podem sentar-se em um trem, desde que todas viajem em vagões diferentes?

Solução do problema em combinatória 3 (pdf, 33 Kb)

Tarefa 4. Há 9 pessoas no grupo. Quantos subgrupos diferentes podem ser formados, desde que o subgrupo inclua pelo menos 2 pessoas?

Solução do problema em combinatória 4 (pdf, 34 Kb)

Tarefa 5. Um grupo de 20 alunos deve ser dividido em 3 equipes, sendo que a primeira equipe deve incluir 3 pessoas, a segunda - 5 e a terceira - 12. De quantas maneiras isso pode ser feito.

Solução do problema em combinatória 5 (pdf, 37 Kb)

Tarefa 6. Para participar da equipe, o treinador seleciona 5 meninos de 10. De quantas maneiras ele pode formar uma equipe se 2 meninos devem ser incluídos na equipe?

Problema de combinatória com solução 6 (pdf, 33 Kb)

Tarefa 7. 15 jogadores de xadrez participaram do torneio de xadrez, e cada um deles jogou apenas uma partida com cada um dos outros. Quantas partidas foram disputadas neste torneio?

Problema de combinatória com solução 7 (pdf, 37 Kb)

Tarefa 8. Quantas frações diferentes podem ser formadas a partir dos números 3, 5, 7, 11, 13, 17 de modo que cada fração inclua 2 vários números? Quantas delas serão frações próprias?

Problema de combinatória com solução 8 (pdf, 32 Kb)

Tarefa 9. Quantas palavras podem ser obtidas reorganizando as letras da palavra Horus e Institute?

Problema de combinatória com solução 9 (pdf, 32 Kb)

Tarefa 10. Quais números de 1 a 1.000.000 são maiores: aqueles em que a unidade ocorre ou aqueles em que ela não ocorre?

Problema de combinatória com solução 10 (pdf, 39 Kb)

Exemplos prontos

Precisa resolver problemas em combinatória? Encontre no guia:

Outras soluções para problemas na teoria da probabilidade

A decisão da qual, à primeira vista, é contrária ao senso comum.

YouTube enciclopédico

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O problema é formulado como uma descrição de um jogo baseado no jogo de televisão americano "Let's Make a Deal", e leva o nome do apresentador desse programa. A formulação mais comum deste problema, publicada em 1990 na revista Revista Desfile, soa assim:

Imagine que você se tornou um participante de um jogo no qual você deve escolher um dos três portas. Atrás de uma das portas está um carro, atrás das outras duas portas estão cabras. Você escolhe uma das portas, por exemplo, a número 1, depois disso o anfitrião, que sabe onde está o carro e onde estão as cabras, abre uma das portas restantes, por exemplo, a número 3, atrás da qual está uma cabra. Depois disso, ele pergunta - você gostaria de mudar sua escolha e escolher a porta número 2? Suas chances de ganhar um carro aumentarão se você aceitar a oferta do anfitrião e mudar sua escolha?

Após a publicação, ficou imediatamente claro que o problema foi formulado incorretamente: nem todas as condições foram estipuladas. Por exemplo, o facilitador pode seguir a estratégia do “Monty infernal”: oferecer para mudar a escolha se e somente se o jogador escolheu um carro na primeira jogada. Obviamente, alterar a escolha inicial levará a uma perda garantida em tal situação (veja abaixo).

O mais popular é o problema com uma condição adicional - o participante do jogo conhece as seguintes regras com antecedência:

o carro tem a mesma probabilidade de ser colocado atrás de qualquer uma das três portas;
em qualquer caso, o anfitrião é obrigado a abrir a porta com a cabra (mas não a que o jogador escolheu) e oferecer ao jogador a alteração da escolha;
se o líder puder escolher qual das duas portas abrir, ele escolherá qualquer uma delas com a mesma probabilidade.

O texto a seguir discute o problema de Monty Hall nessa formulação.

Análise

Para a estratégia vencedora, é importante o seguinte: se você mudar a escolha da porta após as ações do líder, você ganha se inicialmente escolheu a porta perdedora. É provável que aconteça 2 ⁄ 3 , já que inicialmente você pode escolher uma porta perdedora de 2 maneiras em 3.

Mas muitas vezes, ao resolver esse problema, eles argumentam algo assim: o anfitrião sempre remove uma porta perdida no final, e então as probabilidades de um carro aparecer atrás de duas não abertas tornam-se iguais a ½, independentemente da escolha inicial. Mas isso não é verdade: embora existam de fato duas possibilidades de escolha, essas possibilidades (levando em conta o histórico) não são igualmente prováveis! Isso é verdade porque inicialmente todas as portas tinham chances iguais de vencer, mas depois tinham probabilidades diferentes de serem eliminadas.

Para a maioria das pessoas, essa conclusão contradiz a percepção intuitiva da situação e, devido à discrepância resultante entre a conclusão lógica e a resposta à qual a opinião intuitiva se inclina, a tarefa é chamada de Paradoxo de Monty Hall.

A situação com portas fica ainda mais óbvia se imaginarmos que não são 3 portas, mas, digamos, 1000, e após a escolha do jogador, o apresentador retira 998 extras, deixando 2 portas: a que o jogador escolheu e mais um. Parece mais óbvio que as probabilidades de encontrar um prêmio atrás dessas portas são diferentes e não iguais a ½. Se mudarmos a porta, perderemos apenas se escolhermos primeiro a porta do prêmio, cuja probabilidade é de 1:1000. Ganhamos se nossa escolha inicial foi Não correto, e a probabilidade disso é 999 em 1000. No caso de 3 portas, a lógica é preservada, mas a probabilidade de ganhar ao mudar a decisão é correspondentemente menor, ou seja 2 ⁄ 3 .

Outra maneira de raciocinar é substituir a condição por uma equivalente. Vamos imaginar que ao invés do jogador fazer a escolha inicial (que seja sempre a porta #1) e depois abrir a porta com a cabra entre as restantes (ou seja, sempre entre #2 e #3), imaginemos que o jogador precisa adivinhar a porta na primeira tentativa, mas é informado com antecedência que pode haver um carro atrás da porta nº 1 com uma probabilidade inicial (33%), e entre as portas restantes é indicado para qual das portas o carro definitivamente não está atrás (0%). Assim, a última porta sempre representará 67%, sendo preferível a estratégia de escolhê-la.

Outro comportamento do líder

versão clássica O paradoxo de Monty Hall afirma que o anfitrião definitivamente oferecerá ao jogador a troca da porta, independentemente de ele escolher o carro ou não. Mas também é possível um comportamento mais complexo do host. Esta tabela descreve brevemente vários comportamentos.

Possível Comportamento do Líder
Comportamento do host	Resultado
"Infernal Monty": O anfitrião se oferece para trocar se a porta estiver correta.	A mudança sempre dará uma cabra.
"Angelic Monty": O anfitrião se oferece para trocar se a porta estiver errada.	A mudança sempre dará um carro.
"Monty ignorante" ou "Monty Buch": o anfitrião inadvertidamente cai, a porta se abre e descobre-se que não há carro atrás dela. Ou seja, o próprio anfitrião não sabe o que está atrás das portas, abre a porta totalmente ao acaso, e só por acaso não havia carro atrás dela.	Uma mudança dá uma vitória em ½ dos casos. É assim que o programa americano “Deal or No Deal” é organizado - porém, o próprio jogador abre uma porta aleatória e, se não houver carro atrás dela, o apresentador se oferece para trocá-la.
O anfitrião escolhe uma das cabras e a abre caso o jogador tenha escolhido uma porta diferente.	Uma mudança dá uma vitória em ½ dos casos.
O anfitrião sempre abre a cabra. Se um carro for selecionado, a cabra esquerda é aberta com probabilidade p e certo com probabilidade q=1−p.	Se o líder abriu a porta da esquerda, o turno dá uma vitória com probabilidade 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Se o direito 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). No entanto, o sujeito não pode influenciar a probabilidade de que a porta certa seja aberta - independentemente de sua escolha, isso acontecerá com uma probabilidade 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
O mesmo, p=q= ½ (caso clássico).	Uma mudança dá uma vitória com uma probabilidade 2 ⁄ 3 .
O mesmo, p=1, q=0 ("Monty impotente" - o apresentador cansado fica na porta da esquerda e abre a cabra que está mais perto).	Se o apresentador abriu a porta certa, a mudança dá vitória garantida. Se for deixado - probabilidade ½.
O anfitrião sempre abre a cabra se um carro for escolhido, e com probabilidade ½ caso contrário.	A mudança dá uma vitória com uma probabilidade de ½.
Caso geral: o jogo se repete muitas vezes, a probabilidade de esconder o carro atrás de uma ou outra porta, bem como abrir esta ou aquela porta é arbitrária, mas o anfitrião sabe onde está o carro e sempre oferece uma mudança abrindo uma das as cabras.	Equilíbrio de Nash: é o paradoxo de Monty Hall em sua forma clássica que é mais benéfico para o anfitrião (a probabilidade de ganhar 2 ⁄ 3 ). O carro se esconde atrás de qualquer uma das portas com probabilidade ⅓; se houver escolha, abra qualquer cabra aleatoriamente.
O mesmo, mas o host pode não abrir a porta.	Equilíbrio de Nash: é benéfico para o anfitrião não abrir a porta, a probabilidade de ganhar é 1/3.

Veja também

Notas

Tierney, John (21 de julho de 1991), "Behind Monty Hall"s Portas: Puzzle, Debate and Resposta? ", O jornal New York Times, . Acesso em 18 de janeiro de 2008.

Redação

O mais popular é o problema com a condição adicional nº 6 da mesa - o participante do jogo conhece as seguintes regras com antecedência:

o carro provavelmente está colocado atrás de qualquer uma das 3 portas;
o anfitrião em qualquer caso é obrigado a abrir a porta com a cabra e oferecer ao jogador a mudança de escolha, mas não a porta que o jogador escolheu;
se o líder puder escolher qual das 2 portas abrir, ele escolhe qualquer uma delas com a mesma probabilidade.

O texto a seguir discute o problema de Monty Hall nessa formulação.

Análise

Ao resolver esse problema, costuma-se argumentar algo assim: o anfitrião sempre remove uma porta perdida no final e, em seguida, as probabilidades de um carro aparecer atrás de duas portas fechadas tornam-se 1/2, independentemente da escolha inicial.

A questão toda é que com sua escolha inicial, o participante divide as portas: o escolhido A e dois outros - B E C. A probabilidade de que o carro esteja atrás da porta selecionada = 1/3, atrás das outras = 2/3.

Para cada uma das restantes portas, a situação atual é descrita da seguinte forma:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

Onde 1/2 é a probabilidade condicional de que o carro esteja atrás da porta dada, desde que o carro não esteja atrás da porta escolhida pelo jogador.

O host, abrindo uma das portas restantes, que está sempre perdendo, informa ao jogador exatamente 1 bit de informação e altera as probabilidades condicionais de B e C, respectivamente, para "1" e "0".

Como resultado, as expressões assumem a forma:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

Assim, o participante deverá alterar sua escolha inicial - neste caso, a probabilidade de sua vitória será igual a 2/3.

Uma das explicações mais simples é esta: se você mudar a porta depois que o anfitrião agiu, você ganha se originalmente escolheu a porta perdedora (então o anfitrião abrirá uma segunda porta perdedora e você terá que mudar sua escolha para vencer) . E inicialmente você pode escolher uma porta perdedora de 2 maneiras (probabilidade 2/3), ou seja. se mudar de porta, ganha com uma probabilidade de 2/3.

Esta conclusão contradiz a percepção intuitiva da situação pela maioria das pessoas, por isso a tarefa descrita é chamada Paradoxo de Monty Hall, ou seja um paradoxo no sentido cotidiano.

E a percepção intuitiva é a seguinte: abrindo a porta com uma cabra, o anfitrião coloca na frente do jogador nova tarefa, que nada tem a ver com a escolha anterior - afinal, a cabra porta aberta aparecerá independentemente de o jogador ter escolhido anteriormente uma cabra ou um carro. Depois que a terceira porta é aberta, o jogador deve fazer uma escolha novamente - e escolher a mesma porta que escolheu antes ou outra. Ou seja, enquanto ele não muda sua escolha anterior, mas faz uma nova. A solução matemática considera duas tarefas sucessivas do líder relacionadas entre si.

No entanto, deve-se levar em consideração o fator da condição de que o anfitrião abra a porta com a cabra das duas restantes, e não a porta escolhida pelo jogador. Portanto, a porta restante tem mais chances de ser um carro, pois não foi escolhida como mestra. Se considerarmos o caso em que o líder, sabendo que há uma cabra atrás da porta escolhida pelo jogador, ainda assim abre essa porta, ao fazê-lo ele reduz deliberadamente as chances de o jogador escolher a porta correta, porque. probabilidade escolha certa será 1/2. Mas esse tipo de jogo terá regras diferentes.

Vamos dar mais uma explicação. Vamos supor que você esteja jogando de acordo com o sistema descrito acima, ou seja, das duas portas restantes, você sempre escolhe uma porta diferente da sua escolha original. Em que caso você vai perder? A perda virá quando, e só então, quando desde o início você tiver escolhido a porta atrás da qual o carro está localizado, porque posteriormente você inevitavelmente mudará de ideia em favor da porta com uma cabra, em todos os outros casos você ganhar, ou seja, se desde o início Escolha errada da porta. Mas a probabilidade de escolher a porta com a cabra desde o início é de 2/3, então para vencer é preciso errar, cuja probabilidade é o dobro da escolha certa.

Menções

No filme Twenty-one, a professora Miki Rosa oferece ao personagem principal, Ben, a solução de um problema: há duas scooters e um carro atrás de três portas, você deve adivinhar a porta com um carro. Após a primeira escolha, Miki se oferece para mudar a escolha. Ben concorda e justifica matematicamente sua decisão. Então ele involuntariamente passa no teste para a equipe de Miki.
No romance "Kluttyopa" de Sergei Lukyanenko, os personagens principais, com a ajuda dessa técnica, ganham uma carruagem e a oportunidade de continuar sua jornada.
Na série de televisão "4isla" (episódio 13 da 1ª temporada "Man Hunt"), um dos personagens principais, Charlie Epps, em uma popular palestra sobre matemática, explica o paradoxo de Monty Hall, ilustrando-o claramente com marcadores, em lados reversos que são cabras pintadas e um carro. Charlie encontra o carro alterando a seleção. No entanto, deve-se notar que ele executa apenas um experimento, enquanto o benefício da estratégia de mudança é estatístico e uma série de experimentos deve ser executada para ilustrar corretamente.
O paradoxo de Monty Hall é discutido no diário do herói da história de Mark Haddon, O Curioso Incidente do Cachorro na Noite.
O paradoxo de Monty Hall testado pelos MythBusters

Veja também

paradoxo de Bertrand

Literatura

Gmurman V.E. Teoria da probabilidade e estatística matemática, - M.: Ensino superior. 2005
Gnedin, Sasha "O jogo Mondee Gills." revista O Inteligente Matemático, 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
Revista Desfile datado de 17 de fevereiro.
Vos Savant, Marilyn. Pergunte a Marilyn coluna, revista Revista Desfile datado de 26 de fevereiro.
Bapeswara Rao, V.V. e Rao, M. Bhaskara. "Um game show de três portas e algumas de suas variantes". Revista O Cientista Matemático, 1992, № 2.
Tijms, Henk. Compreendendo as probabilidades e as regras do acaso na vida cotidiana. Cambridge University Press, Nova York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Notas

Fundação Wikimedia. 2010 .

Veja o que é o "Paradoxo de Monty Hall" em outros dicionários:

Em busca de um carro, o jogador escolhe a porta 1. Em seguida, o anfitrião abre a 3ª porta, atrás da qual está uma cabra, e convida o jogador a mudar sua escolha para a porta 2. Ele deve fazer isso? O paradoxo de Monty Hall é um dos problemas conhecidos da teoria ... ... Wikipedia

- (O paradoxo do empate) é um paradoxo bem conhecido semelhante ao problema de dois envelopes, que também demonstra as características da percepção subjetiva da teoria da probabilidade. A essência do paradoxo: dois homens se dão laços de Natal comprados por eles ... ... Wikipedia

Imagine que um certo banqueiro oferece a você a escolha de uma das três caixas fechadas. Em um deles 50 centavos, no outro - um dólar, no terceiro - 10 mil dólares. Qualquer um que você escolher, você receberá como prêmio.

Você escolhe aleatoriamente, digamos caixa número 1. E então o banqueiro (que, claro, sabe onde está tudo) bem diante de seus olhos abre uma caixa com um dólar (digamos que seja o nº 2), após o que ele oferece a você a troca da caixa inicialmente selecionada nº. 1 para a caixa nº 3.

Você deve mudar de ideia? Isso aumentará suas chances de conseguir 10 mil?

Este é o paradoxo de Monty Hall - um problema da teoria da probabilidade, cuja solução, à primeira vista, contradiz o senso comum. As pessoas estão coçando a cabeça com esse problema desde 1975.

O paradoxo recebeu o nome do apresentador do popular programa de TV americano Let's Make a Deal. Este programa de TV tinha regras semelhantes, apenas os participantes escolhiam portas, duas das quais escondiam cabras e a terceira era um Cadillac.

A maioria dos jogadores raciocinou que depois que havia duas portas fechadas e havia um Cadillac atrás de uma delas, as chances de conseguir eram de 50 a 50. Obviamente, quando o anfitrião abre uma porta e o convida a mudar de ideia, ele começa novo jogo. Quer você mude de ideia ou não, suas chances ainda serão de 50%. Tão certo?

Acontece que não. Na verdade, ao mudar de ideia, você dobra suas chances de sucesso. Por que?

A explicação mais simples para esta resposta é a seguinte consideração. Para ganhar um carro sem alterar a escolha, o jogador deve adivinhar imediatamente a porta atrás da qual o carro está parado. A probabilidade disso é 1/3. Se o jogador inicialmente acertar a porta com uma cabra atrás dela (e a probabilidade desse evento é 2/3, já que são duas cabras e apenas um carro), então ele pode definitivamente ganhar o carro mudando de ideia, já que o carro e uma cabra permanece, e o anfitrião já abriu a porta com a cabra.

Assim, sem alterar a escolha, o jogador permanece com sua probabilidade inicial de ganhar 1/3, e ao alterar a escolha inicial, o jogador vira a seu favor o dobro da probabilidade restante que não acertou no início.

Além disso, uma explicação intuitiva pode ser feita trocando os dois eventos. O primeiro evento é a decisão do jogador de mudar a porta, o segundo evento é a abertura de uma porta extra. Isso é aceitável, pois abrir uma porta extra não dá ao jogador nenhum nova informação(documento ver neste artigo). Então o problema pode ser reduzido à seguinte formulação. No primeiro momento, o jogador divide as portas em dois grupos: no primeiro grupo há uma porta (a que ele escolheu), no segundo grupo há duas portas restantes. No momento seguinte, o jogador faz uma escolha entre os grupos. É óbvio que para o primeiro grupo a probabilidade de ganhar é 1/3, para o segundo grupo 2/3. O jogador escolhe o segundo grupo. No segundo grupo, ele pode abrir as duas portas. Um é aberto pelo anfitrião e o segundo pelo próprio jogador.

Vamos tentar dar a explicação "mais compreensível". Reformule o problema: Um anfitrião honesto anuncia ao jogador que há um carro atrás de uma das três portas e sugere que ele primeiro aponte para uma das portas e, em seguida, escolha uma das duas ações: abra a porta indicada (no formulação antiga, isso se chama “não mude de escolha”) ou abra as outras duas (na redação antiga, seria apenas “mude a escolha”. Pense bem, essa é a chave para entender!). É claro que o jogador escolherá a segunda das duas ações, pois a probabilidade de obter um carro neste caso é duas vezes maior. E a coisinha que o anfitrião antes mesmo de escolher a ação “mostrou uma cabra” não ajuda e não atrapalha na escolha, porque atrás de uma das duas portas sempre tem uma cabra e o anfitrião com certeza vai mostrar a qualquer momento durante o jogo, para que o jogador possa nesta cabra e não assista. A tarefa do jogador, se ele escolheu a segunda ação, é dizer “obrigado” ao anfitrião por livrá-lo do trabalho de abrir ele mesmo uma das duas portas e abrir a outra. Bem, ou até mais fácil. Vamos imaginar esta situação do ponto de vista do anfitrião, que está a fazer um procedimento semelhante com dezenas de jogadores. Como ele sabe perfeitamente o que está atrás das portas, então, em média, em dois casos em três, ele vê com antecedência que o jogador escolheu a porta “errada”. Portanto, para ele definitivamente não há paradoxo de que a estratégia correta seja mudar a escolha após abrir a primeira porta: afinal, nos mesmos dois casos em três, o jogador sairá do estúdio em um carro novo.

Finalmente, a prova mais "ingênua". Que aquele que defende sua escolha seja chamado de "Teimoso", e aquele que segue as instruções do líder, seja chamado de "Atencioso". Então o Teimoso vence se inicialmente adivinhou o carro (1/3), e o Atencioso - se errou e acertou a cabra primeiro (2/3). Afinal, só neste caso ele apontará para a porta com o carro.

Monty Hall, produtor e apresentador do show Vamos fazer um acordo de 1963 a 1991.

Em 1990, esse problema e sua solução foram publicados na revista americana Parade. A publicação causou uma enxurrada de críticas indignadas dos leitores, muitos dos quais com formação científica.

A principal reclamação era que nem todas as condições do problema foram especificadas e qualquer nuance poderia afetar o resultado. Por exemplo, o anfitrião pode se oferecer para mudar a decisão apenas se o jogador escolher um carro na primeira jogada. Obviamente, alterar a escolha inicial em tal situação levará a uma perda garantida.

No entanto, em toda a existência do programa de TV Monty Hall, as pessoas que mudaram de ideia ganharam duas vezes mais:

Dos 30 jogadores que mudaram de ideia, Cadillac venceu 18 - ou seja, 60%

Dos 30 jogadores que ficaram com a escolha, o Cadillac venceu 11 - ou seja, aproximadamente 36%

Assim, os raciocínios dados na decisão, por mais ilógicos que possam parecer, são confirmados pela prática.

Aumento do número de portas

Para facilitar a compreensão da essência do que está acontecendo, podemos considerar o caso em que o jogador vê não três portas à sua frente, mas, por exemplo, cem. Ao mesmo tempo, há um carro atrás de uma das portas e cabras atrás da outra 99. O jogador escolhe uma das portas, enquanto em 99% dos casos ele escolherá a porta com cabra, e as chances de escolher imediatamente a porta com carro são muito pequenas - são de 1%. Depois disso, o anfitrião abre 98 portas com cabras e pede ao jogador para escolher a porta restante. Nesse caso, em 99% dos casos, o carro ficará atrás dessa porta restante, pois as chances de o jogador escolher imediatamente a porta correta são muito pequenas. É claro que nesta situação um jogador que pensa racionalmente deve sempre aceitar a proposta do líder.

Ao considerar um número maior de portas, muitas vezes surge a pergunta: se no problema original o líder abre uma porta em três (ou seja, 1/3 do total portas), por que devemos supor que, no caso de 100 portas, o anfitrião abrirá 98 portas com cabras, e não 33? Essa consideração costuma ser uma das razões significativas pelas quais o paradoxo de Monty Hall entra em conflito com a percepção intuitiva da situação. Assumindo que a abertura de 98 portas estará correta porque condição essencial A tarefa é ter apenas uma alternativa de escolha para o jogador, que é oferecida pelo moderador. Portanto, para que as tarefas sejam semelhantes, no caso de 4 portas, o líder deve abrir 2 portas, no caso de 5 portas - 3, e assim por diante, de forma que sempre haja uma porta fechada diferente da que o jogador escolheu inicialmente. Se o facilitador abrir menos portas, a tarefa não será mais semelhante à tarefa original do Monty Hall.

Deve-se notar que no caso de muitas portas, mesmo que o anfitrião não deixe uma porta fechada, mas várias, e ofereça ao jogador a escolha de uma delas, então, ao mudar a escolha inicial, as chances do jogador ganhar o carro serão ainda aumentam, embora não tão significativamente. Por exemplo, considere uma situação em que um jogador escolhe uma porta entre cem e, em seguida, o facilitador abre apenas uma das portas restantes, convidando o jogador a mudar sua escolha. Ao mesmo tempo, as chances de o carro estar atrás da porta originalmente escolhida pelo jogador permanecem as mesmas - 1/100, e para as portas restantes as chances mudam: a probabilidade total de o carro estar atrás de uma das portas restantes ( 99/100) agora está distribuído não em 99 portas, mas em 98. Portanto, a probabilidade de encontrar um carro atrás de cada uma dessas portas não será de 1/100, mas de 99/9800. O aumento na probabilidade será de aproximadamente 1%.

Árvore soluções possíveis jogador e anfitrião, mostrando a probabilidade de cada resultado Mais formalmente, o cenário do jogo pode ser descrito usando uma árvore de decisão. Nos dois primeiros casos, quando o jogador escolheu pela primeira vez a porta atrás da qual está a cabra, mudar a escolha resulta em vitória. Nos dois últimos casos, quando o jogador escolheu pela primeira vez a porta com o carro, alterar a escolha resulta em perda.

Se você ainda não entendeu, cuspa nas fórmulas e apenasverifique tudo estatisticamente. Outra possível explicação:

Um jogador cuja estratégia fosse mudar a porta selecionada todas as vezes só perderia se escolhesse inicialmente a porta atrás da qual o carro está localizado.
Como a chance de escolher um carro na primeira tentativa é de uma em três (ou 33%), a chance de não escolher um carro caso o jogador mude de escolha também é de uma em três (ou 33%).
Isso significa que o jogador que usou a estratégia para trocar a porta vencerá com 66% de probabilidade ou dois a três.
Isso dobrará as chances de ganhar um jogador cuja estratégia é não mudar de escolha todas as vezes.

Ainda não acredita? Digamos que você escolha a porta nº 1. Aqui estão todos opções possíveis o que pode acontecer neste caso.

Em dezembro de 1963 no canal de TV americano NBC programa lançado pela primeira vez Vamos fazer um acordo("Let's Make a Deal!"), em que participantes selecionados da plateia do estúdio negociavam entre si e com o apresentador, jogavam pequenos jogos ou apenas adivinhe a resposta para a pergunta. Ao final da transmissão, os participantes puderam jogar o “acordo do dia”. Havia três portas na frente deles, sobre as quais se sabia que atrás de uma delas estava o Grande Prêmio (por exemplo, um carro), e atrás das outras duas havia presentes menos valiosos ou completamente absurdos (por exemplo, cabras vivas) . Depois que o jogador fez sua escolha, Monty Hall, o apresentador do programa, abriu uma das duas portas restantes, mostrando que não havia Prêmio por trás dela e deixando o participante feliz por ter uma chance de ganhar.

Em 1975, o cientista da UCLA Steve Selvin perguntou o que aconteceria se, naquele momento, depois de abrir a porta sem um Prêmio, o participante fosse solicitado a mudar sua escolha. As chances do jogador de ganhar o prêmio mudarão neste caso e, em caso afirmativo, em que direção? Ele enviou a questão relevante como uma edição para o jornal O Estatístico Americano("The American Statistician"), e também ao próprio Monty Hall, que lhe deu uma resposta bastante curiosa. Apesar desta resposta (ou talvez por causa dela), o problema tornou-se popular sob o nome de "problema de Monty Hall".

Tarefa

Você acabou no show do Monty Hall como participante - e no momento final, abrindo a porta com uma cabra, o apresentador sugeriu que você mudasse de escolha. Sua decisão - concordar ou não - afetará a probabilidade de ganhar?

Dica

Tente considerar pessoas que escolheram portas diferentes no mesmo caso (ou seja, quando o Prêmio está, por exemplo, atrás da porta número 1). Quem se beneficiará com a mudança de escolha e quem não?

Solução

Conforme sugerido na dica de ferramenta, considere pessoas que fizeram escolhas diferentes. Vamos supor que o Prêmio esteja atrás da porta nº 1, e atrás das portas nº 2 e nº 3 estejam as cabras. Suponha que temos seis pessoas e cada porta foi escolhida por duas pessoas e, de cada par, uma posteriormente mudou a decisão e a outra não.

Note-se que o Anfitrião que escolher a porta nº 1 abrirá uma das duas portas a seu gosto, enquanto, independentemente disso, o Carro será recebido por aquele que não alterar a sua escolha, mas sim aquele que alterou a sua escolha inicial. ficará sem o Prêmio. Agora vamos olhar para aqueles que escolheram as portas #2 e #3. Como há um carro atrás da porta nº 1, o Anfitrião não pode abri-lo, o que não lhe deixa escolha - ele abre as portas nº 3 e nº 2 para eles, respectivamente. Ao mesmo tempo, quem mudou a decisão em cada par escolherá o Prêmio como resultado, e quem não mudou ficará sem nada. Assim, de três pessoas que mudarem de ideia, duas receberão o Prêmio e uma receberá o bode, enquanto das três que deixaram sua escolha original inalterada, apenas uma receberá o Prêmio.

Deve-se notar que se o carro estivesse atrás da porta #2 ou #3, o resultado seria o mesmo, apenas os vencedores específicos mudariam. Assim, supondo que inicialmente cada porta seja escolhida com igual probabilidade, obtemos que quem muda de escolha ganha o Prêmio duas vezes mais, ou seja, a probabilidade de ganhar nesse caso é maior.

Vamos examinar esse problema do ponto de vista da teoria matemática da probabilidade. Vamos assumir que a probabilidade da escolha inicial de cada uma das portas é a mesma, assim como a probabilidade de estar atrás de cada uma das portas do Carro. Além disso, é útil fazer uma reserva para que o Líder, quando puder abrir duas portas, escolha cada uma delas com igual probabilidade. Acontece que, após a primeira decisão, a probabilidade de o Prêmio estar atrás da porta selecionada é de 1/3, enquanto a probabilidade de estar atrás de uma das outras duas portas é de 2/3. Ao mesmo tempo, depois que o Host abriu uma das duas portas "não selecionadas", toda a probabilidade de 2/3 recai sobre apenas uma das portas restantes, criando assim a base para alterar a decisão, o que aumentará a probabilidade de vitória por 2 vezes. O que, claro, não garante de forma alguma em um caso específico, mas levará a resultados mais bem-sucedidos no caso de repetição repetida do experimento.

Posfácio

O problema de Monty Hall não é a primeira formulação conhecida deste problema. Em particular, em 1959, Martin Gardner publicou na revista Americano científico um problema semelhante “cerca de três prisioneiros” (Problema dos Três Prisioneiros) com a seguinte formulação: “ Dos três prisioneiros, um deveria ser perdoado e dois deveriam ser executados. O prisioneiro A convence o guarda a lhe dizer o nome de um dos outros dois que serão executados (se ambos forem executados), após o que, tendo recebido o nome B, ele considera que a probabilidade de sua própria salvação tornou-se não 1/3, mas 1/2. Ao mesmo tempo, o prisioneiro C afirma que a probabilidade de sua fuga tornou-se 2/3, enquanto nada mudou para A. Qual deles está certo?»

No entanto, Gardner não foi o primeiro, já que em 1889, em seu Cálculo de Probabilidades, o matemático francês Joseph Bertrand (não confundir com o inglês Bertrand Russell!) Oferece um problema semelhante (veja o paradoxo da caixa de Bertrand): “ Existem três caixas, cada uma contendo duas moedas: duas de ouro na primeira, duas de prata na segunda e duas diferentes na terceira. De uma caixa selecionada aleatoriamente, uma moeda foi retirada aleatoriamente, que acabou sendo ouro. Qual é a probabilidade de que a moeda restante na caixa seja ouro?»

Se você entender as soluções para todos os três problemas, será fácil perceber a semelhança de suas ideias; matematicamente, todos eles estão unidos pelo conceito de probabilidade condicional, ou seja, a probabilidade do evento A, se for conhecido que o evento B ocorreu. O exemplo mais simples: a probabilidade de rolar um dado normal é 1/6; no entanto, se o número rolado for conhecido como ímpar, a probabilidade de que seja um já é 1/3. O problema de Monty Hall, como os outros dois problemas citados, mostra que as probabilidades condicionais devem ser tratadas com cuidado.

Esses problemas também são freqüentemente chamados de paradoxos: o paradoxo de Monty Hall, o paradoxo da caixa de Bertrand (este último não deve ser confundido com o verdadeiro paradoxo de Bertrand dado no mesmo livro, que provou a ambigüidade do conceito de probabilidade que existia naquela época) - que implica alguma contradição (por exemplo, em "paradoxo do mentiroso" a frase "esta afirmação é falsa" contradiz a lei do terceiro excluído). Neste caso, porém, não há contradição com afirmações rigorosas. No entanto, há uma clara contradição com opinião pública” ou simplesmente “uma solução óbvia” para o problema. De fato, a maioria das pessoas, olhando para o problema, acredita que depois de abrir uma das portas, a probabilidade de encontrar o Prêmio atrás de qualquer uma das duas restantes fechadas é de 1/2. Ao fazer isso, eles afirmam que não faz diferença se concordam ou discordam em mudar de opinião. Além disso, muitas pessoas acham difícil compreender uma resposta diferente dessa, mesmo depois de ouvirem a solução detalhada.

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