Σπίτι › Διάφορα › Φράκταλ στοιχεία. Εργαστήριο Διαστημικής Έρευνας

Φράκταλ στοιχεία. Εργαστήριο Διαστημικής Έρευνας

Οι έννοιες της γεωμετρίας φράκταλ και φράκταλ, που εμφανίστηκαν στα τέλη της δεκαετίας του '70, έχουν καθιερωθεί σταθερά στην καθημερινή ζωή των μαθηματικών και των προγραμματιστών από τα μέσα της δεκαετίας του '80. Η λέξη fractal προέρχεται από το λατινικό fractus και στη μετάφραση σημαίνει που αποτελείται από θραύσματα. Προτάθηκε από τον Benoit Mandelbrot το 1975 για να αναφερθεί στις ακανόνιστες αλλά όμοιες δομές που μελέτησε. Η γέννηση της γεωμετρίας φράκταλ συνδέεται συνήθως με τη δημοσίευση του βιβλίου του Mandelbrot «The Fractal Geometry of Nature» το 1977. Τα έργα του χρησιμοποίησαν τα επιστημονικά αποτελέσματα άλλων επιστημόνων που εργάστηκαν την περίοδο 1875-1925 στον ίδιο τομέα (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Αλλά μόνο στην εποχή μας ήταν δυνατό να συνδυαστούν τα έργα τους σε ένα ενιαίο σύστημα.
Ο ρόλος των φράκταλ στα γραφικά υπολογιστών σήμερα είναι αρκετά μεγάλος. Έρχονται στη διάσωση, για παράδειγμα, όταν απαιτείται, με τη βοήθεια αρκετών συντελεστών, να ορίσουν γραμμές και επιφάνειες πολύ σύνθετου σχήματος. Από την άποψη των γραφικών υπολογιστών, η γεωμετρία φράκταλ είναι απαραίτητη για τη δημιουργία τεχνητών νεφών, βουνών και της επιφάνειας της θάλασσας. πραγματικά βρέθηκε πνευμονικός τρόποςαναπαραστάσεις πολύπλοκων μη ευκλείδειων αντικειμένων, οι εικόνες των οποίων μοιάζουν πολύ με τις φυσικές.
Μία από τις κύριες ιδιότητες των φράκταλ είναι η αυτο-ομοιότητα. Στο πολύ απλή υπόθεσηένα μικρό μέρος του φράκταλ περιέχει πληροφορίες για ολόκληρο το φράκταλ. Ο ορισμός του φράκταλ που δόθηκε από τον Mandelbrot είναι ο εξής: «Ένα φράκταλ είναι μια δομή που αποτελείται από μέρη που είναι κατά κάποια έννοια παρόμοια με το σύνολο».

Υπάρχει μεγάλος αριθμόςμαθηματικά αντικείμενα που ονομάζονται φράκταλ (τρίγωνο Sierpinski, νιφάδα χιονιού Koch, καμπύλη Peano, σύνολο Mandelbrot και ελκυστές Lorentz). Τα φράκταλ περιγράφουν με μεγάλη ακρίβεια πολλά φυσικά φαινόμενα και σχηματισμούς του πραγματικού κόσμου: βουνά, σύννεφα, τυρβώδη ρεύματα (δίνης), ρίζες, κλαδιά και φύλλα δέντρων, αιμοφόρα αγγεία, κάτι που κάθε άλλο παρά αντιστοιχεί σε απλά γεωμετρικά σχήματα. Για πρώτη φορά, ο Benoit Mandelbrot μίλησε για τη φράκταλ φύση του κόσμου μας στο σημαντικό έργο του "The Fractal Geometry of Nature".
Ο όρος φράκταλ εισήχθη από τον Benoit Mandelbrot το 1977 στο θεμελιώδες έργο του "Fractals, Form, Chaos and Dimension". Σύμφωνα με τον Mandelbrot, η λέξη fractal προέρχεται από τις λατινικές λέξεις fractus - fractional και frangere - to break, κάτι που αντικατοπτρίζει την ουσία του fractal ως ένα «σπασμένο», ακανόνιστο σύνολο.

Ταξινόμηση φράκταλ.

Για να αντιπροσωπεύσουμε ολόκληρη την ποικιλία των φράκταλ, είναι βολικό να καταφύγουμε στη γενικά αποδεκτή ταξινόμησή τους. Υπάρχουν τρεις κατηγορίες φράκταλ.

1. Γεωμετρικά φράκταλ.

Τα φράκταλ αυτής της κατηγορίας είναι τα πιο προφανή. Στη δισδιάστατη περίπτωση, λαμβάνονται χρησιμοποιώντας μια πολύγραμμη (ή επιφάνεια στην τρισδιάστατη περίπτωση) που ονομάζεται γεννήτρια. Σε ένα βήμα του αλγορίθμου, καθένα από τα τμήματα που αποτελούν τη διακεκομμένη γραμμή αντικαθίσταται από μια γεννήτρια διακεκομμένης γραμμής στην κατάλληλη κλίμακα. Ως αποτέλεσμα της ατελείωτης επανάληψης αυτής της διαδικασίας, προκύπτει ένα γεωμετρικό φράκταλ.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, ένα από αυτά τα φράκταλ αντικείμενα - την τριαδική καμπύλη Koch.

Κατασκευή της τριαδικής καμπύλης Koch.

Πάρτε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1. Ας το ονομάσουμε σπόρος. Ας χωρίσουμε τον σπόρο σε τρία ίσα μέρη μήκους 1/3, πετάξουμε το μεσαίο μέρος και τον αντικαταστήσουμε με μια σπασμένη γραμμή δύο κρίκων μήκους 1/3.

Παίρνουμε μια διακεκομμένη γραμμή, που αποτελείται από 4 συνδέσμους με συνολικό μήκος 4/3, - το λεγόμενο πρώτη γενιά.

Για να προχωρήσετε στην επόμενη γενιά της καμπύλης Koch, είναι απαραίτητο να απορρίψετε και να αντικαταστήσετε το μεσαίο τμήμα κάθε συνδέσμου. Κατά συνέπεια, το μήκος της δεύτερης γενιάς θα είναι 16/9, η τρίτη - 64/27. Εάν συνεχίσετε αυτή τη διαδικασία στο άπειρο, τότε το αποτέλεσμα θα είναι μια τριαδική καμπύλη Koch.

Ας εξετάσουμε τώρα την ιερή τριαδική καμπύλη Koch και ας μάθουμε γιατί τα φράκταλ ονομάζονταν «τέρατα».

Πρώτον, αυτή η καμπύλη δεν έχει μήκος - όπως είδαμε, με τον αριθμό των γενεών, το μήκος της τείνει στο άπειρο.

Δεύτερον, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια εφαπτομένη σε αυτήν την καμπύλη - κάθε σημείο της είναι ένα σημείο καμπής στο οποίο η παράγωγος δεν υπάρχει - αυτή η καμπύλη δεν είναι ομαλή.

Το μήκος και η ομαλότητα είναι οι θεμελιώδεις ιδιότητες των καμπυλών, οι οποίες μελετώνται τόσο από την Ευκλείδεια γεωμετρία όσο και από τη γεωμετρία των Lobachevsky και Riemann. Στην τριαδική καμπύλη Koch παραδοσιακές μέθοδοι γεωμετρική ανάλυσηαποδείχθηκε ανεφάρμοστη, οπότε η καμπύλη Koch αποδείχθηκε ένα τέρας - ένα "τέρας" μεταξύ των ομαλών κατοίκων των παραδοσιακών γεωμετριών.

Κατασκευή του «δράκου» Harter-Hateway.

Για να αποκτήσετε ένα άλλο αντικείμενο φράκταλ, πρέπει να αλλάξετε τους κανόνες κατασκευής. Έστω το στοιχείο παραγωγής δύο ίσα τμήματα συνδεδεμένα σε ορθή γωνία. Στη μηδενική γενιά, αντικαθιστούμε το τμήμα μονάδας με αυτό το στοιχείο παραγωγής έτσι ώστε η γωνία να βρίσκεται στην κορυφή. Μπορούμε να πούμε ότι με μια τέτοια αντικατάσταση, εμφανίζεται μια μετατόπιση στη μέση του συνδέσμου. Κατά την κατασκευή επόμενες γενιέςπληρούται ο κανόνας: ο πρώτος σύνδεσμος στα αριστερά αντικαθίσταται από ένα στοιχείο παραγωγής έτσι ώστε το μέσο του συνδέσμου να μετατοπίζεται προς τα αριστερά της κατεύθυνσης κίνησης και κατά την αντικατάσταση των επόμενων συνδέσμων, οι κατευθύνσεις μετατόπισης των μεσαίων σημείων των τμημάτων πρέπει να εναλλάσσονται. Το σχήμα δείχνει τις πρώτες γενιές και την 11η γενιά της καμπύλης που χτίστηκε σύμφωνα με την αρχή που περιγράφηκε παραπάνω. Η καμπύλη με το n να τείνει στο άπειρο ονομάζεται δράκος Harter-Hateway.
Στα γραφικά υπολογιστή, η χρήση γεωμετρικών φράκταλ είναι απαραίτητη κατά τη λήψη εικόνων δέντρων και θάμνων. Τα δισδιάστατα γεωμετρικά φράκταλ χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία τρισδιάστατων υφών (μοτίβα στην επιφάνεια ενός αντικειμένου).

2. Αλγεβρικά φράκταλ

Αυτή είναι η μεγαλύτερη ομάδα φράκταλ. Λαμβάνονται με τη χρήση μη γραμμικών διεργασιών σε n-διάστατους χώρους. Οι δισδιάστατες διεργασίες είναι οι πιο μελετημένες. Ερμηνεύοντας μια μη γραμμική επαναληπτική διαδικασία ως ένα διακριτό δυναμικό σύστημα, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την ορολογία της θεωρίας αυτών των συστημάτων: πορτραίτο φάσης, διαδικασία σταθερής κατάστασης, ελκυστής κ.λπ.
Είναι γνωστό ότι τα μη γραμμικά δυναμικά συστήματα έχουν αρκετές σταθερές καταστάσεις. Η κατάσταση στην οποία βρίσκεται το δυναμικό σύστημα μετά από έναν ορισμένο αριθμό επαναλήψεων εξαρτάται από την αρχική του κατάσταση. Επομένως, κάθε σταθερή κατάσταση (ή, όπως λένε, ένας ελκυστής) έχει μια συγκεκριμένη περιοχή αρχικών καταστάσεων, από τις οποίες το σύστημα θα πέσει αναγκαστικά στις θεωρούμενες τελικές καταστάσεις. Έτσι, ο χώρος φάσης του συστήματος χωρίζεται σε περιοχές έλξης ελκυστών. Εάν ο χώρος φάσης είναι δισδιάστατος, τότε χρωματίζοντας τις περιοχές έλξης με διαφορετικά χρώματα, μπορεί κανείς να αποκτήσει ένα έγχρωμο πορτρέτο φάσης αυτού του συστήματος (επαναληπτική διαδικασία). Αλλάζοντας τον αλγόριθμο επιλογής χρώματος, μπορείτε να αποκτήσετε πολύπλοκα μοτίβα φράκταλ με φανταχτερά πολύχρωμα μοτίβα. Μια έκπληξη για τους μαθηματικούς ήταν η ικανότητα δημιουργίας πολύ περίπλοκων μη τετριμμένων δομών χρησιμοποιώντας πρωτόγονους αλγόριθμους.

Το σετ Mandelbrot.

Ως παράδειγμα, λάβετε υπόψη το σύνολο Mandelbrot. Ο αλγόριθμος για την κατασκευή του είναι αρκετά απλός και βασίζεται σε μια απλή επαναληπτική έκφραση: Z = Z[i] * Z[i] + C, Οπου ZiΚαι ντοείναι σύνθετες μεταβλητές. Εκτελούνται επαναλήψεις για κάθε σημείο εκκίνησης από μια ορθογώνια ή τετράγωνη περιοχή - ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου. Η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται μέχρι Z[i]δεν θα υπερβεί τον κύκλο της ακτίνας 2, το κέντρο του οποίου βρίσκεται στο σημείο (0,0), (αυτό σημαίνει ότι ο ελκυστής του δυναμικού συστήματος βρίσκεται στο άπειρο) ή μετά από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων (για παράδειγμα , 200-500) Z[i]συγκλίνει σε κάποιο σημείο του κύκλου. Ανάλογα με τον αριθμό των επαναλήψεων κατά τις οποίες Z[i]παρέμεινε μέσα στον κύκλο, μπορείτε να ορίσετε το χρώμα του σημείου ντο(Αν Z[i]παραμένει μέσα στον κύκλο για αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, η διαδικασία επανάληψης σταματά και αυτό το ράστερ σημείο βάφεται μαύρο).

3. Στοχαστικά φράκταλ

Μια άλλη πολύ γνωστή κατηγορία φράκταλ είναι τα στοχαστικά φράκταλ, τα οποία προκύπτουν εάν κάποια από τις παραμέτρους τους αλλάξει τυχαία σε μια επαναληπτική διαδικασία. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα αντικείμενα πολύ παρόμοια με τα φυσικά - ασύμμετρα δέντρα, οδοντωτές ακτές κ.λπ. Τα δισδιάστατα στοχαστικά φράκταλ χρησιμοποιούνται στη μοντελοποίηση του εδάφους και της επιφάνειας της θάλασσας.
Υπάρχουν και άλλες ταξινομήσεις φράκταλ, για παράδειγμα, η διαίρεση των φράκταλ σε ντετερμινιστικά (αλγεβρικά και γεωμετρικά) και μη ντετερμινιστικά (στοχαστικά).

Σχετικά με τη χρήση φράκταλ

Πρώτα απ 'όλα, τα φράκταλ είναι ένας τομέας εκπληκτικής μαθηματικής τέχνης, όταν με τη βοήθεια των απλούστερων τύπων και αλγορίθμων, λαμβάνονται εικόνες εξαιρετικής ομορφιάς και πολυπλοκότητας! Στα περιγράμματα των κατασκευασμένων εικόνων, συχνά μαντεύονται φύλλα, δέντρα και λουλούδια.

Μερικές από τις πιο ισχυρές εφαρμογές των φράκταλ βρίσκονται μέσα γραφικά υπολογιστή. Πρώτον, είναι η φράκταλ συμπίεση εικόνων και, δεύτερον, η κατασκευή τοπίων, δέντρων, φυτών και η δημιουργία φράκταλ υφών. Η σύγχρονη φυσική και μηχανική μόλις αρχίζουν να μελετούν τη συμπεριφορά των φράκταλ αντικειμένων. Και, φυσικά, τα φράκταλ εφαρμόζονται απευθείας στα ίδια τα μαθηματικά.
Τα πλεονεκτήματα των αλγορίθμων συμπίεσης fractal εικόνας είναι το πολύ μικρό μέγεθος του συσκευασμένου αρχείου και ο σύντομος χρόνος ανάκτησης εικόνας. Οι εικόνες που έχουν συσκευαστεί φράκτα μπορούν να κλιμακωθούν χωρίς την εμφάνιση εικονοστοιχείων. Αλλά η διαδικασία συμπίεσης διαρκεί πολύ και μερικές φορές διαρκεί για ώρες. Ο αλγόριθμος συσκευασίας με απώλειες φράκταλ σάς επιτρέπει να ορίσετε το επίπεδο συμπίεσης, παρόμοιο με τη μορφή jpeg. Ο αλγόριθμος βασίζεται στην αναζήτηση μεγάλων κομματιών της εικόνας παρόμοια με κάποια μικρά κομμάτια. Και μόνο ποιο κομμάτι είναι παρόμοιο με το οποίο είναι γραμμένο στο αρχείο εξόδου. Κατά τη συμπίεση, χρησιμοποιείται συνήθως ένα τετράγωνο πλέγμα (τα κομμάτια είναι τετράγωνα), γεγονός που οδηγεί σε μια ελαφρά γωνιότητα κατά την επαναφορά της εικόνας, ένα εξαγωνικό πλέγμα δεν έχει τέτοιο μειονέκτημα.
Το Iterated έχει αναπτύξει μια νέα μορφή εικόνας, το "Sting", που συνδυάζει fractal και "wave" (όπως jpeg) συμπίεση χωρίς απώλειες. Η νέα μορφή σάς επιτρέπει να δημιουργείτε εικόνες με δυνατότητα επακόλουθης κλιμάκωσης υψηλής ποιότητας και ο όγκος των αρχείων γραφικών είναι 15-20% του όγκου των ασυμπίεστων εικόνων.
Η τάση των φράκταλ να μοιάζουν με βουνά, λουλούδια και δέντρα εκμεταλλεύονται ορισμένοι συντάκτες γραφικών, όπως φράκταλ σύννεφα από το 3D studio MAX, φράκταλ βουνά στο World Builder. Δίνονται φράκταλ δέντρα, βουνά και ολόκληρα τοπία απλοί τύποι, είναι εύκολο να προγραμματιστούν και δεν χωρίζονται σε ξεχωριστά τρίγωνα και κύβους όταν προσεγγίζονται.
Δεν μπορείτε να αγνοήσετε τη χρήση των φράκταλ στα ίδια τα μαθηματικά. Στη θεωρία συνόλων, το σύνολο Cantor αποδεικνύει την ύπαρξη τέλειων πουθενά πυκνών συνόλων· στη θεωρία μετρήσεων, η αυτοσυνδεόμενη συνάρτηση "Cantor ladder" είναι ένα καλό παράδειγμα μιας συνάρτησης κατανομής μοναδικού μέτρου.
Στη μηχανική και τη φυσική, τα φράκταλ χρησιμοποιούνται λόγω μοναδική ιδιοκτησίαεπαναλάβετε τα περιγράμματα πολλών αντικειμένων της φύσης. Τα φράκταλ σάς επιτρέπουν να προσεγγίζετε δέντρα, επιφάνειες βουνών και ρωγμές με μεγαλύτερη ακρίβεια από τις προσεγγίσεις με τμήματα γραμμής ή πολύγωνα (με τον ίδιο αριθμό αποθηκευμένων δεδομένων). Τα μοντέλα φράκταλ, όπως και τα φυσικά αντικείμενα, έχουν "τραχύτητα", και αυτή η ιδιότητα διατηρείται σε μια αυθαίρετα μεγάλη αύξηση στο μοντέλο. Η παρουσία ενός ομοιόμορφου μέτρου στα φράκταλ καθιστά δυνατή την εφαρμογή της ολοκλήρωσης, τη θεωρία δυναμικού, τη χρήση τους αντί για τυπικά αντικείμενα στις εξισώσεις που έχουν ήδη μελετηθεί.
Με την προσέγγιση φράκταλ, το χάος παύει να είναι μπλε διαταραχή και αποκτά λεπτή δομή. Η επιστήμη των φράκταλ είναι ακόμα πολύ νέα και έχει ένα μεγάλο μέλλον μπροστά της. Η ομορφιά των φράκταλ απέχει πολύ από το να έχει εξαντληθεί και θα μας δώσει πολλά αριστουργήματα - αυτά που απολαμβάνουν το μάτι και αυτά που φέρνουν αληθινή ευχαρίστηση στο μυαλό.

Σχετικά με την κατασκευή φράκταλ

Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων

Κοιτάζοντας αυτήν την εικόνα, δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε πώς μπορεί να κατασκευαστεί ένα ίδιο-όμοιο φράκταλ (στην περίπτωση αυτή, η πυραμίδα Sierpinski). Πρέπει να πάρουμε μια συνηθισμένη πυραμίδα (τετράεδρο), στη συνέχεια να κόψουμε τη μέση της (οκτάεδρο), με αποτέλεσμα να έχουμε τέσσερις μικρές πυραμίδες. Με καθένα από αυτά κάνουμε την ίδια λειτουργία κ.ο.κ. Αυτή είναι μια κάπως αφελής, αλλά ενδεικτική εξήγηση.

Ας εξετάσουμε την ουσία της μεθόδου πιο αυστηρά. Ας υπάρχει κάποιο σύστημα IFS, δηλ. σύστημα χαρτογράφησης συστολής μικρό=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (για παράδειγμα, για την πυραμίδα μας, οι αντιστοιχίσεις μοιάζουν με S i (x)=1/2*x+o i , όπου o i οι κορυφές του τετραέδρου, i=1,..,4). Στη συνέχεια επιλέγουμε κάποιο συμπαγές σύνολο A 1 σε R n (στην περίπτωσή μας επιλέγουμε ένα τετράεδρο). Και προσδιορίζουμε με επαγωγή την ακολουθία των συνόλων A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Είναι γνωστό ότι τα σύνολα A k με αύξηση k προσεγγίζουν τον απαιτούμενο ελκυστήρα του συστήματος μικρό.

Σημειώστε ότι κάθε μία από αυτές τις επαναλήψεις είναι ένας ελκυστής επαναλαμβανόμενο σύστημα επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων(Αγγλικός όρος DigraphIFS, RIFSκαι επίσης IFS που κατευθύνεται σε γραφήματα) και επομένως είναι εύκολο να κατασκευαστούν με το πρόγραμμά μας.

Κατασκευή με σημεία ή πιθανολογική μέθοδο

Αυτή είναι η πιο εύκολη μέθοδος για εφαρμογή σε υπολογιστή. Για απλότητα, εξετάστε την περίπτωση ενός επίπεδου σετ αυτοκόλλησης. Λοιπόν ας

) είναι κάποιο σύστημα συγκολλητικών συστολών. Χαρτογραφήσεις Σ

εκπροσωπούμενοι ως: Σ

Σταθερή μήτρα μεγέθους 2x2 και o

Δισδιάστατη διανυσματική στήλη.

Ας πάρουμε ως σημείο εκκίνησης ένα σταθερό σημείο της πρώτης αντιστοίχισης S 1:
x:=o1;
Εδώ χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι όλα τα σταθερά σημεία συστολής S 1 ,..,S m ανήκουν στο φράκταλ. Ένα αυθαίρετο σημείο μπορεί να επιλεγεί ως σημείο εκκίνησης και η ακολουθία των σημείων που δημιουργείται από αυτό θα συρρικνωθεί σε φράκταλ, αλλά στη συνέχεια θα εμφανιστούν μερικά επιπλέον σημεία στην οθόνη.
Σημειώστε το τρέχον σημείο x=(x 1 ,x 2) στην οθόνη:
putpixel(x 1 , x 2 ,15);
Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό j από το 1 έως το m και υπολογίζουμε ξανά τις συντεταγμένες του σημείου x:
j:=Τυχαίο(m)+1;
x:=S j (x);
Πηγαίνουμε στο βήμα 2 ή, αν έχουμε κάνει αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, τότε σταματάμε.

Σημείωση.Εάν οι συντελεστές συμπίεσης των αντιστοιχίσεων S i είναι διαφορετικοί, τότε το φράκταλ θα γεμίσει με σημεία άνισα. Εάν οι αντιστοιχίσεις S i είναι ομοιότητες, αυτό μπορεί να αποφευχθεί περιπλέκοντας ελαφρώς τον αλγόριθμο. Για να γίνει αυτό, στο 3ο βήμα του αλγορίθμου, πρέπει να επιλεγεί ο αριθμός j από το 1 έως το m με τις πιθανότητες p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , όπου r i δηλώνει τους συντελεστές συστολής των αντιστοιχίσεων S i , και ο αριθμός s (που ονομάζεται διάσταση ομοιότητας) βρίσκεται από την εξίσωση r 1 s +...+r m s =1. Η λύση αυτής της εξίσωσης μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, με τη μέθοδο του Newton.

Σχετικά με τα φράκταλ και τους αλγόριθμους τους

Το Fractal προέρχεται από το λατινικό επίθετο "fractus" και στη μετάφραση σημαίνει αποτελούμενο από θραύσματα, και το αντίστοιχο λατινικό ρήμα "frangere" σημαίνει σπάω, δηλαδή δημιουργείς ακανόνιστα θραύσματα. Οι έννοιες της γεωμετρίας φράκταλ και φράκταλ, που εμφανίστηκαν στα τέλη της δεκαετίας του '70, έχουν καθιερωθεί σταθερά στην καθημερινή ζωή των μαθηματικών και των προγραμματιστών από τα μέσα της δεκαετίας του '80. Ο όρος προτάθηκε από τον Benoit Mandelbrot το 1975 για να αναφέρεται στις ακανόνιστες αλλά όμοιες δομές που μελέτησε. Η γέννηση της γεωμετρίας φράκταλ συνδέεται συνήθως με τη δημοσίευση το 1977 του βιβλίου του Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature". Τα έργα του χρησιμοποίησαν τα επιστημονικά αποτελέσματα άλλων επιστημόνων που εργάστηκαν την περίοδο 1875-1925 στον ίδιο τομέα (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Προσαρμογές

Επιτρέψτε μου να κάνω μερικές προσαρμογές στους αλγόριθμους που προτείνονται στο βιβλίο από τον H.-O. Paytgen και P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, καθαρά για να εξαφανιστούν τα τυπογραφικά λάθη και να διευκολυνθεί η κατανόηση των διαδικασιών, αφού μετά τη μελέτη τους, πολλά παρέμειναν για μένα μυστήριο. Δυστυχώς, αυτοί οι «κατανοητοί» και «απλοί» αλγόριθμοι οδηγούν έναν ρομαντικό τρόπο ζωής.

Η κατασκευή των φράκταλ βασίζεται σε μια ορισμένη μη γραμμική συνάρτηση μιας σύνθετης διαδικασίας με ανάδραση z \u003d z 2 + c αφού τα z και c είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, είναι απαραίτητο να το αποσυνθέσουμε σε x και y για να πάμε στο πιο ρεαλιστικό για κοινός άνθρωποςεπίπεδο:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Το επίπεδο που αποτελείται από όλα τα ζεύγη (x, y) μπορεί να θεωρηθεί ως με σταθερές τιμές p και q, καθώς και για δυναμικές. Στην πρώτη περίπτωση, ταξινόμηση όλων των σημείων (x, y) του επιπέδου σύμφωνα με το νόμο και χρωματισμός τους ανάλογα με τον αριθμό των επαναλήψεων της συνάρτησης που απαιτείται για την έξοδο από την επαναληπτική διαδικασία ή μη χρωματισμός (μαύρο) όταν το επιτρεπόμενο μέγιστο των επαναλήψεων αυξάνεται, έχουμε την εμφάνιση του σετ Julia. Αν, αντίθετα, προσδιορίσουμε το αρχικό ζεύγος τιμών (x, y) και ανιχνεύσουμε τη χρωματική του μοίρα με δυναμικά μεταβαλλόμενες τιμές των παραμέτρων p και q, τότε λαμβάνουμε εικόνες που ονομάζονται σύνολα Mandelbrot.

Σχετικά με το ζήτημα των αλγορίθμων χρωματισμού φράκταλ.

Συνήθως το σώμα του σετ αναπαρίσταται ως μαύρο πεδίο, αν και είναι προφανές ότι το μαύρο χρώμα μπορεί να αντικατασταθεί από οποιοδήποτε άλλο, αλλά αυτό είναι επίσης ένα μη ενδιαφέρον αποτέλεσμα. Η λήψη μιας εικόνας ενός συνόλου βαμμένη σε όλα τα χρώματα είναι μια εργασία που δεν μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας κυκλικές πράξεις, καθώς ο αριθμός των επαναλήψεων που σχηματίζουν το σώμα του συνόλου είναι ίσος με το μέγιστο δυνατό και πάντα ο ίδιος. Χρωματίστε το σετ διαφορετικά χρώματαίσως χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του ελέγχου της συνθήκης εξόδου από τον βρόχο (z_magnitude) ως τον αριθμό χρώματος, ή παρόμοιο με αυτό, αλλά με άλλες μαθηματικές πράξεις.

Εφαρμογή του «μικροσκοπίου φράκταλ»

για την επίδειξη συνοριακών φαινομένων.

Οι ελκυστήρες είναι τα κέντρα που οδηγούν τον αγώνα για κυριαρχία στο αεροπλάνο. Μεταξύ των ελκυστών υπάρχει ένα περίγραμμα που αντιπροσωπεύει ένα μοτίβο στροβιλισμού. Αυξάνοντας την κλίμακα εξέτασης εντός των ορίων του συνόλου, μπορεί κανείς να αποκτήσει μη τετριμμένα μοτίβα που αντικατοπτρίζουν την κατάσταση του ντετερμινιστικού χάους - ένα κοινό φαινόμενο στον φυσικό κόσμο.

Τα αντικείμενα που μελετούν οι γεωγράφοι σχηματίζουν ένα σύστημα με πολύ περίπλοκα οργανωμένα όρια, σε σχέση με το οποίο η εφαρμογή τους γίνεται μια δύσκολη πρακτική εργασία. Τα φυσικά συμπλέγματα έχουν πυρήνες τυπικής φύσης που λειτουργούν ως ελκυστήρες που χάνουν τη δύναμη επιρροής τους στην περιοχή καθώς απομακρύνεται.

Χρησιμοποιώντας ένα φράκταλ μικροσκόπιο για τα σύνολα Mandelbrot και Julia, μπορεί κανείς να σχηματίσει μια ιδέα για οριακές διαδικασίες και φαινόμενα που είναι εξίσου πολύπλοκα ανεξάρτητα από την κλίμακα εξέτασης και έτσι να προετοιμάσει την αντίληψη ενός ειδικού για μια συνάντηση με μια δυναμική και φαινομενικά χαοτική στο χώρο και το χρόνο φυσικό αντικείμενο, για την κατανόηση φράκταλ γεωμετρίας φύσης. Τα πολύχρωμα χρώματα και η μουσική φράκταλ σίγουρα θα αφήσουν βαθύ σημάδι στο μυαλό των μαθητών.

Χιλιάδες δημοσιεύσεις και τεράστιοι πόροι του Διαδικτύου είναι αφιερωμένες στα φράκταλ, ωστόσο, για πολλούς ειδικούς μακριά από την επιστήμη των υπολογιστών, αυτός ο όρος φαίνεται εντελώς νέος. Τα φράκταλ, ως αντικείμενα ενδιαφέροντος για τους ειδικούς σε διάφορους γνωστικούς τομείς, θα πρέπει να λάβουν τη θέση τους στο μάθημα της επιστήμης των υπολογιστών.

Παραδείγματα

SIERPINSKI GRID

Αυτό είναι ένα από τα φράκταλ με τα οποία πειραματίστηκε ο Mandelbrot όταν ανέπτυξε τις έννοιες των διαστάσεων και των επαναλήψεων φράκταλ. Τα τρίγωνα που σχηματίζονται με την ένωση των μεσαίων σημείων του μεγαλύτερου τριγώνου κόβονται από το κύριο τρίγωνο για να σχηματίσουν ένα τρίγωνο, με περισσότερες τρύπες. Σε αυτήν την περίπτωση, ο εκκινητής είναι ένα μεγάλο τρίγωνο και το πρότυπο είναι μια λειτουργία για την κοπή τριγώνων παρόμοια με το μεγαλύτερο. Μπορείτε επίσης να αποκτήσετε μια τρισδιάστατη έκδοση ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας ένα συνηθισμένο τετράεδρο και κόβοντας μικρότερα τετράεδρα. Η διάσταση ενός τέτοιου φράκταλ είναι ln3/ln2 = 1,584962501.

Αποκτώ Χαλί Sierpinski, πάρτε ένα τετράγωνο, χωρίστε το σε εννέα τετράγωνα και κόψτε το μεσαίο. Το ίδιο θα κάνουμε και με τα υπόλοιπα, μικρότερα τετράγωνα. Στο τέλος σχηματίζεται ένα επίπεδο πλέγμα φράκταλ, το οποίο δεν έχει εμβαδόν, αλλά με άπειρες συνδέσεις. Στη χωρική του μορφή, το σφουγγάρι Sierpinski μεταμορφώνεται σε ένα σύστημα διαμπερών μορφών, στο οποίο κάθε διαμπερές στοιχείο αντικαθίσταται συνεχώς από το δικό του είδος. Αυτή η δομή μοιάζει πολύ με ένα τμήμα οστικού ιστού. Κάποτε τέτοιες επαναλαμβανόμενες κατασκευές θα γίνουν στοιχείο κτιριακών κατασκευών. Η στατικότητα και η δυναμική τους, πιστεύει ο Mandelbrot, αξίζουν προσεκτικής μελέτης.

ΚΑΜΠΥΛΗ KOCH

Η καμπύλη Koch είναι ένα από τα πιο τυπικά ντετερμινιστικά φράκταλ. Εφευρέθηκε τον δέκατο ένατο αιώνα από έναν Γερμανό μαθηματικό ονόματι Helge von Koch, ο οποίος, ενώ μελετούσε το έργο του Georg Kontor και του Karl Weierstraße, συνάντησε περιγραφές κάποιων περίεργων καμπυλών με ασυνήθιστη συμπεριφορά. Εκκινητής - απευθείας γραμμή. Η γεννήτρια είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, οι πλευρές του οποίου είναι ίσες με το ένα τρίτο του μήκους του μεγαλύτερου τμήματος. Αυτά τα τρίγωνα προστίθενται στο μέσο κάθε τμήματος ξανά και ξανά. Στην έρευνά του, ο Mandelbrot πειραματίστηκε πολύ με τις καμπύλες Koch και απέκτησε φιγούρες όπως τα νησιά Koch, οι σταυροί Koch, οι χιονονιφάδες του Koch και ακόμη και οι τρισδιάστατες αναπαραστάσεις της καμπύλης Koch χρησιμοποιώντας ένα τετράεδρο και προσθέτοντας μικρότερα τετράεδρα σε κάθε όψη της. Η καμπύλη Koch έχει διάσταση ln4/ln3 = 1,261859507.

Φράκταλ Mandelbrot

Αυτό ΔΕΝ είναι το σετ Mandelbrot που βλέπετε αρκετά συχνά. Το σύνολο Mandelbrot βασίζεται σε μη γραμμικές εξισώσεις και είναι ένα σύνθετο φράκταλ. Αυτή είναι επίσης μια παραλλαγή της καμπύλης Koch, παρά το γεγονός ότι αυτό το αντικείμενο δεν μοιάζει με αυτό. Ο εκκινητής και η γεννήτρια είναι επίσης διαφορετικά από αυτά που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία φράκταλ με βάση την αρχή της καμπύλης Koch, αλλά η ιδέα παραμένει η ίδια. Αντί να προσαρτώνται ισόπλευρα τρίγωνα σε ένα τμήμα καμπύλης, τα τετράγωνα συνδέονται με ένα τετράγωνο. Λόγω του γεγονότος ότι αυτό το φράκταλ καταλαμβάνει ακριβώς το μισό του εκχωρημένου χώρου σε κάθε επανάληψη, έχει μια απλή διάσταση φράκταλ 3/2 = 1,5.

ΤΟ ΠΕΝΤΑΓΟΝΟ ΤΟΥ ΝΤΑΡΕΡ

Ένα φράκταλ μοιάζει με ένα μάτσο πεντάγωνα συμπιεσμένα μεταξύ τους. Στην πραγματικότητα, σχηματίζεται χρησιμοποιώντας ένα πεντάγωνο ως εκκινητή και ισοσκελές τρίγωνα, η αναλογία της μεγαλύτερης πλευράς προς τη μικρότερη στην οποία είναι ακριβώς ίση με τη λεγόμενη χρυσή τομή (1,618033989 ή 1/(2cos72)) ως γεννήτρια. . Αυτά τα τρίγωνα κόβονται από τη μέση κάθε πενταγώνου, με αποτέλεσμα ένα σχήμα που μοιάζει με 5 μικρά πεντάγωνα κολλημένα σε ένα μεγάλο.

Μια παραλλαγή αυτού του φράκταλ μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας ένα εξάγωνο ως εκκινητή. Αυτό το φράκταλ ονομάζεται Star of David και μοιάζει αρκετά με την εξαγωνική εκδοχή του Snowflake του Koch. Η φράκταλ διάσταση του πενταγώνου Darer είναι ln6/ln(1+g), όπου g είναι ο λόγος του μήκους της μεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου προς το μήκος της μικρότερης πλευράς. Σε αυτήν την περίπτωση, το g είναι η Χρυσή Αναλογία, επομένως η διάσταση του φράκταλ είναι περίπου 1,86171596. Η φράκταλ διάσταση του Άστρου του Δαβίδ είναι ln6/ln3 ή 1,630929754.

Σύνθετα φράκταλ

Στην πραγματικότητα, εάν κάνετε μεγέθυνση σε μια μικρή περιοχή οποιουδήποτε πολύπλοκου φράκταλ και στη συνέχεια κάνετε το ίδιο σε μια μικρή περιοχή αυτής της περιοχής, οι δύο μεγεθύνσεις θα διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους. Οι δύο εικόνες θα μοιάζουν πολύ στη λεπτομέρεια, αλλά δεν θα είναι εντελώς ίδιες.

Εικ. 1. Προσέγγιση του συνόλου Mandelbrot

Συγκρίνετε, για παράδειγμα, τις εικόνες του σετ Mandelbrot που εμφανίζονται εδώ, το ένα από τα οποία λήφθηκε αυξάνοντας κάποια περιοχή του άλλου. Όπως μπορείτε να δείτε, δεν είναι απολύτως πανομοιότυπα, αν και και στα δύο βλέπουμε έναν μαύρο κύκλο, από τον οποίο τα φλεγόμενα πλοκάμια πηγαίνουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Αυτά τα στοιχεία επαναλαμβάνονται επ' αόριστον στο σύνολο Mandelbrot σε φθίνουσα αναλογία.

Τα ντετερμινιστικά φράκταλ είναι γραμμικά, ενώ τα σύνθετα φράκταλ όχι. Όντας μη γραμμικά, αυτά τα φράκταλ δημιουργούνται από αυτό που ο Mandelbrot ονόμασε μη γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις. Καλό παράδειγμαείναι η διαδικασία Zn+1=ZnІ + C, η οποία είναι η εξίσωση που χρησιμοποιείται για την κατασκευή των συνόλων Mandelbrot και Julia του δεύτερου βαθμού. Η επίλυση αυτών των μαθηματικών εξισώσεων περιλαμβάνει μιγαδικούς και φανταστικούς αριθμούς. Όταν η εξίσωση ερμηνεύεται γραφικά στο μιγαδικό επίπεδο, το αποτέλεσμα είναι ένα περίεργο σχήμα στο οποίο οι ευθείες γραμμές μετατρέπονται σε καμπύλες, φαινόμενα αυτο-ομοιότητας εμφανίζονται σε διάφορα επίπεδα κλίμακας, αν και όχι χωρίς παραμορφώσεις. Ταυτόχρονα, η όλη εικόνα στο σύνολό της είναι απρόβλεπτη και πολύ χαοτική.

Όπως μπορείτε να δείτε κοιτάζοντας τις εικόνες, τα πολύπλοκα φράκταλ είναι πράγματι πολύ περίπλοκα και αδύνατο να δημιουργηθούν χωρίς τη βοήθεια υπολογιστή. Για να έχετε πολύχρωμα αποτελέσματα, αυτός ο υπολογιστής πρέπει να διαθέτει έναν ισχυρό συνεπεξεργαστή μαθηματικών και μια οθόνη υψηλής ανάλυσης. Σε αντίθεση με τα ντετερμινιστικά φράκταλ, τα σύνθετα φράκταλ δεν υπολογίζονται σε 5-10 επαναλήψεις. Σχεδόν κάθε κουκκίδα στην οθόνη του υπολογιστή είναι σαν ένα ξεχωριστό φράκταλ. Κατά τη μαθηματική επεξεργασία, κάθε σημείο αντιμετωπίζεται ως ξεχωριστό μοτίβο. Κάθε σημείο αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή. Η εξίσωση είναι ενσωματωμένη για κάθε σημείο και εκτελείται, για παράδειγμα, 1000 επαναλήψεις. Για να αποκτήσετε μια σχετικά μη παραμορφωμένη εικόνα σε ένα χρονικό διάστημα αποδεκτό για οικιακούς υπολογιστές, είναι δυνατό να πραγματοποιήσετε 250 επαναλήψεις για ένα σημείο.

Τα περισσότερα από τα φράκταλ που βλέπουμε σήμερα είναι όμορφα χρωματισμένα. Ίσως οι εικόνες φράκταλ έγιναν τόσο μεγάλες αισθητική αξίαακριβώς λόγω των χρωμάτων τους. Αφού υπολογιστεί η εξίσωση, ο υπολογιστής αναλύει τα αποτελέσματα. Εάν τα αποτελέσματα παραμένουν σταθερά ή κυμαίνονται γύρω από μια συγκεκριμένη τιμή, η κουκκίδα συνήθως γίνεται μαύρη. Εάν η τιμή σε ένα ή άλλο βήμα τείνει στο άπειρο, το σημείο βάφεται με διαφορετικό χρώμα, ίσως μπλε ή κόκκινο. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, ο υπολογιστής εκχωρεί χρώματα σε όλες τις ταχύτητες κίνησης.

Συνήθως, οι γρήγορα κινούμενες κουκκίδες βάφονται με κόκκινο χρώμα, ενώ οι πιο αργές είναι κίτρινες κ.ο.κ. σκούρες κουκκίδεςείναι ίσως τα πιο σταθερά.

Τα σύνθετα φράκταλ διαφέρουν από τα ντετερμινιστικά φράκταλ στο ότι είναι απείρως πολύπλοκα, αλλά μπορούν να δημιουργηθούν με έναν πολύ απλό τύπο. Τα ντετερμινιστικά φράκταλ δεν χρειάζονται τύπους ή εξισώσεις. Απλώς πάρτε λίγο χαρτί σχεδίασης και μπορείτε να φτιάξετε ένα κόσκινο Sierpinski έως και 3 ή 4 επαναλήψεις χωρίς καμία δυσκολία. Προσπαθήστε να το κάνετε με πολλά Julia! Είναι πιο εύκολο να μετρήσετε το μήκος της ακτογραμμής της Αγγλίας!

ΣΕΤ MANDERBROT

Εικ 2. Σετ Mandelbrot

Τα σετ Mandelbrot και Julia είναι πιθανώς τα δύο πιο κοινά μεταξύ των πολύπλοκων φράκταλ. Μπορούν να βρεθούν σε πολλά επιστημονικά περιοδικά, εξώφυλλα βιβλίων, καρτ ποστάλ και προφύλαξη οθόνης υπολογιστή. Το σετ Mandelbrot, το οποίο κατασκευάστηκε από τον Benoit Mandelbrot, είναι ίσως η πρώτη σχέση που έχουν οι άνθρωποι όταν ακούν τη λέξη φράκταλ. Αυτό το φράκταλ, που μοιάζει με κάρτα με λαμπερές περιοχές δέντρων και κύκλους συνδεδεμένες σε αυτό, δημιουργείται από τον απλό τύπο Zn+1=Zna+C, όπου τα Z και C είναι μιγαδικοί αριθμοί και ο a είναι θετικός αριθμός.

Το πιο συχνά εμφανιζόμενο σύνολο Mandelbrot είναι το σύνολο Mandelbrot 2ου βαθμού, δηλ. a=2. Το γεγονός ότι το σύνολο Mandelbrot δεν είναι μόνο Zn+1=ZnІ+C, αλλά ένα φράκταλ του οποίου ο εκθέτης στον τύπο μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός παραπλάνησε πολλούς ανθρώπους. Σε αυτή τη σελίδα βλέπετε ένα παράδειγμα του συνόλου Mandelbrot για διάφορες τιμές του εκθέτη a.
Εικόνα 3. Η εμφάνιση φυσαλίδων στο a=3,5

Η διαδικασία Z=Z*tg(Z+C) είναι επίσης δημοφιλής. Χάρη στη συμπερίληψη της συνάρτησης εφαπτομένης, λαμβάνεται το σύνολο Mandelbrot, που περιβάλλεται από μια περιοχή που μοιάζει με μήλο. Κατά τη χρήση της συνημίτονος, επιτυγχάνονται εφέ φυσαλίδων αέρα. Εν ολίγοις, υπάρχει άπειρος αριθμός τρόπων για να τροποποιήσετε το σετ Mandelbrot για να δημιουργήσετε διάφορες όμορφες εικόνες.

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΤΖΟΥΛΙΑ

Παραδόξως, τα σετ Julia διαμορφώνονται σύμφωνα με τον ίδιο τύπο με το σετ Mandelbrot. Το σετ Julia εφευρέθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Gaston Julia, από τον οποίο ονομάστηκε το σετ. Το πρώτο ερώτημα που προκύπτει μετά από μια οπτική γνωριμία με τα σύνολα Mandelbrot και Julia είναι "αν και τα δύο φράκταλ δημιουργούνται από τον ίδιο τύπο, γιατί είναι τόσο διαφορετικά;" Πρώτα δείτε τις φωτογραφίες του σετ Julia. Παραδόξως, υπάρχουν διαφορετικοί τύποι σετ Julia. Όταν σχεδιάζετε ένα φράκταλ χρησιμοποιώντας διαφορετικά σημεία εκκίνησης (για να ξεκινήσετε τη διαδικασία επανάληψης), διάφορες εικόνες. Αυτό ισχύει μόνο για το σετ Julia.

Εικ 4. Σετ Τζούλια

Αν και δεν φαίνεται στην εικόνα, ένα φράκταλ Mandelbrot είναι στην πραγματικότητα ένα μάτσο φράκταλ Julia που συνδέονται μεταξύ τους. Κάθε σημείο (ή συντεταγμένη) του συνόλου Mandelbrot αντιστοιχεί σε ένα φράκταλ Julia. Τα σύνολα Julia μπορούν να δημιουργηθούν χρησιμοποιώντας αυτά τα σημεία ως αρχικές τιμές στην εξίσωση Z=ZI+C. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι εάν επιλέξετε ένα σημείο στο φράκταλ Mandelbrot και το αυξήσετε, μπορείτε να πάρετε ένα φράκταλ Julia. Αυτά τα δύο σημεία είναι πανομοιότυπα, αλλά μόνο με μαθηματική έννοια. Αν πάρουμε αυτό το σημείο και το υπολογίσουμε σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, μπορούμε να πάρουμε το φράκταλ Julia που αντιστοιχεί σε ένα ορισμένο σημείο του φράκταλ Mandelbrot.

Για να αντιπροσωπεύσουμε ολόκληρη την ποικιλία των φράκταλ, είναι βολικό να καταφύγουμε στη γενικά αποδεκτή ταξινόμησή τους.

2.1 Γεωμετρικά φράκταλ

Τα φράκταλ αυτής της κατηγορίας είναι τα πιο προφανή. Στη δισδιάστατη περίπτωση, λαμβάνονται χρησιμοποιώντας κάποια πολυγραμμή (ή επιφάνεια στην τρισδιάστατη περίπτωση) που ονομάζεται γεννήτρια. Σε ένα βήμα του αλγορίθμου, καθένα από τα τμήματα που συνθέτουν τη διακεκομμένη γραμμή αντικαθίσταται από μια γεννήτρια διακεκομμένης γραμμής, στην κατάλληλη κλίμακα. Ως αποτέλεσμα της ατελείωτης επανάληψης αυτής της διαδικασίας, προκύπτει ένα γεωμετρικό φράκταλ.

Εικ. 1. Κατασκευή της τριαδικής καμπύλης Koch.

Εξετάστε ένα από αυτά τα φράκταλ αντικείμενα - την τριαδική καμπύλη Koch. Η κατασκευή της καμπύλης ξεκινά με ένα τμήμα μοναδιαίου μήκους (Εικ. 1) - αυτή είναι η 0η γενιά της καμπύλης Koch. Περαιτέρω, κάθε σύνδεσμος (ένα τμήμα στη μηδενική γενιά) αντικαθίσταται από generatrix, δεικνύεται στο Σχ. 1 έως n=1. Ως αποτέλεσμα μιας τέτοιας αντικατάστασης, λαμβάνεται η επόμενη γενιά της καμπύλης Koch. Στην 1η γενιά, αυτή είναι μια καμπύλη τεσσάρων ευθύγραμμων συνδέσμων, ο καθένας με μήκος 1/3 . Για να αποκτήσετε την 3η γενιά, εκτελούνται οι ίδιες ενέργειες - κάθε σύνδεσμος αντικαθίσταται από ένα μειωμένο στοιχείο διαμόρφωσης. Έτσι, για να ληφθεί κάθε επόμενη γενιά, όλοι οι σύνδεσμοι της προηγούμενης γενιάς πρέπει να αντικατασταθούν από ένα μειωμένο στοιχείο διαμόρφωσης. Καμπύλη nη γενιά για κάθε πεπερασμένο nπου ονομάζεται προφρακτικός. Το σχήμα 1 δείχνει πέντε γενιές της καμπύλης. Στο nτείνει προς το άπειρο, η καμπύλη Koch γίνεται φράκταλ αντικείμενο.

Εικόνα 2. Κατασκευή του «δράκου» του Harter-Hateway.

Για να αποκτήσετε ένα άλλο αντικείμενο φράκταλ, πρέπει να αλλάξετε τους κανόνες κατασκευής. Έστω το στοιχείο παραγωγής δύο ίσα τμήματα συνδεδεμένα σε ορθή γωνία. Στη μηδενική γενιά, αντικαθιστούμε το τμήμα μονάδας με αυτό το στοιχείο παραγωγής έτσι ώστε η γωνία να βρίσκεται στην κορυφή. Μπορούμε να πούμε ότι με μια τέτοια αντικατάσταση, εμφανίζεται μια μετατόπιση στη μέση του συνδέσμου. Κατά την κατασκευή των επόμενων γενεών, πληρούται ο κανόνας: ο πρώτος σύνδεσμος στα αριστερά αντικαθίσταται από ένα στοιχείο παραγωγής έτσι ώστε το μέσο του συνδέσμου να μετατοπίζεται προς τα αριστερά της κατεύθυνσης κίνησης και κατά την αντικατάσταση των επόμενων συνδέσμων, οι κατευθύνσεις μετατόπισης των μεσαίων σημείων των τμημάτων πρέπει να εναλλάσσονται. Το Σχήμα 2 δείχνει τις πρώτες γενιές και την 11η γενιά της καμπύλης που κατασκευάστηκε σύμφωνα με την αρχή που περιγράφηκε παραπάνω. Περιοριστική καμπύλη φράκταλ (στο nτείνει στο άπειρο) λέγεται Δράκος Harter-Hateway .

Στα γραφικά υπολογιστή, η χρήση γεωμετρικών φράκταλ είναι απαραίτητη κατά τη λήψη εικόνων δέντρων, θάμνων και της ακτογραμμής. Τα δισδιάστατα γεωμετρικά φράκταλ χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία ογκομετρικών υφών (μοτίβα στην επιφάνεια ενός αντικειμένου).

2.2 Αλγεβρικά φράκταλ

Αυτή είναι η μεγαλύτερη ομάδα φράκταλ. Λαμβάνονται με τη χρήση μη γραμμικών διεργασιών στο n-διαστατικούς χώρους. Οι δισδιάστατες διεργασίες είναι οι πιο μελετημένες. Ερμηνεύοντας μια μη γραμμική επαναληπτική διαδικασία ως ένα διακριτό δυναμικό σύστημα, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την ορολογία της θεωρίας αυτών των συστημάτων: πορτρέτο φάσης, σταθερή κατάσταση, ελκυστήςκαι τα λοιπά.

Είναι γνωστό ότι τα μη γραμμικά δυναμικά συστήματα έχουν αρκετές σταθερές καταστάσεις. Η κατάσταση στην οποία βρίσκεται το δυναμικό σύστημα μετά από έναν ορισμένο αριθμό επαναλήψεων εξαρτάται από την αρχική του κατάσταση. Επομένως, κάθε σταθερή κατάσταση (ή, όπως λένε, ένας ελκυστής) έχει μια συγκεκριμένη περιοχή αρχικών καταστάσεων, από τις οποίες το σύστημα θα πέσει αναγκαστικά στις θεωρούμενες τελικές καταστάσεις. Έτσι, ο χώρος φάσης του συστήματος χωρίζεται σε περιοχές έλξηςελκυστές. Εάν ο χώρος φάσης είναι δισδιάστατος, τότε χρωματίζοντας τις περιοχές έλξης με διαφορετικά χρώματα, μπορεί κανείς να αποκτήσει πορτρέτο έγχρωμης φάσηςαυτό το σύστημα (επαναληπτική διαδικασία). Αλλάζοντας τον αλγόριθμο επιλογής χρώματος, μπορείτε να αποκτήσετε πολύπλοκα μοτίβα φράκταλ με φανταχτερά πολύχρωμα μοτίβα. Μια έκπληξη για τους μαθηματικούς ήταν η ικανότητα δημιουργίας πολύ περίπλοκων μη τετριμμένων δομών χρησιμοποιώντας πρωτόγονους αλγόριθμους.

Εικ. 3. Σετ Mandelbrot.

Ως παράδειγμα, λάβετε υπόψη το σύνολο Mandelbrot (βλ. Εικ. 3 και Σχ. 4). Ο αλγόριθμος για την κατασκευή του είναι αρκετά απλός και βασίζεται σε μια απλή επαναληπτική έκφραση:

Ζ = Ζ[Εγώ]* Ζ[i]+ ντο,

Οπου Ζεγώ και ντοείναι σύνθετες μεταβλητές. Εκτελούνται επαναλήψεις για κάθε σημείο εκκίνησης ντοορθογώνια ή τετράγωνη περιοχή - ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου. Η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται μέχρι ΖΤο [i] δεν θα υπερβεί τον κύκλο της ακτίνας 2, το κέντρο του οποίου βρίσκεται στο σημείο (0,0), (αυτό σημαίνει ότι ο ελκυστής του δυναμικού συστήματος βρίσκεται στο άπειρο) ή μετά από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων (για παράδειγμα, 200-500) ΖΤο [i] συγκλίνει σε κάποιο σημείο του κύκλου. Ανάλογα με τον αριθμό των επαναλήψεων κατά τις οποίες ΖΤο [i] παρέμεινε μέσα στον κύκλο, μπορείτε να ορίσετε το χρώμα της κουκκίδας ντο(Αν ΖΤο [i] παραμένει μέσα στον κύκλο για έναν αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, η διαδικασία επανάληψης σταματά και αυτό το ράστερ σημείο βάφεται μαύρο).

Εικόνα 4. Μέρος του περιγράμματος του συνόλου Mandelbrot, μεγεθύνεται 200 φορές.

Ο παραπάνω αλγόριθμος δίνει μια προσέγγιση στο λεγόμενο σύνολο Mandelbrot. Το σύνολο Mandelbrot περιέχει σημεία που κατά τη διάρκεια ατελείωτεςο αριθμός των επαναλήψεων δεν πηγαίνει στο άπειρο (τα σημεία είναι μαύρα). Τα σημεία που ανήκουν στο όριο του συνόλου (εδώ προκύπτουν πολύπλοκες δομές) πηγαίνουν στο άπειρο σε έναν πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων και τα σημεία που βρίσκονται εκτός του συνόλου πηγαίνουν στο άπειρο μετά από πολλές επαναλήψεις (λευκό φόντο).

2.3 Στοχαστικά φράκταλ

Υπάρχουν και άλλες ταξινομήσεις φράκταλ, για παράδειγμα, η διαίρεση των φράκταλ σε ντετερμινιστικά (αλγεβρικά και γεωμετρικά) και μη ντετερμινιστικά (στοχαστικά).

φράκταλ

Φράκταλ (λατ. fractus- θρυμματισμένο, σπασμένο, σπασμένο) - ένα γεωμετρικό σχήμα που έχει την ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας, δηλαδή αποτελείται από πολλά μέρη, καθένα από τα οποία είναι παρόμοιο με ολόκληρο το σχήμα στο σύνολό του. Στα μαθηματικά, τα φράκταλ νοούνται ως σύνολα σημείων στον Ευκλείδειο χώρο που έχουν μια κλασματική μετρική διάσταση (με την έννοια του Minkowski ή του Hausdorff), ή μια μετρική διάσταση διαφορετική από την τοπολογική. Ο φράκταμος είναι μια ανεξάρτητη ακριβής επιστήμη της μελέτης και της σύνταξης φράκταλ.

Με άλλα λόγια, τα φράκταλ είναι γεωμετρικά αντικείμενα με κλασματική διάσταση. Για παράδειγμα, η διάσταση μιας γραμμής είναι 1, μια περιοχή είναι 2, ένας όγκος είναι 3. Για ένα φράκταλ, η τιμή της διάστασης μπορεί να είναι μεταξύ 1 και 2 ή μεταξύ 2 και 3. Για παράδειγμα, η φράκταλ διάσταση ενός τσαλακωμένου χαρτιού Η μπάλα είναι περίπου 2,5. Στα μαθηματικά, υπάρχει ένας ειδικός σύνθετος τύπος για τον υπολογισμό της διάστασης των φράκταλ. Οι διακλαδώσεις των τραχειακών σωλήνων, τα φύλλα στα δέντρα, οι φλέβες στο χέρι, το ποτάμι είναι φράκταλ. Με απλά λόγια, ένα φράκταλ είναι ένα γεωμετρικό σχήμα, ένα ορισμένο μέρος του οποίου επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά, αλλάζει σε μέγεθος - αυτή είναι η αρχή της αυτο-ομοιότητας. Τα φράκταλ είναι παρόμοια με τον εαυτό τους, είναι παρόμοια με τον εαυτό τους σε όλα τα επίπεδα (δηλαδή, σε οποιαδήποτε κλίμακα). Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τύποι φράκταλ. Κατ' αρχήν, μπορεί να υποστηριχθεί ότι ό,τι υπάρχει στον πραγματικό κόσμο είναι ένα φράκταλ, είτε είναι ένα σύννεφο είτε ένα μόριο οξυγόνου.

Η λέξη «χάος» υποδηλώνει κάτι απρόβλεπτο, αλλά στην πραγματικότητα, το χάος είναι αρκετά διατεταγμένο και υπακούει σε ορισμένους νόμους. Ο σκοπός της μελέτης του χάους και των φράκταλ είναι να προβλέψει μοτίβα που, με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνονται απρόβλεπτα και εντελώς χαοτικά.

Πρωτοπόρος σε αυτό το γνωστικό πεδίο ήταν ο Γαλλοαμερικανός μαθηματικός, καθηγητής Benoit B. Mandelbrot. Στα μέσα της δεκαετίας του 1960, ανέπτυξε φράκταλ γεωμετρία, σκοπός της οποίας ήταν να αναλύσει σπασμένα, ζαρωμένα και ασαφή σχήματα. Το σετ Mandelbrot (που φαίνεται στο σχήμα) είναι ο πρώτος συσχετισμός που έχει ένα άτομο όταν ακούει τη λέξη "fractal". Παρεμπιπτόντως, ο Mandelbrot καθόρισε ότι η φράκταλ διάσταση της ακτογραμμής της Αγγλίας είναι 1,25.

Τα φράκταλ χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην επιστήμη. Περιγράφουν πραγματικό κόσμοακόμα καλύτερα από την παραδοσιακή φυσική ή τα μαθηματικά. Η κίνηση Brown είναι, για παράδειγμα, η τυχαία και χαοτική κίνηση των σωματιδίων σκόνης που αιωρούνται στο νερό. Αυτός ο τύπος κίνησης είναι ίσως η πιο πρακτική πτυχή της γεωμετρίας φράκταλ. Η τυχαία κίνηση Brown έχει μια απόκριση συχνότητας που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη φαινομένων που περιλαμβάνουν μεγάλες ποσότητες δεδομένων και στατιστικών. Για παράδειγμα, ο Mandelbrot προέβλεψε αλλαγές στην τιμή του μαλλιού χρησιμοποιώντας την κίνηση Brown.

Η λέξη "fractal" μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο ως μαθηματικός όρος. Ένα φράκταλ στον τύπο και τη λογοτεχνία της λαϊκής επιστήμης μπορεί να ονομαστεί φιγούρες που έχουν οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ιδιότητες:

Έχει μια μη τετριμμένη δομή σε όλες τις κλίμακες. Αυτή είναι η διαφορά από τα κανονικά σχήματα (όπως ένας κύκλος, μια έλλειψη, μια γραφική παράσταση μιας ομαλής συνάρτησης): αν λάβουμε υπόψη ένα μικρό θραύσμα κανονικού σχήματος σε πολύ μεγάλη κλίμακα, θα μοιάζει με ένα τμήμα μιας ευθείας γραμμής . Για ένα φράκταλ, η μεγέθυνση δεν οδηγεί σε απλοποίηση της δομής, σε όλες τις κλίμακες θα δούμε μια εξίσου πολύπλοκη εικόνα.

Είναι αυτο-όμοιο ή περίπου αυτο-όμοιο.

Έχει κλασματική μετρική διάσταση ή μετρική διάσταση ανώτερη από την τοπολογική.

Η πιο χρήσιμη χρήση των φράκταλ στους υπολογιστές είναι η συμπίεση δεδομένων φράκταλ. Ταυτόχρονα, οι εικόνες συμπιέζονται πολύ καλύτερα από ό,τι γίνεται με τις συμβατικές μεθόδους - έως και 600:1. Ένα άλλο πλεονέκτημα της συμπίεσης φράκταλ είναι ότι όταν κάνετε μεγέθυνση, δεν υπάρχει αποτέλεσμα pixelation που επιδεινώνει δραστικά την εικόνα. Επιπλέον, μια κλασματικά συμπιεσμένη εικόνα μετά τη μεγέθυνση συχνά φαίνεται ακόμα καλύτερη από πριν. Οι επιστήμονες υπολογιστών γνωρίζουν επίσης ότι τα φράκταλ άπειρης πολυπλοκότητας και ομορφιάς μπορούν να δημιουργηθούν με απλούς τύπους. Η κινηματογραφική βιομηχανία χρησιμοποιεί εκτενώς την τεχνολογία γραφικών φράκταλ για να δημιουργήσει ρεαλιστικά στοιχεία τοπίου (σύννεφα, βράχοι και σκιές).

Η μελέτη των αναταράξεων στις ροές προσαρμόζεται πολύ καλά στα φράκταλ. Αυτό επιτρέπει την καλύτερη κατανόηση της δυναμικής των πολύπλοκων ροών. Οι φλόγες μπορούν επίσης να μοντελοποιηθούν χρησιμοποιώντας φράκταλ. Τα πορώδη υλικά αντιπροσωπεύονται καλά σε φράκταλ μορφή λόγω του γεγονότος ότι έχουν πολύ περίπλοκη γεωμετρία. Για τη μετάδοση δεδομένων σε αποστάσεις, χρησιμοποιούνται κεραίες σε σχήμα φράκταλ, γεγονός που μειώνει σημαντικά το μέγεθος και το βάρος τους. Τα φράκταλ χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν την καμπυλότητα των επιφανειών. Μια ανώμαλη επιφάνεια χαρακτηρίζεται από συνδυασμό δύο διαφορετικών φράκταλ.

Πολλά αντικείμενα στη φύση έχουν φράκταλ ιδιότητες, όπως ακτές, σύννεφα, κορώνες δέντρων, νιφάδες χιονιού, το κυκλοφορικό σύστημα και το κυψελιδικό σύστημα των ανθρώπων ή των ζώων.

Τα φράκταλ, ειδικά στο αεροπλάνο, είναι δημοφιλή για τον συνδυασμό ομορφιάς και ευκολίας κατασκευής με υπολογιστή.

Τα πρώτα παραδείγματα αυτοπαρόμοιων συνόλων με ασυνήθιστες ιδιότητες εμφανίστηκαν τον 19ο αιώνα (για παράδειγμα, η συνάρτηση Bolzano, η συνάρτηση Weierstrass, το σύνολο Cantor). Ο όρος "fractal" εισήχθη από τον Benoit Mandelbrot το 1975 και κέρδισε μεγάλη δημοτικότητα με την κυκλοφορία του βιβλίου του "The Fractal Geometry of Nature" το 1977.

Το σχήμα στα αριστερά δείχνει ένα φράκταλ Darer Pentagon ως απλό παράδειγμα, το οποίο μοιάζει με ένα σωρό πεντάγωνα συμπιεσμένα μεταξύ τους. Στην πραγματικότητα, σχηματίζεται χρησιμοποιώντας ένα πεντάγωνο ως εκκινητή και ισοσκελές τρίγωνα, η αναλογία της μεγαλύτερης πλευράς προς τη μικρότερη στην οποία είναι ακριβώς ίση με τη λεγόμενη χρυσή τομή (1,618033989 ή 1/(2cos72°)). γεννήτρια. Αυτά τα τρίγωνα κόβονται από τη μέση κάθε πενταγώνου, με αποτέλεσμα ένα σχήμα που μοιάζει με 5 μικρά πεντάγωνα κολλημένα σε ένα μεγάλο.

Η θεωρία του χάους λέει ότι τα πολύπλοκα μη γραμμικά συστήματα είναι κληρονομικά απρόβλεπτα, αλλά ταυτόχρονα υποστηρίζει ότι ο τρόπος έκφρασης τέτοιων απρόβλεπτων συστημάτων αποδεικνύεται αληθινός όχι σε ακριβείς ισότητες, αλλά σε αναπαραστάσεις της συμπεριφοράς του συστήματος - σε γραφήματα περίεργων ελκυστών που μοιάζουν με φράκταλ. Έτσι, η θεωρία του χάους, η οποία θεωρείται από πολλούς ως απρόβλεπτη, αποδεικνύεται ότι είναι η επιστήμη της προβλεψιμότητας ακόμη και στα πιο ασταθή συστήματα. Το δόγμα των δυναμικών συστημάτων δείχνει ότι απλές εξισώσεις μπορούν να δημιουργήσουν τέτοια χαοτική συμπεριφορά στην οποία το σύστημα δεν επιστρέφει ποτέ σε σταθερή κατάσταση και δεν εμφανίζεται κανονικότητα ταυτόχρονα. Συχνά τέτοια συστήματα συμπεριφέρονται αρκετά φυσιολογικά μέχρι μια ορισμένη τιμή μιας βασικής παραμέτρου, μετά βιώνουν μια μετάβαση στην οποία υπάρχουν δύο δυνατότητες για περαιτέρω ανάπτυξη, μετά τέσσερις και, τέλος, ένα χαοτικό σύνολο δυνατοτήτων.

Τα σχήματα διεργασιών που συμβαίνουν σε τεχνικά αντικείμενα έχουν μια σαφώς καθορισμένη δομή φράκταλ. Η δομή του ελάχιστου τεχνικού συστήματος (TS) συνεπάγεται τη ροή εντός του TS δύο τύπων διεργασιών - των κύριων και των υποστηρικτικών, και αυτή η διαίρεση είναι υπό όρους και σχετική. Οποιαδήποτε διαδικασία μπορεί να είναι η κύρια σε σχέση με τις υποστηρικτικές, και οποιαδήποτε από τις υποστηρικτικές διαδικασίες μπορεί να θεωρηθεί η κύρια σε σχέση με τις υποστηρικτικές διαδικασίες «τους». Οι κύκλοι στο διάγραμμα υποδεικνύουν τα φυσικά αποτελέσματα που διασφαλίζουν τη ροή αυτών των διεργασιών, για τις οποίες δεν είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί ειδικά «δικό» TS. Αυτές οι διεργασίες είναι το αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης μεταξύ ουσιών, πεδίων, ουσιών και πεδίων. Για την ακρίβεια, το φυσικό αποτέλεσμα είναι ένα όχημα, την αρχή του οποίου δεν μπορούμε να επηρεάσουμε και δεν θέλουμε ή δεν έχουμε καμία ευκαιρία να επέμβουμε στη δομή του.

Η ροή της κύριας διεργασίας που φαίνεται στο διάγραμμα διασφαλίζεται από την ύπαρξη τριών υποστηρικτικών διεργασιών που είναι οι κύριες για τους TS που τις δημιουργούν. Για λόγους δικαιοσύνης, σημειώνουμε ότι για τη λειτουργία έστω και ενός ελάχιστου TS, σαφώς δεν αρκούν τρεις διαδικασίες, δηλ. το σχέδιο είναι πολύ, πολύ υπερβολικό.

Όλα δεν είναι τόσο απλά όσο φαίνεται στο διάγραμμα. Χρήσιμο ( απαραίτητο για ένα άτομο) η διαδικασία δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί με 100% αποτελεσματικότητα. Η διαλυμένη ενέργεια δαπανάται για τη δημιουργία επιβλαβών διεργασιών - θέρμανση, δόνηση κ.λπ. Ως αποτέλεσμα, παράλληλα με την ευεργετική διαδικασία, προκύπτουν και επιβλαβείς. Δεν είναι πάντα δυνατό να αντικατασταθεί μια «κακή» διαδικασία με μια «καλή», επομένως πρέπει να οργανωθούν νέες διαδικασίες για να αντισταθμιστούν οι συνέπειες που είναι επιβλαβείς για το σύστημα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η ανάγκη καταπολέμησης της τριβής, η οποία αναγκάζει κάποιον να οργανώσει έξυπνα σχέδια λίπανσης, να χρησιμοποιήσει ακριβά αντιτριβικά υλικά ή να αφιερώσει χρόνο στη λίπανση εξαρτημάτων και εξαρτημάτων ή στην περιοδική αντικατάστασή τους.

Σε σχέση με την ύπαρξη της αναπόφευκτης επιρροής ενός μεταβαλλόμενου Περιβάλλοντος, μπορεί να χρειαστεί να ελεγχθεί μια χρήσιμη διαδικασία. Η διαχείριση μπορεί να πραγματοποιηθεί τόσο με τη βοήθεια αυτόματων συσκευών όσο και απευθείας από ένα άτομο. Το διάγραμμα διαδικασίας είναι στην πραγματικότητα ένα σύνολο ειδικών εντολών, δηλ. αλγόριθμος. Η ουσία (περιγραφή) κάθε εντολής είναι ένας συνδυασμός μιας ενιαίας χρήσιμης διαδικασίας, που συνοδεύει επιβλαβείς διαδικασίες και ενός συνόλου απαραίτητων διαδικασιών ελέγχου. Σε έναν τέτοιο αλγόριθμο, το σύνολο των υποστηρικτικών διαδικασιών είναι μια συνηθισμένη υπορουτίνα - και εδώ βρίσκουμε επίσης ένα φράκταλ. Η μέθοδος του R. Koller, που δημιουργήθηκε πριν από ένα τέταρτο του αιώνα, καθιστά δυνατή τη δημιουργία συστημάτων με ένα αρκετά περιορισμένο σύνολο μόνο 12 ζευγών συναρτήσεων (διαδικασιών).

Αυτοπαρόμοια σύνολα με ασυνήθιστες ιδιότητες στα μαθηματικά

Ξεκινώντας με τέλη XIXαιώνα, στα μαθηματικά υπάρχουν παραδείγματα αυτοπαρόμοιων αντικειμένων με παθολογικές ιδιότητες από την άποψη της κλασικής ανάλυσης. Αυτά περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

το σετ Cantor είναι ένα πουθενά πυκνό αμέτρητο τέλειο σύνολο. Τροποποιώντας τη διαδικασία, μπορεί κανείς επίσης να αποκτήσει ένα πουθενά πυκνό σύνολο θετικού μήκους.

το τρίγωνο Sierpinski («τραπεζομάντιλο») και το χαλί Sierpinski είναι ανάλογα του Cantor που τοποθετείται στο αεροπλάνο.

Το σφουγγάρι του Menger - ένα ανάλογο του Cantor σε τρισδιάστατο χώρο.

Παραδείγματα των Weierstrass και van der Waerden μιας πουθενά διαφοροποιήσιμης συνεχούς συνάρτησης.

Καμπύλη Koch - μια μη αυτοτεμνόμενη συνεχής καμπύλη άπειρου μήκους που δεν έχει εφαπτομένη σε κανένα σημείο.

η καμπύλη Peano είναι μια συνεχής καμπύλη που διέρχεται από όλα τα σημεία ενός τετραγώνου.

η τροχιά ενός σωματιδίου Brown δεν είναι επίσης πουθενά διαφοροποιήσιμη με την πιθανότητα 1. Η διάστασή του Hausdorff είναι δύο

Αναδρομική διαδικασία για τη λήψη καμπυλών φράκταλ

Κατασκευή της καμπύλης Koch

Υπάρχει μια απλή αναδρομική διαδικασία για τη λήψη καμπυλών φράκταλ σε ένα επίπεδο. Ορίζουμε μια αυθαίρετη διακεκομμένη γραμμή με πεπερασμένο αριθμό συνδέσμων, που ονομάζεται γεννήτρια. Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε κάθε τμήμα σε αυτό με μια γεννήτρια (ακριβέστερα, μια διακεκομμένη γραμμή παρόμοια με μια γεννήτρια). Στη διακεκομμένη γραμμή που προκύπτει, αντικαθιστούμε και πάλι κάθε τμήμα με μια γεννήτρια. Συνεχίζοντας στο άπειρο, στο όριο παίρνουμε μια καμπύλη φράκταλ. Το σχήμα στα δεξιά δείχνει τα πρώτα τέσσερα βήματα αυτής της διαδικασίας για την καμπύλη Koch.

Παραδείγματα τέτοιων καμπυλών είναι:

καμπύλη δράκου,

Καμπύλη Koch (νιφάδα χιονιού Koch),

Καμπύλη Levy,

καμπύλη minkowski,

Καμπύλη Hilbert,

Σπασμένος (καμπύλη) δράκος (Fractal Harter-Hateway),

Καμπύλη Peano.

Χρησιμοποιώντας μια παρόμοια διαδικασία, προκύπτει ένα Πυθαγόρειο δέντρο.

Τα φράκταλ ως σταθερά σημεία αντιστοιχίσεων συστολής

Η ιδιότητα αυτο-ομοιότητας μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά αυστηρά ως εξής. Έστω χάρτες συστολής του αεροπλάνου. Εξετάστε την ακόλουθη αντιστοίχιση στο σύνολο όλων των συμπαγών (κλειστών και οριοθετημένων) υποσυνόλων του επιπέδου:

Μπορεί να φανεί ότι η χαρτογράφηση είναι μια χαρτογράφηση συστολής στο σύνολο των συμπαγών συνόλων με τη μέτρηση Hausdorff. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Banach, αυτή η χαρτογράφηση έχει ένα μοναδικό σταθερό σημείο. Αυτό το σταθερό σημείο θα είναι το φράκταλ μας.

Η αναδρομική διαδικασία για τη λήψη καμπυλών φράκταλ που περιγράφηκε παραπάνω είναι μια ειδική περίπτωση αυτής της κατασκευής. Σε αυτό, όλες οι αντιστοιχίσεις είναι αντιστοιχίσεις ομοιότητας και είναι ο αριθμός των συνδέσμων γεννήτριας.

Για το τρίγωνο Sierpinski και η αντιστοίχιση , , είναι ομοθείες με κέντρα στις κορυφές ενός κανονικού τριγώνου και συντελεστή 1/2. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι το τρίγωνο Sierpinski μεταμορφώνεται στον εαυτό του κάτω από τη χαρτογράφηση.

Στην περίπτωση που οι αντιστοιχίσεις είναι μετασχηματισμοί ομοιότητας με συντελεστές, η διάσταση του φράκταλ (υπό ορισμένες πρόσθετες τεχνικές συνθήκες) μπορεί να υπολογιστεί ως λύση της εξίσωσης. Έτσι, για το τρίγωνο Sierpinski έχουμε .

Σύμφωνα με το ίδιο θεώρημα Banach, ξεκινώντας από οποιοδήποτε συμπαγές σύνολο και εφαρμόζοντας σε αυτό επαναλήψεις του χάρτη, λαμβάνουμε μια ακολουθία συμπαγών συνόλων που συγκλίνουν (με την έννοια της μέτρησης Hausdorff) στο φράκταλ μας.

Φράκταλ σε σύνθετη δυναμική

Σετ Τζούλια

Άλλο ένα σετ Τζούλια

Τα φράκταλ προκύπτουν φυσικά στη μελέτη μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων. Η πιο μελετημένη περίπτωση είναι όταν το δυναμικό σύστημα ορίζεται από επαναλήψεις ενός πολυωνύμου ή μιας ολομορφικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής στο επίπεδο. Οι πρώτες μελέτες σε αυτόν τον τομέα χρονολογούνται στις αρχές του 20ου αιώνα και συνδέονται με τα ονόματα της Φάτου και της Τζούλια.

Αφήνω φά(z) - πολυώνυμο, zΤο 0 είναι μιγαδικός αριθμός. Εξετάστε την ακόλουθη σειρά: z 0 , z 1 =φά(z 0), z 2 =φά(φά(z 0)) = φά(z 1),z 3 =φά(φά(φά(z 0)))=φά(z 2), …

Μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά αυτής της ακολουθίας όπως συνηθίζουμε nστο άπειρο. Αυτή η ακολουθία μπορεί:

προσπάθησε για το άπειρο

προσπάθησε για το απόλυτο

παρουσιάζουν κυκλική συμπεριφορά στο όριο, για παράδειγμα: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

να συμπεριφέρονται χαοτικά, δηλαδή να μην επιδεικνύουν κανένα από τα τρία είδη συμπεριφοράς που αναφέρθηκαν.

Σύνολα αξιών z 0 , για την οποία η ακολουθία παρουσιάζει έναν συγκεκριμένο τύπο συμπεριφοράς, καθώς και σύνολα σημείων διακλάδωσης μεταξύ διαφορετικών τύπων, συχνά έχουν φράκταλ ιδιότητες.

Έτσι, το σύνολο Julia είναι το σύνολο των σημείων διακλάδωσης για το πολυώνυμο φά(z)=z 2 +ντο(ή άλλη παρόμοια συνάρτηση), δηλαδή αυτές οι τιμές z 0 , για το οποίο η συμπεριφορά της ακολουθίας ( z n) μπορεί να αλλάξει δραματικά με αυθαίρετα μικρές αλλαγές z 0 .

Μια άλλη επιλογή για τη λήψη συνόλων φράκταλ είναι η εισαγωγή μιας παραμέτρου στο πολυώνυμο φά(z) και λαμβάνοντας υπόψη το σύνολο εκείνων των τιμών παραμέτρων για τις οποίες η ακολουθία ( z n) δείχνει μια συγκεκριμένη συμπεριφορά για ένα σταθερό z 0 . Έτσι, το σύνολο Mandelbrot είναι το σύνολο όλων για τα οποία ( z n) Για φά(z)=z 2 +ντοΚαι zΤο 0 δεν πάει στο άπειρο.

Αλλο διάσημο παράδειγμααυτού του είδους είναι οι πισίνες του Νεύτωνα.

Είναι δημοφιλές να δημιουργείτε όμορφες γραφικές εικόνες που βασίζονται σε πολύπλοκη δυναμική χρωματίζοντας επίπεδα σημεία ανάλογα με τη συμπεριφορά των αντίστοιχων δυναμικών συστημάτων. Για παράδειγμα, για να συμπληρώσετε το σύνολο Mandelbrot, μπορείτε να χρωματίσετε τα σημεία ανάλογα με την ταχύτητα του αγώνα ( z n) στο άπειρο (ορίζεται, ας πούμε, ως ο μικρότερος αριθμός n, όπου | z n| υπερβαίνει μια σταθερή μεγάλη τιμή ΕΝΑ.

Τα Biomorphs είναι φράκταλ που χτίζονται με βάση πολύπλοκες δυναμικές και μοιάζουν με ζωντανούς οργανισμούς.

Στοχαστικά φράκταλ

Τυχαιοποιημένο φράκταλ με βάση το σετ Julia

Τα φυσικά αντικείμενα συχνά έχουν σχήμα φράκταλ. Για τη μοντελοποίησή τους μπορούν να χρησιμοποιηθούν στοχαστικά (τυχαία) φράκταλ. Παραδείγματα στοχαστικών φράκταλ:

τροχιά της κίνησης Brown στο επίπεδο και στο διάστημα.

όριο της τροχιάς της κίνησης Brown στο επίπεδο. Το 2001, ο Lawler, ο Schramm και ο Werner απέδειξαν την εικασία του Mandelbrot ότι η διάστασή του είναι 4/3.

Οι εξελίξεις του Schramm-Löwner είναι σύμφωνες αμετάβλητες φράκταλ καμπύλες που προκύπτουν σε κρίσιμα δισδιάστατα μοντέλα της στατιστικής μηχανικής, για παράδειγμα, στο μοντέλο Ising και στη διήθηση.

διάφοροι τύποι τυχαιοποιημένων φράκταλ, δηλαδή φράκταλ που λαμβάνονται χρησιμοποιώντας μια αναδρομική διαδικασία, στην οποία εισάγεται μια τυχαία παράμετρος σε κάθε βήμα. Το πλάσμα είναι ένα παράδειγμα χρήσης ενός τέτοιου φράκταλ στα γραφικά υπολογιστών.

Στη φύση

Μπροστινή όψη τραχείας και βρόγχων

βρογχικό δέντρο

δίκτυο αιμοφόρων αγγείων

Εφαρμογή

Φυσικές επιστήμες

Στη φυσική, τα φράκταλ προκύπτουν φυσικά κατά τη μοντελοποίηση μη γραμμικών διεργασιών, όπως ροή τυρβώδους ρευστού, σύνθετες διαδικασίες διάχυσης-προσρόφησης, φλόγες, σύννεφα, κ.λπ. Τα φράκταλ χρησιμοποιούνται κατά τη μοντελοποίηση πορωδών υλικών, για παράδειγμα, στην πετροχημεία. Στη βιολογία, χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση πληθυσμών και για την περιγραφή συστημάτων εσωτερικών οργάνων (σύστημα αιμοφόρων αγγείων).

Ραδιομηχανική

φράκταλ κεραίες

Η χρήση της γεωμετρίας φράκταλ στο σχεδιασμό συσκευών κεραίας εφαρμόστηκε για πρώτη φορά από τον Αμερικανό μηχανικό Nathan Cohen, ο οποίος τότε ζούσε στο κέντρο της Βοστώνης, όπου απαγορευόταν η εγκατάσταση εξωτερικών κεραιών σε κτίρια. Ο Nathan έκοψε μια φιγούρα σε μορφή καμπύλης Koch από αλουμινόχαρτο και την κόλλησε σε ένα φύλλο χαρτιού και στη συνέχεια την προσάρτησε στον δέκτη. Ο Κοέν ίδρυσε τη δική του εταιρεία και ξεκίνησε τη σειριακή παραγωγή τους.

Επιστήμη των υπολογιστών

Συμπίεση εικόνας

Κύριο άρθρο: Αλγόριθμος συμπίεσης φράκταλ

φράκταλ δέντρο

Υπάρχουν αλγόριθμοι συμπίεσης εικόνας που χρησιμοποιούν φράκταλ. Βασίζονται στην ιδέα ότι αντί για την ίδια την εικόνα, μπορείτε να αποθηκεύσετε έναν χάρτη συστολής για τον οποίο αυτή η εικόνα (ή κάποια κοντά σε αυτήν) είναι ένα σταθερό σημείο. Μία από τις παραλλαγές αυτού του αλγορίθμου χρησιμοποιήθηκε [ απροσδιόριστη πηγή 895 ημέρες] από τη Microsoft κατά τη δημοσίευση της εγκυκλοπαίδειάς της, αλλά αυτοί οι αλγόριθμοι δεν χρησιμοποιήθηκαν ευρέως.

Γραφικά υπολογιστή

Άλλο ένα φράκταλ δέντρο

Τα φράκταλ χρησιμοποιούνται ευρέως στα γραφικά υπολογιστών για τη δημιουργία εικόνων φυσικών αντικειμένων όπως δέντρα, θάμνοι, ορεινά τοπία, θαλάσσιες επιφάνειες κ.λπ. Υπάρχουν πολλά προγράμματα που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία φράκταλ εικόνων, δείτε το Fractal Generator (πρόγραμμα).

αποκεντρωμένα δίκτυα

Το σύστημα εκχώρησης διευθύνσεων IP του Netsukuku χρησιμοποιεί την αρχή της συμπίεσης πληροφοριών φράκταλ για συμπαγή αποθήκευση πληροφοριών σχετικά με κόμβους δικτύου. Κάθε κόμβος στο δίκτυο Netsukuku αποθηκεύει μόνο 4 KB πληροφοριών σχετικά με την κατάσταση των γειτονικών κόμβων, ενώ οποιοσδήποτε νέος κόμβος συνδέεται στο γενικό δίκτυο χωρίς την ανάγκη κεντρικής ρύθμισης της διανομής των διευθύνσεων IP, η οποία, για παράδειγμα, είναι τυπική για την Διαδίκτυο. Έτσι, η αρχή της συμπίεσης πληροφοριών φράκταλ εγγυάται μια πλήρως αποκεντρωμένη, και ως εκ τούτου, την πιο σταθερή λειτουργία ολόκληρου του δικτύου.

Τα φράκταλ είναι γνωστά εδώ και σχεδόν έναν αιώνα, είναι καλά μελετημένα και έχουν πολυάριθμες εφαρμογές στη ζωή. Αυτό το φαινόμενο βασίζεται σε μια πολύ απλή ιδέα: ένας άπειρος αριθμός μορφών σε ομορφιά και ποικιλία μπορεί να ληφθεί από σχετικά απλές δομές χρησιμοποιώντας μόνο δύο λειτουργίες - αντιγραφή και κλιμάκωση.

Αυτή η έννοια δεν έχει αυστηρό ορισμό. Επομένως, η λέξη «φράκταλ» δεν είναι μαθηματικός όρος. Συνήθως λέγεται γεωμετρικό σχήμα, το οποίο ικανοποιεί μία ή περισσότερες από τις ακόλουθες ιδιότητες:

έχει πολύπλοκη δομή σε οποιαδήποτε μεγέθυνση.
είναι (περίπου) αυτο-όμοιο.
έχει μια κλασματική διάσταση Hausdorff (fractal), η οποία είναι μεγαλύτερη από την τοπολογική.
μπορεί να κατασκευαστεί με αναδρομικές διαδικασίες.

Στο γύρισμα του 19ου και του 20ου αιώνα, η μελέτη των φράκταλ ήταν περισσότερο επεισοδιακή παρά συστηματική, επειδή οι προηγούμενοι μαθηματικοί μελετούσαν κυρίως «καλά» αντικείμενα που μπορούσαν να μελετηθούν χρησιμοποιώντας κοινές μεθόδουςκαι θεωρίες. Το 1872, ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass κατασκεύασε ένα παράδειγμα συνεχούς συνάρτησης που δεν μπορεί να διαφοροποιηθεί πουθενά. Ωστόσο, η κατασκευή του ήταν εντελώς αφηρημένη και δυσνόητη. Ως εκ τούτου, το 1904, ο Σουηδός Helge von Koch βρήκε μια συνεχή καμπύλη που δεν έχει εφαπτομένη πουθενά και είναι πολύ απλό να την σχεδιάσετε. Αποδείχθηκε ότι έχει τις ιδιότητες ενός φράκταλ. Μια παραλλαγή αυτής της καμπύλης ονομάζεται νιφάδα χιονιού Koch.

Τις ιδέες της αυτο-ομοιότητας των μορφών πήρε ο Γάλλος Paul Pierre Levy, ο μελλοντικός μέντορας του Benoit Mandelbrot. Το 1938 δημοσιεύτηκε το άρθρο του «Επίπεδο και χωρικές καμπύλες και επιφάνειες που αποτελούνται από μέρη παρόμοια με το σύνολο», στο οποίο περιγράφεται ένα άλλο φράκταλ - η καμπύλη C Lévy. Όλα τα παραπάνω φράκταλ μπορούν υπό όρους να αποδοθούν σε μια κατηγορία κατασκευαστικών (γεωμετρικών) φράκταλ.

Μια άλλη κατηγορία είναι τα δυναμικά (αλγεβρικά) φράκταλ, τα οποία περιλαμβάνουν το σύνολο Mandelbrot. Οι πρώτες μελέτες προς αυτή την κατεύθυνση χρονολογούνται στις αρχές του 20ου αιώνα και συνδέονται με τα ονόματα των Γάλλων μαθηματικών Gaston Julia και Pierre Fatou. Το 1918, δημοσιεύτηκαν σχεδόν διακόσιες σελίδες του έργου της Julia, αφιερωμένες σε επαναλήψεις πολύπλοκων ορθολογικών συναρτήσεων, στις οποίες περιγράφονται τα σύνολα της Julia - μια ολόκληρη οικογένεια φράκταλ στενά συνδεδεμένη με το σύνολο Mandelbrot. Αυτό το έργο τιμήθηκε με το βραβείο της Γαλλικής Ακαδημίας, αλλά δεν περιείχε ούτε μια εικονογράφηση, επομένως ήταν αδύνατο να εκτιμηθεί η ομορφιά των αντικειμένων που ανακαλύφθηκαν. Παρά το γεγονός ότι αυτό το έργο έκανε την Τζούλια διάσημη στους μαθηματικούς της εποχής, γρήγορα ξεχάστηκε.

Μόνο μισό αιώνα αργότερα, με την εμφάνιση των υπολογιστών, η προσοχή στράφηκε στο έργο της Τζούλιας και της Φάτου: ήταν αυτοί που έκαναν ορατό τον πλούτο και την ομορφιά του κόσμου των φράκταλ. Εξάλλου, ο Fatou δεν θα μπορούσε ποτέ να δει τις εικόνες που τώρα γνωρίζουμε ως εικόνες του συνόλου Mandelbrot, επειδή ο απαραίτητος αριθμός υπολογισμών δεν μπορεί να γίνει χειροκίνητα. Το πρώτο άτομο που χρησιμοποίησε υπολογιστή για αυτό ήταν ο Benoit Mandelbrot.

Το 1982 κυκλοφόρησε το βιβλίο του Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", στο οποίο ο συγγραφέας συγκέντρωσε και συστηματοποίησε σχεδόν όλες τις πληροφορίες για τα φράκταλ που ήταν διαθέσιμες εκείνη την εποχή και τις παρουσίασε με εύκολο και προσιτό τρόπο. Ο Mandelbrot έδωσε την κύρια έμφαση στην παρουσίασή του όχι σε βαρείς τύπους και μαθηματικές κατασκευές, αλλά στη γεωμετρική διαίσθηση των αναγνωστών. Χάρη σε εικονογραφήσεις και ιστορικές ιστορίες που δημιουργήθηκαν από υπολογιστή, με τις οποίες ο συγγραφέας αραίωσε επιδέξια το επιστημονικό στοιχείο της μονογραφίας, το βιβλίο έγινε μπεστ σέλερ και τα φράκταλ έγιναν γνωστά στο ευρύ κοινό. Η επιτυχία τους μεταξύ των μη μαθηματικών οφείλεται σε μεγάλο βαθμό στο γεγονός ότι με τη βοήθεια πολύ απλών κατασκευών και τύπων που μπορεί να καταλάβει ακόμη και ένας μαθητής λυκείου, αποκτώνται εικόνες εκπληκτικής πολυπλοκότητας και ομορφιάς. Όταν οι προσωπικοί υπολογιστές έγιναν αρκετά ισχυροί, εμφανίστηκε ακόμη και μια ολόκληρη τάση στην τέχνη - φράκταλ ζωγραφική, και σχεδόν οποιοσδήποτε ιδιοκτήτης υπολογιστή μπορούσε να το κάνει. Τώρα στο Διαδίκτυο μπορείτε εύκολα να βρείτε πολλούς ιστότοπους αφιερωμένους σε αυτό το θέμα.

Οι συντάκτες του NNN έπεσαν κατά λάθος σε ένα πολύ ενδιαφέροντα πράγματα, που παρουσιάζεται στο blog του χρήστη xtsarx, αφιερωμένο στα στοιχεία της θεωρίας φράκταλκαι την πρακτική εφαρμογή του. Όπως είναι γνωστό, η θεωρία των φράκταλ παίζει σημαντικό ρόλο στη φυσική και τη χημεία των νανοσυστημάτων. Έχοντας συνεισφέρει σε αυτό το συμπαγές υλικό, που παρουσιάζεται σε μια γλώσσα προσβάσιμη σε ένα ευρύ φάσμα αναγνωστών και υποστηρίζεται από άφθονο υλικό γραφικών, ακόμη και βίντεο, το παρουσιάζουμε στην προσοχή σας. Ελπίζουμε ότι οι αναγνώστες του NNN θα βρουν αυτό το υλικό ενδιαφέρον.

Η φύση είναι τόσο μυστηριώδης που όσο τη μελετάς, τόσο περισσότερα ερωτήματα γεννιούνται... Αστραπές νύχτας - μπλε «ρυάκια» διακλαδισμένων εκκενώσεων, παγωμένα σχέδια στο παράθυρο, νιφάδες χιονιού, βουνά, σύννεφα, φλοιός δέντρων - όλα αυτά ξεπερνούν τα συνηθισμένα Ευκλείδεια γεωμετρία. Δεν μπορούμε να περιγράψουμε την πέτρα ή τα όρια του νησιού με γραμμές, κύκλους και τρίγωνα. Και εδώ ερχόμαστε στη διάσωση φράκταλ. Τι είναι αυτοί οι γνώριμοι ξένοι;

«Σε μικροσκόπιο, το ανακάλυψε σε έναν ψύλλο
Ο ψύλλος που δαγκώνει ζει σε έναν ψύλλο.
Σε αυτόν τον ψύλλο είναι ένας μικροσκοπικός ψύλλος,
Με θυμό κολλάει ένα δόντι σε έναν ψύλλο
Ψύλλος, και έτσι άπειρα. Ντ. Σουίφτ.

Λίγο ιστορία

Πρώτες ιδέες φράκταλ γεωμετρίαξεκίνησε τον 19ο αιώνα. Ο Kantor, χρησιμοποιώντας μια απλή αναδρομική (επαναλαμβανόμενη) διαδικασία, μετέτρεψε τη γραμμή σε ένα σύνολο μη συνδεδεμένων σημείων (το λεγόμενο Cantor Dust). Πήρε τη γραμμή και αφαίρεσε το κεντρικό τρίτο και στη συνέχεια επανέλαβε το ίδιο με τα υπόλοιπα τμήματα.

Ρύζι. 1. Καμπύλη Peano 1,2–5 επαναλήψεις.

Ζωγράφισε ο Πιάνο ιδιαίτερο είδοςγραμμές. Ο Peano έκανε το εξής: Στο πρώτο βήμα, πήρε μια ευθεία γραμμή και την αντικατέστησε με 9 τμήματα 3 φορές μικρότερα από το μήκος της αρχικής γραμμής. Στη συνέχεια έκανε το ίδιο με κάθε τμήμα της γραμμής που προέκυψε. Και ούτω καθεξής επί άπειρον. Η μοναδικότητά του έγκειται στο γεγονός ότι γεμίζει ολόκληρο το αεροπλάνο. Αποδεικνύεται ότι για κάθε σημείο του επιπέδου μπορεί κανείς να βρει ένα σημείο που ανήκει στη γραμμή Peano. Η καμπύλη του Peano και η σκόνη του Cantor ξεπέρασαν τα συνηθισμένα γεωμετρικά αντικείμενα. Δεν είχαν ξεκάθαρο μέγεθος.. Η σκόνη του Cantor κατασκευάστηκε φαινομενικά με βάση μια μονοδιάστατη ευθεία γραμμή, αλλά αποτελούνταν από σημεία (διάσταση 0). Και η καμπύλη Peano χτίστηκε με βάση μια μονοδιάστατη γραμμή, και το αποτέλεσμα ήταν ένα επίπεδο. Σε πολλούς άλλους τομείς της επιστήμης εμφανίστηκαν προβλήματα που οδήγησαν σε περίεργα αποτελέσματα, όπως αυτά που περιγράφηκαν παραπάνω (κίνηση Brown, τιμές μετοχών). Ο καθένας μας μπορεί να κάνει αυτή τη διαδικασία...

Πατέρας των Φράκταλ

Μέχρι τον 20ο αιώνα, υπήρχε συσσώρευση δεδομένων για τέτοια παράξενα αντικείμενα, χωρίς καμία προσπάθεια συστηματοποίησής τους. Έτσι ήταν μέχρι που πήραν Μπενουά Μάντελμπροτ – πατέρας της σύγχρονης γεωμετρίας φράκταλ και της λέξης φράκταλ.

Ρύζι. 2. Benoit Mandelbrot.

Ενώ εργαζόταν στην IBM ως μαθηματικός αναλυτής, μελέτησε το θόρυβο σε ηλεκτρονικά κυκλώματα που δεν μπορούσαν να περιγραφούν με τη χρήση στατιστικών. Σταδιακά συγκρίνοντας τα γεγονότα, έφτασε στην ανακάλυψη μιας νέας κατεύθυνσης στα μαθηματικά - φράκταλ γεωμετρία.

Ο όρος «fractal» εισήχθη από τον B. Mandelbrot το 1975. Σύμφωνα με τον Mandelbrot, φράκταλ(από το λατινικό "fractus" - κλασματικό, σπασμένο, σπασμένο) ονομάζεται μια δομή που αποτελείται από μέρη σαν ένα σύνολο. Η ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας διακρίνει έντονα τα φράκταλ από τα αντικείμενα της κλασικής γεωμετρίας. Ορος αυτο-ομοιότηταπου σημαίνει η παρουσία μιας λεπτής, επαναλαμβανόμενης δομής, τόσο στις μικρότερες κλίμακες του αντικειμένου όσο και σε μια μακροκλίμακα.

Ρύζι. 3. Στον ορισμό της έννοιας «φράκταλ».

Παραδείγματα αυτο-ομοιότητας είναι: Koch, Levy, καμπύλες Minkowski, τρίγωνο Sierpinski, σφουγγάρι Menger, Πυθαγόρειο δέντρο κ.λπ.

Από μαθηματική άποψη, φράκταλείναι, πρώτα απ' όλα, σύνολο με κλασματική (ενδιάμεση, "όχι ακέραιος") διάσταση. Ενώ μια ομαλή ευκλείδεια γραμμή γεμίζει ακριβώς μονοδιάστατο χώρο, μια φράκταλ καμπύλη υπερβαίνει τον μονοδιάστατο χώρο, εισχωρεί πέρα από τα όρια σε δισδιάστατο χώρο. Έτσι, η φράκταλ διάσταση της καμπύλης Koch θα είναι μεταξύ 1 και 2. Πρώτα απ 'όλα, σημαίνει ότι ένα φράκταλ αντικείμενο δεν μπορεί να μετρήσει με ακρίβεια το μήκος του! Από αυτά τα γεωμετρικά φράκταλ, το πρώτο είναι πολύ ενδιαφέρον και αρκετά διάσημο - Νιφάδα χιονιού Koch.

Ρύζι. 4. Στον ορισμό της έννοιας «φράκταλ».

Είναι χτισμένο στη βάση ισόπλευρο τρίγωνο. Κάθε γραμμή των οποίων αντικαθίσταται από 4 γραμμές κάθε 1/3 του αρχικού μήκους. Έτσι, με κάθε επανάληψη, το μήκος της καμπύλης αυξάνεται κατά ένα τρίτο. Και αν κάνουμε άπειρο αριθμό επαναλήψεων, παίρνουμε ένα φράκταλ - μια νιφάδα χιονιού Koch απεριόριστου μήκους. Αποδεικνύεται ότι η άπειρη καμπύλη μας καλύπτει μια περιορισμένη περιοχή. Προσπαθήστε να κάνετε το ίδιο με μεθόδους και σχήματα από την Ευκλείδεια γεωμετρία.
Διάσταση νιφάδας χιονιού Koch(όταν μια νιφάδα χιονιού αυξάνεται κατά 3 φορές, το μήκος της αυξάνεται κατά 4 φορές) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Σχετικά με το φράκταλ

Τα φράκταλ βρίσκουν όλο και περισσότερες εφαρμογές στην επιστήμη και την τεχνολογία. Ο κύριος λόγος για αυτό είναι ότι περιγράφουν τον πραγματικό κόσμο μερικές φορές ακόμη καλύτερα από την παραδοσιακή φυσική ή τα μαθηματικά. Μπορείτε να δώσετε ατελείωτα παραδείγματα αντικειμένων φράκταλ στη φύση - αυτά είναι σύννεφα, νιφάδες χιονιού και βουνά, και μια αστραπή και, τέλος, κουνουπίδι. Ένα φράκταλ ως φυσικό αντικείμενο είναι μια αιώνια συνεχής κίνηση, ένας νέος σχηματισμός και ανάπτυξη.

Ρύζι. 5. Φράκταλ στα οικονομικά.

Εκτός, Τα φράκταλ βρίσκουν εφαρμογή σε αποκεντρωμένα δίκτυα υπολογιστών Και "φράκταλ κεραίες" . Πολύ ενδιαφέροντα και πολλά υποσχόμενα για τη μοντελοποίηση διαφόρων στοχαστικών (μη ντετερμινιστικών) «τυχαίων» διαδικασιών είναι τα λεγόμενα «φράκταλ Μπράουν». Στην περίπτωση της νανοτεχνολογίας, τα φράκταλ παίζουν επίσης σημαντικό ρόλο. , αφού λόγω της ιεραρχικής αυτοοργάνωσής τους πολλοί τα νανοσυστήματα έχουν μη ακέραια διάσταση, δηλαδή είναι φράκταλ στη γεωμετρική, φυσικοχημική ή λειτουργική τους φύση. Για παράδειγμα, ένα εντυπωσιακό παράδειγμα χημικών συστημάτων φράκταλ είναι τα μόρια των «δενδριμερών» . Επιπλέον, η αρχή της κλασματικότητας (αυτο-όμοια, κλιμακούμενη δομή) είναι μια αντανάκλαση της ιεραρχικής δομής του συστήματος και, ως εκ τούτου, είναι πιο γενική και καθολική από τις τυπικές προσεγγίσεις για την περιγραφή της δομής και των ιδιοτήτων των νανοσυστημάτων.

Ρύζι. 6. Μόρια «δενδριμερών».

Ρύζι. 7. Γραφικό μοντέλο επικοινωνίας στην αρχιτεκτονική και κατασκευαστική διαδικασία. Το πρώτο επίπεδο αλληλεπίδρασης από τη σκοπιά των μικροδιαδικασιών.

Ρύζι. 8. Γραφικό μοντέλο επικοινωνίας στην αρχιτεκτονική και κατασκευαστική διαδικασία. Το δεύτερο επίπεδο αλληλεπίδρασης από τις θέσεις των μακροδιαδικασιών (ένα θραύσμα του μοντέλου).

Ρύζι. 9. Γραφικό μοντέλο επικοινωνίας στην αρχιτεκτονική και κατασκευαστική διαδικασία. Το δεύτερο επίπεδο αλληλεπίδρασης από τη σκοπιά των μακροδιαδικασιών (όλο το μοντέλο)