Dom › Crash Test Auto › Najmanja i najveća vrijednost funkcije na segmentu. Kako pronaći najveću vrijednost funkcije

Najmanja i najveća vrijednost funkcije na segmentu. Kako pronaći najveću vrijednost funkcije

Neka funkcija y=f(X) kontinuirano na intervalu [ a, b]. Kao što je poznato, takva funkcija na tom intervalu postiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti. Funkcija može uzeti ove vrijednosti bilo u unutarnjoj točki segmenta [ a, b], ili na rubu segmenta.

Za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu [ a, b] potrebno:

1) pronaći kritične točke funkcije u intervalu ( a, b);

2) izračunati vrijednosti funkcije u pronađenim kritičnim točkama;

3) izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta, odnosno za x=A i x = b;

4) od svih izračunatih vrijednosti funkcije odaberite najveću i najmanju.

Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu.

Pronalaženje kritičnih točaka:

Ove točke leže unutar segmenta; g(1) = ‒ 3; g(2) = ‒ 4; g(0) = ‒ 8; g(3) = 1;

u točki x= 3 i u točki x= 0.

Ispitivanje funkcije za konveksnost i infleksiju.

Funkcija g = f (x) nazvao konveksan između (a, b) , ako njegov graf leži ispod tangente povučene u bilo kojoj točki ovog intervala, i zove se konveksno prema dolje (konkavno) ako njegov graf leži iznad tangente.

Točka na prijelazu kroz koju se konveksnost zamjenjuje konkavnošću ili obrnuto naziva se točka infleksije.

Algoritam za proučavanje konveksnosti i točke infleksije:

1. Naći kritične točke druge vrste, odnosno točke u kojima je druga derivacija jednaka nuli ili ne postoji.

2. Stavite kritične točke na brojevnu crtu, dijeleći je na intervale. Pronađite predznak druge derivacije na svakom intervalu; ako je funkcija konveksna prema gore, ako je funkcija konveksna prema dolje.

3. Ako pri prolasku kroz kritičnu točku druge vrste promijeni predznak iu tom trenutku druga derivacija bude jednaka nuli, tada je ta točka apscisa točke infleksije. Nađi njegovu ordinatu.

Asimptote grafa funkcije. Ispitivanje funkcije na asimptote.

Definicija. Asimptota grafa funkcije naziva se ravno, koji ima svojstvo da udaljenost od bilo koje točke grafa do ove linije teži nuli uz neograničeno uklanjanje točke grafa od ishodišta.

Postoje tri vrste asimptota: okomito, vodoravno i nagnuto.

Definicija. Izravni poziv vertikalna asimptota graf funkcije y = f(x), ako je barem jedna od jednostranih limesa funkcije u ovoj točki jednaka beskonačnosti, tj.

gdje je točka diskontinuiteta funkcije, odnosno ne pripada domeni definiranosti.

Primjer.

D( g) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - prijelomna točka.

Definicija. Ravno y=A nazvao horizontalna asimptota graf funkcije y = f(x) u , ako

Primjer.

x
g

Definicija. Ravno y=kx +b (k≠ 0) zove se kosa asimptota graf funkcije y = f(x) gdje

Opća shema za proučavanje funkcija i crtanje.

Algoritam istraživanja funkcijey = f(x) :

1. Pronađite domenu funkcije D (g).

2. Pronađite (ako je moguće) točke presjeka grafa s koordinatnim osima (s x= 0 i pri g = 0).

3. Istražite parne i neparne funkcije ( g (‒ x) = g (x) ‒ paritet; g(‒ x) = ‒ g (x) ‒ neparan).

4. Odredite asimptote grafa funkcije.

5. Naći intervale monotonosti funkcije.

6. Pronađite ekstreme funkcije.

7. Odredite intervale konveksnosti (konkavnosti) i točke infleksije grafa funkcije.

8. Na temelju provedenog istraživanja konstruirajte graf funkcije.

Primjer. Istražite funkciju i nacrtajte njezin graf.

1) D (g) =

x= 4 - prijelomna točka.

2) Kada x = 0,

(0; – 5) – točka sjecišta s oy.

Na g = 0,

3) g(‒ x)= funkcija opći pogled(ni par ni nepar).

4) Istražujemo asimptote.

a) okomiti

b) horizontalna

c) pronaći kose asimptote gdje

‒jednadžba kose asimptote

5) U ovoj jednadžbi nije potrebno pronaći intervale monotonosti funkcije.

Te kritične točke dijele cijelu domenu funkcije na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Dobivene rezultate zgodno je prikazati u obliku sljedeće tablice.

Često se u fizici i matematici traži pronaći najmanja vrijednost funkcije. Kako to učiniti, sada ćemo reći.

Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije: upute

Da biste izračunali najmanju vrijednost kontinuirane funkcije na danom intervalu, trebate slijediti ovaj algoritam:
Pronađite izvod funkcije.
Odredite na zadanom segmentu točke u kojima je derivacija jednaka nuli, kao i sve kritične točke. Zatim saznajte vrijednosti funkcije u tim točkama, odnosno riješite jednadžbu u kojoj je x jednak nuli. Saznajte koja je od vrijednosti najmanja.
Saznajte koju vrijednost funkcija ima na krajnjim točkama. Odredite najmanju vrijednost funkcije u tim točkama.
Usporedite primljene podatke s najmanjom vrijednošću. Manji od primljenih brojeva bit će najmanja vrijednost funkcije.

Imajte na umu da u slučaju da funkcija na segmentu nema najmanje točke, to znači da ona raste ili opada na tom segmentu. Stoga najmanju vrijednost treba izračunati na konačnim segmentima funkcije.

U svim ostalim slučajevima vrijednost funkcije izračunava se prema zadanom algoritmu. U svakom koraku algoritma morat ćete riješiti jednostavan Linearna jednadžba s jednim korijenom. Riješite jednadžbu pomoću crteža kako biste izbjegli pogreške.

Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije na poluotvorenom segmentu? Na poluotvorenom odn otvoreno razdoblje funkciju, najmanju vrijednost treba pronaći na sljedeći način. Na krajnjim točkama vrijednosti funkcije izračunajte jednostranu granicu funkcije. Drugim riječima, riješite jednadžbu u kojoj su točke tendencije dane vrijednostima a+0 i b+0, gdje su a i b nazivi kritičnih točaka.

Sada znate kako pronaći najmanju vrijednost funkcije. Glavna stvar je izvršiti sve izračune ispravno, točno i bez pogrešaka.

A da biste ga riješili, potrebno vam je minimalno znanje o temi. Sljedeća akademska godina je pri kraju, svi žele na godišnji odmor, a kako bih približio ovaj trenutak, odmah se bacim na posao:

Počnimo s područjem. Područje na koje se odnosi uvjet je ograničeno zatvoreno skup točaka u ravnini. Na primjer, skup točaka omeđenih trokutom, uključujući CIJELI trokut (ako je iz granice"Izbodite" barem jednu točku, tada područje više neće biti zatvoreno). U praksi postoje i područja pravokutnog, okruglog i malo više složenih oblika. Treba napomenuti da se u teoriji matematičke analize daju stroge definicije ograničenja, izolacija, granice itd., ali mislim da su svi svjesni ovih koncepata na intuitivnoj razini i više nije potrebno sada.

Ravno područje standardno se označava slovom , a u pravilu se daje analitički - s nekoliko jednadžbi (ne nužno linearno); rjeđe nejednakosti. Tipičan verbalni obrt: "zatvoreno područje ograničeno linijama".

Sastavni dio zadatka koji se razmatra je konstrukcija područja na crtežu. Kako to učiniti? Potrebno je nacrtati sve navedene linije (in ovaj slučaj 3 ravno) i analizirati što se dogodilo. Željeno područje obično je lagano šrafirano, a njegova granica istaknuta podebljanom linijom:

Može se postaviti isto područje linearne nejednakosti: , koji se iz nekog razloga češće pišu kao popis nabrajanja, a ne sustav.
Budući da granica pripada regiji, onda sve nejednakosti, naravno, nestrog.

A sada srž stvari. Zamislite da os ide ravno prema vama iz ishodišta koordinata. Razmotrimo funkciju koja stalan u svakom točka područja. Graf ove funkcije je površinski, a mala je sreća što za rješavanje današnjeg problema ne moramo uopće znati kako ta površina izgleda. Može se nalaziti iznad, ispod, prelaziti ravninu - sve to nije važno. A važno je sljedeće: prema Weierstrassovi teoremi, stalan V ograničen zatvoren području, funkcija doseže svoj maksimum (od "najvišeg") i najmanje (od "najnižeg") vrijednosti koje treba pronaći. Ove vrijednosti su postignute ili V stacionarne točke, koji pripadaju regijiD , ili na točkama koje leže na granici ove regije. Iz čega slijedi jednostavan i transparentan algoritam rješenja:

Primjer 1

ograničeno zatvoreno područje

Riješenje: Prije svega, trebate prikazati područje na crtežu. Nažalost, tehnički mi je teško napraviti interaktivni model problema, pa ću odmah dati konačnu ilustraciju koja prikazuje sve "sumnjive" točke pronađene tijekom studije. Obično se zapisuju jedan za drugim kako se pronađu:

Na temelju preambule, odluka se može zgodno podijeliti u dvije točke:

I) Pronađimo stacionarne točke. Ovo je standardna radnja koju smo više puta izvodili u lekciji. o ekstremima nekoliko varijabli:

Pronađena stacionarna točka pripada područja: (označite na crtežu), što znači da bismo trebali izračunati vrijednost funkcije u danoj točki:

- kao u članku Najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu, istaknut ću važne rezultate masnim slovima. U bilježnici ih je prikladno zaokružiti olovkom.

Obratite pažnju na našu drugu sreću – nema smisla provjeravati dovoljan uvjet za ekstrem. Zašto? Čak i ako u točki funkcija dosegne npr. lokalni minimum, onda to NE ZNAČI da će rezultirajuća vrijednost biti minimalan u cijeloj regiji (vidi početak lekcije o bezuvjetnim krajnostima) .

Što ako stacionarna točka NE pripada području? Skoro ništa! Treba napomenuti da i prijeći na sljedeći odlomak.

II) Istražujemo granicu regije.

Budući da se granica sastoji od stranica trokuta, prikladno je studiju podijeliti u 3 pododlomka. Ali bolje je to nikako ne učiniti. S moje točke gledišta, u početku je povoljnije razmotriti segmente paralelne s koordinatnim osima, a prije svega one koji leže na samim osima. Da biste uhvatili cijeli slijed i logiku radnji, pokušajte proučiti završetak "u jednom dahu":

1) Pozabavimo se donjom stranom trokuta. Da bismo to učinili, zamijenimo izravno u funkciju:

Alternativno, možete to učiniti ovako:

Geometrijski to znači da koordinatna ravnina (što je također dano jednadžbom)"izrezati" iz površine„prostorne“ parabole, čiji vrh odmah pada pod sumnju. Hajde da vidimo gdje je ona:

- rezultirajuća vrijednost "pogodila" je područje, a može biti i to u točki (oznaka na crtežu) funkcija postiže najveću ili najmanju vrijednost u cijelom području. U svakom slučaju, napravimo izračune:

Ostali "kandidati" su, naravno, krajevi segmenta. Izračunajte vrijednosti funkcije u točkama (oznaka na crtežu):

Ovdje, usput, možete izvršiti usmenu mini-provjeru "ogoljene" verzije:

2) Da bismo proučili desnu stranu trokuta, zamijenimo je u funkciju i "složimo stvari tamo":

Ovdje odmah vršimo grubu provjeru, "zvoneći" već obrađeni kraj segmenta:
, Sjajno.

Geometrijska situacija je povezana s prethodnom točkom:

- dobivena vrijednost također je “ušla u okvir naših interesa”, što znači da treba izračunati čemu je jednaka funkcija u točki koja se pojavila:

Ispitajmo drugi kraj segmenta:

Korištenje funkcije , provjerimo:

3) Svatko vjerojatno zna kako istražiti preostalu stranu. Zamjenjujemo u funkciju i provodimo pojednostavljenja:

Linija završava već su istražene, ali na nacrtu još uvijek provjeravamo jesmo li ispravno pronašli funkciju :
– poklopilo se s rezultatom iz 1. podstavka;
– poklopilo se s rezultatom 2. podstavka.

Ostaje da saznamo ima li nešto zanimljivo unutar segmenta:

- Tamo je! Zamjenom ravne linije u jednadžbu dobivamo ordinatu ove "zanimljivosti":

Označimo točku na crtežu i pronađemo odgovarajuću vrijednost funkcije:

Kontrolirajmo izračune prema "proračunskoj" verziji :
, narudžba.

I posljednji korak: PAŽLJIVO pregledajte sve "masne" brojke, preporučujem čak i početnicima da naprave jedan popis:

od kojih biramo najveću i najmanju vrijednost. Odgovor pisati u stilu problema pronalaženja najveću i najmanju vrijednost funkcije na intervalu:

Za svaki slučaj, još jednom ću komentirati geometrijsko značenje rezultata:
- ovdje je najviše visoka točka površine u prostoru;
- ovdje je najniža točka površine u tom području.

U analiziranom problemu pronašli smo 7 “sumnjivih” točaka, ali njihov broj varira od zadatka do zadatka. Za trokutastu regiju, minimalni "skup istraživanja" sastoji se od tri točke. To se događa kada se funkcija, na primjer, postavi avion- sasvim je jasno da nema stacionarnih točaka, a funkcija može doseći maksimalne / minimalne vrijednosti samo na vrhovima trokuta. Ali nema takvih primjera jednom, dvaput - obično se morate nositi s nekom vrstom površina 2. reda.

Ako malo riješite takve zadatke, onda vam se od trokuta može zavrtjeti u glavi, a zato sam vam pripremio neobične primjere da ga napravite kvadratnim :))

Primjer 2

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u zatvorenom području omeđenom linijama

Primjer 3

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u omeđenom zatvorenom području.

Obratite posebnu pozornost na racionalan redoslijed i tehniku istraživanja granice područja, kao i na lanac međuprovjera, čime ćete gotovo u potpunosti izbjeći računske pogreške. Općenito govoreći, možete ga riješiti kako želite, ali u nekim problemima, na primjer, u istom primjeru 2, postoji svaka prilika da vam značajno zakompliciraju život. Uzorak Uzorak završavanje zadataka na kraju lekcije.

Sistematiziramo algoritam rješenja, inače, uz moju marljivost pauka, nekako se izgubio u dugoj niti komentara prvog primjera:

- U prvom koraku gradimo plohu, poželjno ju je osjenčati, a granicu istaknuti debelom linijom. Tijekom rješavanja pojavit će se točke koje je potrebno staviti na crtež.

– Pronađite stacionarne točke i izračunajte vrijednosti funkcije samo u onima, koji pripadaju području . Dobivene vrijednosti označene su u tekstu (na primjer, zaokružene olovkom). Ako stacionarna točka NE pripada području, tada tu činjenicu označavamo ikonom ili usmeno. Ako uopće nema stacionarnih točaka, onda izvlačimo pismeni zaključak da ih nema. U svakom slučaju, ova stavka se ne može preskočiti!

– Istraživanje pograničnog područja. Prvo, korisno je raditi s ravnim linijama koje su paralelne s koordinatnim osima (ako ih ima). Također su istaknute vrijednosti funkcije izračunate na "sumnjivim" točkama. Gore je puno rečeno o tehnici rješenja, au nastavku će biti još nešto - čitajte, ponovno čitajte, udubljujte se!

- Od odabranih brojeva odaberite najveću i najmanju vrijednost i dajte odgovor. Ponekad se dogodi da funkcija dosegne takve vrijednosti u nekoliko točaka odjednom - u ovom slučaju, sve te točke trebale bi se odraziti u odgovoru. Neka npr. a pokazalo se da je to najmanja vrijednost. Onda to napišemo

Posljednji primjeri posvećeni su drugim korisnim idejama koje će vam dobro doći u praksi:

Primjer 4

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u zatvorenom području .

Zadržao sam autorovu formulaciju u kojoj je površina dana kao dvostruka nejednadžba. Ovaj se uvjet može napisati u ekvivalentnom sustavu ili u tradicionalnijem obliku za ovaj problem:

Podsjećam vas da sa nelinearni naišli smo na nejednakosti na , a ako ne razumijete geometrijsko značenje unosa, molimo vas da ne odgađate i odmah pojasnite situaciju ;-)

Riješenje, kao i uvijek, počinje izgradnjom područja, koje je svojevrsni "potplat":

Hmm, ponekad morate gristi ne samo granit znanosti ....

I) Pronađite stacionarne točke:

Idiotski sistem snova :)

Stacionarna točka pripada regiji, naime, nalazi se na njezinoj granici.

I tako, nije ništa ... zabavna lekcija je krenula - to znači piti pravi čaj =)

II) Istražujemo granicu regije. Bez daljnjeg odlaganja, počnimo s osi x:

1) Ako je , tada

Pronađite gdje je vrh parabole:
- Cijenite takve trenutke - "pogodite" pravo u stvar, iz koje je već sve jasno. Ali ne zaboravite provjeriti:

Izračunajmo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta:

2) Donji dio "potplata" pozabavit ćemo se "u jednom dahu" - bez ikakvih kompleksa zamijenit ćemo ga u funkciju, štoviše, zanimat će nas samo segment:

Kontrolirati:

Sada to već pomalo oživljava monotonu vožnju na nabranoj stazi. Pronađimo kritične točke:

Mi odlučujemo kvadratna jednadžba sjećaš li se ovoga? ... Međutim, zapamtite, naravno, inače ne biste čitali ove retke =) Ako su u prethodna dva primjera izračuni u decimalnim razlomcima bili prikladni (što je, usput rečeno, rijetko), onda ovdje čekamo uobičajeno obični razlomci. Pronalazimo korijene "x" i pomoću jednadžbe određujemo odgovarajuće koordinate "igre" točaka "kandidata":

Izračunajmo vrijednosti funkcije u pronađenim točkama:

Provjerite sami funkciju.

Sada pažljivo proučavamo osvojene trofeje i zapisujemo odgovor:

Evo "kandidata", pa "kandidata"!

Za samostalno rješenje:

Primjer 5

Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije u zatvorenom prostoru

Unos s vitičastim zagradama glasi ovako: "skup točaka takav da".

Ponekad u takvim primjerima koriste Lagrangeova metoda multiplikatora, ali malo je vjerojatno da će se pojaviti prava potreba za njegovim korištenjem. Tako, na primjer, ako je dana funkcija s istim područjem "de", onda nakon zamjene u nju - s derivatom bez poteškoća; štoviše, sve je nacrtano u "jednoj liniji" (sa znakovima) bez potrebe da se odvojeno razmatraju gornji i donji polukrug. Ali, naravno, ima ih još teški slučajevi, gdje bez Lagrangeove funkcije (gdje je, na primjer, ista kružna jednadžba) teško je proći - kako je teško proći bez dobrog odmora!

Sve najbolje za uspješan prolaz i vidimo se sljedeće sezone!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Riješenje: nacrtajte područje na crtežu:

Što je ekstrem funkcije i koji je nužan uvjet za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.

Nužni uvjet za maksimum i minimum (ekstremum) funkcije je sljedeći: ako funkcija f(x) ima ekstrem u točki x = a, tada je u toj točki derivacija ili nula, ili beskonačna, ili ne postoji.

Ovaj uvjet je neophodan, ali ne i dovoljan. Derivacija u točki x = a može nestati, ići u beskonačnost ili ne postojati bez funkcije koja ima ekstrem u ovoj točki.

Koji je dovoljan uvjet za ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?

Prvi uvjet:

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u samoj točki x = a funkcija f(x) ima maksimum

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) negativna lijevo od a i pozitivna desno od a, tada u samoj točki x = a funkcija f(x) ima minimum uz uvjet da je funkcija f(x) ovdje kontinuirana.

Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstrem funkcije:

Neka u točki x = i prva derivacija f?(x) nestaje; ako je druga derivacija f??(a) negativna, tada funkcija f(x) ima maksimum u točki x = a, ako je pozitivna, tada ima minimum.

Što je kritična točka funkcije i kako je pronaći?

Ovo je vrijednost argumenta funkcije pri kojoj funkcija ima ekstrem (tj. maksimum ili minimum). Da biste ga pronašli, trebate pronaći izvedenicu funkcija f?(x) i, izjednačujući je s nulom, riješiti jednadžbu f?(x) = 0. Korijeni ove jednadžbe, kao i one točke u kojima ne postoji derivacija ove funkcije su kritične točke, tj. vrijednosti argumenta u kojima može postojati ekstremum . Lako se mogu prepoznati gledanjem izvodni graf: zanimaju nas one vrijednosti argumenta pri kojima graf funkcije siječe apscisnu os (Ox os) i one pri kojima graf trpi lomove.

Na primjer, pronađimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivacija funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rješavamo jednadžbu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

U ovom slučaju kritična točka je x0=-1/3. Za ovu vrijednost argumenta funkcija ima ekstremno. Da ga dobijem pronaći, zamijenimo pronađeni broj u izrazu za funkciju umjesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?

Ako se predznak derivacije promijeni iz “plus” u “minus” pri prolasku kroz kritičnu točku x0, tada je x0 maksimalna točka; ako se predznak derivacije promijeni s minusa na plus, tada je x0 minimalna točka; ako se predznak ne promijeni, tada u točki x0 nema ni maksimuma ni minimuma.

Za razmatrani primjer:

Uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritična točka: x = -1

Kada je x = -1, vrijednost derivacije bit će y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak minus).

Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Za x = 1, vrijednost derivacije bit će y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak plus).

Kao što vidite, pri prolasku kroz kritičnu točku izvodnica je promijenila predznak iz minusa u plus. To znači da pri kritičnoj vrijednosti x0 imamo točku minimuma.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu(na segmentu) nalaze se istim postupkom, samo uzimajući u obzir činjenicu da možda neće sve kritične točke ležati unutar navedenog intervala. One kritične točke koje su izvan intervala moraju biti isključene iz razmatranja. Ako unutar intervala postoji samo jedna kritična točka, ona će imati maksimum ili minimum. U ovom slučaju, za određivanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije, također uzimamo u obzir vrijednosti funkcije na krajevima intervala.

Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

u intervalima:

Dakle, izvod funkcije je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rješavamo jednadžbu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritične točke nalazimo na intervalu [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (nije uključeno u interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (nije uključeno u interval)

Nalazimo vrijednosti funkcije na kritičnim vrijednostima argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidi se da je na intervalu [-9; 9] najveća vrijednost funkcija ima pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmanji - na x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu točku: x = -4,88. Vrijednost funkcije pri x = -4,88 je y = 5,398.

Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije

y = 5,398 na x = -4,88

najmanja vrijednost je

y = 1,077 na x = -3

Kako pronaći točke infleksije grafa funkcije i odrediti strane konveksnosti i konkavnosti?

Da biste pronašli sve točke infleksije linije y \u003d f (x), morate pronaći drugu derivaciju, izjednačiti je s nulom (riješiti jednadžbu) i testirati sve one vrijednosti x za koje je druga derivacija nula , beskonačan ili ne postoji. Ako pri prolasku kroz jednu od ovih vrijednosti druga derivacija promijeni predznak, tada graf funkcije ima infleksiju u ovoj točki. Ako se ne mijenja, onda nema infleksije.

Korijeni jednadžbe f ? (x) = 0, kao i moguće točke diskontinuiteta funkcije i druge derivacije, dijele područje funkcije na određeni broj intervala. Konveksnost u svakom njihovom intervalu određena je predznakom druge derivacije. Ako je druga derivacija u točki proučavanog intervala pozitivna, tada je pravac y = f(x) ovdje konkavna prema gore, a ako je negativna, onda prema dolje.

Kako pronaći ekstreme funkcije dviju varijabli?

Da biste pronašli ekstreme funkcije f(x, y), diferencijabilne u području svoje dodjele, trebate:

1) pronađite kritične točke i za to riješite sustav jednadžbi

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) za svaku kritičnu točku P0(a;b) ispitati ostaje li predznak razlike nepromijenjen

za sve točke (x; y) dovoljno blizu P0. Ako razlika zadrži pozitivan predznak, tada u točki P0 imamo minimum, ako je negativan, onda maksimum. Ako razlika ne zadrži predznak, tada u točki R0 nema ekstrema.

Slično se određuju ekstremi funkcije za veći broj argumenata.

Što je ekstrem funkcije i koji je nužan uvjet za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.

Nužni uvjet za maksimum i minimum (ekstremum) funkcije je sljedeći: ako funkcija f(x) ima ekstrem u točki x = a, tada je u toj točki derivacija ili nula, ili beskonačna, ili ne postoji.

Ovaj uvjet je neophodan, ali ne i dovoljan. Derivacija u točki x = a može nestati, ići u beskonačnost ili ne postojati bez funkcije koja ima ekstrem u ovoj točki.

Koji je dovoljan uvjet za ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?

Prvi uvjet:

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u samoj točki x = a funkcija f(x) ima maksimum

Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstrem funkcije:

Neka u točki x = i prva derivacija f?(x) nestaje; ako je druga derivacija f??(a) negativna, tada funkcija f(x) ima maksimum u točki x = a, ako je pozitivna, tada ima minimum.

Što je kritična točka funkcije i kako je pronaći?

Na primjer, pronađimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivacija funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rješavamo jednadžbu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

U ovom slučaju kritična točka je x0=-1/3. Za ovu vrijednost argumenta funkcija ima ekstremno. Da ga dobijem pronaći, zamijenimo pronađeni broj u izrazu za funkciju umjesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?

Za razmatrani primjer:

Uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritične točke: x = -1

Kada je x = -1, vrijednost derivacije bit će y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak minus).

Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Za x = 1, vrijednost derivacije bit će y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak plus).

Kao što vidite, pri prolasku kroz kritičnu točku izvodnica je promijenila predznak iz minusa u plus. To znači da pri kritičnoj vrijednosti x0 imamo točku minimuma.

Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

u intervalima:

Dakle, izvod funkcije je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rješavamo jednadžbu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritične točke nalazimo na intervalu [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (nije uključeno u interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (nije uključeno u interval)

Nalazimo vrijednosti funkcije na kritičnim vrijednostima argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidi se da je na intervalu [-9; 9] funkcija ima najveću vrijednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmanji - na x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu točku: x = -4,88. Vrijednost funkcije pri x = -4,88 je y = 5,398.

Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije

y = 5,398 na x = -4,88

najmanja vrijednost je

y = 1,077 na x = -3

Kako pronaći točke infleksije grafa funkcije i odrediti strane konveksnosti i konkavnosti?

Kako pronaći ekstreme funkcije dviju varijabli?

Da biste pronašli ekstreme funkcije f(x, y), diferencijabilne u području svoje dodjele, trebate:

1) pronađite kritične točke i za to riješite sustav jednadžbi

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) za svaku kritičnu točku P0(a;b) ispitati ostaje li predznak razlike nepromijenjen

Slično se određuju ekstremi funkcije za veći broj argumenata.

O čemu je Shrek Forever After?
Crtić: Shrek Forever After Godina izlaska: 2010. Premijera (Rusija): 20. svibnja 2010. Država: SAD Redatelj: Michael Pitchel Scenarij: Josh Klausner, Darren Lemke Žanr: obiteljska komedija, fantazija, avantura Službena stranica: www.shrekforeverafter.com radnja mazga

Mogu li donirati krv tijekom menstruacije?
Liječnici ne preporučuju davanje krvi tijekom menstruacije, jer. gubitak krvi, iako ne u značajnoj količini, ispunjen je smanjenjem razine hemoglobina i pogoršanjem dobrobiti žene. Tijekom postupka darivanja krvi, situacija s dobrobiti može se pogoršati sve do otkrivanja krvarenja. Stoga se žene trebaju suzdržati od davanja krvi tijekom menstruacije. I to već 5. dan nakon što su završili

Koliko kcal / sat se troši prilikom pranja podova
Vrste tjelesna aktivnost Potrošnja energije, kcal/h Kuhanje 80 Oblačenje 30 Vožnja 50 Brisanje prašine 80 Jelo 30 Vrtlarstvo 135 Peglanje 45 Pospremanje kreveta 130 Kupovina 80 Sjedeći posao 75 Cjepanje drva 300 Pranje podova 130 Seks 100-150 Aerobni ples niskog intenziteta

Što znači riječ "skitnica"?
Lopov je lopov koji se bavi sitnom krađom ili lupež sklon prijevarnim trikovima. Potvrda ove definicije sadržana je u Krylovljevom etimološkom rječniku, prema kojem je riječ "prevarant" nastala od riječi "prevarant" (lopov, prevarant), srodne glagolu &la

Kako se zove zadnja objavljena priča braće Strugatski
Mala priča Arkadij i Boris Strugatski "O pitanju ciklotacije" prvi put je objavljen u travnju 2008. godine u antologiji znanstvene fantastike "Podne. XXI stoljeće" (prilog časopisu "Vokrug sveta", koji izlazi pod uredništvom Borisa Strugatskog). Publikacija je bila posvećena 75. obljetnici Borisa Strugatskog.

Gdje mogu pročitati priče sudionika Work And Travel USA programa
Work and Travel USA (rad i putovanje u SAD) popularan je program razmjene studenata u kojem možete provesti ljeto u Americi, legalno radeći u uslužnom sektoru i putujući. Povijest programa Work & Travel dio je programa međuvladine razmjene Cultural Exchange Pro

Uho. Kulinarska i povijesna referenca Više od dva i pol stoljeća riječ "ukha" koristi se za označavanje juha ili uvarka od svježe ribe. Ali bilo je vremena kada se ova riječ tumačila šire. Označavali su juhu - ne samo ribu, već i meso, grašak, pa čak i slatko. Dakle, u povijesnom dokumentu - "

Portali za informacije i zapošljavanje Superjob.ru - portal za zapošljavanje Superjob.ru radi na rusko tržište online zapošljavanje od 2000. i vodeći je među resursima koji nude traženje posla i zapošljavanje. Više od 80.000 životopisa stručnjaka i više od 10.000 slobodnih radnih mjesta dodaju se dnevno u bazu podataka stranice.

Što je motivacija
Definicija motivacije Motivacija (od lat. moveo - krećem se) - poticaj za djelovanje; dinamički proces fiziološkog i psihološkog plana koji kontrolira ljudsko ponašanje, određuje njegov smjer, organizaciju, aktivnost i stabilnost; čovjekova sposobnost da radom zadovolji svoje potrebe. Motivac

Tko je Bob Dylan
Bob Dylan (engl. Bob Dylan, pravo ime - Robert Allen Zimmerman engl. Robert Allen Zimmerman; rođen 24. svibnja 1941.) američki je tekstopisac koji je - prema anketi časopisa Rolling Stone - drugi (

Kako transportirati sobne biljke
Nakon kupnje sobne biljke, vrtlar se suočava sa zadatkom da neozlijeđeno isporuči kupljeno egzotično cvijeće. Poznavanje osnovnih pravila za pakiranje i transport sobnih biljaka pomoći će u rješavanju ovog problema. Biljke moraju biti pakirane za transport ili transport. Koliko god se biljke prenosile, mogu se oštetiti, osušiti, a zimi &m

Popularno u kategoriji: