namai › Avarijos testas automatinis › Mažiausia ir didžiausia segmento funkcijos reikšmės. Kaip rasti didžiausią funkcijos reikšmę

Mažiausia ir didžiausia segmento funkcijos reikšmės. Kaip rasti didžiausią funkcijos reikšmę

Tegul funkcija y=f(X) ištisinis segmente [ a, b]. Kaip žinoma, tokia funkcija šiame intervale pasiekia didžiausias ir minimalias reikšmes. Funkcija gali gauti šias reikšmes vidiniame segmento taške [ a, b] arba ant atkarpos ribos.

Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes intervale [ a, b] būtina:

1) suraskite kritinius funkcijos taškus intervale ( a, b);

2) apskaičiuokite funkcijos reikšmes rastuose kritiniuose taškuose;

3) apskaičiuokite funkcijos reikšmes segmento galuose, tai yra, už x=A ir x = b;

4) iš visų apskaičiuotų funkcijos reikšmių pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

Pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

segmente.

Kritinių taškų paieška:

Šie taškai yra segmento viduje; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

taške x= 3 ir taške x= 0.

Išgaubtumo ir vingio taško funkcijos tyrimas.

Funkcija y = f (x) paskambino išgaubtas tarp (a, b) , jei jo grafikas yra po liestine, nubrėžta bet kuriame šio intervalo taške, ir yra vadinamas išgaubtas žemyn (įgaubtas) jei jo grafikas yra virš liestinės.

Perėjimo taškas, per kurį išgaubtumas pakeičiamas įdubimu arba atvirkščiai, vadinamas Vingio taškas.

Išgaubtumo ir vingio taško tyrimo algoritmas:

1. Raskite antrosios rūšies kritinius taškus, tai yra taškus, kuriuose antroji išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.

2. Skaičių eilutėje įdėkite kritinius taškus, suskaidydami ją į intervalus. Kiekviename intervale raskite antrosios išvestinės ženklą; jei , tai funkcija yra išgaubta į viršų, jei, tada funkcija yra išgaubta žemyn.

3. Jei, eidamas per antros rūšies kritinį tašką, jis keičia ženklą ir šioje vietoje antroji išvestinė lygi nuliui, tai šis taškas yra vingio taško abscisė. Raskite jo ordinates.

Funkcijos grafiko asimptotės. Funkcijos į asimptotes tyrimas.

Apibrėžimas. Funkcijos grafiko asimptote vadinama tiesiai, kuri turi savybę, kad atstumas nuo bet kurio grafiko taško iki šios linijos linkęs į nulį, neribotai pašalinant grafiko tašką nuo pradžios.

Yra trys asimptotų tipai: vertikaliai, horizontaliai ir nuožulniai.

Apibrėžimas. Tiesiogiai skambinama vertikali asimptota funkcijų grafikas y = f(x), jei bent viena iš vienpusių funkcijos ribų šiame taške yra lygi begalybei, tai yra

kur yra funkcijos nepertraukiamumo taškas, tai yra, ji nepriklauso apibrėžimo sričiai.

Pavyzdys.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – lūžio taškas.

Apibrėžimas. Tiesiai y=A paskambino horizontalioji asimptote funkcijų grafikas y = f(x) adresu , jei

Pavyzdys.

x
y

Apibrėžimas. Tiesiai y=kx +b (k≠ 0) vadinamas įstrižas asimptotas funkcijų grafikas y = f(x) kur

Bendra funkcijų tyrimo ir braižymo schema.

Funkcijų tyrimo algoritmasy = f(x) :

1. Raskite funkcijos sritį D (y).

2. Raskite (jei įmanoma) grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis (su x= 0 ir at y = 0).

3. Ištirkite lygines ir nelygines funkcijas ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritetas; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ nelyginis).

4. Raskite funkcijos grafiko asimptotes.

5. Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus.

6. Raskite funkcijos kraštutinumą.

7. Raskite funkcijos grafiko išgaubtumo (įgaubtumo) ir vingio taškų intervalus.

8. Remdamiesi atliktu tyrimu, sudarykite funkcijos grafiką.

Pavyzdys. Ištirkite funkciją ir nubraižykite jos grafiką.

1) D (y) =

x= 4 – lūžio taškas.

2) Kada x = 0,

(0; – 5) – susikirtimo taškas su oi.

At y = 0,

3) y(‒ x)= funkcija bendras vaizdas(nei lyginis, nei nelyginis).

4) Mes tiriame asimptotus.

a) vertikaliai

b) horizontaliai

c) rasti pasvirusių asimptotų kur

‒pasviroji asimptotės lygtis

5) Šioje lygtyje nebūtina rasti funkcijos monotoniškumo intervalų.

Šie kritiniai taškai padalija visą funkcijos sritį intervale (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ir (10; +∞). Patogu gautus rezultatus pateikti šios lentelės forma.

Dažnai fizikoje ir matematikoje tai reikia rasti mažiausia vertė funkcijas. Kaip tai padaryti, mes dabar pasakysime.

Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę: instrukcija

Norėdami apskaičiuoti mažiausią nuolatinės funkcijos reikšmę tam tikrame intervale, turite vadovautis šiuo algoritmu:
Raskite funkcijos išvestinę.
Raskite tam tikroje atkarpoje taškus, kuriuose išvestinė lygi nuliui, taip pat visus kritinius taškus. Tada sužinokite funkcijos reikšmes šiuose taškuose, tai yra, išspręskite lygtį, kur x yra lygus nuliui. Sužinokite, kuri iš reikšmių yra mažiausia.
Sužinokite, kokią reikšmę funkcija turi galiniuose taškuose. Nustatykite mažiausią funkcijos reikšmę šiuose taškuose.
Palyginkite gautus duomenis su mažiausia verte. Mažiausias iš gautų skaičių bus mažiausia funkcijos reikšmė.

Atminkite, kad jei segmento funkcija neturi mažiausių taškų, tai reiškia, kad šiame segmente ji didėja arba mažėja. Todėl mažiausia reikšmė turėtų būti apskaičiuojama baigtiniuose funkcijos segmentuose.

Visais kitais atvejais funkcijos reikšmė apskaičiuojama pagal nurodytą algoritmą. Kiekviename algoritmo žingsnyje turėsite išspręsti paprastą tiesinė lygtis su viena šaknimi. Išspręskite lygtį naudodami piešinį, kad išvengtumėte klaidų.

Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę pusiau atvirame segmente? Ant pusiau atviros arba atviras laikotarpis funkcija, mažiausia reikšmė turėtų būti rasta taip. Funkcijos reikšmės galiniuose taškuose apskaičiuokite funkcijos vienpusę ribą. Kitaip tariant, išspręskite lygtį, kurioje tendencijos taškai pateikiami reikšmėmis a+0 ir b+0, kur a ir b yra kritinių taškų pavadinimai.

Dabar žinote, kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę. Svarbiausia yra atlikti visus skaičiavimus teisingai, tiksliai ir be klaidų.

Ir norint ją išspręsti, reikia minimalių žinių apie temą. Baigiasi kiti mokslo metai, visi nori atostogauti, o norėdama priartinti šią akimirką, iškart kimbu į reikalą:

Pradėkime nuo srities. Sąlygoje nurodytas plotas yra ribotas uždaryta taškų rinkinys plokštumoje. Pavyzdžiui, taškų rinkinys, apribotas trikampiu, įskaitant VISĄ trikampį (jei iš sienų„Išdurkite“ bent vieną tašką, tada sritis nebebus uždaryta). Praktiškai taip pat yra stačiakampių, apvalių ir šiek tiek daugiau sričių sudėtingos formos. Pažymėtina, kad matematinės analizės teorijoje pateikiami griežti apibrėžimai apribojimai, izoliacija, ribos ir kt., bet manau, kad visi žino šias sąvokas intuityviu lygmeniu, ir daugiau dabar nereikia.

Plokščias plotas paprastai žymimas raide ir, kaip taisyklė, pateikiamas analitiškai - keliomis lygtimis (nebūtinai linijinis); rečiau nelygybės. Tipiška žodinė apyvarta: „uždara zona, apribota eilėmis“.

Neatsiejama nagrinėjamos užduoties dalis yra ploto sukūrimas brėžinyje. Kaip tai padaryti? Būtina nubrėžti visas išvardytas linijas (in Ši byla 3 tiesiai) ir analizuoti, kas atsitiko. Norimas plotas dažniausiai būna švelniai išbrynuotas, o jo kraštas paryškinamas paryškinta linija:

Galima nustatyti tą pačią sritį tiesinės nelygybės: , kurie kažkodėl dažniau rašomi kaip surašymo sąrašas, o ne sistema.
Kadangi riba priklauso regionui, tada visos nelygybės, žinoma, negriežtas.

O dabar reikalo esmė. Įsivaizduokite, kad ašis eina tiesiai į jus iš koordinačių pradžios. Apsvarstykite funkciją, kuri tęstinis kiekviename ploto taškas. Šios funkcijos grafikas yra paviršius, o maža laimė ta, kad norint išspręsti šiandienos problemą, mums visai nereikia žinoti, kaip atrodo šis paviršius. Jis gali būti aukščiau, žemiau, kirsti plokštumą - visa tai nėra svarbu. Ir svarbu tai: pagal Weierstrasso teoremos, tęstinis V ribotas uždarytas plote, funkcija pasiekia maksimumą (iš „aukščiausio“) ir mažiausiai (iš „mažiausių“) vertybes, kurias reikia rasti. Šios vertybės pasiekiamos arba V stacionarūs taškai, priklausantis regionuiD , arba taškuose, kurie yra ant šio regiono ribos. Iš to seka paprastas ir skaidrus sprendimo algoritmas:

1 pavyzdys

Ribotas uždara zona

Sprendimas: Visų pirma, piešinyje turite pavaizduoti sritį. Deja, man techniškai sunku padaryti interaktyvų problemos modelį, todėl iš karto pateiksiu galutinę iliustraciją, kurioje parodyti visi tyrimo metu rasti „įtartini“ taškai. Paprastai jie dedami vienas po kito, kai randami:

Remiantis preambule, sprendimą galima patogiai suskirstyti į du punktus:

I) Raskime stacionarius taškus. Tai yra standartinis veiksmas, kurį ne kartą atlikome pamokoje. apie kelių kintamųjų ekstremumus:

Rastas stacionarus taškas priklauso sritys: (pažymėkite ant piešinio), o tai reiškia, kad turėtume apskaičiuoti funkcijos reikšmę tam tikrame taške:

- kaip straipsnyje Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmės segmente, svarbius rezultatus paryškinsiu paryškintu šriftu. Sąsiuvinyje patogu juos apibraukti pieštuku.

Atkreipkite dėmesį į mūsų antrąją laimę – nėra prasmės tikrinti pakankama sąlyga ekstremumui. Kodėl? Net jei funkcija pasiekia, pvz. vietinis minimumas, tada tai NEREIKIA, kad gauta reikšmė bus minimalus visame regione (žr. pamokos pradžią apie besąlyginius kraštutinumus) .

Ką daryti, jei stacionarus taškas NEPRIklauso sričiai? Beveik nieko! Reikėtų tai pažymėti ir pereiti prie kitos pastraipos.

II) Mes tiriame regiono sieną.

Kadangi kraštinė susideda iš trikampio kraštinių, studiją patogu suskirstyti į 3 pastraipas. Bet geriau to nedaryti bet kaip. Mano požiūriu, iš pradžių naudingiau svarstyti atkarpas, lygiagrečias koordinačių ašims, o pirmiausia gulinčias ant pačių ašių. Norėdami sugauti visą veiksmų seką ir logiką, pabandykite ištirti pabaigą „vienu įkvėpimu“:

1) Panagrinėkime apatinę trikampio kraštinę. Norėdami tai padaryti, pakeičiame tiesiai į funkciją:

Arba galite tai padaryti taip:

Geometriškai tai reiškia, kad koordinačių plokštuma (kuri taip pat pateikiama lygtyje)„iškirpti“ iš paviršiai„erdvinė“ parabolė, kurios viršūnė iš karto patenka į įtarimą. Išsiaiškinkime kur ji:

- gauta reikšmė "pataikė" į sritį, ir gali būti, kad taške (pažymėkite brėžinyje) funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę visame plote. Bet kokiu atveju atlikime skaičiavimus:

Kiti „kandidatai“, žinoma, yra segmento galai. Apskaičiuokite funkcijos reikšmes taškuose (pažymėkite brėžinyje):

Čia, beje, galite atlikti žodinį mini patikrinimą „nuplėštoje“ versijoje:

2) Norėdami ištirti dešinę trikampio pusę, pakeičiame ją į funkciją ir „ten sutvarkome dalykus“:

Čia nedelsdami atliekame grubų patikrinimą, „paskambindami“ jau apdorotą segmento galą:
, Puiku.

Geometrinė situacija yra susijusi su ankstesniu tašku:

- gauta reikšmė taip pat „pateko į mūsų interesų sritį“, o tai reiškia, kad turime apskaičiuoti, kam lygi funkcija pasirodžiusiame taške:

Panagrinėkime antrąjį segmento galą:

Naudojant funkciją , Patikrinkime:

3) Visi tikriausiai žino, kaip ištirti likusią pusę. Pakeičiame funkciją ir atliekame supaprastinimus:

Linija baigiasi jau buvo ištirtos, tačiau juodraštyje vis tiek tikriname, ar teisingai radome funkciją :
– sutapo su 1 pastraipos rezultatu;
– sutapo su 2 pastraipos rezultatu.

Belieka išsiaiškinti, ar segmente yra kažkas įdomaus:

- Yra! Lygtyje pakeitę tiesią liniją, gauname šio „įdomumo“ ordinatę:

Pažymime tašką brėžinyje ir randame atitinkamą funkcijos reikšmę:

Valdykime skaičiavimus pagal „biudžetinį“ variantą :
, įsakymas.

Ir paskutinis žingsnis: Atidžiai peržiūrėkite visus "riebius" skaičius, net pradedantiesiems rekomenduoju sudaryti vieną sąrašą:

iš kurių pasirenkame didžiausias ir mažiausias vertes. Atsakymas parašykite suradimo problemos stiliumi didžiausios ir mažiausios segmento funkcijos reikšmės:

Tik tuo atveju dar kartą pakomentuosiu geometrinę rezultato reikšmę:
– čia daugiausia aukstas taskas paviršiai zonoje;
- čia yra žemiausias paviršiaus taškas šioje srityje.

Nagrinėjamoje užduotyje radome 7 „įtartinus“ taškus, tačiau jų skaičius skiriasi priklausomai nuo užduoties. Trikampio regiono minimalų „tyrinėjimo rinkinį“ sudaro trys taškai. Taip atsitinka, kai, pavyzdžiui, nustatoma funkcija lėktuvas- visiškai aišku, kad nėra stacionarių taškų, o funkcija gali pasiekti didžiausias / minimalias reikšmes tik trikampio viršūnėse. Bet ne vieną kartą, du kartus tokių pavyzdžių – dažniausiai tenka susidurti su kokiais nors 2 eilės paviršius.

Jei tokias užduotis spręsite šiek tiek, tada nuo trikampių gali suktis galva, todėl paruošiau jums neįprastų pavyzdžių, kad ji būtų kvadratinė :))

2 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždaroje zonoje, kurią riboja linijos

3 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ribotoje uždaroje srityje.

Ypatingą dėmesį atkreipkite į racionalią teritorijos ribos tyrimo tvarką ir techniką, taip pat į tarpinių patikrinimų grandinę, kuri beveik visiškai išvengs skaičiavimo klaidų. Paprastai tariant, galite tai išspręsti kaip norite, tačiau kai kuriose problemose, pavyzdžiui, tame pačiame 2 pavyzdyje, yra visos galimybės žymiai apsunkinti jūsų gyvenimą. Pavyzdys Pavyzdys baigti užduotis pamokos pabaigoje.

Mes susisteminame sprendimo algoritmą, kitu atveju su mano voro darbštumu jis kažkaip pasiklydo ilgoje 1-ojo pavyzdžio komentarų gijoje:

- Pirmuoju žingsniu statome plotą, pageidautina jį užtamsinti, o kraštą paryškinti stora linija. Sprendimo metu atsiras taškai, kuriuos reikia įdėti į piešinį.

– Raskite stacionarius taškus ir apskaičiuokite funkcijos reikšmes tik tuose, kurie priklauso sričiai . Gautos reikšmės yra paryškintos tekste (pavyzdžiui, apibrauktos pieštuku). Jeigu stacionarus taškas NE PRIKLAUSO sričiai, tai šį faktą pažymime piktograma arba žodžiu. Jei stacionarių taškų iš viso nėra, darome raštišką išvadą, kad jų nėra. Bet kokiu atveju šio elemento negalima praleisti!

– Pasienio zonos tyrinėjimas. Pirma, naudinga dirbti su tiesiomis linijomis, kurios yra lygiagrečios koordinačių ašims (jei tokių yra). Taip pat paryškintos funkcijų reikšmės, apskaičiuotos „įtartiniuose“ taškuose. Daug buvo pasakyta apie aukščiau pateiktą sprendimo techniką, o toliau bus pasakyta dar kai kas – skaitykite, skaitykite dar kartą, gilinkitės!

- Iš pasirinktų skaičių pasirinkite didžiausią ir mažiausią reikšmes ir pateikite atsakymą. Kartais atsitinka taip, kad funkcija pasiekia tokias reikšmes keliuose taškuose vienu metu - šiuo atveju visi šie taškai turėtų atsispindėti atsakyme. Tegu pvz. ir paaiškėjo, kad tai mažiausia vertė. Tada mes tai rašome

Paskutiniai pavyzdžiai yra skirti kitoms naudingoms idėjoms, kurios pravers praktikoje:

4 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždaroje srityje .

Pasilikau autoriaus formuluotę, kurioje plotas pateiktas kaip dviguba nelygybė. Ši sąlyga gali būti parašyta lygiavertėje sistemoje arba tradicine šios problemos forma:

Primenu, kad su nelinijinis susidūrėme su nelygybėmis ir jei nesuprantate geometrinės įrašo reikšmės, nedelskite ir išsiaiškinkite situaciją jau dabar ;-)

Sprendimas, kaip visada, prasideda teritorijos statyba, kuri yra savotiškas „padas“:

Hmm, kartais tenka graužti ne tik mokslo granitą...

I) Raskite stacionarius taškus:

Idioto svajonių sistema :)

Stacionarus taškas priklauso regionui, ty yra ant jo ribos.

Taigi, tai nieko... smagi pamoka praėjo – štai ką reiškia gerti tinkamą arbatą =)

II) Mes tiriame regiono sieną. Be daugiau dėmesio, pradėkime nuo x ašies:

1) Jei , tada

Raskite, kur yra parabolės viršus:
– Įvertink tokias akimirkas – „pataikyk“ tiesiai į tašką, iš kurio jau viskas aišku. Tačiau nepamirškite patikrinti:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

2) Apatinę "pado" dalį nagrinėsime "vienu prisėdimu" - be jokių kompleksų ją pakeičiame į funkciją, be to, mus domina tik segmentas:

Kontrolė:

Dabar tai jau atgaivina monotonišką važiavimą raižyta trasa. Raskime kritinius taškus:

Mes nusprendžiame kvadratinė lygtis ar prisimeni šitą? ... Tačiau, žinoma, atminkite, kitaip nebūtumėt perskaitę šių eilučių =) Jei dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose skaičiavimai po kablelio trupmenomis buvo patogu (kas, beje, pasitaiko retai), tai čia laukiame įprastas bendrosios trupmenos. Randame „x“ šaknis ir naudodamiesi lygtimi nustatome atitinkamas „kandidatų“ taškų „žaidimo“ koordinates:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes rastuose taškuose:

Patikrinkite funkciją patys.

Dabar atidžiai studijuojame laimėtus trofėjus ir užrašome atsakyti:

Štai „kandidatai“, taigi „kandidatai“!

Jei norite rasti atskirą sprendimą:

5 pavyzdys

Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes uždaroje teritorijoje

Įrašas su garbanotomis petnešomis skamba taip: „taškų rinkinys toks“.

Kartais tokiuose pavyzdžiuose jie naudojasi Lagranžo daugiklio metodas, tačiau vargu ar kils realus poreikis juo naudotis. Taigi, pavyzdžiui, jei yra pateikta funkcija su ta pačia sritimi "de", tada po pakeitimo į ją - su išvestine be sunkumų; be to, viskas nubraižyta „viena eilute“ (su ženklais), nereikia atskirai apsvarstyti viršutinio ir apatinio puslankių. Bet, žinoma, yra ir daugiau sunkių atvejų, kur be Lagrange funkcijos (kur, pavyzdžiui, yra ta pati apskritimo lygtis) sunku išsiversti – kaip sunku išsiversti be gero poilsio!

Linkime sėkmės ir pasimatysime kitame sezone!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas: pieškite plotą ant brėžinio:

Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?

Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.

Būtinoji funkcijos maksimumo ir minimumo (ekstremumo) sąlyga yra tokia: jei funkcijos f(x) taške x = a yra ekstremumas, tai šiame taške išvestinė yra arba nulis, arba begalinė, arba neegzistuoja.

Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali išnykti, pereiti į begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.

Kokia yra pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga (maksimali arba minimali)?

Pirmoji sąlyga:

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai pačiame taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra neigiama į kairę nuo a ir teigiama į dešinę nuo a, tada pačiame taške x = a funkcija f(x) turi minimumas su sąlyga, kad funkcija f(x) čia yra ištisinė.

Vietoj to galite naudoti antrąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:

Tegu taške x = ir pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(а) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai minimumą.

Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?

Tai funkcijos argumento reikšmė, kuriai esant funkcijai yra ekstremumas (t. y. maksimalus arba minimumas). Norėdami jį rasti, jums reikia rasti išvestinę funkcija f?(x) ir, prilyginant ją nuliui, išspręsti lygtį f?(x) = 0. Šios lygties šaknys, taip pat tie taškai, kuriuose šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, yra kritiniai taškai, t.y. argumento reikšmės, kuriose gali būti ekstremumas . Juos nesunku atpažinti pažiūrėjus išvestinis grafikas: mus domina tos argumento reikšmės, kuriose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (Ox ašį), ir tos, kuriose grafikas nutrūksta.

Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2

Išsprendžiame lygtį: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Šiuo atveju kritinis taškas yra x0=-1/3. Šią argumento reikšmę funkcija turi ekstremumas. Gauti tai rasti, funkcijos išraiškoje rastą skaičių pakeičiame vietoj "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?

Jei išvestinės ženklas pereinant per kritinį tašką x0 pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai x0 yra maksimalus taškas; jei išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, tai x0 yra minimalus taškas; jei ženklas nesikeičia, tai taške x0 nėra nei maksimumo, nei minimumo.

Dėl nagrinėjamo pavyzdžio:

Paimame savavališką argumento reikšmę kairėje nuo kritinis taškas: x = -1

Kai x = -1, išvestinės vertė bus y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. minuso ženklas).

Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1

Jei x = 1, išvestinės vertė bus y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. pliuso ženklas).

Kaip matote, einant per kritinį tašką, išvestinė ženklą pakeitė iš minuso į pliusą. Tai reiškia, kad esant kritinei x0 vertei, turime mažiausią tašką.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė ant intervalo(segmente) randami ta pačia procedūra, tik atsižvelgiant į tai, kad galbūt ne visi kritiniai taškai bus nurodytame intervale. Tie kritiniai taškai, kurie yra už intervalo ribų, turi būti neįtraukti. Jei intervale yra tik vienas kritinis taškas, jis turės arba maksimumą, arba minimumą. Šiuo atveju, norėdami nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes, taip pat atsižvelgiame į funkcijos reikšmes intervalo galuose.

Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

intervalais:

Taigi funkcijos išvestinė yra

y?(x) = 3cos(x) – 0,5

Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arkos (0,16667) + 2πk.

Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (neįtraukta į intervalą)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) – 2π * 1 \u003d –4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (neįtraukta į intervalą)

Funkcijos reikšmes randame esant kritinėms argumento reikšmėms:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Matyti, kad intervale [-9; 9] didžiausia vertė funkcija turi x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

o mažiausias - esant x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra y = 5,398.

Funkcijos reikšmę randame intervalo galuose:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę

y = 5,398, kai x = -4,88

mažiausia vertė yra

y = 1,077, kai x = -3

Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubimo bei įgaubimo puses?

Norėdami rasti visus tiesės y \u003d f (x) vingio taškus, turite rasti antrąją išvestinę, prilyginti ją nuliui (išspręsti lygtį) ir išbandyti visas tas x reikšmes, kurių antroji išvestinė lygi nuliui. , begalinis arba neegzistuoja. Jei, einant per vieną iš šių reikšmių, antroji išvestinė keičia ženklą, tai funkcijos grafikas šiame taške turi linksnį. Jei nesikeičia, tada nėra linksniavimo.

Lygties f šaknys? (x) = 0, taip pat galimi funkcijos ir antrosios išvestinės nutrūkimo taškai, padalina funkcijos sritį į daugybę intervalų. Išgaubtumą kiekviename jų intervale lemia antrosios išvestinės ženklas. Jei antroji išvestinė tiriamo intervalo taške yra teigiama, tai tiesė y = f(x) čia yra įgaubta aukštyn, o jei neigiama, tai žemyn.

Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumus?

Norėdami rasti funkcijos f(x, y), skirtingą jos priskyrimo srityje, ekstremalumą, jums reikia:

1) Raskite kritinius taškus ir išspręskite lygčių sistemą

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs

visuose taškuose (x; y) pakankamai arti P0. Jei skirtumas išlaiko teigiamą ženklą, tada taške P0 turime minimumą, jei neigiamą, tada maksimumą. Jei skirtumas neišlaiko savo ženklo, tada taške Р0 nėra ekstremumo.

Panašiai funkcijos ekstremumai nustatomi didesniam argumentų skaičiui.

Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?

Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.

Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali išnykti, pereiti į begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.

Kokia yra pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga (maksimali arba minimali)?

Pirmoji sąlyga:

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai pačiame taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus

Vietoj to galite naudoti antrąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:

Tegu taške x = ir pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(а) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai minimumą.

Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?

Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2

Išsprendžiame lygtį: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Šiuo atveju kritinis taškas yra x0=-1/3. Šią argumento reikšmę funkcija turi ekstremumas. Gauti tai rasti, funkcijos išraiškoje rastą skaičių pakeičiame vietoj "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?

Dėl nagrinėjamo pavyzdžio:

Paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško kairėje: x = -1

Kai x = -1, išvestinės vertė bus y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. minuso ženklas).

Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1

Jei x = 1, išvestinės vertė bus y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. pliuso ženklas).

Kaip matote, einant per kritinį tašką, išvestinė ženklą pakeitė iš minuso į pliusą. Tai reiškia, kad esant kritinei x0 vertei, turime mažiausią tašką.

Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

intervalais:

Taigi funkcijos išvestinė yra

y?(x) = 3cos(x) – 0,5

Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arkos (0,16667) + 2πk.

Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (neįtraukta į intervalą)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) – 2π * 1 \u003d –4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (neįtraukta į intervalą)

Funkcijos reikšmes randame esant kritinėms argumento reikšmėms:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Matyti, kad intervale [-9; 9] funkcija turi didžiausią reikšmę, kai x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

o mažiausias - esant x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra y = 5,398.

Funkcijos reikšmę randame intervalo galuose:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę

y = 5,398, kai x = -4,88

mažiausia vertė yra

y = 1,077, kai x = -3

Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubimo bei įgaubimo puses?

Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumus?

Norėdami rasti funkcijos f(x, y), skirtingą jos priskyrimo srityje, ekstremalumą, jums reikia:

1) Raskite kritinius taškus ir išspręskite lygčių sistemą

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs

Panašiai funkcijos ekstremumai nustatomi didesniam argumentų skaičiui.

Kas yra Shrek Forever After?
Animacinis filmas: Shrek Forever After Išleidimo metai: 2010 Premjera (Rusija): 2010 m. gegužės 20 d. Šalis: JAV Režisierius: Michael Pitchel Scenarijus: Josh Klausner, Darren Lemke Žanras: šeimos komedija, fantastika, nuotykiai Oficiali svetainė: www.shrekforeverafter.com siužetas mulas

Ar galiu duoti kraujo menstruacijų metu?
Gydytojai nerekomenduoja duoti kraujo menstruacijų metu, nes. kraujo netekimas, nors ir nežymus, yra kupinas hemoglobino kiekio sumažėjimo ir moters savijautos pablogėjimo. Kraujo donorystės procedūros metu savijauta gali pablogėti iki kraujavimo nustatymo. Todėl moterys turėtų susilaikyti nuo kraujo davimo menstruacijų metu. Ir jau 5 dieną po jų pabaigos

Kiek kcal per valandą sunaudojama plaunant grindis
Rūšys fizinė veikla Energijos sąnaudos, kcal/h Maisto gaminimas 80 Ruošimasis 30 Vairavimas 50 Dulkių valymas 80 Valgymas 30 Sodo tvarkymas 135 Lyginimas 45 Lovos klojimas 130 Apsipirkimas 80 Sėdimas darbas 75 Malkų smulkinimas 300 Grindų plovimas 130 Seksas 100-150 Mažas intensyvumas

Ką reiškia žodis "netikras"?
Sukčiai – tai vagis, užsiimantis smulkia vagyste, arba nesąžiningas žmogus, linkęs į apgaulingus triukus. Šio apibrėžimo patvirtinimas yra Krylovo etimologiniame žodyne, pagal kurį žodis „aferistas“ yra sudarytas iš žodžio „aferistas“ (vagis, aferistas), giminingo veiksmažodžiui &la.

Kaip vadinasi paskutinė paskelbta brolių Strugatskių istorija
Maža istorija Arkadijus ir Borisas Strugackiai „Apie ciklotacijos klausimą“ pirmą kartą buvo paskelbti 2008 m. balandžio mėn. mokslinės fantastikos antologijoje „Vidurdienis. XXI amžius“ (žurnalo „Vokrug sveta“, išleisto Boriso Strugatskio redakcijoje, priedas). Leidinys buvo skirtas Boriso Strugatskio 75-mečiui.

Kur galiu paskaityti Work And Travel USA programos dalyvių pasakojimus
Work and Travel USA (darbas ir kelionės JAV) yra populiari studentų mainų programa, kurios metu galite praleisti vasarą Amerikoje, legaliai dirbant paslaugų sektoriuje ir keliaujant. „Work & Travel“ programos istorija yra tarpvyriausybinių mainų programos „Cultural Exchange Pro“ dalis

Ausis. Kulinarinė ir istorinė nuoroda Jau daugiau nei du su puse amžiaus žodis „ukha“ buvo vartojamas sriuboms ar šviežios žuvies nuovirui apibūdinti. Tačiau buvo laikas, kai šis žodis buvo aiškinamas plačiau. Jie žymėjo sriubą – ne tik žuvį, bet ir mėsą, žirnius ir net saldžią. Taigi istoriniame dokumente - "

Informaciniai ir įdarbinimo portalai Superjob.ru – dirba įdarbinimo portalas Superjob.ru Rusijos rinka internetinis įdarbinimas nuo 2000 m. ir yra lyderis tarp išteklių, siūlančių darbo paiešką ir personalą. Kasdien į svetainės duomenų bazę įtraukiama daugiau nei 80 000 specialistų gyvenimo aprašymų ir daugiau nei 10 000 laisvų darbo vietų.

Kas yra motyvacija
Motyvacijos apibrėžimas Motyvacija (iš lot. moveo – judu) – impulsas veikti; dinamiškas fiziologinio ir psichologinio plano procesas, valdantis žmogaus elgesį, lemiantis jo kryptį, organizaciją, veiklą ir stabilumą; žmogaus gebėjimas patenkinti savo poreikius darbu. Motivac

Kas yra Bobas Dylanas
Bobas Dilanas (angl. Bob Dylan, tikrasis vardas – Robertas Allenas Zimmermanas, angl. Robertas Allenas Zimmermanas; g. 1941 m. gegužės 24 d.) yra amerikiečių dainų autorius, kuris, remiantis žurnalo „Rolling Stone“ apklausa, yra antras (

Kaip transportuoti kambarinius augalus
Po pirkimo kambariniai augalai, sodininkui tenka užduotis nenukentėjusį pristatyti įsigytas egzotines gėles. Žinodami pagrindines kambarinių augalų pakavimo ir transportavimo taisykles, padėsite išspręsti šią problemą. Norint transportuoti ar transportuoti, augalai turi būti supakuoti. Kad ir kokiu trumpu atstumu būtų nešami augalai, jie gali būti pažeisti, gali išdžiūti, o žiemą &m

Populiarus kategorijoje: