namai › Įvairūs › Fraktaliniai elementai. Kosmoso tyrimų laboratorija

Fraktaliniai elementai. Kosmoso tyrimų laboratorija

Fraktalinės ir fraktalinės geometrijos sąvokos, atsiradusios 70-ųjų pabaigoje, nuo devintojo dešimtmečio vidurio tvirtai įsitvirtino kasdieniame matematikų ir programuotojų gyvenime. Žodis fraktalas yra kilęs iš lotynų fractus ir išvertus reiškia susidedantį iš fragmentų. 1975 m. Benoit Mandelbrotas pasiūlė nurodyti netaisyklingas, bet į save panašias struktūras, kurias jis tyrinėjo. Fraktalinės geometrijos gimimas dažniausiai siejamas su Mandelbrot knygos „Gamtos fraktalų geometrija“ paskelbimu 1977 m. Jo darbuose buvo naudojami kitų mokslininkų, dirbusių 1875–1925 m., moksliniais rezultatais (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Tačiau tik mūsų laikais buvo galima sujungti jų kūrinius į vieną sistemą.
Fraktalų vaidmuo kompiuterinėje grafikoje šiandien yra gana didelis. Jie ateina į pagalbą, pavyzdžiui, kai reikia, naudojant kelis koeficientus, apibrėžti labai sudėtingos formos linijas ir paviršius. Kompiuterinės grafikos požiūriu, fraktalinė geometrija yra būtina dirbtinių debesų, kalnų ir jūros paviršiaus generavimui. iš tikrųjų rasta plaučių kelias sudėtingų neeuklido objektų, kurių atvaizdai labai panašūs į natūralius, atvaizdai.
Viena iš pagrindinių fraktalų savybių yra savęs panašumas. Pačioje paprastas atvejis nedidelėje fraktalo dalyje yra informacijos apie visą fraktalą. Mandelbrot pateiktas fraktalo apibrėžimas yra toks: „Fraktalas yra struktūra, susidedanti iš dalių, kurios tam tikra prasme yra panašios į visumą“.

Egzistuoja didelis skaičius matematiniai objektai, vadinami fraktalais (Sierpinskio trikampis, Kocho snaigė, Peano kreivė, Mandelbroto rinkinys ir Lorenco atraktoriai). Fraktalai labai tiksliai aprašo daugybę realaus pasaulio fizikinių reiškinių ir darinių: kalnus, debesis, neramias (sūkurines) sroves, medžių šaknis, šakas ir lapus, kraujagysles, kas toli gražu neatitinka paprastų geometrinių formų. Pirmą kartą apie fraktalinę mūsų pasaulio prigimtį prabilo Benoit Mandelbrot savo pagrindiniame darbe „Gamtos fraktalinė geometrija“.
Fraktalo terminą 1977 m. įvedė Benoit Mandelbrot savo pagrindiniame darbe „Fraktalai, forma, chaosas ir matmenys“. Anot Mandelbroto, žodis fraktalas kilęs iš lotyniškų žodžių fractus – trupmena ir frangere – sulaužyti, o tai atspindi fraktalo, kaip „sulaužytos“, netaisyklingos aibės, esmę.

Fraktalų klasifikacija.

Norint reprezentuoti visą fraktalų įvairovę, patogu pasinaudoti visuotinai priimta jų klasifikacija. Yra trys fraktalų klasės.

1. Geometriniai fraktalai.

Šios klasės fraktalai yra ryškiausi. Dviejų dimensijų atveju jie gaunami naudojant poliliniją (arba paviršių trimačiu atveju), vadinamą generatoriumi. Viename algoritmo žingsnyje kiekvienas segmentas, sudarantis trūkinę liniją, pakeičiamas atitinkamos skalės trūkinės linijos generatoriumi. Dėl begalinio šios procedūros kartojimo gaunamas geometrinis fraktalas.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, vieną iš tokių fraktalinių objektų – Kocho triadinę kreivę.

Triadinės Kocho kreivės konstravimas.

Paimkite 1 ilgio tiesės atkarpą. Pavadinkime ją sėkla. Sėklą padalinkime į tris lygias 1/3 ilgio dalis, vidurinę dalį išmeskime ir pakeiskime 1/3 ilgio dviejų grandžių laužta linija.

Gauname nutrūkusią liniją, susidedančią iš 4 grandžių, kurių bendras ilgis 4/3, – vadinamoji. pirmoji karta.

Norint pereiti prie naujos kartos Kocho kreivės, reikia išmesti ir pakeisti kiekvienos nuorodos vidurinę dalį. Atitinkamai, antrosios kartos ilgis bus 16/9, trečiosios - 64/27. jei tęsite šį procesą iki begalybės, rezultatas bus triadinė Kocho kreivė.

Dabar panagrinėkime šventąją triadinę Kocho kreivę ir išsiaiškinkime, kodėl fraktalai buvo vadinami „monstrais“.

Pirma, ši kreivė neturi ilgio – kaip matėme, esant kartų skaičiui, jos ilgis linkęs į begalybę.

Antra, šios kreivės liestinės sudaryti neįmanoma – kiekvienas jos taškas yra vingio taškas, kuriame išvestinė neegzistuoja – ši kreivė nėra lygi.

Ilgis ir lygumas yra pagrindinės kreivių savybės, kurias tiria tiek Euklido geometrija, tiek Lobačevskio ir Riemanno geometrija. Į triadinę Kocho kreivę tradiciniai metodai geometrinė analizė pasirodė nepritaikoma, todėl Kocho kreivė pasirodė esanti pabaisa – „pabaisa“ tarp lygiųjų tradicinės geometrijos gyventojų.

„Drakono“ Harterio-Hatevėjaus statyba.

Norėdami gauti kitą fraktalinį objektą, turite pakeisti statybos taisykles. Tegul generuojantis elementas yra du vienodi segmentai, sujungti stačiu kampu. Nulinėje kartoje vieneto segmentą pakeičiame šiuo generuojančiu elementu, kad kampas būtų viršuje. Galima sakyti, kad su tokiu pakeitimu įvyksta nuorodos vidurio poslinkis. Statant ateinančios kartos taisyklė įvykdyta: pati pirmoji jungtis kairėje pakeičiama generuojančiu elementu taip, kad jungties vidurys pasislinktų į kairę nuo judėjimo krypties, o keičiant kitas grandis – vidurinių taškų poslinkio kryptys. segmentai turi keistis. Paveikslėlyje parodytos kelios pirmosios kartos ir 11-oji kreivės karta, sudaryta pagal aukščiau aprašytą principą. Kreivė su n linkusia į begalybę vadinama Harter-Hateway drakonu.
Kompiuterinėje grafikoje norint gauti medžių ir krūmų vaizdus, būtina naudoti geometrinius fraktalus. Dvimačiai geometriniai fraktalai naudojami trimatėms tekstūroms (objekto paviršiaus raštams) sukurti.

2. Algebriniai fraktalai

Tai didžiausia fraktalų grupė. Jie gaunami naudojant netiesinius procesus n-mačių erdvėse. Labiausiai tiriami dvimačiai procesai. Interpretuojant netiesinį iteracinį procesą kaip diskrečią dinaminę sistemą, galima vartoti šių sistemų teorijos terminus: fazinis portretas, pastovios būsenos procesas, atraktorius ir kt.
Yra žinoma, kad netiesinės dinaminės sistemos turi keletą stabilių būsenų. Būsena, kurioje dinaminė sistema atsiduria po tam tikro iteracijų skaičiaus, priklauso nuo jos pradinės būsenos. Todėl kiekviena stabili būsena (arba, kaip sakoma, atraktorius) turi tam tikrą pradinių būsenų sritį, iš kurios sistema būtinai pateks į svarstomas galutines būsenas. Taigi sistemos fazinė erdvė yra padalinta į atraktorių traukos sritis. Jei fazinė erdvė yra dvimatė, tai spalvinus traukos sritis skirtingomis spalvomis, galima gauti šios sistemos spalvinį fazės portretą (iteracinis procesas). Pakeitę spalvų pasirinkimo algoritmą, galite gauti sudėtingų fraktalų modelių su įmantriais daugiaspalviais raštais. Staigmena matematikams buvo galimybė sukurti labai sudėtingas netrivialias struktūras naudojant primityvius algoritmus.

Mandelbroto rinkinys.

Kaip pavyzdį apsvarstykite Mandelbroto rinkinį. Jo konstravimo algoritmas yra gana paprastas ir pagrįstas paprasta iteracine išraiška: Z = Z[i] * Z[i] + C, Kur Zi Ir C yra sudėtingi kintamieji. Iteracijos atliekamos kiekvienam pradiniam taškui iš stačiakampio arba kvadratinio regiono – kompleksinės plokštumos poaibio. Iteracinis procesas tęsiasi iki Z[i] neperžengs 2 spindulio apskritimo, kurio centras yra taške (0,0), (tai reiškia, kad dinaminės sistemos atraktorius yra begalybėje), arba po pakankamai didelio iteracijų skaičiaus (pvz. , 200–500) Z[i] susilieja į tam tikrą apskritimo tašką. Priklausomai nuo iteracijų skaičiaus, per kurią Z[i] liko apskritimo viduje, galite nustatyti taško spalvą C(Jei Z[i] lieka apskritimo viduje pakankamai dideliam iteracijų skaičiui, iteracijos procesas sustoja ir šis rastro taškas nudažomas juodai).

3. Stochastiniai fraktalai

Kita gerai žinoma fraktalų klasė yra stochastiniai fraktalai, kurie gaunami, jei iteracinio proceso metu atsitiktinai pakeičiamas kuris nors jo parametras. Dėl to atsiranda objektai, labai panašūs į natūralius – asimetriški medžiai, išraižytos pakrantės ir kt. Dvimačiai stochastiniai fraktalai naudojami modeliuojant reljefą ir jūros paviršių.
Yra ir kitų fraktalų klasifikacijų, pavyzdžiui, fraktalų skirstymas į deterministinius (algebrinius ir geometrinius) ir nedeterministinius (stochastinius).

Apie fraktalų naudojimą

Visų pirma, fraktalai yra nuostabaus matematinio meno sritis, kai paprasčiausių formulių ir algoritmų pagalba gaunami nepaprasto grožio ir sudėtingumo paveikslai! Konstruojamų vaizdų kontūruose dažnai spėjami lapai, medžiai, gėlės.

Kai kurie iš galingiausių fraktalų pritaikymo būdų yra Kompiuterinė grafika. Pirma, tai yra vaizdų fraktalinis suspaudimas, antra, peizažų, medžių, augalų kūrimas ir fraktalinių tekstūrų generavimas. Šiuolaikinė fizika ir mechanika tik pradeda tirti fraktalinių objektų elgesį. Ir, žinoma, fraktalai yra tiesiogiai taikomi pačioje matematikoje.
Fraktalinio vaizdo glaudinimo algoritmų pranašumai yra labai mažas supakuoto failo dydis ir trumpas vaizdo atkūrimo laikas. Fraktališkai supakuotų nuotraukų mastelį galima pakeisti be pikselių. Tačiau suspaudimo procesas užtrunka ilgai ir kartais trunka valandas. Prarastų fraktalų pakavimo algoritmas leidžia nustatyti suspaudimo lygį, panašų į jpeg formatą. Algoritmas pagrįstas didelių vaizdo dalių, panašių į kai kurias mažas dalis, paieška. Ir į išvesties failą įrašoma tik tai, kuri dalis yra panaši į kurią. Suspaudžiant dažniausiai naudojamas kvadratinis tinklelis (gabalai yra kvadratai), dėl to atkuriant paveikslą atsiranda nedidelis kampinis, šešiakampis tinklelis neturi tokio trūkumo.
„Iterated“ sukūrė naują vaizdo formatą „Sting“, kuris sujungia fraktalinį ir „banginį“ (pvz., jpeg) be nuostolių. Naujasis formatas leidžia kurti vaizdus su galimybe vėliau atlikti aukštos kokybės mastelį, o grafinių failų apimtis yra 15-20% nesuspaustų vaizdų apimties.
Kai kurie išnaudoja fraktalų tendenciją atrodyti kaip kalnai, gėlės ir medžiai grafiniai redaktoriai, pvz., fraktalų debesys iš 3D studijos MAX, fraktalų kalnai programoje World Builder. Pateikiami fraktalų medžiai, kalnai ir ištisi peizažai paprastos formulės, yra lengvai programuojami ir priartėjus nesuyra į atskirus trikampius ir kubus.
Jūs negalite ignoruoti fraktalų naudojimo pačioje matematikoje. Aibių teorijoje Kantoro aibė įrodo tobulų niekur tankių aibių egzistavimą; matų teorijoje savarankiška „Kantoriaus kopėčių“ funkcija yra geras vienaskaitos matų pasiskirstymo funkcijos pavyzdys.
Mechanikoje ir fizikoje fraktalai naudojami dėl unikalus turtas kartoti daugelio gamtos objektų kontūrus. Fraktalai leidžia apytiksliai nustatyti medžius, kalnų paviršius ir plyšius tiksliau nei apytiksliai naudojant linijų segmentus ar daugiakampius (su tokiu pat kiekiu saugomų duomenų). Fraktaliniai modeliai, kaip ir gamtos objektai, turi „šiurkštumą“, ir ši savybė išsaugoma savavališkai padidinus modelį. Vienodo mato buvimas fraktaluose leidžia taikyti integraciją, potencialų teoriją, naudoti juos vietoj standartinių objektų jau ištirtose lygtyse.
Taikant fraktalinį požiūrį, chaosas nustoja būti mėlynuoju sutrikimu ir įgauna puikią struktūrą. Fraktalų mokslas dar labai jaunas ir jo laukia puiki ateitis. Fraktalų grožis dar toli gražu neišsenka ir vis tiek suteiks mums daug šedevrų – tų, kurie džiugina akį, ir tų, kurie teikia tikrą malonumą protui.

Apie fraktalų statybą

Nuosekliųjų aproksimacijų metodas

Žvelgiant į šį paveikslėlį, nesunku suprasti, kaip galima pastatyti į save panašų fraktalą (šiuo atveju Sierpinskio piramidę). Turime paimti įprastą piramidę (tetraedrą), tada iškirpti jos vidurį (oktaedrą), todėl gauname keturias mažas piramides. Su kiekvienu iš jų atliekame tą pačią operaciją ir pan. Tai kiek naivus, bet iliustratyvus paaiškinimas.

Panagrinėkime metodo esmę griežčiau. Tebūnie kokia nors IFS sistema, t.y. susitraukimų kartografavimo sistema S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (pavyzdžiui, mūsų piramidės atvaizdai atrodo taip S i (x)=1/2*x+o i , kur o i yra tetraedro viršūnės, i=1,...,4). Tada pasirenkame kokią nors kompaktišką aibę A 1 R n (mūsų atveju pasirenkame tetraedrą). O indukcija nustatome aibių seką A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Yra žinoma, kad aibės A k, kurių k didėja, apytiksliai atitinka reikiamą sistemos atraktorių S.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekviena iš šių iteracijų yra pritraukėjas pasikartojančių pasikartojančių funkcijų sistema(angliškas terminas DigrafasIFS, RIFS ir taip pat Į grafiką nukreiptas IFS), todėl juos lengva sukurti naudojant mūsų programą.

Konstravimas taškais arba tikimybiniu metodu

Tai lengviausias būdas įdiegti kompiuteryje. Paprastumo dėlei apsvarstykite plokščio savarankiško rinkinio atvejį. Taigi tegul (S

) yra tam tikra afininių susitraukimų sistema. Žemėlapiai S

atstovaujama kaip: S

Fiksuota 2x2 ir o dydžio matrica

Dvimatis vektorinis stulpelis.

Paimkime fiksuotą pirmojo atvaizdavimo S 1 tašką kaip pradinį tašką:
x:=o1;
Čia mes naudojame tai, kad visi fiksuoti susitraukimo taškai S 1 ,..,S m priklauso fraktalui. Savavališką tašką galima pasirinkti kaip pradžios tašką ir jo sugeneruotų taškų seka susitrauks iki fraktalo, tačiau tada ekrane atsiras keli papildomi taškai.
Atkreipkite dėmesį į dabartinį tašką x=(x 1 ,x 2) ekrane:
putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
Atsitiktinai pasirenkame skaičių j nuo 1 iki m ir perskaičiuojame taško x koordinates:
j:=Atsitiktinis(m)+1;
x:=S j (x);
Mes pereiname prie 2 žingsnio arba, jei atlikome pakankamai daug iteracijų, sustojame.

Pastaba. Jei atvaizdų S i suspaudimo koeficientai yra skirtingi, tai fraktalas bus užpildytas taškais netolygiai. Jei atvaizdai S i yra panašumai, to galima išvengti šiek tiek apsunkinus algoritmą. Tam 3-iame algoritmo žingsnyje reikia pasirinkti skaičių j nuo 1 iki m su tikimybėmis p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , kur r i žymi atvaizdų S i susitraukimo koeficientus. , o skaičius s (vadinamas panašumo matmeniu) randamas iš lygties r 1 s +...+r m s =1. Šios lygties sprendimą galima rasti, pavyzdžiui, Niutono metodu.

Apie fraktalus ir jų algoritmus

Fraktalas kilęs iš lotyniško būdvardžio „fractus“, o išvertus reiškia susidedantį iš fragmentų, o atitinkamas lotyniškas veiksmažodis „frangere“ reiškia sulaužyti, tai yra, sukurti netaisyklingus fragmentus. Fraktalinės ir fraktalinės geometrijos sąvokos, atsiradusios 70-ųjų pabaigoje, nuo devintojo dešimtmečio vidurio tvirtai įsitvirtino kasdieniame matematikų ir programuotojų gyvenime. Šį terminą 1975 m. pasiūlė Benoit Mandelbrot, nurodydamas netaisyklingas, bet į save panašias struktūras, kurias jis tyrinėjo. Fraktalinės geometrijos gimimas dažniausiai siejamas su 1977 metais išleista Mandelbroto knyga „Gamtos fraktalinė geometrija“ – „Gamtos fraktalinė geometrija“. Jo darbuose panaudoti kitų 1875–1925 m. toje pačioje srityje dirbusių mokslininkų (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) moksliniai rezultatai.

Koregavimai

Leiskite šiek tiek pakoreguoti H.-O. knygoje siūlomus algoritmus. Paytgen ir P.H. Richter "Fraktalų grožis" M. 1993, vien tam, kad išnaikintų rašybos klaidas ir būtų lengviau suprasti procesus, nes išstudijavus juos, man daug kas liko paslaptimi. Deja, šie „suprantami“ ir „paprasti“ algoritmai veda į stulbinantį gyvenimo būdą.

Fraktalų konstravimas yra pagrįstas tam tikra netiesine sudėtingo proceso funkcija su grįžtamuoju ryšiu z \u003d z 2 + c, nes z ir c yra kompleksiniai skaičiai, tada z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, būtina išskaidyti jį į x ir y, kad būtų galima pereiti prie tikroviškesnio paprastas žmogus lėktuvas:

x(k+1)=x(k)2 -y(k)2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Plokštuma, susidedanti iš visų porų (x, y), gali būti laikoma su fiksuotomis reikšmėmis p ir q, taip pat dinamiškiems. Pirmuoju atveju rūšiavimas per visus plokštumos taškus (x, y) pagal dėsnį ir spalvinimas priklausomai nuo funkcijos pakartojimų skaičiaus, reikalingo norint išeiti iš iteracinio proceso arba nespalvinant (juodą), kai leistinas maksimumas. pakartojimų skaičius padidėja, gauname Julijos rinkinio ekraną. Jei, priešingai, nustatome pradinę reikšmių porą (x, y) ir atsekame jos spalvinį likimą su dinamiškai besikeičiančiomis parametrų p ir q reikšmėmis, tada gauname vaizdus, vadinamus Mandelbroto rinkiniais.

Fraktalinio dažymo algoritmų klausimu.

Dažniausiai rinkinio korpusas vaizduojamas kaip juodas laukas, nors akivaizdu, kad juodą spalvą galima pakeisti bet kokia kita, tačiau tai irgi neįdomus rezultatas. Gauti visomis spalvomis nudažyto rinkinio vaizdą yra užduotis, kurios negalima išspręsti naudojant ciklines operacijas, nes iteracijų, sudarančių aibės kūną, skaičius yra lygus didžiausiam galimam ir visada vienodas. Nuspalvinkite rinkinį skirtingos spalvos galbūt naudojant išėjimo iš ciklo sąlygos (z_magnitude) patikrinimo rezultatą kaip spalvos skaičių arba panašų į jį, bet su kitomis matematinėmis operacijomis.

"Fraktalinio mikroskopo" taikymas

parodyti pasienio reiškinius.

Pritraukėjai yra centrai, vadovaujantys kovai dėl dominavimo lėktuve. Tarp pritraukėjų yra sienelė, vaizduojanti besisukantį modelį. Padidinus svarstymo mastą aibės ribose, galima gauti netrivialius modelius, atspindinčius deterministinio chaoso būseną – įprastą gamtos pasaulio reiškinį.

Geografų tyrinėjami objektai sudaro sistemą su labai sudėtingai organizuotomis ribomis, dėl kurių jų įgyvendinimas tampa sudėtinga praktine užduotimi. Gamtiniai kompleksai turi tipiškus branduolius, kurie veikia kaip pritraukėjai, kurie tolstant teritorijai praranda savo įtaką.

Naudojant Mandelbroto ir Julijos rinkinių fraktalinį mikroskopą, galima susidaryti idėją apie ribinius procesus ir reiškinius, kurie yra vienodai sudėtingi, nepaisant svarstymo masto, ir taip paruošti specialisto suvokimą susitikimui su dinamišku ir iš pažiūros chaotiškumu. erdvėje ir laike natūralus objektas, skirtas suprasti fraktalinės geometrijos prigimtį. Įvairiaspalvės spalvos ir fraktalų muzika neabejotinai paliks gilų pėdsaką mokinių sąmonėje.

Fraktalams skirta tūkstančiai publikacijų ir didžiuliai interneto resursai, tačiau daugeliui nuo informatikos nutolusių specialistų šis terminas atrodo visiškai naujas. Fraktalai, kaip įvairių žinių sričių specialistų susidomėjimo objektai, turėtų užimti deramą vietą informatikos kurse.

Pavyzdžiai

SIERPINSKI GRIDĖLIS

Tai vienas iš fraktalų, su kuriuo Mandelbrotas eksperimentavo kurdamas fraktalų matmenų ir iteracijų koncepcijas. Trikampiai, suformuoti sujungiant didesnio trikampio vidurio taškus, išpjaunami iš pagrindinio trikampio, kad susidarytų trikampis su daugiau skylių. Šiuo atveju iniciatorius yra didelis trikampis, o šablonas yra operacija, skirta iškirpti trikampius, panašius į didesnį. Taip pat galite gauti 3D trikampio versiją naudodami įprastą tetraedrą ir iškirpdami mažesnes tetraedras. Tokio fraktalo matmuo yra ln3/ln2 = 1,584962501.

Gauti Sierpinski kilimas, paimkite kvadratą, padalinkite jį į devynis kvadratus, o vidurinį išpjaukite. Tą patį padarysime su likusiais, mažesniais kvadratėliais. Galų gale susidaro plokščias fraktalinis tinklelis, kuris neturi ploto, bet su begaliniais ryšiais. Savo erdvine forma Sierpinskio kempinė paverčiama per formų sistema, kurioje kiekvienas kiauras elementas nuolat pakeičiamas savo rūšimi. Ši struktūra labai panaši į kaulinio audinio dalį. Kada nors tokios pasikartojančios konstrukcijos taps statybinių konstrukcijų elementu. Mandelbrotas mano, kad jų statika ir dinamika nusipelno nuodugniai ištirti.

KOCH KRIVĖ

Kocho kreivė yra vienas tipiškiausių deterministinių fraktalų. Jį XIX amžiuje išrado vokiečių matematikas Helge von Koch, kuris, studijuodamas Georgo Kontoro ir Karlo Weierstraße darbus, aptiko keistų neįprasto elgesio kreivių aprašymus. Iniciatorius – tiesioginė linija. Generatorius yra lygiakraštis trikampis, kurio kraštinės yra lygios trečdaliui didesnio segmento ilgio. Šie trikampiai vėl ir vėl pridedami prie kiekvieno segmento vidurio. Savo tyrimuose Mandelbrotas daug eksperimentavo su Kocho kreivėmis ir gavo tokias figūras kaip Kocho salos, Kocho kryžiai, Kocho snaigės ir net trimačius Kocho kreivės vaizdus, naudodamas tetraedrą ir pridėdamas mažesnes tetraedras prie kiekvieno jo paviršiaus. Kocho kreivės matmenys ln4/ln3 = 1,261859507.

Fraktalas Mandelbrotas

Tai NE Mandelbroto rinkinys, kurį matote gana dažnai. Mandelbroto rinkinys yra pagrįstas netiesinėmis lygtimis ir yra sudėtingas fraktalas. Tai taip pat yra Kocho kreivės variantas, nepaisant to, kad šis objektas nepanašus į jį. Iniciatorius ir generatorius taip pat skiriasi nuo tų, kurie naudojami fraktalams kurti remiantis Kocho kreivės principu, tačiau idėja išlieka ta pati. Užuot pritvirtinę lygiakraščius trikampius prie kreivės segmento, kvadratai pritvirtinami prie kvadrato. Dėl to, kad šis fraktalas kiekvienoje iteracijoje užima lygiai pusę skirtos erdvės, jo paprastas fraktalinis matmuo yra 3/2 = 1,5.

DARER'S PENTAGONAS

Fraktalas atrodo kaip krūva penkiakampių, suspaustų kartu. Tiesą sakant, jis sudaromas naudojant penkiakampį kaip iniciatorių ir lygiašonius trikampius, kurių didžiausios kraštinės ir mažiausio santykis yra tiksliai lygus vadinamajam auksiniam pjūviui (1,618033989 arba 1/(2cos72)) kaip generatorių. . Šie trikampiai yra iškirpti iš kiekvieno penkiakampio vidurio, todėl susidaro forma, kuri atrodo kaip 5 maži penkiakampiai, priklijuoti prie vieno didelio.

Šio fraktalo variantą galima gauti naudojant šešiakampį kaip iniciatorių. Šis fraktalas vadinamas Dovydo žvaigžde ir yra gana panašus į šešiakampę Kocho snaigės versiją. Darerio penkiakampio fraktalinis matmuo yra ln6/ln(1+g), kur g yra didesnės trikampio kraštinės ilgio ir mažesnės kraštinės ilgio santykis. Šiuo atveju g yra auksinis santykis, taigi fraktalo matmuo yra maždaug 1,86171596. Fraktalinis Dovydo žvaigždės matmuo yra ln6/ln3 arba 1,630929754.

Sudėtingi fraktalai

Tiesą sakant, jei priartinsite nedidelį bet kurio sudėtingo fraktalo plotą ir tada padarysite tą patį mažame tos srities plote, abu padidinimai labai skirsis vienas nuo kito. Abu vaizdai bus labai panašūs detalėmis, tačiau jie nebus visiškai identiški.

1 pav. Mandelbroto rinkinio aproksimacija

Palyginkite, pavyzdžiui, čia parodytas Mandelbroto rinkinio nuotraukas, iš kurių viena buvo gauta padidinus kito plotą. Kaip matote, jie absoliučiai nėra identiški, nors ant abiejų matome juodą apskritimą, nuo kurio liepsnojantys čiuptuvai eina į skirtingas puses. Šie elementai Mandelbroto rinkinyje kartojasi neribotą laiką mažėjančia proporcija.

Deterministiniai fraktalai yra tiesiniai, o sudėtingi – ne. Kadangi šie fraktalai yra netiesiniai, juos generuoja tai, ką Mandelbrotas pavadino netiesinėmis algebrinėmis lygtimis. Geras pavyzdys yra procesas Zn+1=ZnІ + C, kuris yra lygtis, naudojama antrojo laipsnio Mandelbroto ir Julijos aibėms sudaryti. Šių matematinių lygčių sprendimas apima sudėtingus ir įsivaizduojamus skaičius. Kai lygtis interpretuojama grafiškai kompleksinėje plokštumoje, susidaro keista figūra, kurioje tiesės virsta kreivėmis, atsiranda savipanašumo efektai įvairiais mastelio lygiais, nors ir ne be deformacijų. Tuo pačiu metu visas vaizdas yra nenuspėjamas ir labai chaotiškas.

Kaip matote žiūrėdami paveikslėlius, sudėtingi fraktalai iš tiesų yra labai sudėtingi ir jų neįmanoma sukurti be kompiuterio pagalbos. Norint gauti spalvingų rezultatų, šis kompiuteris turi turėti galingą matematikos koprocesorių ir didelės raiškos monitorių. Skirtingai nuo deterministinių fraktalų, kompleksiniai fraktalai neskaičiuojami per 5–10 iteracijų. Beveik kiekvienas taškas kompiuterio ekrane yra tarsi atskiras fraktalas. Matematinio apdorojimo metu kiekvienas taškas traktuojamas kaip atskiras modelis. Kiekvienas taškas atitinka tam tikrą vertę. Lygtis yra integruota kiekvienam taškui ir atliekama, pavyzdžiui, 1000 pakartojimų. Norint gauti santykinai neiškraipytą vaizdą per namų kompiuteriams priimtiną laiko intervalą, vienam taškui galima atlikti 250 iteracijų.

Dauguma šiandien matomų fraktalų yra gražios spalvos. Galbūt fraktaliniai vaizdai tapo tokie dideli estetinė vertė būtent dėl savo spalvų schemų. Apskaičiavus lygtį, kompiuteris analizuoja rezultatus. Jei rezultatai išlieka stabilūs arba svyruoja apie tam tikrą vertę, taškas paprastai pasidaro juodas. Jei vertė viename ar kitame žingsnyje linkusi į begalybę, taškas nudažytas kita spalva, galbūt mėlyna arba raudona. Šio proceso metu kompiuteris priskiria spalvas visiems judėjimo greičiams.

Paprastai greitai judantys taškai dažomi raudonai, o lėtesni – geltonai ir pan. tamsūs taškai tikriausiai yra stabiliausi.

Sudėtingi fraktalai skiriasi nuo deterministinių fraktalų tuo, kad jie yra be galo sudėtingi, tačiau juos galima sukurti naudojant labai paprastą formulę. Deterministiniams fraktalams nereikia formulių ar lygčių. Tiesiog pasiimkite piešimo popieriaus ir galėsite be jokių sunkumų sukurti Sierpinski sietą iki 3 ar 4 iteracijų. Pabandykite tai padaryti su daugybe Julijos! Lengviau eiti išmatuoti Anglijos pakrantės ilgį!

MANDERBROT RINKINYS

2 pav. Mandelbroto rinkinys

Mandelbroto ir Julijos rinkiniai tikriausiai yra du labiausiai paplitę tarp sudėtingų fraktalų. Jų galima rasti daugelyje mokslo žurnalai, knygų viršeliai, atvirukai ir kompiuterių ekrano užsklandos. Mandelbroto rinkinys, kurį sukūrė Benoit Mandelbrot, tikriausiai yra pirmoji žmonių asociacija, kai išgirsta žodį fraktalas. Šis fraktalas, panašus į kortelę su žėrinčiu medžiu ir prie jo pritvirtintomis apskritimo sritimis, generuojamas pagal paprastą formulę Zn+1=Zna+C, kur Z ir C yra kompleksiniai skaičiai, o a – teigiamas skaičius.

Dažniausiai matomas Mandelbroto rinkinys yra 2-ojo laipsnio Mandelbroto rinkinys, ty a=2. Tai, kad Mandelbroto aibė yra ne tik Zn+1=ZnІ+C, bet ir fraktalas, kurio rodiklis formulėje gali būti bet koks teigiamas skaičius, suklaidino daugelį žmonių. Šiame puslapyje matote Mandelbroto rinkinio, skirto įvairioms eksponento a reikšmėms, pavyzdį.
3 pav. Burbuliukų atsiradimas, kai a=3,5

Taip pat populiarus procesas Z=Z*tg(Z+C). Dėl tangento funkcijos įtraukimo gaunamas Mandelbrot rinkinys, apsuptas obuolį primenančios srities. Naudojant kosinuso funkciją, gaunami oro burbuliukų efektai. Trumpai tariant, yra begalė būdų, kaip patobulinti „Mandelbrot“ rinkinį, kad būtų sukurtos įvairios gražios nuotraukos.

KELIAS JULIJA

Keista, kad Julijos rinkiniai formuojami pagal tą pačią formulę kaip ir Mandelbroto rinkinys. Julijos rinkinį išrado prancūzų matematikas Gastonas Julia, kurio vardu rinkinys ir buvo pavadintas. Pirmas klausimas, kylantis po vizualinės pažinties su Mandelbroto ir Julijos aibėmis: „Jei abu fraktalai generuojami pagal tą pačią formulę, kodėl jie tokie skirtingi? Pirmiausia pažiūrėkite į Julijos rinkinio nuotraukas. Kaip bebūtų keista, Julijos rinkinių yra įvairių. Piešdami fraktalą naudodami skirtingus pradžios taškus (norėdami pradėti iteracijos procesą), įvairių vaizdų. Tai taikoma tik Julia rinkiniui.

4 pav. Julija rinkinys

Nors paveikslėlyje jo nematyti, Mandelbroto fraktalas iš tikrųjų yra Julia fraktalų, sujungtų kartu, krūva. Kiekvienas Mandelbroto aibės taškas (arba koordinatė) atitinka Julijos fraktalą. Julijos rinkinius galima sugeneruoti naudojant šiuos taškus kaip pradines reikšmes lygtyje Z=ZI+C. Bet tai nereiškia, kad pasirinkę Mandelbroto fraktalo tašką ir padidinę jį, galite gauti Julijos fraktalą. Šie du taškai yra identiški, bet tik matematine prasme. Jei paimtume šį tašką ir apskaičiuotume pagal šią formulę, gautume Julijos fraktalą, atitinkantį tam tikrą Mandelbroto fraktalo tašką.

Norint reprezentuoti visą fraktalų įvairovę, patogu pasinaudoti visuotinai priimta jų klasifikacija.

2.1 Geometriniai fraktalai

Šios klasės fraktalai yra ryškiausi. Dvimačiu atveju jie gaunami naudojant tam tikrą poliliniją (arba paviršių trimačiu atveju), vadinamą generatorius. Viename algoritmo žingsnyje kiekvienas segmentas, sudarantis trūkinę liniją, pakeičiamas atitinkamos skalės trūkinės linijos generatoriumi. Dėl begalinio šios procedūros kartojimo gaunamas geometrinis fraktalas.

1 pav. Triadinės Kocho kreivės konstravimas.

Apsvarstykite vieną iš šių fraktalinių objektų – triadinę Kocho kreivę. Kreivės konstravimas prasideda vienetinio ilgio segmentu (1 pav.) – tai 0-oji Kocho kreivės karta. Be to, kiekviena nuoroda (vienas nulinės kartos segmentas) pakeičiama generatrix, nurodyta 1 pav n=1. Dėl tokio pakeitimo gaunama naujos kartos Kocho kreivė. Pirmoje kartoje tai yra keturių tiesių grandžių kreivė, kurių kiekvienos ilgis yra 1/3 . Norint gauti 3 kartą, atliekami tie patys veiksmai - kiekviena nuoroda pakeičiama sumažintu formavimo elementu. Taigi, norint gauti kiekvieną paskesnę kartą, visos ankstesnės kartos grandys turi būti pakeistos sumažintu formavimo elementu. Kreivė n kartos bet kuriam baigtiniam n paskambino prefraktalinis. 1 paveiksle parodytos penkios kreivės kartos. At n linkusi į begalybę, Kocho kreivė tampa fraktaliniu objektu.

2 pav. Harter-Hateway „drakono“ konstrukcija.

Norėdami gauti kitą fraktalinį objektą, turite pakeisti statybos taisykles. Tegul generuojantis elementas yra du vienodi segmentai, sujungti stačiu kampu. Nulinėje kartoje vieneto segmentą pakeičiame šiuo generuojančiu elementu, kad kampas būtų viršuje. Galima sakyti, kad su tokiu pakeitimu įvyksta nuorodos vidurio poslinkis. Statant kitas kartas, įvykdoma taisyklė: pati pirmoji nuoroda kairėje pakeičiama generuojančiu elementu taip, kad nuorodos vidurys pasislinktų į kairę nuo judėjimo krypties, o pakeičiant kitas nuorodas atkarpų vidurio taškų poslinkio kryptys turi keistis. 2 paveiksle pavaizduotos kelios pirmosios kartos ir 11-oji kreivės karta, sudaryta pagal aukščiau aprašytą principą. Ribinė fraktalinė kreivė (at n linkęs į begalybę) vadinamas Drakonas Harter-Hateway .

Kompiuterinėje grafikoje, norint gauti medžių, krūmų ir pakrantės vaizdus, būtina naudoti geometrinius fraktalus. Dvimačiai geometriniai fraktalai naudojami tūrinėms tekstūroms (daikto paviršiaus raštams) sukurti.

2.2 Algebriniai fraktalai

Tai didžiausia fraktalų grupė. Jie gaunami naudojant netiesinius procesus n-dimensinės erdvės. Labiausiai tiriami dvimačiai procesai. Interpretuojant netiesinį iteracinį procesą kaip diskrečią dinaminę sistemą, galima vartoti šių sistemų teorijos terminus: fazinis portretas, pastovi būsena, pritraukėjas ir tt

Yra žinoma, kad netiesinės dinaminės sistemos turi keletą stabilių būsenų. Būsena, kurioje dinaminė sistema atsiduria po tam tikro iteracijų skaičiaus, priklauso nuo jos pradinės būsenos. Todėl kiekviena stabili būsena (arba, kaip sakoma, atraktorius) turi tam tikrą pradinių būsenų sritį, iš kurios sistema būtinai pateks į svarstomas galutines būsenas. Taigi sistemos fazių erdvė yra padalinta į traukos sritis pritraukėjai. Jei fazių erdvė yra dvimatė, tada spalvinant traukos sritis skirtingomis spalvomis, galima gauti spalvinis fazinis portretasši sistema (iteracinis procesas). Pakeitę spalvų pasirinkimo algoritmą, galite gauti sudėtingų fraktalų modelių su įmantriais daugiaspalviais raštais. Staigmena matematikams buvo galimybė sukurti labai sudėtingas netrivialias struktūras naudojant primityvius algoritmus.

3 pav. Mandelbroto rinkinys.

Kaip pavyzdį apsvarstykite Mandelbroto rinkinį (žr. 3 ir 4 pav.). Jo konstravimo algoritmas yra gana paprastas ir pagrįstas paprasta iteracine išraiška:

Z = Z[i]* Z[i]+ C,

Kur Z aš ir C yra sudėtingi kintamieji. Iteracijos atliekamos kiekvienam pradiniam taškui C stačiakampis arba kvadratinis plotas – kompleksinės plokštumos poaibis. Iteracinis procesas tęsiasi iki Z[i] neperžengs 2 spindulio apskritimo, kurio centras yra taške (0,0), (tai reiškia, kad dinaminės sistemos atraktorius yra begalybėje) arba po pakankamai didelio iteracijų skaičiaus (pvz., 200–500) Z[i] susilieja į tam tikrą apskritimo tašką. Priklausomai nuo iteracijų skaičiaus, per kurią Z[i] liko apskritimo viduje, galite nustatyti taško spalvą C(Jei Z[i] lieka apskritimo viduje pakankamai daug iteracijų, iteracijos procesas sustoja ir šis rastro taškas nudažomas juodai).

4 pav. Mandelbroto rinkinio kraštinės dalis, padidinta 200 kartų.

Aukščiau pateiktas algoritmas suteikia apytikslę vadinamąją Mandelbroto aibę. Mandelbroto rinkinyje yra taškų, kurie per begalinis iteracijų skaičius nesiekia begalybės (taškai juodi). Aibės ribai priklausantys taškai (čia atsiranda sudėtingos struktūros) per baigtinį iteracijų skaičių patenka į begalybę, o už aibės ribų esantys taškai po kelių iteracijų eina į begalybę (baltas fonas).

2.3 Stochastiniai fraktalai

Yra ir kitų fraktalų klasifikacijų, pavyzdžiui, fraktalų skirstymas į deterministinius (algebrinius ir geometrinius) ir nedeterministinius (stochastinius).

fraktalas

Fraktalas (lot. fractus- susmulkinta, sulaužyta, sulaužyta) - geometrinė figūra, turinti panašumo savybę, tai yra, ji susideda iš kelių dalių, kurių kiekviena yra panaši į visą figūrą kaip visumą. Matematikoje fraktalai suprantami kaip Euklido erdvės taškų rinkiniai, turintys trupmeninį metrinį matmenį (Minkowskio arba Hausdorffo prasme) arba kitokį nei topologinį metrinį matmenį. Fraktasmas yra nepriklausomas tikslusis mokslas, tiriantis ir kaupiantis fraktalus.

Kitaip tariant, fraktalai yra geometriniai objektai, turintys trupmeninį matmenį. Pavyzdžiui, linijos matmuo yra 1, plotas yra 2, tūris yra 3. Fraktalo matmens reikšmė gali būti nuo 1 iki 2 arba nuo 2 iki 3. Pavyzdžiui, suglamžyto popieriaus fraktalinis matmuo. rutulys yra maždaug 2,5. Matematikoje yra speciali sudėtinga fraktalų matmens skaičiavimo formulė. Trachėjos vamzdelių šakos, medžių lapai, rankos venos, upė yra fraktalai. Paprasčiau tariant, fraktalas yra geometrinė figūra, kurios tam tikra dalis kartojasi vėl ir vėl, kintant dydžiui – toks yra savęs panašumo principas. Fraktalai yra panašūs į save, jie yra panašūs į save visais lygiais (ty bet kokiu mastu). Yra daug įvairių fraktalų tipų. Iš esmės galima teigti, kad viskas, kas egzistuoja realiame pasaulyje, yra fraktalas, nesvarbu, ar tai būtų debesis, ar deguonies molekulė.

Žodis „chaosas“ rodo kažką nenuspėjama, tačiau iš tikrųjų chaosas yra gana tvarkingas ir paklūsta tam tikriems dėsniams. Chaoso ir fraktalų tyrimo tikslas – numatyti modelius, kurie iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti nenuspėjami ir visiškai chaotiški.

Šios žinių srities pradininkas buvo prancūzų kilmės amerikiečių matematikas, profesorius Benoit B. Mandelbrot. Septintojo dešimtmečio viduryje jis sukūrė fraktalinę geometriją, kurios tikslas buvo išanalizuoti lūžusias, susiraukšlėjusias ir neryškias formas. Mandelbroto rinkinys (pavaizduotas paveikslėlyje) yra pirmoji asociacija, kuri žmogui kyla išgirdus žodį „fraktalas“. Beje, Mandelbrotas nustatė, kad Anglijos pakrantės fraktalinis matmuo yra 1,25.

Fraktalai vis dažniau naudojami moksle. Jie aprašo realus pasaulis net geriau nei tradicinė fizika ar matematika. Brauno judėjimas yra, pavyzdžiui, atsitiktinis ir chaotiškas vandenyje pakibusių dulkių dalelių judėjimas. Šis judėjimo tipas yra bene praktiškiausias fraktalinės geometrijos aspektas. Atsitiktinis Brauno judėjimas turi dažnio atsaką, kuris gali būti naudojamas nuspėti reiškinius, susijusius su dideliu duomenų ir statistikos kiekiu. Pavyzdžiui, Mandelbrotas numatė vilnos kainos pokyčius, naudodamas Browno judesį.

Žodis „fraktalas“ gali būti vartojamas ne tik kaip matematinis terminas. Fraktalas spaudoje ir mokslo populiarinimo literatūroje gali būti vadinamas figūromis, turinčiomis bet kurią iš šių savybių:

Jis turi nebanalią struktūrą visais masteliais. Tai skiriasi nuo įprastų figūrų (pvz., apskritimo, elipsės, lygiosios funkcijos grafiko): jei svarstysime nedidelį taisyklingos figūros fragmentą labai dideliu masteliu, jis atrodys kaip tiesios linijos fragmentas. . Fraktalui priartinimas nesupaprastina struktūros, bet kokiu mastu matysime vienodai sudėtingą vaizdą.

Jis yra panašus į save arba maždaug panašus į save.

Jis turi trupmeninį metrinį matmenį arba metrinį matmenį, kuris yra pranašesnis už topologinį.

Naudingiausias fraktalų panaudojimas kompiuterijoje yra fraktalų duomenų glaudinimas. Tuo pačiu metu nuotraukos suglaudinamos daug geriau nei tai daroma įprastais metodais – iki 600:1. Kitas fraktalinio suspaudimo privalumas yra tas, kad priartinus nėra pikselių efekto, kuris drastiškai pablogina vaizdą. Be to, fraktališkai suspaustas vaizdas po padidinimo dažnai atrodo dar geriau nei anksčiau. Kompiuterių mokslininkai taip pat žino, kad begalinio sudėtingumo ir grožio fraktalus galima sukurti paprastomis formulėmis. Filmų pramonė plačiai naudoja fraktalinės grafikos technologiją, kad sukurtų tikroviškus kraštovaizdžio elementus (debesis, uolas ir šešėlius).

Srauto turbulencijos tyrimas labai gerai prisitaiko prie fraktalų. Tai leidžia geriau suprasti sudėtingų srautų dinamiką. Liepsnos taip pat gali būti modeliuojamos naudojant fraktalus. Porėtos medžiagos yra gerai pavaizduotos fraktalų pavidalu dėl to, kad jų geometrija yra labai sudėtinga. Duomenims perduoti per atstumą naudojamos fraktalų formos antenos, kurios labai sumažina jų dydį ir svorį. Fraktalai naudojami paviršių kreivumui apibūdinti. Nelygus paviršius pasižymi dviejų skirtingų fraktalų deriniu.

Daugelis gamtos objektų turi fraktalinių savybių, tokių kaip pakrantės, debesys, medžių vainikai, snaigės, žmonių ar gyvūnų kraujotakos sistema ir alveolių sistema.

Fraktalai, ypač lėktuve, yra populiarūs dėl savo grožio ir lengvumo konstravimo kompiuteriu derinio.

Pirmieji į save panašių rinkinių su neįprastomis savybėmis pavyzdžiai pasirodė XIX amžiuje (pavyzdžiui, Bolzano funkcija, Weierstrass funkcija, Cantor rinkinys). Terminą „fraktalas“ įvedė Benoit Mandelbrot 1975 m., o 1977 m. jis išpopuliarėjo išleidęs savo knygą „Gamtos fraktalų geometrija“.

Paveikslėlyje kairėje kaip paprastas pavyzdys pavaizduotas Darer Pentagon fraktalas, kuris atrodo kaip krūva penkiakampių, suspaustų kartu. Tiesą sakant, jis sudaromas naudojant penkiakampį kaip iniciatorių ir lygiašonius trikampius, kurių didžiausios kraštinės ir mažiausio santykis yra tiksliai lygus vadinamajam auksiniam pjūviui (1,618033989 arba 1/(2cos72°)). generatorius. Šie trikampiai yra iškirpti iš kiekvieno penkiakampio vidurio, todėl susidaro forma, kuri atrodo kaip 5 maži penkiakampiai, priklijuoti prie vieno didelio.

Chaoso teorija teigia, kad sudėtingos netiesinės sistemos yra paveldimos neprognozuojamos, tačiau tuo pat metu ji teigia, kad tokių nenuspėjamų sistemų išraiškos būdas yra teisingas ne tiksliomis lygybėmis, o sistemos elgsenos atvaizdavimu – keistų pritraukėjų grafikuose, atrodo kaip fraktalai. Taigi chaoso teorija, kurią daugelis laiko nenuspėjamumu, pasirodo esąs nuspėjamumo mokslas net pačiose nestabiliausiose sistemose. Dinaminių sistemų doktrina rodo, kad paprastos lygtys gali sukelti tokį chaotišką elgesį, kai sistema niekada negrįžta į stabilią būseną ir tuo pat metu neatsiranda dėsningumo. Dažnai tokios sistemos elgiasi gana normaliai iki tam tikros pagrindinio parametro reikšmės, tada patiria perėjimą, kuriame yra dvi galimybės tolesnei plėtrai, tada keturios ir galiausiai chaotiškas galimybių rinkinys.

Techniniuose objektuose vykstančių procesų schemos turi aiškiai apibrėžtą fraktalinę struktūrą. Minimalios techninės sistemos (TS) struktūra reiškia dviejų tipų procesų srautą TS - pagrindinio ir pagalbinio, ir šis skirstymas yra sąlyginis ir santykinis. Bet kuris procesas gali būti pagrindinis, palyginti su pagalbiniais procesais, o bet kuris iš pagalbinių procesų gali būti laikomas pagrindiniu „jų“ pagalbinių procesų atžvilgiu. Apskritimai diagramoje nurodo fizinius efektus, užtikrinančius tų procesų eigą, kuriems nereikia specialiai kurti „savo“ TS. Šie procesai yra medžiagų, laukų, medžiagų ir laukų sąveikos rezultatas. Tiksliau sakant, fizinis poveikis yra transporto priemonė, kurios veikimo principui mes negalime įtakoti, o į jo struktūrą kištis nenorime ar neturime galimybės.

Diagramoje parodyto pagrindinio proceso eigą užtikrina trys pagalbiniai procesai, kurie yra pagrindiniai juos generuojančiai TS. Teisybės dėlei pažymime, kad net minimalios TS funkcionavimui trijų procesų aiškiai neužtenka, t.y. schema labai labai perdėta.

Viskas nėra taip paprasta, kaip parodyta diagramoje. Naudinga ( būtinas žmogui) procesas negali būti atliktas 100 % efektyvumu. Išsklaidyta energija išleidžiama žalingų procesų kūrimui – šildymui, vibracijai ir kt. Dėl to, lygiagrečiai su naudingu procesu, atsiranda kenksmingų. „Blogą“ procesą ne visada įmanoma pakeisti „geru“, todėl reikia organizuoti naujus procesus, kurie kompensuotų žalingas sistemai pasekmes. Tipiškas pavyzdys yra būtinybė kovoti su trintimi, kuri verčia organizuoti išradingas tepimo schemas, naudoti brangias antifrikcines medžiagas arba skirti laiko sutepti komponentus ir dalis arba periodiškai juos keisti.

Dėl neišvengiamos kintančios aplinkos įtakos gali tekti kontroliuoti naudingą procesą. Valdymas gali būti atliekamas tiek automatinių įrenginių pagalba, tiek tiesiogiai asmens. Proceso schema iš tikrųjų yra specialių komandų rinkinys, t.y. algoritmas. Kiekvienos komandos esmė (apibūdinimas) yra vieno naudingo proceso, jį lydinčių žalingų procesų ir būtinų valdymo procesų rinkinio derinys. Tokiame algoritme palaikomųjų procesų rinkinys yra įprasta paprogramė – čia taip pat randame fraktalą. Prieš ketvirtį amžiaus sukurtas R. Kollerio metodas leidžia sukurti sistemas su gana ribotu, tik 12 funkcijų (procesų) porų rinkiniu.

Į save panašūs rinkiniai su neįprastomis matematikos savybėmis

Pradedant nuo pabaigos XIX amžiuje, matematikoje yra klasikinės analizės požiūriu patologinių savybių turinčių į save panašių objektų pavyzdžių. Tai apima:

Cantor rinkinys yra niekur tankus nesuskaičiuojamas tobulas rinkinys. Pakeitus procedūrą, taip pat galima gauti niekur tankų teigiamo ilgio rinkinį.

Sierpinskio trikampis („staltiesė“) ir Sierpinskio kilimas yra plokštumoje pastatyto Cantor analogai.

Mengerio kempinė – Cantor rinkinio analogas trimatėje erdvėje;

Weierstrasso ir van der Waerdeno niekur nesiskiriančios tęstinės funkcijos pavyzdžiai.

Kocho kreivė – savaime nesusikertanti begalinio ilgio ištisinė kreivė, neturinti liestinės jokiame taške;

Peano kreivė yra ištisinė kreivė, einanti per visus kvadrato taškus.

Brauno dalelės trajektorija taip pat niekur nesiskiria su 1 tikimybe. Jo Hausdorffo matmuo yra du

Rekursinė fraktalinių kreivių gavimo procedūra

Kocho kreivės konstravimas

Yra paprasta rekursinė procedūra, leidžianti gauti fraktalines kreives plokštumoje. Mes apibrėžiame savavališką trūkinę liniją su baigtiniu skaičiumi nuorodų, vadinamą generatoriumi. Toliau kiekvieną jame esantį segmentą pakeičiame generatoriumi (tiksliau nutrūkusia linija, panašia į generatorių). Gautoje nutrūkusioje linijoje kiekvieną segmentą vėl pakeičiame generatoriumi. Tęsdami iki begalybės, riboje gauname fraktalų kreivę. Paveikslėlyje dešinėje pavaizduoti pirmieji keturi šios Kocho kreivės procedūros žingsniai.

Tokių kreivių pavyzdžiai:

drakono kreivė,

Kocho kreivė (Kocho snaigė),

Levy kreivė,

Minkovskio kreivė,

Hilberto kreivė,

Sulaužytas (kreivas) drakonas (Fractal Harter-Hateway),

Peano kreivė.

Taikant panašią procedūrą, gaunamas Pitagoro medis.

Fraktalai kaip fiksuoti susitraukimo taškai

Savęs panašumo savybę galima matematiškai tiksliai išreikšti taip. Tegul bus plokštumos susitraukimo žemėlapiai. Apsvarstykite šį visų kompaktiškų (uždarųjų ir ribotų) plokštumos pogrupių aibės atvaizdavimą:

Galima parodyti, kad atvaizdavimas yra kompaktinių rinkinių su Hausdorff metrika susitraukimo žemėlapis. Todėl pagal Banacho teoremą šis atvaizdavimas turi unikalų fiksuotą tašką. Šis fiksuotas taškas bus mūsų fraktalas.

Aukščiau aprašyta rekursinė fraktalinių kreivių gavimo procedūra yra ypatingas šios konstrukcijos atvejis. Jame visi atvaizdai yra panašumo atvaizdai ir yra generatoriaus nuorodų skaičius.

Sierpinskio trikampiui ir atvaizdavimui , , yra homotetijos, kurių centrai yra reguliaraus trikampio viršūnėse ir koeficientas 1/2. Nesunku pastebėti, kad Sierpinskio trikampis pagal atvaizdavimą transformuojasi į save.

Tuo atveju, kai atvaizdavimas yra panašumo transformacijos su koeficientais , fraktalo matmenį (esant tam tikroms papildomoms techninėms sąlygoms) galima apskaičiuoti kaip lygties sprendimą. Taigi gauname Sierpinskio trikampį .

Pagal tą pačią Banacho teoremą, pradedant nuo bet kurios kompaktinės aibės ir taikant jai žemėlapio iteracijas, gauname seką kompaktiškų aibių, konverguojančių (Hausdorffo metrikos prasme) į mūsų fraktalą.

Fraktalai sudėtingoje dinamikoje

Julija rinkinys

Dar vienas Julijos rinkinys

Fraktalai natūraliai atsiranda tiriant netiesines dinamines sistemas. Labiausiai ištirtas atvejis, kai dinaminė sistema apibrėžiama kompleksinio kintamojo daugianario arba holomorfinės funkcijos iteracijomis plokštumoje. Pirmieji šios srities tyrimai datuojami XX amžiaus pradžioje ir siejami su Fatou ir Julijos vardais.

Leisti F(z) – daugianaris, z 0 yra kompleksinis skaičius. Apsvarstykite šią seką: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Mus domina šios sekos elgsena, kaip esame linkę n iki begalybės. Ši seka gali:

siekti begalybės

siekti galutinio

ribose rodomas cikliškas elgesys, pavyzdžiui: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

elgtis chaotiškai, tai yra nedemonstruoti nė vieno iš trijų minėtų elgesio tipų.

Vertybių rinkiniai z 0 , kuriai seka demonstruoja vieną specifinį elgesio tipą, taip pat bifurkacijos taškų rinkiniai tarp skirtingų tipų, dažnai turi fraktalinių savybių.

Taigi Julijos aibė yra daugianario bifurkacijos taškų rinkinys F(z)=z 2 +c(ar kita panaši funkcija), tai yra tos reikšmės z 0 , kuriai seka ( z n) gali smarkiai pasikeisti savavališkai nedideliais pakeitimais z 0 .

Kitas būdas gauti fraktalų aibes yra įvesti parametrą į daugianarį F(z) ir atsižvelgiant į tų parametrų reikšmių, kurioms seka ( z n) parodo tam tikrą fiksuotojo elgesį z 0 . Taigi Mandelbroto aibė yra visų, kuriems ( z n) Dėl F(z)=z 2 +c Ir z 0 neina iki begalybės.

Kitas garsus pavyzdys tokio tipo yra Niutono baseinai.

Populiaru kurti gražius grafinius vaizdus, pagrįstus sudėtinga dinamika, spalvinant plokštumos taškus, priklausomai nuo atitinkamų dinaminių sistemų elgesio. Pavyzdžiui, norėdami papildyti Mandelbroto rinkinį, taškus galite nuspalvinti priklausomai nuo siekio greičio ( z n) iki begalybės (apibrėžiamas, tarkime, kaip mažiausias skaičius n, kur | z n| viršija fiksuotą didelę reikšmę A.

Biomorfai yra fraktalai, sukurti remiantis sudėtinga dinamika ir panašūs į gyvus organizmus.

Stochastiniai fraktalai

Atsitiktinis fraktalas, pagrįstas Julijos rinkiniu

Gamtos objektai dažnai turi fraktalinę formą. Jų modeliavimui gali būti naudojami stochastiniai (atsitiktiniai) fraktalai. Stochastinių fraktalų pavyzdžiai:

Brauno judėjimo trajektorija plokštumoje ir erdvėje;

Brauno judėjimo plokštumoje trajektorijos riba. 2001 m. Lawleris, Schrammas ir Werneris įrodė Mandelbroto spėjimą, kad jo matmuo yra 4/3.

Schramm-Löwnerio evoliucijos yra konformiškai nekintamos fraktalinės kreivės, atsirandančios kritiniuose dvimačiuose statistinės mechanikos modeliuose, pavyzdžiui, Ising modelyje ir perkoliacijoje.

įvairių tipų atsitiktinių imčių fraktalai, tai yra fraktalai, gauti naudojant rekursinę procedūrą, kai kiekviename žingsnyje įvedamas atsitiktinis parametras. Plazma yra tokio fraktalo panaudojimo kompiuterinėje grafikoje pavyzdys.

Gamtoje

Trachėjos ir bronchų vaizdas iš priekio

bronchų medis

kraujagyslių tinklas

Taikymas

Gamtos mokslai

Fizikoje fraktalai natūraliai atsiranda modeliuojant netiesinius procesus, tokius kaip turbulentinis skysčio srautas, sudėtingi difuzijos-adsorbcijos procesai, liepsnos, debesys ir kt. Fraktalai naudojami modeliuojant akytas medžiagas, pavyzdžiui, naftos chemijoje. Biologijoje jie naudojami populiacijoms modeliuoti ir vidaus organų sistemoms (kraujagyslių sistemai) apibūdinti.

Radijo inžinerija

fraktalinės antenos

Fraktalinės geometrijos panaudojimą kuriant antenų įrenginius pirmasis panaudojo amerikiečių inžinierius Nathanas Cohenas, kuris tada gyveno Bostono centre, kur buvo uždrausta ant pastatų montuoti išorines antenas. Natanas iš aliuminio folijos iškirpo Kocho kreivės figūrą ir įklijavo ją ant popieriaus lapo, tada pritvirtino prie imtuvo. Cohenas įkūrė savo įmonę ir pradėjo jų serijinę gamybą.

Informatika

Vaizdo suspaudimas

Pagrindinis straipsnis: Fraktalų suspaudimo algoritmas

fraktalų medis

Yra vaizdų glaudinimo algoritmai, naudojantys fraktalus. Jie pagrįsti idėja, kad vietoj paties vaizdo galite saugoti susitraukimo žemėlapį, kuriame šis vaizdas (arba tam tikras arti jo) yra fiksuotas taškas. Buvo naudojamas vienas iš šio algoritmo variantų [ šaltinis nepatikslintas 895 dienos] „Microsoft“, leisdama savo enciklopediją, tačiau šie algoritmai nebuvo plačiai naudojami.

Kompiuterinė grafika

Dar vienas fraktalų medis

Fraktalai plačiai naudojami kompiuterinėje grafikoje kuriant gamtos objektų, tokių kaip medžiai, krūmai, kalnų peizažai, jūros paviršiai ir pan., vaizdus. Fraktalų vaizdams generuoti naudojama daug programų, žr. Fraktalų generatorius (programa).

decentralizuoti tinklai

Netsukuku IP adresų priskyrimo sistema naudoja fraktalinės informacijos glaudinimo principą, kad kompaktiškai saugotų informaciją apie tinklo mazgus. Kiekvienas Netsukuku tinklo mazgas saugo tik 4 KB informacijos apie gretimų mazgų būseną, o bet kuris naujas mazgas prisijungia prie bendrojo tinklo nereikalaujant centrinio IP adresų paskirstymo reguliavimo, kuris, pavyzdžiui, būdingas Internetas. Taigi, fraktalinės informacijos suspaudimo principas garantuoja visiškai decentralizuotą, taigi ir stabiliausią viso tinklo veikimą.

Fraktalai buvo žinomi beveik šimtmetį, yra gerai ištirti ir turi daugybę pritaikymų gyvenime. Šis reiškinys pagrįstas labai paprasta idėja: iš gana paprastų struktūrų galima gauti begalinį skaičių grožio ir įvairovės, naudojant tik dvi operacijas – kopijavimą ir mastelio keitimą.

Ši sąvoka neturi griežto apibrėžimo. Todėl žodis „fraktalas“ nėra matematinis terminas. Paprastai tai vadinama geometrinė figūra, kuris atitinka vieną ar daugiau iš šių savybių:

turi sudėtingą struktūrą esant bet kokiam padidinimui;
yra (apytiksliai) panašus į save;
turi trupmeninį Hausdorfo (fraktalinį) matmenį , kuris yra didesnis už topologinį;
galima sukurti rekursinėmis procedūromis.

XIX ir XX amžių sandūroje fraktalų tyrimas buvo labiau epizodinis nei sistemingas, nes ankstesni matematikai daugiausia tyrinėjo „gerus“ objektus, kuriuos buvo galima tirti naudojant bendri metodai ir teorijos. 1872 m. vokiečių matematikas Karlas Weierstrassas sukūrė niekur nesiskiriančios tolydžios funkcijos pavyzdį. Tačiau jo konstrukcija buvo visiškai abstrakti ir sunkiai suprantama. Todėl 1904 metais švedas Helge von Koch sugalvojo ištisinę kreivę, kuri niekur neturi liestinės, ir ją nubrėžti gana paprasta. Paaiškėjo, kad jis turi fraktalo savybių. Vienas šios kreivės variantų vadinamas Kocho snaigė.

Figūrų panašumo idėjas perėmė prancūzas Paulas Pierre'as Levy, būsimas Benoit Mandelbrot mentorius. 1938 m. buvo paskelbtas jo straipsnis „Plokštumos ir erdvinės kreivės ir paviršiai, susidedantys iš dalių, panašių į visumą“, kuriame aprašomas dar vienas fraktalas - Lévy C kreivė. Visus minėtus fraktalus sąlyginai galima priskirti vienai konstruktyviųjų (geometrinių) fraktalų klasei.

Kita klasė yra dinaminiai (algebriniai) fraktalai, kurie apima Mandelbroto rinkinį. Pirmieji tyrimai šia kryptimi datuojami XX amžiaus pradžioje ir siejami su prancūzų matematikų Gastono Julia ir Pierre'o Fatou vardais. 1918 m. buvo paskelbtas beveik du šimtai Julijos darbo puslapių, skirtų sudėtingų racionalių funkcijų iteracijoms, kuriose aprašytos Julijos aibės – visa fraktalų šeima, glaudžiai susijusi su Mandelbroto rinkiniu. Šis kūrinys buvo apdovanotas Prancūzų akademijos premija, tačiau jame nebuvo nė vienos iliustracijos, todėl aptiktų objektų grožio įvertinti buvo neįmanoma. Nepaisant to, kad šis darbas išgarsino Juliją tarp to meto matematikų, jis greitai buvo pamirštas.

Tik po pusės amžiaus, atsiradus kompiuteriams, dėmesys nukrypo į Julijos ir Fatou kūrybą: būtent jie padarė matomą fraktalų pasaulio turtingumą ir grožį. Galų gale, Fatou niekada negalėjo žiūrėti į vaizdus, kuriuos dabar žinome kaip Mandelbroto rinkinio vaizdus, nes reikiamo skaičiaus skaičiavimų negalima atlikti rankiniu būdu. Pirmasis asmuo, kuris tam panaudojo kompiuterį, buvo Benoit Mandelbrot.

1982 metais buvo išleista Mandelbroto knyga „Gamtos fraktalų geometrija“, kurioje autorius surinko ir susistemino beveik visą tuo metu turimą informaciją apie fraktalus ir ją lengvai bei prieinamai pateikė. Mandelbrotas savo pristatyme daugiausia dėmesio skyrė ne sudėtingoms formulėms ir matematinėms konstrukcijoms, o geometrinei skaitytojų intuicijai. Kompiuteriu sukurtų iliustracijų ir istorinių istorijų, kuriomis autorius sumaniai atskiedė monografijos mokslinį komponentą, dėka knyga tapo bestseleriu, o fraktalai tapo žinomi plačiajai visuomenei. Jų sėkmę tarp ne matematikų daugiausia lemia tai, kad naudojant labai paprastas konstrukcijas ir formules, kurias gali suprasti net vidurinės mokyklos mokinys, gaunami nuostabaus sudėtingumo ir grožio vaizdai. Kai asmeniniai kompiuteriai tapo pakankamai galingi, atsirado net ištisa meno kryptis – fraktalinė tapyba, ir tai galėjo padaryti beveik bet kuris kompiuterio savininkas. Dabar internete galite lengvai rasti daugybę šiai temai skirtų svetainių.

NNN redaktoriai netyčia užkliuvo labai įdomių dalykų, pristatytas vartotojo xtsarx tinklaraštyje, skirtame teorijos elementams fraktalai ir jos praktinis pritaikymas. Kaip žinoma, fraktalų teorija vaidina svarbų vaidmenį nanosistemų fizikoje ir chemijoje. Prisidėję prie šios solidžios medžiagos, pateiktos plačiam skaitytojų ratui prieinama kalba ir paremtos gausia grafine ir net video medžiaga, pristatome ją jūsų dėmesiui. Tikimės, kad NNN skaitytojams ši medžiaga bus įdomi.

Gamta tokia paslaptinga, kad kuo daugiau ją tyrinėji, tuo daugiau klausimų kyla... Nakties žaibas – mėlyni išsišakojusių iškrovų „srautai“, šerkšno raštai ant lango, snaigės, kalnai, debesys, medžių žievė – visa tai pranoksta įprastas ribas. Euklido geometrija. Negalime apibūdinti akmens ar salos ribų linijomis, apskritimais ir trikampiais. Ir čia mes ateiname į pagalbą fraktalai. Kas tie pažįstami nepažįstamieji?

„Per mikroskopą jis tai atrado ant blusos
Kandžioji blusa gyvena ant blusos;
Ant tos blusos yra mažytė blusa,
Piktai kiša dantį į blusą
Blusos, ir taip iki begalybės. D. Sviftas.

Truputis istorijos

Pirmosios idėjos fraktalinė geometrija atsirado XIX a. Kantoras, naudodamas paprastą rekursyvią (pakartojamą) procedūrą, pavertė liniją nesusijusių taškų rinkiniu (vadinamomis Cantor Dust). Jis paėmė liniją ir pašalino centrinį trečdalį ir pakartojo tą patį su likusiais segmentais.

Ryžiai. 1. Peano kreivė 1,2–5 iteracijos.

Peano dažytas ypatinga rūšis linijos. Peano padarė taip: Pirmajame žingsnyje jis paėmė tiesią liniją ir pakeitė ją 9 atkarpomis, 3 kartus trumpesnėmis nei pradinės linijos ilgis. Tada jis padarė tą patį su kiekvienu gautos linijos segmentu. Ir taip toliau iki begalybės. Jo išskirtinumas slypi tame, kad jis užpildo visą plokštumą. Įrodyta, kad kiekvienam plokštumos taškui galima rasti tašką, priklausantį Peano tiesei. Peano kreivė ir Kantoro dulkės pranoko įprastus geometrinius objektus. Jų dydis nebuvo aiškus.. Kantoro dulkės buvo sukonstruotos iš pažiūros vienmatės tiesės, bet susideda iš taškų (0 matmuo). Ir Peano kreivė buvo pastatyta remiantis vienmačiu linija, o rezultatas buvo plokštuma. Daugelyje kitų mokslo sričių atsirado problemų, kurios lėmė keistus rezultatus, tokius kaip aprašyti aukščiau (Brauno judėjimas, akcijų kainos). Kiekvienas iš mūsų gali atlikti šią procedūrą...

Fraktalų tėvas

Iki XX amžiaus buvo kaupiami duomenys apie tokius keistus objektus, nesistengiant jų sisteminti. Taip buvo tol, kol jie nepaėmė Benoit Mandelbrotas – šiuolaikinės fraktalų geometrijos ir žodžio fraktalas tėvas.

Ryžiai. 2. Benoit Mandelbrotas.

Dirbdamas IBM matematiniu analitiku, jis tyrė triukšmą elektroninėse grandinėse, kurių neįmanoma apibūdinti naudojant statistiką. Palaipsniui lygindamas faktus, jis atrado naują matematikos kryptį - fraktalinė geometrija.

Terminą „fraktalas“ B. Mandelbrotas įvedė 1975 m.. Pasak Mandelbroto, fraktalas(iš lotynų kalbos „fractus“ – trupmeninis, sulaužytas, sulaužytas) vadinamas struktūra, sudaryta iš dalių kaip visuma. Savęs panašumo savybė ryškiai išskiria fraktalus nuo klasikinės geometrijos objektų. Terminas savęs panašumas reiškia smulkios, pasikartojančios struktūros buvimas tiek mažiausiose objekto masteliuose, tiek makro skalėje.

Ryžiai. 3. Prie „fraktalo“ sąvokos apibrėžimo.

Savęs panašumo pavyzdžiai yra: Koch, Levy, Minkowski kreivės, Sierpinski trikampis, Menger kempinė, Pitagoro medis ir kt.

Matematikos požiūriu, fraktalas yra, visų pirma, rinkinys su trupmeniniu (tarpiniu, „ne sveikuoju skaičiumi“) matmeniu. Lygi Euklido linija užpildo tiksliai vienmatę erdvę, o fraktalinė kreivė peržengia vienmatę erdvę, įsiskverbia už ribų į dvimatę erdvę. Taigi Kocho kreivės fraktalinis matmuo bus nuo 1 iki 2. Visų pirma, tai reiškia, kad fraktalinis objektas negali tiksliai išmatuoti savo ilgio! Iš šių geometrinių fraktalų pirmasis yra labai įdomus ir gana garsus - Kocho snaigė.

Ryžiai. 4. Prie „fraktalo“ sąvokos apibrėžimo.

Jis pastatytas ant pagrindo lygiakraštis trikampis. Kiekviena eilutė pakeičiama 4 eilutėmis, kurių kiekviena yra 1/3 pradinio ilgio. Taigi su kiekviena iteracija kreivės ilgis padidėja trečdaliu. Ir jei padarysime be galo daug pakartojimų, gausime fraktalą – begalinio ilgio Kocho snaigę. Pasirodo, mūsų begalinė kreivė apima ribotą plotą. Pabandykite tą patį padaryti su metodais ir figūromis iš Euklido geometrijos.
Kocho snaigės matmenys(kai snaigė padidėja 3 kartus, jos ilgis padidėja 4 kartus) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Apie fraktalą

Fraktalai randa vis daugiau pritaikymo mokslo ir technologijų srityse. Pagrindinė to priežastis yra ta, kad jie kartais net geriau apibūdina realų pasaulį nei tradicinė fizika ar matematika. Galite be galo pateikti fraktalinių objektų pavyzdžių gamtoje - tai debesys, ir sniego dribsniai, ir kalnai, ir žaibo blyksnis, ir galiausiai, žiediniai kopūstai. Fraktalas kaip gamtos objektas yra amžinas nenutrūkstamas judėjimas, naujas formavimasis ir vystymasis.

Ryžiai. 5. Fraktalai ekonomikoje.

Be to, fraktalai randa pritaikymą decentralizuotuose kompiuterių tinkluose Ir "fraktalų antenos" . Labai įdomūs ir perspektyvūs įvairių stochastinių (nedeterministinių) „atsitiktinių“ procesų modeliavimui yra vadinamieji „Brauno fraktalai“. Nanotechnologijų atveju svarbų vaidmenį atlieka ir fraktalai. , nes dėl savo hierarchinės saviorganizacijos daugelis nanosistemos turi ne sveikąjį skaičių ty jie yra fraktalai savo geometrine, fizikine ir chemine ar funkcine prigimtimi. Pavyzdžiui, ryškus cheminių fraktalų sistemų pavyzdys yra „dendrimerių“ molekulės. . Be to, fraktalumo principas (savaime panašus, mastelio keitimo struktūra) yra sistemos hierarchinės struktūros atspindys, todėl yra bendresnis ir universalesnis nei standartiniai nanosistemų struktūros ir savybių aprašymo metodai.

Ryžiai. 6. „Dendrimerių“ molekulės.