ഡെറിവേറ്റീവുകൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം. ഫംഗ്ഷൻ ഡെറിവേറ്റീവ്

ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കുകൂട്ടൽലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട പ്രവർത്തനങ്ങളിലൊന്ന് ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ്. ലളിതമായ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു പട്ടിക ചുവടെയുണ്ട്. കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ വ്യത്യാസ നിയമങ്ങൾക്കായി, മറ്റ് പാഠങ്ങൾ കാണുക:

• എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക

നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ റഫറൻസ് മൂല്യങ്ങളായി ഉപയോഗിക്കുക. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ അവ സഹായിക്കും. ചിത്രത്തിൽ, ലളിതമായ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ, ഉപയോഗത്തിന് മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ഒരു രൂപത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രധാന കേസുകളുടെ ഒരു "ചീറ്റ് ഷീറ്റ്" ഉണ്ട്, അതിനടുത്തായി ഓരോ കേസിനും വിശദീകരണങ്ങളുണ്ട്.

ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ

1. ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമാണ്
с´ = 0
ഉദാഹരണം:
5' = 0

വിശദീകരണം:
ആർഗ്യുമെന്റ് മാറുമ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം മാറുന്ന നിരക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കാണിക്കുന്നു. ഒരു സാഹചര്യത്തിലും സംഖ്യ ഒരു തരത്തിലും മാറാത്തതിനാൽ, അതിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യമാണ്.

2. ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്ഒന്നിന് തുല്യമാണ്
x' = 1

വിശദീകരണം:
ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ (x) ഓരോ വർദ്ധനവിലും, ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം (കണക്കുകൂട്ടൽ ഫലം) അതേ അളവിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു. അതിനാൽ, y = x എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കിന് തുല്യമാണ്.

3. ഒരു വേരിയബിളിന്റെയും ഒരു ഘടകത്തിന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്
сx´ = с
ഉദാഹരണം:
(3x) = 3
(2x) = 2
വിശദീകരണം:
IN ഈ കാര്യം, ഓരോ തവണയും ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെന്റ് മാറുന്നു ( എക്സ്) അതിന്റെ മൂല്യം (y) വളരുന്നു കൂടെഒരിക്കല്. അതിനാൽ, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് കൃത്യമായി മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ് കൂടെ.

അത് എവിടെ നിന്നാണ് പിന്തുടരുന്നത്
(cx + b)" = സി
അതായത് ഡിഫറൻഷ്യൽ രേഖീയ പ്രവർത്തനം y=kx+b ആണ് കോണീയ ഗുണകംനേർരേഖയുടെ ചരിവ് (k).

4. ഒരു വേരിയബിളിന്റെ മോഡുലോ ഡെറിവേറ്റീവ്ഈ വേരിയബിളിന്റെ മോഡുലസിന്റെ ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്
|x|"= x / |x| x ≠ 0 നൽകിയിട്ടുണ്ട്
വിശദീകരണം:
വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് (ഫോർമുല 2 കാണുക) ഒന്നിന് തുല്യമായതിനാൽ, മൊഡ്യൂളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്, ഉത്ഭവ പോയിന്റ് കടക്കുമ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കിന്റെ മൂല്യം വിപരീതമായി മാറുന്നു എന്നതിൽ മാത്രമാണ് (ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. ഫംഗ്‌ഷന്റെ y = |x| നിങ്ങൾക്കായി കാണുക, ഇത് കൃത്യമായ മൂല്യമാണ് കൂടാതെ x / |x| എന്ന പദപ്രയോഗം നൽകുന്നു< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - ഒന്ന്. അതായത്, x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കൊപ്പം, ആർഗ്യുമെന്റിലെ ഓരോ മാറ്റത്തിലും, ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം അതേ മൂല്യത്തിൽ കുറയുന്നു, പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കൊപ്പം, മറിച്ച്, അത് വർദ്ധിക്കുന്നു, പക്ഷേ കൃത്യമായി ഒരേ മൂല്യം.

5. ഒരു വേരിയബിളിന്റെ പവർ ഡെറിവേറ്റീവ്ഈ ശക്തിയുടെ സംഖ്യയുടെയും ശക്തിയിലെ വേരിയബിളിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, ഒന്നായി കുറയുന്നു
(x c)"= cx c-1, x c, cx c-1 എന്നിവ നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ c ≠ 0
ഉദാഹരണം:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
ഫോർമുല മനഃപാഠമാക്കാൻ:
"ഡൗൺ" എന്ന വേരിയബിളിന്റെ എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഒരു ഗുണിതമായി എടുക്കുക, തുടർന്ന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഒന്നായി കുറയ്ക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, x 2-ന് - രണ്ട് x-നേക്കാൾ മുന്നിലായിരുന്നു, തുടർന്ന് കുറച്ച പവർ (2-1 = 1) ഞങ്ങൾക്ക് 2x നൽകി. x 3 നും ഇതുതന്നെ സംഭവിച്ചു - ഞങ്ങൾ ട്രിപ്പിൾ താഴ്ത്തി, ഒന്നായി കുറയ്ക്കുന്നു, ഒരു ക്യൂബിന് പകരം നമുക്ക് ഒരു ചതുരം ഉണ്ട്, അതായത് 3x 2 . അല്പം "അശാസ്ത്രീയം", എന്നാൽ ഓർക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്.

6.ഫ്രാക്ഷൻ ഡെറിവേറ്റീവ് 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
ഉദാഹരണം:
ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം
(1/x)" = (x -1)" , തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് പട്ടികയുടെ റൂൾ 5-ൽ നിന്ന് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. ഫ്രാക്ഷൻ ഡെറിവേറ്റീവ് അനിയന്ത്രിതമായ ബിരുദത്തിന്റെ ഒരു വേരിയബിളിനൊപ്പംഡിനോമിനേറ്ററിൽ
(1/x c)" = - c / x c+1
ഉദാഹരണം:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. റൂട്ട് ഡെറിവേറ്റീവ്(സ്ക്വയർ റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്)
(√x)" = 1 / (2√x)അല്ലെങ്കിൽ 1/2 x -1/2
ഉദാഹരണം:
(√x)" = (x 1/2)" അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് റൂൾ 5-ൽ നിന്ന് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

അതിൽ ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ വിശകലനം ചെയ്തു, കൂടാതെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചില സാങ്കേതികതകളും പരിചയപ്പെട്ടു. അതിനാൽ, ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ നിങ്ങൾ മികച്ച ആളല്ലെങ്കിലോ ഈ ലേഖനത്തിന്റെ ചില പോയിന്റുകൾ പൂർണ്ണമായും വ്യക്തമല്ലെങ്കിലോ, ആദ്യം മുകളിലുള്ള പാഠം വായിക്കുക. ദയവായി ഗൗരവമായ മാനസികാവസ്ഥയിലേക്ക് ട്യൂൺ ചെയ്യുക - മെറ്റീരിയൽ എളുപ്പമല്ല, പക്ഷേ ഞാൻ അത് ലളിതമായും വ്യക്തമായും അവതരിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കും.

പ്രായോഗികമായി, സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ടാസ്‌ക്കുകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുമ്പോൾ ഞാൻ മിക്കവാറും എപ്പോഴും പറയും.

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ വേർതിരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ റൂൾ (നമ്പർ 5) പട്ടികയിൽ നോക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു. ഒന്നാമതായി, നൊട്ടേഷൻ നോക്കാം. ഇവിടെ നമുക്ക് രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുണ്ട് - കൂടാതെ , ഫംഗ്‌ഷൻ, ആലങ്കാരികമായി പറഞ്ഞാൽ, ഫംഗ്‌ഷനിൽ നെസ്റ്റഡ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ (ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ മറ്റൊന്നിനുള്ളിൽ കൂടുകൂട്ടുമ്പോൾ) ഒരു കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഞാൻ ചടങ്ങിന് വിളിക്കാം ബാഹ്യ പ്രവർത്തനം, ഒപ്പം ചടങ്ങും - ആന്തരിക (അല്ലെങ്കിൽ നെസ്റ്റഡ്) പ്രവർത്തനം.

! ഈ നിർവചനങ്ങൾ സൈദ്ധാന്തികമല്ല, അസൈൻമെന്റുകളുടെ അന്തിമ രൂപകൽപ്പനയിൽ അവ ദൃശ്യമാകരുത്. "ബാഹ്യ പ്രവർത്തനം", "ആന്തരികം" എന്നീ അനൗപചാരിക പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഞാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് മെറ്റീരിയൽ മനസ്സിലാക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കാൻ വേണ്ടി മാത്രമാണ്.

സാഹചര്യം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, പരിഗണിക്കുക:

ഉദാഹരണം 1

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

സൈനിനു കീഴിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് "x" എന്ന അക്ഷരം മാത്രമല്ല, മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും ഉണ്ട്, അതിനാൽ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഉടനടി ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് പ്രവർത്തിക്കില്ല. ആദ്യത്തെ നാല് നിയമങ്ങൾ ഇവിടെ പ്രയോഗിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെന്നും ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, ഒരു വ്യത്യാസമുണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ സൈനിനെ "കീറിമുറിക്കുക" അസാധ്യമാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത:

IN ഈ ഉദാഹരണംഎന്റെ വിശദീകരണങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്‌ഷനാണെന്നും പോളിനോമിയൽ ഒരു ആന്തരിക ഫംഗ്‌ഷനാണെന്നും (എംബെഡിംഗ്), ഒരു ബാഹ്യ ഫംഗ്‌ഷനാണെന്നും അവബോധപൂർവ്വം വ്യക്തമാണ്.

ആദ്യത്തെ പടി, ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ ചെയ്യേണ്ടത് ഏത് ഫംഗ്‌ഷൻ ആന്തരികമാണെന്നും ഏതാണ് ബാഹ്യമാണെന്നും മനസ്സിലാക്കുക.

എപ്പോൾ ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾസൈനിനു കീഴിൽ ഒരു ബഹുപദം കൂടിച്ചേർന്നതായി വ്യക്തമായി തോന്നുന്നു. എന്നാൽ അത് വ്യക്തമല്ലെങ്കിലോ? ഏത് പ്രവർത്തനമാണ് ബാഹ്യവും ആന്തരികവും എന്ന് കൃത്യമായി എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും? ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന സാങ്കേതികത ഉപയോഗിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു, അത് മാനസികമായോ ഡ്രാഫ്റ്റിലോ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പ്രഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം (ഒന്നിനുപകരം, ഏത് സംഖ്യയും ഉണ്ടാകാം).

നമ്മൾ ആദ്യം എന്താണ് കണക്കാക്കുന്നത്? ഒന്നാമതായിനിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനം നടത്തേണ്ടതുണ്ട്: , അതിനാൽ പോളിനോമിയൽ ഒരു ആന്തരിക പ്രവർത്തനമായിരിക്കും:

രണ്ടാമതായിനിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതിനാൽ സൈൻ - ഒരു ബാഹ്യ ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും:

ഞങ്ങൾക്ക് ശേഷം മനസ്സിലാക്കുകആന്തരികവും ബാഹ്യവുമായ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കൊപ്പം, കോമ്പൗണ്ട് ഫംഗ്‌ഷൻ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ റൂൾ പ്രയോഗിക്കേണ്ട സമയമാണിത് .

ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു. പാഠത്തിൽ നിന്ന് ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?ഏതെങ്കിലും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പരിഹാരത്തിന്റെ രൂപകൽപ്പന എല്ലായ്പ്പോഴും ഇതുപോലെയാണ് ആരംഭിക്കുന്നതെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു - ഞങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷൻ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുകയും മുകളിൽ വലതുവശത്ത് ഒരു സ്ട്രോക്ക് ഇടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ആദ്യംബാഹ്യ ഫംഗ്‌ഷന്റെ (സൈൻ) ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, പ്രാഥമിക ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക നോക്കുക, അത് ശ്രദ്ധിക്കുക. "x" എന്നതിന് പകരം സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പദപ്രയോഗം നൽകിയാലും എല്ലാ പട്ടിക സൂത്രവാക്യങ്ങളും ബാധകമാണ്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ആന്തരിക പ്രവർത്തനം ശ്രദ്ധിക്കുക മാറിയിട്ടില്ല, ഞങ്ങൾ തൊടുന്നില്ല.

ശരി, അത് വളരെ വ്യക്തമാണ്

ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്റെ ഫലം ശുദ്ധി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

സ്ഥിരമായ ഘടകം സാധാരണയായി പദപ്രയോഗത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു:

എന്തെങ്കിലും തെറ്റിദ്ധാരണയുണ്ടെങ്കിൽ, തീരുമാനം കടലാസിൽ എഴുതി വിശദീകരണങ്ങൾ വീണ്ടും വായിക്കുക.

ഉദാഹരണം 2

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 3

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

നമുക്ക് ഒരു ബാഹ്യ ഫംഗ്ഷൻ എവിടെയാണെന്നും ആന്തരികമായത് എവിടെയാണെന്നും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, എന്നതിന്റെ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾ (മാനസികമായി അല്ലെങ്കിൽ ഡ്രാഫ്റ്റിൽ) ശ്രമിക്കുന്നു. ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടത് എന്താണ്? ഒന്നാമതായി, അടിസ്ഥാനം എന്താണ് തുല്യമെന്ന് നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട് :, അതായത് പോളിനോമിയൽ ആന്തരിക പ്രവർത്തനമാണ്:

അതിനുശേഷം മാത്രമേ എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ നടത്തുകയുള്ളൂ, അതിനാൽ, പവർ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ബാഹ്യ പ്രവർത്തനമാണ്:

ഫോർമുല അനുസരിച്ച് , ആദ്യം നിങ്ങൾ ബാഹ്യ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബിരുദം. പട്ടികയിൽ ആവശ്യമുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ തിരയുകയാണ്:. ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ആവർത്തിക്കുന്നു: ഏതെങ്കിലും പട്ടിക സൂത്രവാക്യം "x" ന് മാത്രമല്ല, സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പദപ്രയോഗത്തിനും സാധുതയുള്ളതാണ്. അങ്ങനെ, ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്റെ ഫലം അടുത്തത്:

ബാഹ്യ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുമ്പോൾ, ആന്തരിക പ്രവർത്തനം മാറില്ലെന്ന് ഞാൻ വീണ്ടും ഊന്നിപ്പറയുന്നു:

ആന്തരിക പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താനും ഫലം അൽപ്പം "ചീപ്പ്" ചെയ്യാനും ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 4

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇത് സ്വയം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ ഉത്തരം).

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെക്കുറിച്ചുള്ള ധാരണ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, ഞാൻ അഭിപ്രായങ്ങളില്ലാതെ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകും, അത് സ്വന്തമായി കണ്ടുപിടിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, കാരണം, ബാഹ്യമായത് എവിടെയാണ്, ആന്തരിക പ്രവർത്തനം എവിടെയാണ്, എന്തുകൊണ്ടാണ് ജോലികൾ അങ്ങനെ പരിഹരിക്കുന്നത്?

ഉദാഹരണം 5

a) ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

b) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 6

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇവിടെ നമുക്ക് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്, റൂട്ടിനെ വേർതിരിക്കുന്നതിന്, അത് ഒരു ബിരുദമായി പ്രതിനിധീകരിക്കണം. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഫംഗ്‌ഷനെ വ്യതിരിക്തതയ്‌ക്കായി ശരിയായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു:

ഫംഗ്‌ഷൻ വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, മൂന്ന് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒരു ആന്തരിക ഫംഗ്‌ഷനാണെന്നും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ ഒരു ബാഹ്യ ഫംഗ്‌ഷനാണെന്നും ഞങ്ങൾ നിഗമനത്തിലെത്തുന്നു. ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു :

ബിരുദം വീണ്ടും ഒരു സമൂലമായി (റൂട്ട്) പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ആന്തരിക പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി, തുകയെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ ഞങ്ങൾ ഒരു ലളിതമായ നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നു:

തയ്യാറാണ്. നിങ്ങൾക്ക് പദപ്രയോഗം ബ്രാക്കറ്റിൽ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാനും എല്ലാം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതാനും കഴിയും. തീർച്ചയായും ഇത് മനോഹരമാണ്, പക്ഷേ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള നീണ്ട ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ലഭിക്കുമ്പോൾ, ഇത് ചെയ്യാതിരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് (ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അനാവശ്യമായ തെറ്റ് വരുത്തുക, അധ്യാപകന് പരിശോധിക്കുന്നത് അസൗകര്യമായിരിക്കും).

ഉദാഹരണം 7

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇത് സ്വയം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ ഉത്തരം).

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമത്തിനുപകരം, ഒരു ഘടകത്തെ വേർതിരിക്കുന്നതിന് ചിലപ്പോൾ ഒരു നിയമം ഉപയോഗിക്കാമെന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്. , എന്നാൽ അത്തരമൊരു പരിഹാരം അസാധാരണമായ ഒരു വികൃതി പോലെ കാണപ്പെടും. ഒരു സാധാരണ ഉദാഹരണം ഇതാ:

ഉദാഹരണം 8

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഘടകത്തിന്റെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമം ഉപയോഗിക്കാം , എന്നാൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമത്തിലൂടെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്:

വ്യതിരിക്തതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ തയ്യാറാക്കുന്നു - ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൈനസ് ചിഹ്നം ഞങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും കോസൈൻ ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് ഉയർത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:

കോസൈൻ ഒരു ആന്തരിക പ്രവർത്തനമാണ്, എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ ഒരു ബാഹ്യ പ്രവർത്തനമാണ്.
നമുക്ക് നമ്മുടെ ഭരണം ഉപയോഗിക്കാം :

ആന്തരിക ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, കോസൈൻ വീണ്ടും താഴേക്ക് പുനഃസജ്ജമാക്കുക:

തയ്യാറാണ്. പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ, അടയാളങ്ങളിൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. വഴിയിൽ, ഭരണം ഉപയോഗിച്ച് അത് പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക , ഉത്തരങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടണം.

ഉദാഹരണം 9

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇത് സ്വയം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ ഉത്തരം).

ഇതുവരെ, ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു കൂടു മാത്രമുണ്ടായിരുന്ന കേസുകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു. പ്രായോഗിക ജോലികളിൽ, നിങ്ങൾക്ക് പലപ്പോഴും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, അവിടെ, നെസ്റ്റിംഗ് പാവകൾ പോലെ, ഒന്നിനുള്ളിൽ മറ്റൊന്ന്, 3 അല്ലെങ്കിൽ 4-5 ഫംഗ്ഷനുകൾ പോലും ഒരേസമയം കൂടുകൂട്ടുന്നു.

ഉദാഹരണം 10

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ അറ്റാച്ച്‌മെന്റുകൾ ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു. പരീക്ഷണാത്മക മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് പദപ്രയോഗം വിലയിരുത്താൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു. ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ കണക്കാക്കും?

ആദ്യം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതിനർത്ഥം ആർക്സൈൻ ഏറ്റവും ആഴത്തിലുള്ള കൂടാണ് എന്നാണ്:

ഈ ഐക്യത്തിന്റെ ആർക്സൈൻ പിന്നീട് ചതുരാകൃതിയിലായിരിക്കണം:

ഒടുവിൽ, ഞങ്ങൾ ഏഴിനെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു:

അതായത്, ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ നമുക്ക് മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത ഫംഗ്ഷനുകളും രണ്ട് നെസ്റ്റിംഗുകളും ഉണ്ട്, അതേസമയം ഏറ്റവും ഉള്ളിലുള്ള പ്രവർത്തനം ആർക്സൈൻ ആണ്, ഏറ്റവും പുറത്തുള്ള പ്രവർത്തനം എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനാണ്.

ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു

ചട്ടം അനുസരിച്ച് ആദ്യം നിങ്ങൾ ബാഹ്യ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക നോക്കുകയും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു: ഒരേയൊരു വ്യത്യാസം "x" ന് പകരം നമുക്ക് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗമുണ്ട്, അത് ഈ ഫോർമുലയുടെ സാധുതയെ നിഷേധിക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ, ഒരു സങ്കീർണ്ണ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്റെ ഫലം അടുത്തത്.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും (e ടു ദി പവർ ഓഫ് x) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനും (എ ടു ദി പവർ ഓഫ് x) ഫോർമുലകളുടെ തെളിവും ഡെറിവേഷനും. e^2x, e^3x, e^nx എന്നിവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കുള്ള ഫോർമുലകൾ.

എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റിന് തുല്യമാണ് (ഇ യുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റിന് തുല്യമാണ് (ഇ യുടെ വ്യുൽപ്പന്നം എക്‌സിന്റെ ശക്തിക്ക് ഇക്ക് തുല്യമാണ്):
(1) (e x )′ = e x.

ഡിഗ്രി a യുടെ അടിത്തറയുള്ള ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനുതന്നെ തുല്യമാണ്, ഗുണിച്ചാൽ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംഒരു മുതൽ:
(2) .

എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം, e-ന്റെ ശക്തി

എക്‌സ്‌പോണൻറ് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അതിന്റെ എക്‌സ്‌പോണൻറ് ബേസ് സംഖ്യ e ന് തുല്യമാണ്, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന പരിധിയാണ്:
.
ഇവിടെ അത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയോ ആകാം. അടുത്തതായി, എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുല (1) നേടുന്നു.

ഘാതകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

എക്‌സ്‌പോണന്റ് പരിഗണിക്കുക, e ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക് x:
y = e x.
ഈ ഫംഗ്ഷൻ എല്ലാവർക്കുമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. x നെ സംബന്ധിച്ച് അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം. നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഡെറിവേറ്റീവ് ഇനിപ്പറയുന്ന പരിധിയാണ്:
(3) .

അറിയപ്പെടുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഗുണങ്ങളിലേക്കും നിയമങ്ങളിലേക്കും ചുരുക്കാൻ ഈ പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം. ഇതിനായി നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന വസ്തുതകൾ ആവശ്യമാണ്:
എ)എക്‌സ്‌പോണന്റ് പ്രോപ്പർട്ടി:
(4) ;
ബി)ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി:
(5) ;
IN)തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിനുള്ള ലോഗരിതത്തിന്റെ തുടർച്ചയും പരിധികളുടെ ഗുണവും:
(6) .
ഇവിടെ, ഒരു പരിധിയുള്ള ചില ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഉണ്ട്, ഈ പരിധി പോസിറ്റീവ് ആണ്.
ജി)രണ്ടാമത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധിയുടെ അർത്ഥം:
(7) .

ഈ വസ്തുതകൾ ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ പരിധിയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു (3). ഞങ്ങൾ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നു (4):
;
.

നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം. പിന്നെ ; .
ഘാതകത്തിന്റെ തുടർച്ച കാരണം,
.
അതിനാൽ, at ,. ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
.

നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം. പിന്നെ . , . കൂടാതെ ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:
.

ലോഗരിതം (5) ന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു:
. പിന്നെ
.

നമുക്ക് പ്രോപ്പർട്ടി പ്രയോഗിക്കാം (6). പോസിറ്റീവ് പരിധി ഉള്ളതിനാലും ലോഗരിതം തുടർച്ചയായതിനാലും:
.
ഇവിടെ ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി (7) ഉപയോഗിച്ചു. പിന്നെ
.

അങ്ങനെ, ഘാതകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി നമുക്ക് ഫോർമുല (1) ലഭിച്ചു.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ ഡെറിവേഷൻ

ഡിഗ്രി a യുടെ അടിസ്ഥാനത്തോടുകൂടിയ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല (2) ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ അത് വിശ്വസിക്കുന്നു ഒപ്പം. പിന്നെ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ
(8)
എല്ലാവർക്കും വേണ്ടി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്.

നമുക്ക് ഫോർമുല രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം (8). ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ സവിശേഷതകൾഒപ്പം ലോഗരിതം.
;
.
അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല (8) ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തി:
.

e യുടെ ഉയർന്ന ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ മുതൽ x ന്റെ ശക്തി വരെ

ഇനി നമുക്ക് ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്താം. നമുക്ക് ആദ്യം എക്സ്പോണന്റ് നോക്കാം:
(14) .
(1) .

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് (14) ഫംഗ്‌ഷനുതന്നെ (14) തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. (1) വേർതിരിച്ചുകൊണ്ട്, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ലഭിക്കും:
;
.

nth ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവും യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു:
.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഉയർന്ന ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ

ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻഅടിസ്ഥാന ബിരുദത്തോടെ a:
.
ഞങ്ങൾ അതിന്റെ ആദ്യ ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി:
(15) .

(15) വേർതിരിച്ചുകൊണ്ട്, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ലഭിക്കും:
;
.

ഓരോ വ്യത്യാസവും യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗുണനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നതായി നാം കാണുന്നു. അതിനാൽ, nth ഡെറിവേറ്റീവിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
.

പ്രാഥമിക പീരങ്കി തയ്യാറാക്കലിനുശേഷം, ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ 3-4-5 അറ്റാച്ച്‌മെന്റുകളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ഭയാനകമല്ല. ഒരുപക്ഷേ ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ ചിലർക്ക് സങ്കീർണ്ണമായി തോന്നാം, പക്ഷേ അവ മനസ്സിലാക്കിയാൽ (ആരെങ്കിലും കഷ്ടപ്പെടും), ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസിലെ മറ്റെല്ലാ കാര്യങ്ങളും ഒരു കുട്ടിയുടെ തമാശയായി തോന്നും.

ഉദാഹരണം 2

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഒരു സങ്കീർണ്ണ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഒന്നാമതായി, അത് ആവശ്യമാണ് ശരിയാണ്നിക്ഷേപങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുക. സംശയമുള്ള സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഞാൻ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു ഉപയോഗപ്രദമായ സാങ്കേതികത: ഞങ്ങൾ പരീക്ഷണാത്മക മൂല്യം "x" എടുക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ മൂല്യം "ഭയങ്കരമായ പദപ്രയോഗം" ആയി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ (മാനസികമായി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റിൽ) ശ്രമിക്കുക.

1) ആദ്യം നമ്മൾ പദപ്രയോഗം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിനാൽ തുക ഏറ്റവും ആഴത്തിലുള്ള നെസ്റ്റിംഗ് ആണ്.

2) അപ്പോൾ നിങ്ങൾ ലോഗരിതം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്:

4) തുടർന്ന് കോസൈൻ ക്യൂബ് ചെയ്യുക:

5) അഞ്ചാം ഘട്ടത്തിൽ, വ്യത്യാസം:

6) അവസാനമായി, ഏറ്റവും ബാഹ്യമായ പ്രവർത്തനം വർഗ്ഗമൂലമാണ്:

കോമ്പൗണ്ട് ഫംഗ്ഷൻ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഫോർമുല ബാഹ്യമായ ഫംഗ്‌ഷൻ മുതൽ അകം വരെ വിപരീത ക്രമത്തിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുന്നു:

പിശകുകളില്ലാത്തതായി തോന്നുന്നു:

1) ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുന്നു സ്ക്വയർ റൂട്ട്.

2) റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുന്നു

3) ട്രിപ്പിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. രണ്ടാമത്തെ ടേമിൽ, ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രിയുടെ (ക്യൂബ്) ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുന്നു.

4) ഞങ്ങൾ കോസൈന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുന്നു.

6) ഒടുവിൽ, ഞങ്ങൾ ആഴമേറിയ നെസ്റ്റിംഗിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുന്നു.

ഇത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന് തോന്നിയേക്കാം, പക്ഷേ ഇത് ഏറ്റവും ക്രൂരമായ ഉദാഹരണമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, കുസ്നെറ്റ്സോവിന്റെ ശേഖരം എടുക്കുക, വിശകലനം ചെയ്ത ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ എല്ലാ ആകർഷണീയതയും ലാളിത്യവും നിങ്ങൾ വിലമതിക്കും. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് വിദ്യാർത്ഥിക്ക് മനസ്സിലായോ അല്ലെങ്കിൽ മനസ്സിലാകുന്നില്ലേ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ പരീക്ഷയിൽ സമാനമായ ഒരു കാര്യം നൽകാൻ അവർ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നതായി ഞാൻ ശ്രദ്ധിച്ചു.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം ഒരു ഒറ്റപ്പെട്ട പരിഹാരത്തിനുള്ളതാണ്.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

സൂചന: ആദ്യം ഞങ്ങൾ രേഖീയതയുടെ നിയമങ്ങളും ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമവും പ്രയോഗിക്കുന്നു

പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും പാഠത്തിന്റെ അവസാനം ഉത്തരവും.

കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ളതും മനോഹരവുമായ ഒന്നിലേക്ക് നീങ്ങാനുള്ള സമയമാണിത്.
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ രണ്ടല്ല, മൂന്ന് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം നൽകുന്ന സാഹചര്യം അസാധാരണമല്ല. എന്നതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം മൂന്ന് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾഗുണിതങ്ങൾ?

ഉദാഹരണം 4

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ആദ്യം, ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു, പക്ഷേ മൂന്ന് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തെ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നമാക്കി മാറ്റാൻ കഴിയുമോ? ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ രണ്ട് പോളിനോമിയലുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം. എന്നാൽ ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, എല്ലാ ഫംഗ്ഷനുകളും വ്യത്യസ്തമാണ്: ഡിഗ്രി, എക്‌സ്‌പോണന്റ്, ലോഗരിതം.

അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, അത് ആവശ്യമാണ് തുടർച്ചയായിഉൽപ്പന്ന വ്യത്യാസ നിയമം പ്രയോഗിക്കുക രണ്ടുതവണ

"y" എന്നതിന് നമ്മൾ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നതാണ് തന്ത്രം: , കൂടാതെ "ve" - ​​ലോഗരിതം:. എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയുക? ആണോ - ഇത് രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നമല്ല, നിയമം പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലേ?! സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല:

ഇപ്പോൾ രണ്ടാം തവണയും നിയമം പ്രയോഗിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു ബ്രാക്കറ്റിലേക്ക്:

നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും വളച്ചൊടിക്കാനും ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് എന്തെങ്കിലും എടുക്കാനും കഴിയും, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഉത്തരം ഈ ഫോമിൽ ഉപേക്ഷിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ഇത് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമായിരിക്കും.

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണം രണ്ടാമത്തെ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളും തികച്ചും തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 5

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇത് ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്, സാമ്പിളിൽ ഇത് ആദ്യ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള സമാന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 6

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് പല തരത്തിൽ പോകാം:

അല്ലെങ്കിൽ ഇതുപോലെ:

ആദ്യം, ഘടകത്തിന്റെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരിഹാരം കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ളതായി എഴുതാം. , മുഴുവൻ ന്യൂമറേറ്ററിനായി എടുക്കുന്നു:

തത്വത്തിൽ, ഉദാഹരണം പരിഹരിച്ചു, ഈ രൂപത്തിൽ അവശേഷിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അത് ഒരു തെറ്റ് ആകില്ല. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് സമയമുണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റ് പരിശോധിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഉചിതമാണ്, പക്ഷേ ഉത്തരം ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമോ?

ഞങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും മൂന്ന് നിലകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യ ഒഴിവാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

അധിക ലളിതവൽക്കരണത്തിന്റെ പോരായ്മ, ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുമ്പോഴല്ല, മറിച്ച് നിസ്സാരമായ സ്കൂൾ പരിവർത്തനങ്ങളിലാണ് തെറ്റ് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത. മറുവശത്ത്, അധ്യാപകർ പലപ്പോഴും ചുമതല നിരസിക്കുകയും ഡെറിവേറ്റീവിനെ "മനസ്സിൽ കൊണ്ടുവരാൻ" ആവശ്യപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു.

സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു പരിഹാരത്തിനുള്ള ലളിതമായ ഉദാഹരണം:

ഉദാഹരണം 7

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഞങ്ങൾ മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നത് തുടരുന്നു, വ്യത്യസ്തതയ്ക്കായി "ഭയങ്കരമായ" ലോഗരിതം നിർദ്ദേശിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു സാധാരണ കേസ് പരിഗണിക്കും.

ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും അനുപാതത്തിന്റെ പരിധിയായി ഡെറിവേറ്റീവിനെ നിർവചിച്ചുകൊണ്ട് ഏറ്റവും ലളിതമായ (വളരെ ലളിതമല്ല) ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്റെ ഫലമായി, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഒരു പട്ടികയും കൃത്യമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളും പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. . ഐസക് ന്യൂട്ടൺ (1643-1727), ഗോട്ട്ഫ്രൈഡ് വിൽഹെം ലീബ്നിസ് (1646-1716) എന്നിവരാണ് ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്ന മേഖലയിൽ ആദ്യമായി പ്രവർത്തിച്ചത്.

അതിനാൽ, നമ്മുടെ കാലത്ത്, ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഇൻ‌ക്രിമെന്റിന്റെയും ആർഗ്യുമെന്റിന്റെയും അനുപാതത്തിന്റെ മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച പരിധി കണക്കാക്കേണ്ടതില്ല, പക്ഷേ പട്ടിക മാത്രം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമങ്ങളുടെയും. ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം അനുയോജ്യമാണ്.

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾക്ക് സ്ട്രോക്ക് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ആവശ്യമാണ് ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ തകർക്കുകഏതൊക്കെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്ന് തീരുമാനിക്കുക (ഉൽപ്പന്നം, തുക, ഘടകം)ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. കൂടാതെ, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ പ്രാഥമിക ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളും, തുക, ഘടകവും - ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ആദ്യ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളുടെയും പട്ടിക നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതായത്.

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന്, "X" ന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്നും സൈനിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കോസൈൻ ആണെന്നും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയിൽ ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങളെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയ്ക്ക് ആവശ്യമായ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഉദാഹരണം 2ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. തുകയുടെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആയി വേർതിരിക്കുക, അതിൽ സ്ഥിരമായ ഘടകം ഉള്ള രണ്ടാമത്തെ പദം, അത് ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

എന്തെങ്കിലും എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഇപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അവ ഒരു ചട്ടം പോലെ, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയും വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ നിയമങ്ങളും വായിച്ചതിനുശേഷം വ്യക്തമാകും. ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അവരുടെ അടുത്തേക്ക് പോകുന്നു.

ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക

1. സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ (സംഖ്യ) ഡെറിവേറ്റീവ്. ഫംഗ്‌ഷൻ എക്‌സ്‌പ്രഷനിലുള്ള ഏത് സംഖ്യയും (1, 2, 5, 200...). എപ്പോഴും പൂജ്യം. ഇത് ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, കാരണം ഇത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്
2. സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. മിക്കപ്പോഴും "x". എപ്പോഴും ഒന്നിന് തുല്യം. ഇതും ഓർത്തിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്
3. ബിരുദത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ നോൺ-സ്ക്വയർ റൂട്ടുകളെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.
4. ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് -1 ന്റെ ശക്തി
5. വർഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
6. സൈൻ ഡെറിവേറ്റീവ്
7. കോസൈൻ ഡെറിവേറ്റീവ്
8. ടാൻജന്റ് ഡെറിവേറ്റീവ്
9. കോട്ടാൻജെന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
10. ആർക്സൈനിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
11. ആർക്ക് കോസൈന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
12. ആർക്ക് ടാൻജെന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
13. വിപരീത ടാൻജന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
14. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്
15. ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
16. ഘാതകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
17. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

വ്യത്യാസ നിയമങ്ങൾ

1. തുകയുടെയോ വ്യത്യാസത്തിന്റെയോ ഡെറിവേറ്റീവ്
2. ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
2a. ഒരു സ്ഥിരമായ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ച പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
3. ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
4. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

നിയമം 1പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ

ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണ്, തുടർന്ന് അതേ ഘട്ടത്തിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

ഒപ്പം

ആ. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

അനന്തരഫലം. രണ്ട് ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്താൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, അതായത്.

നിയമം 2പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ

ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അവയുടെ ഉൽപ്പന്നവും അതേ ഘട്ടത്തിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

ഒപ്പം

ആ. രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഓരോ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും മറ്റൊന്നിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും തുല്യമാണ്.

അനന്തരഫലം 1. സ്ഥിരമായ ഘടകം ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അനന്തരഫലം 2. നിരവധി ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഓരോ ഘടകങ്ങളുടെയും മറ്റ് എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് ഗുണിതങ്ങൾക്ക്:

നിയമം 3പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ

ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ഒപ്പം , അപ്പോൾ ഈ ഘട്ടത്തിൽ അവയുടെ ഘടകവും വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.u/v , ഒപ്പം

ആ. രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളും ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ മുൻ ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ വർഗ്ഗമാണ് .

മറ്റ് പേജുകളിൽ എവിടെ നോക്കണം

ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഇൻ ഘടകവും കണ്ടെത്തുമ്പോൾ യഥാർത്ഥ ജോലികൾഒരേസമയം നിരവധി ഡിഫറൻസിയേഷൻ നിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ ഈ ഡെറിവേറ്റീവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ ലേഖനത്തിലുണ്ട്"ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയും ഒരു ഘടകത്തിന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ്".

അഭിപ്രായം.നിങ്ങൾ ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തെ (അതായത്, ഒരു സംഖ്യ) തുകയിലെ ഒരു പദമായും സ്ഥിരമായ ഘടകമായും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്! ഒരു പദത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, സ്ഥിരമായ ഘടകത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, അത് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു. ഇത് സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സാധാരണ പിശകാണ് പ്രാരംഭ ഘട്ടംഡെറിവേറ്റീവുകൾ പഠിക്കുന്നു, പക്ഷേ അവ ഒന്നോ രണ്ടോ ഘടകങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ശരാശരി വിദ്യാർത്ഥി ഇനി ഈ തെറ്റ് വരുത്തില്ല.

ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തെയോ ഘടകത്തെയോ വേർതിരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പദമുണ്ടെങ്കിൽ യു"വി, അതിൽ യു- ഒരു സംഖ്യ, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 അല്ലെങ്കിൽ 5, അതായത്, ഒരു സ്ഥിരാങ്കം, അപ്പോൾ ഈ സംഖ്യയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, അതിനാൽ, മുഴുവൻ പദവും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും (അത്തരം ഒരു കേസ് ഉദാഹരണം 10-ൽ വിശകലനം ചെയ്യുന്നു) .

മറ്റുള്ളവ സാധാരണ തെറ്റ്- ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മെക്കാനിക്കൽ പരിഹാരം ഒരു ലളിതമായ ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആയി. അതുകൊണ്ടാണ് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്ഒരു പ്രത്യേക ലേഖനത്തിനായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ആദ്യം നമ്മൾ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്താൻ പഠിക്കും.

വഴിയിൽ, എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ പരിവർത്തനങ്ങളില്ലാതെ നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പുതിയ വിൻഡോസ് മാനുവലുകൾ തുറക്കേണ്ടതുണ്ട് ശക്തികളും വേരുകളുമുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾഒപ്പം ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ .

നിങ്ങൾ പവറുകളും റൂട്ടുകളും ഉള്ള ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾക്കായി തിരയുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്, ഫംഗ്ഷൻ ഇതുപോലെ കാണുമ്പോൾ , തുടർന്ന് " ശക്തികളും വേരുകളും ഉള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്" എന്ന പാഠം പിന്തുടരുക.

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ടാസ്ക് ഉണ്ടെങ്കിൽ , അപ്പോൾ നിങ്ങൾ "ലളിതമായ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ" എന്ന പാഠത്തിലാണ്.

ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ - ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

ഉദാഹരണം 3ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷൻ എക്‌സ്‌പ്രഷന്റെ ഭാഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു: മുഴുവൻ എക്‌സ്‌പ്രഷനും ഉൽപ്പന്നത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഘടകങ്ങൾ തുകകളാണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ പദങ്ങളിലൊന്നിൽ സ്ഥിരമായ ഘടകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ ഉൽപ്പന്ന വ്യത്യാസ നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നു: രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഓരോ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും മറ്റൊന്നിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും തുല്യമാണ്:

അടുത്തതായി, തുകയുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു: ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഓരോ തുകയിലും, ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ പദം. ഓരോ തുകയിലും, നമ്മൾ ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും കാണുന്നു, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഒരു സ്ഥിരാങ്കം (സംഖ്യ), അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, "x" ഒന്നായി മാറുന്നു, മൈനസ് 5 - പൂജ്യമായി മാറുന്നു. രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗത്തിൽ, "x" എന്നത് 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ നമ്മൾ "x" ന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അതേ യൂണിറ്റ് കൊണ്ട് രണ്ടെണ്ണം ഗുണിക്കുന്നു. ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

കണ്ടെത്തിയ ഡെറിവേറ്റീവുകളെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയ്ക്ക് ആവശ്യമായ മുഴുവൻ പ്രവർത്തനത്തിന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഉദാഹരണം 4ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു ഘടകത്തെ വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു: രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളും ന്യൂമറേറ്ററിന്റെയും ന്യൂമറേറ്ററിന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെയും ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമുള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ മുൻ ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ ചതുരമാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉദാഹരണം 2-ൽ ന്യൂമറേറ്ററിലെ ഘടകങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. നിലവിലെ ഉദാഹരണത്തിലെ ന്യൂമറേറ്ററിലെ രണ്ടാമത്തെ ഘടകമായ ഉൽപ്പന്നം ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തിലാണ് എടുത്തിരിക്കുന്നതെന്ന കാര്യം മറക്കരുത്:

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ട ഇത്തരം പ്രശ്‌നങ്ങൾക്ക് നിങ്ങൾ പരിഹാരം തേടുകയാണെങ്കിൽ, അവിടെ തുടർച്ചയായ വേരുകളുടെയും ഡിഗ്രികളുടെയും കൂമ്പാരം ഉണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, പിന്നെ ക്ലാസ്സിലേക്ക് സ്വാഗതം "ശക്തികളും വേരുകളും ഉള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്" .

സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജെന്റുകൾ എന്നിവയുടെയും മറ്റുള്ളവയുടെയും ഡെറിവേറ്റീവുകളെ കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതലറിയണമെങ്കിൽ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ, അതായത്, ഫംഗ്ഷൻ ഇതുപോലെ കാണുമ്പോൾ , അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പാഠമുണ്ട് "ലളിതമായ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ" .

ഉദാഹരണം 5ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഈ ഫംഗ്‌ഷനിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഉൽപ്പന്നം കാണുന്നു, അതിന്റെ ഘടകങ്ങളിലൊന്ന് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നമുക്ക് പരിചിതമാണ്. ഉൽപ്പന്ന ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ റൂളും സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പട്ടിക മൂല്യവും അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉദാഹരണം 6ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഈ ഫംഗ്ഷനിൽ, നമ്മൾ ഘടകത്തെ കാണുന്നു, അതിന്റെ ലാഭവിഹിതം സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്. ഉദാഹരണം 4-ൽ ഞങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുകയും പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്‌ത ഘടകത്തിന്റെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമവും സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പട്ടിക മൂല്യവും അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ന്യൂമറേറ്ററിലെ ഭിന്നസംഖ്യ ഒഴിവാക്കാൻ, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.