Ev › Elektrikli ekipman › Leonardo kaş pusulası nasıl kullanılır? Antik altın oran pusulası Genelleştirilmiş altın oran

Leonardo kaş pusulası nasıl kullanılır? Antik altın oran pusulası Genelleştirilmiş altın oran

Altın oran - evrensel bir uyum ilkesi

"Tat konusunda hiçbir tartışma yok" - her birimiz bu formülü kaç kez duyduk, hatta telaffuz ettik. Bunu kabul ederek, insan hayal gücünün karşılayabileceği her türlü hakareti savunmaya hazırız. Son derece bencil, telaşlı, tutkulu, büyük ve küçük dünyayı dinlemeye alışkın olmayan bir kişi, zevk geliştirme ve uyumu kavrama konusunda hiçbir temele sahip değildir ve bu nedenle, en canavarca estetiği doğurup ona güzellik adını verme yeteneğine sahiptir. Ortalama bir adam dolgun dudaklarının arasından "Güzel yaşamayı yasaklayamazsınız" diye tükürür, kendi zevklerini savunur ve başkalarının onlar hakkında tartışmasını yasaklar. Kendilerini kendilerinden daha derin anlamayan insan kılığına giren hayvanlar, "Elbette, elbette zevkler hakkında tartışmayacağız! Bize zarar vermedikleri sürece herkes kendi yolunda haklıdır" diye yankılanıyor. bedensel ihtiyaçlar. Ve sefil evlere yerleştiriliyorlar, yıkıcı müzikle dolduruluyorlar, okuldan sefaletle besleniyorlar, ona kaçınılmazlık sosu servis ediliyorlar. Estetiğin gerilemesi, güzelliğe olan ilgisizliğin her zaman, artık güzellik hayal etmek istemeyen, güzellik için çabalamak istemeyen insanlığın gerileyişidir. Bu acı ve ölümdür.

Bir bireyin bütün bir bayağılık sistemine direnmesi zordur ve eğer yeterli bilgiye sahip değilse, ona boyun eğmeye ve yok olmaya mahkumdur. Güzellik duygusunun, dünyanın uyumunun her insanda yaşadığına inanmak isterim - sadece onu göstermeniz, kullanmayı öğrenmeniz gerekiyor.

Güzelliğin objektif bir değerlendirmesi için güvenilir bir ölçü bulmak muhtemelen zordur ve mantık tek başına yeterli olmayacaktır. Ancak güzellik arayışını hayatın anlamı haline getiren, bunu meslek haline getirenlerin deneyimi burada yardımcı olacaktır. Bunlar her şeyden önce bizim dediğimiz gibi sanat insanlarıdır: sanatçılar, mimarlar, heykeltıraşlar, müzisyenler, yazarlar. Ama bunlar aynı zamanda kesin bilimlerden insanlar, her şeyden önce matematikçiler.

Göze diğer duyulardan daha çok güvenen insan, öncelikle çevresindeki nesneleri şekillerine göre ayırt etmeyi öğrenmiştir. Bir nesnenin şekline olan ilgi yaşamsal bir zorunluluktan kaynaklanabileceği gibi, şeklin güzelliğinden de kaynaklanabilir. Yapımı simetri ve altın oranın birleşimine dayanan form, en iyi görsel algıya, güzellik ve uyum duygusunun ortaya çıkmasına katkıda bulunur. Bütün her zaman parçalardan oluşur, farklı boyutlardaki parçalar birbirleriyle ve bütünle belli bir ilişki içindedir. Altın oran prensibi sanatta, bilimde, teknolojide ve doğada bütünün ve parçalarının yapısal ve işlevsel mükemmelliğinin en yüksek tezahürüdür. Bu fikir birçok önde gelen modern bilim adamı tarafından paylaşıldı ve paylaşıldı ve araştırmalarında gerçek güzelliğin her zaman işlevsel olduğunu kanıtladı. Bunların arasında uçak tasarımcıları da var. Ve mimarlar, antropologlar ve daha birçokları.

Altın oranın tarihi

Altın bölüm kavramının bilimsel kullanıma eski Yunan filozofu ve matematikçisi Pisagor (MÖ VI. Yüzyıl) tarafından tanıtıldığı genel olarak kabul edilmektedir. Pisagor'un altın bölünmeye ilişkin bilgisini Mısırlılardan ve Babillilerden ödünç aldığına dair bir varsayım var. Nitekim Tutankhamun'un mezarındaki Cheops piramidinin, tapınakların, kabartmaların, ev eşyalarının ve mücevherlerin oranları, Mısırlı ustaların bunları yaratırken altın bölümün oranlarını kullandıklarını gösteriyor. Fransız mimar Le Corbusier, Abydos'taki Firavun Seti I tapınağında bulunan rölyefte ve Firavun Ramses'i tasvir eden rölyefte, figürlerin oranlarının altın bölümün değerlerine karşılık geldiğini tespit etmiştir. Kendi adını taşıyan bir mezardaki ahşap bir tahta kabartmasında tasvir edilen mimar Khesira, elinde altın bölümün oranlarının kaydedildiği ölçü aletlerini tutmaktadır.

Yirminci yüzyılın ilk çeyreğinde altın oran hakkında bir kitap yazan Alman profesör G.E. Timerding şöyle diyor: “Pisagorcular<...>Gizemli güçler ve özellikler fikri normal beşgenle ilişkilendirildi, ancak bu özellikler yalnızca sıradan beşgenin yanında, sıradan bir beşgenin tüm köşelerinden birinden sırayla bağlanarak elde edilen yıldız ortaya çıktığında ortaya çıkar. beş köşeli yıldızın köşegenleri dikkate alınır” ve ayrıca şunu not eder: pentagram tüm büyü bilimlerinde büyük bir rol oynamıştır. Timerding'in gösterdiği gibi beş köşeli yıldız, kelimenin tam anlamıyla altın bölümün oranlarıyla doldurulmuştur.

Yunanlılar yetenekli geometricilerdi. Hatta çocuklarına geometrik şekilleri kullanarak aritmetik öğretiyorlar. Pisagor karesi ve bu karenin köşegeni, dinamik dikdörtgenlerin inşasının temelini oluşturdu.

Platon (MÖ 427...347) da altın bölümü biliyordu. Pisagorcu Timaeus, Platon'un aynı isimli diyalogunda şöyle der: "İki şeyin bir üçüncüsü olmadan mükemmel bir şekilde birleşmesi imkansızdır, çünkü aralarında onları bir arada tutacak bir şeyin ortaya çıkması gerekir. Bu en iyi yolçünkü üç sayı, büyüğün ortalamaya oranı kadar ortalamanın da küçüğe olması ve bunun tersine, ortalamanın büyüğüne göre küçüğün ortalamaya oranı gibi bir özelliğe sahipse, o zaman sonuncu ve ilki ortalama olacak ve ortalama ilk ve son olacak. Böylece gerekli olan her şey aynı olacak ve aynı olacağı için bir bütün oluşturacaktır." Platon dünyevi dünyayı iki tür üçgen kullanarak inşa eder: ikizkenar ve ikizkenar olmayan. En güzel dik üçgenin dik üçgen olduğunu düşünür. hipotenüsün bacakların küçük olanından iki kat daha fazla olduğu bir dikdörtgen (böyle bir dikdörtgen Babillilerin temel eşkenar şeklinin yarısıdır, 1: 3 1/2 oranına sahiptir, bu da altın orandan yaklaşık olarak farklıdır) 1/25 ve Zamanlama olarak adlandırılır "Altın oranın rakibi"). Platon üçgenleri kullanarak dört düzenli çokyüzlü oluşturur ve onları dört dünyevi elementle (toprak, su, hava ve ateş) ilişkilendirir. Ve mevcut beş düzenli çokyüzlüden yalnızca sonuncusu - on iki yüzü de düzenli beşgen olan on iki yüzlü - göksel dünyanın sembolik bir görüntüsü olduğunu iddia ediyor.

On iki yüzlüyü (ya da varsayıldığı gibi, Evrenin kendisini, sırasıyla tetrahedron, oktahedron, ikosahedron ve küp ile sembolize edilen dört elementin bu özeti) keşfetme onuru, daha sonra bir gemi kazasında ölen Hippasus'a aittir. Bu rakam gerçekten de altın oranın pek çok ilişkisini yansıtıyor; dolayısıyla ikincisine göksel dünyada ana rol verildi; Minorit kardeş Luca Pacioli daha sonra bu konuda ısrar etti.

Antik Yunan tapınağı Parthenon'un cephesi altın oranlara sahiptir. Kazılarda antik dünyanın mimar ve heykeltıraşlarının kullandığı pusulalar keşfedildi. Pompei pusulası (Napoli'deki müze) aynı zamanda altın bölümün oranlarını da içerir.

günümüze kadar gelen antik edebiyat Altın bölümden ilk kez Öklid'in Elementler kitabında bahsedilmiştir. "İlkeler"in 2. kitabında altın bölümün geometrik yapısı verilmektedir.Öklid'den sonra altın bölümün incelenmesi Hypsicles (M.Ö. II. yüzyıl), Pappus (MS III. Yüzyıl) ve diğerleri tarafından gerçekleştirilmiştir. Ortaçağ Avrupa'sında altın bölümle Öklid'in Elementler kitabının Arapça çevirileri sayesinde tanıştık. Navarre'dan (III. yüzyıl) çevirmen J. Campano, çeviri hakkında yorumlarda bulundu. Altın bölümün sırları kıskançlıkla korundu ve sıkı bir gizlilik içinde tutuldu. Sadece inisiyeler tarafından biliniyorlardı.

Orta Çağ'da pentagram şeytanlaştırıldı (aslında eski paganizmde ilahi kabul edilen pek çok şey gibi) ve okült bilimlere sığındı. Ancak Rönesans hem pentagramı hem de altın oranı yeniden gün ışığına çıkardı. Böylece hümanizmin kurulduğu bu dönemde insan vücudunun yapısını anlatan bir diyagram yaygınlaştı:

Leonardo da Vinci de defalarca böyle bir resme başvurdu, esasen bir pentagramı yeniden üretti. Onun yorumu: insan vücudunun ilahi mükemmellik, çünkü onun doğasında bulunan oranlar ana göksel figürdekiyle aynıdır. Bir sanatçı ve bilim adamı olan Leonardo da Vinci, İtalyan sanatçıların çok fazla ampirik deneyime sahip olduğunu ancak çok az bilgiye sahip olduğunu gördü. Geometri üzerine bir kitap tasarladı ve yazmaya başladı, ancak o sırada keşiş Luca Pacioli'nin bir kitabı ortaya çıktı ve Leonardo bu fikrinden vazgeçti. Çağdaşlara ve bilim tarihçilerine göre Luca Pacioli, Fibonacci ile Galileo arasındaki dönemde İtalya'nın en büyük matematikçisi olan gerçek bir aydındı. Luca Pacioli, biri "Resimde Perspektif Üzerine" olmak üzere iki kitap yazan sanatçı Piero della Francesca'nın öğrencisiydi. Tanımlayıcı geometrinin yaratıcısı olarak kabul edilir.

Luca Pacioli bilimin sanat için önemini çok iyi anlamıştı. 1496'da Moreau Dükü'nün daveti üzerine Milano'ya geldi ve burada matematik dersleri verdi. Leonardo da Vinci o dönemde Milano'da Moro sarayında da çalışıyordu. 1509'da Luca Pacioli'nin bir kitabı Venedik'te yayımlandı. "İlahi Oran Üzerine"(De divina orantı, 1497, 1509'da Venedik'te yayınlandı) zekice yapılmış resimlerle, bu yüzden Leonardo da Vinci tarafından yapıldığına inanılıyor. Kitap altın orana coşkulu bir ilahiydi. Böyle bir oran vardır ve teklik Allah'ın en yüksek özelliğidir. Kutsal üçlüyü temsil eder. Bu oran ulaşılabilir bir sayıyla ifade edilememekte, gizli ve gizli kalmakta ve bizzat matematikçiler tarafından irrasyonel olarak adlandırılmaktadır (aynı şekilde Tanrı da kelimelerle tanımlanamaz ve açıklanamaz). Tanrı hiçbir zaman her şeydeki her şeyi ve her şeyi kendi parçasıyla değiştirmez ve temsil etmez; dolayısıyla her sürekli ve belirli niceliğin (büyük veya küçük olmasına bakılmaksızın) altın oranı aynıdır, akıl tarafından değiştirilemez veya başka şekilde algılanamaz. Tanrı, onun yardımıyla ve diğer dört basit cisimle (dört element - toprak, su, hava, ateş) beşinci madde olarak adlandırılan göksel erdemi var etti ve bunlara dayanarak doğadaki diğer her şeyi var etti; dolayısıyla Timaeus'taki Platon'a göre bizim kutsal oranımız, gökyüzüne biçimsel bir varlık verir, çünkü ona, altın oran olmadan inşa edilemeyen dodecahedron adı verilen bir cismin biçimi atfedilir. Bunlar Pacioli'nin argümanları.

Leonardo da Vinci, altın bölümün çalışmasına da büyük önem verdi. Düzenli beşgenlerden oluşan stereometrik bir gövdenin bölümlerini yaptı ve her seferinde altın bölümdeki en boy oranlarına sahip dikdörtgenler elde etti. Bu yüzden bu bölüme bu adı verdi. altın Oran. Bu yüzden hala en popüler olanı olmaya devam ediyor.

Aynı dönemde Avrupa'nın kuzeyinde, Almanya'da Albrecht Dürer de aynı sorunlar üzerinde çalışıyordu. Oranlar üzerine incelemenin ilk versiyonunun girişini çiziyor. Dürer yazıyor. "Bir şeyin nasıl yapılacağını bilen birinin, onu ihtiyacı olanlara öğretmesi gerekir. Ben de bunu yapmak için yola çıktım."

Dürer'in bir mektubuna bakılırsa İtalya'dayken Luca Pacioli ile tanışmış. Albrecht Dürer, insan vücudunun oranları teorisini ayrıntılı olarak geliştirir. Dürer, ilişkiler sisteminde altın kısma önemli bir yer ayırmıştır. Bir kişinin boyu altın oranlarda kemer çizgisine ve ayrıca indirilmiş ellerin orta parmak uçlarından, yüzün alt kısmından ağıza vb. çizilen bir çizgiye bölünür. Dürer'in orantısal pusulası iyi bilinmektedir.

16. yüzyılın büyük gökbilimcisi. Johannes Kepler altın oranı geometrinin hazinelerinden biri olarak adlandırdı. Altın oranın botanik açısından önemine (bitkilerin büyümesi ve yapısı) ilk dikkat çeken o olmuştur.

Kepler, altın oranı kendi kendine devam eden bir oran olarak adlandırdı. "Öyle yapılandırılmış ki" diye yazdı, "bu hiç bitmeyen oranın en düşük iki teriminin toplamı üçüncü terime ve eğer birlikte eklenirse son iki terime eşit olur" , bir sonraki terimi verin ve aynı oran sonsuza kadar kalır."

Altın oranın bir dizi bölümünün inşası hem artış yönünde (artan seri) hem de azalma yönünde (azalan seri) yapılabilir.

İsteğe bağlı uzunlukta düz bir çizgi üzerindeyse parçayı bir kenara koyun M, segmenti yanına koyun M. Bu iki bölüme dayanarak, artan ve azalan serilerin altın oranının bölümlerinden oluşan bir ölçek oluşturuyoruz.

Sonraki yüzyıllarda altın oran kuralı akademik bir kanona dönüştü ve zamanla sanatta akademik rutine karşı mücadele başladığında, mücadelenin hararetinde "bebeği banyo suyuyla birlikte dışarı attılar." Altın oran yeniden keşfedildi 19'uncu yüzyılın ortası V. 1855 yılında Alman altın oran araştırmacısı Profesör Zeising, “Estetik Çalışmalar” adlı eserini yayımladı. Zeising'in başına gelen şey, bir fenomeni diğer fenomenlerle bağlantısı olmadan bu şekilde ele alan bir araştırmacının başına kaçınılmaz olarak gelmesi gereken şeydi. Altın oranın oranını mutlaklaştırdı ve bunun tüm doğa ve sanat olguları için evrensel olduğunu ilan etti. Zeising'in çok sayıda takipçisi vardı ama onun oranlar öğretisinin "matematiksel estetik" olduğunu ilan eden muhalifler de vardı.

Zeising muazzam bir iş çıkardı. Yaklaşık iki bin insan vücudunu ölçtü ve altın oranın ortalama istatistik yasasını ifade ettiği sonucuna vardı. Vücudun göbek noktasına göre bölünmesi altın oranın en önemli göstergesidir. Oranlar erkek vücudu ortalama 13:8 = 1,625 oranında dalgalanıyor ve altın orana oranlardan biraz daha yaklaşıyor kadın vücudu Oranın ortalama değeri 8: 5 = 1,6 oranında ifade edilir. Yeni doğmuş bir bebekte bu oran 1:1, 13 yaşında 1,6, 21 yaşında ise erkeğinkine eşittir. Altın oranın oranları aynı zamanda vücudun diğer kısımlarına (omuzun uzunluğu, ön kol ve el, el ve parmaklar vb.) göre de ortaya çıkar.

Zeising, teorisinin geçerliliğini Yunan heykelleri üzerinde test etti. Apollo Belvedere'nin oranlarını en detaylı şekilde geliştirdi. Yunan vazoları, çeşitli dönemlere ait mimari yapılar, bitkiler, hayvanlar, kuş yumurtaları, müzik tonları ve şiirsel ölçüler incelenmiştir. Zeising, altın oranın tanımını vererek onun düz çizgi parçaları ve sayılarla nasıl ifade edildiğini gösterdi. Zeising, doğru parçalarının uzunluklarını ifade eden sayılar elde edildiğinde bunların bir yönde veya diğer yönde sonsuza kadar devam edebilecek bir Fibonacci serisi oluşturduğunu gördü. Bir sonraki kitabı “Doğa ve Sanatta Temel Morfolojik Kanun Olarak Altın Bölünme” başlığını taşıyordu. 1876'da Rusya'da Zeising'in bu çalışmasının ana hatlarını çizen küçük bir kitap, neredeyse bir broşür yayınlandı. Yazar, Yu.F.V. baş harflerine sığındı. Bu baskıda tek bir resim eserinden bahsedilmiyor.

İÇİNDE XIX sonu- 20. yüzyılın başları Altın oranın sanat ve mimari eserlerde kullanımına ilişkin pek çok tamamen biçimci teori ortaya çıktı. Tasarım ve teknik estetiğin gelişmesiyle birlikte altın oran kanunu otomobil, mobilya vb. tasarımına da yayıldı.

Biraz geometri

Matematikte oran(lat. orantı) iki ilişkinin eşitliğini çağırın: a: b = c: d.

Düz segment AB aşağıdaki şekillerde iki kısma ayrılabilir:

iki eşit parçaya - AB: AC = AB: BC;

herhangi bir açıdan iki eşit olmayan parçaya bölünür (bu tür parçalar oran oluşturmaz);

böylece, ne zaman AB: AC = AC: BC.

İkincisi, bir segmentin aşırı ve ortalama orandaki altın bölümü veya bölümüdür.

Altın oran, bir parçanın eşit olmayan parçalara orantılı bir şekilde bölünmesidir; burada, büyük parçanın kendisi daha küçük olanla ilişkili olduğu için tüm parça daha büyük parçayla ilişkilidir; veya başka bir deyişle, daha büyük olan bütüne göre daha küçük olan kısım daha büyüktür

a: b = b: cveya c: b = b: bir.

Altın orana pratik olarak aşina olmak, bir pergel ve cetvel kullanarak düz bir çizgi parçasını altın orana bölmekle başlar.

noktadan İÇİNDE yarıya eşit bir dik geri yüklenir AB. Alınan puan İLE bir çizgiyle bir noktaya bağlı A. Ortaya çıkan çizgiye bir segment çizilir Güneş nokta ile biten D. Çizgi segmenti reklam doğrudan aktarıldı AB. Ortaya çıkan nokta e bir segmenti böler AB altın oran oranında.

Altın oranın dilimleri sonsuz irrasyonel kesir olarak ifade edilir A.E.= 0,618..., eğer AB biri olarak al OLMAK= 0,382... Pratik amaçlar için sıklıkla yaklaşık 0,62 ve 0,38 değerleri kullanılır. Segment ise AB 100 parça olarak alınırsa parçanın büyük kısmı 62, küçük kısmı ise 38 parça olur.

Altın oranın özellikleri aşağıdaki denklemle açıklanmaktadır:

x2 - x - 1 = 0.

Bu denklemin çözümü:

İkinci altın oran

Bulgar dergisi "Anavatan" (No. 10, 1983), Tsvetan Tsekov-Karandash'ın ana bölümden devam eden ve 44: 56'lık başka bir oran veren "İkinci altın bölüm hakkında" bir makalesini yayınladı.

Bu oran mimaride bulunur ve aynı zamanda uzun yatay formatta görüntü kompozisyonları oluştururken de ortaya çıkar.

Bölme şu şekilde gerçekleştirilir. Çizgi segmenti AB altın orana göre bölünür. noktadan İLE dikey geri getirildi CD. Yarıçap AB bir nokta var D bir çizgiyle bir noktaya bağlanan A. Dik açı AKD yarıya bölünür. noktadan İLEçizgiyle kesişene kadar bir çizgi çizilir reklam. Nokta e bir segmenti böler reklam 56:44 ile ilgili olarak.

Şekilde ikinci altın oran çizgisinin konumu gösterilmektedir. Altın oran çizgisi ile dikdörtgenin orta çizgisinin ortasında yer alır.

altın Üçgen

Artan ve azalan serilerin altın oranının bölümlerini bulmak için şunu kullanabilirsiniz: beş köşeli yıldız.

Bir pentagram oluşturmak için normal bir beşgen inşa etmeniz gerekir. Yapım metodu Alman ressam ve grafik sanatçısı Albrecht Dürer (1471...1528) tarafından geliştirilmiştir. İzin vermek Ö- dairenin merkezi, A- bir daire üzerinde bir nokta ve e- segmentin ortası OA. Yarıçapa dik OA, noktada geri yüklendi HAKKINDA, çemberi bir noktada kesiyor D. Bir pusula kullanarak çapın üzerine bir parça çizin C.E. = ED. Bir daire içine yazılan düzgün beşgenin kenar uzunluğu DC. Segmentleri daireye yerleştirin DC ve düzgün bir beşgen çizmek için beş puan alıyoruz. Beşgenin köşelerini köşegenlerle birbirine bağlayıp bir pentagram elde ediyoruz. Beşgenin tüm köşegenleri birbirini altın oranla birbirine bağlanan parçalara böler.

Beşgen yıldızın her bir ucu altın bir üçgeni temsil ediyor. Kenarları tepede 36° açı oluşturur ve yan tarafa yatırılan taban onu altın oran oranında böler.

Doğrudan gerçekleştiriyoruz AB. noktadan A ortaya çıkan noktadan geçerek üzerine üç kez rastgele boyutta bir O segmenti çiziyoruz Rçizgiye dik bir çizgi çizin AB, noktanın sağında ve solunda dik olarak R bölümleri bir kenara bırakın HAKKINDA. Alınan puanlar D Ve d1 düz çizgilerle bir noktaya bağlayın A. Çizgi segmenti dd1 hatta koymak Reklam1, bir puan almak İLE. Çizgiyi böldü Reklam1 altın oranla orantılıdır. çizgiler Reklam1 Ve dd1“altın” bir dikdörtgen oluşturmak için kullanılır.

Fibonacci serisi

Daha çok Fibonacci (Bonacci'nin oğlu) olarak bilinen İtalyan matematikçi keşiş Pisa Leonardo'nun adı, altın oranın tarihiyle dolaylı olarak bağlantılıdır. Doğu'da çok seyahat etti, Avrupa'yı Hint (Arap) rakamlarıyla tanıştırdı. 1202 yılında o dönemde bilinen tüm problemleri bir araya toplayan matematik çalışması “Abaküs Kitabı” (sayma tahtası) yayımlandı. Sorunlardan biri şöyle: "Bir çiftten bir yılda kaç çift tavşan doğacak?" Fibonacci bu konuyu düşünerek aşağıdaki sayı dizisini oluşturdu:

Aylar

vesaire.

Tavşan çiftleri

vesaire.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 vb. sayılardan oluşan bir dizi. Fibonacci serisi olarak bilinir. Sayı dizisinin özelliği, üçüncüden başlayarak üyelerinin her birinin önceki iki 2 + 3 = 5'in toplamına eşit olmasıdır; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 vb. ve serideki komşu sayıların oranı altın bölümün oranına yaklaşır. Yani 21:34 = 0,617 ve 34:55 = 0,618. Bu oran F sembolüyle gösterilir. Yalnızca bu oran - 0,618: 0,382 - daha küçük parça daha büyük olanla şu şekilde ilişkili olduğunda, bir düz çizgi parçasının altın oranda sürekli bölünmesini verir, onu arttırır veya sonsuza kadar azaltır. daha büyük olan her şeye karşılık gelir.

Fibonacci ayrıca ticaretin pratik ihtiyaçlarını da ele aldı: Bir ürünü tartmak için kullanılabilecek en küçük ağırlık sayısı nedir? Fibonacci optimal ağırlık sisteminin 1, 2, 4, 8, 16 olduğunu kanıtlıyor.

Fibonacci serisi yalnızca matematiksel bir olay olarak kalabilirdi; eğer bitki ve hayvanlar dünyasındaki altın bölümü araştıran tüm araştırmacıların, sanattan bahsetmeye bile gerek yok, bu seriyi her zaman altın kanunun aritmetik bir ifadesi olarak görmeleri olmasaydı. bölüm.

Bilim adamları Fibonacci sayıları ve altın oran teorisini aktif olarak geliştirmeye devam ettiler. Yu Matiyasevich, Hilbert'in 10. problemini Fibonacci sayılarını kullanarak çözüyor. Fibonacci sayılarını ve altın oranı kullanarak bir dizi sibernetik problemi (arama teorisi, oyunlar, programlama) çözmek için zarif yöntemler ortaya çıkıyor. ABD'de 1963'ten beri özel bir dergi yayınlayan Matematiksel Fibonacci Derneği bile oluşturuluyor.

Doğada altın bölümlerin ve türevlerinin varlığını doğrulayan gerçekler Belaruslu bilim adamı E.M. Soroko “Sistemlerin Yapısal Uyumu” kitabında (Minsk, “Bilim ve Teknoloji”, 1984). Örneğin, iyi çalışılmış ikili alaşımların, yalnızca orijinal bileşenlerin özgül ağırlıklarının birbiriyle ilişkili olması durumunda özel, belirgin işlevsel özelliklere (termal kararlı, sert, aşınmaya dayanıklı, oksidasyona dirençli vb.) sahip olduğu ortaya çıktı. altın oranlardan biriyle. Bu, yazarın, altın oranların kendi kendini organize eden sistemler için sayısal sabitler olduğu hipotezini öne sürmesine olanak sağladı. Deneysel olarak doğrulanan bu hipotez, kendi kendini organize eden sistemlerdeki süreçleri inceleyen yeni bir bilim alanı olan sinerjetiğin gelişimi için temel öneme sahip olabilir.

Doğada oluşum ilkeleri

Bir biçim alan her şey oluşmuş, büyümüş, uzayda yer edinmeye, kendini korumaya çabalamıştır. Bu arzu esas olarak iki seçenekte gerçekleştirilir: yukarıya doğru büyümek veya yeryüzüne yayılmak ve spiral şeklinde bükülmek.

Kabuk spiral şeklinde bükülür. Açtığınızda yılanın uzunluğundan biraz daha kısa bir uzunluk elde edersiniz. On santimetrelik küçük bir kabuğun 35 cm uzunluğunda bir spirali vardır Spiraller doğada çok yaygındır. Spiralden bahsetmeden altın oran fikri eksik kalacaktır.

Spiral kıvrımlı kabuğun şekli Arşimet'in dikkatini çekti. Bunu inceledi ve spiral için bir denklem buldu. Bu denkleme göre çizilen spiral onun adıyla anılmaktadır. Adımındaki artış her zaman aynıdır. Şu anda Arşimet spirali teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır.

Goethe ayrıca doğanın sarmallığa olan eğilimini de vurguladı. Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve spiral dizilişi uzun zaman önce fark edilmişti. Ayçiçeği tohumları, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb.'nin dizilişinde spiral görüldü. Botanikçiler ve matematikçilerin ortak çalışması bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu. Fibonacci serisinin daldaki yaprakların dizilişinde (filotaksis), ayçiçeği çekirdeğinde ve çam kozalağında kendini gösterdiği ve dolayısıyla altın oran yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek ağını spiral şeklinde örer. Kasırga spiral gibi dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü sarmal şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülmüştür. Goethe spirale "yaşam eğrisi" adını verdi.

Yol kenarındaki otlar arasında olağanüstü bir bitki yetişir - hindiba. Şimdi ona daha yakından bakalım. Ana gövdeden bir sürgün oluşmuştur. İlk yaprak tam oradaydı.

Pirinç. 12. Hindiba

Sürgün uzaya güçlü bir fırlatma yapar, durur, bir yaprak bırakır ama bu sefer ilkinden daha kısadır, yine uzaya fırlatır ama daha az kuvvetle daha da küçük boyutta bir yaprak bırakır ve tekrar fırlatılır. . İlk emisyon 100 birim alınırsa ikincisi 62 birime, üçüncüsü 38, dördüncüsü 24 vb. Yaprakların uzunluğu da altın orana tabidir. Bitki büyürken ve alanı fethederken belirli oranları korudu. Büyüme dürtüleri altın oranla orantılı olarak giderek azaldı.

Pirinç. 13.Canlı kertenkele

İlk bakışta kertenkele gözümüze hoş gelen oranlara sahiptir; kuyruğunun uzunluğu vücudun geri kalan kısmının uzunluğuyla 62 ila 38 arasında ilişkilidir.

Hem bitki hem de hayvan dünyasında, doğanın biçimlendirici eğilimi, büyüme ve hareket yönüne ilişkin simetriyi sürekli olarak kırar. Burada altın oran, büyüme yönüne dik olan parçaların oranlarında ortaya çıkar.

Doğa simetrik parçalara ve altın oranlara bölme işlemi gerçekleştirmiştir. Parçalar bütünün yapısının tekrarını ortaya koyar.

Pirinç. 14. kuş yumurtası

Bir şair, doğa bilimci ve sanatçı olan büyük Goethe (suluboyayla çizdi ve resim yaptı), organik cisimlerin biçimi, oluşumu ve dönüşümüne ilişkin birleşik bir doktrin yaratmayı hayal etti. Morfoloji terimini bilimsel kullanıma sokan oydu.

Pierre Curie bu yüzyılın başında simetriyle ilgili bir dizi derin fikir formüle etti. Çevrenin simetrisi dikkate alınmadan herhangi bir cismin simetrisinin dikkate alınamayacağını savundu.

"Altın" simetri yasaları, temel parçacıkların enerji geçişlerinde, bazı kimyasal bileşiklerin yapısında, gezegensel ve kozmik sistemlerde, canlı organizmaların gen yapılarında kendini gösterir. Bu modeller, yukarıda belirtildiği gibi, bireysel insan organlarının ve bir bütün olarak vücudun yapısında bulunur ve aynı zamanda beynin bioritimlerinde ve işleyişinde ve görsel algıda da kendini gösterir.

Altın oran ve simetri

Altın oran, simetriyle bağlantısız olarak tek başına ele alınamaz. Büyük Rus kristalograf G.V. Wulf (1863...1925), altın oranın simetrinin tezahürlerinden biri olduğunu düşünüyordu.

Altın bölüm asimetrinin bir tezahürü değil, simetriye zıt bir şey.Modern fikirlere göre altın bölüm asimetrik simetridir. Simetri bilimi aşağıdaki gibi kavramları içerir: statik Ve dinamik simetri. Statik simetri barış ve dengeyi karakterize ederken, dinamik simetri ise hareketi ve büyümeyi karakterize eder. Dolayısıyla doğada statik simetri kristallerin yapısıyla temsil edilirken sanatta huzuru, dengeyi ve hareketsizliği karakterize eder. Dinamik simetri aktiviteyi ifade eder, hareketi, gelişimi, ritmi karakterize eder, yaşamın kanıtıdır. Statik simetri, eşit bölümler ve eşit değerlerle karakterize edilir. Dinamik simetri, segmentlerin artması veya azalmasıyla karakterize edilir ve altın bölümün değerleriyle ifade edilir.

Gözlemleyin ve uygulayın

Altın oran ilkesini anlamak ve kullanmak, bazı elitlerin payına düşmemelidir - bu, sonsuz derecede karmaşık uyum ve orantılılık yasalarının başladığı en temel bilgidir. Bu yasaların günlük yaşamda anlamlı şekilde uygulanmasının hiçbir sınırı yoktur. Bütünle ilişkili olarak ana ve ikincilin tanımlanması her şeyi ilgilendirebilir. Bu, kişinin zamanının dağılımını ve her türlü sanat, edebiyat, müzik dahil olmak üzere her türlü yaratıcı süreci ve kişinin herhangi bir süreç ve olguya karşı kendi tutumunun oluşumunu içerir. Bu eskilerin bahsettiği Altın orta yoldur.

Her sanatçı, her yönetmen, her reklam uzmanı, bir görüntünün göze hoş gelmesini, onu uyum ve psikoloji yasalarına göre nasıl inşa edeceğini bilir. insan algısı. Bazen kültürün en kötü düşmanları, Doğa yasalarının bilgisini kullanarak önemli zaferler elde ederler. Bu nedenle, hoş ve sevimli bir şey kisvesi altında, çoğu zaman en güçlü zehirlerin kalplerimize girmesine izin veririz. İnsanlar özgürlükten o kadar çok bahsederken, kendileri gönüllü olarak zehirlenirken, daha sonra hastalıklarının ve talihsizliklerinin nereden geldiğini merak ediyorlar.

Cehalet içinde özgürlük olamaz. Pürüzlülük ve ayrım gözetmeyen tatların üstesinden gelinmelidir. Bu durum bireyleri, toplulukları ve devletleri ilgilendirsin.

R. Annenkov tarafından derlenmiştir.

İnsan etrafındaki nesneleri şekillerine göre ayırt eder. Bir nesnenin şekline olan ilgi yaşamsal bir zorunluluktan kaynaklanabileceği gibi, şeklin güzelliğinden de kaynaklanabilir. Yapımı simetri ve altın oranın birleşimine dayanan form, en iyi görsel algıya, güzellik ve uyum duygusunun ortaya çıkmasına katkıda bulunur. Bütün her zaman parçalardan oluşur, farklı boyutlardaki parçalar birbirleriyle ve bütünle belli bir ilişki içindedir. Altın oran prensibi sanatta, bilimde, teknolojide ve doğada bütünün ve parçalarının yapısal ve işlevsel mükemmelliğinin en yüksek tezahürüdür.

Altın oran - harmonik oran

Matematikte oran(lat. orantı) iki ilişkinin eşitliğini çağırın: A : B = C : D.

Düz segment AB aşağıdaki şekillerde iki kısma ayrılabilir:

iki eşit parçaya - AB : AC = AB : Güneş;

herhangi bir açıdan iki eşit olmayan parçaya bölünür (bu tür parçalar oran oluşturmaz);

böylece, ne zaman AB : AC = AC : Güneş.

İkincisi, bir segmentin aşırı ve ortalama orandaki altın bölümü veya bölümüdür.

A : B = B : C veya İle : B = B : A.

Pirinç. 1. Geometrik resim altın Oran

Altın orana pratik olarak aşina olmak, bir pergel ve cetvel kullanarak düz bir çizgi parçasını altın orana bölmekle başlar.

Pirinç. 2. Altın oranı kullanarak bir doğru parçasını bölmek. M.Ö. = 1/2 AB; CD = M.Ö.

Altın oranın özellikleri aşağıdaki denklemle açıklanmaktadır:

X 2 - X - 1 = 0.

Bu denklemin çözümü:

Altın oranın özellikleri, bu sayı etrafında romantik bir gizem ve neredeyse mistik bir tapınma havası yaratmıştır.

İkinci altın oran

Bulgar dergisi "Anavatan" (No. 10, 1983), Tsvetan Tsekov-Karandash'ın ana bölümden devam eden ve 44: 56'lık başka bir oran veren "İkinci altın bölüm hakkında" bir makalesini yayınladı.

Bu oran mimaride bulunur ve aynı zamanda uzun yatay formatta görüntü kompozisyonları oluştururken de ortaya çıkar.

Pirinç. 3.İkinci altın oranın inşası

Bölme aşağıdaki gibi gerçekleştirilir (bkz. Şekil 3). Çizgi segmenti AB altın orana göre bölünür. noktadan İLE dikey geri getirildi CD. Yarıçap AB bir nokta var D bir çizgiyle bir noktaya bağlanan A. Dik açı AKD yarıya bölünür. noktadan İLEçizgiyle kesişene kadar bir çizgi çizilir reklam. Nokta e bir segmenti böler reklam 56:44 ile ilgili olarak.

Pirinç. 4. Bir dikdörtgenin ikinci altın oran çizgisiyle bölünmesi

İncirde. Şekil 4'te ikinci altın oran çizgisinin konumu gösterilmektedir. Altın oran çizgisi ile dikdörtgenin orta çizgisinin ortasında yer alır.

altın Üçgen

Artan ve azalan serilerin altın oranının bölümlerini bulmak için şunu kullanabilirsiniz: beş köşeli yıldız.

Pirinç. 5. Düzenli bir beşgen ve beşgen inşaatı

Beşgen yıldızın her bir ucu altın bir üçgeni temsil ediyor. Kenarları tepede 36° açı oluşturur ve yan tarafa yatırılan taban onu altın oran oranında böler.

Pirinç. 6. Altın üçgenin inşaatı

Doğrudan gerçekleştiriyoruz AB. noktadan Aüzerine üç kez bir parça yerleştirin HAKKINDA ortaya çıkan nokta boyunca keyfi değer Rçizgiye dik bir çizgi çizin AB, noktanın sağında ve solunda dik olarak R bölümleri bir kenara bırakın HAKKINDA. Alınan puanlar D Ve D 1 düz çizgilerle bir noktaya bağlayın A. Çizgi segmenti gg 1'i hatta koy Reklam 1, puan almak İLE. Çizgiyi böldü Reklam Altın oranla orantılı olarak 1. çizgiler Reklam 1 ve gg 1 “altın” bir dikdörtgen oluşturmak için kullanılır.

Altın oranın tarihi

Pirinç. 7. Dinamik dikdörtgenler

Platon (MÖ 427...347) da altın bölümü biliyordu. Onun diyalogu "Timaeus", Pisagor okulunun matematiksel ve estetik görüşlerine ve özellikle de altın bölüm konularına ayrılmıştır.

Pirinç. 8. Antika pusula altın Oran

Bize kadar ulaşan antik literatürde altın bölümden ilk kez Öklid'in Elementler kitabında bahsedilmiştir. “İlkeler”in 2. kitabında altın bölümün geometrik yapısı verilmektedir.Öklid'den sonra altın bölümün incelenmesi Hypsicles (M.Ö. 2. yüzyıl), Pappus (MS III. yüzyıl) ve diğerleri tarafından gerçekleştirilmiştir. Ortaçağ Avrupa'sında altın bölümle Öklid'in Elementler kitabının Arapça çevirileri sayesinde tanıştık. Navarre'dan (III. yüzyıl) çevirmen J. Campano, çeviri hakkında yorumlarda bulundu. Altın bölümün sırları kıskançlıkla korundu ve sıkı bir gizlilik içinde tutuldu. Sadece inisiyeler tarafından biliniyorlardı.

Rönesans döneminde, hem geometride hem de sanatta, özellikle de mimaride kullanılması nedeniyle, bilim adamları ve sanatçılar arasında altın bölünmeye olan ilgi arttı.Bir sanatçı ve bilim adamı olan Leonardo da Vinci, İtalyan sanatçıların çok fazla ampirik deneyime sahip olduğunu ancak çok az olduğunu gördü. bilgi. Geometri üzerine bir kitap tasarladı ve yazmaya başladı, ancak o sırada keşiş Luca Pacioli'nin bir kitabı ortaya çıktı ve Leonardo bu fikrinden vazgeçti. Çağdaşlara ve bilim tarihçilerine göre Luca Pacioli, Fibonacci ile Galileo arasındaki dönemde İtalya'nın en büyük matematikçisi olan gerçek bir aydındı. Luca Pacioli, biri "Resimde Perspektif Üzerine" olmak üzere iki kitap yazan sanatçı Piero della Franceschi'nin öğrencisiydi. Tanımlayıcı geometrinin yaratıcısı olarak kabul edilir.

Aynı dönemde Avrupa'nın kuzeyinde, Almanya'da Albrecht Dürer de aynı sorunlar üzerinde çalışıyordu. Oranlar üzerine incelemenin ilk versiyonunun girişini çiziyor. Dürer yazıyor. “Bir şeyin nasıl yapılacağını bilen birinin, ihtiyacı olanlara öğretmesi lâzımdır. Bunu yapmak için yola çıktım.”

Altın oranın bir dizi bölümünün inşası hem artış yönünde (artan seri) hem de azalma yönünde (azalan seri) yapılabilir.

Pirinç. 9. Altın oranlı segmentlerden oluşan bir ölçeğin oluşturulması

Sonraki yüzyıllarda altın oran kuralı akademik bir kanona dönüştü ve zamanla sanatta akademik rutine karşı mücadele başladığında, mücadelenin hararetinde "bebeği banyo suyuyla birlikte dışarı attılar." Altın oran 19. yüzyılın ortalarında yeniden “keşfedildi”. 1855 yılında Alman altın oran araştırmacısı Profesör Zeising, “Estetik Çalışmalar” adlı eserini yayımladı. Zeising'in başına gelen şey, bir fenomeni diğer fenomenlerle bağlantısı olmadan bu şekilde ele alan bir araştırmacının başına kaçınılmaz olarak gelmesi gereken şeydi. Altın oranın oranını mutlaklaştırdı ve bunun tüm doğa ve sanat olguları için evrensel olduğunu ilan etti. Zeising'in çok sayıda takipçisi vardı ama onun oranlar öğretisinin "matematiksel estetik" olduğunu ilan eden muhalifler de vardı.

Pirinç. 10.İnsan vücudunun bazı kısımlarındaki altın oranlar

Zeising muazzam bir iş çıkardı. Yaklaşık iki bin insan vücudunu ölçtü ve altın oranın ortalama istatistik yasasını ifade ettiği sonucuna vardı. Vücudun göbek noktasına göre bölünmesi altın oranın en önemli göstergesidir. Erkek bedeninin oranları ortalama 13: 8 = 1,625 oranında dalgalanır ve kadın bedeninin oranlarına göre altın orana biraz daha yakındır, buna göre oranın ortalama değeri 8 oranıyla ifade edilir: 5 = 1,6. Yeni doğmuş bir bebekte bu oran 1:1, 13 yaşında 1,6, 21 yaşında ise erkeğinkine eşittir. Altın oranın oranları aynı zamanda vücudun diğer kısımlarına (omuzun uzunluğu, ön kol ve el, el ve parmaklar vb.) göre de ortaya çıkar.

Pirinç. on bir.İnsan figüründe altın oranlar

19. yüzyılın sonu - 20. yüzyılın başı. Altın oranın sanat ve mimari eserlerde kullanımına ilişkin pek çok tamamen biçimci teori ortaya çıktı. Tasarım ve teknik estetiğin gelişmesiyle birlikte altın oran kanunu otomobil, mobilya vb. tasarımına da yayıldı.

Fibonacci serisi

Daha çok Fibonacci (Bonacci'nin oğlu) olarak bilinen İtalyan matematikçi keşiş Pisa Leonardo'nun adı, altın oranın tarihiyle dolaylı olarak bağlantılıdır. Doğu'da çok seyahat etti, Avrupa'yı Hint (Arap) rakamlarıyla tanıştırdı. 1202 yılında o dönemde bilinen tüm problemleri bir araya toplayan matematik çalışması “Abaküs Kitabı” (sayma tahtası) yayımlandı. Problemlerden birinde “Bir çiftten bir yılda kaç çift tavşan doğar?” yazıyordu. Fibonacci bu konuyu düşünerek aşağıdaki sayı dizisini oluşturdu:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 vb. sayılardan oluşan bir dizi. Fibonacci serisi olarak bilinir. Sayı dizisinin özelliği, üçüncüden başlayarak üyelerinin her birinin önceki iki 2 + 3 = 5'in toplamına eşit olmasıdır; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 vb. ve serideki komşu sayıların oranı altın bölümün oranına yaklaşır. Yani 21:34 = 0,617 ve 34:55 = 0,618. Bu ilişki sembolü ile gösterilir F. Yalnızca bu oran - 0,618: 0,382 - bir düz çizgi parçasının, daha büyük olanın bütünle olduğu gibi, daha küçük olan daha büyük olanla da ilişkili olduğunda, onu sonsuza kadar artırarak veya azaltarak, altın oranda sürekli bir bölünme sağlar.

Genelleştirilmiş altın oran

Bu alandaki başarılardan biri genelleştirilmiş Fibonacci sayılarının ve genelleştirilmiş altın oranların keşfidir.

Fibonacci serisi (1, 1, 2, 3, 5, 8) ile onun keşfettiği "ikili" ağırlık serileri 1, 2, 4, 8, 16... ilk bakışta tamamen farklıdır. Ancak bunların yapımına yönelik algoritmalar birbirine çok benzer: ilk durumda, her sayı bir önceki sayının kendisi 2 = 1 + 1 olan toplamıdır; 4 = 2 + 2..., ikincisinde - bu önceki iki sayının toplamıdır 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Bir genel bulmak mümkün mü “İkili seriler ve Fibonacci serileri”ni elde ettiğimiz matematiksel formül? Ya da belki bu formül bize bazı yeni benzersiz özelliklere sahip yeni sayısal kümeler verecektir?

Aslında sayısal parametreyi ayarlayalım S, herhangi bir değeri alabilen: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Bir sayı serisi düşünün, S Birim olan ve sonrakilerin her biri bir öncekinin iki teriminin toplamına eşit olan ve bir öncekinden şu şekilde ayrılan ilk terimlerin +1'i S adımlar. Eğer N Bu serinin üçüncü terimini φ S ( N), sonra φ S ( genel formülünü elde ederiz. N) = φ S ( N- 1) + φ S ( N - S - 1).

Açıkça görülüyor ki ne zaman S= 0 bu formülden "ikili" bir seri elde ederiz; S= 1 - Fibonacci serisi, S= 2, 3, 4. adı verilen yeni sayı serileri S-Fibonacci sayıları.

İÇİNDE Genel görünüm altın S-orantı altın denklemin pozitif köküdür S-bölümler x S+1 - x S - 1 = 0.

Bunu ne zaman göstermek kolaydır S= 0, segment ikiye bölünür ve ne zaman S= 1 - tanıdık klasik altın oran.

Komşular arasındaki ilişkiler S- Fibonacci sayıları altın sınırında mutlak matematiksel doğrulukla örtüşmektedir S-oranlar! Bu gibi durumlarda matematikçiler altının S-bölümler sayısal değişmezlerdir S-Fibonacci sayıları.

Altının varlığını doğrulayan gerçekler S-doğadaki bölümler, Belaruslu bilim adamı E.M. Soroko “Sistemlerin Yapısal Uyumu” kitabında (Minsk, “Bilim ve Teknoloji”, 1984). Örneğin, iyi çalışılmış ikili alaşımların, yalnızca orijinal bileşenlerin özgül ağırlıklarının birbiriyle ilişkili olması durumunda özel, belirgin işlevsel özelliklere (termal kararlı, sert, aşınmaya dayanıklı, oksidasyona dirençli vb.) sahip olduğu ortaya çıktı. altın biri tarafından S-oranlar. Bu, yazarın altının olduğu hipotezini öne sürmesine olanak sağladı. S-bölümler kendi kendini organize eden sistemlerin sayısal değişmezleridir. Deneysel olarak doğrulandıktan sonra bu hipotez, kendi kendini organize eden sistemlerdeki süreçleri inceleyen yeni bir bilim alanı olan sinerjetiğin gelişimi için temel öneme sahip olabilir.

Altın kodları kullanma S- Oranlar herhangi bir gerçek sayı ile altının kuvvetlerinin toplamı olarak ifade edilebilir. S-tamsayı katsayılı oranlar.

Sayıları kodlamanın bu yöntemi arasındaki temel fark, yeni kodların tabanlarının altın renginde olmasıdır. S-oranlar, ile S> 0'ın irrasyonel sayılar olduğu ortaya çıkar. Böylece, irrasyonel temellere sahip yeni sayı sistemleri, rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki tarihsel olarak kurulmuş ilişkiler hiyerarşisini "tepeden tırnağa" yerleştiriyor gibi görünüyor. Gerçek şu ki, ilk kez doğal sayılar “keşfedildi”; bu durumda oranları rasyonel sayılardır. Ve ancak daha sonra - Pisagorcular tarafından kıyaslanamaz bölümlerin keşfedilmesinden sonra - irrasyonel sayılar doğdu. Örneğin, ondalık, beşli, ikili ve diğer klasik konumsal sayı sistemlerinde, doğal sayılar bir tür temel prensip olarak seçilmiştir - 10, 5, 2 - ve belirli kurallara göre diğer tüm doğal sayılar ve rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar oluşturuldu.

Mevcut gösterim yöntemlerine bir tür alternatif, temel prensip olarak başlangıcı irrasyonel bir sayı olan (hatırlayın, altın oran denkleminin kökü olan) yeni, irrasyonel bir sistemdir; diğer gerçek sayılar zaten onun aracılığıyla ifade ediliyor.

Böyle bir sayı sisteminde, herhangi bir doğal sayı her zaman sonlu olarak temsil edilebilir - önceden düşünüldüğü gibi sonsuz değil! - herhangi bir altının derecelerinin toplamı S-oranlar. Şaşırtıcı matematiksel basitliğe ve zarafete sahip olan "irrasyonel" aritmetiğin, özümsenmiş gibi görünmesinin nedenlerinden biri de budur. en iyi nitelikler klasik ikili ve Fibonacci aritmetiği.

Doğada oluşum ilkeleri

Pirinç. 12. Arşimet sarmalı

Yol kenarındaki otlar arasında olağanüstü bir bitki yetişir - hindiba. Şimdi ona daha yakından bakalım. Ana gövdeden bir sürgün oluşmuştur. İlk yaprak tam oradaydı.

Pirinç. 13. Hindiba

Pirinç. 14. Canlı kertenkele

İlk bakışta kertenkele gözümüze hoş gelen oranlara sahiptir; kuyruğunun uzunluğu vücudun geri kalan kısmının uzunluğuyla 62 ila 38 arasında ilişkilidir.

Doğa simetrik parçalara ve altın oranlara bölme işlemi gerçekleştirmiştir. Parçalar bütünün yapısının tekrarını ortaya koyar.

Pirinç. 15. kuş yumurtası

Altın oran ve simetri

Altın oran, simetriyle bağlantısız olarak tek başına ele alınamaz. Büyük Rus kristalograf G.V. Wulf (1863...1925), altın oranın simetrinin tezahürlerinden biri olduğunu düşünüyordu.

Altın bölüm asimetrinin bir tezahürü değil, simetriye zıt bir şey.Modern fikirlere göre altın bölüm asimetrik simetridir. Simetri bilimi aşağıdaki gibi kavramları içerir: statik Ve dinamik simetri. Statik simetri barış ve dengeyi karakterize ederken, dinamik simetri ise hareketi ve büyümeyi karakterize eder. Dolayısıyla doğada statik simetri kristallerin yapısıyla temsil edilirken sanatta huzuru, dengeyi ve hareketsizliği karakterize eder. Dinamik simetri aktiviteyi ifade eder, hareketi, gelişimi, ritmi karakterize eder, yaşamın kanıtıdır. Statik simetri, eşit bölümler ve eşit değerlerle karakterize edilir. Dinamik simetri, segmentlerdeki bir artış veya bunların azalması ile karakterize edilir ve artan veya azalan bir serinin altın bölümünün değerleriyle ifade edilir.

Dinamik dikdörtgenler

Platon (MÖ 427...347) da altın bölümü biliyordu. Onun diyalogu "Timaeus", Pisagor okulunun matematiksel ve estetik görüşlerine ve özellikle de altın bölüm konularına ayrılmıştır.

Antik altın oran pusulası

Aynı dönemde Avrupa'nın kuzeyinde, Almanya'da Albrecht Dürer de aynı sorunlar üzerinde çalışıyordu. Oranlar üzerine incelemenin ilk versiyonunun girişini çiziyor. Dürer yazıyor. “Bir şeyin nasıl yapılacağını bilen birinin, ihtiyacı olanlara öğretmesi lâzımdır. Bunu yapmak için yola çıktım.”

Altın oranın bir dizi bölümünün inşası hem artış yönünde (artan seri) hem de azalma yönünde (azalan seri) yapılabilir.

Altın oranlı segmentlerden oluşan bir ölçeğin oluşturulması

Antik çağlardan beri insanlar, güzellik ve uyum gibi anlaşılması zor şeylerin herhangi bir matematiksel hesaplamaya tabi olup olmadığı sorusuyla ilgilenmişlerdir. Elbette güzelliğin tüm kanunları birkaç formüle sığdırılamaz, ancak matematik çalışarak güzelliğin bazı bileşenlerini, yani altın oranı keşfedebiliriz. Bizim görevimiz altın oranın ne olduğunu bulmak ve insanlığın altın oranın kullanımını nerede bulduğunu tespit etmektir.

Muhtemelen çevredeki gerçekliğin nesnelerine ve olaylarına farklı davrandığımızı fark etmişsinizdir. Olmak H nezaket falan H Biçimsellik ve orantısızlık bizim tarafımızdan çirkin olarak algılanır ve itici bir izlenim yaratır. Oran, uygunluk ve uyumla karakterize edilen nesneler ve olaylar güzel olarak algılanır ve içimizde hayranlık, neşe duygusu uyandırır, moralimizi yükseltir.

Kişi, faaliyetlerinde sürekli olarak altın orana dayalı nesnelerle karşılaşır. Açıklanamayan şeyler var. Yani boş bir banka gelip oturuyorsunuz. Nereye oturacaksın? Ortada? Ya da belki en uçtan? Hayır, büyük olasılıkla ne biri ne de diğeri. Bankın bir kısmının vücudunuza göre diğer kısmının oranı yaklaşık 1,62 olacak şekilde oturacaksınız. Basit bir şey, tamamen içgüdüsel... Bir bankta oturarak “altın oranı” yeniden ürettiniz.

Altın oran eski Mısır ve Babil'de, Hindistan ve Çin'de biliniyordu. Büyük Pisagor eğitim gördüğü gizli bir okul kurdu mistik öz"altın Oran". Öklid bunu geometrisini ve Phidias'ı - ölümsüz heykellerini yaratırken kullandı. Platon, Evrenin “altın orana” göre düzenlendiğini söylemiştir. Aristoteles “altın oran” ile etik yasa arasında bir benzerlik buldu. “Altın oran”ın en yüksek uyumu Leonardo da Vinci ve Michelangelo tarafından vaaz edilecektir çünkü güzellik ve “altın oran” aynı şeydir. Ve Hıristiyan mistikler Şeytan'dan kaçarak manastırlarının duvarlarına "altın oran" pentagramlarını çizecekler. Aynı zamanda Pacioli'den Einstein'a kadar bilim adamları onu arayacak ama asla bulamayacaklar. Kesin değer. Olmak H virgülden sonraki son satır 1.6180339887'dir... Tuhaf, gizemli, açıklanamaz bir şey - bu ilahi oran, tüm canlılara mistik bir şekilde eşlik eder. Cansız doğa “altın oranın” ne olduğunu bilmiyor. Ancak bu oranı deniz kabuklarının kıvrımlarında, çiçeklerin şeklinde, böceklerin görünümünde ve güzel insan vücudunda mutlaka göreceksiniz. Canlı ve güzel olan her şey, adı “altın oran” olan ilahi kanuna uyar. Peki “altın oran” nedir? Bu mükemmel, ilahi kombinasyon nedir? Belki bu güzelliğin kanunudur? Yoksa hâlâ mistik bir sır mı? Bilimsel olgu mu yoksa etik prensip mi? Cevap hala bilinmiyor. Daha doğrusu - hayır, biliniyor. “Altın Oran” her ikisidir. Sadece ayrı ayrı değil, aynı anda... Ve bu onun gerçek gizemi, onun büyük sırrıdır.

Güzelliğin objektif bir değerlendirmesi için güvenilir bir ölçü bulmak muhtemelen zordur ve mantık tek başına bunu başaramaz. Ancak güzellik arayışını hayatın anlamı haline getiren, bunu meslek haline getirenlerin deneyimi burada yardımcı olacaktır. Bunlar her şeyden önce bizim dediğimiz gibi sanat insanlarıdır: sanatçılar, mimarlar, heykeltıraşlar, müzisyenler, yazarlar. Ancak bunlar aynı zamanda kesin bilimlerden de insanlar, özellikle de matematikçiler.

Göze diğer duyu organlarından daha çok güvenen insan, ilk olarak etrafındaki nesneleri şekillerine göre ayırt etmeyi öğrendi. Bir nesnenin şekline olan ilgi yaşamsal bir zorunluluktan kaynaklanabileceği gibi, şeklin güzelliğinden de kaynaklanabilir. Simetri ve altın oranın birleşimine dayanan form, en iyi görsel algıya, güzellik ve uyum duygusunun ortaya çıkmasına katkıda bulunur. Bütün her zaman parçalardan oluşur, farklı boyutlardaki parçalar birbirleriyle ve bütünle belli bir ilişki içindedir. Altın oran prensibi sanatta, bilimde, teknolojide ve doğada bütünün ve parçalarının yapısal ve işlevsel mükemmelliğinin en yüksek tezahürüdür.

ALTIN ORAN - HARMONİK ORAN

Matematikte oran, iki oranın eşitliğidir:

Bir AB düz çizgi parçası aşağıdaki şekillerde iki parçaya bölünebilir:

iki eşit parçaya bölünür - AB:AC=AB:BC;
herhangi bir açıdan iki eşit olmayan parçaya bölünür (bu tür parçalar oran oluşturmaz);
dolayısıyla AB:AC=AC:BC olduğunda.

Sonuncusu altın bölümdür (bölüm).

Altın oran, bir parçanın eşit olmayan parçalara orantısal olarak bölünmesidir; burada büyük parçanın kendisi daha küçük olanla ilişkili olduğu gibi tüm parça da büyük parçayla ilişkilidir, başka bir deyişle, küçük parça büyük parçayla ilişkilidir. biri bütüne göre daha büyük olanıdır

a:b=b:c veya c:b=b:a.

Altın oranın geometrik görüntüsü

Altın orana pratik olarak aşina olmak, bir pergel ve cetvel kullanarak düz bir çizgi parçasını altın orana bölmekle başlar.

Altın oranı kullanarak bir doğru parçasını bölmek. BC=1/2AB; CD=BC

B noktasından AB'nin yarısına eşit bir dik geri getirilir. Ortaya çıkan C noktası bir çizgi ile A noktasına bağlanır. Ortaya çıkan çizgide, D noktasıyla biten bir BC segmenti döşenir. AD segmenti AB düz çizgisine aktarılır. Ortaya çıkan E noktası AB parçasını altın oranda böler.

Altın oranın dilimleri olmadan ifade edilir H son kesir AE=0,618..., eğer AB bir olarak alınırsa, BE=0,382... Pratik amaçlar için sıklıkla 0,62 ve 0,38'lik yaklaşık değerler kullanılır. AB doğru parçası 100 parça olarak alınırsa parçanın büyük kısmı 62, küçük kısmı ise 38 parça olur.

Altın oranın özellikleri aşağıdaki denklemle açıklanmaktadır:

Bu denklemin çözümü:

Altın oranın özellikleri, bu sayı etrafında romantik bir gizem havası ve neredeyse mistik bir nesil yaratmıştır. Örneğin, normal bir beş köşeli yıldızda, her parça kendisini kesen parçaya altın oran oranında bölünür (yani mavi parçanın yeşile, kırmızının maviye, yeşilin mora oranı 1,618'dir). .

İKİNCİ ALTIN ORAN

Bu oran mimaride bulunur.

İkinci altın oranın inşası

Bölme şu şekilde gerçekleştirilir. AB segmenti altın oranla orantılı olarak bölünür. C noktasından dikey bir CD geri yüklenir. AB yarıçapı, bir çizgi ile A noktasına bağlanan D noktasıdır. ACD dik açısı ikiye bölünür. C noktasından AD çizgisinin kesişimine kadar bir çizgi çizilir. E noktası AD parçasını 56:44 oranında bölüyor.

Bir dikdörtgenin ikinci altın oran çizgisiyle bölünmesi

Şekilde ikinci altın oran çizgisinin konumu gösterilmektedir. Altın oran çizgisi ile dikdörtgenin orta çizgisinin ortasında yer alır.

ALTIN ÜÇGEN (pentagram)

Artan ve azalan serilerin altın oranının bölümlerini bulmak için pentagramı kullanabilirsiniz.

Düzenli bir beşgen ve beşgen inşaatı

Bir pentagram oluşturmak için normal bir beşgen inşa etmeniz gerekir. Yapım yöntemi Alman ressam ve grafik sanatçısı Albrecht Dürer tarafından geliştirildi. O çemberin merkezi, A çember üzerinde bir nokta ve E OA doğru parçasının orta noktası olsun. O noktasında düzeltilen OA yarıçapına dik, D noktasındaki daireyle kesişir. Bir pusula kullanarak çap üzerine CE=ED parçasını çizin. Bir daire içine yazılan düzgün beşgenin kenar uzunluğu DC'ye eşittir. DC parçalarını dairenin üzerine çiziyoruz ve düzgün bir beşgen çizmek için beş puan alıyoruz. Beşgenin köşelerini köşegenlerle birbirine bağlayıp bir pentagram elde ediyoruz. Beşgenin tüm köşegenleri birbirini altın oranla birbirine bağlanan parçalara böler.

Beşgen yıldızın her bir ucu altın bir üçgeni temsil ediyor. Kenarları tepede 36 0 açı oluşturur ve yan tarafa döşenen taban onu altın oran oranında böler.

Düz AB çiziyoruz. A noktasından, üzerine üç kez isteğe bağlı boyutta bir O parçası koyuyoruz, ortaya çıkan P noktasından AB çizgisine dik bir çizgi çiziyoruz, P noktasının sağına ve soluna dik olarak O bölümlerini bırakıyoruz. elde edilen d ve d 1 noktalarını düz çizgilerle A noktasına bağlayın. dd 1 parçasını Ad 1 doğrusuna yerleştirip C noktasını elde ediyoruz. Ad 1 doğrusunu altın bölüm oranında böldü. Ad 1 ve dd 1 satırları "altın" bir dikdörtgen oluşturmak için kullanılır.

Altın üçgenin inşaatı

ALTIN ORANIN TARİHİ

Nitekim Tutankhamun'un mezarındaki Keops piramidinin, tapınakların, ev eşyalarının ve mücevherlerin oranları, Mısırlı ustaların bunları yaratırken altın bölümün oranlarını kullandıklarını gösteriyor. Fransız mimar Le Corbusier, Abydos'taki Firavun Seti I tapınağındaki rölyefte ve Firavun Ramses'i tasvir eden rölyefte figürlerin oranlarının altın bölümün değerlerine karşılık geldiğini tespit etti. Kendi adını taşıyan bir mezardaki ahşap bir tahta kabartmasında tasvir edilen mimar Khesira, elinde altın bölümün oranlarının kaydedildiği ölçü aletlerini tutmaktadır.

Dinamik dikdörtgenler

Platon da altın bölümü biliyordu. Pythagorasçı Timaeus, Platon'un aynı adlı diyaloğunda şöyle diyor: “İki şeyin bir üçüncüsü olmadan mükemmel bir şekilde birleşmesi imkansızdır, çünkü aralarında onları bir arada tutacak bir şeyin ortaya çıkması gerekir. Bu en iyi orantı ile başarılabilir, çünkü eğer üç sayı, ortalamanın küçüğe, büyüğün ortalamaya oranı varsa ve bunun tersine, küçük olanın ortalamaya oranı, ortalamanın büyüğüne eşitse, o zaman ikincisi ve ilki ortalama olacak ve ortalama - ilk ve son olacaktır. Böylece gerekli olan her şey aynı olacak ve aynı olacağı için bütünü oluşturacaktır.” Platon dünyevi dünyayı iki tür üçgen kullanarak inşa eder: ikizkenar ve ikizkenar olmayan. En güzel dik üçgenin, hipotenüsün bacaklardan iki kat daha büyük olduğu bir üçgen olduğunu düşünüyor (böyle bir dikdörtgen, Babillilerin temel eşkenar şeklinin yarısıdır, oranı 1: 3 1/'dir). Altın orandan yaklaşık 1/25 farklı olan 2'ye Timerding "altın oranın rakibi" adı verilmektedir. Platon üçgenleri kullanarak dört düzenli çokyüzlü oluşturur ve onları dört dünyevi elementle (toprak, su, hava ve ateş) ilişkilendirir. Ve mevcut beş düzenli çokyüzlüden yalnızca sonuncusu - on iki tanesi de düzenli beşgen olan dodecahedron, göksel dünyanın sembolik bir görüntüsü olduğunu iddia ediyor.

İKOSAHEDRON VE DODECAHEDRON

On iki yüzlüyü (ya da varsayıldığı gibi, Evrenin kendisini, sırasıyla tetrahedron, oktahedron, ikosahedron ve küp ile sembolize edilen dört elementin bu özeti) keşfetme onuru, daha sonra bir gemi kazasında ölen Hippasus'a aittir. Bu rakam aslında altın oranın pek çok ilişkisini yansıtıyor, dolayısıyla ikincisine göksel dünyada ana rol verildi ve Minorit kardeş Luca Pacioli'nin daha sonra ısrar ettiği şey buydu.

Antik altın oran pusulası

Bize kadar ulaşan antik literatürde altın bölümden ilk kez Öklid'in Elementler kitabında bahsedilmiştir. Elementler'in 2. kitabında altın bölümün geometrik yapısı verilmektedir. Öklid'den sonra altın bölüm çalışması Hypsikles (M.Ö. 2. yüzyıl), Pappus (MS 3. yüzyıl) ve diğerleri tarafından yürütülmüş, Orta Çağ Avrupa'sında altın bölümle tanışmaları Öklid'in Elementlerinin Arapça çevirileri sayesinde olmuştur. Navarre'dan (III. yüzyıl) çevirmen J. Campano, çeviri hakkında yorumlarda bulundu. Altın bölümün sırları kıskançlıkla korundu ve sıkı bir gizlilik içinde tutuldu. Sadece inisiyeler tarafından biliniyorlardı.

Orta Çağ'da pentagram şeytanlaştırıldı (aslında eski paganizmde ilahi kabul edilen pek çok şey gibi) ve okült bilimlere sığındı. Ancak Rönesans hem pentagramı hem de altın oranı yeniden gün ışığına çıkardı. Böylece hümanizmin kurulduğu dönemde insan vücudunun yapısını anlatan bir diyagram yaygınlaştı.

Leonardo da Vinci de defalarca böyle bir resme başvurdu, esasen bir pentagramı yeniden üretti. Onun yorumu: İnsan vücudu ilahi mükemmelliğe sahiptir, çünkü içindeki oranlar ana göksel figürdekiyle aynıdır. Bir sanatçı ve bilim adamı olan Leonardo da Vinci, İtalyan sanatçıların çok fazla ampirik deneyime sahip olduğunu ancak çok az bilgiye sahip olduğunu gördü. Geometri üzerine bir kitap tasarladı ve yazmaya başladı, ancak o sırada keşiş Luca Pacioli'nin bir kitabı ortaya çıktı ve Leonardo bu fikrinden vazgeçti. Çağdaşlara ve bilim tarihçilerine göre Luca Pacioli, Fibonacci ile Galileo arasındaki dönemde İtalya'nın en büyük matematikçisi olan gerçek bir aydındı. Luca Pacioli, biri "Resimde Perspektif Üzerine" olmak üzere iki kitap yazan sanatçı Piero della Franceschi'nin öğrencisiydi. Tanımlayıcı geometrinin yaratıcısı olarak kabul edilir.

Luca Pacioli bilimin sanat için önemini çok iyi anlamıştı.

1496'da Duke Moreau'nun daveti üzerine Milano'ya geldi ve burada matematik dersleri verdi. Leonardo da Vinci o dönemde Milano'da Moro sarayında da çalışıyordu. 1509'da Luca Pacioli'nin "İlahi Oran Üzerine" adlı kitabı (De divina orantı, 1497, 1509'da Venedik'te yayınlandı) Venedik'te zekice yapılmış resimlerle yayınlandı, bu yüzden bunların Leonardo da Vinci tarafından yapıldığına inanılıyor. Kitap altın orana coşkulu bir ilahiydi. Böyle bir oran vardır ve teklik Allah'ın en yüksek özelliğidir. Kutsal üçlüyü temsil eder. Bu oran ulaşılabilir bir sayıyla ifade edilememekte, gizli ve gizli kalmakta ve bizzat matematikçiler tarafından irrasyonel olarak adlandırılmaktadır (aynı şekilde Tanrı da kelimelerle tanımlanamaz ve açıklanamaz). Tanrı hiçbir zaman her şeydeki her şeyi ve her şeyi kendi parçalarının her birinde değiştirmez ve temsil etmez, bu nedenle sürekli ve belirli herhangi bir nicelik için (büyük veya küçük olmasına bakılmaksızın) altın oran aynıdır, ne değiştirilebilir ne de değiştirilebilir. sebep. Tanrı, onun yardımıyla ve diğer dört basit cisimle (dört element - toprak, su, hava, ateş) beşinci madde olarak adlandırılan göksel erdemi var etti ve bunlara dayanarak doğadaki diğer her şeyi var etti; yani Timaeus'taki Platon'a göre bizim kutsal oranımız, gökyüzüne biçimsel bir varlık verir, çünkü ona, altın oran olmadan inşa edilemeyen, dodecahedron adı verilen bir cismin görünümü atfedilir. Bunlar Pacioli'nin argümanları.

Leonardo da Vinci, altın bölümün çalışmasına da büyük önem verdi. Düzenli beşgenlerden oluşan stereometrik bir gövdenin bölümlerini yaptı ve her seferinde altın bölümdeki en boy oranlarına sahip dikdörtgenler elde etti. Bu nedenle bu bölüme altın oran adını vermiştir. Bu yüzden hala en popüler olanı olmaya devam ediyor.

Aynı dönemde Avrupa'nın kuzeyinde, Almanya'da Albrecht Dürer de aynı sorunlar üzerinde çalışıyordu. Oranlar üzerine incelemenin ilk versiyonunun girişini çiziyor. Dürer şöyle yazıyor: “Bir şeyin nasıl yapılacağını bilen birinin, onu ihtiyacı olanlara öğretmesi gerekiyor. Bunu yapmak için yola çıktım.”

Kepler altın oranı kendi kendine devam eden bir oran olarak adlandırdı: "Öyle bir yapıya sahip ki" diye yazdı, "bu sonsuz oranın en düşük iki teriminin toplamı üçüncü terime ulaşıyor ve son iki terim, eğer birlikte eklenirse, şunu verir: bir sonraki terime kadar aynı oran sonsuza kadar kalır."

Altın oranın bir dizi bölümünün inşası hem artış yönünde (artan seri) hem de azalma yönünde (azalan seri) yapılabilir.

İsteğe bağlı uzunlukta düz bir çizgi üzerindeyse parçayı bir kenara koyun M , segmenti yanına koyun M . Bu iki segmente dayanarak, artan ve azalan serilerin altın oranının segmentlerinden oluşan bir ölçek oluşturuyoruz.

Altın oranlı segmentlerden oluşan bir ölçeğin oluşturulması

1855 yılında Alman altın oran araştırmacısı Profesör Zeising, “Estetik Çalışmalar” adlı eserini yayımladı. Zeising'in başına gelen şey, bir fenomeni diğer fenomenlerle bağlantısı olmadan bu şekilde ele alan bir araştırmacının başına kaçınılmaz olarak gelmesi gereken şeydi. Altın oranın oranını mutlaklaştırdı ve bunun tüm doğa ve sanat olguları için evrensel olduğunu ilan etti. Zeising'in çok sayıda takipçisi vardı ama onun oranlar öğretisinin "matematiksel estetik" olduğunu ilan eden muhalifler de vardı.

Zeising muazzam bir iş çıkardı. Yaklaşık iki bin insan vücudunu ölçtü ve altın oranın ortalama istatistik yasasını ifade ettiği sonucuna vardı. Vücudun göbek noktasına göre bölünmesi altın oranın en önemli göstergesidir. Erkek bedeninin oranları ortalama 13:8 = 1,625 oranında dalgalanır ve kadın bedeninin oranlarına göre altın orana biraz daha yakındır, buna göre oranın ortalama değeri 8 oranıyla ifade edilir. :5 = 1,6. Yeni doğmuş bir bebekte bu oran 1:1'dir; 13 yaşında bu oran 1,6'dır ve 21 yaşında bir erkeğinkine eşittir. Altın oranın oranları aynı zamanda vücudun diğer kısımlarına (omuzun uzunluğu, ön kol ve el, el ve parmaklar vb.) göre de ortaya çıkar.

ALTIN ORAN VE SİMETRİ

Altın oran, simetriyle bağlantısız olarak tek başına ele alınamaz. Büyük Rus kristalograf G.V. Wolf (1863-1925) altın oranın simetrinin tezahürlerinden biri olduğunu düşünüyordu.

Altın bölüm asimetrinin bir tezahürü değildir, simetriye zıt bir şeydir. Modern kavramlara göre altın bölüm asimetrik bir simetridir. Simetri bilimi statik ve dinamik simetri gibi kavramları içerir. Statik simetri barış ve dengeyi karakterize ederken, dinamik simetri ise hareketi ve büyümeyi karakterize eder. Dolayısıyla doğada statik simetri kristallerin yapısıyla temsil edilirken sanatta huzuru, dengeyi ve hareketsizliği karakterize eder. Dinamik simetri aktiviteyi ifade eder, hareketi, gelişimi, ritmi karakterize eder, yaşamın kanıtıdır. Statik simetri, eşit bölümler ve eşit değerlerle karakterize edilir. Dinamik simetri, segmentlerdeki bir artış veya bunların azalması ile karakterize edilir ve artan veya azalan bir serinin altın bölümünün değerleriyle ifade edilir.

FIBONACCI SERİSİ

Daha çok Fibonacci olarak bilinen İtalyan matematikçi keşiş Pisa Leonardo'nun adı, altın oranın tarihiyle dolaylı olarak bağlantılıdır. Doğu'da yoğun seyahatler yaptı ve Arap rakamlarını Avrupa'ya tanıttı. 1202 yılında o dönemde bilinen tüm problemleri bir araya toplayan matematik çalışması “Abaküs Kitabı” (sayma tahtası) yayımlandı.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 vb. sayılardan oluşan bir dizi. Fibonacci serisi olarak bilinir. Sayı dizisinin özelliği, üçüncüden başlayarak üyelerinin her birinin önceki iki 2+3=5'in toplamına eşit olmasıdır; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 vb. ve serideki komşu sayıların oranı altın bölümün oranına yaklaşır. Yani 21:34 = 0,617 ve 34:55 = 0,618. Bu oran F sembolüyle gösterilir. Yalnızca bu oran - 0,618:0,382 - daha küçük parça daha büyük olanla şu şekilde ilişkili olduğunda, bir düz çizgi parçasının altın oranda sürekli bölünmesini verir, onu arttırır veya sonsuza kadar azaltır. büyük olan bütüne yöneliktir.

Alttaki şekilde görüldüğü gibi her bir parmak ekleminin uzunluğu, bir sonraki eklemin uzunluğu ile F oranıyla ilişkilidir. Aynı ilişki tüm el ve ayak parmaklarında da görülmektedir. Bu bağlantı bir şekilde olağandışıdır, çünkü bir parmak diğerinden daha uzundur ve herhangi bir görünür desen yoktur, ancak bu bir tesadüf değildir, tıpkı insan vücudundaki her şeyin tesadüfi olmadığı gibi. Parmaklardaki A'dan B'ye, C'den D'ye E'ye işaretlenen mesafelerin tümü, parmakların F'den G'ye ve H'ye falanksları gibi F oranıyla ilişkilidir.

Bu kurbağa iskeletine bir bakın ve her kemiğin tıpkı insan vücudundaki gibi F orantı modeline nasıl uyduğunu görün.

GENELLEŞTİRİLMİŞ ALTIN ORAN

Bilim adamları Fibonacci sayıları ve altın oran teorisini aktif olarak geliştirmeye devam ettiler. Yu Matiyasevich, Hilbert'in 10. problemini Fibonacci sayılarını kullanarak çözüyor. Fibonacci sayılarını ve altın oranı kullanarak bir takım sibernetik problemleri (arama teorisi, oyunlar, programlama) çözmek için yöntemler ortaya çıkıyor. ABD'de 1963'ten beri özel bir dergi yayınlayan Matematiksel Fibonacci Derneği bile oluşturuluyor.

Bu alandaki başarılardan biri genelleştirilmiş Fibonacci sayılarının ve genelleştirilmiş altın oranların keşfidir.

Fibonacci serisi (1, 1, 2, 3, 5, 8) ve onun keşfettiği 1, 2, 4, 8 ağırlıklarının “ikili” serisi ilk bakışta tamamen farklıdır. Ancak bunların oluşturulmasına yönelik algoritmalar birbirine çok benzer: ilk durumda, her sayı bir önceki sayının kendisi 2=1+1 olacak şekilde toplamıdır; 4=2+2..., ikincisinde - bu önceki iki sayının toplamıdır 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Genel bir matematik bulmak mümkün mü? “ikili”nin hangi formülden elde edildiği » serisi ve Fibonacci serisi? Ya da belki bu formül bize bazı yeni benzersiz özelliklere sahip yeni sayısal kümeler verecektir?

Aslında herhangi bir değer alabilen sayısal bir parametre S tanımlayalım: 0, 1, 2, 3, 4, 5... İlk terimleri bir olan ve her biri bir olan S+1 sayı serisini düşünün. sonrakiler bir öncekinin iki teriminin toplamına eşittir ve öncekinden S adımıyla ayrılır. Bu serinin n'inci terimini şöyle gösterirsek? S(n), o zaman genel formülü elde ederiz? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Bu formülden S=0 ile S=1 - Fibonacci serisi, S=2, 3, 4 ile “ikili” bir seri elde edeceğimiz açıktır. S-Fibonacci sayıları olarak adlandırılan yeni sayı serileri .

Genel olarak altın S oranı altın S kesiti denkleminin pozitif köküdür x S+1 -x S -1=0.

S = 0 olduğunda parçanın ikiye bölündüğünü ve S = 1 olduğunda bilinen klasik altın oranın elde edildiğini göstermek kolaydır.

Komşu Fibonacci S-sayılarının oranları, altın S-oranlarıyla limitte mutlak matematiksel doğrulukla örtüşüyor! Bu gibi durumlarda matematikçiler altın S oranlarının Fibonacci S sayılarının sayısal değişmezleri olduğunu söylüyorlar.

Doğada altın S-kesitlerinin varlığını doğrulayan gerçekler Belaruslu bilim adamı E.M. Soroko “Sistemlerin Yapısal Uyumu” kitabında (Minsk, “Bilim ve Teknoloji”, 1984). Örneğin, iyi çalışılmış ikili alaşımların, yalnızca orijinal bileşenlerin özgül ağırlıklarının birbiriyle ilişkili olması durumunda özel, belirgin işlevsel özelliklere (termal kararlı, sert, aşınmaya dayanıklı, oksidasyona dirençli vb.) sahip olduğu ortaya çıktı. altın S oranlarından birer birer. Bu, yazarın altın S-bölümlerinin kendi kendini organize eden sistemlerin sayısal değişmezleri olduğu hipotezini öne sürmesine olanak sağladı. Deneysel olarak doğrulandıktan sonra bu hipotez, kendi kendini organize eden sistemlerdeki süreçleri inceleyen yeni bir bilim alanı olan sinerjetiğin gelişimi için temel öneme sahip olabilir.

Altın S orantı kodlarını kullanarak, herhangi bir gerçek sayıyı, tamsayı katsayıları olan altın S oranlarının kuvvetlerinin toplamı olarak ifade edebilirsiniz.

Sayıları kodlamanın bu yöntemi arasındaki temel fark, yeni kodların tabanları olan altın S oranlarının S>0 olduğunda irrasyonel sayılara dönüşmesidir. Böylece, irrasyonel temellere sahip yeni sayı sistemleri, rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki tarihsel olarak kurulmuş ilişkiler hiyerarşisini "tepeden tırnağa" yerleştiriyor gibi görünüyor. Gerçek şu ki, ilk kez doğal sayılar “keşfedildi”; bu durumda oranları rasyonel sayılardır. Ve ancak daha sonra, Pisagorcular kıyaslanamaz parçaları keşfettikten sonra irrasyonel sayılar doğdu. Örneğin, ondalık, beşli, ikili ve diğer klasik konumsal sayı sistemlerinde, doğal sayılar bir tür temel prensip olarak seçilmiştir: 10, 5, 2, belirli kurallara göre, diğer tüm doğal sayılar ve rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar oluşturuldu.

Mevcut notasyon yöntemlerine bir tür alternatif, notasyonun başlangıcının temel temeli olarak irrasyonel bir sayının (hatırlayın, altın oran denkleminin köküdür) seçildiği yeni, irrasyonel bir sistemdir; diğer gerçek sayılar zaten onun aracılığıyla ifade ediliyor.

Böyle bir sayı sisteminde, herhangi bir doğal sayı her zaman sonlu olarak temsil edilebilir - önceden düşünüldüğü gibi sonsuz değil! — altın S oranlarından herhangi birinin kuvvetlerinin toplamı. Şaşırtıcı matematiksel basitliğe ve zarafete sahip olan "irrasyonel" aritmetiğin, klasik ikili ve "Fibonacci" aritmetiğinin en iyi niteliklerini özümsemiş gibi görünmesinin nedenlerinden biri de budur.

DOĞADA FORM OLUŞUMUNUN İLKELERİ

Bir biçim alan her şey oluşmuş, büyümüş, uzayda yer edinmeye ve kendini korumaya çalışmıştır. Bu arzu esas olarak iki şekilde gerçekleşir: yukarıya doğru büyümek veya yeryüzüne yayılmak ve spiral şeklinde bükülmek.

Spiral kıvrımlı kabuğun şekli Arşimet'in dikkatini çekti. Bunu inceledi ve spiralin denklemini çıkardı. Bu denkleme göre çizilen spiral onun adıyla anılmaktadır. Adımındaki artış her zaman aynıdır. Şu anda Arşimet spirali teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır.

Goethe ayrıca doğanın sarmallığa olan eğilimini de vurguladı. Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve spiral dizilişi uzun zaman önce fark edilmişti.

Ayçiçeği tohumları, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb.'nin dizilişinde spiral görüldü. Botanikçiler ve matematikçilerin ortak çalışması bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu. Fibonacci serisinin daldaki yaprakların dizilişinde (filotaksis), ayçiçeği çekirdeğinde ve çam kozalağında kendini gösterdiği ve dolayısıyla altın oran yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek ağını spiral şeklinde örer. Kasırga spiral gibi dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü sarmal şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülmüştür. Goethe spirale "yaşam eğrisi" adını verdi.

Mandelbrot serisi

Altın Spiral döngülerle yakından ilişkilidir. Modern bilim kaos çalışmaları hakkında basit döngüsel işlemler hakkında geri bildirim ve bunların oluşturduğu, daha önce bilinmeyen fraktal formlar. Resim ünlü Mandelbrot serisini gösteriyor - sözlükten bir sayfa H Julian serisi adı verilen bireysel desenlerin uzuvları. Bazı bilim adamları Mandelbrot serisini genetik Kod hücre çekirdekleri. Bölümlerdeki tutarlı bir artış, sanatsal karmaşıklıkları açısından şaşırtıcı olan fraktalları ortaya çıkarıyor. Ve burada da logaritmik spiraller var! Hem Mandelbrot serisi hem de Julian serisi insan aklının bir icadı olmadığı için bu daha da önemlidir. Platon'un prototiplerinin bulunduğu bölgeden ortaya çıkıyorlar. Doktor R. Penrose'un dediği gibi "Everest Dağı gibiler."

Yol kenarındaki otlar arasında olağanüstü bir bitki yetişir - hindiba. Şimdi ona daha yakından bakalım. Ana gövdeden bir sürgün oluşmuştur. İlk yaprak tam oradaydı.

Sürgün uzaya güçlü bir fırlatma yapar, durur, bir yaprak bırakır ama bu sefer ilkine göre daha kısadır, yine uzaya fırlatır ama daha az kuvvetle daha da küçük boyutta bir yaprak fırlatır ve tekrar fırlatılır.

İlk emisyon 100 birim alınırsa ikincisi 62 birime, üçüncüsü 38, dördüncüsü 24 vb. olur. Yaprakların uzunluğu da altın orana tabidir. Bitki büyümede ve yer fethetmede belirli oranları korudu. Büyüme dürtüleri altın oranla orantılı olarak giderek azaldı.

Hindiba

Birçok kelebekte vücudun göğüs ve karın kısımlarının boyutlarının oranı altın orana karşılık gelir. Güve kanatlarını katlayarak düzenli bir eşkenar üçgen oluşturur. Ancak kanatlarınızı açarsanız, vücudu 2, 3, 5, 8'e bölme prensibinin aynısını göreceksiniz. Yusufçuk da altın oran kanunlarına göre yaratılmıştır: kuyruk ve vücut uzunluklarının oranı. toplam uzunluğun kuyruk uzunluğuna oranına eşittir.

İlk bakışta kertenkele gözümüze hoş gelen oranlara sahiptir; kuyruğunun uzunluğu vücudun geri kalan kısmının uzunluğuyla 62 ila 38 arasında ilişkilidir.

Canlı kertenkele

Doğa simetrik parçalara ve altın oranlara bölme işlemi gerçekleştirmiştir. Parçalar bütünün yapısının tekrarını ortaya koyar.

Kuş yumurtalarının şekillerinin incelenmesi büyük ilgi görüyor. Çeşitli biçimleri iki uç tip arasında dalgalanır: Bunlardan biri altın oranlı bir dikdörtgenin içine yazılabilir, diğeri ise 1.272 modüllü (altın oranın kökü) bir dikdörtgenin içine yazılabilir.

Kuş yumurtalarının bu şekildeki şekilleri tesadüfi değildir, çünkü artık altın oran oranıyla tanımlanan yumurta şeklinin, yumurta kabuğunun daha yüksek mukavemet özelliklerine karşılık geldiği tespit edilmiştir.

Fillerin ve soyu tükenen mamutların dişleri, aslanların pençeleri ve papağanların gagaları logaritmik biçimdedir ve spirale dönüşme eğiliminde olan bir eksen şeklini andırır.

Canlı doğada “beşgen” simetriye dayalı formlar yaygındır (deniz yıldızı, deniz kestanesi, Çiçekler).

Altın oran tüm kristallerin yapısında mevcuttur ancak çoğu kristal mikroskobik boyutta olduğundan çıplak gözle göremiyoruz. Ancak aynı zamanda su kristali olan kar taneleri gözümüzle oldukça net bir şekilde görülebilmektedir. Kar tanelerini oluşturan tüm zarif güzellikteki figürler, kar tanelerindeki tüm eksenler, daireler ve geometrik şekiller de istisnasız her zaman altın oranın kusursuz net formülüne göre inşa edilmiştir.

Mikrokozmosta altın oranlara göre inşa edilmiş üç boyutlu logaritmik formlar her yerde mevcuttur. Örneğin birçok virüs, bir ikosahedronun üç boyutlu geometrik şekline sahiptir. Bu virüslerin belki de en ünlüsü Adeno virüsüdür. Adeno virüsünün protein kabuğu, belirli bir sırayla dizilmiş 252 birim protein hücresinden oluşur. İkosahedron'un her köşesinde beşgen prizma şeklinde 12 adet protein hücresi bulunur ve bu köşelerden omurga benzeri yapılar uzanır.

Adeno virüsü

Virüslerin yapısındaki altın oran ilk kez 1950'li yıllarda keşfedildi. Birkbeck College London'dan bilim adamları A. Klug ve D. Kaspar. Polyo virüsü logaritmik bir form sergileyen ilk virüs oldu. Bu virüsün formunun Rhino virüsüne benzer olduğu görüldü.

Şu soru ortaya çıkıyor: Virüsler, yapısı altın oranı içeren, insan aklıyla bile oluşturulması oldukça zor olan bu kadar karmaşık üç boyutlu formları nasıl oluşturuyor? Virüslerin bu formlarını keşfeden virolog A. Klug şu yorumu yapıyor: “Dr. Kaspar ve ben, virüsün küresel kabuğu için en uygun şeklin ikosahedron şekli gibi simetri olduğunu gösterdik. Bu düzen, bağlantı elemanlarının sayısını en aza indirir... Buckminster Fuller'ın jeodezik yarım küre küplerinin çoğu, benzer bir geometrik prensip üzerine inşa edilmiştir. Bu tür küplerin yerleştirilmesi son derece hassas ve ayrıntılı bir açıklama şeması gerektirirken, bilinçsiz virüsler de elastik, esnek protein hücresel birimlerinden böylesine karmaşık bir kabuk inşa ediyorlar.

Klug'un bu yorumu bize son derece açık bir gerçeği bir kez daha hatırlatıyor: Bilim adamlarının "yaşamın en ilkel formu" olarak sınıflandırdığı mikroskobik bir organizmanın, yani virüsün yapısında dahi, net bir plan ve uygulanan akıllı bir tasarım vardır. Bu proje, mükemmelliği ve uygulama hassasiyeti açısından insanlar tarafından yaratılan en gelişmiş mimari projelerle karşılaştırılamaz. Örneğin, parlak mimar Buckminster Fuller'ın yarattığı projeler.

İskeleti silikadan yapılmış tek hücreli deniz mikroorganizmaları radyolaryanların (ışın balığı) iskeletlerinin yapısında dodekahedron ve ikosahedron'un üç boyutlu modelleri de mevcuttur.

Radyolaryalıların vücutları son derece zarif ve sıradışı bir güzelliğe sahiptir. Şekilleri düzenli bir on iki yüzlüdür ve her köşesinden sahte bir uzama uzuv ve diğer olağandışı şekiller-büyümeler filizlenir.

İNSAN VÜCUDU VE ALTIN ORAN

İnsan kemiklerinin tamamı altın oranla orantılı olarak tutulur. Oranlar çeşitli parçalar vücudumuz altın orana çok yakın bir sayıdır. Bu oranlar altın oran formülüne uyuyorsa kişinin görünümü veya vücudu ideal orantılı kabul edilir.

İnsan vücudunun bazı kısımlarındaki altın oranlar

Göbek noktasını insan vücudunun merkezi, ayak ile göbek noktası arasındaki mesafeyi ölçü birimi olarak alırsak, kişinin boyu 1.618 sayısına denk gelir.

omuz seviyesinden başın tepesine kadar olan mesafe ve başın büyüklüğü 1:1.618;
göbek noktasından başın tepesine ve omuz hizasından başın tepesine kadar olan mesafe 1:1.618;
göbek noktasının dizlere ve dizlerden ayaklara olan mesafesi 1:1.618;
çene ucundan üst dudak ucuna ve üst dudak ucundan burun deliklerine kadar olan mesafe 1:1.618;
altın oranın bir kişinin yüzündeki gerçek varlığı, insan bakışı için ideal güzelliktir;
çene ucundan kaşların üst çizgisine ve kaşların üst çizgisinden tepeye kadar olan mesafe 1:1.618;
yüz yüksekliği/yüz genişliği;
dudakların burun tabanına/burun uzunluğuna bağlantı merkezi noktası;
yüz yüksekliği/çene ucundan dudakların buluştuğu orta noktaya kadar olan mesafe;
ağız genişliği/burun genişliği;
burun genişliği/burun delikleri arasındaki mesafe;
gözbebekleri arasındaki mesafe/kaşlar arasındaki mesafe.

Avucunuzu kendinize yaklaştırmanız ve dikkatlice bakmanız yeterlidir. işaret parmağı Altın oranın formülünü hemen bulacaksınız.

Elimizin her parmağı üç falankstan oluşur. Parmağın ilk iki falanks uzunluğunun, parmağın tüm uzunluğuna göre toplamı, altın oran sayısını (başparmak hariç) verir.

Ayrıca orta parmak ile küçük parmak arasındaki oran da altın orana eşittir.

Bir kişinin 2 eli vardır, her eldeki parmaklar 3 falandan oluşur (başparmak hariç). Her elde 5 parmak yani toplamda 10 parmak vardır ancak iki falankslı iki başparmak dışında altın oran prensibine göre sadece 8 parmak yaratılmıştır. Oysa 2, 3, 5 ve 8 numaralı sayıların hepsi Fibonacci dizi numaralarıdır.

Ayrıca çoğu insan için uzatılmış kollarının uçları arasındaki mesafenin boylarına eşit olduğu gerçeğini de belirtmekte fayda var.

Altın oranın gerçekleri içimizde ve uzayımızdadır. İnsan akciğerlerini oluşturan bronşların özelliği asimetrilerinde yatmaktadır. Bronşlar biri (solda) daha uzun, diğeri (sağda) daha kısa olan iki ana hava yolundan oluşur. Bu asimetrinin bronşların dallarında, tüm küçük solunum yollarında devam ettiği tespit edildi. Ayrıca kısa ve uzun bronş uzunluklarının oranı da altın orandır ve 1:1.618'e eşittir.

İnsanın iç kulağında, ses titreşimini iletme işlevini yerine getiren Koklea (“Salyangoz”) adı verilen bir organ vardır. Bu kemiksi yapı sıvıyla doludur ve aynı zamanda salyangoz şeklindedir ve sabit bir logaritmik spiral şekli =73 0 43" içerir.

Kalp çalıştıkça kan basıncı değişir. En büyük değerine kalbin sol ventrikülünde sıkışma (sistol) anında ulaşır. Arterlerde, kalbin ventriküllerinin sistolleri sırasında kan basıncı, genç ve sağlıklı bir insanda maksimum 115-125 mmHg değerine ulaşır. Kalp kasının gevşemesi (diyastol) anında basınç 70-80 mm Hg'ye düşer. Maksimum (sistolik) basıncın minimum (diyastolik) basınca oranı ortalama 1,6'dır, yani altın orana yakındır.

Aorttaki ortalama kan basıncını birim olarak alırsak, aorttaki sistolik kan basıncı 0,382, diyastolik basınç ise 0,618 olur, yani bunların oranı altın orana karşılık gelir. Bu, kalbin zaman döngüleri ve kan basıncındaki değişikliklerle ilgili çalışmasının aynı prensibe, altın oran kanununa göre optimize edildiği anlamına gelir.

DNA molekülü dikey olarak iç içe geçmiş iki sarmaldan oluşur. Bu spirallerin her birinin uzunluğu 34 angstrom, genişliği ise 21 angstromdur. (1 angstrom santimetrenin yüz milyonda biridir).

DNA molekülünün sarmal bölümünün yapısı

Yani 21 ve 34 Fibonacci sayıları dizisinde birbirini takip eden sayılardır, yani DNA molekülünün logaritmik spiralinin uzunluk ve genişlik oranı 1:1.618 altın oranın formülünü taşır.

HEYKELDE ALTIN ORAN

Heykel yapıları ve anıtlar kalıcı olmak için dikiliyor önemli olaylarünlü kişilerin isimlerini, onların istismarlarını ve yaptıklarını torunların anısına saklayın. Antik çağda bile heykel sanatının temelinin oranlar teorisi olduğu biliniyor. İnsan vücudunun bölümleri arasındaki ilişkiler altın oran formülüyle ilişkilendiriliyordu. “Altın bölümün” oranları uyum ve güzellik izlenimi yarattığı için heykeltıraşlar eserlerinde bunları kullanmışlardır. Heykeltıraşlar belin mükemmel insan vücudunu “altın orana” göre böldüğünü iddia ediyor. Örneğin, ünlü heykel Apollo Belvedere altın oranlara göre bölünmüş parçalardan oluşuyor. Büyük antik Yunan heykeltıraş Phidias eserlerinde sıklıkla “altın oran”ı kullanmıştır. Bunlardan en ünlüsü, (dünyanın harikalarından biri olarak kabul edilen) Olympian Zeus heykeli ve Atina Parthenon'uydu.

Apollo Belvedere heykelinin altın oranı biliniyor: Altın bölümde tasvir edilen kişinin boyu göbek çizgisine bölünüyor.

MİMARLIKTA ALTIN ORAN

"Altın oran" ile ilgili kitaplarda, resimde olduğu gibi mimaride de her şeyin gözlemcinin konumuna bağlı olduğu ve bir binadaki bazı oranların bir taraftan "altın oran" oluşturduğu görülüyorsa, o zaman o zaman diğer bakış açılarından farklı görüneceklerdir. “Altın Oran” belirli uzunlukların boyutlarının en rahat oranını verir.

Antik Yunan mimarisinin en güzel eserlerinden biri Parthenon'dur (MÖ 5. yüzyıl).

Resimlerde görülüyor bütün çizgi altın oranla ilişkili desenler. Binanın oranları Ф=0,618 sayısının çeşitli kuvvetleriyle ifade edilebilir.

Parthenon'un kısa kenarlarında 8, uzun kenarlarında ise 17 sütun vardır. Projeksiyonlar tamamen Pentil mermerinden karelerden yapılmıştır. Tapınağın inşa edildiği malzemenin asaleti, Yunan mimarisinde yaygın olan renklendirme kullanımının sınırlandırılmasını mümkün kıldı; yalnızca ayrıntıları vurguluyor ve heykel için renkli bir arka plan (mavi ve kırmızı) oluşturuyor. Binanın yüksekliğinin uzunluğuna oranı 0,618'dir. Parthenon'u “altın bölüme” göre bölersek cephenin belirli çıkıntılarını elde ederiz.

Parthenon'un kat planında da "altın dikdörtgenler" görülebilir.

Altın oranı katedral binasında görebiliyoruz Paris'in Notre Dame'ı(Notre Dame de Paris) ve Keops Piramidi'nde.

Yalnızca Mısır piramitleri altın oranın mükemmel oranlarına uygun olarak inşa edilmedi; aynı olay Meksika piramitlerinde de görüldü.

Uzun zamandır mimarlara inanıyordum Eski Rus Her şeyi özel matematiksel hesaplamalar yapmadan "gözle" inşa ettiler. Ancak son araştırmalar, antik tapınakların geometrisinin analizinin de gösterdiği gibi, Rus mimarların matematiksel oranların çok iyi farkında olduklarını gösterdi.

Ünlü Rus mimar M. Kazakov, çalışmalarında “altın oran”ı yaygın olarak kullanmıştır. Yeteneği çok yönlüydü, ancak tamamlanan çok sayıda konut ve site projesinde daha büyük ölçüde ortaya çıktı. Örneğin Kremlin'deki Senato binasının mimarisinde “altın oran”a rastlamak mümkündür. M. Kazakov'un projesine göre Moskova'da şu anda Birinci Hastane olarak adlandırılan Golitsyn Hastanesi inşa edildi. klinik hastane adını N.I. Pirogov.

Moskova'daki Petrovsky Sarayı. M.F.'nin tasarımına göre inşa edilmiştir. Kazakova

Moskova'nın bir başka mimari şaheseri olan Paşkov Evi, V. Bazhenov'un en mükemmel mimari eserlerinden biridir.

Paşkov Evi

V. Bazhenov'un harika yaratımı, modern Moskova'nın merkezi topluluğuna sağlam bir şekilde girdi ve onu zenginleştirdi. 1812'de ağır bir şekilde yanmasına rağmen evin dış cephesi günümüze kadar neredeyse hiç değişmeden kalmıştır. Restorasyon sırasında bina daha büyük şekillere kavuşmuştur. Binanın iç planı korunmamış olup, sadece alt katın çiziminde görülebilmektedir.

Mimarın açıklamalarının çoğu bugün dikkati hak ediyor. V. Bazhenov, en sevdiği sanat hakkında şunları söyledi: “Mimarlığın üç ana amacı vardır: binanın güzelliği, huzuru ve gücü... Bunu başarmak için genel olarak orantı, perspektif, mekanik veya fizik bilgisi bir rehber görevi görür ve hepsinin ortak lideri akıldır.”

MÜZİKTE ALTIN ORAN

Herhangi bir müzik parçasının zamansal bir uzantısı vardır ve belirli “estetik kilometre taşları” ile dikkat çeken ve bir bütün olarak algılamayı kolaylaştıran ayrı parçalara bölünmüştür. Bu kilometre taşları bir müzik eserinin dinamik ve tonlama zirveleri olabilir. Bir müzik eserinin “doruk olayı” ile birbirine bağlanan ayrı zaman aralıkları kural olarak Altın Oran oranındadır.

1925'te sanat eleştirmeni L.L. 42 yazarın 1.770 müzik eserini analiz eden Sabaneev, seçkin eserlerin büyük çoğunluğunun temaya, tonlama yapısına veya altın tonla ilişkili olarak birbiriyle ilişkili modal yapıya göre kolaylıkla parçalara ayrılabileceğini gösterdi. oran. Üstelik besteci ne kadar yetenekliyse eserlerinde de o kadar çok altın oranlara rastlanır. Sabaneev'e göre altın oran, özel bir uyum izlenimi yaratıyor müzikal kompozisyon. Sabaneev bu sonucu 27 Chopin etüdünün tamamında kontrol etti. Bunlarda 178 altın oran keşfetti. Altın orana göre çalışmaların büyük bölümlerinin süreye bölünmesinin yanı sıra, içerideki çalışmaların bölümlerinin de sıklıkla aynı orana göre bölündüğü ortaya çıktı.

Besteci ve bilim adamı M.A. Marutaev ünlü sonat "Appassionata"daki ölçülerin sayısını saydı ve bir dizi ilginç sayısal ilişki buldu. Özellikle, temaların yoğun bir şekilde geliştiği ve tonların birbirinin yerini aldığı sonatın merkezi yapı birimi olan geliştirmede iki ana bölüm vardır. İlk ölçülerde - 43,25, ikinci ölçülerde - 26,75. 43.25:26.75=0.618:0.382=1.618 oranı altın oranı verir.

Altın Oranın yer aldığı eserler arasında en fazla Arensky (%95), Beethoven (%97), Haydn (%97), Mozart (%91), Chopin (%92), Schubert (%91) yer alıyor.

Eğer müzik seslerin armonik düzeni ise, şiir de konuşmanın armonik düzenidir. Net bir ritim, vurgulu ve vurgusuz hecelerin doğal değişimi, şiirlerin düzenli ölçüsü ve bunların duygusal zenginliği şiiri şiir yapar. kız kardeş müzik eserleri. Şiirde altın oran öncelikle şiirde belli bir anın (doruk noktası, anlamsal dönüm noktası, anlamsal dönüm noktası) varlığıyla kendini gösterir. ana fikirürün) bölünme noktasındaki hatta toplam sayısı Bir şiirin satırları altın oranla. Yani bir şiir 100 dizeden oluşuyorsa Altın Oranın ilk noktası 62. satıra (%62), ikincisi 38. satıra (%38) vb. denk gelir. “Eugene Onegin” de dahil olmak üzere Alexander Sergeevich Puşkin'in eserleri altın orana en iyi karşılık geliyor! Shota Rustaveli ve M.Yu'nun çalışmaları. Lermontov'un binaları da Altın Oran prensibine göre inşa edilmiştir.

Stradivari, ünlü kemanlarının gövdelerindeki f şeklindeki çentiklerin yerlerini belirlemek için altın oranı kullandığını yazdı.

ŞİİRDE ALTIN ORAN

Araştırma şiirsel eserler Bu pozisyonlar sadece başlangıç. Ve A.S.'nin şiiriyle başlamalısın. Puşkin. Sonuçta eserleri Rus kültürünün en seçkin yaratımlarının bir örneği, bir örnek en yüksek seviye uyum. A.S.'nin şiirinden. Puşkin, uyum ve güzelliğin ölçüsü olan altın oranı aramaya başlayacağız.

Şiirsel eserlerin yapısındaki birçok şey bu sanatın müziğe benzemesini sağlar. Açık bir ritim, vurgulu ve vurgusuz hecelerin doğal bir değişimi, şiirlerin düzenli bir ölçüsü ve bunların duygusal zenginliği, şiiri müzik eserlerinin kız kardeşi yapar. Her ayetin kendine ait müzik formu ritmi ve melodisiyle. Müzik eserlerinin bazı özelliklerinin, kalıplarının şiirlerin yapısında da ortaya çıkması beklenebilir. müzikal uyum ve dolayısıyla altın oran.

Şiirin büyüklüğüyle yani içindeki satır sayısıyla başlayalım. Görünüşe göre şiirin bu parametresi keyfi olarak değişebilir. Ancak durumun böyle olmadığı ortaya çıktı. Örneğin N. Vasyutinsky’nin A.S. Puşkina şiirlerin boyutlarının çok dengesiz dağıldığını gösterdi; Puşkin'in açıkça 5, 8, 13, 21 ve 34 satırlık boyutları (Fibonacci sayıları) tercih ettiği ortaya çıktı.

Birçok araştırmacı şiirlerin benzer olduğunu fark etmiştir. müzik eserleri; şiiri altın oranla orantılı olarak bölen doruk noktaları da vardır. Örneğin A.S.'nin şiirini düşünün. Puşkin'in "Kunduracısı":

Bu benzetmeyi analiz edelim. Şiir 13 dizeden oluşuyor. İki anlamsal bölümü vardır: ilki 8 satırdan oluşur ve ikincisi (meselin dersi) 5 satırdan oluşur (13, 8, 5 Fibonacci sayılarıdır).

Puşkin'in son şiirlerinden biri olan "Ben yüksek haklara değer vermiyorum..." 21 mısradan oluşuyor ve iki anlamsal bölümden oluşuyor: 13 ve 8 mısra:

Yüksek haklara çok değer vermiyorum,

Bu da birden fazla baş dönmesine neden olur.

Tanrıların reddettiğinden şikayet etmiyorum

Vergilere meydan okumak benim tatlı kaderim

Veya kralların birbirleriyle savaşmasını önleyin;

Basın özgürse endişelenmem benim için yeterli değil

Aptalları kandırmak veya hassas sansür

Dergi planlarında şakacı utanıyor.

Bütün bunlar, görüyorsunuz, kelimeler, kelimeler, kelimeler.

Diğer, daha iyi haklar benim için değerlidir:

Farklı, daha iyi bir özgürlüğe ihtiyacım var:

Krala güvenin, halka güvenin...

Umurumuzda mı? Tanrı onlarla olsun.

Rapor vermeyin, sadece kendinize

Hizmet etmek ve memnun etmek; güç için, üniforma için

Vicdanınızı, düşüncenizi, boynunuzu bükmeyin;

İstediğin zaman oraya buraya dolaşmak,

Doğanın ilahi güzelliğine hayret ederek,

Ve sanat ve ilham yaratımlarından önce

Şefkatin coşkusunda sevinçle titriyor,

Ne mutluluk! Bu doğru...

Bu ayetin ilk bölümünün (13 satır) anlam içeriğine göre 8 ve 5 satıra bölünmesi, yani şiirin tamamının altın oran kanunlarına göre yapılandırılması karakteristiktir.

N. Vasyutinsky'nin "Eugene Onegin" romanının analizi şüphesiz ilgi çekicidir. Bu roman, her biri ortalama 50 ayetten oluşan 8 bölümden oluşuyor. Sekizinci bölüm en mükemmel, en gösterişli ve duygusal açıdan zengin bölümdür. 51 ayeti vardır. Eugene'nin Tatiana'ya yazdığı mektupla (60 satır) birlikte bu, Fibonacci sayısı 55'e tam olarak karşılık geliyor!

N. Vasyutinsky şunları söylüyor: "Bölümün doruk noktası, Evgeny'nin Tatyana'ya olan aşk ilanıdır - "Solgunlaşmak ve kaybolmak... bu mutluluktur!" Bu satır, sekizinci bölümün tamamını iki kısma ayırıyor: İlkinde 477 satır, ikincisinde ise 295 satır var. Oranları 1.617! Altın oranın değerine en iyi karşılık! Bu, Puşkin'in dehasının gerçekleştirdiği büyük bir uyum mucizesidir!

E. Rosenov, M.Yu'nun birçok şiirsel eserini analiz etti. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoy da onlarda “altın oran”ı keşfetti.

Lermontov'un ünlü şiiri "Borodino" iki bölüme ayrılmıştır: anlatıcıya hitap eden, yalnızca bir kıtayı kaplayan bir giriş ("Söyle bana amca, boşuna değil ...") ve Ana bölüm iki eşit parçaya bölünen bağımsız bir bütünü temsil eder. Bunlardan ilki artan gerilimle savaşın beklentisini anlatırken, ikincisi şiirin sonuna doğru gerilimin giderek azalmasıyla savaşın kendisini anlatıyor. Bu parçaların arasındaki sınır, çalışmanın doruk noktasıdır ve tam olarak altın bölümün bölündüğü noktaya denk gelir.

Şiirin ana kısmı 13 yedi satırlık yani 91 satırdan oluşmaktadır. Altın orana (91:1.618=56.238) böldüğümüzde, bölme noktasının 57. ayetin başında, kısa bir cümlenin geçtiği yerde olduğuna kanaat getiriyoruz: “Eh, bir gündü!” Şiirin ilk bölümünü (savaş beklentisi) tamamlayan ve ikinci bölümünü (savaşın tanımı) açan, "heyecanlı beklentinin doruk noktasını" temsil eden bu cümledir.

Böylece altın oran şiirde çok anlamlı bir rol oynar ve şiirin doruk noktasını vurgular.

Shota Rustaveli'nin "Kaplan Derisindeki Şövalye" şiirini inceleyen pek çok araştırmacı, şiirinin olağanüstü uyumuna ve melodisine dikkat çekiyor. Gürcü bilim adamı, akademisyen G.V.'nin şiirinin bu özellikleri. Tsereteli, şairin hem şiirin biçiminin oluşumunda hem de mısralarının inşasında altın oranı bilinçli kullanmasına bağlanmaktadır.

Rustaveli'nin şiiri her biri dört satırdan oluşan 1587 kıtadan oluşur. Her satır 16 heceden oluşur ve her yarımda 8 hecelik iki eşit parçaya bölünmüştür. Tüm hemistikler iki türden iki bölüme ayrılır: A - eşit bölümlere ve çift sayıda heceye (4+4) sahip hemistich; B, iki eşit olmayan parçaya (5+3 veya 3+5) asimetrik olarak bölünmüş bir hemistiktir. Dolayısıyla B hemistik bölgesinde oran 3:5:8 olup, altın orana yakın bir değerdir.

Rustaveli'nin şiirinde 1587 kıtanın yarısından fazlasının (863) altın oran ilkesine göre kurgulandığı tespit edilmiştir.

Zamanımızda yeni bir sanat türü doğdu - aksiyonun, resmin ve müziğin dramasını özümseyen sinema. Altın oranın tezahürlerini sinemanın seçkin yapıtlarında aramak meşrudur. Bunu ilk yapan, dünya sinemasının başyapıtı Battleship Potemkin'in yaratıcısı, film yönetmeni Sergei Eisenstein oldu. Bu resmi oluştururken uyumun temel ilkesi olan altın oranı somutlaştırmayı başardı. Eisenstein'ın kendisinin de belirttiği gibi, isyancı savaş gemisinin direğindeki kırmızı bayrak (filmin doruk noktası), filmin sonundan itibaren sayılan altın oran noktasında dalgalanıyor.

Yazı Tipi ve Ev Eşyalarında ALTIN ORAN

Özel görünüm görsel Sanatlar Antik Yunan Her türlü kapların üretimi ve boyanması ön plana çıkarılmalıdır. Zarif bir formda, altın oranın oranları kolayca tahmin edilebilir.

Eski Mısırlılar, tapınakların resim ve heykellerinde ve ev eşyalarında çoğunlukla tanrıları ve firavunları tasvir ediyorlardı. Ayakta duran, yürüyen, oturan vb. Bir kişiyi tasvir eden kanonlar oluşturuldu. Sanatçıların tablolar ve örnekler kullanarak bireysel formları ve görüntü desenlerini ezberlemeleri gerekiyordu. Antik Yunan sanatçıları kanonun nasıl kullanılacağını öğrenmek için Mısır'a özel geziler yaptılar.

DIŞ ORTAMIN OPTİMUM FİZİKSEL PARAMETRELERİ

Maksimum olduğu biliniyor ses seviyesi Ağrıya neden olan ses 130 desibele eşittir. Bu aralığı 1,618'lik altın orana bölersek, 80 desibel elde ederiz ki bu da bir insan çığlığının hacmi için tipiktir. Şimdi 80 desibel'i altın orana bölersek, 50 desibel elde ederiz ki bu da insan konuşmasının hacmine karşılık gelir. Son olarak 50 desibeli altın oran olan 2.618'in karesine bölersek 20 desibel elde ederiz ki bu da insan fısıltısına karşılık gelir. Böylece ses hacminin tüm karakteristik parametreleri altın oran aracılığıyla birbirine bağlanır.

18-20 0 C aralığında sıcaklıkta nem%40-60 optimal kabul edilir. Optimum nem aralığının sınırları, %100'lük mutlak nemin altın orana iki katına bölünmesiyle elde edilebilir: 100/2,618 = %38,2 (alt sınır); 100/1,618=%61,8 (üst sınır).

Şu tarihte: hava basıncı 0,5 MPa'da bir kişi hoş olmayan hisler yaşar, fiziksel ve psikolojik aktivite. 0,3-0,35 MPa basınçta yalnızca kısa süreli çalışmaya izin verilir ve 0,2 MPa basınçta 8 dakikadan fazla çalışmaya izin verilmez. Tüm bu karakteristik parametreler birbiriyle altın oranla ilişkilidir: 0,5/1,618 = 0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Sınır parametreleri dış hava sıcaklığıİnsanın normal varlığının (ve en önemlisi kökeninin mümkün hale geldiği) mümkün olduğu sıcaklık aralığı 0 ile +(57-58) 0 C arasındadır. Açıkçası bu konuda açıklama yapmaya gerek yok. ilk sınır.

Belirtilen pozitif sıcaklık aralığını altın bölüme bölelim. Bu durumda iki sınır elde ederiz (her iki sınır da insan vücudunun karakteristik sıcaklıklarıdır): birincisi sıcaklığa karşılık gelir, ikinci sınır ise insan vücudu için mümkün olan maksimum dış hava sıcaklığına karşılık gelir.

RESİMDE ALTIN ORAN

Rönesans'ta sanatçılar, herhangi bir resmin, görsel merkezler olarak adlandırılan, istemsiz olarak dikkatimizi çeken belirli noktalara sahip olduğunu keşfettiler. Bu durumda, resmin hangi formatta olduğu önemli değildir - yatay veya dikey. Bu tür yalnızca dört nokta vardır ve bunlar düzlemin karşılık gelen kenarlarından 3/8 ve 5/8 uzaklıkta bulunur.

Bu keşif, dönemin sanatçıları tarafından resmin “altın oranı” olarak adlandırıldı.

Resimdeki “altın oran” örneklerine geçersek, Leonardo da Vinci'nin çalışmalarına odaklanmaktan kendimizi alamıyoruz. Onun kişiliği tarihin gizemlerinden biridir. Leonardo da Vinci'nin kendisi şöyle dedi: "Matematikçi olmayan hiç kimse eserlerimi okumaya cesaret etmesin."

Eşsiz bir sanatçı, büyük bir bilim adamı, 20. yüzyıla kadar gerçekleşmemiş birçok icadı öngören bir dahi olarak ün kazandı.

Hiç şüphe yok ki Leonardo da Vinci harika bir sanatçıydı, bu zaten çağdaşları tarafından tanınmıştı, ancak onun kişiliği ve faaliyetleri gizemle örtülecek çünkü o, fikirlerinin tutarlı bir sunumunu değil, yalnızca çok sayıda el yazısıyla yazılmış torunlarına bıraktı. "Dünyadaki her şey hakkında" diyen eskizler, notlar.

Okunamayan el yazısıyla sağdan sola ve sol eliyle yazıyordu. Bu, ayna yazısının mevcut en ünlü örneğidir.

Monna Lisa'nın (La Gioconda) portresi, uzun yıllardır araştırmacıların dikkatini çekmiş ve resmin kompozisyonunun, yıldız şeklindeki düzenli bir beşgenin parçaları olan altın üçgenlere dayandığını keşfetmiştir. Bu portrenin tarihi hakkında birçok versiyon var. İşte onlardan biri.

Bir gün Leonardo da Vinci, bankacı Francesco dele Giocondo'dan bankacının karısı Monna Lisa'nın genç bir kadının portresini yapması emrini aldı. Kadın güzel değildi ama görünüşünün sadeliği ve doğallığı onu cezbetmişti. Leonardo portreyi yapmayı kabul etti. Modeli üzgün ve hüzünlüydü, ancak Leonardo ona bir peri masalı anlattı ve duyduktan sonra onun canlı ve ilginç hale geldiğini söyledi.

MASAL. Bir zamanlar fakir bir adam yaşarmış, dört oğlu varmış; üçü akıllıymış, biri de şu ve bumuş. Ve sonra babaya ölüm geldi. Hayatını kaybetmeden önce çocuklarını yanına çağırdı ve şöyle dedi: “Oğullarım, ben yakında öleceğim. Beni gömdüğün anda kulübeyi kilitle ve kendi mutluluğunu bulmak için dünyanın öbür ucuna git. Her biriniz bir şeyler öğrensin ki, kendinizi doyurabilesiniz.” Baba öldü ve oğulları üç yıl sonra kendi korularının açıklığına dönmeyi kabul ederek dünyanın dört bir yanına dağıldılar. Marangozluğu öğrenen ilk kardeş geldi, bir ağacı kesip kesti, ondan bir kadın yaptı, biraz uzaklaştı ve bekledi. İkinci kardeş dönmüş, tahtadan kadını görmüş ve terzi olduğu için onu bir dakikada giydirmiş: nasıl yetenekli usta onun için çok güzel ipek elbiseler yaptı. Üçüncü oğul kadını altınla süsledi ve değerli taşlar- sonuçta o bir kuyumcuydu. Sonunda dördüncü kardeş geldi. Marangozluk yapmayı, dikiş dikmeyi bilmiyordu, yalnızca toprağın, ağaçların, otların, hayvanların ve kuşların söylediklerini dinlemeyi biliyordu, gök cisimlerinin hareketlerini biliyordu ve harika şarkılar söylemeyi de biliyordu. Çalıların arkasına saklanan kardeşleri ağlatacak bir şarkı söyledi. Bu şarkıyla kadını canlandırdı, gülümsedi ve içini çekti. Kardeşler ona koştu ve her biri aynı şeyi bağırdı: "Sen benim karım olmalısın." Ama kadın cevap verdi: “Beni sen yarattın, babam ol. Beni giydirdin ve süsledin; kardeşlerim ol. Ve sen, bana ruhumu üfleyen ve bana hayattan keyif almayı öğreten, hayatımın geri kalanında ihtiyacım olan tek kişi sensin."

Hikayeyi bitiren Leonardo, Monna Lisa'ya baktı, yüzü ışıkla aydınlandı, gözleri parladı. Sonra sanki bir rüyadan uyanmış gibi içini çekti, elini yüzünde gezdirdi ve tek kelime etmeden yerine gitti, ellerini kavuşturdu ve her zamanki pozunu aldı. Ama iş bitmişti; sanatçı kayıtsız heykeli uyandırdı; Yüzünden yavaş yavaş kaybolan mutluluk gülümsemesi ağzının kenarlarında kaldı ve titredi, yüzüne şaşırtıcı, gizemli ve biraz kurnaz bir ifade verdi, tıpkı bir sırrı öğrenen ve onu dikkatle saklayarak artık yapamayan bir kişininki gibi. zaferini içeriyor. Leonardo, bu anı, sıkıcı modelini aydınlatan bu güneş ışınını kaçırmaktan korkarak sessizce çalıştı...

Bu sanat şaheserinde neyin fark edildiğini söylemek zor, ancak herkes Leonardo'nun bu görünüşte gizemli gülümsemeyi yakalayabildiği insan vücudunun yapısı hakkındaki derin bilgisinden bahsetti. Resmin tek tek bölümlerinin ifade gücünden ve portreye eşi benzeri görülmemiş bir eşlik eden manzaradan bahsettiler. İfadenin doğallığından, duruşun sadeliğinden, ellerin güzelliğinden bahsettiler. Sanatçı benzeri görülmemiş bir şey yaptı: Resim havayı tasvir ediyor, figürü şeffaf bir pusla kaplıyor. Başarıya rağmen Leonardo üzgündü; Floransa'daki durum sanatçıya acı verici göründü; yola çıkmaya hazırlandı. Emir akışıyla ilgili hatırlatmaların ona faydası olmadı.

I.I.'nin tablosundaki altın oran. Shishkin "Çam Korusu". I.I.'nin bu ünlü tablosunda. Shishkin, altın oranın nedenlerini açıkça gösteriyor. Parlak güneş ışığıyla aydınlanan bir çam ağacı (ön planda duran), resmin uzunluğunu altın orana göre bölüyor. Çam ağacının sağında güneşli bir tepecik var. Altın orana göre resmin sağ tarafını yatay olarak böler. Ana çamın solunda çok sayıda çam vardır - dilerseniz resmi altın orana göre bölmeye başarıyla devam edebilirsiniz.

Çamlık

Resimdeki parlak dikey ve yatay çizgilerin varlığı, onu altın orana göre bölerek, sanatçının amacına uygun olarak ona denge ve sakinlik karakteri verir. Sanatçının niyeti farklı olduğunda, örneğin hızla gelişen aksiyona sahip bir resim yaratıyorsa, böyle bir geometrik kompozisyon şeması (dikey ve yatayların ağırlıklı olduğu) kabul edilemez hale gelir.

VE. Surikov. "Boyaryna Morozova"

Rolü resmin orta kısmına verilmiştir. Resmin olay örgüsünün en yüksek yükseliş noktası ve en düşük düşüş noktasıyla sınırlıdır: Morozova'nın elinin en yüksek nokta olarak çift parmaklı haç işaretiyle yükselişi; bir el çaresizce aynı soylu kadına uzanıyordu, ama bu sefer yaşlı bir kadının eli - bir dilenci gezginin, altından gelen bir el son umut Kızağın ucu sizi kurtarmak için dışarı doğru kayar.

Ne dersin " en yüksek nokta"? İlk bakışta, bariz bir çelişkiyle karşı karşıyayız: Sonuçta, resmin sağ kenarından 0,618... aralıkla yerleştirilmiş A 1 B 1 kesiti, soylu kadının elinden, hatta başından ya da gözünden bile geçmiyor. ama soylu kadının ağzının önünde bir yerde sona eriyor.

Altın oran burada gerçekten en önemli noktaya geliyor. İçinde ve tam olarak içinde - en büyük güç Morozova.

Botticelli Sandro'nunkinden daha şiirsel bir tablo yoktur ve büyük Sandro'nun "Venüs"ünden daha ünlü bir tablosu yoktur. Botticelli'ye göre Venüs bir fikrin vücut bulmuş hali evrensel uyum Doğada hakim olan "altın oran". Venüs'ün orantısal analizi bizi buna ikna ediyor.

Venüs

Raphael "Atina Okulu". Raphael bir matematikçi değildi ama o dönemin birçok sanatçısı gibi geometri konusunda hatırı sayılır bilgiye sahipti. Bilim tapınağında antik çağın büyük filozoflarından oluşan bir topluluğun bulunduğu ünlü “Atina Okulu” freskinde, karmaşık bir çizimi analiz eden en büyük antik Yunan matematikçisi Öklid grubuna dikkatimiz çekiliyor.

İki üçgenin ustaca birleşimi de altın oran oranına göre inşa edilmiştir: 5/8 en boy oranına sahip bir dikdörtgenin içine yazılabilir. Bu çizimin mimarinin üst kısmına yerleştirilmesi şaşırtıcı derecede kolaydır. Üst köşeÜçgen, izleyiciye en yakın alandaki kemerin kilit taşına dayanır, alttaki ise perspektiflerin ufuk noktasına dayanır ve yan bölüm, kemerlerin iki parçası arasındaki mekansal boşluğun oranlarını gösterir.

Raphael'in "Masumların Katliamı" tablosundaki altın sarmal. Altın oranın aksine, dinamik ve heyecan hissi belki de en güçlü şekilde başka bir basit geometrik figürde - bir spiralde - kendini gösterir. Ünlü ressamın Vatikan'da fresklerini yarattığı 1509 - 1510 yıllarında Raphael tarafından gerçekleştirilen çok figürlü kompozisyon, olay örgüsünün dinamizmi ve dramasıyla tam olarak ayırt ediliyor. Raphael planını hiçbir zaman tamamlamadı, ancak taslağı, bu taslağa dayanarak "Masumların Katliamı" gravürünü yaratan, bilinmeyen İtalyan grafik sanatçısı Marcantinio Raimondi tarafından kazınmıştı.

Masumların katliamı

Eğer Raphael'in hazırlık taslağında, kompozisyonun anlamsal merkezinden - savaşçının parmaklarının çocuğun ayak bileği çevresinde kapandığı noktadan, çocuğun figürleri, onu yakınında tutan kadın, havaya kaldırılmış savaşçı - boyunca zihinsel olarak çizgiler çizersek. kılıcı ve ardından aynı grubun figürleri boyunca sağ taraftaki taslağı çizin (şekilde bu çizgiler kırmızıyla çizilmiştir) ve ardından bu parçaları kavisli noktalı bir çizgiyle birleştirin, ardından çok büyük bir doğrulukla altın bir spiral elde edilir. Bu, eğrinin başlangıcından geçen düz çizgiler üzerinde bir spiral tarafından kesilen bölümlerin uzunluklarının oranı ölçülerek kontrol edilebilir.

ALTIN ORAN VE GÖRÜNTÜ ALGILAMA

İnsan görsel analizcisinin, altın oran algoritması kullanılarak oluşturulan nesneleri güzel, çekici ve uyumlu olarak tanımlama yeteneği uzun zamandır bilinmektedir. Altın oran en mükemmel bütün hissi verir. Pek çok kitabın formatı altın orana uygundur. Pencereler, resimler ve zarflar, pullar, kartvizitler için seçilmiştir. Bir kişi F sayısı hakkında hiçbir şey bilmeyebilir, ancak nesnelerin yapısında ve olaylar dizisinde bilinçaltında altın oranın unsurlarını bulur.

Deneklerden çeşitli oranlarda dikdörtgenleri seçip kopyalamalarının istendiği çalışmalar yapılmıştır. Aralarından seçim yapılabilecek üç dikdörtgen vardı: bir kare (40:40 mm), en boy oranı 1:1,62 (31:50 mm) olan bir "altın oran" dikdörtgeni ve uzatılmış orantıları 1:2,31 (26:60) olan bir dikdörtgen mm).

Normal durumda dikdörtgen seçerken, vakaların 1/2'sinde kare tercih edilir. Sağ yarımküre altın oranı tercih eder ve uzun dikdörtgeni reddeder. Tam tersine sol yarımküre uzatılmış oranlara yönelerek altın oranı reddeder.

Bu dikdörtgenler kopyalanırken şu gözlemlendi: Sağ yarıküre aktif olduğunda kopyalardaki oranlar en doğru şekilde korundu; sol yarıküre aktif olduğunda tüm dikdörtgenlerin oranları bozuldu, dikdörtgenler uzadı (kare 1:1.2 en boy oranıyla dikdörtgen olarak çizildi; uzun dikdörtgenin oranları keskin bir şekilde artarak 1:2.8'e ulaştı) . "Altın" dikdörtgenin oranları en çok çarpıktı; kopyalardaki oranları 1:2.08 dikdörtgenin oranları haline geldi.

Kendi resimlerinizi çizerken altın orana yakın ve uzun oranlar hakimdir. Ortalama olarak oranlar 1:2'dir; sağ yarıküre altın bölümün oranlarını tercih ederken, sol yarıküre altın bölümün oranlarından uzaklaşarak deseni çizer.

Şimdi birkaç dikdörtgen çizin, kenarlarını ölçün ve en boy oranını bulun. Hangi yarımküre sizin için baskın?

FOTOĞRAFTA ALTIN ORAN

Fotoğrafta altın oranın kullanımına bir örnek, çerçevenin ana bileşenlerinin çerçevenin kenarlarından 3/8 ve 5/8 uzaklıktaki noktalara yerleştirilmesidir. Bu, şu örnekle açıklanabilir: Çerçevede rastgele bir yere yerleştirilmiş bir kedi fotoğrafı.

Şimdi çerçeveyi, çerçevenin her iki yanından toplam 1,62 uzunlukla orantılı olarak parçalara ayıralım. Segmentlerin kesişme noktasında, gerekli yerlerin yerleştirilmesi gereken ana “görsel merkezler” bulunacaktır. anahtar unsurlar Görüntüler. Kedimizi “görsel merkezlerin” noktalarına taşıyalım.

ALTIN ORAN VE UZAY

Astronomi tarihinden, 18. yüzyıl Alman gökbilimcisi I. Titius'un, bu serinin yardımıyla güneş sistemindeki gezegenler arasındaki mesafelerde bir düzen ve düzen bulduğu bilinmektedir.

Ancak kanuna aykırı görünen bir durum vardı: Mars ile Jüpiter arasında herhangi bir gezegen yoktu. Gökyüzünün bu bölümünün odaklanarak gözlemlenmesi, asteroit kuşağının keşfedilmesine yol açtı. Bu, 19. yüzyılın başında Titius'un ölümünden sonra oldu. Fibonacci serisi yaygın olarak kullanılmaktadır: canlıların arkitektoniğini, insan yapımı yapıları ve Galaksilerin yapısını temsil etmek için kullanılır. Bu gerçekler, sayı serilerinin evrenselliğinin işaretlerinden biri olan tezahür koşullarından bağımsızlığının delilidir.

Galaksinin iki Altın Spirali Davut Yıldızı ile uyumludur.

Galaksiden beyaz bir sarmal şeklinde çıkan yıldızlara dikkat edin. Spirallerden birinin tam 180° uzağında, açılan bir başka spiral ortaya çıkıyor... Uzun bir süre boyunca gökbilimciler, orada olan her şeyin bizim gördüğümüz şey olduğuna inanıyorlardı; eğer bir şey görünürse, o zaman vardır. Ya Gerçeğin görünmeyen kısmından tamamen habersizdiler ya da onu önemli görmüyorlardı. Ama Gerçekliğimizin görünmeyen tarafı aslında görünen taraftan çok daha büyüktür ve muhtemelen daha önemlidir... Başka bir deyişle, Gerçekliğin görünen kısmı bütünün yüzde birinden çok daha azdır, neredeyse hiçtir. Aslında asıl evimiz görünmez evrendir...

Evrende insanoğlunun bildiği tüm galaksiler ve içlerindeki tüm cisimler altın oran formülüne uygun olarak spiral şeklinde bulunmaktadır. Altın oran galaksimizin sarmalında yer alır

ÇÖZÜM

Formlarının çeşitliliği bakımından tüm dünya olarak anlaşılan doğa, olduğu gibi iki bölümden oluşur: canlı ve cansız doğa. Cansız doğanın yaratımları, insan yaşamının ölçeğine bakıldığında yüksek stabilite ve düşük değişkenlik ile karakterize edilir. İnsan doğar, yaşar, yaşlanır, ölür ama granit dağlar aynı kalır ve gezegenler Pisagor'un zamanında olduğu gibi Güneş'in etrafında döner.

Canlı doğanın dünyası bize tamamen farklı görünüyor - hareketli, değişken ve şaşırtıcı derecede çeşitli. Hayat bize çeşitliliğin ve yaratıcı kombinasyonların benzersizliğinin muhteşem bir karnavalını gösteriyor! Cansız doğanın dünyası, her şeyden önce, yaratımlarına istikrar ve güzellik veren bir simetri dünyasıdır. Doğal dünya, her şeyden önce “altın oran yasasının” işlediği bir uyum dünyasıdır.

Modern dünyada insanın doğa üzerindeki etkisinin artması nedeniyle bilim ayrı bir önem taşımaktadır. Şu andaki önemli görevler, insan ve doğa arasında yeni bir arada yaşama yollarının araştırılması, toplumun karşı karşıya olduğu felsefi, sosyal, ekonomik, eğitimsel ve diğer sorunların incelenmesidir.

Bu çalışma “altın bölüm”ün özelliklerinin canlı ve cansızlar üzerindeki etkisini inceledi. yaban hayatı, insanlık tarihinin ve bir bütün olarak gezegenin tarihsel gelişim süreci üzerine. Yukarıdakilerin hepsini analiz ederek, dünyayı anlama sürecinin büyüklüğüne, onun sürekli yeni kalıplarının keşfine bir kez daha hayret edebilir ve şu sonuca varabilirsiniz: Altın oran ilkesi, dünyanın yapısal ve işlevsel mükemmelliğinin en yüksek tezahürüdür. Sanatta, bilimde, teknolojide ve doğada bütün ve parçaları. Çeşitli doğal sistemlerin gelişim yasalarının, büyüme yasalarının çok çeşitli olmaması ve çok çeşitli oluşumlarda izlenebilmesi beklenebilir. Doğanın birliğinin ortaya çıktığı yer burasıdır. Heterojen doğa olaylarında aynı kalıpların tezahürüne dayanan böyle bir birlik düşüncesi, Pisagor'dan günümüze geçerliliğini korumuştur.

Bunu yaptıktan antika enstrüman, harika projeler yaratma fırsatına sahip olacaksınız.

"Altın Oran" eski Yunanlılar ve Mısırlılar tarafından binaları hesaplarken ve başarıyı elde etmek için bir model olarak kullanılmıştı. mükemmel oranlar.

Fibonacci ölçer ile donatılmış olarak projelerinizde de kullanabilirsiniz.

Kendi ölçüm cihazınıza sahip olmak için şekilde verilen ölçülere göre cihazın çizimini yaparak başlayın.

1,6 mm kalınlığındaki sert ahşaptan (iyi bir kalın kaplama yeterli olacaktır), boşlukları kesin ve üç kolu A, B, C'yi istenen genişliğe ve şekle göre işleyin. (Biz akçaağaç kullandık ama diğer ağaçlar da işe yarayacaktır.)

Deliklerin merkezlerini tam boyutlu çizimden ölçüm aletinin kollarına aktarın. Gösterildiği yerde 5,5 mm'lik bir delik açın ve her bir omuzu bitirin.

Parçaları kelepçe vidalarıyla sabitleyerek ve zamanla gevşemelerini önlemek için tutkal ekleyerek birleştirin.

"Wood-Master" dergisindeki materyallere dayanmaktadır

Rahat ve güzel yatak takımlarının özel bir özelliği vardır. sihirli güç. Ve her sabah sizi kucağından ayırmayan havadar bir yatakta uyanmak ne güzel. Keten dikildiğinde daha da keyifli
Güzel yuvarlak şekilli bir dizi tuzluk ve biberlik yaparak yemeğinize ekstra çekicilik katın. Bugün böyle bir set almak istiyorsanız, malzemeyi seçin (
Uzun bir parçanın ucuna dikey bir delik açmanız gerektiğinde size yardımcı olacak basit bir cihaz sunuyorum.
Özel standlar varken, gerekirse iş parçasını üzerlerine yerleştirebilmeniz için neden bir çalışma tezgahının üzerine tahta bloklar koyasınız ki? Sünger boşluklarını kullanarak dolap mobilyalarını üzerlerine monte edin
Müzik aleti üreticilerinin sevdiği bir veya iki burç kelepçesinden bir düzine yapın ve basıncı herhangi bir kavisli kenar üzerinde eşit olarak dağıtabilirsiniz.

Kategoride popüler:

Su ile çocuk oyunları Kamp için su ile ilgili oyunlar

Okumak

Kostüm komik kutlama Komik tıbbi...

Okumak

Öğretmene velilerden okula şükran sözleri Dilekler...

Okumak

Kurumsal etkinlikler için eğlenceli ve havalı yarışmalar

Okumak

Festival portalı yıldönümü tekrarı

Okumak

Geleneksel tatiller için çeşitli şarkılar...

Okumak

Günün kadının kahramanının akşamın başında ortaya çıkışı

Okumak

Büyükanne ve büyükbabalara ne hediye alınır?

Okumak

Ebeveynleri oğullarının doğum gününde tebrik ediyoruz

Okumak

Kafkas kadehleri, benzetmeler, yıldönümü şakaları...

Okumak

Hediye olarak doğum günü slayt gösterisi İndir...

Okumak

"Sevgililer Günü" konulu sunum

Okumak

Leonardo kaş pusulası nasıl kullanılır? Antik altın oran pusulası Genelleştirilmiş altın oran

Altın oran - harmonik oran

İkinci altın oran

altın Üçgen

Altın oranın tarihi

Fibonacci serisi

Genelleştirilmiş altın oran

Doğada oluşum ilkeleri

Altın oran ve simetri

Dinamik dikdörtgenler

Antik altın oran pusulası

ALTIN ​​ORAN - HARMONİK ORAN

İKİNCİ ALTIN ​​ORAN

ALTIN ​​ÜÇGEN (pentagram)

ALTIN ​​ORANIN TARİHİ

İKOSAHEDRON VE DODECAHEDRON

ALTIN ​​ORAN VE SİMETRİ

FIBONACCI SERİSİ

GENELLEŞTİRİLMİŞ ALTIN ​​ORAN

DOĞADA FORM OLUŞUMUNUN İLKELERİ

İNSAN VÜCUDU VE ALTIN ​​ORAN

HEYKELDE ALTIN ​​ORAN

MİMARLIKTA ALTIN ​​ORAN

MÜZİKTE ALTIN ​​ORAN

ŞİİRDE ALTIN ​​ORAN

Yazı Tipi ve Ev Eşyalarında ALTIN ​​ORAN

DIŞ ORTAMIN OPTİMUM FİZİKSEL PARAMETRELERİ

RESİMDE ALTIN ​​ORAN

ALTIN ​​ORAN VE GÖRÜNTÜ ALGILAMA

FOTOĞRAFTA ALTIN ​​ORAN

ALTIN ​​ORAN VE UZAY

ÇÖZÜM

ALTIN ORAN - HARMONİK ORAN

İKİNCİ ALTIN ORAN

ALTIN ÜÇGEN (pentagram)

ALTIN ORANIN TARİHİ

ALTIN ORAN VE SİMETRİ

GENELLEŞTİRİLMİŞ ALTIN ORAN

İNSAN VÜCUDU VE ALTIN ORAN

HEYKELDE ALTIN ORAN

MİMARLIKTA ALTIN ORAN

MÜZİKTE ALTIN ORAN

ŞİİRDE ALTIN ORAN

Yazı Tipi ve Ev Eşyalarında ALTIN ORAN

RESİMDE ALTIN ORAN

ALTIN ORAN VE GÖRÜNTÜ ALGILAMA

FOTOĞRAFTA ALTIN ORAN

ALTIN ORAN VE UZAY