Ev › salon › Altın bölümün pusulaları. Fibonacci çizici ve mobilya imalatında kullanımı

Altın bölümün pusulaları. Fibonacci çizici ve mobilya imalatında kullanımı

Dinamik Dikdörtgenler

Platon (MÖ 427...347) de altın bölünmeyi biliyordu. "Timaeus" diyaloğu, Pisagor okulunun matematiksel ve estetik görüşlerine ve özellikle de altın bölme sorularına ayrılmıştır.

Parthenon'un antik Yunan tapınağının cephesinde altın oranlar var. Kazıları sırasında antik dünyanın mimarları ve heykeltıraşları tarafından kullanılan pergeller bulundu. Pompei pusulası (Napoli'deki Müze) de altın bölümün oranlarını içerir.

Antika altın oran pusulaları

Bize kadar gelen antik literatürde altın bölünmeden ilk kez Öklid'in Elementleri'nde bahsedilmiştir. "Başlangıçlar"ın 2. kitabında altın bölümün geometrik yapısı verilmektedir.Öklid'den sonra Hypsicles (MÖ 2. yüzyıl), Pappus (MS 3. yüzyıl) ve diğerleri altın bölümün incelenmesiyle uğraşmışlardır.Ortaçağ Avrupa'sında altın bölme ile Euclid's Elements'in Arapça çevirileri aracılığıyla tanıştık. Navarre'den (3. yüzyıl) tercüman J. Campano çeviri hakkında yorum yaptı. Altın bölümün sırları kıskançlıkla korunuyor, katı bir gizlilik içinde tutuluyordu. Sadece inisiyeler tarafından biliniyorlardı.

Rönesans döneminde hem geometride hem de sanatta, özellikle mimaride uygulanması nedeniyle bilim adamları ve sanatçılar arasında altın bölünmeye olan ilgi arttı.Bir sanatçı ve bilim adamı olan Leonardo da Vinci, bunu gördü. İtalyan sanatçılar ampirik deneyim harikadır, ancak bilgi küçüktür. Geometri üzerine bir kitap tasarladı ve yazmaya başladı, ancak o sırada keşiş Luca Pacioli'nin bir kitabı çıktı ve Leonardo bu fikrinden vazgeçti. Çağdaşlara ve bilim tarihçilerine göre, Luca Pacioli gerçek bir aydındı, Fibonacci ve Galileo arasında İtalya'nın en büyük matematikçisiydi. Luca Pacioli, biri Resimde Perspektif Üzerine adlı iki kitap yazan sanatçı Piero della Francesca'nın öğrencisiydi. Tanımlayıcı geometrinin yaratıcısı olarak kabul edilir.

Leonardo da Vinci, altın bölümün çalışmasına da büyük önem verdi. Düzgün beşgenlerden oluşan stereometrik bir gövdenin bölümlerini yaptı ve her seferinde altın bölmede en boy oranlarına sahip dikdörtgenler elde etti. Böylece bu bölüme adını verdi. altın Oran. Bu yüzden hala en popüler olanıdır.

Aynı zamanda Kuzey Avrupa'da, Almanya'da Albrecht Dürer aynı sorunlar üzerinde çalışıyordu. Oranlar üzerine bir incelemenin ilk taslağına bir giriş taslağı çiziyor. Durer yazıyor. “Bir şeyi bilen, onu ihtiyacı olanlara öğretmelidir. Yapmak için yola çıktığım şey bu."

Dürer'in mektuplarından birine bakılırsa, İtalya'da kaldığı süre boyunca Luca Pacioli ile tanıştı. Albrecht Dürer, insan vücudunun oranları teorisini ayrıntılı olarak geliştirir. Dürer, oran sisteminde altın orana önemli bir yer ayırmıştır. Bir kişinin boyu, kemer çizgisiyle ve ayrıca indirilmiş ellerin orta parmaklarının uçlarından, yüzün alt kısmından - ağızdan vb. Çizilen çizgi ile altın oranlara bölünür. Bilinen orantılı pusula Dürer.

16. yüzyılın büyük astronomu Johannes Kepler, altın oranı geometrinin hazinelerinden biri olarak adlandırdı. Botanik (bitki büyümesi ve yapısı) için altın oranın önemine ilk dikkat çeken odur.

Kepler altın oranı kendi kendine devam eden olarak adlandırdı. "Öyle düzenlenmiştir ki," diye yazmıştı, "bu sonsuz oranın iki küçük terimi, üçüncü terime ulaşıyor ve sondaki herhangi iki terim, toplanırsa, sonraki terim ve aynı orantı sonsuza kadar kalır."

Altın oranın bir dizi segmentinin inşası hem artış yönünde (artan seriler) hem de azalma yönünde (azalan seriler) yapılabilir.

İsteğe bağlı uzunlukta düz bir çizgi üzerindeyse, segmenti erteleyin M, bir segmenti bir kenara koyun M. Bu iki parçaya dayanarak, artan ve azalan serilerin altın oranlı bir segment ölçeği oluşturuyoruz.

Altın oranın bir segment ölçeği oluşturma

Antik çağlardan beri insanlar, güzellik ve uyum gibi anlaşılması zor şeylerin herhangi bir matematiksel hesaplamaya tabi olup olmadığı sorusuyla ilgilendiler. Tabii ki, tüm güzellik yasaları birkaç formülde bulunamaz, ancak matematik çalışarak güzelliğin bazı terimlerini keşfedebiliriz - altın oran. Görevimiz, altın bölümün ne olduğunu bulmak ve insanlığın altın bölümün kullanımını nerede bulduğunu tespit etmektir.

Çevreleyen gerçekliğin nesnelerine ve fenomenlerine karşı farklı bir tavrımız olduğunu muhtemelen fark etmişsinizdir. Olmak H edep, ol H tekdüzelik, orantısızlık bizim tarafımızdan çirkin olarak algılanır ve itici bir izlenim yaratır. Ölçü, uygunluk ve uyum ile karakterize edilen nesneler ve fenomenler güzel olarak algılanır ve bizde hayranlık, neşe, neşe duygusu uyandırır.

Bir kişi, faaliyetinde sürekli olarak altın orana dayalı nesnelerle karşılaşır. Açıklanamayan şeyler var. Yani boş bir sıraya gelip üzerine oturuyorsunuz. nereye oturacaksın ortada? Ya da belki en uçtan? Hayır, büyük olasılıkla biri ya da diğeri değil. Bench'in bir bölümünün diğerine vücudunuza göre oranı yaklaşık 1,62 olacak şekilde oturacaksınız. Basit bir şey, kesinlikle içgüdüsel... Bir bankta oturarak "altın oranı" yeniden ürettiniz.

Altın oran eski Mısır ve Babil'de, Hindistan ve Çin'de biliniyordu. Büyük Pisagor, "altın bölümün" mistik özünün incelendiği gizli bir okul yarattı. Öklid bunu uygulayarak geometrisini ve ölümsüz heykelleri olan Phidias'ı yarattı. Platon, evrenin "altın bölüme" göre düzenlendiğini söyledi. Aristoteles, "altın bölümün" etik yasaya uygunluğunu buldu. "Altın bölümün" en yüksek uyumu Leonardo da Vinci ve Michelangelo tarafından vaaz edilecek çünkü güzellik ve "altın bölüm" bir ve aynıdır. Ve Hıristiyan mistikler, manastırlarının duvarlarına Şeytan'dan kaçan "altın bölümün" pentagramlarını çizecekler. Aynı zamanda, bilim adamları - Pacioli'den Einstein'a - arayacaklar, ancak tam anlamını asla bulamayacaklar. Olmak H virgülden sonraki son satır 1.6180339887... Garip, gizemli, açıklanamaz bir şey - bu ilahi oran, mistik bir şekilde tüm canlılara eşlik eder. Cansız doğa, "altın bölümün" ne olduğunu bilmiyor. Ama bu oranı mutlaka deniz kabuklarının kıvrımlarında, çiçek şeklinde, böcek şeklinde ve güzel bir insan vücudunda göreceksiniz. Yaşayan ve güzel olan her şey - her şey, adı "altın bölüm" olan ilahi yasaya uyar. Peki "altın oran" nedir? Bu mükemmel, ilahi kombinasyon nedir? Belki de güzellik yasasıdır? Yoksa hala mistik bir sır mı? Bilimsel olgu mu yoksa etik ilke mi? Cevap hala bilinmiyor. Daha doğrusu - hayır, biliniyor. "Altın bölüm" hem o hem de bir başkası ve üçüncüsüdür. Sadece ayrı ayrı değil, aynı zamanda ... Ve bu onun gerçek gizemi, büyük sırrı.

Güzelliğin nesnel bir değerlendirmesi için güvenilir bir ölçü bulmak muhtemelen zordur ve burada tek başına mantık yeterli olmayacaktır. Ancak güzellik arayışını hayatın anlamı haline getiren, bunu meslek edinenlerin deneyimi burada yardımcı olacaktır. Her şeyden önce bunlar sanat insanı dediğimiz sanatçılar, mimarlar, heykeltıraşlar, müzisyenler, yazarlar. Ancak bunlar kesin bilimlerin insanları, her şeyden önce matematikçiler.

Göze diğer duyu organlarından daha fazla güvenen insan, her şeyden önce çevresindeki nesneleri şekil olarak ayırt etmeyi öğrenmiştir. Bir nesnenin biçimine olan ilgi, yaşamsal bir zorunluluk tarafından belirlenebilir veya biçimin güzelliğinden kaynaklanabilir. Simetri ve altın oran kombinasyonuna dayanan form, en iyi görsel algıya ve güzellik ve uyum duygusunun ortaya çıkmasına katkıda bulunur. Bütün her zaman parçalardan oluşur, farklı boyutlardaki parçalar birbirleriyle ve bütünle belirli bir ilişki içindedir. Altın oran ilkesi, sanatta, bilimde, teknolojide ve doğadaki bütünün ve parçalarının yapısal ve işlevsel mükemmelliğinin en yüksek tezahürüdür.

ALTIN KESİT - HARMONİK ORAN

Matematikte orantı, iki oranın eşitliğidir:

AB doğru parçası aşağıdaki şekillerde iki kısma ayrılabilir:

iki eşit parçaya - AB: AC = AB: BC;
herhangi bir oranda iki eşit olmayan parçaya (bu tür parçalar orantı oluşturmaz);
bu nedenle, AB:AC=AC:BC olduğunda.

İkincisi, altın bölümdür (bölüm).

Altın bölüm, bir parçanın eşit olmayan parçalara o kadar orantılı bir şekilde bölünmesidir ki burada tüm parça büyük parçayla aynı şekilde ilişkilidir, tıpkı daha büyük parçanın kendisinin daha küçük olanla ilişkili olması gibi, başka bir deyişle, daha küçük parça daha büyük olan her şey için olduğu gibi, daha büyük olanla ilgili

a:b=b:c veya c:b=b:a.

Altın oranın geometrik gösterimi

Altın oranla pratik tanışma, bir pusula ve cetvel kullanarak düz bir çizgi parçasını altın orana bölmekle başlar.

Bir doğru parçasının altın orana göre bölünmesi. BC=1/2AB; CD=MÖ

B noktasından, AB'nin yarısına eşit bir dik geri yüklenir. Ortaya çıkan C noktası, bir çizgi ile A noktasına bağlanır. Ortaya çıkan çizgi üzerinde, D noktasıyla biten bir BC parçası çizilir. AD parçası, AB düz çizgisine aktarılır. Ortaya çıkan E noktası, AB segmentini altın oran oranında böler.

Altın oranın bölümleri olmadan ifade edilir H son kesir AE=0,618..., AB birim olarak alınırsa BE=0,382... Pratik amaçlar için genellikle yaklaşık 0,62 ve 0,38 değerleri kullanılır. AB segmenti 100 parça olarak alınırsa, segmentin en büyük parçası 62, küçük parçası 38 parçadır.

Altın bölümün özellikleri aşağıdaki denklemle açıklanmaktadır:

Bu denklemin çözümü:

Altın oranın özellikleri, bu sayı etrafında romantik bir gizem havası ve adeta mistik bir nesil yaratmıştır. Örneğin, beş köşeli düzgün bir yıldızda, her parça, altın oranla orantılı olarak onu kesen parçaya bölünür (yani, mavi parçanın yeşile, kırmızının maviye, yeşilin mora oranı 1,618'dir).

İKİNCİ ALTIN BÖLÜM

Bu oran mimaride bulunur.

İkinci altın bölümün inşası

Bölme şu şekilde yapılır. AB segmenti, altın bölüme orantılı olarak bölünmüştür. C noktasından dikey CD geri yüklenir. AB yarıçapı, A noktasına bir çizgi ile bağlanan D noktasıdır. ACD dik açısı ikiye bölünmüştür. C noktasından AD doğrusu ile kesişime doğru bir çizgi çiziliyor. E noktası, AD segmentini 56:44'e göre böler.

Bir dikdörtgenin ikinci altın oranın bir çizgisine bölünmesi

Şekil, ikinci altın bölümün çizgisinin konumunu gösterir. Altın kesit çizgisi ile dikdörtgenin orta çizgisi arasında ortada yer alır.

ALTIN ÜÇGEN (pentagram)

Artan ve azalan sıraların altın oranının parçalarını bulmak için pentagramı kullanabilirsiniz.

Düzenli bir beşgen ve beş köşeli yıldızın inşası

Bir pentagram yapmak için normal bir beşgen inşa etmeniz gerekir. Yapım yöntemi Alman ressam ve grafik sanatçısı Albrecht Dürer tarafından geliştirilmiştir. O dairenin merkezi, A daire üzerinde bir nokta ve E OA segmentinin orta noktası olsun. O noktasında kaldırılan OA yarıçapına dik olan daire ile D noktasında kesişir. Bir pusula kullanarak çap üzerinde CE=ED doğru parçasını işaretleyin. Bir daire içine alınmış düzgün bir beşgenin bir kenarının uzunluğu DC'dir. Daire üzerinde DC segmentlerini bir kenara ayırıyoruz ve düzgün bir beşgen çizmek için beş puan alıyoruz. Beşgenin köşelerini bir köşegen boyunca birleştirip bir pentagram elde ediyoruz. Beşgenin tüm köşegenleri birbirini altın oranla bağlanan parçalara ayırır.

Beşgen yıldızın her bir ucu altın bir üçgendir. Kenarları üstte 36 0 lık bir açı oluşturur ve yan tarafa serilen taban onu altın bölümle orantılı olarak böler.

AB düz çizgisini çizin. A noktasından, üzerine keyfi boyutta bir O segmentini üç kez yerleştiririz, ortaya çıkan P noktasından AB çizgisine dik bir çizgi çizeriz, P noktasının sağına ve soluna dik olarak O segmentlerini çıkarırız. d ve d 1 noktaları, A noktasıyla düz çizgilerle birleştirilir. dd 1 kesimi, onu Ad 1 doğrusuna koyarız, C noktasını alırız. Ad 1 doğrusunu altın oranla orantılı olarak böler. Ad 1 ve dd 1 satırları "altın" bir dikdörtgen oluşturmak için kullanılır.

Altın üçgenin inşası

ALTIN KESİT TARİHİ

Nitekim, Cheops piramidinin oranları, tapınaklar, ev eşyaları ve Tutankhamun'un mezarındaki süslemeler, Mısırlı ustaların onları yaratırken altın bölme oranlarını kullandıklarını gösteriyor. Fransız mimar Le Corbusier, Abydos'taki Firavun Seti I tapınağındaki kabartmada ve Firavun Ramses'i tasvir eden rölyefte, figürlerin oranlarının altın bölme değerlerine karşılık geldiğini bulmuştur. Kendi adını taşıyan mezardan tahta bir tahtanın kabartmasında tasvir edilen mimar Khesira, elinde altın bölme oranlarının sabitlendiği ölçü aletlerini tutmaktadır.

Yunanlılar yetenekli geometricilerdi. Aritmetik bile çocuklarına geometrik şekiller yardımıyla öğretildi. Pisagor karesi ve bu karenin köşegeni, dinamik dikdörtgenler oluşturmak için temel oluşturuyordu.

Dinamik Dikdörtgenler

Platon da altın bölümü biliyordu. Pisagorcu Timaeus, Platon'un aynı adlı diyaloğunda şöyle der: “İki şeyin bir üçüncüsü olmadan mükemmel bir şekilde birleşmesi imkansızdır, çünkü aralarında onları bir arada tutacak bir şeyin ortaya çıkması gerekir. Orantı bunu en iyi şekilde başarabilir, çünkü eğer üç sayı ortalamanın küçükle ilişkili olma özelliğine sahipse, büyük olan ortalamaya göre ve tersi, ortalama büyüke göre küçük ortalamaya göre, o zaman sonuncusu ve birincisi orta ve orta olacak - ilk ve son. Böylece gerekli olan her şey aynı olacak ve aynı olacağı için bir bütün oluşturacaktır. dünyevi dünya Plato iki tür üçgen kullanarak oluşturur: ikizkenar ve ikizkenar olmayan. en güzel sağ üçgen hipotenüsün bacaklardan iki kat daha küçük olduğu birini düşünür (böyle bir dikdörtgen yarım eşkenardır, Babillilerin ana figürüdür, altın orandan yaklaşık olarak farklı olan 1: 3 1/2 oranına sahiptir. 1/25 ve Thymerding tarafından "altın bölümlerin rakibi" olarak adlandırılır). Platon, üçgenleri kullanarak dört dünyevi elementle (toprak, su, hava ve ateş) ilişkilendirerek dört düzenli çokyüzlü oluşturur. Ve mevcut beş normal çokyüzlünün yalnızca sonuncusu - on iki yüzü de normal beşgen olan dodecahedron, göksel dünyanın sembolik bir görüntüsü olduğunu iddia ediyor.

icosahedron ve dodecahedron

On iki yüzlüyü (veya sanıldığı gibi Evrenin kendisini, sırasıyla dört yüzlü, oktahedron, ikosahedron ve küp ile sembolize edilen dört elementin bu özü) keşfetme onuru, daha sonra bir gemi kazasında ölen Hippasus'a aittir. Bu rakam gerçekten altın bölümün birçok ilişkisini yakalıyor, bu yüzden ikincisi verildi ana rol daha sonra Küçük Kardeş Luca Pacioli tarafından ısrar edilen göksel dünyada.

Antika altın oran pusulaları

Bize kadar gelen antik literatürde altın bölünmeden ilk kez Öklid'in Elementleri'nde bahsedilmiştir. "Başlangıçlar"ın 2. kitabında altın bölümün geometrik yapısı verilmektedir. Öklid'den sonra Hypsikles (M.Ö. 2. yüzyıl), Pappus (MS 3. yüzyıl) ve diğerleri altın bölümü incelediler ve Orta Çağ Avrupa'sında altın bölümü Öklid'in "Başlangıçlar" kitabının Arapça çevirilerinden öğrendiler. Navarre'den (3. yüzyıl) tercüman J. Campano çeviri hakkında yorum yaptı. Altın bölümün sırları kıskançlıkla korunuyor, katı bir gizlilik içinde tutuluyordu. Sadece inisiyeler tarafından biliniyorlardı.

Orta Çağ'da, pentagram şeytanlaştırıldı (aslında eski paganizmde ilahi kabul edilen pek çok şey gibi) ve okült bilimlerde sığınak buldu. Ancak Rönesans, hem pentagramı hem de altın oranı yeniden gün ışığına çıkarır. Böylece insan vücudunun yapısını betimleyen bir şema, hümanizm iddiasının bu döneminde geniş bir tiraj kazandı.

Leonardo da Vinci de defalarca böyle bir resme başvurdu, aslında bir pentagramı yeniden üretti. Yorumu: insan vücudu ilahi mükemmelliğe sahiptir, çünkü içindeki oranlar ana göksel figürdeki ile aynıdır. Bir sanatçı ve bilim adamı olan Leonardo da Vinci, İtalyan sanatçıların çok fazla ampirik deneyime, ancak çok az bilgiye sahip olduğunu gördü. Geometri üzerine bir kitap tasarladı ve yazmaya başladı, ancak o sırada keşiş Luca Pacioli'nin bir kitabı çıktı ve Leonardo bu fikrinden vazgeçti. Çağdaşlara ve bilim tarihçilerine göre, Luca Pacioli gerçek bir aydındı, Fibonacci ve Galileo arasında İtalya'nın en büyük matematikçisiydi. Luca Pacioli, biri Resimde Perspektif Üzerine adlı iki kitap yazan sanatçı Piero della Francesca'nın öğrencisiydi. Tanımlayıcı geometrinin yaratıcısı olarak kabul edilir.

Luca Pacioli, bilimin sanat için öneminin gayet iyi farkındaydı.

1496'da Duke Moreau'nun daveti üzerine Milano'ya geldi ve burada matematik dersleri verdi. Leonardo da Vinci de o dönemde Milano'daki Moro sarayında çalışıyordu. 1509'da Luca Pacioli'nin 1509'da Venedik'te yayınlanan De divina ratione (1497) adlı eseri Venedik'te parlak çizimlerle yayınlandı, bu nedenle bunların Leonardo da Vinci tarafından yapıldığına inanılıyor. Kitap, altın orana coşkulu bir ilahiydi. Böyle tek bir oran vardır ve benzersizlik, Tanrı'nın en yüksek özelliğidir. Kutsal üçlüyü temsil eder. Bu oran erişilebilir bir sayı ile ifade edilemez, gizli ve gizli kalır ve bizzat matematikçiler tarafından irrasyonel olarak adlandırılır (bu nedenle Tanrı kelimelerle ne tanımlanabilir ne de açıklanabilir). Tanrı asla değişmez ve her şeyi her şeyde ve her şeyi her bir parçasında temsil eder, bu nedenle sürekli ve belirli herhangi bir nicelik için (büyük ya da küçük fark etmeksizin) altın oran aynıdır, değiştirilemez ya da değiştirilemez. akıl. Tanrı, diğer dört basit cismin (dört element - toprak, su, hava, ateş) yardımıyla beşinci madde olarak adlandırılan göksel erdemi ve doğadaki diğer her şeyi onların temelinde yaratmaya çağırdı; bu nedenle Timaeus'ta Platon'a göre kutsal oranımız, gökyüzünün kendisine biçimsel varlık verir, çünkü o, altın bölüm olmadan inşa edilemeyen on iki yüzlü denilen bir cismin biçimine atfedilir. Bunlar Pacioli'nin argümanları.

Leonardo da Vinci, altın bölümün çalışmasına da büyük önem verdi. Düzgün beşgenlerden oluşan stereometrik bir gövdenin bölümlerini yaptı ve her seferinde altın bölmede en boy oranlarına sahip dikdörtgenler elde etti. Bu nedenle bu bölüme altın bölüm adını vermiştir. Bu yüzden hala en popüler olanıdır.

Aynı zamanda Kuzey Avrupa'da, Almanya'da Albrecht Dürer aynı sorunlar üzerinde çalışıyordu. Oranlar üzerine bir incelemenin ilk taslağına bir giriş taslağı çiziyor. Dürer şöyle yazar: “Bir şeyi bilen, onu ihtiyacı olanlara da öğretmelidir. Yapmak için yola çıktığım şey bu."

Dürer'in mektuplarından birine bakılırsa, İtalya'da kaldığı süre boyunca Luca Pacioli ile tanıştı. Albrecht Dürer, insan vücudunun oranları teorisini ayrıntılı olarak geliştirir. Dürer, oran sisteminde altın orana önemli bir yer ayırmıştır. Bir kişinin boyu, kemer çizgisiyle ve ayrıca indirilmiş ellerin orta parmaklarının uçlarından, yüzün alt kısmından - ağızdan vb. Çizilen bir çizgi ile altın oranlara bölünür. Bilinen orantılı pusula Dürer.

Altın oranın bir dizi segmentinin inşası hem artış yönünde (artan seriler) hem de azalma yönünde (azalan seriler) yapılabilir.

İsteğe bağlı uzunlukta düz bir çizgi üzerindeyse, segmenti erteleyin M , bir segmenti bir kenara koyun M . Bu iki bölüme dayanarak, artan ve azalan sıraların altın oranlı bir segment ölçeği oluşturuyoruz.

Altın oranın bir segment ölçeği oluşturma

Sonraki yüzyıllarda altın oranın kuralı akademik bir kanona dönüştü ve zamanla akademik bir rutinle sanatta bir mücadele başlayınca, mücadelenin hararetinde “çocuğu suyla birlikte dışarı attılar.” Altın oran 2010 yılında yeniden "keşfedildi". ondokuzuncu orta V.

1855 yılında altın oranın Alman araştırmacısı Profesör Zeising, Estetik Araştırma adlı eserini yayınladı. Zeising ile, fenomeni diğer fenomenlerle bağlantısı olmadan bu şekilde değerlendiren araştırmacının başına gelenin aynısı olması kaçınılmazdı. Altın oranın oranını mutlaklaştırdı, onu doğa ve sanatın tüm fenomenleri için evrensel ilan etti. Zeising'in çok sayıda takipçisi vardı, ancak onun orantı doktrinini "matematiksel estetik" olarak ilan eden muhalifler de vardı.

Zeising harika bir iş çıkardı. Yaklaşık iki bin ölçtü insan vücudu ve altın oranın ortalama istatistiksel yasayı ifade ettiği sonucuna vardı. Göbek noktası ile vücudun bölünmesi altın oranın en önemli göstergesidir. Erkek vücudunun oranları, ortalama 13:8 = 1,625 oranı içinde dalgalanır ve altın orana oranlardan biraz daha yakındır. kadın vücudu, buna göre oranın ortalama değeri 8:5=1,6 oranında ifade edilir. Yenidoğanda oran 1: 1, 13 yaşında 1,6 ve 21 yaşında erkeğe eşittir. Altın bölümün oranları, vücudun diğer bölümlerine göre de kendini gösterir - omuz uzunluğu, ön kol ve el, el ve parmaklar vb.

Zeising, teorisinin geçerliliğini Yunan heykelleri üzerinde test etti. Apollo Belvedere'nin oranlarını en ayrıntılı şekilde geliştirdi. Yunan vazoları incelendi, mimari yapılar farklı çağlar, bitkiler, hayvanlar, kuş yumurtaları, müzik tonları, şiirsel ölçüler. Zeising altın oranı tanımladı, bunun doğru parçaları ve sayılarla nasıl ifade edildiğini gösterdi. Segmentlerin uzunluklarını ifade eden rakamlar elde edildiğinde Zeising bunların bir yönde ve diğer yönde sonsuza kadar devam edebilecek bir Fibonacci serisi oluşturduğunu gördü. Bir sonraki kitabının başlığı "Doğada ve sanatta temel morfolojik yasa olarak altın bölünme" idi. 1876'da Rusya'da Zeising'in çalışmalarının ana hatlarını çizen küçük bir kitap, neredeyse bir broşür yayınlandı. Yazar, Yu.F.V. baş harfleri altına sığındı. Bu baskıda tek bir resimden bahsedilmiyor.

İÇİNDE geç XIX- XX yüzyılın başı. altın bölümün sanat ve mimari eserlerinde kullanılmasıyla ilgili pek çok tamamen biçimsel teori ortaya çıktı. Tasarım ve teknik estetiğin gelişmesiyle birlikte, altın oran yasası araba, mobilya vb. tasarımına kadar uzandı.

ALTIN ORAN VE SİMETRİ

Altın oran simetri ile bağlantısı olmadan kendi içinde ayrı düşünülemez. Büyük Rus kristalograf G.V. Wulff (1863-1925), altın oranı simetrinin tezahürlerinden biri olarak kabul etti.

Altın bölme, asimetrinin bir tezahürü değil, simetriye zıt bir şey. Buna göre modern fikirler altın bölüm asimetrik simetridir. Simetri bilimi, statik ve dinamik simetri gibi kavramları içerir. Statik simetri dinlenmeyi, dengeyi, dinamik simetri ise hareketi, büyümeyi karakterize eder. Dolayısıyla, doğada statik simetri kristallerin yapısıyla temsil edilir ve sanatta barışı, dengeyi ve hareketsizliği karakterize eder. Dinamik simetri aktiviteyi ifade eder, hareketi, gelişimi, ritmi karakterize eder, yaşamın kanıtıdır. Statik simetri, eşit segmentler, eşit büyüklüklerle karakterize edilir. Dinamik simetri, segmentlerdeki artış veya azalma ile karakterize edilir ve artan veya azalan bir serinin altın bölümünün değerlerinde ifade edilir.

FİBONACCCI SERİSİ

Daha çok Fibonacci olarak bilinen Pisalı İtalyan matematikçi keşiş Leonardo'nun adı, dolaylı olarak altın bölümün tarihi ile bağlantılıdır. Doğu'da çok seyahat etti, Avrupa'yı Arap rakamlarıyla tanıştırdı. 1202 yılında, o dönemde bilinen tüm problemlerin toplandığı matematiksel çalışması “Abaküs Kitabı” (sayma tahtası) yayınlandı.

Bir dizi sayı 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, vb. Fibonacci serisi olarak bilinir. Sayı dizisinin özelliği, üçüncüden başlayarak üyelerinin her birinin önceki ikisinin toplamına eşit olmasıdır 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 vb. ve serinin bitişik sayıların oranı altın bölme oranına yaklaşır. Yani, 21:34=0,617 ve 34:55=0,618. Bu oran, Ф sembolü ile gösterilir. Yalnızca bu oran - 0.618: 0.382 - bir düz çizgi parçasının altın oranda sürekli olarak bölünmesini, sonsuza kadar artmasını veya azalmasını verir; daha büyük olan her şey içindir.

Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, parmağın her bir boğumunun uzunluğu bir sonraki boğumun uzunluğuna F oranında bağlıdır.Aynı ilişki tüm parmaklarda ve ayak parmaklarında görülür. Bu bağlantı bir şekilde olağandışıdır, çünkü bir parmak diğerinden daha uzundur ve herhangi bir görünür desen yoktur, ancak insan vücudundaki her şeyin tesadüfi olmadığı gibi bu da tesadüfi değildir. A'dan B'ye, C'den D'ye ve E'ye işaretlenmiş parmaklardaki mesafelerin hepsi F oranında birbirleriyle ilişkilidir, tıpkı F'den G'ye ve H'ye parmakların falanksları gibi.

Bu kurbağa iskeletine bir göz atın ve her bir kemiğin tıpkı insan vücudunda olduğu gibi F oranı modeline nasıl uyduğunu görün.

GENELLEŞTİRİLMİŞ ALTIN ORAN

Bilim adamları, Fibonacci sayıları ve altın bölüm teorisini aktif olarak geliştirmeye devam ettiler. Yu Matiyasevich, Fibonacci sayılarını kullanarak Hilbert'in 10. problemini çözüyor. Fibonacci sayılarını ve altın bölümü kullanarak bir dizi sibernetik problemi (arama teorisi, oyunlar, programlama) çözmek için yöntemler vardır. ABD'de, 1963'ten beri özel bir dergi yayınlayan Matematiksel Fibonacci Derneği bile kuruluyor.

Bu alandaki başarılardan biri, genelleştirilmiş Fibonacci sayılarının ve genelleştirilmiş altın oranların keşfidir.

Fibonacci serisi (1, 1, 2, 3, 5, 8) ve keşfettiği “ikili” ağırlıklar serisi 1, 2, 4, 8 ilk bakışta tamamen farklıdır. Ancak bunları oluşturmak için kullanılan algoritmalar birbirine çok benzer: ilk durumda, her sayı bir önceki sayının kendisiyle toplamıdır 2=1+1; 4=2+2..., ikincide - bu önceki iki sayının toplamıdır 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Genel bir matematik bulmak mümkün mü formül hangi "ikili » seriden ve Fibonacci serisinden? Ya da belki bu formül bize bazı yeni benzersiz özelliklere sahip yeni sayısal kümeler verecektir?

Aslında, herhangi bir değeri alabilen sayısal bir S parametresi belirleyelim: 0, 1, 2, 3, 4, 5... ve bir öncekinden S adımlarla ayrılmış. Bu dizinin n. üyesini ile gösterirsek? S (n), o zaman genel formülü elde ederiz? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Açıkçası, bu formülden S=0 ile, S=1 ile bir "ikili" dizi elde edeceğiz - S=2, 3, 4 ile bir Fibonacci dizisi. S-Fibonacci sayıları olarak adlandırılan yeni sayı dizileri.

İÇİNDE Genel görünüm altın S-oran, altın S-kesiti denkleminin x S+1 -x S -1=0 pozitif köküdür.

S=0 olduğunda segmentin ikiye bölünmesinin elde edildiğini ve S=1 olduğunda bilinen klasik altın bölümün elde edildiğini göstermek kolaydır.

Mutlak matematiksel doğrulukla komşu Fibonacci S-sayılarının oranları, altın S-oranlarıyla sınırda çakışıyor! Bu gibi durumlarda matematikçiler, altın S-kesitlerinin Fibonacci S-sayılarının sayısal değişmezleri olduğunu söylerler.

Doğada altın S-kesitlerinin varlığını doğrulayan gerçekler, Belarus bilim adamı E.M. Soroko, "Sistemlerin Yapısal Uyumu" kitabında (Minsk, "Bilim ve Teknoloji", 1984). Örneğin, iyi çalışılmış ikili alaşımların, yalnızca ilk bileşenlerin özgül ağırlıkları birbiriyle ilişkiliyse, özel, belirgin fonksiyonel özelliklere (termal olarak kararlı, sert, aşınmaya dayanıklı, oksidasyona dayanıklı, vb.) sahip olduğu ortaya çıktı. altın S-oranlarından birer birer. Bu, yazarın altın S-kesitlerinin kendi kendini organize eden sistemlerin sayısal değişmezleri olduğuna dair bir hipotez öne sürmesine izin verdi. Deneysel olarak doğrulanan bu hipotez, kendi kendini organize eden sistemlerdeki süreçleri inceleyen yeni bir bilim alanı olan sinerjetiğin gelişimi için temel öneme sahip olabilir.

Altın S-oran kodlarını kullanarak, herhangi bir gerçek sayı, tamsayı katsayılı altın S-oranlarının derecelerinin toplamı olarak ifade edilebilir.

Bu sayıları kodlama yöntemi arasındaki temel fark, altın S-oranları olan yeni kodların temellerinin S>0 için irrasyonel sayılar olduğu ortaya çıkmasıdır. Böylece, irrasyonel temellere sahip yeni sayı sistemleri, rasyonel ve irrasyonel sayılar arasında tarihsel olarak kurulmuş ilişki hiyerarşisini olduğu gibi "baş aşağı" koyar. Gerçek şu ki, ilk başta doğal sayılar "keşfedildi"; o zaman oranları rasyonel sayılardır. Ve ancak daha sonra, Pisagorcular ölçülemez segmentler keşfettikten sonra, irrasyonel sayılar ortaya çıktı. Örneğin, ondalık, beşli, ikili ve diğer klasik konumsal sayı sistemlerinde, doğal sayılar bir tür temel ilke olarak seçildi: 10, 5, 2, belirli kurallara göre, diğer tüm doğal ve rasyonel ve irrasyonel sayılar oluşturulmuştur.

bir nevi alternatif mevcut yöntemler hesap, irrasyonel bir sayının seçildiği hesaplamanın başlangıcının temel ilkesi olarak yeni, irrasyonel bir sistemdir (bunun, altın bölüm denkleminin kökü olduğunu hatırlıyoruz); diğer gerçek sayılar zaten onun aracılığıyla ifade edilir.

Böyle bir sayı sisteminde, herhangi bir doğal sayı her zaman sonlu bir sayı olarak temsil edilebilir - daha önce düşünüldüğü gibi sonsuz değil! altın S-oranlarından herhangi birinin kuvvetlerinin toplamıdır. Şaşırtıcı matematiksel basitliği ve zarafeti ile "irrasyonel" aritmetiğin, en iyi nitelikler klasik ikili ve "Fibonacci" aritmetiği.

DOĞADA ŞEKİLLENDİRME İLKELERİ

Herhangi bir şekle giren, oluşan, büyüyen, uzayda yer almaya ve kendini korumaya çalışan her şey. Bu istek esas olarak iki şekilde gerçekleşir: yukarıya doğru büyüme veya yeryüzüne yayılma ve spiral şeklinde kıvrılma.

Kabuk bir spiral şeklinde bükülür. Açarsanız, yılanın uzunluğundan biraz daha düşük bir uzunluk elde edersiniz. On santimetrelik küçük bir kabuğun 35 cm uzunluğunda bir spirali vardır Spiraller doğada çok yaygındır. Spiral hakkında söylenemezse, altın oran kavramı eksik olacaktır.

Spiral kıvrık kabuğun şekli Arşimet'in dikkatini çekti. Onu inceledi ve sarmalın denklemini çıkardı. Bu denkleme göre çizilen spiral onun adıyla anılır. Adımındaki artış her zaman eşittir. Şu anda, Arşimet spirali mühendislikte yaygın olarak kullanılmaktadır.

Goethe bile doğanın sarmal olma eğilimini vurguladı. Ağaç dallarındaki yaprakların spiral ve spiral dizilişi uzun zaman önce fark edildi.

Spiral, ayçiçeği tohumlarının dizilişinde, çam kozalaklarında, ananaslarda, kaktüslerde vs. görüldü. Botanikçiler ve matematikçilerin ortak çalışması, bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu. Bir daldaki yaprakların düzenlenmesinde (filotaksis), ayçiçeği tohumları, çam kozalakları Fibonacci serisinin kendini gösterdiği ve bu nedenle altın bölüm yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek ağını spiral bir düzende örer. Bir kasırga dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü spiral şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülür. Goethe spirali "yaşamın eğrisi" olarak adlandırdı.

Mandelbrot serisi

Altın sarmal, döngülerle yakından ilgilidir. Modern kaos bilimi, basit döngüsel geri bildirim işlemlerini ve bunlar tarafından üretilen, daha önce bilinmeyen fraktal formları inceler. Şekil, ünlü Mandelbrot serisini göstermektedir - sözlükten bir sayfa H Julian serisi olarak adlandırılan bireysel desenlerin uzuvları. Bazı bilim adamları Mandelbrot serisini aşağıdakilerle ilişkilendirir: genetik Kod hücre çekirdekleri. Bölümlerde tutarlı bir artış, sanatsal karmaşıklıklarında inanılmaz fraktalları ortaya çıkarır. Ve burada da logaritmik spiraller var! Hem Mandelbrot serisi hem de Julian serisi icat olmadığı için bu daha da önemli. insan zihni. Platon'un prototipleri alanından doğarlar. Doktor R. Penrose'un dediği gibi "Everest Dağı gibiler"

Yol kenarındaki çimenler arasında olağanüstü bir bitki büyür - hindiba. Daha yakından bakalım. Ana gövdeden bir dal oluştu. İşte ilk yaprak.

Ek, uzaya güçlü bir fırlatma yapar, durur, bir yaprağı serbest bırakır, ancak zaten birincisinden daha kısadır, yine uzaya bir fırlatma yapar, ancak daha az kuvvetle, daha da küçük boyutlu bir yaprağı serbest bırakır ve tekrar fırlatır.

İlk aykırı değer 100 birim olarak alınırsa, ikincisi 62 birim, üçüncüsü 38, dördüncüsü 24 vb. Yaprakların uzunluğu da altın orana tabidir. Büyümede, uzayın fethinde, bitki belirli oranları korudu. Büyüme dürtüleri, altın bölümle orantılı olarak yavaş yavaş azaldı.

Hindiba

Birçok kelebekte vücudun göğüs ve karın bölgelerinin büyüklük oranları altın orana karşılık gelir. Kanatlarını katlayan gece kelebeği, düzenli bir eşkenar üçgen oluşturur. Ancak kanatları açmaya değer ve vücudu 2, 3, 5, 8'e bölme ilkesini göreceksiniz. Yusufçuk da altın oran yasalarına göre yaratılmıştır: kuyruk uzunluklarının oranı ve gövde, toplam uzunluğun kuyruk uzunluğuna oranına eşittir.

Kertenkelede ilk bakışta gözümüze hoş gelen oranlar yakalanır - kuyruğunun uzunluğu vücudun geri kalanının uzunluğu ile 62 ila 38 arasındadır.

canlı kertenkele

Hem bitki hem de hayvanlar aleminde, doğanın şekillendirme eğilimi ısrarla kırılır - büyüme ve hareket yönüne göre simetri. Burada altın oran, büyüme yönüne dik parçaların oranlarında ortaya çıkar.

Doğa, simetrik parçalara ve altın oranlara ayırmayı gerçekleştirmiştir. Parçalarda, bütünün yapısının bir tekrarı kendini gösterir.

Kuş yumurtalarının formlarının incelenmesi büyük ilgi görüyor. Çeşitli biçimleri iki uç tip arasında gidip gelir: biri altın bölümün bir dikdörtgenine, diğeri 1.272 modülüne (altın oranın kökü) sahip bir dikdörtgene yazılabilir.

Bu tür kuş yumurtaları tesadüfi değildir, çünkü artık altın bölümün oranıyla tanımlanan yumurta şeklinin, yumurta kabuğunun daha yüksek mukavemet özelliklerine karşılık geldiği tespit edilmiştir.

Fillerin ve soyu tükenmiş mamutların dişleri, aslanların pençeleri ve papağanların gagaları logaritmik formlardır ve spirale dönüşme eğiliminde olan bir eksen şeklini andırırlar.

Yaban hayatında "beşgen" simetriye dayalı formlar (denizyıldızı, deniz kestanesi, çiçekler) yaygındır.

Altın oran tüm kristallerin yapısında mevcuttur, ancak çoğu kristal mikroskobik olarak küçüktür, bu nedenle onları çıplak gözle göremeyiz. Ancak aynı zamanda su kristalleri olan kar taneleri gözümüz için oldukça erişilebilirdir. Kar tanelerini oluşturan enfes güzellikteki tüm figürler, kar tanelerindeki tüm eksenler, daireler ve geometrik figürler de istisnasız her zaman altın oranın mükemmel berrak formülüne göre inşa edilmiştir.

Mikro kozmosta, altın oranlara göre inşa edilmiş üç boyutlu logaritmik formlar her yerde bulunur. Örneğin, birçok virüs bir ikosahedronun üç boyutlu geometrik şekline sahiptir. Bu virüslerin belki de en ünlüsü Adeno virüsüdür. Adeno virüsünün protein kabuğu, belirli bir sırayla düzenlenmiş 252 birim protein hücresinden oluşur. İkosahedronun her bir köşesinde beşgen prizma şeklinde 12 protein hücre birimi bulunur ve bu köşelerden sivri uçlu yapılar uzanır.

adeno virüsü

Virüslerin yapısındaki altın oran ilk olarak 1950'lerde keşfedildi. Londra'daki Birkbeck Koleji'nden bilim adamları A. Klug ve D. Kaspar. İlk logaritmik form kendi içinde Polyo virüsü tarafından ortaya çıkarıldı. Bu virüsün formunun Rhino virüsününkine benzer olduğu ortaya çıktı.

Şu soru ortaya çıkıyor: Virüsler, cihazı altın oranı içeren ve insan aklımızla bile inşa etmesi oldukça zor olan bu kadar karmaşık üç boyutlu formları nasıl oluşturuyor? Bu virüs formlarını keşfeden virolog A. Klug şu yorumu yapıyor: “Dr. Kaspar ve ben, virüsün küresel kabuğu için en uygun şeklin, ikosahedronun şekli gibi simetri olduğunu gösterdik. Böyle bir düzen, bağlantı elemanlarının sayısını en aza indirir... Buckminster Fuller'ın jeodezik yarım küre küplerinin çoğu, benzer bir geometrik ilkeye göre inşa edilir. Bu tür küplerin yerleştirilmesi, son derece kesin ve ayrıntılı bir açıklama şeması gerektirirken, bilinçsiz virüslerin kendileri, elastik, esnek protein hücre birimlerinden oluşan böylesine karmaşık bir kabuk oluşturur.

Klug'un bu yorumu son derece açık bir gerçeği bir kez daha hatırlatıyor: Bilim adamlarının "yaşamın en ilkel formu" olarak sınıflandırdığı mikroskobik bir organizmanın bile yapısında, bu durum virüste açık bir niyet ve makul bir tasarım var. Bu proje, insanlar tarafından yaratılan en gelişmiş mimari projelerle mükemmelliği ve uygulama hassasiyeti açısından kıyaslanamaz. Örneğin, parlak mimar Buckminster Fuller tarafından yaratılan projeler.

Dodecahedron ve icosahedron'un üç boyutlu modelleri, iskeleti silikadan yapılmış tek hücreli deniz mikroorganizmaları radyolaryanların (ışınlayıcılar) iskeletlerinin yapısında da mevcuttur.

Radyolaryalılar vücutlarını çok zarif, sıradışı bir güzellikle oluştururlar. Şekilleri düzenli bir dodecahedron'dur ve köşelerinin her birinden bir sözde uzama uzuv ve diğer olağandışı büyüme biçimleri büyür.

Bir şair, doğa bilimci ve sanatçı (suluboya ile boyadı ve boyadı) olan büyük Goethe, organik cisimlerin biçimi, oluşumu ve dönüşümü hakkında birleşik bir doktrin yaratmayı hayal etti. Morfoloji terimini bilimsel kullanıma sokan oydu.

Yüzyılımızın başında Pierre Curie, bir dizi derin simetri fikri formüle etti. Çevrenin simetrisini hesaba katmadan herhangi bir cismin simetrisini düşünemeyeceğimizi savundu.

"Altın" simetri yasaları, temel parçacıkların enerji geçişlerinde, bazılarının yapısında kendini gösterir. kimyasal bileşikler, gezegen ve uzay sistemlerinde, canlı organizmaların gen yapılarında. Yukarıda belirtildiği gibi bu modeller, bireysel insan organlarının ve bir bütün olarak vücudun yapısındadır ve ayrıca biyoritimlerde ve beynin işleyişinde ve görsel algıda kendini gösterir.

İNSAN VÜCUDU VE ALTIN KESİT

Tüm insan kemikleri altın oran ile orantılıdır. Vücudumuzun çeşitli bölgelerinin oranları altın orana çok yakın bir rakam oluşturur. Bu oranlar altın oranın formülü ile örtüşüyorsa, o zaman bir kişinin görünüşü veya vücudu ideal olarak inşa edilmiş kabul edilir.

İnsan vücudunun bazı bölümlerinde altın oranlar

Göbek noktasını insan vücudunun merkezi, insan ayağı ile göbek noktası arasındaki mesafeyi ölçü birimi olarak alırsak, bir insanın boyu 1.618 sayısına eşittir.

omuz seviyesinden başın tepesine olan mesafe ve başın boyutu 1:1.618;
göbek noktasından başın tepesine ve omuz seviyesinden başın tepesine olan mesafe 1:1.618;
göbek noktasının dizlere ve dizlerden ayaklara olan mesafesi 1:1.618;
çene ucundan üst dudağın ucuna ve üst dudağın ucundan burun deliklerine olan mesafe 1:1.618;
aslında bir insanın yüzündeki altın oranın tam olarak bulunması, insan bakışı için ideal olan güzelliktir;
çene ucundan kaşların üst çizgisine ve kaşların üst çizgisinden tepeye olan mesafe 1:1.618;
yüz yüksekliği/yüz genişliği;
dudakların burun tabanına / burun uzunluğuna merkezi bağlantı noktası;
yüz yüksekliği/çene ucundan dudakların birleşme noktasının merkez noktasına olan mesafe;
ağız genişliği/burun genişliği;
burun genişliği/burun delikleri arasındaki mesafe;
göz bebekleri arasındaki mesafe / kaşlar arasındaki mesafe.

Avucunuzu şimdi kendinize yaklaştırmanız ve dikkatlice bakmanız yeterlidir. işaret parmağı, ve içinde altın oran formülünü hemen bulacaksınız.

Elimizin her parmağı üç parmak kemiğinden oluşur. Parmağın tüm uzunluğuna göre parmağın ilk iki falanks uzunluklarının toplamı (başparmak hariç) altın oranı verir.

Ayrıca orta parmak ile küçük parmak arasındaki oran da altın orana eşittir.

Bir kişinin 2 eli vardır, her eldeki parmaklar 3 falankstan oluşur (başparmak hariç). Her elde 5, yani toplamda 10 parmak vardır, ancak iki falankslı başparmak hariç, altın oran ilkesine göre sadece 8 parmak oluşturulur. Oysa tüm bu sayılar 2, 3, 5 ve 8, Fibonacci dizisinin sayılarıdır.

Ayrıca çoğu insanda açık kolların uçları arasındaki mesafenin yüksekliğe eşit olduğuna dikkat edilmelidir.

Altın oranın gerçekleri içimizde ve alanımızda. Bir kişinin akciğerlerini oluşturan bronşların özelliği, asimetrilerinde yatmaktadır. Bronşlar iki ana hava yolundan oluşur, biri (solda) daha uzun ve diğeri (sağda) daha kısadır. Bu asimetrinin bronşların dallarında, tüm küçük hava yollarında devam ettiği saptandı. Ayrıca kısa ve uzun bronş uzunluklarının oranı da altın orandır ve 1:1.618'e eşittir.

İnsan iç kulağında, ses titreşimini iletme işlevini yerine getiren bir koklea ("Salyangoz") organı vardır. Bu kemiksi yapı sıvı ile doludur ve aynı zamanda sabit bir logaritmik spiral şekli = 73 0 43" içeren bir salyangoz şeklinde yaratılmıştır.

Kalp atışları sırasında kan basıncı değişir. En büyük değerine kalbin sol karıncığında kasılma (sistol) anında ulaşır. Kalbin ventriküllerinin sistolünde arterlerde, kan basıncı bir gençte 115-125 mm Hg'ye eşit maksimum bir değere ulaşır, sağlıklı kişi. Kalp kasının gevşeme anında (diyastol) basınç 70-80 mm Hg'ye düşer. Maksimum (sistolik) basıncın minimum (diyastolik) basınca oranı ortalama olarak 1,6'dır, yani altın orana yakındır.

Aorttaki ortalama kan basıncını birim olarak alırsak, aorttaki sistolik kan basıncı 0,382 ve diyastolik kan basıncı 0,618'dir, yani oranları altın orana karşılık gelir. Bu, kalbin zaman döngüleri ve kan basıncındaki değişikliklerle ilgili çalışmasının altın oran yasasının aynı ilkesine göre optimize edildiği anlamına gelir.

DNA molekülü dikey olarak iç içe geçmiş iki sarmaldan oluşur. Bu spirallerin her biri 34 angstrom uzunluğunda ve 21 angstrom genişliğindedir. (1 angstrom, santimetrenin yüz milyonda biridir).

DNA molekülünün sarmal bölümünün yapısı

Yani 21 ve 34, Fibonacci sayıları dizisinde birbirini takip eden sayılardır, yani DNA molekülünün logaritmik sarmalının uzunluk ve genişlik oranı, altın bölüm 1: 1.618'in formülünü taşır.

HEYKELDE ALTIN KESİT

Heykeller, anıtlar anısına dikilir önemli olaylar, soyundan gelenlerin anısına ünlü kişilerin isimlerini, istismarlarını ve eylemlerini saklamak. Antik çağlarda bile heykelin temelinin orantı teorisi olduğu bilinmektedir. İnsan vücudunun bölümlerinin ilişkileri, altın oranın formülü ile ilişkilendirildi. "Altın bölümün" oranları, uyum ve güzellik izlenimi yarattığı için heykeltraşlar bunları eserlerinde kullandılar. Heykeltraşlar, belin "altın bölüm" ile ilgili olarak mükemmel insan vücudunu böldüğünü iddia ediyor. Yani mesela ünlü Apollon Belvedere heykeli altın oranlara göre bölünmüş parçalardan oluşuyor. Büyük antik Yunan heykeltıraş Phidias, eserlerinde sıklıkla "altın oran" kullanmıştır. Bunların en ünlüsü (dünyanın harikalarından biri olarak kabul edilen) Olympian Zeus heykeli ve Athena Parthenon idi.

Apollon Belvedere heykelinin altın oranı biliniyor: tasvir edilen kişinin boyu altın bölümde göbek çizgisine bölünüyor.

MİMARİDE ALTIN KESİT

"Altın bölüm" ile ilgili kitaplarda, resimde olduğu gibi mimaride de her şeyin gözlemcinin konumuna bağlı olduğu ve bir yandan bir binadaki bazı orantıların "altın bölümü" oluşturduğu görülüyorsa, o zaman diğer bakış açılarından farklı görüneceklerdir. "Altın bölüm", belirli uzunluklardaki boyutların en rahat oranını verir.

Antik Yunan mimarisinin en güzel eserlerinden biri Parthenon'dur (MÖ V. yüzyıl).

Çizimlerde görülen bütün çizgi Altın oran ile ilgili modeller. Bir binanın oranları cinsinden ifade edilebilir. çeşitli dereceler sayılar Ф=0.618...

Parthenon'un kısa kenarlarında 8, uzun kenarlarında 17 sütun vardır. Çıkıntılar tamamen Pentilean mermerinden karelerden yapılmıştır. Tapınağın yapıldığı malzemenin asaleti, Yunan mimarisinde yaygın olan renklendirme kullanımını sınırlamayı mümkün kıldı, yalnızca ayrıntıları vurguluyor ve heykel için renkli bir arka plan (mavi ve kırmızı) oluşturuyor. Binanın yüksekliğinin uzunluğuna oranı 0,618'dir. Parthenon'u "altın bölüme" göre bölersek, cephenin belirli çıkıntılarını elde ederiz.

Parthenon'un kat planında "altın dikdörtgenler" de görebilirsiniz.

Altın oranı katedralin yapımında görebiliriz. Paris'in Notre Dame'ı(Notre Dame de Paris) ve Cheops piramidinde.

Altın oranın mükemmel oranlarına göre inşa edilen sadece Mısır piramitleri değil; aynı fenomen Meksika piramitlerinde de bulunur.

Uzun bir süre mimarların olduğuna inanılıyordu. Eski Rus' herhangi bir özel matematiksel hesaplama yapmadan her şeyi "gözle" inşa etti. Bununla birlikte, son araştırmalar, eski tapınakların geometrisinin analizinin kanıtladığı gibi, Rus mimarların matematiksel oranları iyi bildiklerini göstermiştir.

Ünlü Rus mimar M. Kazakov, çalışmalarında "altın bölümü" yaygın olarak kullandı. Yeteneği çok yönlüydü, ancak büyük ölçüde, tamamlanmış çok sayıda konut ve mülk projesinde kendini gösterdi. Örneğin, Kremlin'deki Senato binasının mimarisinde "altın bölüm" bulunabilir. M. Kazakov'un projesine göre, Moskova'da şu anda Birinci olarak adlandırılan Golitsyn Hastanesi inşa edildi. klinik hastane N.I.'nin adını aldı. Pirogov.

Moskova'daki Petrovsky Sarayı. M.F.'nin projesine göre inşa edilmiştir. Kazakova

Moskova'nın bir başka mimari şaheseri olan Pashkov Evi, V. Bazhenov'un en mükemmel mimari eserlerinden biridir.

Paşkov Evi

V. Bazhenov'un harika yaratımı, modern Moskova merkezinin topluluğuna sıkıca girdi, onu zenginleştirdi. 1812'de kötü bir şekilde yanmış olmasına rağmen, evin dış görünümü bugüne kadar neredeyse hiç değişmedi. Restorasyon sırasında bina daha masif formlar aldı. Yapının iç düzeni de korunmamış olup, ancak alt katın çizimi hakkında fikir vermektedir.

Mimarın birçok ifadesi günümüzde dikkati hak ediyor. V. Bazhenov, en sevdiği sanat hakkında şunları söyledi: “Mimarlığın üç ana konusu vardır: binanın güzelliği, sakinliği ve gücü ... Bunu başarmak için orantı, perspektif, mekanik veya genel olarak fizik bilgisi bir rehber görevi görür ve hepsinin ortak lideri akıldır.”

MÜZİKTE ALTIN ORAN

Herhangi bir müzik parçasının bir zaman aralığı vardır ve dikkat çeken ve bir bütün olarak algıyı kolaylaştıran bazı "estetik kilometre taşlarına" bölünür. Bu dönüm noktaları, bir müzik eserinin dinamik ve tonlamalı doruk noktaları olabilir. Bir müzik parçasının "doruk noktasına ulaşan bir olay" ile birbirine bağlanan ayrı zaman aralıkları, kural olarak Altın Oran oranındadır.

1925'te sanat eleştirmeni L.L. 42 yazarın 1770 müziğini analiz eden Sabaneev, seçkin eserlerin büyük çoğunluğunun altın bölümle ilgili olan temaya, tonlamaya veya modal sisteme göre kolayca bölümlere ayrılabileceğini gösterdi. Üstelik besteci ne kadar yetenekliyse eserlerinde o kadar çok altın bölüm bulundu. Sabaneev'e göre altın oran, bir müzik bestesinin özel bir uyumu izlenimi veriyor. Bu sonuç Sabaneev tarafından 27 Chopin etütünün tamamında doğrulandı. İçlerinde 178 altın bölüm buldu. Aynı zamanda, etütlerin sadece büyük bölümlerinin altın bölüme göre süreye göre bölünmediği, aynı zamanda etütlerin içindeki bölümlerin de genellikle aynı oranda bölündüğü ortaya çıktı.

Besteci ve bilim adamı M.A. Marutaev, ünlü Appassionata sonatındaki ölçü sayısını saydı ve bir dizi ilginç sayısal ilişki buldu. Özellikle temaların yoğun bir şekilde geliştirildiği ve anahtarların birbirinin yerini aldığı sonatın merkezi yapısal birimi olan geliştirmede iki ana bölüm vardır. İlk - 43.25 döngüde, ikinci - 26.75. 43.25:26.75=0.618:0.382=1.618 oranı altın oranı verir.

Arensky (%95), Beethoven (%97), Haydn (%97), Mozart (%91), Chopin (%92), Schubert (%91) Altın Bölüm'ün yer aldığı en fazla esere sahiptir.

Müzik seslerin armonik sıralamasıysa, şiir de konuşmanın armonik sıralamasıdır. Net bir ritim, vurgulu ve vurgusuz hecelerin düzenli değişimi, şiirlerin düzenli bir boyutu, duygusal zenginlikleri şiiri müzik eserlerinin kardeşi yapar. Şiirde altın oran öncelikle şiirin belli bir anının (zirve, anlamsal dönüm noktası, eserin ana fikri) bölünme noktasına atfedilebilen çizgide bulunması şeklinde kendini gösterir. toplam sayısışiirin dizeleri altın orandadır. Yani, şiir 100 satır içeriyorsa, Altın Oran'ın ilk noktası 62. satıra (% 62), ikincisi 38. satıra (% 38) vb. "Eugene Onegin" de dahil olmak üzere Alexander Sergeevich Puşkin'in eserleri, altın orana en iyi yazışmalardır! Shota Rustaveli ve M.Yu'nun eserleri. Lermontov da Altın Bölüm ilkesi üzerine inşa edilmiştir.

Stradivari, ünlü kemanlarının gövdelerindeki f şeklindeki çentiklerin yerlerini belirlemek için altın oranı kullandığını yazdı.

ŞİİRDE ALTIN KESİT

Bu konumlardan şiirsel eserler çalışmaları yeni başlıyor. Ve A.S.'nin şiiriyle başlamanız gerekiyor. Puşkin. Ne de olsa eserleri, Rus kültürünün en seçkin eserlerinin bir örneğidir, bir örnek en yüksek seviye uyum. A.S.'nin şiirinden. Puşkin, uyum ve güzelliğin ölçüsü olan altın oranı aramaya başlayacağız.

Şiirsel eserlerin yapısındaki çoğu, bu sanat formunu müzikle ilgili kılar. Net bir ritim, vurgulu ve vurgusuz hecelerin düzenli değişimi, şiirlerin düzenli bir boyutu, duygusal zenginlikleri şiiri müzik eserlerinin kardeşi yapar. Her dizenin kendi müzikal formu, kendi ritmi ve melodisi vardır. Şiirlerin yapısında müzik eserlerinin bazı özelliklerinin, kalıplarının ortaya çıkması beklenebilir. müzikal uyum ve dolayısıyla altın oran.

Şiirin boyutundan, yani içindeki dize sayısından başlayalım. Görünüşe göre şiirin bu parametresi keyfi olarak değişebilir. Ancak durumun böyle olmadığı ortaya çıktı. Örneğin A.S.'nin şiirlerinin analizi. Puşkin, ayetlerin boyutlarının çok düzensiz dağıldığını gösterdi; Puşkin'in açıkça 5, 8, 13, 21 ve 34 satır boyutlarını (Fibonacci sayıları) tercih ettiği ortaya çıktı.

Birçok araştırmacı şiirlerin benzer olduğunu fark etmiştir. müzik eserleri; şiiri altın oranla orantılı olarak bölen doruk noktalarına da sahiptirler. Örneğin A.S.'nin bir şiirini ele alalım. Puşkin "Ayakkabıcı":

Bu benzetmeyi inceleyelim. Şiir 13 mısradan oluşmaktadır. İki semantik bölümü vurgular: ilki 8 satırda ve ikincisi (meselden alınacak ders) 5 satırda (13, 8, 5 Fibonacci sayılarıdır).

Puşkin'in son şiirlerinden biri olan "Yüksek profilli haklara değer vermiyorum ..." 21 satırdan oluşuyor ve içinde iki anlamsal bölüm ayırt ediliyor: 13 ve 8 satırda:

Yüksek profilli haklara değer vermiyorum,

Kimsenin başı dönmez.

Tanrıların reddettiği gerçeğinden şikayet etmiyorum

Zorlayıcı vergilerin tatlı kısmındayım

Veya kralların birbirleriyle savaşmasına engel olun;

Ve benim için biraz keder, basın özgür mü

Aptal memeler veya hassas sansür

Magazin planlarında joker utandırıyor.

Bütün bunlar, görüyorsun, kelimeler, kelimeler, kelimeler.

Diğer, daha iyi haklar benim için değerlidir:

Başka, daha iyi, özgürlüğe ihtiyacım var:

Krala güvenin, halka güvenin -

Hepimizin umurunda değil mi? Tanrı onlarla beraberdir.

Rapor vermeyin, sadece kendinize

Servis yapın ve lütfen; güç için, üniforma için

Ne vicdanı, ne düşünceyi, ne de boynu bükmeyin;

Orada burada dolaşmak senin keyfine göre,

Doğanın ilahi güzelliğine hayran kalarak,

Ve sanat ve ilham yaratıklarından önce

Şefkatin hazzında sevinçle titreyen,

İşte mutluluk! Bu doğru...

Bu mısranın ilk bölümünün (13 mısra) anlam içeriği bakımından 8 ve 5 mısraya bölünmüş olması, yani şiirin tamamının altın oran kanunlarına göre inşa edilmiş olması karakteristiktir.

N. Vasyutinskiy tarafından yapılan "Eugene Onegin" romanının analizi şüphesiz ilgi çekicidir. Bu roman, her biri ortalama yaklaşık 50 mısradan oluşan 8 bölümden oluşmaktadır. En mükemmeli, en rafinesi ve duygusal olarak en zengini sekizinci bölümdür. 51 ayeti vardır. Yevgeny'nin Tatyana'ya yazdığı mektupla (60 satır) birlikte, bu tam olarak Fibonacci sayısı 55'e karşılık geliyor!

N. Vasyutinsky şöyle diyor: "Bölümün doruk noktası, Evgeny'nin Tatyana'ya olan aşk ilanıdır - "Soluk ve solgun ... bu mutluluk!" Bu satır, sekizinci bölümün tamamını iki kısma ayırır: ilki 477 satır, ikincisi ise 295 satırdır. Oranları 1.617! Altın oranın değerine en ince yazışma! Bu, Puşkin'in dehası tarafından gerçekleştirilen büyük bir uyum mucizesidir!

E. Rosenov, M.Yu'nun birçok şiirsel eserini inceledi. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoy ve ayrıca içlerindeki "altın bölümü" keşfetti.

Lermontov'un ünlü şiiri "Borodino" iki bölüme ayrılmıştır: anlatıcıya yönelik bir giriş, yalnızca bir dörtlük ("Söyle amca, sebepsiz değil ...") ve bağımsız bir bütünü temsil eden ana bölüm, iki eşdeğer parçaya bölünmüştür. Birincisi artan gerilimle bir savaş beklentisini, ikincisi ise şiirin sonlarına doğru gerilimin giderek azalmasıyla savaşın kendisini anlatıyor. Bu kısımlar arasındaki sınır, eserin doruk noktasıdır ve tam olarak onu altın bölüme ayırma noktasına denk gelir.

Şiirin ana bölümü 13 yedi mısra yani 91 mısradan oluşmaktadır. Altın oranla (91:1.618=56.238) bölerek bölme noktasının 57. âyetin başında, kısa bir ibarenin olduğu yerde olmasına dikkat ediyoruz: “Eh, bir gündü!” Şiirin ilk bölümünü (savaşın beklentisi) sonlandıran ve ikinci bölümünü (savaşın açıklaması) açan "heyecanlı beklentinin doruk noktasını" temsil eden bu ifadedir.

Böylece altın oran şiirde çok anlamlı bir rol oynar, şiirin doruk noktasını vurgular.

Shota Rustaveli'nin "Panter Derisindeki Şövalye" şiirinin birçok araştırmacısı, onun mısrasının olağanüstü uyumuna ve melodisine dikkat çekiyor. Şiirin bu özellikleri Gürcü bilim adamı, akademisyen G.V. Tsereteli bunu, şairin hem şiirin biçim oluşumunda hem de şiirlerinin kurgusunda altın oranı bilinçli olarak kullanmasına bağlar.

Rustaveli'nin şiiri, her biri dört mısradan oluşan 1587 kıtadan oluşmaktadır. Her dize 16 heceden oluşur ve her yarım satırda 8 heceden oluşan iki eşit parçaya bölünür. Tüm hemistich'ler iki tipte iki bölüme ayrılmıştır: A - eşit segmentlere sahip bir hemistich ve çift bir sayı heceler (4+4); B, iki eşit olmayan parçaya (5+3 veya 3+5) asimetrik bölünmüş bir yarım çizgidir. Böylece, yarım çizgi B'de oranlar 3:5:8'dir ve bu da altın orana bir yaklaşımdır.

Rustaveli'nin şiirindeki 1587 kıtanın yarısından fazlasının (863) altın oran esasına göre kurgulandığı tespit edilmiştir.

Zamanımızda yeni bir sanat türü doğdu - aksiyon, resim, müzik dramaturjisini özümsemiş sinema. Altın oranın tezahürlerini seçkin sinematografi eserlerinde aramak meşrudur. Bunu ilk yapan, dünya sinemasının başyapıtı “Battleship Potemkin”in yaratıcısı, film yönetmeni Sergei Eisenstein oldu. Bu resmin yapımında, uyumun temel ilkesi olan altın oranı somutlaştırmayı başardı. Eisenstein'ın kendisinin de belirttiği gibi, asi savaş gemisinin direğindeki kırmızı bayrak (filmin doruk noktası), filmin sonundan itibaren sayılan altın oran noktasında dalgalanıyor.

FONT VE EV EŞYALARINDA ALTIN ORAN

özel çeşit görsel Sanatlar Antik Yunançeşitli gemilerin imalatını ve boyanmasını vurgulamak gerekir. Zarif bir formda, altın bölümün oranları kolayca tahmin edilebilir.

Tapınakların resim ve heykellerinde, ev eşyalarında, eski Mısırlılar en çok tanrıları ve firavunları tasvir ettiler. Ayakta duran, yürüyen, oturan vb. Görüntünün kanonları oluşturuldu. Sanatçılardan, tablolardan ve örneklerden bireysel formları ve görüntü şemalarını ezberlemeleri istendi. Eski Yunan sanatçıları, kanonun nasıl kullanılacağını öğrenmek için Mısır'a özel geziler yaptılar.

DIŞ ORTAMIN OPTİMUM FİZİKSEL PARAMETRELERİ

Bilindiği üzere maksimum ses seviyesi ağrıya neden olan 130 desibele eşittir. Bu aralığı altın oran olan 1.618'e bölersek, 80 desibele ulaşırız ki bu, bir insan çığlığının şiddeti için tipik bir değerdir. Şimdi 80 desibeli altın orana bölersek 50 desibel elde ederiz ki bu da insan konuşmasının ses yüksekliğine karşılık gelir. Son olarak 50 desibeli 2.618 altın oranın karesine bölersek 20 desibele ulaşırız ki bu da bir insan fısıltısına karşılık gelir. Böylece, ses hacminin tüm karakteristik parametreleri altın oranla birbirine bağlanır.

18-20 0 C sıcaklık aralığında nem%40-60 optimal kabul edilir. Optimum nem aralığının sınırları, %100'lük mutlak nem altın orana bölünürse elde edilebilir: 100 / 2,618 = %38,2 (alt sınır); 100/1,618=%61,8 (üst sınır).

-de hava basıncı 0,5 MPa, kişi rahatsızlık hisseder, fiziksel ve psikolojik aktivite. 0,3-0,35 MPa basınçta sadece kısa süreli çalışmaya izin verilir ve 0,2 MPa basınçta 8 dakikadan fazla çalışmasına izin verilmez. Tüm bu karakteristik parametreler altın oranla birbirine bağlıdır: 0,5/1,618=0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

sınır parametreleri dış ortam sıcaklığı, bir kişinin normal varlığının (ve en önemlisi kökeninin) mümkün olduğu, 0 ila + (57-58) 0 C arasındaki sıcaklık aralığıdır. Açıkçası, açıklamaların ilk sınırı atlanabilir.

Belirtilen pozitif sıcaklık aralığını altın orana böleriz. Bu durumda iki sınır elde ederiz (her iki sınır da insan vücuduna özgü sıcaklıklardır): birincisi sıcaklığa karşılık gelir, ikinci sınır insan vücudu için mümkün olan maksimum dış hava sıcaklığına karşılık gelir.

RESİMDE ALTIN KESİT

Rönesans'ta bile sanatçılar, herhangi bir resmin, sözde görsel merkezler olarak adlandırılan, istemeden dikkatimizi çeken belirli noktaları olduğunu keşfettiler. Bu durumda, resmin hangi formatta yatay veya dikey olduğu önemli değildir. Bu tür yalnızca dört nokta vardır ve bunlar, düzlemin karşılık gelen kenarlarından 3/8 ve 5/8 uzaklıkta bulunur.

O dönemin sanatçıları arasındaki bu keşif, resmin "altın bölümü" olarak adlandırıldı.

Resimdeki "altın bölüm" örneklerine dönersek, Leonardo da Vinci'nin çalışmalarına dikkat çekmekten başka bir şey yapılamaz. Kimliği tarihin gizemlerinden biridir. Leonardo da Vinci'nin kendisi şöyle dedi: "Matematikçi olmayan hiç kimse eserlerimi okumaya cesaret etmesin."

Eşsiz bir sanatçı, büyük bir bilim adamı, 20. yüzyıla kadar uygulanmayan birçok icadı öngören bir dahi olarak ün kazandı.

Leonardo da Vinci'nin harika bir sanatçı olduğuna şüphe yok, çağdaşları bunu zaten kabul etti, ancak kişiliği ve faaliyetleri, gelecek nesillere fikirlerinin tutarlı bir sunumunu değil, yalnızca çok sayıda el yazısıyla yazılmış eskizleri, notları bıraktığı için gizemle örtülmeye devam edecek. "hem dünyadaki her şey" diyenler.

Sağdan sola okunaksız el yazısıyla ve sol eliyle yazardı. Bu, var olan ayna yazısının en ünlü örneğidir.

Monna Lisa'nın (Gioconda) portresi, çizimin kompozisyonunun düzenli bir yıldız beşgenin parçaları olan altın üçgenlere dayandığını bulan araştırmacıların yıllardır ilgisini çekmiştir. Bu portrenin tarihi hakkında birçok versiyon var. İşte onlardan biri.

Leonardo da Vinci, bankacı Francesco del Giocondo'dan bankacının karısı Monna Lisa olan genç bir kadının portresini yapması için bir sipariş aldığında. Kadın güzel değildi ama görünüşünün sadeliği ve doğallığından etkilenmişti. Leonardo bir portre çizmeyi kabul etti. Modeli üzgün ve üzgündü, ancak Leonardo ona bir peri masalı anlattı, duyduktan sonra canlı ve ilginç hale geldi.

MASAL. Bir zamanlar fakir bir adam varmış, dört oğlu varmış: üçü zeki, biri şu, bu. Ve sonra baba için ölüm geldi. Hayatından ayrılmadan önce çocuklarını yanına çağırdı ve şöyle dedi: “Oğullarım, yakında öleceğim. Beni gömer gömmez kulübeyi kilitle ve kendi servetini kazanmak için dünyanın öbür ucuna git. Her biriniz bir şeyler öğrensin ki karnınızı doyurabilesiniz.” Baba öldü ve oğullar, üç yıl sonra ana korularının açıklığına dönmeyi kabul ederek dünyanın dört bir yanına dağıldı. Marangozluk öğrenen, bir ağaç kesip biçen, ondan bir kadın yapan, biraz uzaklaşan ve bekleyen ilk erkek kardeş geldi. İkinci erkek kardeş geri döndü, tahta bir kadın gördü ve terzi olduğu için onu bir dakika içinde giydirdi: yetenekli bir zanaatkar olarak ona güzel ipek giysiler dikti. Üçüncü oğul kadını altınla süsledi ve değerli taşlarÇünkü o bir kuyumcuydu. Sonunda dördüncü kardeş geldi. Marangozluk ve dikiş bilmiyordu, sadece toprağın, ağaçların, otların, hayvanların ve kuşların söylediklerini dinlemesini biliyordu, yolu biliyordu. gök cisimleri ve harika şarkılar söyleyebilirdi. Çalıların arkasına saklanan kardeşleri ağlatan bir şarkı söyledi. Bu şarkıyla kadını canlandırdı, gülümsedi ve içini çekti. Kardeşler ona koştu ve her biri aynı şeyi bağırdı: "Sen benim karım olmalısın." Ama kadın cevap verdi: “Beni sen yarattın - babam ol. Beni giydirdin ve süsledin - kardeşlerim ol. Ve bana ruhumu üfleyen ve bana hayattan zevk almayı öğreten sen, ömür boyu yalnız sana ihtiyacım var.

Masalı bitirdikten sonra Leonardo, yüzü ışıkla aydınlanmış, gözleri parıldayan Monna Lisa'ya baktı. Sonra, sanki bir rüyadan uyanır gibi içini çekti, elini yüzüne götürdü ve tek kelime etmeden yerine gitti, ellerini kavuşturdu ve her zamanki duruşunu aldı. Ancak eylem yapıldı - sanatçı kayıtsız heykeli uyandırdı; Yüzünden yavaşça kaybolan mutluluk gülümsemesi, ağzının kenarlarında kaldı ve titredi, yüzüne şaşırtıcı, gizemli ve biraz kurnaz bir ifade verdi, tıpkı bir sırrı öğrenmiş ve dikkatlice saklayan bir kişininki gibi. zaferini dizginlemek. Leonardo sessizce çalıştı, bu anı, sıkıcı modelini aydınlatan bu güneş ışığını kaçırmaktan korkuyordu...

Bu sanat şaheserinde neyin fark edildiğini not etmek zor, ancak herkes Leonardo'nun insan vücudunun yapısı hakkındaki derin bilgisinden bahsetti, bu sayede bu gizemli gülümsemeyi yakalamayı başardı. Resmin tek tek bölümlerinin ifade gücü ve portrenin benzeri görülmemiş bir arkadaşı olan manzara hakkında konuştular. İfadenin doğallığından, duruşun sadeliğinden, ellerin güzelliğinden bahsettiler. Sanatçı benzeri görülmemiş bir şey yaptı: resim havayı tasvir ediyor, figürü şeffaf bir pusla kaplıyor. Başarıya rağmen Leonardo kasvetliydi, Floransa'daki durum sanatçıya acı verici göründü, gitmeye hazırlandı. Sel emirlerini hatırlatmak ona yardımcı olmadı.

Resimdeki altın bölüm I.I. Shishkin "Çam Korusu". I.I.'nin bu ünlü tablosunda. Shishkin, altın bölümün motifleri açıkça görülüyor. Parlak bir şekilde aydınlatılmış çam ağacı (ön planda duran) resmin uzunluğunu altın orana göre böler. Çam ağacının sağında güneş tarafından aydınlatılan bir tepecik var. Resmin sağ tarafını altın orana göre yatay olarak böler. Ana çamın solunda çok sayıda çam var - dilerseniz resmi altın orana ve daha fazlasına göre bölmeye başarılı bir şekilde devam edebilirsiniz.

çamlık

Resimdeki parlak dikey ve yatayların varlığı, onu altın bölüme göre bölerek, sanatçının niyetine uygun olarak ona denge ve dinginlik karakteri verir. Sanatçının niyeti farklı olduğunda, örneğin hızla gelişen bir eylemle bir resim yaratırsa, böyle bir geometrik kompozisyon şeması (dikey ve yatay ağırlıklı) kabul edilemez hale gelir.

İÇİNDE VE. Surikov. "Boyar Morozova"

Rolü resmin orta kısmına atanmıştır. Resmin olay örgüsünün en yüksek yükseliş noktası ve en düşük düşüş noktası ile bağlanır: Morozova'nın elinin en yüksek nokta olarak iki parmağıyla haç işareti ile yükselişi; aynı soylu kadına çaresizce uzanmış bir el, ama bu sefer yaşlı bir kadının eli - bir dilenci gezgin, altından bir el ile birlikte son umut kızağın ucu kurtuluş için kayar.

Peki ya " en yüksek nokta"? İlk bakışta bir çelişki gibi görünüyor: Ne de olsa resmin sağ kenarından 0.618 ... olan A 1 B 1 bölümü koldan geçmiyor, hatta kafasından veya gözünden bile geçmiyor. soylu kadın, ama soylu kadının ağzının önünde bir yerde olduğu ortaya çıktı.

Altın oran gerçekten burada en önemli şeyi kesiyor. İçinde ve içinde - en büyük güç Morozova.

Sandro Botticelli'ninkinden daha şiirsel bir tablo yoktur ve büyük Sandro'nun Venüs'ünden daha ünlü bir tablosu yoktur. Botticelli için Venüs'ü, doğada hüküm süren "altın bölümün" evrensel uyumu fikrinin somutlaşmış halidir. Venüs'ün orantılı analizi bizi buna ikna ediyor.

Venüs

Raphael "Atina Okulu". Raphael bir matematikçi değildi, ancak o dönemin birçok sanatçısı gibi önemli ölçüde geometri bilgisine sahipti. Bilim tapınağında antik çağın büyük filozoflarının toplandığı ünlü "Atina Okulu" freskinde, karmaşık bir çizimi parçalarına ayıran en büyük antik Yunan matematikçisi Öklid grubu dikkatimizi çekiyor.

İki üçgenin ustaca kombinasyonu da altın orana göre inşa edilmiştir: en boy oranı 5/8 olan bir dikdörtgenin içine yazılabilir. Bu çizim, mimarinin üst kısmına yerleştirmek için şaşırtıcı derecede kolaydır. Üst köşeüçgen, izleyiciye en yakın alanda kemerin kilit taşına dayanır, alttaki - perspektiflerin ufuk noktasında ve yan kısım, kemerlerin iki kısmı arasındaki uzamsal boşluğun oranlarını gösterir.

Raphael'in "Masumların Katliamı" tablosundaki altın sarmal. Altın bölümün aksine, dinamik hissi, heyecan, belki de en çok başka bir basit geometrik figürde - spiralde telaffuz edilir. Ünlü ressam Vatikan'da fresklerini yarattığında Raphael tarafından 1509 - 1510'da yapılan çok figürlü kompozisyon, olay örgüsünün dinamizmi ve dramasıyla ayırt ediliyor. Rafael fikrini hiçbir zaman tamamlamadı, ancak taslağı, bu taslağa dayanarak Masumların Katliamı gravürünü yaratan, bilinmeyen bir İtalyan grafik sanatçısı Marcantinio Raimondi tarafından oyulmuştu.

masumların katliamı

Raphael'in hazırlık eskizinde, zihinsel olarak kompozisyonun semantik merkezinden koşan çizgiler çizilirse - çocuğun figürleri boyunca, çocuğun ayak bileği çevresinde savaşçının parmaklarının kapandığı noktalar, onu ona sımsıkı saran kadın, elinde bir savaşçı olan savaşçı. kaldırılmış kılıç ve sonra sağ taraftaki eskizde aynı grubun figürleri boyunca (şekilde bu çizgiler kırmızı ile çizilmiştir) ve sonra eğrinin bu parçalarını noktalı bir çizgi ile birleştirin, ardından altın bir spiral elde edilir. çok yüksek doğruluk. Bu, eğrinin başlangıcından geçen düz çizgiler üzerinde spiral tarafından kesilen segmentlerin uzunluklarının oranı ölçülerek kontrol edilebilir.

ALTIN ORAN VE GÖRÜNTÜ ALGILAMASI

İnsan görsel analizörünün altın oran algoritmasına göre oluşturulmuş nesneleri güzel, çekici ve uyumlu olarak ayırt etme yeteneği uzun zamandır bilinmektedir. Altın oran, en mükemmel birleşik bütünün hissini verir. Birçok kitabın formatı altın orana uyar. Pencereler, tablolar ve zarflar, pullar, kartvizitler için seçilir. Bir kişi Ф sayısı hakkında hiçbir şey bilmiyor olabilir, ancak nesnelerin yapısında ve olayların dizisinde bilinçaltında altın oranın unsurlarını bulur.

Deneklerden çeşitli oranlarda dikdörtgenler seçip kopyalamalarının istendiği çalışmalar yapılmıştır. Aralarından seçim yapabileceğiniz üç dikdörtgen vardı: bir kare (40:40 mm), en boy oranı 1:1,62 (31:50 mm) olan bir "altın bölüm" dikdörtgeni ve 1:2,31 (26:26:31) uzatılmış oranlara sahip bir dikdörtgen. 60mm).

Normal durumda dikdörtgenleri seçerken, 1/2 durumlarda bir kare tercih edilir. Sağ yarımküre altın oranı tercih eder ve uzatılmış dikdörtgeni reddeder. Aksine, sol yarım küre uzamış oranlara yönelir ve altın oranı reddeder.

Bu dikdörtgenler kopyalanırken şu gözlemlendi: sağ yarımküre aktifken, kopyalardaki orantılar en doğru şekilde korunuyordu; sol yarımküre aktifken tüm dikdörtgenlerin oranları bozuldu, dikdörtgenler esnetildi (kare 1:1.2 en boy oranıyla bir dikdörtgen olarak çizildi; gerilmiş dikdörtgenin oranları keskin bir şekilde artarak 1:2.8'e ulaştı) ). "Altın" dikdörtgenin oranları en çok bozuktu; kopyalardaki oranları, 1:2.08 dikdörtgeninin oranları haline geldi.

Kendi çizimlerinizi çizerken altın orana yakın ve uzun oranlar hakimdir. Ortalama olarak oranlar 1:2'dir, sağ yarımküre altın bölümün oranlarını tercih ederken, sol yarımküre altın bölümün oranlarından uzaklaşır ve deseni esnetir.

Şimdi birkaç dikdörtgen çizin, kenarlarını ölçün ve en boy oranını bulun. Hangi yarım küreye sahipsiniz?

FOTOĞRAFTA ALTIN ORAN

Altın oranın fotoğrafta kullanımına bir örnek, çerçevenin temel bileşenlerinin çerçevenin kenarlarından 3/8 ve 5/8'lik noktalarda konumlandırılmasıdır. Bu, şu örnekle açıklanabilir: çerçevede rastgele bir yere yerleştirilmiş bir kedi fotoğrafı.

Şimdi çerçeveyi şartlı olarak, çerçevenin her bir tarafından toplam uzunluğun 1,62'si oranında bölümlere ayıralım. Segmentlerin kesişme noktasında, gerekli olanı yerleştirmeye değer olan ana "görsel merkezler" olacaktır. anahtar unsurlar Görüntüler. Kedimizi "görsel merkezler" noktalarına taşıyalım.

ALTIN ORAN VE UZAY

18. yüzyıl Alman astronomu I. Titius'un bu seriyi kullanarak güneş sisteminin gezegenleri arasındaki mesafelerde düzenlilik ve düzen bulduğu astronomi tarihinden bilinmektedir.

Ancak kanuna aykırı gibi görünen bir durum vardı: Mars ile Jüpiter arasında gezegen yoktu. Gökyüzünün bu bölgesinin odaklanmış gözlemi, asteroit kuşağının keşfedilmesine yol açtı. Bu, 19. yüzyılın başında Titius'un ölümünden sonra oldu. Fibonacci serisi yaygın olarak kullanılmaktadır: onun yardımıyla canlı varlıkların mimarisini, insan yapımı yapıları ve Galaksilerin yapısını temsil ederler. Bu gerçekler, sayı dizisinin evrenselliğinin göstergelerinden biri olan tezahür koşullarından bağımsız olduğunun kanıtıdır.

Galaksinin iki Altın Spirali, Davut Yıldızı ile uyumludur.

Beyaz bir sarmalda galaksiden çıkan yıldızlara dikkat edin. Spirallerin birinden tam olarak 180 0, başka bir açılan sarmal çıkıyor ... Uzun bir süre gökbilimciler, orada olan her şeyin gördüğümüz şey olduğuna inanıyorlardı; bir şey görünüyorsa, o zaman vardır. Hakikat'in görünmeyen kısmını ya hiç fark etmemişler ya da önemsememişlerdir. Ama Gerçekliğimizin görünmeyen tarafı aslında görünen taraftan çok daha geniştir ve muhtemelen daha önemlidir... Başka bir deyişle, Gerçekliğin görünen kısmı bütünün yüzde birinden çok daha azdır - neredeyse hiçtir. Aslında bizim gerçek evimiz görünmeyen evrendir...

Evrende, insanlığın bildiği tüm galaksiler ve içindeki tüm cisimler, altın oranın formülüne karşılık gelen bir sarmal şeklinde bulunur. Galaksimizin sarmalında altın oran yatıyor

ÇÖZÜM

Formlarının çeşitliliği içinde tüm dünya olarak anlaşılan doğa, adeta iki bölümden oluşur: canlı ve cansız doğa. Cansız doğanın yaratımları, insan yaşamının ölçeğine bakılırsa, yüksek stabilite, düşük değişkenlik ile karakterize edilir. İnsan doğar, yaşar, yaşlanır, ölür ama granit dağlar aynı kalır ve gezegenler Pisagor zamanındaki gibi Güneş'in etrafında döner.

Yaban hayatı dünyası tamamen farklı görünüyor - hareketli, değişken ve şaşırtıcı derecede çeşitli. Hayat bize yaratıcı kombinasyonların çeşitliliği ve özgünlüğünden oluşan harika bir karnaval gösteriyor! Cansız doğanın dünyası, her şeyden önce, yarattıklarına istikrar ve güzellik veren bir simetri dünyasıdır. Doğa dünyası, her şeyden önce, "altın oran yasasının" işlediği bir uyum dünyasıdır.

İÇİNDE modern dünya bilim, insanın doğa üzerindeki artan etkisiyle bağlantılı olarak özel bir öneme sahiptir. Mevcut aşamadaki önemli görevler, insan ve doğanın bir arada yaşaması için yeni yollar aramak, felsefi, sosyal, ekonomik, eğitimsel ve toplumun karşı karşıya olduğu diğer sorunları incelemektir.

Bu yazıda, "altın bölümün" özelliklerinin canlı ve cansız doğa üzerindeki etkisi, insanlık tarihinin ve bir bütün olarak gezegenin gelişiminin tarihsel seyri üzerindeki etkisi ele alınmıştır. Yukarıdakilerin hepsini inceleyerek, bir kez daha dünyayı bilme sürecinin ihtişamına, onun her zaman yeni kalıplarının keşfine hayret edebilir ve şu sonuca varabiliriz: altın oran ilkesi, yapısal ve işlevsel mükemmelliğin en yüksek tezahürüdür. sanatta, bilimde, teknolojide ve doğada bütün ve parçaları. Çeşitli doğa sistemlerinin gelişme yasalarının, büyüme yasalarının çok çeşitli olmaması ve en çok izlenebilmesi beklenebilir. çeşitli oluşumlar. Bu, doğanın birliğinin tezahürüdür. Heterojen doğa olaylarında aynı kalıpların tezahürüne dayanan böyle bir birlik fikri, Pisagor'dan günümüze ilgisini korumuştur.

altın Oran - evrensel ilke uyum

"Tatlar tartışmaz" - her birimiz bu formülü kaç kez duyduk ve hatta telaffuz ettik. Onunla hemfikir olarak, insan hayal gücünün kaldırabileceği her türlü rezaleti savunmaya hazırız. Son derece bencil, telaşlı, tutkulu, dünyayı irili ufaklı dinlemeye alışkın olmayan bir kişinin, zevk geliştirmek ve uyumu anlamak için hiçbir nedeni yoktur ve bu nedenle, güzellik derken en canavarca estetiği üretebilir. Sakin, yağlı dudaklarının arasından, "Güzel bir hayatı yasaklayamazsınız," diye tükürür, zevklerini savunur ve başkalarının onlar hakkında tartışmasını yasaklar. "Tabii ki zevkleri tartışmayacağız! Bize zarar vermediği sürece herkes kendi yolunda haklıdır" diye yankılanan insan şeklindeki hayvanlar, kendilerini bedensel ihtiyaçlardan daha derin anlamazlar. Ve bakımsız evlere yerleşmişler, yıkıcı müzikle doldurulmuşlar, okul sırası kaçınılmazlık sosu altında ona hizmet ederek sefaleti beslerler. Estetiğin gerilemesi, güzelliğe aldırış edilmemesi, artık güzellik için hayal kurmak ya da çabalamak istemeyen insanlığın çöküşüdür her zaman. Acı ve ölümdür.

Tek bir kişinin tüm bayağılık sistemine direnmesi zordur ve yeterli bilgiye sahip değilse, ona boyun eğmeye ve yok olmaya mahkumdur. Güzellik hissinin, dünyanın uyumunun her insanda yaşadığına inanmak isterim - sadece göstermeniz, nasıl kullanacağınızı öğrenmeniz gerekiyor.

Güzelliğin nesnel bir değerlendirmesi için güvenilir bir ölçü bulmak muhtemelen zordur ve burada tek başına mantık yeterli olmayacaktır. Ancak güzellik arayışını hayatın anlamı haline getiren, bunu meslek edinenlerin deneyimi burada yardımcı olacaktır. Her şeyden önce bunlar sanat insanı dediğimiz sanatçılar, mimarlar, heykeltıraşlar, müzisyenler, yazarlar. Ancak bunlar aynı zamanda kesin bilimlerin insanlarıdır - her şeyden önce matematikçiler.

Göze diğer duyu organlarından daha fazla güvenen insan, her şeyden önce çevresindeki nesneleri şekil olarak ayırt etmeyi öğrenmiştir. Bir nesnenin biçimine olan ilgi, yaşamsal bir zorunluluk tarafından belirlenebilir veya biçimin güzelliğinden kaynaklanabilir. Simetri ve altın bölümün birleşimine dayanan form, en iyi görsel algıya ve güzellik ve uyum duygusunun ortaya çıkmasına katkıda bulunur. Bütün her zaman parçalardan oluşur, farklı boyutlardaki parçalar birbirleriyle ve bütünle belirli bir ilişki içindedir. Altın oran ilkesi, sanatta, bilimde, teknolojide ve doğadaki bütünün ve parçalarının yapısal ve işlevsel mükemmelliğinin en yüksek tezahürüdür. Bu fikir, birçok önde gelen modern bilim adamı tarafından paylaşıldı ve paylaşıldı, çalışmalarında gerçek güzelliğin her zaman işlevsel olduğunu kanıtladı. Bunların arasında uçak tasarımcıları da var. Ve mimarlar, antropologlar ve diğerleri.

altın bölümün tarihi

Altın bölme kavramının bilimsel kullanıma antik Yunan filozofu ve matematikçisi (MÖ 6. yüzyıl) Pisagor tarafından getirildiği genel olarak kabul edilmektedir. Pisagor'un altın bölüm bilgisini Mısırlılar ve Babillilerden ödünç aldığı varsayımı var. Gerçekten de, Cheops piramidinin oranları, tapınaklar, kabartmalar, ev eşyaları ve Tutankhamun'un mezarındaki süslemeler, Mısırlı ustaların onları yaratırken altın bölme oranlarını kullandıklarını gösteriyor. Fransız mimar Le Corbusier, Abydos'taki Firavun Seti I tapınağındaki kabartmada ve Firavun Ramses'i tasvir eden rölyefte, figürlerin oranlarının altın bölme değerlerine karşılık geldiğini bulmuştur. Kendi adını taşıyan mezardan tahta bir tahtanın kabartmasında tasvir edilen mimar Khesira, elinde altın bölme oranlarının sabitlendiği ölçü aletlerini tutmaktadır.

Yirminci yüzyılın ilk çeyreğinde altın oranla ilgili bir kitap yazan Alman profesör G.E. Timerding şöyle diyor: "Pisagorcular arasında<...>gizemli kuvvetler ve özellikler düşüncesi normal beşgen ile ilişkilendirildi, ancak bu özellikler yalnızca sıradan bir beşgenin yanında, sıradan bir beşgenin tüm köşelerinden birinden sırayla bağlanarak elde edilen o yıldız düşünüldüğünde ortaya çıkıyor. , beşgenin köşegenlerinden oluşan "- ve diğer notlar: pentagram tüm büyülü bilimlerde büyük bir rol oynadı. Timerding'in gösterdiği gibi, beş köşeli yıldız, kelimenin tam anlamıyla altın bölümün oranlarıyla doldurulmuştur.

Platon (MÖ 427...347) de altın bölünmeyi biliyordu. Pisagorcu Timaeus, Platon'un aynı adlı diyaloğunda şöyle der: "İki şeyin üçüncüsü olmadan mükemmel bir şekilde birbirine bağlanması imkansızdır, çünkü aralarında onları bir arada tutacak bir şeyin ortaya çıkması gerekir. Bu en iyi orantılı olarak yapılabilir, çünkü eğer üç sayının özelliği, ortalamanın, büyük olanın ortaya göre küçük olana göre ve tam tersi, ortalamanın büyüğe göre küçük olanın ortalama olması, o zaman sonuncu ve birincinin orta olması, ortası da birincisi ve sonuncusu aynı olacağı için bir bütün oluşturacaktır.” Platon dünyevi dünyayı iki tür üçgen kullanarak inşa eder: ikizkenar ve ikizkenar olmayan. En güzel dik açılı üçgeni, hipotenüsün bacaklardan iki kat daha küçük olduğu bir üçgen olarak görüyor (böyle bir dikdörtgen yarım eşkenar, Babillerin ana figürü, 1: 3 1/2 oranına sahip) Altın orandan yaklaşık 1/25 oranında farklılık gösteren ve Zamanlama olarak adlandırılan "altın oranın rakibi"). Platon, üçgenleri kullanarak dört dünyevi elementle (toprak, su, hava ve ateş) ilişkilendirerek dört düzenli çokyüzlü oluşturur. Ve mevcut beş normal çokyüzlünün yalnızca sonuncusu - on iki yüzü de normal beşgen olan dodecahedron, göksel dünyanın sembolik bir görüntüsü olduğunu iddia ediyor.

On iki yüzlüyü (veya sanıldığı gibi Evrenin kendisini, sırasıyla dört yüzlü, oktahedron, ikosahedron ve küp ile sembolize edilen dört elementin bu özü) keşfetme onuru, daha sonra bir gemi kazasında ölen Hippasus'a aittir. Bu rakam gerçekten altın bölümün birçok ilişkisini yakalıyor, bu nedenle ikincisine, daha sonra küçük erkek kardeş Luca Pacioli tarafından ısrar edilen göksel dünyadaki ana rol verildi.

Bize ulaşan antik literatürde, altın bölünmeden ilk olarak Öklid'in "Başlangıçlar" ında bahsedilmiştir. "Başlangıçlar"ın 2. kitabında altın bölümün geometrik yapısı verilmektedir.Öklid'den sonra Hypsicles (MÖ 2. yüzyıl), Pappus (MS 3. yüzyıl) ve diğerleri altın bölümün incelenmesiyle uğraşmışlardır.Ortaçağ Avrupa'sında altın bölme ile Öklid'in "Başlangıçlar" adlı eserinin Arapça çevirileri aracılığıyla tanıştık. Navarre'den (3. yüzyıl) tercüman J. Campano çeviri hakkında yorum yaptı. Altın bölümün sırları kıskançlıkla korunuyor, katı bir gizlilik içinde tutuluyordu. Sadece inisiyeler tarafından biliniyorlardı.

Orta Çağ'da, pentagram şeytanlaştırıldı (aslında eski paganizmde ilahi kabul edilen pek çok şey gibi) ve okült bilimlerde sığınak buldu. Ancak Rönesans, hem pentagramı hem de altın oranı yeniden gün ışığına çıkarır. Böylece insan vücudunun yapısını anlatan bir şema, hümanizm iddiasının o döneminde geniş bir tiraj kazandı:

Leonardo da Vinci ayrıca, esasen bir pentagramı yeniden üreten böyle bir resme defalarca başvurdu. Onun yorumu: insan vücudunun sahip olduğu ilahi mükemmellik, çünkü içindeki oranlar ana göksel figürdeki ile aynıdır. Bir sanatçı ve bilim adamı olan Leonardo da Vinci, İtalyan sanatçıların çok fazla ampirik deneyime, ancak çok az bilgiye sahip olduğunu gördü. Geometri üzerine bir kitap tasarladı ve yazmaya başladı, ancak o sırada keşiş Luca Pacioli'nin bir kitabı çıktı ve Leonardo bu fikrinden vazgeçti. Çağdaşlara ve bilim tarihçilerine göre, Luca Pacioli gerçek bir aydındı, Fibonacci ve Galileo arasında İtalya'nın en büyük matematikçisiydi. Luca Pacioli, biri Resimde Perspektif Üzerine adlı iki kitap yazan sanatçı Piero della Francesca'nın öğrencisiydi. Tanımlayıcı geometrinin yaratıcısı olarak kabul edilir.

Luca Pacioli, bilimin sanat için öneminin gayet iyi farkındaydı. 1496'da Moreau Dükü'nün daveti üzerine Milano'ya geldi ve burada matematik dersleri verdi. Leonardo da Vinci de o dönemde Milano'daki Moro sarayında çalışıyordu. 1509'da Luca Pacioli'nin bir kitabı Venedik'te yayınlandı. "İlahi Oranda"(De divina ratione, 1497, 1509'da Venedik'te yayınlandı) zekice yapılmış resimlerle, bu yüzden Leonardo da Vinci tarafından yapıldığına inanılıyor. Kitap, altın orana coşkulu bir ilahiydi. Böyle tek bir oran vardır ve benzersizlik, Tanrı'nın en yüksek niteliğidir. Kutsal üçlüyü temsil eder. Bu oran erişilebilir bir sayı ile ifade edilemez, gizli ve gizli kalır ve bizzat matematikçiler tarafından irrasyonel olarak adlandırılır (bu nedenle Tanrı kelimelerle ne tanımlanabilir ne de açıklanabilir). Tanrı asla değişmez ve her şeyi her şeyde ve her şeyi kendi parçasında temsil eder, bu nedenle herhangi bir sürekli ve belirli nicelik için (büyük ya da küçük fark etmeksizin) altın oran aynıdır, değiştirilemez ya da zihin tarafından başka türlü algılanamaz. Tanrı, diğer dört basit cismin (dört element - toprak, su, hava, ateş) yardımıyla beşinci madde olarak adlandırılan göksel erdemi ve doğadaki diğer her şeyi onların temelinde yaratmaya çağırdı; bu nedenle Timaeus'ta Platon'a göre kutsal oranımız, gökyüzünün kendisine biçimsel varlık verir, çünkü o, altın bölüm olmadan inşa edilemeyen on iki yüzlü denilen bir cismin biçimine atfedilir. Bunlar Pacioli'nin argümanları.

Aynı zamanda Kuzey Avrupa'da, Almanya'da Albrecht Dürer aynı sorunlar üzerinde çalışıyordu. Oranlar üzerine bir incelemenin ilk taslağına bir giriş taslağı çiziyor. Durer yazıyor. "Bilenin ihtiyacı olanlara öğretmesi gerekir. Ben de bunu yapmak için yola çıktım."

Kepler altın oranın kendisini devam ettirdiğini söyledi ve şöyle yazdı: "Öyle düzenlenmiştir ki, bu sonsuz oranın iki küçük terimi üçüncü terimi oluşturur ve sondaki herhangi iki terim toplanırsa sonucu verir. sonraki terim ve aynı orantı sonsuza kadar kalır".

Altın oranın bir dizi segmentinin inşası hem artış yönünde (artan seriler) hem de azalma yönünde (azalan seriler) yapılabilir.

Sonraki yüzyıllarda altın oranın kuralı akademik bir kanona dönüştü ve zamanla sanatta akademik rutinle bir mücadele başlayınca, mücadelenin hararetinde "çocuğu suyla birlikte dışarı attılar". Altın bölüm, 19. yüzyılın ortalarında yeniden "keşfedildi". 1855 yılında altın oranın Alman araştırmacısı Profesör Zeising, "Estetik Araştırmalar" adlı eserini yayınladı. Zeising ile, fenomeni diğer fenomenlerle bağlantısı olmadan bu şekilde değerlendiren araştırmacının başına gelenin aynısı olması kaçınılmazdı. Altın oranın oranını mutlaklaştırdı, onu doğa ve sanatın tüm fenomenleri için evrensel ilan etti. Zeising'in çok sayıda takipçisi vardı, ancak onun orantı doktrinini "matematiksel estetik" olarak ilan eden muhalifler de vardı.

Zeising harika bir iş çıkardı. Yaklaşık iki bin insan vücudunu ölçtü ve altın oranın ortalama istatistiksel yasayı ifade ettiği sonucuna vardı. Göbek noktası ile vücudun bölünmesi altın oranın en önemli göstergesidir. Erkek vücudunun oranları ortalama 13: 8 = 1.625 oranında dalgalanır ve oranın ortalama değerinin 8 oranında ifade edildiği kadın vücudunun oranlarından altın orana biraz daha yakındır: 5 = 1.6. Yenidoğanda oran 1: 1, 13 yaşında 1,6 ve 21 yaşında erkeğe eşittir. Altın bölümün oranları, vücudun diğer bölümlerine göre de kendini gösterir - omuz uzunluğu, ön kol ve el, el ve parmaklar vb.

Zeising, teorisinin geçerliliğini Yunan heykelleri üzerinde test etti. Apollo Belvedere'nin oranlarını en ayrıntılı şekilde geliştirdi. Yunan vazoları, çeşitli dönemlere ait mimari yapılar, bitkiler, hayvanlar, kuş yumurtaları, müzik tonları, şiirsel ölçüler araştırmaya konu olmuştur. Zeising altın oranı tanımladı, bunun doğru parçaları ve sayılarla nasıl ifade edildiğini gösterdi. Segmentlerin uzunluklarını ifade eden rakamlar elde edildiğinde Zeising bunların bir yönde ve diğer yönde sonsuza kadar devam edebilecek bir Fibonacci serisi oluşturduğunu gördü. Bir sonraki kitabının başlığı "Doğada ve sanatta temel morfolojik yasa olarak altın bölünme" idi. 1876'da Rusya'da Zeising'in çalışmalarının ana hatlarını çizen küçük bir kitap, neredeyse bir broşür yayınlandı. Yazar, Yu.F.V. baş harfleri altına sığındı. Bu baskıda tek bir resimden bahsedilmiyor.

XIX'in sonunda - XX yüzyılın başında. altın bölümün sanat ve mimari eserlerinde kullanılmasıyla ilgili pek çok tamamen biçimsel teori ortaya çıktı. Tasarım ve teknik estetiğin gelişmesiyle birlikte, altın oran yasası araba, mobilya vb. tasarımına kadar uzandı.

biraz geometri

Matematikte oran(lat. orantı) iki ilişkinin eşitliğini arayın: a:b = c:d.

Çizgi segmenti AB aşağıdaki şekillerde iki kısma ayrılabilir:

iki eşit parçaya AB: AC = AB: BC;

herhangi bir oranda iki eşit olmayan parçaya (bu tür parçalar orantı oluşturmaz);

Öyleyse ne zaman AB: AC = AC: BC.

İkincisi, segmentin aşırı ve ortalama orandaki altın bölümü veya bölümüdür.

Altın bölüm, bir parçanın eşit olmayan parçalara o kadar orantılı bir bölünmesidir ki, burada tüm bölüm daha büyük parçayla aynı şekilde daha büyük parçanın daha küçük olanla ilişki kurmasıyla ilgilidir; veya başka bir deyişle, daha büyük olan her şey için olduğu gibi, daha küçük olan segment daha büyük olanla ilişkilidir.

a:b = b:cveya c: b = b: bir.

Altın oranla pratik tanışma, bir pusula ve cetvel kullanarak düz bir çizgi parçasını altın orana bölmekle başlar.

bir noktadan İÇİNDE yarıya eşit bir dikey geri yüklenir AB. Alınan nokta İLE bir çizgi ile bir noktaya bağlı A. Ortaya çıkan çizgi üzerine bir parça çizilir Güneş, bir nokta ile biten D. Çizgi segmenti AD düz bir hatta aktarılır AB. Sonuç noktası E segmenti böler AB altın oran içinde.

Altın oranın bölümleri sonsuz bir irrasyonel kesirle ifade edilir. AE= 0,618... eğer AB birim olarak almak OLMAK\u003d 0,382 ... Pratik amaçlar için, genellikle yaklaşık 0,62 ve 0,38 değerleri kullanılır. eğer segment AB 100 parça olarak alındığında segmentin en büyük parçası 62, küçüğü 38 parçadır.

Altın bölümün özellikleri aşağıdaki denklemle açıklanmaktadır:

x2 - x - 1 = 0.

Bu denklemin çözümü:

ikinci altın oran

Bulgar dergisi "Anavatan" (No. 10, 1983), Tsvetan Tsekov-Karandash'ın ana bölümden sonra gelen ve 44: 56'lık bir oran daha veren "İkinci altın bölüm üzerine" adlı bir makalesini yayınladı.

Böyle bir oran mimaride bulunur ve ayrıca uzun yatay formattaki görüntülerin kompozisyonlarının yapımında da yer alır.

Bölme şu şekilde yapılır. Çizgi segmenti AB altın orana göre bölünür. bir noktadan İLE dikey geri yüklendi CD. yarıçap AB bir nokta var D bir çizgi ile bir noktaya bağlanan A. sağ açı ACD ikiye bölünür. bir noktadan İLE bir çizgi, bir çizgi ile kesişene kadar çizilir AD. Nokta E segmenti böler AD 56:44 ile ilgili olarak.

Şekil, ikinci altın bölümün çizgisinin konumunu gösterir. Altın kesit çizgisi ile dikdörtgenin orta çizgisi arasında ortada yer alır.

altın Üçgen

Artan ve azalan serilerin altın oran segmentlerini bulmak için şunu kullanabilirsiniz: pentagram.

Bir pentagram yapmak için normal bir beşgen inşa etmeniz gerekir. Yapım yöntemi Alman ressam ve grafik sanatçısı Albrecht Dürer (1471...1528) tarafından geliştirilmiştir. İzin vermek Ö- dairenin merkezi A- daire üzerinde bir nokta ve E- segmentin ortası OA. Yarıçapa Dik OA, noktada geri yüklendi HAKKINDA, daireyi bir noktada keser D. Bir pusula kullanarak çapta bir segment ayırın CE = ED. Bir daire içine alınmış düzgün bir beşgenin bir kenarının uzunluğu DC. Segmentleri daireye koymak DC ve düzgün bir beşgen çizmek için beş puan alın. Beşgenin köşelerini bir köşegen boyunca birleştirip bir pentagram elde ediyoruz. Beşgenin tüm köşegenleri birbirini altın oranla bağlanan parçalara ayırır.

Beşgen yıldızın her bir ucu altın bir üçgendir. Kenarları üstte 36°'lik bir açı oluşturur ve yan tarafa serilen taban onu altın bölümle orantılı olarak böler.

Düz bir çizgi çiziyoruz AB. noktadan A sonuçtaki noktadan üç kez keyfi boyutta bir O segmenti ayırın Rçizgiye dik bir çizgi çiz AB, noktanın sağına ve soluna dik olarak R segmentleri ayırmak HAKKINDA. Alınan puanlar D Ve d1 düz bir çizgi ile bağlayın A. Çizgi segmenti dd1 hatta koymak reklam1, bir puan almak İLE. Çizgiyi ayırdı reklam1 altın oranla orantılıdır. çizgiler reklam1 Ve dd1"altın" bir dikdörtgen oluşturmak için kullanılır.

Fibonacci serisi

Daha çok Fibonacci (Bonacci'nin oğlu) olarak bilinen Pisalı İtalyan matematikçi keşiş Leonardo'nun adı, dolaylı olarak altın oranın tarihi ile bağlantılıdır. Doğu'da çok seyahat etti, Avrupa'yı Hint (Arap) rakamlarıyla tanıştırdı. 1202 yılında, o dönemde bilinen tüm problemlerin toplandığı matematiksel çalışması "Abaküs Kitabı" (sayma tahtası) yayınlandı. Görevlerden birinde "Bir yılda bir çiftten kaç çift tavşan doğacak" yazıyordu. Bu konu üzerine düşünen Fibonacci, aşağıdaki sayı dizisini oluşturdu:

aylar

vesaire.

tavşan çiftleri

vesaire.

Bir dizi sayı 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, vb. Fibonacci serisi olarak bilinir. Sayı dizisinin özelliği, üçüncüden başlayarak üyelerinin her birinin önceki iki 2 + 3 = 5'in toplamına eşit olmasıdır; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 vb. ve serinin bitişik sayılarının oranı altın bölme oranına yaklaşır. Yani 21:34 = 0,617 ve 34:55 = 0,618. Bu oran F sembolü ile gösterilir. Yalnızca bu oran - 0,618: 0,382 - bir düz çizgi parçasının altın oranda sürekli bir bölünmesini verir, onu arttırır veya sonsuza kadar azaltır, daha küçük segment daha büyük olanla şu şekilde ilişkili olduğunda: daha büyük olan her şey içindir.

Fibonacci aynı zamanda ticaretin pratik ihtiyaçlarını da ele aldı: Bir metayı tartmak için kullanılabilecek en küçük ağırlık sayısı nedir? Fibonacci, aşağıdaki ağırlık sisteminin optimal olduğunu kanıtlıyor: 1, 2, 4, 8, 16...

Fibonacci dizisi, bitki ve hayvanlar dünyasında altın bölümün tüm araştırmacılarının, sanattan bahsetmeye bile gerek yok, her zaman bu diziye altın bölme yasasının aritmetik bir ifadesi olarak gelmeleri olmasaydı, yalnızca matematiksel bir olay olarak kalabilirdi. .

Bilim adamları, Fibonacci sayıları ve altın oran teorisini aktif olarak geliştirmeye devam ettiler. Yu Matiyasevich, Fibonacci sayılarını kullanarak Hilbert'in 10. problemini çözüyor. Fibonacci sayılarını ve altın bölümü kullanarak bir dizi sibernetik problemi (arama teorisi, oyunlar, programlama) çözmek için zarif yöntemler vardır. ABD'de, 1963'ten beri özel bir dergi yayınlayan Matematiksel Fibonacci Derneği bile kuruluyor.

Doğada altın bölümlerin ve türevlerinin varlığını doğrulayan gerçekler, Belarus bilim adamı E.M. Soroko, "Sistemlerin Yapısal Uyumu" kitabında (Minsk, "Bilim ve Teknoloji", 1984). Örneğin, iyi çalışılmış ikili alaşımların, yalnızca ilk bileşenlerin özgül ağırlıkları birbiriyle ilişkiliyse, özel, belirgin fonksiyonel özelliklere (termal olarak kararlı, sert, aşınmaya dayanıklı, oksidasyona dayanıklı, vb.) sahip olduğu ortaya çıktı. altın oranlardan biriyle. Bu, yazarın altın bölümlerin kendi kendini organize eden sistemler için sayısal sabitler olduğu hipotezini ortaya koymasına izin verdi. Deneysel olarak doğrulanan bu hipotez, kendi kendini organize eden sistemlerdeki süreçleri inceleyen yeni bir bilim alanı olan sinerjetiğin gelişimi için temel öneme sahip olabilir.

Doğada şekillendirme ilkeleri

Herhangi bir forma giren her şey oluşmuş, büyümüş, uzayda yer edinmeye ve kendini korumaya çalışmıştır. Bu özlem, esas olarak iki varyantta gerçekleşir - yukarı doğru büyüme veya yeryüzünün yüzeyine yayılma ve bir spiral şeklinde bükülme.

Goethe bile doğanın sarmal olma eğilimini vurguladı. Ağaç dallarındaki yaprakların spiral ve spiral dizilişi uzun zaman önce fark edildi. Spiral, ayçiçeği tohumlarının dizilişinde, çam kozalaklarında, ananaslarda, kaktüslerde vs. görüldü. Botanikçiler ve matematikçilerin ortak çalışması, bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu. Bir daldaki yaprakların düzenlenmesinde (filotaksis), ayçiçeği tohumları, çam kozalakları Fibonacci serisinin kendini gösterdiği ve bu nedenle altın bölüm yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek ağını spiral bir düzende örer. Bir kasırga dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü spiral şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülür. Goethe spirali "yaşamın eğrisi" olarak adlandırdı.

Yol kenarındaki otlar arasında olağanüstü bir bitki büyür - hindiba. Daha yakından bakalım. Ana gövdeden bir dal oluştu. İşte ilk yaprak.

Pirinç. 12. Hindiba

İşlem, uzaya güçlü bir fırlatma yapar, durur, bir yaprağı serbest bırakır, ancak zaten birincisinden daha kısadır, yine uzaya bir fırlatma yapar, ancak daha az kuvvetle, daha da küçük boyutta bir yaprak bırakır ve tekrar fırlatır. İlk aykırı değer 100 birim olarak alınırsa, ikincisi 62 birim, üçüncüsü 38, dördüncüsü 24 vb. Yaprakların uzunluğu da altın orana tabidir. Büyümede, uzayın fethinde, bitki belirli oranları korudu. Büyüme dürtüleri, altın bölümle orantılı olarak yavaş yavaş azaldı.

Pirinç. 13.canlı kertenkele

Bir kertenkelede, ilk bakışta gözümüze hoş gelen oranlar yakalanır - kuyruğunun uzunluğu, vücudun geri kalanının uzunluğu ile 62 ila 38 arasındadır.

Hem bitki hem de hayvan dünyasında, doğanın biçim oluşturma eğilimi ısrarla kırılır - büyüme ve hareket yönüne göre simetri. Burada altın oran, büyüme yönüne dik parçaların oranlarında ortaya çıkar.

Doğa, simetrik parçalara ve altın oranlara ayırmayı gerçekleştirmiştir. Parçalarda, bütünün yapısının bir tekrarı kendini gösterir.

Pirinç. 14. kuş yumurtası

Bir şair, doğa bilimci ve sanatçı (sulu boya ile çizip boyadı) olan büyük Goethe, organik cisimlerin biçimi, oluşumu ve dönüşümü hakkında birleşik bir doktrin yaratmayı hayal etti. Morfoloji terimini bilimsel kullanıma sokan oydu.

Yüzyılımızın başında Pierre Curie, bir dizi derin simetri fikri formüle etti. Çevrenin simetrisini hesaba katmadan herhangi bir cismin simetrisini düşünemeyeceğimizi savundu.

"Altın" simetrinin düzenlilikleri, temel parçacıkların enerji geçişlerinde, bazı kimyasal bileşiklerin yapısında, gezegen ve uzay sistemlerinde, canlı organizmaların gen yapılarında kendini gösterir. Yukarıda belirtildiği gibi bu modeller, bireysel insan organlarının ve bir bütün olarak vücudun yapısındadır ve ayrıca biyoritimlerde ve beynin işleyişinde ve görsel algıda kendini gösterir.

Altın oran ve simetri

Altın oran simetri ile bağlantısı olmadan kendi içinde ayrı düşünülemez. Büyük Rus kristalograf G.V. Wulff (1863...1925), altın oranı simetrinin tezahürlerinden biri olarak kabul etti.

Altın bölme asimetrinin bir tezahürü değil, simetriye zıt bir şey.Modern kavramlara göre altın bölme asimetrik bir simetridir. Simetri bilimi şu kavramları içerir: statik Ve dinamik simetri. Statik simetri dinlenmeyi, dengeyi, dinamik simetri ise hareketi, büyümeyi karakterize eder. Dolayısıyla, doğada statik simetri kristallerin yapısıyla temsil edilir ve sanatta barışı, dengeyi ve hareketsizliği karakterize eder. Dinamik simetri aktiviteyi ifade eder, hareketi, gelişimi, ritmi karakterize eder, yaşamın kanıtıdır. Statik simetri, eşit segmentler, eşit büyüklüklerle karakterize edilir. Dinamik simetri, segmentlerdeki artış veya azalma ile karakterize edilir ve altın bölümün değerlerinde ifade edilir.

Gözlemle ve uygula

Altın bölüm ilkesini anlamak ve kullanmak, bazı seçkinlerin çoğu olmamalıdır - bu, sonsuz karmaşık uyum ve orantı yasalarının başladığı en temel bilgidir. Bu yasaların günlük yaşamda anlamlı bir şekilde uygulanmasının hiçbir sınırı yoktur. Ana ve ikincil olanın bütüne göre tahsisi her şeyle ilgili olabilir. Bu, kişinin zamanının ve her türlü sanat, edebiyat, müzik dahil herhangi bir yaratıcı sürecin dağılımı ve kişinin herhangi bir sürece ve fenomene karşı kendi tutumunun oluşumudur. Bu, eskilerin bahsettiği Altın, orta yoldur.

Her sanatçı, her yönetmen, her reklam uzmanı göze hoş gelen bir görüntünün nasıl yapılacağını, uyum ve psikoloji yasalarına göre nasıl inşa edileceğini bilir. insan algısı. Bazen kültürün en kötü düşmanları, Doğa kanunları bilgisini kullanarak önemli zaferler elde eder. Bu nedenle, hoş ve sevecen bir şey kisvesi altında, çoğu zaman en güçlü zehirlerin kalbimize girmesine izin veririz. Pek çok insan özgürlükten bahsederken, daha sonra hastalıklarının ve talihsizliklerinin nereden geldiğini merak ederek gönüllü olarak kendilerini zehirlerler.

Cehalette özgürlük olamaz. Tattaki pürüzlülük ve okunaksızlık aşılmalıdır. Bu hem bireylerin hem de toplulukların ve devletlerin endişesi olsun.

R. Annenkov tarafından derlenmiştir.

Çoğu zaman, çizdiğiniz öğenin "çalmadığı" bir durumla uğraşmak zorunda kalırsınız? Ters giden birşey mi var? Yanlış oranlar mı?

Doğada ideal olmadığı iddia edilmemelidir, çünkü o vardır ve uzun zaman önce matematik ve geometri yardımıyla çıkarılmıştır. "Altın bölüm" terimini ilk tanıtan kişinin adı bilinmiyor, ancak çoğu kişi bunun Leonardo Da Vinci olduğuna inanmaya alışkın. Bu terimin ilk ortaya çıkışı, 1835'te, Pure Elementary Mathematics'in ikinci baskısının dipnotunda Martin Ohm sayesindedir.

Altın oran formülü neye benziyor?

Bu, a/b = (a+b)/a doğru olduğunda, b ve a, a > b olmak üzere iki niceliğin uyumlu bir oranıdır. a/b oranına eşit bir sayı genellikle büyük bir Yunan harfiyle gösterilir

(\displaystyle \phi )

Antik Yunan heykeltıraş ve mimar Phidias'ın onuruna.

Pratik amaçlar için, yaklaşık = 1,618 veya = 1,62 değeriyle sınırlıdırlar. Yuvarlanmış bir yüzdede altın oran, bir değerin %62 ve %38'e bölünmesidir.

Bazen sayıya "altın sayı" denir

Sen ve ben matematikle uğraşmayalım diye, Zeki insanlar böyle bir daire ile geldi. Bununla, zaten kontrol edebilirsiniz bitmiş projeler parçaların oranına göre ve "altın bölüm" ilkesini dikkate alarak yenilerini inşa edin

Projeleriniz dünya kültür mirasında kalsın!

Kategoride popüler:

Çalışmak veya çalışmak - insan hayatının anlamı nedir İhtiyacımız var ...

Okumak

Bir çocuk karnı üzerinde plastunsky bir şekilde ve üzerinde emeklemeye başladığında ...

Okumak

Bir cisimler sisteminin hareketi İplikteki çekme kuvvetinin değerini bulun

Okumak

Anne ve babadan kızı tebrik ederim

Okumak

Fin dili: kendiniz nasıl öğrenebilirsiniz?

Okumak

HYDRA ARN körüklü kompansatör satışı ve...

Okumak

Küçük organizasyonlar için en iyi iş fikirleri...

Okumak

Vinçler küresel Vexve (Veksve): flanş,...

Okumak

Broen şirketi. Broen şirketi hakkında....

Okumak

Okumaları ileten elektrik sayacı:...

Okumak

Konteyner taşımacılığı iş fikri...

Okumak

İşten çıkarılma üzerine çalışma kitabına bir giriş ...

Okumak

Altın bölümün pusulaları. Fibonacci çizici ve mobilya imalatında kullanımı

Dinamik Dikdörtgenler

Antika altın oran pusulaları

ALTIN ​​KESİT - HARMONİK ORAN

İKİNCİ ALTIN ​​BÖLÜM

ALTIN ​​​​ÜÇGEN (pentagram)

ALTIN ​​KESİT TARİHİ

icosahedron ve dodecahedron

ALTIN ​​ORAN VE SİMETRİ

FİBONACCCI SERİSİ

GENELLEŞTİRİLMİŞ ALTIN ​​ORAN

DOĞADA ŞEKİLLENDİRME İLKELERİ

İNSAN VÜCUDU VE ALTIN ​​KESİT

HEYKELDE ALTIN ​​KESİT

MİMARİDE ALTIN ​​KESİT

MÜZİKTE ALTIN ​​ORAN

ŞİİRDE ALTIN ​​KESİT

FONT VE EV EŞYALARINDA ALTIN ​​ORAN

DIŞ ORTAMIN OPTİMUM FİZİKSEL PARAMETRELERİ

RESİMDE ALTIN ​​KESİT

ALTIN ​​ORAN VE GÖRÜNTÜ ALGILAMASI

FOTOĞRAFTA ALTIN ​​ORAN

ALTIN ​​ORAN VE UZAY

ÇÖZÜM

Altın oran formülü neye benziyor?

ALTIN KESİT - HARMONİK ORAN

İKİNCİ ALTIN BÖLÜM

ALTIN ÜÇGEN (pentagram)

ALTIN KESİT TARİHİ

ALTIN ORAN VE SİMETRİ

GENELLEŞTİRİLMİŞ ALTIN ORAN

İNSAN VÜCUDU VE ALTIN KESİT

HEYKELDE ALTIN KESİT

MİMARİDE ALTIN KESİT

MÜZİKTE ALTIN ORAN

ŞİİRDE ALTIN KESİT

FONT VE EV EŞYALARINDA ALTIN ORAN

RESİMDE ALTIN KESİT

ALTIN ORAN VE GÖRÜNTÜ ALGILAMASI

FOTOĞRAFTA ALTIN ORAN

ALTIN ORAN VE UZAY