Пенроуз неможливі фігури. Неможливий трикутник

Неможливий трикутник – один із дивовижних математичних парадоксів. При першому погляді на нього ні на секунду не можеш засумніватись у його реальному існуванні. Однак це лише ілюзія, обман. А можливість такої ілюзії пояснить нам математика!

Відкриття Пенроузів

У 1958 році Британський психологічний журнал опублікував статтю Л. Пенроуза та Р. Пенроуза, в якій вони ввели на розгляд новий типоптичної ілюзії, названої ними « неможливий трикутник».

Зрительно неможливий трикутник сприймається як реально існуюча в тривимірному просторі конструкція, що складається з прямокутних брусків. Але це лише оптична ілюзія. Побудувати реальну модель неможливого трикутника не можна.

Стаття Пенроуз містить кілька варіантів зображення неможливого трикутника. - Його «класичне» уявлення.

З яких елементів будується неможливий трикутник?

Точніше, із яких елементів він здається нам побудованим? В основі конструкції лежить прямокутний куточок, що виходить з'єднанням під прямим кутом двох однакових прямокутних брусків. Таких куточків потрібно три штуки, а брусків шість штук. Ці куточки треба певним чином візуально «з'єднати» один з одним так, щоб вони утворили замкнутий ланцюг. Те, що вийде, є неможливий трикутник.

Перший куточок помістимо у горизонтальній площині. До нього приєднаємо другий куточок, направивши одне з його ребер нагору. Нарешті, до цього другого куточка додамо третій куточок так, щоб його ребро було паралельно вихідній горизонтальній площині. При цьому два ребра першого та третього куточків будуть паралельні та направлені в різні боки.

Якщо вважати брусок відрізком одиничної довжини, то кінці брусків першого куточка мають координати, другого куточка - , і, третього - , і. Ми отримали реально існуючу в тривимірному просторі закручену конструкцію.

А тепер спробуємо подумки подивитися на неї з різних точокпростору. Уявіть, як вона виглядає з однієї точки, з іншої, третьої. При зміні точки спостереження здаватиметься, що два «кінцеві» ребра наших куточків переміщуються відносно один одного. Не важко підібрати таке становище, коли вони з'єднаються.

Але якщо відстань між ребрами набагато менша за відстань від куточків до точки, з якої ми розглядаємо нашу конструкцію, то обидва ребра матимуть для нас однакову товщину, і виникне уявлення про те, що ці два ребра - насправді продовження один одного. Така ситуація зображена 4.

До речі, якщо ми одночасно подивимося на відображення конструкції в дзеркалі, то замкнутого ланцюга не побачимо.

А з обраної точки спостереження ми на власні очі бачимо чудо, що відбулося: є замкнутий ланцюг з трьох куточків. Тільки не змінюйте точку спостереження, щоб ця ілюзія не зруйнувалася. Тепер можна намалювати видимий об'єкт або помістити в знайдену точку об'єктив фотоапарата і отримати фотографію неможливого об'єкта.

Першим цим явищем зацікавилися Пенроузи. Вони використовували можливості, які виникають при відображенні тривимірного простору та тривимірних об'єктів на двовимірну площину та звернули увагу на деяку невизначеність проектування – незамкнута конструкція з трьох куточків може сприйматися як замкнутий ланцюг.

Доказ неможливості трикутника Пенроуз

Аналізуючи особливості двовимірного зображення тривимірних об'єктів на площині, ми зрозуміли, як особливості цього відображення призводять до неможливого трикутника. Можливо, когось зацікавить і суто математичний доказ.

Довести, що неможливий трикутник не існує, вкрай легко, адже кожен його кут прямий, а їхня сума дорівнює 270 градусів замість «положених» 180 градусів.

Більше того, навіть якщо ми розглядатимемо неможливий трикутник, склеєний з куточків, менших за 90 градусів, то в цьому випадку можна довести, що неможливий трикутник не існує.

Ми бачимо три плоскі грані. Вони попарно перетинаються вздовж прямих. Площини, що містять ці грані, попарно ортогональні, тому вони перетинаються в одній точці.

Крім того, через цю точку повинні проходити лінії взаємного перетину площин. Отже, прямі лінії 1, 2, 3 повинні перетинатися в одній точці.

Але це не так. Отже, представлена ​​конструкція неможлива.

«Неможливе» мистецтво

Доля тієї чи іншої ідеї - наукової, технічної, політичної - залежить від багатьох обставин. І далеко не в останню чергу від того, в якій формі ця ідея буде представлена, в якому образі вона з'явиться широкому загалу. Чи буде втілення сухим і складним для сприйняття, чи, навпаки - явище ідеї буде яскравим, яке захоплює нашу увагу навіть всупереч нашій волі.

У неможливого трикутника доля щаслива. У 1961 р. голландський художникМоріц Ешер завершив літографію, названу ним «Водоспад». Художник пройшов чималий, але швидкий шлях від ідеї неможливого трикутника до її приголомшливого художнього втілення. Нагадаємо, стаття Пенроузов з'явилася 1958 року.

В основі «Водопаду» - два неможливі трикутники, показані. Один трикутник – великий, усередині нього розташований інший трикутник. Може здатися, що зображено три однакові неможливі трикутники. Але не в цьому суть представлена ​​конструкція досить складна.

При побіжному погляді її абсурдність не всякому і відразу буде видно, оскільки кожне з'єднання, представлене, - можливо. як то кажуть, локально, тобто на невеликій ділянці креслення, така конструкція здійсненна… Але загалом вона неможлива! Її окремі шматки не стикуються, не узгоджуються.

А щоб зрозуміти це, ми повинні витратити певні інтелектуальні та зорові зусилля.

Давайте здійснимо подорож по краях конструкції. Цей шлях чудовий тим, що вздовж нього, як здається, рівень щодо горизонтальної площині залишається незмінним. Рухаючись вздовж цього шляху, ми ні вгору не піднімаємось, ні вниз не опускаємося.

І все було б добре, звично, якби наприкінці шляху - а саме в точці - ми не виявили б, що щодо вихідної, початкової точки ми якимось таємничим немислимим чином піднялися вгору по вертикалі!

Щоб дійти цього парадоксального результату, ми маємо вибрати саме цей шлях, та ще й стежити за рівнем щодо горизонтальної площини… Непросте завдання. У її рішенні Ешеру на допомогу прийшла вода. Згадаймо пісню про рух із чудового вокального циклу Франца Шуберта «Прекрасна Мельничиха»:

І спочатку в уяві, а потім під рукою чудового майстра голі та сухі конструкції перетворюються на акведуки, якими біжать чисті та швидкі потоки води. Їх рух захоплює наш погляд, і ось мимо нашої волі ми прямуємо за течією, слідуючи всім поворотам і вигинам шляху, разом з потоком зриваємося вниз, падаємо на лопаті водяного млина, потім знову прямуємо вниз за течією ...

Обходимо цей шлях раз, другий, третій ... і тільки тут усвідомлюємо: рухаючись вниз, ми якимось фантастичним чиномпіднімаємося в верхах! Початковий подив переростає в інтелектуальний дискомфорт. Здається, що ми стали жертвою якогось розіграшу, об'єктом якогось жарту, якого поки що не зрозуміли.

І знову ми повторюємо цей шлях дивним водоводом, тепер уже не поспішаючи, з обережністю, ніби побоюючись каверзи з боку парадоксальної картинки, критично сприймаючи все те, що відбувається на цьому таємничому шляху.

Ми намагаємося розгадати ту таємницю, яка вразила нас, і не можемо вирватися з її полону доти, доки не знайдемо приховану пружину, що лежить в її основі і приводить немислиму круговерть у безперервний рух.

Художник спеціально наголошує, нав'язує нам сприйняття його картини як зображення реальних тривимірних об'єктів. Об'ємність підкреслюється зображенням цілком реальних багатогранників на вежах, цегляною кладкою з найакуратнішим уявленням кожної цеглини в стінах акведука, що піднімаються догори терасами з садами на задньому плані. Все покликане переконати глядача у реальності того, що відбувається. І завдяки мистецтву та чудовій техніці ця мета досягнута.

Коли ж ми вириваємося з полону, в який потрапляє наша свідомість, починаємо порівнювати, зіставляти, аналізувати, то знаходимо, що основа, джерело цієї картини, приховані в особливостях проектування.

І ми отримали ще один - "фізичний" доказ неможливості "неможливого трикутника": якби такий трикутник існував, то існував би і "Водоспад" Ешера, який є по суті вічний двигун. Але вічний двигун неможливий, отже неможливий і «неможливий трикутник». І, напевно, цей «доказ» – найпереконливіший.

Що зробило Моріца Ешера феноменом, унікумом, який не мав у мистецтві явних попередників і якого неможливо наслідувати? Це комбінація площин і обсягів, пильна увага до химерних форм мікросвіту - живого та неживого, до незвичайних точок зору на звичайні речі. Основний ефект його композицій – ефект появи неможливих стосунків між знайомими предметами. Ці ситуації з першого погляду можуть налякати, і викликати посмішку. Можна радісно дивитися на забаву, яку пропонують художник, а можна серйозно поринути у глибини діалектики.

Моріц Ешер показав, що світ може бути зовсім не таким, яким ми його бачимо і звикли сприймати – треба лише подивитися на нього під іншим новим кутом зору!

Моріц Ешер

Моріцю Ешеру більше пощастило як вченому, ніж художнику. У його гравюрах та літографіях бачили ключі до доказу теорем або оригінальні контрприклади, що кидають виклик здоровому глузду. На крайній край їх сприймали як прекрасні ілюстрації до наукових трактатів з кристалографії, теорії груп, когнітивної психології або комп'ютерної графіки. Моріц Ешер працював у галузі співвідношень простору, часу та їх тотожності, використовував базові зразки мозаїк, застосовуючи до них трансформації. Це великий майстер оптичних обманів. Гравюри Ешера зображують не світ формул, а красу світу. Їхній інтелектуальний склад докорінно протилежний алогічним витворам сюрреалістів.

Голландський художник Моріц Корнеліус Ешер народився 17 червня 1898 року у провінції Голландії. У будинку, в якому народився Ешер, зараз знаходиться музей.

З 1907 року Моріц навчається теслярській справі та грі на піаніно, навчається у середній школі. Оцінки з усіх предметів Моріца були поганими за винятком малювання. Вчитель малювання помітив талант у хлопчика та навчив його робити гравюри по дереву.

В 1916 Ешер виконує свою першу графічну роботу, гравюру на фіолетовому лінолеумі - портрет свого батька Г. А. Ешера. Він відвідує майстерню художника Герта Стігемана, який мав друкарський верстат. На цьому верстаті були надруковані перші гравюри Ешера.

У 1918-1919 роках Ешер відвідує Технічний коледж у голландському містечку Дельфт. Він отримує відстрочку від служби в армії для продовження навчання, але через погане здоров'я Моріц не впорався з навчальним планом, і був відрахований. В результаті він так і не отримав вищої освіти. Він навчається в Школі архітектури та орнаменту в місті Гаарлемі, Там він бере уроки малювання у Самюеля Джесерена де Месквіта, який вплинув на життя і творчість Ешера.

У 1921 році сім'я Ешера відвідала Рів'єру та Італію. Зачарований рослинністю та квітами середземноморського клімату, Моріц зробив детальні малюнки кактусів та оливкових дерев. Він замалював багато ескізів гірських пейзажів, які згодом стали основою його робіт. Пізніше він постійно повертатиметься до Італії, яка буде для нього джерелом натхнення.

Ешер починає експериментувати в новому собі напрямі, вже тоді в його роботах зустрічаються дзеркальні відображення, кристалічні фігури і сфери.

Кінець двадцятих років виявилася дуже плідним періодом для Моріца. Його роботи демонструвалися на багатьох виставках Голландії, а до 1929 його популярність досягла такого рівня, що за один рік пройшли п'ять персональних виставок в Голландії та Швейцарії. Саме в цей період картини Ешера вперше були названі механічними та "логічними".

Ешер багато мандрує. Живе в Італії та Швейцарії, Бельгії. Вивчає мавританські мозаїки, робить літографії, гравюри. На основі ескізів подорожей він створює свою першу картину неможливої ​​реальності "Still Life with Street".

Наприкінці тридцятих років Ешер продовжує експерименти з мозаїками та трансформаціями. Він створює мозаїку у вигляді двох птахів, що летять назустріч один одному, що лягло в основу картини "День і ніч".

У травні 1940 року нацисти окупують Голландію та Бельгію, а 17 травня до зони окупації потрапляє і Брюссель, де на той момент проживав Ешер із сім'єю. Вони знаходять будинок у Варні та переїжджають туди у лютому 1941 року. До кінця своїх днів Ешер житиме у цьому місті.

В 1946 Ешер починає цікавитися технологією глибокого друку. І хоча ця технологія була набагато складнішою за ту, якою користувався Ешер до цього і вимагала більше часу для створення картини, але результати були вражаючими - тонкі лінії та точна передача тіней. Одна з самих відомий робіту техніці глибокого друку "Крапля роси" була закінчена в 1948 році.

У 1950 році Моріц Ешер набуває популярності як лектор. Тоді ж 1950 року проходить його перша персональна виставка у Сполучених Штатах і починають купуватись його роботи. 27 квітня 1955 року Моріца Ешера посвячують у лицарі і він стає дворянином.

У середині 50-х років Ешер поєднує мозаїку з фігурами, що йдуть у нескінченність.

На початку 60-х років побачила світ перша книга з роботами Ешера «Grafiek en Tekeningen», в якій 76 робіт прокоментував сам автор. Книга допомогла знайти розуміння серед математиків і кристалографів, включаючи деяких з Росії та Канади.

Торішнього серпня 1960 Ешер прочитав лекцію з кристалографії у Кембриджі. Математичні та кристалографічні аспекти творчості Ешера стають дуже популярними.

У 1970 році після нової серіїоперацій Ешер переїхав до новий будиноку Ларені, в якому була студія, але погане здоров'я не давало можливості багато працювати.

1971 року Моріц Ешер помер у віці 73 років. Ешер прожив досить довго, щоб побачити книгу "Світ М. К. Ешера", перекладену на англійська моваі залишився нею дуже задоволений.

Різні неможливі картини зустрічаються на сайтах математиків та програмістів. Самої повною версієюіз переглянутих нами, на наш погляд, є сайт Влада Алексєєва

На цьому сайті представлені не лише широко відомі картини, зокрема і М. Ешера, проте, і анімовані зображення, кумедні малюнки неможливих тварин, монет, марок тощо. Цей сайт живе, він періодично оновлюється та поповнюється дивовижними малюнками.

Сьогодні я відкриваю нову рубрику під назвою “Розкрою”, де викладатиму креслення, шаблони, а також форму оптичних ілюзій. Сьогодні ми з вами робитимемо неможливий трикутник із паперу. Оскільки ми не можемо створити неможливий трикутник, то створюватимемо модель, яку розглядатимемо під певним кутом.

1. Завантажте та роздрукуйте
2. Дотримуйтесь інструкції на картинці

Як правильно розглядати неможливий трикутник?

Так, як ілюзія заснована на неоднозначному малюнку куба ізометричної проекції. То в цій орієнтації збігатимуться кути, ближній до глядача і далекий кут від глядача. Це означає, що при проходженні вниз по найближчому ребру куба, і двох нижніх ребер, ми повертаємось до відправною точкою, де насправді шлях закінчується у дальньому кутку.

Цей неможливий трикутник Пенроуза

У такій сфері мальовничого мистецтва, як розпис шкіри людини, новітнім трендомсьогодні є постаті оптичних ілюзій, зокрема трикутник Пенроуза, чи трибар, який ще називають неможливим. Вперше ця форма була відкрита, або вигадана, шведським живописцем Оскаром Реутерсвардом, який представив її світу у вигляді набору з кубиків на рубежі 1935 р. Пізніше, вже в 80-х роках ХХ століття, малюнок трибара був надрукований у Швеції на поштовій марці.

Однак найширшу популярність образ неможливого трикутника Пенроуза, що належить до категорії оптичних ілюзій, набув у 1958 році, після виходу у світ публікації англійського математика Роджера Пенроуза про неможливі постаті, надрукованій у Британському журналі психології. Натхненний цією публікацією, відомий живописецьз Голландії Мауріц Ешер створив 1961 р. одну з найпопулярніших своїх робіт «Водоспад».

Обман зору

Оптичні ілюзії в живописі - це зоровий обман сприйняття реальної картини, створюваний художникомпевним розташуванням ліній на площині. У цьому глядачем невірно оцінюється величина кутів постаті чи довжина її сторін, що є предметом вивчення таких підрозділів психології, як, наприклад, гештальтотерапія. Створенням оптичних ілюзій захоплювався, крім Ешера, ще один великий художник- Всесвітньо відомий СальвадорДали. Яскравою ілюстрацією його захоплення є, наприклад, картина «Лебеді, що відбиваються у слонах».

Вищезгаданий трикутник теж відноситься до оптичних ілюзій, точніше до тієї частини, яка називається неможливі фігури. Їх називають так через відчуття, яке виникає при погляді на подібну форму, що її існування в реальному світіпросто неможливо.

Застосування ілюзій

Завдяки своїй унікальній формі ілюзорні об'єкти є предметом пильної увагине тільки художників та майстрів тату — трикутник, зроблений своїми руками або за допомогою професіоналів, може виступати також як логотип компанії. Чудовими прикладами такого застосування ілюзорних форм вважаються: логотип музичної психоделічної групи, що грає фолк-музику, Conundum in Deed, що є неможливим кубом, або марка компанії-виробника мікросхем Digilent Inc, що є класичним трикутним чином Пенроуза.

Зробити свій логотип можна і самому, не звертаючись до професіоналів. Для цього достатньо слідувати інструкції, дотримуючись якої можна виконати як простий малюнок на папері або планшеті, так і змайструвати об'ємну фігуру. Її можна буде помістити як вивіску або зовнішню рекламу свого магазину.

Як зробити самому

Покрокова інструкція, як намалювати трибар, використовуючи Adobe Illustrator:

1. Спочатку потрібно зробити 3 квадратики за допомогою Rectangle tool. Для цього потрібно зайти в меню View і включити Smart Guides.
2. Тепер потрібно виділити все і перейти в меню Object, потім - Transform і відкрити Transform each, де у вікні Scale потрібно проставити значення Vertical Scale = 86,6% і натиснути OK.
3. Тепер потрібно задати кожній грані свій кут повороту, а для цього увійти у Window відкрити Transform. Там спочатку проставити значення для скосу (Shear), а потім для повороту (Rotate): верхня поверхня куба - Shear +30 °, Rotate -30 °; права поверхня - Shear +30 °, Rotate +30 °; ліва поверхня - Shear -30 °, Rotate -30 °.
4. Тепер за допомогою ліній Smart Guides потрібно з'єднати всі частини куба між собою: для цього слід зачепити мишкою кут однієї зі сторін і підтягнути його до іншої, поєднавши їх.
5. На цьому етапі потрібно повернути куб на 30 °: для цього зайти в Object, вибрати Transform та Rotate, там проставити значення кута 30 ° і натиснути OK.
6. Оскільки для отримання трибара знадобиться 6 кубиків, слід виділити куб, натиснути Alt і Shift і потягнути мишкою виділений об'єкт убік, розтягуючи його горизонтально. Не знімаючи виділення 6 разів натиснути CMD+D. Отримали 6 кубів.
7. Залишивши виділення на останньому кубі, натиснути Enter та у вікні Move змінити значення кута на 240°, після чого натиснути Copy. Далі знову натискати CMD+D до отримання 6 копій.
8. Тепер все повторити: знову натиснути Enter, виділити останній кубик, тільки кут призначити 120 ° і копій зробити 5.
9. За допомогою Selection Tool потрібно виділити верхню поверхню фігури (можна перефарбувати її, щоб було наочніше), відкрити меню Object — Arrange — Send to back. Тепер вибрати забарвлену поверхню верхнього куба, зайти в Object – Arrange – Bring to Front.

Ілюзія Пенроуз готова. Її можна розмістити на своїй сторінці в соцмережах чи блозі або використовувати для бізнесу.

Трикутник Пенроуза- одна з основних неможливих фігур, відома також під назвами неможливий трикутникі трибар.

Трикутник Пенроуза (у кольорі)

Історія

Широку популярність ця фігура набула після опублікування статті про неможливі постаті в Британському журналі психології англійським математиком Роджером Пенроузом в 1958 році. Також у цій статті неможливий трикутник був зображений у найбільш загальній формі - у вигляді трьохбалок, з'єднаних один з одним під прямими кутами. Під впливом цієї статті у голландський художник Мауріц Ешер створив одну зі своїх знаменитих літографій «Водоспад».

3D-роздруківка трикутника Пенроуза

Скульптури

13-метрову скульптуру неможливого трикутника з алюмінію було споруджено в 1999 році в місті Перт (Австралія).

Та ж скульптура при зміні точки перегляду

Інші фігури

Хоча цілком можлива побудова аналогів трикутника Пенроуза на основі правильних багатокутників, Візуальний ефект від них не настільки вражаючий. При збільшенні кількості сторін об'єкт здається просто викривленим чи скрученим.

Див. також

• Три зайці (англ. Three hares)

Ілюзіонізм (філософія)

Ілюзіонізм - у широкому сенсі, це назва для філософської позиції щодо деяких явищ; для способу розгляду таких явищ; у вузькому значенні - це назва для кількох конкретних філософських теорій.

Ілюзія стіни кафе

Ілюзія стіни кафе - оптична ілюзія, створювана рахунок спільної дії різних рівнів нейронних механізмів: нейронів сітківки і нейронів зорової кори.

Неможлива фігура

Неможлива постать - одне із видів оптичних ілюзій, постать, здається на перший погляд проекцією звичайного тривимірного об'єкта, при уважному розгляді якої стають видні суперечливі сполуки елементів фігури. Створюється ілюзія неможливості існування такої фігури у тривимірному просторі.

Неможливий куб

Неможливий куб - це неможлива фігура, вигадана Ешером для його літографії Бельведер. Це двовимірна фігура, яка зовні нагадує перспективу тривимірного куба, несумісну із реальним кубом. На літографії Бельведер хлопчик, який сидить біля основи будівлі, тримає неможливий куб. Малюнок аналогічного куба Неккера лежить біля його ніг, тоді як сам будинок містить самі властивості неможливого куба.

Неможливий куб запозичує двозначність куба Неккера, в якому ребра намальовані у вигляді відрізків і який можна інтерпретувати в одному з двох різних тривимірних орієнтацій.

Неможливий куб зазвичай малюється як куб Неккера, в якому ребра (відрізки) замінені цільними брусками, що здаються.

У літографії Ешера верхні чотири з'єднання брусків і верхнє перетин брусків відповідають одній з двох інтерпретацій куба Неккера, в той час як нижні чотири з'єднання і нижнє перетин відповідають іншій інтерпретації. Інші варіації неможливого куба комбінують ці властивості іншими способами. Наприклад, один із кубів на малюнку містить усі вісім з'єднань згідно з однією з інтерпретацій куба Неккера, а обидва перетини відповідають іншій інтерпретації.

Цільність брусків, що здається, дає неможливому кубу більшу візуальну двозначність, ніж куб Неккера, який з меншими шансами сприймається як неможливий об'єкт. Ілюзія грає інтерпретації людським оком двомірного малюнка як тривимірного об'єкта. Тривимірні об'єкти можуть здаватися неможливими, якщо дивитися на них під певним кутом і, або зробивши на об'єкті в потрібному місці розрізи, або при використанні зміненої перспективи, але досвід з прямокутними об'єктами робить неможливе сприйняття більш ймовірним, ніж ілюзії в реальності.

Інші художники, включаючи Джоза Де Мея, також малювали твори із неможливим кубом.

Сфабрикована фотографія нібито неможливого куба була опублікована в червневому номері 1966 року журналу Scientific American, де була названа «клітиною Фріміша». Неможливий куб було розміщено на австрійській поштовій марці.

Неможливий тризуб

Бливет, також відомий як співають або диявольські вила, є незрозумілою фігурою, оптичною ілюзієюта неможливою фігурою. Здається, що три циліндричні стрижні перетворюються на два бруски.

Рутерсвард, Оскар

Оскар Рутерсвард (прийняте в російськомовній літературі написання прізвища; правильніше Рейтерсверд), швед. Oscar Reutersvärd (29 листопада 1915, Стокгольм, Швеція - 2 лютого 2002, Лунд) - «батько неможливої ​​фігури», шведський художник, що спеціалізувався у зображенні неможливих фігур, тобто таких, які можна зобразити (з огляду на неминучі порушення перспективи при поданні 3- простору на папері), але не можна створити. Одна з його фігур отримала подальший розвитокяк "трикутник Пенроуза" (1934). Творчість Рутерсварда можна порівняти з творчістю Ешера, проте якщо останній використовував неможливі фігури як «кістяки» для зображення фантастичних світів, то Рутерсварда цікавили лише постаті як такі. За своє життя Рутерсвард зобразив близько 2500 фігур у ізометричній проекції. Книги Рутерсварда опубліковані багатьма мовами, зокрема російською.

Ешер, Мауріц Корнеліс

Мауріц Корнеліс Ешер (нідерл. Maurits Cornelis Escher [ˈmʌu̯rɪts kɔrˈneːlɪs ˈɛʃər̥]; 17 червня 1898, Леуварден, Нідерланди - 27 березня 1972, Хіл. Відомий насамперед своїми концептуальними літографіями, гравюрами на дереві та металі, в яких він майстерно досліджував пластичні аспекти понять нескінченності та симетрії, а також особливості психологічного сприйняття складних тривимірних об'єктів. яскравий представникімп-арту.

Ілюзії	Пенроуз Трикутник

Відома також під назвами неможливий трикутникі трибар.

Історія

Широку популярність ця фігура набула після опублікування статті про неможливі постаті в Британському журналі психології англійським математиком Роджером Пенроузом в 1958 році. У цій статті неможливий трикутник був зображений у найбільш спільній формі - у вигляді трьох балок, з'єднаних один з одним під прямими кутами. Під впливом цієї статті у голландський художник Мауріц Ешер створив одну зі своїх знаменитих літографій «Водоспад».

Скульптури

13-метрову скульптуру неможливого трикутника з алюмінію було споруджено в 1999 році в місті Перт (Австралія).

Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0004.JPG

Та ж скульптура при зміні точки перегляду

Інші фігури

Хоча цілком можливо побудова аналогів трикутника Пенроуза на основі правильних багатокутників, візуальний ефект від них менш вражаючий. При збільшенні кількості сторін об'єкт здається просто викривленим чи скрученим.

Див. також

• Три зайці (англ. Three hares )

Напишіть відгук про статтю "Трикутник Пенроуза"

Уривок, що характеризує трикутник Пенроуза

Висловивши все, що йому було наказано, Балашев сказав, що імператор Олександр бажає миру, але не приступить до переговорів інакше, як із тією умовою, щоб… Тут Балашев зам'явся: він згадав ті слова, які імператор Олександр не написав у листі, але які неодмінно наказав вставити в рескрипт Салтикову і наказав Балашеву передати Наполеону. Балашев пам'ятав про ці слова: «поки що жоден озброєний ворог не залишиться землі російської», але якесь складне почуття втримало його. Він не міг сказати цих слів, хоч і хотів це зробити. Він зам'явся і сказав: за умови, щоб французькі війська відступили за Ньоман.
Наполеон помітив збентеження Балашева під час висловлювання останніх слів; обличчя його здригнулося, ліва ікра ноги почала мірно тремтіти. Не сходячи з місця, він голосом, вищим і поспішним, ніж раніше, почав говорити. Під час наступної промови Балашев, неодноразово опускаючи очі, мимоволі спостерігав тремтіння ікри в лівій нозі Наполеона, яке тим більше посилювалося, чим більше він підносив голос.
- Я бажаю миру не менше імператора Олександра, - почав він. – Чи не я вісімнадцять місяців роблю все, щоби отримати його? Я вісімнадцять місяців чекаю пояснень. Але для того, щоб розпочати переговори, чого вимагають від мене? – сказав він, насупившись і роблячи енергійно запитальний жест своєю маленькою білою та пухкою рукою.
- Відступ військ за Німан, пане, - сказав Балашев.
– За Нєман? – повторив Наполеон. – То тепер ви хочете, щоб відступили за Ньоман – тільки за Ньоман? - повторив Наполеон, глянувши на Балашева.
Балашев шанобливо нахилив голову.
Замість вимоги чотири місяці тому відступити з номера, тепер вимагали відступити тільки за Нєман. Наполеон швидко обернувся і почав ходити по кімнаті.
– Ви кажете, що від мене вимагають відступу за Німан для започаткування переговорів; але від мене вимагали так само два місяці тому відступи за Одер та Віслу, і, незважаючи на те, ви згодні вести переговори.
Він мовчки пройшов від одного кута кімнати до іншого і знову зупинився проти Балашева. Обличчя його ніби скам'яніло у своєму суворому виразі, і ліва нога тремтіла ще швидше, ніж раніше. Це тремтіння лівої ікри Наполеон знав за собою. La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [Тримання моєї лівої ікри є велика ознака,] – говорив він згодом.

Неможливе все-таки можливе. І яскраве підтвердження цього – неможливий трикутник Пенроуза. Відкритий ще в минулому столітті, він дотепер часто зустрічається в науковій літературі. І хоч як це дивно не звучало, але його можна виготовити навіть самостійно. І зробити це дуже просто. Багато любителів малювати чи збирати орігамі вже давно змогли це зробити.

Значення трикутника Пенроуза

Існує кілька назв цієї фігури. Одні називають її неможливим трикутником, інші просто трибаром. Але найчастіше можна зустріти визначення саме «трикутник Пенроуза».

Розуміють під цими визначеннями одну з основних неможливих фігур. Якщо судити за назвою, то отримати подібну фігуру насправді неможливо. Але на практиці було доведено, що зробити це можна. Ось тільки форму прийматиме, якщо дивитися на неї з певної точки під потрібним кутом. З решти сторін фігура цілком реальна. Вона є три ребра куба. І зробити таку конструкцію просто.

Історія відкриття

Трикутник Пенроуза було відкрито далекого 1934 року художником зі Швеції Оскаром Реутерсвардом. Фігура була представлена ​​у вигляді зібраних кубиків. Надалі художника почали називати «батьком неможливих постатей».

Можливо, малюнок Реутерсварда так і залишився маловідомим. Але 1954 року шведський математик Роджер Пенроуз написав статтю про неможливі постаті. Це стало другим народженням трикутника. Щоправда, вчений представив його у більш звичному вигляді. Він використав не кубики, а балки. Три балки з'єднувалися між собою під кутом 90 градусів. Відмінність також була в тому, що Реутерсвард використав паралельну перспективу під час малювання. А Пенроуз застосував перспективу лінійного характеру, що надало малюнку ще більшої неможливості. Такий трикутник було опубліковано 1958 року в одному з британських журналів про психологію.

В 1961 художник Мауріц Ешер (Голландія) створив одну зі своїх найбільш популярних літографій «Водоспад». Створено її було під враженням, яке було викликано статтею про неможливі постаті.

У вісімдесятих роках минулого століття трибар та інші неможливі постаті зображалися на державних поштових маркахШвеція. Тривало це протягом кількох років.

Наприкінці минулого століття (а точніше 1999 року) в Австралії було створено скульптуру з алюмінію, що зображувала неможливий трикутник Пенроуза. Вона сягала заввишки 13 метрів. Подібні скульптури, менші за розмірами, зустрічаються і в інших країнах.

Неможливе насправді

Як можна вже здогадатися, трикутник Пенроуза насправді не є трикутником у звичайному розумінні. Він є три грані куба. Але якщо дивитися з певного кута, виходить ілюзія трикутника за рахунок того, що на площині повністю збігаються 2 кути. Зорово поєднується ближній від дивлячого і дальній кути.

Якщо бути уважним, то можна здогадатися, що трибар є не чим іншим, як ілюзією. Реальний вигляд фігури може видати тінь від неї. Нею видно, що насправді кути не з'єднуються. Ну і, звичайно, все стає зрозуміло, якщо фігуру взяти в руки.

Виготовлення фігури своїми руками

Трикутник Пенроуза можна зібрати самостійно. Наприклад, з паперу чи картону. І допоможуть у цьому схеми. Їх потрібно лише роздрукувати і склеїти. В Інтернеті представлено дві схеми. Одна з них трохи легша, інша - складніша, але популярніша. Обидві представлені малюнки.

Трикутник Пенроуза стане цікавим виробом, який обов'язково сподобається гостям. Він точно не залишиться непоміченим. Першим етапом щодо його створення є підготовка схеми. Вона переноситься на папір (картон) за допомогою принтера. А далі все ще простіше. Її потрібно просто вирізати на периметрі. На схемі є всі необхідні лінії. Зручніше працюватиме з більш щільним папером. Якщо схема роздрукована на тонкому папері, а хочеться щось щільніше, заготовка просто прикладається на вибраний матеріал і вирізається по контуру. Щоб схема не зрушувалась, її можна прикріпити скріпками.

Далі потрібно визначити ті лінії, якими заготівля буде згинатися. Як правило, на схемі вона представлена ​​згинаємо деталь. Далі визначаємо місця, що підлягають склеюванню. Вони промазуються клеєм ПВА. Деталь поєднується в єдину фігуру.

Деталь можна розфарбувати. А можна спочатку використати кольоровий картон.

Малюємо неможливу фігуру

Трикутник Пенроуза також можна намалювати. Спочатку на аркуші малюється простий квадрат. Розмір його немає значення. З основою на нижню сторону квадрата малюється трикутник. У його кутах усередині малюються невеликі прямокутники. Їхні сторони потрібно буде стерти, залишивши лише ті, що є спільними з трикутником. В результаті повинен вийти трикутник із усіченими кутами.

З лівої частини нижнього верхнього кута проводиться пряма лінія. Така сама лінія, але трохи коротша, малюється з лівого нижнього кута. Паралельно основи трикутника проводиться лінія, що виходить із правого кута. Виходить другий вимір.

За принципом другого малюється третій вимір. Тільки у разі всі прямі грунтуються на кути фігури першого, а другого виміру.