Що потрібно знати про трикутник Пенроуза? Трикутник Пенроуз. Створюємо неможливий трикутник Як зробити ілюзію з неможливим трикутником

Вітаю вас шановні читачіблог сайт. На зв'язку Рустам Закіров і в мене для вас чергова стаття, тема якої намалювати трикутник Пенроуза. Сьогодні я хочу вам показати, як легко і просто можна намалювати неможливий трикутник. Ми з вами намалюємо два малюнки цього трикутника, один буде звичайний, а другий справжнісінький 3д малюнок. І все це буде напрочуд просто. Справжній 3д малюнок цього трикутника ви зможете. Маю сумнів, що таке вам покажуть десь ще, тому читайте статтю до кінця і дуже уважно.

Для наших малюнків нам як завжди знадобляться: аркуш паперу прості олівці(бажано один «середній», «інший м'який») та кілька кольорових олівців чи фломастерів.

Як легко малювати будь-які 3д малюнки.

Цю неможливий трикутник я витягнув з цієї звичайної картинки, яку просто знайшов в інтернеті. Ось вона.

А потім за пару хвилин за допомогою перевів її у 3д . Так можна переводити в 3д майже будь-які зображення. Хто хоче навчитися так само, натисніть сюди.

А ми переходимо до нашого малюнку.

Малюємо звичайний рисунок трикутник.

КРОК №1. Перекладаємо з екрана монітора.

Для того щоб намалювати трикутник, вам потрібно буде зробити наступне. Ви берете ваш аркуш паперу і тулите його до трикутника на екрані монітора, і просто перекладайте його.

Оскільки наш трикутник зовсім не складний, досить поставити тільки основні точки у всіх його кутах.

А потім дивимося на оригінал і з'єднуємо ці точки за допомогою лінійки. У мене вийшло так.

Усі наш трикутник готовий. Можна залишити так, але давайте ми його ще трошки прикрасимо. Я це зробив за допомогою кольорових олівців. Після того, як ми повністю прикрасили наш трикутник, знову обводимо його простим м'яким олівцем.

На цьому наш звичайний трикутник Пенроуза повністю готовий, і ми переходимо до цього трикутника.

Малюємо 3д малюнок трикутник.

КРОК №1. Перекладаємо.

Діємо за тією ж схемою, як і зі звичайним малюнком. Я даю вам готовий, переведений у 3д формат трикутник. Ось він.

А ви перекладаєте його. Робимо так само як зі звичайним малюнком. Ви берете свій листок, притуляєте його до екрану монітора, листок просвічує, і ви просто переводите готовий 3д малюнок на свій листок.

Ось що вийшло у мене.

Розмір трикутника можна збільшити чи зменшити. Для цього потрібно просто змінити масштаб монітора. Затисніть клавішу Ctrl і покрутіть коліщатко мишки.

Можна сміливо сказати, що наш 3д малюнок вже готовий. Пішло на нього в мене приблизно 3 хвилини. На цьому, в принципі, можна сміливо закінчити, але давайте ще прикрасимо наш трикутник.

Дмитро Раков

Наші очі пізнавати не вміють
природу предметів.
А тому не нав'язуй їм
помилок розуму.

Тіт Лукрецій Кар

Поширений вираз "обман зору" по суті своїй неправильний. Очі не можуть обдурити нас, оскільки є лише проміжною ланкою між об'єктом та мозком людини. Обман зору зазвичай виникає не через те, що ми бачимо, а через те, що несвідомо міркуємо і мимоволі помиляємося: "за допомогою ока, а не оком дивитися на світ уміє розум".

Одним із найефектніших напрямів художнього перебігу оптичного мистецтва (op-art) є імп-арт (imp-art, impossible art), заснований на зображенні неможливих фігур. Неможливі об'єкти є малюнки на площині (будь-яка площина двовимірна), що зображають тривимірні структури, існування яких у реальному тривимірному світі неможливо. Класичною та однією з найпростіших фігур є неможливий трикутник.

У неможливому трикутнику кожен кут сам собою можливим, але феномен виникає, коли ми розглядаємо його цілком. Сторони трикутника спрямовані одночасно і до глядача, і від нього, тому окремі його частини не можуть створити реальний тривимірний об'єкт.

Власне, наш мозок інтерпретує малюнок на площині як тривимірну модель. Свідомість ставить "глибину", на якій знаходиться кожна точка зображення. Наші уявлення про реальний світ стикаються з протиріччям, з якоюсь непослідовністю, і доводиться робити деякі припущення:

• прямі двовимірні лінії інтерпретуються як прямі тривимірні лінії;
• двомірні паралельні лініїінтерпретуються як тривимірні паралельні лінії;
• гострі та тупі кути інтерпретуються як прямі кути в перспективі;
• зовнішні лініїрозглядаються як межа форми. Ця зовнішня межа є надзвичайно важливою для побудови повного зображення.

Людська свідомість спочатку створює загальне зображення предмета, та був розглядає окремі частини. Кожен кут сумісний із просторовою перспективою, але, возз'єднавшись, вони утворюють просторовий феномен. Якщо закрити будь-який із кутів трикутника, то неможливість зникає.

Історія неможливих фігур

Помилки просторової побудови зустрічалися у художників і тисячу років тому. Але першим, хто побудував і проаналізував неможливі об'єкти по праву, вважається шведський художник Оскар Рейтерсверд (Oscar Reutersvärd), який намалював у 1934 р. перший неможливий трикутник, що складався з дев'яти кубиків.

		"Москва", графіка (туш, олівець), 50х70 см, 2003

Незалежно від Рейтерсверда англійський математик і фізик Роджер Пенроуз повторно відкриває неможливий трикутник і публікує його зображення в британському журналі психології в 1958 р. В ілюзії використана "хибна перспектива". Іноді таку перспективу називають китайською, оскільки подібний спосіб малювання, коли глибина малюнка "двозначна", часто зустрічався у роботах китайських художників.

На малюнку "Три равлики" маленький і великий куби орієнтовані над нормальної ізометричної проекції. Найменший за розмірами куб сполучається з більшим по переднім і заднім сторонам, а значить, слідуючи тривимірній логіці, він має такі ж розміри деяких сторін, що і великий. Спочатку малюнок здається реальним уявленням твердого тіла, але з аналізу виявляються логічні протиріччя цього об'єкта.

Малюнок "Три равлики" продовжує традиції другої знаменитої неможливої ​​фігури - неможливого куба (скриньки).

"IQ", графіка (туш, олівець), 50х70 см, 2001		"Вгору і вниз", М. Ешер

Поєднання різних об'єктів можна знайти і в не зовсім серйозному малюнку "IQ" (intelligence quotient – ​​коефіцієнт інтелекту). Цікаво, що деякі люди не сприймають неможливі об'єкти через те, що їхня свідомість не здатна ототожнювати плоскі картини з тривимірними об'єктами.

Дональд Е. Сіманек висловив думку, що розуміння візуальних парадоксів є однією з ознак того виду творчого потенціалу, Які мають кращі математики, вчені і художники. Багато робіт з парадоксальними об'єктами можна віднести до "інтелектуальних математичних ігор". Сучасна наукаговорить про 7-мірну або 26-мірну модель світу. Моделювати подібний світ можна лише за допомогою математичних формул, людина уявити його просто не в змозі. І тут виявляються корисними неможливі фігури. З філософської точки зору вони служать нагадуванням про те, що будь-які явища (у системному аналізі, науці, політиці, економіці тощо) слід розглядати у всіх складних і неочевидних взаємозв'язках.

Різні неможливі (і можливі) об'єкти представлені на картині "Неможливий алфавіт".

Третьою популярною неможливою фігурою є неймовірні сходи, створені Пенроузом. Ви будете безперервно або підніматись (проти годинникової стрілки) або спускатися (за годинниковою стрілкою). Модель Пенроуза лягла в основу знаменитої картиниМ. Ешера "Вгору і вниз" ("Ascending and Descending").

Існує ще одна група об'єктів, реалізувати які не вдасться. Класичною фігурою є неможливий тризуб, або "чортова вилка".

При уважному вивченні картинки можна помітити, що три зубці поступово переходять у два на єдиній підставі, що призводить до конфлікту. Ми порівнюємо кількість зубців зверху та знизу і приходимо до висновку про неможливість об'єкта.

Чи є якась істотніша користь від неможливих малюнків, ніж гра розуму? У деяких лікарнях спеціально розвішують зображення неможливих об'єктів, оскільки їхнє розглядання здатне надовго зайняти хворих. Логічно було б розвісити такі малюнки в касах, міліції та інших місцях, де очікування своєї черги триває часом цілу вічність. Малюнки могли б у ролі таких " хронофагів " , тобто. пожирачі часу.

Неможливий трикутник – один із дивовижних математичних парадоксів. При першому погляді на нього ні на секунду не можеш засумніватись у його реальному існуванні. Однак це лише ілюзія, обман. А можливість такої ілюзії пояснить нам математика!

Відкриття Пенроузів

У 1958 році Британський психологічний журнал опублікував статтю Л. Пенроуза та Р. Пенроуза, в якій вони ввели на розгляд новий типоптичної ілюзії, названої ними "неможливий трикутник".

Зрительно неможливий трикутник сприймається як реально існуюча в тривимірному просторі конструкція, що складається з прямокутних брусків. Але це лише оптична ілюзія. Побудувати реальну модель неможливого трикутника не можна.

Стаття Пенроуз містить кілька варіантів зображення неможливого трикутника. - Його «класичне» уявлення.

З яких елементів будується неможливий трикутник?

Точніше, із яких елементів він здається нам побудованим? В основі конструкції лежить прямокутний куточок, що виходить з'єднанням під прямим кутом двох однакових прямокутних брусків. Таких куточків потрібно три штуки, а брусків шість штук. Ці куточки треба певним чином візуально «з'єднати» один з одним так, щоб вони утворили замкнутий ланцюг. Те, що вийде, є неможливий трикутник.

Перший куточок помістимо у горизонтальній площині. До нього приєднаємо другий куточок, направивши одне з його ребер нагору. Нарешті, до цього другого куточка додамо третій куточок так, щоб його ребро було паралельно вихідній горизонтальній площині. При цьому два ребра першого та третього куточків будуть паралельні та направлені в різні боки.

Якщо вважати брусок відрізком одиничної довжини, то кінці брусків першого куточка мають координати, другого куточка - , і, третього - , і. Ми отримали реально існуючу в тривимірному просторі закручену конструкцію.

А тепер спробуємо подумки подивитися на неї з різних точокпростору. Уявіть, як вона виглядає з однієї точки, з іншої, третьої. При зміні точки спостереження здаватиметься, що два «кінцеві» ребра наших куточків переміщуються відносно один одного. Не важко підібрати таке становище, коли вони з'єднаються.

Але якщо відстань між ребрами набагато менша за відстань від куточків до точки, з якої ми розглядаємо нашу конструкцію, то обидва ребра матимуть для нас однакову товщину, і виникне уявлення про те, що ці два ребра - насправді продовження один одного. Така ситуація зображена 4.

До речі, якщо ми одночасно подивимося на відображення конструкції в дзеркалі, то замкнутого ланцюга не побачимо.

А з обраної точки спостереження ми на власні очі бачимо чудо, що відбулося: є замкнутий ланцюг з трьох куточків. Тільки не змінюйте точку спостереження, щоб ця ілюзія не зруйнувалася. Тепер можна намалювати видимий об'єкт або помістити в знайдену точку об'єктив фотоапарата і отримати фотографію неможливого об'єкта.

Першим цим явищем зацікавилися Пенроузи. Вони використовували можливості, які виникають при відображенні тривимірного простору та тривимірних об'єктів на двовимірну площину та звернули увагу на деяку невизначеність проектування – незамкнута конструкція з трьох куточків може сприйматися як замкнутий ланцюг.

Доказ неможливості трикутника Пенроуз

Аналізуючи особливості двовимірного зображення тривимірних об'єктів на площині, ми зрозуміли, як особливості цього відображення призводять до неможливого трикутника. Можливо, когось зацікавить і суто математичний доказ.

Довести, що неможливий трикутник не існує, вкрай легко, адже кожен його кут прямий, а їхня сума дорівнює 270 градусів замість «положених» 180 градусів.

Більше того, навіть якщо ми розглядатимемо неможливий трикутник, склеєний з куточків, менших за 90 градусів, то в цьому випадку можна довести, що неможливий трикутник не існує.

Ми бачимо три плоскі грані. Вони попарно перетинаються вздовж прямих. Площини, що містять ці грані, попарно ортогональні, тому вони перетинаються в одній точці.

Крім того, через цю точку повинні проходити лінії взаємного перетину площин. Отже, прямі лінії 1, 2, 3 повинні перетинатися в одній точці.

Але це не так. Отже, представлена ​​конструкція неможлива.

«Неможливе» мистецтво

Доля тієї чи іншої ідеї - наукової, технічної, політичної - залежить від багатьох обставин. І далеко не в останню чергу від того, в якій формі ця ідея буде представлена, в якому образі вона з'явиться широкому загалу. Чи буде втілення сухим і складним для сприйняття, чи, навпаки - явище ідеї буде яскравим, яке захоплює нашу увагу навіть всупереч нашій волі.

У неможливого трикутника доля щаслива. У 1961 р. голландський художникМоріц Ешер завершив літографію, названу ним «Водоспад». Художник пройшов чималий, але швидкий шлях від ідеї неможливого трикутника до її приголомшливого художнього втілення. Нагадаємо, стаття Пенроузов з'явилася 1958 року.

В основі «Водопаду» - два неможливі трикутники, показані. Один трикутник – великий, усередині нього розташований інший трикутник. Може здатися, що зображено три однакові неможливі трикутники. Але не в цьому суть представлена ​​конструкція досить складна.

При побіжному погляді її абсурдність не всякому і відразу буде видно, оскільки кожне з'єднання, представлене, - можливо. як то кажуть, локально, тобто на невеликій ділянці креслення, така конструкція здійсненна… Але загалом вона неможлива! Її окремі шматки не стикуються, не узгоджуються.

А щоб зрозуміти це, ми повинні витратити певні інтелектуальні та зорові зусилля.

Давайте здійснимо подорож по краях конструкції. Цей шлях чудовий тим, що вздовж нього, як здається, рівень щодо горизонтальної площині залишається незмінним. Рухаючись вздовж цього шляху, ми ні вгору не піднімаємось, ні вниз не опускаємося.

І все було б добре, звично, якби наприкінці шляху - а саме в точці - ми не виявили б, що щодо вихідної, початкової точки ми якимось таємничим немислимим чином піднялися вгору по вертикалі!

Щоб дійти цього парадоксального результату, ми маємо вибрати саме цей шлях, та ще й стежити за рівнем щодо горизонтальної площини… Непросте завдання. У її рішенні Ешеру на допомогу прийшла вода. Згадаймо пісню про рух із чудового вокального циклу Франца Шуберта «Прекрасна Мельничиха»:

І спочатку в уяві, а потім під рукою чудового майстра голі та сухі конструкції перетворюються на акведуки, якими біжать чисті та швидкі потоки води. Їх рух захоплює наш погляд, і ось мимо нашої волі ми прямуємо за течією, слідуючи всім поворотам і вигинам шляху, разом з потоком зриваємося вниз, падаємо на лопаті водяного млина, потім знову прямуємо вниз за течією ...

Обходимо цей шлях раз, другий, третій ... і тільки тут усвідомлюємо: рухаючись вниз, ми якимось фантастичним чиномпіднімаємося в верхах! Початковий подив переростає в інтелектуальний дискомфорт. Здається, що ми стали жертвою якогось розіграшу, об'єктом якогось жарту, якого поки що не зрозуміли.

І знову ми повторюємо цей шлях дивним водоводом, тепер уже не поспішаючи, з обережністю, ніби побоюючись каверзи з боку парадоксальної картинки, критично сприймаючи все те, що відбувається на цьому таємничому шляху.

Ми намагаємося розгадати ту таємницю, яка вразила нас, і не можемо вирватися з її полону доти, доки не знайдемо приховану пружину, що лежить в її основі і приводить немислиму круговерть у безперервний рух.

Художник спеціально наголошує, нав'язує нам сприйняття його картини як зображення реальних тривимірних об'єктів. Об'ємність підкреслюється зображенням цілком реальних багатогранників на вежах, цегляною кладкою з найакуратнішим уявленням кожної цеглини в стінах акведука, що піднімаються догори терасами з садами на задньому плані. Все покликане переконати глядача у реальності того, що відбувається. І завдяки мистецтву та чудовій техніці ця мета досягнута.

Коли ж ми вириваємося з полону, в який потрапляє наша свідомість, починаємо порівнювати, зіставляти, аналізувати, то знаходимо, що основа, джерело цієї картини, приховані в особливостях проектування.

І ми отримали ще один - "фізичний" доказ неможливості "неможливого трикутника": якби такий трикутник існував, то існував би і "Водоспад" Ешера, який є по суті вічний двигун. Але вічний двигун неможливий, отже неможливий і «неможливий трикутник». І, напевно, цей «доказ» – найпереконливіший.

Що зробило Моріца Ешера феноменом, унікумом, який не мав у мистецтві явних попередників і якого неможливо наслідувати? Це комбінація площин та об'ємів, пильну увагудо химерних форм мікросвіту - живого та неживого, до незвичайних точок зору на звичайні речі. Основний ефект його композицій – ефект появи неможливих стосунків між знайомими предметами. Ці ситуації з першого погляду можуть налякати, і викликати посмішку. Можна радісно дивитися на забаву, яку пропонують художник, а можна серйозно поринути у глибини діалектики.

Моріц Ешер показав, що світ може бути зовсім не таким, яким ми його бачимо і звикли сприймати – треба лише подивитися на нього під іншим новим кутом зору!

Моріц Ешер

Моріцю Ешеру більше пощастило як вченому, ніж художнику. У його гравюрах та літографіях бачили ключі до доказу теорем або оригінальні контрприклади, що кидають виклик здоровому глузду. На крайній край їх сприймали як чудові ілюстрації до наукових трактатів з кристалографії, теорії груп, когнітивної психології або комп'ютерної графіки. Моріц Ешер працював у галузі співвідношень простору, часу та їх тотожності, використовував базові зразки мозаїк, застосовуючи до них трансформації. Це великий майстер оптичних обманів. Гравюри Ешера зображують не світ формул, а красу світу. Їхній інтелектуальний склад докорінно протилежний алогічним витворам сюрреалістів.

Голландський художник Моріц Корнеліус Ешер народився 17 червня 1898 року у провінції Голландії. У будинку, в якому народився Ешер, зараз знаходиться музей.

З 1907 року Моріц навчається теслярській справі та грі на піаніно, навчається у середній школі. Оцінки з усіх предметів Моріца були поганими за винятком малювання. Вчитель малювання помітив талант у хлопчика та навчив його робити гравюри по дереву.

В 1916 Ешер виконує свою першу графічну роботу, гравюру на фіолетовому лінолеумі - портрет свого батька Г. А. Ешера. Він відвідує майстерню художника Герта Стігемана, який мав друкарський верстат. На цьому верстаті були надруковані перші гравюри Ешера.

У 1918-1919 роках Ешер відвідує Технічний коледж у голландському містечку Дельфт. Він отримує відстрочку від служби в армії для продовження навчання, але через погане здоров'я Моріц не впорався з навчальним планом, і був відрахований. В результаті він так і не отримав вищої освіти. Він навчається в Школі архітектури та орнаменту в місті Гаарлемі, Там він бере уроки малювання у Самюеля Джесерена де Месквіта, який вплинув на життя і творчість Ешера.

У 1921 році сім'я Ешера відвідала Рів'єру та Італію. Зачарований рослинністю та квітами середземноморського клімату, Моріц зробив детальні малюнки кактусів та оливкових дерев. Він замалював багато ескізів гірських пейзажів, які згодом стали основою його робіт. Пізніше він постійно повертатиметься до Італії, яка буде для нього джерелом натхнення.

Ешер починає експериментувати в новому собі напрямі, вже тоді в його роботах зустрічаються дзеркальні відображення, кристалічні фігури і сфери.

Кінець двадцятих років виявилася дуже плідним періодом для Моріца. Його роботи демонструвалися на багатьох виставках Голландії, а до 1929 його популярність досягла такого рівня, що за один рік пройшли п'ять персональних виставок в Голландії та Швейцарії. Саме в цей період картини Ешера вперше були названі механічними та "логічними".

Ешер багато мандрує. Живе в Італії та Швейцарії, Бельгії. Вивчає мавританські мозаїки, робить літографії, гравюри. На основі ескізів подорожей він створює свою першу картину неможливої ​​реальності "Still Life with Street".

Наприкінці тридцятих років Ешер продовжує експерименти з мозаїками та трансформаціями. Він створює мозаїку у вигляді двох птахів, що летять назустріч один одному, що лягло в основу картини "День і ніч".

У травні 1940 року нацисти окупують Голландію та Бельгію, а 17 травня до зони окупації потрапляє і Брюссель, де на той момент проживав Ешер із сім'єю. Вони знаходять будинок у Варні та переїжджають туди у лютому 1941 року. До кінця своїх днів Ешер житиме у цьому місті.

В 1946 Ешер починає цікавитися технологією глибокого друку. І хоча ця технологія була набагато складнішою за ту, якою користувався Ешер до цього і вимагала більше часу для створення картини, але результати були вражаючими - тонкі лінії та точна передача тіней. Одна з самих відомий робіту техніці глибокого друку "Крапля роси" була закінчена в 1948 році.

У 1950 році Моріц Ешер набуває популярності як лектор. Тоді ж 1950 року проходить його перша персональна виставка у Сполучених Штатах і починають купуватись його роботи. 27 квітня 1955 року Моріца Ешера посвячують у лицарі і він стає дворянином.

У середині 50-х років Ешер поєднує мозаїку з фігурами, що йдуть у нескінченність.

На початку 60-х років побачила світ перша книга з роботами Ешера «Grafiek en Tekeningen», в якій 76 робіт прокоментував сам автор. Книга допомогла знайти розуміння серед математиків і кристалографів, включаючи деяких з Росії та Канади.

Торішнього серпня 1960 Ешер прочитав лекцію з кристалографії у Кембриджі. Математичні та кристалографічні аспекти творчості Ешера стають дуже популярними.

У 1970 році після нової серіїоперацій Ешер переїхав до новий будиноку Ларені, в якому була студія, але погане здоров'я не давало можливості багато працювати.

1971 року Моріц Ешер помер у віці 73 років. Ешер прожив досить довго, щоб побачити книгу "Світ М. К. Ешера", перекладену на англійська моваі залишився нею дуже задоволений.

Різні неможливі картини зустрічаються на сайтах математиків та програмістів. Самої повною версієюіз переглянутих нами, на наш погляд, є сайт Влада Алексєєва

На цьому сайті представлені не лише широко відомі картини, зокрема і М. Ешера, проте, і анімовані зображення, кумедні малюнки неможливих тварин, монет, марок тощо. Цей сайт живе, він періодично оновлюється та поповнюється дивовижними малюнками.

Придумано кілька неможливих постатей — сходи, трикутник та х-зубець. Ці постаті насправді об'ємному зображенні цілком реальні. Але коли художник проектує обсяг на папір, об'єкти здаються неможливими. Трикутник, який ще зветься "трибар", став чудовим прикладом того, як неможливе стає можливим, коли прикладаєш зусилля.

Усі ці постаті — чудові ілюзії. Досягнення людського генія використовують художники, котрі малюють у стилі імп-арт.

Немає нічого неможливого. Так можна сказати про трикутник Пенроуза. Це геометрично неможлива фігура, елементи якої неможливо з'єднати. Все-таки неможливий трикутник став можливим. Шведський живописець Оскар Реутерсвард у 1934 р. представив світу неможливий трикутник із кубиків. О. Реутерсвард вважається першовідкривачем цієї зорової ілюзії. На честь цієї події на поштової маркиШвеції надрукували згодом цей малюнок.

А в 1958 р. математиком Роджером Пенроузом було надруковано публікацію в англійському журналі про неможливі постаті. Саме він створив наукову модель ілюзії. Роджер Пенроуз був неймовірним вченим. Він проводив дослідження у галузі теорії відносності, а також захоплюючої квантової теорії. Його нагородили премією Вольфа спільно із С. Хокінгом.

Відомо, що художник Мауріц Ешер, перебуваючи під враженням цієї статті, намалював свою дивовижну працю — літографію «Водоспад». Але чи можна зробити трикутник Пенроуза? Як це зробити, якщо це можливо?

Трибар та реальність

Хоч і постать вважається неможливою, зробити трикутник Пенроуза своїми руками — простіше. Його можна зробити із паперу. Любителі орігамі просто не могли обійти стороною трибар і знайшли все ж таки спосіб створити і потримати в руках річ, яка здавалася раніше неймовірною фантазією вченого.

Однак нас обманюють власні очі, коли ми дивимося на проекцію тривимірного об'єкта із трьох перпендикулярних ліній. Спостерігачеві здається, що він бачить трикутник, хоча насправді це не так.

Геометрія вироби

Трикутник трибар, як сказано, насправді трикутником не є. Трикутник Пенроуза – ілюзія. Лише під певним кутом об'єкт виглядає як рівносторонній трикутник. Однак об'єкт у натуральному вигляді – це 3 грані куба. На такій ізометричній проекції збігаються на площині 2 кути: ближній від глядача та далекий.

Оптичний обман, звичайно, швидко розкривається, тільки взяти цей об'єкт до рук. А ще розкриває ілюзію тінь, тому що тінь трибара ясно показує, що кути не збігаються насправді.

Трибар з паперу. Схеми

Як зробити трикутник Пенроуза своїми руками з паперу? Чи є схеми цієї моделі? На сьогодні винайдено 2 розкладки для того, щоб скласти такий неможливий трикутник. Основи геометрії нагадують, як саме складати об'єкт.

Щоб скласти трикутник Пенроуза своїми руками, потрібно виділити всього 10-20 хвилин. Потрібно підготувати клей, ножиці для кількох розрізів та папір, на якому друкується схема.

З такої заготовки виходить найпопулярніший неможливий трикутник. Виріб-орігамі не надто складна у виготовленні. Тому вийде обов'язково з першого разу, причому навіть у школяра, який тільки почав вивчати геометрію.

Як бачимо, виходить дуже симпатичний виріб. Друга заготовка виглядає інакше і складається по-іншому, але сам трикутник Пенроуза зрештою виглядає так само.

Етапи створення трикутника пенроуз з паперу.

Виберіть одну з 2 зручних для вас заготовок, скопіюйте файл та роздрукуйте. Наведемо тут приклад і другої моделі розкладки, яка виконується трохи простіше.

Сама заготівля для орігамі «Трибар» вже містить усі необхідні підказки. По суті, інструкція до схеми не потрібна. Достатньо лише скачати на щільний паперовий носій, інакше працювати буде незручно і фігура не вдасться. Якщо не можна відразу роздрукувати на картоні, потрібно прикласти ескіз до нового матеріалу і по контуру вирізати креслення. Для зручності можна скріпити скріпками.

Що робити потім? Як скласти трикутник Пенроуза своїми руками поетапно? Потрібно дотримуватися такого плану дій:

1. Наводимо зворотним бокомножиць ті лінії, де потрібно зігнути, згідно з інструкцією. Згинаємо всі лінії
2. Там де потрібно, робимо розрізи.
3. Склеюємо за допомогою ПВА ті клаптики, що призначені для скріплення деталі в єдине ціле.

Готову модель можна перефарбувати в будь-який колір або заздалегідь взяти для роботи кольоровий картон. Але навіть якщо об'єкт буде з білого паперу, все одно всі, хто входить у вашу вітальню вперше, будуть неодмінно збентежені таким виробом.

Малюнок трикутника

Як намалювати трикутник Пенроуза? Не всі люблять займатися орігамі, але багато хто любить малювати.

Спочатку зображується звичайний квадрат будь-якого розміру. Потім усередині малюється трикутник, основою якого є нижня сторона квадрата. У кожен кут вписується невеликий прямокутник, усі сторони якого стираються; залишаються лише ті сторони, що примикають до трикутника. Це необхідно, щоб лінії були рівними. Виходить трикутник із усіченими кутами.

Наступний етап - зображення другого виміру. Від лівої частини нижнього верхнього кута проводиться строго пряма лінія. Така лінія проводиться, починаючи з нижнього лівого кута, і трохи не доводиться до першої лінії 2 вимірювання. Ще одна лінія малюється з правого кута паралельно до нижньої сторони основної фігури.

Завершальний етап – усередині другого виміру малюється третій за допомогою ще трьох невеликих ліній. Маленькі лінії починаються від ліній другого виміру та завершують образ тривимірного об'єму.

Інші фігури Пенроуза

За такою ж аналогією можна намалювати й інші фігури - квадрат або шестикутник. Ілюзія буде дотримуватися. Але все ж таки ці постаті вже не так приголомшують уяву. Такі багатокутники здаються просто сильно перекрученими. Сучасна графіка дозволяє зробити й цікавіші версії знаменитого трикутника.

Крім трикутника, всесвітньо відомі ще й сходи Пенроуза. Ідея полягає в обмані зору, коли здається, що людина піднімається безперервно вгору під час руху за годинниковою стрілкою, а якщо рухається проти годинникової стрілки, то вниз.

Безперервні сходи відомі більше за асоціацією з картиною М. Ешера «Сходження та спуск». Цікаво, що коли людина проходить всі 4 прольоти цих ілюзорних сходів, вона незмінно виявляється там, звідки починала.

Відомі інші об'єкти, що вводять розум людини в оману, такі як неможливий брусок. Або зроблений за тими ж законами ілюзії ящик з гранями, що перетинаються. Але всі ці об'єкти вже вигадані на основі статті чудового вченого – Роджера Пенроуза.

Неможливий трикутник у Перті

Фігурі, названої на честь математика, надано честь. Їй встановлено пам'ятник. 1999 року в одному з міст Австралії (Перт) встановлено великий трикутник Пенроуза з алюмінію, який становить 13 метрів заввишки. Поруч із алюмінієвим гігантом із задоволенням фотографуються туристи. Але якщо вибрати для фотографії інший кут зору, обман стає очевидним.

керівник

вчитель математики

1.Введение ………………………………………………….……3

2. Історична довідка………………………………………..…4

3. Основна частина………………………………………………….7

4. Доказ неможливості трикутника Пенроузов……9

5. Висновки………………………………………………..…………11

6. Літерарура……………………………………………….…… 12

Актуальність:Математика - предмет, що вивчається з першого по випускний клас. Багато учнів вважають його складним, нецікавим та непотрібним. Але якщо заглянути за сторінки підручника, почитати додаткову літературу, математичні софізми та парадокси, то зміниться уявлення про математику, з'явиться бажання вивчати більше, ніж вивчається у шкільному курсі математики.

Мета роботи:

показати, що існування неможливих постатей розширять кругозір, розвиває просторову уяву, застосовується як математиками, а й художниками.

Завдання :

1. Вивчити літературу на цю тему.

2. Розглянути неможливі фігури, зробити модель неможливого трикутника, довести, що неможливий трикутник немає площині.

3. Зробити розгорнення неможливого трикутника.

4. Розглянути приклади використання неможливого трикутника у образотворчому мистецтві.

Вступ

Історично математика відігравала важливу роль в образотворчому мистецтві, зокрема при зображенні перспективи, що передбачає реалістичне зображення тривимірної сцени на плоскому полотні чи аркуші паперу. Відповідно до сучасних поглядів, математика та Образотворче мистецтводуже віддалені один від одного дисципліни, перша – аналітична, друга – емоційна. Математика не відіграє очевидної ролі у більшості робіт сучасного мистецтва, і, фактично, багато художників рідко чи взагалі ніколи не використовують навіть використання перспективи. Однак, є багато художників, які математика знаходиться в центрі уваги. Декілька значних постатей в образотворчому мистецтві проклали дорогу цим індивідуумам.

Взагалі не існує жодних правил або обмежень на використання різних тему математичному мистецтві, таких як, неможливі фігури, стрічка Мебіуса, спотворення чи незвичайні системи перспективи, а також фрактали.

Історія неможливих фігур

Неможливі постаті - певний вид математичних парадоксів, які з регулярних деталей, поєднаних у нерегулярному комплексі. Якби спробувати сформулювати визначення терміна "неможливі об'єкти" він би, напевно, звучав приблизно так - фізично можливі фігури, зібрані у неможливому вигляді. Але дивитися на них набагато приємніше, складання визначень.

Помилки просторової побудови зустрічалися у художників і тисячу років тому. Але першим, хто побудував і проаналізував неможливі об'єкти по праву, вважається шведський художник Оскар Рейтерсверд, який намалював у 1934р. перший неможливий трикутник, що складався із дев'яти кубиків.

Трикутник Рейтерсверда

Незалежно від Рейтерсверда англійський математик і фізик Роджер Пенроуз знову відкриває неможливий трикутник і публікує його зображення в британському журналі з психології в 1958р. В ілюзії використано «хибну перспективу». Іноді таку перспективу називають китайською, оскільки подібний спосіб малювання, коли глибина малюнка «двозначна» часто зустрічався в роботах китайських художників.

Водоспад Ешера

У 1961р. голландець М. Ешер, натхненний неможливим трикутникомПенроуза створює відому літографію «Водоспад». Вода на картині тече нескінченно, після водяного колеса вона проходить далі і потрапляє у вихідну точку. По суті це зображення вічного двигуна, але будь-яка спроба в реальності побудувати цю конструкцію приречена на невдачу.

Ще один приклад неможливих постатей представлений малюнку «Москва», у якому зображено не зовсім нормальна схема московського метрополітену. Спочатку ми сприймаємо зображення цілком, але простежуючи поглядом окремі лінії, переконуємось у неможливості їхнього існування.

« Москва», графіка (туш, олівець), 50х70 см, 2003

Малюнок «Три равлики» продовжує традиції другої знаменитої неможливої ​​фігури – неможливого куба (скриньки).

«Три равлики» Неможливий куб

Поєднання різних об'єктів можна знайти і в не зовсім серйозному малюнку "IQ" (коефіцієнт інтелекту). Цікаво, що деякі люди не сприймають неможливі об'єкти через те, що їхня свідомість не здатна ототожнювати плоскі картини з тривимірними об'єктами.

Дональд Сіманек висловив думку, що розуміння візуальних парадоксів є однією з ознак того виду творчого потенціалу, яким володіють кращі математики, вчені та художники. Багато робіт з парадоксальними об'єктами можна віднести до «інтелектуальних математичних ігор». Сучасна наука говорить про 7-мірну або 26-мірну модель світу. Моделювати подібний світ можна лише за допомогою математичних формул, людина уявити його просто не в змозі. І тут виявляються корисними неможливі постаті.

Третьою популярною неможливою фігурою є неймовірні сходи, створені Пенроузом. Ви будете безперервно або підніматись (проти годинникової стрілки) або спускатися (за годинниковою стрілкою). Модель Пенроуза лягла в основу знаменитої картини М. Ешера «Вгору та вниз» Неймовірні сходи Пенроуза

Неможливий тризуб

«Чортова вилка»

Існує ще одна група об'єктів, реалізувати які не вдасться. Класичною фігурою є неможливий тризуб, або «чортова вилка». При уважному вивченні картинки можна помітити, що три зубці поступово переходять у два на єдиній підставі, що призводить до конфлікту. Ми порівнюємо кількість зубців зверху та знизу і приходимо до висновку про неможливість об'єкта. Якщо закрити рукою верхню частину тризубця, ми побачимо цілком реальну картину- Три круглі зуби. Якщо закрити нижню частину тризубця, то ми теж побачимо реальну картину - два прямокутні зубці. Але, якщо розглядати всю фігуру цілком, то виходить що три круглі зубці поступово перетворюються на два прямокутні.

Таким чином, можна побачити, що передній і задній планицього малюнка конфліктують. Тобто те, що було спочатку на передньому планійде назад, а задній план (середній зуб) вилазить уперед. Крім зміни переднього і заднього планів у цьому малюнку є ще один ефект – плоскі грані верхньої частини тризубця стають круглими в нижній частині.

Основна частина.

Трикутник– фігура, що з трьох прилеглих елементів, яка з допомогою неприйнятних сполук цих елементів створює ілюзію з математичної погляду неможливої ​​структури. Інакше ще цей трибалочник називають косинцем Пенроузов

Графічний принцип, що ховається за цією ілюзією, завдячує своїм формулюванням психологу та його сину Роджеру, фізику. Кутник Пенрузов складається з 3-х брусків. квадратного перерізу, розташованих у 3-х взаємно-перпендикулярних напрямках; кожен з'єднується з наступним під прямим кутом, все це міститься в тривимірному просторі. Ось простий рецепт, як намалювати цю ізометричну проекцію косинця Пенрузов:

· Обріжте кути у рівностороннього трикутника по лініях, паралельним сторонам;

· Проведіть усередині обрізаного трикутника паралелі до сторін;

· Ще раз обріжте кути;

· Ще раз проведіть усередині паралелі;

· Уявіть собі в одному з кутів якийсь із двох можливих кубів;

· Продовжіть його L – образною “штукою”;

· Проженіть цю конструкцію по колу.

· Якби ми вибрали інший куб, то косинець був би "закручений" в інший бік .

Розгортання неможливого трикутника.

Лінія перегину

Лінія розрізу

З яких елементів будується неможливий трикутник? Точніше, з яких елементів він здається нам (саме здається!) збудованим? В основі конструкції лежить прямокутний куточок, що виходить з'єднанням під прямим кутом двох однакових прямокутних брусків. Таких куточків потрібно три штуки, а брусків шість штук. Ці куточки треба певним чином візуально «з'єднати» один з одним так, щоб вони утворили замкнутий ланцюг. Те, що вийде, є неможливий трикутник.

Перший куточок помістимо у горизонтальній площині. До нього приєднаємо другий куточок, направивши одне з його ребер нагору. Нарешті, до цього другого куточка додамо третій куточок так, щоб його ребро було паралельно вихідній горизонтальній площині. При цьому два ребра першого та третього куточків будуть паралельні та направлені в різні боки.

А тепер спробуємо мильно подивитися на фігуру з різних точок простору (або зробіть реальний макет із дроту). Уявіть, як вона виглядає з однієї точки, з іншої, з третьої ... При зміні точки спостереження (або - що те саме - при повороті конструкції в просторі) здаватиметься, що два «кінцевих» ребра наших куточків переміщаються відносно один одного. Неважко підібрати таке становище, при якому вони з'єднаються (звичайно, при цьому ближній куточок здаватиметься нам товстішим, ніж довший).

Але якщо відстань між ребрами набагато менша за відстань від куточків до точки, з якої ми розглядаємо нашу конструкцію, то обидва ребра матимуть для нас однакову товщину, і виникне уявлення про те, що ці два ребра – насправді продовження один одного.

До речі, якщо ми одночасно подивимося на відображення конструкції в дзеркалі, то замкнутого ланцюга не побачимо.

А з обраної точки спостереження ми на власні очі бачимо чудо, що відбулося: є замкнутий ланцюг з трьох куточків. Тільки не змінюйте точку спостереження, щоб ця ілюзія (насправді саме ілюзія!) не зруйнувалася. Тепер можна намалювати видимий об'єкт або помістити в знайдену точку об'єктив фотоапарата і отримати фотографію неможливого об'єкта.

Першим цим явищем зацікавилися Пенроузи. Вони використовували можливості, які виникають при відображенні тривимірного простору та тривимірних об'єктів на двовимірну площину (тобто при проектуванні) та звернули увагу на деяку невизначеність проектування – незамкнута конструкція із трьох куточків може сприйматися як замкнутий ланцюг.

Як уже говорилося, з дроту можна легко виготовити найпростішу модель, що в принципі пояснює ефект, що спостерігається. Візьміть прямолінійний шматок дроту і розділіть його на три рівні частини. Потім зігніть крайні частини так, щоб вони утворили прямий кут із середньою частиною, і поверніть один щодо одного на 900 . Тепер повертайте цю фігурку та спостерігайте за нею одним оком. При деякому її становищі здаватиметься, що вона утворена із замкнутого шматка дроту. Увімкнувши настільну лампу, можна спостерігати за тінню, що падає на стіл, яка також при певному розташуванні фігури у просторі перетворюється на трикутник.

Втім, цю особливість проектування можна спостерігати й іншій ситуації. Якщо зробити кільце з дроту, а потім розвести його в різні боки, то вийде один виток циліндричної спіралі. Цей виток, зрозуміло, розімкнуто. Але при проектуванні його на площину можна одержати замкнуту лінію.

Ми ще раз переконалися, що за проекцією на площину, на малюнку тривимірна фігура відновлюється неоднозначно. Тобто в проекції міститься деяка двозначність, недомовленість, які й породжують «неможливий трикутник».

І можна сказати, що "неможливий трикутник" Пенроузов, як багато інших оптичні ілюзіїстоїть в одному ряду з логічними парадоксамита каламбурами.

Доказ неможливості трикутника Пенроуз

Аналізуючи особливості двовимірного зображення тривимірних об'єктів на площині, ми зрозуміли, як особливості цього відображення призводять до неможливого трикутника.

Довести, що неможливий трикутник не існує, вкрай легко, адже кожен його кут прямий, а їхня сума дорівнює 2700 замість «положених» 1800.

Більш того, навіть якщо ми розглядатимемо неможливий трикутник, склеєний з куточків, менших 900, то й у цьому випадку можна довести, що неможливий трикутник не існує.

Розглянемо ще один трикутник, що складається з кількох частин. Якщо частини, з якого він складається, розташувати інакше, то вийде такий самий трикутник, але з одним маленьким недоліком. Не вистачатиме одного квадрата. Як таке можливо? Або таки це ілюзія.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="Неможливий трикутник" width="298" height="161">!}

Використання феномена сприйняття

Чи можна якось посилити ефект неможливості? "Неможливі" чи одні об'єкти, ніж інші? І тут на допомогу приходять особливості людського сприйняття. Психологами встановлено, що око починає огляд об'єкта (картини) з лівого нижнього кута, потім погляд ковзає праворуч до центру і опускається у нижній правий кут картини. Така траєкторія, можливо, пов'язана з тим, що наші предки при зустрічі з противником спочатку дивилися на найнебезпечнішу праву руку, а потім погляд переміщався вліво, на обличчя та фігуру. Таким чином, художнє сприйняттяістотно залежатиме від того, як будується композиція картини. Ця особливість у Середньовіччі яскраво проявилася при виготовленні гобеленів: їхній малюнок був дзеркальним відображенняморигіналу, і враження, яке справляють гобелени та оригінали, різниться.

Ця властивість можна з успіхом використовувати при створенні творів з неможливими об'єктами, збільшуючи або зменшуючи "ступінь неможливості". Відкривається також перспектива отримувати цікаві композиціїз використанням комп'ютерних технологій або з кількох картин, повернутих (можливо, з використанням різного видусиметрій) одна щодо іншої, що створюють у глядачів різне враження від об'єкта і глибше розуміння сутності задуму, або з однієї, що повертається (постійно або ривками) за допомогою нехитрого механізму на деякі кути.

Такий напрямок можна назвати полігональним (багатокутним). На ілюстраціях представлені зображення, повернуті одне щодо іншого. Композиція створювалася наступним чином: малюнок на папері, виконаний тушшю та олівцем, сканувався, переводився в цифрову форму та оброблявся в графічному редакторі. Можна відзначити закономірність - повернена картинка має більшу "ступінь неможливості", ніж вихідна. Це легко можна пояснити: художник у процесі роботи підсвідомо прагне створити "правильне" зображення.

Висновок

Використання різних математичних постатей і законів не обмежується лише наведеними вище прикладами. Уважно вивчаючи всі наведені постаті, можна знайти й інші, не згадані у цій статті, геометричні тілачи візуальну інтерпретацію математичних законів.

Математичні образотворче мистецтво процвітає сьогодні, і багато художників створюють картини в стилі Ешера і у своєму власному стилі. Ці художники працюють у різних напрямках, включаючи скульптуру, малювання на плоских та тривимірних поверхнях, літографію та комп'ютерну графіку. А найпопулярнішими темами математичного мистецтва залишаються багатогранники, неможливі постаті, стрічки Мебіуса, спотворені системи перспективи та фрактали.

Висновки:

1. Отже, розгляд неможливих постатей розвиває нашу просторову уяву, допомагає «вийти» з площини в тривимірний простір, що допоможе при вивченні стереометрії.

2. Моделі неможливих фігур допомагають розглядати проекції на площині.

3. Розгляд математичних софізмів та парадоксів прищеплюють інтерес до математики.

За виконання даної роботи

1. Я дізнався - як, коли, де і ким було вперше розглянуто неможливі постаті, що таких постатей багато, ці постаті постійно намагаються зображати художники.

2. Я, разом із татом зробив модель неможливого трикутника, розглянув її проекції на площину, побачив парадокс цієї постаті.

3. Розглянув репродукції художників, у яких зображені дані постаті

4. Мої дослідження зацікавили однокласників.

Надалі отримані знання я використовуватиму на уроках математики і мене зацікавили, а чи існують інші парадокси?

ЛІТЕРАТУРА

1. Кандидат технічних наукД. РАКІВ Історія неможливих фігур

2. Рутесвард О. Неможливі постаті.- М.: Будвидав, 1990.

3. Сайт В. Алексєєва Ілюзії · 7 Comments

4. Дж. Тімоті Анрах. - Дивовижні постаті.
(ТОВ "Видавництво АСТ", ТОВ "Видавництво Астрель", 2002, 168 с.)

5. . - Графіка.
(Арт-Джерело, 2001)

6. Даглас Хофштадтер. - Гедель, Ешер, Бах: ця нескінченна гірлянда. ( Видавничий будинок"Бахрах-М", 2001)

7. А. Коненко – Таємниці неможливих фігур
(Омськ:Лівша, 199)