Η φυσική έννοια του παραγώγου. Στιγμιαίος ρυθμός αλλαγής συνάρτησης, επιτάχυνσης και κλίσης

Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ένα από τα πιο δύσκολα θέματα στο σχολικό πρόγραμμα. Δεν θα απαντήσει κάθε πτυχιούχος στην ερώτηση τι είναι παράγωγο.

Αυτό το άρθρο εξηγεί απλά και ξεκάθαρα τι είναι παράγωγο και γιατί χρειάζεται.. Δεν θα προσπαθήσουμε τώρα για μαθηματική αυστηρότητα παρουσίασης. Το πιο σημαντικό είναι να κατανοήσουμε το νόημα.

Ας θυμηθούμε τον ορισμό:

Η παράγωγος είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης.

Το σχήμα δείχνει γραφήματα τριών συναρτήσεων. Ποιο πιστεύετε ότι μεγαλώνει πιο γρήγορα;

Η απάντηση είναι προφανής - η τρίτη. Έχει τον υψηλότερο ρυθμό μεταβολής, δηλαδή τη μεγαλύτερη παράγωγο.

Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα.

Ο Kostya, ο Grisha και ο Matvey έπιασαν δουλειά ταυτόχρονα. Ας δούμε πώς άλλαξαν τα εισοδήματά τους κατά τη διάρκεια του έτους:

Μπορείτε να δείτε τα πάντα στο γράφημα αμέσως, σωστά; Το εισόδημα του Kostya έχει υπερδιπλασιαστεί σε έξι μήνες. Και το εισόδημα του Γκρίσα αυξήθηκε επίσης, αλλά λίγο. Και το εισόδημα του Ματθαίου μειώθηκε στο μηδέν. Οι συνθήκες εκκίνησης είναι ίδιες, αλλά ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης, δηλ. παράγωγο, - διαφορετικό. Όσο για τον Matvey, το παράγωγο του εισοδήματός του είναι γενικά αρνητικό.

Διαισθητικά, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης. Πώς όμως το κάνουμε;

Αυτό που πραγματικά κοιτάμε είναι πόσο απότομα ανεβαίνει (ή κάτω) το γράφημα της συνάρτησης. Με άλλα λόγια, πόσο γρήγορα αλλάζει το y με το x. Είναι προφανές ότι η ίδια λειτουργία σε διαφορετικά σημείαμπορεί να έχει διαφορετική τιμή της παραγώγου - δηλαδή, μπορεί να αλλάζει πιο γρήγορα ή πιο αργά.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης συμβολίζεται με .

Ας δείξουμε πώς μπορείτε να βρείτε χρησιμοποιώντας το γράφημα.

Σχεδιάζεται ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Πάρτε ένα σημείο πάνω του με μια τετμημένη. Σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο. Θέλουμε να αξιολογήσουμε πόσο απότομα ανεβαίνει το γράφημα της συνάρτησης. Μια βολική αξία για αυτό είναι εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Παρακαλώ σημειώστε - ως γωνία κλίσης της εφαπτομένης, παίρνουμε τη γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα.

Μερικές φορές οι μαθητές ρωτούν ποια είναι η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή, που έχει τη μοναδική κοινό σημέιομε ένα γράφημα, και όπως φαίνεται στο σχήμα μας. Μοιάζει με εφαπτομένη σε κύκλο.

Ας βρούμε . Θυμόμαστε ότι η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνοίση με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό. Από τρίγωνο:

Βρήκαμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας το γράφημα χωρίς καν να γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης. Τέτοιες εργασίες βρίσκονται συχνά στις εξετάσεις στα μαθηματικά κάτω από τον αριθμό.

Υπάρχει μια άλλη σημαντική συσχέτιση. Θυμηθείτε ότι η ευθεία δίνεται από την εξίσωση

Η ποσότητα σε αυτή την εξίσωση ονομάζεται κλίση ευθείας γραμμής. Είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας προς τον άξονα.

.

Το καταλαβαίνουμε

Ας θυμηθούμε αυτόν τον τύπο. Εκφράζει τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι γωνιακός συντελεστήςεφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο.

Με άλλα λόγια, η παράγωγος είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης.

Είπαμε ήδη ότι η ίδια συνάρτηση μπορεί να έχει διαφορετικές παραγώγους σε διαφορετικά σημεία. Ας δούμε πώς σχετίζεται η παράγωγος με τη συμπεριφορά της συνάρτησης.

Ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Αφήστε αυτή τη συνάρτηση να αυξηθεί σε ορισμένες περιοχές, να μειωθεί σε άλλες και με διαφορετική ταχύτητα. Και αφήστε αυτή τη συνάρτηση να έχει μέγιστους και ελάχιστους πόντους.

Σε ένα σημείο, η συνάρτηση αυξάνεται. Η εφαπτομένη στο γράφημα, που σχεδιάζεται στο σημείο, σχηματίζει μια οξεία γωνία. με κατεύθυνση θετικού άξονα. Άρα η παράγωγος είναι θετική στο σημείο.

Στο σημείο η λειτουργία μας μειώνεται. Η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο σχηματίζει αμβλεία γωνία. με κατεύθυνση θετικού άξονα. Εφόσον η εφαπτομένη μιας αμβλείας γωνίας είναι αρνητική, η παράγωγος στο σημείο είναι αρνητική.

Να τι συμβαίνει:

Εάν μια συνάρτηση αυξάνεται, η παράγωγός της είναι θετική.

Αν μειωθεί, η παράγωγός του είναι αρνητική.

Και τι θα γίνει στα μέγιστα και ελάχιστα σημεία; Βλέπουμε ότι στο (μέγιστο σημείο) και (ελάχιστο σημείο) η εφαπτομένη είναι οριζόντια. Επομένως, η εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης σε αυτά τα σημεία είναι μηδέν και η παράγωγος είναι επίσης μηδέν.

Το σημείο είναι το μέγιστο σημείο. Σε αυτό το σημείο, η αύξηση της συνάρτησης αντικαθίσταται από μείωση. Κατά συνέπεια, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει στο σημείο από «συν» σε «πλην».

Στο σημείο - το ελάχιστο σημείο - η παράγωγος είναι επίσης ίση με μηδέν, αλλά το πρόσημά της αλλάζει από "μείον" σε "συν".

Συμπέρασμα: με τη βοήθεια της παραγώγου, μπορείτε να μάθετε όλα όσα μας ενδιαφέρουν για τη συμπεριφορά της συνάρτησης.

Εάν η παράγωγος είναι θετική, τότε η συνάρτηση αυξάνεται.

Εάν η παράγωγος είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα.

Στο μέγιστο σημείο, η παράγωγος είναι μηδέν και αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον.

Στο ελάχιστο σημείο, η παράγωγος είναι επίσης μηδέν και αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν.

Γράφουμε αυτά τα ευρήματα με τη μορφή πίνακα:

	αυξάνει	μέγιστο σημείο	μειώνεται	ελάχιστο σημείο	αυξάνει
+	0	-	0	+

Ας κάνουμε δύο μικρές διευκρινίσεις. Θα χρειαστείτε ένα από αυτά κατά την επίλυση του προβλήματος. Άλλο - τον πρώτο χρόνο, με πιο σοβαρή μελέτη συναρτήσεων και παραγώγων.

Μια περίπτωση είναι δυνατή όταν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο είναι ίση με μηδέν, αλλά η συνάρτηση δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο σε αυτό το σημείο. Αυτό το λεγόμενο :

Σε ένα σημείο, η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση είναι οριζόντια και η παράγωγος είναι μηδέν. Ωστόσο, πριν από το σημείο η συνάρτηση αυξήθηκε - και μετά το σημείο συνεχίζει να αυξάνεται. Το πρόσημο του παραγώγου δεν αλλάζει - έχει παραμείνει θετικό όπως ήταν.

Συμβαίνει επίσης στο σημείο μέγιστου ή ελάχιστου να μην υπάρχει η παράγωγος. Στο γράφημα, αυτό αντιστοιχεί σε μια απότομη διακοπή, όταν είναι αδύνατο να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε ένα δεδομένο σημείο.

Αλλά πώς να βρείτε την παράγωγο εάν η συνάρτηση δεν δίνεται από ένα γράφημα, αλλά από έναν τύπο; Σε αυτή την περίπτωση ισχύει

Πολλοί θα εκπλαγούν από την απροσδόκητη θέση αυτού του άρθρου στο μάθημα του συγγραφέα μου σχετικά με την παράγωγο μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής και τις εφαρμογές της. Άλλωστε, όπως ήταν από το σχολείο: ένα τυπικό εγχειρίδιο, πρώτα απ 'όλα, δίνει έναν ορισμό του παραγώγου, τη γεωμετρική, μηχανική σημασία του. Στη συνέχεια, οι μαθητές βρίσκουν εξ ορισμού παραγώγους συναρτήσεων και, στην πραγματικότητα, μόνο τότε τελειοποιείται η τεχνική της διαφοροποίησης χρησιμοποιώντας παράγωγοι πίνακες.

Αλλά από την άποψή μου, η ακόλουθη προσέγγιση είναι πιο ρεαλιστική: πρώτα απ 'όλα, είναι σκόπιμο να ΚΑΤΑΝΟΗΣΕΤΕ ΚΑΛΑ το όριο της συνάρτησης και, ειδικότερα, απειροελάχιστα. Γεγονός είναι ότι

ο ορισμός της παραγώγου βασίζεται στην έννοια του ορίου , το οποίο δεν λαμβάνεται υπόψη στο σχολικό μάθημα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ένα σημαντικό μέρος των νέων καταναλωτών γνώσης του γρανίτη δεν διεισδύει στην ίδια την ουσία του παραγώγου. Έτσι, εάν είστε κακώς προσανατολισμένοι στον διαφορικό λογισμό ή έχετε σοφό μυαλό για πολλά χρόνιααπορρίφθηκε επιτυχώς αυτές οι αποσκευές, ξεκινήστε απόόρια λειτουργίας . Ταυτόχρονα κύριος / θυμηθείτε την απόφασή τους.

Η ίδια πρακτική αίσθηση υποδηλώνει ότι είναι κερδοφόρο πρώτα

μάθετε να βρίσκετε παραγώγους, συμπεριλαμβανομένων των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων . Η θεωρία είναι μια θεωρία, αλλά, όπως λένε, πάντα θέλεις να διαφοροποιήσεις. Από αυτή την άποψη, είναι καλύτερο να επεξεργαστείτε τα βασικά μαθήματα που αναφέρονται και ίσως να γίνουνπλοίαρχος διαφοροποίησης χωρίς καν να συνειδητοποιούν την ουσία των πράξεών τους.

Συνιστώ να ξεκινήσετε τα υλικά σε αυτήν τη σελίδα αφού διαβάσετε το άρθρο. Τα πιο απλά προβλήματα με μια παράγωγο, όπου, ειδικότερα, εξετάζεται το πρόβλημα της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Αλλά μπορεί να καθυστερήσει. Το γεγονός είναι ότι πολλές εφαρμογές της παραγώγου δεν απαιτούν την κατανόησή της και δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι το θεωρητικό μάθημα εμφανίστηκε αρκετά αργά - όταν έπρεπε να εξηγήσω εύρεση διαστημάτων αύξησης/μείωσης και ακραίωνλειτουργίες. Επιπλέον, ήταν στο θέμα για αρκετό καιρό " Συναρτήσεις και Γραφήματα”, μέχρι που αποφάσισα να το βάλω νωρίτερα.

Επομένως, αγαπητοί τσαγιέρες, μην βιαστείτε να απορροφήσετε την ουσία του παραγώγου, όπως τα πεινασμένα ζώα, γιατί ο κορεσμός θα είναι άγευστος και ατελής.

Η έννοια της αύξησης, της μείωσης, του μέγιστου, του ελάχιστου μιας συνάρτησης

Πολλά οδηγούς μελέτηςοδήγησε στην έννοια του παραγώγου με τη βοήθεια ορισμένων πρακτικών προβλημάτων, και κατέληξα επίσης σε ενδιαφέρον παράδειγμα. Φανταστείτε ότι πρέπει να ταξιδέψουμε σε μια πόλη που μπορεί να φτάσει κανείς με διαφορετικούς τρόπους. Απορρίπτουμε αμέσως τις κυρτές διαδρομές και θα εξετάσουμε μόνο ευθείες γραμμές. Ωστόσο, οι κατευθύνσεις σε ευθεία γραμμή είναι επίσης διαφορετικές: μπορείτε να φτάσετε στην πόλη κατά μήκος ενός επίπεδου αυτοκινητόδρομου. Ή σε έναν λοφώδες αυτοκινητόδρομο - πάνω-κάτω, πάνω-κάτω. Άλλος δρόμος πηγαίνει μόνο ανηφορικά και άλλος κατηφορίζει συνεχώς. Όσοι αναζητούν συγκίνηση θα επιλέξουν μια διαδρομή μέσα από το φαράγγι με απότομο βράχο και απότομη ανάβαση.

Όποιες κι αν είναι όμως οι προτιμήσεις σας, είναι επιθυμητό να γνωρίζετε την περιοχή ή τουλάχιστον να έχετε έναν τοπογραφικό χάρτη της. Τι γίνεται αν δεν υπάρχουν τέτοιες πληροφορίες; Μετά από όλα, μπορείτε να επιλέξετε, για παράδειγμα, ένα επίπεδο μονοπάτι, αλλά ως αποτέλεσμα, να σκοντάψετε σε μια πίστα σκι με αστείους Φινλανδούς. Όχι το γεγονός ότι ο πλοηγός και ακόμη

δορυφορική εικόνα θα δώσει αξιόπιστα δεδομένα. Επομένως, θα ήταν ωραίο να επισημοποιηθεί το ανάγλυφο του μονοπατιού μέσω των μαθηματικών.

Σκεφτείτε κάποιο δρόμο (πλάγια όψη):

Για κάθε ενδεχόμενο, σας υπενθυμίζω ένα στοιχειώδες γεγονός: το ταξίδι γίνεται από αριστερά προς τα δεξιά. Για απλότητα, υποθέτουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο τμήμα που εξετάζουμε.

Ποια είναι τα χαρακτηριστικά αυτού του διαγράμματος;

Κατά διαστήματα η συνάρτηση αυξάνεται, δηλαδή κάθε επόμενη τιμή της είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη. Σε γενικές γραμμές, το γράφημα πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω (ανεβαίνουμε στο λόφο). Και στο διάστημα, η συνάρτηση μειώνεται - κάθε επόμενη τιμή είναι μικρότερη από την προηγούμενη και το γράφημά μας πηγαίνει από πάνω προς τα κάτω (κατεβαίνουμε στην κλίση).

Ας προσέξουμε και ειδικά σημεία. Στο σημείο εμείς

φτάνουμε στο μέγιστο, δηλαδή υπάρχει ένα τέτοιο τμήμα της διαδρομής στο οποίο η τιμή θα είναι η μεγαλύτερη (υψηλότερη). Στο ίδιο σημείο, επιτυγχάνεται ένα ελάχιστο, και υπάρχει μια τέτοια γειτονιά στην οποία η τιμή είναι η μικρότερη (χαμηλότερη).

Στο μάθημα θα εξεταστούν πιο αυστηρή ορολογία και ορισμοί. σχετικά με τα άκρα της συνάρτησηςενώ μελετάμε ένα ακόμη σημαντικό χαρακτηριστικό: ανάμεσα η συνάρτηση αυξάνεται, αλλά αυξάνεται σε διαφορετικές ταχύτητες. Και το πρώτο πράγμα που τραβάει το μάτι σας είναι ότι το γράφημα διαστήματος ανεβάζει στα ύψη πολύ πιο κουλπαρά στο διάστημα. Είναι δυνατόν να μετρηθεί η απότομη κλίση του δρόμου χρησιμοποιώντας μαθηματικά εργαλεία;

Ρυθμός αλλαγής συνάρτησης

Η ιδέα είναι η εξής: πάρτε κάποια αξία

(διαβάστε "δέλτα x") , που θα ονομάσουμεπροσαύξηση επιχειρήματος, και ας αρχίσουμε να το "δοκιμάζουμε" σε διάφορα σημεία της διαδρομής μας:

1) Ας δούμε το πιο αριστερό σημείο: παρακάμπτοντας την απόσταση , ανεβαίνουμε την πλαγιά σε ύψος ( πράσινη γραμμή). Η ποσότητα ονομάζεται αύξηση συνάρτησης, και στο αυτή η υπόθεσηαυτή η αύξηση είναι θετική (η διαφορά των τιμών κατά μήκος του άξονα είναι μεγαλύτερη από

μηδέν). Ας κάνουμε την αναλογία, που θα είναι το μέτρο της ανηφόρας του δρόμου μας. Προφανώς, πρόκειται για έναν πολύ συγκεκριμένο αριθμό, και αφού και οι δύο αυξήσεις είναι θετικές, τότε.

Προσοχή! Ο προσδιορισμός είναι ένα ΜΟΝΟ σύμβολο, δηλαδή, δεν μπορείτε να "ξεκόψετε" το "δέλτα" από το "x" και να εξετάσετε αυτά τα γράμματα ξεχωριστά. Φυσικά, το σχόλιο ισχύει και για το σύμβολο αύξησης της συνάρτησης.

Ας εξερευνήσουμε τη φύση του κλάσματος που προκύπτει με μεγαλύτερη σημασία. Αφήνω

αρχικά βρισκόμαστε σε ύψος 20 μέτρων (στην αριστερή μαύρη κουκίδα). Έχοντας ξεπεράσει την απόσταση των μέτρων (αριστερή κόκκινη γραμμή), θα βρεθούμε σε ύψος 60 μέτρων. Τότε η αύξηση της συνάρτησης θα είναι

μέτρα (πράσινη γραμμή) και:. Έτσι

Έτσι, σε κάθε μέτρο αυτού του τμήματος του δρόμου αυξάνεται το ύψοςκατά μέσο όρο 4 μέτρα ... ξεχάσατε τον εξοπλισμό αναρρίχησης; =) Με άλλα λόγια, ο κατασκευασμένος λόγος χαρακτηρίζει τον ΜΕΣΟ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ (στην περίπτωση αυτή, ανάπτυξη) της συνάρτησης.

Σημείωση: οι αριθμητικές τιμές του εν λόγω παραδείγματος αντιστοιχούν στις αναλογίες του σχεδίου μόνο κατά προσέγγιση.

2) Τώρα ας πάμε την ίδια απόσταση από την πιο δεξιά μαύρη κουκκίδα. Εδώ η άνοδος είναι πιο ήπια, άρα η αύξηση

(ματζέντα γραμμή) είναι σχετικά μικρό, και η αναλογία

σε σύγκριση με την προηγούμενη περίπτωση θα είναι πολύ μέτρια. Σχετικά μιλώντας, μέτρα και ρυθμός ανάπτυξης συναρτήσεων

είναι . Δηλαδή εδώ για κάθε μέτρο του μονοπατιού υπάρχει κατά μέσο όρο μισό μέτρο ανάβασης.

3) Μια μικρή περιπέτεια στην πλαγιά του βουνού. Ας δούμε την επάνω μαύρη κουκκίδα που βρίσκεται στον άξονα y. Ας υποθέσουμε ότι πρόκειται για σημάδι 50 μέτρων. Και πάλι ξεπερνάμε την απόσταση, με αποτέλεσμα να βρεθούμε πιο χαμηλά - στο επίπεδο των 30 μέτρων. Εφόσον η κίνηση πραγματοποιήθηκε από πάνω προς τα κάτω (στην «αντίθετη» κατεύθυνση του άξονα), η τελική η αύξηση της συνάρτησης (ύψος) θα είναι αρνητική:μέτρα (καφέ γραμμή στο σχέδιο). Και σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για ταχύτητα

φθίνουσα συνάρτηση: , δηλαδή για κάθε μέτρο της διαδρομής

Στην περιοχή αυτή, το ύψος μειώνεται κατά μέσο όρο 2 μέτρα. Φροντίστε τα ρούχα στο πέμπτο σημείο.

Τώρα ας θέσουμε το ερώτημα: ποια είναι η καλύτερη αξία του "προτύπου μέτρησης" για χρήση; Είναι ξεκάθαρο ότι τα 10 μέτρα είναι πολύ τραχιά. Μια ντουζίνα χτυπήματα μπορούν εύκολα να χωρέσουν πάνω τους. Γιατί υπάρχουν χτυπήματα, μπορεί να υπάρχει ένα βαθύ φαράγγι από κάτω, και μετά από λίγα μέτρα - η άλλη πλευρά του με μια περαιτέρω απότομη ανάβαση. Έτσι, με ένα δεκάμετρο δεν θα έχουμε κατανοητό χαρακτηρισμό τέτοιων τμημάτων της διαδρομής

σχέση .

Από την παραπάνω συζήτηση προκύπτει το εξής συμπέρασμα: τόσο μικρότερη είναι η τιμή, τόσο ακριβέστερα θα περιγράψουμε το ανάγλυφο του δρόμου. Επιπλέον, δίκαιο

Τώρα γνωρίζουμε ότι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης N(Z) στο Z = +2 είναι -0,1079968336. Αυτό σημαίνει πάνω/κάτω κατά τη διάρκεια της περιόδου, οπότε όταν Z = +2, η καμπύλη N(Z) ανεβαίνει κατά -0,1079968336. Αυτή η κατάσταση φαίνεται στο Σχήμα 3-13.

Το μέτρο της «απόλυτης» ευαισθησίας μπορεί να ονομαστεί ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης. Το μέτρο της ευαισθησίας μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο («στιγμιαία ταχύτητα») ονομάζεται παράγωγος.

Μπορούμε να μετρήσουμε τον βαθμό απόλυτης ευαισθησίας της μεταβλητής y στις αλλαγές της μεταβλητής x αν ορίσουμε την αναλογία Ay/Ax. Το μειονέκτημα ενός τέτοιου ορισμού της ευαισθησίας είναι ότι εξαρτάται όχι μόνο από το "αρχικό" σημείο XQ, σε σχέση με το οποίο εξετάζεται η αλλαγή στο όρισμα, αλλά και από την ίδια την τιμή του διαστήματος Dx, στο οποίο προσδιορίζεται η ταχύτητα . Για να εξαλειφθεί αυτό το μειονέκτημα, εισάγεται η έννοια της παραγώγου (ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης σε ένα σημείο). Κατά τον προσδιορισμό του ρυθμού μεταβολής μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, τα σημεία XQ και xj συγκεντρώνονται, τείνοντας το διάστημα Dx στο μηδέν. Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f (x) στο σημείο XQ και ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης f (x) στο σημείο x. Η γεωμετρική έννοια του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης στο σημείο XQ είναι ότι καθορίζεται από τη γωνία κλίσης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο XQ. Η παράγωγος είναι η εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης στο γράφημα της συνάρτησης.

Εάν η παράγωγος y θεωρείται ως ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης /, τότε η τιμή y /y είναι ο σχετικός ρυθμός μεταβολής της. Επομένως, η λογαριθμική παράγωγος (In y)

Παράγωγος κατά κατεύθυνση - χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης z - f (x, y) στο σημείο MO (ZhO, UO) στην κατεύθυνση

Ρυθμός μεταβολής συνάρτησης σχετικός 124.188

Μέχρι στιγμής, έχουμε εξετάσει την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης , η οποία σας επιτρέπει να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης. Για να προσδιοριστεί εάν ο ρυθμός μεταβολής είναι σταθερός, θα πρέπει να ληφθεί η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης. Αυτό δηλώνεται ως

Εδώ και παρακάτω, ο πρώτος σημαίνει διαφοροποίηση έτσι ώστε h να είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης h σε σχέση με την αύξηση της πλεονάζουσας προσφοράς).

Ένα μέτρο της "απόλυτης" ευαισθησίας - ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης (μέσος όρος (λόγος αλλαγών) ή οριακός (παράγωγος))

Αύξηση τιμής, ορίσματος, συνάρτησης. Ρυθμός αλλαγής συνάρτησης

Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης στο διάστημα (μέσος ρυθμός).

Το μειονέκτημα ενός τέτοιου ορισμού της ταχύτητας είναι ότι αυτή η ταχύτητα εξαρτάται όχι μόνο από το σημείο x0, σε σχέση με το οποίο εξετάζεται η αλλαγή στο όρισμα, αλλά και από το μέγεθος της αλλαγής στο ίδιο το όρισμα, δηλ. στην τιμή του διαστήματος Dx, στο οποίο προσδιορίζεται η ταχύτητα. Για να εξαλειφθεί αυτό το μειονέκτημα, εισάγεται η έννοια του ρυθμού μεταβολής μιας συνάρτησης σε ένα σημείο (στιγμιαία ταχύτητα).

Ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης σε ένα σημείο (στιγμιαίος ρυθμός).

Για να προσδιοριστεί ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης στο σημείο J Q, τα σημεία x και x0 συγκεντρώνονται, τείνοντας το διάστημα Ax στο μηδέν. Η αλλαγή στη συνεχή συνάρτηση θα τείνει επίσης στο μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, ο λόγος της μεταβολής της συνάρτησης που τείνει προς το μηδέν προς την αλλαγή του ορίσματος που τείνει στο μηδέν δίνει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης στο σημείο x0 (στιγμιαία ταχύτητα), πιο συγκεκριμένα, σε ένα απείρως μικρό διάστημα σχετικό στο σημείο xd.

Είναι αυτός ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης Dx) στο σημείο x0 που ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης Dx) στο σημείο xa.

Φυσικά, για τον χαρακτηρισμό του ρυθμού μεταβολής της τιμής του y, θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει έναν απλούστερο δείκτη, ας πούμε, την παράγωγο του y σε σχέση με το L. Η ελαστικότητα της αντικατάστασης o προτιμάται λόγω του ότι έχει μεγάλο πλεονέκτημα - είναι σταθερό για τις περισσότερες συναρτήσεις παραγωγής που χρησιμοποιούνται στην πράξη, δηλαδή όχι μόνο δεν αλλάζει όταν κινείται κατά μήκος κάποιου ισοδύναμου, αλλά και δεν εξαρτάται από την επιλογή του ισοδύναμου.

Η επικαιρότητα του ελέγχου σημαίνει ότι ο αποτελεσματικός έλεγχος πρέπει να είναι έγκαιρος. Η επικαιρότητά του έγκειται στη συγκρισιμότητα του χρονικού διαστήματος των μετρήσεων και των αξιολογήσεων των ελεγχόμενων δεικτών, της διαδικασίας συγκεκριμένων δραστηριοτήτων του οργανισμού στο σύνολό του. Η φυσική τιμή ενός τέτοιου διαστήματος (συχνότητα μετρήσεων) καθορίζεται από το χρονικό πλαίσιο της μετρούμενης διαδικασίας (σχέδιο), λαμβάνοντας υπόψη τον ρυθμό μεταβολής των ελεγχόμενων δεικτών και το κόστος εφαρμογής των λειτουργιών ελέγχου. Το πιο σημαντικό καθήκον της λειτουργίας ελέγχου παραμένει η εξάλειψη των αποκλίσεων πριν οδηγήσουν τον οργανισμό σε μια κρίσιμη κατάσταση.

Για ένα ομοιογενές σύστημα στο TV = 0, το M = 0 5 εξαφανίζεται επίσης, έτσι ώστε η δεξιά πλευρά έκφρασης (6.20) να είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της συνολικής συνάρτησης ευημερίας που σχετίζεται με την ετερογένεια.

Η μηχανική έννοια του παραγώγου. Για μια συνάρτηση y = f(x) που αλλάζει με το χρόνο x, η παράγωγος y = f(xo] είναι ο ρυθμός μεταβολής του y τη χρονική στιγμή XQ.

Ο σχετικός ρυθμός (ρυθμός) μεταβολής της συνάρτησης y = f(x) προσδιορίζεται από τη λογαριθμική παράγωγο

Οι μεταβλητές x σημαίνουν το μέγεθος της διαφοράς μεταξύ προσφοράς και ζήτησης για τον αντίστοιχο τύπο μέσων παραγωγής x = s - p. Η συνάρτηση x(f) είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο χρόνο. Οι μεταβλητές x" σημαίνουν το ρυθμό μεταβολής της διαφοράς μεταξύ προσφοράς και ζήτησης. Η τροχιά x (t) σημαίνει την εξάρτηση του ρυθμού μεταβολής της προσφοράς και της ζήτησης από το μέγεθος της διαφοράς μεταξύ προσφοράς και ζήτησης, η οποία με τη σειρά της εξαρτάται Ο χώρος κατάστασης (χώρος φάσης) στην περίπτωσή μας είναι δισδιάστατος, δηλ. έχει τη μορφή επιπέδου φάσης.

Τέτοιες ιδιότητες της ποσότητας a εξηγούν το γεγονός ότι ο ρυθμός μεταβολής του οριακού ρυθμού αντικατάστασης y χαρακτηρίζεται βάσει αυτού και όχι με τη βοήθεια οποιουδήποτε άλλου δείκτη, για παράδειγμα, της παραγώγου του y ως προς το x>. Επιπλέον, για έναν σημαντικό αριθμό συναρτήσεων, η ελαστικότητα της υποκατάστασης είναι σταθερή όχι μόνο κατά μήκος ισοκλινών, αλλά και κατά μήκος ισόκλωνων. Έτσι, για τη συνάρτηση παραγωγής (2.20), χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι, σύμφωνα με την ισοκλι-

Υπάρχουν πολλά κόλπα που μπορούν να γίνουν με βραχυπρόθεσμους ρυθμούς αλλαγής. Αυτό το μοντέλο χρησιμοποιεί μια περίοδο μιας περιόδου

Εναλλακτική φυσική έννοια της έννοιας παραγώγου συνάρτησης.

Νικολάι Μπρίλεφ

Ένα άρθρο για όσους σκέφτονται μόνοι τους. Για όσους δεν μπορούν να καταλάβουν πώς είναι δυνατόν να γνωρίζουν με τη βοήθεια του άγνωστου και γι' αυτόν τον λόγο δεν μπορούν να συμφωνήσουν με την εισαγωγή άγνωστων εννοιών στα εργαλεία της γνώσης: "άπειρο", "πηγαίνοντας στο μηδέν", "άπειρα μικρό", «γειτονιά ενός σημείου» κλπ. .Π.

Ο σκοπός αυτού του άρθρου δεν είναι να υποτιμήσει την ιδέα της εισαγωγής μιας πολύ χρήσιμης θεμελιώδους έννοιας στα μαθηματικά και τη φυσική. έννοιες παράγωγα μιας συνάρτησης(διαφορικό), και κατανοήστε το βαθιά φυσική αίσθηση,με βάση τις γενικές παγκόσμιες εξαρτήσεις της φυσικής επιστήμης. Ο στόχος είναι να προικιστεί η έννοια παράγωγη συνάρτηση(διαφορική) αιτιατική δομή και βαθύ νόημα φυσική αλληλεπίδραση. Αυτό το νόημα σήμερα είναι αδύνατο να μαντέψει κανείς, γιατί η γενικά αποδεκτή έννοια προσαρμόζεται στην υπό όρους τυπική, μη αυστηρή, μαθηματική προσέγγιση του διαφορικού λογισμού.

1.1 Η κλασική έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης.

Αρχικά, ας στραφούμε στο παγκοσμίως χρησιμοποιούμενο, γενικά αποδεκτό, που υπάρχει εδώ και σχεδόν τρεις αιώνες, το οποίο έχει γίνει κλασικό, μαθηματική έννοια (ορισμός) της παραγώγου συνάρτησης (διαφορικό).

Αυτή η έννοια εξηγείται σε όλα τα πολυάριθμα σχολικά βιβλία με τον ίδιο τρόπο και περίπου έτσι.

Αφήστε την τιμή u εξαρτάται από το όρισμα x ως u = f(x). Αν f(x ) καθορίστηκε σε δύο σημεία στις τιμές του ορίσματος: x2, x1, , τότε παίρνουμε τις ποσότητες u 1 = f (x 1 ) και u 2 = f (x 2 ). Διαφορά δύο τιμών ορίσματος x 2, x 1 θα ονομάζεται προσαύξηση του ορίσματος και θα συμβολίζεται ως Δ x = x 2 - x 1 (εξ ου και x 2=x1+ Δ Χ) . Εάν το όρισμα έχει αλλάξει σε Δ x \u003d x 2 - x 1, , τότε η συνάρτηση έχει αλλάξει (αυξηθεί) ως η διαφορά μεταξύ των δύο τιμών της συνάρτησης u 1 \u003d f (x 1), u 2 \u003d f (x 2 ) με την αύξηση της συνάρτησης∆f. Συνήθως γράφεται ως εξής:

∆f= u 1 - u 2 \u003d f (x 2) - f (x 1 ) . Ή λαμβάνοντας υπόψη αυτό x 2 = x 1 + Δ Χ , μπορούμε να γράψουμε ότι η αλλαγή στη συνάρτηση είναι ίση με∆f= f (x 1 + Δx)- f (x 1 ). Και αυτή η αλλαγή συνέβη, φυσικά, στο εύρος των πιθανών τιμών της συνάρτησης x2 και x1, .

Πιστεύεται ότι αν οι αξίες x 2 και x 1, απείρως κοντάσε μέγεθος μεταξύ τους, τότε Δ x \u003d x 2 - x 1, - απειροελάχιστος.

Παράγωγος ορισμός: Παράγωγη συνάρτηση f (x) στο σημείο x 0 ονομάζεται όριο του λόγου αύξησης της συνάρτησης Δφά σε αυτό το σημείο στην αύξηση του ορίσματος Δx όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν (άπειρα μικρό). Ηχογραφήθηκε έτσι.

Lim Δx →0 (∆f(x0)/ Δx)=lim Δx→0 ((f (x + Δx)-f (x 0))/ Δx)=στ ` (x0)

Η εύρεση της παραγώγου λέγεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση . Εισήχθη ορισμός μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης : Λειτουργία φά , που έχει παράγωγο σε κάθε σημείο κάποιου διαστήματος, ονομάζεται διαφοροποιήσιμο σε αυτό το διάστημα.

1.2 Η γενικά αποδεκτή φυσική σημασία της παραγώγου μιας συνάρτησης

Και τώρα σχετικά με τη γενικά αποδεκτή φυσική σημασία του παραγώγου .

σχετικά με τα λεγόμενα της φυσικός, είτε ψευδοφυσικήκαι οι γεωμετρικές έννοιες μπορούν επίσης να διαβαστούν σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο μαθηματικών (ανάλυση υλικού, διαφορικός λογισμός). Συνοψίζω το περιεχόμενό τους επί του θέματος για τη φυσική της φύση:

Η φυσική έννοια του παραγώγου x `(τ ) από συνεχή συνάρτηση x (t) στο σημείο t 0 είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της τιμής της συνάρτησης, με την προϋπόθεση ότι η αλλαγή στο όρισμα Δ t τείνει στο μηδέν.

Και να το εξηγήσω στους μαθητές αυτό φυσική έννοιαοι δάσκαλοι μπορούν, για παράδειγμα, έτσι.

Φανταστείτε ότι πετάτε σε ένα αεροπλάνο και έχετε ένα ρολόι στο χέρι σας. Όταν πετάτε, έχετε ταχύτητα ίση με την ταχύτητα ενός αεροπλάνου; - απευθύνεται ο δάσκαλος στο κοινό.

Ναι, απαντούν οι μαθητές.

Και ποια είναι η ταχύτητα που έχετε εσείς και το αεροπλάνο σε κάθε στιγμή του ρολογιού σας;

Ταχύτητα ίση με την ταχύτητα ενός αεροπλάνου!, - απαντούν από κοινού καλοί και άριστοι μαθητές.

Όχι πραγματικά, λέει ο δάσκαλος. - Η ταχύτητα, ως φυσική έννοια, είναι η διαδρομή ενός αεροσκάφους που διανύει ανά μονάδα χρόνου (για παράδειγμα, ανά ώρα (km/h)), και όταν κοιτάζατε το ρολόι σας, πέρασε μόνο μια στιγμή. Ετσι, η στιγμιαία ταχύτητα (η απόσταση που διανύθηκε σε μια στιγμή) είναι η παράγωγος της συνάρτησης που περιγράφει τη διαδρομή του αεροσκάφους στο χρόνο. Στιγμιαία ταχύτητα - αυτή είναι η φυσική έννοια της παραγώγου.

1.3 Προβλήματα αυστηρότητας της μεθοδολογίας για το σχηματισμό της μαθηματικής έννοιας της παραγώγου συνάρτησης.

ΕΝΑ ακροατήριομαθητές, συνηθισμένοι στο εκπαιδευτικό σύστημα με πραότητα,άμεσα και πλήρωςμαθαίνουν αμφίβολες αλήθειες, κατά κανόνα, δεν κάνουν στον δάσκαλο περισσότερες ερωτήσεις σχετικά έννοια και φυσική σημασία του παραγώγου. Αλλά ένας περίεργος, βαθιά και ανεξάρτητα σκεπτόμενος άνθρωπος δεν μπορεί να το αφομοιώσει αυτό ως μια αυστηρή επιστημονική αλήθεια. Σίγουρα θα κάνει μια σειρά από ερωτήσεις, στις οποίες προφανώς δεν θα περιμένει αιτιολογημένη απάντηση από καθηγητή οποιασδήποτε βαθμίδας. Οι ερωτήσεις είναι οι εξής.

1. Είναι ακριβείς (σωστές, επιστημονικές, με αντικειμενική αξία, αιτιολογική ουσία) τέτοιες έννοιες (εκφράσεις) «ακριβούς» επιστήμης - μαθηματικών όπως: στιγμή - μια απειροελάχιστη τιμή, φιλοδοξία στο μηδέν, φιλοδοξία στο άπειρο, μικρότητα, άπειρο, φιλοδοξία? Πώς μπορώ για να ξέρειςκάποια οντότητα στο μέγεθος της αλλαγής, λειτουργώντας με άγνωστες έννοιες, δεν έχει μέγεθος; Περισσότερο Ο μεγάλος Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.) στο 4ο κεφάλαιο της πραγματείας «ΦΥΣΙΚΗ», από αμνημονεύτων χρόνων, μετέδωσε: «Αν το άπειρο, επειδή είναι άπειρο, είναι άγνωστο, τότε το άπειρο σε ποσότητα ή μέγεθος είναι άγνωστο, πόσο μεγάλο είναι, και το άπειρο σε είδος είναι άγνωστο, ποια είναι η ποιότητά του. Εφόσον οι αρχές είναι άπειρες και σε ποσότητα και σε μέγεθος. σε είδος, τότε είναι αδύνατο να γνωρίσουμε αυτά που σχηματίστηκαν από αυτά [πράγματα]: στο κάτω-κάτω, μόνο τότε πιστεύουμε ότι γνωρίζουμε περίπλοκο πράγμαόταν μάθουμε από τι και πόσες [αρχές] αποτελείται από ... " Αριστοτέλης, "Φυσική", 4 κεφ..

2. Πώς μπορώ το παράγωγο έχει φυσική σημασίαταυτόσημη με κάποια στιγμιαία ταχύτητα, αν η στιγμιαία ταχύτητα δεν είναι φυσική έννοια, αλλά μια πολύ υπό όρους, «ανακριβής» έννοια των μαθηματικών, επειδή αυτό είναι το όριο μιας συνάρτησης και το όριο είναι μια μαθηματική έννοια υπό όρους;

3. Γιατί η μαθηματική έννοια ενός σημείου, το οποίο έχει μόνο μία ιδιότητα - τη συντεταγμένη (που δεν έχει άλλες ιδιότητες: μέγεθος, εμβαδόν, διάστημα) αντικαθίσταται στον μαθηματικό ορισμό της παραγώγου από την έννοια της γειτονιάς ενός σημείου, που στην πραγματικότητα έχει ένα διάστημα, μόνο αόριστο σε μέγεθος. Διότι στην έννοια της παραγώγου οι έννοιες και τα μεγέθη Δ x = x 2 - x 1, και x 0 .

4. Σωστά είτε καθόλου φυσική έννοιαεξηγήστε με μαθηματικές έννοιες που δεν έχουν φυσικό νόημα;

5. Γιατί αιτιότητα (λειτουργία), ανάλογα με την αιτία (επιχείρημα, ιδιότητα, παράμετρος) πρέπει να έχει η ίδια τελικό σκυρόδεμα καθορισμένο σε μέγεθος όριο αλλαγές (συνέπειες) με μια απροσδιόριστα μικρή, μη έχοντας μέγεθος μεταβολή στο μέγεθος της αιτίας;

6. Υπάρχουν συναρτήσεις στα μαθηματικά που δεν έχουν παράγωγο (μη διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις σε μη ομαλή ανάλυση). Αυτό σημαίνει ότι σε αυτές τις συναρτήσεις, όταν το όρισμά της (η παράμετρος, η ιδιότητά της) αλλάζει, η συνάρτηση (μαθηματικό αντικείμενο) δεν αλλάζει. Αλλά δεν υπάρχουν αντικείμενα στη φύση που δεν θα άλλαζαν όταν αλλάζουν οι ιδιότητές τους. Γιατί, λοιπόν, τα μαθηματικά μπορούν να προσφέρουν τέτοιες ελευθερίες όπως η χρήση ενός μαθηματικού μοντέλου που δεν λαμβάνει υπόψη τις θεμελιώδεις σχέσεις αιτίου-αποτελέσματος του σύμπαντος;

Θα απαντήσω. Στην προτεινόμενη, κλασική έννοια που υπάρχει στα μαθηματικά - στιγμιαία ταχύτητα, παράγωγος, φυσική και επιστημονική γενικά, δεν υπάρχει σωστό νόημα και δεν μπορεί να οφείλεται στην αντιεπιστημονική ανακρίβεια και μη γνώση των εννοιών που χρησιμοποιούνται για αυτό! Δεν υπάρχει στην έννοια του «άπειρου», και στην έννοια του «στιγμιαίου», και στην έννοια του «προσπαθώντας προς το μηδέν ή το άπειρο».

Αλλά η αληθινή, καθαρισμένη από τις χαλαρές έννοιες της σύγχρονης φυσικής και μαθηματικών (τάση προς το μηδέν, απειροελάχιστη τιμή, άπειρο κ.λπ.)

Η ΦΥΣΙΚΗ ΝΟΗΜΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΥΠΑΡΧΕΙ!

Αυτό είναι που θα συζητηθεί τώρα.

1.4 Αληθινή φυσική σημασία και αιτιώδης δομή του παραγώγου.

Για να κατανοήσουμε τη φυσική ουσία, «τινάξουμε από τα αυτιά ένα παχύ στρώμα από αιωνόβιες χυλοπίτες», που κρεμάστηκαν ακόμη από τον Γκότφριντ Λάιμπνιτς (1646-1716) και τους οπαδούς του, θα πρέπει, ως συνήθως, να στραφούμε στη μεθοδολογία του γνώσεις και αυστηρές βασικές αρχές. Είναι αλήθεια ότι πρέπει να σημειωθεί ότι λόγω του επικρατούντος σχετικισμού, επί του παρόντος, αυτές οι αρχές δεν τηρούνται πλέον στην επιστήμη.

Επιτρέψτε μου να ξεφύγω εν συντομία.

Σύμφωνα με τους βαθιά και ειλικρινά πιστούς Isaac Newton (1643-1727) και Gottfried Leibniz, η αλλαγή των αντικειμένων, η αλλαγή των ιδιοτήτων τους, δεν συνέβη χωρίς τη συμμετοχή του Παντοδύναμου. Η μελέτη της Παντοδύναμης πηγής μεταβλητότητας από οποιονδήποτε φυσικό επιστήμονα ήταν εκείνη την εποχή γεμάτη διώξεις από μια ισχυρή εκκλησία και δεν πραγματοποιήθηκε για λόγους αυτοσυντήρησης. Αλλά ήδη από τον 19ο αιώνα, οι φυσικοί επιστήμονες το κατάλαβαν αυτό ΑΙΤΙΑΤΙΚΗ ΟΥΣΙΑ ΑΛΛΑΓΗΣ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΟΠΟΙΟΥΔΗΠΟΤΕ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ - ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ. «Η αλληλεπίδραση είναι μια αιτιώδης σχέση που τίθεται στην πλήρη ανάπτυξή της», σημείωσε ο Χέγκελ (1770-1831) «Με τον πιο κοντινό τρόπο, η αλληλεπίδραση εμφανίζεται ως η αμοιβαία αιτιότητα των υποτιθέμενων, αμοιβαία ρυθμιστικών ουσιών. το καθένα είναι, σε σχέση με το άλλο, και ενεργητική και παθητική ουσία. . Ο F. Engels (1820-1895) διευκρίνισε: «Η αλληλεπίδραση είναι το πρώτο πράγμα που έρχεται μπροστά μας όταν εξετάζουμε την κινούμενη (μεταβαλλόμενη) ύλη στο σύνολό της, από τη σκοπιά της σύγχρονης φυσικής επιστήμης ... Έτσι, η φυσική επιστήμη επιβεβαιώνει ότι ... αυτή η αλληλεπίδραση είναι η αληθινή causa finalis (τελική βασική αιτία) των πραγμάτων. Δεν μπορούμε να προχωρήσουμε πέρα ​​από τη γνώση αυτής της αλληλεπίδρασης ακριβώς επειδή δεν υπάρχει τίποτα άλλο να γνωρίζουμε πίσω από αυτήν. Ωστόσο, έχοντας επίσημα αντιμετωπιστεί με τη βασική αιτία της μεταβλητότητας, κανένα από τα λαμπρά κεφάλια του 19ου αιώνα δεν άρχισε να ξαναχτίζει το κτίριο της φυσικής επιστήμης.Ως αποτέλεσμα, το κτίριο παρέμεινε ίδιο - με μια θεμελιώδη «σήψη». Ως αποτέλεσμα, η αιτιακή δομή (αλληλεπίδραση) εξακολουθεί να λείπει στη συντριπτική πλειοψηφία των βασικών εννοιών της φυσικής επιστήμης (ενέργεια, δύναμη, μάζα, φορτίο, θερμοκρασία, ταχύτητα, ορμή, αδράνεια κ.λπ.), συμπεριλαμβανομένων μαθηματική έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης- ως μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει " ποσότητα στιγμιαίας αλλαγής" ενός αντικειμένου από μια "άπειρα μικρή" αλλαγή στην αιτιακή του παράμετρο.Μια θεωρία αλληλεπιδράσεων που συνδυάζει ακόμη και τις γνωστές τέσσερις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις (ηλεκτρομαγνητική, βαρυτική, ισχυρή, ασθενής) δεν έχει ακόμη δημιουργηθεί. Τώρα έχει ήδη «κουρευτεί» πολύ περισσότερο και «τζάμπες» σέρνονται παντού. Η πρακτική - το κριτήριο της αλήθειας, σπάει εντελώς όλα τα θεωρητικά μοντέλα που χτίζονται σε ένα τέτοιο κτίριο που ισχυρίζονται ότι είναι καθολικά και παγκόσμια. Ως εκ τούτου, παρόλα αυτά, θα χρειαστεί να ανοικοδομηθεί το κτίριο της φυσικής επιστήμης, γιατί δεν υπάρχει πουθενά αλλού για να "κολυμπήσετε", η επιστήμη αναπτύσσεται εδώ και πολύ καιρό με τη μέθοδο "poke" - ανόητα, δαπανηρή και αναποτελεσματική. Η φυσική του μέλλοντος, η φυσική του 21ου αιώνα και των επόμενων αιώνων, πρέπει να γίνει η φυσική των αλληλεπιδράσεων. Και στη φυσική είναι απλά απαραίτητο να εισαχθεί μια νέα θεμελιώδης έννοια - "γεγονός-αλληλεπίδραση".Ταυτόχρονα, παρέχεται μια βασική βάση για τις βασικές έννοιες και σχέσεις της σύγχρονης φυσικής και μαθηματικών και μόνο σε αυτή την περίπτωση είναι ο ριζικός τύπος"causa finalis" (τελική πρώτη αιτία) τύπος να τεκμηριώσει όλους τους βασικούς τύπους που λειτουργούν στην πράξη. Η έννοια των παγκόσμιων σταθερών και πολλά άλλα διευκρινίζεται. Και είμαι εγώ για σένα αγαπητέ αναγνώστη, θα σας δείξω τώρα.

Ετσι, διατύπωση του προβλήματος.

Ας περιγράψουμε μέσα σε γενικές γραμμέςμοντέλο. Έστω ένα αφηρημένο γνωστικό αντικείμενο, αναγνωρίσιμο σε μέγεθος και φύση (το συμβολίζουμε -u) είναι ένα σχετικό σύνολο που έχει καθορισμένη φύση (διάσταση) και μέγεθος. Το αντικείμενο και οι ιδιότητές του είναι ένα αιτιακό σύστημα. Ένα αντικείμενο εξαρτάται σε αξία από την τιμή των ιδιοτήτων, των παραμέτρων του και σε διάσταση από τη διάστασή του. Η αιτιολογική παράμετρος, λοιπόν, θα συμβολίζεται με - x και η ερευνητική παράμετρος θα συμβολίζεται με - u. Στα μαθηματικά, μια τέτοια αιτιακή σχέση περιγράφεται τυπικά από μια συνάρτηση (εξάρτηση) από τις ιδιότητές της - παραμέτρους u = f (x). Μια μεταβαλλόμενη παράμετρος (ιδιότητα ενός αντικειμένου) συνεπάγεται μια αλλαγή στην τιμή της συνάρτησης - έναν σχετικό ακέραιο. Επιπλέον, η αντικειμενικά καθορισμένη αναγνωρισμένη τιμή του συνόλου (αριθμός) είναι μια σχετική τιμή που λαμβάνεται ως σχέση με το επιμέρους μέρος του (σε κάποιο αντικειμενικό γενικά αποδεκτό ενιαίο πρότυπο του συνόλου - u at, Ένα ενιαίο πρότυπο είναι μια τυπική τιμή, αλλά γενικά αποδεκτό ως αντικειμενικό συγκριτικό μέτρο.

Επειτα u =k*u όροφος . Η αντικειμενική τιμή της παραμέτρου (ιδιότητα) είναι η σχέση με το τμήμα μονάδας (πρότυπο) της παραμέτρου (ιδιότητα) -x= Εγώ* Χ Αυτό. Οι διαστάσεις του ακέραιου και η διάσταση της παραμέτρου και τα πρότυπα μονάδων τους δεν είναι πανομοιότυπα. Πιθανότητακ , Εγώείναι αριθμητικά ίσα με u, x, αντίστοιχα, αφού οι τιμές αναφοράς του u καιΧ Αυτόειναι ΜΟΝΟΙ. Ως αποτέλεσμα των αλληλεπιδράσεων, η παράμετρος αλλάζει και αυτή η αιτιακή αλλαγή συνεπάγεται κατά συνέπεια μια αλλαγή στη συνάρτηση (σχετικό σύνολο, αντικείμενο, σύστημα).

Απαιτείται να καθοριστείεπίσημος η γενική εξάρτηση του μεγέθους της αλλαγής του αντικειμένου από τις αλληλεπιδράσεις - οι λόγοι αυτής της αλλαγής. Αυτή η δήλωση του προβλήματος αντικατοπτρίζει την αληθινή, αιτιολογική, αιτιατική (σύμφωνα με τον F. Bacon) συνεπή, προσέγγιση φυσική αλληλεπίδραση.

Απόφαση και συνέπειες.

Η αλληλεπίδραση είναι ένας κοινός εξελικτικός μηχανισμός - η αιτία της μεταβλητότητας. Τι είναι στην πραγματικότητα μια αλληλεπίδραση (μικρής εμβέλειας, μεγάλης εμβέλειας); Επειδή η γενική θεωρίααλληλεπίδραση και ένα θεωρητικό μοντέλο της αλληλεπίδρασης αντικειμένων, φορείς ανάλογων ιδιοτήτων στη φυσική επιστήμη εξακολουθεί να λείπει, θα πρέπει να δημιουργήσουμε(περισσότερα για αυτό στο).Αφού όμως ο σκεπτόμενος αναγνώστης θέλει να μάθει για την αληθινή φυσική ουσία του παραγώγουαμέσως και τώρα, τότε θα καταφέρουμε μόνο με σύντομα, αλλά αυστηρά και απαραίτητα συμπεράσματα από αυτή την εργασία για την κατανόηση της ουσίας του παραγώγου.

«Οποιαδήποτε, ακόμη και η πιο περίπλοκη αλληλεπίδραση αντικειμένων, μπορεί να αναπαρασταθεί σε τέτοια κλίμακα χρόνου και χώρου (διευρυμένη στο χρόνο και εμφανίζεται σε ένα σύστημα συντεταγμένων με τέτοιο τρόπο) ώστε σε κάθε στιγμή του χρόνου, σε ένα δεδομένο σημείο του χώρου , μόνο δύο αντικείμενα, δύο φορείς ανάλογων ιδιοτήτων, θα αλληλεπιδράσουν και αυτή τη στιγμή θα αλληλεπιδράσουν μόνο με τις δύο ανάλογες ιδιότητες τους.

« Οποιαδήποτε (γραμμική, μη γραμμική) μεταβολή οποιασδήποτε ιδιότητας (παραμέτρου) ορισμένης φύσης οποιουδήποτε αντικειμένου μπορεί να αποσυντεθεί (να αναπαρασταθεί) ως αποτέλεσμα (συνέπεια) γεγονότων-αλληλεπιδράσεων ίδιας φύσης, ακολουθώντας στον τυπικό χώρο και χρόνο, αντίστοιχα, γραμμικά ή μη (ομοιόμορφα ή ανομοιόμορφα). Ταυτόχρονα, σε κάθε στοιχειώδες, μεμονωμένο γεγονός-αλληλεπίδραση (στενή αλληλεπίδραση), η ιδιότητα αλλάζει γραμμικά επειδή οφείλεται στον μοναδικό λόγο της αλλαγής - μια στοιχειώδη ανάλογη αλληλεπίδραση (και επομένως υπάρχει συνάρτηση μιας μεταβλητής). Κατά συνέπεια, οποιαδήποτε αλλαγή (γραμμική ή μη γραμμική), ως αποτέλεσμα αλληλεπιδράσεων, μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των στοιχειωδών γραμμικών αλλαγών που ακολουθούν στον τυπικό χώρο και χρόνο γραμμικά ή μη γραμμικά.

« Για τον ίδιο λόγο, οποιαδήποτε αλληλεπίδραση μπορεί να αποσυντεθεί σε κβάντα αλλαγής (αδιαίρετα γραμμικά κομμάτια). Ένα στοιχειώδες κβάντο οποιασδήποτε φύσης (διάσταση) είναι το αποτέλεσμα ενός στοιχειώδους γεγονότος-αλληλεπίδρασης σύμφωνα με μια δεδομένη φύση (διάσταση). Το μέγεθος και η διάσταση ενός κβαντικού καθορίζεται από το μέγεθος της αλληλεπιδρούσας ιδιότητας και τη φύση αυτής της ιδιότητας. Για παράδειγμα, με μια ιδανική, απόλυτα ελαστική σύγκρουση σφαιρών (χωρίς να λαμβάνονται υπόψη θερμικές και άλλες απώλειες ενέργειας), οι μπάλες ανταλλάσσουν τη ροπή τους (ανάλογες ιδιότητες). Μια αλλαγή στην ορμή μιας μπάλας είναι ένα μέρος γραμμικής ενέργειας (που της δίνεται ή της αφαιρείται) - υπάρχει ένα κβάντο που έχει τη διάσταση της γωνιακής ορμής. Εάν αλληλεπιδρούν μπάλες με σταθερές τιμές ορμής, τότε η κατάσταση της τιμής της γωνιακής ορμής κάθε μπάλας σε οποιοδήποτε παρατηρούμενο διάστημα αλληλεπίδρασης είναι η "επιτρεπόμενη" τιμή (κατ' αναλογία με τις απόψεις της κβαντικής μηχανικής).»

Στον φυσικό και μαθηματικό φορμαλισμό, έχει γίνει γενικά αποδεκτό ότι οποιαδήποτε ιδιότητα σε οποιαδήποτε στιγμή και σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου (για απλότητα, ας πάρουμε μια γραμμική, μία συντεταγμένη) έχει μια τιμή που μπορεί να εκφραστεί με τη γραφή

(1)

που είναι η διάσταση.

Αυτός ο δίσκος, μεταξύ άλλων, είναι η ουσία και βαθιά φυσική σημασία ενός μιγαδικού αριθμού, διαφορετική από τη γενικά αποδεκτή γεωμετρική παράσταση (σύμφωνα με τον Gauss), ως σημείο στο επίπεδο..( Σημείωση. συγγραφέας)

Με τη σειρά του, ο συντελεστής μεταβολής , που συμβολίζεται στο (1) ως , μπορεί να εκφραστεί, λαμβάνοντας υπόψη τα γεγονότα αλληλεπίδρασης, όπως

(2)

φυσική έννοιαΑυτό το βασικό για έναν τεράστιο αριθμό από τις πιο διάσημες σχέσεις της φυσικής επιστήμης, ο ριζικός τύπος, είναι ότι στο διάστημα του χρόνου και στο διάστημα ενός ομοιογενούς γραμμικού (μονοσυντεταγμένου) χώρου, υπήρχαν - ανάλογα γεγονότα-μικρής εμβέλειας αλληλεπιδράσεις ίδιας φύσης, που ακολουθούν στο χρόνο και στο χώρο σύμφωνα με τις λειτουργίες τους -κατανομές γεγονότων στο χώρο- και χρόνο. Κάθε ένα από τα γεγονότα άλλαξε σε μερικά. Μπορούμε να πούμε ότι παρουσία ομοιογένειας αντικειμένων αλληλεπίδρασης σε ένα ορισμένο διάστημα χώρου και χρόνου, μιλάμε για για μερικά σταθερή, γραμμική, μέση τιμή στοιχειώδους μεταβολής - παράγωγη αξίαγια το μέγεθος της αλλαγής , μια τυπικά περιγραφόμενη συνάρτηση που είναι χαρακτηριστική του μέσου αλληλεπίδρασης και χαρακτηρίζει το περιβάλλον και τη διαδικασία αλληλεπίδρασης ορισμένης φύσης (διάσταση). Λαμβάνοντας υπόψη ότι μπορεί να υπάρχει διαφορετικά είδησυναρτήσεις κατανομής των γεγονότων στο χώρο και το χρόνο , τότε υπάρχουν μεταβλητές χωροχρονικές διαστάσεις y ως ολοκλήρωμα συναρτήσεων διανομήςγεγονότα στο χρόνοκαι χώρο , δηλαδή [χρόνος - t] καιΗ [ συντεταγμένη - x ] μπορεί να είναι στη δύναμη του k(k - δεν ισούται με μηδέν).

Εάν ορίσουμε, σε ένα αρκετά ομοιογενές περιβάλλον, την τιμή του μέσου χρονικού διαστήματος μεταξύ των γεγονότων - , και την τιμή του μέσου διαστήματος απόστασης μεταξύ των γεγονότων - , τότε μπορούμε να γράψουμε ότι ο συνολικός αριθμός γεγονότων στο διάστημα του χρόνου και του χώρου είναι ίσο με

(3)

Αυτό θεμελιώδες αρχείο(3) είναι συνεπής με τις βασικές χωροχρονικές ταυτότητες της φυσικής επιστήμης (ηλεκτροδυναμική του Maxwell, υδροδυναμική, θεωρία κυμάτων, νόμος του Hooke, τύπος Planck για την ενέργεια, κ.λπ.) και είναι η πραγματική βασική αιτία της λογικής ορθότητας των φυσικών και μαθηματικών κατασκευών . Αυτό το λήμμα (3) συνάδει με το γνωστό στα μαθηματικά «θεώρημα του μέσου όρου». Ας ξαναγράψουμε το (2) λαμβάνοντας υπόψη το (3)

(4) - για χρονικές αναλογίες.

(5) - για χωρικές σχέσεις.

Από αυτές τις εξισώσεις (3-5) προκύπτει δίκαιοαλληλεπιδράσεις:

η τιμή οποιασδήποτε αλλαγής σε ένα αντικείμενο (ιδιότητα) είναι ανάλογη με τον αριθμό των γεγονότων-αλληλεπιδράσεων (στενών αλληλεπιδράσεων) ανάλογων με αυτό που την προκαλούν. Ταυτόχρονα, η φύση της αλλαγής (το είδος της εξάρτησης σε χρόνο και χώρο) αντιστοιχεί στη φύση της αλληλουχίας σε χρόνο και χώρο αυτών των γεγονότων.

Πήραμε γενικές βασικές αναλογίες της φυσικής επιστήμηςγια την περίπτωση του γραμμικού χώρου και χρόνου, απαλλαγμένα από την έννοια του άπειρου, των φιλοδοξιών προς το μηδέν, της στιγμιαίας ταχύτητας κ.λπ. Για τον ίδιο λόγο, οι ονομασίες των απείρως μικρού dt και dx δεν χρησιμοποιούνται για τον ίδιο λόγο. Αντί αυτών, πεπερασμένα Δti και Δxi . Από αυτές τις γενικεύσεις (2-6) προκύπτουν:

- τη γενική φυσική σημασία της παραγώγου (διαφορικό) (4) και της διαβάθμισης (5), καθώς και των σταθερών του «κόσμου», ως οι τιμές της μέσης (μέσης) γραμμικής μεταβολής της συνάρτησης (αντικειμένου) με ένα μόνο συμβάν -αλληλεπίδραση του επιχειρήματος (ιδιότητας) που έχει μια ορισμένη διάσταση (φύση) με αναλογικές (της ίδιας φύσης) ιδιότητες άλλων αντικειμένων. Ο λόγος του μεγέθους της αλλαγής προς τον αριθμό των γεγονότων-αλληλεπιδράσεων που την εκκινούν είναι στην πραγματικότητα η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης, που αντικατοπτρίζει την αιτιακή εξάρτηση του αντικειμένου από την ιδιότητά του.

; (7) - παράγωγο της συνάρτησης

; (8) - κλίση συνάρτησης

- φυσική έννοια του ολοκληρώματος,καθώς το άθροισμα των τιμών της συνάρτησης αλλάζει κατά τη διάρκεια γεγονότων με όρισμα

; (9)

- τεκμηρίωση (απόδειξη και κατανοητό φυσικό νόημα) του θεωρήματος Lagrange για πεπερασμένες προσαυξήσεις(τύποι πεπερασμένων προσαυξήσεων), από πολλές απόψεις θεμελιώδεις για τον διαφορικό λογισμό. Για με γραμμικές συναρτήσεις και τις τιμές των ολοκληρωμάτων τους στις παραστάσεις (4)(5) και λαμβάνουν χώρα. Επειτα

(10)

(10.1)

Ο τύπος (10.1) είναι στην πραγματικότητα ο τύπος του Lagrange για πεπερασμένες προσαυξήσεις [ 5].

Όταν προσδιορίζουμε ένα αντικείμενο με ένα σύνολο ιδιοτήτων (παραμέτρων) του, λαμβάνουμε παρόμοιες εξαρτήσεις για τη μεταβλητότητα του αντικειμένου ως συνάρτηση της μεταβλητότητας των ιδιοτήτων του (παραμέτρων) και διευκρινίζουμε φυσικός την έννοια της μερικής παραγώγου μιας συνάρτησης πολλές μεταβλητές παραμέτρους.

(11)

Φόρμουλα Taylorγια μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, η οποία έχει επίσης γίνει κλασική,

έχει τη μορφή

(12)

Αντιπροσωπεύει την αποσύνθεση μιας συνάρτησης (επίσημο αιτιακό σύστημα) σε μια σειρά στην οποία η μεταβολή της είναι ίση με

αποσυντίθεται σε στοιχεία, σύμφωνα με την αρχή της αποσύνθεσης της γενικής ροής γεγονότων της ίδιας φύσης σε υποροές με διαφορετικά ακόλουθα χαρακτηριστικά. Κάθε υποροή χαρακτηρίζει τη γραμμικότητα (μη γραμμικότητα) της ακολουθίας των γεγονότων στο χώρο ή στο χρόνο. Αυτό είναι φυσική έννοια του τύπου Taylor . Έτσι, για παράδειγμα, ο πρώτος όρος του τύπου του Taylor προσδιορίζει την αλλαγή στα γραμμικά επόμενα γεγονότα στο χρόνο (χώρο).

Στο . Δεύτερος στο μη γραμμική παρακολούθησηπροβολή συμβάντων κ.λπ.

- η φυσική έννοια ενός σταθερού ρυθμού αλλαγής (κίνηση)[m/s], που έχει την έννοια μιας ενιαίας γραμμικής μετατόπισης (αλλαγή, αύξηση) μιας τιμής (συντεταγμένες, μονοπάτια), με γραμμικά επόμενα γεγονότα.

(13)

Για το λόγο αυτό, η ταχύτητα δεν είναι αιτιολογική εξάρτηση από ένα επίσημα επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων ή ένα χρονικό διάστημα. Η ταχύτητα είναι μια άτυπη εξάρτηση από τη συνάρτηση διαδοχής (κατανομή) σε χρόνο και χώρο γεγονότων που οδηγεί σε αλλαγή των συντεταγμένων.

(14)

Και οποιαδήποτε πολύπλοκη κίνηση μπορεί να αποσυντεθεί σε στοιχεία, όπου κάθε στοιχείο εξαρτάται από τα ακόλουθα γραμμικά ή μη γραμμικά συμβάντα. Για το λόγο αυτό, η σημειακή κινηματική (σημειακή εξίσωση) επεκτείνεται σύμφωνα με τον τύπο Lagrange ή Taylor.

Όταν η γραμμική ακολουθία των γεγονότων αλλάζει σε μη γραμμική, η ταχύτητα γίνεται επιτάχυνση.

- φυσική έννοια της επιτάχυνσης- , ως τιμή αριθμητικά ίση με μία μόνο μετατόπιση , με μη γραμμική διαδοχή γεγονότων-αλληλεπιδράσεων που προκαλούν αυτή τη μετατόπιση . Εν, ή . Ταυτόχρονα, η συνολική μετατόπιση σε περίπτωση μη γραμμικής διαδοχής γεγονότων (με γραμμική μεταβολή του ρυθμού διαδοχής γεγονότων) για ισοδυναμεί (15) - τύπος γνωστός από σχολικός πάγκος

- η φυσική έννοια της επιτάχυνσης ελεύθερης πτώσης ενός αντικειμένου- , ως σταθερή τιμή, αριθμητικά ίση με τον λόγο της γραμμικής δύναμης που ασκεί το αντικείμενο (στην πραγματικότητα, η λεγόμενη «στιγμιαία» γραμμική μετατόπιση ), που συσχετίζεται με τον μη γραμμικό αριθμό των επόμενων γεγονότων-αλληλεπιδράσεων με το περιβάλλον σε επίσημο χρόνο, προκαλώντας αυτή τη δύναμη.

Κατά συνέπεια, μια τιμή ίση με τον αριθμό μη γραμμική παρακολούθησηγεγονότα, ή σχέση - έλαβε το όνομα σωματικό βάρος και η τιμή - σωματικό βάρος , ως οι δυνάμεις που δρουν στο σώμα (στο στήριγμα) σε ηρεμία.Ας εξηγήσουμε τα παραπάνω, γιατί ευρέως χρησιμοποιούμενη, θεμελιώδης φυσική έννοια της μάζας στη σύγχρονη φυσική δεν είναι δομημένη αιτιολογικά από οποιεσδήποτε αλληλεπιδράσεις. Και η φυσική γνωρίζει τα γεγονότα των αλλαγών στη μάζα των σωμάτων κατά τη διάρκεια ορισμένων αντιδράσεων (φυσικών αλληλεπιδράσεων) μέσα σε αυτά. Για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια της ραδιενεργής διάσπασης, η συνολική μάζα της ύλης μειώνεται.Όταν ένα σώμα βρίσκεται σε ηρεμία σε σχέση με την επιφάνεια της Γης, ο συνολικός αριθμός γεγονότων-αλληλεπιδράσεων των σωματιδίων αυτού του σώματος με ένα ανομοιογενές μέσο με κλίση (αλλιώς ονομάζεται βαρυτικό πεδίο) δεν αλλάζει. Και αυτό σημαίνει ότι η δύναμη που ασκεί το σώμα δεν αλλάζει και η αδρανειακή μάζα είναι ανάλογη με τον αριθμό των γεγονότων που συμβαίνουν αντικείμενα του σώματος και αντικείμενα του περιβάλλοντος, ίση με την αναλογία της δύναμης προς τη σταθερή επιτάχυνσή της .

Όταν ένα σώμα κινείται σε ένα βαρυτικό πεδίο (πέφτει), ο λόγος της μεταβαλλόμενης δύναμης που ασκεί σε αυτό προς τον μεταβαλλόμενο αριθμό γεγονότων παραμένει επίσης σταθερός και ο λόγος - αντιστοιχεί στη βαρυτική μάζα. αυτό υπονοεί αναλυτική ταυτότητα αδρανειακής και βαρυτικής μάζας. Όταν ένα σώμα κινείται μη γραμμικά, αλλά οριζόντια στην επιφάνεια της Γης (κατά μήκος της σφαιρικής ισοδυναμικής επιφάνειας του βαρυτικού πεδίου της Γης), τότε το βαρυτικό πεδίο δεν έχει κλίση σε αυτή την τροχιά. Αλλά οποιαδήποτε δύναμη ασκείται στο σώμα είναι ανάλογη με τον αριθμό των γεγονότων που επιταχύνουν και επιβραδύνουν το σώμα. Δηλαδή στην υπόθεση οριζόντια κίνηση, ο λόγος της κίνησης του σώματος απλά αλλάζει. Και ένας μη γραμμικά μεταβαλλόμενος αριθμός γεγονότων δίνει επιτάχυνση στο σώμα και (2ος νόμος του Νεύτωνα). Με μια γραμμική ακολουθία γεγονότων (τόσο επιταχυνόμενη όσο και επιβραδυνόμενη), η ταχύτητα του σώματος είναι σταθερή και η φυσική ποσότητα, με μια τέτοια ακολουθία γεγονότων, σε η φυσική ονομάζεται ορμή.

- Η φυσική έννοια της γωνιακής ορμής, ως κίνηση του σώματος υπό την επίδραση γεγονότων που ακολουθούν γραμμικά στο χρόνο.

(16)

- Η φυσική έννοια του ηλεκτρικού φορτίου αντικείμενο που εισάγεται στο πεδίο, ως ο λόγος της δύναμης που ασκεί το «φορτισμένο» αντικείμενο (δύναμη Lorentz) στο σημείο του πεδίου προς την τιμή του φορτίου του σημείου του πεδίου. Διότι η δύναμη είναι το αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης των αναλογικών ιδιοτήτων του αντικειμένου που εισάγεται στο πεδίο και του αντικειμένου του πεδίου. Η αλληλεπίδραση εκφράζεται στην αλλαγή αυτών των αναλογικών ιδιοτήτων και των δύο. Ως αποτέλεσμα κάθε μεμονωμένης αλληλεπίδρασης, τα αντικείμενα ανταλλάσσουν ενότητες των αλλαγών τους, αλλάζοντας το ένα το άλλο, που είναι η τιμή της «στιγμιαίας» δύναμης που ασκεί πάνω τους, ως παράγωγο της ενεργούσας δύναμης σε ένα διάστημα χώρου. Αλλά στη σύγχρονη φυσική, το πεδίο, ένα ειδικό είδος ύλης, δυστυχώς, δεν έχει φορτίο (δεν έχει αντικείμενα φορέα φορτίου), αλλά έχει ένα διαφορετικό χαρακτηριστικό - την τάση στο διάστημα (η διαφορά στα δυναμικά (φορτώσεις) σε ένα ορισμένο κενό). Ετσι, χρέωσηστο μέγεθός του δείχνει πόσες φορές η δύναμη που ασκεί σε ένα φορτισμένο αντικείμενο διαφέρει από την ένταση του πεδίου σε ένα δεδομένο σημείο (από τη «στιγμιαία» δύναμη). (17)

Επειτα το θετικό φορτίο του αντικειμένου– θεωρείται ως φορτίο που υπερβαίνει σε απόλυτη τιμή (μεγαλύτερη) το φορτίο του σημείου πεδίου και αρνητικό - μικρότερο από το φορτίο του σημείου πεδίου. Αυτό συνεπάγεται τη διαφορά στα σημάδια των δυνάμεων απώθησης και έλξης. Η οποία καθορίζει την παρουσία κατεύθυνσης για την ενεργούσα δύναμη «απώθησης – έλξης». Αποδεικνύεται ότι το φορτίο είναι ποσοτικά ίσο με τον αριθμό των γεγονότων-αλληλεπιδράσεων που το αλλάζουν σε κάθε γεγονός κατά το μέγεθος της έντασης του πεδίου.Το μέγεθος του φορτίου, σύμφωνα με την έννοια του αριθμού (τιμή), είναι μια σχέση με μια αναφορά, μονάδα, δοκιμαστική χρέωση -. Από εδώ . Όταν το φορτίο κινείται, όταν τα γεγονότα ακολουθούν γραμμικά (το πεδίο είναι ομοιογενές), τα ολοκληρώματα και όταν το ομογενές πεδίο κινείται σε σχέση με το φορτίο . Εξ ου και οι γνωστές σχέσεις της φυσικής ;

- Η φυσική έννοια της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, ως ο λόγος της δύναμης που ασκεί το φορτισμένο αντικείμενο προς τον αριθμό των συνεχιζόμενων γεγονότων-αλληλεπιδράσεων του φορτισμένου αντικειμένου με το φορτισμένο μέσο. Υπάρχει ένα σταθερό χαρακτηριστικό του ηλεκτρικού πεδίου. Είναι επίσης η παράγωγος ως προς τη συντεταγμένη της δύναμης Lorentz.Ένταση ηλεκτρικού πεδίου- αυτό είναι ένα φυσικό μέγεθος αριθμητικά ίσο με τη δύναμη που ασκείται σε ένα φορτίο μονάδας σε ένα μεμονωμένο γεγονός-αλληλεπίδραση () ενός φορτισμένου σώματος και ενός πεδίου (φορτισμένο μέσο).

(18)

-Η φυσική έννοια του δυναμικού, του ρεύματος, της τάσης και της αντίστασης (ηλεκτρική αγωγιμότητα).

Όσον αφορά τη μεταβολή του μεγέθους του φορτίου

(19)

(20)

(21)

Όπου ονομάζεται δυναμικό του σημείου πεδίου και λαμβάνεται ως ενεργειακό χαρακτηριστικό ενός δεδομένου σημείου πεδίου, αλλά στην πραγματικότητα είναι το φορτίο του σημείου πεδίου, το οποίο διαφέρει κατά συντελεστή του φορτίου δοκιμής (αναφοράς). Ή: . Κατά την αλληλεπίδραση της φόρτισης που εισάγεται στο πεδίο και της φόρτισης του σημείου του πεδίου, επέρχεται ανταλλαγή ανάλογων ιδιοτήτων - χρεώσεων. Η ανταλλαγή είναι ένα φαινόμενο που περιγράφεται ως «η δύναμη Lorentz δρα στο φορτίο που εισάγεται στο πεδίο», ίση σε απόλυτη τιμή με το μέγεθος της αλλαγής στο φορτίο, καθώς και με το μέγεθος της σχετικής αλλαγής στο δυναμικό του σημείου πεδίου . Όταν ένα φορτίο εισάγεται στο πεδίο της Γης, τελευταία αλλαγήμπορεί να παραμεληθεί λόγω της σχετικής μικρότητας αυτής της αλλαγής σε σύγκριση με την τεράστια τιμή του συνολικού φορτίου ενός σημείου στο πεδίο της Γης.

Από το (20) γίνεται αντιληπτό ότι το ρεύμα (I ) είναι η χρονική παράγωγος του μεγέθους της μεταβολής του φορτίου σε ένα χρονικό διάστημα, αλλάζοντας το φορτίο σε μέγεθος σε ένα γεγονός-αλληλεπίδραση (αλληλεπίδραση μικρής εμβέλειας) με το φορτίο του μέσο (σημεία πεδίου).

* Μέχρι τώρα, στη φυσική, πιστεύεται ότι εάν: ένας αγωγός έχει διατομή εμβαδού S, το φορτίο κάθε σωματιδίου είναι ίσο με q 0 και ο όγκος του αγωγού περιορίζεται από τις διατομές 1 και 2 και το μήκος (), περιέχει σωματίδια, όπου n είναι η συγκέντρωση των σωματιδίων. Αυτή είναι η συνολική χρέωση. Εάν τα σωματίδια κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με μέση ταχύτητα v, τότε όλα τα σωματίδια που περικλείονται στον υπό εξέταση όγκο θα περάσουν από τη διατομή 2. Επομένως, η ισχύς του ρεύματος είναι

.

Το ίδιο, μπορούμε να πούμε στην περίπτωση της μεθοδολογικής μας γενίκευσης (3-6), μόνο αντί για τον αριθμό των σωματιδίων, θα πρέπει να πούμε τον αριθμό των γεγονότων, που στην έννοια είναι πιο αληθινό, επειδή υπάρχουν πολύ περισσότερα φορτισμένα σωματίδια (γεγονότα) σε έναν αγωγό από ό,τι, για παράδειγμα, τα ηλεκτρόνια σε ένα μέταλλο. Η εξάρτηση θα ξαναγραφτεί στη φόρμα , επομένως, σε Αλλη μια φοράεπιβεβαιώνεται η εγκυρότητα των (3-6) και άλλων γενικεύσεων αυτής της εργασίας.

Δύο σημεία ενός ομοιογενούς πεδίου, που απέχουν μεταξύ τους στο χώρο, με διαφορετικά δυναμικά (φορτία) έχουν μια δυναμική ενέργεια μεταξύ τους, η οποία είναι αριθμητικά ίση με το έργο της αλλαγής του δυναμικού από μια τιμή σε . Είναι ίσο με τη διαφορά τους.

. (22)

Διαφορετικά, μπορεί κανείς να γράψει τον νόμο του Ohm εξισώνοντας σωστά

. (23)

Όπου σε αυτή την περίπτωση είναι η αντίσταση, που δείχνει τον αριθμό των γεγονότων που απαιτούνται για την αλλαγή του μεγέθους της φόρτισης, με την προϋπόθεση ότι σε κάθε περίπτωση η φόρτιση θα μεταβάλλεται κατά μια σταθερή τιμή του λεγόμενου «στιγμιαίου» ρεύματος, ανάλογα με τις ιδιότητες του ο μαέστρος. Από αυτό προκύπτει ότι το ρεύμα είναι χρονική παράγωγος της ποσότητας και της έννοιας της τάσης. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι στις μονάδες SI, η ηλεκτρική αγωγιμότητα εκφράζεται στη Siemens με τη διάσταση: Cm \u003d 1 / Ohm \u003d Ampere / Volt \u003d kg -1 m -2 s ³Α². Η αντίσταση στη φυσική είναι το αντίστροφο του γινομένου της ηλεκτρικής αγωγιμότητας (αντίσταση ενός τμήματος μονάδας του υλικού) και του μήκους του αγωγού. Τι μπορεί να γραφτεί (με την έννοια της γενίκευσης (3-6)) ως

(24)

- Φυσική έννοια της επαγωγής μαγνητικού πεδίου. Εμπειρικά, βρέθηκε ότι ο λόγος της μέγιστης τιμής του συντελεστή δύναμης που επενεργεί σε έναν αγωγό που μεταφέρει ρεύμα (δύναμη Ampère) προς την ένταση ρεύματος - I προς το μήκος του αγωγού - l, δεν εξαρτάται από την ένταση του ρεύματος στον αγωγό, ούτε στο μήκος του αγωγού. Λήφθηκε ως χαρακτηριστικό του μαγνητικού πεδίου στον τόπο όπου βρίσκεται ο αγωγός - η επαγωγή του μαγνητικού πεδίου, μια τιμή ανάλογα με τη δομή του πεδίου - , η οποία αντιστοιχεί σε

(25)

και απο τοτε .

Όταν περιστρέφουμε το πλαίσιο σε μαγνητικό πεδίο, πρώτα από όλα αυξάνουμε τον αριθμό των γεγονότων-αλληλεπιδράσεων φορτισμένων αντικειμένων του πλαισίου και φορτισμένων αντικειμένων του πεδίου. Από αυτό προκύπτει η εξάρτηση του EMF και του ρεύματος στο πλαίσιο από την ταχύτητα περιστροφής του πλαισίου και την ένταση του πεδίου κοντά στο πλαίσιο. Σταματάμε το πλαίσιο - δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις - δεν υπάρχει ρεύμα. Ζ στροβιλίζω (αλλαγή)πεδίο - το ρεύμα πήγε στο πλαίσιο.

- Η φυσική έννοια της θερμοκρασίας.Σήμερα στη φυσική η έννοια - ένα μέτρο της θερμοκρασίας δεν είναι καθόλου ασήμαντη. Ένα kelvin είναι ίσο με το 1/273,16 της θερμοδυναμικής θερμοκρασίας του τριπλού σημείου του νερού. Η αρχή της κλίμακας (0 K) συμπίπτει με το απόλυτο μηδέν. Μετατροπή σε βαθμούς Κελσίου: ° С \u003d K -273,15 (η θερμοκρασία του τριπλού σημείου του νερού είναι 0,01 ° C).
Το 2005, ο ορισμός του kelvin βελτιώθηκε. Στο υποχρεωτικό Τεχνικό Παράρτημα του κειμένου ITS-90, η Συμβουλευτική Επιτροπή Θερμομετρίας καθόρισε τις απαιτήσεις για την ισοτοπική σύνθεση του νερού κατά την εφαρμογή της θερμοκρασίας του τριπλού σημείου του νερού.

Παρ 'όλα αυτά, φυσική έννοια και ουσία της έννοιας της θερμοκρασίαςπολύ πιο εύκολο και ξεκάθαρο. Η θερμοκρασία, στην ουσία της, είναι συνέπεια γεγονότων-αλληλεπιδράσεων που συμβαίνουν μέσα στην ουσία που έχουν και «εσωτερικές» και «εξωτερικές» αιτίες. Περισσότερα συμβάντα - περισσότερη θερμοκρασία, λιγότερα γεγονότα- χαμηλότερη θερμοκρασία. Εξ ου και το φαινόμενο της μεταβολής της θερμοκρασίας σε πολλές χημικές αντιδράσεις. Έλεγε και η Π. Λ. Καπίτσα "... το μέτρο της θερμοκρασίας δεν είναι η ίδια η κίνηση, αλλά η τυχαιότητα αυτής της κίνησης. Η τυχαιότητα της κατάστασης του σώματος καθορίζει την κατάσταση θερμοκρασίας του, και αυτή η ιδέα (που αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τον Boltzmann) ότι μια συγκεκριμένη κατάσταση θερμοκρασίας του σώματος δεν καθορίζεται καθόλου από την ενέργεια της κίνησης, αλλά από την τυχαιότητα αυτής της κίνησης, και είναι αυτή η νέα έννοια στην περιγραφή των θερμοκρασιακών φαινομένων, την οποία πρέπει να χρησιμοποιήσουμε..." (Έκθεση του νομπελίστα του 1978 Petr Leonidovich Kapitsa «Ιδιότητες υγρού ηλίου», που διαβάστηκε στο συνέδριο «Προβλήματα σύγχρονη επιστήμη«στο Πανεπιστήμιο της Μόσχας στις 21 Δεκεμβρίου 1944)
Κάτω από το μέτρο του χάους θα πρέπει να κατανοήσει κανείς το ποσοτικό χαρακτηριστικό του αριθμού εκδηλώσεις-αλληλεπιδράσεις ανά μονάδα χρόνου σε μονάδα όγκου ύλης - του θερμοκρασία. Δεν είναι τυχαίο ότι η Διεθνής Επιτροπή Βάρης και Μέτρων πρόκειται να αλλάξει τον ορισμό του kelvin (μέτρο θερμοκρασίας) το 2011 προκειμένου να απαλλαγεί από τις δύσκολες στην αναπαραγωγή συνθήκες του «τριπλού σημείου του νερού». Στον νέο ορισμό, το kelvin θα εκφράζεται ως το δεύτερο και την τιμή της σταθεράς Boltzmann.Που αντιστοιχεί ακριβώς στη βασική γενίκευση (3-6) αυτής της εργασίας. Σε αυτήν την περίπτωση, η σταθερά Boltzmann εκφράζει την αλλαγή στην κατάσταση μιας ορισμένης ποσότητας ύλης κατά τη διάρκεια ενός μεμονωμένου γεγονότος (βλέπε, τη φυσική έννοια της παραγώγου) και το μέγεθος και η διάσταση του χρόνου χαρακτηρίζει τον αριθμό των γεγονότων σε ένα χρονικό διάστημα . Αυτό το αποδεικνύει για άλλη μια φορά αιτιατική δομή θερμοκρασίας - γεγονότα-αλληλεπιδράσεις.Ως αποτέλεσμα γεγονότων-αλληλεπιδράσεων, τα αντικείμενα σε κάθε γεγονός ανταλλάσσουν κινητική ενέργεια (στιγμές παλμών όπως στη σύγκρουση σφαιρών) και το μέσο αποκτά τελικά θερμοδυναμική ισορροπία (ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής).

- Η φυσική έννοια της ενέργειας και της δύναμης.

Στη σύγχρονη φυσική, η ενέργεια Ε έχει διαφορετική διάσταση (φύση). Πόσες φύσεις, τόσες πολλές ενέργειες. Για παράδειγμα:

Δύναμη πολλαπλασιασμένη με το μήκος (E ≈ F l≈N*m);

Πίεση χρόνους όγκου (E ≈ P V≈N*m 3 /m 2 ≈N*m);

Η ώθηση πολλαπλασιασμένη με την ταχύτητα (E ≈ p v≈kg * m / s * m / s ≈ (N * s 2) / m * (m / s * m / s) ≈ N * m);

Μάζα επί το τετράγωνο της ταχύτητας (E ≈ m v 2 ≈N*m);

Ρεύμα πολλαπλασιασμένο με την τάση (E ≈ I U ≈

Από αυτές τις σχέσεις προκύπτει μια εκλεπτυσμένη έννοια της ενέργειας και μια σύνδεση με ένα ενιαίο πρότυπο (μονάδα μέτρησης) ενέργειας, γεγονότων και αλλαγών.

Ενέργεια, – είναι ποσοτικό χαρακτηριστικό αλλαγής οποιασδήποτε φυσικής παραμέτρου της ύλης υπό την επίδραση γεγονότων-αλληλεπιδράσεων ίδιας διάστασης, που προκαλούν αυτή την αλλαγή. Διαφορετικά, μπορούμε να πούμε ότι η ενέργεια είναι ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό που εφαρμόζεται για κάποιο χρονικό διάστημα (σε κάποια απόσταση) στην ιδιότητα μιας εξωτερικής ενεργούσας δύναμης. Το μέγεθος της ενέργειας (αριθμός) είναι ο λόγος του μεγέθους μιας αλλαγής ορισμένης φύσης προς το επίσημο, γενικά αποδεκτό πρότυπο ενέργειας αυτής της φύσης. Η διάσταση της ενέργειας είναι η διάσταση του επίσημου, γενικά αποδεκτού προτύπου ενέργειας. Αιτιακά, το μέγεθος και η διάσταση της ενέργειας, η αλλαγή της σε χρόνο και χώρο, τυπικά εξαρτώνται από το συνολικό μέγεθος της αλλαγής σε σχέση με το πρότυπο και τη διάσταση του προτύπου και ανεπίσημα εξαρτώνται από τη φύση της διαδοχής των γεγονότων.

Η συνολική τιμή της αλλαγής - εξαρτάται από τον αριθμό των γεγονότων-αλληλεπιδράσεων που αλλάζουν την τιμή της συνολικής αλλαγής σε ένα γεγονός κατά - τη μέση μοναδιαία δύναμη - την τιμή παραγώγου.

Το πρότυπο ενέργειας ορισμένης φύσης (διάσταση) πρέπει να αντιστοιχεί στη γενική έννοια πρότυπο (μοναδικότητα, κοινότητα, αμετάβλητο), έχουν τη διάσταση της συνάρτησης ακολουθίας γεγονότων στο χωροχρόνο και την αλλαγμένη τιμή.

Αυτές οι αναλογίες, στην πραγματικότητα, είναι κοινές για την ενέργεια οποιασδήποτε αλλαγής στην ύλη.

Περί δύναμης.και η αξία ήΣτην πραγματικότητα, υπάρχει η ίδια «στιγμιαία» δύναμη που αλλάζει την ενέργεια.

. (26)

Έτσι, κάτω από γενική έννοιαΗ αδράνεια θα πρέπει να γίνει κατανοητή ως η τιμή μιας στοιχειώδους σχετικής μεταβολής της ενέργειας υπό τη δράση ενός μεμονωμένου γεγονότος-αλληλεπίδρασης (σε αντίθεση με τη δύναμη, που δεν συσχετίζεται με το μέγεθος του διαστήματος, αλλά την υποτιθέμενη παρουσία ενός διαστήματος αμετάβλητου της δράσης), που έχει πραγματικό χρονικό διάστημα (διάστημα χώρου) της αναλλοίωσής του μέχρι το επόμενο γεγονός.

Ένα διάστημα είναι η διαφορά μεταξύ δύο χρονικών σημείων της έναρξης αυτού και των επόμενων συγκρίσιμων γεγονότων-αλληλεπιδράσεων ή δύο σημείων-συντεταγμένων γεγονότων στο χώρο.

Αδράνειαέχει τη διάσταση της ενέργειας, γιατί η ενέργεια είναι το αναπόσπαστο άθροισμα των τιμών της αδράνειας στο χρόνο υπό τη δράση γεγονότων-αλληλεπιδράσεων. Το ποσό της μεταβολής της ενέργειας είναι ίσο με το άθροισμα της αδράνειας

(27)

Διαφορετικά, μπορούμε να πούμε ότι η αδράνεια που προσδίδεται σε μια αφηρημένη ιδιότητα από το γεγονός-αλληλεπίδραση είναι η ενέργεια της αλλαγής ιδιοτήτων, η οποία είχε κάποιο χρόνο αμετάβλητης μέχρι το επόμενο γεγονός-αλληλεπίδραση.

- η φυσική έννοια του χρόνου ως επίσημος τρόπος γνώσης του μεγέθους της διάρκειας της αλλαγής (αμετάβλητο), ως τρόπος μέτρησης του μεγέθους της διάρκειας σε σύγκριση με το επίσημο πρότυπο διάρκειας, ως μέτρο της διάρκειας της αλλαγής (διάρκεια, διάρκεια

Και είναι καιρός να σταματήσουμε τις πολυάριθμες εικασίες σχετικά με την ερμηνεία αυτής της βασικής έννοιας της φυσικής επιστήμης.

- φυσική έννοια του χώρου συντεταγμένων , ως τιμές (μέτρα) αλλαγής (μονοπάτια, αποστάσεις),

(32)

που έχει τη διάσταση ενός τυπικού, ενιαίου προτύπου χώρου (συντεταγμένων) και την τιμή της συντεταγμένης, ως αναπόσπαστο της συνάρτησης της διαδοχής των γεγονότων στο χώρο ίσο με σύνολοσυντονίζει τα πρότυπα στο διάστημα . Κατά τη μέτρηση της συντεταγμένης, για ευκολία, μια γραμμική αλλαγή ολοκληρωτέουμια συνάρτηση, το ολοκλήρωμα της οποίας είναι ίσο με τον αριθμό των επίσημα επιλεγμένων διαστημάτων αναφοράς των συντεταγμένων μονάδων.

- φυσική έννοια όλων των βασικών φυσικές ιδιότητες(παράμετροι) που χαρακτηρίζουν τις ιδιότητες ενός μέσου κατά τη στοιχειώδη ανάλογη αλληλεπίδραση με αυτό (διηλεκτρική και μαγνητική διαπερατότητα, σταθερά Planck, συντελεστές τριβής και επιφανειακής τάσης, ειδική θερμότητα, παγκόσμιες σταθερές κ.λπ.).

Έτσι, λαμβάνονται νέες εξαρτήσεις που έχουν μια ενιαία αρχική μορφή σημειογραφίας και μια ενιαία μεθοδολογικά ομοιόμορφη αιτιολογική σημασία. Και αυτό το αιτιολογικό νόημα αποκτάται με την εισαγωγή μιας παγκόσμιας φυσικής αρχής - «γεγονός-αλληλεπίδραση» στη φυσική επιστήμη.

Εδώ, αγαπητέ αναγνώστη, τι πρέπει να είναι με τους πιο γενικούς όρους ένα νέο μαθηματικό προικισμένο με φυσικό νόημα και βεβαιότητα Και νέα φυσική αλληλεπίδρασης του 21ου αιώνα , απαλλαγμένο από ένα σμήνος άσχετων, που δεν έχουν βεβαιότητα, μέγεθος και διάσταση, και ως εκ τούτου έννοιες κοινής λογικής. Τέτοια, για παράδειγμα, Πως κλασική παράγωγος και στιγμιαία ταχύτητα - έχοντας λίγα κοινά με φυσική έννοιαΤαχύτητα. Πως έννοια της αδράνειας - μια ορισμένη ικανότητα των σωμάτων να διατηρούν ταχύτητα ... Πώς αδρανειακό σύστημα αναφοράς (ISO) , που δεν έχει καμία σχέση την έννοια του πλαισίου αναφοράς(CO). Για ISO, σε αντίθεση με το συνηθισμένο πλαίσιο αναφοράς (CO) δεν είναι ένα αντικειμενικό σύστημα γνώσης του μεγέθους της κίνησης (αλλαγής).Σε σχέση με το ISO, εξ ορισμού του, τα σώματα στηρίζονται ή κινούνται μόνο σε ευθεία γραμμή ή ομοιόμορφα. Και επίσης πολλά άλλα πράγματα που αναπαράγονται ανόητα για πολλούς αιώνες ως ακλόνητες αλήθειες. Αυτές οι ψευδοαλήθειες, που έχουν γίνει βασικές, δεν είναι πλέον ικανές θεμελιωδώς, με συνέπεια και αιτιολογικά περιγράφουν με γενικές εξαρτήσεις πολυάριθμα φαινόμενα του σύμπαντος, που υπάρχουν και μεταβάλλονται σύμφωνα με τους ενιαίους νόμους της φύσης.

1. Βιβλιογραφία.

1. Hegel G.W.F. Εγκυκλοπαίδεια Φιλοσοφικών Επιστημών: Σε 3 τόμους Τόμος 1: Επιστήμη της Λογικής. Μ., 197 3

2. Χέγκελ G.W.F. , Σοχ., τ. 5, Μ., 1937, πίν. 691.

3. Φ. Ένγκελς. PSS. τ. 20, σελ. 546.

1.1 Μερικά προβλήματα φυσικής 3

2. Παράγωγο

2.1 Ρυθμός αλλαγής συνάρτησης 6

2.2 Παράγωγη συνάρτηση 7

2.3 Παράγωγος συνάρτησης ισχύος 8

2.4 Γεωμετρική σημασία της παραγώγου 10

2.5 Διαφοροποίηση συναρτήσεων

2.5.1 Διαφοροποίηση των αποτελεσμάτων των αριθμητικών πράξεων 12

2.5.2 Διαφοροποίηση μιγαδικών και αντίστροφες συναρτήσεις 13

2.6 Παράγωγοι παραμετρικά καθορισμένων συναρτήσεων 15

3. Διαφορικό

3.1 Το διαφορικό και η γεωμετρική του σημασία 18

3.2 Διαφορικές ιδιότητες 21

4. Συμπέρασμα

4.1 Παράρτημα 1. 26

4.2 Παράρτημα 2. 29

5. Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας 32

1. Εισαγωγή

1.1 Μερικά προβλήματα φυσικής.Εξετάστε απλά φυσικά φαινόμενα: ευθύγραμμη κίνηση και γραμμική κατανομή μάζας. Για τη μελέτη τους εισάγεται η ταχύτητα κίνησης και η πυκνότητα αντίστοιχα.

Ας αναλύσουμε ένα φαινόμενο όπως η ταχύτητα κίνησης και οι σχετικές έννοιες.

Αφήστε το σώμα να κινηθεί σε ευθεία γραμμή και ξέρουμε την απόσταση , περασμένα από το σώμα για τον καθένα Δοσμένος χρόνος , δηλαδή γνωρίζουμε την απόσταση ως συνάρτηση του χρόνου:

Η εξίσωση
που ονομάζεται η εξίσωση της κίνησηςκαι τη γραμμή που ορίζει στο σύστημα αξόνων
- πρόγραμμα κίνησης.

Εξετάστε την κίνηση του σώματος κατά τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος
από κάποια στιγμή μέχρι τη στιγμή
. Με τον καιρό, το σώμα έχει διανύσει ένα μονοπάτι, και με τον καιρό, ένα μονοπάτι
. Άρα, σε μονάδες χρόνου έχει διανύσει μια απόσταση

.

Αν η κίνηση είναι ομοιόμορφη, τότε υπάρχει μια γραμμική συνάρτηση:

Σε αυτήν την περίπτωση
, και η σχέση
δείχνει πόσες μονάδες της διαδρομής είναι ανά μονάδα χρόνου. Ταυτόχρονα, παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από τη χρονική στιγμή λαμβάνεται, όχι με την προσαύξηση του χρόνου που λαμβάνεται . Είναι μόνιμη στάση που ονομάζεται ομοιόμορφη ταχύτητα.

Αλλά αν η κίνηση είναι ανομοιόμορφη, τότε η αναλογία εξαρτάται

από , και από . Ονομάζεται μέση ταχύτητα κίνησης στο χρονικό διάστημα από προς και συμβολίζεται με :

Κατά τη διάρκεια αυτού του χρονικού διαστήματος, με την ίδια απόσταση που διανύθηκε, η κίνηση μπορεί να συμβεί με τους πιο διαφορετικούς τρόπους. γραφικά, αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι μεταξύ δύο σημείων στο επίπεδο (πόντους
στο σχ. 1) μπορείτε να σχεδιάσετε μια ποικιλία γραμμών
- γραφήματα κινήσεων σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα και όλες αυτές οι διάφορες κινήσεις αντιστοιχούν στην ίδια μέση ταχύτητα .

Ειδικότερα, μεταξύ σημείων περνά από ευθεία γραμμή
, που είναι η γραφική παράσταση της στολής στο διάστημα
κίνηση. Άρα η μέση ταχύτητα δείχνει πόσο γρήγορα πρέπει να κινηθείτε ομοιόμορφα για να περάσετε στο ίδιο χρονικό διάστημα την ίδια απόσταση
.

Αφήνοντας το ίδιο , ας μειώσουμε. Μέση ταχύτητα υπολογισμένη για το μεταβαλλόμενο διάστημα
, που βρίσκεται μέσα στο δεδομένο διάστημα, μπορεί, φυσικά, να είναι διαφορετικό από το σε? σε όλο το διάστημα . Από αυτό προκύπτει ότι η μέση ταχύτητα δεν μπορεί να θεωρηθεί ως ικανοποιητικό χαρακτηριστικό της κίνησης: αυτή (μέση ταχύτητα) εξαρτάται από το διάστημα για το οποίο γίνεται ο υπολογισμός. Με βάση το γεγονός ότι η μέση ταχύτητα στο διάστημα θα πρέπει να θεωρείται όσο καλύτερα χαρακτηρίζει την κίνηση, τόσο λιγότερο , Ας το κάνουμε να πάει στο μηδέν. Εάν ταυτόχρονα υπάρχει ένα όριο μέσης ταχύτητας, τότε λαμβάνεται ως η ταχύτητα κίνησης μέσα αυτή τη στιγμή .

Ορισμός. Ταχύτητα ευθύγραμμη κίνησησε μια δεδομένη χρονική στιγμή ονομάζεται το όριο της μέσης ταχύτητας που αντιστοιχεί στο διάστημα , καθώς τείνει στο μηδέν:

Παράδειγμα.Ας γράψουμε τον νόμο της ελεύθερης πτώσης:

.

Για τον μέσο ρυθμό πτώσης στο χρονικό διάστημα, έχουμε

και για την ταχύτητα αυτή τη στιγμή

.

Αυτό δείχνει ότι η ταχύτητα της ελεύθερης πτώσης είναι ανάλογη με το χρόνο κίνησης (πτώση).

2. Παράγωγο

Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης. Παράγωγη συνάρτηση. Παράγωγος συνάρτησης ισχύος.

2.1 Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης.Καθεμία από τις τέσσερις ειδικές έννοιες: ταχύτητα κίνησης, πυκνότητα, θερμοχωρητικότητα,

Ταχύτητα χημική αντίδραση, παρά τη σημαντική διαφορά στη φυσική τους σημασία, είναι, από μαθηματική άποψη, όπως είναι εύκολο να δούμε, ένα και το αυτό χαρακτηριστικό της αντίστοιχης συνάρτησης. Όλες είναι συγκεκριμένοι τύποι του λεγόμενου ρυθμού μεταβολής μιας συνάρτησης, που ορίζονται, καθώς και οι ειδικές έννοιες που παρατίθενται, με τη βοήθεια της έννοιας του ορίου.

Ας αναλύσουμε λοιπόν γενική εικόναερώτηση σχετικά με το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης
, αφαιρώντας από τη φυσική σημασία των μεταβλητών
.

Αφήστε πρώτα
- γραμμική συνάρτηση:

.

Αν η ανεξάρτητη μεταβλητή παίρνει μια προσαύξηση
, τότε η συνάρτηση παίρνει προσαύξηση εδώ
. Στάση
παραμένει σταθερή, ανεξάρτητα από το ποια συνάρτηση θεωρείται, ούτε από ποια λαμβάνεται .

Αυτή η σχέση ονομάζεται ρυθμός αλλαγήςγραμμική συνάρτηση. Αν όμως η συνάρτηση δεν είναι γραμμική, τότε η σχέση

εξαρτάται επίσης από , και από . Αυτός ο λόγος μόνο "κατά μέσο όρο" χαρακτηρίζει τη συνάρτηση όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή αλλάζει από δεδομένη σε
; είναι ίση με την ταχύτητα μιας τέτοιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία, δεδομένου έχει την ίδια προσαύξηση
.

Ορισμός.Στάση που ονομάζεταιμέση ταχύτητα η λειτουργία αλλάζει στο διάστημα
.

Είναι σαφές ότι όσο μικρότερο είναι το εξεταζόμενο διάστημα, τόσο καλύτερα η μέση ταχύτητα χαρακτηρίζει την αλλαγή στη συνάρτηση, οπότε αναγκάζουμε τείνουν στο μηδέν. Εάν ταυτόχρονα υπάρχει και όριο στη μέση ταχύτητα, τότε λαμβάνεται ως μέτρο, ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης για μια δεδομένη , Και ονομάζεται ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης.

Ορισμός. Ρυθμός αλλαγής συνάρτησης Vδεδομένο σημείο ονομάζεται όριο του μέσου ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης στο διάστημα όταν πάει στο μηδέν:

2.2 Παράγωγη συνάρτηση.Ρυθμός αλλαγής συνάρτησης

καθορίζεται από την ακόλουθη σειρά ενεργειών:

1) με προσαύξηση , αποδίδεται σε αυτήν την τιμή , βρείτε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης

;

2) συντάσσεται σχέση.

3) βρείτε το όριο αυτής της αναλογίας (αν υπάρχει)

με αυθαίρετη τάση προς το μηδέν.

Όπως ήδη σημειώθηκε, εάν αυτή η λειτουργία όχι γραμμικό

τότε η σχέση εξαρτάται επίσης από , και από . Το όριο αυτής της αναλογίας εξαρτάται μόνο από την επιλεγμένη τιμή. και επομένως είναι συνάρτηση του . Εάν η συνάρτηση γραμμικό, τότε το εξεταζόμενο όριο δεν εξαρτάται από , δηλ. θα είναι μια σταθερή τιμή.

Αυτό το όριο ονομάζεται παράγωγο συνάρτησης ή απλά παράγωγο συνάρτησης και σημειώνεται ως εξής:
.Διαβάστε: «εφ εγκεφαλικό από » ή «εφ πριμ από».

Ορισμός. παράγωγο αυτής της συνάρτησης ονομάζεται το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση της ανεξάρτητης μεταβλητής με μια αυθαίρετη προσδοκία, αυτή η αύξηση στο μηδέν:

.

Η τιμή της παραγώγου μιας συνάρτησης σε κάθε δεδομένο σημείο συνήθως συμβολίζεται
.

Χρησιμοποιώντας τον εισαγόμενο ορισμό της παραγώγου, μπορούμε να πούμε ότι:

1) Η ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης είναι η παράγωγος του

λειτουργίες Με (παράγωγο της διαδρομής ως προς το χρόνο).

2.3 Παράγωγος συνάρτησης ισχύος.

Ας βρούμε παράγωγα κάποιων απλών συναρτήσεων.

Αφήνω
. Εχουμε

,

δηλ. παράγωγο
είναι μια σταθερή τιμή ίση με 1. Αυτό είναι προφανές, γιατί - μια γραμμική συνάρτηση και ο ρυθμός μεταβολής είναι σταθερός.

Αν
, Οτι

Αφήνω
, Επειτα

Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ένα μοτίβο στις εκφράσεις για παραγώγους μιας συνάρτησης ισχύος
στο
. Ας αποδείξουμε ότι, γενικά, η παράγωγος του για κάθε θετικό ακέραιο εκθέτη είναι ίσο με
.

.

Η έκφραση στον αριθμητή μετασχηματίζεται από τον διωνυμικό τύπο του Newton :

Στη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας βρίσκεται το άθροισμα των όρων, ο πρώτος από τους οποίους δεν εξαρτάται από το , και οι υπόλοιποι τείνουν στο μηδέν μαζί με . Να γιατί

.

Άρα, μια συνάρτηση ισχύος με θετικό ακέραιο έχει παράγωγο ίση με:

.

Στο
οι τύποι που προκύπτουν παραπάνω προκύπτουν από τον γενικό τύπο που βρέθηκε.

Αυτό το αποτέλεσμα ισχύει για οποιονδήποτε δείκτη, για παράδειγμα:

.

Εξετάστε τώρα χωριστά την παράγωγο της σταθεράς

.

Εφόσον αυτή η συνάρτηση δεν αλλάζει με αλλαγή στην ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε
. Ως εκ τούτου,

,

Τ.μι. η παράγωγος της σταθεράς είναι μηδέν.

2.4 Γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Παράγωγος συνάρτησης έχει μια πολύ απλή και σαφή γεωμετρική σημασία, η οποία σχετίζεται στενά με την έννοια της εφαπτομένης σε μια γραμμή.

Ορισμός. Εφαπτομένη γραμμή
στη γραμμή
στο σημείο της
(Εικ. 2). ονομάζεται οριακή θέση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο, και άλλο ένα σημείο
γραμμές όταν αυτό το σημείο τείνει να συγχωνευθεί με το δεδομένο σημείο.

.Φροντιστήριο

Υπάρχει ένας μέσος όρος Ταχύτητααλλαγέςλειτουργίεςπρος την κατεύθυνση της ευθείας. Το 1 ονομάζεται παράγωγο λειτουργίεςπρος την κατεύθυνση και υποδεικνύεται. Λοιπόν - (1) - Ταχύτητααλλαγέςλειτουργίεςστο σημείο...

Όριο και συνέχεια μιας συνάρτησης

Μελέτη

Η φυσική έννοια του παραγώγου. Το παράγωγο χαρακτηρίζει Ταχύτητααλλαγέςμία φυσική ποσότητα σε σχέση με .... Σε ποια τιμή του επιχειρήματος είναι ίσες Ταχύτητααλλαγέςλειτουργίεςκαι Απόφαση. , και, και. Χρησιμοποιώντας τη φυσική σημασία της παραγώγου...

Η έννοια της συνάρτησης μιας μεταβλητής και μέθοδοι για τον καθορισμό συναρτήσεων

Εγγραφο

Η έννοια του διαφορικού λογισμού που χαρακτηρίζει Ταχύτητααλλαγέςλειτουργίες; Π. είναι λειτουργία, που ορίζεται για κάθε x ... συνεχή παράγωγο (διαφορικός λογισμός που χαρακτηρίζει Ταχύτητααλλαγέςλειτουργίεςσε αυτό το σημείο). Τότε και...

§ 5 Μερικές παράγωγοι μιγαδικών συναρτήσεων διαφορικά μιγαδικών συναρτήσεων 1 Μερικές παράγωγοι μιγαδικής συνάρτησης

Εγγραφο

Υπάρχει και είναι πεπερασμένο) θα είναι Ταχύτητααλλαγέςλειτουργίεςσε ένα σημείο προς την κατεύθυνση του διανύσματος. Του ... και δηλώνουν ή. Εκτός από το μέγεθος Ταχύτητααλλαγέςλειτουργίες, σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τη φύση αλλαγέςλειτουργίεςσε ένα σημείο προς την κατεύθυνση του διανύσματος...