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ग्रिगोरी पेरेलमैन ने सिद्ध किया कि कोई ईश्वर नहीं है। गणितज्ञ पेरेलमैन याकोव: विज्ञान में योगदान

« मिलेनियम चैलेंज”, एक रूसी गणितीय प्रतिभा द्वारा हल किया गया, ब्रह्मांड की उत्पत्ति से संबंधित है। प्रत्येक गणितज्ञ को पहेली का सार समझने का अवसर नहीं दिया जाता...

दिमागी खेल

हाल तक, गणित ने अपने "पुजारियों" को न तो महिमा या धन का वादा किया था। वे बराबर नोबेल पुरस्कारनहीं दिया. ऐसा कोई नामांकन नहीं है. दरअसल, एक बेहद लोकप्रिय किंवदंती के अनुसार, नोबेल की पत्नी ने एक बार एक गणितज्ञ के साथ उन्हें धोखा दिया था। और प्रतिशोध में, अमीर आदमी ने अपने सभी ठाठदार भाइयों को उनके सम्मान और पुरस्कार राशि से वंचित कर दिया।

2000 में स्थिति बदल गई. निजी क्ले गणित संस्थान ने सबसे अधिक सात का चयन किया है कठिन कार्यऔर प्रत्येक निर्णय के लिए एक मिलियन डॉलर का भुगतान करने का वादा किया।

गणितज्ञों के साथ सम्मानपूर्वक व्यवहार किया जाता था। 2001 में, फिल्म "ए ब्यूटीफुल माइंड" भी स्क्रीन पर रिलीज़ हुई, जिसका मुख्य किरदार एक गणितज्ञ था।

अब केवल सभ्यता से दूर के लोगों को ही पता नहीं है: वादा किए गए लाखों लोगों में से एक - सबसे पहला - पहले ही सम्मानित किया जा चुका है। यह पुरस्कार सेंट पीटर्सबर्ग के निवासी एक रूसी नागरिक को प्रदान किया गया ग्रिगोरी पेरेलमैन.उन्होंने पोंकारे अनुमान को सिद्ध किया, एक पहेली जिसने 100 से अधिक वर्षों तक किसी को भी चुनौती दी और जो, उनके प्रयासों से, एक प्रमेय बन गई।

हमारे प्यारे 44 वर्षीय दाढ़ी वाले आदमी ने दुनिया भर में अपनी नाक साफ कर ली। और अब भी इसे - दुनिया को - सस्पेंस में रखना जारी है। चूँकि यह ज्ञात नहीं है कि गणितज्ञ ईमानदारी से दस लाख डॉलर का हकदार होगा या मना कर देगा। अनेक देशों की प्रगतिशील जनता स्वाभाविक रूप से उद्वेलित है। कम से कम सभी महाद्वीपों के समाचार पत्र वित्तीय और गणितीय साज़िशों का विवरण देते हैं।

और इन आकर्षक गतिविधियों की पृष्ठभूमि के खिलाफ - भाग्य बताना और अन्य लोगों के पैसे साझा करना - पेरेलमैन की उपलब्धि का अर्थ किसी तरह खो गया था। क्ले इंस्टीट्यूट के अध्यक्ष, जिम कार्लसन ने, निश्चित रूप से, एक समय में कहा था, वे कहते हैं, लक्ष्य कीमत पूल- उत्तरों की इतनी अधिक खोज नहीं, बल्कि गणितीय विज्ञान की प्रतिष्ठा बढ़ाने और इसमें युवाओं की रुचि जगाने का प्रयास। लेकिन फिर भी बात क्या है?

ग्रिशा अपनी युवावस्था में - तब भी वह एक प्रतिभाशाली व्यक्ति था।

पॉइंकेयर परिकल्पना - यह क्या है?

रूसी प्रतिभा द्वारा हल की गई पहेली, टोपोलॉजी नामक गणित के अनुभाग की नींव को प्रभावित करती है। इसे - टोपोलॉजी - अक्सर "रबर शीट पर ज्यामिति" कहा जाता है। यह संपत्तियों से संबंधित है ज्यामितीय आकार, जो रूप के खिंचने, मुड़ने, मुड़ने पर संरक्षित रहते हैं। दूसरे शब्दों में, यह बिना टूट-फूट, कट और गोंद के विकृत हो जाता है।

टोपोलॉजी गणितीय भौतिकी के लिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें अंतरिक्ष के गुणों को समझने की अनुमति देती है। या बाहर से इस स्थान के आकार को देखे बिना इसका मूल्यांकन करें। उदाहरण के लिए, हमारा ब्रह्मांड।

पॉइंकेयर अनुमान की व्याख्या करते समय, वे इस तरह से शुरू करते हैं: एक द्वि-आयामी क्षेत्र की कल्पना करें - एक रबर डिस्क लें और इसे गेंद के ऊपर खींचें। ताकि डिस्क की परिधि एक बिंदु पर एकत्रित हो जाये। इसी तरह, उदाहरण के लिए, आप एक स्पोर्ट्स बैकपैक को रस्सी से खींच सकते हैं। परिणाम एक क्षेत्र है: हमारे लिए - त्रि-आयामी, लेकिन गणित के दृष्टिकोण से - केवल द्वि-आयामी।

फिर वे उसी डिस्क को बैगेल पर खींचने की पेशकश करते हैं। ऐसा लगता है कि यह काम कर रहा है। लेकिन डिस्क के किनारे एक वृत्त में परिवर्तित हो जाएंगे, जिसे अब एक बिंदु पर नहीं खींचा जा सकता - यह डोनट को काट देगा।

जैसा कि उन्होंने अपने में लिखा है लोकप्रिय पुस्तकएक और रूसी गणितज्ञ, व्लादिमीर उसपेन्स्की, "द्वि-आयामी क्षेत्रों के विपरीत, त्रि-आयामी क्षेत्र हमारे प्रत्यक्ष अवलोकन के लिए दुर्गम हैं, और हमारे लिए उनकी कल्पना करना उतना ही कठिन है जितना कि प्रसिद्ध उपाख्यान वर्ग ट्रिनोमियल से वासिली इवानोविच के लिए है।"

तो, पोंकारे परिकल्पना के अनुसार, एक त्रि-आयामी क्षेत्र एकमात्र त्रि-आयामी चीज़ है जिसकी सतह को किसी प्रकार के काल्पनिक "हाइपरकॉर्ड" द्वारा एक बिंदु पर खींचा जा सकता है।

ग्रिगोरी पेरेलमैन:- जरा सोचो, न्यूटन का द्विपद...

जूल्स हेनरी पोंकारे ने 1904 में यह सुझाव दिया था। अब पेरेलमैन ने उन सभी को आश्वस्त कर दिया है जो समझते हैं कि फ्रांसीसी टोपोलॉजिस्ट सही थे। और अपनी परिकल्पना को एक प्रमेय में बदल दिया।

प्रमाण यह समझने में मदद करता है कि हमारे ब्रह्मांड का आकार क्या है। और यह हमें काफी हद तक यह मानने की अनुमति देता है कि यह वही त्रि-आयामी क्षेत्र है।

लेकिन यदि ब्रह्मांड एकमात्र "आकृति" है जिसे एक बिंदु तक अनुबंधित किया जा सकता है, तो, संभवतः, इसे एक बिंदु से बढ़ाया भी जा सकता है। जो बिग बैंग सिद्धांत की अप्रत्यक्ष पुष्टि के रूप में कार्य करता है, जो दावा करता है कि ब्रह्मांड की उत्पत्ति ठीक उसी बिंदु से हुई है।

यह पता चला है कि पेरेलमैन ने पॉइंकेरे के साथ मिलकर तथाकथित सृजनवादियों - समर्थकों को परेशान किया दिव्य शुरुआतब्रह्मांड। और उन्होंने भौतिकवादी भौतिकविदों की चक्की पर पानी फेर दिया।

सेंट पीटर्सबर्ग के प्रतिभाशाली गणितज्ञ, ग्रिगोरी पेरेलमैन, जो पोंकारे अनुमान को साबित करने के लिए दुनिया भर में प्रसिद्ध हुए, ने आखिरकार इसके लिए दिए गए मिलियन डॉलर के पुरस्कार से इनकार करने के बारे में बताया। जैसा कि कहा गया है " टीवीएनजेड", एकांतप्रिय वैज्ञानिक ने एक पत्रकार और फिल्म कंपनी "प्रेसिडेंट-फिल्म" के निर्माता के साथ बातचीत में खुद का खुलासा किया, जो पेरेलमैन की सहमति से, उनके बारे में फीचर फिल्म "फॉर्मूला ऑफ द यूनिवर्स" की शूटिंग करेगा।

अलेक्जेंडर ज़बरोव्स्की महान गणितज्ञ से बात करने के लिए भाग्यशाली थे - उन्होंने कुछ साल पहले मास्को छोड़ दिया और इज़राइल चले गए और सबसे पहले सेंट पीटर्सबर्ग के यहूदी समुदाय के माध्यम से ग्रिगोरी याकोवलेविच की मां से संपर्क करने का अनुमान लगाया, जिससे उनकी मदद हुई। उसने अपने बेटे से बात की, और उसके अच्छे चरित्र-चित्रण के बाद, वह एक बैठक के लिए सहमत हो गया। इसे वास्तव में एक उपलब्धि कहा जा सकता है - पत्रकार वैज्ञानिक को "पकड़" नहीं सके, हालाँकि उन्होंने उसके प्रवेश द्वार पर बैठकर कई दिन बिताए।

जैसा कि ज़बरोव्स्की ने अखबार को बताया, पेरेलमैन ने "एक बिल्कुल स्वस्थ, पर्याप्त और सामान्य व्यक्ति" की छाप दी: "यथार्थवादी, व्यावहारिक और समझदार, लेकिन भावुकता और उत्साह से रहित नहीं ... प्रेस में जो कुछ भी उनके लिए जिम्मेदार ठहराया गया था , मानो वह "अपने दिमाग से बाहर" हो गया हो - पूरी बकवास! वह ठीक-ठीक जानता है कि वह क्या चाहता है, और जानता है कि लक्ष्य कैसे प्राप्त करना है।

फिल्म, जिसके लिए गणितज्ञ ने संपर्क किया और मदद करने के लिए सहमत हुए, वह खुद के बारे में नहीं होगी, बल्कि तीन मुख्य विश्व गणितीय स्कूलों के सहयोग और टकराव के बारे में होगी: रूसी, चीनी और अमेरिकी, जो अध्ययन के पथ में सबसे उन्नत हैं और ब्रह्मांड का प्रबंधन।

जब उनसे पूछा गया कि पेरेलमैन ने दस लाख देने से इनकार क्यों किया, तो उन्होंने उत्तर दिया:

"मैं जानता हूं कि ब्रह्मांड को कैसे प्रबंधित करना है। और मुझे बताओ - मुझे दस लाख के पीछे क्यों भागना चाहिए?"

वैज्ञानिक नाराज है, जैसा कि उसे रूसी प्रेस में कहा जाता है

पेरेलमैन ने बताया कि वह पत्रकारों के साथ संवाद नहीं करते हैं, क्योंकि उनका संबंध विज्ञान से नहीं, बल्कि व्यक्तिगत और घरेलू मुद्दों से है - लाख मना करने के कारणों से लेकर बाल और नाखून काटने के सवाल तक।

विशेष रूप से, वह अपने प्रति असम्मानजनक रवैये के कारण रूसी मीडिया से संपर्क नहीं करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, प्रेस में वे उसे ग्रिशा कहते हैं, और इस तरह की परिचितता उसे ठेस पहुँचाती है।

ग्रिगोरी पेरेलमैन ने कहा कि तब से स्कूल वर्षजिसे "मस्तिष्क प्रशिक्षण" कहा जाता है उसका उपयोग किया जाता है। यह याद करते हुए कि यूएसएसआर से एक "प्रतिनिधि" होने के नाते, उन्हें कैसे प्राप्त हुआ स्वर्ण पदकबुडापेस्ट में गणितीय ओलंपियाड में उन्होंने कहा: “हमने उन समस्याओं को हल करने की कोशिश की जहां अमूर्त रूप से सोचने की क्षमता एक अनिवार्य शर्त थी।

यह गणितीय तर्क से इस अमूर्तन में था मुख्य मुद्दादैनिक वर्कआउट. सही समाधान खोजने के लिए, "दुनिया के एक टुकड़े" की कल्पना करना आवश्यक था।

ऐसे "मुश्किल" कार्य के उदाहरण के रूप में, उन्होंने निम्नलिखित का हवाला दिया: "याद रखें बाइबिल कथाइस बारे में कि यीशु मसीह पानी पर कैसे चलते थे, जैसे सूखी ज़मीन पर। इसलिए मुझे गणना करनी थी कि उसे कितनी तेजी से पानी के बीच से गुजरना होगा ताकि वह गिर न जाए।

तब से, पेरेलमैन ने ब्रह्मांड के त्रि-आयामी स्थान के गुणों का अध्ययन करने की समस्या का अध्ययन करने के लिए अपनी सभी गतिविधियों को समर्पित कर दिया है: "यह बहुत दिलचस्प है। मैं विशालता को अपनाने की कोशिश कर रहा हूं।"

वैज्ञानिक ने अपना शोध प्रबंध शिक्षाविद अलेक्जेंड्रोव के मार्गदर्शन में लिखा। "विषय सरल था: 'यूक्लिडियन ज्यामिति में सैडल सतहें'। क्या आप उन सतहों की कल्पना कर सकते हैं जो आकार में समान हैं और अनंत पर एक दूसरे से असमान दूरी पर हैं? हमें उनके बीच 'खोखले' को मापने की जरूरत है," गणितज्ञ ने समझाया।

दुनिया की ख़ुफ़िया सेवाओं को डराने वाली पेरेलमैन की खोज का क्या मतलब है?

ब्रह्मांड के सिद्धांत में जटिल भौतिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में इसके महत्व के कारण और ब्रह्मांड के आकार के बारे में प्रश्न का उत्तर देने के कारण पॉइंकेरे के कथन को "ब्रह्मांड का सूत्र" कहा जाता है। यह साक्ष्य नैनोटेक्नोलॉजी के विकास में बड़ी भूमिका निभाएगा।"

उन्होंने कहा, "मैंने सीखा कि रिक्तियों की गणना कैसे की जाती है, अपने सहयोगियों के साथ मिलकर हम सामाजिक और आर्थिक "खाली जगहों" को भरने के लिए तंत्र सीखेंगे। "खाली जगहें हर जगह हैं। उनकी गणना की जा सकती है, और यह महान अवसर प्रदान करता है ...

प्रकाशन के अनुसार, ग्रिगोरी याकोवलेविच ने जो खोजा उसका पैमाना, जो वास्तव में आज के विश्व विज्ञान से एक कदम आगे है, ने उसे न केवल रूसी, बल्कि विदेशी भी विशेष सेवाओं की निरंतर रुचि का उद्देश्य बना दिया है।

उन्होंने कुछ अति-ज्ञान को समझा जो ब्रह्मांड को समझने में मदद करता है। और यहाँ इस प्रकार के प्रश्न उठते हैं: "यदि उसका ज्ञान व्यावहारिक कार्यान्वयन पाता है तो क्या होगा?"

वास्तव में, गुप्त सेवाओं को यह जानने की जरूरत है - क्या पेरेलमैन, या बल्कि उसका ज्ञान, मानवता के लिए खतरा है? आख़िरकार, यदि उसके ज्ञान की सहायता से ब्रह्मांड को एक बिंदु में बदलना और फिर उसे प्रकट करना संभव है, तो क्या हम मर सकते हैं या एक अलग क्षमता में पुनर्जन्म ले सकते हैं? और फिर क्या हम होंगे? और क्या हमें ब्रह्माण्ड का प्रबंधन करने की बिल्कुल भी आवश्यकता है?

और इस समय

प्रतिभाशाली माँ: "हमसे पैसे के बारे में सवाल मत पूछो!"

जब यह ज्ञात हुआ कि गणितज्ञ को मिलेनियम पुरस्कार से सम्मानित किया गया है, तो पत्रकारों की भीड़ उनके दरवाजे के सामने जमा हो गई। हर कोई पेरेलमैन को व्यक्तिगत रूप से बधाई देना चाहता था और जानना चाहता था कि क्या वह अपना वैध मिलियन लेगा।

हमने बहुत देर तक कमज़ोर दरवाज़ा खटखटाया (काश हम इसे प्रीमियम पैसे से बदल पाते), लेकिन गणितज्ञ ने इसे नहीं खोला। लेकिन उसकी माँ ने बहुत ही समझदारी से दालान से ही "i" पर निशान लगा दिया।

हम किसी से बात नहीं करना चाहते हैं और कोई साक्षात्कार नहीं देने जा रहे हैं, - हुसोव लीबोवना चिल्लाया। - और हमसे इस पुरस्कार और पैसे के बारे में सवाल न पूछें।

उसी प्रवेश द्वार में रहने वाले लोग पेरेलमैन में अचानक रुचि देखकर बहुत आश्चर्यचकित हुए।

क्या हमारी ग्रिशा शादीशुदा है? पड़ोसियों में से एक हँसा। - ओह, मुझे एक पुरस्कार मिला। दोबारा। नहीं, वह इसे नहीं लेगा. उसे किसी चीज़ की ज़रूरत नहीं है, वह एक पैसे पर रहता है, लेकिन अपने तरीके से खुश है।

वे कहते हैं कि एक दिन पहले गणितज्ञ को दुकान से उत्पादों के पूरे पैकेज के साथ देखा गया था। वह अपनी माँ के साथ "घेराबंदी बनाए रखने" की तैयारी कर रहा था। पिछली बार, जब प्रेस में पुरस्कार के बारे में प्रचार शुरू हुआ, तो पेरेलमैन ने तीन सप्ताह तक अपार्टमेंट नहीं छोड़ा।

वैसे

वे और किस चीज़ के लिए दस लाख डॉलर देंगे...

1998 में, अरबपति लैंडन टी. क्ले के फंड से, गणित को लोकप्रिय बनाने के लिए कैम्ब्रिज (यूएसए) में क्ले मैथमेटिक्स इंस्टीट्यूट की स्थापना की गई थी। 24 मई 2000 को संस्थान के विशेषज्ञों ने अपनी राय में सात सबसे पेचीदा समस्याओं को चुना। और उन्होंने प्रत्येक के लिए दस लाख डॉलर नियुक्त किये।

सूची का नाम दिया गया है .

1. रसोइया की समस्या

यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या किसी समस्या के समाधान की शुद्धता का सत्यापन स्वयं समाधान प्राप्त करने से अधिक लंबा हो सकता है। क्रिप्टोग्राफी में विशेषज्ञों के लिए यह तार्किक कार्य महत्वपूर्ण है - डेटा एन्क्रिप्शन।

2. रीमैन परिकल्पना

तथाकथित अभाज्य संख्याएँ हैं, जैसे 2, 3, 5, 7, आदि, जो केवल स्वयं से विभाज्य हैं। कितने हैं यह ज्ञात नहीं है। रीमैन का मानना था कि यह निर्धारित किया जा सकता है और उनके वितरण की नियमितता पाई जा सकती है। जो कोई भी इसे ढूंढेगा वह क्रिप्टोग्राफी सेवाएं भी प्रदान करेगा।

3. बिर्च और स्विनर्टन-डायर परिकल्पना

समस्या एक घात तक बढ़ाए गए तीन अज्ञात वाले समीकरणों को हल करने से संबंधित है। हमें यह पता लगाना होगा कि उन्हें कैसे हल किया जाए, चाहे वे कितने भी कठिन क्यों न हों।

4. हॉज परिकल्पना

बीसवीं सदी में, गणितज्ञों ने रूप का अध्ययन करने की एक विधि की खोज की जटिल वस्तुएं. विचार यह है कि वस्तु के स्थान पर सरल "ईंटों" का उपयोग किया जाए, जो एक साथ चिपकी होती हैं और उसकी समानता बनाती हैं। हमें यह साबित करना होगा कि यह हमेशा स्वीकार्य है।

5. नेवियर-स्टोक्स समीकरण

हवाई जहाज़ पर उन्हें याद रखना उचित है। समीकरण वायु धाराओं का वर्णन करते हैं जो इसे हवा में बनाए रखते हैं। अब समीकरणों को अनुमानित सूत्रों के अनुसार लगभग हल किया जाता है। सटीक समीकरणों को खोजना और यह साबित करना आवश्यक है कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समीकरणों का एक समाधान है, जो हमेशा सत्य होता है।

6. यांग-मिल्स समीकरण

भौतिकी की दुनिया में एक परिकल्पना है: यदि किसी प्राथमिक कण का द्रव्यमान होता है, तो उसकी निचली सीमा भी मौजूद होती है। लेकिन कौन सा यह स्पष्ट नहीं है. तुम्हें उसके पास जाना होगा. यह शायद सबसे कठिन काम है. इसे हल करने के लिए, "हर चीज़ का सिद्धांत" बनाना आवश्यक है - समीकरण जो प्रकृति में सभी बलों और इंटरैक्शन को जोड़ते हैं। जो सफल होगा उसे नोबेल पुरस्कार अवश्य मिलेगा।

शुद्ध गणित की अंतिम महान उपलब्धि पोंकारे अनुमान का प्रमाण है, जिसे 1904 में व्यक्त किया गया था और कहा गया था: "प्रत्येक जुड़ा हुआ, बस जुड़ा हुआ, सीमा के बिना कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी मैनिफोल्ड, क्षेत्र एस 3 के लिए होमियोमॉर्फिक है" सेंट से ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा। 2002-2003 में पीटर्सबर्ग।

इस वाक्यांश में कई शब्द हैं जिन्हें मैं इस तरह से समझाने की कोशिश करूंगा कि उनका सामान्य अर्थ गैर-गणितज्ञों के लिए स्पष्ट हो जाए (मुझे लगता है कि पाठक समाप्त कर चुके हैं) उच्च विद्यालयऔर अभी भी स्कूल के गणित से कुछ याद है)।

आइए होमोमोर्फिज्म की अवधारणा से शुरुआत करें, जो टोपोलॉजी में केंद्रीय है। सामान्य तौर पर, टोपोलॉजी को अक्सर "रबर ज्यामिति" के रूप में परिभाषित किया जाता है, यानी, ज्यामितीय छवियों के गुणों के विज्ञान के रूप में जो अंतराल और ग्लूइंग के बिना चिकनी विकृतियों के दौरान नहीं बदलते हैं, या बल्कि, यदि एक-से-एक स्थापित करना संभव है दो वस्तुओं के बीच एक और एक-से-एक पत्राचार।

मग और बैगेल के क्लासिक उदाहरण का उपयोग करके मुख्य विचार को समझाना सबसे आसान है। निरंतर विरूपण द्वारा पहले को दूसरे में बदला जा सकता है।

ये आंकड़े स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि मग डोनट के लिए होमियोमॉर्फिक है, और यह तथ्य उनकी सतहों (द्वि-आयामी मैनिफोल्ड्स, जिसे टोरस कहा जाता है) और भरे हुए निकायों (सीमा के साथ त्रि-आयामी मैनिफोल्ड्स) दोनों के लिए सच है।

आइए हम परिकल्पना के निर्माण में आने वाले बाकी शब्दों की व्याख्या करें।

सीमा रहित त्रि-आयामी अनेक गुना।यह एक ऐसी ज्यामितीय वस्तु है, जिसके प्रत्येक बिंदु पर त्रि-आयामी गेंद के रूप में एक पड़ोस होता है। 3-मैनिफोल्ड के उदाहरण हैं, सबसे पहले, संपूर्ण त्रि-आयामी स्थान, जिसे R 3 द्वारा दर्शाया गया है, साथ ही कोई भी खुले सेटआर 3 में बिंदु, उदाहरण के लिए, एक ठोस टोरस (डोनट) का आंतरिक भाग। यदि हम एक बंद ठोस टोरस पर विचार करते हैं, यानी, इसके सीमा बिंदु (टोरस की सतह) जोड़ते हैं, तो हमें पहले से ही एक सीमा के साथ कई गुना मिलता है - सीमा बिंदुओं में गेंद के रूप में पड़ोस नहीं होते हैं, बल्कि केवल में होते हैं गेंद के आधे भाग का रूप.
जुड़े हुए।यहां कनेक्टिविटी की अवधारणा सबसे सरल है। एक मैनिफोल्ड तब जुड़ा होता है जब उसमें एक टुकड़ा होता है, या, जो समान है, उसके किन्हीं दो बिंदुओं को एक सतत रेखा से जोड़ा जा सकता है जो इसकी सीमा से आगे नहीं जाती है।
बस जुड़ा हुआ है.एकल-जुड़ेपन की धारणा अधिक जटिल है। इसका मतलब है कि किसी दिए गए मैनिफोल्ड के भीतर पूरी तरह से स्थित किसी भी निरंतर बंद वक्र को इस मैनिफोल्ड को छोड़े बिना एक बिंदु पर आसानी से अनुबंधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आर 3 में एक साधारण द्वि-आयामी क्षेत्र बस जुड़ा हुआ है (एक लोचदार बैंड, मनमाने ढंग से एक सेब की सतह से जुड़ा हुआ है, सेब से लोचदार बैंड को फाड़े बिना एक बिंदु पर एक चिकनी विरूपण द्वारा अनुबंधित किया जा सकता है)। दूसरी ओर, वृत्त और टोरस केवल जुड़े हुए नहीं हैं।
सघन.एक मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट होता है यदि उसकी किसी होमियोमोर्फिक छवि में सीमित आयाम हों। उदाहरण के लिए, एक रेखा पर एक खुला अंतराल (इसके सिरों को छोड़कर एक खंड के सभी बिंदु) कॉम्पैक्ट नहीं है, क्योंकि इसे लगातार एक अनंत रेखा तक बढ़ाया जा सकता है। लेकिन एक बंद खंड (सिरों के साथ) एक सीमा के साथ एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है: किसी भी निरंतर विरूपण के लिए, छोर कुछ विशिष्ट बिंदुओं पर जाते हैं, और पूरे खंड को इन बिंदुओं को जोड़ने वाले एक बंधे हुए वक्र में जाना चाहिए।

आयाममैनिफोल्ड्स उस बिंदु पर स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है जो उस पर "जीवित" है। प्रत्येक बिंदु में संबंधित आयाम की डिस्क के रूप में एक पड़ोस होता है, यानी, एक-आयामी मामले में एक रेखा का अंतराल, दो-आयामी मामले में विमान पर एक चक्र, त्रि-आयामी मामले में एक गेंद , आदि। टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से, सीमा के बिना केवल दो एक-आयामी जुड़े हुए मैनिफोल्ड हैं: यह रेखा और वृत्त है। इनमें से केवल वृत्त सघन है।

ऐसे स्थान का एक उदाहरण जो मैनिफोल्ड नहीं है, उदाहरण के लिए, प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी है - आखिरकार, दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर, किसी भी पड़ोस में एक क्रॉस का आकार होता है, इसमें कोई पड़ोस नहीं होता है अपने आप में केवल एक अंतराल हो (और अन्य सभी बिंदुओं पर ऐसे पड़ोस होते हैं)। ऐसे मामलों में गणितज्ञों का कहना है कि हम एक विलक्षण मैनिफोल्ड से निपट रहे हैं, जिसमें एक विलक्षण बिंदु है।

द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट मैनिफ़ोल्ड सर्वविदित हैं। यदि हम केवल विचार करें उन्मुखीसीमा के बिना कई गुना, फिर टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से वे एक सरल, यद्यपि अनंत, सूची बनाते हैं: और इसी तरह। ऐसा प्रत्येक मैनिफ़ोल्ड एक गोले से कई हैंडलों को चिपकाकर प्राप्त किया जाता है, जिसकी संख्या को सतह का जीनस कहा जाता है।

चित्र जीनस 0, 1, 2, और 3 की सतहों को दर्शाता है। इस सूची में एक गोला सभी सतहों से कैसे अलग दिखता है? यह पता चला है कि यह बस जुड़ा हुआ है: एक गोले पर, किसी भी बंद वक्र को एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है, और किसी भी अन्य सतह पर, एक वक्र को इंगित करना हमेशा संभव होता है जिसे सतह के साथ एक बिंदु पर अनुबंधित नहीं किया जा सकता है।

यह दिलचस्प है कि सीमा के बिना त्रि-आयामी कॉम्पैक्ट मैनिफ़ोल्ड को भी एक निश्चित अर्थ में वर्गीकृत किया जा सकता है, यानी, एक निश्चित सूची में व्यवस्थित किया जा सकता है, हालांकि दो-आयामी मामले में उतना सीधा नहीं है, लेकिन एक जटिल संरचना है। हालाँकि, 3डी क्षेत्र एस 3 इस सूची में बिल्कुल उसी तरह से खड़ा है जैसे ऊपर की सूची में 2डी क्षेत्र है। तथ्य यह है कि एस 3 पर कोई भी वक्र एक बिंदु पर सिकुड़ता है, इसे साबित करना उतना ही आसान है जितना कि द्वि-आयामी मामले में। लेकिन उलटा दावा, अर्थात्, यह संपत्ति सटीक रूप से क्षेत्र के लिए अद्वितीय है, यानी, किसी भी अन्य त्रि-आयामी मैनिफोल्ड पर गैर-संकुचन योग्य वक्र हैं, बहुत मुश्किल है और सटीक रूप से पॉइंकेयर अनुमान की सामग्री का गठन करता है जिसके बारे में हम बात कर रहे हैं .

यह समझना महत्वपूर्ण है कि मैनिफोल्ड अपने आप रह सकता है, इसे एक स्वतंत्र वस्तु के रूप में सोचा जा सकता है, कहीं भी निहित नहीं। (किसी तीसरे आयाम के अस्तित्व से अनजान, एक सामान्य गोले की सतह पर जीवित द्वि-आयामी प्राणियों की कल्पना करें।) सौभाग्य से, उपरोक्त सूची से सभी द्वि-आयामी सतहों को सामान्य आर 3 स्थान में एम्बेड किया जा सकता है, जो बनाता है उन्हें कल्पना करना आसान है। 3-गोले एस 3 के लिए (और सामान्य तौर पर सीमा के बिना किसी भी कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड के लिए) यह अब मामला नहीं है, इसलिए इसकी संरचना को समझने के लिए कुछ प्रयास की आवश्यकता है।

प्रकट रूप से सबसे सरल तरीकात्रि-आयामी क्षेत्र एस 3 की स्थलाकृतिक संरचना को समझाने के लिए एक-बिंदु संघनन की सहायता ली जाती है। अर्थात्, त्रि-आयामी क्षेत्र एस 3 सामान्य त्रि-आयामी (अनबाउंड) स्थान आर 3 का एक-बिंदु संघनन है।

आइए पहले इस निर्माण की व्याख्या करें सरल उदाहरण. आइए एक साधारण अनंत सीधी रेखा (अंतरिक्ष का एक-आयामी एनालॉग) लें और इसमें एक "असीम दूर" बिंदु जोड़ें, यह मानते हुए कि जब एक सीधी रेखा के साथ दाएं या बाएं चलते हैं, तो हम अंततः इस बिंदु पर पहुंचते हैं। टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, एक अनंत रेखा और एक बंधे हुए खुले खंड (अंत बिंदु के बिना) के बीच कोई अंतर नहीं है। इस तरह के खंड को चाप के रूप में लगातार मोड़ा जा सकता है, सिरों को एक साथ करीब लाया जा सकता है और जंक्शन में लापता बिंदु को चिपकाया जा सकता है। जाहिर है, हमें एक वृत्त मिलता है - एक गोले का एक आयामी एनालॉग।

इसी प्रकार, यदि मैं एक अनंत तल लेता हूं और अनंत पर एक बिंदु जोड़ता हूं, जिस पर किसी भी दिशा में गुजरने वाली मूल विमान की सभी रेखाएं झुकती हैं, तो हमें एक द्वि-आयामी (साधारण) क्षेत्र एस 2 मिलता है। इस प्रक्रिया को एक स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण के माध्यम से देखा जा सकता है, जो एन के उत्तरी ध्रुव के अपवाद के साथ, गोले के प्रत्येक बिंदु पी को, विमान के एक निश्चित बिंदु पी को निर्दिष्ट करता है।

इस प्रकार, एक बिंदु के बिना एक गोला स्थलाकृतिक रूप से एक विमान के समान है, और एक बिंदु जोड़ने से विमान एक गोले में बदल जाता है।

सिद्धांत रूप में, बिल्कुल वही निर्माण त्रि-आयामी क्षेत्र और त्रि-आयामी स्थान पर लागू होता है, केवल इसके कार्यान्वयन के लिए चौथे आयाम में प्रवेश करना आवश्यक है, और इसे चित्र पर चित्रित करना इतना आसान नहीं है। इसलिए मैं खुद को सीमित रखूंगा मौखिक विवरणअंतरिक्ष का एक-बिंदु संघनन आर 3।

कल्पना करें कि हमारे भौतिक स्थान (जिसे हम, न्यूटन का अनुसरण करते हुए, तीन निर्देशांक x, y, z के साथ एक असीमित यूक्लिडियन स्थान मानते हैं) में एक बिंदु "अनंत पर" इस तरह से जोड़ा गया है कि किसी भी सीधी रेखा के साथ चलते समय दिशा, आप आप गिरते हैं (अर्थात, प्रत्येक स्थानिक रेखा एक वृत्त में बंद हो जाती है)। फिर हमें एक कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी मैनिफोल्ड मिलता है, जो परिभाषा के अनुसार, गोला S 3 है।

यह देखना आसान है कि गोला S 3 बस जुड़ा हुआ है। दरअसल, इस गोले पर किसी भी बंद वक्र को थोड़ा स्थानांतरित किया जा सकता है ताकि वह जोड़े गए बिंदु से न गुज़रे। फिर हमें सामान्य स्थान R 3 में एक वक्र मिलता है, जो आसानी से समरूपता के माध्यम से एक बिंदु पर सिकुड़ जाता है, यानी तीनों दिशाओं में निरंतर संकुचन।

यह समझने के लिए कि मैनिफोल्ड एस 3 की संरचना कैसे की जाती है, इसके दो ठोस टोरी में विभाजन पर विचार करना बहुत शिक्षाप्रद है। यदि ठोस टोरस को अंतरिक्ष आर 3 से हटा दिया जाए, तो कुछ बहुत स्पष्ट नहीं रह जाता है। और यदि अंतरिक्ष को एक गोले में संकुचित कर दिया जाए, तो यह पूरक भी एक ठोस टोरस में बदल जाता है। अर्थात्, गोला S 3 दो ठोस टोरी में विभाजित है जिनकी एक सामान्य सीमा है - एक टोरस।

यहां बताया गया है कि इसे कैसे समझा जा सकता है। आइए टोरस को हमेशा की तरह, एक गोल डोनट के रूप में आर 3 में एम्बेड करें, और एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें - इस डोनट के रोटेशन की धुरी। हम अक्ष के माध्यम से एक मनमाना विमान खींचते हैं, यह हमारे ठोस टोरस को चित्र में दिखाए गए दो वृत्तों में काटेगा हरे में, और विमान का अतिरिक्त भाग लाल वृत्तों के एक सतत परिवार में विभाजित हो जाता है। उनमें से केंद्रीय अक्ष है, जिसे बोल्डर में हाइलाइट किया गया है, क्योंकि गोले S 3 में रेखा एक वृत्त में बंद हो जाती है। इस द्वि-आयामी चित्र को एक अक्ष के चारों ओर घुमाकर त्रि-आयामी चित्र प्राप्त किया जाता है। फिर घुमाए गए वृत्तों का एक पूरा सेट एक त्रि-आयामी शरीर को भर देगा, एक ठोस टोरस के लिए होमोमोर्फिक, जो केवल असामान्य लगेगा।

वास्तव में, इसमें केंद्रीय अक्ष एक अक्षीय वृत्त होगा, और शेष समांतरों की भूमिका निभाएंगे - वृत्त जो सामान्य ठोस टोरस बनाते हैं।

3-गोले की तुलना करने के लिए कुछ पाने के लिए, मैं एक कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड का एक और उदाहरण दूंगा, अर्थात् एक त्रि-आयामी टोरस। एक त्रि-आयामी टोरस का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है। आइए स्रोत सामग्री के रूप में एक साधारण त्रि-आयामी घन लें:

इसके तीन जोड़े हैं: बाएँ और दाएँ, ऊपर और नीचे, आगे और पीछे। समानांतर चेहरों की प्रत्येक जोड़ी में, हम घन के किनारे के साथ स्थानांतरित करके एक दूसरे से प्राप्त बिंदुओं को जोड़े में पहचानते हैं। अर्थात्, हम मान लेंगे (विशुद्ध रूप से, भौतिक विकृतियों को लागू किए बिना) कि, उदाहरण के लिए, ए और ए "एक ही बिंदु हैं, और बी और बी" भी एक बिंदु हैं, लेकिन बिंदु ए से अलग हैं। के सभी आंतरिक बिंदु घन हम हमेशा की तरह विचार करेंगे। घन अपने आप में एक सीमा के साथ कई गुना है, लेकिन चिपकाने के बाद, सीमा अपने आप बंद हो जाती है और गायब हो जाती है। दरअसल, घन में बिंदु ए और ए" के पड़ोस (वे बाएं और दाएं छायांकित चेहरों पर स्थित हैं) गेंदों के आधे हिस्से हैं, जो चेहरों को एक साथ चिपकाने के बाद, एक पूरी गेंद में विलीन हो जाते हैं, जो एक के रूप में कार्य करता है त्रि-आयामी टोरस के संगत बिंदु का पड़ोस।

भौतिक स्थान के बारे में सामान्य विचारों के आधार पर 3-टोरस की संरचना को महसूस करने के लिए, आपको तीन परस्पर लंबवत दिशाओं को चुनने की आवश्यकता है: आगे, बाएं और ऊपर - और मानसिक रूप से विचार करें, जैसा कि विज्ञान कथा कहानियों में होता है, कि जब आप इनमें से किसी में चलते हैं इन दिशाओं में, काफी लंबा, लेकिन सीमित समय, हम शुरुआती बिंदु पर लौटेंगे, लेकिन विपरीत दिशा से। यह भी "अंतरिक्ष का संघनन" है, लेकिन एक-बिंदु वाला नहीं, जिसका उपयोग पहले एक गोले के निर्माण के लिए किया जाता था, लेकिन अधिक जटिल।

3-टोरस पर गैर-संविदात्मक पथ हैं; उदाहरण के लिए, यह चित्र में खंड AA" है (टोरस पर यह एक बंद पथ को दर्शाता है)। इसे अनुबंधित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि किसी भी निरंतर विरूपण के लिए, बिंदु A और A" को अपने चेहरे के साथ चलना चाहिए, प्रत्येक के बिल्कुल विपरीत रहना चाहिए अन्य (अन्यथा वक्र खुल जाएगा)।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि सरल रूप से जुड़े हुए और गैर-बस जुड़े हुए कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड हैं। पेरेलमैन ने सिद्ध किया कि सरलता से जुड़ा हुआ मैनिफोल्ड बिल्कुल एक ही होता है।

प्रमाण का प्रारंभिक बिंदु तथाकथित "रिक्की प्रवाह" का उपयोग है: हम एक सरल रूप से जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड लेते हैं, इसे एक मनमाना ज्यामिति प्रदान करते हैं (यानी, दूरी और कोणों के साथ कुछ मीट्रिक पेश करते हैं), और फिर विचार करते हैं रिक्की प्रवाह के साथ इसका विकास। रिचर्ड हैमिल्टन, जिन्होंने 1981 में इस विचार को प्रस्तावित किया था, ने आशा व्यक्त की कि इस विकास के साथ हमारा विस्तार एक गोले में बदल जाएगा। यह पता चला कि यह सच नहीं है - त्रि-आयामी मामले में, रिक्की प्रवाह मैनिफोल्ड को खराब करने में सक्षम है, यानी, इसे थोड़ा मैनिफोल्ड बना देता है (एकवचन बिंदुओं के साथ कुछ, जैसा कि प्रतिच्छेदी रेखाओं के उपरोक्त उदाहरण में है)। पेरेलमैन, अविश्वसनीय तकनीकी कठिनाइयों पर काबू पाकर, आंशिक अंतर समीकरणों के भारी उपकरण का उपयोग करके, एकवचन बिंदुओं के पास रिक्की प्रवाह को इस तरह से संशोधित करने में कामयाब रहे कि विकास के दौरान मैनिफोल्ड की टोपोलॉजी नहीं बदलती, कोई एकवचन बिंदु नहीं होते हैं, और में अंत में यह एक गोल गोले में बदल जाता है। लेकिन आख़िरकार यह समझाना ज़रूरी है कि रिक्की का यह प्रवाह क्या है। हैमिल्टन और पेरेलमैन द्वारा उपयोग किए गए प्रवाह एक अमूर्त मैनिफोल्ड पर आंतरिक मीट्रिक में बदलाव को संदर्भित करते हैं, और इसे समझाना काफी कठिन है, इसलिए मैं खुद को एक विमान में एम्बेडेड एक-आयामी मैनिफोल्ड पर "बाहरी" रिक्की प्रवाह का वर्णन करने तक सीमित रखूंगा। .

यूक्लिडियन तल पर एक चिकने बंद वक्र की कल्पना करें, उस पर एक दिशा चुनें और प्रत्येक बिंदु पर इकाई लंबाई के एक स्पर्शरेखा वेक्टर पर विचार करें। फिर, चुनी हुई दिशा में वक्र के चारों ओर घूमने पर, यह वेक्टर कुछ कोणीय वेग के साथ घूमेगा, जिसे वक्रता कहा जाता है। जहां वक्र तीव्र है, वक्रता (निरपेक्ष मान में) अधिक होगी, और जहां यह चिकनी है, वक्रता कम होगी।

वक्रता को सकारात्मक माना जाएगा यदि वेग वेक्टर हमारे वक्र द्वारा दो भागों में विभाजित विमान के आंतरिक भाग की ओर मुड़ता है, और यदि यह बाहर की ओर मुड़ता है तो नकारात्मक माना जाएगा। यह परिपाटी उस दिशा से स्वतंत्र है जिसमें वक्र घूमता है। विभक्ति बिंदुओं पर जहां घूर्णन दिशा बदलता है, वक्रता 0 होगी। उदाहरण के लिए, त्रिज्या 1 के एक वृत्त में 1 की निरंतर सकारात्मक वक्रता होती है (रेडियन में मापा जाता है)।

आइए अब स्पर्शरेखा सदिशों के बारे में भूल जाएं और वक्र के प्रत्येक बिंदु पर, इसके विपरीत, एक लंबवत सदिश संलग्न करें, जो किसी दिए गए बिंदु पर वक्रता की लंबाई के बराबर हो और यदि वक्रता सकारात्मक है तो अंदर की ओर निर्देशित हो, और यदि यह नकारात्मक है तो बाहर की ओर निर्देशित हो। , और फिर हम प्रत्येक बिंदु को उसकी लंबाई के समानुपाती गति से संबंधित वेक्टर की दिशा में जाने के लिए बाध्य करेंगे। यहाँ एक उदाहरण है:

यह पता चला है कि विमान पर कोई भी बंद वक्र ऐसे विकास के दौरान समान तरीके से व्यवहार करता है, यानी, अंततः यह एक चक्र में बदल जाता है। यह रिक्की प्रवाह का उपयोग करते हुए पॉइंकेयर अनुमान के एक-आयामी एनालॉग का प्रमाण है (हालांकि, इस मामले में कथन पहले से ही स्पष्ट है, केवल प्रमाण की विधि यह दर्शाती है कि आयाम 3 में क्या होता है)।

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि पेरेलमैन का तर्क न केवल पोंकारे अनुमान को साबित करता है, बल्कि बहुत अधिक सामान्य थर्स्टन ज्यामितिकरण अनुमान को भी साबित करता है, जो कि एक निश्चित अर्थ मेंसामान्य तौर पर सभी कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड्स की संरचना का वर्णन करता है। लेकिन यह विषय इस प्रारंभिक लेख के दायरे से परे है।

स्थान की कमी के कारण, मैं गैर-उन्मुख मैनिफोल्ड्स के बारे में बात नहीं करूंगा, जिसका एक उदाहरण प्रसिद्ध क्लेन बोतल है - एक सतह जिसे स्व-प्रतिच्छेदन के बिना किसी स्थान में एम्बेड नहीं किया जा सकता है।

क्ले इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमेटिक्स ने ग्रिगोरी पेरेलमैन को मिलेनियम पुरस्कार से सम्मानित किया, इस प्रकार आधिकारिक तौर पर एक रूसी गणितज्ञ द्वारा किए गए पोंकारे अनुमान के प्रमाण को सही माना गया। उल्लेखनीय है कि ऐसा करने में संस्थान को अपने ही नियम तोड़ने पड़े - उनके अनुसार, केवल एक लेखक जिसने सहकर्मी-समीक्षित पत्रिकाओं में अपना काम प्रकाशित किया है, वह लगभग दस लाख डॉलर प्राप्त करने का दावा कर सकता है, यह ठीक उसी का आकार है इनाम। ग्रिगोरी पेरेलमैन का काम कभी भी औपचारिक रूप से प्रकाश में नहीं आया - यह arXiv.org वेबसाइट (एक, दो और तीन) पर कई प्रीप्रिंट्स के सेट के रूप में बना रहा। हालाँकि, यह इतना महत्वपूर्ण नहीं है कि संस्थान के निर्णय का कारण क्या था - मिलेनियम पुरस्कार का पुरस्कार 100 से अधिक वर्षों के इतिहास को समाप्त कर देता है।

मग, डोनट और कुछ टोपोलॉजी

यह जानने से पहले कि पोंकारे अनुमान क्या है, यह समझना आवश्यक है कि गणित की किस प्रकार की शाखा - टोपोलॉजी - जिससे यह परिकल्पना संबंधित है। मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी उन सतहों के गुणों से संबंधित है जो कुछ विकृतियों के तहत नहीं बदलते हैं। चलिए एक क्लासिक उदाहरण से समझाते हैं. मान लीजिए कि पाठक के सामने एक डोनट और एक खाली कप है। ज्यामिति और सामान्य ज्ञान के दृष्टिकोण से, ये अलग-अलग वस्तुएं हैं, यदि केवल इसलिए कि आप अपनी पूरी इच्छा के साथ डोनट से कॉफी नहीं पी पाएंगे।

हालाँकि, टोपोलॉजिस्ट कहेगा कि कप और डोनट एक ही चीज़ हैं। और वह इसे इस तरह समझाएंगे: कल्पना करें कि एक कप और एक डोनट ऐसी सतहें हैं जो अंदर से खोखली हैं, जो एक बहुत ही लोचदार सामग्री से बनी हैं (एक गणितज्ञ कहेगा कि कॉम्पैक्ट द्वि-आयामी मैनिफोल्ड्स की एक जोड़ी है)। आइए एक सट्टा प्रयोग करें: पहले हम कप के निचले हिस्से को फुलाएंगे, और फिर उसके हैंडल को, जिसके बाद यह एक टोरस में बदल जाएगा (इसे गणितीय रूप से डोनट आकार कहा जाता है)। आप देख सकते हैं कि यह प्रक्रिया कैसी दिखती है।

बेशक, एक जिज्ञासु पाठक का सवाल है: चूंकि सतहों पर झुर्रियां पड़ सकती हैं, तो उन्हें कैसे अलग किया जा सकता है? आखिरकार, उदाहरण के लिए, यह सहज रूप से स्पष्ट है - कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप टोरस की कल्पना कैसे करते हैं, आप अंतराल और ग्लूइंग के बिना इससे एक गोला नहीं प्राप्त कर सकते हैं। यहां तथाकथित अपरिवर्तनीय खेल में आते हैं - सतह की विशेषताएं जो विरूपण के तहत नहीं बदलती हैं - पोंकारे परिकल्पना के निर्माण के लिए आवश्यक अवधारणा।

सामान्य ज्ञान हमें बताता है कि एक छेद एक टोरस को एक गोले से अलग करता है। हालाँकि, एक छेद गणितीय अवधारणा से बहुत दूर है, इसलिए इसे औपचारिक बनाने की आवश्यकता है। यह निम्नानुसार किया जाता है - कल्पना करें कि हमारी सतह पर एक बहुत पतला लोचदार धागा है जो एक लूप बनाता है (इस सट्टा प्रयोग में, पिछले एक के विपरीत, हम सतह को ही ठोस मानते हैं)। हम लूप को सतह से बिना तोड़े और बिना तोड़े चलाएंगे। यदि धागे को बहुत छोटे वृत्त (लगभग एक बिंदु) तक संकुचित किया जा सकता है, तो लूप को संकुचन योग्य कहा जाता है। अन्यथा, लूप को गैर-वापस लेने योग्य कहा जाता है।

टोरस के मूल समूह को n 1 (T 2) द्वारा दर्शाया जाता है। क्योंकि यह गैर-तुच्छ है, माउस की भुजाएं एक गैर-वापस लेने योग्य लूप बनाती हैं। जानवर के चेहरे पर छाई उदासी इसी बात के अहसास का नतीजा है.

इसलिए, यह देखना आसान है कि गोले पर कोई भी लूप सिकुड़ने योग्य है (आप देख सकते हैं कि यह लगभग कैसा दिखता है), लेकिन टोरस के लिए यह अब मामला नहीं है: एक डोनट पर दो लूप होते हैं - एक को पिरोया जाता है एक छेद, और दूसरा "परिधि के साथ" छेद को बायपास करता है, - जिसे खींचा नहीं जा सकता। इस चित्र में, गैर-संकुचित लूपों के उदाहरण लाल रंग में दिखाए गए हैं बैंगनीक्रमश। जब सतह पर लूप होते हैं, तो गणितज्ञ कहते हैं कि "विविधता का मूल समूह गैर-तुच्छ है", और यदि ऐसे कोई लूप नहीं हैं, तो यह तुच्छ है।

अब, पोइंकेरे अनुमान को ईमानदारी से तैयार करने के लिए, जिज्ञासु पाठक को थोड़ा और धैर्य रखना होगा: हमें यह पता लगाने की आवश्यकता है कि सामान्य रूप से त्रि-आयामी विविधता और विशेष रूप से त्रि-आयामी क्षेत्र क्या हैं।

आइए एक क्षण के लिए उन सतहों पर वापस जाएँ जिनकी हमने ऊपर चर्चा की थी। उनमें से प्रत्येक को इतने छोटे टुकड़ों में काटा जा सकता है कि प्रत्येक लगभग विमान के टुकड़े जैसा होगा। चूँकि समतल में केवल दो आयाम होते हैं, इसलिए मैनिफोल्ड को भी द्वि-आयामी कहा जाता है। त्रि-आयामी मैनिफोल्ड एक सतह है जिसे छोटे टुकड़ों में काटा जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष के टुकड़े के समान होता है।

अध्यक्ष" अभिनेता"परिकल्पना एक त्रि-आयामी क्षेत्र है। अपना दिमाग खोए बिना चार-आयामी अंतरिक्ष में एक साधारण क्षेत्र के एनालॉग के रूप में त्रि-आयामी क्षेत्र की कल्पना करना संभवतः असंभव है। हालांकि, इस वस्तु का वर्णन करना काफी आसान है, इसलिए बोलें, "भागों में" बहुत आसानी से। हर कोई जिसने ग्लोब देखा है, वह जानता है कि एक साधारण गोले को उत्तर से एक साथ चिपकाया जा सकता है और दक्षिणी गोलार्द्धभूमध्य रेखा के साथ. तो, एक गोले के साथ दो गेंदों (उत्तरी और दक्षिणी) से एक त्रि-आयामी क्षेत्र को एक साथ चिपकाया जाता है, जो भूमध्य रेखा का एक एनालॉग है।

त्रि-आयामी मैनिफोल्ड्स पर, उन्हीं लूपों पर विचार किया जा सकता है जिन्हें हमने सामान्य सतहों पर लिया था। तो, पोंकारे अनुमान कहता है: "यदि त्रि-आयामी मैनिफोल्ड का मूल समूह तुच्छ है, तो यह एक गोले के लिए होमियोमॉर्फिक है।" अनौपचारिक भाषा में अनुवादित समझ से बाहर वाक्यांश "होमियोमोर्फिक टू ए स्फेयर" का अर्थ है कि सतह को एक गोले में विकृत किया जा सकता है।

इतिहास का हिस्सा

सामान्यतया, गणित में बड़ी संख्या में जटिल कथन तैयार करना संभव है। हालाँकि, कौन सी चीज़ इस या उस परिकल्पना को महान बनाती है, इसे बाकियों से अलग करती है? अजीब बात है, लेकिन महान परिकल्पना बड़ी संख्या में गलत प्रमाणों से अलग होती है, जिनमें से प्रत्येक में एक बड़ी त्रुटि होती है - अशुद्धि, जो अक्सर गणित के एक पूरे नए खंड के उद्भव की ओर ले जाती है।

तो, शुरू में हेनरी पोंकारे, जो अन्य बातों के अलावा, शानदार गलतियाँ करने की क्षमता से प्रतिष्ठित थे, ने परिकल्पना को हमारे द्वारा ऊपर लिखे गए से थोड़े अलग रूप में तैयार किया। कुछ समय बाद, उन्होंने अपने दावे का एक प्रति-उदाहरण दिया, जिसे होमोलॉजिकल पोंकारे 3-स्फीयर के रूप में जाना गया, और 1904 में पहले से ही एक अनुमान तैयार किया आधुनिक रूप. वैसे, हाल ही में, वैज्ञानिकों ने खगोल भौतिकी में क्षेत्र को अनुकूलित किया - यह पता चला कि ब्रह्मांड एक समरूप पोंकारे 3-गोलाकार हो सकता है।

यह कहा जाना चाहिए कि इस परिकल्पना ने साथी जियोमीटरों के बीच ज्यादा उत्साह पैदा नहीं किया। 1934 तक ऐसा ही था, जब ब्रिटिश गणितज्ञ जॉन हेनरी व्हाइटहेड ने परिकल्पना के प्रमाण का अपना संस्करण प्रस्तुत किया। हालाँकि, बहुत जल्द ही, उन्हें स्वयं तर्क में एक त्रुटि मिली, जिसके कारण बाद में व्हाइटहेड मैनिफोल्ड्स का पूरा सिद्धांत सामने आया।

उसके बाद एक अत्यंत कठिन कार्य की महिमा धीरे-धीरे परिकल्पना में समा गई। कई महान गणितज्ञों ने इसे तूल देने की कोशिश की। उदाहरण के लिए, अमेरिकी आर.एच.बिंग, एक गणितज्ञ जिसने (बिल्कुल आधिकारिक तौर पर) दस्तावेजों में नाम के बजाय शुरुआती अक्षर लिखे थे। उन्होंने इस प्रक्रिया के दौरान अपना स्वयं का बयान तैयार करते हुए, परिकल्पना को साबित करने के कई असफल प्रयास किए - तथाकथित "संपत्ति पी अनुमान" (संपत्ति पी अनुमान)। उल्लेखनीय है कि यह कथन, जिसे बिंग ने मध्यवर्ती माना था, पोंकारे अनुमान के प्रमाण की तुलना में लगभग अधिक जटिल निकला।

ऐसे वैज्ञानिक और लोग भी थे जिन्होंने इसे साबित करने के लिए अपनी जान दे दी गणितीय तथ्य. उदाहरण के लिए, ग्रीक मूल के प्रसिद्ध गणितज्ञ क्रिस्टोस पापाकिरियाकोपोलोस। दस वर्षों से अधिक समय तक, प्रिंसटन में काम करते हुए, उन्होंने अनुमान को सिद्ध करने का असफल प्रयास किया। 1976 में कैंसर से उनकी मृत्यु हो गई।

यह उल्लेखनीय है कि तीन से ऊपर के आयामों के कई गुनाओं के लिए पोंकारे अनुमान का सामान्यीकरण मूल की तुलना में काफी सरल निकला - अतिरिक्त आयामों ने कई गुनाओं में हेरफेर करना आसान बना दिया। इस प्रकार, एन-आयामी मैनिफोल्ड्स के लिए (जब एन कम से कम 5 है), अनुमान 1961 में स्टीफन स्माले द्वारा सिद्ध किया गया था। n = 4 के लिए, अनुमान को 1982 में माइकल फ्रीडमैन द्वारा स्माले से पूरी तरह से अलग विधि से सिद्ध किया गया था। अपने प्रमाण के लिए, बाद वाले को फील्ड्स मेडल प्राप्त हुआ - सर्वोच्च पुरस्कारगणितज्ञों के लिए.

वर्णित कार्य दूर हैं पूरी सूचीएक शताब्दी से अधिक की परिकल्पनाओं को हल करने का प्रयास। और यद्यपि प्रत्येक कार्य ने गणित में एक संपूर्ण दिशा का उदय किया और इस अर्थ में इसे सफल और महत्वपूर्ण माना जा सकता है, केवल रूसी ग्रिगोरी पेरेलमैन ही अंततः पोंकारे अनुमान को साबित करने में कामयाब रहे।

पेरेलमैन और सबूत

1992 में, ग्रिगोरी पेरेलमैन, जो उस समय गणितीय संस्थान के कर्मचारी थे। स्टेकलोव, रिचर्ड हैमिल्टन के व्याख्यान में पहुंचे। अमेरिकी गणितज्ञ ने रिक्की प्रवाह के बारे में बात की - थर्स्टन के ज्यामितीयकरण अनुमान का अध्ययन करने के लिए एक नया उपकरण - एक तथ्य जिससे पोंकारे अनुमान एक सरल परिणाम के रूप में प्राप्त हुआ था। गर्मी हस्तांतरण समीकरणों के अनुरूप एक अर्थ में निर्मित ये प्रवाह, समय के साथ सतहों को उसी तरह विकृत कर देते हैं जैसे हमने इस लेख की शुरुआत में दो-आयामी सतहों को विकृत कर दिया था। यह पता चला कि कुछ मामलों में ऐसी विकृति का परिणाम एक ऐसी वस्तु थी जिसकी संरचना को समझना आसान है। मुख्य कठिनाई यह थी कि विरूपण के दौरान, अनंत वक्रता वाली विलक्षणताएँ उत्पन्न हुईं, जो कुछ अर्थों में खगोल भौतिकी में ब्लैक होल के समान थीं।

व्याख्यान के बाद, पेरेलमैन ने हैमिल्टन से संपर्क किया। बाद में उन्होंने कहा कि रिचर्ड ने उन्हें सुखद आश्चर्यचकित किया: "वह मुस्कुराए और बहुत धैर्यवान थे। उन्होंने मुझे कुछ तथ्य भी बताए जो कुछ साल बाद ही प्रकाशित हुए थे। उन्होंने बिना किसी हिचकिचाहट के ऐसा किया। उनके खुलेपन और दयालुता ने मुझे आश्चर्यचकित कर दिया। मैं नहीं कह सकता अधिकांश आधुनिक गणितज्ञ इसी तरह व्यवहार करते हैं।"

संयुक्त राज्य अमेरिका की यात्रा के बाद, पेरेलमैन रूस लौट आए, जहां उन्होंने गुप्त रूप से रिक्की प्रवाह की विलक्षणताओं की समस्या को हल करने और ज्यामितीयकरण परिकल्पना (और पोंकारे परिकल्पना पर बिल्कुल नहीं) को साबित करने पर काम करना शुरू किया। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि 11 नवंबर, 2002 को पेरेलमैन की पहली प्रीप्रिंट की उपस्थिति ने गणितीय समुदाय को चौंका दिया। कुछ समय बाद, कुछ और रचनाएँ सामने आईं।

उसके बाद, पेरेलमैन साक्ष्य की चर्चा से हट गए और यहां तक कि, वे कहते हैं, गणित करना भी बंद कर दिया। 2006 में भी जब उन्हें गणितज्ञों के लिए सबसे प्रतिष्ठित पुरस्कार फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया, तब भी उन्होंने अपनी एकान्त जीवन शैली को बाधित नहीं किया। लेखक के इस व्यवहार के कारणों पर चर्चा करने का कोई मतलब नहीं है - एक प्रतिभा को अजीब व्यवहार करने का अधिकार है (उदाहरण के लिए, अमेरिका में रहते हुए, पेरेलमैन ने अपने नाखून नहीं काटे, जिससे उन्हें स्वतंत्र रूप से बढ़ने की अनुमति मिली)।

जो भी हो, पेरेलमैन के प्रमाण ने अपना जीवन बना लिया: तीन पूर्व-मुद्रणों ने आधुनिक गणितज्ञों को परेशान किया। रूसी गणितज्ञ के विचारों के परीक्षण का पहला परिणाम 2006 में सामने आया - मिशिगन विश्वविद्यालय के प्रमुख जियोमीटर ब्रूस क्लेनर और जॉन लोट ने एक प्रीप्रिंट प्रकाशित किया अपना काम, आकार में एक किताब की तरह - 213 पृष्ठ। इस कार्य में, वैज्ञानिकों ने पेरेलमैन की सभी गणनाओं की सावधानीपूर्वक जाँच की, विभिन्न कथनों के बारे में विस्तार से बताया जो केवल रूसी गणितज्ञ के कार्य में संक्षेप में इंगित किए गए थे। शोधकर्ताओं का निर्णय स्पष्ट था: सबूत बिल्कुल सही हैं।

इसी साल जुलाई में इस कहानी में एक अप्रत्याशित मोड़ आया. जर्नल में गणित के एशियाई जर्नलचीनी गणितज्ञों ज़िपिंग झू और हुआइदोंग काओ का एक लेख "थर्स्टन जियोमेट्रिज़ेशन अनुमान और पोंकारे अनुमान का एक पूर्ण प्रमाण" शीर्षक से प्रकाशित हुआ। इस कार्य के ढांचे के भीतर, पेरेलमैन के परिणामों को महत्वपूर्ण, उपयोगी, लेकिन केवल मध्यवर्ती माना गया। यह कामपश्चिम में विशेषज्ञों को आश्चर्य हुआ, लेकिन पूर्व में इसे बहुत अनुकूल समीक्षाएँ मिलीं। विशेष रूप से, परिणामों को कैलाबी-याउ सिद्धांत के संस्थापकों में से एक शिंटन याउ ने समर्थन दिया, जिसने स्ट्रिंग सिद्धांत की नींव रखी - साथ ही काओ और जू के शिक्षक भी। एक सुखद संयोग से, यॉ ही पत्रिका के प्रधान संपादक थे। गणित के एशियाई जर्नलजिसमें काम प्रकाशित किया गया था।

उसके बाद, गणितज्ञ ने चीनी गणितज्ञों की उपलब्धियों के बारे में बात करते हुए, लोकप्रिय व्याख्यानों के साथ दुनिया भर में यात्रा करना शुरू किया। परिणामस्वरूप, यह खतरा पैदा हो गया कि बहुत जल्द पेरेलमैन और यहां तक कि हैमिल्टन के नतीजे भी पृष्ठभूमि में चले जायेंगे। गणित के इतिहास में ऐसा एक से अधिक बार हुआ है - विशिष्ट गणितज्ञों के नाम वाले कई प्रमेयों का आविष्कार पूरी तरह से अलग-अलग लोगों द्वारा किया गया था।

लेकिन, ऐसा नहीं हुआ और शायद अब भी नहीं होगा. पेरेलमैन को क्ले अवार्ड की प्रस्तुति (भले ही उन्होंने मना कर दिया हो) हमेशा के लिए पक्की हो गई सार्वजनिक चेतनातथ्य: रूसी गणितज्ञ ग्रिगोरी पेरेलमैन ने पोंकारे अनुमान को सिद्ध किया। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वास्तव में उन्होंने रिक्की प्रवाह की विलक्षणताओं का एक बिल्कुल नया सिद्धांत विकसित करते हुए एक अधिक सामान्य तथ्य साबित किया। फिर भी। पुरस्कार को एक नायक मिल गया है.

फोटो एन. चेतवेरिकोवा द्वारा शुद्ध गणित की अंतिम महान उपलब्धि को पोंकारे अनुमान का प्रमाण कहा जाता है, जिसे 1904 में व्यक्त किया गया था और कहा गया था: "हर जुड़ा हुआ, बस जुड़ा हुआ, सीमा के बिना कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी मैनिफोल्ड क्षेत्र एस 3 के लिए होमोमोर्फिक है" 2002-2003 में सेंट पीटर्सबर्ग से ग्रिगोरी पेरेलमैन।

इस वाक्यांश में कई शब्द हैं, जिन्हें मैं इस तरह से समझाने की कोशिश करूंगा कि उनका सामान्य अर्थ गैर-गणितज्ञों के लिए स्पष्ट हो जाए (मेरा मानना है कि पाठक ने हाई स्कूल से स्नातक किया है और अभी भी स्कूली गणित से कुछ याद है)।

मग और बैगेल के क्लासिक उदाहरण का उपयोग करके मुख्य विचार को समझाना सबसे आसान है। पहले को निरंतर विरूपण द्वारा दूसरे में बदला जा सकता है: ये आंकड़े स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि मग डोनट के लिए होमियोमॉर्फिक है, और यह तथ्य उनकी सतहों (द्वि-आयामी मैनिफोल्ड्स, जिन्हें टोरस कहा जाता है) और भरे हुए निकायों दोनों के लिए सच है। सीमा के साथ त्रि-आयामी मैनिफोल्ड्स)।

आइए हम परिकल्पना के निर्माण में आने वाले बाकी शब्दों की व्याख्या करें।

1. बिना सीमा के त्रि-आयामी मैनिफोल्ड।यह एक ऐसी ज्यामितीय वस्तु है, जिसके प्रत्येक बिंदु पर त्रि-आयामी गेंद के रूप में एक पड़ोस होता है। 3-मैनिफोल्ड के उदाहरण हैं, सबसे पहले, संपूर्ण त्रि-आयामी स्थान, जिसे आर 3 द्वारा दर्शाया गया है, साथ ही आर 3 में बिंदुओं का कोई भी खुला सेट, उदाहरण के लिए, एक ठोस टोरस (डोनट) का आंतरिक भाग। यदि हम एक बंद ठोस टोरस पर विचार करते हैं, यानी, इसके सीमा बिंदु (टोरस की सतह) जोड़ते हैं, तो हमें पहले से ही सीमा के साथ कई गुना मिलता है - सीमा बिंदुओं में गेंद के रूप में पड़ोस नहीं होते हैं, बल्कि केवल रूप में होते हैं गेंद के आधे भाग का.

2. जुड़ा हुआ.यहां कनेक्टिविटी की अवधारणा सबसे सरल है। एक मैनिफ़ोल्ड तब जुड़ा होता है जब इसमें एक टुकड़ा होता है, या, कुछ समान, इसके किन्हीं दो बिंदुओं को एक सतत रेखा से जोड़ा जा सकता है जो इसकी सीमा से आगे नहीं जाती है।

3. बस जुड़ा हुआ.एकल-जुड़ेपन की धारणा अधिक जटिल है। इसका मतलब है कि किसी दिए गए मैनिफोल्ड के भीतर पूरी तरह से स्थित किसी भी निरंतर बंद वक्र को इस मैनिफोल्ड को छोड़े बिना एक बिंदु पर आसानी से अनुबंधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आर 3 में एक साधारण द्वि-आयामी क्षेत्र बस जुड़ा हुआ है (एक लोचदार बैंड, मनमाने ढंग से एक सेब की सतह से जुड़ा हुआ है, सेब से लोचदार बैंड को फाड़े बिना एक बिंदु पर एक चिकनी विरूपण द्वारा अनुबंधित किया जा सकता है)। दूसरी ओर, वृत्त और टोरस केवल जुड़े हुए नहीं हैं।

4. सघन.एक मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट होता है यदि उसकी किसी होमियोमोर्फिक छवि में सीमित आयाम हों। उदाहरण के लिए, एक रेखा पर एक खुला अंतराल (इसके सिरों को छोड़कर एक खंड के सभी बिंदु) कॉम्पैक्ट नहीं है, क्योंकि इसे लगातार एक अनंत रेखा तक बढ़ाया जा सकता है। लेकिन एक बंद खंड (सिरों के साथ) एक सीमा के साथ एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है: किसी भी निरंतर विरूपण के लिए, छोर कुछ विशिष्ट बिंदुओं पर जाते हैं, और पूरे खंड को इन बिंदुओं को जोड़ने वाले एक बंधे हुए वक्र में जाना चाहिए।

आयाममैनिफोल्ड उस बिंदु पर स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है जो उस पर "जीवित" है। प्रत्येक बिंदु में संबंधित आयाम की डिस्क के रूप में एक पड़ोस होता है, यानी, एक-आयामी मामले में एक रेखा का अंतराल, दो-आयामी मामले में विमान पर एक चक्र, त्रि-आयामी मामले में एक गेंद , आदि। टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से, सीमा के बिना केवल दो एक-आयामी जुड़े हुए मैनिफोल्ड हैं: यह रेखा और वृत्त है। इनमें से केवल वृत्त सघन है।

द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट मैनिफ़ोल्ड सर्वविदित हैं। यदि हम केवल विचार करें उन्मुख 1सीमा के बिना कई गुना, फिर टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से वे एक सरल, यद्यपि अनंत, सूची बनाते हैं: और इसी तरह। ऐसा प्रत्येक मैनिफ़ोल्ड एक गोले से कई हैंडलों को चिपकाकर प्राप्त किया जाता है, जिसकी संख्या को सतह का जीनस कहा जाता है।

1 स्थान की कमी के कारण, मैं गैर-उन्मुख मैनिफोल्ड्स के बारे में बात नहीं करूंगा, जिसका एक उदाहरण प्रसिद्ध क्लेन बोतल है - एक सतह जिसे स्व-प्रतिच्छेदन के बिना किसी स्थान में एम्बेड नहीं किया जा सकता है।

जाहिरा तौर पर, त्रि-आयामी क्षेत्र एस 3 की टोपोलॉजिकल संरचना को समझाने का सबसे सरल तरीका एक-बिंदु संघनन की मदद से है। अर्थात्, त्रि-आयामी क्षेत्र एस 3 सामान्य त्रि-आयामी (अनबाउंड) स्थान आर 3 का एक-बिंदु संघनन है।

आइए पहले इस निर्माण को सरल उदाहरणों से समझाएँ। आइए एक साधारण अनंत सीधी रेखा (अंतरिक्ष का एक-आयामी एनालॉग) लें और इसमें एक "असीम दूर" बिंदु जोड़ें, यह मानते हुए कि जब एक सीधी रेखा के साथ दाएं या बाएं चलते हैं, तो हम अंततः इस बिंदु पर पहुंचते हैं। टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, एक अनंत रेखा और एक बंधे हुए खुले खंड (अंत बिंदु के बिना) के बीच कोई अंतर नहीं है। इस तरह के खंड को चाप के रूप में लगातार मोड़ा जा सकता है, सिरों को एक साथ करीब लाया जा सकता है और जंक्शन में लापता बिंदु को चिपकाया जा सकता है। जाहिर है, हमें एक वृत्त मिलता है - एक गोले का एक आयामी एनालॉग।

इसी प्रकार, यदि मैं एक अनंत तल लेता हूं और अनंत पर एक बिंदु जोड़ता हूं, जिस पर किसी भी दिशा में गुजरने वाली मूल विमान की सभी रेखाएं झुकती हैं, तो हमें एक द्वि-आयामी (साधारण) क्षेत्र एस 2 मिलता है। इस प्रक्रिया को एक स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण का उपयोग करके देखा जा सकता है, जो एन के उत्तरी ध्रुव के अपवाद के साथ, गोले के प्रत्येक बिंदु पी को विमान पी का एक निश्चित बिंदु निर्दिष्ट करता है:

सिद्धांत रूप में, बिल्कुल वही निर्माण त्रि-आयामी क्षेत्र और त्रि-आयामी स्थान पर लागू होता है, केवल इसके कार्यान्वयन के लिए चौथे आयाम में प्रवेश करना आवश्यक है, और इसे चित्र पर चित्रित करना इतना आसान नहीं है। इसलिए, मैं खुद को अंतरिक्ष आर 3 के एक-बिंदु संघनन के मौखिक विवरण तक ही सीमित रखता हूं।

यहां बताया गया है कि इसे कैसे समझा जा सकता है। आइए टोरस को हमेशा की तरह, एक गोल डोनट के रूप में आर 3 में एम्बेड करें, और एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें - इस डोनट के रोटेशन की धुरी। अक्ष के माध्यम से एक मनमाना विमान बनाएं, यह हमारे ठोस टोरस को चित्र में हरे रंग में दिखाए गए दो वृत्तों के साथ काटेगा, और विमान का अतिरिक्त भाग लाल वृत्तों के एक सतत परिवार में विभाजित है। उनमें से केंद्रीय अक्ष है, जिसे बोल्डर में हाइलाइट किया गया है, क्योंकि गोले S 3 में रेखा एक वृत्त में बंद हो जाती है। इस द्वि-आयामी चित्र को एक अक्ष के चारों ओर घुमाकर त्रि-आयामी चित्र प्राप्त किया जाता है। फिर घुमाए गए वृत्तों का एक पूरा सेट एक त्रि-आयामी शरीर को भर देगा, एक ठोस टोरस के लिए होमोमोर्फिक, जो केवल असामान्य लगेगा।

इसके तीन जोड़े हैं: बाएँ और दाएँ, ऊपर और नीचे, आगे और पीछे। समानांतर चेहरों की प्रत्येक जोड़ी में, हम घन के किनारे के साथ स्थानांतरित करके एक दूसरे से प्राप्त बिंदुओं को जोड़े में पहचानते हैं। अर्थात्, हम मान लेंगे (विशुद्ध रूप से, भौतिक विकृतियों को लागू किए बिना) कि, उदाहरण के लिए, ए और ए "एक ही बिंदु हैं, और बी और बी" भी एक बिंदु हैं, लेकिन बिंदु ए से अलग हैं। के सभी आंतरिक बिंदु घन हम हमेशा की तरह विचार करेंगे। घन स्वयं एक किनारे के साथ कई गुना है, लेकिन चिपकाने के बाद, किनारा अपने आप बंद हो जाता है और गायब हो जाता है। दरअसल, घन में बिंदु ए और ए" के पड़ोस (वे बाएं और दाएं छायांकित चेहरों पर स्थित हैं) गेंदों के आधे हिस्से हैं, जो चेहरों को एक साथ चिपकाने के बाद, एक पूरी गेंद में विलीन हो जाते हैं, जो एक के रूप में कार्य करता है त्रि-आयामी टोरस के संगत बिंदु का पड़ोस।

भौतिक स्थान के बारे में सामान्य विचारों के आधार पर 3-टोरस की संरचना को महसूस करने के लिए, आपको तीन परस्पर लंबवत दिशाओं को चुनने की आवश्यकता है: आगे, बाएँ और ऊपर - और मानसिक रूप से विचार करें, जैसा कि विज्ञान कथा कहानियों में होता है, कि इनमें से किसी में चलते समय इन दिशाओं में, काफी लंबा, लेकिन सीमित समय, हम शुरुआती बिंदु पर लौटेंगे, लेकिन विपरीत दिशा से। यह भी "अंतरिक्ष का संघनन" है, लेकिन एक-बिंदु वाला नहीं, जिसका उपयोग पहले एक गोले के निर्माण के लिए किया जाता था, लेकिन अधिक जटिल.

प्रमाण का प्रारंभिक विचार तथाकथित "रिक्की प्रवाह" का उपयोग करना है: हम एक सरल रूप से जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड लेते हैं, इसे एक मनमाना ज्यामिति प्रदान करते हैं (यानी, दूरी और कोणों के साथ कुछ मीट्रिक पेश करते हैं), और फिर रिक्की प्रवाह के साथ इसके विकास पर विचार करें। रिचर्ड हैमिल्टन, जिन्होंने 1981 में इस विचार को प्रस्तावित किया था, ने आशा व्यक्त की कि इस विकास के साथ हमारा विस्तार एक गोले में बदल जाएगा। यह पता चला कि यह सच नहीं है - त्रि-आयामी मामले में, रिक्की प्रवाह मैनिफोल्ड को खराब करने में सक्षम है, यानी, इसे थोड़ा मैनिफोल्ड बना देता है (एकवचन बिंदुओं के साथ कुछ, जैसा कि प्रतिच्छेदी रेखाओं के उपरोक्त उदाहरण में है)। पेरेलमैन, अविश्वसनीय तकनीकी कठिनाइयों पर काबू पाकर, आंशिक अंतर समीकरणों के भारी उपकरण का उपयोग करके, एकवचन बिंदुओं के पास रिक्की प्रवाह को इस तरह से संशोधित करने में कामयाब रहे कि विकास के दौरान मैनिफोल्ड की टोपोलॉजी नहीं बदलती, कोई एकवचन बिंदु नहीं होते हैं, और में अंत में यह एक गोल गोले में बदल जाता है। लेकिन हमें आख़िरकार यह समझाना होगा कि रिक्की का यह प्रवाह क्या है। हैमिल्टन और पेरेलमैन द्वारा उपयोग किए गए प्रवाह एक अमूर्त मैनिफोल्ड पर आंतरिक मीट्रिक में बदलाव को संदर्भित करते हैं, और इसे समझाना काफी कठिन है, इसलिए मैं खुद को एक विमान में एम्बेडेड एक-आयामी मैनिफोल्ड पर "बाहरी" रिक्की प्रवाह का वर्णन करने तक सीमित रखूंगा। .

वक्रता को सकारात्मक माना जाएगा यदि वेग वेक्टर हमारे वक्र द्वारा दो भागों में विभाजित विमान के आंतरिक भाग की ओर मुड़ता है, और यदि यह बाहर की ओर मुड़ता है तो नकारात्मक माना जाएगा। यह परिपाटी इस बात पर निर्भर नहीं करती कि वक्र किस दिशा में घूमता है। विभक्ति बिंदुओं पर जहां घूर्णन दिशा बदलता है, वक्रता 0 होगी। उदाहरण के लिए, त्रिज्या 1 के एक वृत्त में 1 की निरंतर सकारात्मक वक्रता होती है (रेडियन में मापा जाता है)।

यह पता चला है कि विमान में कोई भी बंद वक्र इस तरह के विकास के दौरान समान तरीके से व्यवहार करता है, यानी, अंततः यह एक चक्र में बदल जाता है। यह रिक्की प्रवाह का उपयोग करते हुए पॉइंकेयर अनुमान के एक-आयामी एनालॉग का प्रमाण है (हालांकि, इस मामले में कथन पहले से ही स्पष्ट है, केवल प्रमाण की विधि यह दर्शाती है कि आयाम 3 में क्या होता है)।

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि पेरेलमैन का तर्क न केवल पोंकारे अनुमान को साबित करता है, बल्कि बहुत अधिक सामान्य थर्स्टन ज्यामितिकरण अनुमान को भी साबित करता है, जो एक निश्चित अर्थ में सामान्य रूप से सभी कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड्स की संरचना का वर्णन करता है। लेकिन यह विषय इस प्रारंभिक लेख के दायरे से परे है।

सर्गेई दुज़हिन,
भौतिकी और गणित के डॉक्टर विज्ञान,
वरिष्ठ शोधकर्ता
सेंट पीटर्सबर्ग शाखा
रूसी विज्ञान अकादमी का गणितीय संस्थान

पोंकारे का प्रमेय "ब्रह्मांड" का गणितीय सूत्र है। ग्रिगोरी पेरेलमैन. भाग 1 (श्रृंखला से " असली आदमीविज्ञान के क्षेत्र में")

सबसे महान गणितज्ञों में से एक, हेनरी पॉइंकेरे (1854-1912) ने 1904 में एक विकृत त्रि-आयामी क्षेत्र के प्रसिद्ध विचार को तैयार किया और, एक 65 पेज के लेख के अंत में एक छोटे से सीमांत नोट के रूप में रखा। पूरी तरह से अलग मुद्दा, शब्दों के साथ एक अजीब अनुमान की कुछ पंक्तियाँ लिखीं: "ठीक है, यह प्रश्न हमें बहुत दूर तक ले जा सकता है" ...

ऑक्सफ़ोर्ड विश्वविद्यालय के मार्कस डू सोटोय का मानना है कि पोंकारे का प्रमेय "यह" है केंद्रीय समस्यागणित और भौतिकी, समझने की कोशिश करो कौन सा फॉर्मशायद ब्रह्मांडउसके करीब जाना बहुत कठिन है।"

सप्ताह में एक बार, ग्रिगोरी पेरेलमैन इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी में एक सेमिनार में भाग लेने के लिए प्रिंसटन गए। सेमिनार में, हार्वर्ड विश्वविद्यालय के गणितज्ञों में से एक पेरेलमैन के प्रश्न का उत्तर देता है: "विलियम थर्स्टन (1946-2012, गणितज्ञ, "त्रि-आयामी ज्यामिति और टोपोलॉजी" के क्षेत्र में काम करता है) का सिद्धांत, जिसे ज्यामितीयकरण परिकल्पना कहा जाता है, सभी संभव का वर्णन करता है त्रि-आयामी सतहें और पोंकारे परिकल्पना की तुलना में एक कदम आगे है। यदि आप विलियम थर्स्टन की धारणा को सिद्ध करते हैं, तो पॉइंकेयर अनुमान आपके लिए अपने सभी दरवाजे खोल देगा और भी बहुत कुछ इसका समाधान आधुनिक विज्ञान के संपूर्ण टोपोलॉजिकल परिदृश्य को बदल देगा».

मार्च 2003 में छह प्रमुख अमेरिकी विश्वविद्यालयों ने पेरेलमैन को उनके काम की व्याख्या करने वाले व्याख्यानों की एक श्रृंखला पढ़ने के लिए आमंत्रित किया। अप्रैल 2003 में, पेरेलमैन एक वैज्ञानिक दौरा करते हैं। उनके व्याख्यान एक उत्कृष्ट वैज्ञानिक घटना बन जाते हैं। जॉन बॉल (अंतर्राष्ट्रीय गणितीय संघ के अध्यक्ष), एंड्रयू विल्स (गणितज्ञ, अण्डाकार वक्रों के अंकगणित के क्षेत्र में काम करते हैं, 1994 में फ़र्मेट के प्रमेय को साबित किया), जॉन नैश (गेम सिद्धांत और विभेदक ज्यामिति के क्षेत्र में काम करने वाले गणितज्ञ) आए प्रिंसटन उसे सुनने के लिए.

ग्रिगोरी पेरेलमैन सहस्राब्दी के सात कार्यों में से एक को हल करने में कामयाब रहेऔर गणितीय रूप से वर्णन करेंकहा गया ब्रह्मांड का सूत्र, पोंकारे अनुमान को सिद्ध करने के लिए। प्रतिभाशाली दिमागों ने इस परिकल्पना पर 100 से अधिक वर्षों तक संघर्ष किया, और जिसके प्रमाण के लिए विश्व गणितीय समुदाय (क्ले गणितीय संस्थान) ने 1 मिलियन डॉलर का वादा किया था। इसे 8 जून, 2010 को प्रस्तुत किया गया था। ग्रिगोरी पेरेलमैन इस पर उपस्थित नहीं हुए। , और विश्व गणितीय समुदाय के होश उड़ गए।

2006 में, पोंकारे अनुमान को हल करने के लिए, गणितज्ञ को सर्वोच्च गणितीय पुरस्कार - फील्ड्स पुरस्कार (फील्ड्स मेडल) से सम्मानित किया गया था। जॉन बॉल ने पुरस्कार स्वीकार करने के लिए उन्हें मनाने के लिए व्यक्तिगत रूप से सेंट पीटर्सबर्ग का दौरा किया। उन्होंने इसे इन शब्दों के साथ स्वीकार करने से इनकार कर दिया: "समाज शायद ही मेरे काम का गंभीरता से मूल्यांकन करने में सक्षम है।"

“फील्ड्स पुरस्कार (और पदक) हर 4 साल में एक बार प्रत्येक अंतरराष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस में युवा वैज्ञानिकों (40 वर्ष से कम उम्र) को प्रदान किया जाता है जिन्होंने गणित के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया है। पदक के अलावा, पुरस्कार विजेताओं को 15,000 कनाडाई डॉलर ($13,000) से सम्मानित किया जाता है।

अपने मूल सूत्रीकरण में, पोंकारे अनुमान इस प्रकार है: "सीमा के बिना प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी मैनिफोल्ड एक त्रि-आयामी क्षेत्र के लिए होमियोमॉर्फिक है।" सामान्य भाषा में अनुवादित करें तो इसका मतलब यह है कि किसी भी त्रि-आयामी वस्तु, उदाहरण के लिए एक कांच, को केवल विरूपण द्वारा एक गेंद में बदला जा सकता है, यानी इसे काटने या चिपकाने की आवश्यकता नहीं होगी। दूसरे शब्दों में, पोंकारे ने यह सुझाव दिया अंतरिक्ष त्रि-आयामी नहीं है, लेकिन इसमें बहुत बड़ी संख्या में आयाम शामिल हैं, और पेरेलमैन 100 साल बाद इसे गणितीय रूप से सिद्ध किया.

ग्रिगोरी पेरेलमैन की पदार्थ के किसी अन्य अवस्था, रूप में परिवर्तन पर पोंकारे के प्रमेय की अभिव्यक्ति अनास्तासिया नोविख की पुस्तक "सेंसि IV": सुई" में दिए गए ज्ञान के समान है। साथ ही छठे (7 से 72 समावेशी) से ऊपर के आयामों को नियंत्रित करने से पर्यवेक्षक द्वारा शुरू किए गए परिवर्तनों के माध्यम से भौतिक ब्रह्मांड को नियंत्रित करने की क्षमता (रिपोर्ट "प्राथमिक एलाट्रा भौतिकी" विषय "एज़ोस्मिक ग्रिड")।

ग्रिगोरी पेरेलमैन जीवन की तपस्या, अपने और दूसरों दोनों के लिए नैतिक आवश्यकताओं की गंभीरता से प्रतिष्ठित थे। उसे देखकर ऐसा अहसास होता है कि वो ही है शारीरिक रूप से निवास करता हैअन्य सभी समकालीनों के समान अंतरिक्ष, ए आध्यात्मिक रूप से किसी अन्य में, कहाँ भी $1 मिलियन के लिए मत जाओसबसे "निर्दोष" विवेक से समझौता कर लेता है. और यह कैसी जगह है, और क्या इसे अपनी आंख के कोने से भी देखना संभव है? ..

लगभग एक सदी पहले गणितज्ञ पोंकारे द्वारा सामने रखी गई परिकल्पना का असाधारण महत्व त्रि-आयामी संरचनाओं से संबंधित है और यह है मुख्य तत्वसमसामयिक शोध ब्रह्मांड की नींव. क्ले इंस्टीट्यूट के विशेषज्ञों के अनुसार, यह पहेली भविष्य के गणित के विकास के लिए मूलभूत रूप से महत्वपूर्ण सात में से एक है।

पेरेलमैन, पदकों और पुरस्कारों को अस्वीकार करते हुए पूछते हैं: “मुझे उनकी आवश्यकता क्यों है? वे मेरे लिए बिल्कुल बेकार हैं. हर कोई समझता है कि यदि प्रमाण सही है तो किसी अन्य मान्यता की आवश्यकता नहीं है। जब तक मुझे संदेह नहीं हुआ, मेरे पास या तो इसके निम्न नैतिक स्तर के कारण समग्र रूप से गणितीय समुदाय के विघटन के बारे में ज़ोर से बोलने का विकल्प था, या कुछ भी नहीं कहने और खुद को मवेशियों की तरह व्यवहार करने की अनुमति देने का विकल्प था। अब, जब मैं हद से ज्यादा सशंकित हो गया हूं, तो मैं मवेशी बनकर चुप नहीं रह सकता, इसलिए मैं तो जा ही सकता हूं।

आधुनिक गणित करने के लिए, आपके पास पूरी तरह से शुद्ध दिमाग होना चाहिए, बिना किसी मामूली मिश्रण के जो इसे विघटित करता है, इसे भटकाता है, मूल्यों को प्रतिस्थापित करता है, और इस पुरस्कार को स्वीकार करने का मतलब कमजोरी का प्रदर्शन करना है। आदर्श वैज्ञानिक केवल विज्ञान में लगा रहता है, उसे किसी और चीज (शक्ति और पूंजी) की परवाह नहीं होती है, उसका मन शुद्ध होना चाहिए और पेरेलमैन के लिए इस आदर्श के अनुसार जीने से बड़ा कोई महत्व नहीं है। क्या यह संपूर्ण विचार लाखों लोगों के लिए गणित के लिए उपयोगी है, और क्या एक वास्तविक वैज्ञानिक को ऐसे प्रोत्साहन की आवश्यकता है? और इस दुनिया में सब कुछ खरीदने और अपने अधीन करने की पूंजी की यह इच्छा अपमानजनक नहीं है? या आप बेच सकते हैं इसकी शुद्धतादस लाख के लिए? पैसा चाहे कितना भी हो, बराबर है आत्मा का सत्य? आख़िरकार, हम उन समस्याओं के प्राथमिक मूल्यांकन से निपट रहे हैं जिनका पैसे से कोई लेना-देना नहीं होना चाहिए, है ना?! इन सबको एक लोटो-मिलियन या एक टोटे जैसा कुछ बनाने का मतलब वैज्ञानिकता के विघटन को शामिल करना है, और वास्तव में समग्र रूप से मानव समुदाय(रिपोर्ट "प्राइमोर्डियल अल्लाट्रा फिजिक्स" और पुस्तक "अल्लात्रा" में रचनात्मक समाज के निर्माण के तरीके के बारे में अंतिम 50 पृष्ठ देखें)। और नकद(ऊर्जा), जिसे व्यवसायी विज्ञान को दान करने के लिए तैयार हैं, यदि इसका उपयोग करना आवश्यक है, तो यह सही है, या कुछ और, बिना अपमानित किए सच्ची सेवा की भावना, कोई कुछ भी कहे, एक अमूल्य मौद्रिक समकक्ष: " तुलना में दस लाख क्या है?, पवित्रता या महिमा के साथ वे गोले (वैश्विक ब्रह्मांड के आयामों के बारे में और उसके बारे में आध्यात्मिक दुनियापुस्तक देखें"अल्लात्रा" और रिपोर्ट करें"प्रिमोर्डियल एलाट्रा फिजिक्स"), जिसमें घुसने में असमर्थयहां तक कि इंसान भी कल्पना (मन)?! दस लाख क्या है? तारों से आकाशसमय के लिए?

आइए हम परिकल्पना के निर्माण में आने वाले शेष शब्दों की व्याख्या दें:

टोपोलॉजी - (ग्रीक टोपोस से - स्थान और लोगो - शिक्षण) - गणित की एक शाखा जो आंकड़ों के टोपोलॉजिकल गुणों का अध्ययन करती है, अर्थात। गुण जो विच्छेदन और ग्लूइंग के बिना उत्पन्न किसी भी विकृति के तहत नहीं बदलते हैं (अधिक सटीक रूप से, एक-से-एक और निरंतर मैपिंग के तहत)। आकृतियों के टोपोलॉजिकल गुणों के उदाहरण हैं आयाम, किसी दिए गए क्षेत्र को बांधने वाले वक्रों की संख्या, इत्यादि। तो, एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, एक वर्गाकार समोच्च में समान टोपोलॉजिकल गुण होते हैं इन रेखाओं को ऊपर वर्णित तरीके से एक दूसरे में विकृत किया जा सकता है; एक ही समय में, रिंग और सर्कल में अलग-अलग टोपोलॉजिकल गुण होते हैं: सर्कल एक समोच्च से घिरा होता है, और रिंग दो से घिरा होता है।

होमोमोर्फिज्म (ग्रीक ομοιο - समान, μορφη - आकार) दो टोपोलॉजिकल स्थानों के बीच एक-से-एक पत्राचार है, जिसके तहत इस पत्राचार द्वारा परिभाषित दोनों पारस्परिक रूप से व्युत्क्रम मैपिंग निरंतर हैं। इन मैपिंग को होमियोमोर्फिक या टोपोलॉजिकल मैपिंग कहा जाता है, साथ ही होमोमोर्फिज्म भी कहा जाता है, और कहा जाता है कि रिक्त स्थान एक ही टोपोलॉजिकल प्रकार से संबंधित हैं, जिन्हें होमियोमॉर्फिक या टोपोलॉजिकल रूप से समकक्ष कहा जाता है।

सीमा रहित त्रि-आयामी अनेक गुना। यह एक ऐसी ज्यामितीय वस्तु है, जिसके प्रत्येक बिंदु पर त्रि-आयामी गेंद के रूप में एक पड़ोस होता है। 3-मैनिफोल्ड के उदाहरण हैं, सबसे पहले, संपूर्ण त्रि-आयामी स्थान, जिसे R3 द्वारा दर्शाया गया है, साथ ही R3 में बिंदुओं का कोई भी खुला सेट, उदाहरण के लिए, एक ठोस टोरस (डोनट) का आंतरिक भाग। यदि हम एक बंद ठोस टोरस पर विचार करें, अर्थात्। यदि हम इसके सीमा बिंदुओं (टोरस की सतह) को जोड़ते हैं, तो हमें एक सीमा के साथ कई गुना मिलेगा - सीमा बिंदुओं में गेंद के रूप में पड़ोस नहीं होते हैं, बल्कि केवल गेंद के आधे हिस्से के रूप में होते हैं।

एक ठोस टोरस (ठोस टोरस) एक द्वि-आयामी डिस्क और एक वृत्त D2 * S1 के उत्पाद के लिए एक ज्यामितीय निकाय होमोमोर्फिक है। अनौपचारिक रूप से, एक ठोस टोरस एक डोनट है, जबकि एक टोरस केवल इसकी सतह (पहिया का एक खोखला कक्ष) है।

बस जुड़ा हुआ है. इसका मतलब है कि किसी दिए गए मैनिफोल्ड के भीतर पूरी तरह से स्थित किसी भी निरंतर बंद वक्र को इस मैनिफोल्ड को छोड़े बिना एक बिंदु पर आसानी से अनुबंधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, R3 में एक साधारण द्वि-आयामी क्षेत्र बस जुड़ा हुआ है (एक लोचदार बैंड, मनमाने ढंग से एक सेब की सतह पर लगाया जाता है, सेब से लोचदार बैंड को हटाए बिना एक चिकनी विरूपण द्वारा एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है)। दूसरी ओर, वृत्त और टोरस केवल जुड़े हुए नहीं हैं।

सघन. एक मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट होता है यदि उसकी किसी होमियोमोर्फिक छवि में सीमित आयाम हों। उदाहरण के लिए, एक रेखा पर एक खुला अंतराल (इसके सिरों को छोड़कर एक खंड के सभी बिंदु) कॉम्पैक्ट नहीं है, क्योंकि इसे लगातार एक अनंत रेखा तक बढ़ाया जा सकता है। लेकिन एक बंद खंड (सिरों के साथ) एक सीमा के साथ एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है: किसी भी निरंतर विरूपण के लिए, छोर कुछ विशिष्ट बिंदुओं पर जाते हैं, और पूरे खंड को इन बिंदुओं को जोड़ने वाले एक बंधे हुए वक्र में जाना चाहिए।

करने के लिए जारी...

इल्नाज़ बशारोव

साहित्य:

- ALLATRA इंटरनेशनल पब्लिक मूवमेंट के वैज्ञानिकों के अंतर्राष्ट्रीय समूह की रिपोर्ट "प्राथमिक ALLATRA भौतिकी", संस्करण। अनास्तासिया नोविख, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- एक नए। ए. "अल्लात्रा", के.: अल्लात्रा, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- एक नए। ए., "सेंसि-IV", के.: लोटोस, 2013, 632 पी. http://schambala.com.ua/book/s...

- सर्गेई दुज़हिन, भौतिकी और गणित के डॉक्टर विज्ञान, वरिष्ठ शोधकर्ता, रूसी विज्ञान अकादमी के गणितीय संस्थान की सेंट पीटर्सबर्ग शाखा

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