Pavadinimai aritmetine progresija. Algebra: aritmetinė ir geometrinė progresija

Aritmetika ir geometrinė progresija

Teorinė informacija

Teorinė informacija

	Aritmetinė progresija	Geometrinė progresija
Apibrėžimas	Aritmetinė progresija a n vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, pridėtam tuo pačiu skaičiumi d (d- progresavimo skirtumas)	geometrinė progresija b n vadinama ne nulinių skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus q (q- progreso vardiklis)
Pasikartojanti formulė	Bet kokiam natūraliam n a n + 1 = a n + d	Bet kokiam natūraliam n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
n-ojo termino formulė	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
būdinga savybė
Pirmųjų n narių suma

Užduočių pavyzdžiai su komentarais

1 pratimas

IN aritmetinė progresija (a n) a 1 = -6, a 2

Pagal n-ojo nario formulę:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21d

Pagal sąlygą:

a 1= -6, taigi a 22= -6 + 21d.

Būtina rasti progresavimo skirtumą:

d= a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Atsakymas : a 22 = -48.

2 užduotis

Raskite penktąjį geometrinės progresijos narį: -3; 6;...

1-as būdas (naudojant n terminų formulę)

Pagal geometrinės progresijos n-ojo nario formulę:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Nes b 1 = -3,

2 būdas (naudojant rekursinę formulę)

Kadangi progresijos vardiklis yra -2 (q = -2), tada:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Atsakymas : b 5 = -48.

3 užduotis

Aritmetine progresija ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Raskite septyniasdešimt penktąjį šios progresijos narį.

Aritmetinei progresijai būdinga savybė turi formą .

Todėl:

.

Pakeiskite duomenis formulėje:

Atsakymas: 95.

4 užduotis

Aritmetine progresija ( a n) a n= 3n - 4. Raskite pirmųjų septyniolikos narių sumą.

Norint rasti aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumą, naudojamos dvi formulės:

.

Kurioje Ši byla patogiau naudoti?

Pagal sąlygą yra žinoma pradinės progresijos n-ojo nario formulė ( a n) a n= 3n - 4. Galima rasti iš karto ir a 1, Ir a 16 neradus d . Todėl mes naudojame pirmąją formulę.

Atsakymas: 368.

5 užduotis

Aritmetinėje progresijoje a n) a 1 = -6; a 2= -8. Raskite dvidešimt antrąjį progresavimo terminą.

Pagal n-ojo nario formulę:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Pagal sąlygą, jei a 1= -6, tada a 22= -6 + 21d. Būtina rasti progresavimo skirtumą:

d= a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Atsakymas : a 22 = -48.

6 užduotis

Įrašomi keli iš eilės geometrinės progresijos nariai:

Raskite progresijos terminą, pažymėtą raide x .

Spręsdami naudojame n-ojo nario formulę b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 geometrinei progresijai. Pirmasis progresijos narys. Norėdami rasti progresijos q vardiklį, turite paimti bet kurį iš šių progresijos narių ir padalyti iš ankstesnio. Mūsų pavyzdyje galite paimti ir padalyti iš. Gauname, kad q \u003d 3. Vietoj n formulėje pakeičiame 3, nes reikia rasti trečiąjį tam tikros geometrinės progresijos narį.

Pakeitę rastas reikšmes į formulę, gauname:

.

Atsakymas:.

7 užduotis

Iš aritmetinių progresijų, pateiktų n-ojo nario formule, pasirinkite tą, kurios sąlyga tenkinama a 27 > 9:

Kadangi nurodyta sąlyga turi būti įvykdyta 27 progresijos nariui, kiekvienoje iš keturių progresijų vietoj n pakeičiame 27. 4-oje pakopoje gauname:

.

Atsakymas: 4.

8 užduotis

Aritmetinėje progresijoje a 1= 3, d = -1,5. Nurodykite didžiausia vertė n , kuriai nelygybė a n > -6.

Aritmetinės progresijos problemos egzistavo nuo senų senovės. Jie pasirodė ir reikalavo sprendimo, nes turėjo praktinį poreikį.

Taigi, viename iš papirusų Senovės Egiptas, turinčiame matematinį turinį – Rhindo papirusą (XIX a. pr. Kr.) – yra tokia užduotis: padalinti dešimt duonos matų dešimčiai žmonių, su sąlyga, kad skirtumas tarp jų yra viena aštuntadalis.

O senovės graikų matematiniuose darbuose yra elegantiškų teoremų, susijusių su aritmetine progresija. Taigi Hipsikliai iš Aleksandrijos (II a., sukūręs daug įdomių uždavinių ir keturioliktąją knygą pridėjęs prie Euklido „Elementų“) suformulavo idėją: „Aritmetinėje progresijoje su lyginiu narių skaičiumi II pusės narių suma. daugiau nei suma nariai 1-osios aikštėje 1/2 narių skaičiaus.

Seka an yra pažymėta. Sekos skaičiai vadinami jos nariais ir dažniausiai žymimi raidėmis su indeksais, nurodančiais šio nario eilės numerį (a1, a2, a3 ... skaitykite: „a 1st“, „a 2nd“, „a 3rd“ ir taip toliau).

Seka gali būti begalinė arba baigtinė.

Kas yra aritmetinė progresija? Jis suprantamas kaip gautas pridedant ankstesnį terminą (n) su tuo pačiu skaičiumi d, kuris yra progresijos skirtumas.

Jei d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, tada tokia progresija laikoma didėjančia.

Sakoma, kad aritmetinė progresija yra baigtinė, jei atsižvelgiama tik į keletą pirmųjų jos narių. Esant labai dideliam narių skaičiui, tai jau yra begalinė progresija.

Bet kokia aritmetinė progresija pateikiama pagal šią formulę:

an =kn+b, o b ir k yra kai kurie skaičiai.

Teiginys, kuris yra priešingas, yra visiškai teisingas: jei seka pateikiama panašia formule, tai yra būtent aritmetinė progresija, turinti savybes:

1. Kiekvienas progresijos narys yra ankstesnio ir kito nario aritmetinis vidurkis.
2. Priešingai: jei, pradedant nuo 2-osios, kiekvienas narys yra ankstesnio ir kito nario aritmetinis vidurkis, t.y. jei sąlyga įvykdyta, tai duotoji seka yra aritmetinė progresija. Ši lygybė kartu yra ir progresavimo požymis, todėl dažniausiai vadinama būdinga progresijos savybe.
   Lygiai taip pat teisinga šią savybę atspindinti teorema: seka yra aritmetinė progresija tik tuo atveju, jei ši lygybė teisinga bet kuriam sekos nariui, pradedant nuo 2-osios.

Bet kurių keturių aritmetinės progresijos skaičių būdingą savybę galima išreikšti formule an + am = ak + al, jei n + m = k + l (m, n, k yra progresijos skaičiai).

Aritmetinėje progresijoje bet kurį būtiną (N-ąjį) narį galima rasti taikant šią formulę:

Pavyzdžiui: pirmasis aritmetinės progresijos narys (a1) yra lygus trims, o skirtumas (d) lygus keturiems. Turite rasti keturiasdešimt penktąjį šios progresijos terminą. a45 = 1+4(45-1)=177

Formulė an = ak + d(n - k) leidžia nustatyti n-asis narys aritmetinė progresija per bet kurį k-ąjį narį, jei ji žinoma.

Aritmetinės progresijos narių suma (darant prielaidą, kad galutinės progresijos 1-ieji n nariai) apskaičiuojama taip:

Sn = (a1+an) n/2.

Jei žinomas ir 1-asis terminas, tada skaičiavimui patogu naudoti kitą formulę:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Aritmetinės progresijos, kurią sudaro n narių, suma apskaičiuojama taip:

Skaičiavimų formulių pasirinkimas priklauso nuo užduočių sąlygų ir pradinių duomenų.

Natūralioji bet kokių skaičių, pvz., 1,2,3,...,n,...- paprasčiausias pavyzdys aritmetinė progresija.

Be aritmetinės progresijos, yra ir geometrinė, kuri turi savo savybes ir charakteristikas.

Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos.

Pamokos tikslai:

• mokinių idėjų apie užduotis, sprendžiamas naudojant aritmetinę progresiją, plėtimas ir gilinimas; studentų paieškos veiklos organizavimas išvedant aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę;
• įgūdžių lavinimas savarankiškai įgyti naujų žinių, panaudoti jau įgytas žinias užduočiai pasiekti;
• noro ir poreikio apibendrinti gautus faktus vystymasis, savarankiškumo ugdymas.

Užduotys:

• apibendrinti ir sisteminti turimas žinias tema „Aritmetinė progresija“;
• išvesti formules aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumai apskaičiuoti;
• mokyti gautas formules taikyti sprendžiant įvairius uždavinius;
• atkreipti mokinių dėmesį į skaitinės išraiškos reikšmės radimo tvarką.

Įranga:

• kortelės su užduotimis darbui grupėse ir porose;
• Vertinimo popierius;
• pristatymas„Aritmetinė progresija“.

I. Pagrindinių žinių aktualizavimas.

1. Savarankiškas darbas poromis.

1 variantas:

Apibrėžkite aritmetinę progresiją. Užsirašykite rekursinę formulę, kuri apibrėžia aritmetinę progresiją. Pateikite aritmetinės progresijos pavyzdį ir nurodykite jos skirtumą.

2 variantas:

Užrašykite aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę. Raskite 100-ąjį aritmetinės progresijos narį ( a n}: 2, 5, 8 …
Šiuo metu du mokiniai išvirkščia pusė lentos paruošia atsakymus į tuos pačius klausimus.
Mokiniai vertina partnerio darbą lygindami su lenta. (Įteikiami lapeliai su atsakymais).

2. Žaidimo momentas.

1 pratimas.

Mokytojas. Sugalvojau tam tikrą aritmetinę progresiją. Užduokite man tik du klausimus, kad po atsakymų galėtumėte greitai įvardyti 7-ąjį šios progresijos narį. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Klausimai iš studentų.

1. Koks yra šeštasis progresavimo terminas ir koks skirtumas?
2. Kas yra aštuntas progresijos narys ir koks skirtumas?

Jei klausimų nebėra, mokytojas gali juos paskatinti - „draudimas“ (skirtumas), tai yra, neleidžiama klausti, koks skirtumas. Galite užduoti klausimus: koks yra 6-asis progresijos narys ir koks 8-asis progresijos narys?

2 užduotis.

Ant lentos parašyta 20 skaičių: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Mokytojas stovi nugara į lentą. Mokiniai pasako numerio numerį, o mokytojas iškart skambina pačiu numeriu. Paaiškinkite, kaip aš galiu tai padaryti?

Mokytojas prisimena n-to termino formulę a n \u003d 3n - 2 ir, pakeisdamas nurodytas n reikšmes, suranda atitinkamas reikšmes a n .

II. Ugdymo užduoties išdėstymas.

Siūlau išspręsti seną II tūkstantmečio pr. Kr. problemą, rastą Egipto papirusuose.

Užduotis:„Tebūnie jums pasakyta: padalinkite 10 miežių 10 žmonių, skirtumas tarp kiekvieno žmogaus ir jo kaimyno yra 1/8 masto.

• Kaip ši problema susijusi su aritmetinės progresijos tema? (Kiekvienas kitas žmogus gauna 1/8 priemonės daugiau, todėl skirtumas yra d=1/8, 10 žmonių, taigi n=10.)
• Kaip manote, ką reiškia skaičius 10? (Visų progreso narių suma.)
• Ką dar reikia žinoti, kad miežius būtų lengva ir paprasta skirstyti pagal problemos būklę? (Pirmasis progresavimo terminas.)

Pamokos tikslas- progresijos narių sumos priklausomybės nuo jų skaičiaus, pirmojo nario ir skirtumo gavimas bei patikrinimas, ar senovėje buvo teisingai išspręstas uždavinys.

Prieš išvesdami formulę, pažiūrėkime, kaip senovės egiptiečiai išsprendė problemą.

Ir jie tai išsprendė taip:

1) 10 priemonių: 10 = 1 matas – vidutinė dalis;
2) 1 matas ∙ = 2 matai – padvigubintas vidutinis Dalintis.
padvigubėjo vidutinis dalis yra 5-ojo ir 6-ojo asmens akcijų suma.
3) 2 priemonės – 1/8 priemonės = 1 7/8 priemonės – dvigubai daugiau nei penktojo asmens dalis.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - penktojo dalis; ir pan., galite rasti kiekvieno ankstesnio ir paskesnio asmens dalį.

Gauname seką:

III. Užduoties sprendimas.

1. Darbas grupėse

1 grupė: Raskite 20 iš eilės einančių natūraliųjų skaičių sumą: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Apskritai

II grupė: Raskite natūraliųjų skaičių sumą nuo 1 iki 100 (Legenda apie Mažąjį Gausą).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Išvada:

III grupė: Raskite natūraliųjų skaičių sumą nuo 1 iki 21.

Sprendimas: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Išvada:

IV grupė: Raskite natūraliųjų skaičių sumą nuo 1 iki 101.

Išvada:

Šis nagrinėjamų problemų sprendimo būdas vadinamas „Gausso metodu“.

2. Kiekviena grupė lentoje pateikia problemos sprendimą.

3. Siūlomų savavališkos aritmetinės progresijos sprendinių apibendrinimas:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Šią sumą randame argumentuodami panašiai:

4. Ar išsprendėme užduotį?(Taip.)

IV. Pirminis gautų formulių suvokimas ir taikymas sprendžiant uždavinius.

1. Seno uždavinio sprendimo patikrinimas pagal formulę.

2. Formulės taikymas sprendžiant įvairius uždavinius.

3. Pratimai, skirti gebėjimo taikyti formulę sprendžiant uždavinius formavimui.

A) Nr. 613

Duota :( ir n) - aritmetinė progresija;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Rasti: S 1500

Sprendimas: , ir 1 = 1, ir 1500 = 1500,

B) Duota: ( ir n) - aritmetinė progresija;
(ir n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Rasti: n
Sprendimas:

V. Savarankiškas darbas su abipusiu patikrinimu.

Denisas nuėjo dirbti kurjeriu. Pirmą mėnesį jo atlyginimas buvo 200 rublių, kiekvieną kitą mėnesį jis didėjo po 30 rublių. Kiek jis uždirbo per metus?

Duota :( ir n) - aritmetinė progresija;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Rasti: S 12
Sprendimas:

Atsakymas: Denisas už metus gavo 4380 rublių.

VI. Namų darbų instrukcija.

1. 4.3 p. - išmokti formulės išvedimą.
2. №№ 585, 623 .
3. Sudarykite uždavinį, kuris būtų išspręstas naudojant aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę.

VII. Apibendrinant pamoką.

1. Balų lentelė

2. Tęskite sakinius

• Šiandien klasėje išmokau...
• Išmoktos formulės...
• Aš tikiu tuo …

3. Ar galite rasti skaičių nuo 1 iki 500 sumą? Kokį metodą naudosite šiai problemai išspręsti?

Bibliografija.

1. Algebra, 9 kl. Vadovėlis švietimo įstaigoms. Red. G.V. Dorofejeva. Maskva: Švietimas, 2009 m.

Taip, taip: aritmetinė progresija tau ne žaislas :)

Na, draugai, jei skaitote šį tekstą, tai vidinis dangtelio įrodymas man sako, kad jūs vis dar nežinote, kas yra aritmetinė progresija, bet tikrai (ne, taip: TAIP!) norite žinoti. Todėl nekankinsiu jūsų ilgomis įžangomis ir iškart kibsiu į reikalą.

Norėdami pradėti, pora pavyzdžių. Apsvarstykite keletą skaičių rinkinių:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ką bendro turi visi šie rinkiniai? Iš pirmo žvilgsnio nieko. Bet iš tikrųjų kažkas yra. Būtent: kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi tuo pačiu skaičiumi.

Spręskite patys. Pirmasis rinkinys yra tik iš eilės einantys skaičiai, kurių kiekvienas yra didesnis nei ankstesnis. Antruoju atveju skirtumas tarp gretimų skaičių jau lygus penkiems, tačiau šis skirtumas vis tiek yra pastovus. Trečiuoju atveju apskritai yra šaknys. Tačiau $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tuo tarpu $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.y. Tokiu atveju kiekvienas kitas elementas tiesiog padidėja $\sqrt(2)$ (ir neišsigąskite, kad šis skaičius yra neracionalus).

Taigi: visos tokios sekos tiesiog vadinamos aritmetine progresija. Pateikime griežtą apibrėžimą:

Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas kitas lygiai tiek pat skiriasi nuo ankstesnio, vadinama aritmetine progresija. Pati suma, kuria skiriasi skaičiai, vadinama progresijos skirtumu ir dažniausiai žymima raide $d$.

Žymėjimas: $\left(((a)_(n)) \right)$ yra pati progresija, $d$ yra jos skirtumas.

Ir tik pora svarbių pastabų. Pirma, atsižvelgiama tik į progresą tvarkingas skaičių seka: juos leidžiama skaityti griežtai ta tvarka, kuria jie parašyti – ir nieko daugiau. Negalite pertvarkyti ar sukeisti numerių.

Antra, pati seka gali būti baigtinė arba begalinė. Pavyzdžiui, aibė (1; 2; 3) akivaizdžiai yra baigtinė aritmetinė progresija. Bet jei rašote kažką panašaus į (1; 2; 3; 4; ...) - tai jau yra begalinė progresija. Elipsė po keturių tarsi sufleruoja, kad nemažai skaičių eina toliau. Pavyzdžiui, be galo daug. :)

Taip pat norėčiau pastebėti, kad progresas didėja ir mažėja. Jau matėme didėjančius – tą patį rinkinį (1; 2; 3; 4; ...). Štai mažėjančio progresavimo pavyzdžiai:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

GERAI GERAI: paskutinis pavyzdys gali atrodyti pernelyg sudėtinga. Bet visa kita, manau, jūs suprantate. Todėl pateikiame naujus apibrėžimus:

Apibrėžimas. Aritmetinė progresija vadinama:

1. didėja, jei kiekvienas kitas elementas yra didesnis už ankstesnį;
2. mažėja, jei, atvirkščiai, kiekvienas paskesnis elementas yra mažesnis nei ankstesnis.

Be to, yra taip vadinamos „stacionarios“ sekos – jos susideda iš to paties pasikartojančio skaičiaus. Pavyzdžiui, (3; 3; 3; ...).

Lieka tik vienas klausimas: kaip atskirti didėjančią progresą nuo mažėjančios? Laimei, čia viskas priklauso tik nuo skaičiaus $d$ ženklo, t.y. progresavimo skirtumai:

1. Jei $d \gt 0$, tai progresija didėja;
2. Jei $d \lt 0$, tai progresija akivaizdžiai mažėja;
3. Galiausiai yra atvejis $d=0$ — šiuo atveju visa progresija redukuojama į stacionarią identiškų skaičių seką: (1; 1; 1; 1; ...) ir t.t.

Pabandykime apskaičiuoti skirtumą $d$ trims pirmiau nurodytoms mažėjančioms pakopoms. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kuriuos du gretimus elementus (pavyzdžiui, pirmąjį ir antrąjį) ir atimti iš dešinėje esančio skaičiaus, o iš skaičiaus kairėje. Tai atrodys taip:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kaip matote, visais trimis atvejais skirtumas tikrai buvo neigiamas. Ir dabar, kai daugiau ar mažiau išsiaiškinome apibrėžimus, laikas išsiaiškinti, kaip aprašomos progresijos ir kokios jos savybės.

Progresavimo ir pasikartojimo formulės nariai

Kadangi mūsų sekų elementai negali būti sukeisti, jie gali būti sunumeruoti:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \teisingai\)\]

Atskiri šios aibės elementai vadinami progresijos nariais. Jie nurodomi tokiu būdu skaičiaus pagalba: pirmasis narys, antrasis narys ir pan.

Be to, kaip jau žinome, kaimyniniai progreso nariai yra susieti pagal formulę:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rodyklė dešinėn ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Trumpai tariant, norėdami rasti progresijos $n$-ąjį narį, turite žinoti $n-1$-ąjį narį ir skirtumą $d$. Tokia formulė vadinama pasikartojančia, nes jos pagalba galima rasti bet kokį skaičių, tik žinant ankstesnįjį (o iš tikrųjų – visus ankstesnius). Tai labai nepatogu, todėl yra sudėtingesnė formulė, kuri sumažina bet kokį skaičiavimą iki pirmojo termino ir skirtumo:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Tikriausiai jau esate susidūrę su šia formule. Jie mėgsta tai pateikti visokiose žinynuose ir rešebnikuose. Ir bet kuriame protingame matematikos vadovėlyje jis yra vienas iš pirmųjų.

Tačiau siūlau šiek tiek pasitreniruoti.

Užduotis numeris 1. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius, jei $((a)_(1))=8,d=-5$.

Sprendimas. Taigi, mes žinome pirmąjį terminą $((a)_(1))=8$ ir progresijos skirtumą $d=-5$. Naudokime ką tik pateiktą formulę ir pakeiskime $n=1$, $n=2$ ir $n=3$:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(lygiuoti)\]

Atsakymas: (8; 3; -2)

Tai viskas! Atkreipkite dėmesį, kad mūsų progresas mažėja.

Žinoma, $n=1$ negalėjo būti pakeistas – mes jau žinome pirmąjį terminą. Tačiau pakeitę vienetą įsitikinome, kad mūsų formulė veikia net pirmą kadenciją. Kitais atvejais viskas susivedė į banalią aritmetiką.

Užduotis numeris 2. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos narius, jei jos septintasis narys yra –40, o septynioliktasis – –50.

Sprendimas. Problemos sąlygą rašome įprastomis sąlygomis:

\[((a)_(7)) = -40;\quad ((a)_(17)) = -50.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(lygiuoti) \teisingai.\]

Aš dedu sistemos ženklą, nes šie reikalavimai turi būti įvykdyti vienu metu. Ir dabar pastebime, kad atėmę pirmąją lygtį iš antrosios lygties (turime teisę tai padaryti, nes turime sistemą), gauname štai ką:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(lygiuoti)\]

Kaip tik taip, mes nustatėme progresavimo skirtumą! Lieka pakeisti rastą skaičių bet kurioje iš sistemos lygčių. Pavyzdžiui, pirmajame:

\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1)) = -40 + 6 = -34. \\ \end(matrica)\]

Dabar, žinant pirmąjį terminą ir skirtumą, belieka rasti antrą ir trečią terminus:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(lygiuoti)\]

Pasiruošę! Problema išspręsta.

Atsakymas: (-34; -35; -36)

Atkreipkite dėmesį į keistą progresijos savybę, kurią aptikome: jei paimsime $n$-ąją ir $m$-ąją dalį ir atimsime juos vieną iš kitos, gausime progresijos skirtumą, padaugintą iš skaičiaus $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Paprasta, bet labai naudingą turtą, kurį būtinai turite žinoti – jo pagalba galite žymiai pagreitinti daugelio progresuojančių problemų sprendimą. Štai puikus pavyzdys:

Užduotis numeris 3. Penktasis aritmetinės progresijos narys yra 8,4, o dešimtasis – 14,4. Raskite penkioliktą šios progresijos narį.

Sprendimas. Kadangi $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ir turime rasti $((a)_(15))$, atkreipiame dėmesį į šiuos dalykus:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(lygiuoti)\]

Bet pagal sąlygą $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, taigi $5d=6$, iš kur turime:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(lygiuoti)\]

Atsakymas: 20.4

Tai viskas! Nereikėjo sudaryti jokių lygčių sistemų ir skaičiuoti pirmojo nario bei skirtumo – viskas buvo nuspręsta vos per porą eilučių.

Dabar panagrinėkime kitą problemos tipą – neigiamų ir teigiamų progreso narių paiešką. Ne paslaptis, kad jei progresija didėja, o jos pirmasis terminas yra neigiamas, tai anksčiau ar vėliau joje atsiras teigiami terminai. Ir atvirkščiai: mažėjančios progresijos sąlygos anksčiau ar vėliau taps neigiamos.

Tuo pačiu metu toli gražu ne visada įmanoma rasti šį momentą „ant kaktos“, nuosekliai rūšiuojant elementus. Dažnai uždaviniai yra suplanuoti taip, kad nežinant formulių skaičiavimai užtruktų kelis lapus – tiesiog užmigtume, kol rastume atsakymą. Todėl mes stengsimės šias problemas išspręsti greičiau.

Užduotis numeris 4. Kiek neigiamų narių aritmetinėje progresijoje -38,5; -35,8; …?

Sprendimas. Taigi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, iš kurių iškart randame skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad skirtumas yra teigiamas, todėl progresas didėja. Pirmasis narys yra neigiamas, todėl iš tikrųjų tam tikru momentu mes suklupsime ant teigiamų skaičių. Tik klausimas, kada tai įvyks.

Pabandykime išsiaiškinti: kiek laiko (t. y. iki kokio natūraliojo skaičiaus $n$) išsaugomas terminų negatyvumas:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n)) \lt 0\Rodyklė dešinėn ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rodyklė dešinėn ((n)_(\max ))=15. \\ \end(lygiuoti)\]

Paskutinę eilutę reikia paaiškinti. Taigi žinome, kad $n \lt 15\frac(7)(27)$. Kita vertus, mums tiks tik sveikosios skaičiaus reikšmės (be to: $n\in \mathbb(N)$), todėl didžiausias leistinas skaičius yra būtent $n=15$ ir jokiu būdu ne 16.

Užduotis numeris 5. Aritmetine progresija $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Raskite pirmojo teigiamo šios progresijos nario skaičių.

Tai būtų lygiai tokia pati problema kaip ir ankstesnė, bet mes nežinome $((a)_(1))$. Tačiau kaimyniniai terminai yra žinomi: $((a)_(5))$ ir $((a)_(6))$, todėl galime lengvai rasti progresijos skirtumą:

Be to, pabandykime išreikšti penktą terminą pirmuoju ir skirtumu, naudodami standartinę formulę:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar tęsiame analogiją su ankstesne problema. Sužinome, kuriame mūsų sekos taške atsiras teigiami skaičiai:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rodyklė dešinėn ((n)_(\min ))=56. \\ \end(lygiuoti)\]

Mažiausias sveikasis šios nelygybės sprendimas yra skaičius 56.

Atkreipkite dėmesį: į paskutinė užduotis viskas susivedė į griežtą nelygybę, todėl variantas $n=55$ mums netiks.

Dabar, kai išmokome spręsti paprastas problemas, pereikime prie sudėtingesnių. Bet pirmiausia išmokime dar vieną labai naudingą aritmetinės progresijos savybę, kuri ateityje sutaupys daug laiko ir nevienodų langelių. :)

Aritmetinis vidurkis ir lygios įtraukos

Apsvarstykite kelis iš eilės didėjančios aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius. Pabandykime pažymėti juos skaičių eilutėje:

Aritmetinės progresijos nariai skaičių tiesėje

Aš konkrečiai atkreipiau dėmesį į savavališkus narius $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, o ne bet kokius $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ir kt. Nes taisyklė, kurią dabar jums pasakysiu, galioja bet kokiems „segmentams“.

O taisyklė labai paprasta. Prisiminkime rekursinę formulę ir užrašykite ją visiems pažymėtiems nariams:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(lygiuoti)\]

Tačiau šias lygybes galima perrašyti skirtingai:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(lygiuoti)\]

Na ir kas? Tačiau faktas, kad terminai $((a)_(n-1))$ ir $((a)_(n+1))$ yra tokiu pat atstumu nuo $((a)_(n)) $ . Ir šis atstumas lygus $d$. Tą patį galima pasakyti apie terminus $((a)_(n-2))$ ir $((a)_(n+2))$ – jie taip pat pašalinami iš $((a)_(n) )$ tuo pačiu atstumu, lygiu $2d$. Galite tęsti neribotą laiką, tačiau paveikslėlis gerai iliustruoja prasmę

Progresijos nariai guli tokiu pat atstumu nuo centro

Ką tai reiškia mums? Tai reiškia, kad galite rasti $((a)_(n))$, jei žinomi gretimi skaičiai:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Išvedėme puikų teiginį: kiekvienas aritmetinės progresijos narys yra lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui! Be to, mes galime nukrypti nuo mūsų $((a)_(n))$ į kairę ir į dešinę ne vienu žingsniu, o $k$ žingsniais — ir vis tiek formulė bus teisinga:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. nesunkiai galime rasti $((a)_(150))$, jei žinome $((a)_(100))$ ir $((a)_(200))$, nes $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad šis faktas mums nieko naudingo neduoda. Tačiau praktikoje daugelis užduočių yra specialiai „paaštrintos“ aritmetinio vidurkio vartojimui. Pažiūrėk:

Užduotis numeris 6. Raskite visas $x$ reikšmes taip, kad skaičiai $-6((x)^(2))$, $x+1$ ir $14+4((x)^(2))$ būtų nuoseklūs aritmetinė progresija (nurodyta tvarka).

Sprendimas. Kadangi šie skaičiai yra progresijos nariai, jiems tenkinama aritmetinio vidurkio sąlyga: centrinis elementas $x+1$ gali būti išreikštas gretimais elementais:

\[\begin(lygiuoti) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(lygiuoti)\]

Tai pasirodė klasika kvadratinė lygtis. Jo šaknys: $x=2$ ir $x=-3$ yra atsakymai.

Atsakymas: -3; 2.

Užduotis numeris 7. Raskite $$ reikšmes tokias, kad skaičiai $-1;4-3;(()^(2))+1$ sudarytų aritmetinę progresiją (ta tvarka).

Sprendimas. Vėlgi, vidurinį terminą išreiškiame gretimų terminų aritmetiniu vidurkiu:

\[\begin(lygiuoti) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(lygiuoti)\]

Kita kvadratinė lygtis. Ir vėl dvi šaknys: $x=6$ ir $x=1$.

Atsakymas: 1; 6.

Jei spręsdami problemą gaunate žiaurius skaičius arba nesate visiškai tikri dėl rastų atsakymų teisingumo, tada yra nuostabus triukas, leidžiantis patikrinti: ar teisingai išsprendėme problemą?

Tarkime, 6 uždavinyje gavome atsakymus -3 ir 2. Kaip galime patikrinti, ar šie atsakymai teisingi? Tiesiog prijunkite juos prie pradinės būklės ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Priminsiu, kad turime tris skaičius ($-6(()^(2))$, $+1$ ir $14+4(()^(2))$), kurie turėtų sudaryti aritmetinę progresiją. Pakaitalas $x=-3$:

\[\begin(lygiuoti) & x=-3\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(lygiuoti)\]

Gavome skaičius -54; −2; 50, kurie skiriasi 52, neabejotinai yra aritmetinė progresija. Tas pats atsitinka su $x=2$:

\[\begin(lygiuoti) & x=2\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(lygiuoti)\]

Vėl progresija, bet su 27 skirtumu. Taigi, problema išspręsta teisingai. Norintys antrą užduotį gali pasitikrinti patys, bet iš karto pasakysiu: ir ten viskas teisingai.

Apskritai, spręsdami paskutines užduotis, užkliuvome už kitos įdomus faktas, kurį taip pat reikia atsiminti:

Jei trys skaičiai yra tokie, kad antrasis yra pirmojo ir paskutinio vidurkis, tada šie skaičiai sudaro aritmetinę progresiją.

Ateityje šio teiginio supratimas leis mums tiesiogine to žodžio prasme „sukonstruoti“ reikiamas pažangas pagal problemos būklę. Tačiau prieš įsitraukdami į tokią „konstrukciją“, turėtume atkreipti dėmesį į dar vieną faktą, kuris tiesiogiai išplaukia iš to, kas jau buvo svarstyta.

Elementų grupavimas ir suma

Vėl grįžkime prie skaičių eilutės. Atkreipiame dėmesį į keletą progreso narių, tarp kurių galbūt. verti daug kitų narių:

Skaičių eilutėje pažymėti 6 elementai

Pabandykime „kairę uodegą“ išreikšti $((a)_(n))$ ir $d$, o „dešinę uodegą“ – $((a)_(k))$ ir $ d$. Tai labai paprasta:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar atkreipkite dėmesį, kad šios sumos yra lygios:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(lygiuoti)\]

Paprasčiau tariant, jei laikysime pradžią du progreso elementus, kurie iš viso yra lygūs tam tikram skaičiui $S$, o tada pradedame žingsniuoti nuo šių elementų priešingomis kryptimis (vienas kito link arba atvirkščiai, norėdami tolti), tada elementų sumos, į kurias atsidursime, taip pat bus lygios$S$. Geriausiai tai galima pavaizduoti grafiškai:

Tos pačios įtraukos suteikia vienodas sumas

Supratimas Šis faktas leis mums daugiau išspręsti problemas iš esmės aukštas lygis sudėtingesnis nei aptartas aukščiau. Pavyzdžiui, šie:

Užduotis numeris 8. Nustatykite aritmetinės progresijos skirtumą, kai pirmasis narys yra 66, o antrojo ir dvyliktojo narių sandauga yra mažiausia įmanoma.

Sprendimas. Užsirašykime viską, ką žinome:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(lygiuoti)\]

Taigi, mes nežinome progresijos $d$ skirtumo. Tiesą sakant, visas sprendimas bus sukurtas atsižvelgiant į skirtumą, nes produktas $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ gali būti perrašytas taip:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(lygiuoti)\]

Tiems, kurie yra bake: aš išėmiau bendrą koeficientą 11 iš antrojo laikiklio. Taigi norima sandauga yra kvadratinė funkcija kintamojo $d$ atžvilgiu. Todėl apsvarstykite funkciją $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – jos grafikas bus parabolė su šakomis į viršų, nes jei atidarysime skliaustus, gausime:

\[\begin(lygiuoti) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (lygiuoti)\]

Kaip matote, koeficientas aukščiausiu terminu yra 11 - tai yra teigiamas skaičius, taigi mes iš tikrųjų susiduriame su parabole su šakomis į viršų:

kvadratinės funkcijos grafikas – parabolė

Atkreipkite dėmesį: ši parabolė turi mažiausią vertę savo viršūnėje su abscise $((d)_(0))$. Žinoma, šią abscisę galime apskaičiuoti pagal standartinę schemą (yra formulė $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), bet daug protingiau būtų atkreipkite dėmesį, kad norima viršūnė yra ant parabolės ašies simetrijos, todėl taškas $((d)_(0))$ yra vienodu atstumu nuo lygties $f\left(d \right)=0$ šaknų:

\[\begin(lygiuoti) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(lygiuoti)\]

Todėl skliausteliuose neskubėjau atversti: originalioje formoje šaknis buvo labai labai lengva rasti. Todėl abscisė yra lygi skaičių −66 ir −6 aritmetiniam vidurkiui:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Kas suteikia mums atrastą skaičių? Su juo paima reikiamą produktą mažiausia vertė(Beje, mes neapskaičiavome $((y)_(\min ))$ – to daryti neprivalome). Kartu šis skaičius yra pradinės progresijos skirtumas, t.y. radome atsakymą. :)

Atsakymas: -36

Užduotis numeris 9. Tarp skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac(1)(6)$ įterpkite tris skaičius, kad kartu su nurodytais skaičiais sudarytų aritmetinę progresiją.

Sprendimas. Tiesą sakant, turime sudaryti penkių skaičių seką su pirmuoju ir paskutinis numeris jau žinomas. Trūkstamus skaičius pažymėkite kintamaisiais $x$, $y$ ir $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Atkreipkite dėmesį, kad skaičius $y$ yra mūsų sekos "viduris" – jis yra vienodu atstumu nuo skaičių $x$ ir $z$ bei nuo skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac. (1) (6) $. Ir jei iš skaičių $x$ ir $z$ mes patenkame Šis momentas negalime gauti $y$, tada situacija kitokia su progresijos galais. Prisiminkite aritmetinį vidurkį:

Dabar, žinodami $y$, rasime likusius skaičius. Atminkite, kad $x$ yra tarp $-\frac(1)(2)$ ir $y=-\frac(1)(3)$ ką tik rasta. Štai kodėl

Ginčiuodami panašiai, randame likusį skaičių:

Pasiruošę! Mes radome visus tris skaičius. Užrašykite juos atsakyme tokia tvarka, kokia jie turėtų būti įterpti tarp pradinių skaičių.

Atsakymas: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Užduotis numeris 10. Tarp skaičių 2 ir 42 įterpkite kelis skaičius, kurie kartu su nurodytais skaičiais sudaro aritmetinę progresiją, jei žinoma, kad pirmojo, antrojo ir paskutinio įterptų skaičių suma yra 56.

Sprendimas. Dar sunkesnė užduotis, kuri vis dėlto sprendžiama taip pat, kaip ir ankstesnės – per aritmetinį vidurkį. Problema ta, kad mes tiksliai nežinome, kiek skaičių įterpti. Todėl tikslumui darome prielaidą, kad įterpus bus lygiai $n$ skaičiai, o pirmasis iš jų yra 2, o paskutinis - 42. Šiuo atveju norima aritmetinė progresija gali būti pavaizduota taip:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;(a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+(a)_(3))+(a)_(n-1)) = 56\]

Tačiau atkreipkite dėmesį, kad skaičiai $((a)_(2))$ ir $((a)_(n-1))$ gaunami iš skaičių 2 ir 42, stovinčių kraštuose vienu žingsniu vienas kito link. , t.y. į sekos centrą. O tai reiškia, kad

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Bet tada aukščiau pateiktą išraišką galima perrašyti taip:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+(a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(lygiuoti)\]

Žinodami $((a)_(3))$ ir $((a)_(1))$, galime lengvai rasti progresijos skirtumą:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rodyklė dešinėn d=5. \\ \end(lygiuoti)\]

Belieka tik surasti likusius narius:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(lygiuoti)\]

Taigi, jau 9 žingsniu pateksime į kairįjį sekos galą – skaičių 42. Iš viso reikėjo įterpti tik 7 skaičius: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Atsakymas: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstinės užduotys su progresais

Baigdamas norėčiau apsvarstyti keletą gana paprastų problemų. Na, kaip paprasti: daugumai mokinių, kurie mokykloje mokosi matematikos ir neskaitė to, kas parašyta aukščiau, šios užduotys gali atrodyti kaip gestas. Nepaisant to, būtent tokios užduotys kyla OGE ir USE matematikoje, todėl rekomenduoju su jomis susipažinti.

Užduotis numeris 11. Sausio mėnesį komanda pagamino 62 dalis, o kiekvieną kitą mėnesį pagamino 14 dalių daugiau nei praėjusį. Kiek dalių brigada pagamino lapkritį?

Sprendimas. Akivaizdu, kad dalių skaičius, nudažytas pagal mėnesį, bus didėjanti aritmetinė progresija. Ir:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(lygiuoti)\]

Lapkritis yra 11 metų mėnuo, todėl turime rasti $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Todėl lapkričio mėnesį bus pagamintos 202 dalys.

Užduotis numeris 12. Įrišimo dirbtuvės sausio mėnesį įrišo 216 knygų, o kiekvieną mėnesį įrišo 4 knygomis daugiau nei praėjusį mėnesį. Kiek knygų seminaras įrišo gruodžio mėnesį?

Sprendimas. Visi vienodi:

$\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(lygiuoti)$

Gruodis yra paskutinis, 12 metų mėnuo, todėl ieškome $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Tai yra atsakymas – gruodžio mėnesį bus įrišta 260 knygų.

Na, o jei perskaitėte iki šiol, skubu jus pasveikinti: sėkmingai baigėte „jaunojo kovotojo kursą“ aritmetinėje progresijoje. Galite saugiai eiti į kita pamoka, kur išnagrinėsime progresijos sumos formulę, taip pat svarbias ir labai naudingas jos pasekmes.

Arba aritmetika - tai sutvarkytos skaitinės sekos tipas, kurio savybės tiriamos mokykliniame algebros kurse. Šiame straipsnyje išsamiai aptariamas klausimas, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą.

Kas yra ši progresija?

Prieš pradedant svarstyti klausimą (kaip rasti aritmetinės progresijos sumą), verta suprasti, kas bus aptariama.

Bet kuri realiųjų skaičių seka, gauta pridedant (atimant) tam tikrą reikšmę iš kiekvieno ankstesnio skaičiaus, vadinama algebrine (aritmetine) progresija. Šis apibrėžimas, išverstas į matematikos kalbą, yra toks:

Čia i yra eilutės elemento eilės skaičius a i . Taigi, žinodami tik vieną pradinį skaičių, galite lengvai atkurti visą seriją. Parametras d formulėje vadinamas progresijos skirtumu.

Galima lengvai parodyti, kad nagrinėjamai skaičių serijai galioja ši lygybė:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Tai yra, norėdami rasti n-ojo elemento reikšmę, skirtumą d pridėkite prie pirmojo elemento a 1 n-1 kartą.

Kokia yra aritmetinės progresijos suma: formulė

Prieš pateikiant nurodytos sumos formulę, verta apsvarstyti paprastą ypatinga byla. Atsižvelgdami į natūraliųjų skaičių progresiją nuo 1 iki 10, turite rasti jų sumą. Kadangi progresijoje (10) yra mažai terminų, problemą galima išspręsti tiesiai, ty susumuoti visus elementus iš eilės.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Verta apsvarstyti vieną įdomų dalyką: kadangi kiekvienas terminas skiriasi nuo kito ta pačia reikšme d \u003d 1, tada poromis susumavus pirmąjį su dešimtąja, antrąja su devintu ir tt duos tą patį rezultatą. . Tikrai:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kaip matote, šių sumų yra tik 5, tai yra lygiai du kartus mažiau nei serijos elementų skaičius. Tada sumų skaičių (5) padauginę iš kiekvienos sumos rezultato (11), gausite pirmame pavyzdyje gautą rezultatą.

Jei apibendrinsime šiuos argumentus, galime parašyti tokią išraišką:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ši išraiška rodo, kad visai nebūtina susumuoti visų elementų iš eilės, pakanka žinoti pirmojo a 1 ir paskutinio a n reikšmę, taip pat iš viso terminai n.

Manoma, kad Gaussas pirmą kartą pagalvojo apie šią lygybę, kai ieškojo savo mokyklos mokytojo iškeltos problemos sprendimo: susumuoti pirmuosius 100 sveikųjų skaičių.

Elementų suma nuo m iki n: formulė

Ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė atsako į klausimą, kaip rasti aritmetinės progresijos (pirmųjų elementų) sumą, tačiau dažnai užduotyse reikia sumuoti skaičių seką progresijos viduryje. Kaip tai padaryti?

Lengviausias būdas atsakyti į šį klausimą yra atsižvelgiant į tokį pavyzdį: tegul reikia rasti terminų sumą nuo m iki n. Norint išspręsti problemą, duotas progresijos segmentas nuo m iki n turi būti pavaizduotas kaip nauja skaičių seka. Tokiose atstovavimas m-t terminas a m bus pirmasis, o a n bus sunumeruotas n-(m-1). Tokiu atveju, taikant standartinę sumos formulę, bus gauta tokia išraiška:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formulių naudojimo pavyzdys

Žinant, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą, verta apsvarstyti paprastą aukščiau pateiktų formulių naudojimo pavyzdį.

Žemiau pateikiama skaitinė seka, turėtumėte rasti jos narių sumą, pradedant nuo 5 ir baigiant 12:

Pateikti skaičiai rodo, kad skirtumas d yra lygus 3. Naudodami n-ojo elemento išraišką galite rasti 5-ojo ir 12-ojo progresijos narių reikšmes. Paaiškėja:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 = a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Žinodami skaičių reikšmes nagrinėjamos algebrinės progresijos galuose, taip pat žinodami, kuriuos eilės skaičius jie užima, galite naudoti ankstesnėje pastraipoje gautos sumos formulę. Gaukite:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Verta paminėti, kad šią reikšmę galima gauti skirtingai: pirmiausia pagal standartinę formulę suraskite pirmųjų 12 elementų sumą, tada pagal tą pačią formulę apskaičiuokite pirmųjų 4 elementų sumą, o tada iš pirmosios sumos atimkite antrąją. .