Hem › elektrisk utrustning › Hur man använder leonardo ögonbrynskompass. Antika kompasser av det gyllene snittet Generaliserat gyllene snittet

Hur man använder leonardo ögonbrynskompass. Antika kompasser av det gyllene snittet Generaliserat gyllene snittet

Det gyllene snittet är den universella principen för harmoni

"Smakar argumenterar inte" - hur många gånger var och en av oss har hört denna formel och till och med uttala den. Genom att hålla med om det är vi därmed redo att försvara varje skam som den mänskliga fantasin har råd med. En person som är djupt självisk, kinkig, passionerad, ovana vid att lyssna på världen i stort och smått, har helt enkelt ingen anledning att utveckla smak och förstå harmoni, och därför kan han skapa den mest monstruösa estetiken, samtidigt som han kallar det skönhet. "Du kan inte förbjuda ett vackert liv", spottar invånaren ut genom oljiga läppar, försvarar sin smak och förbjuder andra att bråka om dem. "Naturligtvis kommer vi inte att bråka om smaker! Alla har rätt på sitt sätt, så länge han inte skadar oss", ekar djur i form av människor, som inte förstår sig själva djupare än kroppsliga behov. Och de är bosatta i eländiga bostäder, de är fyllda med destruktiv musik, de matas elände från skolbänken och serverar den under oundviklighetens sås. Estetikens förfall, ouppmärksamheten på skönhet är alltid mänsklighetens förfall, som inte längre vill drömma eller sträva efter skönhet. Det är lidande och död.

Det är svårt för en enskild person att motstå hela systemet av vulgaritet, och han är dömd att underkasta sig det och gå under om han inte har tillräcklig kunskap. Jag skulle vilja tro att känslan av skönhet, världens harmoni lever i varje person - du behöver bara visa det, lära dig hur man använder det.

Det är förmodligen svårt att hitta ett tillförlitligt mått för en objektiv bedömning av själva skönheten, och logik ensam kommer inte att räcka här. Men erfarenheten från dem för vilka sökandet efter skönhet var själva meningen med livet, som gjorde det till sitt yrke, kommer att hjälpa här. Först och främst är det konstmänniskor, som vi kallar dem: konstnärer, arkitekter, skulptörer, musiker, författare. Men dessa är också människor inom de exakta vetenskaperna, - först och främst matematiker.

Genom att lita på ögat mer än andra sinnesorgan, lärde sig en person först och främst att särskilja föremålen runt honom efter form. Intresset i form av ett föremål kan dikteras av livsnödvändighet, eller så kan det bero på formens skönhet. Formen, som bygger på en kombination av symmetri och det gyllene snittet, bidrar till den bästa visuella uppfattningen och framträdandet av en känsla av skönhet och harmoni. Helheten består alltid av delar, delar av olika storlek står i ett visst förhållande till varandra och till helheten. Principen för det gyllene snittet är den högsta manifestationen av den strukturella och funktionella perfektionen av helheten och dess delar inom konst, vetenskap, teknik och natur. Denna idé delades och delades av många framstående moderna forskare, och bevisade i sina studier att sann skönhet alltid är funktionell. Bland dem finns flygplansdesigners. Och arkitekter och antropologer och många andra.

Historien om det gyllene snittet

Det är allmänt accepterat att konceptet med den gyllene divisionen introducerades i vetenskapligt bruk av Pythagoras, en antik grekisk filosof och matematiker (VI-talet f.Kr.). Det finns ett antagande att Pythagoras lånade sin kunskap om den gyllene uppdelningen från egyptierna och babylonierna. Faktum är att proportionerna av Cheops-pyramiden, tempel, basreliefer, hushållsartiklar och dekorationer från Tutankhamons grav indikerar att de egyptiska hantverkarna använde förhållandena för den gyllene divisionen när de skapade dem. Den franske arkitekten Le Corbusier fann att i reliefen från farao Seti I:s tempel i Abydos och i reliefen som föreställer farao Ramses motsvarar figurernas proportioner värdena för den gyllene indelningen. Arkitekten Khesira, avbildad på en relief av en träskiva från hans namns grav, håller mätinstrument i sina händer, i vilka proportionerna för den gyllene indelningen är fixerade.

Den tyske professorn G.E. Timerding, som skrev en bok om det gyllene snittet under 1900-talets första fjärdedel, säger: "Bland pytagoreerna<...>tanken på mystiska krafter och egenskaper associerades med den reguljära femhörningen, men dessa egenskaper avslöjas endast när, bredvid den vanliga regelbundna femhörningen, den stjärnan betraktas, vilket erhålls genom att sekventiellt kopplas genom en av alla hörn i en vanlig femhörning , sammansatt av femkantens diagonaler "- och ytterligare anteckningar: pentagrammet spelade en stor roll i alla magiska vetenskaper. Den femuddiga stjärnan, som Timerding visar, är bokstavligen fylld med proportionerna av det gyllene snittet.

Grekerna var skickliga geometrar. Till och med aritmetik lärde man ut sina barn med hjälp av geometriska figurer. Pythagoras kvadrat och diagonalen på denna kvadrat var grunden för att konstruera dynamiska rektanglar.

Platon (427...347 f.Kr.) kände också till den gyllene divisionen. Pythagorasen Timaeus säger i Platons dialog med samma namn: "Det är omöjligt för två saker att vara perfekt förenade utan en tredje, eftersom en sak måste uppstå mellan dem som skulle hålla dem samman. det bästa sättet proportion kan uppfylla, för om tre tal har egenskapen att genomsnittet är relaterat till det mindre som det större är till genomsnittet, och omvänt, det mindre är relaterat till genomsnittet som genomsnittet är relaterat till det större, då den sista och den första kommer att vara genomsnittet, och genomsnittet kommer att vara den första och sista. Allt som behövs kommer alltså att vara detsamma, och eftersom det kommer att vara detsamma, kommer det att utgöra helheten. "Platon bygger den jordiska världen med hjälp av trianglar av två varianter: likbent och icke-likbent. Han anser att den vackraste är rätvinklig. triangeln ska vara en där hypotenusan är två gånger större än den minsta av benen (en sådan rektangel är en halv liksidig, babyloniernas huvudfigur, den har ett förhållande på 1: 3 1/2, vilket skiljer sig från den gyllene förhållandet med cirka 1/25, och kallas Timerding "motståndare till det gyllene snittet"). Med hjälp av trianglar bygger Platon fyra vanliga polyedrar, och associerar dem med de fyra jordiska elementen (jord, vatten, luft och eld). Och bara den sista av de fem befintliga reguljära polyedrarna - dodekaedern, vars alla tolv ansikten är regelbundna femhörningar, gör anspråk på att vara en symbolisk bild av den himmelska världen.

Äran att upptäcka dodekaedern (eller, som det antogs, universum självt, denna kvintessens av de fyra elementen, symboliserad, respektive, av tetraedern, oktaedern, ikosaedern och kuben) tillhör Hippasus, som senare dog i ett skeppsvrak. Denna figur fångar verkligen många relationer i det gyllene snittet, så den senare tilldelades huvudrollen i den himmelska världen, vilket sedan insisterades på av den mindre brodern Luca Pacioli.

I fasaden av det antika grekiska templet i Parthenon finns gyllene proportioner. Under dess utgrävningar hittades kompasser, som användes av arkitekter och skulptörer från den antika världen. Den pompeianska kompassen (Museet i Neapel) innehåller också proportionerna för den gyllene divisionen.

I det som har kommit till oss antik litteratur den gyllene divisionen nämns först i Euklids element. I den 2:a boken av "Beginings" ges den geometriska konstruktionen av den gyllene indelningen. Efter Euklid, Hypsicles (II århundradet f.Kr.), Pappus (III århundradet e.Kr.) och andra var engagerade i studiet av den gyllene indelningen. I det medeltida Europa med den gyllene divisionen Vi möttes genom arabiska översättningar av Euklids "Beginings". Översättaren J. Campano från Navarra (300-talet) kommenterade översättningen. Den gyllene divisionens hemligheter bevakades svartsjukt, hölls i strikt hemlighet. De var kända endast för de invigda.

Under medeltiden demoniserades pentagrammet (som faktiskt mycket som ansågs gudomligt i antik hedendom) och fann skydd i de ockulta vetenskaperna. Men renässansen visar återigen både pentagrammet och det gyllene snittet. Så ett schema som beskriver människokroppens struktur fick stor spridning under den perioden då humanismen hävdade:

Leonardo da Vinci tog också upprepade gånger till en sådan bild, och återgav i huvudsak ett pentagram. Hennes tolkning: människokroppen har gudomlig perfektion, eftersom proportionerna som är inneboende i den är desamma som i den himmelska huvudfiguren. Leonardo da Vinci, en konstnär och vetenskapsman, såg att italienska konstnärer hade mycket empirisk erfarenhet, men lite kunskap. Han blev gravid och började skriva en bok om geometri, men vid den tiden dök en bok av munken Luca Pacioli upp, och Leonardo övergav sin idé. Enligt samtida och vetenskapshistoriker var Luca Pacioli en verklig luminary, den största matematikern i Italien mellan Fibonacci och Galileo. Luca Pacioli var en elev till konstnären Piero della Francesca, som skrev två böcker, varav en hette On Perspective in Painting. Han anses vara skaparen av beskrivande geometri.

Luca Pacioli var väl medveten om vetenskapens betydelse för konsten. År 1496, på inbjudan av hertigen av Moreau, kom han till Milano, där han föreläste om matematik. Leonardo da Vinci arbetade också vid hovet Moro i Milano vid den tiden. År 1509 publicerades en bok av Luca Pacioli i Venedig "På gudomlig proportion"(De divina proportione, 1497, publicerad i Venedig 1509) med briljant utförda illustrationer, varför de tros ha gjorts av Leonardo da Vinci. Boken var en entusiastisk hymn till det gyllene snittet. Det finns bara en sådan andel, och unikhet är Guds högsta egenskap. Den förkroppsligar den heliga treenigheten. Denna andel kan inte uttryckas med ett tillgängligt tal, förblir dold och hemlig och kallas irrationell av matematiker själva (så Gud kan varken definieras eller förklaras med ord). Gud förändras aldrig och representerar allt i allt och allt i var och en av hans delar, så det gyllene snittet för varje kontinuerlig och bestämd kvantitet (oavsett om den är stor eller liten) är densamma, kan inte ändras eller på annat sätt uppfattas av sinnet. Gud kallade till himmelsk dygd, annars kallad den femte substansen, med dess hjälp fyra andra enkla kroppar (fyra element - jord, vatten, luft, eld), och på grundval av dem kallade han allt annat i naturen; så vår heliga proportion, enligt Platon i Timaeus, ger formligt väsen åt himlen själv, för den tillskrivs formen av en kropp som kallas dodekaedern, som inte kan byggas utan det gyllene snittet. Detta är Paciolis argument.

Leonardo da Vinci ägnade också stor uppmärksamhet åt studiet av den gyllene divisionen. Han gjorde sektioner av en stereometrisk kropp bildad av regelbundna femhörningar, och varje gång fick han rektanglar med sidförhållande i gyllene division. Så han gav denna division namnet gyllene snittet. Så det är fortfarande det mest populära.

Samtidigt, i norra Europa, i Tyskland, arbetade Albrecht Dürer med samma problem. Han skisserar en introduktion till det första utkastet till en avhandling om proportioner. Durer skriver. "Det är nödvändigt att den som vet hur man lär det till andra som behöver det. Det här är vad jag tänkte göra."

Av ett av Dürers brev att döma träffade han Luca Pacioli under vistelsen i Italien. Albrecht Dürer utvecklar i detalj teorin om den mänskliga kroppens proportioner. Dürer tilldelade det gyllene snittet en viktig plats i sitt kvotsystem. Höjden på en person är uppdelad i gyllene proportioner av bälteslinjen, såväl som av linjen som dras genom spetsarna på långfingrarna på de sänkta händerna, den nedre delen av ansiktet - genom munnen, etc. Känd proportionell kompass Dürer.

Stor astronom på 1500-talet Johannes Kepler kallade det gyllene snittet för en av geometrins skatter. Han är den första att uppmärksamma det gyllene snittets betydelse för botaniken (växternas tillväxt och struktur).

Kepler kallade det gyllene snittet för att fortsätta sig självt. "Det är arrangerat på ett sådant sätt," skrev han, "att de två yngre termerna i denna oändliga andel summeras till den tredje termen, och vilka två sista termer som helst, om de läggs ihop, ger nästa mandatperiod, och samma andel kvarstår till oändligheten".

Konstruktionen av en serie segment av det gyllene snittet kan göras både i riktning mot ökning (ökande serie) och i riktning mot minskning (fallande serie).

Om på en rak linje med godtycklig längd, skjut upp segmentet m, lägg åt sidan ett segment M. Baserat på dessa två segment bygger vi en skala av segment av den gyllene proportionen av den stigande och fallande serien

Under de följande århundradena förvandlades regeln om det gyllene snittet till en akademisk kanon, och när det med tiden började en kamp inom konsten med den akademiska rutinen, i kampens hetta "kastade de ut barnet med vattnet". Det gyllene snittet "upptäcktes" igen i mitten av nittonde V. År 1855 publicerade den tyske forskaren av det gyllene snittet, professor Zeising, sitt arbete "Estetisk forskning". Med Zeising var exakt det som hände måste hända forskaren som betraktar fenomenet som sådant, utan samband med andra fenomen. Han absolutiserade andelen av det gyllene snittet och förklarade det universellt för alla natur- och konstfenomen. Zeising hade många anhängare, men det fanns också motståndare som förklarade att hans doktrin om proportioner var "matematisk estetik".

Zeising gjorde ett bra jobb. Han mätte cirka två tusen människokroppar och kom fram till att det gyllene snittet uttrycker den genomsnittliga statistiska lagen. Uppdelningen av kroppen med navelspetsen är den viktigaste indikatorn på det gyllene snittet. Proportioner manskropp fluktuera inom det genomsnittliga förhållandet 13: 8 = 1,625 och är något närmare det gyllene snittet än proportionerna kvinnlig kropp, i förhållande till vilket medelvärdet av andelen uttrycks i förhållandet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfödd är andelen 1: 1, vid 13 års ålder är den 1,6 och vid 21 års ålder är den lika med mannen. Proportionerna av det gyllene snittet manifesteras också i förhållande till andra delar av kroppen - längden på axeln, underarm och hand, hand och fingrar, etc.

Zeising testade giltigheten av sin teori på grekiska statyer. Han utvecklade proportionerna av Apollo Belvedere i de flesta detaljer. Grekiska vaser, arkitektoniska strukturer från olika epoker, växter, djur, fågelägg, musikaliska toner, poetiska mätare utsattes för forskning. Zeising definierade det gyllene snittet, visade hur det uttrycks i linjesegment och i siffror. När siffrorna som uttryckte segmentens längder erhölls såg Zeising att de utgjorde en Fibonacci-serie, som kunde fortsättas i det oändliga i den ena och den andra riktningen. Hans nästa bok hade titeln "Gyllene divisionen som den grundläggande morfologiska lagen i natur och konst." År 1876 publicerades en liten bok, nästan en broschyr, i Ryssland, som beskriver Zeisings arbete. Författaren tog sin tillflykt under initialerna Yu.F.V. Inte en enda målning nämns i denna upplaga.

I sent XIX- tidiga XX-talet. en hel del rent formalistiska teorier dök upp om användningen av det gyllene snittet i konstverk och arkitektur. Med utvecklingen av design och teknisk estetik utvidgades lagen om det gyllene snittet till design av bilar, möbler etc.

Lite geometri

I matematik andel(lat. proportio) kallar likheten mellan två relationer: a:b = c:d.

Linjesegmentet AB kan delas upp i två delar på följande sätt:

i två lika delar AB: AC = AB: BC;

i två olika delar i vilket förhållande som helst (sådana delar bildar inte proportioner);

så när AB: AC = AC: BC.

Det senare är den gyllene divisionen eller divisionen av segmentet i extrem- och genomsnittsförhållandet.

Det gyllene snittet är en sådan proportionell uppdelning av ett segment i ojämna delar, där hela segmentet relaterar till den större delen på samma sätt som den större delen själv relaterar till den mindre; eller med andra ord, det mindre segmentet är relaterat till det större som det större är till allt

a:b = b:celler c: b = b: a.

Praktisk bekantskap med det gyllene snittet börjar med att dela ett rakt linjesegment i det gyllene snittet med hjälp av en kompass och linjal.

Från en punkt I en vinkelrät återställs lika med hälften AB. Fick poäng MED ansluten med en linje till en punkt A. Ett segment ritas på den resulterande linjen Sol, slutar med en prick D. Linjesegmentet ADöverförs till en rak linje AB. Den resulterande punkten E delar upp segmentet AB i det gyllene snittet.

Segment av det gyllene snittet uttrycks med en oändlig irrationell bråkdel AE= 0,618... om AB ta som en enhet VARA\u003d 0,382 ... För praktiska ändamål används ofta ungefärliga värden 0,62 och 0,38. Om segmentet AB taget som 100 delar är den största delen av segmentet 62 och den mindre är 38 delar.

Egenskaperna för det gyllene snittet beskrivs av ekvationen:

x2 - x - 1 = 0.

Lösning på denna ekvation:

Det andra gyllene snittet

Den bulgariska tidskriften "Fatherland" (nr 10, 1983) publicerade en artikel av Tsvetan Tsekov-Karandash "Om det andra gyllene snittet", som följer av huvudavsnittet och ger ytterligare ett förhållande på 44:56.

En sådan andel finns i arkitekturen och äger också rum i konstruktionen av kompositioner av bilder av ett långsträckt horisontellt format.

Uppdelningen görs enligt följande. Linjesegmentet ABär uppdelad enligt det gyllene snittet. Från en punkt MED vinkelrät återställs CD. Radie AB det finns en poäng D, som är ansluten med en linje till en punkt A. Rätt vinkel ACD delas på hälften. Från en punkt MED en linje dras tills den skär en linje AD. Punkt E delar upp segmentet AD i förhållande till 56:44.

Figuren visar positionen för linjen för det andra gyllene snittet. Den ligger i mitten mellan den gyllene snittlinjen och rektangelns mittlinje.

gyllene triangeln

För att hitta segment av det gyllene snittet i de stigande och fallande serierna kan du använda pentagram.

För att bygga ett pentagram måste du bygga en vanlig femhörning. Metoden för dess konstruktion utvecklades av den tyske målaren och grafikern Albrecht Dürer (1471...1528). Låta O- cirkelns mittpunkt A- en punkt på cirkeln och E- mitten av segmentet OA. Vinkelrät mot radien OA, återställd vid punkten HANDLA OM, skär cirkeln vid en punkt D. Använd en kompass och lägg åt sidan ett segment på diametern CE = ED. Längden på en sida av en vanlig femhörning inskriven i en cirkel är DC. Att sätta segment på cirkeln DC och få fem poäng för att dra en vanlig femhörning. Vi ansluter hörnen på femkanten genom en diagonal och får ett pentagram. Alla diagonaler i femhörningen delar varandra i segment som är förbundna med det gyllene snittet.

Varje ände av den femkantiga stjärnan är en gyllene triangel. Dess sidor bildar en vinkel på 36° upptill, och basen som läggs på sidan delar den i proportion till det gyllene snittet.

Vi ritar en rak linje AB. från punkt A lägg åt sidan på det tre gånger ett segment O av godtycklig storlek, genom den resulterande punkten R rita en vinkelrät mot linjen AB, på vinkelrät till höger och vänster om punkten R avsätta segment HANDLA OM. Fick poäng d Och d1 ansluta med en rak linje A. Linjesegmentet dd1 sätta på linjen Ad1, få en poäng MED. Hon delade linjen Ad1 i proportion till det gyllene snittet. rader Ad1 Och dd1 används för att bygga en "gyllene" rektangel.

Fibonacci-serien

Namnet på den italienske matematikermunken Leonardo från Pisa, mer känd som Fibonacci (son till Bonacci), är indirekt kopplat till historien om det gyllene snittet. Han reste mycket i öst, introducerade Europa till indiska (arabiska) siffror. År 1202 publicerades hans matematiska verk "The Book of the Abacus" (räknebräda), där alla problem som var kända vid den tiden samlades. En av uppgifterna löd "Hur många par kaniner på ett år från ett par kommer att födas." Efter att reflektera över detta ämne byggde Fibonacci följande serie av nummer:

månader

etc.

Par av kaniner

etc.

En serie siffror 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. känd som Fibonacci-serien. Det speciella med talsekvensen är att var och en av dess medlemmar, med början från den tredje, är lika med summan av de två föregående 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, etc., och förhållandet mellan intilliggande nummer i serien närmar sig förhållandet mellan den gyllene divisionen. Så 21:34 = 0,617 och 34:55 = 0,618. Detta förhållande betecknas med symbolen Ф. Endast detta förhållande - 0,618: 0,382 - ger en kontinuerlig uppdelning av ett rät linjesegment i det gyllene snittet, ökar det eller minskar det till oändligt, när det mindre segmentet är relaterat till det större som den större är till allt.

Fibonacci handlade också om handelns praktiska behov: vad är det minsta antalet vikter som kan användas för att väga en vara? Fibonacci bevisar att följande viktsystem är optimalt: 1, 2, 4, 8, 16...

Fibonacci-serien kunde ha förblivit bara en matematisk incident om det inte vore för det faktum att alla forskare av den gyllene divisionen i växt- och djurvärlden, för att inte tala om konst, alltid kom till denna serie som ett aritmetiskt uttryck för den gyllene divisionslagen .

Forskare fortsatte att aktivt utveckla teorin om Fibonacci-tal och det gyllene snittet. Yu. Matiyasevich löser Hilberts tionde problem med hjälp av Fibonacci-tal. Det finns eleganta metoder för att lösa ett antal cybernetiska problem (sökteori, spel, programmering) med hjälp av Fibonacci-tal och det gyllene snittet. I USA skapas till och med Mathematical Fibonacci Association, som sedan 1963 har gett ut en specialtidskrift.

Fakta som bekräftar förekomsten av gyllene snitt och deras derivat i naturen ges av den vitryska vetenskapsmannen E.M. Soroko i boken "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det visar sig till exempel att väl studerade binära legeringar har speciella, uttalade funktionella egenskaper (termiskt stabila, hårda, slitstarka, oxidationsbeständiga, etc.) endast om de initiala komponenternas specifika vikt är relaterade till varandra av en av gyllene proportioner. Detta gjorde det möjligt för författaren att lägga fram hypotesen att de gyllene snitten är numeriska konstanter för självorganiserande system. Bekräftad experimentellt kan denna hypotes vara av grundläggande betydelse för utvecklingen av synergetik – ett nytt vetenskapsområde som studerar processer i självorganiserande system.

Principer för formning i naturen

Allt som antog någon form bildades, växte, strävade efter att ta plats i rymden och bevara sig själv. Denna strävan finner förverkligande huvudsakligen i två varianter - uppåtväxt eller spridning över jordens yta och vridning i en spiral.

Skalet är vridet i en spiral. Om du viker ut den får du en längd som är något sämre än ormens längd. Ett litet skal på tio centimeter har en spiral 35 cm lång.Spiraler är mycket vanliga i naturen. Konceptet med det gyllene snittet kommer att vara ofullständigt, om inte för att säga om spiralen.

Formen på det spiralformade skalet lockade Arkimedes uppmärksamhet. Han studerade det och härledde spiralens ekvation. Spiralen som ritas enligt denna ekvation kallas vid hans namn. Ökningen av hennes steg är alltid enhetlig. För närvarande används Arkimedes-spiralen flitigt inom teknik.

Även Goethe betonade naturens tendens till spiralitet. Spiral- och spiralarrangemanget av löv på trädgrenar märktes för länge sedan. Spiralen sågs i arrangemanget av solrosfrön, i kottar, ananas, kaktusar, etc. Botanikers och matematikers gemensamma arbete har belyst dessa fantastiska naturfenomen. Det visade sig att i arrangemanget av löv på en gren (phylotaxis), solrosfrön, tallkottar, manifesterar sig Fibonacci-serien, och därför manifesterar sig lagen om det gyllene snittet. Spindeln snurrar sitt nät i ett spiralmönster. En orkan är i spiral. En rädd flock renar sprider sig i en spiral. DNA-molekylen vrids till en dubbelspiral. Goethe kallade spiralen "livets kurva".

Bland vägkantens örter växer en omärklig växt - cikoria. Låt oss ta en närmare titt på det. En gren bildades från huvudstammen. Här är det första bladet.

Ris. 12. Cikoria

Processen gör ett kraftigt utkast i rymden, stoppar, släpper ett löv, men redan kortare än det första, gör återigen ett utkast ut i rymden, men med mindre kraft, släpper ett löv av en ännu mindre storlek och kastar ut igen. Om den första avvikelsen tas som 100 enheter, är den andra 62 enheter, den tredje är 38, den fjärde är 24 och så vidare. Längden på kronbladen är också föremål för det gyllene snittet. I tillväxten, erövringen av rymden, behöll växten vissa proportioner. Dess tillväxtimpulser minskade gradvis i proportion till det gyllene snittet.

Ris. 13.viviparös ödla

I en ödla, vid första anblicken, fångas proportioner som är behagliga för våra ögon - längden på dess svans relaterar till längden på resten av kroppen som 62 till 38.

Både i växt- och djurvärlden slår naturens formbyggande tendens ihärdigt igenom - symmetri med avseende på växtriktning och rörelse. Här visas det gyllene snittet i proportionerna av delar som är vinkelräta mot tillväxtriktningen.

Naturen har genomfört indelningen i symmetriska delar och gyllene proportioner. I delar manifesteras en upprepning av helhetens struktur.

Ris. 14. fågelägg

Den store Goethe, poet, naturforskare och konstnär (han ritade och målade i akvarell), drömde om att skapa en enhetlig lära om organiska kroppars form, bildning och omvandling. Det var han som introducerade termen morfologi i vetenskapligt bruk.

Pierre Curie formulerade i början av vårt sekel ett antal djupgående idéer om symmetri. Han hävdade att man inte kan beakta symmetrin hos någon kropp utan att ta hänsyn till miljöns symmetri.

Regelbundenhet av "gyllene" symmetri manifesteras i energiövergångarna hos elementarpartiklar, i strukturen av vissa kemiska föreningar, i planet- och rymdsystem, i genstrukturerna hos levande organismer. Dessa mönster, som nämnts ovan, finns i strukturen hos enskilda mänskliga organ och kroppen som helhet, och manifesteras också i biorytmer och hjärnans funktion och visuell perception.

Gyllene snitt och symmetri

Det gyllene snittet kan inte betraktas i sig, separat, utan samband med symmetri. Den store ryske kristallografen G.V. Wulff (1863...1925) ansåg att det gyllene snittet var en av symmetrins manifestationer.

Den gyllene divisionen är inte en manifestation av asymmetri, något motsats till symmetri. Enligt moderna begrepp är den gyllene divisionen en asymmetrisk symmetri. Vetenskapen om symmetri inkluderar sådana begrepp som statisk Och dynamisk symmetri. Statisk symmetri kännetecknar vila, balans, och dynamisk symmetri kännetecknar rörelse, tillväxt. Så i naturen representeras statisk symmetri av strukturen av kristaller, och i konsten kännetecknar den fred, balans och orörlighet. Dynamisk symmetri uttrycker aktivitet, karaktäriserar rörelse, utveckling, rytm, det är bevis på liv. Statisk symmetri kännetecknas av lika segment, lika storheter. Dynamisk symmetri kännetecknas av en ökning av segmenten eller deras minskning, och det uttrycks i värdena för det gyllene snittet.

Observera och tillämpa

Att förstå och använda principen för det gyllene snittet bör inte vara någon elits lott - detta är den mest grundläggande kunskapen från vilken de oändligt komplexa lagarna om harmoni och proportion börjar. Det finns inga gränser för den meningsfulla tillämpningen av dessa lagar i vardagens liv. Fördelningen av huvud- och sekundärt i förhållande till helheten kan gälla vad som helst. Detta är fördelningen av ens tid, och alla kreativa processer, inklusive alla typer av konst, litteratur, musik och bildandet av ens egen inställning till alla processer och fenomen. Detta är den gyllene medelvägen, som de gamla talade om.

Varje artist, varje regissör, varje reklamspecialist vet hur man gör en bild tilltalande för ögat, hur man bygger den enligt harmonins och psykologins lagar. mänsklig uppfattning. Ibland uppnår kulturens värsta fiender betydande segrar med hjälp av kunskap om naturens lagar. Under sken av något trevligt och förtjusande låter vi därför ofta de starkaste gifterna komma in i våra hjärtan. Så många pratar om frihet, medan de själva förgiftar sig själva frivilligt, och undrar senare varifrån deras sjukdomar och olyckor kommer.

Det kan inte finnas någon frihet i okunnighet. Strävhet och oläslighet av smak måste övervinnas. Låt detta vara en angelägenhet för både individer och samhällen och stater.

Sammanställt av R. Annenkov

En person särskiljer föremål runt sig genom form. Intresset i form av ett föremål kan dikteras av livsnödvändighet, eller så kan det bero på formens skönhet. Formen, som bygger på en kombination av symmetri och det gyllene snittet, bidrar till den bästa visuella uppfattningen och framträdandet av en känsla av skönhet och harmoni. Helheten består alltid av delar, delar av olika storlek står i ett visst förhållande till varandra och till helheten. Principen för det gyllene snittet är den högsta manifestationen av den strukturella och funktionella perfektionen av helheten och dess delar inom konst, vetenskap, teknik och natur.

Golden Ratio - Harmonisk proportion

I matematik andel(lat. proportio) kallar likheten mellan två relationer: a : b = c : d.

Linjesegmentet AB kan delas upp i två delar på följande sätt:

i två lika delar AB : AC = AB : Sol;

i två olika delar i vilket förhållande som helst (sådana delar bildar inte proportioner);

så när AB : AC = AC : Sol.

Det senare är den gyllene divisionen eller divisionen av segmentet i extrem- och genomsnittsförhållandet.

a : b = b : c eller Med : b = b : A.

Ris. 1. geometrisk bild gyllene snittet

Praktisk bekantskap med det gyllene snittet börjar med att dela ett rakt linjesegment i det gyllene snittet med hjälp av en kompass och linjal.

Ris. 2. Uppdelning av ett linjesegment enligt det gyllene snittet. före Kristus = 1/2 AB; CD = före Kristus

Egenskaperna för det gyllene snittet beskrivs av ekvationen:

x 2 - x - 1 = 0.

Lösning på denna ekvation:

Egenskaperna hos det gyllene snittet skapade en romantisk aura av mystik och nästan mystisk dyrkan kring detta nummer.

Det andra gyllene snittet

En sådan andel finns i arkitekturen och äger också rum i konstruktionen av kompositioner av bilder av ett långsträckt horisontellt format.

Ris. 3. Konstruktion av det andra gyllene snittet

Uppdelningen utförs enligt följande (se fig. 3). Linjesegmentet ABär uppdelad enligt det gyllene snittet. Från en punkt MED vinkelrät återställs CD. Radie AB det finns en poäng D, som är ansluten med en linje till en punkt A. Rätt vinkel ACD delas på hälften. Från en punkt MED en linje dras tills den skär en linje AD. Punkt E delar upp segmentet AD i förhållande till 56:44.

Ris. 4. Division av en rektangel med en linje av det andra gyllene snittet

På fig. 4 visar positionen för linjen för det andra gyllene snittet. Den ligger i mitten mellan den gyllene snittlinjen och rektangelns mittlinje.

gyllene triangeln

För att hitta segment av det gyllene snittet i de stigande och fallande serierna kan du använda pentagram.

Ris. 5. Konstruktion av en vanlig pentagon och pentagram

Varje ände av den femkantiga stjärnan är en gyllene triangel. Dess sidor bildar en vinkel på 36° upptill, och basen som läggs på sidan delar den i proportion till det gyllene snittet.

Ris. 6. Konstruktion av den gyllene triangeln

Vi ritar en rak linje AB. från punkt A lägg ett segment på det tre gånger HANDLA OM godtyckligt värde, genom den resulterande punkten R rita en vinkelrät mot linjen AB, på vinkelrät till höger och vänster om punkten R avsätta segment HANDLA OM. Fick poäng d Och d 1 anslut med raka linjer till en punkt A. Linjesegmentet dd 1 avsatt på linjen Ad 1, får en poäng MED. Hon delade linjen Ad 1 i proportion till det gyllene snittet. rader Ad 1 och dd 1 används för att bygga en "gyllene" rektangel.

Historien om det gyllene snittet

Ris. 7. Dynamiska rektanglar

Platon (427...347 f.Kr.) kände också till den gyllene divisionen. Hans dialog "Timaeus" ägnas åt de matematiska och estetiska synpunkterna på Pythagoras skola och i synnerhet frågorna om den gyllene divisionen.

Ris. 8. Antika kompasser gyllene snittet

I den antika litteraturen som har kommit ner till oss nämndes den gyllene divisionen först i Euklids element. I den 2:a boken av "Beginings" ges den geometriska konstruktionen av den gyllene indelningen. Efter Euklid, Hypsicles (II århundradet f.Kr.), Pappus (III århundradet e.Kr.) och andra var engagerade i studiet av den gyllene indelningen. I det medeltida Europa med den gyllene divisionen Vi träffades genom arabiska översättningar av Euklids element. Översättaren J. Campano från Navarra (300-talet) kommenterade översättningen. Den gyllene divisionens hemligheter bevakades svartsjukt, hölls i strikt hemlighet. De var kända endast för de invigda.

Under renässansen ökade intresset för den gyllene uppdelningen bland forskare och konstnärer i samband med att den användes både inom geometri och konst, särskilt inom arkitektur Leonardo da Vinci, konstnär och vetenskapsman, såg att italienska konstnärer hade stor empirisk erfarenhet, men lite kunskap . Han blev gravid och började skriva en bok om geometri, men vid den tiden dök en bok av munken Luca Pacioli upp, och Leonardo övergav sin idé. Enligt samtida och vetenskapshistoriker var Luca Pacioli en verklig luminary, den största matematikern i Italien mellan Fibonacci och Galileo. Luca Pacioli var en elev till konstnären Piero della Francesca, som skrev två böcker, varav en hette On Perspective in Painting. Han anses vara skaparen av beskrivande geometri.

Samtidigt, i norra Europa, i Tyskland, arbetade Albrecht Dürer med samma problem. Han skisserar en introduktion till det första utkastet till en avhandling om proportioner. Durer skriver. ”Det är nödvändigt att den som kan något ska lära ut det till andra som behöver det. Det här är vad jag tänkte göra."

Kepler kallade det gyllene snittet självständigt. "Det är ordnat på ett sådant sätt," skrev han, "att de två yngre termerna i denna oändliga andel summerar till den tredje termen, och vilka två sista termer som helst, om de läggs ihop, ger nästa mandatperiod, och samma proportion kvarstår till oändligheten."

Konstruktionen av en serie segment av det gyllene snittet kan göras både i riktning mot ökning (ökande serie) och i riktning mot minskning (fallande serie).

Ris. 9. Bygga en skala av segment av det gyllene snittet

Under de följande århundradena förvandlades regeln om det gyllene snittet till en akademisk kanon, och när, med tiden, en kamp började inom konsten med den akademiska rutinen, i kampens hetta, "kastade de ut barnet med vattnet." Det gyllene snittet ”upptäcktes” igen i mitten av 1800-talet. År 1855 publicerade den tyske forskaren av det gyllene snittet, professor Zeising, sitt arbete Aesthetic Research. Med Zeising var exakt det som hände måste hända forskaren som betraktar fenomenet som sådant, utan samband med andra fenomen. Han absolutiserade andelen av det gyllene snittet och förklarade det universellt för alla natur- och konstfenomen. Zeising hade många anhängare, men det fanns också motståndare som förklarade att hans doktrin om proportioner var "matematisk estetik".

Ris. 10. Gyllene proportioner i delar av människokroppen

Zeising gjorde ett bra jobb. Han mätte cirka två tusen människokroppar och kom fram till att det gyllene snittet uttrycker den genomsnittliga statistiska lagen. Uppdelningen av kroppen med navelspetsen är den viktigaste indikatorn på det gyllene snittet. Proportionerna av den manliga kroppen fluktuerar inom det genomsnittliga förhållandet 13: 8 = 1,625 och är något närmare det gyllene snittet än proportionerna av den kvinnliga kroppen, i förhållande till vilket medelvärdet av andelen uttrycks i förhållandet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfödd är andelen 1: 1, vid 13 års ålder är den 1,6 och vid 21 års ålder är den lika med mannen. Proportionerna av det gyllene snittet manifesteras också i förhållande till andra delar av kroppen - längden på axeln, underarm och hand, hand och fingrar, etc.

Ris. elva. Gyllene proportioner i människofiguren

I slutet av XIX - början av XX århundraden. en hel del rent formalistiska teorier dök upp om användningen av det gyllene snittet i konstverk och arkitektur. Med utvecklingen av design och teknisk estetik utvidgades lagen om det gyllene snittet till design av bilar, möbler etc.

Fibonacci-serien

Namnet på den italienske matematikermunken Leonardo från Pisa, mer känd som Fibonacci (son till Bonacci), är indirekt kopplat till historien om det gyllene snittet. Han reste mycket i öst, introducerade Europa till indiska (arabiska) siffror. År 1202 publicerades hans matematiska verk The Book of the Abacus (Räkneverket), där alla problem som var kända vid den tiden samlades. En av uppgifterna löd "Hur många par kaniner på ett år från ett par kommer att födas." Efter att reflektera över detta ämne byggde Fibonacci följande serie av nummer:

En serie siffror 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. känd som Fibonacci-serien. Det speciella med talsekvensen är att var och en av dess medlemmar, med början från den tredje, är lika med summan av de två föregående 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, etc., och förhållandet mellan intilliggande nummer i serien närmar sig förhållandet mellan den gyllene divisionen. Så 21:34 = 0,617 och 34:55 = 0,618. Detta förhållande är symboliserat F. Endast detta förhållande - 0,618: 0,382 - ger en kontinuerlig uppdelning av ett rakt linjesegment i det gyllene snittet, dess ökning eller minskning till oändlighet, när det mindre segmentet är relaterat till det större, eftersom det större är till allt.

Generaliserat gyllene snitt

En av framgångarna på detta område är upptäckten av generaliserade Fibonacci-tal och generaliserade gyllene snitt.

Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) och den "binära" serien av vikter 1, 2, 4, 8, 16 som upptäckts av honom... är helt olika vid första anblicken. Men algoritmerna för deras konstruktion är mycket lika varandra: i det första fallet är varje nummer summan av det föregående talet med sig självt 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., i den andra - detta är summan av de två föregående siffrorna 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Är det möjligt för att hitta en generell matematisk formel från vilken " binär serie, och Fibonacci-serien? Eller kanske den här formeln kommer att ge oss nya numeriska uppsättningar med några nya unika egenskaper?

Låt oss faktiskt ställa in den numeriska parametern S, som kan ha vilka värden som helst: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tänk på en nummerserie, S+ 1 vars första termer är enheter, och var och en av de efterföljande termerna är lika med summan av de två termerna i den föregående och den som är separerad från den föregående med S steg. Om n vi betecknar den:e termen i denna serie med φ S ( n), då får vi den allmänna formeln φ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Det är uppenbart att kl S= 0 från denna formel får vi en "binär" serie, med S= 1 - Fibonacci-serien, med S\u003d 2, 3, 4. ny serie nummer som anropas S-Fibonacci-siffror.

I allmän syn gyllene S-Proportion är den positiva roten till den gyllene ekvationen S-sektioner x S+1 - x S - 1 = 0.

Det är lätt att visa att när S= 0 får vi en division av segmentet på mitten och när S= 1 - det välbekanta klassiska gyllene snittet.

Relationer mellan grannar S-Fibonacci-tal med absolut matematisk noggrannhet sammanfaller i gränsen med gyllene S-proportioner! Matematiker i sådana fall säger att guld S-sektioner är numeriska invarianter S-Fibonacci-siffror.

Fakta som bekräftar förekomsten av guld S-sektioner i naturen, den vitryska vetenskapsmannen E.M. Soroko i boken "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det visar sig till exempel att väl studerade binära legeringar har speciella, uttalade funktionella egenskaper (termiskt stabila, hårda, slitstarka, oxidationsbeständiga etc.) endast om de initiala komponenternas specifika vikt är relaterade till varandra av en av guld S-proportioner. Detta gjorde det möjligt för författaren att lägga fram en hypotes om att guld S-sektioner är numeriska invarianter av självorganiserande system. Efter att ha bekräftats experimentellt kan denna hypotes vara av grundläggande betydelse för utvecklingen av synergetik - ett nytt vetenskapsområde som studerar processer i självorganiserande system.

Med gyllene koder S-Proportioner kan uttrycka vilket reellt tal som helst som summan av grader av guld S-proportioner med heltalskoefficienter.

Den grundläggande skillnaden mellan denna metod för att koda siffror är att baserna för de nya koderna, som är gyllene S-proportioner, S> 0 visar sig vara irrationella tal. Således satte de nya talsystemen med irrationella baser så att säga den historiskt etablerade hierarkin av relationer mellan rationella och irrationella tal "upp och ner". Faktum är att till en början "upptäcktes" de naturliga talen; då är deras förhållanden rationella tal. Och först senare - efter att pytagoreerna upptäckt inkommensurable segment - dök irrationella tal upp. Till exempel, i decimala, quinära, binära och andra klassiska positionstalssystem valdes naturliga tal - 10, 5, 2 - som en slags grundläggande princip, från vilken, enligt vissa regler, alla andra naturliga såväl som rationella och irrationella tal konstruerades.

Ett slags alternativ till de befintliga metoderna för numrering är ett nytt, irrationellt system, som grundprincip, vars början väljs som ett irrationellt tal (vilket, vi minns, är roten till det gyllene snittets ekvation); andra reella tal uttrycks redan genom den.

I ett sådant talsystem är alla naturliga tal alltid representerade som ett ändligt tal – och inte oändligt, som man tidigare trott! - summan av grader av någon av de gyllene S-proportioner. Detta är en av anledningarna till att "irrationell" aritmetik, med sin fantastiska matematiska enkelhet och elegans, verkar ha absorberats bästa egenskaper klassisk binär och "Fibonacci" aritmetik.

Principer för formning i naturen

Ris. 12. Arkimedes spiral

Bland vägkantens örter växer en omärklig växt - cikoria. Låt oss ta en närmare titt på det. En gren bildades från huvudstammen. Här är det första bladet.

Ris. 13. Cikoria

Ris. 14. viviparös ödla

I en ödla, vid första anblicken, fångas proportioner som är behagliga för våra ögon - längden på dess svans relaterar till längden på resten av kroppen som 62 till 38.

Naturen har genomfört indelningen i symmetriska delar och gyllene proportioner. I delar manifesteras en upprepning av helhetens struktur.

Ris. 15. fågelägg

Pierre Curie formulerade i början av vårt sekel ett antal djupgående idéer om symmetri. Han hävdade att man inte kan beakta symmetrin hos någon kropp utan att ta hänsyn till miljöns symmetri.

Mönstren av "gyllene" symmetri manifesteras i energiövergångarna för elementarpartiklar, i strukturen av vissa kemiska föreningar, i planet- och rymdsystem, i genstrukturerna hos levande organismer. Dessa mönster, som nämnts ovan, finns i strukturen hos enskilda mänskliga organ och kroppen som helhet, och manifesteras också i biorytmer och hjärnans funktion och visuell perception.

Gyllene snitt och symmetri

Dynamiska rektanglar

Antika gyllene snitt kompasser

Samtidigt, i norra Europa, i Tyskland, arbetade Albrecht Dürer med samma problem. Han skisserar en introduktion till det första utkastet till en avhandling om proportioner. Durer skriver. ”Det är nödvändigt att den som kan något ska lära ut det till andra som behöver det. Det här är vad jag tänkte göra."

Konstruktionen av en serie segment av det gyllene snittet kan göras både i riktning mot ökning (ökande serie) och i riktning mot minskning (fallande serie).

Bygga en skala av segment av det gyllene snittet

Sedan antiken har människor varit oroliga över frågan om huruvida sådana svårfångade saker som skönhet och harmoni är föremål för några matematiska beräkningar. Naturligtvis kan alla skönhetslagar inte rymmas i ett fåtal formler, men genom att studera matematik kan vi upptäcka några termer för skönhet - det gyllene snittet. Vår uppgift är att ta reda på vad det gyllene snittet är och att fastställa var mänskligheten har hittat användningen av det gyllene snittet.

Du har förmodligen uppmärksammat det faktum att vi behandlar föremål och fenomen i den omgivande verkligheten olika. Vara h anständighet, vara h enhetlighet, oproportionerlighet upplevs av oss som fula och ger ett frånstötande intryck. Och föremål och fenomen, som kännetecknas av måttlighet, ändamålsenlighet och harmoni, upplevs som vackra och ger oss en känsla av beundran, glädje, muntrar upp.

En person i sin verksamhet möter ständigt föremål som är baserade på det gyllene snittet. Det finns saker som inte går att förklara. Så du kommer till en tom bänk och sätter dig på den. Var ska du sitta? i mitten? Eller kanske från yttersta kanten? Nej, troligtvis inte det ena eller det andra. Du kommer att sitta på ett sådant sätt att förhållandet mellan en del av bänken och en annan i förhållande till din kropp blir cirka 1,62. En enkel sak, helt instinktiv... När du satte dig på en bänk återgav du "det gyllene snittet".

Det gyllene snittet var känt i det gamla Egypten och Babylon, i Indien och Kina. Den store Pythagoras skapade en hemlig skola där han studerade mystisk väsen"gyllene snitt". Euclid tillämpade det och skapade sin geometri, och Phidias - hans odödliga skulpturer. Platon sa att universum är ordnat enligt det "gyllene snittet". Aristoteles fann överensstämmelsen mellan det "gyllene snittet" och den etiska lagen. Den högsta harmonin i "det gyllene snittet" kommer att predikas av Leonardo da Vinci och Michelangelo, eftersom skönhet och det "gyllene snittet" är ett och samma. Och kristna mystiker kommer att rita pentagram av det "gyllene snittet" på väggarna i sina kloster och fly från Djävulen. Samtidigt kommer forskare - från Pacioli till Einstein - att söka, men aldrig hitta honom. exakt värde. Vara h den sista raden efter decimalkomma är 1,6180339887... En märklig, mystisk, oförklarlig sak - denna gudomliga proportion följer mystiskt med allt levande. Den livlösa naturen vet inte vad det "gyllene snittet" är. Men du kommer säkert att se denna proportion i kurvorna av snäckskal och i form av blommor och i form av skalbaggar och i en vacker människokropp. Allt levande och allt vackert - allt lyder den gudomliga lagen, vars namn är "det gyllene snittet". Så vad är det "gyllene snittet"? Vad är denna perfekta, gudomliga kombination? Kanske är det skönhetslagen? Eller är det fortfarande en mystisk hemlighet? Vetenskapligt fenomen eller etisk princip? Svaret är fortfarande okänt. Mer exakt - nej, det är känt. "Gyllene snittet" är både det, och ett annat, och det tredje. Bara inte separat, men samtidigt ... Och detta är hans sanna mysterium, hans stora hemlighet.

Det är förmodligen svårt att hitta ett tillförlitligt mått för en objektiv bedömning av själva skönheten, och logik ensam kommer inte att räcka här. Men erfarenheten från dem för vilka sökandet efter skönhet var själva meningen med livet, som gjorde det till sitt yrke, kommer att hjälpa här. Först och främst är det konstmänniskor, som vi kallar dem: konstnärer, arkitekter, skulptörer, musiker, författare. Men det här är människor inom de exakta vetenskaperna, först och främst matematiker.

Genom att lita mer på ögat än andra sinnesorgan, lärde sig människan först och främst att särskilja föremålen runt sig genom formen. Intresset i form av ett föremål kan dikteras av livsnödvändighet, eller så kan det bero på formens skönhet. Formen, som bygger på en kombination av symmetri och det gyllene snittet, bidrar till den bästa visuella uppfattningen och framträdandet av en känsla av skönhet och harmoni. Helheten består alltid av delar, delar av olika storlek står i ett visst förhållande till varandra och till helheten. Principen för det gyllene snittet är den högsta manifestationen av den strukturella och funktionella perfektionen av helheten och dess delar inom konst, vetenskap, teknik och natur.

GULD SNITT - HARMONISK PROPORTION

I matematik är en proportion likheten mellan två förhållanden:

Linjesegment AB kan delas in i två delar på följande sätt:

i två lika delar - AB: AC = AB: BC;
i två olika delar i vilket förhållande som helst (sådana delar bildar inte proportioner);
alltså, när AB:AC=AC:BC.

Den senare är den gyllene divisionen (sektion).

Det gyllene snittet är en sådan proportionell uppdelning av ett segment i ojämna delar, där hela segmentet är relaterat till den större delen på samma sätt som den större delen i sig är relaterat till det mindre, med andra ord, det mindre segmentet är relaterad till den större som den större är till allt

a:b=b:c eller c:b=b:a.

Geometrisk representation av det gyllene snittet

Praktisk bekantskap med det gyllene snittet börjar med att dela ett rakt linjesegment i det gyllene snittet med hjälp av en kompass och linjal.

Uppdelning av ett linjesegment enligt det gyllene snittet. BC=1/2AB; CD=BC

Från punkt B återställs en vinkelrätt lika med halva AB. Den resulterande punkten C är ansluten med en linje till punkt A. På den resulterande linjen ritas ett segment BC som slutar med punkt D. Segmentet AD överförs till den räta linjen AB. Den resulterande punkten E delar segmentet AB i förhållandet mellan det gyllene snittet.

Segment av det gyllene snittet uttrycks utan h slutlig fraktion AE=0,618..., om AB tas som en enhet, BE=0,382... För praktiska ändamål används ofta ungefärliga värden på 0,62 och 0,38. Om segmentet AB tas som 100 delar är den största delen av segmentet 62 och de mindre 38 delar.

Egenskaperna för det gyllene snittet beskrivs av ekvationen:

Lösning på denna ekvation:

Egenskaperna hos det gyllene snittet skapade kring detta nummer en romantisk aura av mystik och nästan en mystisk generation. Till exempel, i en vanlig femuddig stjärna delas varje segment av segmentet som korsar det i proportion till det gyllene snittet (dvs förhållandet mellan det blå segmentet och grönt, rött till blått, grönt till lila är 1,618).

ANDRA GULDNA AVSNITTET

Denna andel finns i arkitekturen.

Konstruktion av det andra gyllene snittet

Uppdelningen görs enligt följande. Segmentet AB är uppdelat i proportion till det gyllene snittet. Från punkt C återställs den vinkelräta CD:n. Radie AB är punkt D, som är ansluten med en linje till punkt A. Rätt vinkel ACD är delad. En linje dras från punkt C till skärningspunkten med linje AD. Punkt E delar segment AD i förhållande till 56:44.

Division av en rektangel med en linje av det andra gyllene snittet

Figuren visar positionen för linjen för det andra gyllene snittet. Den ligger i mitten mellan den gyllene snittlinjen och rektangelns mittlinje.

GYLDEN TRIANGEL (pentagram)

För att hitta segment av det gyllene snittet av de stigande och nedåtgående raden, kan du använda pentagrammet.

Konstruktion av en vanlig pentagon och pentagram

För att bygga ett pentagram måste du bygga en vanlig femhörning. Metoden för dess konstruktion utvecklades av den tyske målaren och grafikern Albrecht Dürer. Låt O vara cirkelns mittpunkt, A en punkt på cirkeln och E mittpunkten av segment OA. Den vinkelräta mot radien OA, upphöjd vid punkt O, skär cirkeln i punkt D. Använd en kompass och markera segmentet CE=ED på diametern. Längden på en sida av en vanlig femhörning inskriven i en cirkel är DC. Vi lägger undan segmenten DC på cirkeln och får fem poäng för att rita en vanlig femhörning. Vi ansluter hörnen på femkanten genom en diagonal och får ett pentagram. Alla diagonaler i femhörningen delar varandra i segment som är förbundna med det gyllene snittet.

Varje ände av den femkantiga stjärnan är en gyllene triangel. Dess sidor bildar en vinkel på 36 0 i toppen, och basen som läggs på sidan delar den i proportion till det gyllene snittet.

Rita rät linje AB. Från punkt A lägger vi av på den ett segment O av godtycklig storlek tre gånger, genom den resulterande punkten P drar vi en vinkelrät mot linjen AB, på vinkelrät till höger och vänster om punkt P lägger vi av segment O. Den resulterande punkterna d och d 1 är förbundna med räta linjer med punkt A. Segment dd 1 vi sätter det på linjen Ad 1, får punkt C. Hon delade linjen Ad 1 i proportion till det gyllene snittet. Linjerna Ad 1 och dd 1 används för att bygga en "gyllene" rektangel.

Konstruktion av den gyllene triangeln

HISTORIA OM DET GULDNA SNITTET

Faktum är att proportionerna av Cheops-pyramiden, tempel, hushållsartiklar och dekorationer från Tutankhamons grav indikerar att de egyptiska hantverkarna använde förhållandena för den gyllene divisionen när de skapade dem. Den franske arkitekten Le Corbusier fann att i reliefen från farao Seti I:s tempel i Abydos och i reliefen som föreställer farao Ramses motsvarar figurernas proportioner värdena för den gyllene indelningen. Arkitekten Khesira, avbildad på en relief av en träskiva från hans namns grav, håller mätinstrument i sina händer, i vilka proportionerna för den gyllene indelningen är fixerade.

Dynamiska rektanglar

Platon kände också till den gyllene divisionen. Pythagorasen Timaeus säger i Platons dialog med samma namn: ”Det är omöjligt för två saker att vara perfekt förenade utan en tredje, eftersom det måste dyka upp något mellan dem som skulle hålla dem samman. Proportion kan bäst åstadkomma detta, för om tre tal har egenskapen att medelvärdet är relaterat till det lägre som det större är till medelvärdet, och vice versa, det mindre är till medelvärdet som medelvärdet är till det större, då det sista och den första kommer att vara mitten, och mitten - först och sist. Allt som behövs kommer alltså att vara detsamma, och eftersom det blir detsamma kommer det att bli en helhet. Platon bygger den jordiska världen med hjälp av trianglar av två typer: likbenta och icke-likbenta. Han anser att den vackraste rätvinkliga triangeln är en där hypotenusan är dubbelt så liten av benen (en sådan rektangel är en halv liksidig, babyloniernas huvudfigur, den har ett förhållande på 1: 3 1/2 , som skiljer sig från det gyllene snittet med cirka 1/25, och kallas Timerding "rival of the golden ratio"). Med hjälp av trianglar bygger Platon fyra vanliga polyedrar, och associerar dem med de fyra jordiska elementen (jord, vatten, luft och eld). Och bara den sista av de fem befintliga reguljära polyedrarna - dodekaedern, vars alla tolv ansikten är regelbundna femhörningar, gör anspråk på att vara en symbolisk bild av den himmelska världen.

icosahedron och dodecahedron

Antika gyllene snitt kompasser

I den antika litteraturen som har kommit ner till oss nämndes den gyllene divisionen först i Euklids element. I den andra boken av "Början" ges den geometriska konstruktionen av den gyllene indelningen. Efter Euklid studerade Hypsicles (2:a århundradet f.Kr.), Pappus (300-talet e.Kr.) m.fl. den gyllene indelningen. I det medeltida Europa bekantade de sig med den gyllene indelningen från arabiska översättningar av Euklids "Begynnelser". Översättaren J. Campano från Navarra (300-talet) kommenterade översättningen. Den gyllene divisionens hemligheter bevakades svartsjukt, hölls i strikt hemlighet. De var kända endast för de invigda.

Under medeltiden demoniserades pentagrammet (som faktiskt mycket som ansågs gudomligt i antik hedendom) och fann skydd i de ockulta vetenskaperna. Men renässansen visar återigen både pentagrammet och det gyllene snittet. Således fick ett schema som beskriver människokroppens struktur stor spridning under den perioden då humanismen hävdades.

Leonardo da Vinci tog också upprepade gånger till en sådan bild, i själva verket reproducerade ett pentagram. Dess tolkning: människokroppen har gudomlig perfektion, eftersom proportionerna som är inneboende i den är desamma som i den himmelska huvudfiguren. Leonardo da Vinci, en konstnär och vetenskapsman, såg att italienska konstnärer hade mycket empirisk erfarenhet, men lite kunskap. Han blev gravid och började skriva en bok om geometri, men vid den tiden dök en bok av munken Luca Pacioli upp, och Leonardo övergav sin idé. Enligt samtida och vetenskapshistoriker var Luca Pacioli en verklig luminary, den största matematikern i Italien mellan Fibonacci och Galileo. Luca Pacioli var en elev till konstnären Piero della Francesca, som skrev två böcker, varav en hette On Perspective in Painting. Han anses vara skaparen av beskrivande geometri.

Luca Pacioli var väl medveten om vetenskapens betydelse för konsten.

År 1496, på inbjudan av hertig Moreau, kom han till Milano, där han föreläste om matematik. Leonardo da Vinci arbetade också vid hovet Moro i Milano vid den tiden. 1509 publicerades Luca Paciolis De divina proportione, 1497, publicerad i Venedig 1509, i Venedig med briljant utförda illustrationer, varför man tror att de är gjorda av Leonardo da Vinci. Boken var en entusiastisk hymn till det gyllene snittet. Det finns bara en sådan andel, och unikhet är Guds högsta egenskap. Den förkroppsligar den heliga treenigheten. Denna andel kan inte uttryckas med ett tillgängligt tal, förblir dold och hemlig och kallas irrationell av matematiker själva (så Gud kan varken definieras eller förklaras med ord). Gud förändras aldrig och representerar allt i allt och allt i var och en av hans delar, så det gyllene snittet för varje kontinuerlig och bestämd kvantitet (oavsett om den är stor eller liten) är densamma, kan inte ändras eller förändras. annars uppfattas av sinne. Gud kallade till himmelsk dygd, annars kallad den femte substansen, med dess hjälp fyra andra enkla kroppar (fyra element - jord, vatten, luft, eld), och på grundval av dem kallade han allt annat i naturen; så vår heliga proportion, enligt Platon i Timaeus, ger formligt väsen åt himlen själv, för den tillskrivs formen av en kropp som kallas dodekaedern, som inte kan byggas utan det gyllene snittet. Detta är Paciolis argument.

Leonardo da Vinci ägnade också stor uppmärksamhet åt studiet av den gyllene divisionen. Han gjorde sektioner av en stereometrisk kropp bildad av regelbundna femhörningar, och varje gång fick han rektanglar med sidförhållande i gyllene division. Därför gav han denna indelning namnet på det gyllene snittet. Så det är fortfarande det mest populära.

Samtidigt, i norra Europa, i Tyskland, arbetade Albrecht Dürer med samma problem. Han skisserar en introduktion till det första utkastet till en avhandling om proportioner. Dürer skriver: ”Det är nödvändigt att den som kan något ska lära ut det till andra som behöver det. Det här är vad jag tänkte göra."

Av ett av Dürers brev att döma träffade han Luca Pacioli under vistelsen i Italien. Albrecht Dürer utvecklar i detalj teorin om den mänskliga kroppens proportioner. Dürer tilldelade det gyllene snittet en viktig plats i sitt kvotsystem. Höjden på en person är uppdelad i gyllene proportioner av bälteslinjen, såväl som en linje som dras genom spetsarna på långfingrarna på de sänkta händerna, den nedre delen av ansiktet - genom munnen, etc. Känd proportionell kompass Dürer.

Konstruktionen av en serie segment av det gyllene snittet kan göras både i riktning mot ökning (ökande serie) och i riktning mot minskning (fallande serie).

Om på en rak linje med godtycklig längd, skjut upp segmentet m , lägg åt sidan ett segment M . Baserat på dessa två segment bygger vi en skala av segment av den gyllene proportionen av de stigande och nedåtgående raden.

Bygga en skala av segment av det gyllene snittet

Under de följande århundradena förvandlades regeln om det gyllene snittet till en akademisk kanon, och när, med tiden, en kamp började inom konsten med en akademisk rutin, i kampens hetta, "kastade de ut barnet med vattnet." Det gyllene snittet ”upptäcktes” igen i mitten av 1800-talet.

År 1855 publicerade den tyske forskaren av det gyllene snittet, professor Zeising, sitt arbete Aesthetic Research. Med Zeising var exakt det som hände måste hända forskaren som betraktar fenomenet som sådant, utan samband med andra fenomen. Han absolutiserade andelen av det gyllene snittet och förklarade det universellt för alla natur- och konstfenomen. Zeising hade många anhängare, men det fanns också motståndare som förklarade att hans doktrin om proportioner var "matematisk estetik".

Zeising gjorde ett bra jobb. Han mätte cirka två tusen människokroppar och kom fram till att det gyllene snittet uttrycker den genomsnittliga statistiska lagen. Uppdelningen av kroppen med navelspetsen är den viktigaste indikatorn på det gyllene snittet. Den manliga kroppens proportioner fluktuerar inom medelkvoten 13:8=1,625 och ligger något närmare det gyllene snittet än kvinnokroppens proportioner, i förhållande till vilka andelens medelvärde uttrycks i förhållandet 8:5 =1,6. Hos en nyfödd är andelen 1: 1, vid 13 års ålder är den 1,6 och vid 21 års ålder är den lika med mannen. Proportionerna av det gyllene snittet manifesteras också i förhållande till andra delar av kroppen - längden på axeln, underarm och hand, hand och fingrar, etc.

I slutet av 1800-talet - början av 1900-talet. en hel del rent formalistiska teorier dök upp om användningen av det gyllene snittet i konstverk och arkitektur. Med utvecklingen av design och teknisk estetik utvidgades lagen om det gyllene snittet till design av bilar, möbler etc.

GYLLIGT FÖRHÅLLNING OCH SYMMETRI

Det gyllene snittet kan inte betraktas i sig, separat, utan samband med symmetri. Den store ryske kristallografen G.V. Wulff (1863-1925) ansåg att det gyllene snittet var en av symmetrins manifestationer.

Gyllene division är inte en manifestation av asymmetri, något motsats till symmetri. Enligt moderna begrepp är den gyllene divisionen en asymmetrisk symmetri. Vetenskapen om symmetri inkluderar sådana begrepp som statisk och dynamisk symmetri. Statisk symmetri kännetecknar vila, balans, och dynamisk symmetri kännetecknar rörelse, tillväxt. Så i naturen representeras statisk symmetri av strukturen av kristaller, och i konsten kännetecknar den fred, balans och orörlighet. Dynamisk symmetri uttrycker aktivitet, karaktäriserar rörelse, utveckling, rytm, det är bevis på liv. Statisk symmetri kännetecknas av lika segment, lika storheter. Dynamisk symmetri kännetecknas av en ökning av segmenten eller deras minskning, och det uttrycks i värdena för det gyllene snittet i en ökande eller minskande serie.

FIBONACCCI-SERIEN

Namnet på den italienske matematikermunken Leonardo från Pisa, mer känd som Fibonacci, är indirekt kopplat till historien om det gyllene snittet. Han reste mycket i öst, introducerade Europa till arabiska siffror. År 1202 publicerades hans matematiska verk "The Book of the Abacus" (räknebräda), där alla problem som var kända vid den tiden samlades.

En serie siffror 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. känd som Fibonacci-serien. Det speciella med talföljden är att var och en av dess medlemmar, med början från den tredje, är lika med summan av de två föregående 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34, etc., och förhållandet mellan intilliggande tal i serien närmar sig förhållandet mellan den gyllene divisionen. Så, 21:34=0,617 och 34:55=0,618. Detta förhållande betecknas med symbolen Ф. Endast detta förhållande - 0,618: 0,382 - ger en kontinuerlig uppdelning av ett rät linjesegment i det gyllene snittet, dess ökning eller minskning till oändlighet, när det mindre segmentet är relaterat till det större som större är till allt.

Som visas i figuren nedan är längden på varje knoge på fingret relaterad till längden på nästa knoge i en F-proportion. Samma förhållande ses i alla fingrar och tår. Denna koppling är på något sätt ovanlig, eftersom det ena fingret är längre än det andra utan något synligt mönster, men detta är inte av misstag, precis som allt i människokroppen inte är oavsiktligt. Avstånden på fingrarna, markerade från A till B till C till D till E, är alla relaterade till varandra i proportionen F, liksom fingrarnas falanger från F till G till H.

Ta en titt på detta grodskelett och se hur varje ben överensstämmer med F-förhållandet, precis som det gör i människokroppen.

GENERALISERADE GYLLIGA RATIO

Forskare fortsatte att aktivt utveckla teorin om Fibonacci-tal och det gyllene snittet. Yu. Matiyasevich löser Hilberts tionde problem med hjälp av Fibonacci-tal. Det finns metoder för att lösa ett antal cybernetiska problem (sökteori, spel, programmering) med hjälp av Fibonacci-tal och det gyllene snittet. I USA skapas till och med Mathematical Fibonacci Association, som sedan 1963 ger ut en speciell tidskrift.

En av framgångarna på detta område är upptäckten av generaliserade Fibonacci-tal och generaliserade gyllene snitt.

Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) och den "binära" serien av vikter 1, 2, 4, 8 som upptäcktes av honom är helt olika vid första anblicken. Men algoritmerna för att konstruera dem är väldigt lika varandra: i det första fallet är varje tal summan av det föregående talet med sig självt 2=1+1; 4=2+2..., i den andra - detta är summan av de två föregående talen 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Är det möjligt att hitta en generell matematisk formel från vilken "binär" serie, och Fibonacci-serien? Eller kanske den här formeln kommer att ge oss nya numeriska uppsättningar med några nya unika egenskaper?

Låt oss faktiskt ställa in en numerisk parameter S, som kan ha vilka värden som helst: 0, 1, 2, 3, 4, 5... och separerad från den föregående med S-steg. Om vi betecknar den n:e medlemmen i denna serie med? S (n), då får vi den allmänna formeln? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Uppenbarligen kommer vi med S=0 från denna formel att få en "binär" serie, med S=1 - en Fibonacci-serie, med S=2, 3, 4. nya nummerserier, som kallas S-Fibonacci-tal.

I allmänhet gyllene S-proportionär den positiva roten av den gyllene S-sektionsekvationen x S+1 -x S -1=0.

Det är lätt att visa att när S=0 erhålls delningen av segmentet på mitten, och när S=1 erhålls det välkända klassiska gyllene snittet.

Förhållandena mellan närliggande Fibonacci S-tal med absolut matematisk noggrannhet sammanfaller i gränsen med de gyllene S-proportionerna! Matematiker säger i sådana fall att gyllene S-snitt är numeriska invarianter av Fibonacci S-nummer.

Fakta som bekräftar förekomsten av gyllene S-snitt i naturen ges av den vitryska vetenskapsmannen E.M. Soroko i boken "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det visar sig till exempel att väl studerade binära legeringar har speciella, uttalade funktionella egenskaper (termiskt stabila, hårda, nötningsbeständiga, oxidationsbeständiga etc.) endast om de initiala komponenternas specifika vikter är relaterade till varandra av en från gyllene S-proportioner. Detta gjorde det möjligt för författaren att lägga fram en hypotes att gyllene S-snitt är numeriska invarianter av självorganiserande system. Denna hypotes bekräftas experimentellt och kan vara av grundläggande betydelse för utvecklingen av synergetik, ett nytt vetenskapsområde som studerar processer i självorganiserande system.

Med hjälp av gyllene S-proportioner kan vilket reellt tal som helst uttryckas som en summa av grader av gyllene S-proportioner med heltalskoefficienter.

Den grundläggande skillnaden mellan denna metod för att koda tal är att baserna för nya koder, som är gyllene S-proportioner, visar sig vara irrationella tal för S>0. Således satte de nya talsystemen med irrationella baser så att säga den historiskt etablerade hierarkin av relationer mellan rationella och irrationella tal "upp och ner". Faktum är att till en början "upptäcktes" de naturliga talen; då är deras förhållanden rationella tal. Och först senare, efter att pytagoreerna upptäckt inkommensurable segment, dök irrationella siffror upp. Till exempel, i decimala, quinära, binära och andra klassiska positionstalssystem valdes naturliga tal som en slags grundläggande princip: 10, 5, 2, från vilka, enligt vissa regler, alla andra naturliga, såväl som rationella och irrationella tal konstruerades.

Ett slags alternativ till de befintliga metoderna för numrering är ett nytt, irrationellt system, som den grundläggande principen för början av beräkningen av vilket ett irrationellt tal väljs (som, vi minns, är roten till den gyllene snittekvationen) ; andra reella tal uttrycks redan genom den.

I ett sådant talsystem är alla naturliga tal alltid representerade som ett ändligt tal – och inte oändligt, som man tidigare trott! är summan av potenser för någon av de gyllene S-proportionerna. Detta är en av anledningarna till att "irrationell" aritmetik, med fantastisk matematisk enkelhet och elegans, verkar ha absorberat de bästa egenskaperna hos klassisk binär och "Fibonacci" aritmetik.

PRINCIPER FÖR FORMNING I NATUREN

Allt som antog någon form, bildades, växte, strävade efter att ta plats i rymden och bevara sig själv. Denna strävan finner förverkligande huvudsakligen i två varianter: uppåtväxt eller spridning över jordens yta och vridning i en spiral.

Även Goethe betonade naturens tendens till spiralitet. Spiral- och spiralarrangemanget av löv på trädgrenar märktes för länge sedan.

Spiralen sågs i arrangemanget av solrosfrön, i kottar, ananas, kaktusar, etc. Botanikers och matematikers gemensamma arbete har belyst dessa fantastiska naturfenomen. Det visade sig att i arrangemanget av löv på en gren (phylotaxis), solrosfrön, tallkottar, manifesterar sig Fibonacci-serien, och därför manifesterar sig lagen om det gyllene snittet. Spindeln snurrar sitt nät i ett spiralmönster. En orkan är i spiral. En rädd flock renar sprider sig i en spiral. DNA-molekylen vrids till en dubbelspiral. Goethe kallade spiralen "livets kurva".

Mandelbrot-serien

Den gyllene spiralen är nära besläktad med cykler. modern vetenskap om kaosstudier enkla cykliska operationer med respons och fraktalformerna som genereras av dem, tidigare okända. Figuren visar den välkända Mandelbrot-serien – en sida ur ordboken h lemmar av individuella mönster, kallade Julian series. Vissa forskare associerar Mandelbrot-serien med genetisk kod cellkärnor. En konsekvent ökning av sektioner avslöjar fantastiska fraktaler i deras konstnärliga komplexitet. Och även här finns logaritmiska spiraler! Detta är desto viktigare eftersom både Mandelbrot-serien och Julian-serien inte är uppfinningar av det mänskliga sinnet. De härrör från riket av Platons prototyper. Som läkaren R. Penrose sa, "de är som Mount Everest"

Bland vägkantens gräs växer en omärklig växt - cikoria. Låt oss ta en närmare titt på det. En gren bildades från huvudstammen. Här är det första bladet.

Bihanget gör ett kraftigt utkast ut i rymden, stannar, släpper ett löv, men redan kortare än det första, gör återigen ett utkast ut i rymden, men med mindre kraft, släpper ett löv av ännu mindre storlek och kastar ut igen.

Om den första avvikelsen tas som 100 enheter, är den andra 62 enheter, den tredje är 38, den fjärde är 24 och så vidare. Längden på kronbladen är också föremål för det gyllene snittet. I tillväxten, erövringen av rymden, behöll växten vissa proportioner. Dess tillväxtimpulser minskade gradvis i proportion till det gyllene snittet.

Cikoria

Hos många fjärilar motsvarar förhållandet mellan storleken på bröst- och bukdelen av kroppen det gyllene snittet. Efter att ha vikta vingarna bildar nattfjärilen en regelbunden liksidig triangel. Men det är värt att sprida vingarna, och du kommer att se samma princip att dela kroppen i 2, 3, 5, 8. Sländan skapas också enligt lagarna för det gyllene snittet: förhållandet mellan längderna på svansen och kroppen är lika med förhållandet mellan den totala längden och längden på svansen.

I ödlan, vid första anblicken, fångas proportioner som är behagliga för våra ögon - längden på dess svans relaterar till längden på resten av kroppen som 62 till 38.

viviparös ödla

Både i växt- och djurvärlden slår naturens formande tendens ihärdigt igenom - symmetri med avseende på växtriktning och rörelse. Här visas det gyllene snittet i proportionerna av delar som är vinkelräta mot tillväxtriktningen.

Naturen har genomfört indelningen i symmetriska delar och gyllene proportioner. I delar manifesteras en upprepning av helhetens struktur.

Av stort intresse är studiet av fågeläggens former. Deras olika former fluktuerar mellan två extrema typer: en av dem kan vara inskriven i en rektangel av det gyllene snittet, den andra i en rektangel med en modul på 1,272 (roten av det gyllene snittet)

Sådana former av fågelägg är inte tillfälliga, eftersom det nu har fastställts att formen på äggen som beskrivs av förhållandet mellan det gyllene snittet motsvarar högre styrka hos äggskalet.

Betar av elefanter och utdöda mammutar, klor av lejon och näbbar av papegojor är logaritmiska former och liknar formen av en axel som tenderar att förvandlas till en spiral.

I vilda djur är former baserade på "femkantig" symmetri utbredd (sjöstjärna, sjöborrar, blommor).

Det gyllene snittet finns i strukturen av alla kristaller, men de flesta kristaller är mikroskopiskt små, så att vi inte kan se dem med blotta ögat. Men snöflingor, som också är vattenkristaller, är ganska tillgängliga för våra ögon. Alla figurer av utsökt skönhet som bildar snöflingor, alla yxor, cirklar och geometriska figurer i snöflingor är också alltid, utan undantag, byggda enligt den perfekta tydliga formeln för det gyllene snittet.

I mikrokosmos är tredimensionella logaritmiska former byggda enligt gyllene proportioner allestädes närvarande. Till exempel har många virus en tredimensionell geometrisk form av en ikosaeder. Det kanske mest kända av dessa virus är Adeno-viruset. Adeno-virusets proteinskal bildas av 252 enheter av proteinceller ordnade i en viss sekvens. Vid varje hörn av icosahedron finns 12 proteincellenheter i form av ett femkantigt prisma, och spikliknande strukturer sträcker sig från dessa hörn.

Adeno virus

Det gyllene snittet i virusstrukturen upptäcktes först på 1950-talet. forskare från Londons Birkbeck College A. Klug och D. Kaspar. Den första logaritmiska formen avslöjades i sig själv av Polyo-viruset. Formen av detta virus visade sig likna den för Rhino-viruset.

Frågan uppstår: hur bildar virus så komplexa tredimensionella former, vars enhet innehåller det gyllene snittet, som är ganska svårt att konstruera även med vårt mänskliga sinne? Upptäckaren av dessa former av virus, virologen A. Klug, gör följande kommentar: ”Dr. Kaspar och jag har visat att för virusets sfäriska skal är den mest optimala formen symmetri som formen på ikosaedern. En sådan ordning minimerar antalet anslutande element... De flesta av Buckminster Fullers geodetiska halvsfäriska kuber är konstruerade enligt en liknande geometrisk princip. Installationen av sådana kuber kräver ett extremt exakt och detaljerat förklaringsschema, medan omedvetna virus själva konstruerar ett så komplext skal av elastiska, flexibla proteincellenheter.

Klugs kommentar påminner återigen om en extremt uppenbar sanning: i strukturen av till och med en mikroskopisk organism, som forskare klassificerar som "den mest primitiva livsformen", i det här fallet ett virus, finns en tydlig plan och ett rimligt projekt har genomförts. Detta projekt är ojämförligt i sin perfektion och precision i utförande med de mest avancerade arkitektoniska projekt som skapats av människor. Till exempel projekt skapade av den lysande arkitekten Buckminster Fuller.

Tredimensionella modeller av dodecahedron och icosahedron finns också i strukturen av skeletten av encelliga marina mikroorganismer radiolarians (beamers), vars skelett är gjord av kiseldioxid.

Radiolarier formar sin kropp av en mycket utsökt, ovanlig skönhet. Deras form är en vanlig dodekaeder, och från vart och ett av dess hörn växer en pseudo-förlängning-lem och andra ovanliga former-tillväxter.

Den store Goethe, poet, naturforskare och konstnär (han målade och målade i akvarell), drömde om att skapa en enhetlig lära om organiska kroppars form, bildning och omvandling. Det var han som introducerade termen morfologi i vetenskapligt bruk.

Pierre Curie formulerade i början av vårt sekel ett antal djupgående idéer om symmetri. Han hävdade att man inte kan beakta symmetrin hos någon kropp utan att ta hänsyn till miljöns symmetri.

DEN MÄNNISKA KROPPEN OCH DET GULDNA AVSNITTET

Alla mänskliga ben är i proportion till det gyllene snittet. Proportioner olika delar vår kropp är ett tal mycket nära det gyllene snittet. Om dessa proportioner sammanfaller med formeln för det gyllene snittet, anses utseendet eller kroppen på en person vara idealiskt byggd.

Gyllene proportioner i delar av människokroppen

Om vi tar navelpunkten som centrum för människokroppen och avståndet mellan den mänskliga foten och navelpunkten som en måttenhet, så motsvarar en persons höjd talet 1,618.

avståndet från nivån på axeln till huvudets krona och storleken på huvudet är 1:1.618;
avståndet från navelns spets till huvudets krona och från nivån på axeln till huvudets krona är 1:1.618;
avståndet från navelpunkten till knäna och från knäna till fötterna är 1:1,618;
avståndet från spetsen av hakan till spetsen av överläppen och från spetsen av överläppen till näsborrarna är 1:1,618;
i själva verket är den exakta närvaron av den gyllene proportionen i ansiktet på en person skönhetsidealet för den mänskliga blicken;
avståndet från spetsen på hakan till ögonbrynens översta linje och från ögonbrynens översta linje till kronan är 1:1,618;
ansiktshöjd/ansiktsbredd;
den centrala anslutningspunkten för läpparna till näsans bas / näsans längd;
ansiktshöjd/avstånd från spetsen på hakan till mittpunkten av läpparnas sammanfogning;
munbredd/näsvidd;
näsans bredd/avståndet mellan näsborrarna;
avstånd mellan pupiller / avstånd mellan ögonbryn.

Det räcker bara att föra handflatan närmare dig nu och noggrant titta på pekfinger, och du hittar omedelbart den gyllene snittformeln i den.

Varje finger i vår hand består av tre falanger. Summan av längderna av fingrets två första falanger i förhållande till fingrets hela längd ger det gyllene snittet (med undantag för tummen).

Dessutom är förhållandet mellan långfingret och lillfingret också lika med det gyllene snittet.

En person har 2 händer, fingrarna på varje hand består av 3 falanger (med undantag för tummen). Varje hand har 5 fingrar, det vill säga 10 totalt, men med undantag för två tvåfalangeala tummar skapas endast 8 fingrar enligt principen om det gyllene snittet. Medan alla dessa nummer 2, 3, 5 och 8 är numren i Fibonacci-sekvensen.

Det bör också noteras att hos de flesta människor är avståndet mellan ändarna på de spridda armarna lika med höjden.

Sanningarna om det gyllene snittet finns inom oss och i vårt utrymme. Det speciella med bronkerna som utgör en persons lungor ligger i deras asymmetri. Bronkerna består av två huvudluftvägar, en (vänster) är längre och den andra (höger) är kortare. Man fann att denna asymmetri fortsätter i bronkernas grenar, i alla mindre luftvägar. Dessutom är förhållandet mellan längden på korta och långa bronkier också det gyllene snittet och är lika med 1:1,618.

I det mänskliga inre örat finns ett organ Cochlea ("Snigel"), som utför funktionen att överföra ljudvibrationer. Denna benstruktur är fylld med vätska och även skapad i form av en snigel, innehållande en stabil logaritmisk spiralform =73 0 43".

Blodtrycket förändras när hjärtat slår. Den når sitt högsta värde i hjärtats vänstra kammare vid tidpunkten för sin sammandragning (systole). I artärerna under systolen i hjärtats ventriklar når blodtrycket ett maximalt värde lika med 115-125 mm Hg hos en ung, frisk person. I ögonblicket av avslappning av hjärtmuskeln (diastole) minskar trycket till 70-80 mm Hg. Förhållandet mellan det maximala (systoliska) och det minimala (diastoliska) trycket är i genomsnitt 1,6, det vill säga nära det gyllene snittet.

Om vi tar medelblodtrycket i aortan som en enhet, så är det systoliska blodtrycket i aortan 0,382, och det diastoliska 0,618, det vill säga deras förhållande motsvarar det gyllene snittet. Detta innebär att hjärtats arbete i förhållande till tidscykler och förändringar i blodtrycket optimeras enligt samma princip i lagen om det gyllene snittet.

DNA-molekylen består av två vertikalt sammanflätade helixar. Var och en av dessa spiraler är 34 ångström lång och 21 ångström bred. (1 ångström är en hundra miljondels centimeter).

Strukturen av helixsektionen av DNA-molekylen

Så 21 och 34 är nummer som följer efter varandra i sekvensen av Fibonacci-tal, det vill säga förhållandet mellan längden och bredden på DNA-molekylens logaritmiska helix bär formeln för det gyllene snittet 1: 1,618.

GULD SNITT I SKULPTUR

Skulpturer, monument är uppförda för att fira minnet betydande händelser, att i minnet av ättlingar behålla namnen på kända personer, deras bedrifter och gärningar. Det är känt att även i antiken var grunden för skulpturen teorin om proportioner. Förhållandet mellan delarna av människokroppen var förknippat med formeln för det gyllene snittet. Proportionerna av det "gyllene snittet" skapar intrycket av harmoni, skönhet, så skulptörerna använde dem i sina verk. Skulptörer hävdar att midjan delar den perfekta människokroppen i förhållande till det "gyllene snittet". Till exempel, berömd staty Apollo Belvedere består av delar som är indelade efter gyllene snitt. Den store antika grekiske skulptören Phidias använde ofta "det gyllene snittet" i sina verk. De mest kända av dem var statyn av Olympian Zeus (som ansågs vara ett av världens underverk) och Athena Parthenon.

Den gyllene delen av statyn av Apollo Belvedere är känd: höjden på den avbildade personen delas av navellinjen i det gyllene snittet.

GULD SNITT I ARKITEKTUR

I böcker om "det gyllene snittet" kan man hitta anmärkningen att i arkitektur, som i målning, beror allt på betraktarens position, och om vissa proportioner i en byggnad å ena sidan verkar bilda det "gyllene snittet", från andra synvinklar kommer de att se annorlunda ut. Det "gyllene snittet" ger det mest avslappnade förhållandet mellan storlekarna på vissa längder.

Ett av de vackraste verken av antik grekisk arkitektur är Parthenon (V-talet f.Kr.).

Ses på ritningarna hela raden mönster förknippade med det gyllene snittet. Byggnadens proportioner kan uttryckas genom olika grader av talet Ф = 0,618 ...

Parthenon har 8 kolumner på kortsidorna och 17 på de långa. Avsatserna är helt gjorda av fyrkanter av pentilisk marmor. Adeln av det material som templet byggdes av gjorde det möjligt att begränsa användningen av färgsättning, vanlig i grekisk arkitektur, den framhäver bara detaljerna och bildar en färgad bakgrund (blå och röd) för skulpturen. Förhållandet mellan byggnadens höjd och dess längd är 0,618. Om vi delar upp Parthenon efter det "gyllene snittet" får vi vissa utsprång på fasaden.

På planritningen av Parthenon kan du också se de "gyllene rektanglarna".

Vi kan se det gyllene snittet i byggnaden av katedralen Notre Dame i Paris(Notre Dame de Paris), och i Cheops-pyramiden.

Inte bara de egyptiska pyramiderna byggdes i enlighet med det gyllene snittets perfekta proportioner; samma fenomen finns i de mexikanska pyramiderna.

Under en lång tid trodde att arkitekterna Forntida Ryssland byggde allt "med ögat", utan några speciella matematiska beräkningar. Den senaste forskningen har dock visat att ryska arkitekter kände till matematiska proportioner väl, vilket framgår av analysen av geometrin hos antika tempel.

Den berömda ryske arkitekten M. Kazakov använde i stor utsträckning "det gyllene snittet" i sitt arbete. Hans talang var mångfacetterad, men i större utsträckning visade han sig i många genomförda projekt av bostadshus och gods. Till exempel kan "det gyllene snittet" hittas i arkitekturen i senatsbyggnaden i Kreml. Enligt M. Kazakovs projekt byggdes Golitsyn-sjukhuset i Moskva, som för närvarande kallas det första kliniskt sjukhus uppkallad efter N.I. Pirogov.

Petrovsky Palace i Moskva. Byggd enligt projektet av M.F. Kazakova

Ett annat arkitektoniskt mästerverk i Moskva - Pashkovhuset - är ett av de mest perfekta arkitekturverken av V. Bazhenov.

Pashkovs hus

Den underbara skapelsen av V. Bazhenov har gått in i ensemblen i det moderna Moskvas centrum, berikat det. Utsikten över huset har varit nästan oförändrad till denna dag, trots att det brändes svårt 1812. Under restaureringen fick byggnaden mer massiva former. Byggnadens invändiga planlösning har inte heller bevarats, vilket endast ritningen av undervåningen ger en uppfattning om.

Många uttalanden från arkitekten förtjänar uppmärksamhet i våra dagar. Om sin favoritkonst sa V. Bazhenov: "Arkitektur har tre huvudämnen: byggnadens skönhet, lugn och styrka ... För att uppnå detta tjänar kunskapen om proportioner, perspektiv, mekanik eller fysik i allmänhet som en guide, och alla har en gemensam ledare är förnuftet.”

GYLLIGT STOLT I MUSIK

Varje musikstycke har en tidsspann och är uppdelad i några "estetiska milstolpar" i separata delar som väcker uppmärksamhet och underlättar uppfattningen som helhet. Dessa milstolpar kan vara dynamiska och innationella kulminationspunkter för ett musikaliskt verk. Separata tidsintervall för ett musikstycke, sammankopplade av en "klimaktisk händelse", är som regel i förhållandet mellan det gyllene snittet.

Redan 1925, konstkritikern L.L. Sabaneev, efter att ha analyserat 1770 musikstycken av 42 författare, visade att de allra flesta framstående verk lätt kan delas in i delar antingen efter tema eller intonation eller efter modalt system, som står i relation till det gyllene snittet. Dessutom, ju mer begåvad kompositören var, desto mer gyllene sektioner fanns i hans verk. Enligt Sabaneev leder det gyllene snittet till intrycket av en speciell harmoni musikalisk komposition. Detta resultat verifierades av Sabaneev på alla 27 Chopin-etyder. Han hittade 178 gyllene snitt i dem. Samtidigt visade det sig att inte bara stora delar av etyderna är uppdelade efter varaktighet i förhållande till det gyllene snittet, utan delar av etyderna inuti är ofta uppdelade i samma förhållande.

Kompositör och vetenskapsman M.A. Marutaev räknade antalet mått i den berömda Appassionata-sonaten och fann ett antal intressanta numeriska samband. I synnerhet i utvecklingen, sonatens centrala strukturella enhet, där teman utvecklas intensivt och nycklar ersätter varandra, finns det två huvudsektioner. I den första - 43,25 cykler, i den andra - 26,75. Förhållandet 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 ger det gyllene snittet.

Arensky (95 %), Beethoven (97 %), Haydn (97 %), Mozart (91 %), Chopin (92 %), Schubert (91 %) har det största antalet verk där det finns ett gyllene snitt.

Om musik är den harmoniska ordningen av ljud, så är poesin den harmoniska ordningen av talet. En tydlig rytm, en regelbunden växling av betonade och obetonade stavelser, en ordnad dimensionalitet av dikter, deras känslomässiga rikedom gör poesi syster musikaliska verk. Det gyllene snittet i poesi manifesteras främst som närvaron av ett visst ögonblick av dikten (klimax, semantisk vändpunkt, huvudtanken produkter) på raden som kan hänföras till delningspunkten Totala numret rader i dikten i det gyllene snittet. Så om dikten innehåller 100 rader, faller den första punkten i det gyllene snittet på den 62:a raden (62%), den andra - den 38:e (38%), etc. Alexander Sergeevich Pushkins verk, inklusive "Eugene Onegin", är den finaste korrespondensen till det gyllene snittet! Verk av Shota Rustaveli och M.Yu. Lermontov är också byggda på principen om det gyllene snittet.

Stradivari skrev att han använde det gyllene snittet för att bestämma platserna för f-formade skåror på kroppen av sina berömda fioler.

GYLLIGA AVSNITT I POESIN

Forskning poesi från dessa positioner bara börja. Och du måste börja med poesin av A.S. Pusjkin. När allt kommer omkring är hans verk ett exempel på de mest framstående skapelserna av rysk kultur, ett exempel den högsta nivån harmoni. Ur dikten av A.S. Pushkin, vi kommer att börja sökandet efter det gyllene snittet - måttet på harmoni och skönhet.

Mycket i strukturen av poetiska verk gör denna konstform relaterad till musik. En tydlig rytm, en regelbunden växling av betonade och obetonade stavelser, en ordnad dimensionalitet av dikter, deras känslomässiga rikedom gör poesin till en syster till musikaliska verk. Varje vers har sin egen musikalisk form, dess rytm och melodi. Det kan förväntas att i diktstrukturen kommer vissa drag av musikaliska verk att dyka upp, mönster musikalisk harmoni och därav det gyllene snittet.

Låt oss börja med diktens storlek, det vill säga antalet rader i den. Det verkar som om denna parameter i dikten kan ändras godtyckligt. Det visade sig dock att så inte var fallet. Till exempel analysen av dikter av A.S. Pushkin visade att storleken på verserna är väldigt ojämnt fördelade; det visade sig att Pushkin helt klart föredrar storlekarna 5, 8, 13, 21 och 34 linjer (Fibonacci-nummer).

Många forskare har märkt att dikter liknar varandra musikaliska verk; de har också klimatpunkter som delar dikten i proportion till det gyllene snittet. Betrakta till exempel en dikt av A.S. Pushkin "Skomakare":

Låt oss analysera denna liknelse. Dikten består av 13 rader. Den belyser två semantiska delar: den första på 8 rader och den andra (liknelsens moral) på 5 rader (13, 8, 5 är Fibonacci-talen).

En av Pushkins sista dikter, "Jag värdesätter inte högprofilerade rättigheter ..." består av 21 rader och två semantiska delar urskiljs i den: i 13 och 8 rader:

Jag värdesätter inte högprofilerade rättigheter,

Varav ingen är yr.

Jag gnäller inte över det faktum att gudarna vägrade

Jag är i den söta massan av utmanande skatter

Eller hindra kungarna från att slåss med varandra;

Och lite sorg för mig, är pressen fri

Lura bröst, eller känslig censur

I tidningsplaner är jokern pinsam.

Allt detta ser du, ord, ord, ord.

Andra, bättre, rättigheter ligger mig varmt om hjärtat:

En annan, bättre, jag behöver frihet:

Beror på kungen, beroende av folket -

Bryr vi oss inte alla? Gud är med dem.

Ge inte en rapport, bara till dig själv

Servera och snälla; för kraft, för livré

Böj inte varken samvete, tankar eller nacke;

På ditt infall att vandra hit och dit,

Förundras över naturens gudomliga skönhet,

Och före konstens och inspirationens varelser

darrar av glädje av ömhet,

Här är lyckan! Det är rätt...

Det är karakteristiskt att den första delen av denna vers (13 rader) är uppdelad i 8 och 5 rader vad gäller semantiskt innehåll, det vill säga att hela dikten är uppbyggd enligt det gyllene snittets lagar.

Av otvivelaktigt intresse är analysen av romanen "Eugene Onegin" gjord av N. Vasyutinskiy. Denna roman består av 8 kapitel, vart och ett med ett genomsnitt på cirka 50 verser. Det mest perfekta, det mest raffinerade och känslomässigt rika är det åttonde kapitlet. Den har 51 verser. Tillsammans med Jevgenys brev till Tatyana (60 rader) motsvarar detta exakt Fibonacci-talet 55!

N. Vasyutinsky säger: "Kulminationen av kapitlet är Evgenys kärleksförklaring till Tatyana - raden "Blek och blekna ... det är lycka!" Denna rad delar upp hela det åttonde kapitlet i två delar: den första har 477 rader och den andra har 295 rader. Deras förhållande är 1,617! Den subtilaste överensstämmelsen med värdet av det gyllene snittet! Detta är ett stort mirakel av harmoni, utfört av Pushkins geni!

E. Rosenov analyserade många poetiska verk av M.Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoj och upptäckte också det "gyllene snittet" i dem.

Lermontovs berömda dikt "Borodino" är uppdelad i två delar: en introduktion riktad till berättaren, som bara upptar en strof ("Säg mig, farbror, det är inte för intet ..."), och huvudsak, som representerar en oberoende helhet, som är uppdelad i två ekvivalenta delar. Den första av dem beskriver, med ökande spänning, förväntan på en strid, den andra beskriver själva striden med en gradvis avtagande av spänningen mot slutet av dikten. Gränsen mellan dessa delar är verkets klimax och hamnar precis på den punkten att dela det med det gyllene snittet.

Huvuddelen av dikten består av 13 sju rader, det vill säga 91 rader. Om vi delar det med det gyllene snittet (91:1,618=56,238), ser vi till att delningspunkten är i början av den 57:e versen, där det finns en kort fras: "Ja, det var en dag!" Det är denna fras som representerar den "kulminerande punkten för upphetsad förväntan", som avslutar den första delen av dikten (förväntan om slaget) och öppnar dess andra del (beskrivning av striden).

Således spelar det gyllene snittet en mycket meningsfull roll i poesin, och lyfter fram diktens klimax.

Många forskare av Shota Rustavelis dikt "Riddaren i panterns hud" noterar den exceptionella harmonin och melodin i hans vers. Dessa egenskaper hos dikten georgisk vetenskapsman, akademiker G.V. Tsereteli tillskriver det poetens medvetna användning av det gyllene snittet både i formen av dikten och i konstruktionen av hennes dikter.

Rustavelis dikt består av 1587 strofer, som var och en består av fyra rader. Varje rad består av 16 stavelser och är uppdelad i två lika delar om 8 stavelser i varje halvrad. Alla hemistiches är uppdelade i två segment av två typer: A - en hemistich med lika segment och ett jämnt antal stavelser (4 + 4); B är en halvlinje med en asymmetrisk uppdelning i två ojämna delar (5+3 eller 3+5). På halvlinjen B är alltså förhållandena 3:5:8, vilket är en approximation till det gyllene snittet.

Det har konstaterats att av 1587 strofer i Rustavelis dikt är mer än hälften (863) konstruerade enligt det gyllene snittets princip.

I vår tid har en ny sorts konst fötts - film, som har absorberat dramaturgin av action, måleri, musik. Det är legitimt att leta efter manifestationer av det gyllene snittet i enastående filmverk. Den första att göra detta var skaparen av världsfilmens mästerverk "Battleship Potemkin", filmregissören Sergei Eisenstein. I konstruktionen av denna bild lyckades han förkroppsliga den grundläggande principen om harmoni - det gyllene snittet. Som Eisenstein själv konstaterar vajar den röda flaggan på masten på det upproriska slagskeppet (filmens apogeepunkt) vid det gyllene snittet, räknat från slutet av filmen.

GYLLIGT FÖRHÅLLNING I TECKENSNITT OCH HUSHÅLLSFÖRESKRIFTER

speciell sort visuella konsterna Antikens Grekland det är nödvändigt att lyfta fram tillverkningen och målningen av olika kärl. I en elegant form är proportionerna av det gyllene snittet lätt att gissa.

I målning och skulptur av tempel, på hushållsartiklar, avbildade de forntida egyptierna oftast gudar och faraoner. Kanonerna för bilden av en stående person, gående, sittande etc. fastställdes. Konstnärer var tvungna att memorera individuella former och scheman av bilder från tabeller och prover. Forntida grekiska konstnärer gjorde speciella resor till Egypten för att lära sig hur man använder kanonen.

OPTIMALA FYSISKA PARAMETRAR FÖR DEN YTTRE MILJÖN

Det är känt att max ljudvolym, som orsakar smärta, är lika med 130 decibel. Om vi delar detta intervall med det gyllene snittet på 1,618 får vi 80 decibel, vilket är typiskt för ljudstyrkan av ett mänskligt skrik. Om vi nu delar 80 decibel med det gyllene snittet får vi 50 decibel, vilket motsvarar ljudstyrkan i mänskligt tal. Slutligen, om vi dividerar 50 decibel med kvadraten på det gyllene snittet på 2,618, får vi 20 decibel, vilket motsvarar en mänsklig viskning. Således är alla karakteristiska parametrar för ljudvolym sammankopplade genom det gyllene snittet.

Vid en temperatur på 18-20 0 C intervall fuktighet 40-60 % anses vara optimalt. Gränserna för det optimala luftfuktighetsintervallet kan erhållas om den absoluta luftfuktigheten på 100 % delas två gånger med det gyllene snittet: 100 / 2,618 = 38,2 % (nedre gränsen); 100/1,618=61,8% (övre gräns).

På lufttryck 0,5 MPa, en person upplever obehag, hans fysiska och psykologisk aktivitet. Vid ett tryck på 0,3-0,35 MPa tillåts endast kortvarig drift, och vid ett tryck på 0,2 MPa är det tillåtet att arbeta i högst 8 minuter. Alla dessa karakteristiska parametrar är sammankopplade av det gyllene snittet: 0,5/1,618=0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Gränsparametrar utomhustemperatur, inom vilken den normala existensen (och, viktigast av allt, ursprunget) för en person är möjlig, är temperaturintervallet från 0 till + (57-58) 0 C. Uppenbarligen kan den första gränsen för förklaringar utelämnas.

Vi dividerar det indikerade området för positiva temperaturer med det gyllene snittet. I det här fallet får vi två gränser (båda gränserna är temperaturer som är karakteristiska för människokroppen): den första motsvarar temperaturen, den andra gränsen motsvarar den maximala möjliga utomhustemperaturen för människokroppen.

GULD SNITT I MÅLNING

Redan under renässansen upptäckte konstnärer att varje bild har vissa punkter som ofrivilligt drar till sig vår uppmärksamhet, de så kallade visuella centra. I det här fallet spelar det ingen roll vilket format bilden har horisontellt eller vertikalt. Det finns bara fyra sådana punkter, och de är belägna på ett avstånd av 3/8 och 5/8 från motsvarande kanter på planet.

Denna upptäckt bland dåtidens konstnärer kallades bildens "gyllene snitt".

Om man vänder sig till exempel på det "gyllene snittet" i måleriet kan man inte annat än stoppa uppmärksamheten på Leonardo da Vincis verk. Hans identitet är ett av historiens mysterier. Leonardo da Vinci sa själv: "Låt ingen som inte är matematiker våga läsa mina verk."

Han blev berömmelse som en oöverträffad konstnär, en stor vetenskapsman, ett geni som förutsåg många uppfinningar som inte implementerades förrän på 1900-talet.

Det råder ingen tvekan om att Leonardo da Vinci var en stor konstnär, hans samtida insåg redan detta, men hans personlighet och aktiviteter kommer att förbli höljda i mystik, eftersom han inte lämnade till eftervärlden en sammanhängande presentation av sina idéer, utan bara många handskrivna skisser, noterar som säger "både allt i världen."

Han skrev från höger till vänster med oläslig handstil och med vänster hand. Detta är det mest kända exemplet på spegelskrift som finns.

Porträttet av Monna Lisa (Gioconda) har uppmärksammats av forskare i många år, som fann att sammansättningen av teckningen är baserad på gyllene trianglar som är delar av en vanlig stjärnfemhörning. Det finns många versioner om detta porträtts historia. Här är en av dem.

En gång fick Leonardo da Vinci en order från bankiren Francesco del Giocondo att måla ett porträtt av en ung kvinna, bankirens fru, Monna Lisa. Kvinnan var inte vacker, men hon attraherades av enkelheten och naturligheten i hennes utseende. Leonardo gick med på att måla ett porträtt. Hans modell var ledsen och ledsen, men Leonardo berättade för henne en saga, efter att ha hört den blev hon levande och intressant.

SAGA. Det var en gång en fattig man, han hade fyra söner: tre smarta, och en av dem hit och dit. Och så kom döden för fadern. Innan han avsked med sitt liv kallade han sina barn till sig och sa: ”Mina söner, snart kommer jag att dö. Så fort du begravt mig, lås in kojan och åk till världens ändar för att tjäna din egen förmögenhet. Må var och en av er lära sig något så att ni kan mata er själva.” Fadern dog och sönerna skingrades runt om i världen och gick med på att återvända till gläntan i deras inhemska lund tre år senare. Den första brodern kom, som lärde sig snickra, fällde ett träd och högg det, gjorde en kvinna av det, gick iväg lite och väntar. Den andra brodern kom tillbaka, såg en träkvinna och, eftersom han var skräddare, klädde han på henne på en minut: skicklig hantverkare han gjorde vackra sidenkläder åt henne. Den tredje sonen prydde kvinnan med guld och värdefulla stenar För att han var juvelerare. Äntligen kom den fjärde brodern. Han kunde inte snickra och sy, han kunde bara lyssna på vad jorden, träden, örterna, djuren och fåglarna sa, han kunde himlakropparnas gång och kunde också sjunga underbara sånger. Han sjöng en sång som fick bröderna som gömde sig bakom buskarna att gråta. Med den här låten återupplivade han kvinnan, hon log och suckade. Bröderna rusade fram till henne och ropade var och en samma sak: "Du måste vara min fru." Men kvinnan svarade: "Du skapade mig - var min far. Du klädde mig, och du dekorerade mig - var mina bröder. Och du, som andades in min själ i mig och lärde mig att njuta av livet, jag behöver dig ensam för livet.

Efter att ha avslutat sagan tittade Leonardo på Monna Lisa, hennes ansikte lyste upp av ljus, hennes ögon lyste. Sedan, som om hon vaknade ur en dröm, suckade hon, förde handen över ansiktet och gick utan ett ord till sin plats, knäppte händerna och intog sin vanliga hållning. Men dåden var gjord - konstnären väckte den likgiltiga statyn; salighetens leende, som långsamt försvann från hennes ansikte, stannade kvar i mungiporna och darrade, vilket gav hennes ansikte ett fantastiskt, mystiskt och lite slug uttryck, som det hos en person som har lärt sig en hemlighet och som noggrant bevarar den inte kan hålla tillbaka sin triumf. Leonardo arbetade i tysthet, rädd att missa detta ögonblick, denna solstråle som lyste upp hans tråkiga modell...

Det är svårt att notera vad som märktes i detta konstverk, men alla talade om Leonardos djupa kunskap om människokroppens struktur, tack vare vilken han lyckades fånga detta, så att säga, mystiska leende. De pratade om uttrycksfullheten hos enskilda delar av bilden och om landskapet, en aldrig tidigare skådad följeslagare till porträttet. De pratade om uttryckets naturlighet, enkelheten i posen, händernas skönhet. Konstnären har gjort något aldrig tidigare skådat: bilden föreställer luft, den omsluter figuren med en genomskinlig dis. Trots framgångarna var Leonardo dyster, situationen i Florens verkade smärtsam för konstnären, han gjorde sig redo att gå. Påminnelser om översvämningsorder hjälpte honom inte.

Det gyllene snittet på bilden av I.I. Shishkin "Pine Grove". I denna berömda målning av I.I. Shishkin, motiven till det gyllene snittet är tydligt synliga. Den starkt upplysta tallen (som står i förgrunden) delar upp bildens längd enligt det gyllene snittet. Till höger om tallen finns en kulle upplyst av solen. Den delar upp den högra sidan av bilden horisontellt enligt det gyllene snittet. Till vänster om huvudfuran finns det många tallar - om du vill kan du framgångsrikt fortsätta dela upp bilden enligt det gyllene snittet och vidare.

talllund

Närvaron i bilden av ljusa vertikaler och horisonter, som delar den i förhållande till det gyllene snittet, ger den karaktären av balans och lugn i enlighet med konstnärens avsikt. När konstnärens avsikt är annorlunda, om han till exempel skapar en bild med en snabbt utvecklande handling, blir ett sådant geometriskt kompositionsschema (med en övervägande av vertikaler och horisonter) oacceptabelt.

IN OCH. Surikov. "Boyar Morozova"

Hennes roll är tilldelad mitten av bilden. Den är bunden av punkten för den högsta stigningen och punkten för det lägsta fallet i bildens plot: stigningen av Morozovas hand med korstecknet med två fingrar, som den högsta punkten; hjälplöst utsträckt hand till samma adelsfru, men denna gång en gammal kvinnas hand - en tiggarvandrare, en hand underifrån som tillsammans med sista hoppetänden av släden glider ut för frälsning.

Och hur är det med " högsta punkt"? Vid första anblicken har vi en till synes motsägelse: trots allt går sektionen A 1 B 1, som är 0,618 ... från högerkanten av bilden, inte genom armen, inte ens genom huvudet eller ögat på adelsdam, men visar sig vara någonstans framför adelskvinnans mun.

Det gyllene snittet skär här verkligen på det viktigaste. I det, och det är i det - största makt Morozova.

Det finns ingen målning mer poetisk än Sandro Botticellis, och den store Sandro har ingen målning mer känd än sin Venus. För Botticelli är hans Venus förkroppsligandet av en idé universell harmoni"gyllene snitt" som råder i naturen. Den proportionella analysen av Venus övertygar oss om detta.

Venus

Raphael "Atens skola". Raphael var ingen matematiker, men som många konstnärer från den eran hade han stor kunskap om geometri. I den berömda fresken "The School of Athens", där antikens stora filosofers sällskap hålls i vetenskapens tempel, lockas vår uppmärksamhet av gruppen Euklid, den största antika grekiska matematikern, som plockar isär en komplex teckning.

Den geniala kombinationen av två trianglar är också byggd i enlighet med det gyllene snittet: den kan skrivas in i en rektangel med bildförhållandet 5/8. Denna ritning är förvånansvärt lätt att infoga i den övre delen av arkitekturen. Övre hörnet triangeln vilar mot bågens slutsten i området närmast betraktaren, den nedre - vid perspektivens försvinnande punkt, och sidosektionen indikerar proportionerna av det rumsliga gapet mellan de två delarna av bågarna.

Den gyllene spiralen i Rafaels målning "De oskyldigas massaker". Till skillnad från det gyllene snittet är känslan av dynamik, spänning, kanske mest uttalad i en annan enkel geometrisk figur - spiralen. Flerfigurskompositionen, gjord 1509 - 1510 av Raphael, när den berömda målaren skapade sina fresker i Vatikanen, utmärks bara av handlingens dynamik och dramatik. Raphael fullbordade aldrig sin idé, men hans skiss graverades av en okänd italiensk grafiker Marcantinio Raimondi, som baserat på denna skiss skapade massakern på de oskyldiga.

Massaker av oskyldiga

Om vi på den förberedande skissen av Raphael mentalt ritar linjer som löper från kompositionens semantiska centrum - punkterna där krigarens fingrar stängde sig runt barnets fotled, längs barnets figurer, kvinnan som klamrade honom till sig själv, krigaren med svärdet upphöjt, och sedan längs figurerna i samma grupp på höger sida skiss (i figuren är dessa linjer ritade i rött), och anslut sedan dessa delar av kurvan med en prickad linje, sedan en gyllene spiral erhålls med mycket hög noggrannhet. Detta kan kontrolleras genom att mäta förhållandet mellan längderna av segmenten som skärs av spiralen på de raka linjerna som går genom början av kurvan.

GYLLIGT KNATIO OCH BILDUPPFINNELSE

Förmågan hos den mänskliga visuella analysatorn att särskilja objekt byggda enligt den gyllene sektionsalgoritmen som vackra, attraktiva och harmoniska har länge varit känd. Det gyllene snittet ger känslan av den mest perfekta enhetliga helheten. Formatet på många böcker följer det gyllene snittet. Det är valt för fönster, målningar och kuvert, frimärken, visitkort. En person kanske inte vet något om numret Ф, men i strukturen av föremål, såväl som i händelseförloppet, hittar han undermedvetet element i det gyllene snittet.

Studier har genomförts där försökspersoner ombads välja och kopiera rektanglar av olika proportioner. Det fanns tre rektanglar att välja mellan: en fyrkantig (40:40 mm), en rektangel med "gyllene snitt" med ett bildförhållande på 1:1,62 (31:50 mm) och en rektangel med långsträckta proportioner på 1:2,31 (26: 60 mm).

När du väljer rektanglar i normalt tillstånd ges i 1/2 fall företräde till en kvadrat. Den högra hjärnhalvan föredrar det gyllene snittet och avvisar den långsträckta rektangeln. Tvärtom, den vänstra hjärnhalvan dras mot långsträckta proportioner och förkastar det gyllene snittet.

Vid kopiering av dessa rektanglar observerades följande: när den högra hjärnhalvan var aktiv bibehölls proportionerna i kopiorna mest exakt; när den vänstra hjärnhalvan var aktiv förvrängdes proportionerna för alla rektanglarna, rektanglarna sträcktes (kvadraten ritades som en rektangel med ett bildförhållande på 1:1,2; proportionerna för den sträckta rektangeln ökade kraftigt och nådde 1:2,8 ). Den "gyllene" rektangelns proportioner var starkast förvrängda; dess proportioner i kopior blev proportionerna för rektangeln 1:2,08.

När du ritar dina egna ritningar råder proportioner nära det gyllene snittet och avlånga. I genomsnitt är proportionerna 1:2, medan den högra hjärnhalvan föredrar proportionerna av den gyllene sektionen, den vänstra hjärnhalvan rör sig bort från proportionerna av den gyllene sektionen och sträcker ut mönstret.

Rita nu några rektanglar, mät deras sidor och hitta bildförhållandet. Vilken halvklot har du?

DET GYLLIGA SNITTET I FOTOGRAFI

Ett exempel på användningen av det gyllene snittet i fotografering är placeringen av ramens nyckelkomponenter vid punkter som är placerade 3/8 och 5/8 från ramens kanter. Detta kan illustreras av följande exempel: ett fotografi av en katt, som är placerad på en godtycklig plats i ramen.

Låt oss nu villkorligt dela upp ramen i segment, i proportionen 1,62 av den totala längden från varje sida av ramen. I skärningspunkten mellan segmenten kommer det att finnas de viktigaste "visuella centra" där det är värt att placera de nödvändiga nyckelelement Bilder. Låt oss flytta vår katt till punkterna för "visuella centra".

GYLDIGT FÖRHÅLLNING OCH RYMD

Det är känt från astronomins historia att I. Titius, en tysk astronom från 1700-talet, med hjälp av denna serie fann regelbundenhet och ordning i avstånden mellan solsystemets planeter.

Men ett fall som verkade vara mot lagen: det fanns ingen planet mellan Mars och Jupiter. Fokuserad observation av detta område av himlen ledde till upptäckten av asteroidbältet. Detta skedde efter Titius död i början av 1800-talet. Fibonacci-serien används flitigt: med dess hjälp representerar de arkitekturen hos levande varelser och konstgjorda strukturer och galaxernas struktur. Dessa fakta är bevis på nummerseriens oberoende från villkoren för dess manifestation, vilket är ett av tecknen på dess universalitet.

Galaxens två gyllene spiraler är kompatibla med Davidsstjärnan.

Var uppmärksam på stjärnorna som dyker upp från galaxen i en vit spiral. Exakt 180 0 från en av spiralerna kommer ytterligare en utspelande spiral ut ... Länge trodde astronomer helt enkelt att allt som finns är det vi ser; om något är synligt så finns det. Antingen märkte de inte alls den osynliga delen av Verkligheten, eller så ansåg de inte att den var viktig. Men den osynliga sidan av vår Verklighet är faktiskt mycket större än den synliga sidan och förmodligen viktigare... Med andra ord är den synliga delen av Verkligheten mycket mindre än en procent av helheten - nästan ingenting. Faktum är att vårt sanna hem är det osynliga universum...

I universum existerar alla galaxer som är kända för mänskligheten och alla kroppar i dem i form av en spiral, motsvarande formeln för det gyllene snittet. I spiralen av vår galax ligger det gyllene snittet

SLUTSATS

Naturen, uppfattad som hela världen i mångfalden av dess former, består så att säga av två delar: livlig och livlös natur. Kreationer av livlös natur kännetecknas av hög stabilitet, låg variation, att döma av omfattningen av mänskligt liv. En människa föds, lever, åldras, dör, men granitbergen förblir desamma och planeterna kretsar runt solen på samma sätt som på Pythagoras tid.

Vilda djurs värld framstår framför oss helt annorlunda - mobil, föränderlig och förvånansvärt mångsidig. Livet visar oss en fantastisk karneval av mångfald och originalitet av kreativa kombinationer! Den livlösa naturens värld är för det första en värld av symmetri, som ger stabilitet och skönhet åt hans skapelser. Naturens värld är för det första en värld av harmoni, där "det gyllene snittets lag" verkar.

I den moderna världen är vetenskap av särskild betydelse, på grund av människans ökade inverkan på naturen. Viktiga uppgifter i detta skede är sökandet efter nya sätt att samexistens mellan människa och natur, studiet av filosofiska, sociala, ekonomiska, utbildningsmässiga och andra problem som samhället står inför.

I denna uppsats, påverkan av egenskaperna hos "det gyllene snittet" på levande och icke-levande vilda djur och växter, om det historiska utvecklingsförloppet för mänsklighetens historia och planeten som helhet. Genom att analysera allt ovanstående kan man återigen förundras över storheten i världens kognitionsprocessen, upptäckten av dess ständigt nya mönster och dra slutsatsen: principen om det gyllene snittet är den högsta manifestationen av den strukturella och funktionella perfektionen av helheten och dess delar inom konst, vetenskap, teknik och natur. Det kan förväntas att utvecklingslagarna för olika natursystem, tillväxtlagarna, inte är särskilt olika och kan spåras i de mest skilda formationer. Detta är manifestationen av naturens enhet. Idén om en sådan enhet, baserad på manifestationen av samma mönster i heterogena naturfenomen, har behållit sin relevans från Pythagoras till idag.

Efter att ha gjort detta vintage verktyg, kommer du att kunna skapa fantastiska projekt.

Det "gyllene snittet" användes av de gamla grekerna och egyptierna i beräkningen av byggnader och som en modell för att uppnå idealiska proportioner.

Du kan också använda den i dina projekt, beväpnad med en Fibonacci-mätare.

För att få en egen mätare, gör en ritning av verktyget till att börja med enligt de mått som anges i figuren.

Från 1,6 mm tjockt lövträ (en bra tjock faner duger), skär ämnen och bearbeta de tre armarna A, B, C till önskad bredd och form. (Vi använde lönn, men andra träslag är bra.)

Överför hålets mittpunkter från ritningen i full storlek till mätarmarna. Borra, där det visas, ett 5,5 mm diameter hål och avsluta varje axel.

Montera delarna genom att koppla ihop dem med klämskruvar och tillsätta lim så att de inte lossnar med tiden.

Enligt tidningen "Wood-Master"

Bekväma och vackra sängkläder har en speciell magisk kraft. Och hur skönt det är att vakna varje morgon i en luftig säng, inte släppa taget om armarna. Ännu trevligare när linnet är sytt
Ge din måltid en extra touch av charm med detta snyggt rundade salt- och pepparshaker-set. Om du vill ta emot ett sådant set idag, välj sedan materialet (från
Jag erbjuder en enkel anordning som hjälper dig när du behöver borra ett vertikalt hål i slutet av en lång del.
Varför sätta träblock på arbetsbänken för att sätta arbetsstycket på dem, om det behövs, när det finns speciella stativ? Montera skåpmöbler på dem med luckor för svampar
Gör ett dussin eller två av de C-klämmor som musikinstrumenttillverkare älskar, så kommer du att kunna fördela trycket jämnt på valfri böjd kant.

Populär i kategorin: