บ้าน › เบ็ดเตล็ด › องค์ประกอบเศษส่วน ห้องปฏิบัติการวิจัยอวกาศ

องค์ประกอบเศษส่วน ห้องปฏิบัติการวิจัยอวกาศ

แนวคิดเรื่องเศษส่วนและเรขาคณิตเศษส่วนซึ่งปรากฏในช่วงปลายทศวรรษที่ 70 ได้กลายเป็นรากฐานที่มั่นคงในชีวิตประจำวันของนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ตั้งแต่กลางทศวรรษที่ 80 คำว่าเศษส่วนมาจากภาษาละติน fractus และแปลว่าประกอบด้วยเศษส่วน มันถูกเสนอโดย Benoit Mandelbrot ในปี 1975 เพื่ออ้างถึงโครงสร้างที่ไม่ปกติแต่มีความคล้ายคลึงกันที่เขาศึกษา การกำเนิดของเรขาคณิตเศษส่วนมักจะเกี่ยวข้องกับการตีพิมพ์หนังสือ 'The Fractal Geometry of Nature' ของแมนเดลบรอตในปี 1977 งานของเขาใช้ผลลัพธ์ทางวิทยาศาสตร์ของนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ที่ทำงานในช่วงปี 1875-1925 ในสาขาเดียวกัน (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff แต่ในยุคของเราเท่านั้นที่สามารถรวมงานของพวกเขาไว้ในระบบเดียวได้
บทบาทของเศษส่วนในคอมพิวเตอร์กราฟิกในปัจจุบันค่อนข้างใหญ่ ยกตัวอย่างเช่น เมื่อจำเป็น โดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์หลายตัวช่วยกำหนดเส้นและพื้นผิวของรูปทรงที่ซับซ้อนมาก จากมุมมองของคอมพิวเตอร์กราฟิก เรขาคณิตเศษส่วนเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้สำหรับการสร้างเมฆเทียม ภูเขา และพื้นผิวของทะเล พบจริง ทางปอดการแสดงวัตถุที่ไม่ใช่แบบยุคลิดที่ซับซ้อนซึ่งเป็นภาพที่คล้ายกับวัตถุธรรมชาติมาก
คุณสมบัติหลักประการหนึ่งของแฟร็กทัลคือความคล้ายคลึงกันในตัวเอง ในมาก กรณีที่เรียบง่ายส่วนเล็ก ๆ ของเศษส่วนมีข้อมูลเกี่ยวกับเศษส่วนทั้งหมด คำจำกัดความของเศษส่วนที่กำหนดโดย Mandelbrot มีดังนี้: "เศษส่วนคือโครงสร้างที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่มีความหมายคล้ายกับทั้งหมด"

มีอยู่ เบอร์ใหญ่วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าแฟร็กทัล (สามเหลี่ยม Sierpinski, Koch snowflake, Peano curve, Mandelbrot set และ Lorentztractors) แฟร็กทัลอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพและการก่อตัวของโลกแห่งความจริงได้อย่างแม่นยำมาก: ภูเขา, เมฆ, กระแสน้ำวน (กระแสน้ำวน), ราก, กิ่งก้านและใบของต้นไม้, เส้นเลือดซึ่งห่างไกลจากรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่าย เป็นครั้งแรกที่เบอนัวต์ แมนเดลบรอตพูดถึงธรรมชาติเศษส่วนของโลกของเราในผลงานชิ้นเอกของเขาเรื่อง "The Fractal Geometry of Nature"
คำว่าแฟร็กทัลได้รับการแนะนำโดยเบอนัวต์ แมนเดลบรอตในปี พ.ศ. 2520 ในงานพื้นฐานของเขาเรื่อง Fractals, Form, Chaos and Dimension จากข้อมูลของ Mandelbrot คำว่าเศษส่วนมาจากคำภาษาละติน fractus - เศษส่วนและ frangere - แตก ซึ่งสะท้อนถึงสาระสำคัญของเศษส่วนว่าเป็นชุดที่ "แตก" ผิดปกติ

การจำแนกประเภทของเศษส่วน

เพื่อให้เป็นตัวแทนของแฟร็กทัลที่หลากหลาย จึงสะดวกที่จะใช้การจัดประเภทที่ยอมรับโดยทั่วไป แฟร็กทัลมีสามคลาส

1. เศษส่วนทางเรขาคณิต

แฟร็กทัลของคลาสนี้ชัดเจนที่สุด ในกรณีสองมิติ จะได้มาโดยใช้เส้น (หรือพื้นผิวในกรณีสามมิติ) ที่เรียกว่าเจเนอเรเตอร์ ในขั้นตอนหนึ่งของอัลกอริทึม แต่ละส่วนที่ประกอบกันเป็นเส้นขาดจะถูกแทนที่ด้วยตัวสร้างเส้นขาดในระดับที่เหมาะสม อันเป็นผลมาจากการทำซ้ำขั้นตอนนี้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดทำให้ได้เศษส่วนทางเรขาคณิต

ตัวอย่างเช่น พิจารณาหนึ่งในวัตถุเศษส่วนดังกล่าว - เส้นโค้งสามส่วน Koch

การสร้างเส้นโค้ง Triadic Koch

หาส่วนของเส้นตรงยาว 1 เรียกมันว่า เมล็ดพันธุ์. ให้เราแบ่งเมล็ดออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน โดยมีความยาว 1/3 ของเมล็ด ทิ้งส่วนตรงกลางแล้วแทนที่ด้วยเส้นขาดของข้อเชื่อมสองข้อที่มีความยาว 1/3

เราได้เส้นแบ่งซึ่งประกอบด้วย 4 ลิงก์ที่มีความยาวรวม 4/3 ซึ่งเรียกว่า รุ่นแรก.

ในการก้าวไปสู่เส้นโค้ง Koch รุ่นถัดไป จำเป็นต้องทิ้งและเปลี่ยนส่วนตรงกลางของแต่ละลิงค์ ดังนั้นความยาวของรุ่นที่สองจะเป็น 16/9 รุ่นที่สาม - 64/27 หากคุณทำขั้นตอนนี้ต่อไปจนไม่มีที่สิ้นสุด ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเส้นโค้งสามส่วน Koch

ให้เราพิจารณาเส้นโค้ง Koch ไตรแอดิกศักดิ์สิทธิ์ และค้นหาว่าทำไมแฟร็กทัลจึงถูกเรียกว่า "อสุรกาย"

ประการแรก เส้นโค้งนี้ไม่มีความยาว - อย่างที่เราได้เห็น ด้วยจำนวนชั่วอายุคน ความยาวของเส้นโค้งนี้มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

ประการที่สอง เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งนี้ - แต่ละจุดเป็นจุดเปลี่ยนที่อนุพันธ์ไม่มีอยู่จริง - เส้นโค้งนี้ไม่เรียบ

ความยาวและความเรียบเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของเส้นโค้ง ซึ่งศึกษาทั้งโดยเรขาคณิตแบบยุคลิดและโดยเรขาคณิตของ Lobachevsky และ Riemann ไปจนถึงวิธีการดั้งเดิมของ Koch Curve แบบสามส่วน การวิเคราะห์ทางเรขาคณิตกลายเป็นใช้ไม่ได้ดังนั้นเส้นโค้งของ Koch จึงกลายเป็นสัตว์ประหลาด - "สัตว์ประหลาด" ท่ามกลางผู้อาศัยในรูปทรงเรขาคณิตแบบดั้งเดิม

การก่อสร้าง "มังกร" Harter-Hateway

ในการรับวัตถุเศษส่วนอื่น คุณต้องเปลี่ยนกฎการก่อสร้าง ให้องค์ประกอบการสร้างเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันที่เชื่อมต่อเป็นมุมฉาก ในยุคศูนย์ เราแทนที่ส่วนของหน่วยด้วยองค์ประกอบการสร้างนี้เพื่อให้มุมอยู่ด้านบน เราสามารถพูดได้ว่าการเปลี่ยนดังกล่าวทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตรงกลางของลิงก์ เมื่อสร้าง รุ่นต่อไปปฏิบัติตามกฎ: ลิงก์แรกทางด้านซ้ายถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบการสร้างเพื่อให้ตรงกลางของลิงก์เลื่อนไปทางซ้ายของทิศทางการเคลื่อนที่และเมื่อแทนที่ลิงก์ถัดไป ทิศทางการเคลื่อนที่ของจุดกึ่งกลาง ของส่วนต้องสลับกัน รูปแสดงเส้นโค้งรุ่นแรกและรุ่นที่ 11 ที่สร้างขึ้นตามหลักการที่อธิบายไว้ข้างต้น เส้นโค้งที่มี n พุ่งไปหาอนันต์เรียกว่า Harter-Hateway dragon
ในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ การใช้แฟร็กทัลเรขาคณิตเป็นสิ่งจำเป็นเมื่อได้ภาพต้นไม้และพุ่มไม้ เศษส่วนเรขาคณิตสองมิติใช้เพื่อสร้างพื้นผิวสามมิติ (รูปแบบบนพื้นผิวของวัตถุ)

2. เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต

นี่คือกลุ่มแฟร็กทัลที่ใหญ่ที่สุด ได้มาจากกระบวนการที่ไม่ใช่เชิงเส้นในปริภูมิ n มิติ กระบวนการสองมิติได้รับการศึกษามากที่สุด การตีความกระบวนการวนซ้ำแบบไม่เชิงเส้นว่าเป็นระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่อง เราสามารถใช้คำศัพท์ของทฤษฎีของระบบเหล่านี้ได้: ภาพบุคคลเฟส กระบวนการสถานะคงตัว ตัวดึงดูด ฯลฯ
เป็นที่ทราบกันดีว่าระบบไดนามิกแบบไม่เชิงเส้นมีหลายสถานะที่เสถียร สถานะที่ระบบไดนามิกพบตัวเองหลังจากการวนซ้ำจำนวนหนึ่งขึ้นอยู่กับสถานะเริ่มต้น ดังนั้นแต่ละสถานะที่มั่นคง (หรืออย่างที่พวกเขาพูดคือตัวดึงดูด) มีพื้นที่ของสถานะเริ่มต้นซึ่งระบบจะต้องตกอยู่ในสถานะสุดท้ายที่พิจารณา ดังนั้นพื้นที่เฟสของระบบจึงแบ่งออกเป็นพื้นที่ดึงดูดของผู้ดึงดูด ถ้าเฟสสเปซเป็นแบบสองมิติ จากนั้นให้ระบายสีบริเวณที่ดึงดูดด้วยสีที่ต่างกัน เราจะได้ภาพเฟสสีของระบบนี้ (กระบวนการวนซ้ำ) ด้วยการเปลี่ยนอัลกอริธึมการเลือกสี คุณจะได้รูปแบบเศษส่วนที่ซับซ้อนพร้อมรูปแบบหลากสีที่สวยงาม สิ่งที่น่าประหลาดใจสำหรับนักคณิตศาสตร์คือความสามารถในการสร้างโครงสร้างที่ไม่สำคัญที่ซับซ้อนมากโดยใช้อัลกอริธึมดั้งเดิม

ชุดแมนเดลบรอต

ตัวอย่างเช่น พิจารณาชุด Mandelbrot อัลกอริทึมสำหรับการสร้างนั้นค่อนข้างง่ายและใช้นิพจน์วนซ้ำอย่างง่าย: Z = Z[i] * Z[i] + C, ที่ไหน ซิและ คเป็นตัวแปรที่ซับซ้อน การวนซ้ำจะดำเนินการสำหรับแต่ละจุดเริ่มต้นจากพื้นที่สี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยม ซึ่งเป็นส่วนย่อยของระนาบเชิงซ้อน กระบวนการวนซ้ำจะดำเนินต่อไปจนกระทั่ง ซี[ผม]จะไม่ไปไกลกว่าวงกลมรัศมี 2 ซึ่งจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) (หมายความว่าตัวดึงดูดของระบบไดนามิกอยู่ที่ระยะอนันต์) หรือหลังจากการวนซ้ำจำนวนมากพอสมควร (เช่น ,200-500) ซี[ผม]บรรจบกับจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลม ขึ้นอยู่กับจำนวนการวนซ้ำระหว่างนั้น ซี[ผม]ยังคงอยู่ในวงกลม คุณสามารถกำหนดสีของจุดได้ ค(ถ้า ซี[ผม]ยังคงอยู่ภายในวงกลมสำหรับการวนซ้ำจำนวนมากเพียงพอ กระบวนการวนซ้ำจะหยุดลงและจุดแรสเตอร์นี้จะถูกทาสีดำ)

3. เศษส่วนสุ่ม

แฟร็กทัลอีกประเภทที่รู้จักกันดีคือแฟร็กทัลสุ่ม ซึ่งได้รับหากพารามิเตอร์ใด ๆ ของมันถูกเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มในกระบวนการวนซ้ำ ส่งผลให้เกิดวัตถุที่คล้ายกับธรรมชาติมาก เช่น ต้นไม้ที่ไม่สมมาตร แนวชายฝั่งที่เว้าแหว่ง เป็นต้น แฟร็กทัลสุ่มสองมิติใช้ในการสร้างแบบจำลองภูมิประเทศและพื้นผิวทะเล
มีการจำแนกประเภทของแฟร็กทัลอื่นๆ เช่น การแบ่งแฟร็กทัลออกเป็นเชิงกำหนด (เชิงพีชคณิตและเชิงเรขาคณิต) และเชิงกำหนดไม่ได้ (เชิงสุ่ม)

เกี่ยวกับการใช้เศษส่วน

ประการแรกเศษส่วนเป็นพื้นที่ของศิลปะทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งเมื่อใช้สูตรและอัลกอริทึมที่ง่ายที่สุดจะได้ภาพที่สวยงามและซับซ้อนเป็นพิเศษ! ในรูปทรงของภาพที่สร้างขึ้น มักจะคาดเดาใบไม้ ต้นไม้ และดอกไม้

แอปพลิเคชั่นแฟร็กทัลที่ทรงพลังที่สุดบางส่วนอยู่ในนั้น คอมพิวเตอร์กราฟิก. ประการแรก มันคือการบีบอัดภาพแบบแฟร็กทัล และประการที่สอง การสร้างทิวทัศน์ ต้นไม้ พืช และการสร้างพื้นผิวแฟร็กทัล ฟิสิกส์และกลศาสตร์สมัยใหม่เพิ่งเริ่มศึกษาพฤติกรรมของวัตถุเศษส่วน และแน่นอนว่าเศษส่วนถูกนำไปใช้กับคณิตศาสตร์โดยตรง
ข้อดีของอัลกอริธึมการบีบอัดภาพเศษส่วนคือขนาดที่เล็กมากของไฟล์ที่อัดแน่นและเวลาการกู้คืนภาพที่สั้น ภาพที่อัดแน่นสามารถปรับขนาดได้โดยไม่ต้องมีลักษณะของพิกเซล แต่กระบวนการบีบอัดใช้เวลานานและบางครั้งกินเวลานานหลายชั่วโมง อัลกอริทึมการบรรจุเศษส่วนแบบสูญเสียช่วยให้คุณกำหนดระดับการบีบอัดได้ ซึ่งคล้ายกับรูปแบบ jpeg อัลกอริทึมจะขึ้นอยู่กับการค้นหาชิ้นส่วนขนาดใหญ่ของภาพที่คล้ายกับชิ้นส่วนขนาดเล็ก และเฉพาะส่วนใดที่คล้ายกับที่เขียนไปยังไฟล์เอาต์พุต เมื่อทำการบีบอัดมักใช้กริดสี่เหลี่ยม (ชิ้นส่วนเป็นสี่เหลี่ยม) ซึ่งนำไปสู่มุมเล็กน้อยเมื่อกู้คืนรูปภาพ กริดหกเหลี่ยมไม่มีข้อเสียดังกล่าว
Iterated ได้พัฒนารูปแบบภาพใหม่ "Sting" ซึ่งรวมการบีบอัดแบบ Fractal และ "wave" (เช่น jpeg) แบบไม่สูญเสียข้อมูล รูปแบบใหม่ช่วยให้คุณสร้างภาพที่มีความเป็นไปได้ในการปรับขนาดคุณภาพสูงในภายหลัง และปริมาณไฟล์กราฟิกคือ 15-20% ของปริมาณภาพที่ไม่ได้บีบอัด
แนวโน้มของแฟร็กทัลที่ดูเหมือนภูเขา ดอกไม้ และต้นไม้ถูกนำไปใช้โดยบางคน บรรณาธิการกราฟิกเช่น เมฆเศษส่วนจาก 3D studio MAX ภูเขาเศษส่วนใน World Builder มีต้นไม้เศษส่วน ภูเขา และภูมิทัศน์ทั้งหมด สูตรง่ายๆง่ายต่อการตั้งโปรแกรมและไม่แยกออกเป็นสามเหลี่ยมและลูกบาศก์แยกกันเมื่อเข้าใกล้
คุณไม่สามารถเพิกเฉยต่อการใช้เศษส่วนในวิชาคณิตศาสตร์ได้ ในทฤษฎีเซต เซตคันทอร์พิสูจน์การมีอยู่ของเซตหนาแน่นไม่มีที่ใดสมบูรณ์แบบ ในทฤษฎีการวัด ฟังก์ชัน "บันไดต้นเสียง" ที่เทียบตัวเองได้เป็นตัวอย่างที่ดีของฟังก์ชันการกระจายหน่วยวัดเอกพจน์
ในกลศาสตร์และฟิสิกส์ แฟร็กทัลถูกใช้เนื่องจาก คุณสมบัติเฉพาะทำซ้ำโครงร่างของวัตถุทางธรรมชาติมากมาย แฟร็กทัลช่วยให้คุณประมาณต้นไม้ พื้นผิวภูเขา และรอยแยกได้ด้วยความแม่นยำสูงกว่าการประมาณด้วยส่วนของเส้นตรงหรือรูปหลายเหลี่ยม (โดยมีจำนวนข้อมูลที่เก็บไว้เท่ากัน) แบบจำลองเศษส่วน เช่น วัตถุธรรมชาติ มี "ความหยาบ" และคุณสมบัตินี้จะถูกรักษาไว้เมื่อแบบจำลองเพิ่มขึ้นมากโดยพลการ การมีหน่วยวัดที่เหมือนกันบนแฟร็กทัลทำให้สามารถใช้การอินทิเกรต ซึ่งเป็นทฤษฎีที่เป็นไปได้ เพื่อใช้แทนวัตถุมาตรฐานในสมการที่ศึกษาไปแล้ว
ด้วยวิธีการเศษส่วน ความโกลาหลจะหยุดเป็นความผิดปกติของสีน้ำเงินและได้รับโครงสร้างที่ดี วิทยาศาสตร์เศษส่วนยังเด็กมากและมีอนาคตที่ดีรออยู่ข้างหน้า ความสวยงามของแฟร็กทัลนั้นยังห่างไกลจากความเหนื่อยล้า และยังคงมอบผลงานชิ้นเอกมากมายให้กับเรา ไม่ว่าจะเป็นผลงานชิ้นเอกที่สร้างความพึงพอใจให้กับดวงตา และผลงานชิ้นเอกที่นำความสุขมาสู่จิตใจอย่างแท้จริง

เกี่ยวกับการสร้างเศษส่วน

วิธีการประมาณต่อเนื่อง

เมื่อดูรูปนี้ มันไม่ยากที่จะเข้าใจว่าสามารถสร้างแฟร็กทัลที่คล้ายตัวเองได้อย่างไร (ในกรณีนี้คือพีระมิด Sierpinski) เราต้องใช้ปิรามิดธรรมดา (จัตุรมุข) จากนั้นตัดตรงกลางออก (รูปแปดด้าน) ซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราได้ปิรามิดขนาดเล็กสี่ตัว เราทำการดำเนินการเดียวกันกับแต่ละรายการและอื่น ๆ นี่เป็นคำอธิบายที่ค่อนข้างไร้เดียงสา แต่มีภาพประกอบ

ให้เราพิจารณาสาระสำคัญของวิธีการอย่างเคร่งครัด ให้มีระบบ IFS บางอย่างเช่น ระบบแผนที่การหดตัว ส=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (ตัวอย่างเช่น สำหรับพีระมิดของเรา การแมปมีลักษณะเหมือน S i (x)=1/2*x+o i โดยที่ o i อยู่ จุดยอดของจัตุรมุข, i=1,..,4). จากนั้นเราเลือกชุดกะทัดรัด A 1 ใน R n (ในกรณีของเราเราเลือกจัตุรมุข) และกำหนดโดยการเหนี่ยวนำลำดับของชุด A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (Ak). เป็นที่ทราบกันดีว่าชุด A k ที่มีการเพิ่ม k มีค่าประมาณตัวดึงดูดที่ต้องการของระบบ ส.

โปรดทราบว่าการวนซ้ำแต่ละครั้งเป็นตัวดึงดูด ระบบเกิดซ้ำของฟังก์ชันวนซ้ำ(ศัพท์ภาษาอังกฤษ DigraphIFS, ริฟส์และนอกจากนี้ยังมี IFS ที่กำกับด้วยกราฟ) ดังนั้นจึงง่ายต่อการสร้างด้วยโปรแกรมของเรา

สร้างโดยจุดหรือวิธีความน่าจะเป็น

นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการติดตั้งบนคอมพิวเตอร์ เพื่อความง่าย ให้พิจารณากรณีของชุดความเสมอภาคแบบแบนๆ จึงขอ

) เป็นระบบการหดตัวบางส่วน แมปปิ้งเอส

แสดงเป็น: S

เมทริกซ์คงที่ขนาด 2x2 และ o

คอลัมน์เวกเตอร์สองมิติ

ลองใช้จุดคงที่ของการแมปแรก S 1 เป็นจุดเริ่มต้น:
x:=o1;
ที่นี่เราใช้ความจริงที่ว่าจุดหดตัวคงที่ทั้งหมด S 1 ,..,S m เป็นของเศษส่วน คุณสามารถเลือกจุดตามอำเภอใจเป็นจุดเริ่มต้นและลำดับของจุดที่สร้างโดยมันจะลดขนาดลงเป็นเศษส่วน แต่จากนั้นจะมีจุดพิเศษสองสามจุดปรากฏขึ้นบนหน้าจอ
สังเกตจุดปัจจุบัน x=(x 1 ,x 2) บนหน้าจอ:
พิกเซล (x 1 ,x 2 ,15);
เราสุ่มเลือกตัวเลข j จาก 1 ถึง m และคำนวณพิกัดของจุด x ใหม่:
j:=สุ่ม(m)+1;
x:=S j (x);
ไปที่ขั้นตอนที่ 2 หรือหากเราทำวนซ้ำจำนวนมากพอ เราจะหยุด

บันทึก.หากค่าสัมประสิทธิ์การบีบอัดของการแมป S i แตกต่างกันเศษส่วนจะเต็มไปด้วยคะแนนที่ไม่สม่ำเสมอ หากการแมป S i มีความคล้ายคลึงกัน สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการทำให้อัลกอริทึมซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย ในการทำเช่นนี้ ในขั้นตอนที่ 3 ของอัลกอริทึม จะต้องเลือกหมายเลข j จาก 1 ถึง m ด้วยความน่าจะเป็น p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s โดยที่ r i หมายถึงสัมประสิทธิ์การหดตัวของการแมป S i , และจำนวน s (เรียกว่ามิติความคล้ายคลึงกัน) หาได้จากสมการ r 1 s +...+r m s =1 คำตอบของสมการนี้สามารถหาได้ เช่น โดยวิธีของนิวตัน

เกี่ยวกับเศษส่วนและอัลกอริทึม

เศษส่วนมาจากคำคุณศัพท์ภาษาละติน "fractus" และในการแปลหมายถึงการประกอบด้วยชิ้นส่วนและคำกริยาภาษาละติน "frangere" ที่สอดคล้องกันหมายถึงการแตกนั่นคือการสร้างชิ้นส่วนที่ไม่สม่ำเสมอ แนวคิดเรื่องเศษส่วนและเรขาคณิตเศษส่วนซึ่งปรากฏในช่วงปลายทศวรรษที่ 70 ได้กลายเป็นรากฐานที่มั่นคงในชีวิตประจำวันของนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ตั้งแต่กลางทศวรรษที่ 80 คำนี้เสนอโดยเบอนัวต์ แมนเดลบรอตในปี พ.ศ. 2518 เพื่ออ้างถึงโครงสร้างที่ไม่ปกติแต่คล้ายตัวเองที่เขาศึกษา การกำเนิดของเรขาคณิตเศษส่วนมักจะเกี่ยวข้องกับการตีพิมพ์ในปี 1977 ของหนังสือ Mandelbrot เรื่อง "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature" ผลงานของเขาใช้ผลงานทางวิทยาศาสตร์ของนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ที่ทำงานในช่วงปี พ.ศ. 2418-2468 ในสาขาเดียวกัน (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff)

การปรับ

ให้ฉันทำการปรับเปลี่ยนอัลกอริทึมที่เสนอในหนังสือโดย H.-O. Paytgen และ P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993 เพื่อกำจัดการพิมพ์ผิดและทำให้เข้าใจกระบวนการได้ง่ายขึ้นเนื่องจากหลังจากศึกษาพวกเขาแล้วยังคงเป็นเรื่องลึกลับสำหรับฉัน น่าเสียดายที่อัลกอริธึมที่ "เข้าใจได้" และ "เรียบง่าย" เหล่านี้นำไปสู่วิถีชีวิตที่โยกเยก

การสร้างเศษส่วนนั้นขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่ไม่เชิงเส้นของกระบวนการที่ซับซ้อนพร้อมข้อเสนอแนะ z \u003d z 2 + c เนื่องจาก z และ c เป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น z \u003d x + iy, c \u003d p + iq จึงจำเป็น เพื่อแยกย่อยออกเป็น x และ y เพื่อให้สมจริงยิ่งขึ้นสำหรับ คนทั่วไปเครื่องบิน:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + คิว

ระนาบที่ประกอบด้วยคู่ทั้งหมด (x, y) ถือได้ว่าเป็นค่าคงที่ พี และ คิวเช่นเดียวกับไดนามิก ในกรณีแรก การเรียงลำดับจุดทั้งหมด (x, y) ของระนาบตามกฎหมายและการระบายสีขึ้นอยู่กับจำนวนการทำซ้ำของฟังก์ชันที่จำเป็นในการออกจากกระบวนการวนซ้ำหรือไม่ระบายสี (สีดำ) เมื่อค่าสูงสุดที่อนุญาต ของการทำซ้ำเพิ่มขึ้น เราได้รับการแสดงชุดจูเลีย ในทางตรงกันข้ามหากเรากำหนดค่าคู่เริ่มต้น (x, y) และติดตามชะตากรรมของสีด้วยค่าที่เปลี่ยนแปลงแบบไดนามิกของพารามิเตอร์ p และ q เราจะได้ภาพที่เรียกว่าชุด Mandelbrot

เกี่ยวกับอัลกอริธึมการระบายสีเศษส่วน

โดยปกติแล้วเนื้อหาของชุดจะแสดงเป็นฟิลด์สีดำ แม้ว่าจะเห็นได้ชัดว่าสีดำสามารถถูกแทนที่ด้วยสีอื่นได้ แต่นี่ก็เป็นผลลัพธ์ที่ไม่น่าสนใจเช่นกัน เพื่อให้ได้ภาพของชุดที่ทาสีด้วยสีทั้งหมดเป็นงานที่ไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้การดำเนินการแบบวนรอบตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา จำนวนการวนซ้ำที่สร้างเนื้อหาของชุดนั้นเท่ากับจำนวนสูงสุดที่เป็นไปได้และเท่ากันเสมอ ลงสีชุดค่ะ สีที่ต่างกันอาจใช้ผลลัพธ์ของการตรวจสอบเงื่อนไขการออกจากลูป (z_magnitude) เป็นหมายเลขสีหรือคล้ายกัน แต่ด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ

การประยุกต์ใช้ "แฟร็กทัลไมโครสโคป"

เพื่อแสดงปรากฏการณ์ชายแดน

ผู้ดึงดูดเป็นศูนย์กลางที่นำไปสู่การต่อสู้เพื่ออำนาจเหนือเครื่องบิน ระหว่างตัวดึงดูดจะมีเส้นขอบแสดงรูปแบบการหมุนวน โดยการเพิ่มขนาดของการพิจารณาภายในขอบเขตของชุด เราจะได้รูปแบบที่ไม่สำคัญซึ่งสะท้อนถึงสภาวะของความสับสนอลหม่านที่กำหนดขึ้น ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ทั่วไปในโลกธรรมชาติ

วัตถุที่ศึกษาโดยนักภูมิศาสตร์สร้างระบบที่มีขอบเขตการจัดระเบียบที่ซับซ้อนมากซึ่งเกี่ยวข้องกับการนำไปใช้งานกลายเป็นงานปฏิบัติที่ยาก คอมเพล็กซ์ทางธรรมชาติมีแกนกลางที่มีลักษณะเฉพาะซึ่งทำหน้าที่เป็นตัวดึงดูดซึ่งสูญเสียอำนาจอิทธิพลในอาณาเขตเมื่อเคลื่อนตัวออกไป

การใช้กล้องจุลทรรศน์เศษส่วนสำหรับชุด Mandelbrot และ Julia เราสามารถสร้างแนวคิดเกี่ยวกับกระบวนการและปรากฏการณ์ที่มีขอบเขตซึ่งซับซ้อนเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงขนาดของการพิจารณา ดังนั้นจึงเตรียมการรับรู้ของผู้เชี่ยวชาญสำหรับการประชุมที่มีพลวัตและดูวุ่นวาย ในวัตถุธรรมชาติในอวกาศและเวลา เพื่อความเข้าใจธรรมชาติของเศษส่วนเรขาคณิต สีสันหลากสีและดนตรีเศษส่วนจะทิ้งร่องรอยลึกลงไปในจิตใจของนักเรียนอย่างแน่นอน

สิ่งพิมพ์นับพันและแหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตจำนวนมหาศาลอุทิศให้กับแฟร็กทัล อย่างไรก็ตาม สำหรับผู้เชี่ยวชาญหลายคนที่อยู่ห่างไกลจากวิทยาการคอมพิวเตอร์ คำนี้ดูเหมือนใหม่โดยสิ้นเชิง Fractals ซึ่งเป็นวัตถุที่น่าสนใจสำหรับผู้เชี่ยวชาญในสาขาความรู้ต่างๆ ควรได้รับตำแหน่งที่เหมาะสมในหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์

ตัวอย่าง

เซียร์ปินสกี้กริด

นี่เป็นหนึ่งในแฟร็กทัลที่แมนเดลบรอตทำการทดลองเมื่อพัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับมิติเศษส่วนและการวนซ้ำ รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการรวมจุดกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่าจะถูกตัดออกจากรูปสามเหลี่ยมหลักเพื่อสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีรูมากขึ้น ในกรณีนี้ ตัวเริ่มต้นเป็นรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่และแม่แบบเป็นการดำเนินการเพื่อตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกับรูปสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่า คุณยังสามารถรับสามเหลี่ยมในเวอร์ชัน 3 มิติได้โดยใช้จัตุรมุขธรรมดาและตัดจัตุรมุขขนาดเล็กออก ขนาดของเศษส่วนดังกล่าวคือ ln3/ln2 = 1.584962501

ที่จะได้รับ พรม Sierpinskiนำสี่เหลี่ยมจัตุรัสมาแบ่งเป็นเก้าสี่เหลี่ยมแล้วตัดตรงกลางออก เราจะทำเช่นเดียวกันกับส่วนที่เหลือ สี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ในท้ายที่สุด จะเกิดกริดแฟร็กทัลแบบแบนซึ่งไม่มีพื้นที่ แต่มีการเชื่อมต่อที่ไม่สิ้นสุด ในรูปแบบเชิงพื้นที่ ฟองน้ำ Sierpinski จะเปลี่ยนเป็นระบบผ่านรูปแบบ ซึ่งแต่ละองค์ประกอบผ่านจะถูกแทนที่ด้วยชนิดของมันเองอย่างต่อเนื่อง โครงสร้างนี้คล้ายกับส่วนของเนื้อเยื่อกระดูก สักวันโครงสร้างที่ซ้ำซากจำเจจะกลายเป็นองค์ประกอบของโครงสร้างอาคาร Mandelbrot เชื่อว่าสถิติและไดนามิกของพวกมันสมควรได้รับการศึกษาอย่างใกล้ชิด

โคช เคิร์ฟ

เส้นโค้ง Koch เป็นหนึ่งในแฟร็กทัลที่กำหนดขึ้นโดยทั่วไปมากที่สุด มันถูกประดิษฐ์ขึ้นในศตวรรษที่ 19 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Helge von Koch ซึ่งในขณะที่ศึกษางานของ Georg Kontor และ Karl Weierstraße ได้พบคำอธิบายเกี่ยวกับเส้นโค้งที่แปลกประหลาดซึ่งมีพฤติกรรมที่ผิดปกติ ผู้ริเริ่ม - สายตรง เครื่องกำเนิดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งด้านยาวเท่ากับหนึ่งในสามของความยาวของส่วนที่ใหญ่กว่า รูปสามเหลี่ยมเหล่านี้จะถูกเพิ่มเข้าไปตรงกลางของแต่ละส่วนซ้ำแล้วซ้ำอีก ในการวิจัยของเขา แมนเดลบรอตทดลองมากกับ Koch curves และได้รับตัวเลขต่างๆ เช่น Koch Islands, Koch Crosses, Koch Snowflakes และแม้แต่การแสดงสามมิติของ Koch curve โดยใช้จัตุรมุขและเพิ่มเตตระเฮดราที่เล็กลงในแต่ละหน้า เส้นโค้ง Koch มีขนาด ln4/ln3 = 1.261859507

เศษส่วน Mandelbrot

นี่ไม่ใช่ฉากของ Mandelbrot ที่คุณเห็นค่อนข้างบ่อย ชุด Mandelbrot ใช้สมการที่ไม่ใช่เชิงเส้นและเป็นเศษส่วนที่ซับซ้อน นี่เป็นตัวแปรของเส้นโค้ง Koch แม้ว่าวัตถุนี้จะดูไม่เหมือนก็ตาม ตัวริเริ่มและตัวสร้างยังแตกต่างจากที่ใช้สร้างแฟร็กทัลตามหลักการของเส้นโค้ง Koch แต่แนวคิดยังคงเหมือนเดิม แทนที่จะติดสามเหลี่ยมด้านเท่าเข้ากับส่วนของเส้นโค้ง ให้ติดสี่เหลี่ยมเข้ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าแฟร็กทัลนี้ใช้พื้นที่ครึ่งหนึ่งของพื้นที่ที่กำหนดในการวนซ้ำแต่ละครั้ง จึงมีมิติเศษส่วนอย่างง่ายเท่ากับ 3/2 = 1.5

เพนตากอนของ DARER

แฟร็กทัลมีลักษณะเป็นรูปห้าเหลี่ยมซ้อนกัน ความจริงแล้ว มันถูกสร้างขึ้นโดยใช้รูปห้าเหลี่ยมเป็นตัวเริ่มต้นและสามเหลี่ยมหน้าจั่ว อัตราส่วนของด้านที่ใหญ่ที่สุดกับด้านที่เล็กที่สุดซึ่งเท่ากับอัตราส่วนทองคำ (1.618033989 หรือ 1/(2cos72)) เป็นตัวสร้าง . สามเหลี่ยมเหล่านี้ถูกตัดออกจากตรงกลางของรูปห้าเหลี่ยมแต่ละอัน ทำให้ได้รูปทรงที่ดูเหมือนรูปห้าเหลี่ยมขนาดเล็ก 5 อันติดกาวเข้ากับอันใหญ่อันหนึ่ง

ตัวแปรของแฟร็กทัลนี้สามารถรับได้โดยใช้รูปหกเหลี่ยมเป็นตัวเริ่มต้น แฟร็กทัลนี้เรียกว่า Star of David และค่อนข้างคล้ายกับ Koch's Snowflake รุ่นหกเหลี่ยม มิติเศษส่วนของรูปห้าเหลี่ยม Darer คือ ln6/ln(1+g) โดยที่ g คืออัตราส่วนของความยาวของด้านที่ใหญ่กว่าของสามเหลี่ยมต่อความยาวของด้านที่เล็กกว่า ในกรณีนี้ g คืออัตราส่วนทองคำ ดังนั้นมิติเศษส่วนจึงมีค่าประมาณ 1.86171596 มิติเศษส่วนของ Star of David คือ ln6/ln3 หรือ 1.630929754

เศษส่วนที่ซับซ้อน

ในความเป็นจริง หากคุณขยายพื้นที่เล็ก ๆ ของเศษส่วนที่ซับซ้อนใด ๆ แล้วทำเช่นเดียวกันกับพื้นที่เล็ก ๆ ของพื้นที่นั้น การขยายทั้งสองจะแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ ภาพทั้งสองภาพจะมีรายละเอียดคล้ายกันมาก แต่จะไม่เหมือนกันทั้งหมด

รูปที่ 1 การประมาณค่าชุดแมนเดลบรอต

ตัวอย่างเช่นเปรียบเทียบรูปภาพของชุด Mandelbrot ที่แสดงที่นี่ซึ่งหนึ่งในนั้นได้รับจากการเพิ่มพื้นที่ของอีกชุดหนึ่ง อย่างที่คุณเห็นมันไม่เหมือนกันเลยแม้ว่าเราจะเห็นวงกลมสีดำทั้งสองอันซึ่งหนวดที่ลุกเป็นไฟไปในทิศทางที่ต่างกัน องค์ประกอบเหล่านี้ทำซ้ำอย่างไม่มีกำหนดในชุด Mandelbrot ในสัดส่วนที่ลดลง

แฟร็กทัลเชิงกำหนดมีลักษณะเป็นเส้นตรง ในขณะที่แฟร็กทัลเชิงซ้อนไม่เป็นเชิงเส้น แฟร็กทัลเหล่านี้สร้างขึ้นโดยสิ่งที่แมนเดลบรอตเรียกว่าสมการพีชคณิตที่ไม่ใช่เชิงเส้น เนื่องจากไม่เป็นเชิงเส้น ตัวอย่างที่ดีคือกระบวนการ Zn+1=ZnІ + C ซึ่งเป็นสมการที่ใช้ในการสร้างเซตของแมนเดลบรอตและจูเลียในระดับที่สอง การแก้สมการทางคณิตศาสตร์เหล่านี้เกี่ยวข้องกับจำนวนจินตภาพที่ซับซ้อน เมื่อสมการถูกตีความในเชิงกราฟิกในระนาบเชิงซ้อน ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวเลขที่แปลกประหลาดซึ่งเส้นตรงกลายเป็นเส้นโค้ง เอฟเฟกต์ความคล้ายคลึงกันในตัวเองปรากฏขึ้นในระดับมาตราส่วนต่างๆ แม้ว่าจะไม่ได้มีการเสียรูปก็ตาม ในขณะเดียวกันภาพรวมโดยรวมนั้นคาดเดาไม่ได้และวุ่นวายมาก

อย่างที่คุณเห็นเมื่อดูที่รูปภาพ แฟร็กทัลที่ซับซ้อนนั้นซับซ้อนมากและไม่สามารถสร้างขึ้นได้หากปราศจากความช่วยเหลือจากคอมพิวเตอร์ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่มีสีสัน คอมพิวเตอร์เครื่องนี้ต้องมีตัวประมวลผลร่วมทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังและจอภาพความละเอียดสูง แฟร็กทัลเชิงซ้อนไม่เหมือนกับเศษส่วนที่กำหนดขึ้น เศษส่วนเชิงซ้อนจะไม่ถูกคำนวณในการวนซ้ำ 5-10 ครั้ง แทบทุกจุดบนหน้าจอคอมพิวเตอร์เปรียบเสมือนแฟร็กทัลที่แยกจากกัน ในระหว่างการประมวลผลทางคณิตศาสตร์ แต่ละจุดจะถือว่าเป็นรูปแบบที่แยกจากกัน แต่ละจุดสอดคล้องกับค่าที่แน่นอน สมการถูกสร้างขึ้นสำหรับแต่ละจุดและดำเนินการ ตัวอย่างเช่น การวนซ้ำ 1,000 ครั้ง เพื่อให้ได้ภาพที่ค่อนข้างไม่บิดเบี้ยวในช่วงเวลาที่คอมพิวเตอร์ตามบ้านยอมรับได้ เป็นไปได้ที่จะทำซ้ำ 250 ครั้งต่อหนึ่งจุด

แฟร็กทัลส่วนใหญ่ที่เราเห็นในปัจจุบันมีสีสันสวยงาม บางทีภาพเศษส่วนอาจมีขนาดใหญ่มาก คุณค่าทางสุนทรียะแม่นยำเพราะโทนสีของพวกเขา หลังจากคำนวณสมการแล้ว คอมพิวเตอร์จะวิเคราะห์ผลลัพธ์ หากผลลัพธ์คงที่หรือผันผวนตามค่าหนึ่งๆ จุดมักจะเปลี่ยนเป็นสีดำ หากค่าในขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่งมีแนวโน้มที่จะไม่สิ้นสุด จุดนั้นจะถูกทาสีด้วยสีอื่น อาจเป็นสีน้ำเงินหรือสีแดง ในระหว่างกระบวนการนี้ คอมพิวเตอร์จะกำหนดสีให้กับความเร็วในการเคลื่อนที่ทั้งหมด

โดยปกติแล้ว จุดที่เคลื่อนไหวเร็วจะเป็นสีแดง ในขณะที่จุดที่เคลื่อนไหวช้าจะเป็นสีเหลือง เป็นต้น จุดมืดน่าจะเสถียรที่สุด

แฟร็กทัลเชิงซ้อนแตกต่างจากแฟร็กทัลเชิงกำหนดตรงที่พวกมันซับซ้อนไม่สิ้นสุด แต่สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยสูตรง่ายๆ แฟร็กทัลเชิงกำหนดไม่ต้องการสูตรหรือสมการ เพียงแค่ใช้กระดาษวาดรูป คุณก็สามารถสร้าง Sierpinski sieve ได้ถึง 3 หรือ 4 รอบโดยไม่มีปัญหาใดๆ ลองทำกับ Julia มากมาย! ไปวัดความยาวชายฝั่งอังกฤษง่ายกว่า!

ชุดแมนเดอร์บรอท

รูปที่ 2 ชุด Mandelbrot

ชุดแมนเดลบรอตและจูเลียน่าจะเป็นสองชุดที่พบมากที่สุดในบรรดาแฟร็กทัลเชิงซ้อน สามารถพบได้ในหลายๆ วารสารวิทยาศาสตร์ปกหนังสือ โปสการ์ด และภาพพักหน้าจอคอมพิวเตอร์ ชุด Mandelbrot ซึ่งสร้างโดย Benoit Mandelbrot น่าจะเป็นการเชื่อมโยงครั้งแรกที่ผู้คนมีเมื่อพวกเขาได้ยินคำว่าเศษส่วน แฟร็กทัลนี้มีลักษณะคล้ายการ์ดที่มีต้นไม้เรืองแสงและพื้นที่วงกลมติดอยู่ สร้างขึ้นโดยสูตรง่ายๆ Zn+1=Zna+C โดยที่ Z และ C เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ a เป็นจำนวนบวก

ชุดแมนเดลบรอตที่เห็นบ่อยที่สุดคือชุดแมนเดลบรอตระดับ 2 นั่นคือ a=2 ข้อเท็จจริงที่ว่าชุด Mandelbrot ไม่ใช่แค่ Zn+1=ZnІ+C เท่านั้น แต่ยังเป็นแฟร็กทัลที่เลขยกกำลังในสูตรสามารถเป็นจำนวนบวกใดๆ ก็ได้ที่ทำให้หลายคนเข้าใจผิด ในหน้านี้ คุณจะเห็นตัวอย่างชุด Mandelbrot สำหรับค่าต่างๆ ของเลขชี้กำลัง a
รูปที่ 3 ลักษณะของฟองอากาศที่ a=3.5

กระบวนการ Z=Z*tg(Z+C) ก็เป็นที่นิยมเช่นกัน ด้วยการรวมฟังก์ชันสัมผัสเข้าด้วยกันทำให้ได้ชุด Mandelbrot ซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นที่ที่มีลักษณะคล้ายแอปเปิ้ล เมื่อใช้ฟังก์ชันโคไซน์ จะได้เอฟเฟกต์ฟองอากาศ กล่าวโดยย่อคือ มีวิธีมากมายในการปรับแต่งชุด Mandelbrot เพื่อสร้างภาพที่สวยงามต่างๆ

จูเลียหลายตัว

น่าแปลกที่ชุด Julia ถูกสร้างขึ้นตามสูตรเดียวกับชุด Mandelbrot เซต Julia ถูกคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Gaston Julia ซึ่งตั้งชื่อตามชื่อเซตนี้ คำถามแรกที่เกิดขึ้นหลังจากได้ทำความรู้จักกับชุดของแมนเดลบรอตและจูเลียคือ "ถ้าแฟร็กทัลทั้งสองสร้างด้วยสูตรเดียวกัน เหตุใดจึงแตกต่างกันมาก" ดูรูปชุด Julia ก่อน น่าแปลกที่ชุดจูเลียมีหลายประเภท เมื่อวาดเศษส่วนโดยใช้จุดเริ่มต้นที่แตกต่างกัน (เพื่อเริ่มกระบวนการวนซ้ำ) ภาพต่างๆ. สิ่งนี้ใช้กับชุดจูเลียเท่านั้น

รูปที่ 4 ชุดจูเลีย

แม้ว่าจะมองไม่เห็นในภาพ แต่แฟร็กทัลแมนเดลบรอตก็คือกลุ่มของจูเลียแฟร็กทัลที่เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน แต่ละจุด (หรือพิกัด) ของชุด Mandelbrot สอดคล้องกับเศษส่วน Julia ชุดจูเลียสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้จุดเหล่านี้เป็นค่าเริ่มต้นในสมการ Z=ZI+C แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าหากคุณเลือกจุดบนเศษส่วน Mandelbrot และเพิ่มค่านั้น คุณจะได้รับเศษส่วน Julia จุดทั้งสองนี้เหมือนกัน แต่ในแง่คณิตศาสตร์เท่านั้น หากเราใช้จุดนี้และคำนวณตามสูตรนี้ เราจะได้เศษส่วนจูเลียที่สอดคล้องกับจุดหนึ่งของเศษส่วนแมนเดลบรอต

เพื่อให้เป็นตัวแทนของแฟร็กทัลที่หลากหลาย จึงสะดวกที่จะใช้การจัดประเภทที่ยอมรับโดยทั่วไป

2.1 เศษส่วนทางเรขาคณิต

แฟร็กทัลของคลาสนี้ชัดเจนที่สุด ในกรณีสองมิติจะได้รับโดยใช้เส้นบาง (หรือพื้นผิวในกรณีสามมิติ) เรียกว่า เครื่องกำเนิดไฟฟ้า. ในขั้นตอนหนึ่งของอัลกอริทึม แต่ละส่วนที่ประกอบกันเป็นเส้นขาดจะถูกแทนที่ด้วยตัวสร้างเส้นขาดในระดับที่เหมาะสม อันเป็นผลมาจากการทำซ้ำขั้นตอนนี้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดทำให้ได้เศษส่วนทางเรขาคณิต

รูปที่ 1 การสร้างเส้นโค้งสามส่วน Koch

พิจารณาหนึ่งในวัตถุเศษส่วนเหล่านี้ - เส้นโค้งโคช์สสามส่วน การสร้างเส้นโค้งเริ่มต้นด้วยส่วนของความยาวหน่วย (รูปที่ 1) ซึ่งเป็นเส้นโค้ง Koch รุ่นที่ 0 นอกจากนี้ แต่ละลิงก์ (หนึ่งส่วนในรุ่นศูนย์) จะถูกแทนที่ด้วย เจนเนอราทริกซ์, ระบุในรูปที่ 1 ถึง n=1. จากการเปลี่ยนดังกล่าว ทำให้ได้ Koch Curve รุ่นต่อไป ในยุคที่ 1 นี่คือเส้นโค้งของสี่ลิงค์ตรง แต่ละลิงค์มีความยาว 1/3 . ในการรับรุ่นที่ 3 จะมีการดำเนินการแบบเดียวกัน - แต่ละลิงค์จะถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบการขึ้นรูปที่ลดลง ดังนั้น เพื่อให้ได้แต่ละรุ่นที่ตามมา การเชื่อมโยงทั้งหมดของรุ่นก่อนหน้าจะต้องถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบการขึ้นรูปที่ลดลง เส้นโค้ง นเจเนอเรชั่นที่ 1 สำหรับขอบเขตใดๆ นเรียกว่า เศษส่วน. รูปที่ 1 แสดงเส้นโค้งห้าชั่วอายุคน ที่ นเส้นโค้ง Koch กลายเป็นวัตถุเศษส่วน

รูปที่ 2 การสร้าง "มังกร" ของ Harter-Hateway

ในการรับวัตถุเศษส่วนอื่น คุณต้องเปลี่ยนกฎการก่อสร้าง ให้องค์ประกอบการสร้างเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันที่เชื่อมต่อเป็นมุมฉาก ในยุคศูนย์ เราแทนที่ส่วนของหน่วยด้วยองค์ประกอบการสร้างนี้เพื่อให้มุมอยู่ด้านบน เราสามารถพูดได้ว่าการเปลี่ยนดังกล่าวทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตรงกลางของลิงก์ เมื่อสร้างเจเนอเรชันถัดไป กฎจะสำเร็จ: ลิงก์แรกทางด้านซ้ายจะถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบการสร้าง เพื่อให้ตรงกลางของลิงก์เลื่อนไปทางซ้ายของทิศทางการเคลื่อนที่ และเมื่อแทนที่ลิงก์ถัดไป ทิศทางการกระจัดของจุดกึ่งกลางของส่วนจะต้องสลับกัน รูปที่ 2 แสดงสองสามรุ่นแรกและรุ่นที่ 11 ของเส้นโค้งที่สร้างขึ้นตามหลักการที่อธิบายไว้ข้างต้น การจำกัดเส้นโค้งเศษส่วน (ณ นพุ่งไปไม่มีที่สิ้นสุด) เรียกว่า มังกรฮาร์เตอร์-แฮทเวย์ .

ในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ การใช้แฟร็กทัลรูปทรงเรขาคณิตเป็นสิ่งจำเป็นเมื่อได้ภาพต้นไม้ พุ่มไม้ และแนวชายฝั่ง แฟร็กทัลเรขาคณิตสองมิติใช้เพื่อสร้างพื้นผิวเชิงปริมาตร (รูปแบบบนพื้นผิวของวัตถุ)

2.2 เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต

นี่คือกลุ่มแฟร็กทัลที่ใหญ่ที่สุด ได้มาโดยใช้กระบวนการที่ไม่ใช่เชิงเส้นใน นช่องว่างมิติ กระบวนการสองมิติได้รับการศึกษามากที่สุด การตีความกระบวนการวนซ้ำแบบไม่เชิงเส้นว่าเป็นระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่อง เราสามารถใช้คำศัพท์ของทฤษฎีของระบบเหล่านี้ได้: รูปเฟส, สถานะคงที่, ตัวดึงดูดเป็นต้น

เป็นที่ทราบกันดีว่าระบบไดนามิกแบบไม่เชิงเส้นมีหลายสถานะที่เสถียร สถานะที่ระบบไดนามิกพบตัวเองหลังจากการวนซ้ำจำนวนหนึ่งขึ้นอยู่กับสถานะเริ่มต้น ดังนั้นแต่ละสถานะที่มั่นคง (หรืออย่างที่พวกเขาพูดคือตัวดึงดูด) มีพื้นที่ของสถานะเริ่มต้นซึ่งระบบจะต้องตกอยู่ในสถานะสุดท้ายที่พิจารณา ดังนั้นพื้นที่เฟสของระบบจึงแบ่งออกเป็น พื้นที่ที่น่าสนใจตัวดึงดูด ถ้าเฟสสเปซเป็นแบบสองมิติ ก็จะได้สีที่ต่างกันไปโดยการระบายสีบริเวณที่ดึงดูดด้วยสีที่ต่างกัน ภาพเฟสสีระบบนี้ (กระบวนการวนซ้ำ) ด้วยการเปลี่ยนอัลกอริธึมการเลือกสี คุณจะได้รูปแบบเศษส่วนที่ซับซ้อนพร้อมรูปแบบหลากสีที่สวยงาม สิ่งที่น่าประหลาดใจสำหรับนักคณิตศาสตร์คือความสามารถในการสร้างโครงสร้างที่ไม่สำคัญที่ซับซ้อนมากโดยใช้อัลกอริธึมดั้งเดิม

รูปที่ 3 ชุด Mandelbrot

ตัวอย่างเช่น พิจารณาชุด Mandelbrot (ดูรูปที่ 3 และรูปที่ 4) อัลกอริทึมสำหรับการสร้างนั้นค่อนข้างง่ายและใช้นิพจน์วนซ้ำอย่างง่าย:

Z = Z[ฉัน]* Z[i]+ ค,

ที่ไหน Zฉันและ คเป็นตัวแปรที่ซับซ้อน มีการวนซ้ำสำหรับแต่ละจุดเริ่มต้น คพื้นที่สี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยม - ส่วนย่อยของระนาบเชิงซ้อน กระบวนการวนซ้ำจะดำเนินต่อไปจนกระทั่ง Z[i] จะไม่ไปไกลกว่าวงกลมรัศมี 2 ซึ่งจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) (หมายความว่าตัวดึงดูดของระบบไดนามิกอยู่ที่ระยะอนันต์) หรือหลังจากการวนซ้ำจำนวนมากพอสมควร (เช่น 200-500) Z[i] บรรจบกับจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลม ขึ้นอยู่กับจำนวนการวนซ้ำระหว่างนั้น Z[i] ยังคงอยู่ในวงกลม คุณสามารถกำหนดสีของจุดได้ ค(ถ้า Z[i] อยู่ภายในวงกลมเพื่อวนซ้ำจำนวนมากเพียงพอ กระบวนการวนซ้ำจะหยุดลงและจุดแรสเตอร์นี้จะถูกทาสีดำ)

รูปที่ 4 ส่วนหนึ่งของเส้นขอบของชุด Mandelbrot ขยาย 200 เท่า

อัลกอริธึมข้างต้นให้การประมาณชุด Mandelbrot ที่เรียกว่า ชุด Mandelbrot มีจุดที่อยู่ระหว่าง ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนการวนซ้ำไม่ไปที่อนันต์ (จุดเป็นสีดำ) จุดที่อยู่ในขอบเขตของเซต (นี่คือจุดที่มีโครงสร้างซับซ้อนเกิดขึ้น) จะวนซ้ำไม่รู้จบในจำนวนที่จำกัด และจุดที่อยู่นอกเซตจะวนเป็นอนันต์หลังจากวนซ้ำหลายครั้ง (พื้นหลังสีขาว)

2.3 เศษส่วนสุ่ม

มีการจำแนกประเภทของแฟร็กทัลอื่นๆ เช่น การแบ่งแฟร็กทัลออกเป็นเชิงกำหนด (เชิงพีชคณิตและเชิงเรขาคณิต) และเชิงกำหนดไม่ได้ (เชิงสุ่ม)

เศษส่วน

เศษส่วน (lat. เศษส่วน- บด, หัก, หัก) - รูปทรงเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติของความคล้ายคลึงกันในตัวเองนั่นคือประกอบด้วยหลายส่วนซึ่งแต่ละส่วนจะคล้ายกับตัวเลขทั้งหมด ในทางคณิตศาสตร์ fractals เป็นที่เข้าใจกันว่า ชุดของจุดในปริภูมิแบบยุคลิดที่มีมิติเมตริกเศษส่วน (ในความหมายของ Minkowski หรือ Hausdorff) หรือมิติเมตริกอื่นที่ไม่ใช่ทอพอโลยี Fractasm เป็นวิทยาศาสตร์ที่เป็นอิสระอย่างแท้จริงในการศึกษาและรวบรวมเศษส่วน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เศษส่วนเป็นวัตถุทางเรขาคณิตที่มีมิติเป็นเศษส่วน ตัวอย่างเช่น ขนาดของเส้นคือ 1 พื้นที่คือ 2 ปริมาณคือ 3 สำหรับแฟร็กทัล ค่ามิติสามารถอยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 หรือระหว่าง 2 ถึง 3 ตัวอย่างเช่น มิติเศษส่วนของกระดาษยู่ยี่ ลูกประมาณ 2.5 ในวิชาคณิตศาสตร์มีสูตรที่ซับซ้อนพิเศษสำหรับการคำนวณขนาดของเศษส่วน การแตกแขนงของท่อช่วยหายใจ ใบไม้บนต้นไม้ เส้นเลือดที่แขน แม่น้ำเป็นแฟร็กทัล กล่าวง่ายๆ เศษส่วนเป็นรูปทรงเรขาคณิตซึ่งบางส่วนทำซ้ำแล้วซ้ำอีกโดยเปลี่ยนขนาด - นี่คือหลักการของความคล้ายคลึงกันในตัวเอง แฟร็กทัลมีความคล้ายคลึงกับตัวเอง มีความคล้ายคลึงกับตัวเองในทุกระดับ (เช่น ทุกระดับ) แฟร็กทัลมีหลายประเภท โดยหลักการแล้ว อาจกล่าวได้ว่าทุกสิ่งที่มีอยู่ในโลกแห่งความจริงนั้นเป็นแฟร็กทัล ไม่ว่าจะเป็นเมฆหรือโมเลกุลออกซิเจน

คำว่า "ความโกลาหล" บ่งบอกถึงบางสิ่งที่คาดเดาไม่ได้ แต่จริงๆ แล้ว ความโกลาหลค่อนข้างมีระเบียบและปฏิบัติตามกฎหมายบางอย่าง จุดประสงค์ของการศึกษาความโกลาหลและแฟร็กทัลคือการทำนายรูปแบบที่อาจดูคาดเดาไม่ได้และวุ่นวายโดยสิ้นเชิง

ผู้บุกเบิกความรู้ด้านนี้คือศาสตราจารย์เบอนัวต์ บี. แมนเดลบรอต นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส-อเมริกัน ในช่วงกลางทศวรรษที่ 1960 เขาได้พัฒนาเรขาคณิตเศษส่วน โดยมีจุดประสงค์เพื่อวิเคราะห์รูปร่างที่แตก ยับ และคลุมเครือ ชุด Mandelbrot (แสดงในรูป) เป็นความสัมพันธ์แรกที่บุคคลมีเมื่อเขาได้ยินคำว่า "เศษส่วน" อย่างไรก็ตาม Mandelbrot ระบุว่าขนาดเศษส่วนของแนวชายฝั่งของอังกฤษคือ 1.25

Fractals ถูกนำมาใช้ในทางวิทยาศาสตร์มากขึ้นเรื่อยๆ พวกเขาอธิบาย โลกแห่งความจริงดีกว่าฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมด้วยซ้ำ ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนคือการเคลื่อนที่แบบสุ่มและวุ่นวายของอนุภาคฝุ่นที่แขวนลอยอยู่ในน้ำ การเคลื่อนไหวประเภทนี้อาจเป็นแง่มุมที่เป็นประโยชน์มากที่สุดในเรขาคณิตเศษส่วน การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนแบบสุ่มมีการตอบสนองความถี่ที่สามารถใช้ในการทำนายปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลและสถิติจำนวนมาก ตัวอย่างเช่น Mandelbrot คาดการณ์การเปลี่ยนแปลงของราคาขนสัตว์โดยใช้การเคลื่อนที่แบบบราวเนียน

คำว่า "เศษส่วน" ไม่เพียงแต่ใช้เป็นศัพท์ทางคณิตศาสตร์เท่านั้น เศษส่วนในสื่อสิ่งพิมพ์และวรรณกรรมวิทยาศาสตร์ยอดนิยมสามารถเรียกได้ว่าเป็นตัวเลขที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

มีโครงสร้างที่ไม่สำคัญในทุกระดับ นี่คือความแตกต่างจากตัวเลขปกติ (เช่น วงกลม วงรี กราฟของฟังก์ชันเรียบ): หากเราพิจารณาส่วนเล็กๆ ของตัวเลขปกติในระดับที่ใหญ่มาก มันจะดูเหมือนส่วนของเส้นตรง . สำหรับแฟร็กทัล การซูมเข้าไม่ได้ทำให้โครงสร้างง่ายขึ้น เราจะเห็นภาพที่ซับซ้อนเท่าๆ กันในทุกระดับ

มีความคล้ายคลึงตนเองหรือคล้ายตนเองโดยประมาณ

มีมิติเมตริกเศษส่วนหรือมิติเมตริกที่เหนือกว่าโทโพโลยี

การใช้แฟร็กทัลให้เกิดประโยชน์สูงสุดในการคำนวณคือการบีบอัดข้อมูลแฟร็กทัล ในเวลาเดียวกัน รูปภาพจะถูกบีบอัดได้ดีกว่าวิธีทั่วไป - สูงถึง 600:1 ข้อดีอีกประการของการบีบอัดเศษส่วนคือเมื่อคุณซูมเข้า จะไม่มีเอฟเฟกต์พิกเซลที่ทำให้รูปภาพแย่ลงอย่างมาก ยิ่งไปกว่านั้น ภาพที่ถูกบีบอัดแบบแยกส่วนหลังจากขยายมักจะดูดียิ่งขึ้นกว่าเดิม นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ยังทราบด้วยว่าแฟร็กทัลของความซับซ้อนและความงามที่ไม่สิ้นสุดสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยสูตรง่ายๆ อุตสาหกรรมภาพยนตร์ใช้เทคโนโลยีกราฟิกเศษส่วนอย่างกว้างขวางเพื่อสร้างองค์ประกอบภูมิทัศน์ที่สมจริง (เมฆ หิน และเงา)

การศึกษาความปั่นป่วนในการไหลปรับให้เข้ากับแฟร็กทัลได้เป็นอย่างดี สิ่งนี้ช่วยให้เข้าใจไดนามิกของการไหลที่ซับซ้อนได้ดีขึ้น เปลวไฟสามารถสร้างแบบจำลองโดยใช้แฟร็กทัล วัสดุที่มีรูพรุนจะแสดงในรูปเศษส่วนได้ดีเนื่องจากมีรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนมาก ในการส่งข้อมูลในระยะไกลจะใช้เสาอากาศรูปทรงเศษส่วนซึ่งช่วยลดขนาดและน้ำหนักได้อย่างมาก Fractals ใช้เพื่ออธิบายความโค้งของพื้นผิว พื้นผิวที่ไม่เรียบนั้นเกิดจากการรวมกันของแฟร็กทัลที่แตกต่างกันสองแบบ

วัตถุหลายอย่างในธรรมชาติมีคุณสมบัติเป็นแฟร็กทัล เช่น ชายฝั่ง เมฆ มงกุฎต้นไม้ เกล็ดหิมะ ระบบไหลเวียนโลหิต และระบบถุงลมของมนุษย์หรือสัตว์

แฟร็กทัล โดยเฉพาะบนเครื่องบิน ได้รับความนิยมจากการผสมผสานระหว่างความสวยงามและความสะดวกในการก่อสร้างด้วยคอมพิวเตอร์

ตัวอย่างแรกของเซตที่คล้ายตนเองซึ่งมีคุณสมบัติผิดปกติปรากฏในศตวรรษที่ 19 (ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันโบลซาโน ฟังก์ชันไวเออร์ชตราส เซตคันทอร์) คำว่า "แฟร็กทัล" ถูกนำมาใช้โดยเบอนัวต์ แมนเดลบรอตในปี พ.ศ. 2518 และได้รับความนิยมอย่างกว้างขวางด้วยการเปิดตัวหนังสือ "The Fractal Geometry of Nature" ในปี พ.ศ. 2520

รูปด้านซ้ายแสดงแฟร็กทัล Darer Pentagon เป็นตัวอย่างง่ายๆ ซึ่งดูเหมือนกลุ่มห้าเหลี่ยมเบียดกัน ในความเป็นจริง มันถูกสร้างโดยใช้รูปห้าเหลี่ยมเป็นตัวเริ่มและสามเหลี่ยมหน้าจั่ว อัตราส่วนของด้านที่ใหญ่ที่สุดกับด้านที่เล็กที่สุดซึ่งเท่ากับอัตราส่วนทองคำ (1.618033989 หรือ 1/(2cos72°)) นั่นเอง เครื่องกำเนิดไฟฟ้า สามเหลี่ยมเหล่านี้ถูกตัดออกจากตรงกลางของรูปห้าเหลี่ยมแต่ละอัน ทำให้ได้รูปทรงที่ดูเหมือนรูปห้าเหลี่ยมขนาดเล็ก 5 อันติดกาวเข้ากับอันใหญ่อันหนึ่ง

ทฤษฎีความโกลาหลกล่าวว่าระบบที่ไม่เชิงเส้นที่ซับซ้อนนั้นคาดเดาไม่ได้ตามกรรมพันธุ์ แต่ในขณะเดียวกันก็อ้างว่าวิธีการแสดงระบบที่คาดเดาไม่ได้นั้นกลายเป็นจริง ไม่ใช่ในความเท่าเทียมกันที่แน่นอน แต่เป็นการแสดงพฤติกรรมของระบบ - ในกราฟของตัวดึงดูดแปลก ๆ ที่ ดูเหมือนเศษส่วน ดังนั้น ทฤษฎีความโกลาหล ซึ่งหลายคนมองว่าเป็นสิ่งที่คาดเดาไม่ได้ กลายเป็นศาสตร์แห่งการคาดเดาได้แม้ในระบบที่ไม่เสถียรที่สุด หลักคำสอนของระบบไดนามิกแสดงให้เห็นว่าสมการง่ายๆ สามารถสร้างพฤติกรรมที่ยุ่งเหยิงได้ ซึ่งระบบจะไม่กลับคืนสู่สถานะที่มั่นคงและไม่มีความสม่ำเสมอปรากฏขึ้นพร้อมกัน บ่อยครั้งที่ระบบดังกล่าวทำงานค่อนข้างปกติถึงค่าหนึ่งของพารามิเตอร์หลัก จากนั้นจะประสบกับการเปลี่ยนแปลงซึ่งมีความเป็นไปได้สองอย่างสำหรับการพัฒนาต่อไป จากนั้นสี่ และสุดท้ายคือชุดของความเป็นไปได้ที่สับสนอลหม่าน

แบบแผนของกระบวนการที่เกิดขึ้นในวัตถุทางเทคนิคมีโครงสร้างเศษส่วนที่ชัดเจน โครงสร้างของระบบทางเทคนิคขั้นต่ำ (TS) หมายถึงการไหลภายใน TS ของกระบวนการสองประเภท - กระบวนการหลักและการสนับสนุนและส่วนนี้มีเงื่อนไขและสัมพันธ์กัน กระบวนการใด ๆ สามารถเป็นกระบวนการหลักที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการสนับสนุน และกระบวนการสนับสนุนใด ๆ สามารถถือเป็นกระบวนการหลักที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการสนับสนุน "ของพวกเขา" วงกลมในแผนภาพระบุถึงผลกระทบทางกายภาพที่รับประกันการไหลของกระบวนการเหล่านั้น ซึ่งไม่จำเป็นต้องสร้าง TS "ของตัวเอง" เป็นพิเศษ กระบวนการเหล่านี้เป็นผลมาจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างสาร เขตข้อมูล สารและเขตข้อมูล เพื่อให้แม่นยำ ผลกระทบทางกายภาพคือพาหนะ ซึ่งเป็นหลักการที่เราไม่สามารถชักจูงได้ และเราไม่ต้องการหรือไม่มีโอกาสที่จะเข้าไปยุ่งเกี่ยวกับโครงสร้างของมัน

โฟลว์ของกระบวนการหลักที่แสดงในไดอะแกรมนั้นมั่นใจได้จากการมีอยู่ของกระบวนการสนับสนุนสามกระบวนการที่เป็นกระบวนการหลักสำหรับ TS ที่สร้างกระบวนการเหล่านั้น เพื่อความเป็นธรรม เราทราบว่าสำหรับการทำงานของ TS ที่น้อยที่สุดนั้น กระบวนการสามกระบวนการนั้นไม่เพียงพออย่างชัดเจน กล่าวคือ โครงการนี้เกินจริงมาก

ทุกอย่างไม่ง่ายอย่างที่แสดงในแผนภาพ มีประโยชน์ ( จำเป็นสำหรับบุคคล) กระบวนการนี้ไม่สามารถดำเนินการได้อย่างมีประสิทธิภาพ 100% พลังงานที่สูญเสียไปนั้นถูกใช้ไปกับการสร้างกระบวนการที่เป็นอันตราย เช่น ความร้อน การสั่นสะเทือน ฯลฯ เป็นผลให้ควบคู่ไปกับกระบวนการที่เป็นประโยชน์สิ่งที่เป็นอันตรายเกิดขึ้น ไม่สามารถแทนที่กระบวนการที่ "ไม่ดี" ด้วยกระบวนการที่ "ดี" ได้เสมอไป ดังนั้นจึงต้องมีการจัดระเบียบกระบวนการใหม่เพื่อชดเชยผลที่ตามมาซึ่งเป็นอันตรายต่อระบบ ตัวอย่างทั่วไปคือความต้องการต่อสู้กับแรงเสียดทาน ซึ่งบังคับให้ต้องจัดระเบียบแผนการหล่อลื่นอันชาญฉลาด ใช้วัสดุต้านแรงเสียดทานที่มีราคาแพง หรือใช้เวลาในการหล่อลื่นส่วนประกอบและชิ้นส่วนหรือเปลี่ยนชิ้นส่วนเป็นระยะๆ

ในการเชื่อมโยงกับการมีอยู่ของอิทธิพลที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ของสภาพแวดล้อมที่เปลี่ยนแปลงได้ กระบวนการที่มีประโยชน์อาจจำเป็นต้องควบคุม การจัดการสามารถทำได้ทั้งโดยใช้อุปกรณ์อัตโนมัติและโดยบุคคลโดยตรง แผนภาพกระบวนการคือชุดคำสั่งพิเศษ เช่น อัลกอริทึม สาระสำคัญ (คำอธิบาย) ของแต่ละคำสั่งคือการรวมกันของกระบวนการที่มีประโยชน์เพียงหนึ่งเดียว ซึ่งมาพร้อมกับกระบวนการที่เป็นอันตรายและชุดของกระบวนการควบคุมที่จำเป็น ในอัลกอริทึมดังกล่าว ชุดของกระบวนการสนับสนุนคือรูทีนย่อยทั่วไป และที่นี่เรายังพบแฟร็กทัลด้วย วิธีการของ R. Koller ซึ่งสร้างขึ้นเมื่อหนึ่งในสี่ของศตวรรษที่ผ่านมาทำให้สามารถสร้างระบบที่มีชุดฟังก์ชัน (กระบวนการ) เพียง 12 คู่ที่จำกัด

เซตที่คล้ายตนเองที่มีคุณสมบัติผิดปกติทางคณิตศาสตร์

เริ่มต้นด้วย XIX ปลายศตวรรษ ในวิชาคณิตศาสตร์มีตัวอย่างของวัตถุที่คล้ายคลึงกันที่มีคุณสมบัติทางพยาธิวิทยาจากมุมมองของการวิเคราะห์แบบดั้งเดิม ซึ่งรวมถึงสิ่งต่อไปนี้:

ชุดคันทอร์เป็นชุดที่สมบูรณ์แบบนับไม่ได้หนาแน่นไม่มีที่ไหนเลย โดยการปรับเปลี่ยนขั้นตอน เรายังสามารถได้รับชุดความยาวบวกที่หนาแน่นที่ไม่มีที่ไหนเลย

สามเหลี่ยม Sierpinski ("ผ้าปูโต๊ะ") และพรม Sierpinski เป็นแบบอะนาล็อกของคันทอร์ที่ตั้งไว้บนระนาบ

ฟองน้ำของ Menger - อะนาล็อกของคันทอร์ตั้งอยู่ในพื้นที่สามมิติ

ตัวอย่างโดย Weierstrass และ van der Waerden เกี่ยวกับฟังก์ชันต่อเนื่องที่สามารถหาอนุพันธ์ได้

Koch curve - เส้นโค้งต่อเนื่องที่ไม่ตัดกันในตัวเองที่มีความยาวไม่สิ้นสุดซึ่งไม่มีการสัมผัสกัน ณ จุดใด ๆ

เส้นโค้ง Peano เป็นเส้นโค้งที่ต่อเนื่องผ่านจุดต่างๆ ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

วิถีโคจรของอนุภาคบราวเนียนก็ไม่มีความแตกต่างกับความน่าจะเป็น 1 ขนาด Hausdorff ของมันคือสอง

ขั้นตอนแบบเรียกซ้ำเพื่อรับเส้นโค้งเศษส่วน

การก่อสร้างโค้ง Koch

มีขั้นตอนการเรียกซ้ำอย่างง่ายสำหรับการรับเส้นโค้งเศษส่วนในระนาบ เรากำหนดเส้นแบ่งโดยพลการด้วยจำนวนลิงก์ที่จำกัด ซึ่งเรียกว่าตัวสร้าง ต่อไปเราจะแทนที่แต่ละส่วนด้วยเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ในเส้นที่แตกเป็นผลลัพธ์ เราจะแทนที่แต่ละส่วนด้วยเครื่องกำเนิดไฟฟ้าอีกครั้ง ต่อไปไม่มีที่สิ้นสุดในขีด จำกัด เราจะได้เส้นโค้งเศษส่วน รูปด้านขวาแสดงสี่ขั้นตอนแรกของขั้นตอนนี้สำหรับเส้นโค้ง Koch

ตัวอย่างของเส้นโค้งดังกล่าวได้แก่:

เส้นโค้งมังกร,

เส้นโค้ง Koch (เกล็ดหิมะ Koch)

เลวี่เคิร์ฟ,

เส้นโค้ง minkowski,

ฮิลเบิร์ต เคิร์ฟ

หัก (โค้ง) มังกร (Fractal Harter-Hateway),

เส้นโค้งถั่วลิสง

โดยใช้ขั้นตอนที่คล้ายกัน จะได้ต้นไม้พีทาโกรัส

แฟร็กทัลเป็นจุดคงที่ของการแมปการหดตัว

คุณสมบัติความคล้ายตนเองสามารถแสดงอย่างเคร่งครัดทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้ ให้เป็นแผนที่การหดตัวของเครื่องบิน พิจารณาการแมปต่อไปนี้ในชุดย่อยทั้งหมด (ปิดและมีขอบเขต) ของระนาบ:

สามารถแสดงได้ว่าการทำแผนที่เป็นการทำแผนที่การหดตัวในชุดของชุดที่มีขนาดกะทัดรัดด้วยเมตริก Hausdorff ดังนั้น จากทฤษฎีบทของ Banach แผนที่นี้มีจุดตายตัวที่ไม่เหมือนใคร จุดคงที่นี้จะเป็นเศษส่วนของเรา

ขั้นตอนการเรียกซ้ำเพื่อให้ได้เส้นโค้งเศษส่วนที่อธิบายไว้ข้างต้นเป็นกรณีพิเศษของโครงสร้างนี้ ในนั้น การแมปทั้งหมดเป็นการแมปที่คล้ายคลึงกัน และเป็นจำนวนของลิงก์ตัวสร้าง

สำหรับสามเหลี่ยม Sierpinski และแผนที่ , , เป็นโฮโมเทตีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมปกติและค่าสัมประสิทธิ์ 1/2 เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าสามเหลี่ยม Sierpinski แปลงเป็นตัวมันเองภายใต้การทำแผนที่

ในกรณีที่การแมปเป็นการแปลงความคล้ายคลึงกันด้วยค่าสัมประสิทธิ์ ขนาดของเศษส่วน (ภายใต้เงื่อนไขทางเทคนิคเพิ่มเติมบางประการ) สามารถคำนวณเป็นคำตอบของสมการได้ ดังนั้นสำหรับสามเหลี่ยม Sierpinski ที่เราได้รับ .

ตามทฤษฎีบท Banach เดียวกัน เริ่มต้นจากเซตที่มีขนาดกะทัดรัดและนำไปใช้กับมัน ทำซ้ำแผนที่ เราได้รับลำดับของเซตย่อยที่มาบรรจบกัน (ในความหมายของเมตริก Hausdorff) กับแฟร็กทัลของเรา

แฟร็กทัลในไดนามิกที่ซับซ้อน

ชุดจูเลีย

จูเลียอีกชุดหนึ่ง

แฟร็กทัลเกิดขึ้นตามธรรมชาติในการศึกษาระบบไดนามิกแบบไม่เชิงเส้น กรณีที่มีการศึกษามากที่สุดคือเมื่อระบบไดนามิกถูกกำหนดโดยการวนซ้ำของฟังก์ชันพหุนามหรือฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกของตัวแปรเชิงซ้อนบนระนาบ การศึกษาครั้งแรกในพื้นที่นี้ย้อนกลับไปเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 และเกี่ยวข้องกับชื่อของ Fatou และ Julia

อนุญาต ฉ(ซี) - พหุนาม ซี 0 เป็นจำนวนเชิงซ้อน พิจารณาลำดับต่อไปนี้: ซี 0 , ซี 1 =ฉ(ซี 0), ซี 2 =ฉ(ฉ(ซี 0)) = ฉ(ซี 1),ซี 3 =ฉ(ฉ(ฉ(ซี 0)))=ฉ(ซี 2), …

เราสนใจพฤติกรรมของลำดับนี้ตามที่เรามักจะเป็น นไม่มีที่สิ้นสุด. ลำดับนี้สามารถ:

มุ่งมั่นเพื่ออินฟินิตี้

มุ่งมั่นสู่ที่สุด

แสดงพฤติกรรมเป็นวงจรในขีดจำกัด เช่น ซี 1 , ซี 2 , ซี 3 , ซี 1 , ซี 2 , ซี 3 , …

ประพฤติวุ่นวาย คือ ไม่แสดงกิริยา ๓ อย่างที่กล่าวมา

ชุดของค่า ซี 0 ซึ่งลำดับแสดงพฤติกรรมเฉพาะประเภทหนึ่ง ตลอดจนชุดของจุดแยกสองทางระหว่างประเภทต่างๆ มักจะมีคุณสมบัติเศษส่วน

ดังนั้น เซตจูเลียจึงเป็นเซตของจุดสองทางสำหรับพหุนาม ฉ(ซี)=ซี 2 +ค(หรือฟังก์ชันอื่นๆ ที่คล้ายกัน) นั่นคือค่าเหล่านั้น ซี 0 ซึ่งพฤติกรรมของลำดับ ( ซี น) สามารถเปลี่ยนแปลงอย่างมากด้วยการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยตามอำเภอใจ ซี 0 .

อีกทางเลือกหนึ่งสำหรับการรับชุดเศษส่วนคือการแนะนำพารามิเตอร์ในพหุนาม ฉ(ซี) และพิจารณาชุดของค่าพารามิเตอร์เหล่านั้นซึ่งลำดับ ( ซี น) แสดงพฤติกรรมบางอย่างสำหรับค่าคงที่ ซี 0 . ดังนั้น เซตแมนเดลบรอตจึงเป็นเซตของทั้งหมดสำหรับ ( ซี น) สำหรับ ฉ(ซี)=ซี 2 +คและ ซี 0 ไม่ไปที่อนันต์

อื่น ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงประเภทนี้คือสระของนิวตัน

เป็นที่นิยมในการสร้างภาพกราฟิกที่สวยงามตามไดนามิกที่ซับซ้อนโดยการระบายสีจุดระนาบขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของระบบไดนามิกที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น เพื่อเสริมชุด Mandelbrot คุณสามารถระบายสีจุดต่าง ๆ โดยขึ้นอยู่กับความเร็วของความพยายาม ( ซี น) ถึงอนันต์ (หมายถึงจำนวนที่น้อยที่สุด นที่ไหน | ซี น| เกินค่าคงที่มาก ก.

Biomorphs เป็นแฟร็กทัลที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของไดนามิกที่ซับซ้อนและสิ่งมีชีวิตที่คล้ายคลึงกัน

เศษส่วนสุ่ม

แฟร็กทัลแบบสุ่มตามชุดจูเลีย

วัตถุธรรมชาติมักมีรูปร่างเป็นเศษส่วน สำหรับการสร้างแบบจำลองนั้นสามารถใช้แฟร็กทัลสุ่ม (สุ่ม) ได้ ตัวอย่างของเศษส่วนสุ่ม:

วิถีการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนบนระนาบและในอวกาศ

ขอบเขตของวิถีการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนบนระนาบ ในปี 2544 Lawler, Schramm และ Werner ได้พิสูจน์การคาดเดาของ Mandelbrot ว่ามิติของมันคือ 4/3

วิวัฒนาการของ Schramm-Löwner เป็นเส้นโค้งเศษส่วนที่ไม่แปรเปลี่ยนตามรูปแบบที่เกิดขึ้นในแบบจำลองสองมิติที่สำคัญของกลศาสตร์ทางสถิติ ตัวอย่างเช่น ในแบบจำลอง Ising และการซึมผ่าน

แฟร็กทัลแบบสุ่มประเภทต่างๆ นั่นคือ แฟร็กทัลที่ได้รับโดยใช้ขั้นตอนแบบวนซ้ำ ซึ่งในแต่ละขั้นตอนจะมีการแนะนำพารามิเตอร์แบบสุ่ม พลาสมาเป็นตัวอย่างของการใช้เศษส่วนดังกล่าวในคอมพิวเตอร์กราฟิก

ในธรรมชาติ

มุมมองด้านหน้าของหลอดลมและหลอดลม

ต้นไม้หลอดลม

เครือข่ายหลอดเลือด

แอปพลิเคชัน

วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ

ในทางฟิสิกส์ แฟร็กทัลเกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อสร้างแบบจำลองกระบวนการที่ไม่เชิงเส้น เช่น การไหลของของไหลปั่นป่วน กระบวนการดูดซับแบบกระจายที่ซับซ้อน เปลวไฟ เมฆ ฯลฯ แฟร็กทัลถูกใช้เมื่อสร้างแบบจำลองวัสดุที่มีรูพรุน เช่น ในปิโตรเคมี ในทางชีววิทยา พวกมันถูกใช้เพื่อจำลองประชากรและอธิบายระบบของอวัยวะภายใน (ระบบของหลอดเลือด)

วิศวกรรมวิทยุ

เสาอากาศเศษส่วน

การใช้รูปทรงเศษส่วนในการออกแบบอุปกรณ์เสาอากาศถูกนำมาใช้เป็นครั้งแรกโดยวิศวกรชาวอเมริกัน นาธาน โคเฮน ซึ่งขณะนั้นอาศัยอยู่ในย่านดาวน์ทาวน์ของบอสตัน ซึ่งห้ามติดตั้งเสาอากาศภายนอกบนอาคาร นาธานตัดร่างในรูปของ Koch curve จากอลูมิเนียมฟอยล์แล้วแปะลงบนแผ่นกระดาษ จากนั้นติดเข้ากับเครื่องรับ โคเฮนก่อตั้งบริษัทของตัวเองและเปิดตัวการผลิตแบบต่อเนื่อง

วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

การบีบอัดภาพ

บทความหลัก: อัลกอริทึมการบีบอัดเศษส่วน

ต้นไม้เศษส่วน

มีอัลกอริธึมการบีบอัดภาพโดยใช้เศษส่วน โดยยึดตามแนวคิดที่ว่าแทนที่จะเก็บรูปภาพเอง คุณสามารถจัดเก็บแผนที่ย่อส่วนซึ่งรูปภาพนี้ (หรือรูปภาพใกล้เคียง) เป็นจุดคงที่ได้ หนึ่งในตัวแปรของอัลกอริทึมนี้ถูกใช้ [ แหล่งที่มาไม่ระบุ 895 วัน] โดย Microsoft เมื่อเผยแพร่สารานุกรม แต่อัลกอริทึมเหล่านี้ไม่ได้ใช้กันอย่างแพร่หลาย

คอมพิวเตอร์กราฟิก

ต้นไม้เศษส่วนอีกต้น

แฟร็กทัลถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในคอมพิวเตอร์กราฟิกเพื่อสร้างภาพของวัตถุธรรมชาติ เช่น ต้นไม้ พุ่มไม้ ทิวทัศน์ภูเขา พื้นผิวทะเล และอื่นๆ มีหลายโปรแกรมที่ใช้สร้างภาพแฟร็กทัล ดูที่ Fractal Generator (โปรแกรม)

เครือข่ายกระจายอำนาจ

ระบบการกำหนดที่อยู่ IP ของ Netsukuku ใช้หลักการของการบีบอัดข้อมูลเศษส่วนเพื่อเก็บข้อมูลเกี่ยวกับโหนดเครือข่ายอย่างกะทัดรัด แต่ละโหนดบนเครือข่าย Netsukuku เก็บข้อมูลสถานะของโหนดข้างเคียงได้เพียง 4 KB ในขณะที่โหนดใหม่เชื่อมต่อกับเครือข่ายทั่วไปโดยไม่จำเป็นต้องมีการควบคุมจากส่วนกลางในการกระจายที่อยู่ IP ซึ่งเป็นตัวอย่างทั่วไปสำหรับ อินเทอร์เน็ต. ดังนั้น หลักการของการบีบอัดข้อมูลเศษส่วนจึงรับประกันการกระจายอำนาจอย่างสมบูรณ์ ดังนั้น การทำงานที่เสถียรที่สุดของเครือข่ายทั้งหมด

แฟร็กทัลเป็นที่รู้จักมาเกือบศตวรรษ มีการศึกษาเป็นอย่างดีและมีการนำไปใช้ในชีวิตมากมาย ปรากฏการณ์นี้มีพื้นฐานมาจากแนวคิดที่เรียบง่ายมาก: ตัวเลขจำนวนไม่สิ้นสุดที่มีความสวยงามและหลากหลายสามารถหาได้จากโครงสร้างที่ค่อนข้างเรียบง่ายโดยใช้การดำเนินการเพียงสองอย่าง นั่นคือ การคัดลอกและการปรับขนาด

แนวคิดนี้ไม่มีคำจำกัดความที่เข้มงวด ดังนั้นคำว่าเศษส่วนจึงไม่ใช่คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ ปกติจะเรียกว่า รูปทรงเรขาคณิตซึ่งเป็นไปตามคุณสมบัติอย่างน้อยหนึ่งข้อต่อไปนี้:

มีโครงสร้างที่ซับซ้อนในทุกการขยาย
คือ (โดยประมาณ) คล้ายตนเอง;
มีขนาดเศษส่วน Hausdorff (เศษส่วน) ซึ่งใหญ่กว่าทอพอโลยี
สามารถสร้างได้โดยกระบวนการเรียกซ้ำ

ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19 และ 20 การศึกษาแฟร็กทัลเป็นขั้นตอนมากกว่าเป็นระบบ เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ยุคก่อนส่วนใหญ่ศึกษาวัตถุที่ "ดี" ซึ่งสามารถศึกษาได้โดยใช้ วิธีการทั่วไปและทฤษฎี ในปี พ.ศ. 2415 คาร์ล ไวเออร์ชตราส นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้สร้างตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ อย่างไรก็ตาม โครงสร้างของมันเป็นนามธรรมโดยสิ้นเชิงและยากที่จะเข้าใจ ดังนั้นในปี ค.ศ. 1904 ชาวสวีเดน Helge von Koch จึงคิดค้นเส้นโค้งต่อเนื่องที่ไม่มีการสัมผัสกัน และการวาดนั้นค่อนข้างง่าย ปรากฎว่ามีคุณสมบัติของเศษส่วน รูปแบบหนึ่งของเส้นโค้งนี้เรียกว่า Koch snowflake

Paul Pierre Levy ชาวฝรั่งเศสซึ่งเป็นที่ปรึกษาในอนาคตของ Benoit Mandelbrot ได้หยิบยกแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันของตัวเลขขึ้นมา ในปี 1938 บทความของเขา "ระนาบและเส้นโค้งเชิงพื้นที่และพื้นผิวที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่คล้ายกับทั้งหมด" ได้รับการตีพิมพ์ ซึ่งมีการอธิบายเศษส่วนอีกชิ้นหนึ่ง นั่นคือ Lévy C-curve แฟร็กทัลทั้งหมดข้างต้นสามารถนำมาประกอบกับแฟร็กทัลเชิงสร้างสรรค์ (เรขาคณิต) แบบมีเงื่อนไขหนึ่งชั้น

อีกคลาสหนึ่งคือแฟร็กทัลแบบไดนามิก (เกี่ยวกับพีชคณิต) ซึ่งรวมถึงชุด Mandelbrot การศึกษาครั้งแรกในทิศทางนี้ย้อนกลับไปเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 และเกี่ยวข้องกับชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Gaston Julia และ Pierre Fatou ในปีพ. ศ. 2461 ผลงานของจูเลียเกือบสองร้อยหน้าได้รับการตีพิมพ์ซึ่งอุทิศให้กับการวนซ้ำของฟังก์ชันเชิงเหตุผลที่ซับซ้อนซึ่งอธิบายชุดของจูเลีย - แฟร็กทัลทั้งตระกูลที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับชุดแมนเดลบรอต งานนี้ได้รับรางวัลจาก French Academy แต่ไม่มีภาพประกอบเดียวดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะชื่นชมความงามของวัตถุที่ค้นพบ แม้ว่างานนี้จะทำให้จูเลียมีชื่อเสียงในหมู่นักคณิตศาสตร์ในยุคนั้น แต่มันก็ถูกลืมอย่างรวดเร็ว

เพียงครึ่งศตวรรษต่อมา ด้วยการถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ ความสนใจจึงหันไปที่งานของ Julia และ Fatou พวกเขาคือผู้ที่ทำให้ความร่ำรวยและความสวยงามของโลกแห่งแฟร็กทัลมองเห็นได้ ท้ายที่สุด Fatou ไม่สามารถดูภาพที่ตอนนี้เรารู้ว่าเป็นภาพของชุด Mandelbrot เนื่องจากไม่สามารถคำนวณจำนวนที่จำเป็นได้ด้วยตนเอง บุคคลแรกที่ใช้คอมพิวเตอร์สำหรับสิ่งนี้คือ Benoit Mandelbrot

ในปี 1982 หนังสือ "The Fractal Geometry of Nature" ของ Mandelbrot ได้รับการตีพิมพ์ ซึ่งผู้เขียนได้รวบรวมและจัดระบบข้อมูลเกือบทั้งหมดเกี่ยวกับเศษส่วนที่มีในขณะนั้น และนำเสนอในลักษณะที่เข้าถึงได้ง่าย แมนเดลบรอตเน้นหลักในการนำเสนอไม่ใช่สูตรที่น่าขบขันและโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ แต่อยู่ที่สัญชาตญาณทางเรขาคณิตของผู้อ่าน ต้องขอบคุณภาพประกอบที่สร้างจากคอมพิวเตอร์และเรื่องราวทางประวัติศาสตร์ ซึ่งผู้เขียนได้เจือจางองค์ประกอบทางวิทยาศาสตร์ของเอกสารอย่างชำนาญ ทำให้หนังสือเล่มนี้กลายเป็นหนังสือขายดี และเศษส่วนก็กลายเป็นที่รู้จักของสาธารณชนทั่วไป ความสำเร็จของพวกเขาในหมู่ผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์นั้นส่วนใหญ่มาจากความจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของโครงสร้างและสูตรง่ายๆ ที่แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายก็สามารถเข้าใจได้ ทำให้ได้ภาพที่มีความซับซ้อนและสวยงามน่าทึ่ง เมื่อคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลมีประสิทธิภาพเพียงพอ แม้แต่เทรนด์ศิลปะก็ปรากฏขึ้น - ภาพวาดเศษส่วน และเจ้าของคอมพิวเตอร์เกือบทุกคนสามารถทำได้ ขณะนี้บนอินเทอร์เน็ตคุณสามารถค้นหาไซต์มากมายสำหรับหัวข้อนี้ได้อย่างง่ายดาย

บรรณาธิการของ NNN บังเอิญไปพบมาก วัสดุที่น่าสนใจนำเสนอในบล็อกของผู้ใช้ xtsarx ซึ่งอุทิศให้กับองค์ประกอบของทฤษฎี เศษส่วนและการนำไปใช้จริง ดังที่คุณทราบ ทฤษฎีแฟร็กทัลมีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์และเคมีของระบบนาโน หลังจากที่เราให้การสนับสนุนเนื้อหาที่มั่นคงนี้ โดยนำเสนอในภาษาที่ผู้อ่านหลากหลายกลุ่มสามารถเข้าถึงได้และได้รับการสนับสนุนโดยกราฟิกจำนวนมากและแม้กระทั่งเนื้อหาวิดีโอ เราจึงนำเสนอเนื้อหาดังกล่าวให้คุณทราบ เราหวังว่าผู้อ่าน NNN จะพบว่าเนื้อหานี้น่าสนใจ

ธรรมชาติลึกลับมากจนยิ่งศึกษาก็ยิ่งมีคำถามเกิดขึ้น... เรขาคณิตแบบยุคลิด เราไม่สามารถอธิบายหินหรือขอบเขตของเกาะด้วยเส้น วงกลม และสามเหลี่ยมได้ และที่นี่เรามาช่วยชีวิต เศษส่วน. คนแปลกหน้าที่คุ้นเคยเหล่านี้คืออะไร?

“ภายใต้กล้องจุลทรรศน์ เขาค้นพบสิ่งนี้บนตัวหมัด
หมัดกัดอาศัยอยู่บนตัวหมัด
บนตัวหมัดนั้นเป็นหมัดตัวเล็กๆ
โกรธจัดฟันเป็นหมัด
หมัดและอื่น ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด ง. สวิฟต์

ประวัติเล็กน้อย

ความคิดแรก เรขาคณิตเศษส่วนเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 Kantor ใช้ขั้นตอนแบบวนซ้ำ (ซ้ำ) อย่างง่าย เปลี่ยนบรรทัดเป็นชุดของจุดที่ไม่เชื่อมต่อกัน (ที่เรียกว่า Cantor Dust) เขาจับเส้นและนำส่วนที่สามตรงกลางออกแล้วทำซ้ำเช่นเดียวกันกับส่วนที่เหลือ

ข้าว. 1. Peano curve 1.2–5 ซ้ำ

ทาสีถั่วลิสง ชนิดพิเศษเส้น พีโน่ทำดังต่อไปนี้: ในขั้นแรก เขาได้วาดเส้นตรงและแทนที่ด้วย 9 ส่วน ซึ่งสั้นกว่าความยาวของเส้นเดิม 3 เท่า จากนั้นเขาก็ทำเช่นเดียวกันกับแต่ละส่วนของเส้นผลลัพธ์ และอื่น ๆ โฆษณาไม่มีที่สิ้นสุด เอกลักษณ์ของมันอยู่ที่ความจริงที่ว่ามันเติมเต็มระนาบทั้งหมด ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสำหรับทุก ๆ จุดในระนาบเราสามารถหาจุดที่เป็นของเส้น Peano ได้ เส้นโค้งของพีโนและฝุ่นของคันทอร์ไปไกลกว่าวัตถุทางเรขาคณิตทั่วไป พวกเขาไม่ได้มีขนาดที่ชัดเจน. ฝุ่นของคันทอร์ถูกสร้างขึ้นโดยดูเหมือนเป็นเส้นตรงหนึ่งมิติ แต่ประกอบด้วยจุด (มิติ 0) และเส้นโค้งพีโนถูกสร้างขึ้นจากเส้นหนึ่งมิติ และผลที่ได้คือระนาบ ในด้านอื่นๆ ของวิทยาศาสตร์ ปัญหาปรากฏขึ้นซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แปลกประหลาด เช่น ที่อธิบายไว้ข้างต้น (การเคลื่อนไหวแบบบราวเนียน ราคาหุ้น) เราแต่ละคนสามารถทำตามขั้นตอนนี้ ...

บิดาแห่งเศษส่วน

จนถึงศตวรรษที่ 20 มีการรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุแปลก ๆ ดังกล่าวโดยไม่มีความพยายามที่จะจัดระบบ มันเป็นอย่างนั้นจนกระทั่งพวกเขาเอา เบอนัวต์ แมนเดลบรอต – บิดาแห่งเรขาคณิตเศษส่วนยุคใหม่และคำว่าเศษส่วน.

ข้าว. 2. เบอนัวต์ แมนเดลบรอต

ในขณะที่ทำงานที่ IBM ในฐานะนักวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เขาศึกษาสัญญาณรบกวนในวงจรอิเล็กทรอนิกส์ที่ไม่สามารถอธิบายได้โดยใช้สถิติ ค่อยๆเปรียบเทียบข้อเท็จจริงเขาค้นพบทิศทางใหม่ทางคณิตศาสตร์ - เรขาคณิตเศษส่วน.

คำว่า "เศษส่วน" ถูกนำมาใช้โดย B. Mandelbrot ในปี 1975 ตามที่ Mandelbrot กล่าว เศษส่วน(จากภาษาละติน "fractus" - เศษส่วน, หัก, หัก) เรียกว่า โครงสร้างที่ประกอบขึ้นจากชิ้นส่วนทั้งหมด. คุณสมบัติของความคล้ายคลึงกันในตนเองทำให้เศษส่วนแตกต่างจากวัตถุในรูปทรงเรขาคณิตคลาสสิกอย่างมาก ภาคเรียน ความคล้ายคลึงกันในตัวเองวิธี การมีโครงสร้างที่ละเอียดและทำซ้ำๆ ทั้งในสเกลที่เล็กที่สุดของวัตถุและสเกลใหญ่.

ข้าว. 3. คำจำกัดความของแนวคิดของ "เศษส่วน"

ตัวอย่างของความคล้ายคลึงกันคือ: Koch, Levy, Minkowski Curves, Sierpinski Triangle, Menger Sponge, Pythagorean Tree เป็นต้น

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ เศษส่วนคือก่อนอื่น กำหนดด้วยมิติเศษส่วน (ตัวกลาง "ไม่ใช่จำนวนเต็ม"). ในขณะที่เส้นแบบยุคลิดที่ราบเรียบเติมเต็มปริภูมิหนึ่งมิติพอดี เส้นโค้ง Fractal ไปไกลกว่าปริภูมิหนึ่งมิติและรุกล้ำเกินขอบเขตไปสู่ปริภูมิสองมิติ ดังนั้น มิติเศษส่วนของเส้นโค้ง Koch จะอยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 นี่ ประการแรก หมายความว่าวัตถุเศษส่วนไม่สามารถวัดความยาวของมันได้อย่างแม่นยำ! ในบรรดาแฟร็กทัลเชิงเรขาคณิตเหล่านี้ อันแรกน่าสนใจมากและมีชื่อเสียงทีเดียว -- Koch เกล็ดหิมะ.

ข้าว. 4. คำจำกัดความของแนวคิดของ "เศษส่วน"

มันถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐาน สามเหลี่ยมด้านเท่า. แต่ละบรรทัดจะถูกแทนที่ด้วย 4 บรรทัด แต่ละ 1/3 ของความยาวเดิม ดังนั้น ในการวนซ้ำแต่ละครั้ง ความยาวของเส้นโค้งจะเพิ่มขึ้นหนึ่งในสาม และถ้าเราวนซ้ำเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด เราจะได้แฟร็กทัล - เกล็ดหิมะ Koch ที่มีความยาวไม่สิ้นสุด ปรากฎว่าเส้นโค้งอนันต์ของเราครอบคลุมพื้นที่จำกัด พยายามทำเช่นเดียวกันกับวิธีการและตัวเลขจากเรขาคณิตแบบยุคลิด
มิติของเกล็ดหิมะ Koch(เมื่อเกล็ดหิมะเพิ่มขึ้น 3 เท่า ความยาวจะเพิ่มขึ้น 4 เท่า) D=log(4)/log(3)=1.2619

เกี่ยวกับเศษส่วน

Fractals กำลังค้นหาการประยุกต์ใช้ในด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมากขึ้นเรื่อยๆ เหตุผลหลักคือพวกเขาอธิบายโลกแห่งความเป็นจริงได้ดีกว่าฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมในบางครั้ง คุณสามารถยกตัวอย่างวัตถุเศษส่วนในธรรมชาติได้อย่างไม่รู้จบ - เหล่านี้คือเมฆและเกล็ดหิมะและภูเขาและแสงวาบและสุดท้ายคือดอกกะหล่ำ แฟร็กทัลเป็นวัตถุธรรมชาติคือการเคลื่อนไหวที่ต่อเนื่องชั่วนิรันดร์ การก่อตัวและการพัฒนาใหม่

ข้าว. 5. เศษส่วนในทางเศรษฐศาสตร์

นอกจาก, เศษส่วนค้นหาแอปพลิเคชันในเครือข่ายคอมพิวเตอร์แบบกระจายอำนาจ และ "เสาอากาศเศษส่วน" . ที่น่าสนใจมากและมีแนวโน้มที่จะสร้างแบบจำลองกระบวนการ "สุ่ม" สุ่ม (ไม่ได้กำหนด) แบบต่างๆ ที่เรียกว่า "Brownian fractals" ในกรณีของนาโนเทคโนโลยี แฟร็กทัลก็มีบทบาทสำคัญเช่นกัน เนื่องจากเนื่องจากการจัดระเบียบตนเองแบบลำดับชั้นหลายคน ระบบนาโนมีขนาดที่ไม่ใช่จำนวนเต็มนั่นคือ พวกมันเป็นแฟร็กทัลในธรรมชาติทางเรขาคณิต ฟิสิกส์-เคมี หรือเชิงหน้าที่ ตัวอย่างเช่น, ตัวอย่างที่โดดเด่นของระบบเศษส่วนทางเคมีคือโมเลกุลของ "เดนไดเมอร์" . นอกจากนี้ หลักการของเศษส่วน (คล้ายตัวเอง, โครงสร้างมาตราส่วน) เป็นภาพสะท้อนของโครงสร้างแบบลำดับชั้นของระบบ ดังนั้นจึงเป็นหลักการทั่วไปและเป็นสากลมากกว่าแนวทางมาตรฐานในการอธิบายโครงสร้างและคุณสมบัติของระบบนาโน

ข้าว. 6. โมเลกุลของ "เดนไดเมอร์"