Головна › Паливна система › Що ж довів Григорій Перельман? Математик Перельман Яків: внесок у науку. Відомий російський математик Григорій Перельман

Що ж довів Григорій Перельман? Математик Перельман Яків: внесок у науку. Відомий російський математик Григорій Перельман

« Завдання тисячоліття», Вирішена російським математичним генієм, має відношення до походження Всесвіту. Зрозуміти суть загадки не кожному математику…

ГРА РОЗУМУ

Ще недавно математика не обіцяла ні слави, ні багатства своїм «жерцям». Їм навіть Нобелівську премію не давали. Немає такої номінації. Адже, за дуже популярною легендою, дружина Нобеля одного разу зрадила його з математиком. І на помсту багач позбавив всю їхню гачкотворну братію своєї поваги та призових грошей.

Ситуація змінилася у 2000 році. Приватний математичний Інститут Клея (Clay Mathematics Institute) вибрав сім найважчих завдань і пообіцяв за рішення кожної платити мільйон доларів.

На математиків подивилися з повагою. 2001 року на екрани навіть вийшов фільм «Ігри розуму», головним героєм якого став математик.

Нині лише далекі від цивілізації люди не знають: один із обіцяних мільйонів - найперший - вже присуджений. Приза удостоєний російський громадянин, житель Санкт-Петербурга Григорій Перельман.Він довів гіпотезу Пуанкаре - головоломку, яка не піддавалася нікому понад 100 років і яка його стараннями стала теоремою.

Наш милий 44-річний бородач витер ніс усьому світу. І тепер продовжує тримати його – світ – у напрузі. Оскільки невідомо, чи візьме математик чесно заслужений мільйон доларів, чи відмовиться. Прогресивна громадськість у багатьох країнах природно хвилюється. Принаймні, газети всіх континентів ведуть хроніку фінансово-математичної інтриги.

І на тлі цих захоплюючих занять – ворожінь та розподілу чужих грошей – якось загубився сенс досягнення Перельмана. Президент Інституту Клея Джим Карлсон, звичайно, заявляв свого часу, мовляв, ціль призового фонду- не стільки пошук відповідей, скільки спроба підвищити престиж математичної науки та зацікавити нею молодих людей. Але все-таки в чому суть?

Гриша в молодості – вже тоді він був генієм.

ГІПОТЕЗА ПУАНКАРЕ – ЦЕ ЩО?

Загадка, розгадана російським генієм, зачіпає основи розділу математики, що зветься топологією. Її – топологію – часто називають «геометрією на гумовому листі». Вона має справу з властивостями геометричних форм, що зберігаються, якщо форма розтягується, скручується, згинається. Іншими словами, деформується без розривів, розрізів та склейок.

Топологія важлива математичної фізики, оскільки дозволяє зрозуміти властивості простору. Або оцінити його, не маючи можливості поглянути на форму цього простору збоку. Наприклад, на наш Всесвіт.

Пояснюючи про гіпотезу Пуанкаре, починають так: уявіть собі двомірну сферу - візьміть гумовий диск і натягніть його на кулю. Так, щоб коло диска виявилося зібраним в одній точці. Аналогічно, наприклад, можна стягнути шнуром спортивний рюкзак. У результаті вийде сфера: для нас - тривимірна, але з погляду математики - лише двовимірна.

Потім пропонують натягнути той самий диск на бублик. Начебто вийде. Але краї диска зійдуться в коло, яке вже не стягнути в крапку - воно розріже бублик.

Як написав у своїй популярній книзі інший російський математикВолодимир Успенський, «на відміну від двомірних сфер тривимірні сфери недоступні нашому безпосередньому спостереженню, і нам уявити їх так само важко, як Василю Івановичу з відомого анекдоту квадратний тричлен».

Так от, згідно з гіпотезою Пуанкаре, тривимірна сфера - це єдина тривимірна штуковина, поверхня якої може бути стягнута в одну точку якимось гіпотетичним «гіпершнуром».

Григорій Перельман: - Подумаєш, біном Ньютона...

Жуль Анрі Пуанкаре припустив таке 1904 року. Тепер Перельман переконав усіх, хто розуміє, що французький тополог мав рацію. І перетворив його гіпотезу на теорему.

Доказ допомагає зрозуміти, яка форма у нашого Всесвіту. І дозволяє дуже обґрунтовано припустити, що вона і є та сама тривимірна сфера.

Але якщо Всесвіт - єдина «фігура», яку можна стягнути в крапку, то, напевно, можна розтягнути з точки. Що служить непрямим підтвердженням теорії Великого вибуху, яка стверджує: якраз із точки Всесвіт і стався.

Виходить, що Перельман разом із Пуанкаре засмутили так званих креаціоністів – прихильників. божественного початкусвітобудови. І пролили воду на млин фізиків-матеріалістів.

Геніальний математик із Санкт-Петербурга Григорій Перельман, який прославився на весь світ доказом гіпотези Пуанкаре, нарешті пояснив свою відмову від присудженої за це премії в мільйон доларів. Як стверджує "Комсомольська правда", вчений-затворник розкрився у розмові з журналістом та продюсером кінокомпанії "Президент-фільм", яка за згодою Перельмана зніматиме про нього художню стрічку "Формула Всесвіту".

Поспілкуватися з великим математиком пощастило Олександру Забровському — він кілька років тому виїхав із Москви до Ізраїлю і здогадався зв'язатися спочатку з мамою Григорія Яковича через єврейську громаду Петербурга, надавши їй допомогу. Вона поговорила із сином, і після її гарної характеристики той погодився на зустріч. Цю справді можна назвати досягненням — журналістам не вдавалося "зловити" вченого, хоча вони цілодобово просиджували біля його під'їзду.

Як розповів газеті Забровський, Перельман справив враження "абсолютно осудної, здорової, адекватної і нормальної людини": "Реалістична, прагматична і розсудлива, але не позбавлена сентиментальності та азарту… Все, що йому приписали в пресі, ніби він "не в собі", - Повна нісенітниця! Він твердо знає, чого хоче, і знає, як досягти мети ".

Фільм, заради якого математик пішов на контакт і погодився допомагати, буде не про нього самого, а про співробітництво та протиборство трьох основних світових математичних шкіл: російської, китайської та американської, що найбільше просунулися по дорозі вивчення та управління Всесвіту.

На запитання, чому Перельман відмовився від мільйона, він відповів:

"Я знаю, як управляти Всесвітом. І скажіть - навіщо ж мені бігти за мільйоном?"

Вченого ображає, як його називають у російській пресі

Перельман пояснив, що не спілкується з журналістами, бо тих займає не наука, а питання особистого та побутового характеру — починаючи з причин відмови від мільйона та закінчуючи питанням про стрижку волосся та нігтів.

Конкретно з російськими ЗМІ він не хоче контактувати ще й через неповажне ставлення до нього. Наприклад, у пресі його називають Гришею, і така фамільярність кривдить.

Григорій Перельман розповів, що ще з шкільних роківзвик що називається "тренувати мозок". Згадуючи, як, будучи "делегатом" від СРСР отримав золоту медальНа математичній олімпіаді в Будапешті, він сказав: "Ми намагалися вирішувати завдання, де неодмінною умовою було вміння абстрактно мислити".

У цьому відволіканні від математичної логіки був головний сенс щоденних тренувань. Щоб знайти правильне рішення, необхідно було уявити собі "шматочок світу".

Як приклад такого "трудно вирішуваного" завдання він навів таке: "Пам'ятайте біблійну легендупро те, як Ісус Христос ходив по воді, як посуху. Так от мені потрібно було розрахувати, з якою швидкістю він мав рухатися водами, щоб не провалитися».

З того часу всю свою діяльність Перельман присвятив дослідженню проблеми вивчення властивостей тривимірного простору Всесвіту: «Це дуже цікаво.

Дисертацію вчений писав під керівництвом академіка Александрова. "Тема була нескладною: "Сідлоподібні поверхні в евклідовій геометрії". Можете уявити в нескінченності рівновеликі і нерівномірно віддалені один від одного поверхні? Нам потрібно виміряти "впадини" між ними", - пояснив математик.

Що означає відкриття Перельмана, яке лякає спецслужби світу

"Формулою Всесвіту" твердження Пуанкаре називають через його важливість у вивченні складних фізичних процесів у теорії світобудови та через те, що воно дає відповідь на питання про форму Всесвіту. Відіграє цей доказ велику роль у розвитку нанотехнологій”.

"Я навчився обчислювати порожнечі, разом із моїми колегами ми пізнаємо механізми заповнення соціальних та економічних "пустот", - сказав він. - Порожнечі є скрізь. Їх можна обчислювати, і це дає великі можливості...

Як пише видання, масштаб того, що відкрив Григорій Якович, який фактично крокує попереду сьогоднішньої світової науки, зробило його об'єктом постійного інтересу спецслужб, не лише російських, а й зарубіжних.

Він спіткав якісь надзнання, що допомагають зрозуміти світобудову. І тут виникають такі питання: "А що буде, якщо його знання знайдуть практичне втілення?"

По суті, спецслужбам треба знати — чи є Перельман, а точніше, його знання, загроза для людства? Адже якщо за допомогою його знань можна згорнути Всесвіт у крапку, а потім його розгорнути, то ми можемо загинути чи відродитися в іншій якості? І чи тоді ми це будемо? І чи потрібно нам взагалі керувати Всесвітом?

А В ЦЕЙ ЧАС

Мама генія: «Не ставте нам запитань про гроші!»

Коли стало відомо, що математику присудили "Премію тисячоліття", перед його дверима зібрався натовп журналістів. Усі хотіли особисто привітати Перельмана та дізнатися, чи візьме він свій законний мільйон.

Ми довго стукали у хисткі двері (ось би на преміальні гроші замінити їх), проте математик не відчинив. Зате його мати цілком зрозуміло розставила всі крапки над «i» прямо з передпокою.

Не хочемо ні з ким розмовляти і не збираємось давати жодних інтерв'ю, – прокричала Любов Лейбівна. - І не ставте нам питань про цю премію та гроші.

Люди, які живуть у цьому ж під'їзді, дуже дивувалися, побачивши раптову цікавість до Перельмана.

Невже наш Гриць одружився? - посміхнувся один із сусідів. – Ах, премію отримав. Знову. Ні, не візьме він її. Йому взагалі нічого не потрібно, живе на копійки, але щасливий по-своєму.

Кажуть, напередодні математик був помічений із повними пакетами продуктів із магазину. Готувався "тримати облогу" разом із мамою. Минулого разу, коли в пресі почався галас із приводу премії, Перельман не виходив із квартири три тижні.

ДО РЕЧІ

За що ще дадуть мільйон доларів.

У 1998 році коштом мільярдера Лендона Клея (Landon T. Clay) в Кембриджі (США) був заснований Математичний інститут його імені (Clay Mathematics Institute) для популяризації математики. 24 травня 2000 року експерти інституту обрали сім найбільш, на їхню думку, головоломних проблем. І призначили мільйон доларів за кожну.

Список отримав назву .

1. Проблема Кука

Потрібно визначити: чи може перевірка правильності вирішення будь-якої задачі бути тривалішою, ніж отримання рішення. Ця логічне завданняважлива для фахівців із криптографії - шифрування даних.

2. Гіпотеза Рімана

Існують звані прості числа, наприклад, 2, 3, 5, 7 тощо. буд., які діляться лише самі він. Скільки їх загалом, не відомо. Ріман вважав, що це можна визначити та знайти закономірність їхнього розподілу. Хто знайде – теж надасть послугу криптографії.

3. Гіпотеза Берча та Свіннертон-Дайєра

Проблема пов'язана з розв'язанням рівнянь із трьома невідомими, зведеними ступенем. Потрібно вигадати, як їх вирішувати, незалежно від складності.

4. Гіпотеза Ходжа

У ХХ столітті математики відкрили метод дослідження форми складних об'єктів. Ідея в тому, щоб використовувати замість самого об'єкта просту «цеглу», яка склеюється між собою і утворює її подобу. Потрібно довести, що таке припустимо завжди.

5. Рівняння Навье - Стокса

Про них варто згадати у літаку. Рівняння описують повітряні потоки, які утримують їх у повітрі. Зараз рівняння вирішують приблизно за приблизними формулами. Потрібно знайти точні та довести, що у тривимірному просторі існує рішення рівнянь, яке завжди вірне.

6. Рівняння Янга – Міллса

У світі фізики є гіпотеза: якщо елементарна частка має масу, то існує і її нижня межа. Але який – не зрозуміло. Потрібно до нього дістатися. Це, мабуть, найскладніше завдання. Для її вирішення необхідно створити «теорію всього» - рівняння, що поєднують усі сили та взаємодії у природі. Той, хто зуміє, напевно отримає Нобелівську премію.

Останнім великим досягненням чистої математики називають доказ петербуржцем Григорієм Перельманом в 2002-2003 роках гіпотези Пуанкаре, висловленої в 1904 році і що говорить: «будь-яке зв'язне, однозв'язне, компактне тривимірне різноманіття без краю гомеоморфної сфері S 3 .

У цій фразі є кілька термінів, які я постараюся пояснити так, щоб їхній загальний зміст став зрозумілим нематематикам (я припускаю, що читач закінчив середню школуі щось зі шкільної математики ще пам'ятає).

Почнемо з поняття гомеоморфізму, центрального у топології. Взагалі, топологію часто визначають як «гумову геометрію», тобто як науку про властивості геометричних образів, які не змінюються при плавних деформаціях без розривів і склеєк, а точніше, за можливості встановити між двома об'єктами взаємно-однозначну та взаємно-безперервну відповідність .

Головну ідею найпростіше пояснити на класичному прикладі гуртки та бублика. Першу можна перетворити на другу безперервну деформацію.

Ці малюнки наочно показують, що гуртка гомеоморфна бублику, причому цей факт вірний як їх поверхонь (двовимірних різноманіттів, званих тором), так заповнених тіл (тривимірних різноманіття з краєм).

Наведемо тлумачення інших термінів, які у формулюванні гіпотези.

Тривимірне різноманіття без краю.Це такий геометричний об'єкт, у якого кожна точка має околицю у вигляді тривимірної кулі. Прикладами 3-різноманітностей може служити, по-перше, весь тривимірний простір, що позначається R 3 , а також будь-які відкриті множиниточок R 3 , наприклад нутрощі повнотория (бублика). Якщо розглянути замкнуте повноторіє, тобто додати і його граничні точки (поверхня тора), то ми отримаємо вже різноманіття з краєм - крайові точки не мають околиць у вигляді кульки, але лише у вигляді половинки кульки.
Зв'язкове.Поняття зв'язності тут найпростіше. Різноманітність складно, якщо воно складається з одного шматка, або, що те саме, будь-які дві його точки можна з'єднати безперервною лінією, що не виходить за його межі.
Однозв'язне.Поняття однозв'язку складніше. Воно означає, що будь-яку безперервну замкнуту криву, розташовану цілком у межах даного різноманіття, можна плавно стягнути в крапку, не залишаючи цього різноманіття. Наприклад, звичайна двовимірна сфера R 3 однозв'язкова (кільцеву гумку, як завгодно прикладену до поверхні яблука, можна плавною деформацією стягнути в одну точку, не відриваючи гумки від яблука). З іншого боку, коло і тор невідносні.
Компактний.Різноманітність компактна, якщо будь-який його гомеоморфний образ має обмежені розміри. Наприклад, відкритий інтервал на прямий (всі точки відрізка, крім його кінців) некомпактний, оскільки його можна безперервно розтягнути до нескінченної прямої. А ось замкнутий відрізок (з кінцями) є компактним різноманіттям з краєм: при будь-якій безперервній деформації кінці переходять в певні точки, і весь відрізок повинен переходити в обмежену криву, що з'єднує ці точки.

Розмірністьрізноманіття - це число ступенів свободи у точки, яка на ньому живе. У кожної точки є околиця у вигляді диска відповідної розмірності, тобто інтервалу прямий в одновимірному випадку, кола на площині в двовимірному, кулі в тривимірному і т. д. коло. З них тільки коло компактне.

Прикладом простору, що не є різноманіттям, може служити, наприклад, пара ліній, що перетинаються - адже у точки перетину двох ліній будь-яка околиця має форму хреста, у неї немає околиці, яка була б сама по собі просто інтервалом (а у всіх інших точок такі околиці є ). Математики в таких випадках кажуть, що ми маємо справу з особливим різноманіттям, яке має одну особливу точку.

Двовимірні компактні різноманіття добре відомі. Якщо розглядати тільки орієнтованірізноманіття без краю, то вони з топологічної точки зору складають простий, хоч і нескінченний, список: і так далі. Кожне таке різноманіття виходить зі сфери приклеювання кількох ручок, число яких називається родом поверхні.

На малюнку зображені поверхні роду 0, 1, 2 та 3. Чим виділяється сфера зі всіх поверхонь цього списку? Виявляється, однозв'язністю: на сфері будь-яку замкнуту криву можна стягнути в крапку, а на будь-якій іншій поверхні завжди можна вказати криву, яку стягнути в крапку поверхнею неможливо.

Цікаво, як і тривимірні компактні різноманіття без краю можна у певному сенсі класифікувати, т. е. вибудувати у певний список, хоча такий прямолінійний, як у двовимірному випадку, а має досить складну структуру. Тим не менш, тривимірна сфера S 3 виділяється в цьому списку так само, як двовимірна сфера у списку, наведеному вище. Той факт, що будь-яка крива на S 3 стягується в точку, доводиться так само просто, як і в двовимірному випадку. А ось зворотне твердження, а саме, що ця властивість унікальна саме для сфери, тобто що на будь-якому іншому тривимірному різноманітті є криві, що не стягуються, дуже важке і в точності становить зміст гіпотези Пуанкаре, про яку ми ведемо мову.

Важливо розуміти, що різноманіття може жити саме собою, про нього можна думати як про незалежний об'єкт, нікуди не вкладений. (Уявіть собі життя двовимірних істот на поверхні звичайної сфери, які не підозрюють існування третього вимірювання.) На щастя, всі двовимірні поверхні з наведеного вище списку можна вкласти в звичайний простір R 3 , що полегшує їх візуалізацію. Для тривимірної сфери S 3 (і взагалі для будь-якого компактного тривимірного різноманіття без краю) це вже не так, тому необхідні деякі зусилля для того, щоб зрозуміти її будову.

Очевидно, найпростіший спосібпояснити топологічний пристрій тривимірної сфери S3 - це за допомогою одноточкової компактифікації. А саме, тривимірна сфера S 3 є одноточковою компактифікацією звичайного тривимірного (необмеженого) простору R 3 .

Пояснимо цю конструкцію спочатку на простих прикладах. Візьмемо звичайну нескінченну пряму (одномірний аналог простору) і додамо до неї одну «нескінченно віддалену» точку, вважаючи, що при русі прямо або вліво ми врешті-решт потрапляємо в цю точку. З топологічної точки зору немає різниці між нескінченною прямою та обмеженим відкритим відрізком (без кінцевих точок). Такий відрізок можна безперервно вигнути у вигляді дуги, звести ближче кінці і вклеїти в місце стику крапку, що бракує. Ми отримаємо, очевидно, коло – одномірний аналог сфери.

Подібним чином, якщо я візьму нескінченну площину і додам одну точку на нескінченності, до якої прагнуть усі прямі вихідної площини, що проходять у будь-якому напрямку, ми отримаємо двовимірну (звичайну) сферу S 2 . Цю процедуру можна спостерігати за допомогою стереографічної проекції, яка кожній точці P сфери, за винятком північного полюса N, ставить у відповідність деяку точку площини P".

Таким чином, сфера без однієї точки - це топологічно однаково, що площина, а додавання точки перетворює площину на сферу.

В принципі, така сама конструкція застосовна і до тривимірної сфери і тривимірного простору, тільки для її здійснення необхідний вихід у четвертий вимір, і на кресленні це не так просто зобразити. Тому я обмежусь словесним описомодноточкової компактифікації простору R 3 .

Уявіть собі, що до нашого фізичного простору (який ми, слідом за Ньютоном, вважаємо необмеженим евклідовим простором з трьома координатами x, y, z) додано одну точку «на нескінченності» таким чином, що при русі по прямій у будь-якому напрямку ви в неї потрапляєте (тобто кожна просторова пряма замикається в коло). Тоді ми отримаємо компактне тривимірне різноманіття, яке є за визначенням сфера S 3 .

Легко зрозуміти, що сфера S3 однозв'язкова. Насправді будь-яку замкнуту криву на цій сфері можна трохи зрушити, щоб вона не проходила через додану точку. Тоді ми отримаємо криву у звичайному просторі R 3 яка легко стягується в точку за допомогою гомотетій, тобто безперервного стиснення по всіх трьох напрямках.

Для розуміння, як влаштовано різноманіття S 3 , дуже повчально розглянути його розбиття на два повноти. Якщо з простору R 3 викинути повноторіє, то залишиться щось дуже зрозуміле. А якщо простір компактифікувати у сферу, то це доповнення перетворюється також на повторення. Тобто сфера S 3 розбивається на два повнотори, що мають спільний кордон - тор.

Ось як це можна збагнути. Вкладемо тор R 3 як зазвичай, у вигляді круглого бублика, і проведемо вертикальну пряму - вісь обертання цього бублика. Через вісь проведемо довільну площину, вона перетне наше повторення по двох колах, показаних на малюнку зеленим кольором, а додаткова частина площини розбивається на безперервне сімейство червоних кіл. До них належить і центральна вісь, виділена жирніше, тому що у сфері S 3 пряма замикається в коло. Тривимірна картина виходить із цієї двовимірною обертанням навколо осі. Повний набір повернутих кіл заповнить при цьому тривимірне тіло, гомеоморфне повноторію, що тільки виглядає незвичайно.

Насправді, центральна вісь буде в ньому осьовим колом, а решта відіграватиме роль паралелей - кіл, що становлять звичайне повноторіє.

Щоб було з чим порівнювати 3-сферу, я наведу ще один приклад компактного 3-ма різноманіття, а саме тривимірний тор. Тривимірний тор можна побудувати в такий спосіб. Візьмемо як вихідний матеріал звичайний тривимірний куб:

У ньому є три пари граней: ліва та права, верхня та нижня, передня та задня. У кожній парі паралельних граней ототожнимо попарно точки, що виходять один з одного переносом вздовж ребра куба. Тобто вважатимемо (чисто абстрактно, без застосування фізичних деформацій), що, наприклад, A і A" - це та сама точка, а B і B" - теж одна точка, але відмінна від точки A. Всі внутрішні точки куба будемо розглядати як завжди. Сам по собі куб - це різноманіття з краєм, але після зроблених склейок край замикається сам на себе і зникає. Справді, околицями точок A і A" в кубі (вони лежать на лівій і правій заштрихованих гранях) служать половинки куль, які після склеювання граней зливаються в цілу кульку, що є околицею відповідної точки тривимірного тора.

Щоб відчути пристрій 3-тора з звичайних поглядів на фізичному просторі, необхідно вибрати три взаємно перпендикулярних напрями: вперед, вліво і вгору - і подумки вважати, як у фантастичних оповіданнях, Що при русі в будь-якому з цих напрямків досить довгий, але кінцевий час, ми повернемося у вихідну точку, але з протилежного напряму. Це також «компактифікація простору», але не одноточкова, використана раніше для побудови сфери, а складніша.

На тривимірному торі є шляхи, що не стягуються; наприклад, таким є відрізок AA" на малюнку (на торі він зображує замкнутий шлях). Його не можна стягнути, тому що при будь-якій безперервній деформації точки A і A" повинні рухатися по своїх межах, залишаючись суворо один навпроти одного (інакше крива розімкнеться).

Отже, бачимо, що бувають однозв'язні і неоднозв'язні компактні 3-многообразия. Перельман довів, що однозв'язне різноманіття одно.

Вихідною ідеєю доказу є використання так званого «потоку Річчі»: ми беремо однозв'язне компактне 3-різноманітність, наділяємо його довільною геометрією (тобто вводимо деяку метрику з відстанями та кутами), а потім розглядаємо його еволюцію вздовж потоку Річчі. Річард Гамільтон, який висловив цю ідею у 1981 році, сподівався, що за такої еволюції наше різноманіття перетвориться на сферу. Виявилося, що це неправильно, - у тривимірному випадку потік Річчі здатний псувати різноманіття, тобто робити з нього різноманіття (щось з особливими точками, як у наведеному вище прикладі прямих, що перетинаються). Перельману шляхом подолання неймовірних технічних труднощів, з використанням важкого апарату рівнянь з приватними похідними, вдалося внести поправки в потік Річчі поблизу особливих точок таким чином, що при еволюції топологія різноманіття не змінюється, особливих точок не виникає, а врешті-решт воно перетворюється на круглу. сферу. Але треба пояснити, нарешті, що таке цей потік Річчі. Потоки, використані Гамільтоном і Перельманом, відносяться до зміни внутрішньої метрики на абстрактному різноманітті, і це пояснити досить важко, тому обмежуся описом «зовнішнього» потоку Річчі на одновимірних різноманіттях, вкладених у площину.

Уявимо гладку замкнуту криву на евклідовій площині, виберемо на ній напрямок і розглянемо в кожній точці дотичний вектор одиничної довжини. Тоді при обході кривої у вибраному напрямку цей вектор повертатиметься з якоюсь кутовою швидкістю, яка називається кривизною. У тих місцях, де крива вигнута крутіше, кривизна (за абсолютною величиною) буде більшою, а там, де вона більш плавна, кривизна буде меншою.

Кривизну будемо вважати позитивною, якщо вектор швидкості повертає у бік внутрішньої частини площини, розбитої нашою кривою на дві частини, та негативною, якщо він повертає зовні. Ця угода не залежить від напрямку обходу кривої. У точках перегину, де обертання змінює напрямок, кривизна дорівнюватиме 0. Наприклад, коло радіуса 1 має постійну позитивну кривизну, рівну 1 (якщо вважати її в радіанах).

Тепер забудемо про дотичні вектори і до кожної точки кривої прикріпимо, навпаки, перпендикулярний їй вектор, по довжині рівний кривизні в даній точці і спрямований всередину, якщо кривизна позитивна, і зовні, якщо негативна, а потім змусимо кожну точку рухатися в напрямку відповідного вектора швидкістю, пропорційною його довжині. Ось приклад:

Виявляється, що будь-яка замкнута крива на площині поводиться при такій еволюції подібним чином, тобто перетворюється, зрештою, на окружність. Це і є доказ одновимірного аналога гіпотези Пуанкаре за допомогою потоку Річчі (втім, саме твердження в даному випадку і так очевидно просто спосіб доказу ілюструє, що відбувається в розмірності 3).

Зауважимо на закінчення, що міркування Перельмана доводить не тільки гіпотезу Пуанкаре, а й набагато більш загальну гіпотезу геометризації Терстона, яка у певному сенсі описує будову всіх взагалі компактних тривимірних різноманітностей. Але цей предмет лежить за межами цієї елементарної статті.

Через брак місця, я не говоритиму про неорієнтовані різноманіття, прикладом яких може бути відома пляшка Клейна - поверхня, яку не можна вкласти в простір без самоперетинів.

Математик Перельман - особистість дуже відома, незважаючи на те, що він веде самотнє життя і всіляко цурається преси. Доказ гіпотези Пуанкаре, зроблений ним, поставило його в один ряд із видатними вченими у світовій історії. Математик Перельман відмовився від багатьох нагород, що надаються науковою спільнотою. Ця людина живе дуже скромно і цілком віддана науці. Безумовно, про нього та його відкриття варто докладно розповісти.

Батько Григорія Перельмана

13 червня 1966 року на світ з'явився Григорій Якович Перельман, математик. Фото його в вільному доступінебагато, але найвідоміші представлені у цій статті. Він народився в Ленінграді. культурній столицінашої країни. Батько його був інженером-електриком. Він не мав відношення до науки, як багато хто вважає.

Яків Перельман

Дуже поширена думка про те, що Григорій – син Якова Перельмана, відомого популяризатора науки. Однак це помилка, адже він помер у блокадному Ленінградів березні 1942 року, тому ніяк не могла бути батьком Ця людина народилася в Білостоку, місті, яке раніше належало Російської імперії, а зараз входить до складу Польщі. Яків Ісидорович народився 1882 року.

Якова Перельмана, що дуже цікаво, також приваблювала математика. Крім того, він захоплювався астрономією, фізикою. Ця людина вважається основоположником цікавої науки, а також одним із перших, хто писав твори у жанрі науково-популярної літератури. Він є творцем книги "Жива математика". Перельман написав і багато інших книг. Крім того, його бібліографія включає понад тисячу статей. Щодо такої книги, як "Жива математика", Перельман представляє в ній різні головоломки, пов'язані з цією наукою. Багато хто з них оформлений у вигляді маленьких оповідань. Ця книга розрахована насамперед на підлітків.

В одному відношенні особливо цікава ще книга, автор якої - Яків Перельман. Цікава математикаТрильярд - чи знаєте ви, що це за число? Це 10 21 . У СРСР довгий час паралельно існувало дві шкали - "коротка" і "довга". "довга" - в наукових працях, присвячених фізиці та астрономії. Так ось, трильярда за "короткою" шкалою не існує. 10 21 у ній називається секстильйоном. Ці шкали взагалі значно різняться.

Однак ми не будемо докладно на цьому зупинятись і перейдемо до розповіді про внесок у науку, який вніс саме Григорій Якович, а не Яків Ісидорович, досягнення якого були менш скромними. До речі, любов до науки Григорію прищепив аж ніяк не його відомий однофамілець.

Мати Перельмана та її вплив на Григорія Яковича

Мати майбутнього вченого викладала математику у ПТУ. Крім того, вона була талановитою скрипалкою. Мабуть, любов до математики, а також до класичній музиціГригорій Якович перейняв саме в неї. І те й інше однаково приваблювало Перельмана. Коли перед ним став вибір, куди вступити - до консерваторії чи технічного вузу, він довго не міг зважитися. Хто знає, ким міг стати Григорій Перельман, якби вирішив здобути музичну освіту.

Дитинство майбутнього вченого

Вже з юних років Григорій вирізнявся грамотною мовою, Як письмовій, так і усній. Він часто вражав цим учителів у школі. До речі, до 9-го класу Перельман навчався в середній школі, мабуть, типової, яких так багато на околиці. А потім вчителі з Палацу піонерів помітили талановитого юнака. Його взяли на курси для обдарованих. Це сприяло розвитку унікальних обдарувань Перельмана.

Перемога на олімпіаді, закінчення школи

З цього часу починається віха перемог для Григорія. У 1982 році він отримав на Міжнародній математичній олімпіаді, що відбулася в Будапешті. У ній Перельман брав участь разом із командою радянських школярів. Він отримав повний бал, вирішивши бездоганно всі завдання. Одинадцятий клас школи Григорій закінчив цього ж року. Сам факт участі у цій престижній олімпіаді відчиняв для нього двері найкращих навчальних закладів нашої країни. Адже Григорій Перельман не просто брав участь у ній, а й отримав золоту медаль.

Не дивно, що він був зарахований без іспитів до Ленінградського державний університет, на механіко-математичний факультет До речі, золоту медаль у школі Григорій, хоч як це дивно, не отримав. Цьому завадила оцінка з фізкультури. Здача спортивних норм на той час була обов'язковою для всіх, включаючи і тих, хто важко уявляв себе біля жердини для стрибків або у штанги. З інших предметів він навчався на п'ятірки.

Навчання у ЛДУ

Протягом наступних кількох років майбутній учений продовжував свою освіту у ЛДУ. Він брав участь, і з великим успіхом, у різноманітних математичних змаганнях. Перельману вдалося навіть здобути престижну Ленінську стипендію. Так він став володарем 120 рублів - чималих грошей на ті часи. Мабуть, тоді йому жилося непогано.

Потрібно сказати, що математико-механічний факультет цього університету, який зараз називається Санкт-Петербурзьким, був у радянські рокиодним із найкращих у Росії. У 1924 році, наприклад, його закінчив В. Леонтьєв. Практично відразу після завершення навчання він отримав Нобелівську премію з економіки. Цього вченого навіть називають батьком американської економіки. Леонід Канторович, єдиний вітчизняний лауреат цієї премії, який одержав її за внесок у цю науку, був професором матуха.

Продовження освіти, життя у США

Після закінчення ЛДУ Григорій Перельман вступив до Математичного інституту Стеклова, щоб продовжити навчання в аспірантурі. Незабаром він вилетів до США для того, щоб уявити це навчальний заклад. Ця країна завжди вважалася державою необмеженої свободи, особливо в радянський чассеред мешканців нашої країни. Побачити її мріяли багато, проте математик Перельман був не з-поміж них. Здається, що спокуси Заходу пройшли йому непоміченими. Вчений, як і раніше, вів скромний спосіб життя, навіть дещо аскетичний. Він харчувався бутербродами із сиром, які запивав кефіром чи молоком. І звичайно, математик Перельман старанно працював. Зокрема він вів викладацьку діяльність. Вчений зустрічався зі своїми колегами-математиками. Америка через 6 років йому набридла.

Повернення до Росії

Григорій повернувся до Росії, до рідного інституту. Тут він працював 9 років. Саме в цей час, мабуть, він і став розуміти, що дорога до " чистому мистецтвулежить через ізоляцію, відірваність від соціуму. Григорій вирішив порвати всі свої відносини з товаришами по службі. Вчений вирішив замкнутися у своїй ленінградській квартирі і почати грандіозну працю.

Топологія

Нелегко пояснити, що довів Перельман у математиці. Тільки великі аматори цієї науки можуть повною мірою зрозуміти значення зробленого ним відкриття. Ми спробуємо доступною мовоюрозповісти про гіпотезу, яку вивів Перельман. Григорія Яковича залучила топологія. Це розділ математики, що нерідко називається також геометрією на гумовому аркуші. Топологія вивчає геометричні форми, що зберігаються, коли форма згинається, скручується або розтягується. Іншими словами, якщо вона абсолютно еластично деформується – без склеєк, зрізів та розривів. Топологія дуже важлива для дисципліни, як математична фізика. Вона дає уявлення про властивості простору. Йдеться у нашому випадку про безмежний простір, який безперервно розширюється, тобто про Всесвіт.

Гіпотеза Пуанкаре

Великий французький фізик, математик і філософ Ж. А. Пуанкаре першим вивів гіпотезу з цього приводу. Це сталося на початку ХХ століття. Але слід зауважити, що саме він зробив припущення, а чи не навів доказ. Перельман поставив своїм завданням довести цю гіпотезу, вивести через століття математичне рішення, логічно вивірене.

Коли говорять про його суть, зазвичай починають наступним чином. Візьміть гумовий диск. Його слід натягнути на кулю. Таким чином, у вас вийшла двомірна сфера. Необхідно, щоб в одній точці було зібрано коло диска. Наприклад, ви можете зробити це з рюкзаком, стягнувши і обв'язавши його шнуром. Виходить сфера. Звичайно, для нас вона є тривимірною, але з погляду математики буде двовимірною.

Потім починаються вже образні проекції та міркування, які важко зрозуміти непідготовленій людині. Слід представити тепер тривимірну сферу, тобто кулю, натягнуту на щось, яка йде в інший вимір. Тривимірна сфера, згідно з гіпотезою, - єдиний існуючий тривимірний об'єкт, який можна стягнути гіпотетичним "гіпершнуром" в одній точці. Доказ цієї теореми допомагає нам зрозуміти, яку форму має Всесвіт. Крім того, завдяки їй можна обґрунтовано припустити, що Всесвіт є такою тривимірною сферою.

Гіпотеза Пуанкаре та теорія Великого вибуху

Слід зазначити, що це гіпотеза є підтвердженням теорії Великого вибуху. Якщо Всесвіт є єдиною "фігурою", відмінна риса якої - можливість стягнути її в одну точку, це означає, що її можна і розтягнути таким же чином. Постає питання: якщо вона є сферою, що ж знаходиться за межами Всесвіту? Чи здатна людина, яка є вторинним продуктом, що відноситься до однієї планети Земля і навіть не до космосу в цілому, пізнати це таїнство? Тим, кому цікаво, можна запропонувати почитати праці ще одного відомого на весь світ математика Стівена Хокінга. Однак і він не може поки сказати щодо цього щось конкретне. Сподіватимемося, що в майбутньому з'явиться ще один Перельман і йому вдасться розгадати цю загадку, яка мучить уяву багатьох. Хто знає, можливо, і самому Григорію Яковичу ще вдасться це зробити.

Нобелівська премія з математики

Перельман не отримав цієї престижної нагороди за своє велике досягнення. Дивно, чи не так? Насправді це дуже просто, якщо врахувати, що такої нагороди просто не існує. Було створено цілу легенду про причини того, чому Нобель обділив представників такої важливої науки. І до цього дня не вручається Нобелівська премія з математики. Перельман, мабуть, отримав би її, якби вона існувала. Існує легенда, що причина неприйняття Нобелем математиків така: саме до представника цієї науки від нього пішла наречена. Так це чи ні, але тільки з настанням 21 століття справедливість нарешті перемогла. Саме тоді виникла інша премія для математиків. Розповімо коротко про її історію.

Як виникла премія інституту Клея?

На математичному конгресі, що відбувся в 1900 році в Парижі, запропонував список, що включає 23 проблеми, які потрібно вирішити в новому 20 столітті. На сьогоднішній день дозволено вже 21 з них. До речі, випускник матуху ЛДУ Ю. В. Матіясевич у 1970 році завершив вирішення 10-ї з цих проблем. На початку 21 століття в американському інституті Клея був складений подібний до нього список, що складається з семи завдань з математики. Їх слід було вирішити вже у 21 столітті. Нагороду в мільйон доларів було оголошено за рішення кожної з них. Ще 1904 року Пуанкаре сформулював одне з цих завдань. Він висунув гіпотезу про те, що всі тривимірні поверхні, гомотипично еквівалентні сфері, є гомеоморфними їй. Говорячи простими словамиЯкщо тривимірна поверхня схожа в чомусь на сферу, то існує можливість розправити її в сферу. Це твердження вченого іноді називають формулою Всесвіту через його велику важливість у розумінні складних фізичних процесів, а також через те, що відповідь на нього означає вирішення питання про форму Всесвіту. Слід сказати і про те, що це відкриття відіграє велику роль у розвитку нанотехнологій.

Отже, математичний інститут Клея вирішив обрати 7 найважчих завдань. За рішення кожної з них було обіцяно мільйон доларів. І ось з'являється зі зробленим відкриттям Григорій Перельман. Премія з математики, звичайно ж, дістається йому. Його помітили досить швидко, оскільки він із 2002 року публікував свої напрацювання на зарубіжних інтернет-ресурсах.

Як Перельман був удостоєний премії Клея

Отже, у березні 2010 року був удостоєний заслуженої нагороди Перельмана. Премія з математики означала отримання значного стану, розмір якого становив 1 млн доларів. Григорій Якович мав отримати її за доказ Однак у червні 2010 року вчений проігнорував математичну конференцію, що проводилася в Парижі, на якій мало відбутися вручення цієї нагороди. А 1 липня 2010 р. Перельман заявив про свою відмову публічно. Більше того, гроші, положені йому, він так і не взяв, незважаючи на всі прохання.

Чому математик Перельман відмовився від премії?

Григорій Якович пояснив це тим, що совість не дає йому отримати мільйон, який належить ще кільком іншим математикам. Вчений зазначив, що мав багато причин як взяти гроші, так і не брати їх. Він довго не міг наважитися. Як основна причина відмови від нагороди Григорій Перельман, математик, назвав незгоду з науковою спільнотою. Він наголосив, що вважає несправедливими його рішення. Григорій Якович заявив, що вважає, що внесок Гамільтона, німецького математика, у вирішення цього завдання анітрохи не менший, ніж його.

До речі, трохи згодом навіть виник анекдот на цю тему: математикам треба частіше виділяти мільйони, мабуть, хтось все-таки зважиться їх взяти. Через рік після відмови Перельмана Деметріосу Крістодулу і Річарду Гамільтону був присуджений Shaw Prize. Розмір цієї нагороди з математики становить мільйон доларів. Цю премію іноді називають також Нобелівською премієюСходу. Гамільтон отримав її створення математичної теорії. Саме її розвинув потім російський математик Перельман у своїх роботах, присвячених доведенню гіпотези Пуанкаре. Річард цю нагороду прийняв.

Інші нагороди, від яких відмовився Григорій Перельман

До речі, 1996 року Григорію Яковичу було присуджено престижну премію для молодих математиків від Європейської математичної спільноти. Однак він відмовився одержати її.

Через 10 років, 2006 року, вченому присудили медаль Філдса за вирішення гіпотези Пуанкаре. Григорій Якович відмовився і від неї.

Журнал Science у 2006 р. назвав доказ гіпотези, створеної Пуанкаре, науковим проривом року. Слід зазначити, що це перша робота в галузі математики, яка заслужила на таке звання.

Девід Грубер та Сільвія Назар у 2006 році опублікували статтю під назвою Manifold Destiny. У ній йдеться про Перельмана, про його вирішення проблеми Пуанкаре. Крім того, у статті розповідається про математичну спільноту та про існуючі в науці етичні принципи. У ній представлено і рідкісне інтерв'ю з Перельманом. Чимало йдеться і про критику Яу Шінтана, китайського математика. Разом із учнями він спробував оскаржити повноту поданого Григорієм Яковичем доказу. В інтерв'ю Перельман зазначив: "Чужаками вважаються не ті, хто порушує етичні стандарти в науці. Люди, подібні до мене, - ось хто опиняється в ізоляції".

У вересні 2011 р. відмовився і від членства у Російської академіїнаук математик Перельман. Біографія його представлена у книзі, виданій цього ж року. З неї можна дізнатися більше про долю цього математика, хоча зібрана інформація ґрунтується на свідченні третіх осіб. Автор її - Книга була складена на підставі інтерв'ю з однокласниками, вчителями, колегами та товаришами по службі Перельмана. Сергій Рукшин, учитель Григорія Яковича, відгукнувся про неї критично.

Григорій Перельман сьогодні

І сьогодні він веде відокремлений спосіб життя. Усіляко ігнорує пресу математик Перельман. Де він живе? До останнього часу Григорій Якович проживав разом із матір'ю у Купчині. А з 2014 року відомий російський математик Григорій Перельман перебуває у Швеції.

Фото Н. Четвериковой Останнім великим досягненням чистої математики називають доказ петербуржцем Григорієм Перельманом в 2002—2003 роках гіпотези Пуанкаре, висловленої в 1904 році і проголошує: «будь-яке зв'язне, однозв'язне, компактне тривимірне різноманіття без краю.

У цій фразі є кілька термінів, які я спробую пояснити так, щоб їхній загальний зміст став зрозумілим нематематикам (я припускаю, що читач закінчив середню школу і дещо зі шкільної математики ще пам'ятає).

Головну ідею найпростіше пояснити на класичному прикладі гуртки та бублика. Першу можна перетворити на другий безперервною деформацією: Ці малюнки наочно показують, що гуртка гомеоморфна бублику, причому цей факт вірний як для їх поверхонь (двовимірних різноманіття, званих тором), так і для заповнених тіл (тривимірних різноманіття з краєм).

Наведемо тлумачення інших термінів, які у формулюванні гіпотези.

1. Тривимірне різноманіття без краю.Це такий геометричний об'єкт, у якого кожна точка має околицю у вигляді тривимірної кулі. Прикладами 3-многообразий може бути, по-перше, все тривимірне простір, позначане R 3 , і навіть будь-які відкриті безлічі точок в R 3 , наприклад нутрощі повнотория (бублика). Якщо розглянути замкнуте повно-торие, т. е. додати його граничні точки (поверхня тора), ми отримаємо вже різноманіття з краєм -у крайових точок немає околиць як кульки, але у вигляді половинки кульки.

2. Зв'язкове.Поняття зв'язності тут найпростіше. Різноманітність складно, якщо воно складається з одного шматка, або, щось саме, будь-які дві його точки можна з'єднати безперервною лінією, що не виходить за його межі.

3. Однозв'язкове.Поняття однозв'язку складніше. Воно означає, що будь-яку безперервну замкнуту криву, розташовану цілком у межах даного різноманіття, можна плавно стягнути в крапку, не залишаючи цього різноманіття. Наприклад, звичайна двовимірна сфера R 3 однозв'язкова (кільцеву гумку, як завгодно прикладену до поверхні яблука, можна плавною деформацією стягнути в одну точку, не відриваючи гумки від яблука). З іншого боку, коло і тор невідносні.

4. Компактне.Розмаїття компактно, якщо будь-який його гомеоморфний образ має обмежені розміри. Наприклад, відкритий інтервал на прямий (всі точки відрізка, крім його кінців) некомпактний, оскільки його можна безперервно розтягнути до нескінченної прямої. А ось замкнутий відрізок (з кінцями) є компактним різноманіттям з краєм: при будь-якій безперервній деформації кінці переходять в певні точки, і весь відрізок повинен переходити в обмежену криву, що з'єднує ці точки.

Розмірністьрізноманіття це число ступенів свободи у точки, яка на ньому «живе». У кожної точки є околиця у вигляді диска відповідної розмірності, тобто інтервалу прямий в одновимірному випадку, кола на площині в двовимірному, кулі в тривимірному і т. д. коло. З них тільки коло компактне.

Прикладом простору, що не є різноманіттям, може служити, наприклад, пара ліній, що перетинаються — адже у точки перетину двох ліній будь-яка околиця має форму хреста, у неї немає околиці, яка була б сама по собі просто інтервалом (а у всіх інших точок такі околиці є ). Математики в таких випадках кажуть, що ми маємо справу з особливим різноманіттям, яке має одну особливу точку.

Двовимірні компактні різноманіття добре відомі. Якщо розглядати тільки орієнтовані 1різноманіття без краю, то вони з топологічної точки зору складають простий, хоч і нескінченний, список: і так далі. Кожне таке різноманіття виходить зі сфери приклеювання кількох ручок, число яких називається родом поверхні.

1 Через брак місця, я не говоритиму про неорієнтовані різноманіття, прикладом яких може бути відома пляшка Клейна — поверхня, яку не можна вкласти в простір без самоперетинів.

Очевидно, найпростіший спосіб пояснити топологічний пристрій тривимірної сфери S 3 - це за допомогою одноточкової компактифікації. А саме, тривимірна сфера S 3 є одноточковою компактифікацією звичайного тривимірного (необмеженого) простору R 3 .

Пояснимо цю конструкцію спочатку на простих прикладах. Візьмемо звичайну нескінченну пряму (одномірний аналог простору) і додамо до неї одну «нескінченно віддалену» точку, вважаючи, що при русі прямо або вліво ми врешті-решт потрапляємо в цю точку. З топологічної точки зору немає різниці між нескінченною прямою та обмеженим відкритим відрізком (без кінцевих точок). Такий відрізок можна безперервно вигнути у вигляді дуги, звести ближче кінці і вклеїти в місце стику крапку, що бракує. Ми отримаємо, мабуть, коло — одномірний аналог сфери.

Таким чином, сфера без однієї точки — це топологічно однаково, що площина, а додавання точки перетворює площину на сферу.

В принципі, така сама конструкція застосовна і до тривимірної сфери і тривимірного простору, тільки для її здійснення необхідний вихід у четвертий вимір, і на кресленні це не так просто зобразити. Тому я обмежусь словесним описом одноточкової компактифікації простору R 3 .

Ось як це можна збагнути. Вкладемо тор R 3 як зазвичай, у вигляді круглого бублика, і проведемо вертикальну пряму - вісь обертання цього бублика. Через вісь проведемо довільну площину, вона перетне наше повноторіє по двох колах, показаним на малюнку зеленим кольором, а додаткова частина площини розбивається на безперервне сімейство червоних кіл. До них належить і центральна вісь, виділена жирніше, тому що у сфері S 3 пряма замикається в коло. Тривимірна картина виходить із цієї двовимірною обертанням навколо осі. Повний набір повернутих кіл заповнить при цьому тривимірне тіло, гомео-морфне повноторію, що тільки виглядає незвичайно.

Справді, центральна вісь буде у ньому осьовим колом, інші ж відіграватимуть роль паралелей — кіл, що становлять звичайне повноторие.

У ньому є три пари граней: ліва та права, верхня та нижня, передня та задня. У кожній парі паралельних граней ототожнимо попарно точки, що виходять один з одного переносом вздовж ребра куба. Тобто вважатимемо (чисто абстрактно, без застосування фізичних деформацій), що, наприклад, A і A" - це та сама точка, а B і B" - теж одна точка, але відмінна від точки A. Всі внутрішні точки куба будемо розглядати як завжди. Сам по собі куб-це різноманіття з краєм, але після зроблених склеєк край замикається сам на себе і зникає. Справді, околицями точок A і A" в кубі (вони лежать на лівій і правій заштрихованих гранях) служать половинки куль, які після склеювання граней зливаються в цілу кульку, що є околицею відповідної точки тривимірного тора.

Щоб відчути пристрій 3-тора виходячи з звичайних уявлень про фізичний простір, потрібно вибрати три взаємно перпендикулярні напрями: вперед, вліво і вгору - і подумки вважати, як у фантастичних розповідях, що при русі в будь-якому з цих напрямків досить довгий, але кінцевий час , ми повернемося у вихідну точку, але з протилежного напряму Це теж «компактифікація простору», але не одноточкова, використана раніше для побудови сфери, а складніша.

Вихідною ідеєю доказу є використання так званого «потоку Річчі»: ми беремо однозв'язне компактне 3-різноманітність, наділяємо його довільною геометрією (тобто вводимо деяку метрику з відстанями та кутами), а потім розглядаємо його еволюцію вздовж потоку Річчі. Річард Гамільтон, який висловив цю ідею у 1981 році, сподівався, що за такої еволюції наше різноманіття перетвориться на сферу. Виявилося, що це неправильно, — у тривимірному випадку потік Річчі здатний псувати різноманіття, тобто робити з нього різноманіття (щось із особливими точками, як у наведеному вище прикладі прямих, що перетинаються). Перельману шляхом подолання неймовірних технічних труднощів, з використанням важкого апарату рівнянь з приватними похідними, вдалося внести поправки в потік Річчі поблизу особливих точок таким чином, що при еволюції топологія різноманіття не змінюється, особливих точок не виникає, а врешті-решт воно перетворюється на круглу . Але треба пояснити нарешті, що таке цей потік Річчі. Потоки, використані Гамільтоном і Перельманом, відносяться до зміни внутрішньої метрики на абстрактному різноманітті, і це пояснити досить важко, тому обмежуся описом «зовнішнього» потоку Річчі на одновимірних різноманіттях, вкладених у площину.

Кривизну будемо вважати позитивною, якщо вектор швидкості повертає у бік внутрішньої частини площини, розбитої нашою кривою на дві частини, та негативною, якщо він повертає зовні. Ця угода залежить від напрямку обходу кривої. У точках перегину, де обертання змінює напрямок, кривизна дорівнюватиме 0. Наприклад, коло радіуса 1 має постійну позитивну кривизну, рівну 1 (якщо вважати її в радіанах).

Виявляється, що будь-яка замкнута крива на площині поводиться при такій еволюції подібним чином, тобто перетворюється зрештою на окружність. Це і є доказ одновимірного аналога гіпотези Пуанкаре за допомогою потоку Річчі (втім, саме твердження в даному випадку і так очевидно просто спосіб доказу ілюструє, що відбувається в розмірності 3).

Сергій Дужин,
докт.фіз.-мат. наук,
старший науковий співробітник
Санкт-Петербурзького відділення
Математичного інституту РАН

Теорема Пуанкаре - математична формула "Всесвіту". Григорій Перельман. Частина 1 (із серії «Справжня Людина в науці»)

Анрі Пуанкаре (1854-1912), один з найбільших математиків, в 1904 р. сформулював знамениту ідею про деформовану тривимірну сферу і у вигляді маленької замітки на полях, поміщеній наприкінці 65 сторінкової статті, присвяченої зовсім іншому питанню, на зі словами: «Ну це питання може надто далеко нас завести»…

Маркус Дю Сотой з Оксфордського університету вважає, що теорема Пуанкаре – «це центральна проблема математики та фізикиспроба зрозуміти якої формиможе бути Всесвіт, До неї дуже важко підібратися ».

Раз на тиждень Григорій Перельман їздив до Прінстона, щоб взяти участь у семінарі «Інституту поглиблених досліджень». На семінарі один із математиків Гарвардського університетувідповідає питанням Перельмана: «Теорія Вільяма Терстона (1946-2012 рр., математик, праці у сфері «Тривимірної геометрії і топології»), що отримала назву гіпотези геометризації описує всі можливі тривимірні поверхні і є кроком вперед проти гіпотезою Пуа. Якщо Ви доведете припущення Вільяма Терстона, то і гіпотеза Пуанкаре відчинить перед Вами всі свої двері і навіть її рішення змінить весь топологічний ландшафт сучасної науки».

Шість провідних американських університетів у березні 2003 р. запрошують Перельмана прочитати цикл лекцій, які пояснюють його роботу. У квітні 2003 р. Перельман здійснює наукове турне. Його лекції стають визначною науковою подією. У Прінстоні послухати його приїжджають Джон Болл (голова міжнародного математичного союзу), Ендрю Уайлз (математик, роботи в галузі арифметики еліптичних кривих, довів теорему Ферма в 1994 р.), Джон Неш (математик, що працює в галузі теорії ігор та диференційної географії).

Григорію Перельману вдалося вирішити одне із семи завдань тисячоліттяі математично описатитак званою формулу Всесвіту, довести гіпотезу Пуанкаре Над цією гіпотезою найбільш світлі уми билися понад 100 років, і за доказ якої світовим математичним співтовариством (математичним інститутом імені Клея) було обіцяно $1 млн. Її вручення пройшло 8 червня 2010 р. попадали щелепи».

У 2006 році за рішення гіпотези Пуанкаре математику було присуджено найвищу математичну нагороду - Філдсівську премію (медаль Філдса). Джон Болл особисто відвідав Санкт-Петербург для того, щоб умовити прийняти премію. Її він прийняти відмовився зі словами: «Суспільство навряд чи здатне всерйоз оцінити мою роботу».

«Філдсовська премія (і медаль) вручається один раз на 4 роки на кожному міжнародному математичному конгресі молодим вченим (молодше 40 років), які зробили помітний внесок у розвиток математики. Крім медалі, нагородженим вручається 15 тис. канадських доларів ($13 000)»

У вихідному формулюванні гіпотеза Пуанкаре звучить так: «Будь-яке однозв'язне компактне тривимірне різноманіття без краю гомеоморфно тривимірної сфері». У перекладі загальнодоступною мовою, це означає, що будь-який тривимірний об'єкт, наприклад, склянку можна перетворити на кулю шляхом однієї лише деформації, тобто її не потрібно буде ні розрізати, ні склеювати. Іншими словами, Пуанкаре припустив, що простір не тривимірно, а містить значно більшу кількість вимірів, а Перельман через 100 років математично це довів.

Вислів Григорія Перельмана теореми Пуанкаре про перетворення матерії в інший стан, форму має схожість зі знаннями, викладеними в книзі Анастасії Нових «Сенсей IV»: «За фактом, весь цей нескінченний для нас Всесвіт займає місце в мільярди разів менше, ніж кінчик найтоншої медичної голки». А також можливістю управління матеріальним Всесвітом шляхом перетворень, що вносяться Спостерігачем з контролюючих вимірів вище шостого (з 7 по 72 включно) (доповідь «СПОКОНА ФІЗИКА АЛЛАТРА» тема «Езоосмічні грати»).

Григорія Перельмана відрізняли аскетичність життя, суворість пред'явлених як собі, так і до інших етичних вимог. Дивлячись на нього складається відчуття, що він тільки тілесно мешкаєзагалом з усіма іншими сучасниками просторі, а Духовно в якомусь іншому, де навіть за $1 млн. не йдуть на«найбезневинніші» компроміси із Совістю. І що це за простір такий, і чи можна хоч краєчком ока подивитися на нього?

Виняткова важливість гіпотези, висунутої близько століття тому математиком Пуанкаре, стосується тривимірних структур і є ключовим елементомсучасних досліджень основ світобудови. Загадка ця, на думку фахівців інституту Клея, одна із семи принципово важливих для розвитку математики майбутнього.

Перельман, відкидаючи медалі та премії, запитує: «А навіщо вони мені? Вони мені зовсім ні до чого. Кожному зрозуміло, якщо доказ правильний, то жодного іншого визнання не потрібно. Поки в мені не розвинулася підозрілість, я мав вибір, або сказати вголос про дезінтеграцію математичної спільноти в цілому, у зв'язку з її низьким моральним рівнем, або нічого не сказати і дозволити поводитися з собою, як з бидлом. Тепер же, коли я став більш ніж підозрілим, я не можу залишатися бидлом і мовчати, тому мені залишається тільки піти».

Для того, щоб займатися сучасною математикою, потрібно мати тотально чистий розум, без найменшої домішки, яка дезінтегрує його, дезорієнтує, підміняє цінності, і прийняти цю премію означає продемонструвати слабкість. Ідеальний вчений займається лише наукою, не дбає більше ні про що (влада і капітал), у нього має бути чистий розум, а для Перельмана немає більшої важливості, ніж жити відповідно до цього ідеалу. Чи корисна для математики вся ця витівка з мільйонами, і чи потрібен справжньому вченому такий стимул? І це бажання капіталу купити і підпорядкувати собі все на цьому світі хіба не образливо? Або можна продати свою чистотуза мільйон? Гроші, хоч би скільки їх було, еквівалентні істині Душі? Адже ми маємо справу з апріорною оцінкою проблем, до яких гроші просто не повинні мати стосунки, хіба не так? Робити ж із усього цього щось на зразок лото-мільйон, або тоталізатор, значить потурати дезінтеграції наукового та й людської спільноти в цілому(Див. доповідь «СКОЛЬНА ФІЗИКА АЛЛАТРА» та в книзі «АллатРа» останні 50 сторінок про шлях побудови творчого суспільства). І грошові кошти(енергія), які бізнесмени готові віддавати на науку, якщо й треба використовувати, то коректно, чи не принижуючи Дух справжнього служіння, як не крути, неоціненного грошовим еквівалентом: « Що таке мільйон, порівняно, з чистотою, або Величчю тих сфер (про виміри глобального Всесвіту та про Духовному світідив. книгу«АллатРа» та доповідь«СКОЖНА ФІЗИКА АЛАТРА»), в які не здатне проникнутинавіть людське уява (розум)?! Що таке мільйон зоряного небадля часу?!».

Наведемо тлумачення інших термінів, що фігурують у формулюванні гіпотези:

Топологія - (від грецьк. topos - місце та logos - вчення) - розділ математики, що вивчає топологічні властивості постатей, тобто. властивості, що не змінюються при будь-яких деформаціях, що виробляються без розривів та склеювань (точніше, при взаємно однозначних та безперервних відображеннях). Прикладами топологічних властивостей фігур є розмірність, кількість кривих, що обмежують цю область, тощо. Так, коло, еліпс, контур квадрата мають одні й самі топологічні властивості, т.к. ці лінії можуть бути деформовані одна в іншу описаним вище чином; в той же час кільце і коло мають різні топологічні властивості: коло обмежений одним контуром, а кільце - двома.

Гомеоморфізм (грец. ομοιο - схожий, μορφη - форма) – взаємно однозначна відповідність між двома топологічними просторами, при якому обидва взаємно зворотні відображення, що визначаються цією відповідністю, безперервні. Ці відображення називають гомеоморфними або топологічними відображеннями, а також гомеоморфізмами, а про простори говорять, що вони належать одному топологічному типу називаються гомеоморфними, або топологічно еквівалентними.

Тривимірне різноманіття без краю. Це такий геометричний об'єкт, у якого кожна точка має околицю у вигляді тривимірної кулі. Прикладами 3-многообразий може бути, по-перше, все тривимірне простір, що позначається R3 , і навіть будь-які відкриті безлічі точок у R3 , наприклад, начинка повнотория (бублика). Якщо розглянути замкнуте повноторіє, тобто. додати і його граничні точки (поверхня тора), то ми отримаємо вже різноманіття з краєм - крайових точок немає околиць у вигляді кульки, але лише у вигляді половинки кульки.

Повноторіє (повноторій) - геометричне тіло, гомеоморфне добутку двовимірного диска та кола D2*S1 Неформально, повноторі – бублик, тоді як тор – тільки його поверхня (порожниста камера колеса).

Однозв'язне. Воно означає, що будь-яку безперервну замкнуту криву, розташовану цілком у межах даного різноманіття, можна плавно стягнути в крапку, не залишаючи цього різноманіття. Наприклад, звичайна двовимірна сфера R3 однозв'язна (кільцеву гумку, як завгодно прикладену до поверхні яблука, можна плавною деформацією стягнути в одну точку, не відриваючи гумки від яблука). З іншого боку, коло і тор невідносні.

Компактний. Різноманітність компактна, якщо будь-який його гомеоморфний образ має обмежені розміри. Наприклад, відкритий інтервал на прямий (всі точки відрізка, крім його кінців) некомпактний, оскільки його можна безперервно розтягнути до нескінченної прямої. А ось замкнутий відрізок (з кінцями) є компактним різноманіттям з краєм: при будь-якій безперервній деформації кінці переходять у певні точки, і весь відрізок повинен переходити в обмежену криву, що з'єднує ці точки.

Далі буде...

Ільназ Башарів

Література:

– Доповідь «СКОВНА ФІЗИКА АЛЛАТРА» міжнародної групи вчених Міжнародного громадського руху «АЛЛАТРА» під ред. Анастасії Нових, 2015 р. http://allatra-science.org/pub... ;

– Нових. А. «АллатРа», К.: АллатРа, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

– Нових. А., «Сенсей-IV», К.: Лотос, 2013, 632 c. http://schambala.com.ua/book/s...

- Сергій Дужин, докт.фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник Санкт-Петербурзького відділення Математичного інституту РАН

Популярне в рубриці: