व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ. कार्य, त्वरण और ग्रेडिएंट में परिवर्तन की तात्कालिक दर

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्कूली पाठ्यक्रम में सबसे कठिन विषयों में से एक है। प्रत्येक स्नातक इस प्रश्न का उत्तर नहीं देगा कि व्युत्पन्न क्या है।

यह लेख सरल और स्पष्ट रूप से बताता है कि व्युत्पन्न क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है।. अब हम प्रस्तुतिकरण की गणितीय कठोरता के लिए प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात इसका अर्थ समझना है।

आइए परिभाषा याद रखें:

व्युत्पन्न फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।

यह चित्र तीन कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है। आपके अनुसार इनमें से कौन सबसे तेजी से बढ़ता है?

उत्तर स्पष्ट है - तीसरा। इसमें परिवर्तन की दर सबसे अधिक है, यानी सबसे बड़ा व्युत्पन्न है।

यहाँ एक और उदाहरण है.

कोस्त्या, ग्रिशा और मैटवे को एक ही समय में नौकरी मिली। आइए देखें कि वर्ष के दौरान उनकी आय कैसे बदली:

आप चार्ट पर सब कुछ तुरंत देख सकते हैं, है ना? कोस्त्या की आय छह महीने में दोगुनी से अधिक हो गई है। और ग्रिशा की आय भी बढ़ी, लेकिन थोड़ी सी। और मैथ्यू की आय शून्य हो गई। प्रारंभिक स्थितियाँ समान हैं, लेकिन फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर, यानी। यौगिक, - अलग। जहां तक ​​मैटवे का सवाल है, उनकी आय का व्युत्पन्न आम तौर पर नकारात्मक है।

सहज रूप से, हम किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का आसानी से अनुमान लगा सकते हैं। लेकिन हम यह कैसे करें?

हम वास्तव में यह देख रहे हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कितनी तेज़ी से ऊपर (या नीचे) जाता है। दूसरे शब्दों में, x के साथ y कितनी तेजी से बदलता है। यह स्पष्ट है कि इसमें वही कार्य है अलग-अलग बिंदुव्युत्पन्न का एक अलग मूल्य हो सकता है - अर्थात, यह तेजी से या धीमी गति से बदल सकता है।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को द्वारा दर्शाया जाता है।

आइए दिखाते हैं कि ग्राफ़ का उपयोग करके कैसे खोजें।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ खींचा गया है. उस पर भुजबल से एक बिंदु लीजिए। इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं। हम यह मूल्यांकन करना चाहते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कितनी तेज़ी से ऊपर जाता है। इसके लिए एक सुविधाजनक मूल्य है स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा.

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

कृपया ध्यान दें - स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के रूप में, हम स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच के कोण को लेते हैं।

कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्या है। यह एक सीधी रेखा है, जिसमें केवल एक ही है आम बातएक ग्राफ़ के साथ, और जैसा कि हमारे चित्र में दिखाया गया है। यह एक वृत्त की स्पर्शरेखा की तरह दिखता है।

पता लगाते हैं । हमें याद है कि एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा सही त्रिकोणविपरीत पैर और बगल वाले पैर के अनुपात के बराबर। त्रिभुज से:

हमने फ़ंक्शन का सूत्र जाने बिना ही ग्राफ़ का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया। ऐसे कार्य अक्सर गणित की परीक्षा में संख्या के अंतर्गत पाए जाते हैं।

एक और महत्वपूर्ण सहसंबंध है. याद रखें कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है

इस समीकरण में मात्रा कहलाती है एक सीधी रेखा का ढलान. यह अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

.

हमें वह मिल गया

आइए इस सूत्र को याद रखें. यह व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को व्यक्त करता है।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है कोणीय गुणांकउस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा।

दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर है।

हम पहले ही कह चुके हैं कि अलग-अलग बिंदुओं पर एक ही फ़ंक्शन का अलग-अलग व्युत्पन्न हो सकता है। आइए देखें कि व्युत्पन्न फ़ंक्शन के व्यवहार से कैसे संबंधित है।

आइए किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। इस कार्य को कुछ क्षेत्रों में बढ़ने दें, कुछ में कम करने दें अलग गति. और इस फ़ंक्शन में अधिकतम और न्यूनतम अंक होने दें।

एक बिंदु पर, कार्य बढ़ रहा है। ग्राफ़ की स्पर्शरेखा, बिंदु पर खींची गई, एक न्यून कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ. अत: बिंदु पर व्युत्पन्न सकारात्मक है।

इस बिंदु पर, हमारा कार्य कम हो रहा है। इस बिंदु पर स्पर्श रेखा एक अधिक कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ. चूँकि अधिक कोण की स्पर्शरेखा ऋणात्मक होती है, बिंदु पर अवकलज ऋणात्मक होता है।

यहाँ क्या होता है:

यदि कोई फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो उसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।

यदि यह घटता है, तो इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है।

और अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) पर स्पर्श रेखा क्षैतिज होती है। इसलिए, इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखा के ढलान का स्पर्शरेखा शून्य है, और व्युत्पन्न भी शून्य है।

बिंदु अधिकतम बिंदु है. इस बिंदु पर, फ़ंक्शन की वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है। नतीजतन, व्युत्पन्न का चिह्न बिंदु पर "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है।

बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य के बराबर है, लेकिन इसका चिह्न "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है।

निष्कर्ष: व्युत्पन्न की सहायता से, आप फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में वह सब कुछ पता लगा सकते हैं जिसमें हमारी रुचि है।

यदि व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन बढ़ रहा है।

यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट रहा है।

अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है।

न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न भी शून्य है और चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है।

हम इन निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में लिखते हैं:

	बढ़ती है	अधिकतम बिंदु	कम हो जाती है	न्यूनतम बिंदु	बढ़ती है
+	0	-	0	+

आइए दो छोटे स्पष्टीकरण दें। समस्या का समाधान करते समय आपको उनमें से एक की आवश्यकता होगी। दूसरा - पहले वर्ष में, फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।

ऐसा मामला संभव है जब किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम है। यह तथाकथित :

एक बिंदु पर, ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्षैतिज है और व्युत्पन्न शून्य है। हालाँकि, बिंदु से पहले कार्य बढ़ता गया - और बिंदु के बाद यह बढ़ता ही जाता है। व्युत्पन्न का चिह्न नहीं बदलता - यह जैसा था वैसा ही सकारात्मक बना हुआ है।

ऐसा भी होता है कि अधिकतम या न्यूनतम बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है। ग्राफ़ पर, यह एक तीव्र विराम से मेल खाता है, जब किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव होता है।

लेकिन व्युत्पन्न कैसे खोजें यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ द्वारा नहीं, बल्कि सूत्र द्वारा दिया गया है? इस मामले में, यह लागू होता है

एक चर के फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और उसके अनुप्रयोगों पर मेरे लेखक के पाठ्यक्रम में इस लेख के अप्रत्याशित स्थान से कई लोग आश्चर्यचकित होंगे। आख़िरकार, जैसा कि स्कूल से था: एक मानक पाठ्यपुस्तक, सबसे पहले, व्युत्पन्न की परिभाषा, उसका ज्यामितीय, यांत्रिक अर्थ देती है। इसके बाद, छात्र परिभाषा के आधार पर कार्यों के व्युत्पन्न ढूंढते हैं, और वास्तव में, केवल तभी विभेदीकरण तकनीक का उपयोग करके पूर्ण किया जाता है व्युत्पन्न तालिकाएँ.

लेकिन मेरे दृष्टिकोण से, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक व्यावहारिक है: सबसे पहले, फ़ंक्शन की सीमा को अच्छी तरह से समझने की सलाह दी जाती है, और, विशेष रूप से, इनफिनिटिमल्स. तथ्य यह है कि

व्युत्पन्न की परिभाषा एक सीमा की अवधारणा पर आधारित है , जिसे स्कूली पाठ्यक्रम में ख़राब माना जाता है। यही कारण है कि ग्रेनाइट ज्ञान के युवा उपभोक्ताओं का एक महत्वपूर्ण हिस्सा व्युत्पन्न के सार में खराब रूप से प्रवेश करता है। इस प्रकार, यदि आप विभेदक कैलकुलस में खराब उन्मुख हैं, या एक बुद्धिमान मस्तिष्क के लिए लंबे सालइस सामान का सफलतापूर्वक निपटान, कृपया यहीं से प्रारंभ करेंकार्य सीमाएँ . साथ ही अपने निर्णय को मास्टर/याद रखें।

वही व्यावहारिक समझ यह बताती है कि सबसे पहले यह लाभदायक है

जटिल कार्यों के डेरिवेटिव सहित डेरिवेटिव ढूंढना सीखें . सिद्धांत एक सिद्धांत है, लेकिन, जैसा कि वे कहते हैं, आप हमेशा अंतर करना चाहते हैं। इस संबंध में, सूचीबद्ध बुनियादी पाठों पर काम करना बेहतर है, और शायद बन भी जाएंभेदभाव मास्टर उनके कार्यों का सार समझे बिना भी।

मैं लेख पढ़ने के बाद इस पृष्ठ पर सामग्री शुरू करने की सलाह देता हूं। व्युत्पन्न के साथ सबसे सरल समस्याएँ, जहां, विशेष रूप से, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा की समस्या पर विचार किया जाता है। लेकिन इसमें देरी हो सकती है. तथ्य यह है कि व्युत्पन्न के कई अनुप्रयोगों को इसे समझने की आवश्यकता नहीं है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है कि सैद्धांतिक पाठ काफी देर से सामने आया - जब मुझे समझाने की आवश्यकता थी वृद्धि/कमी और चरम के अंतराल का पता लगानाकार्य. इसके अलावा, वह काफी लंबे समय से इस विषय में थे" कार्य और ग्राफ़”, जब तक मैंने इसे पहले डालने का फैसला नहीं किया।

इसलिए, प्रिय चायदानी, भूखे जानवरों की तरह, व्युत्पन्न के सार को अवशोषित करने में जल्दबाजी न करें, क्योंकि संतृप्ति बेस्वाद और अधूरी होगी।

किसी फलन के बढ़ने, घटने, अधिकतम, न्यूनतम की अवधारणा

अनेक अध्ययन मार्गदर्शिकाएँकुछ व्यावहारिक समस्याओं की मदद से व्युत्पन्न की अवधारणा को आगे बढ़ाया, और मैं भी इसके साथ आया दिलचस्प उदाहरण. कल्पना कीजिए कि हमें एक ऐसे शहर की यात्रा करनी है जहां विभिन्न तरीकों से पहुंचा जा सकता है। हम घुमावदार घुमावदार रास्तों को तुरंत त्याग देते हैं, और हम केवल सीधी रेखाओं पर विचार करेंगे। हालाँकि, सीधी-रेखा दिशाएँ भी भिन्न हैं: आप एक सपाट ऑटोबान के साथ शहर तक पहुँच सकते हैं। या किसी पहाड़ी राजमार्ग पर - ऊपर और नीचे, ऊपर और नीचे। एक अन्य सड़क केवल ऊपर की ओर जाती है, और एक अन्य सदैव नीचे की ओर जाती है। रोमांच चाहने वाले लोग खड़ी चट्टान और खड़ी चढ़ाई वाली घाटी से होकर जाने वाला रास्ता चुनेंगे।

लेकिन आपकी प्राथमिकताएं जो भी हों, क्षेत्र को जानना या कम से कम उसका स्थलाकृतिक मानचित्र होना वांछनीय है। यदि ऐसी कोई जानकारी न हो तो क्या होगा? आखिरकार, आप चुन सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक सपाट रास्ता, लेकिन परिणामस्वरूप, मज़ेदार फिन्स के साथ स्की ढलान पर ठोकर खाएँ। तथ्य यह नहीं है कि नाविक और यहां तक ​​कि

सैटेलाइट इमेज विश्वसनीय डेटा देगी. इसलिए, गणित के माध्यम से पथ की राहत को औपचारिक बनाना अच्छा होगा।

कुछ सड़क पर विचार करें (साइड व्यू):

बस किसी मामले में, मैं आपको एक प्राथमिक तथ्य की याद दिलाता हूं: यात्रा बाएं से दाएं होती है। सरलता के लिए, हम मानते हैं कि विचाराधीन अनुभाग पर फ़ंक्शन निरंतर है।

इस ग्राफ़ की विशेषताएं क्या हैं?

अंतरालों पर फ़ंक्शन बढ़ रहा है, अर्थात, इसका प्रत्येक अगला मान पिछले वाले से अधिक है। मोटे तौर पर कहें तो ग्राफ नीचे से ऊपर जाता है (हम पहाड़ी पर चढ़ते हैं)। और अंतराल पर, फ़ंक्शन घटता जाता है - प्रत्येक अगला मान पिछले एक से कम होता है, और हमारा ग्राफ़ ऊपर से नीचे की ओर जाता है (हम ढलान से नीचे जाते हैं)।

आइए खास बिंदुओं पर भी ध्यान दें. इस बिंदु पर हम

हम अधिकतम तक पहुँचते हैं, अर्थात् पथ का एक ऐसा भाग है जिस पर मान सबसे बड़ा (उच्चतम) होगा। उसी बिंदु पर, एक न्यूनतम पहुंच जाता है, और एक ऐसा पड़ोस होता है जिसमें मूल्य सबसे छोटा (न्यूनतम) होता है।

पाठ में अधिक कठोर शब्दावली और परिभाषाओं पर विचार किया जाएगा। कार्य की चरम सीमा के बारे मेंजबकि हम एक और अध्ययन करते हैं महत्वपूर्ण विशेषता: बीच में कार्य बढ़ रहा है, लेकिन यह बढ़ रहा है अलग-अलग गति से. और पहली चीज़ जो आपका ध्यान खींचती है वह यह है कि अंतराल ग्राफ़ ऊपर उठता है बहुत अधिक अच्छाअंतराल की तुलना में. क्या गणितीय उपकरणों का उपयोग करके सड़क की ढलान को मापना संभव है?

कार्य परिवर्तन दर

विचार यह है: कुछ मूल्य लें

(पढ़ें "डेल्टा एक्स") , जिसे हम कहेंगेतर्क वृद्धि, और आइए अपने पथ के विभिन्न बिंदुओं पर "इसे आज़माना" शुरू करें:

1) आइए सबसे बाएं बिंदु को देखें: दूरी को दरकिनार करते हुए, हम ढलान पर ऊंचाई पर चढ़ते हैं ( हरी रेखा). मात्रा कहलाती है कार्य वृद्धि, और में इस मामले मेंयह वृद्धि धनात्मक है (अक्ष के अनुदिश मानों का अंतर इससे अधिक है

शून्य)। आइए अनुपात बनाएं, जो हमारी सड़क की ढलान का माप होगा। जाहिर है, यह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या है, और चूंकि दोनों वेतन वृद्धि सकारात्मक हैं।

ध्यान! पदनाम एक एकल प्रतीक है, अर्थात, आप "x" से "डेल्टा" को "फाड़" नहीं सकते हैं और इन अक्षरों पर अलग से विचार कर सकते हैं। बेशक, टिप्पणी फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि प्रतीक पर भी लागू होती है।

आइए परिणामी भिन्न की प्रकृति को और अधिक सार्थक रूप से जानें। होने देना

शुरुआत में हम 20 मीटर (बाएं काले बिंदु में) की ऊंचाई पर हैं। मीटर की दूरी (बाएं लाल रेखा) पार करने के बाद हम 60 मीटर की ऊंचाई पर होंगे। तब फ़ंक्शन की वृद्धि होगी

मीटर (हरी रेखा) और:. इसलिए

इस प्रकार, सड़क के इस खंड के प्रत्येक मीटर पर ऊंचाई बढ़ती हैऔसतन 4 मीटर... क्या आप अपने चढ़ाई उपकरण भूल गए? =) दूसरे शब्दों में, निर्मित अनुपात फ़ंक्शन की औसत परिवर्तन दर (इस मामले में, वृद्धि) को दर्शाता है।

ध्यान दें: प्रश्न में उदाहरण के संख्यात्मक मान केवल ड्राइंग के अनुपात के अनुरूप हैं।

2) अब सबसे दाहिने काले बिंदु से समान दूरी पर चलते हैं। यहां वृद्धि अधिक धीमी है, इसलिए वृद्धि

(मैजेंटा लाइन) अपेक्षाकृत छोटा है, और अनुपात

पिछले मामले की तुलना में यह बहुत मामूली होगा। अपेक्षाकृत बोल रहा है, मीटर और कार्य वृद्धि दर

है । यानी यहां रास्ते के हर मीटर पर औसतन आधा मीटर की चढ़ाई है।

3)पहाड़ पर एक छोटा सा रोमांच। आइए y-अक्ष पर स्थित शीर्ष काले बिंदु को देखें। चलिए मान लेते हैं कि ये 50 मीटर का निशान है. फिर से हमने दूरी पार कर ली, जिसके परिणामस्वरूप हम खुद को नीचे पाते हैं - 30 मीटर के स्तर पर। चूंकि आंदोलन ऊपर से नीचे (अक्ष की "विपरीत" दिशा में) किया गया था, इसलिए अंतिम फ़ंक्शन की वृद्धि (ऊंचाई) नकारात्मक होगी:मीटर (ड्राइंग में भूरी रेखा)। और इस मामले में हम बात कर रहे हैं स्पीड की

अवरोही कार्य: , अर्थात् पथ के प्रत्येक मीटर के लिए

इस क्षेत्र में ऊँचाई औसतन 2 मीटर कम हो जाती है। पांचवे बिंदु पर रखें कपड़ों का ख्याल.

अब आइए प्रश्न पूछें: उपयोग करने के लिए "माप मानक" का सर्वोत्तम मूल्य क्या है? यह स्पष्ट है कि 10 मीटर बहुत कठिन है। उन पर एक दर्जन से अधिक उभार आसानी से फिट हो सकते हैं। उभार क्यों हैं, नीचे एक गहरी खाई हो सकती है, और कुछ मीटर के बाद - इसकी दूसरी ओर और अधिक खड़ी चढ़ाई है। इस प्रकार, दस-मीटर के साथ हमें पथ के ऐसे खंडों का एक समझदार लक्षण वर्णन नहीं मिलेगा

रिश्ता ।

उपरोक्त चर्चा से निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है: मूल्य उतना ही छोटा, जितना अधिक सटीक रूप से हम सड़क की राहत का वर्णन करेंगे। इसके अलावा, निष्पक्ष

अब हम जानते हैं कि Z = +2 पर N(Z) फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर -0.1079968336 है। इसका मतलब है अवधि के दौरान ऊपर/नीचे, इसलिए जब Z = +2 होता है, तो N(Z) वक्र -0.1079968336 तक ऊपर चला जाता है। यह स्थिति चित्र 3-13 में दिखाई गई है।

"पूर्ण" संवेदनशीलता के माप को किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर कहा जा सकता है। किसी दिए गए बिंदु ("तात्कालिक वेग") पर किसी फ़ंक्शन की संवेदनशीलता के माप को व्युत्पन्न कहा जाता है।

यदि हम अनुपात Ay/Ax को परिभाषित करते हैं, तो हम चर x में परिवर्तन के प्रति चर y की पूर्ण संवेदनशीलता की डिग्री को माप सकते हैं। संवेदनशीलता की ऐसी परिभाषा का नुकसान यह है कि यह न केवल "प्रारंभिक" बिंदु XQ पर निर्भर करता है, जिसके सापेक्ष तर्क में परिवर्तन पर विचार किया जाता है, बल्कि अंतराल Dx के मूल्य पर भी निर्भर करता है, जिस पर गति निर्धारित होती है . इस कमी को दूर करने के लिए, व्युत्पन्न (एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर) की अवधारणा पेश की गई है। किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर निर्धारित करते समय, बिंदु XQ और xj को एक साथ लाया जाता है, जिससे अंतराल Dx शून्य हो जाता है। बिंदु XQ पर फ़ंक्शन f (x) के परिवर्तन की दर को बिंदु x पर फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न कहा जाता है। बिंदु XQ पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का ज्यामितीय अर्थ यह है कि यह बिंदु XQ पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण द्वारा निर्धारित किया जाता है। व्युत्पन्न फ़ंक्शन ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा है।

यदि व्युत्पन्न y को फ़ंक्शन / के परिवर्तन की दर के रूप में माना जाता है, तो मान y /y इसके परिवर्तन की सापेक्ष दर है। इसलिए, लघुगणकीय व्युत्पन्न (y में)

दिशा में व्युत्पन्न - दिशा में बिंदु MO (ZhO, UO) पर फ़ंक्शन z - f (x, y) के परिवर्तन की दर को दर्शाता है

फ़ंक्शन परिवर्तन की दर सापेक्ष 124.188

अब तक, हमने फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न पर विचार किया है, जो आपको फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का पता लगाने की अनुमति देता है। यह निर्धारित करने के लिए कि परिवर्तन की दर स्थिर है या नहीं, फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न लिया जाना चाहिए। इसे इस प्रकार दर्शाया गया है

यहां और नीचे, अभाज्य का अर्थ विभेदन है ताकि h अतिरिक्त आपूर्ति में वृद्धि के सापेक्ष फ़ंक्शन h के परिवर्तन की दर हो)।

"पूर्ण" संवेदनशीलता का एक माप - किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर (औसत (परिवर्तनों का अनुपात) या सीमांत (व्युत्पन्न))

मूल्य, तर्क, कार्य की वृद्धि। कार्य परिवर्तन दर

अंतराल पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर (औसत दर)।

गति की ऐसी परिभाषा का नुकसान यह है कि यह गति न केवल बिंदु x0 पर निर्भर करती है, जिसके सापेक्ष तर्क में परिवर्तन पर विचार किया जाता है, बल्कि तर्क में परिवर्तन के परिमाण पर भी निर्भर करता है, अर्थात। अंतराल Dx के मान पर, जिस पर गति निर्धारित की जाती है। इस कमी को दूर करने के लिए, किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर (तात्कालिक वेग) की अवधारणा पेश की गई है।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर (तात्कालिक दर)।

बिंदु J Q पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर निर्धारित करने के लिए, बिंदु x और x0 को एक साथ लाया जाता है, जिससे अंतराल Ax शून्य हो जाता है। सतत फलन में परिवर्तन भी शून्य हो जाएगा। इस मामले में, शून्य की ओर प्रवृत्त फ़ंक्शन में परिवर्तन और शून्य की ओर प्रवृत्त तर्क में परिवर्तन का अनुपात बिंदु x0 (तात्कालिक वेग) पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर देता है, अधिक सटीक रूप से, एक अनंत छोटे अंतराल पर सापेक्ष बिंदु तक xd.

यह बिंदु x0 पर फ़ंक्शन Dx) के परिवर्तन की दर है जिसे बिंदु xa पर फ़ंक्शन Dx का व्युत्पन्न कहा जाता है।

बेशक, y के मूल्य में परिवर्तन की दर को चिह्नित करने के लिए, कोई एक सरल संकेतक का उपयोग कर सकता है, जैसे, L के संबंध में y का व्युत्पन्न। प्रतिस्थापन ओ की लोच को इस तथ्य के कारण पसंद किया जाता है कि इसका एक बड़ा लाभ है - यह अभ्यास में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश उत्पादन कार्यों के लिए स्थिर है, यानी। न केवल कुछ आइसोक्वेंट के साथ आगे बढ़ने पर परिवर्तन नहीं होता है, बल्कि आइसोक्वेंट की पसंद पर भी निर्भर नहीं होता है।

नियंत्रण की समयबद्धता का अर्थ है कि प्रभावी नियंत्रण समय पर होना चाहिए। इसकी समयबद्धता नियंत्रित संकेतकों के माप और आकलन के समय अंतराल, समग्र रूप से संगठन की विशिष्ट गतिविधियों की प्रक्रिया की अनुरूपता में निहित है। ऐसे अंतराल का भौतिक मूल्य (माप की आवृत्ति) नियंत्रित संकेतकों के परिवर्तन की दर और नियंत्रण संचालन को लागू करने की लागत को ध्यान में रखते हुए, मापी गई प्रक्रिया (योजना) की समय सीमा द्वारा निर्धारित किया जाता है। नियंत्रण फ़ंक्शन का सबसे महत्वपूर्ण कार्य संगठन को गंभीर स्थिति में ले जाने से पहले विचलन को समाप्त करना है।

टीवी = 0 पर एक सजातीय प्रणाली के लिए, एम = 0 5 भी गायब हो जाता है, ताकि अभिव्यक्ति का दाहिना पक्ष (6.20) विविधता से जुड़े कुल कल्याण फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर के बराबर हो।

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ. समय x के साथ बदलने वाले फ़ंक्शन y = f(x) के लिए, व्युत्पन्न y = f(xo] समय XQ पर y के परिवर्तन की दर है।

फ़ंक्शन y = f(x) के परिवर्तन की सापेक्ष दर (दर) लघुगणकीय व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है

चर x का मतलब संबंधित प्रकार के उत्पादन के साधनों x = s - p के लिए आपूर्ति और मांग के बीच अंतर का परिमाण है। फ़ंक्शन x(f) समय में लगातार भिन्न होता है। चर x" का मतलब आपूर्ति और मांग के बीच अंतर में परिवर्तन की दर है। प्रक्षेपवक्र x (t) का मतलब आपूर्ति और मांग में अंतर के परिमाण पर आपूर्ति और मांग में परिवर्तन की दर की निर्भरता है, जो बदले में निर्भर करता है समय पर। हमारे मामले में राज्य स्थान (चरण स्थान) द्वि-आयामी है, अर्थात, एक चरण विमान का रूप है।

मात्रा के ऐसे गुण इस तथ्य को स्पष्ट करते हैं कि प्रतिस्थापन y की सीमांत दर में परिवर्तन की दर इसके आधार पर निर्धारित की जाती है, न कि किसी अन्य संकेतक की सहायता से, उदाहरण के लिए, x> के संबंध में y का व्युत्पन्न। इसके अलावा, कार्यों की एक महत्वपूर्ण संख्या के लिए, प्रतिस्थापन की लोच न केवल आइसोक्लाइंस के साथ, बल्कि आइसोक्वेंट के साथ भी स्थिर है। तो, उत्पादन फ़ंक्शन (2.20) के लिए, इस तथ्य का उपयोग करते हुए, आइसोक्लि के अनुसार-

ऐसी कई तरकीबें हैं जिनसे परिवर्तन की अल्पकालिक दरों पर काम किया जा सकता है। यह मॉडल एक-अवधि का उपयोग करता है

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की अवधारणा का वैकल्पिक भौतिक अर्थ।

निकोले ब्रिलेव

उन लोगों के लिए एक लेख जो स्वयं सोचते हैं। उन लोगों के लिए जो यह नहीं समझ सकते कि अज्ञेय की सहायता से जानना कैसे संभव है और इस कारण से अनुभूति के उपकरणों में अज्ञेय अवधारणाओं की शुरूआत से सहमत नहीं हो सकते हैं: "अनंत", "शून्य की ओर जाना", "असीम रूप से छोटा", "एक बिंदु का पड़ोस", आदि.पी.

इस लेख का उद्देश्य गणित और भौतिकी में एक बहुत ही उपयोगी मौलिक अवधारणा को पेश करने के विचार को बदनाम करना नहीं है। किसी फ़ंक्शन की व्युत्पन्न अवधारणाएँ(विभेदक), और इसे गहराई से समझें शारीरिक भावना,प्राकृतिक विज्ञान की सामान्य वैश्विक निर्भरता पर आधारित। लक्ष्य अवधारणा को समर्थन देना है व्युत्पन्न कार्य(अंतर) कारण संरचना और गहन अभिप्राय अंतःक्रिया भौतिकी. आज इस अर्थ का अनुमान लगाना असंभव है, क्योंकि आम तौर पर स्वीकृत अवधारणा को अंतर कलन के सशर्त औपचारिक, गैर-सख्त, गणितीय दृष्टिकोण से समायोजित किया जाता है।

1.1 किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की शास्त्रीय अवधारणा।

आरंभ करने के लिए, आइए सार्वभौमिक रूप से उपयोग किए जाने वाले, आम तौर पर स्वीकृत, लगभग तीन शताब्दियों से विद्यमान, जो एक क्लासिक बन गया है, की ओर मुड़ें। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणितीय अवधारणा (परिभाषा) (अंतर).

इस अवधारणा को सभी पाठ्यपुस्तकों में इसी तरह और लगभग इसी तरह समझाया गया है।

चलो मान यू x तर्क पर निर्भर करता हैयू = एफ(एक्स). यदि एफ(एक्स ) तर्क मानों में दो बिंदुओं पर तय किया गया था: x2, x1, , तो हमें मात्राएँ प्राप्त होती हैंयू 1 = एफ (एक्स 1 ), और यू 2 = एफ (एक्स 2 ). दो तर्क मानों का अंतरएक्स 2 , एक्स 1 इसे तर्क की वृद्धि कहा जाएगा और Δ के रूप में दर्शाया जाएगाएक्स = एक्स 2 - एक्स 1 (इसलिए एक्स 2=x1+ Δ एक्स) . यदि तर्क Δ में बदल गया हैएक्स = एक्स 2 - एक्स 1, , तो फ़ंक्शन के दो मानों के बीच अंतर के रूप में फ़ंक्शन बदल गया (बढ़ गया)।यू 1 = एफ (एक्स 1), यू 2 = एफ (एक्स 2) ) फ़ंक्शन की वृद्धि से∆एफ. इसे आमतौर पर इस तरह लिखा जाता है:

∆एफ= यू 1 - यू 2 = एफ (एक्स 2) - एफ (एक्स 1 ) . या उस पर विचार कर रहे हैंएक्स 2 = एक्स 1 + Δ एक्स , हम लिख सकते हैं कि फ़ंक्शन में परिवर्तन बराबर है∆एफ= एफ (एक्स 1 + Δx)- एफ (एक्स 1 ). और यह परिवर्तन, निश्चित रूप से, फ़ंक्शन के संभावित मानों की सीमा पर हुआ x2 और x1, .

ऐसा माना जाता है कि यदि मानएक्स 2 और एक्स 1, असीम रूप से करीबएक दूसरे के परिमाण में, फिर Δएक्स = एक्स 2 - एक्स 1, - बहुत छोता.

व्युत्पन्न परिभाषा: व्युत्पन्न कार्य f (x) बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन Δ के वृद्धि अनुपात की सीमा कहलाती हैएफ इस बिंदु पर तर्क Δx की वृद्धि होती है जब बाद वाला शून्य (असीम रूप से छोटा) हो जाता है। इस तरह रिकॉर्ड किया गया.

लिम Δx →0 (∆एफ(x0)/ Δx)=लिम Δx→0 ((एफ (एक्स +)। Δx)-एफ (एक्स 0))/ Δx)=एफ ` (x0)

अवकलज ज्ञात करना कहलाता है भेदभाव . शुरू की एक अवकलनीय फलन की परिभाषा : समारोह एफ , जिसमें किसी अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर एक व्युत्पन्न होता है, इस अंतराल पर अवकलनीय कहलाता है।

1.2 किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का आम तौर पर स्वीकृत भौतिक अर्थ

और अब व्युत्पन्न के आम तौर पर स्वीकृत भौतिक अर्थ के बारे में .

उसके बारे में तथाकथित भौतिक, या यों कहें छद्मभौतिकऔर ज्यामितीय अर्थ गणित पर किसी भी पाठ्यपुस्तक (सामग्री विश्लेषण, अंतर कलन) में भी पढ़े जा सकते हैं। मैं इस विषय पर उनकी सामग्री को संक्षेप में प्रस्तुत करता हूँ उसकी शारीरिक प्रकृति के बारे में:

व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ एक्स `(टी ) एक सतत कार्य से x (t) बिंदु t 0 पर फ़ंक्शन के मान में परिवर्तन की तात्कालिक दर है, बशर्ते कि तर्क में परिवर्तन Δ होटी शून्य हो जाता है.

और छात्रों को ये समझाना है भौतिक अर्थउदाहरण के लिए, शिक्षक ऐसा कर सकते हैं।

कल्पना कीजिए कि आप हवाई जहाज में उड़ रहे हैं और आपके हाथ में एक घड़ी है। जब आप उड़ते हैं, तो क्या आपकी गति हवाई जहाज की गति के बराबर होती है?, - शिक्षक दर्शकों को संबोधित करते हैं।

हाँ, छात्र उत्तर देते हैं।

और आपकी घड़ी पर समय के प्रत्येक क्षण में आपकी और विमान की गति क्या है?

हवाई जहाज की गति के बराबर गति!, - अच्छे और उत्कृष्ट छात्र एक स्वर में उत्तर देते हैं।

वास्तव में नहीं, शिक्षक कहते हैं। - गति, एक भौतिक अवधारणा के रूप में, समय की प्रति इकाई (उदाहरण के लिए, प्रति घंटा (किमी/घंटा)) यात्रा करने वाले विमान का पथ है, और जब आपने अपनी घड़ी को देखा, तो केवल एक क्षण बीता था। इस प्रकार, तात्कालिक गति (एक पल में तय की गई दूरी) उस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है जो समय में विमान के पथ का वर्णन करता है। तात्कालिक गति - यह व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ है।

1.3 किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणितीय अवधारणा के निर्माण के लिए पद्धति की कठोरता की समस्याएं।

ए श्रोताछात्र, नम्रतापूर्वक शिक्षा प्रणाली के आदी,तुरंत और पूरी तरह सेएक नियम के रूप में, संदिग्ध सत्य सीखने के बारे में शिक्षक से अधिक प्रश्न नहीं पूछे जाते हैं व्युत्पन्न की अवधारणा और भौतिक अर्थ. परंतु कोई जिज्ञासु, गहराई से तथा स्वतंत्र रूप से सोचने वाला व्यक्ति इसे एक कठोर वैज्ञानिक सत्य के रूप में आत्मसात नहीं कर सकता। वह निश्चित रूप से कई प्रश्न पूछेगा, जिसके लिए वह स्पष्ट रूप से किसी भी रैंक के शिक्षक से तर्कसंगत उत्तर की प्रतीक्षा नहीं करेगा। प्रश्न इस प्रकार हैं.

1. सटीक (सही, वैज्ञानिक, वस्तुनिष्ठ मूल्य, कारण सार) वाली "सटीक" विज्ञान - गणित की ऐसी अवधारणाएँ (अभिव्यक्तियाँ) हैं: क्षण - एक अतिसूक्ष्म मान, शून्य की अभीप्सा, अनंत की अभीप्सा, लघुता, अनन्तता, अभीप्सा? कैसे कर सकते हैं जानने केपरिवर्तन के परिमाण में कुछ इकाई, अज्ञात अवधारणाओं के साथ काम करना, जिसका कोई परिमाण नहीं है? अधिक महान अरस्तू (384-322 ईसा पूर्व) ने प्राचीन काल से "भौतिकी" ग्रंथ के चौथे अध्याय में प्रसारित किया: "यदि अनंत, क्योंकि यह अनंत है, अज्ञात है, तो मात्रा या परिमाण में अनंत अज्ञात है, यह कितना महान है, और प्रकार में अनंत अज्ञात है, इसकी गुणवत्ता क्या है। चूंकि शुरुआत मात्रा और परिमाण दोनों में अनंत है प्रकार में, फिर उनसे बनी चीज़ों को जानना असंभव है: आखिरकार, केवल तभी हम मानते हैं कि हमने जाना है जटिल बातजब हम यह पता लगाते हैं कि इसमें क्या और कितने [शुरुआत] शामिल हैं..." अरस्तू, "भौतिकी", 4 अध्याय..

2. कैसे कर सकते हैं व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ होता हैकुछ तात्कालिक गति के समान, यदि तात्कालिक गति एक भौतिक अवधारणा नहीं है, बल्कि गणित की एक बहुत ही सशर्त, "गलत" अवधारणा है, क्योंकि यह एक फ़ंक्शन की सीमा है, और सीमा एक सशर्त गणितीय अवधारणा है?

3. एक बिंदु की गणितीय अवधारणा, जिसमें केवल एक ही गुण होता है - निर्देशांक (कोई अन्य गुण नहीं: आकार, क्षेत्र, अंतराल) को व्युत्पन्न की गणितीय परिभाषा में एक बिंदु के पड़ोस की अवधारणा से क्यों प्रतिस्थापित किया जाता है, जो वास्तव में है एक अंतराल, केवल परिमाण में अनिश्चित। एक व्युत्पन्न की अवधारणा में, अवधारणाएं और मात्राएँ Δएक्स = एक्स 2 - एक्स 1, और एक्स 0।

4. सही ढंग से चाहे बिल्कुल भी भौतिक अर्थउन गणितीय अवधारणाओं की व्याख्या करें जिनका कोई भौतिक अर्थ नहीं है?

5. क्यों कारण (समारोह), कारण के आधार पर (तर्क, संपत्ति, पैरामीटर) स्वयं होना चाहिए अंतिम कंक्रीट को परिमाण में परिभाषित किया गया है आप LIMIT परिवर्तन (परिणाम) अनिश्चित काल तक छोटे होते हैं, कारण की भयावहता में कोई बड़ा परिवर्तन नहीं होता है?

6. गणित में ऐसे फलन हैं जिनका कोई व्युत्पन्न नहीं है (गैर-सुचारू विश्लेषण में गैर-विभेदीकरणीय फलन)। इसका मतलब यह है कि इन फ़ंक्शन में, जब इसका तर्क (इसका पैरामीटर, गुण) बदलता है, तो फ़ंक्शन (गणितीय वस्तु) नहीं बदलता है। लेकिन प्रकृति में ऐसी कोई वस्तु नहीं है जो अपने गुण बदलने पर नहीं बदलती। फिर, गणित ऐसे गणितीय मॉडल के उपयोग जैसी स्वतंत्रता क्यों दे सकता है जो ब्रह्मांड के मूलभूत कारण-और-प्रभाव संबंधों को ध्यान में नहीं रखता है?

मैं उत्तर दूंगा। प्रस्तावित, शास्त्रीय अवधारणा में जो गणित में मौजूद है - तात्कालिक गति, व्युत्पन्न, भौतिक और सामान्य रूप से वैज्ञानिक, कोई सही अर्थ नहीं है और इसके लिए उपयोग की जाने वाली अवधारणाओं की अवैज्ञानिक गलतता और अज्ञेयता के कारण नहीं हो सकता है! यह "अनंत" की अवधारणा में, और "तत्काल" की अवधारणा में, और "शून्य या अनंत की ओर प्रयास" की अवधारणा में मौजूद नहीं है।

लेकिन सच्चा, आधुनिक भौतिकी और गणित की ढीली अवधारणाओं (शून्य की प्रवृत्ति, अतिसूक्ष्म मान, अनंत, आदि) से मुक्त।

व्युत्पन्न फलन की अवधारणा का भौतिक अर्थ मौजूद है!

अब इसी पर चर्चा होगी.

1.4 व्युत्पत्ति का सच्चा भौतिक अर्थ और कारण संरचना।

भौतिक सार को समझने के लिए, गॉटफ्रीड लीबनिज़ (1646-1716) और उनके अनुयायियों द्वारा अभी भी लटकाए गए, "सदियों पुरानी नूडल्स की एक मोटी परत को कानों से हटा दें", किसी को, हमेशा की तरह, की पद्धति की ओर मुड़ना होगा ज्ञान और सख्त बुनियादी सिद्धांत। सच है, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रचलित सापेक्षवाद के कारण, वर्तमान में विज्ञान में इन सिद्धांतों का पालन नहीं किया जाता है।

मुझे संक्षेप में विषयांतर करने दीजिए।

गहराई से और ईमानदारी से विश्वास करने वाले आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्रीड लीबनिज के अनुसार, वस्तुओं को बदलना, उनके गुणों को बदलना, सर्वशक्तिमान की भागीदारी के बिना नहीं हुआ। किसी भी प्राकृतिक वैज्ञानिक द्वारा परिवर्तनशीलता के सर्वशक्तिमान स्रोत का अध्ययन उस समय एक शक्तिशाली चर्च द्वारा उत्पीड़न से भरा था और आत्म-संरक्षण उद्देश्यों के लिए नहीं किया गया था। लेकिन 19वीं शताब्दी में ही, प्राकृतिक वैज्ञानिकों ने इसका पता लगा लिया किसी भी वस्तु के गुणों में परिवर्तन का कारणात्मक सार - इंटरैक्शन. "बातचीत अपने पूर्ण विकास में स्थापित एक कारण संबंध है", प्रसिद्ध हेगेल (1770-1831) “निकटतम तरीके से, बातचीत पूर्वकल्पित, पारस्परिक रूप से कंडीशनिंग पदार्थों के पारस्परिक कारण के रूप में प्रकट होती है; प्रत्येक, दूसरे के सापेक्ष, सक्रिय और निष्क्रिय दोनों पदार्थ है। . एफ. एंगेल्स (1820-1895) ने निर्दिष्ट किया: “आधुनिक प्राकृतिक विज्ञान के दृष्टिकोण से, जब हम समग्र रूप से गतिमान (परिवर्तनशील) पदार्थ पर विचार करते हैं, तो अंतःक्रिया वह पहली चीज है जो हमारे सामने आती है... इस प्रकार, प्राकृतिक विज्ञान इस बात की पुष्टि करता है कि... वह अंतःक्रिया ही वास्तविक कारण है (अंतिम मूल कारण) चीजों का। हम इस अंतःक्रिया के ज्ञान से आगे नहीं जा सकते क्योंकि इसके पीछे जानने के लिए और कुछ नहीं है। फिर भी, परिवर्तनशीलता के मूल कारण से औपचारिक रूप से निपटने के बाद, 19वीं सदी के किसी भी प्रतिभाशाली व्यक्ति ने प्राकृतिक विज्ञान की इमारत का पुनर्निर्माण शुरू नहीं किया।परिणामस्वरूप, इमारत वैसी ही बनी रही - मौलिक "सड़ांध" के साथ। परिणामस्वरूप, प्राकृतिक विज्ञान (ऊर्जा, बल, द्रव्यमान, आवेश, तापमान, गति, गति, जड़ता, आदि) की अधिकांश बुनियादी अवधारणाओं में कारण संरचना (बातचीत) अभी भी गायब है। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणितीय अवधारणा- एक गणितीय मॉडल के रूप में वर्णन करता है " तात्कालिक परिवर्तन की मात्राकिसी वस्तु के कारण पैरामीटर में "असीम रूप से छोटे" परिवर्तन से।अंतःक्रियाओं का एक सिद्धांत जो ज्ञात चार मौलिक अंतःक्रियाओं (विद्युत चुम्बकीय, गुरुत्वाकर्षण, मजबूत, कमजोर) को भी जोड़ता है, अभी तक नहीं बनाया गया है। अब यह पहले से ही बहुत अधिक "काट दिया गया" है और हर जगह "जाम" रेंग रहे हैं। अभ्यास - सत्य की कसौटी, ऐसी इमारत पर बने सभी सैद्धांतिक मॉडलों को पूरी तरह से तोड़ देता है जो सार्वभौमिक और वैश्विक होने का दावा करते हैं। इसलिए, फिर भी, प्राकृतिक विज्ञान की इमारत का पुनर्निर्माण करना आवश्यक होगा, क्योंकि "तैरने" के लिए कहीं और नहीं है, विज्ञान लंबे समय से "पोक" विधि द्वारा विकसित हो रहा है - मूर्खतापूर्ण, महंगा और अप्रभावी। भविष्य की भौतिकी, 21वीं सदी और उसके बाद की शताब्दियों की भौतिकी, अंतःक्रियाओं की भौतिकी बननी चाहिए। और भौतिकी में एक नई मौलिक अवधारणा - "घटना-इंटरैक्शन" को पेश करना आवश्यक है।साथ ही, आधुनिक भौतिकी और गणित की बुनियादी अवधारणाओं और संबंधों के लिए एक बुनियादी आधार प्रदान किया जाता है, और केवल इस मामले में मूल सूत्र है"कॉसा फ़ाइनलिस" (अंतिम पहला कारण) FORMULA व्यवहार में काम आने वाले सभी बुनियादी सूत्रों को प्रमाणित करना। विश्व स्थिरांक का अर्थ और भी बहुत कुछ स्पष्ट किया गया है। और यह मैं तुम्हारे लिए हूँ प्रिय पाठक, मैं तुम्हें अभी दिखाता हूँ।

इसलिए, समस्या का निरूपण.

आइए इसकी रूपरेखा तैयार करें सामान्य शब्दों मेंनमूना। मान लीजिए कि अनुभूति की एक अमूर्त वस्तु, आकार और प्रकृति में संज्ञेय है (हम इसे निरूपित करते हैं)। यू) एक निश्चित प्रकृति (आयाम) और परिमाण वाला एक सापेक्ष पूर्णांक है। वस्तु और उसके गुण एक कारण व्यवस्था हैं। किसी वस्तु का मूल्य उसके गुणों, मापदंडों के मूल्य पर और आयाम में उनके आयाम पर निर्भर करता है। इसलिए, कारण पैरामीटर को - x द्वारा दर्शाया जाएगा, और खोजी पैरामीटर को - u द्वारा दर्शाया जाएगा। गणित में, इस तरह के कारण संबंध को औपचारिक रूप से इसके गुणों पर एक फ़ंक्शन (निर्भरता) द्वारा वर्णित किया जाता है - पैरामीटर यू = एफ (एक्स)। एक बदलते पैरामीटर (किसी ऑब्जेक्ट की संपत्ति) में फ़ंक्शन के मान में परिवर्तन होता है - एक सापेक्ष पूर्णांक। इसके अलावा, संपूर्ण (संख्या) का वस्तुनिष्ठ रूप से निर्धारित ज्ञात मूल्य उसके अलग-अलग हिस्से के संबंध में प्राप्त एक सापेक्ष मूल्य है (कुछ उद्देश्य के लिए आम तौर पर पूरे के एकल मानक को स्वीकार किया जाता है - यू एट, एक एकल मानक एक औपचारिक मूल्य है, लेकिन आम तौर पर एक वस्तुनिष्ठ तुलनात्मक माप के रूप में स्वीकार किया गया।

तब यू=के*यू मंजिल। पैरामीटर (संपत्ति) का उद्देश्य मान पैरामीटर (संपत्ति) के इकाई भाग (मानक) से संबंध है -एक्स= मैं* एक्स यह. पूर्णांक के आयाम और पैरामीटर के आयाम और उनके इकाई मानक समान नहीं हैं। कठिनाइयाँक , मैंयू और के संदर्भ मूल्यों के बाद से संख्यात्मक रूप से क्रमशः यू, एक्स के बराबर हैंएक्स यहअकेले हैं। इंटरैक्शन के परिणामस्वरूप, पैरामीटर बदलता है और इस कारण परिवर्तन के परिणामस्वरूप फ़ंक्शन (सापेक्ष संपूर्ण, ऑब्जेक्ट, सिस्टम) में परिवर्तन होता है।

परिभाषित करना आवश्यक हैऔपचारिक अंतःक्रियाओं पर वस्तु के परिवर्तन के परिमाण की सामान्य निर्भरता - इस परिवर्तन के कारण. समस्या का यह कथन सत्य, कारण, कारण (एफ. बेकन के अनुसार) सुसंगत, दृष्टिकोण को दर्शाता है अंतःक्रिया भौतिकी.

निर्णय और परिणाम.

अंतःक्रिया एक सामान्य विकासवादी तंत्र है - परिवर्तनशीलता का कारण। वास्तव में एक अंतःक्रिया (छोटी दूरी, लंबी दूरी) क्या है? क्योंकि सामान्य सिद्धांतपरस्पर क्रिया और वस्तुओं की परस्पर क्रिया का एक सैद्धांतिक मॉडल, प्राकृतिक विज्ञान में अनुरूप गुणों के वाहक अभी भी गायब हैं, हमें बनाना होगा(इस पर और अधिक)।लेकिन चूँकि विचारशील पाठक जानना चाहता है व्युत्पन्न के वास्तविक भौतिक सार के बारे मेंतुरंत और अभी, तब हम व्युत्पन्न के सार को समझने के लिए इस कार्य से केवल संक्षिप्त, लेकिन सख्त और आवश्यक निष्कर्ष निकालेंगे।

"कोई भी, यहां तक ​​कि वस्तुओं की सबसे जटिल बातचीत, समय और स्थान के ऐसे पैमाने पर प्रदर्शित की जा सकती है (समय में विस्तारित और एक समन्वय प्रणाली में इस तरह से प्रदर्शित) कि समय के प्रत्येक क्षण में, अंतरिक्ष में एक दिए गए बिंदु पर , केवल दो वस्तुएं, अनुरूप गुणों के दो वाहक, बातचीत करेंगे। और इस समय वे केवल अपने दो आनुपातिक गुणों के साथ बातचीत करेंगे।

« किसी भी वस्तु की एक निश्चित प्रकृति की किसी भी संपत्ति (पैरामीटर) के किसी भी (रैखिक, गैर-रैखिक) परिवर्तन को औपचारिक स्थान और समय के बाद, उसी प्रकृति की घटनाओं-अंतःक्रियाओं के परिणाम (परिणाम) के रूप में विघटित (प्रस्तुत) किया जा सकता है। क्रमशः, रैखिक या गैर-रैखिक (समान रूप से या असमान रूप से)। एक ही समय में, प्रत्येक प्राथमिक, एकल घटना-इंटरैक्शन (करीबी इंटरैक्शन) में, संपत्ति रैखिक रूप से बदलती है क्योंकि यह परिवर्तन के एकमात्र कारण के कारण होती है - एक प्राथमिक अनुरूप इंटरैक्शन (और इसलिए एक चर का एक कार्य होता है)। ... तदनुसार, किसी भी परिवर्तन (रैखिक या गैर-रैखिक), इंटरैक्शन के परिणामस्वरूप, औपचारिक स्थान और समय में रैखिक या गैर-रैखिक रूप से निम्नलिखित प्राथमिक रैखिक परिवर्तनों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

« इसी कारण से, किसी भी अंतःक्रिया को परिवर्तन क्वांटा (अविभाज्य रैखिक टुकड़े) में विघटित किया जा सकता है। किसी भी प्रकृति का एक प्राथमिक क्वांटम (आयाम) किसी दिए गए प्रकृति (आयाम) के अनुसार एक प्रारंभिक घटना-अंतःक्रिया का परिणाम होता है। क्वांटम का परिमाण और आयाम अंतःक्रियात्मक गुण के परिमाण और इस गुण की प्रकृति से निर्धारित होता है। उदाहरण के लिए, गेंदों की एक आदर्श, बिल्कुल लोचदार टक्कर के साथ (थर्मल और अन्य ऊर्जा हानियों को ध्यान में रखे बिना), गेंदें अपने संवेग (अनुरूप गुणों) का आदान-प्रदान करती हैं। एक गेंद की गति में परिवर्तन रैखिक ऊर्जा का एक हिस्सा है (इसे दिया गया है या इससे लिया गया है) - एक क्वांटम है जिसमें कोणीय गति का आयाम होता है। यदि निश्चित संवेग मान वाली गेंदें परस्पर क्रिया करती हैं, तो अंतःक्रिया के किसी भी देखे गए अंतराल पर प्रत्येक गेंद के कोणीय संवेग मान की स्थिति "अनुमत" मान होती है (क्वांटम यांत्रिकी के विचारों के अनुरूप)।»

भौतिक और गणितीय औपचारिकता में, यह आम तौर पर स्वीकार कर लिया गया है कि किसी भी समय और अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर (सरलता के लिए, आइए एक रैखिक, एक-निर्देशांक लें) किसी भी संपत्ति का एक मूल्य होता है जिसे लिखकर व्यक्त किया जा सकता है

(1)

आयाम कहां है.

यह रिकार्ड, अन्य बातों के अलावा, सार और है सम्मिश्र संख्या का गहरा भौतिक अर्थ, समतल पर एक बिंदु के रूप में, आम तौर पर स्वीकृत ज्यामितीय प्रतिनिधित्व (गॉस के अनुसार) से भिन्न..( टिप्पणी। लेखक)

बदले में, परिवर्तन का मापांक, जिसे (1) में दर्शाया गया है, बातचीत की घटनाओं को ध्यान में रखते हुए व्यक्त किया जा सकता है, जैसे

(2)

भौतिक अर्थप्राकृतिक विज्ञान के सबसे प्रसिद्ध संबंधों की एक बड़ी संख्या के लिए यह मूल, मूल सूत्र यह है कि समय के अंतराल पर और एक सजातीय रैखिक (एकल-समन्वय) स्थान के अंतराल पर, वहाँ थे - अनुरूप घटनाएँ-अल्प-सीमा समान प्रकृति की अंतःक्रियाएँ, समय और स्थान में उनके कार्यों के अनुसार अनुसरण करती हैं - अंतरिक्ष में घटनाओं का वितरण - और समय। प्रत्येक घटना कुछ में बदल गई। हम कह सकते हैं कि अंतरिक्ष और समय के एक निश्चित अंतराल पर परस्पर क्रिया की वस्तुओं की एकरूपता की उपस्थिति में, हम बात कर रहे हैं पैसे के बारे में प्राथमिक परिवर्तन का स्थिर, रैखिक, औसत मूल्य - व्युत्पन्न मूल्यपरिवर्तन की भयावहता पर , एक औपचारिक रूप से वर्णित फ़ंक्शन जो इंटरैक्शन माध्यम की विशेषता है और पर्यावरण और एक निश्चित प्रकृति (आयाम) की इंटरैक्शन प्रक्रिया की विशेषता बताता है। यह मानते हुए कि हो सकता है विभिन्न प्रकारअंतरिक्ष और समय में घटनाओं के वितरण कार्य, फिर चर स्थान-समय आयाम y हैं वितरण कार्यों के अभिन्न अंग के रूप मेंसमय में घटनाएँऔर स्थान , अर्थात् [समय - टी] और[निर्देशांक - x] k की घात तक हो सकता है(के - शून्य के बराबर नहीं)।

यदि हम पर्याप्त रूप से सजातीय वातावरण में, घटनाओं के बीच औसत समय अंतराल का मान - और घटनाओं के बीच औसत दूरी अंतराल का मान निर्दिष्ट करते हैं, तो हम लिख सकते हैं कि समय और स्थान के अंतराल में घटनाओं की कुल संख्या के बराबर है

(3)

यह मौलिक रिकार्ड(3) प्राकृतिक विज्ञान की बुनियादी अंतरिक्ष-समय की पहचान (मैक्सवेल के इलेक्ट्रोडायनामिक्स, हाइड्रोडायनामिक्स, तरंग सिद्धांत, हुक का नियम, ऊर्जा के लिए प्लैंक का सूत्र, आदि) के अनुरूप है और भौतिक और गणितीय निर्माणों की तार्किक शुद्धता का असली मूल कारण है। . यह प्रविष्टि (3) गणित में प्रसिद्ध "माध्य प्रमेय" के अनुरूप है। आइए (3) को ध्यान में रखते हुए (2) फिर से लिखें

(4) - समय अनुपात के लिए;

(5) - स्थानिक संबंधों के लिए.

इन समीकरणों (3-5) से यह निष्कर्ष निकलता है सामान्य विधिइंटरैक्शन:

किसी वस्तु (संपत्ति) में किसी भी परिवर्तन का मूल्य उसके अनुरूप घटनाओं-अंतःक्रियाओं (घनिष्ठ अंतःक्रियाओं) की संख्या के समानुपाती होता है जो इसका कारण बनती हैं। साथ ही, परिवर्तन की प्रकृति (समय और स्थान में निर्भरता का प्रकार) इन घटनाओं के समय और स्थान में अनुक्रम की प्रकृति से मेल खाती है।

हमें मिला प्राकृतिक विज्ञान के सामान्य बुनियादी अनुपातरैखिक स्थान और समय के मामले में, अनंत की अवधारणा, शून्य की आकांक्षाएं, तात्कालिक गति आदि से मुक्ति मिल गई है। इसी कारण से, असीम रूप से छोटे डीटी और डीएक्स के पदनामों का उपयोग नहीं किया जाता है। उनके स्थान पर परिमित Δti और ​​Δxi हैं . इन सामान्यीकरणों से (2-6) अनुसरण करें:

- व्युत्पन्न (अंतर) (4) और ग्रेडिएंट (5) का सामान्य भौतिक अर्थ, साथ ही "विश्व" स्थिरांक, एक एकल घटना के साथ फ़ंक्शन (ऑब्जेक्ट) के औसत (औसत) रैखिक परिवर्तन के मूल्यों के रूप में -अन्य वस्तुओं के आनुपातिक (समान प्रकृति के) गुणों के साथ एक निश्चित आयाम (प्रकृति) वाले तर्क (संपत्ति) की बातचीत। परिवर्तन की भयावहता और इसे शुरू करने वाली घटनाओं-इंटरैक्शन की संख्या का अनुपात वास्तव में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मूल्य है, जो इसकी संपत्ति पर वस्तु की कारण निर्भरता को दर्शाता है।

; (7) - फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

; (8) - फ़ंक्शन ग्रेडिएंट

- अभिन्न का भौतिक अर्थ,चूँकि फ़ंक्शन के मानों का योग तर्क द्वारा घटनाओं के दौरान बदलता है

; (9)

- परिमित वेतन वृद्धि के लिए लैग्रेंज प्रमेय की पुष्टि (प्रमाण और समझने योग्य भौतिक अर्थ)।(परिमित वेतन वृद्धि के सूत्र), कई मायनों में अंतर कलन के लिए मौलिक। रैखिक कार्यों और भावों में उनके अभिन्नों के मूल्यों के लिए (4)(5) और घटित होते हैं। तब

(10)

(10.1)

सूत्र (10.1) है वास्तव में परिमित वेतन वृद्धि के लिए लैग्रेंज का सूत्र [ 5].

किसी वस्तु को उसके गुणों (पैरामीटर) के एक सेट के साथ निर्दिष्ट करते समय, हम वस्तु की परिवर्तनशीलता के लिए उसके गुणों (पैरामीटर) की परिवर्तनशीलता के एक फ़ंक्शन के रूप में समान निर्भरता प्राप्त करते हैं और स्पष्ट करते हैं भौतिक किसी फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न का अर्थ कई परिवर्तनीय पैरामीटर।

(11)

टेलर फार्मूलाएक चर के एक फ़ंक्शन के लिए, जो शास्त्रीय भी बन गया है,

रूप है

(12)

किसी फ़ंक्शन (औपचारिक कारण प्रणाली) के एक श्रृंखला में अपघटन का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें इसका परिवर्तन बराबर होता है

एक ही प्रकृति की घटनाओं के सामान्य प्रवाह को विभिन्न निम्नलिखित विशेषताओं वाले उपप्रवाहों में विघटित करने के सिद्धांत के अनुसार घटकों में विघटित किया जाता है। प्रत्येक उपप्रवाह अंतरिक्ष या समय में घटनाओं के अनुक्रम की रैखिकता (गैर-रैखिकता) की विशेषता बताता है। यह है टेलर सूत्र का भौतिक अर्थ . इसलिए, उदाहरण के लिए, टेलर के सूत्र का पहला पद समय (स्थान) में रैखिक रूप से निम्नलिखित घटनाओं में परिवर्तन की पहचान करता है।

पर । दूसरा पर गैर-रैखिक अनुसरणघटनाएँ आदि देखना

- परिवर्तन की निरंतर दर (आंदोलन) का भौतिक अर्थ[एम/एस], जिसका अर्थ रैखिक रूप से निम्नलिखित घटनाओं के साथ एक मूल्य (निर्देशांक, पथ) के एकल रैखिक विस्थापन (परिवर्तन, वृद्धि) का है।

(13)

इस कारण से, गति औपचारिक रूप से चुनी गई समन्वय प्रणाली या समय अंतराल पर एक कारण निर्भरता नहीं है। वेग घटनाओं के समय और स्थान में उत्तराधिकार कार्य (वितरण) पर एक अनौपचारिक निर्भरता है जिससे निर्देशांक में परिवर्तन होता है।

(14)

और किसी भी जटिल आंदोलन को घटकों में विघटित किया जा सकता है, जहां प्रत्येक घटक निम्नलिखित रैखिक या गैर-रैखिक घटनाओं पर निर्भर होता है। इस कारण से, बिंदु गतिकी (बिंदु समीकरण) का विस्तार लैग्रेंज या टेलर सूत्र के अनुसार किया जाता है।

यह तब होता है जब घटनाओं का रैखिक अनुक्रम गैर-रैखिक में बदल जाता है कि गति त्वरण बन जाती है।

- त्वरण का भौतिक अर्थ- , एकल विस्थापन के संख्यात्मक रूप से बराबर मूल्य के रूप में, इस विस्थापन का कारण बनने वाली घटनाओं-अंतःक्रियाओं के गैर-रैखिक उत्तराधिकार के साथ . वहीं, या . साथ ही, घटनाओं के गैर-रैखिक उत्तराधिकार के मामले में कुल विस्थापन (घटनाओं के उत्तराधिकार की दर में रैखिक परिवर्तन के साथ) के बराबर होती है (15)- सूत्र से ज्ञात होता है स्कूल की बेंच

- किसी वस्तु के मुक्त गिरावट त्वरण का भौतिक अर्थ- , एक स्थिर मूल्य के रूप में, संख्यात्मक रूप से वस्तु पर कार्य करने वाले रैखिक बल के अनुपात के बराबर (वास्तव में, तथाकथित "तात्कालिक" रैखिक विस्थापन), पर्यावरण के साथ बाद की घटनाओं-बातचीत की गैर-रैखिक संख्या से संबंधित है औपचारिक समय में, इस बल का कारण बनता है।

तदनुसार, संख्या के बराबर मान गैर-रैखिक अनुसरणघटनाएँ, या संबंध - नाम प्राप्त हुआ शरीर का वजन , और मूल्य - शरीर का वजन , आराम की स्थिति में शरीर पर (आधार पर) कार्य करने वाली शक्तियों के रूप में।आइए हम उपरोक्त को स्पष्ट करें, क्योंकि व्यापक रूप से प्रयुक्त, द्रव्यमान की मौलिक भौतिक अवधारणा आधुनिक भौतिकी किसी भी अंतःक्रिया से कारणात्मक रूप से संरचित नहीं है। और भौतिकी पिंडों के अंदर कुछ प्रतिक्रियाओं (भौतिक अंतःक्रियाओं) के दौरान उनके द्रव्यमान में परिवर्तन के तथ्यों को जानता है। उदाहरण के लिए, रेडियोधर्मी क्षय के दौरान, पदार्थ का कुल द्रव्यमान कम हो जाता है।जब कोई पिंड पृथ्वी की सतह के सापेक्ष आराम की स्थिति में होता है, तो एक ढाल (अन्यथा गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र कहा जाता है) के साथ एक अमानवीय माध्यम के साथ इस शरीर के कणों की घटनाओं-अंतःक्रियाओं की कुल संख्या नहीं बदलती है। और इसका मतलब यह है कि शरीर पर कार्य करने वाला बल नहीं बदलता है, और जड़त्वीय द्रव्यमान शरीर की वस्तुओं और पर्यावरण की वस्तुओं पर होने वाली घटनाओं की संख्या के समानुपाती होता है, जो बल के उसके निरंतर त्वरण के अनुपात के बराबर होता है। .

जब कोई पिंड गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गति करता है (गिरता है), तो उस पर लगने वाले परिवर्तनशील बल और घटनाओं की बदलती संख्या का अनुपात भी स्थिर रहता है और अनुपात - गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान से मेल खाता है. यह संकेत करता है जड़त्वीय और गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान की विश्लेषणात्मक पहचान. जब कोई पिंड गैर-रैखिक रूप से, लेकिन क्षैतिज रूप से पृथ्वी की सतह पर (पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की गोलाकार सुसज्जित सतह के साथ) चलता है, तो इस प्रक्षेपवक्र में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का कोई ढाल नहीं होता है। लेकिन शरीर पर कार्य करने वाला कोई भी बल शरीर को गति देने और धीमा करने वाली घटनाओं की संख्या के समानुपाती होता है। यानी मामले में क्षैतिज गति, शरीर की गति का कारण बस बदल जाता है। और घटनाओं की एक गैर-रैखिक रूप से बदलती संख्या शरीर को त्वरण देती है और (न्यूटन का दूसरा नियम)। घटनाओं के एक रैखिक अनुक्रम (त्वरित और मंद दोनों) के साथ, शरीर की गति स्थिर होती है और भौतिक मात्रा, घटनाओं के ऐसे अनुक्रम के साथ, में भौतिकी को संवेग कहा जाता है.

- कोणीय गति का भौतिक अर्थ, समय के साथ रैखिक रूप से होने वाली घटनाओं के प्रभाव में शरीर की गति के रूप में।

(16)

- विद्युत आवेश का भौतिक अर्थ क्षेत्र में पेश की गई वस्तु, क्षेत्र के बिंदु पर "आवेशित" वस्तु (लोरेंत्ज़ बल) पर कार्य करने वाले बल और क्षेत्र के बिंदु के आवेश के मूल्य के अनुपात के रूप में। बल के लिए क्षेत्र में प्रस्तुत वस्तु और क्षेत्र की वस्तु के आनुपातिक गुणों की परस्पर क्रिया का परिणाम है। परस्पर क्रिया दोनों के इन आनुपातिक गुणों के परिवर्तन में व्यक्त होती है। प्रत्येक एकल इंटरैक्शन के परिणामस्वरूप, वस्तुएं अपने परिवर्तनों के मॉड्यूल का आदान-प्रदान करती हैं, एक-दूसरे को बदलती हैं, जो कि अंतरिक्ष के अंतराल पर अभिनय बल के व्युत्पन्न के रूप में, उन पर कार्य करने वाले "तात्कालिक" बल का मूल्य है। लेकिन आधुनिक भौतिकी में, क्षेत्र, एक विशेष प्रकार का पदार्थ, दुर्भाग्य से, कोई चार्ज नहीं होता है (इसमें चार्ज वाहक वस्तुएं नहीं होती हैं), लेकिन इसकी एक अलग विशेषता होती है - अंतराल पर तनाव (क्षमता (चार्ज) में अंतर) एक निश्चित शून्य में)। इस प्रकार, शुल्कइसके परिमाण से पता चलता है कि किसी आवेशित वस्तु पर कार्य करने वाला बल किसी दिए गए बिंदु पर क्षेत्र की ताकत ("तात्कालिक" बल से) से कितनी बार भिन्न होता है। (17)

तब वस्तु का धनात्मक आवेश- इसे फ़ील्ड बिंदु के चार्ज से पूर्ण मान (बड़े) में अधिक चार्ज के रूप में देखा जाता है, और नकारात्मक - फ़ील्ड बिंदु के चार्ज से कम होता है। इसका तात्पर्य प्रतिकर्षण और आकर्षण की शक्तियों के संकेतों में अंतर से है. जो "प्रतिकर्षण - आकर्षण" के अभिनय बल के लिए एक दिशा की उपस्थिति निर्धारित करता है। यह पता चला है कि चार्ज मात्रात्मक रूप से घटनाओं-इंटरैक्शन की संख्या के बराबर है जो इसे प्रत्येक घटना में क्षेत्र की ताकत के परिमाण से बदलता है।आवेश का परिमाण, संख्या (मूल्य) की अवधारणा के अनुसार, एक संदर्भ, इकाई, परीक्षण आवेश - के साथ एक संबंध है। यहाँ से . जब चार्ज चलता है, जब घटनाएं रैखिक रूप से चलती हैं (क्षेत्र सजातीय है), अभिन्न, और जब सजातीय क्षेत्र चार्ज के सापेक्ष चलता है। इसलिए भौतिकी के ज्ञात संबंध ;

- विद्युत क्षेत्र की ताकत का भौतिक अर्थ, आवेशित वस्तु पर लगने वाले बल और आवेशित माध्यम के साथ आवेशित वस्तु की चल रही घटनाओं-अंतःक्रियाओं की संख्या के अनुपात के रूप में। विद्युत क्षेत्र की एक स्थिर विशेषता होती है। यह लोरेंत्ज़ बल के समन्वय के संबंध में व्युत्पन्न भी है।विद्युत क्षेत्र की ताकत- यह एक भौतिक मात्रा है जो संख्यात्मक रूप से एक आवेशित पिंड और एक क्षेत्र (आवेशित माध्यम) की एकल घटना-अंतःक्रिया () में एक इकाई आवेश पर कार्य करने वाले बल के बराबर होती है।

(18)

-विभव, धारा, वोल्टेज और प्रतिरोध का भौतिक अर्थ (इलेक्ट्रिकल कंडक्टीविटी)।

आवेश के परिमाण में परिवर्तन के संबंध में

(19)

(20)

(21)

इसे फ़ील्ड बिंदु की क्षमता कहा जाता है और इसे किसी दिए गए फ़ील्ड बिंदु की ऊर्जा विशेषता के रूप में लिया जाता है, लेकिन वास्तव में यह फ़ील्ड बिंदु का चार्ज है, जो परीक्षण (संदर्भ) चार्ज के एक कारक से भिन्न होता है। या: । क्षेत्र में प्रविष्ट आवेश और क्षेत्र के बिंदु के आवेश की परस्पर क्रिया के दौरान, आनुपातिक गुणों - आवेशों का आदान-प्रदान होता है। विनिमय एक ऐसी घटना है जिसका वर्णन इस प्रकार किया गया है कि "लोरेंत्ज़ बल क्षेत्र में लाए गए आवेश पर कार्य करता है", जो आवेश में परिवर्तन के परिमाण के पूर्ण मान के साथ-साथ क्षेत्र बिंदु की क्षमता में सापेक्ष परिवर्तन के परिमाण के बराबर है। . जब कोई आवेश पृथ्वी के क्षेत्र में प्रविष्ट किया जाता है, अंतिम परिवर्तनपृथ्वी के क्षेत्र में एक बिंदु के कुल आवेश के विशाल मूल्य की तुलना में इस परिवर्तन की सापेक्ष लघुता के कारण इसे उपेक्षित किया जा सकता है।

(20) से यह ध्यान देने योग्य है कि वर्तमान (आई) एक समय अंतराल पर चार्ज परिवर्तन की परिमाण का समय व्युत्पन्न है, जो चार्ज के साथ एक घटना-इंटरैक्शन (छोटी दूरी की बातचीत) में परिमाण में चार्ज को बदलता है। मध्यम (क्षेत्र बिंदु)।

* अब तक, भौतिकी में, यह माना जाता है कि यदि: किसी कंडक्टर का क्रॉस सेक्शन क्षेत्र S का है, तो प्रत्येक कण का चार्ज q 0 के बराबर है, और कंडक्टर का आयतन, क्रॉस सेक्शन 1 और 2 और लंबाई द्वारा सीमित है (), में कण होते हैं, जहां n कणों की सांद्रता है। इतना है कुल चार्ज. यदि कण औसत गति v के साथ एक ही दिशा में चलते हैं, तो समय के साथ विचाराधीन आयतन में संलग्न सभी कण क्रॉस सेक्शन 2 से गुजरेंगे। इसलिए, वर्तमान ताकत है

.

जो उसी, हम अपने पद्धतिगत सामान्यीकरण (3-6) के मामले में कह सकते हैं, केवल कणों की संख्या के बजाय, हमें घटनाओं की संख्या कहनी चाहिए, जो अर्थ में अधिक सत्य है, क्योंकि बहुत अधिक आवेशित कण (घटनाएँ) हैं किसी चालक में, उदाहरण के लिए, किसी धातु में इलेक्ट्रॉनों की तुलना में। फॉर्म में निर्भरता दोबारा लिखी जाएगी , इसलिए, में फिर एक बार(3-6) की वैधता और इस कार्य के अन्य सामान्यीकरणों की पुष्टि की जाती है।

एक सजातीय क्षेत्र के दो बिंदु, अंतरिक्ष में अलग-अलग दूरी पर, अलग-अलग क्षमता (आवेश) वाले होते हैं, जिनमें एक दूसरे के सापेक्ष संभावित ऊर्जा होती है, जो संख्यात्मक रूप से क्षमता को एक मान से बदलने के कार्य के बराबर होती है। यह उनके अंतर के बराबर है.

. (22)

अन्यथा, कोई सही ढंग से समीकरण करके ओम का नियम लिख सकता है

. (23)

इस मामले में प्रतिरोध कहां है, जो आवेश के परिमाण को बदलने के लिए आवश्यक घटनाओं की संख्या को दर्शाता है, बशर्ते कि प्रत्येक घटना में आवेश तथाकथित "तात्कालिक" धारा के निरंतर मूल्य से बदल जाएगा, जो कि गुणों पर निर्भर करता है। कंडक्टर। इससे यह पता चलता है कि करंट मात्रा और वोल्टेज की अवधारणा का समय व्युत्पन्न है। यह याद रखना चाहिए कि एसआई इकाइयों में, विद्युत चालकता को सीमेंस में आयाम के साथ व्यक्त किया जाता है: सेमी \u003d 1 / ओम \u003d एम्पीयर / वोल्ट \u003d किग्रा -1 मीटर -2 एस ³ए². भौतिकी में प्रतिरोध विद्युत चालकता (सामग्री के एक इकाई खंड का प्रतिरोध) और कंडक्टर की लंबाई के उत्पाद का व्युत्क्रम है। जिसे (सामान्यीकरण के अर्थ में (3-6)) इस प्रकार लिखा जा सकता है

(24)

- चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण का भौतिक अर्थ. अनुभवजन्य रूप से, यह पाया गया कि वर्तमान-ले जाने वाले कंडक्टर (एम्पीयर बल) पर कार्य करने वाले बल के मापांक के अधिकतम मूल्य का वर्तमान ताकत - I से कंडक्टर की लंबाई - l का अनुपात, वर्तमान ताकत पर निर्भर नहीं करता है न ही कंडक्टर में, न ही कंडक्टर की लंबाई पर। इसे उस स्थान पर चुंबकीय क्षेत्र की विशेषता के रूप में लिया गया जहां कंडक्टर स्थित है - चुंबकीय क्षेत्र का प्रेरण, क्षेत्र की संरचना के आधार पर एक मूल्य - जो कि से मेल खाता है

(25)

और तब से ।

जब हम फ्रेम को चुंबकीय क्षेत्र में घुमाते हैं, तो सबसे पहले हम फ्रेम की आवेशित वस्तुओं और क्षेत्र की आवेशित वस्तुओं की घटनाओं-अंतःक्रियाओं की संख्या बढ़ाते हैं। इससे फ्रेम के घूमने की गति और फ्रेम के पास क्षेत्र की ताकत पर ईएमएफ और फ्रेम में करंट की निर्भरता का पता चलता है। हम फ़्रेम को रोकते हैं - कोई इंटरैक्शन नहीं है - कोई करंट नहीं है। जेड घूमना (परिवर्तन)फ़ील्ड - करंट फ्रेम में चला गया।

- तापमान का भौतिक अर्थ.आज भौतिकी में तापमान मापने की अवधारणा बिल्कुल तुच्छ नहीं है। एक केल्विन पानी के त्रिक बिंदु के थर्मोडायनामिक तापमान के 1/273.16 के बराबर है। पैमाने की शुरुआत (0 K) परम शून्य से मेल खाती है। डिग्री सेल्सियस में रूपांतरण: ° С \u003d K -273.15 (पानी के त्रिक बिंदु का तापमान 0.01 ° C है)।
2005 में, केल्विन की परिभाषा को परिष्कृत किया गया। आईटीएस-90 पाठ के अनिवार्य तकनीकी अनुबंध में, थर्मोमेट्री पर सलाहकार समिति ने पानी के त्रिक बिंदु के तापमान के कार्यान्वयन पर पानी की समस्थानिक संरचना के लिए आवश्यकताओं की स्थापना की।

फिर भी, तापमान की अवधारणा का भौतिक अर्थ और सारबहुत आसान और स्पष्ट. तापमान, अपने सार में, पदार्थ के अंदर होने वाली घटनाओं-अंतःक्रियाओं का परिणाम है जिनके "आंतरिक" और "बाहरी" दोनों कारण होते हैं। अधिक घटनाएँ - अधिक तापमान, कम घटनाएँ- कम तापमान. इसलिए कई रासायनिक प्रतिक्रियाओं में तापमान परिवर्तन की घटना होती है। पी. एल. कपित्सा भी कहते थे "...तापमान का माप स्वयं गति नहीं है, बल्कि इस गति की यादृच्छिकता है। शरीर की स्थिति की यादृच्छिकता इसकी तापमान स्थिति निर्धारित करती है, और यह विचार (जो पहली बार बोल्ट्ज़मैन द्वारा विकसित किया गया था) कि एक निश्चित तापमान स्थिति शरीर की गति बिल्कुल भी गति की ऊर्जा से नहीं, बल्कि इस गति की यादृच्छिकता से निर्धारित होती है, और यह तापमान घटना के वर्णन में वह नई अवधारणा है, जिसका हमें उपयोग करना चाहिए ... " (1978 के नोबेल पुरस्कार विजेता पेट्र लियोनिदोविच कपित्सा की रिपोर्ट "तरल हीलियम के गुण", सम्मेलन में पढ़ी गई "समस्याएँ आधुनिक विज्ञान"21 दिसंबर, 1944 को मॉस्को विश्वविद्यालय में)
अराजकता की माप के अंतर्गत संख्या की मात्रात्मक विशेषता को समझना चाहिए घटना-बातचीत पदार्थ के एक इकाई आयतन में प्रति इकाई समय - इसका तापमान. यह कोई संयोग नहीं है कि वज़न और माप के लिए अंतर्राष्ट्रीय समिति "पानी के ट्रिपल पॉइंट" की कठिन-से-पुनः उत्पन्न स्थितियों से छुटकारा पाने के लिए 2011 में केल्विन (तापमान का एक माप) की परिभाषा को बदलने जा रही है। नई परिभाषा में, केल्विन को दूसरे और बोल्ट्ज़मान स्थिरांक के मान के रूप में व्यक्त किया जाएगा।जो बिल्कुल इस कार्य के मूल सामान्यीकरण (3-6) से मेल खाता है। इस मामले में, बोल्ट्ज़मान स्थिरांक एक घटना के दौरान पदार्थ की एक निश्चित मात्रा की स्थिति में परिवर्तन को व्यक्त करता है (देखें, व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ), और समय का परिमाण और आयाम एक समय अंतराल में घटनाओं की संख्या को दर्शाता है . इससे एक बार फिर ये बात साबित होती है तापमान की कारण संरचना - घटनाएँ-अंतःक्रियाएँ।घटनाओं-अंतःक्रियाओं के परिणामस्वरूप, प्रत्येक घटना में वस्तुएँ गतिज ऊर्जा (गेंदों की टक्कर में आवेगों के क्षण) का आदान-प्रदान करती हैं, और माध्यम अंततः थर्मोडायनामिक संतुलन (थर्मोडायनामिक्स का पहला नियम) प्राप्त कर लेता है।

- ऊर्जा और शक्ति का भौतिक अर्थ.

आधुनिक भौतिकी में, ऊर्जा E का एक अलग आयाम (प्रकृति) है। कितनी प्रकृतियाँ, कितनी ऊर्जाएँ। उदाहरण के लिए:

बल को लंबाई से गुणा किया गया (E ≈ F l≈N*m);

दबाव समय मात्रा (ई ≈ पी वी≈एन*एम 3 /एम 2 ≈एन*एम);

आवेग को गति से गुणा किया जाता है (E ≈ p v≈kg * m / s * m / s ≈ (N * s 2) / m * (m / s * m / s) ≈ N * m);

द्रव्यमान गति के वर्ग का गुणा (E ≈ m v 2 ≈N*m);

करंट को वोल्टेज (E ≈ I U ≈) से गुणा किया जाता है

इन रिश्तों से ऊर्जा की एक परिष्कृत अवधारणा और ऊर्जा, घटनाओं और परिवर्तन के एकल मानक (माप की इकाई) के साथ संबंध का पता चलता है।

ऊर्जा, - एक ही आयाम की घटनाओं-अंतःक्रियाओं के प्रभाव में पदार्थ के किसी भी भौतिक पैरामीटर में परिवर्तन की एक मात्रात्मक विशेषता है, जो इस परिवर्तन का कारण बनती है। अन्यथा, हम कह सकते हैं कि ऊर्जा एक मात्रात्मक विशेषता है जो कुछ समय के लिए (कुछ दूरी पर) बाहरी अभिनय बल की संपत्ति पर लागू होती है। ऊर्जा का परिमाण (संख्या) एक निश्चित प्रकृति के परिवर्तन के परिमाण और इस प्रकृति की ऊर्जा के औपचारिक, आम तौर पर स्वीकृत मानक का अनुपात है। ऊर्जा का आयाम ऊर्जा के औपचारिक, आम तौर पर स्वीकृत मानक का आयाम है। कारणतः, ऊर्जा का परिमाण और आयाम, समय और स्थान में इसका परिवर्तन, औपचारिक रूप से मानक और मानक के आयाम के संबंध में परिवर्तन के कुल परिमाण पर निर्भर करता है, और अनौपचारिक रूप से घटनाओं के अनुक्रम की प्रकृति पर निर्भर करता है।

परिवर्तन का कुल मूल्य - उन घटनाओं-अंतःक्रियाओं की संख्या पर निर्भर करता है जो एक घटना में कुल परिवर्तन के मूल्य को - औसत इकाई बल - व्युत्पन्न मूल्य से बदल देते हैं।

एक निश्चित प्रकृति (आयाम) की ऊर्जा का मानक सामान्य अवधारणा के अनुरूप होना चाहिए मानक (विलक्षणता, समानता, अपरिवर्तनीयता), अंतरिक्ष-समय में घटना अनुक्रम फ़ंक्शन का आयाम और परिवर्तित मान है।

ये अनुपात, वास्तव में, पदार्थ में किसी भी परिवर्तन की ऊर्जा के लिए सामान्य हैं।

ताकत के बारे में.और मूल्य यावास्तव में, वही "तात्कालिक" बल है जो ऊर्जा को बदलता है।

. (26)

इस प्रकार, के अंतर्गत सामान्य सिद्धांतजड़ता को एकल घटना-अंतःक्रिया की क्रिया के तहत ऊर्जा में प्राथमिक सापेक्ष परिवर्तन के मूल्य के रूप में समझा जाना चाहिए (बल के विपरीत, अंतराल की परिमाण के साथ सहसंबद्ध नहीं है, लेकिन क्रिया के अपरिवर्तनीयता के अंतराल की अनुमानित उपस्थिति), जिसमें अगली घटना तक इसकी अपरिवर्तनीयता का वास्तविक समय अंतराल (अंतरिक्ष का अंतराल) होता है।

एक अंतराल इस और अगले तुलनीय घटनाओं-बातचीत की शुरुआत के समय में दो बिंदुओं या अंतरिक्ष में घटनाओं के दो बिंदु-निर्देशांक के बीच का अंतर है।

जड़ताऊर्जा का आयाम है, क्योंकि ऊर्जा घटनाओं-अंतःक्रियाओं की क्रिया के तहत समय में जड़ता के मूल्यों का अभिन्न योग है। ऊर्जा परिवर्तन की मात्रा जड़त्व के योग के बराबर होती है

(27)

अन्यथा, हम कह सकते हैं कि वें इवेंट-इंटरैक्शन द्वारा एक अमूर्त संपत्ति को प्रदान की गई जड़ता संपत्ति परिवर्तन की ऊर्जा है, जिसमें अगले इवेंट-इंटरैक्शन तक कुछ समय के लिए अपरिवर्तनीयता थी;

- समय का भौतिक अर्थ परिवर्तन की अवधि (अपरिवर्तनीय) के परिमाण को जानने के एक औपचारिक तरीके के रूप में, अवधि के औपचारिक मानक की तुलना में अवधि के परिमाण को मापने के एक तरीके के रूप में, परिवर्तन की अवधि (अवधि, अवधि) के माप के रूप में

और अब प्राकृतिक विज्ञान की इस मूल अवधारणा की व्याख्या के बारे में कई अटकलों को रोकने का समय आ गया है।

- समन्वय स्थान का भौतिक अर्थ , परिवर्तन के मूल्यों (मापों) के रूप में (पथ, दूरियाँ),

(32)

जिसमें अंतरिक्ष के औपचारिक, एकात्मक मानक (निर्देशांक) का आयाम और अंतरिक्ष में घटनाओं के उत्तराधिकार के कार्य के अभिन्न अंग के रूप में समन्वय का मूल्य है के बराबर कुलअंतराल पर मानकों का समन्वय करें। मापते समय, समन्वय को सुविधा के लिए रैखिक रूप से बदला जाता है एकीकृतएक फ़ंक्शन, जिसका अभिन्न अंग इकाई निर्देशांक के औपचारिक रूप से चुने गए संदर्भ अंतराल की संख्या के बराबर है;

- सभी बुनियादी का भौतिक अर्थ भौतिक गुण(पैरामीटर) इसके साथ प्राथमिक अनुरूप बातचीत के दौरान एक माध्यम के गुणों को दर्शाते हैं (ढांकता हुआ और चुंबकीय पारगम्यता, प्लैंक स्थिरांक, घर्षण और सतह तनाव के गुणांक, विशिष्ट गर्मी, विश्व स्थिरांक, आदि)।

इस प्रकार, नई निर्भरताएँ प्राप्त होती हैं जिनमें अंकन का एक ही मूल रूप और एक पद्धतिगत रूप से समान कारण अर्थ होता है। और यह कारणात्मक अर्थ प्राकृतिक विज्ञान में एक वैश्विक भौतिक सिद्धांत - "घटना-अंतःक्रिया" की शुरूआत के साथ प्राप्त होता है।

यहाँ, प्रिय पाठक, सबसे सामान्य शब्दों में क्या होना चाहिए भौतिक अर्थ और निश्चितता से संपन्न एक नया गणित और 21वीं सदी की नई अंतःक्रिया भौतिकी , अप्रासंगिक, निश्चितता, आकार और आयाम और इसलिए सामान्य ज्ञान अवधारणाओं के झुंड से मुक्त हो गया। ऐसे, उदाहरण के लिए, कैसे शास्त्रीय व्युत्पन्न और तात्कालिक वेग - बहुत कम समानता होना भौतिक अवधारणारफ़्तार. कैसे जड़ता की अवधारणा - गति बनाए रखने के लिए निकायों की एक निश्चित क्षमता ... कैसे जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली (आईएसओ) , जिसका इससे कोई लेना-देना नहीं है संदर्भ के एक फ्रेम की अवधारणा(सीओ). ISO के लिए, सामान्य संदर्भ फ़्रेम ऑफ़ रेफरेंस (CO) के विपरीत गति (परिवर्तन) के परिमाण के ज्ञान की कोई वस्तुनिष्ठ प्रणाली नहीं है।आईएसओ के सापेक्ष, इसकी परिभाषा के अनुसार, पिंड केवल आराम करते हैं या एक सीधी रेखा में या समान रूप से चलते हैं। और कई अन्य बातें भी जिन्हें कई सदियों से अटल सत्य के रूप में मूर्खतापूर्ण तरीके से दोहराया गया है। ये छद्म सत्य, जो बुनियादी हो गए हैं, अब मौलिक रूप से, लगातार और सक्षम नहीं हैं कारणतः सामान्य निर्भरता के साथ वर्णन करें ब्रह्मांड की असंख्य घटनाएं, प्रकृति के समान नियमों के अनुसार विद्यमान और बदलती रहती हैं।

1. साहित्य।

1. हेगेल जी.डब्ल्यू.एफ. दार्शनिक विज्ञान का विश्वकोश: 3 खंडों में, खंड 1: तर्कशास्त्र का विज्ञान। एम., 197 3

2. हेगेल जी.डब्ल्यू.एफ. , सोच., खंड 5, एम., 1937, पृ. 691.

3. एफ. एंगेल्स. पीएसएस. वी. 20, पृ. 546.

1.1 भौतिकी की कुछ समस्याएँ 3

2. व्युत्पन्न

2.1 कार्य परिवर्तन दर 6

2.2 व्युत्पन्न फलन 7

2.3 पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 8

2.4 व्युत्पत्ति का ज्यामितीय अर्थ 10

2.5 कार्यों का विभेदन

2.5.1 अंकगणितीय संक्रियाओं के परिणामों में अंतर करना 12

2.5.2 सम्मिश्र तथा का विभेदन उलटा कार्य 13

2.6 पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित कार्यों के व्युत्पन्न 15

3. विभेदक

3.1 विभेदक एवं उसका ज्यामितीय अर्थ 18

3.2 विभेदक गुण 21

4। निष्कर्ष

4.1 परिशिष्ट 1. 26

4.2 परिशिष्ट 2. 29

5. प्रयुक्त साहित्य की सूची 32

1 परिचय

1.1भौतिकी की कुछ समस्याएँ।सरल भौतिक घटनाओं पर विचार करें: सीधी रेखा गति और रैखिक द्रव्यमान वितरण। इनका अध्ययन करने के लिए क्रमशः गति की गति और घनत्व का परिचय दिया जाता है।

आइए हम गति की गति और संबंधित अवधारणाओं जैसी घटना का विश्लेषण करें।

शरीर को एक सीधी रेखा में चलने दें और हमें दूरी पता चल जाएगी , प्रत्येक के लिए शरीर द्वारा पारित किया गया समय दिया गया , अर्थात हम दूरी को समय के फलन के रूप में जानते हैं:

समीकरण
बुलाया गति का समीकरणऔर वह रेखा जो इसे परिभाषित करती है धुरी प्रणाली में
- आंदोलन अनुसूची.

समय अंतराल के दौरान शरीर की गति पर विचार करें
किसी क्षण से क्षण तक
. समय में, शरीर ने एक पथ की यात्रा की है, और समय में, एक पथ पर
. तो, समय की इकाइयों में इसने एक दूरी तय की है

.

यदि गति एकसमान है, तो एक रैखिक कार्य है:

इस मामले में
, और संबंध
दिखाता है कि समय की प्रति इकाई पथ की कितनी इकाइयाँ हैं; साथ ही, यह स्थिर रहता है, चाहे समय का कोई भी क्षण क्यों न हो लिया जाता है, इस पर नहीं कि समय की कितनी वृद्धि की जाती है . यह एक स्थायी रवैया है बुलाया एकसमान गति.

लेकिन यदि गति असमान है, तो अनुपात निर्भर करता है

से , और से । इसे समय अंतराल में गति की औसत गति कहा जाता है को और द्वारा निरूपित किया गया :

समय के इस अंतराल के दौरान, समान दूरी तय करने के साथ, गति सबसे विविध तरीकों से हो सकती है; ग्राफ़िक रूप से, यह इस तथ्य से स्पष्ट होता है कि समतल पर दो बिंदुओं के बीच (अंक
अंजीर में. 1) आप विभिन्न प्रकार की रेखाएँ खींच सकते हैं
- एक निश्चित समय अंतराल में गतियों के ग्राफ, और ये सभी विभिन्न गतियाँ एक ही औसत गति के अनुरूप होती हैं।

विशेष रूप से, बिंदुओं के बीच एक सीधी रेखा से होकर जाता है
, जो अंतराल में वर्दी का ग्राफ है
आंदोलन। तो औसत गति दिखाता है कि एक ही समय अंतराल में गुजरने के लिए आपको कितनी तेजी से समान रूप से आगे बढ़ने की आवश्यकता है समान दूरी
.

वही छोड़ रहा हूँ , आइए कम करें. परिवर्तित अंतराल के लिए औसत गति की गणना की गई
, दिए गए अंतराल के अंदर झूठ बोलना, निश्चित रूप से, से भिन्न हो सकता है; पूरे अंतराल में . इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि औसत गति को गति की संतोषजनक विशेषता नहीं माना जा सकता है: यह (औसत गति) उस अंतराल पर निर्भर करती है जिसके लिए गणना की जाती है। इस तथ्य के आधार पर कि अंतराल में औसत गति आंदोलन को जितना बेहतर ढंग से चित्रित किया जाए, उतना ही कम माना जाना चाहिए , आइए इसे शून्य पर ले जाएं। यदि उसी समय औसत गति की कोई सीमा हो तो उसे अंदर जाने की गति के रूप में लिया जाता है इस पल .

परिभाषा. रफ़्तार सीधीरेखीय गतिकिसी निश्चित समय को अंतराल के अनुरूप औसत गति की सीमा कहा जाता है, क्योंकि यह शून्य हो जाती है:

उदाहरण।आइए मुक्त पतन का नियम लिखें:

.

समय अंतराल में गिरावट की औसत दर के लिए, हमारे पास है

और इस समय गति के लिए

.

इससे पता चलता है कि मुक्त गिरावट की गति गति (गिरावट) के समय के समानुपाती होती है।

2. व्युत्पन्न

फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर. व्युत्पन्न कार्य. एक शक्ति फलन का व्युत्पन्न.

2.1 फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर.चार विशेष अवधारणाओं में से प्रत्येक: गति की गति, घनत्व, ताप क्षमता,

रफ़्तार रासायनिक प्रतिक्रियाउनके भौतिक अर्थ में महत्वपूर्ण अंतर के बावजूद, गणितीय दृष्टिकोण से, जैसा कि यह देखना आसान है, एक ही है संबंधित फ़ंक्शन की विशेषता. ये सभी किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की तथाकथित दर के विशेष प्रकार हैं, परिभाषित हैं, साथ ही सीमा की अवधारणा की सहायता से सूचीबद्ध विशेष अवधारणाएं भी हैं।

इसलिए आइए विश्लेषण करें सामान्य रूप से देखेंकिसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर के बारे में प्रश्न
, चरों के भौतिक अर्थ से सार निकालना
.

पहले चलो
- रैखिक प्रकार्य:

.

यदि स्वतंत्र चर वेतनवृद्धि मिलती है
, फिर फ़ंक्शन यहां वेतन वृद्धि मिलती है
. नज़रिया
स्थिर रहता है, न तो इस बात से स्वतंत्र कि किस फ़ंक्शन पर विचार किया जाता है, न ही इस बात से कि किसे लिया जाता है .

ये रिश्ता कहलाता है परिवर्तन की दररैखिक प्रकार्य। लेकिन यदि फ़ंक्शन रैखिक नहीं है, तो संबंध

पर भी निर्भर करता है , और से । यह अनुपात केवल "औसतन" फ़ंक्शन की विशेषता बताता है जब स्वतंत्र चर दिए गए से बदलता है
; यह ऐसे रैखिक फलन की गति के बराबर है, जो दिया गया है समान वेतन वृद्धि है
.

परिभाषा।नज़रिया बुलायाऔसत गति अंतराल में कार्य परिवर्तन
.

यह स्पष्ट है कि माना गया अंतराल जितना छोटा होगा, फ़ंक्शन में परिवर्तन की औसत गति उतनी ही बेहतर होगी, इसलिए हम बाध्य करते हैं शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं. यदि उसी समय औसत गति पर कोई सीमा हो, तो किसी दिए गए फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को माप के रूप में लिया जाता है , और फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर कहलाती है.

परिभाषा. कार्य परिवर्तन दर वीदिया गया बिंदु अंतराल में फलन के परिवर्तन की औसत दर की सीमा कहलाती है शून्य पर जाने पर:

2.2 व्युत्पन्न कार्य.कार्य परिवर्तन दर

क्रियाओं के निम्नलिखित अनुक्रम द्वारा निर्धारित:

1) वेतन वृद्धि से , इस मान को सौंपा गया , फ़ंक्शन की संगत वृद्धि ज्ञात करें

;

2) एक रिश्ता तैयार किया गया है;

3) इस अनुपात की सीमा ज्ञात करें (यदि यह मौजूद है)

शून्य की मनमानी प्रवृत्ति के साथ।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि यह फ़ंक्शन रैखिक नहीं

फिर रिश्ता पर भी निर्भर करता है , और से . इस अनुपात की सीमा केवल चयनित मान पर निर्भर करती है। और इसलिए यह का एक कार्य है . यदि फ़ंक्शन रैखिक, तो विचारित सीमा पर निर्भर नहीं है, यानी, एक स्थिर मूल्य होगा।

इस सीमा को कहा जाता है किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न या केवल फ़ंक्शन व्युत्पन्न और इस प्रकार चिह्नित है:
.पढ़ें: "ईएफ स्ट्रोक से » या "ईएफ प्राइम फ्रॉम"।

परिभाषा. यौगिक इस फ़ंक्शन को एक मनमानी आकांक्षा के साथ स्वतंत्र चर की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है, यह वृद्धि शून्य है:

.

किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान आमतौर पर निरूपित किया जाता है
.

व्युत्पन्न की प्रस्तुत परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम कह सकते हैं कि:

1) सरलरेखीय गति की गति का व्युत्पन्न है

कार्य द्वारा (समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न)।

2.3 पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।

आइए कुछ सरल फलनों के व्युत्पन्न खोजें।

होने देना
. अपने पास

,

यानी व्युत्पन्न
1 के बराबर एक स्थिर मान है। यह स्पष्ट है, क्योंकि - एक रैखिक कार्य और परिवर्तन की दर स्थिर है।

अगर
, वह

होने देना
, तब

किसी पावर फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के भावों में एक पैटर्न को नोटिस करना आसान है
पर
. आइए हम साबित करें कि, सामान्य तौर पर, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक घातांक का व्युत्पन्न के बराबर है
.

.

अंश में अभिव्यक्ति न्यूटन द्विपद सूत्र द्वारा रूपांतरित होती है :

अंतिम समानता के दाहिनी ओर पदों का योग है, जिनमें से पहला पर निर्भर नहीं करता है, और बाकी के साथ-साथ शून्य हो जाते हैं . इसीलिए

.

तो, एक धनात्मक पूर्णांक वाले घात फलन का व्युत्पन्न इसके बराबर होता है:

.

पर
ऊपर दिए गए सूत्र पाए गए सामान्य सूत्र का अनुसरण करते हैं।

यह परिणाम किसी भी संकेतक के लिए सत्य है, उदाहरण के लिए:

.

अब अचर के अवकलज पर अलग से विचार करें

.

चूँकि यह फ़ंक्शन स्वतंत्र चर में परिवर्तन के साथ नहीं बदलता है
. इस तरह,

,

टी।इ। स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है.

2.4 व्युत्पत्ति का ज्यामितीय अर्थ।

फ़ंक्शन व्युत्पन्न इसका एक बहुत ही सरल और स्पष्ट ज्यामितीय अर्थ है, जो एक रेखा की स्पर्शरेखा की अवधारणा से निकटता से संबंधित है।

परिभाषा. स्पर्शरेखा
लाइन तक
उसकी बात पर
(अंक 2)। बिंदु से गुजरने वाली रेखा की सीमा स्थिति कहलाती है, और एक अन्य बिंदु
रेखाएँ जब यह बिंदु दिए गए बिंदु के साथ विलीन हो जाता है.

.ट्यूटोरियल

एक औसत है रफ़्तारपरिवर्तनकार्यसीधी रेखा की दिशा में. 1 को व्युत्पन्न कहा जाता है कार्यदिशा में और संकेत दिया गया है। Số 1) - रफ़्तारपरिवर्तनकार्यबिंदु पर...

किसी फ़ंक्शन की सीमा और निरंतरता

अध्ययन

व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ. व्युत्पन्न विशेषताएँ रफ़्तारपरिवर्तन... के सापेक्ष एक भौतिक मात्रा। किस मान पर तर्क बराबर हैं रफ़्तारपरिवर्तनकार्यऔर निर्णय. , और और। व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ का उपयोग करना...

एक चर वाले फ़ंक्शन की अवधारणा और फ़ंक्शन निर्दिष्ट करने की विधियाँ

दस्तावेज़

विभेदक कलन विशेषता की अवधारणा रफ़्तारपरिवर्तनकार्य; पी. है समारोह, प्रत्येक x के लिए परिभाषित ... सतत व्युत्पन्न (अंतर कलन लक्षण वर्णन रफ़्तारपरिवर्तनकार्यइस समय)। फिर और...

§ 5 जटिल कार्यों के आंशिक व्युत्पन्न जटिल कार्यों के अंतर 1 जटिल कार्यों के आंशिक व्युत्पन्न

दस्तावेज़

इसका अस्तित्व है और यह सीमित है) रहेगा रफ़्तारपरिवर्तनकार्यवेक्टर की दिशा में एक बिंदु पर. उसका ... और निरूपित करें या। परिमाण के अतिरिक्त रफ़्तारपरिवर्तनकार्य, आपको प्रकृति का निर्धारण करने की अनुमति देता है परिवर्तनकार्यवेक्टर की दिशा में एक बिंदु पर...