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व्यापक गाइड (2019)। समारोह व्युत्पन्न

तालिका 2

तालिका नंबर एक

एक चर की सीमा की अवधारणा। समारोह व्युत्पन्न। व्युत्पन्न तालिका। विभेदन नियम

फ़ंक्शन सेट करने के तरीके। प्राथमिक कार्यों के प्रकार

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का अर्थ किसी नियम या कानून को निर्दिष्ट करना है जिसके अनुसार किसी तर्क का दिया गया मान होता है एक्सफ़ंक्शन का संबंधित मान निर्धारित किया जाता है पर.

विचार करना फ़ंक्शन को परिभाषित करने के तरीके .

1. विश्लेषणात्मक विधि - सूत्रों का उपयोग करके फ़ंक्शन सेट करना। उदाहरण के लिए, समाधान की तैयारी में गोलियों से औषधीय पदार्थों का विघटन समीकरण का पालन करता है एम \u003d एम 0 ई - केटी, कहाँ एम 0और एम-क्रमशः प्रारंभिक और विघटन के समय तक शेष टीटैबलेट में दवा की मात्रा, क-कुछ निरंतर सकारात्मक मूल्य।

2. ग्राफिकल तरीका - यह एक ग्राफ के रूप में एक फ़ंक्शन का कार्य है। उदाहरण के लिए, कागज पर या कंप्यूटर मॉनीटर स्क्रीन पर एक इलेक्ट्रोकार्डियोग्राफ़ का उपयोग करके, हृदय के काम के दौरान होने वाले बायोपोटेंशियल अंतर का मान रिकॉर्ड किया जाता है यूसमय के कार्य के रूप में टी: यू = एफ (टी)।

3. सारणीबद्ध तरीका तालिका का उपयोग करके एक फ़ंक्शन असाइनमेंट है। फ़ंक्शन सेट करने का यह तरीका प्रयोगों और अवलोकनों में प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, निश्चित अंतराल पर रोगी के शरीर के तापमान को मापकर, शरीर के तापमान मूल्यों की एक तालिका संकलित करना संभव है टीसमय के कार्य के रूप में टी. सारणीबद्ध डेटा के आधार पर, कभी-कभी तर्क और फ़ंक्शन के बीच एक सूत्र द्वारा पत्राचार को अनुमानित करना संभव होता है। ऐसे सूत्रों को अनुभवजन्य कहा जाता है, अर्थात अनुभव से प्राप्त।

गणित में, कोई भेद करता है प्राथमिक और जटिल कार्य करता है। यहाँ मुख्य प्रकार के प्राथमिक कार्य हैं:

1. पावर फंक्शन – वाई = एफ (एक्स) = एक्स एन, कहाँ एक्स- तर्क एन- कोई वास्तविक संख्या ( 1, 2, - 2, वगैरह।)।

2. घातांक प्रकार्य – वाई = एफ (एक्स) = ए एक्स, कहाँ ए- स्थायी सकारात्मक संख्या, एकता से अलग ( ए> 0, ए ≠ 0), उदाहरण के लिए:

वाई = 10x (ए = 10);

वाई = ई एक्स; वाई \u003d ई-एक्स (ए \u003d ई ≈ 2.718 ...)

हम अंतिम दो कार्यों को बाहर करते हैं, उन्हें कहा जाता है घातीय कार्यया प्रदर्शकोंऔर विभिन्न प्रकार की भौतिक, जैवभौतिक, रासायनिक और सामाजिक प्रक्रियाओं का वर्णन कर सकेंगे। और वाई = ई एक्स -बढ़ते हुए प्रतिपादक, वाई = ई-एक्सघटता हुआ घातांक है।

3. लॉगरिदमिक फ़ंक्शनकिसी भी कारण से ए: वाई = लॉग एक्स, कहाँ y - वह शक्ति जिसे प्राप्त करने के लिए आपको फ़ंक्शन के आधार को बढ़ाने की आवश्यकता है दिया गया नंबरएक्स, यानी ए वाई = एक्स।

यदि आधार ए = 10, वह वाईबुलाया दशमलव लघुगणकनंबर एक्सऔर निरूपित वाई = लॉग एक्स; अगर ए = ई, वह वाईबुलाया प्राकृतिकनंबर एक्सऔर निरूपित वाई \u003d 1 एन एक्स.

कुछ याद करो लघुगणक नियम :

मान लीजिए दो नंबर दिए गए हैं एऔर बी, तब:

· एलजी (ए बी) = एलजी ए + एलजी बी;

· एलजी = एलजी ए - एलजी बी;

· एलजी एबी = बी एलजी ए;

चरित्र बदलने पर कुछ भी नहीं बदलेगा एलजीपर एलएन.

यह याद रखना भी उपयोगी है एलजी 10 = 1, एलएन ई = 1, एलजी 1 = एलएन 1 = 0।

4. त्रिकोणमितीय कार्य : y=sinx, y=cosx, y=tgxऔर आदि।

यहाँ कुछ प्रारंभिक कार्यों के रेखांकन दिए गए हैं (चित्र 1 देखें):

एक चर मूल्य बदल सकता है ताकि बढ़ने या घटने की प्रक्रिया में यह कुछ परिमित स्थिर मूल्य तक पहुंच जाए, जो कि इसकी सीमा है।

ए-प्राथमिकता चर x की सीमा स्थिर मान A है, जिसके परिवर्तन की प्रक्रिया में चर x दृष्टिकोण करता है ताकि x और A के बीच अंतर का मापांक, अर्थात। | x - A |, शून्य हो जाता है.

सीमा अंकन: एक्स → एया लिम एक्स = ए(यहाँ → सीमा संक्रमण का संकेत है, लैटिन से लिम सीमित है, रूसी में अनुवादित है - सीमा)। एक प्रारंभिक उदाहरण पर विचार करें:

एक्स: 0.9; 0.99; 0.999; 0.9999...→ 1, A = 1(lim x = 1), क्योंकि

| एक्स - ए |: 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001...→ 0.

आइए अवधारणाओं का परिचय दें तर्क वृद्धि और कार्य वृद्धि।

यदि चर एक्ससे इसका मान बदलता है एक्स 1पहले एक्स 2, फिर अंतर एक्स 2 - एक्स 1 \u003d Δxतर्क की वृद्धि कहा जाता है, और डीएक्स(डेल्टा पढ़ें एक्स) एक एकल वेतन वृद्धि प्रतीक है। संबंधित कार्य परिवर्तन y 2 - y 1 \u003d Δyकार्य वृद्धि कहा जाता है। आइए इसे फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर दिखाएं वाई = एफ (एक्स)(अंक 2)। ज्यामितीय रूप से, तर्क की वृद्धि वक्र के बिंदु के भुज की वृद्धि द्वारा दर्शायी जाती है, और फ़ंक्शन की वृद्धि इस बिंदु के समन्वय की वृद्धि है।

तर्क x के संबंध में किसी दिए गए फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि के अनुपात की सीमा है Δy तर्क की वृद्धि के लिए Δx, जब उत्तरार्द्ध शून्य हो जाता है (Δx → 0) ).

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को निरूपित किया जाता है (पढ़ें " परस्ट्रोक") या, या डाई/डीएक्स(पढ़ें "डी वाईडे द्वारा एक्स")। तो समारोह का व्युत्पन्न वाई = एफ (एक्स)के बराबर है:

(4)

किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने का नियम वाई = एफ (एक्स)तर्क से एक्सइस मान की परिभाषा में निहित: आपको तर्क की वृद्धि निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है ओह, फ़ंक्शन वृद्धि पाएं दीअनुपात बनाइए और इस अनुपात की सीमा ज्ञात कीजिए Δх→ 0.

अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया को फलन का विभेदन कहते हैं। यह उच्च गणित की शाखा है जिसे "डिफरेंशियल कैलकुलस" कहा जाता है।

उपरोक्त नियम द्वारा प्राप्त बुनियादी प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका नीचे दी गई है।

नंबर पी / पी	समारोह के प्रकार	समारोह व्युत्पन्न
	नियत वाई = सी	वाई" = 0
	पावर फ़ंक्शन y = x n (n धनात्मक, ऋणात्मक, पूर्णांक, भिन्नात्मक हो सकता है)	वाई" = एनएक्स एन -1
	घातांक प्रकार्य वाई = ए एक्स (ए> 0; ए ≠ 1) वाई = ई एक्स वाई \u003d ई-एक्स, वाई \u003d ई-केएक्स (के \u003d कास्ट)	वाई" = ए एक्स लॉग ए वाई" = ई एक्स वाई" \u003d - ई-एक्स, वाई" \u003d -के ई-केएक्स
	लघुगणक समारोह y = log a x (a > 0; a ≠ 1) वाई = लॉग एक्स	वाई" = वाई" =
	त्रिकोणमितीय कार्य: वाई = पाप एक्स वाई = कॉस एक्स वाई = टीजी एक्स वाई = सीटीजी एक्स	वाई" = कॉस एक्स वाई" = - पाप एक्स वाई" = वाई" =

यदि अभिव्यक्ति जिसका व्युत्पन्न पाया जाना है, उदाहरण के लिए, कई कार्यों का योग, अंतर, उत्पाद या भागफल है, यू,वि , जेड, तो निम्नलिखित भेदभाव नियमों का उपयोग किया जाता है (तालिका 2)।

तालिका 1 और 2 का उपयोग करके डेरिवेटिव की गणना करने के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं।

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x sin x)" = (x)" sin x + x (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5tgx)" = 5(tgx)" = .

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थयह है कि यह फ़ंक्शन के परिवर्तन की गति (दर) निर्धारित करता है।

सरल रेखीय गति के एक उदाहरण पर विचार करें। पिंड की गति पथ के अनुपात के बराबर होती है ∆एससमय के दौरान शरीर द्वारा पारित किया गया डीटी, इस समय अंतराल वी = . यदि गति असमान है, तो अनुपात पथ के इस खंड पर औसत गति है, और प्रत्येक दिए गए समय के अनुरूप गति को कहा जाता है तत्काल गतिऔर अनुपात की सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है डीटी → 0, अर्थात।

प्राप्त परिणाम को सारांशित करते हुए, यह तर्क दिया जा सकता है कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न च (एक्स)समय तक टीफ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर है। तात्कालिक गति की अवधारणा न केवल यांत्रिक आंदोलनों को संदर्भित करती है, बल्कि समय के साथ विकसित होने वाली किसी भी प्रक्रिया को भी संदर्भित करती है। आप मांसपेशियों के संकुचन या विश्राम की दर, घोल के क्रिस्टलीकरण की दर, भरने वाली सामग्री के सख्त होने की दर, किसी महामारी के फैलने की दर आदि का पता लगा सकते हैं।

अर्थ तात्कालिक त्वरणइन सभी प्रक्रियाओं में वेग फ़ंक्शन के व्युत्पन्न समय के बराबर है:

. (5)

यांत्रिकी में, समय के संबंध में पथ का दूसरा व्युत्पन्न।

एक व्युत्पन्न की अवधारणा, एक फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाने वाली मात्रा के रूप में, विभिन्न निर्भरताओं के लिए उपयोग की जाती है। उदाहरण के लिए, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि धातु की छड़ के साथ तापमान कितनी जल्दी बदलता है यदि इसके एक सिरे को गर्म किया जाता है। में इस मामले मेंतापमान समन्वय का एक कार्य है एक्स, अर्थात। टी = एफ (एक्स)और अंतरिक्ष में तापमान परिवर्तन की दर को दर्शाता है।

निर्देशांक x के संबंध में किसी फलन f(x) का अवकलज कहलाता है ग्रेडियेंटयह समारोह(अक्षांश ग्रेडिएंट से संक्षिप्त नाम ग्रेडिएंट अक्सर उपयोग किया जाता है)। विभिन्न चरों की प्रवणता सदिश राशियाँ होती हैं, जो हमेशा निर्देशित होती हैं चरों के मान को बढ़ाने की दिशा में .

ध्यान दें कि कई मात्राओं के ग्रेडियेंट जैविक प्रणालियों में होने वाली चयापचय प्रक्रियाओं के मूल कारणों में से एक हैं। ये हैं, उदाहरण के लिए, सघनता प्रवणता, विद्युतरासायनिक विभव प्रवणता (μ यूनानी अक्षर "म्यू" है), विद्युत विभव प्रवणता।

छोटे पर डीएक्सलिखा जा सकता है:

. (6)

व्युत्पन्न क्या है?
एक समारोह के व्युत्पन्न की परिभाषा और अर्थ

एक चर और उसके अनुप्रयोगों के एक समारोह के व्युत्पन्न पर मेरे लेखक के पाठ्यक्रम में इस लेख के अप्रत्याशित स्थान से कई लोग आश्चर्यचकित होंगे। आखिरकार, जैसा कि यह स्कूल से था: एक मानक पाठ्यपुस्तक, सबसे पहले, एक व्युत्पन्न, इसके ज्यामितीय, यांत्रिक अर्थ की परिभाषा देती है। अगला, छात्रों को परिभाषा द्वारा कार्यों के डेरिवेटिव मिलते हैं, और वास्तव में, तभी भेदभाव तकनीक का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है व्युत्पन्न तालिकाएँ.

लेकिन मेरे दृष्टिकोण से, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक व्यावहारिक है: सबसे पहले, अच्छी तरह से समझने की सलाह दी जाती है कार्य सीमा, और विशेष रूप से infinimals. तथ्य यह है कि व्युत्पन्न की परिभाषा एक सीमा की अवधारणा पर आधारित है, जिसे स्कूल के पाठ्यक्रम में खराब माना जाता है। यही कारण है कि ग्रेनाइट ज्ञान के युवा उपभोक्ताओं का एक महत्वपूर्ण हिस्सा व्युत्पन्न के सार में खराब रूप से प्रवेश करता है। इस प्रकार, यदि आप डिफरेंशियल कैलकुलस, या के लिए एक बुद्धिमान मस्तिष्क में खराब उन्मुख हैं लंबे सालसफलतापूर्वक इस सामान का निपटान, कृपया से शुरू करें समारोह की सीमा. उसी समय मास्टर / उनके निर्णय को याद रखें।

वही व्यावहारिक समझ बताती है कि पहले यह लाभदायक है डेरिवेटिव खोजना सीखें, शामिल जटिल कार्यों के डेरिवेटिव. सिद्धांत एक सिद्धांत है, लेकिन, जैसा कि वे कहते हैं, आप हमेशा अंतर करना चाहते हैं। इस संबंध में, सूचीबद्ध बुनियादी पाठों पर काम करना बेहतर है, और शायद बन जाए भेद गुरुउनके कार्यों के सार को जाने बिना।

मैं लेख पढ़ने के बाद इस पृष्ठ पर सामग्री शुरू करने की सलाह देता हूं। व्युत्पन्न के साथ सबसे सरल समस्याएं, जहां, विशेष रूप से, किसी फलन के ग्राफ की स्पर्शरेखा की समस्या पर विचार किया जाता है। लेकिन इसमें देरी हो सकती है। तथ्य यह है कि व्युत्पन्न के कई अनुप्रयोगों को इसे समझने की आवश्यकता नहीं है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है कि सैद्धांतिक पाठ काफी देर से प्रकट हुआ - जब मुझे व्याख्या करने की आवश्यकता थी वृद्धि/कमी और चरम सीमाओं के अंतराल ढूँढनाकार्य करता है। इसके अलावा, वह काफी लंबे समय से इस विषय में थे " कार्य और रेखांकन”, जब तक कि मैंने इसे पहले लगाने का फैसला नहीं किया।

इसलिए, प्रिय चायदानी, भूखे जानवरों की तरह व्युत्पन्न के सार को अवशोषित करने में जल्दबाजी न करें, क्योंकि संतृप्ति बेस्वाद और अधूरी होगी।

किसी फलन के बढ़ने, घटने, अधिकतम, न्यूनतम होने की अवधारणा

अनेक अध्ययन गाइडकुछ व्यावहारिक समस्याओं की मदद से एक व्युत्पन्न की अवधारणा का नेतृत्व किया, और मैं भी साथ आया दिलचस्प उदाहरण. कल्पना कीजिए कि हमें एक ऐसे शहर की यात्रा करनी है जहां विभिन्न तरीकों से पहुंचा जा सकता है। हम घुमावदार घुमावदार रास्तों को तुरंत त्याग देते हैं, और हम केवल सीधी रेखाओं पर विचार करेंगे। हालाँकि, सीधी-रेखा की दिशाएँ भी भिन्न हैं: आप शहर में एक फ्लैट ऑटोबैन के साथ पहुँच सकते हैं। या पहाड़ी राजमार्ग पर - ऊपर और नीचे, ऊपर और नीचे। एक और सड़क केवल ऊपर की ओर जाती है, और दूसरी हर समय नीचे की ओर जाती है। रोमांच चाहने वाले कण्ठ के माध्यम से एक खड़ी चट्टान और एक खड़ी चढ़ाई के साथ एक मार्ग का चयन करेंगे।

लेकिन आपकी जो भी प्राथमिकताएं हैं, यह वांछनीय है कि क्षेत्र को जानें, या कम से कम इसका स्थलाकृतिक मानचित्र रखें। अगर ऐसी कोई जानकारी नहीं है तो क्या होगा? आखिरकार, आप चुन सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक सपाट रास्ता, लेकिन नतीजतन, अजीब फिन्स के साथ एक स्की ढलान पर ठोकरें। तथ्य यह नहीं है कि नेविगेटर और यहां तक कि एक उपग्रह छवि भी विश्वसनीय डेटा देगी। इसलिए, गणित के माध्यम से पथ की राहत को औपचारिक रूप देना अच्छा होगा।

कुछ सड़क पर विचार करें (साइड व्यू):

बस के मामले में, मैं आपको एक प्राथमिक तथ्य की याद दिलाता हूं: यात्रा होती है बाएं से दाएं. सादगी के लिए, हम मानते हैं कि function निरंतरविचाराधीन क्षेत्र में।

इस ग्राफ की विशेषताएं क्या हैं?

अंतरालों पर समारोह बढ़ती है, यानी, इसका प्रत्येक अगला मान अधिकपिछला वाला। मोटे तौर पर बोलते हुए, शेड्यूल जाता है ऊपर से नीचे(हम पहाड़ी पर चढ़ते हैं)। और अंतराल पर समारोह कम हो जाती है- प्रत्येक अगला मान कमपिछला वाला, और हमारा शेड्यूल जाता है उपर से नीचे(ढलान के नीचे जा रहा है)।

आइए खास बातों पर भी ध्यान दें। बिंदु पर हम पहुँचते हैं अधिकतम, वह है मौजूदपथ का ऐसा खंड जिस पर मान सबसे बड़ा (उच्चतम) होगा। उसी बिंदु पर, न्यूनतम, और मौजूदऐसा उसका पड़ोस, जिसमें मूल्य सबसे छोटा (निम्नतम) है।

पाठ में अधिक कठोर शब्दावली और परिभाषाओं पर विचार किया जाएगा। समारोह के चरम के बारे मेंजबकि हम एक और अध्ययन करते हैं महत्वपूर्ण विशेषता: बीच में समारोह बढ़ रहा है, लेकिन यह बढ़ रहा है अलग गति से. और पहली चीज जो आपका ध्यान खींचती है वह यह है कि चार्ट अंतराल पर ऊपर चढ़ता है बहुत अधिक शांतअंतराल की तुलना में। क्या गणितीय उपकरणों का उपयोग करके सड़क की ढलान को मापना संभव है?

समारोह परिवर्तन दर

विचार यह है: कुछ मूल्य लो ("डेल्टा एक्स" पढ़ें), जिसे हम कॉल करेंगे तर्क वृद्धि, और आइए अपने पथ के विभिन्न बिंदुओं पर "इसे आज़माना" शुरू करें:

1) आइए सबसे बाईं ओर देखें: दूरी को दरकिनार करते हुए, हम ढलान पर ऊँचाई तक चढ़ते हैं ( हरी रेखा). मान कहा जाता है समारोह वृद्धि, और इस मामले में यह वृद्धि सकारात्मक है (अक्ष के साथ मूल्यों का अंतर शून्य से अधिक है)। आइए अनुपात बनाते हैं, जो हमारी सड़क की खड़ीता का माप होगा। जाहिर है, एक बहुत ही विशिष्ट संख्या है, और चूंकि दोनों वृद्धि धनात्मक हैं, तो .

ध्यान! पदनाम हैं एकप्रतीक, अर्थात, आप "x" से "डेल्टा" को "फाड़" नहीं सकते हैं और इन अक्षरों पर अलग से विचार कर सकते हैं। बेशक, टिप्पणी फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि प्रतीक पर भी लागू होती है।

आइए परिणामी भिन्न की प्रकृति को और अधिक सार्थक जानें। मान लीजिए कि शुरू में हम 20 मीटर (बाएं काले बिंदु में) की ऊंचाई पर हैं। मीटर की दूरी (बाएं लाल रेखा) को पार करने के बाद, हम 60 मीटर की ऊंचाई पर होंगे। फिर समारोह की वृद्धि होगी मीटर (हरी रेखा) और: . इस प्रकार, हर मीटर परसड़क का यह खंड ऊंचाई बढ़ती है औसत 4 मीटर से…क्या आप अपने चढ़ने के उपकरण भूल गए? =) दूसरे शब्दों में, निर्मित अनुपात फ़ंक्शन के परिवर्तन की औसत दर (इस मामले में, वृद्धि) की विशेषता है।

टिप्पणी : प्रश्न में उदाहरण के संख्यात्मक मान केवल आरेखण के अनुपात के अनुरूप हैं।

2) अब सबसे दाहिनी काली बिंदी से उतनी ही दूरी पर चलते हैं। यहां वृद्धि अधिक कोमल है, इसलिए वृद्धि (क्रिमसन लाइन) अपेक्षाकृत छोटी है, और पिछले मामले की तुलना में अनुपात काफी मामूली होगा। अपेक्षाकृत बोल रहा है, मीटर और समारोह विकास दरहै । यानी यहां सड़क के हर मीटर के लिए है औसतआधा मीटर ऊपर।

3) पहाड़ पर थोड़ा रोमांच। आइए वाई-अक्ष पर स्थित शीर्ष काले बिंदु को देखें। मान लेते हैं कि यह 50 मीटर का निशान है। हम फिर से उस दूरी को पार कर लेते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हम खुद को नीचे पाते हैं - 30 मीटर के स्तर पर। चूंकि आंदोलन किया गया है उपर से नीचे(अक्ष के "विपरीत" दिशा में), फिर अंतिम फ़ंक्शन (ऊंचाई) की वृद्धि ऋणात्मक होगी: मीटर (ड्राइंग में भूरी रेखा)। और इस मामले में हम बात कर रहे हैं क्षय दरविशेषताएँ: , यानी इस खंड के पथ के प्रत्येक मीटर के लिए ऊंचाई कम हो जाती है औसत 2 मीटर से। पांचवें बिंदु पर कपड़ों का ध्यान रखें।

अब चलिए सवाल पूछते हैं: उपयोग करने के लिए "मापने के मानक" का सबसे अच्छा मूल्य क्या है? साफ है कि 10 मीटर काफी रफ है। उन पर एक दर्जन अच्छे धक्कों को आसानी से फिट किया जा सकता है। धक्कों क्यों हैं, नीचे एक गहरा कण्ठ हो सकता है, और कुछ मीटर के बाद - इसके दूसरी तरफ एक और खड़ी चढ़ाई के साथ। इस प्रकार, दस मीटर के एक के साथ, हम अनुपात के माध्यम से पथ के ऐसे वर्गों की एक समझदार विशेषता प्राप्त नहीं करेंगे।

उपरोक्त चर्चा से, निम्नलिखित निष्कर्ष इस प्रकार है: मूल्य जितना छोटा होगाअधिक सटीक रूप से हम सड़क की राहत का वर्णन करेंगे। इसके अलावा, निम्नलिखित तथ्य सत्य हैं:

– किसी के लिएउठाने के बिंदु आप एक मूल्य चुन सकते हैं (यद्यपि बहुत छोटा है) जो एक या दूसरे उदय की सीमाओं के भीतर फिट बैठता है। और इसका मतलब है कि संबंधित ऊंचाई वृद्धि को सकारात्मक होने की गारंटी दी जाएगी, और असमानता इन अंतरालों के प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन के विकास को सही ढंग से इंगित करेगी।

- वैसे ही, किसी के लिएढलान बिंदु, एक मूल्य है जो इस ढलान पर पूरी तरह फिट होगा। इसलिए, ऊंचाई में संबंधित वृद्धि स्पष्ट रूप से नकारात्मक है, और असमानता दिए गए अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर कार्य में कमी को सही ढंग से दिखाएगी।

- विशेष रूप से रुचि तब होती है जब फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर शून्य होती है: . सबसे पहले, एक शून्य ऊंचाई वृद्धि () एक समान पथ का संकेत है। और दूसरी बात, अन्य जिज्ञासु स्थितियाँ हैं, जिनके उदाहरण आप चित्र में देखते हैं। कल्पना कीजिए कि भाग्य हमें एक पहाड़ी की चोटी पर ले गया है जहाँ उड़ते हुए चील हैं या एक खड्ड के नीचे टेढ़ा मेढ़क है। यदि आप किसी भी दिशा में एक छोटा कदम उठाते हैं, तो ऊंचाई में परिवर्तन नगण्य होगा, और हम कह सकते हैं कि फलन के परिवर्तन की दर वास्तव में शून्य है। बिंदुओं पर भी यही पैटर्न देखा गया है।

इस प्रकार, हमने फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को पूरी तरह सटीक रूप से चिह्नित करने का एक अद्भुत अवसर प्राप्त किया है। आखिरकार, गणितीय विश्लेषण हमें तर्क की वृद्धि को शून्य तक निर्देशित करने की अनुमति देता है: अर्थात, इसे बनाने के लिए बहुत छोता.

नतीजतन, एक और तार्किक सवाल उठता है: क्या सड़क और उसके शेड्यूल को खोजना संभव है एक अन्य समारोह, कौन हमें बताएगापथ के प्रत्येक बिंदु पर सभी फ्लैटों, चढाई, ढलान, चोटियों, तराई के साथ-साथ वृद्धि/घटाव की दर के बारे में?

व्युत्पन्न क्या है? एक व्युत्पन्न की परिभाषा।
व्युत्पन्न और अंतर का ज्यामितीय अर्थ

कृपया सोच-समझकर पढ़ें और बहुत जल्दी नहीं - सामग्री सरल और सभी के लिए सुलभ है! यह ठीक है अगर कुछ जगहों पर कुछ बहुत स्पष्ट नहीं लगता है, तो आप हमेशा लेख पर बाद में वापस आ सकते हैं। मैं और अधिक कहूंगा, सभी बिंदुओं को गुणात्मक रूप से समझने के लिए कई बार सिद्धांत का अध्ययन करना उपयोगी है (सलाह "तकनीकी" छात्रों के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक है, जिनके लिए उच्च गणित शैक्षिक प्रक्रिया में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है)।

स्वाभाविक रूप से, एक बिंदु पर व्युत्पन्न की परिभाषा में, हम इसे इसके साथ बदल देंगे:

हम क्या करने आए हैं? और हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि कानून के अनुसार किसी कार्य के लिए संरेखित है अन्य समारोह, जिसे कहा जाता है व्युत्पन्न कार्य(या केवल व्युत्पन्न).

व्युत्पन्न की विशेषता है परिवर्तन की दरकार्य करता है। कैसे? विचार लेख की शुरुआत से ही एक लाल धागे की तरह चला जाता है। किसी बिंदु पर विचार करें डोमेनकार्य करता है। किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन को अवकलनीय होने दें। तब:

1) यदि , तो बिंदु पर फलन बढ़ता है। और जाहिर है वहाँ है मध्यान्तर(भले ही बहुत छोटा हो) जिसमें वह बिंदु होता है जिस पर फ़ंक्शन बढ़ता है, और इसका ग्राफ "नीचे से ऊपर" जाता है।

2) यदि , तो फलन बिंदु पर घटता है। और एक अंतराल होता है जिसमें एक बिंदु होता है जिस पर फ़ंक्शन घटता है (ग्राफ़ "ऊपर से नीचे" जाता है)।

3) अगर, तो असीम रूप से करीबबिंदु के पास, फ़ंक्शन अपनी गति को स्थिर रखता है। ऐसा होता है, जैसा कि उल्लेख किया गया है, एक फ़ंक्शन-स्थिर और के लिए समारोह के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, विशेष रूप से न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं पर.

कुछ शब्दार्थ। व्यापक अर्थ में क्रिया "अंतर" का क्या अर्थ है? विभेद करने का अर्थ है किसी विशेषता को अलग करना। फ़ंक्शन को विभेदित करते हुए, हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में इसके परिवर्तन की दर का "चयन" करते हैं। और वैसे, "व्युत्पन्न" शब्द का क्या अर्थ है? समारोह घटितसमारोह से।

शब्द बहुत सफलतापूर्वक व्युत्पन्न के यांत्रिक अर्थ की व्याख्या करते हैं :
आइए शरीर के निर्देशांक के परिवर्तन के कानून पर विचार करें, जो समय पर निर्भर करता है, और दिए गए शरीर की गति की गति का कार्य करता है। फ़ंक्शन शरीर समन्वय के परिवर्तन की दर को दर्शाता है, इसलिए यह समय के संबंध में फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न है:। यदि "शरीर की गति" की अवधारणा प्रकृति में मौजूद नहीं होती, तो मौजूद नहीं होती यौगिक"वेग" की अवधारणा।

शरीर का त्वरण गति के परिवर्तन की दर है, इसलिए: . यदि "बॉडी मूवमेंट" और "बॉडी मूवमेंट स्पीड" की मूल अवधारणा प्रकृति में मौजूद नहीं होती, तो नहीं होती यौगिकशरीर के त्वरण की अवधारणा।

एक चर और उसके अनुप्रयोगों के एक समारोह के व्युत्पन्न पर मेरे लेखक के पाठ्यक्रम में इस लेख के अप्रत्याशित स्थान से कई लोग आश्चर्यचकित होंगे। आखिरकार, जैसा कि यह स्कूल से था: एक मानक पाठ्यपुस्तक, सबसे पहले, एक व्युत्पन्न, इसके ज्यामितीय, यांत्रिक अर्थ की परिभाषा देती है। अगला, छात्रों को परिभाषा द्वारा कार्यों के डेरिवेटिव मिलते हैं, और वास्तव में, तभी भेदभाव तकनीक का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है व्युत्पन्न तालिकाएँ.

लेकिन मेरे दृष्टिकोण से, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक व्यावहारिक है: सबसे पहले, फ़ंक्शन WELL की सीमा को समझने की सलाह दी जाती है, और, विशेष रूप से, infinimals. तथ्य यह है कि

व्युत्पन्न की परिभाषा एक सीमा की अवधारणा पर आधारित है , जिसे स्कूल के पाठ्यक्रम में खराब माना जाता है। यही कारण है कि ग्रेनाइट ज्ञान के युवा उपभोक्ताओं का एक महत्वपूर्ण हिस्सा व्युत्पन्न के सार में खराब रूप से प्रवेश करता है। इस प्रकार, यदि आप डिफरेंशियल कैलकुलस में पारंगत नहीं हैं, या बुद्धिमान मस्तिष्क ने वर्षों से इस बोझ से सफलतापूर्वक छुटकारा पा लिया है, तो कृपया इसके साथ शुरुआत करेंसमारोह की सीमा . उसी समय मास्टर / उनके निर्णय को याद रखें।

वही व्यावहारिक समझ बताती है कि पहले यह लाभदायक है

जटिल कार्यों के डेरिवेटिव सहित डेरिवेटिव खोजना सीखें . सिद्धांत एक सिद्धांत है, लेकिन, जैसा कि वे कहते हैं, आप हमेशा अंतर करना चाहते हैं। इस संबंध में, सूचीबद्ध बुनियादी पाठों पर काम करना बेहतर है, और शायद बन जाएभेद गुरु उनके कार्यों के सार को जाने बिना।

मैं लेख पढ़ने के बाद इस पृष्ठ पर सामग्री शुरू करने की सलाह देता हूं। व्युत्पन्न के साथ सबसे सरल समस्याएं, जहां, विशेष रूप से, किसी फलन के ग्राफ की स्पर्शरेखा की समस्या पर विचार किया जाता है। लेकिन इसमें देरी हो सकती है। तथ्य यह है कि व्युत्पन्न के कई अनुप्रयोगों को इसे समझने की आवश्यकता नहीं है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है कि सैद्धांतिक पाठ काफी देर से प्रकट हुआ - जब मुझे व्याख्या करने की आवश्यकता थी वृद्धि/कमी और चरम सीमाओं के अंतराल ढूँढनाकार्य करता है। इसके अलावा, वह काफी लंबे समय से इस विषय में थे " कार्य और रेखांकन”, जब तक कि मैंने इसे पहले लगाने का फैसला नहीं किया।

किसी फलन के बढ़ने, घटने, अधिकतम, न्यूनतम होने की अवधारणा

कई ट्यूटोरियल कुछ व्यावहारिक समस्याओं की मदद से व्युत्पन्न की अवधारणा की ओर ले जाते हैं, और मैं एक दिलचस्प उदाहरण भी लेकर आया हूं। कल्पना कीजिए कि हमें एक ऐसे शहर की यात्रा करनी है जहां विभिन्न तरीकों से पहुंचा जा सकता है। हम घुमावदार घुमावदार रास्तों को तुरंत त्याग देते हैं, और हम केवल सीधी रेखाओं पर विचार करेंगे। हालाँकि, सीधी-रेखा की दिशाएँ भी भिन्न हैं: आप शहर में एक फ्लैट ऑटोबैन के साथ पहुँच सकते हैं। या पहाड़ी राजमार्ग पर - ऊपर और नीचे, ऊपर और नीचे। एक और सड़क केवल ऊपर की ओर जाती है, और दूसरी हर समय नीचे की ओर जाती है। रोमांच चाहने वाले कण्ठ के माध्यम से एक खड़ी चट्टान और एक खड़ी चढ़ाई के साथ एक मार्ग का चयन करेंगे।

सैटेलाइट इमेज विश्वसनीय डेटा देगी। इसलिए, गणित के माध्यम से पथ की राहत को औपचारिक रूप देना अच्छा होगा।

कुछ सड़क पर विचार करें (साइड व्यू):

बस के मामले में, मैं आपको एक प्राथमिक तथ्य की याद दिलाता हूं: यात्रा बाएं से दाएं होती है। सादगी के लिए, हम मानते हैं कि विचाराधीन खंड पर कार्य निरंतर है।

इस ग्राफ की विशेषताएं क्या हैं?

अंतरालों पर फ़ंक्शन बढ़ रहा है, अर्थात, इसका प्रत्येक बाद का मान पिछले वाले से अधिक है। मोटे तौर पर, ग्राफ नीचे से ऊपर जाता है (हम पहाड़ी पर चढ़ते हैं)। और अंतराल पर, फ़ंक्शन घटता है - प्रत्येक अगला मान पिछले एक से कम होता है, और हमारा ग्राफ ऊपर से नीचे जाता है (हम ढलान नीचे जाते हैं)।

आइए खास बातों पर भी ध्यान दें। बिंदु पर हम

हम अधिकतम तक पहुँचते हैं, अर्थात पथ का एक ऐसा खंड है जिस पर मान सबसे बड़ा (उच्चतम) होगा। उसी बिंदु पर, एक न्यूनतम तक पहुँच जाता है, और एक ऐसा पड़ोस होता है जिसमें मान सबसे छोटा (सबसे कम) होता है।

पाठ में अधिक कठोर शब्दावली और परिभाषाओं पर विचार किया जाएगा। समारोह के चरम के बारे में, लेकिन अभी के लिए आइए एक और महत्वपूर्ण विशेषता का अध्ययन करें: अंतराल पर समारोह बढ़ रहा है, लेकिन यह बढ़ रहा है अलग गति से. और पहली चीज जो आपका ध्यान खींचती है वह है अंतराल का ग्राफ ऊपर की ओर चढ़ता है बहुत अधिक शांतअंतराल की तुलना में। क्या गणितीय उपकरणों का उपयोग करके सड़क की ढलान को मापना संभव है?

समारोह परिवर्तन दर

विचार यह है: कुछ मूल्य लो

("डेल्टा एक्स" पढ़ें) , जिसे हम कॉल करेंगेतर्क वृद्धि, और आइए अपने पथ के विभिन्न बिंदुओं पर "इसे आज़माना" शुरू करें:

1) आइए सबसे बाएं बिंदु को देखें: दूरी को दरकिनार करते हुए, हम ढलान पर एक ऊँचाई (हरी रेखा) पर चढ़ते हैं। मात्रा कहलाती है समारोह वृद्धि, और इस मामले में यह वृद्धि सकारात्मक है (अक्ष के साथ मूल्यों का अंतर इससे अधिक है

शून्य)। आइए अनुपात बनाते हैं, जो हमारी सड़क की खड़ीता का माप होगा। जाहिर है, यह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या है, और चूंकि दोनों वेतन वृद्धि सकारात्मक हैं, तब।

ध्यान! पदनाम एक एकल प्रतीक है, अर्थात, आप "x" से "डेल्टा" को "फाड़" नहीं सकते हैं और इन अक्षरों पर अलग से विचार कर सकते हैं। बेशक, टिप्पणी फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि प्रतीक पर भी लागू होती है।

आइए परिणामी भिन्न की प्रकृति को और अधिक सार्थक जानें। होने देना

प्रारंभ में हम 20 मीटर (बाएं काले बिंदु में) की ऊंचाई पर हैं। मीटर की दूरी (बाएं लाल रेखा) को पार करने के बाद, हम 60 मीटर की ऊंचाई पर होंगे। फिर समारोह की वृद्धि होगी

मीटर (हरी रेखा) और:। इसलिए

इस प्रकार, सड़क के इस खंड के हर मीटर पर ऊंचाई बढ़ती हैऔसतन 4 मीटर ... क्या आप अपने चढ़ाई के उपकरण भूल गए? =) दूसरे शब्दों में, निर्मित अनुपात फ़ंक्शन के परिवर्तन की औसत दर (इस मामले में, वृद्धि) की विशेषता है।

नोट: प्रश्न में उदाहरण के संख्यात्मक मान केवल आरेखण के अनुपात के अनुरूप होते हैं।

2) अब सबसे दाहिनी काली बिंदी से उतनी ही दूरी पर चलते हैं। यहाँ उत्थान अधिक कोमल है, इसलिए वृद्धि

(मैजेंटा लाइन) अपेक्षाकृत छोटा है, और अनुपात

पिछले मामले की तुलना में बहुत मामूली होगा। अपेक्षाकृत बोल रहा है, मीटर और समारोह विकास दर

है । यानी यहां रास्ते के हर मीटर के लिए औसतन आधा मीटर चढ़ाई है।

3) पहाड़ पर थोड़ा रोमांच। आइए वाई-अक्ष पर स्थित शीर्ष काले बिंदु को देखें। मान लेते हैं कि यह 50 मीटर का निशान है। हम फिर से उस दूरी को पार कर लेते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हम खुद को नीचे पाते हैं - 30 मीटर के स्तर पर। चूंकि आंदोलन ऊपर से नीचे (अक्ष के "विपरीत" दिशा में) किया गया था, अंतिम फ़ंक्शन (ऊंचाई) की वृद्धि ऋणात्मक होगी:मीटर (ड्राइंग में भूरी रेखा)। और इस मामले में हम गति के बारे में बात कर रहे हैं

अवरोही समारोह: , यानी पथ के प्रत्येक मीटर के लिए

इस क्षेत्र में ऊंचाई औसतन 2 मीटर कम हो जाती है। पांचवें बिंदु पर कपड़ों का ध्यान रखें।

अब चलिए सवाल पूछते हैं: उपयोग करने के लिए "मापने के मानक" का सबसे अच्छा मूल्य क्या है? साफ है कि 10 मीटर काफी रफ है। उन पर एक दर्जन अच्छे धक्कों को आसानी से फिट किया जा सकता है। धक्कों क्यों हैं, नीचे एक गहरा कण्ठ हो सकता है, और कुछ मीटर के बाद - इसके दूसरी तरफ एक और खड़ी चढ़ाई के साथ। इस प्रकार, दस-मीटर के साथ हमें पथ के ऐसे वर्गों का एक समझदार लक्षण वर्णन नहीं मिलेगा

रिश्ता ।

उपरोक्त चर्चा से, निम्नलिखित निष्कर्ष इस प्रकार है: मूल्य जितना छोटा होगाअधिक सटीक रूप से हम सड़क की राहत का वर्णन करेंगे। इसके अलावा, निष्पक्ष

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की अवधारणा का वैकल्पिक भौतिक अर्थ।

निकोले ब्रायलेव

अपने दम पर सोचने वालों के लिए एक लेख। उन लोगों के लिए जो यह नहीं समझ सकते हैं कि अज्ञात की मदद से कैसे जानना संभव है और इस कारण से ज्ञान के साधनों में अज्ञात अवधारणाओं की शुरूआत से सहमत नहीं हो सकते हैं: "अनंत", "शून्य पर जाना", "असीम रूप से छोटा", "एक बिंदु का पड़ोस", आदि। पी।

इस लेख का उद्देश्य गणित और भौतिकी में एक बहुत ही उपयोगी मौलिक अवधारणा को पेश करने के विचार को बदनाम करना नहीं है। एक समारोह के व्युत्पन्न अवधारणाएं(अंतर), और इसे गहराई से समझें भौतिक अर्थ,प्राकृतिक विज्ञान की सामान्य वैश्विक निर्भरता के आधार पर। लक्ष्य अवधारणा को बंद करना है व्युत्पन्न कार्य(अंतर) कारण संरचना और गहन अभिप्राय अंतःक्रियात्मक भौतिकी. आज इस अर्थ का अनुमान लगाना असंभव है, क्योंकि आम तौर पर स्वीकृत अवधारणा को अंतर कलन के सशर्त औपचारिक, गैर-सख्त, गणितीय दृष्टिकोण से समायोजित किया जाता है।

1.1 एक समारोह के व्युत्पन्न की शास्त्रीय अवधारणा।

आरंभ करने के लिए, आइए सार्वभौमिक रूप से उपयोग किए जाने वाले, आम तौर पर स्वीकृत, लगभग तीन शताब्दियों से विद्यमान हैं, जो एक क्लासिक बन गया है, एक फ़ंक्शन (अंतर) के व्युत्पन्न की गणितीय अवधारणा (परिभाषा).

इस अवधारणा को सभी कई पाठ्यपुस्तकों में एक ही तरह से और लगभग इसी तरह समझाया गया है।

मान लीजिए यू x तर्क पर निर्भर करता हैयू = एफ (एक्स)। अगर एफ (एक्स ) तर्क मूल्यों में दो बिंदुओं पर तय किया गया था:एक्स2, एक्स1, , तो हमें मात्राएँ मिलती हैंयू 1 = एफ (एक्स 1), और यू 2 = एफ (एक्स 2 ). दो तर्क मूल्यों का अंतरएक्स 2, एक्स 1 तर्क की वृद्धि कहा जाएगा और Δ के रूप में चिह्नित किया जाएगाएक्स = एक्स 2 - एक्स 1 (इसलिए एक्स 2=x1+ Δ एक्स) . अगर तर्क Δ में बदल गया हैएक्स \u003d एक्स 2 - एक्स 1, , तो फ़ंक्शन के दो मानों के बीच अंतर के रूप में फ़ंक्शन बदल गया (बढ़ गया)।यू 1 \u003d एफ (एक्स 1), यू 2 \u003d एफ (एक्स 2 ) समारोह की वृद्धि सेएफ. यह आमतौर पर इस तरह लिखा जाता है:

एफ= यू 1 - यू 2 \u003d एफ (एक्स 2) - एफ (एक्स 1 ) . या उस पर विचार करनाएक्स 2 = एक्स 1 + Δ एक्स , हम लिख सकते हैं कि फलन में परिवर्तन के बराबर हैएफ= एफ (एक्स 1 + डीएक्स)- च (एक्स 1 ). और यह परिवर्तन, निश्चित रूप से, फ़ंक्शन के संभावित मूल्यों की सीमा पर हुआ x2 और x1, .

यह माना जाता है कि यदि मानएक्स 2 और एक्स 1, असीम रूप से करीबएक दूसरे के परिमाण में, फिर Δएक्स \u003d एक्स 2 - एक्स 1, - बहुत छोता.

व्युत्पन्न परिभाषा: व्युत्पन्न कार्य f (x) बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन Δ के वृद्धि अनुपात की सीमा कहा जाता हैएफ इस बिंदु पर तर्क Δx की वृद्धि के लिए जब उत्तरार्द्ध शून्य (असीम रूप से छोटा) हो जाता है। इस तरह रिकॉर्ड किया गया।

लिम डीएक्स →0 (एफ(x0)/ डीएक्स)=लिम डीएक्स→ 0 ((च (एक्स + डीएक्स)-च (x 0))/ डीएक्स) = च ` (x0)

अवकलज ज्ञात करना कहलाता है भेदभाव . शुरू की डिफरेंशियल फंक्शन की परिभाषा : समारोह एफ , जिसका कुछ अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर एक व्युत्पन्न होता है, इस अंतराल पर अवकलनीय कहलाता है।

1.2 किसी फलन के अवकलज का आम तौर पर स्वीकृत भौतिक अर्थ

और अब व्युत्पन्न के आम तौर पर स्वीकृत भौतिक अर्थ के बारे में .

उसके तथाकथित के बारे में भौतिक, या यों कहें छद्मभौतिकऔर ज्यामितीय अर्थ गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक (सामग्री विश्लेषण, अवकल कलन) में भी पढ़े जा सकते हैं। मैं इस विषय पर उनकी सामग्री को संक्षेप में प्रस्तुत करता हूं उसकी शारीरिक प्रकृति के बारे में:

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ एक्स `(टी ) एक सतत कार्य सेएक्स (टी) बिंदु टी 0 पर फ़ंक्शन के मान के परिवर्तन की तात्कालिक दर है, बशर्ते कि तर्क Δ में परिवर्तन होटी शून्य हो जाता है।

और छात्रों को यह समझाने के लिए भौतिक अर्थशिक्षक, उदाहरण के लिए, ऐसा कर सकते हैं।

कल्पना कीजिए कि आप एक हवाई जहाज में उड़ रहे हैं और आपके हाथ में एक घड़ी है। जब आप उड़ते हैं, तो क्या आपकी गति हवाई जहाज की गति के बराबर होती है?, - शिक्षक दर्शकों को संबोधित करता है।

हाँ, विद्यार्थी उत्तर देते हैं।

और आपकी घड़ी में समय के प्रत्येक क्षण में आपकी और विमान की गति क्या है?

एक हवाई जहाज की गति के बराबर गति!, - अच्छे और उत्कृष्ट छात्र एक स्वर में उत्तर देते हैं।

वास्तव में नहीं, शिक्षक कहते हैं। - गति, एक भौतिक अवधारणा के रूप में, समय की प्रति इकाई (उदाहरण के लिए, प्रति घंटा (किमी / घंटा)) यात्रा की गई एक विमान का मार्ग है, और जब आपने अपनी घड़ी को देखा, तो केवल एक क्षण बीत गया। इस प्रकार, तात्कालिक गति (तत्काल में तय की गई दूरी) उस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है जो समय में विमान के पथ का वर्णन करता है। तात्कालिक गति - यह व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ है।

1.3 फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणितीय अवधारणा के गठन के लिए पद्धति की कठोरता की समस्याएं।

ए श्रोताछात्र, शिक्षा प्रणाली के आदी, नम्रता से,तुरंत और पूरी तरह सेसंदेहास्पद सत्य सीखें, एक नियम के रूप में, शिक्षक के बारे में अधिक प्रश्न नहीं पूछता है व्युत्पन्न की अवधारणा और भौतिक अर्थ. लेकिन एक जिज्ञासु, गहराई से और स्वतंत्र रूप से सोचने वाला व्यक्ति इसे एक सख्त वैज्ञानिक सत्य के रूप में आत्मसात नहीं कर सकता। वह निश्चित रूप से कई प्रश्न पूछेगा, जिसके लिए वह स्पष्ट रूप से किसी भी रैंक के शिक्षक से तर्कपूर्ण उत्तर की प्रतीक्षा नहीं करेगा। प्रश्न इस प्रकार हैं।

1. सटीक हैं (सही, वैज्ञानिक, एक उद्देश्य मूल्य, कारण सार) "सटीक" विज्ञान की ऐसी अवधारणाएँ (अभिव्यक्तियाँ) - गणित जैसे: पल - एक अतिसूक्ष्म मूल्य, शून्य की आकांक्षा, अनंत की आकांक्षा, लघुता, अनंत, आकांक्षा? कैसे कर सकते हैं जानने केपरिवर्तन के परिमाण में कुछ इकाई, अज्ञात अवधारणाओं के साथ काम करना, कोई परिमाण नहीं है? अधिक महान अरस्तू (384-322 ईसा पूर्व) ने ग्रंथ "भौतिकी" के चौथे अध्याय में अनादि काल से प्रसारण किया: "यदि अनंत, क्योंकि यह अनंत है, अज्ञात है, तो मात्रा या परिमाण में अनंत अज्ञात है, यह कितना महान है, और अनंत प्रकार अज्ञात है, इसकी गुणवत्ता क्या है। चूंकि शुरुआत मात्रा और मात्रा दोनों में अनंत है वस्तुत: तब उनसे बनी चीजों को जानना असंभव है: आखिरकार, केवल तभी हम मानते हैं कि हमने जान लिया है जटिल बातजब हमें पता चलता है कि इसमें क्या और कितने [शुरुआत] शामिल हैं ... " अरस्तू, "भौतिकी", 4 ch..

2. कैसे कर सकते हैं व्युत्पन्न का एक भौतिक अर्थ हैकुछ तात्कालिक गति के समान, अगर तात्कालिक गति एक भौतिक अवधारणा नहीं है, लेकिन गणित की एक बहुत सशर्त, "गलत" अवधारणा है, क्योंकि यह एक फ़ंक्शन की सीमा है, और सीमा एक सशर्त गणितीय अवधारणा है?

3. एक बिंदु की गणितीय अवधारणा, जिसमें केवल एक संपत्ति है - समन्वय (कोई अन्य गुण नहीं: आकार, क्षेत्र, अंतराल) को एक बिंदु के पड़ोस की अवधारणा द्वारा व्युत्पन्न की गणितीय परिभाषा में बदल दिया गया है, जो वास्तव में है एक अंतराल, केवल परिमाण में अनिश्चित। एक व्युत्पन्न की अवधारणा में, अवधारणाओं और मात्राओं के लिएएक्स = एक्स 2 - एक्स 1, और एक्स 0।

4. सही ढंग से चाहे बिल्कुल भौतिक अर्थगणितीय अवधारणाओं के साथ व्याख्या करें जिनका कोई भौतिक अर्थ नहीं है?

5. कारण क्यों (समारोह), कारण के आधार पर (तर्क, संपत्ति, पैरामीटर) स्वयं होना चाहिए परिमाण में परिभाषित अंतिम कंक्रीट आप LIMIT परिवर्तन (परिणाम) अनिश्चित रूप से छोटे होते हैं, कारण के परिमाण में परिमाण में परिवर्तन नहीं होता है?

6. गणित में ऐसे कार्य हैं जिनका कोई व्युत्पन्न नहीं है (गैर-चिकनी विश्लेषण में गैर-विभेदक कार्य)। इसका मतलब है कि इन कार्यों में, जब इसका तर्क (इसका पैरामीटर, संपत्ति) बदलता है, तो कार्य (गणितीय वस्तु) नहीं बदलता है। लेकिन प्रकृति में ऐसी कोई वस्तु नहीं है जो अपने गुणों के बदलने पर नहीं बदलेगी। फिर, गणित एक ऐसे गणितीय मॉडल के उपयोग के रूप में इतनी स्वतंत्रता क्यों दे सकता है जो ब्रह्मांड के मौलिक कारण और प्रभाव संबंधों को ध्यान में नहीं रखता है?

मैं उत्तर दूंगा। प्रस्तावित, शास्त्रीय अवधारणा में जो गणित में मौजूद है - तात्कालिक गति, व्युत्पन्न, सामान्य रूप से भौतिक और वैज्ञानिक, इसका कोई सही अर्थ नहीं है और इसके लिए उपयोग की जाने वाली अवधारणाओं की अवैज्ञानिक गलतता और अनजानेपन के कारण नहीं हो सकता है! यह "अनंत" की अवधारणा में और "तत्काल" की अवधारणा में और "शून्य या अनंत की ओर प्रयास" की अवधारणा में मौजूद नहीं है।

लेकिन सच्चा वाला, आधुनिक भौतिकी और गणित की ढीली अवधारणाओं (शून्य की प्रवृत्ति, असीम मूल्य, अनंत, आदि) से शुद्ध।

व्युत्पन्न समारोह की अवधारणा का भौतिक अर्थ मौजूद है!

यही अब चर्चा की जाएगी।

1.4 व्युत्पन्न का सही भौतिक अर्थ और कारण संरचना।

गॉटफ्रीड लीबनिज (1646-1716) और उनके अनुयायियों द्वारा लटकाए गए "सदियों पुराने नूडल्स की मोटी परत को कान से हटा दें" के भौतिक सार को समझने के लिए, हमेशा की तरह, किसी को भी, की कार्यप्रणाली की ओर मुड़ना होगा। ज्ञान और सख्त बुनियादी सिद्धांत। सच है, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रचलित सापेक्षवाद के कारण, वर्तमान में विज्ञान में इन सिद्धांतों का पालन नहीं किया जाता है।

मुझे संक्षेप में विषयांतर करने दो।

गहराई से और ईमानदारी से विश्वास करने वाले इसहाक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्रीड लाइबनिज के अनुसार, वस्तुओं को बदलना, उनके गुणों को बदलना, सर्वशक्तिमान की भागीदारी के बिना नहीं हुआ। किसी भी प्राकृतिक वैज्ञानिक द्वारा परिवर्तनशीलता के सर्वशक्तिमान स्रोत का अध्ययन उस समय एक शक्तिशाली चर्च द्वारा उत्पीड़न से भरा हुआ था और आत्म-संरक्षण उद्देश्यों के लिए नहीं किया गया था। लेकिन 19वीं सदी में ही प्राकृतिक वैज्ञानिकों ने इसका पता लगा लिया था किसी भी वस्तु के गुणों में परिवर्तन का कारणात्मक सार - अंतःक्रिया. "बातचीत अपने पूर्ण विकास में निहित एक कारण संबंध है", विख्यात हेगेल (1770-1831) “निकटतम तरीके से, बातचीत पूर्वकल्पित, पारस्परिक रूप से कंडीशनिंग पदार्थों के पारस्परिक कारण के रूप में प्रकट होती है; प्रत्येक, दूसरे के सापेक्ष, एक सक्रिय और एक निष्क्रिय पदार्थ दोनों है। . एफ। एंगेल्स (1820-1895) निर्दिष्ट: "बातचीत पहली चीज है जो हमारे सामने आती है जब हम आधुनिक प्राकृतिक विज्ञान के दृष्टिकोण से चलती (बदलते) मामले को समग्र रूप से मानते हैं ... इस प्रकार, प्राकृतिक विज्ञान इस बात की पुष्टि करता है ... कि बातचीत सही कारण अंतिम है (अंतिम मूल कारण) चीजों का। हम इस अंतःक्रिया के ज्ञान से परे ठीक से नहीं जा सकते क्योंकि इसके पीछे जानने के लिए और कुछ नहीं है। फिर भी, औपचारिक रूप से परिवर्तनशीलता के मूल कारण से निपटने के बाद, 19 वीं शताब्दी के उज्ज्वल प्रमुखों में से किसी ने भी प्राकृतिक विज्ञान के भवन का पुनर्निर्माण शुरू नहीं किया।नतीजतन, इमारत वही रही - मौलिक "सड़ांध" के साथ। नतीजतन, प्राकृतिक विज्ञान (ऊर्जा, बल, द्रव्यमान, आवेश, तापमान, गति, संवेग, जड़ता, आदि) की अधिकांश बुनियादी अवधारणाओं में कारण संरचना (बातचीत) अभी भी गायब है। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणितीय अवधारणा- वर्णन करने वाले गणितीय मॉडल के रूप में " तात्कालिक परिवर्तन की मात्राकिसी वस्तु के "असीम रूप से छोटे" परिवर्तन से उसके कारण पैरामीटर में।अंतःक्रियाओं का एक सिद्धांत जो ज्ञात चार मौलिक अंतःक्रियाओं (विद्युत चुम्बकीय, गुरुत्वाकर्षण, मजबूत, कमजोर) को जोड़ता है, अभी तक नहीं बनाया गया है। अब यह पहले से ही "बहुत अधिक" है और "जाम" हर जगह रेंग रहे हैं। अभ्यास - सत्य की कसौटी, ऐसी इमारत पर बने सभी सैद्धांतिक मॉडल को पूरी तरह से तोड़ देता है जो सार्वभौमिक और वैश्विक होने का दावा करते हैं। इसलिए, सभी समान, प्राकृतिक विज्ञान के भवन का पुनर्निर्माण करना आवश्यक होगा, क्योंकि "तैरने" के लिए कहीं और नहीं है, विज्ञान लंबे समय से "प्रहार" विधि द्वारा विकसित हो रहा है - मूर्खतापूर्ण, महंगा और अक्षम। भविष्य की भौतिकी, 21वीं सदी और उसके बाद की सदियों की भौतिकी, अंतःक्रियाओं की भौतिकी बननी चाहिए। और भौतिकी में एक नई मौलिक अवधारणा - "ईवेंट-इंटरैक्शन" को पेश करना आवश्यक है।उसी समय, आधुनिक भौतिकी और गणित की बुनियादी अवधारणाओं और संबंधों के लिए एक बुनियादी आधार प्रदान किया जाता है, और केवल इस मामले में मूल सूत्र है"कॉसा फाइनलिस" (अंतिम पहला कारण) FORMULA अभ्यास में काम करने वाले सभी बुनियादी सूत्रों को प्रमाणित करने के लिए। विश्व स्थिरांक और बहुत कुछ का अर्थ स्पष्ट किया गया है। और यह मैं तुम्हारे लिए हूँ प्रिय पाठक, अब मैं आपको दिखाता हूँ।

इसलिए, समस्या का सूत्रीकरण.

आइए रेखांकित करें सामान्य शब्दों मेंनमूना। अनुभूति की एक सार वस्तु, आकार और प्रकृति में संज्ञेय होने दें (हम इसे निरूपित करते हैं यू) एक निश्चित प्रकृति (आयाम) और परिमाण वाला एक सापेक्ष संपूर्ण है। वस्तु और उसके गुण एक कारण प्रणाली हैं। एक वस्तु मूल्य में उसके गुणों, मापदंडों और आयाम में उनके आयाम के मूल्य पर निर्भर करती है। इसलिए, कारण पैरामीटर को - x द्वारा निरूपित किया जाएगा, और खोजी पैरामीटर को - u द्वारा निरूपित किया जाएगा। गणित में, इस तरह के एक कारण संबंध को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन (निर्भरता) द्वारा इसके गुणों पर वर्णित किया जाता है - पैरामीटर यू = एफ (एक्स)। एक बदलते पैरामीटर (किसी वस्तु की संपत्ति) में फ़ंक्शन के मान में परिवर्तन होता है - एक सापेक्ष पूर्णांक। इसके अलावा, पूरे (संख्या) का उद्देश्यपूर्ण रूप से निर्धारित संज्ञानात्मक मूल्य एक सापेक्ष मूल्य है जो इसके व्यक्तिगत भाग के संबंध में प्राप्त होता है (कुछ उद्देश्यों के लिए आम तौर पर पूरे के एकल मानक को स्वीकार किया जाता है - यू पर, एक एकल मानक एक औपचारिक मूल्य है, लेकिन आम तौर पर एक उद्देश्य तुलनात्मक उपाय के रूप में स्वीकार किया गया।

तब यू = के * यू फ्लोर। पैरामीटर (संपत्ति) का उद्देश्य मूल्य पैरामीटर (संपत्ति) के इकाई भाग (मानक) से संबंध है -एक्स = मैं* एक्स यह. पूर्णांक के आयाम और पैरामीटर के आयाम और उनके इकाई मानक समान नहीं हैं। कठिनाइयाँक , मैंयू और के संदर्भ मूल्यों के बाद से संख्यात्मक रूप से क्रमशः यू, एक्स के बराबर हैंएक्स यहअकेले हैं। अंतःक्रियाओं के परिणामस्वरूप, पैरामीटर बदल जाता है और इस कारण परिवर्तन के परिणामस्वरूप फ़ंक्शन (सापेक्ष संपूर्ण, वस्तु, प्रणाली) में परिवर्तन होता है।

परिभाषित करना आवश्यक हैऔपचारिक बातचीत पर वस्तु के परिवर्तन के परिमाण की सामान्य निर्भरता - इस परिवर्तन के कारण. समस्या का यह कथन सत्य, कारण, कारण (एफ. बेकन के अनुसार) सुसंगत, दृष्टिकोण को दर्शाता है अंतःक्रियात्मक भौतिकी.

निर्णय और परिणाम।

सहभागिता एक सामान्य विकासवादी तंत्र है - परिवर्तनशीलता का कारण। वास्तव में एक इंटरैक्शन (शॉर्ट-रेंज, लॉन्ग-रेंज) क्या है? क्योंकि सामान्य सिद्धांतबातचीत और वस्तुओं की बातचीत का एक सैद्धांतिक मॉडल, प्राकृतिक विज्ञान में अनुरूप गुणों के वाहक अभी भी गायब हैं, हमें बनाना होगा(इस पर और अधिक)।लेकिन चूंकि सोचने वाला पाठक जानना चाहता है व्युत्पन्न के वास्तविक भौतिक सार के बारे मेंतुरंत और अभी, फिर हम व्युत्पन्न के सार को समझने के लिए इस कार्य से केवल संक्षिप्त, लेकिन सख्त और आवश्यक निष्कर्ष निकालेंगे।

"किसी भी, वस्तुओं की सबसे जटिल बातचीत भी, समय और स्थान के इस तरह के पैमाने पर प्रदर्शित की जा सकती है (समय में विस्तारित और समन्वय प्रणाली में इस तरह से प्रदर्शित) कि समय के प्रत्येक पल में, अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु पर , केवल दो वस्तुएं, अनुरूप गुणों के दो वाहक, परस्पर क्रिया करेंगे। और इस समय वे केवल अपने दो आनुपातिक गुणों के साथ परस्पर क्रिया करेंगे।

« किसी भी वस्तु की एक निश्चित प्रकृति के किसी भी संपत्ति (पैरामीटर) के किसी भी (रैखिक, गैर-रैखिक) परिवर्तन को औपचारिक स्थान और समय के बाद, उसी प्रकृति की घटनाओं-बातचीत के परिणाम (परिणाम) के रूप में विघटित (प्रतिनिधित्व) किया जा सकता है। क्रमशः, रैखिक या गैर-रैखिक रूप से (समान रूप से या असमान रूप से)। साथ ही, प्रत्येक प्राथमिक, एकल घटना-बातचीत (निकट संपर्क) में, संपत्ति रैखिक रूप से बदलती है क्योंकि यह परिवर्तन के एकमात्र कारण के कारण होती है - एक प्राथमिक आनुपातिक बातचीत (और इसलिए एक चर का एक कार्य होता है)। ... तदनुसार, किसी भी परिवर्तन (रैखिक या गैर-रैखिक), बातचीत के परिणामस्वरूप, औपचारिक स्थान और समय में रैखिक या गैर-रैखिक रूप से प्रारंभिक रैखिक परिवर्तनों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

« उसी कारण से, किसी भी बातचीत को परिवर्तन क्वांटा (अविभाज्य रैखिक टुकड़े) में विघटित किया जा सकता है। किसी भी प्रकृति (आयाम) की एक प्रारंभिक मात्रा एक दी गई प्रकृति (आयाम) के अनुसार प्राथमिक घटना-बातचीत का परिणाम है। एक क्वांटम का परिमाण और आयाम परस्पर क्रिया करने वाले गुण और इस गुण की प्रकृति के परिमाण द्वारा निर्धारित होता है। उदाहरण के लिए, गेंदों की एक आदर्श, बिल्कुल लोचदार टक्कर (थर्मल और अन्य ऊर्जा हानियों को ध्यान में रखे बिना) के साथ, गेंदें अपने संवेग (गुणों के अनुरूप) का आदान-प्रदान करती हैं। एक गेंद की गति में परिवर्तन रैखिक ऊर्जा का एक हिस्सा है (इसे दिया जाता है या इससे दूर ले जाया जाता है) - एक क्वांटम होता है जिसमें कोणीय गति का आयाम होता है। यदि निश्चित गति मूल्यों वाली गेंदें परस्पर क्रिया करती हैं, तो बातचीत के किसी भी देखे गए अंतराल पर प्रत्येक गेंद के कोणीय गति मूल्य की स्थिति "अनुमत" मान है (क्वांटम यांत्रिकी के विचारों के अनुरूप)।»

भौतिक और गणितीय औपचारिकता में, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि किसी भी समय और अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर (सादगी के लिए, एक रैखिक, एक-समन्वय लेते हैं) किसी भी संपत्ति का एक मूल्य होता है जिसे लिखकर व्यक्त किया जा सकता है

(1)

आयाम कहाँ है।

यह रिकॉर्ड, अन्य बातों के अलावा, सार है और एक जटिल संख्या का गहरा भौतिक अर्थ, समतल पर एक बिंदु के रूप में आम तौर पर स्वीकृत ज्यामितीय प्रतिनिधित्व (गॉस के अनुसार) से भिन्न है..( टिप्पणी। लेखक)

बदले में, परिवर्तन का मापांक, (1) के रूप में निरूपित किया जा सकता है, बातचीत की घटनाओं को ध्यान में रखते हुए, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

(2)

भौतिक अर्थप्राकृतिक विज्ञान के सबसे प्रसिद्ध संबंधों की एक बड़ी संख्या के लिए यह मूल सूत्र, यह है कि समय के अंतराल पर और एक सजातीय रैखिक (एकल-समन्वय) स्थान के अंतराल पर, वहाँ थे - अनुरूप घटनाएं-लघु-श्रेणी एक ही प्रकृति की बातचीत, समय और स्थान में उनके कार्यों के अनुसार - अंतरिक्ष में घटनाओं का वितरण - और समय। प्रत्येक घटना कुछ में बदल गई। हम कह सकते हैं कि अंतरिक्ष और समय के एक निश्चित अंतराल पर परस्पर क्रिया की वस्तुओं की एकरूपता की उपस्थिति में हम किस बारे में बात कर रहे हैं पैसे के बारे में प्रारंभिक परिवर्तन का स्थिर, रैखिक, औसत मूल्य - व्युत्पन्न मूल्यपरिवर्तन के परिमाण पर , एक औपचारिक रूप से वर्णित कार्य जो अंतःक्रिया माध्यम की विशेषता है और पर्यावरण और एक निश्चित प्रकृति (आयाम) की अंतःक्रिया प्रक्रिया की विशेषता है। यह देखते हुए कि हो सकता है विभिन्न प्रकारअंतरिक्ष और समय में घटनाओं का वितरण कार्य, फिर चर स्थान-समय आयाम y हैं वितरण कार्यों के अभिन्न अंग के रूप मेंसमय में घटनाएँऔर अंतरिक्ष , अर्थात् [समय - टी] और[निर्देशांक - x] की घात k हो सकती है(के - शून्य के बराबर नहीं)।

यदि हम पर्याप्त सजातीय वातावरण में, घटनाओं के बीच औसत समय अंतराल का मान - और घटनाओं के बीच औसत दूरी अंतराल का मान - निर्दिष्ट करते हैं, तो हम लिख सकते हैं कि समय और स्थान के अंतराल में घटनाओं की कुल संख्या के बराबर है

(3)

यह मौलिक रिकॉर्ड(3) प्राकृतिक विज्ञान की बुनियादी अंतरिक्ष-समय की पहचान (मैक्सवेल के इलेक्ट्रोडायनामिक्स, हाइड्रोडायनामिक्स, वेव थ्योरी, हुक के नियम, ऊर्जा के लिए प्लैंक के सूत्र, आदि) के अनुरूप है और भौतिक और गणितीय निर्माणों की तार्किक शुद्धता का सही मूल कारण है . यह प्रविष्टि (3) गणित के प्रसिद्ध "प्रमेय के प्रमेय" के अनुरूप है। आइए फिर से लिखें (2) खाते में (3)

(4) - समय अनुपात के लिए;

(5) - स्थानिक संबंधों के लिए।

इन समीकरणों (3-5) से यह अनुसरण करता है बातचीत का सामान्य नियम:

किसी वस्तु (संपत्ति) में किसी भी परिवर्तन का मूल्य उसके कारण होने वाली घटनाओं-बातचीत (करीबी बातचीत) की संख्या के समानुपाती होता है। साथ ही, परिवर्तन की प्रकृति (समय और स्थान में निर्भरता का प्रकार) इन घटनाओं के समय और स्थान में अनुक्रम की प्रकृति से मेल खाती है।

हमें मिला प्राकृतिक विज्ञान के सामान्य बुनियादी अनुपातरैखिक स्थान और समय के मामले में, अनंत की अवधारणा से मुक्त, शून्य की आकांक्षा, तात्कालिक गति, आदि इसी कारण से, असीम रूप से छोटे dt और dx के पदनामों का उपयोग उसी कारण से नहीं किया जाता है। उनके स्थान पर परिमित Δti और Δxi हैं . इन सामान्यीकरणों से (2-6) अनुसरण करते हैं:

- व्युत्पन्न (अंतर) (4) और ग्रेडिएंट (5) के साथ-साथ "विश्व" स्थिरांक का सामान्य भौतिक अर्थ, एक घटना के साथ फ़ंक्शन (ऑब्जेक्ट) के औसत (औसत) रैखिक परिवर्तन के मान के रूप में अन्य वस्तुओं के आनुपातिक (समान प्रकृति के) गुणों के साथ एक निश्चित आयाम (प्रकृति) वाले तर्क (संपत्ति) की बातचीत। घटनाओं की संख्या में परिवर्तन की परिमाण का अनुपात-इसे शुरू करने वाली बातचीत वास्तव में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मूल्य है, जो इसकी संपत्ति पर वस्तु की कारण निर्भरता को दर्शाती है।

; (7) - समारोह का व्युत्पन्न

; (8) - फंक्शन ग्रेडिएंट

- अभिन्न का भौतिक अर्थ,तर्क द्वारा घटनाओं के दौरान फ़ंक्शन के मूल्यों के योग के रूप में परिवर्तन होता है

; (9)

- परिमित वृद्धि के लिए लग्रेंज के प्रमेय का प्रमाण (प्रमाण और समझने योग्य भौतिक अर्थ)।(परिमित वेतन वृद्धि के सूत्र), कई मायनों में मौलिक अंतर कलन. के लिए रैखिक कार्यऔर भावों (4)(5) और में उनके समाकलों के मान हैं। तब

(10)

(10.1)

सूत्र (10.1) है वास्तव में परिमित वेतन वृद्धि के लिए लैग्रेंज का सूत्र [ 5].

किसी वस्तु को उसके गुणों (मापदंडों) के एक सेट के साथ निर्दिष्ट करते समय, हम वस्तु की परिवर्तनशीलता के लिए उसके गुणों (मापदंडों) की परिवर्तनशीलता के एक समारोह के रूप में समान निर्भरता प्राप्त करते हैं और स्पष्ट करते हैं भौतिक किसी फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न का अर्थ कई चर पैरामीटर।

(11)

टेलर सूत्रएक चर के कार्य के लिए, जो शास्त्रीय भी बन गया है,

रूप है

(12)

एक श्रृंखला में एक समारोह (औपचारिक कारण प्रणाली) के अपघटन का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें इसका परिवर्तन बराबर होता है

अलग-अलग निम्नलिखित विशेषताओं वाले उपप्रवाहों में समान प्रकृति की घटनाओं के सामान्य प्रवाह के अपघटन के सिद्धांत के अनुसार, घटकों में विघटित हो जाता है। प्रत्येक उपप्रवाह अंतरिक्ष या समय में घटनाओं के अनुक्रम की रैखिकता (गैर-रैखिकता) को दर्शाता है। यह है टेलर सूत्र का भौतिक अर्थ . इसलिए, उदाहरण के लिए, टेलर के सूत्र का पहला पद समय (अंतरिक्ष) में रैखिक रूप से निम्नलिखित घटनाओं में परिवर्तन की पहचान करता है।

पर । दूसरा पर गैर रेखीय निम्नलिखितघटनाओं आदि को देखें।

- परिवर्तन की निरंतर दर (आंदोलन) का भौतिक अर्थ[एम/एस], जिसका अर्थ है रैखिक रूप से निम्नलिखित घटनाओं के साथ एक मूल्य (निर्देशांक, पथ) के एकल रैखिक विस्थापन (परिवर्तन, वृद्धि) का अर्थ है।

(13)

इस कारण से, गति औपचारिक रूप से चुनी गई समन्वय प्रणाली या समय अंतराल पर एक कारणात्मक निर्भरता नहीं है। वेग निर्देशांक में परिवर्तन के लिए अग्रणी घटनाओं के समय और स्थान में उत्तराधिकार समारोह (वितरण) पर एक अनौपचारिक निर्भरता है।

(14)

और किसी भी जटिल आंदोलन को घटकों में विघटित किया जा सकता है, जहां प्रत्येक घटक निम्नलिखित रैखिक या गैर-रैखिक घटनाओं पर निर्भर होता है। इस कारण से, लाग्रेंज या टेलर सूत्र के अनुसार बिंदु कीनेमेटीक्स (बिंदु समीकरण) का विस्तार किया जाता है।

यह तब होता है जब घटनाओं का रैखिक अनुक्रम गैर-रैखिक में बदल जाता है कि गति त्वरण बन जाती है।

- त्वरण का भौतिक अर्थ- , संख्यात्मक रूप से एक विस्थापन के बराबर मूल्य के रूप में, इस विस्थापन का कारण बनने वाली घटनाओं-बातचीत के गैर-रैखिक उत्तराधिकार के साथ . वहीं, या . साथ ही, घटनाओं के गैर-रैखिक अनुक्रम के मामले में कुल विस्थापन (घटनाओं के उत्तराधिकार की दर में एक रैखिक परिवर्तन के साथ) के बराबर होती है (15) - सूत्र से जाना जाता है स्कूल की बेंच

- किसी वस्तु के मुक्त पतन त्वरण का भौतिक अर्थ- , एक स्थिर मूल्य के रूप में, संख्यात्मक रूप से वस्तु पर अभिनय करने वाले रैखिक बल के अनुपात के बराबर (वास्तव में, तथाकथित "तात्कालिक" रैखिक विस्थापन ), पर्यावरण के साथ बाद की घटनाओं-बातचीत की गैर-रैखिक संख्या से संबंधित औपचारिक समय में, इस बल के कारण।

तदनुसार, संख्या के बराबर एक मूल्य गैर रेखीय निम्नलिखितघटनाएँ, या संबंध - नाम प्राप्त हुआ शरीर का वजन , और मान - शरीर का वजन , शरीर पर (समर्थन पर) कार्य करने वाली शक्तियों के रूप में।आइए ऊपर की व्याख्या करें, क्योंकि व्यापक रूप से इस्तेमाल किया, द्रव्यमान की मौलिक भौतिक अवधारणा आधुनिक भौतिकी में किसी भी अंतःक्रिया से कारणात्मक रूप से संरचित नहीं है। और भौतिकी उनके अंदर कुछ प्रतिक्रियाओं (भौतिक बातचीत) के दौरान निकायों के द्रव्यमान में परिवर्तन के तथ्यों को जानता है। उदाहरण के लिए, रेडियोधर्मी क्षय के दौरान पदार्थ का कुल द्रव्यमान घटता है।जब कोई शरीर पृथ्वी की सतह के सापेक्ष आराम पर होता है, तो इस शरीर के कणों की घटनाओं की कुल संख्या एक ढाल (अन्यथा एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र कहा जाता है) के साथ एक विषम माध्यम के साथ नहीं बदलती है। और इसका मतलब यह है कि शरीर पर कार्य करने वाला बल नहीं बदलता है, और जड़त्वीय द्रव्यमान शरीर की वस्तुओं और पर्यावरण की वस्तुओं में होने वाली घटनाओं की संख्या के अनुपात में होता है, बल के अनुपात के बराबर इसके निरंतर त्वरण के बराबर होता है .

जब कोई पिंड गुरुत्वीय क्षेत्र में गति करता है (गिरता है), उस पर कार्य करने वाले बदलते बल का घटनाओं की बदलती संख्या से अनुपात भी स्थिर रहता है और अनुपात - गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान से मेल खाता है. यह संकेत करता है जड़त्वीय और गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान की विश्लेषणात्मक पहचान. जब कोई पिंड गैर-रैखिक रूप से चलता है, लेकिन क्षैतिज रूप से पृथ्वी की सतह (पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की गोलाकार समविभव सतह के साथ) की ओर जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में इस प्रक्षेपवक्र में कोई ढाल नहीं होती है। लेकिन शरीर पर कार्य करने वाला कोई भी बल शरीर को गति देने और कम करने वाली घटनाओं की संख्या के समानुपाती होता है। अर्थात्, क्षैतिज गति के मामले में, शरीर की गति का कारण बस बदल जाता है। और घटनाओं की एक गैर-रैखिक रूप से बदलती संख्या शरीर को त्वरण देती है और (न्यूटन का दूसरा नियम)। घटनाओं के एक रेखीय अनुक्रम (त्वरित और घटते दोनों) के साथ, शरीर की गति स्थिर होती है और भौतिक मात्रा, घटनाओं के ऐसे क्रम के साथ, में भौतिकी को संवेग कहते हैं.

- कोणीय गति का भौतिक अर्थ, समय के साथ रैखिक रूप से घटनाओं के प्रभाव में शरीर की गति के रूप में।

(16)

- विद्युत आवेश का भौतिक अर्थ क्षेत्र में पेश की गई वस्तु, क्षेत्र के बिंदु के आवेश के मूल्य के लिए क्षेत्र के बिंदु पर "आवेशित" वस्तु (लोरेंत्ज़ बल) पर कार्य करने वाले बल के अनुपात के रूप में। बल के लिए क्षेत्र में पेश की गई वस्तु और क्षेत्र की वस्तु के आनुपातिक गुणों की परस्पर क्रिया का परिणाम है। परस्पर क्रिया दोनों के इन आनुपातिक गुणों के परिवर्तन में व्यक्त की जाती है। प्रत्येक एकल बातचीत के परिणामस्वरूप, ऑब्जेक्ट अपने परिवर्तनों के मॉड्यूल का आदान-प्रदान करते हैं, एक दूसरे को बदलते हैं, जो अंतरिक्ष के अंतराल पर अभिनय बल के व्युत्पन्न के रूप में "तात्कालिक" बल का मूल्य है। लेकिन आधुनिक भौतिकी में, क्षेत्र, एक विशेष प्रकार का मामला, दुर्भाग्य से, चार्ज नहीं होता है (इसमें चार्ज वाहक ऑब्जेक्ट नहीं होते हैं), लेकिन इसकी एक अलग विशेषता होती है - अंतराल पर तनाव (क्षमता में अंतर (चार्ज) एक निश्चित शून्य में)। इस प्रकार, शुल्कइसके परिमाण में यह दर्शाता है कि किसी आवेशित वस्तु पर कार्य करने वाला बल किसी दिए गए बिंदु पर ("तात्कालिक" बल से) क्षेत्र की ताकत से कितनी बार भिन्न होता है। (17)

तब वस्तु का धनात्मक आवेश– एक आवेश के रूप में देखा जाता है जो क्षेत्र बिंदु के पूर्ण मान (अधिक) से अधिक होता है, और ऋणात्मक - क्षेत्र बिंदु के आवेश से कम होता है। इसका तात्पर्य प्रतिकर्षण और आकर्षण की शक्तियों के संकेतों में अंतर है. जो "प्रतिकर्षण - आकर्षण" के अभिनय बल के लिए दिशा की उपस्थिति निर्धारित करता है। यह पता चला है कि चार्ज मात्रात्मक रूप से उन घटनाओं-इंटरैक्शन की संख्या के बराबर है जो इसे प्रत्येक घटना में क्षेत्र की ताकत के परिमाण से बदलते हैं।आवेश का परिमाण, संख्या (मान) की अवधारणा के अनुसार, एक संदर्भ, इकाई, परीक्षण प्रभार - के साथ एक संबंध है। यहाँ से . जब चार्ज चलता है, जब घटनाएं रैखिक रूप से चलती हैं (क्षेत्र सजातीय है), इंटीग्रल, और जब सजातीय क्षेत्र चार्ज के सापेक्ष चलता है। इसलिए भौतिकी के ज्ञात संबंध ;

- विद्युत क्षेत्र की ताकत का भौतिक अर्थ, आवेशित वस्तु पर कार्य करने वाले बल के अनुपात के रूप में, आवेशित माध्यम के साथ आवेशित वस्तु की चल रही घटनाओं-बातचीत की संख्या के अनुपात के रूप में। विद्युत क्षेत्र की एक निरंतर विशेषता है। यह लोरेंत्ज़ बल के समन्वय के संबंध में भी व्युत्पन्न है।विद्युत क्षेत्र की ताकत- यह एक भौतिक मात्रा है जो एक आवेशित पिंड और एक क्षेत्र (आवेशित माध्यम) के एकल घटना-अंतःक्रिया () में एक इकाई आवेश पर कार्य करने वाले बल के बराबर होती है।

(18)

-संभावित, वर्तमान, वोल्टेज और प्रतिरोध का भौतिक अर्थ (इलेक्ट्रिकल कंडक्टीविटी)।

आवेश के परिमाण में परिवर्तन के संबंध में

(19)

(20)

(21)

जहाँ क्षेत्र बिंदु की क्षमता कहा जाता है और इसे किसी दिए गए क्षेत्र बिंदु की ऊर्जा विशेषता के रूप में लिया जाता है, लेकिन वास्तव में यह क्षेत्र बिंदु का आवेश होता है, जो परीक्षण (संदर्भ) आवेश के एक कारक से भिन्न होता है। या: । क्षेत्र में पेश किए गए आवेश और क्षेत्र के बिंदु के आवेश की परस्पर क्रिया के दौरान, आनुपातिक गुणों का आदान-प्रदान होता है - आवेश होता है। एक्सचेंज एक ऐसी घटना है जिसे "लोरेंत्ज़ बल क्षेत्र में पेश किए गए आवेश पर कार्य करता है", आवेश में परिवर्तन के परिमाण के निरपेक्ष मान के बराबर, साथ ही क्षेत्र बिंदु की क्षमता में सापेक्ष परिवर्तन के परिमाण के रूप में वर्णित है। . जब कोई चार्ज पृथ्वी के क्षेत्र में पेश किया जाता है, अंतिम परिवर्तनपृथ्वी के क्षेत्र में एक बिंदु के कुल आवेश के विशाल मूल्य की तुलना में इस परिवर्तन की सापेक्षिक लघुता के कारण उपेक्षित किया जा सकता है।

(20) से यह ध्यान देने योग्य है कि वर्तमान (I ) एक समय अंतराल पर आवेश परिवर्तन के परिमाण का व्युत्पन्न है, एक घटना-इंटरैक्शन (लघु-श्रेणी की बातचीत) में परिमाण में आवेश को आवेश के साथ बदलता है। माध्यम (क्षेत्र बिंदु)।

* अब तक, भौतिकी में, यह माना जाता है कि यदि: एक कंडक्टर के पास क्षेत्रफल S का क्रॉस सेक्शन है, तो प्रत्येक कण का चार्ज q 0 के बराबर होता है, और कंडक्टर का आयतन, क्रॉस सेक्शन 1 और 2 और लंबाई द्वारा सीमित होता है (), में कण होते हैं, जहाँ n कणों की सांद्रता होती है। वह कुल शुल्क है। यदि कण औसत गति v के साथ एक ही दिशा में चलते हैं, तो विचाराधीन आयतन में संलग्न सभी कण समय के साथ क्रॉस सेक्शन 2 से गुजरेंगे। इसलिए, वर्तमान ताकत है

जो उसी, हम अपने पद्धतिगत सामान्यीकरण (3-6) के मामले में कह सकते हैं, केवल कणों की संख्या के बजाय, हमें घटनाओं की संख्या कहनी चाहिए, जो अर्थ में अधिक सत्य है, क्योंकि बहुत अधिक आवेशित कण (घटनाएँ) हैं एक कंडक्टर में, उदाहरण के लिए, एक धातु में इलेक्ट्रॉन। निर्भरता के रूप में फिर से लिखा जाएगा इसलिए, (3-6) की वैधता और इस कार्य के अन्य सामान्यीकरणों की एक बार फिर पुष्टि की जाती है।

एक सजातीय क्षेत्र के दो बिंदु, अंतरिक्ष में अलग-अलग, अलग-अलग क्षमता (आवेश) होने पर एक दूसरे के सापेक्ष एक संभावित ऊर्जा होती है, जो संख्यात्मक रूप से एक मूल्य से क्षमता को बदलने के कार्य के बराबर होती है। यह उनके अंतर के बराबर है।

. (22)

अन्यथा, ओम के नियम को ठीक से समीकृत करके लिखा जा सकता है

. (23)

जहां इस मामले में प्रतिरोध है, चार्ज के परिमाण को बदलने के लिए आवश्यक घटनाओं की संख्या दिखा रहा है, बशर्ते कि प्रत्येक घटना में चार्ज तथाकथित "तात्कालिक" वर्तमान के निरंतर मूल्य से बदल जाएगा, के गुणों के आधार पर कंडक्टर। इससे यह पता चलता है कि वर्तमान मात्रा और वोल्टेज की अवधारणा का समय व्युत्पन्न है। यह याद रखना चाहिए कि SI इकाइयों में विद्युत चालकता को सीमेंस में आयाम के साथ व्यक्त किया जाता है: Cm \u003d 1 / ओम \u003d एम्पीयर / वोल्ट \u003d kg -1 m -2 s ³ए²। भौतिकी में प्रतिरोध विद्युत चालकता (सामग्री के एक इकाई खंड का प्रतिरोध) और कंडक्टर की लंबाई के उत्पाद का पारस्परिक है। क्या लिखा जा सकता है (सामान्यीकरण (3-6) के अर्थ में) के रूप में

(24)

- चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण का भौतिक अर्थ। अनुभवजन्य रूप से, यह पाया गया कि वर्तमान-वाहक कंडक्टर (एम्पीयर बल) पर कार्य करने वाले बल के मापांक के अधिकतम मूल्य का अनुपात वर्तमान ताकत - I से कंडक्टर की लंबाई - l, वर्तमान ताकत पर निर्भर नहीं करता है कंडक्टर में, न ही कंडक्टर की लंबाई पर। इसे उस स्थान पर चुंबकीय क्षेत्र की विशेषता के रूप में लिया गया था जहां कंडक्टर स्थित है - चुंबकीय क्षेत्र का प्रेरण, क्षेत्र की संरचना के आधार पर एक मूल्य - , जो इसके अनुरूप है

(25)

और तब से ।

जब हम किसी चुंबकीय क्षेत्र में फ्रेम को घुमाते हैं, तो हम सबसे पहले घटनाओं की संख्या में वृद्धि करते हैं - फ्रेम की आवेशित वस्तुओं और क्षेत्र की आवेशित वस्तुओं की परस्पर क्रिया। इससे फ्रेम के रोटेशन की गति और फ्रेम के पास क्षेत्र की ताकत पर फ्रेम में ईएमएफ और वर्तमान की निर्भरता का पालन होता है। हम फ्रेम को रोकते हैं - कोई इंटरैक्शन नहीं होता है - कोई करंट नहीं होता है। डब्ल्यू भंवर (परिवर्तन)क्षेत्र - करंट फ्रेम में चला गया।

- तापमान का भौतिक अर्थ।आज भौतिकी में अवधारणा - तापमान का माप बिल्कुल तुच्छ नहीं है। एक केल्विन पानी के त्रिगुण बिंदु के थर्मोडायनामिक तापमान के 1/273.16 के बराबर है। पैमाने की शुरुआत (0 K) पूर्ण शून्य के साथ मेल खाता है। डिग्री सेल्सियस में रूपांतरण: ° С \u003d K -273.15 (पानी के त्रिगुण बिंदु का तापमान 0.01 ° C है)।
2005 में केल्विन की परिभाषा में सुधार किया गया। ITS-90 पाठ के अनिवार्य तकनीकी अनुलग्नक में, थर्मोमेट्री पर सलाहकार समिति ने पानी के त्रिगुण बिंदु के तापमान के कार्यान्वयन पर पानी की समस्थानिक संरचना के लिए आवश्यकताओं की स्थापना की।

फिर भी, तापमान की अवधारणा का भौतिक अर्थ और सारबहुत आसान और स्पष्ट। तापमान, इसके सार में, पदार्थ के अंदर होने वाली घटनाओं-बातचीत का एक परिणाम है जिसमें "आंतरिक" और "बाहरी" दोनों कारण होते हैं। अधिक घटनाएं - अधिक तापमान, कम घटनाएँ- कम तापमान। इसलिए कई रासायनिक प्रतिक्रियाओं में तापमान परिवर्तन की घटना। पी. एल. कपित्सा भी कहा करते थे "... तापमान का माप स्वयं गति नहीं है, बल्कि इस गति की यादृच्छिकता है। शरीर की स्थिति की यादृच्छिकता इसकी तापमान स्थिति को निर्धारित करती है, और यह विचार (जो पहले बोल्ट्जमैन द्वारा विकसित किया गया था) कि एक निश्चित तापमान स्थिति शरीर आंदोलन की ऊर्जा से बिल्कुल भी निर्धारित नहीं होता है, लेकिन इस आंदोलन की यादृच्छिकता से, और यह तापमान की घटनाओं के वर्णन में नई अवधारणा है, जिसका हमें उपयोग करना चाहिए ... " (पुरस्कार की रिपोर्ट नोबेल पुरस्कार 1978 पीटर लियोनिदोविच कपित्सा "तरल हीलियम के गुण", सम्मेलन में "समस्याएं" पढ़ें आधुनिक विज्ञान"21 दिसंबर, 1944 को मास्को विश्वविद्यालय में)
अराजकता के माप के तहत संख्या की मात्रात्मक विशेषता को समझना चाहिए घटना-बातचीत पदार्थ की एक इकाई मात्रा में प्रति इकाई समय - इसका तापमान. यह कोई संयोग नहीं है कि वजन और माप के लिए अंतर्राष्ट्रीय समिति 2011 में केल्विन (तापमान का एक माप) की परिभाषा को बदलने जा रही है ताकि "पानी के ट्रिपल बिंदु" की कठिन-से-पुनरुत्पादन स्थितियों से छुटकारा मिल सके। नई परिभाषा में, केल्विन को दूसरे और बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक के मान के रूप में व्यक्त किया जाएगा।जो वास्तव में इस कार्य के मूल सामान्यीकरण (3-6) से मेल खाता है। इस मामले में, बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक एक घटना के दौरान पदार्थ की एक निश्चित मात्रा की स्थिति में परिवर्तन को व्यक्त करता है (देखें, व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ), और समय का परिमाण और आयाम एक समय अंतराल में घटनाओं की संख्या को दर्शाता है। . इससे एक बार फिर साबित होता है तापमान की कारण संरचना - घटनाएं-बातचीत।घटनाओं-बातचीत के परिणामस्वरूप, प्रत्येक घटना में वस्तुएं गतिज ऊर्जा (गेंदों की टक्कर के रूप में आवेगों के क्षण) का आदान-प्रदान करती हैं, और माध्यम अंततः थर्मोडायनामिक संतुलन (ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियम) प्राप्त करता है।

- ऊर्जा और शक्ति का भौतिक अर्थ।

आधुनिक भौतिकी में, ऊर्जा E का एक अलग आयाम (प्रकृति) है। कितनी प्रकृतियाँ, कितनी ऊर्जाएँ। उदाहरण के लिए:

बल को लंबाई से गुणा किया जाता है (E ≈ F l≈N*m);

दबाव समय मात्रा (ई ≈ पी वी≈एन * एम 3 / एम 2 ≈एन * एम);

आवेग को गति से गुणा किया जाता है (E ≈ p v≈kg * m / s * m / s ≈ (N * s 2) / m * (m / s * m / s) ≈ N * m);

गति के वर्ग का द्रव्यमान गुणा (E ≈ m v 2 ≈N*m);

वोल्टेज से करंट गुणा (E ≈ I U ≈

इन संबंधों से ऊर्जा की एक परिष्कृत अवधारणा और ऊर्जा, घटनाओं और परिवर्तन के एकल मानक (माप की इकाई) के साथ संबंध का अनुसरण होता है।

ऊर्जा, - एक ही आयाम की घटनाओं-बातचीत के प्रभाव में पदार्थ के किसी भी भौतिक पैरामीटर में परिवर्तन की एक मात्रात्मक विशेषता है, जिससे यह परिवर्तन होता है। अन्यथा, हम कह सकते हैं कि ऊर्जा एक मात्रात्मक विशेषता है जो कुछ समय के लिए (कुछ दूरी पर) बाहरी अभिनय बल की संपत्ति पर लागू होती है। ऊर्जा का परिमाण (संख्या) इस प्रकार की ऊर्जा के औपचारिक, आम तौर पर स्वीकृत मानक के लिए एक निश्चित प्रकृति के परिवर्तन के परिमाण का अनुपात है। ऊर्जा का आयाम ऊर्जा के औपचारिक, आम तौर पर स्वीकृत मानक का आयाम है। कारणवश, ऊर्जा का परिमाण और आयाम, समय और स्थान में इसका परिवर्तन, औपचारिक रूप से मानक के संबंध में परिवर्तन के कुल परिमाण और मानक के आयाम पर निर्भर करता है, और अनौपचारिक रूप से घटनाओं के उत्तराधिकार की प्रकृति पर निर्भर करता है।

परिवर्तन का कुल मूल्य - उन घटनाओं-बातचीत की संख्या पर निर्भर करता है जो एक घटना में कुल परिवर्तन के मूल्य को - औसत इकाई बल - व्युत्पन्न मान द्वारा बदलते हैं।

एक निश्चित प्रकृति (आयाम) की ऊर्जा का मानक सामान्य अवधारणा के अनुरूप होना चाहिए मानक (विलक्षणता, समानता, अपरिवर्तनीयता), स्पेस-टाइम और परिवर्तित मान में ईवेंट अनुक्रम फ़ंक्शन का आयाम है।

वास्तव में, ये अनुपात पदार्थ में किसी भी परिवर्तन की ऊर्जा के लिए सामान्य हैं।

ताकत के बारे में।और मूल्य यावास्तव में, वही "तात्कालिक" बल है जो ऊर्जा को बदलता है।

. (26)

इस प्रकार, के तहत सामान्य सिद्धांतजड़ता को एक एकल घटना-बातचीत की कार्रवाई के तहत ऊर्जा में एक प्राथमिक सापेक्ष परिवर्तन के मूल्य के रूप में समझा जाना चाहिए (बल के विपरीत, अंतराल के परिमाण के साथ सहसंबद्ध नहीं है, लेकिन क्रिया के आक्रमण के अंतराल की कथित उपस्थिति), जिसमें अगली घटना तक इसके व्युत्क्रम का वास्तविक समय अंतराल (अंतरिक्ष का अंतराल) होता है।

एक अंतराल इसकी शुरुआत के समय में दो बिंदुओं और अगली तुलनीय घटनाओं-बातचीत, या दो बिंदुओं-अंतरिक्ष में घटनाओं के निर्देशांक के बीच का अंतर है।

जड़ताऊर्जा का आयाम है, क्योंकि ऊर्जा घटनाओं-अंतःक्रियाओं की क्रिया के तहत समय में जड़ता के मूल्यों का अभिन्न योग है। ऊर्जा परिवर्तन की मात्रा जड़ता के योग के बराबर है

(27)

अन्यथा, हम कह सकते हैं कि वें घटना-बातचीत द्वारा एक अमूर्त संपत्ति को प्रदान की गई जड़ता संपत्ति परिवर्तन की ऊर्जा है, जिसमें अगली घटना-बातचीत तक कुछ समय का समय था;

- समय का भौतिक अर्थ परिवर्तन की अवधि के परिमाण को जानने के एक औपचारिक तरीके के रूप में, अवधि के औपचारिक मानक की तुलना में अवधि के परिमाण को मापने के तरीके के रूप में, परिवर्तन की अवधि (अवधि, अवधि) के माप के रूप में

और यह प्राकृतिक विज्ञान की इस मूल अवधारणा की व्याख्या के बारे में कई अटकलों को रोकने का समय है।

- समन्वय स्थान का भौतिक अर्थ , परिवर्तन के मूल्यों (उपायों) के रूप में (पथ, दूरी),

(32)

जिसमें अंतरिक्ष के एक औपचारिक, एकात्मक मानक (निर्देशांक) का आयाम है और अंतरिक्ष में घटनाओं के उत्तराधिकार के कार्य के अभिन्न अंग के रूप में समन्वय का मूल्य है के बराबर कुलअंतराल पर मानकों का समन्वय करें। समन्वय को मापते समय, सुविधा के लिए, एक रैखिक परिवर्तन एकीकृतएक समारोह, जिसका अभिन्न अंग इकाई निर्देशांक के औपचारिक रूप से चुने गए संदर्भ अंतराल की संख्या के बराबर है;

- सभी बुनियादी का भौतिक अर्थ भौतिक गुण(मापदंडों) इसके साथ प्रारंभिक अनुरूप बातचीत के दौरान एक माध्यम के गुणों को चिह्नित करना (ढांकता हुआ और चुंबकीय पारगम्यता, प्लैंक की स्थिरांक, घर्षण के गुणांक और सतह तनाव, विशिष्ट गर्मी, विश्व स्थिरांक, आदि)।

इस प्रकार, नई निर्भरताएँ प्राप्त की जाती हैं जिनके पास एकल मूल रूप का अंकन होता है और एकल विधिवत समान कारण अर्थ होता है। और यह कारण अर्थ एक वैश्विक भौतिक सिद्धांत - "घटना-बातचीत" को प्राकृतिक विज्ञान में पेश करने के साथ प्राप्त किया जाता है।

यहाँ, प्रिय पाठक, सबसे सामान्य शब्दों में क्या होना चाहिए भौतिक अर्थ और निश्चितता से संपन्न एक नया गणित और 21 वीं सदी की नई अंतःक्रियात्मक भौतिकी , अप्रासंगिक के झुंड से मुक्त, निश्चितता, आकार और आयाम से रहित, और इसलिए सामान्य ज्ञान की अवधारणाएँ। ऐसे, उदाहरण के लिए, कैसे शास्त्रीय व्युत्पन्न और तात्कालिक वेग - के साथ बहुत कम समानता होना गति की भौतिक अवधारणा. कैसे जड़ता की अवधारणा - गति बनाए रखने के लिए निकायों की एक निश्चित क्षमता ... कैसे जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली (आईएसओ) , जिसका कोई लेना-देना नहीं है संदर्भ के एक फ्रेम की अवधारणा(सीओ)। आईएसओ के लिए, संदर्भ के सामान्य संदर्भ फ्रेम (सीओ) के विपरीत गति (परिवर्तन) के परिमाण के ज्ञान की एक वस्तुनिष्ठ प्रणाली नहीं है।आईएसओ के सापेक्ष, इसकी परिभाषा के अनुसार, निकाय केवल एक सीधी रेखा में या समान रूप से आराम करते हैं या चलते हैं। और भी कई अन्य चीजें जो कई सदियों से मूर्खतापूर्ण सत्य के रूप में मूर्खतापूर्ण रूप से दोहराई गई हैं। ये छद्म सत्य, जो बुनियादी बन चुके हैं, अब मौलिक रूप से, लगातार और सक्षम नहीं हैं कारणतः सामान्य निर्भरताओं के साथ वर्णन करें प्रकृति के एकसमान नियमों के अनुसार ब्रह्मांड की असंख्य घटनाएं विद्यमान हैं और बदलती रहती हैं।