Dom › Razno › Fraktalni elementi. Laboratorij za istraživanje svemira

Fraktalni elementi. Laboratorij za istraživanje svemira

Koncepti fraktala i fraktalne geometrije, koji su se pojavili u kasnim 70-im godinama, čvrsto su se ustalili u svakodnevnom životu matematičara i programera od sredine 80-ih. Riječ fraktal izvedena je iz latinskog fractus i u prijevodu znači sastavljen od fragmenata. Predložio ga je Benoit Mandelbrot 1975. da se odnosi na nepravilne, ali sebi slične strukture koje je proučavao. Rođenje fraktalne geometrije obično se povezuje s objavljivanjem Mandelbrotove knjige `The Fractal Geometry of Nature' 1977. Njegovi su radovi koristili znanstvene rezultate drugih znanstvenika koji su u razdoblju 1875.-1925. radili na istom području (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Ali tek u naše vrijeme bilo je moguće kombinirati njihova djela u jedinstveni sustav.
Uloga fraktala u računalnoj grafici danas je prilično velika. Oni dolaze u pomoć, na primjer, kada je potrebno, uz pomoć nekoliko koeficijenata, definirati linije i površine vrlo složenog oblika. Sa stajališta računalne grafike, fraktalna geometrija je nezamjenjiva za stvaranje umjetnih oblaka, planina i površine mora. zapravo pronađeno plućni put prikazi složenih neeuklidskih objekata čije su slike vrlo slične prirodnim.
Jedno od glavnih svojstava fraktala je samosličnost. U samom jednostavan slučaj mali dio fraktala sadrži informacije o cijelom fraktalu. Definicija fraktala koju je dao Mandelbrot je sljedeća: "Fraktal je struktura koja se sastoji od dijelova koji su na neki način slični cjelini."

postoji veliki broj matematički objekti koji se nazivaju fraktali (trokut Sierpinskog, Kochova pahulja, Peanova krivulja, Mandelbrotov skup i Lorentzovi atraktori). Fraktali s velikom točnošću opisuju mnoge fizičke pojave i formacije stvarnog svijeta: planine, oblake, turbulentne (vrtložne) struje, korijenje, grane i lišće drveća, krvne žile, što je daleko od toga da odgovara jednostavnim geometrijskim oblicima. Benoit Mandelbrot prvi je put progovorio o fraktalnoj prirodi našeg svijeta u svom temeljnom djelu "Fraktalna geometrija prirode".
Pojam fraktal uveo je Benoit Mandelbrot 1977. godine u svom temeljnom djelu "Fraktali, forma, kaos i dimenzija". Prema Mandelbrotu, riječ fraktal dolazi od latinskih riječi fractus - razlomak i frangere - razbiti, što odražava bit fraktala kao "izlomljenog", nepravilnog skupa.

Klasifikacija fraktala.

Kako bismo predstavili čitavu raznolikost fraktala, zgodno je pribjeći njihovoj općeprihvaćenoj klasifikaciji. Postoje tri klase fraktala.

1. Geometrijski fraktali.

Fraktali ove klase su najočitiji. U dvodimenzionalnom slučaju, dobivaju se pomoću polilinije (ili površine u trodimenzionalnom slučaju) koja se naziva generator. U jednom koraku algoritma svaki od segmenata koji čine izlomljenu liniju zamjenjuje se generatorom izlomljene linije u odgovarajućem mjerilu. Kao rezultat beskrajnog ponavljanja ovog postupka dobiva se geometrijski fraktal.

Razmotrimo, na primjer, jedan od takvih fraktalnih objekata - Kochovu trijadnu krivulju.

Konstrukcija trijadne Kochove krivulje.

Uzmimo isječak ravne linije duljine 1. Nazovimo ga sjeme. Podijelimo sjeme na tri jednaka dijela duljine 1/3, odbacimo srednji dio i zamijenimo ga isprekidanom linijom od dvije karike duljine 1/3.

Dobivamo isprekidanu liniju, koja se sastoji od 4 veze ukupne duljine 4/3, - tzv. prva generacija.

Kako bi se prešlo na sljedeću generaciju Kochove krivulje, potrebno je odbaciti i zamijeniti srednji dio svake veze. Sukladno tome, duljina druge generacije bit će 16/9, treća - 64/27. ako nastavite ovaj proces do beskonačnosti, tada će rezultat biti trijadna Kochova krivulja.

Razmotrimo sada svetu trijadičku Kochovu krivulju i saznajmo zašto su fraktali nazvani "čudovištima".

Prvo, ova krivulja nema duljinu - kao što smo vidjeli, s brojem generacija njezina duljina teži beskonačnosti.

Drugo, nemoguće je konstruirati tangentu na ovu krivulju - svaka njena točka je točka infleksije u kojoj izvodnica ne postoji - ova krivulja nije glatka.

Duljina i glatkoća temeljna su svojstva krivulja, koja proučavaju i Euklidska geometrija i geometrija Lobačevskog i Riemanna. Za trijadnu Kochovu krivulju tradicionalne metode geometrijska analiza pokazalo se neprimjenjivim, pa je Kochova krivulja ispala čudovište – „čudovište“ među glatkim stanovnicima tradicionalnih geometrija.

Izgradnja "zmaja" Harter-Hateway.

Da biste dobili još jedan fraktalni objekt, morate promijeniti pravila konstrukcije. Neka su generirajući element dva jednaka segmenta spojena pod pravim kutom. U nultoj generaciji jedinični segment zamijenimo ovim generirajućim elementom tako da je kut na vrhu. Možemo reći da takvom zamjenom dolazi do pomaka u sredini veze. Prilikom gradnje sljedeće generacije pravilo je ispunjeno: prva karika lijevo zamijenjena je generirajućim elementom tako da je sredina karike pomaknuta ulijevo od smjera kretanja, a kod zamjene sljedećih karika smjerovi pomaka središta segmenata se moraju izmjenjivati. Na slici je prikazano prvih nekoliko generacija i 11. generacija krivulje izgrađena prema gore opisanom principu. Krivulja s n koja teži beskonačnosti naziva se Harter-Hatewayev zmaj.
U računalnoj je grafici uporaba geometrijskih fraktala nužna pri dobivanju slika drveća i grmlja. Dvodimenzionalni geometrijski fraktali koriste se za stvaranje trodimenzionalnih tekstura (uzorci na površini predmeta).

2. Algebarski fraktali

Ovo je najveća skupina fraktala. Dobivaju se korištenjem nelinearnih procesa u n-dimenzionalnim prostorima. Najviše se proučavaju dvodimenzionalni procesi. Tumačeći nelinearni iterativni proces kao diskretni dinamički sustav, može se koristiti terminologija teorije ovih sustava: fazni portret, stacionarni proces, atraktor itd.
Poznato je da nelinearni dinamički sustavi imaju nekoliko stabilnih stanja. Stanje u kojem se dinamički sustav nalazi nakon određenog broja iteracija ovisi o njegovom početnom stanju. Stoga svako stabilno stanje (ili, kako kažu, atraktor) ima određeno područje početnih stanja, iz kojih će sustav nužno pasti u razmatrana konačna stanja. Tako je fazni prostor sustava podijeljen na područja privlačenja atraktora. Ako je fazni prostor dvodimenzionalan, tada se bojanjem privlačnih područja različitim bojama može dobiti fazni portret u boji ovog sustava (iterativni proces). Promjenom algoritma odabira boja možete dobiti složene fraktalne uzorke s otmjenim višebojnim uzorcima. Iznenađenje za matematičare bila je sposobnost generiranja vrlo složenih netrivijalnih struktura korištenjem primitivnih algoritama.

Mandelbrotov set.

Kao primjer, razmotrite Mandelbrotov skup. Algoritam za njegovu konstrukciju prilično je jednostavan i temelji se na jednostavnom iterativnom izrazu: Z = Z[i] * Z[i] + C, Gdje Zi I C su kompleksne varijable. Iteracije se izvode za svaku početnu točku iz pravokutnog ili kvadratnog područja - podskupa kompleksne ravnine. Iterativni proces se nastavlja sve dok Z[i] neće izaći izvan kruga polumjera 2 čije središte leži u točki (0,0), (to znači da je atraktor dinamičkog sustava u beskonačnosti), ili nakon dovoljno velikog broja ponavljanja (npr. , 200-500) Z[i] konvergira u neku točku na kružnici. Ovisno o broju ponavljanja tijekom kojih Z[i] ostane unutar kruga, možete postaviti boju točke C(Ako Z[i] ostaje unutar kruga za dovoljno velik broj ponavljanja, proces ponavljanja se zaustavlja i ta rasterska točka se boji crno).

3. Stohastički fraktali

Još jedna dobro poznata klasa fraktala su stohastički fraktali, koji se dobivaju ako se bilo koji od njegovih parametara nasumično promijeni u iterativnom procesu. To rezultira objektima vrlo sličnim prirodnim - asimetrična stabla, razvedene obale itd. Dvodimenzionalni stohastički fraktali koriste se u modeliranju terena i morske površine.
Postoje i druge klasifikacije fraktala, na primjer, podjela fraktala na determinističke (algebarske i geometrijske) i nedeterminističke (stohastičke).

O upotrebi fraktala

Prije svega, fraktali su područje nevjerojatne matematičke umjetnosti, kada se uz pomoć najjednostavnijih formula i algoritama dobivaju slike izuzetne ljepote i složenosti! U konturama izgrađenih slika često se nagađaju lišće, drveće i cvijeće.

Neke od najmoćnijih primjena fraktala leže u računalna grafika. Prvo, to je fraktalna kompresija slika, a drugo, konstrukcija krajolika, drveća, biljaka i generiranje fraktalnih tekstura. Moderna fizika i mehanika tek počinju proučavati ponašanje fraktalnih objekata. I, naravno, fraktali se primjenjuju izravno u samoj matematici.
Prednosti algoritama fraktalne kompresije slike su vrlo mala veličina zapakirane datoteke i kratko vrijeme oporavka slike. Fraktalno pakirane slike mogu se skalirati bez pojavljivanja pikselizacije. Ali proces kompresije traje dugo i ponekad traje satima. Algoritam fraktalnog pakiranja s gubitkom omogućuje vam postavljanje razine kompresije, slično jpeg formatu. Algoritam se temelji na traženju velikih dijelova slike sličnih nekim malim dijelovima. I samo koji je komad sličan kojem se upisuje u izlaznu datoteku. Prilikom sažimanja obično se koristi kvadratna mreža (komadi su kvadrati), što dovodi do blagog kuta pri obnavljanju slike, šesterokutna mreža nema takav nedostatak.
Iterated je razvio novi format slike, "Sting", koji kombinira fraktalnu i "valnu" (kao što je jpeg) kompresiju bez gubitaka. Novi format omogućuje vam stvaranje slika s mogućnošću naknadnog visokokvalitetnog skaliranja, a volumen grafičkih datoteka iznosi 15-20% volumena nekomprimiranih slika.
Neki iskorištavaju tendenciju fraktala da izgledaju kao planine, cvijeće i drveće grafički urednici, kao što su fraktalni oblaci iz 3D studija MAX, fraktalne planine u World Builderu. Dana su fraktalna stabla, planine i cijeli krajolici jednostavne formule, lako se programiraju i ne raspadaju se u zasebne trokute i kocke kada im se približi.
Ne možete zanemariti korištenje fraktala u samoj matematici. U teoriji skupova, Cantorov skup dokazuje postojanje savršenih nigdje gustih skupova; u teoriji mjere, samoafina funkcija "Cantorove ljestvice" dobar je primjer funkcije distribucije singularne mjere.
U mehanici i fizici fraktali se koriste zbog jedinstveno svojstvo ponoviti obrise mnogih objekata prirode. Fraktali vam omogućuju aproksimaciju drveća, planinskih površina i pukotina s većom točnošću nego aproksimacije s linijskim segmentima ili poligonima (s istom količinom pohranjenih podataka). Fraktalni modeli, kao i prirodni objekti, imaju "hrapavost", a to se svojstvo zadržava pri proizvoljno velikom povećanju modela. Prisutnost jedinstvene mjere na fraktalima omogućuje primjenu integracije, teorije potencijala, njihovu upotrebu umjesto standardnih objekata u već proučavanim jednadžbama.
Fraktalnim pristupom kaos prestaje biti plavi nered i dobiva finu strukturu. Fraktalna znanost je još uvijek vrlo mlada i pred njom je velika budućnost. Ljepota fraktala ni izdaleka nije iscrpljena i tek će nam podariti mnoga remek-djela - ona koja oduševljavaju oko, i ona koja donose pravi užitak umu.

O izgradnji fraktala

Metoda uzastopnih aproksimacija

Gledajući ovu sliku, nije teško shvatiti kako se može izgraditi samosličan fraktal (u ovom slučaju piramida Sierpinskog). Trebamo uzeti običnu piramidu (tetraedar), zatim izrezati njenu sredinu (oktaedar), tako da dobijemo četiri male piramide. Sa svakim od njih izvodimo istu operaciju, i tako dalje. Ovo je pomalo naivno, ali ilustrativno objašnjenje.

Razmotrimo strože suštinu metode. Neka postoji neki IFS sustav, t.j. sustav preslikavanja kontrakcije S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (na primjer, za našu piramidu, preslikavanja izgledaju kao S i (x)=1/2*x+o i , gdje su o i vrhovi tetraedra, i=1,..,4). Zatim izaberemo neki kompaktni skup A 1 u R n (u našem slučaju izaberemo tetraedar). I odredimo indukcijom niz skupova A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Poznato je da skupovi A k s porastom k aproksimiraju traženi atraktor sustava S.

Imajte na umu da je svaka od ovih iteracija atraktor rekurentni sustav iteriranih funkcija(engleski izraz DigraphIFS, RIFS I također Grafom usmjeren IFS) i stoga ih je lako izgraditi s našim programom.

Konstrukcija točkama ili probabilistička metoda

Ovo je najlakši način za implementaciju na računalu. Radi jednostavnosti, razmotrite slučaj ravnog samoafinog skupa. Pa neka (S

) je neki sustav afinih kontrakcija. Preslikavanja S

predstaviti kao: S

Fiksna matrica veličine 2x2 i o

Dvodimenzionalni vektorski stupac.

Uzmimo fiksnu točku prvog preslikavanja S 1 kao početnu točku:
x:=o1;
Ovdje koristimo činjenicu da sve fiksne točke kontrakcije S 1 ,..,S m pripadaju fraktalu. Proizvoljna točka može se odabrati kao početna točka i slijed točaka koje ona generira smanjit će se na fraktal, ali tada će se na ekranu pojaviti nekoliko dodatnih točaka.
Zabilježite trenutnu točku x=(x 1 ,x 2) na ekranu:
putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
Nasumično izaberemo broj j od 1 do m i preračunamo koordinate točke x:
j:=Slučajni(m)+1;
x:=S j (x);
Idemo na korak 2, ili, ako smo napravili dovoljno velik broj ponavljanja, tada se zaustavljamo.

Bilješka. Ako su koeficijenti kompresije preslikavanja S i različiti, tada će fraktal biti neravnomjerno ispunjen točkama. Ako su preslikavanja S i sličnosti, to se može izbjeći laganim kompliciranjem algoritma. Da bi se to postiglo, u 3. koraku algoritma, broj j od 1 do m mora biti izabran s vjerojatnostima p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , gdje r i označavaju koeficijente kontrakcije preslikavanja S i , a broj s (koji se naziva dimenzija sličnosti) nalazi se iz jednadžbe r 1 s +...+r m s =1. Rješenje ove jednadžbe može se pronaći, primjerice, Newtonovom metodom.

O fraktalima i njihovim algoritmima

Fraktal dolazi od latinskog pridjeva "fractus", au prijevodu znači koji se sastoji od fragmenata, a odgovarajući latinski glagol "frangere" znači lomiti, odnosno stvarati nepravilne fragmente. Koncepti fraktala i fraktalne geometrije, koji su se pojavili u kasnim 70-im godinama, čvrsto su se ustalili u svakodnevnom životu matematičara i programera od sredine 80-ih. Izraz je predložio Benoit Mandelbrot 1975. da se odnosi na nepravilne, ali sebi slične strukture koje je proučavao. Rođenje fraktalne geometrije obično se povezuje s objavljivanjem 1977. godine Mandelbrotove knjige "The Fractal Geometry of Nature" - "Fraktalna geometrija prirode". U svojim radovima koristio je znanstvene rezultate drugih znanstvenika koji su u razdoblju 1875.-1925. djelovali na istom području (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Prilagodbe

Dopustite mi da napravim neke prilagodbe algoritama predloženih u knjizi H.-O. Paytgen i P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, čisto kako bi se iskorijenile tipfelere i olakšalo razumijevanje procesa, budući da mi je nakon proučavanja puno toga ostalo misterijom. Nažalost, ovi "razumljivi" i "jednostavni" algoritmi vode ljuljački način života.

Konstrukcija fraktala temelji se na određenoj nelinearnoj funkciji složenog procesa s povratnom spregom z \u003d z 2 + c budući da su z i c kompleksni brojevi, tada je z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, potrebno da ga rastavite na x i y kako biste prešli na realnije za običan čovjek avion:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Ravnina koja se sastoji od svih parova (x, y) može se smatrati kao s fiksnim vrijednostima p i q, kao i za dinamičke. U prvom slučaju, sortiranje svih točaka (x, y) ravnine prema zakonu i njihovo bojanje ovisno o broju ponavljanja funkcije potrebnom za izlazak iz iterativnog procesa ili nebojanje (crno) kada je dopušteni maksimum ponavljanja se povećava, dobivamo prikaz skupa Julia. Ako, naprotiv, odredimo početni par vrijednosti (x, y) i pratimo njegovu kolorističku sudbinu s dinamički promjenjivim vrijednostima parametara p i q, tada dobivamo slike koje se nazivaju Mandelbrotovi skupovi.

O pitanju algoritama fraktalnog bojanja.

Obično je tijelo skupa predstavljeno kao crno polje, iako je očito da se crna boja može zamijeniti bilo kojom drugom, ali i to je nezanimljiv rezultat. Dobiti sliku skupa obojanog svim bojama zadatak je koji se ne može riješiti cikličkim operacijama, jer broj iteracija koje tvore tijelo skupa jednak je najvećem mogućem i uvijek isti. Obojite komplet različite boje možda korištenjem rezultata provjere izlaznog uvjeta iz petlje (z_magnitude) kao broja boje ili slično, ali s drugim matematičkim operacijama.

Primjena "fraktalnog mikroskopa"

pokazati granične fenomene.

Atraktori su centri koji vode borbu za prevlast na planu. Između atraktora postoji granica koja predstavlja vrtložni uzorak. Povećanjem ljestvice razmatranja unutar granica skupa, mogu se dobiti netrivijalni obrasci koji odražavaju stanje determinističkog kaosa - uobičajene pojave u prirodnom svijetu.

Objekti koje proučavaju geografi tvore sustav s vrlo složeno organiziranim granicama, u vezi s čime njihova implementacija postaje težak praktični zadatak. Prirodni kompleksi imaju jezgre tipičnosti koje djeluju kao atraktori koji gube moć utjecaja na teritorij kako se on udaljava.

Pomoću fraktalnog mikroskopa za Mandelbrotov i Julijin skup može se stvoriti predodžba o graničnim procesima i pojavama koji su jednako složeni bez obzira na mjerilo razmatranja i tako pripremiti percepciju stručnjaka za susret s dinamičnim i naizgled kaotičnim u prostoru i vremenu prirodni objekt, za razumijevanje prirode fraktalne geometrije. Raznobojne boje i fraktalna glazba zasigurno će ostaviti dubok trag u svijest učenika.

Tisuće publikacija i ogromni internetski resursi posvećeni su fraktalima, međutim, za mnoge stručnjake koji su daleko od računalne znanosti, ovaj se pojam čini potpuno novim. Fraktali, kao objekti interesa stručnjaka iz različitih područja znanja, trebali bi dobiti svoje pravo mjesto u tijeku informatike.

Primjeri

SIERPINSKI GRID

Ovo je jedan od fraktala s kojima je Mandelbrot eksperimentirao razvijajući koncepte fraktalnih dimenzija i ponavljanja. Trokuti formirani spajanjem središnjih točaka većeg trokuta izrezuju se iz glavnog trokuta kako bi se formirao trokut s više rupa. U ovom slučaju, inicijator je veliki trokut, a predložak je operacija rezanja trokuta sličnih većem. 3D verziju trokuta možete dobiti i tako da koristite obični tetraedar i izrežete manje tetraedre. Dimenzija takvog fraktala je ln3/ln2 = 1,584962501.

Dobiti Sierpinski tepih, uzmite kvadrat, podijelite ga na devet kvadrata i izrežite srednji. Isto ćemo učiniti i s ostalim, manjim kvadratima. Na kraju se formira ravna fraktalna mreža koja nema površinu, ali ima beskonačne veze. U svojoj prostornoj formi, spužva Sierpinskog pretvara se u sustav prolaznih oblika, u kojem se svaki prolazni element stalno zamjenjuje svojom vrstom. Ova je struktura vrlo slična dijelu koštanog tkiva. Jednog će dana takve strukture koje se ponavljaju postati element građevnih struktura. Njihova statika i dinamika, smatra Mandelbrot, zaslužuju pomno proučavanje.

KOCHOVA KRIVULJA

Kochova krivulja jedan je od najtipičnijih determinističkih fraktala. Izumio ju je u devetnaestom stoljeću njemački matematičar po imenu Helge von Koch, koji je, proučavajući rad Georga Kontora i Karla Weierstraßea, naišao na opise nekih čudnih krivulja neobičnog ponašanja. Inicijator - izravna linija. Generator je jednakostranični trokut čije su stranice jednake trećini duljine većeg segmenta. Ti se trokuti uvijek iznova dodaju u sredinu svakog segmenta. U svojim istraživanjima, Mandelbrot je puno eksperimentirao s Kochovim krivuljama, te je dobio figure poput Kochovih otoka, Kochovih križeva, Kochovih pahuljica, pa čak i trodimenzionalne prikaze Kochove krivulje korištenjem tetraedra i dodavanjem manjih tetraedra na svako njegovo lice. Kochova krivulja ima dimenziju ln4/ln3 = 1,261859507.

Fraktalni Mandelbrot

Ovo NIJE Mandelbrotov set koji često viđate. Mandelbrotov skup temelji se na nelinearnim jednadžbama i složen je fraktal. Ovo je također varijanta Kochove krivulje, unatoč činjenici da ovaj objekt ne izgleda tako. Inicijator i generator također se razlikuju od onih koji se koriste za stvaranje fraktala na principu Kochove krivulje, ali ideja ostaje ista. Umjesto pričvršćivanja jednakostraničnog trokuta na segment krivulje, kvadrati se pričvršćuju na kvadrat. Zbog činjenice da ovaj fraktal zauzima točno polovicu dodijeljenog prostora u svakoj iteraciji, on ima jednostavnu fraktalnu dimenziju 3/2 = 1,5.

DAREROV PETEROKUT

Fraktal izgleda kao hrpa peterokuta stisnutih zajedno. Zapravo, formira se korištenjem peterokuta kao inicijatora i jednakokračnih trokuta, čiji je omjer najveće i najmanje stranice točno jednak tzv. zlatnom rezu (1,618033989 ili 1/(2cos72)) kao generatora . Ovi trokuti su izrezani iz sredine svakog peterokuta, što rezultira oblikom koji izgleda kao 5 malih peterokuta zalijepljenih na jedan veliki.

Varijanta ovog fraktala može se dobiti korištenjem šesterokuta kao inicijatora. Ovaj fraktal se zove Davidova zvijezda i prilično je sličan heksagonalnoj verziji Kochove pahuljice. Fraktalna dimenzija Darerovog peterokuta je ln6/ln(1+g), gdje je g omjer duljine veće stranice trokuta i duljine manje stranice. U ovom slučaju, g je zlatni rez, tako da je fraktalna dimenzija približno 1,86171596. Fraktalna dimenzija Davidove zvijezde je ln6/ln3 ili 1,630929754.

Složeni fraktali

Zapravo, ako zumirate malo područje bilo kojeg složenog fraktala i zatim učinite isto na malom području tog područja, dva će se povećanja značajno razlikovati jedno od drugog. Dvije će slike biti vrlo slične u detaljima, ali neće biti potpuno identične.

Slika 1. Aproksimacija Mandelbrotovog skupa

Usporedite, na primjer, slike Mandelbrotovog skupa prikazane ovdje, od kojih je jedna dobivena povećanjem neke površine druge. Kao što vidite, apsolutno nisu identični, iako na oba vidimo crni krug, iz kojeg plameni pipci idu u različitim smjerovima. Ovi se elementi ponavljaju unedogled u Mandelbrotovom skupu u opadajućem omjeru.

Deterministički fraktali su linearni, dok složeni fraktali nisu. Budući da su nelinearni, ovi fraktali su generirani pomoću onoga što je Mandelbrot nazvao nelinearnim algebarskim jednadžbama. Dobar primjer je proces Zn+1=ZnÍ + C, što je jednadžba korištena za konstrukciju Mandelbrotovog i Julijinog skupa drugog stupnja. Rješavanje ovih matematičkih jednadžbi uključuje kompleksne i imaginarne brojeve. Kada se jednadžba grafički interpretira u kompleksnoj ravnini, rezultat je čudan lik u kojem se ravne linije pretvaraju u krivulje, efekti samosličnosti pojavljuju se na različitim razinama mjerila, iako ne bez deformacija. Pritom je cijela slika u cjelini nepredvidiva i vrlo kaotična.

Kao što možete vidjeti gledajući slike, složeni fraktali su doista vrlo složeni i nemoguće ih je izraditi bez pomoći računala. Da biste dobili živopisne rezultate, ovo računalo mora imati snažan matematički koprocesor i monitor visoke rezolucije. Za razliku od determinističkih fraktala, složeni fraktali se ne izračunavaju u 5-10 iteracija. Gotovo svaka točka na zaslonu računala je poput zasebnog fraktala. Tijekom matematičke obrade svaka točka se tretira kao zaseban uzorak. Svaka točka odgovara određenoj vrijednosti. Jednadžba je ugrađena za svaku točku i izvodi se npr. 1000 ponavljanja. Za dobivanje relativno neiskrivljene slike u vremenskom intervalu prihvatljivom za kućna računala, moguće je izvršiti 250 ponavljanja za jednu točku.

Većina fraktala koje danas vidimo lijepo su obojeni. Možda su fraktalne slike postale tako velike estetsku vrijednost upravo zbog svojih shema boja. Nakon što se jednadžba izračuna, računalo analizira rezultate. Ako rezultati ostanu stabilni ili variraju oko određene vrijednosti, točka će obično postati crna. Ako vrijednost na jednom ili drugom koraku teži beskonačnosti, točka se boji u drugu boju, možda plavu ili crvenu. Tijekom ovog procesa računalo dodjeljuje boje svim brzinama kretanja.

Obično su točkice koje se brzo kreću obojane crvenom bojom, dok su one sporije obojene žutom bojom i tako dalje. tamne točkice su vjerojatno najstabilniji.

Složeni fraktali razlikuju se od determinističkih fraktala po tome što su beskonačno složeni, ali se ipak mogu generirati vrlo jednostavnom formulom. Deterministički fraktali ne trebaju formule ili jednadžbe. Samo uzmite malo papira za crtanje i možete bez ikakvih poteškoća izgraditi sito Sierpinskog do 3 ili 4 ponavljanja. Pokušajte to učiniti s puno Julije! Lakše je otići izmjeriti duljinu obale Engleske!

MANDERBROT SET

Slika 2. Mandelbrotov skup

Mandelbrotov i Julijin skup vjerojatno su dva najčešća među složenim fraktalima. Mogu se naći u mnogim znanstvenih časopisa, naslovnice knjiga, razglednice i čuvari zaslona računala. Mandelbrotov skup, koji je izgradio Benoit Mandelbrot, vjerojatno je prva asocijacija koja se ljudima pojavi kad čuju riječ fraktal. Ovaj fraktal, koji nalikuje kartici sa svijetlećim stablom i krugovima pričvršćenim na njega, generira se jednostavnom formulom Zn+1=Zna+C, gdje su Z i C kompleksni brojevi, a a pozitivan broj.

Mandelbrotov skup koji se najčešće vidi je Mandelbrotov skup 2. stupnja, tj. a=2. Činjenica da Mandelbrotov skup nije samo Zn+1=ZnÍ+C, već fraktal čiji eksponent u formuli može biti bilo koji pozitivan broj zavela je mnoge ljude u zabludu. Na ovoj stranici vidite primjer Mandelbrotovog skupa za različite vrijednosti eksponenta a.
Slika 3. Pojava mjehurića na a=3,5

Proces Z=Z*tg(Z+C) je također popularan. Zahvaljujući uključivanju funkcije tangente, dobiva se Mandelbrotov skup, okružen područjem nalik jabuci. Pri korištenju kosinusne funkcije dobivaju se efekti mjehurića zraka. Ukratko, postoji beskonačan broj načina za ugađanje Mandelbrotovog skupa za stvaranje raznih lijepih slika.

VIŠESTRUKA JULIJA

Iznenađujuće, Julijini skupovi formirani su prema istoj formuli kao i Mandelbrotov skup. Julijin skup je izumio francuski matematičar Gaston Julia, po kojem je skup i dobio ime. Prvo pitanje koje se postavlja nakon vizualnog upoznavanja s Mandelbrotovim i Julijinim skupovima je "ako su oba fraktala generirana istom formulom, zašto su toliko različiti?" Prvo pogledajte slike seta Julia. Čudno je da postoje različite vrste Julia kompleta. Kada crtate fraktal koristeći različite početne točke (za početak procesa ponavljanja), razne slike. Ovo se odnosi samo na set Julia.

Fig 4. Julia set

Iako se ne vidi na slici, Mandelbrotov fraktal zapravo je hrpa Julijinih fraktala povezanih zajedno. Svaka točka (ili koordinata) Mandelbrotovog skupa odgovara Julijinom fraktalu. Julia skupovi se mogu generirati korištenjem ovih točaka kao početnih vrijednosti u jednadžbi Z=ZI+C. Ali to ne znači da ako odaberete točku na Mandelbrotovom fraktalu i povećate je, možete dobiti Julijin fraktal. Ove dvije točke su identične, ali samo u matematičkom smislu. Ako uzmemo ovu točku i izračunamo je prema ovoj formuli, možemo dobiti Julijin fraktal koji odgovara određenoj točki Mandelbrotovog fraktala.

Kako bismo predstavili čitavu raznolikost fraktala, zgodno je pribjeći njihovoj općeprihvaćenoj klasifikaciji.

2.1 Geometrijski fraktali

Fraktali ove klase su najočitiji. U dvodimenzionalnom slučaju oni se dobivaju pomoću neke polilinije (ili površine u trodimenzionalnom slučaju) tzv. generator. U jednom koraku algoritma svaki od segmenata koji čine izlomljenu liniju zamjenjuje se izlomljenom linijom-generatorom, u odgovarajućem mjerilu. Kao rezultat beskrajnog ponavljanja ovog postupka dobiva se geometrijski fraktal.

Slika 1. Konstrukcija trijadne Kochove krivulje.

Razmotrite jedan od ovih fraktalnih objekata - trijadnu Kochovu krivulju. Konstrukcija krivulje počinje s segmentom jedinične duljine (slika 1) - to je 0. generacija Kochove krivulje. Nadalje, svaka veza (jedan segment u nultoj generaciji) zamijenjena je s generatrisa, prikazano na sl. 1 kroz n=1. Kao rezultat takve zamjene dobiva se sljedeća generacija Kochove krivulje. U 1. generaciji, ovo je krivulja od četiri ravne karike, svaka duljine od 1/3 . Za dobivanje 3. generacije izvode se iste radnje - svaka karika zamjenjuje se smanjenim elementom oblikovanja. Dakle, da bi se dobila svaka sljedeća generacija, sve veze prethodne generacije moraju biti zamijenjene reduciranim tvorbenim elementom. Zavoj n generacije za bilo koje ograničenje n nazvao predfraktalni. Slika 1 prikazuje pet generacija krivulje. Na n težeći beskonačnosti, Kochova krivulja postaje fraktalni objekt.

Slika 2. Konstrukcija "zmaja" Harter-Hatewaya.

Da biste dobili još jedan fraktalni objekt, morate promijeniti pravila konstrukcije. Neka su generirajući element dva jednaka segmenta spojena pod pravim kutom. U nultoj generaciji jedinični segment zamijenimo ovim generirajućim elementom tako da je kut na vrhu. Možemo reći da takvom zamjenom dolazi do pomaka u sredini veze. Kod konstruiranja sljedećih generacija ispunjava se pravilo: prva karika s lijeve strane zamjenjuje se generirajućim elementom tako da je sredina karike pomaknuta lijevo od smjera kretanja, a kod zamjene sljedećih karika, smjerovi pomaka središta segmenata moraju se izmjenjivati. Slika 2 prikazuje prvih nekoliko generacija i 11. generaciju krivulje konstruirane prema gore opisanom principu. Granična fraktalna krivulja (at n koja teži beskonačnosti) naziva se Harter-Hateway zmaj .

U računalnoj je grafici uporaba geometrijskih fraktala nužna pri dobivanju slika drveća, grmlja i obale. Dvodimenzionalni geometrijski fraktali koriste se za stvaranje volumetrijskih tekstura (uzorci na površini objekta).

2.2 Algebarski fraktali

Ovo je najveća skupina fraktala. Dobivaju se pomoću nelinearnih procesa u n-dimenzionalni prostori. Najviše se proučavaju dvodimenzionalni procesi. Tumačeći nelinearni iterativni proces kao diskretni dinamički sustav, može se koristiti terminologija teorije ovih sustava: fazni portret, stabilno stanje, atraktor itd.

Poznato je da nelinearni dinamički sustavi imaju nekoliko stabilnih stanja. Stanje u kojem se dinamički sustav nalazi nakon određenog broja iteracija ovisi o njegovom početnom stanju. Stoga svako stabilno stanje (ili, kako kažu, atraktor) ima određeno područje početnih stanja, iz kojih će sustav nužno pasti u razmatrana konačna stanja. Dakle, fazni prostor sustava je podijeljen na područja privlačnosti atraktori. Ako je fazni prostor dvodimenzionalan, tada se bojanjem područja privlačenja različitim bojama može dobiti fazni portret u boji ovaj sustav (iterativni proces). Promjenom algoritma odabira boja možete dobiti složene fraktalne uzorke s otmjenim višebojnim uzorcima. Iznenađenje za matematičare bila je sposobnost generiranja vrlo složenih netrivijalnih struktura korištenjem primitivnih algoritama.

Slika 3. Mandelbrotov skup.

Kao primjer, razmotrite Mandelbrotov skup (vidi sl. 3 i sl. 4). Algoritam za njegovu konstrukciju prilično je jednostavan i temelji se na jednostavnom iterativnom izrazu:

Z = Z[i] * Z[i] + C,

Gdje Z ja i C su kompleksne varijable. Iteracije se izvode za svaku početnu točku C pravokutno ili kvadratno područje – podskup kompleksne ravnine. Iterativni proces se nastavlja sve dok Z[i] neće izaći izvan kruga polumjera 2 čije središte leži u točki (0,0), (to znači da je atraktor dinamičkog sustava u beskonačnosti), niti nakon dovoljno velikog broja ponavljanja (na primjer, 200-500) Z[i] konvergira u neku točku na kružnici. Ovisno o broju ponavljanja tijekom kojih Z[i] ostane unutar kruga, možete postaviti boju točke C(Ako Z[i] ostaje unutar kruga dovoljno velik broj iteracija, proces iteracije se zaustavlja i ta rasterska točka se boji crno).

Slika 4. Dio obruba Mandelbrotovog skupa, uvećan 200 puta.

Gornji algoritam daje aproksimaciju takozvanog Mandelbrotovog skupa. Mandelbrotov skup sadrži točke koje tijekom beskrajan broj ponavljanja ne ide u beskonačnost (točke su crne). Točke koje pripadaju granici skupa (tu nastaju složene strukture) idu u beskonačnost u konačnom broju ponavljanja, a točke koje leže izvan skupa idu u beskonačnost nakon nekoliko ponavljanja (bijela pozadina).

2.3 Stohastički fraktali

Postoje i druge klasifikacije fraktala, na primjer, podjela fraktala na determinističke (algebarske i geometrijske) i nedeterminističke (stohastičke).

fraktalni

Fraktal (lat. fractus- zgnječen, slomljen, razbijen) - geometrijski lik koji ima svojstvo samosličnosti, odnosno sastoji se od više dijelova od kojih je svaki sličan cijelom liku kao cjelini.U matematici se fraktali shvaćaju kao skupovi točaka u euklidskom prostoru koji imaju frakcijsku metričku dimenziju (u smislu Minkowskog ili Hausdorffa), ili metričku dimenziju koja nije topološka. Fraktazam je neovisna egzaktna znanost proučavanja i sastavljanja fraktala.

Drugim riječima, fraktali su geometrijski objekti frakcijske dimenzije. Na primjer, dimenzija linije je 1, površine je 2, volumena je 3. Za fraktal, vrijednost dimenzije može biti između 1 i 2 ili između 2 i 3. Na primjer, fraktalna dimenzija zgužvanog papira lopta je otprilike 2,5. U matematici postoji posebna složena formula za izračunavanje dimenzija fraktala. Ogranci trahealnih cijevi, lišće na drveću, vene u rukama, rijeka su fraktali. Jednostavnim rječnikom rečeno, fraktal je geometrijska figura, čiji se određeni dio ponavlja iznova i iznova, mijenjajući veličinu - to je princip samosličnosti. Fraktali su slični sami sebi, slični su sami sebi na svim razinama (tj. u bilo kojoj mjeri). Postoji mnogo različitih vrsta fraktala. U principu, može se tvrditi da je sve što postoji u stvarnom svijetu fraktal, bilo da se radi o oblaku ili molekuli kisika.

Riječ "kaos" sugerira nešto nepredvidivo, ali zapravo je kaos prilično uređen i pokorava se određenim zakonima. Svrha proučavanja kaosa i fraktala je predviđanje obrazaca koji se na prvi pogled mogu činiti nepredvidivima i potpuno kaotičnima.

Pionir u ovom području znanja bio je francusko-američki matematičar, profesor Benoit B. Mandelbrot. Sredinom 1960-ih razvio je fraktalnu geometriju, čija je svrha bila analiza izlomljenih, naboranih i nejasnih oblika. Mandelbrotov skup (prikazan na slici) je prva asocijacija koja se čovjeku pojavi kada čuje riječ fraktal. Inače, Mandelbrot je utvrdio da je fraktalna dimenzija obale Engleske 1,25.

Fraktali se sve više koriste u znanosti. Oni opisuju stvarni svijetčak i bolje od tradicionalne fizike ili matematike. Brownovo gibanje je, na primjer, nasumično i kaotično kretanje čestica prašine suspendiranih u vodi. Ova vrsta kretanja je možda najpraktičniji aspekt fraktalne geometrije. Nasumično Brownovo gibanje ima frekvencijski odziv koji se može koristiti za predviđanje fenomena koji uključuju velike količine podataka i statistike. Na primjer, Mandelbrot je predvidio promjene u cijeni vune koristeći Brownovo gibanje.

Riječ "fraktal" može se koristiti ne samo kao matematički pojam. Fraktalom se u tisku i popularnoj znanstvenoj literaturi mogu nazvati figure koje imaju bilo koje od sljedećih svojstava:

Ima netrivijalnu strukturu na svim razinama. Ovo je razlika od pravilnih figura (kao što su krug, elipsa, graf glatke funkcije): ako razmotrimo mali fragment pravilne figure u vrlo velikom mjerilu, izgledat će kao fragment ravne linije. . Za fraktal, zumiranje ne dovodi do pojednostavljenja strukture, na svim mjerilima vidjet ćemo jednako složenu sliku.

Samosličan je ili približno samosličan.

Ima frakcijsku metričku dimenziju ili metričku dimenziju koja je nadređena topološkoj.

Najkorisnija upotreba fraktala u računalstvu je fraktalna kompresija podataka. Istovremeno, slike se komprimiraju puno bolje nego što se to radi konvencionalnim metodama - do 600:1. Još jedna prednost fraktalne kompresije je ta što pri zumiranju nema efekta pikselizacije koji drastično pogoršava sliku. Štoviše, fraktalno komprimirana slika nakon povećanja često izgleda još bolje nego prije. Računalni znanstvenici također znaju da se fraktali beskrajne složenosti i ljepote mogu generirati jednostavnim formulama. Filmska industrija uvelike koristi tehnologiju fraktalne grafike za stvaranje realističnih elemenata pejzaža (oblaci, stijene i sjene).

Proučavanje turbulencije u tokovima vrlo se dobro prilagođava fraktalima. To omogućuje bolje razumijevanje dinamike složenih tokova. Plamen se također može modelirati pomoću fraktala. Porozni materijali dobro su zastupljeni u fraktalnom obliku zbog činjenice da imaju vrlo složenu geometriju. Za prijenos podataka na daljinu koriste se antene fraktalnog oblika, što uvelike smanjuje njihovu veličinu i težinu. Fraktali se koriste za opisivanje zakrivljenosti površina. Neravnu površinu karakterizira kombinacija dvaju različitih fraktala.

Mnogi objekti u prirodi imaju fraktalna svojstva, kao što su obale, oblaci, krošnje drveća, snježne pahulje, krvožilni sustav i alveolarni sustav ljudi ili životinja.

Fraktali, posebno u ravnini, popularni su zbog svoje kombinacije ljepote i lakoće izrade s računalom.

Prvi primjeri samosličnih skupova s neobičnim svojstvima pojavili su se u 19. stoljeću (primjerice, Bolzanova funkcija, Weierstrassova funkcija, Cantorov skup). Pojam "fraktal" uveo je Benoit Mandelbrot 1975. godine i stekao je veliku popularnost izdavanjem njegove knjige "Fraktalna geometrija prirode" 1977. godine.

Slika lijevo prikazuje fraktal Darer Pentagon kao jednostavan primjer, koji izgleda kao hrpa peterokuta stisnutih zajedno. Zapravo, formira se korištenjem peterokuta kao inicijatora i jednakokračnih trokuta, čiji je omjer najveće i najmanje stranice točno jednak takozvanom zlatnom rezu (1,618033989 ili 1/(2cos72°)) kao generator. Ovi trokuti su izrezani iz sredine svakog peterokuta, što rezultira oblikom koji izgleda kao 5 malih peterokuta zalijepljenih na jedan veliki.

Teorija kaosa kaže da su složeni nelinearni sustavi nasljedno nepredvidljivi, ali u isto vrijeme tvrdi da se način izražavanja takvih nepredvidivih sustava pokazuje točnim ne u egzaktnim jednakostima, već u reprezentacijama ponašanja sustava - u grafovima čudnih atraktora koji izgledaju kao fraktali. Tako se teorija kaosa, koju mnogi smatraju nepredvidljivošću, ispostavlja kao znanost o predvidljivosti čak iu najnestabilnijim sustavima. Doktrina dinamičkih sustava pokazuje da jednostavne jednadžbe mogu generirati takvo kaotično ponašanje u kojem se sustav nikada ne vraća u stabilno stanje i u isto vrijeme se ne pojavljuje nikakva pravilnost. Često se takvi sustavi ponašaju sasvim normalno do određene vrijednosti ključnog parametra, zatim doživljavaju tranziciju u kojoj postoje dvije mogućnosti daljnjeg razvoja, zatim četiri, i na kraju kaotičan skup mogućnosti.

Sheme procesa koji se odvijaju u tehničkim objektima imaju jasno definiranu fraktalnu strukturu. Struktura minimalnog tehničkog sustava (TS) podrazumijeva odvijanje unutar TS dvije vrste procesa - glavnih i pomoćnih, a ova je podjela uvjetna i relativna. Bilo koji proces može biti glavni u odnosu na prateće, a bilo koji od pratećih procesa može se smatrati glavnim u odnosu na “svoje” prateće procese. Krugovi u dijagramu označavaju fizičke učinke koji osiguravaju tijek tih procesa, za koje nije potrebno posebno kreirati “vlastiti” TS. Ti su procesi rezultat međudjelovanja tvari, polja, tvari i polja. Točnije, fizički učinak je prijenosno sredstvo na čiji princip ne možemo utjecati, au njegovu strukturu ne želimo ili nemamo prilike zadirati.

Tijek glavnog procesa prikazanog na dijagramu osiguran je postojanjem tri pomoćna procesa koji su glavni za TS koji ih generiraju. Poštenosti radi, napominjemo da za funkcioniranje čak i minimalnog TS-a tri procesa očito nisu dovoljna, tj. shema je jako, jako pretjerana.

Sve nije tako jednostavno kao što je prikazano na dijagramu. Koristan ( potrebno za osobu) proces se ne može izvesti sa 100% učinkovitošću. Raspršena energija troši se na stvaranje štetnih procesa - zagrijavanje, vibracije itd. Uslijed toga, paralelno s korisnim procesom, nastaju i štetni. Nije uvijek moguće “loš” proces zamijeniti “dobrim” pa je potrebno organizirati nove procese koji će kompenzirati posljedice koje su štetne za sustav. Tipičan primjer je potreba za borbom protiv trenja, koja nas prisiljava na organiziranje genijalnih shema podmazivanja, korištenje skupih materijala protiv trenja ili trošenje vremena na podmazivanje komponenti i dijelova ili njihovu povremenu zamjenu.

U vezi s postojanjem neizbježnog utjecaja promjenjive okoline, koristan proces može biti potrebno kontrolirati. Upravljanje se može provesti i uz pomoć automatskih uređaja i izravno od strane osobe. Dijagram procesa zapravo je skup posebnih naredbi, tj. algoritam. Suština (opis) svake naredbe je kombinacija jednog korisnog procesa, popratnih štetnih procesa i skupa potrebnih upravljačkih procesa. U takvom algoritmu skup pratećih procesa je obična potprograma – a tu također nalazimo fraktal. Metoda R. Kollera, nastala prije četvrt stoljeća, omogućuje stvaranje sustava s prilično ograničenim skupom od samo 12 parova funkcija (procesa).

Samoslični skupovi s neobičnim svojstvima u matematici

Počevši od potkraj XIX stoljeća, u matematici postoje primjeri sebi sličnih objekata s patološkim svojstvima sa stajališta klasične analize. To uključuje sljedeće:

Cantorov skup je nigdje gust neprebrojiv savršen skup. Modificiranjem postupka također se može dobiti nigdje gust skup pozitivne duljine.

trokut Sierpinski ("stolnjak") i tepih Sierpinski analozi su Cantorovog postavljenog na ravnini.

Mengerova spužva - analog Cantorovog postavljenog u trodimenzionalnom prostoru;

primjeri Weierstrassa i van der Waerdena nigdje diferencijabilne kontinuirane funkcije.

Kochova krivulja - nepresijecajuća se kontinuirana krivulja beskonačne duljine koja nema tangentu ni u jednoj točki;

Peanova krivulja je kontinuirana krivulja koja prolazi kroz sve točke kvadrata.

putanja Brownove čestice također se nigdje ne može razlikovati s vjerojatnošću 1. Njegova Hausdorffova dimenzija je dva

Rekurzivni postupak za dobivanje fraktalnih krivulja

Konstrukcija Kochove krivulje

Postoji jednostavan rekurzivni postupak za dobivanje fraktalnih krivulja u ravnini. Definiramo proizvoljnu izlomljenu liniju s konačnim brojem karika, koja se naziva generator. Zatim svaki segment u njemu zamijenimo generatorom (točnije, izlomljenom linijom sličnom generatoru). U dobivenoj isprekidanoj liniji svaki segment ponovno zamijenimo generatorom. Nastavljajući u beskonačnost, u limitu dobivamo fraktalnu krivulju. Slika desno prikazuje prva četiri koraka ovog postupka za Kochovu krivulju.

Primjeri takvih krivulja su:

zmajeva krivulja,

Kochova krivulja (Kochova pahuljica),

Levyjeva krivulja,

minkovska krivulja,

Hilbertova krivulja,

Slomljeni (krivi) zmaj (Fractal Harter-Hateway),

Peano krivulja.

Sličnim postupkom dobiva se Pitagorino stablo.

Fraktali kao fiksne točke kontrakcijskih preslikavanja

Svojstvo samosličnosti može se matematički strogo izraziti na sljedeći način. Dopustiti biti kontrakcija mape ravnine. Razmotrimo sljedeće preslikavanje na skupu svih kompaktnih (zatvorenih i ograničenih) podskupova ravnine:

Može se pokazati da je preslikavanje kontrakcijsko preslikavanje skupa kompaktnih skupova s Hausdorffovom metrikom. Prema tome, prema Banachovu teoremu, ovo preslikavanje ima jedinstvenu fiksnu točku. Ova fiksna točka će biti naš fraktal.

Gore opisani rekurzivni postupak za dobivanje fraktalnih krivulja poseban je slučaj ove konstrukcije. U njemu su sva preslikavanja preslikavanja sličnosti i broj su veza generatora.

Za trokut Sierpinskog i preslikavanje , , su homotetije sa središtima u vrhovima pravilnog trokuta i koeficijentom 1/2. Lako je vidjeti da se trokut Sierpinskog transformira u sebe pod preslikavanjem.

U slučaju kada su preslikavanja transformacije sličnosti s koeficijentima, dimenzija fraktala (pod nekim dodatnim tehničkim uvjetima) može se izračunati kao rješenje jednadžbe . Dakle, za trokut Sierpinskog dobivamo .

Prema istom Banachovu teoremu, polazeći od bilo kojeg kompaktnog skupa i primjenjujući na njega iteracije karte, dobivamo niz kompaktnih skupova koji konvergiraju (u smislu Hausdorffove metrike) našem fraktalu.

Fraktali u složenoj dinamici

Julia set

Još jedan set Julije

Fraktali se prirodno pojavljuju u proučavanju nelinearnih dinamičkih sustava. Najviše proučavan slučaj je kada je dinamički sustav definiran iteracijama polinoma ili holomorfne funkcije kompleksne varijable na ravnini. Prva istraživanja na ovom području datiraju s početka 20. stoljeća i povezuju se s imenima Fatou i Julia.

Neka F(z) - polinom, z 0 je kompleksan broj. Razmotrite sljedeći redoslijed: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Zanima nas ponašanje ove sekvence onako kako to obično radimo n do beskonačnosti. Ovaj niz može:

težiti beskonačnosti

težiti krajnjem

pokazuju cikličko ponašanje u granici, na primjer: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

ponašati se kaotično, odnosno ne ispoljavati niti jednu od tri navedene vrste ponašanja.

Skupovi vrijednosti z 0, za koje niz pokazuje jednu specifičnu vrstu ponašanja, kao i skupovi bifurkacijskih točaka između različitih vrsta, često imaju fraktalna svojstva.

Dakle, Julijin skup je skup bifurkacijskih točaka za polinom F(z)=z 2 +c(ili drugu sličnu funkciju), odnosno te vrijednosti z 0 , za koje ponašanje niza ( z n) može dramatično promijeniti s proizvoljno malim promjenama z 0 .

Druga opcija za dobivanje fraktalnih skupova je uvođenje parametra u polinom F(z) i uzimajući u obzir skup onih vrijednosti parametara za koje niz ( z n) pokazuje određeno ponašanje za fiksni z 0 . Dakle, Mandelbrotov skup je skup svih za koje ( z n) Za F(z)=z 2 +c I z 0 ne ide u beskonačnost.

Još poznati primjer ove vrste su Newtonovi bazeni.

Popularno je stvarati prekrasne grafičke slike temeljene na složenoj dinamici bojanjem ravninskih točaka ovisno o ponašanju odgovarajućih dinamičkih sustava. Na primjer, kako biste nadopunili Mandelbrotov skup, možete obojiti točke ovisno o brzini težnje ( z n) do beskonačnosti (definiran, recimo, kao najmanji broj n, gdje je | z n| prelazi fiksnu veliku vrijednost A.

Biomorfi su fraktali izgrađeni na temelju složene dinamike i nalikuju živim organizmima.

Stohastički fraktali

Nasumični fraktal temeljen na Julijinom skupu

Prirodni objekti često imaju fraktalni oblik. Za njihovo modeliranje mogu se koristiti stohastički (slučajni) fraktali. Primjeri stohastičkih fraktala:

trajektorija Brownovog gibanja u ravnini i prostoru;

granica putanje Brownovog gibanja na ravnini. Godine 2001. Lawler, Schramm i Werner dokazali su Mandelbrotovu pretpostavku da je njezina dimenzija 4/3.

Schramm-Löwnerove evolucije su konformno invarijantne fraktalne krivulje koje se pojavljuju u kritičnim dvodimenzionalnim modelima statističke mehanike, na primjer, u Isingovom modelu i perkolaciji.

razne vrste randomiziranih fraktala, odnosno fraktala dobivenih rekurzivnom procedurom, u kojoj se u svakom koraku uvodi slučajni parametar. Plazma je primjer korištenja takvog fraktala u računalnoj grafici.

U prirodi

Pogled sprijeda na dušnik i bronhe

bronhijalno stablo

mreža krvnih žila

Primjena

Prirodne znanosti

U fizici fraktali prirodno nastaju pri modeliranju nelinearnih procesa, kao što su turbulentno strujanje fluida, složeni difuzijsko-adsorpcijski procesi, plamen, oblaci itd. Fraktali se koriste pri modeliranju poroznih materijala, na primjer, u petrokemiji. U biologiji se koriste za modeliranje populacija i za opisivanje sustava unutarnjih organa (sustav krvnih žila).

Radiotehnika

fraktalne antene

Korištenje fraktalne geometrije u projektiranju antenskih uređaja prvi je primijenio američki inženjer Nathan Cohen, koji je tada živio u centru Bostona, gdje je bilo zabranjeno postavljanje vanjskih antena na zgrade. Nathan je iz aluminijske folije izrezao lik u obliku Kochove krivulje i zalijepio ga na list papira, a zatim ga pričvrstio na prijemnik. Cohen je osnovao vlastitu tvrtku i pokrenuo njihovu serijsku proizvodnju.

Informatika

Kompresija slike

Glavni članak: Algoritam fraktalne kompresije

fraktalno stablo

Postoje algoritmi za kompresiju slike koji koriste fraktale. Temelje se na ideji da umjesto same slike možete pohraniti mapu kontrakcije za koju je ta slika (ili neka njoj bliska) fiksna točka. Korištena je jedna od varijanti ovog algoritma [ izvor neodređen 895 dana] od strane Microsofta prilikom objavljivanja njegove enciklopedije, ali ovi algoritmi nisu bili široko korišteni.

Računalna grafika

Još jedno fraktalno stablo

Fraktali se široko koriste u računalnoj grafici za izradu slika prirodnih objekata kao što su drveće, grmlje, planinski krajolici, morske površine i tako dalje. Postoje mnogi programi koji se koriste za generiranje fraktalnih slika, pogledajte Fraktalni generator (program).

decentralizirane mreže

Netsukukuov sustav dodjele IP adresa koristi princip fraktalne kompresije informacija za kompaktnu pohranu informacija o mrežnim čvorovima. Svaki čvor na Netsukuku mreži pohranjuje samo 4 KB informacija o statusu susjednih čvorova, dok se svaki novi čvor spaja na opću mrežu bez potrebe za središnjom regulacijom distribucije IP adresa, što je npr. Internet. Dakle, princip fraktalne kompresije informacija jamči potpuno decentraliziran, a time i najstabilniji rad cijele mreže.

Fraktali su poznati već gotovo stoljeće, dobro su proučeni i imaju brojne primjene u životu. Ovaj se fenomen temelji na vrlo jednostavnoj ideji: beskonačan broj figura ljepote i raznolikosti može se dobiti iz relativno jednostavnih struktura koristeći samo dvije operacije - kopiranje i skaliranje.

Ovaj koncept nema strogu definiciju. Stoga riječ "fraktal" nije matematički pojam. Obično se zove geometrijski lik, koji zadovoljava jedno ili više od sljedećih svojstava:

ima složenu strukturu pri bilo kojem povećanju;
je (približno) sličan sebi;
ima frakcijsku Hausdorffovu (fraktalnu) dimenziju, koja je veća od topološke;
može se izgraditi rekurzivnim postupcima.

Na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće proučavanje fraktala bilo je više epizodno nego sustavno, jer su raniji matematičari uglavnom proučavali "dobre" objekte koji su se mogli proučavati pomoću uobičajene metode i teorije. Godine 1872. njemački matematičar Karl Weierstrass konstruirao je primjer kontinuirane funkcije koja se nigdje ne može diferencirati. Međutim, njegova je konstrukcija bila posve apstraktna i teško razumljiva. Stoga je 1904. Šveđanin Helge von Koch došao do kontinuirane krivulje koja nigdje nema tangente, a nacrtati ju je prilično jednostavno. Ispostavilo se da ima svojstva fraktala. Jedna varijacija ove krivulje naziva se Kochova snježna pahulja.

Ideje o samosličnosti figura preuzeo je Francuz Paul Pierre Levy, budući mentor Benoita Mandelbrota. Godine 1938. objavljen je njegov članak “Ravne i prostorne krivulje i plohe koje se sastoje od dijelova sličnih cjelini” u kojem je opisan još jedan fraktal - Lévy C-krivulja. Svi gore navedeni fraktali mogu se uvjetno pripisati jednoj klasi konstruktivnih (geometrijskih) fraktala.

Druga klasa su dinamički (algebarski) fraktali, koji uključuju Mandelbrotov skup. Prva istraživanja u tom smjeru datiraju s početka 20. stoljeća i vežu se uz imena francuskih matematičara Gastona Julia i Pierrea Fatoua. Godine 1918. objavljeno je gotovo dvjesto stranica Julijinog rada, posvećenog iteracijama složenih racionalnih funkcija, u kojima su opisani Julijini skupovi - cijela obitelj fraktala blisko povezana s Mandelbrotovim skupom. Ovo djelo je nagrađeno nagradom Francuske akademije, ali nije sadržavalo niti jednu ilustraciju, pa je bilo nemoguće cijeniti ljepotu otkrivenih predmeta. Unatoč činjenici da je ovo djelo Juliju učinilo poznatom među tadašnjim matematičarima, brzo je zaboravljeno.

Tek pola stoljeća kasnije, s pojavom računala, pažnja se usmjerila na rad Julije i Fatoua: upravo su oni učinili vidljivim bogatstvo i ljepotu svijeta fraktala. Uostalom, Fatou nikada nije mogao gledati slike koje sada poznajemo kao slike Mandelbrotovog skupa, jer se potreban broj izračuna ne može napraviti ručno. Prva osoba koja je za to upotrijebila računalo bio je Benoit Mandelbrot.

Godine 1982. objavljena je Mandelbrotova knjiga "Fraktalna geometrija prirode" u kojoj je autor sakupio i sistematizirao gotovo sve tada dostupne podatke o fraktalima te ih prikazao na jednostavan i pristupačan način. Mandelbrot je u svom izlaganju glavni naglasak stavio ne na teške formule i matematičke konstrukcije, već na geometrijsku intuiciju čitatelja. Zahvaljujući računalno generiranim ilustracijama i povijesnim pričama, kojima je autor vješto razvodnio znanstvenu komponentu monografije, knjiga je postala bestseler, a fraktali poznati široj javnosti. Svoj uspjeh među nematematičarima uvelike zahvaljuju činjenici da se uz pomoć vrlo jednostavnih konstrukcija i formula koje može razumjeti i srednjoškolac dobivaju slike nevjerojatne složenosti i ljepote. Kada su osobna računala postala dovoljno moćna, pojavio se čak i čitav trend u umjetnosti - fraktalno slikanje, a to je mogao učiniti gotovo svaki vlasnik računala. Sada na internetu možete lako pronaći mnoge stranice posvećene ovoj temi.

Urednici NNN-a slučajno su naletjeli na vrlo zanimljive stvari, predstavljen u blogu korisnika xtsarx, posvećen elementima teorije fraktali i njegovu praktičnu primjenu. Kao što je poznato, teorija fraktala igra važnu ulogu u fizici i kemiji nanosustava. Dajući svoj doprinos ovom solidnom materijalu, prezentiranom na jeziku pristupačnom širokom krugu čitatelja i potkrijepljenom obilnom količinom grafičkog, pa čak i video materijala, predstavljamo ga vašoj pozornosti. Nadamo se da će čitateljima NNN-a ovaj materijal biti zanimljiv.

Priroda je toliko tajanstvena da što je više proučavate, to se više pitanja javlja... Noćna munja - plavi "potoci" razgranatog pražnjenja, mrazni uzorci na prozoru, snježne pahulje, planine, oblaci, kora drveća - sve to nadilazi uobičajeno. Euklidska geometrija. Crtama, krugovima i trokutima ne možemo opisati kamen ili granice otoka. I tu mi dolazimo u pomoć fraktali. Što su ovi poznati stranci?

“Pod mikroskopom je to otkrio na buhi
Buha koja grize živi na buhi;
Na toj buhi je mala buha,
Ljutito zabija zub u buhu
Buha, i tako ad infinitum. D. Swift.

Malo povijesti

Prve ideje fraktalna geometrija nastao u 19. stoljeću. Kantor je jednostavnim rekurzivnim (ponavljajućim) postupkom liniju pretvorio u skup nepovezanih točaka (tzv. Cantorovu prašinu). Uzeo je liniju i uklonio središnju trećinu, a potom isto ponovio s preostalim segmentima.

Riža. 1. Peano krivulja 1,2–5 ponavljanja.

Peano slikano posebna vrsta linije. Peano je učinio sljedeće: Na prvom koraku uzeo je ravnu liniju i zamijenio je s 9 odsječaka 3 puta kraćih od duljine izvorne linije. Zatim je učinio isto sa svakim segmentom rezultirajuće linije. I tako u nedogled. Njegova jedinstvenost leži u činjenici da ispunjava cijelu ravninu. Dokazano je da se za svaku točku u ravnini može pronaći točka koja pripada Peanovoj liniji. Peanova krivulja i Cantorova prašina nadišle su obične geometrijske objekte. Nisu bile jasne veličine.. Cantorova prašina konstruirana je naizgled na temelju jednodimenzionalne ravne linije, ali se sastojala od točaka (dimenzija 0). I Peanova krivulja izgrađena je na temelju jednodimenzionalne linije, a rezultat je bila ravnina. U mnogim drugim područjima znanosti pojavili su se problemi koji su doveli do čudnih rezultata, poput gore opisanih (Brownovo gibanje, cijene dionica). Svatko od nas može napraviti ovaj postupak...

Otac fraktala

Sve do 20. stoljeća gomilali su se podaci o takvim čudnim objektima, bez pokušaja da se oni sistematiziraju. Tako je bilo dok nisu uzeli Benoit Mandelbrot – otac moderne fraktalne geometrije i riječi fraktal.

Riža. 2. Benoit Mandelbrot.

Dok je radio u IBM-u kao matematički analitičar, proučavao je šum u elektroničkim sklopovima koji se nije mogao opisati statistikom. Postupno uspoređujući činjenice, došao je do otkrića novog smjera u matematici - fraktalna geometrija.

Pojam "fraktal" uveo je B. Mandelbrot 1975. Prema Mandelbrotu, fraktalni(od latinskog "fractus" - frakcijski, slomljen, slomljen) zove se struktura sastavljena od dijelova poput cjeline. Svojstvo samosličnosti oštro razlikuje fraktale od objekata klasične geometrije. Termin samosličnost sredstva prisutnost fine, ponavljajuće strukture, kako na najmanjim mjerilima objekta, tako i na makroskalama.

Riža. 3. Na definiciju pojma "fraktal".

Primjeri samosličnosti su: Koch, Levy, krivulje Minkowskog, trokut Sierpinskog, Mengerova spužva, Pitagorino stablo itd.

S matematičkog gledišta, fraktalni je, prije svega, skup s frakcijskom (srednjom, "ne cjelobrojnom") dimenzijom. Dok glatka euklidska linija ispunjava točno jednodimenzionalni prostor, fraktalna krivulja nadilazi jednodimenzionalni prostor, zadire izvan granica u dvodimenzionalni prostor. Dakle, fraktalna dimenzija Kochove krivulje bit će između 1 i 2. Ovo, prije svega, znači da fraktalni objekt ne može točno izmjeriti svoju duljinu! Od ovih geometrijskih fraktala, prvi je vrlo zanimljiv i prilično poznat - Kochova pahulja.

Riža. 4. Na definiciju pojma "fraktal".

Izgrađen je na temelju jednakostraničan trokut. Od kojih je svaki redak zamijenjen s 4 retka svaki 1/3 izvorne duljine. Dakle, sa svakom iteracijom, duljina krivulje se povećava za trećinu. A ako napravimo beskonačan broj ponavljanja, dobit ćemo fraktal – Kochovu pahulju beskonačne duljine. Ispada da naša beskonačna krivulja pokriva ograničeno područje. Pokušajte učiniti isto s metodama i slikama iz Euklidske geometrije.
Dimenzija Kochove pahulje(kada se pahulja poveća 3 puta, njena duljina se poveća 4 puta) D=log(4)/log(3)=1,2619.

O fraktalu

Fraktali sve više nalaze primjenu u znanosti i tehnologiji. Glavni razlog za to je što oni ponekad čak i bolje opisuju stvarni svijet od tradicionalne fizike ili matematike. Možete beskrajno davati primjere fraktalnih objekata u prirodi - to su i oblaci, i snježne pahulje, i planine, i bljesak munje, i na kraju, cvjetača. Fraktal kao prirodni objekt je vječno neprekidno kretanje, novo formiranje i razvoj.

Riža. 5. Fraktali u ekonomiji.

Osim, fraktali nalaze primjenu u decentraliziranim računalnim mrežama I "fraktalne antene" . Vrlo zanimljivi i perspektivni za modeliranje različitih stohastičkih (nedeterminističkih) "slučajnih" procesa su takozvani "Brownianovi fraktali". U slučaju nanotehnologije, fraktali također igraju važnu ulogu. , budući da, zbog svoje hijerarhijske samoorganizacije, mnogi nanosustavi imaju necjelobrojnu dimenziju, odnosno fraktali su po svojoj geometrijskoj, fizikalno-kemijskoj ili funkcionalnoj prirodi. Na primjer, upečatljiv primjer kemijskih fraktalnih sustava su molekule "dendrimera" . Osim toga, načelo fraktalnosti (samoslične, skalirajuće strukture) odraz je hijerarhijske strukture sustava te je stoga općenitije i univerzalnije od standardnih pristupa opisivanju strukture i svojstava nanosustava.

Riža. 6. Molekule "dendrimera".