Konstrukcija presjeka poliedra. Istraživački rad na temu "Metode konstruiranja presjeka poliedra"
Sam zadatak obično ide ovako: "izgradi prirodan pogled na sliku presjeka". Naravno, odlučili smo ovo pitanje ne ostaviti po strani i pokušati, ako je moguće, objasniti kako je konstruiran kosi presjek.
Da bih objasnio kako se gradi kosi presjek, navest ću nekoliko primjera. Naravno, počet ću s elementarnim, postupno povećavajući složenost primjera. Nadam se da ćete nakon analize ovih primjera crteža presjeka razumjeti kako se to radi i da ćete moći sami dovršiti svoj zadatak učenja.
Razmotrite "ciglu" dimenzija 40x60x80 mm proizvoljnom nagnutom ravninom. Rezna ravnina ga presijeca po točkama 1-2-3-4. Mislim da je tu sve jasno.
Prijeđimo na konstrukciju prirodnog oblika presječne figure.
1. Prije svega, nacrtajmo os presjeka. Os treba nacrtati paralelno s ravninom presjeka - paralelno s linijom u koju je ravnina projicirana na glavnom prikazu - obično je zadatak postavljen na glavnom prikazu konstrukcija kosog presjeka(Dalje ću uvijek spominjati glavni pogled, imajući na umu da je to gotovo uvijek slučaj u crtežima za obuku).
2. Na osi izdvajamo duljinu sekcije. Na mom crtežu je označena kao L. Veličina L određena je u glavnom prikazu i jednaka je udaljenosti od točke gdje presjek ulazi u dio do točke gdje izlazi.
3. Od dobivenih dviju točaka na osi okomitoj na nju, odvajamo širine presjeka u tim točkama. Širina presjeka na mjestu ulaza u dio i na mjestu izlaza iz dijela može se odrediti u pogledu odozgo. U ovaj slučaj oba segmenta 1-4 i 2-3 jednaka su 60 mm. Kao što možete vidjeti na gornjoj slici, rubovi presjeka su ravni, tako da jednostavno povezujemo naša dva rezultirajuća segmenta, dobivajući pravokutnik 1-2-3-4. Ovo je - prirodni pogled na lik presjeka naše opeke s nagnutom ravninom.
Sada zakomplicirajmo naš detalj. Stavimo ciglu na bazu 120x80x20 mm i dodamo ukrućenje slici. Nacrtajmo reznu ravninu tako da prolazi kroz sva četiri elementa figure (kroz bazu, ciglu i dva ukrućenja). Na slici ispod možete vidjeti tri pogleda i realnu sliku ovog dijela.
Pokušajmo izgraditi prirodan pogled na ovaj nagnuti dio. Počnimo ponovno s osi presjeka: nacrtajte je paralelno s ravninom presjeka naznačenom na glavnom prikazu. Na njemu smo odvojili duljinu odjeljka jednako A-E. Točka A je ulazna točka presjeka u dio, au konkretnom slučaju ulazna točka presjeka u bazu. Izlaz iz baze je točka B. Označimo točku B na osi presjeka. Slično označavamo ulazno-izlazne točke do ruba, do "cigle" i do drugog ruba. Od točaka A i B okomito na os, odvajamo segmente jednake širini baze (sa svake strane osi, 40, samo 80 mm). Spojiti ekstremne točke- dobivamo pravokutnik, koji je prirodan pogled na presjek baze dijela.
Sada je vrijeme za izradu dijela presjeka, koji je dio ruba dijela. Od točaka B i C odvajamo okomice od 5 mm u svakom smjeru - dobit ćemo segmente od 10 mm. Spojite krajnje točke i dobijete presjek rebra.
Od točaka C i D odvajamo okomite segmente jednake širini "cigle" - potpuno slično prvom primjeru ove lekcije.
Odvojivši okomice iz točaka D i E jednake širini drugog ruba i povezujući krajnje točke, dobivamo prirodni pogled na njegov presjek.
Ostaje obrisati skakače između pojedinačnih elemenata dobivenog odjeljka i primijeniti šrafuru. Trebali biste dobiti nešto poput ovoga:
Ako, prema danom dijelu, podijelimo sliku, tada ćemo vidjeti sljedeći prikaz:
Nadam se da niste zastrašeni zamornim paragrafima opisa algoritma. Ako ste pročitali sve gore navedeno i još uvijek ne razumijete u potpunosti, kako nacrtati presjek, toplo vam savjetujem da u ruke uzmete list papira i olovku i pokušate ponoviti sve korake za mnom - to će vam gotovo 100% pomoći da naučite gradivo.
Jednom sam obećao nastavak ovog članka. Konačno, spreman sam vam predstaviti korak po korak konstrukciju kosog presjeka dijela, bliže razini domaće zadaće. Štoviše, kosi presjek definiran je u trećem prikazu (kosi presjek definiran je u lijevom prikazu)
ili zapišite naš broj telefona i recite svojim prijateljima o nama - netko vjerojatno traži način za crtanje
ili napravite bilješku o našim lekcijama na svojoj stranici ili blogu - i netko drugi će moći svladati crtež.
Da, sve je u redu, ali volio bih vidjeti kako se ista stvar radi na nekom složenijem dijelu, sa skošenjima i rupom u obliku stošca, na primjer.
Hvala vam. Ali nisu li ukrućenja šrafirana na rezovima?
Točno. Oni su ti koji se ne izlegu. Jer oni jesu Opća pravila praveći rezove. Međutim, oni se obično šrafiraju prilikom rezanja u aksonometrijskim projekcijama - izometriji, dimetriji itd. Prilikom izvođenja nagnutih presjeka, područje koje se odnosi na ukrućenje također je zasjenjeno.
Hvala, vrlo pristupačno. Možete li mi reći može li se kosi presjek napraviti u pogledu odozgo ili u pogledu slijeva? Ako je tako, želio bih vidjeti najjednostavniji primjer. Molim vas.
Moguće je napraviti takve rezove. Ali nažalost trenutno nemam primjer pri ruci. A ima još jedan zanimljiva točka: s jedne strane, tu nema ništa novo, ali s druge strane, u praksi je stvarno teže crtati takve presjeke. Iz nekog razloga, sve se počinje brkati u glavi i većina učenika ima poteškoća. Ali ne odustaj!
Da, sve je u redu, ali volio bih vidjeti kako se to isto radi, ali s rupama (prolaznim i neprolaznim), inače se nikad ne pretvaraju u elipsu u mojoj glavi
pomozi mi sa složenim problemom
Šteta što si ovdje napisao. Pisali bismo poštom - možda bismo mogli imati vremena da porazgovaramo o svemu.
Dobro objašnjavaš. Što ako je jedna od stranica dijela polukružna? Također, postoje rupe u dijelu.
Ilya, upotrijebite lekciju iz odjeljka deskriptivne geometrije "Presjek valjka kosom ravninom". Uz to, možete shvatiti što učiniti s rupama (oni su zapravo cilindri) i s polukružnom stranom.
Zahvaljujem autoru na članku! Kratko i razumljivo. Prije 20-ak godina i sam sam grizao granit znanosti, sada pomažem svom sinu. Puno sam zaboravio, ali vaš mi je članak vratio temeljno razumijevanje teme. Ja ću se pozabaviti nagnutim dijelom cilindra)
Dodajte svoj komentar.
Aksiomi planimetrije:
U raznim udžbenicima svojstva pravaca i ravnina mogu se prikazati na različite načine, u obliku aksioma, njegove posljedice, teorema, leme itd. Razmotrite udžbenik Pogorelov A.V.
Pravac dijeli ravninu na dvije poluravnine.
0
Od bilo kojeg polupravca do zadane poluravnine može se položiti kut sa zadanom stupanjska mjera, manje od 180 0 , i to samo jedan.
Koji god trokut bio, postoji jednak trokut na danom mjestu s obzirom na dani polupravac.
Kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu može se povući najviše jedan pravac u ravnini paralelnoj sa zadanim pravcem.
Aksiomi stereometrije:
Koja god ravnina bila, postoje točke koje pripadaju ovoj ravnini, i točke koje ne pripadaju ovoj ravnini, i točke koje joj ne pripadaju.
Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku, onda se one sijeku duž pravca koji prolazi kroz tu točku.
Ako dva različita pravca imaju zajedničku točku, tada se kroz njih može povući ravnina, štoviše, samo jedna.
Koji god pravac bio, postoje točke koje mu pripadaju i točke koje mu ne pripadaju.
Kroz bilo koje dvije točke možete povući pravac, i to samo kroz jednu.
Od tri točke na pravcu, jedna i samo jedna leži između druge dvije.
Svaki segment ima određenu duljinu veću od nule. Duljina segmenta jednaka je zbroju duljina dijelova na koje ga dijeli bilo koja njegova točka.
Pravac koji pripada ravnini dijeli tu ravninu na dvije poluravnine.
Svaki kut ima određenu stupanjsku mjeru veću od nule. Ravni kut je 180 0 . Stupanjska mjera kuta jednaka je zbroju stupnjevanih mjera kutova na koje ga dijeli bilo koja zraka koja prolazi između njegovih stranica.
Na bilo kojem polupravu od njegove početne točke možete odložiti segment zadane duljine, i to samo jedan.
Iz polupravca na ravnini koja ga sadrži, kut s danom stupnjevnom mjerom manjom od 180 može se ucrtati u danu poluravninu 0 , i to samo jedan.
Koji god trokut bio, postoji jednak trokut u danoj ravnini na danom mjestu u odnosu na dani polupravac u toj ravnini.
U ravnini se kroz zadanu točku koja ne leži na zadanom pravcu može povući najviše jedan pravac paralelan zadanom pravcu.
poprečni presjek
U prostoru dva lika, za naš slučaj ravnina i poliedar, mogu imati sljedeći međusobni raspored: ne sijeku se, sijeku se u točki, sijeku se pravocrtno i ravnina siječe poliedar po njegovoj unutrašnjosti (slika 1.) , a istovremeno formiraju sljedeće brojke:
a) prazna figura (ne sijeku se)
b) točka
c) rezati
d) poligon
Ako postoji poligon u presjeku poliedra i ravnine, onda ovaj poligonnaziva se presjek poliedra ravninom .
Sl. 1
Definicija. poprečni presjek prostorno tijelo (na primjer, poliedar) je lik dobiven presjekom tijela s ravninom.
rezna ravnina poliedar Nazovimo bilo koju ravninu, na čije obje strane postoje točke danog poliedra.
Razmotrit ćemo samo slučaj kada ravnina siječe poliedar po njegovoj unutrašnjosti. U ovom slučaju, sjecište ove ravnine sa svakom stranom poliedra bit će određeni segment.
Ako se ravnine sijeku pravocrtno, tada se pravac zoves jedne od tih ravni na drugu.
U općem slučaju, sekantna ravnina poliedra siječe ravninu svake njegove plohe (kao i svaka druga sekantna ravnina tog poliedra). Također siječe svaku od linija na kojima leže bridovi poliedra.
Pravac po kojem sekantna ravnina siječe ravninu bilo koje strane poliedra naziva seprateći reznu ravninu na ravnini ove plohe, a točka u kojoj sekantna ravnina siječe liniju koja sadrži bilo koji rub poliedra naziva seprateći reznu ravninu naovu ravnu liniju. Ova točka je ujedno i trag ravne linije na reznoj ravnini. Ako rezna ravnina izravno siječe plohu poliedra, tada možemo govoriti o tragu rezne ravnine na plohi, a slično i otrag rezne ravnine na rubu poliedra, odnosno trag brida na reznoj ravnini.
Budući da je pravac jednoznačno određen dvjema točkama, za pronalaženje traga sekantne ravnine na bilo kojoj drugoj ravnini, a posebno na ravnini bilo kojeg lica poliedra, dovoljno je konstruirati dvije zajedničke točke ravnina
Za konstruiranje traga sekantne ravnine, kao i za konstruiranje presjeka poliedra tom ravninom, potrebno je zadati ne samo poliedar, već i sekantičnu ravninu. A konstrukcija presječne ravnine odvija se ovisno o zadatku ove ravnine. Glavni načini definiranja ravnine, a posebno sekantne ravnine, su sljedeći:
tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji;
pravac i točka koja na njemu ne leži;
dvije paralelne crte;
dvije linije koje se sijeku;
točka i dvije crte koje se sijeku;
Postoje i drugi načini za definiranje rezne ravnine.
Stoga se sve metode za konstruiranje presjeka poliedara mogu podijeliti na metode.
Metode konstruiranja presjeka poliedara
Metoda presjeka poliedara u stereometriji koristi se u konstrukcijskim problemima. Temelji se na sposobnosti sastavljanja presjeka poliedra i određivanja vrste presjeka.
Postoje tri glavne metode za konstruiranje presjeka poliedara:
Aksiomatska metoda:
metoda tragova.
Kombinirana metoda.
koordinatna metoda.
Bilješka da su metoda tragova i metoda pomoćnih presjeka varijetetiAksiomatska metoda za konstruiranje presjeka.
Također možemo razlikovati sljedeće metode za konstruiranje presjeka poliedara:
konstrukcija presjeka poliedra ravninom koja prolazi zadanom točkom paralelno sa zadanom ravninom;
konstrukcija odsječka koji prolazi kroz zadani pravac paralelno s drugim zadanim pravcem;
konstrukcija presjeka koji prolazi kroz zadanu točku paralelno s dvjema zadanim kosopravicama;
konstrukcija presjeka poliedra ravninom koja prolazi zadanim pravcem okomitim na zadanu ravninu;
konstrukcija presjeka poliedra ravninom koja prolazi zadanom točkom okomito na zadani pravac.
Glavne radnje koje čine metode konstruiranja presjeka su pronalaženje točke sjecišta ravne crte s ravninom, konstruiranje crte sjecišta dviju ravnina, konstruiranje ravne crte paralelne s ravninom okomitom na ravninu. Da bi se konstruirala ravna linija presjeka dviju ravnina, obično se pronađu dvije njene točke i kroz njih se povuče ravna crta. Da bismo konstruirali sjecište pravca i ravnine, treba u ravnini pronaći pravac koji siječe zadani pravac. Tada se željena točka dobije na sjecištu pronađene linije sa zadanom.
Razmotrite zasebno navedene od nasmetode za konstruiranje presjeka poliedra:
metoda tragova.
metoda tragova temelji se (operira) na aksiomima stereometrije, bit metode je konstruirati pomoćnu liniju, koja je slika linije presjeka rezne ravnine s ravninom bilo kojeg lica figure. Najprikladnije je izgraditi sliku linije presjeka ravnine rezanja s ravninom donje baze. Ova linijanaziva glavni trag rezne ravnine . Pomoću traga lako je konstruirati slike točaka rezne ravnine koje se nalaze na bočnim rubovima ili stranama figure. Dosljednim povezivanjem slika tih točaka dobivamo sliku željenog presjeka.
Bilješka da se pri konstruiranju glavnog traga sekantne ravnine koristi sljedeća tvrdnja.
Ako točke pripadaju sekanti i ne leže na jednoj ravnoj liniji, a njihove projekcije (centralne ili paralelne) na ravninu odabranu kao glavnu su, redom, točke tada su točke presjeka odgovarajućih linija, odnosno točaka i leže na istoj liniji (slika 1, a, b).
sl.1.a sl.1.b
Ova linija je glavni trag rezne ravnine. Budući da točke leže na glavnom tragu, dovoljno je pronaći dvije od te tri točke za njegovu konstrukciju.
Metoda pomoćnih presjeka.
Ova metoda konstruiranja presjeka poliedra je dovoljno univerzalna. U slučajevima kada je željeni trag (ili tragovi) rezne ravnine izvan crteža, ova metoda ima čak i određene prednosti. Istodobno, treba imati na umu da konstrukcije izvedene ovom metodom često ispadaju "natrpane". Ipak, u nekim se slučajevima metoda pomoćnih presjeka pokazuje najracionalnijom.
Kombinirana metoda
Bit kombinirane metode konstruiranja presjeka poliedra je primjena teorema o paralelnosti pravaca i ravnina u prostoru u kombinaciji s aksiomatskom metodom.
Metoda koordinata za izradu presjeka.
Bit koordinatne metode je izračunavanje koordinata sjecišta bridova ili poliedra sa sekansnom ravninom, što je zadano jednadžbom ravnine. Jednadžba presječne ravnine izračunava se na temelju uvjeta zadatka.
Bilješka da je ova metoda konstruiranja presjeka poliedra prihvatljiva za računalo, budući da je povezana s velikom količinom proračuna te je stoga preporučljivo ovu metodu implementirati pomoću računala.
Naš glavni zadatak bit će konstruirati presjek poliedra s ravninom, tj. u konstruiranju presjeka ova dva skupa.
Konstrukcija presjeka poliedra
Prije svega, napominjemo da je presjek konveksnog poliedra konveksni ravni poligon, čiji su vrhovi u općem slučaju točke presjeka sekantne ravnine s bridovima poliedra, a stranice s njegovim licima.
Primjeri izrade odjeljaka:
Postoji mnogo različitih načina za definiranje odjeljka. Najčešći od njih je metoda određivanja rezne ravnine s tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji.
Primjer 1
Za kutiju ABCDA 1
B 1
C 1
D 1
. Konstruirajte presjek koji prolazi točkama M, N, L.
Riješenje:
Spojite točke M i L koje leže u ravnini AA 1 D 1 D.
Presijeci pravac ML (koji pripada odsječku) s bridom A 1 D 1 1 D 1 D. Dobiti točku X 1 .
Točka X1 leži na bridu A 1 D 1 , a time i ravnine A 1 B 1 C 1 D 1 , spojite ga s točkom N koja leži u istoj ravnini.
x 1 N siječe rub A 1 B 1 u točki K.
Spojite točke K i M koje leže u istoj ravnini AA 1 B 1 b.
Odredi presječnu liniju presječne ravnine s ravninom DD 1
C 1
C:
Presijeci pravac ML (koji pripada odsječku) s bridom DD 1 , leže u istoj ravnini AA 1 D 1 D, uzmite točku X 2 .
Sjecimo pravac KN (koji pripada odsječku) s bridom D 1
C 1
, leže u istoj ravnini A 1
B 1
C 1
D 1
, dobivamo točku X3;
Točke X2 i X3 leže u ravnini DD 1 C 1 C. Nacrtajte liniju X 2 x 3 , koji siječe rub C 1 C u točki T, a brid DC u točki P. I spojimo točke L i P koje leže u ravnini ABCD.
Dakle, problem se smatra riješenim ako su pronađeni svi segmenti po kojima ravnina siječe plohe poliedra, što smo i uspjeli. MKNTPL - željeni odjeljak.
Bilješka. Isti zadatak za konstruiranje presjeka može se riješiti korištenjem svojstva paralelnih ravnina.
Iz navedenog možemo sastaviti algoritam (pravilo) za rješavanje problema ove vrste.
Pravila za konstruiranje presjeka poliedra:
povlačimo ravne linije kroz točke koje leže u istoj ravnini;
tražimo izravna sjecišta presječne ravnine s plohama poliedra, za ovo:
Primjer 2 DL, M
Rješavamo aksiomatskom metodom:
Nacrtaj pomoćnu ravninuDKM, koji siječe bridove AB i BC u točkama E iF(tijek rješenja je na slici 2.). Izgradimo "trag" CM presječne ravnine na ovoj pomoćnoj ravnini, pronađimo sjecišnu točku CM i EF- točka P. Točka P, kao iL, leži u ravnini ABC, te se može povući pravac po kojem presječna ravnina siječe ravninu ABC ("trag" presjeka u ravnini ABC).
Primjer 3 Na bridovima AB i AD piramide MABCD odredimo točke P odnosno Q, središta tih bridova, a na bridu MC postavimo točku R. Konstruirajmo presjek piramide ravninom koja prolazi kroz točke P, Q i R.
Rješenje će se provesti kombiniranom metodom:
1). Jasno je da je glavni trag ravnine PQR pravac PQ.
2). Odredite točku K u kojoj ravnina MAC siječe pravac PQ. Točke K i R pripadaju i ravnini PQR i ravnini MAC. Dakle, povlačenjem pravca KR dobivamo presjecište tih ravnina.
3). Pronađimo točku N=AC BD, povucimo pravac MN i nađimo točku F=KR MN.
4). Točka F je zajednička točka ravnine PQR i MDB, odnosno te se ravnine sijeku duž pravca koji prolazi kroz točku F. Istovremeno, kako je PQ srednja linija trokuta ABD, tada je PQ paralelna s BD, odnosno pravac PQ je također paralelna s ravninom MDB. Tada ravnina PQR koja prolazi pravcem PQ siječe ravninu MDB duž pravca paralelnog s pravcem PQ, odnosno paralelnog s pravcem BD. Stoga u ravnini MDB kroz točku F povučemo pravac paralelan s pravcem BD.
5). Daljnje konstrukcije su jasne sa slike. Kao rezultat, dobivamo poligon PQD"RB" - traženi odjeljak
Promotrimo presjeke prizme
za jednostavnost, odnosno pogodnost logičkog razmišljanja, razmotrite dijelove kocke (slika 3.a):
Riža. 3.a
Odsjeci prizme ravninama paralelnim s bočnim bridovima su paralelogrami. Konkretno, dijagonalni presjeci su paralelogrami (slika 4).
Def. dijagonalni presjek prizma je presjek ravninom koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.
Mnogokut koji je rezultat dijagonalnog presjeka prizme je paralelogram. Pitanje o broju dijagonalnih dijelovan-kutna prizma je teže nego pitanje broja dijagonala. Bit će onoliko odjeljaka koliko ima dijagonala u podnožju. Znamo da konveksna prizma ima konveksne poligone na svojim bazama, dok konveksnan-gon dijagonala. I tako možemo reći da ima upola manje dijagonalnih presjeka nego što ima dijagonala.
Bilješka: Prilikom konstruiranja odsječaka paralelepipeda na slici treba uzeti u obzir činjenicu da ako rezna ravnina siječe dvije suprotne strane duž nekih segmenata, tada su ti segmenti paralelni "po svojstvu paralelopipeda, tj. Nasuprotne plohe paralelopipeda su paralelne i jednake.
Donosimo odgovore na često postavljana pitanja:
Koji se poligoni dobiju u presjeku kocke ravninom?
"trokut, četverokut, peterokut, šesterokut".
Može li ravni presjek kocke dati sedmerokut? A oktogon?
"Ne možete".
3) Postavlja se pitanje koji je najveći broj stranica mnogokuta dobivenog presjekom poliedra ravninom?
Najveći broj stranice mnogokuta dobivenog u presjeku poliedra ravninom jednak je broju stranica poliedra .
Primjer 3 Konstruirajte presjek prizme A 1 B 1 C 1 D 1 ABCD ravninom koja prolazi kroz tri točke M, N, K.
Razmotrimo slučaj položaja točaka M, N, K na površini prizme (slika 5).
Razmotrimo slučaj: U ovom slučaju očito je da je M1 = B1.
Zgrada:
Primjer 4 Konstruirajte isječak paralelopipeda ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ravnina koja prolazi kroz točke M, N, P (točke su označene na crtežu (slika 6)).
Riješenje:
Riža. 6
Točke N i P leže u ravnini presjeka i ravnini donje osnovice paralelopipeda. Konstruirajmo pravac koji prolazi kroz te točke. Ova linija je trag sekantne ravnine na ravnini baze paralelopipeda.
Nastavimo pravac na kojem leži stranica AB paralelopipeda. Pravci AB i NP sijeku se u nekoj točki S. Ta točka pripada presječnoj ravnini.
Budući da i točka M pripada presječnoj ravnini i siječe pravac AA 1 u nekom trenutku x.
Točke X i N leže u istoj ravnini stranice AA 1 D 1 D, spojite ih i dobijete liniju XN.
Kako su ravnine ploha paralelepipeda paralelne, moguće je povući ravnu liniju kroz točku M na plohi A. 1 B 1 C 1 D 1 paralelna s pravom NP. Ova linija će presijecati stranicu B 1 S 1 u točki Y.
Slično, nacrtamo liniju YZ, paralelnu s linijom XN. Spojimo Z s P i dobijemo željeni odjeljak - MYZPNX.
Odsječci piramide ravninama koje prolaze kroz njen vrh su trokuti. Konkretno, dijagonalni presjeci su trokuti. To su presjeci ravninama koje prolaze kroz dva nesusjedna bočna ruba piramide.
Primjer 4
Konstruirajte presjek piramide ABCDravnina koja prolazi kroz točke K,L,
M.
Riješenje:
Nacrtaj još jednu pomoćnu ravninuDCKi konstruirajte sjecište BLIDK - točka E. Ova točka pripada objema pomoćnim ravninama (slika 7, b);
Pronađite točku sjecišta odsječakaLMi EC (ovi segmenti leže u ravniniBLC, sl. 7, c) - točkaF. TočkaFleži u ravnini presjeka i u ravniniDCK;
Povucimo ravnu linijuKFi pronađite točku sjecišta ove linije sDC- točkaN(točkaNpripada sekciji). četverokutKLNM- željeni odjeljak.
Riješimo isti primjer drugačije. .
Pretpostavimo da je za točke KL, a M odjeljakKLNM(slika 7). Označimo saFsjecište dijagonala četverokutaKLNM. Povucimo ravnu linijuD.F.i označiti saF 1
njezino sjecište s licem ABC. TočkaF 1
poklapa se s točkom sjecišta linija AM i SK (F 1
istovremeno pripada ravninama AMDIDSC). točkaF 1
lako se gradi. Zatim gradimo točkuFkao točka sjecištaD.F. 1
ILM. Zatim nalazimo točkuN.
Razmatrana metoda se zoveinterna metoda projektiranja . (Za naš slučaj pričamo o centralnom dizajnu. četverokutKISA je projekcija četverokutaKMNLiz točkeD. U ovom slučaju, točka sjecišta dijagonalaKMNL- točkaF- ide do sjecišta dijagonala četverokutaKISA - točkaF 1 .
Površina presjeka poliedra.
Problem izračuna površine poprečnog presjeka poliedra obično se rješava u nekoliko faza. Ako problem kaže da je presjek izgrađen (ili da je nacrtana rezna ravnina itd.), tada se u prvoj fazi rješenja utvrđuje oblik figure dobivene u presjeku.
To se mora učiniti kako bi se odabrala odgovarajuća formula za izračun površine poprečnog presjeka. Nakon što se razjasni oblik figure dobiven u odjeljku i odabere formula za izračunavanje površine ove figure, nastavlja se izravno na računski rad.
U nekim slučajevima može se pokazati lakšim ako, bez otkrivanja oblika figure dobivene u odjeljku, odmah nastavimo s izračunavanjem njezine površine pomoću formule koja slijedi iz teorema.
Teorem o površini ortogonalne projekcije poligona: površina ortogonalne projekcije mnogokuta na ravninu jednaka je umnošku njegove površine i kosinusa kuta između ravnine mnogokuta i ravnine projekcije: .
Valjana formula za izračunavanje površine poprečnog presjeka je: gdje je površina ortogonalne projekcije figure dobivene u presjeku, a je kut između ravnine sekante i ravnine na koju je figura projicirana. Kod takvog rješenja potrebno je konstruirati ortogonalnu projekciju lika dobivenog u presjeku i izračunati
Ako uvjet zadatka kaže da presjek treba izgraditi i treba pronaći površinu dobivenog presjeka, tada je u prvoj fazi razumno izgraditi zadani presjek, a zatim, naravno, odrediti oblik slika dobivena u presjeku itd.
Napominjemo sljedeću činjenicu: budući da su presjeci konveksnih poliedara konstruirani, presječni poligon će također biti konveksan, pa se njegova površina može pronaći dijeljenjem na trokute, odnosno površina presjeka jednaka je zbroju površina trokuta. trokuta od kojih je sastavljen.
Zadatak 1.
– ispraviti trokutasta piramida s osnovnom stranicom jednakom i jednakom visini. Konstruirajte presjek piramide ravninom koja prolazi kroz točke u kojima je središte stranice i odredite njezino područje (slika 8).
Riješenje.
Presjek piramide je trokut. Nađimo njegovu površinu.
Budući da je baza piramide jednakostranični trokut, a točka je središte stranice, tada je to visina, a zatim, .
Površina trokuta može se pronaći:
Zadatak 2.
Bočno rebro pravilne prizme jednaka je stranici baze. Konstruirajte presjeke prizme ravninama koje prolaze kroz točkuA, okomito na liniju Ako pronađete područje dobivenog presjeka prizme.
Riješenje.
Konstruirajmo zadani presjek. Učinimo to iz čisto geometrijskih razmatranja, na primjer, kako slijedi.
U ravnini koja prolazi kroz zadani pravac i zadanu točku, kroz tu točku povučemo pravac okomit na pravac (slika 9). Iskoristimo u tu svrhu činjenicu da u trokutu odnosno njegova središnja je ujedno i visina ovog trokuta. Dakle, ravna linija.
Kroz točku povučemo drugu liniju okomitu na liniju. Nacrtajmo ga, na primjer, u ravnini koja prolazi kroz ravnu liniju. Jasno je da je ova linija linija
Dakle, konstruirana su dva pravca koji se sijeku, okomita na pravac. Ovi pravci određuju ravninu koja prolazi kroz točku okomitu na pravac, odnosno zadana je sekantna ravnina.
Ovom ravninom konstruiramo presjek prizme. Primijetimo da budući da je pravac paralelan s ravninom. Tada ravnina koja prolazi pravcem siječe ravninu po pravcu paralelnom s pravcem, odnosno pravcem. Povucite ravnu liniju kroz točku i spojite dobivenu točku točkom.
Četverokut zadani presjek. Odredimo njegovu površinu.
Jasno je da je četverokut pravokutnik, odnosno njegova površina
riža. 9
IZRADA PRESJEKA I PRESJEKA NA CRTEŽIMA
Crtež dijela formira se uzastopnim dodavanjem potrebnih izbočina, rezova i presjeka. U početku se kreira prilagođeni prikaz s modelom koji odredi korisnik, a orijentacija modela se postavlja tako da najbolje odgovara glavnom prikazu. Nadalje, izrađuju se potrebni rezovi i dijelovi za ovu i sljedeće vrste.
Glavni pogled (prednji pogled) odabran je na takav način da daje najcjelovitiju sliku o oblicima i dimenzijama dijela.
Presjeci u crtežima
Ovisno o položaju ravnine rezanja, razlikuju se sljedeće vrste rezova:
A) horizontalno, ako je rezna ravnina paralelna s horizontalnom ravninom projekcije;
B) okomito, ako je rezna ravnina okomita na horizontalnu ravninu projekcije;
C) nagnuta - rezna ravnina je nagnuta prema ravninama projekcije.
Vertikalni dijelovi podijeljeni su na:
· frontalno - rezna ravnina je paralelna s frontalnom projekcijskom ravninom;
·
profil - rezna ravnina je paralelna s ravninom projekcije profila.
Ovisno o broju reznih ravnina, rezovi su:
· jednostavno - s jednom reznom ravninom (slika 107);
·
složeno - s dvije ili više reznih ravnina (slika 108)
Standard predviđa sljedeće vrste složenih rezova:
· stepenasto, kada su sekante paralelne (sl. 108 a) i izlomljene - sekante se sijeku (sl. 108 b)
Sl.107 Jednostavan rez
A) b)
Sl.108 Složeni rezovi
Označavanje rezova
U slučaju kada se u jednostavnom presjeku sekantna ravnina poklapa s ravninom simetrije predmeta, presjek nije označen (slika 107). U svim ostalim slučajevima, odjeljci su označeni velikim slovima ruske abecede, počevši od slova A, na primjer, A-A.
Položaj rezne ravnine na crtežu označen je linijom presjeka - zadebljanom otvorenom linijom. Sa složenim rezom, udarci se također izvode na pregibima linije presjeka. Na početnom i završnom potezu treba postaviti strelice koje pokazuju smjer gledanja, a strelice trebaju biti udaljene 2-3 mm od vanjskih krajeva poteza. Na vanjskoj strani svake strelice koja označava smjer gledanja nalazi se isto veliko slovo.
Isti gumb se koristi za označavanje rezova i presjeka u sustavu KOMPAS Linija presjeka koja se nalazi na stranici Legenda (sl.109).
Sl.109 Gumb linije presjeka
Spajanje polovice pogleda na polovicu presjeka
Ako su pogled i presjek simetrične figure (sl. 110), tada možete spojiti polovicu pogleda i polovicu presjeka, odvajajući ih tankom linijom isprekidanom crtom, koja je os simetrije. Dio presjeka obično se postavlja desno od osi simetrije koja odvaja dio pogleda od dijela presjeka ili ispod osi simetrije. Skrivene konturne linije na povezanim dijelovima pogleda i presjeka obično se ne prikazuju. Ako se osna linija koja razdvaja pogled i presjek podudara s projekcijom neke linije, na primjer, ruba fasetirane figure, tada su pogled i presjek odvojeni punom valovitom linijom povučenom lijevo od osi simetrije ako rub leži na unutarnjoj površini ili desno ako je rub vanjski.
Riža. 110 Povezivanje dijela prikaza i presjeka
Građevinski rezovi
Konstrukciju presjeka u sustavu KOMPAS proučavat ćemo na primjeru konstruiranja crteža prizme čiji je zadatak prikazan na sl. 111.
Redoslijed crtanja je sljedeći:
1. Po zadane dimenzije izgradimo čvrsti model prizme (slika 109 b). Spremimo model u memoriju računala u datoteku pod nazivom "Prism".
Slika 112 Ploča Linije
3. Za izradu presjeka profila (Sl. 113) nacrtaj liniju odjeljak A-A na glavnom prikazu pomoću gumba Linija rezanja.
Sl.113 Konstrukcija profila profila
Smjer pogleda i tekst oznake mogu se odabrati na upravljačkoj ploči naredbom na dnu ekrana (Slika 114). Konstrukcija linije presjeka završava se pritiskom na gumb Kreiraj objekt.
Sl.114 Upravljačka ploča za naredbu za izradu usjeka i presjeka
4. Na ploči Asocijativni prikazi (Sl. 115), odaberite gumb Cut line, zatim odredite reznu liniju pomoću zamke koja se pojavljuje na ekranu. Ako je sve učinjeno ispravno (crta rezanja mora biti nacrtana u aktivnom prikazu), linija rezanja će postati crvena. Nakon što odredite liniju rezanja A-A, na ekranu će se pojaviti fantom slike u obliku pravokutnika.
Slika 115 Ploča asocijativnih pogleda
Pomoću prekidača Cut/section na Property baru odabire se vrsta slike - Cut (Sl. 116) i mjerilo prikazanog reza.
Sl.116 Upravljačka ploča za naredbu za izradu usjeka i presjeka
Profilni dio će se automatski graditi u projekcijskoj vezi i sa standardnom oznakom. Ako je potrebno, projekcijska veza se može isključiti prekidačem Spoj projekcije (slika 116). Za postavljanje parametara šrafure koji će se koristiti u kreiranom odjeljku (odjeljku) koristite kontrole na kartici Šrafura.
Sl.117 Konstrukcija horizontalnog presjeka B-B i presjeka C-C
Ako se odabrana ravnina rezanja pri izradi reza podudara s ravninom simetrije dijela, tada u skladu sa standardom takav rez nije naznačen. Ali ako jednostavno izbrišete oznaku odjeljka, tada će se cijeli odjeljak izbrisati zbog činjenice da su pogled i odjeljak u memoriji računala međusobno povezani. Stoga, da biste uklonili oznaku, prvo morate uništiti vezu između pogleda i presjeka. Da biste to učinili, kliknite lijevu tipku miša da biste odabrali odjeljak, a zatim kliknite desnu tipku miša da biste otvorili kontekstni izbornik, iz kojeg je odabrana stavka Destroy view (Slika 97). Simbol odjeljka sada se može izbrisati.
5. Da bismo konstruirali horizontalni presjek, nacrtajmo liniju B-B presjeka kroz donju ravninu rupe u prednjem pogledu. Pogled sprijeda mora se ažurirati s dva klika lijevom tipkom miša. Zatim se gradi horizontalni presjek (slika 117).
6. Kod konstruiranja frontalnog presjeka kompatibilni su dio vizure i dio presjeka, jer to su simetrične figure. Vanjski rub prizme se projicira na crtu koja razdvaja pogled i rez, pa omeđujemo prikaz i presjek pune tanke valovite linije povučene desno od osi simetrije, jer vanjsko rebro. Gumb se koristi za crtanje valovite linije. Bezierova krivulja koja se nalazi na ploči Geometry nacrtana sa stilom linije za rezanje (Sl. 118). Redom odredite točke kroz koje Bezierova krivulja treba proći. Za završetak izvršenja naredbe kliknite gumb Kreiraj objekt.
Sl.118 Odabir stila linije za prijelom
Sekcioniranje
Presjek je slika predmeta koja se dobiva mentalnim seciranjem predmeta ravninom. Odsjek prikazuje samo ono što se nalazi u reznoj ravnini.
Položaj rezne ravnine, kojom se oblikuje presjek, na crtežu je označen linijom presjeka, kao i kod presjeka.
Sekcije, ovisno o njihovom položaju na crtežima, dijele se na proširene i nadređene. Uklonjeni dijelovi najčešće se nalaze na slobodnom polju crteža i ocrtani su glavnom linijom. Superponirani dijelovi postavljaju se izravno na sliku predmeta i ocrtavaju tankim linijama (slika 119).
Sl.119 Konstrukcija sekcija
Razmotrite redoslijed konstruiranja crteža prizme s ispruženom kosom odjeljak B-B(Slika 117).
1. Aktivirajte prednji pogled dvostrukim klikom lijeve tipke miša na prikaz i nacrtajte liniju presjeka pomoću gumba linija rezanja . Odaberimo tekst natpisa V-V.
2. Pomoću gumba Cut line koji se nalazi na ploči Asocijativni pogledi (Sl. 115), koji se pojavljuje kao zamka, označite sekantu avioni B-B. Pomoću prekidača Cut/section na Property baru odaberite vrstu slike - Section (Sl. 116), mjerilo prikazanog presjeka odabire se u prozoru Scale.
Konstruirani presjek nalazi se u odnosu projekcije, što ograničava njegovo kretanje po crtežu, ali se odnos projekcije može isključiti tipkom projekcijska veza.
Na gotovom crtežu nacrtajte središnje linije, po potrebi unesite dimenzije.
Zadaci za konstruiranje presjeka poliedra uzimaju značajno mjesto kao školski predmet geometrije za srednju školu, te na ispitima na raznim razinama. Rješavanje ove vrste problema pridonosi asimilaciji aksioma stereometrije, sistematizaciji znanja i vještina, razvoju prostorni prikaz i konstruktivne vještine. Poznate su poteškoće koje se javljaju pri rješavanju problema izgradnje dionica.
Od rano djetinjstvo suočeni smo s rezovima. Režemo kruh, kobasice i druge proizvode, režemo štapić ili olovku nožem. Sječna ravnina u svim ovim slučajevima je ravnina noža. Presjeci (dijelovi komada) su različiti.
Odsjek konveksnog poliedra je konveksni mnogokut, čiji su vrhovi, u općem slučaju, točke presjeka rezne ravnine s bridovima poligona, a stranice su linije presjeka rezne ravnine s lica.
Da bi se konstruirala linija presjeka dviju ravnina, dovoljno je pronaći dvije zajedničke točke tih ravnina i kroz njih nacrtati pravac. To se temelji na sljedećim izjavama:
1. ako dvije točke pravca pripadaju ravnini, onda i cijeli pravac pripada ovoj ravnini;
2. ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku, onda se one sijeku duž pravca koji prolazi kroz tu točku.
Kao što sam već rekao, konstrukcija presjeka poliedara može se izvesti na temelju aksioma stereometrije i teorema o paralelnosti pravaca i ravnina. Istodobno, postoje određene metode za konstruiranje ravnih presjeka poliedra. Sljedeće tri metode su najučinkovitije:
metoda tragova
Metoda unutarnjeg projektiranja
Kombinirana metoda.
U proučavanju geometrije, a posebno onih njezinih dijelova u kojima se razmatraju slike geometrijski oblici, slike geometrijskih oblika pomažu korištenje računalnih prezentacija. Uz pomoć računala mnoge lekcije geometrije postaju vizualnije i dinamičnije. Aksiomi, teoremi, dokazi, zadaci za konstrukciju, zadaci za konstrukciju odjeljaka mogu biti popraćeni uzastopnim konstrukcijama na ekranu monitora. Računalno generirani crteži mogu se spremiti i zalijepiti u druge dokumente.
Želim prikazati nekoliko slajdova na temu: "Izgradnja sekcija u geometrijska tijela»
Da bismo konstruirali sjecište pravca i ravnine, treba u ravnini pronaći pravac koji siječe zadani pravac. Tada je tražena točka točka presjeka pronađene linije sa zadanom. Pogledajmo to na sljedećim slajdovima.
Zadatak 1.
Na bridovima tetraedra DABC označene su dvije točke M i N; M GAD, N b DC. Odaberite točku presjeka pravca MN s ravninom baze.
Rješenje: da bismo pronašli točku presjeka pravca MN s ravninom
bazu ćemo nastaviti AC i segment MN. Označimo sjecište tih pravaca kroz X. Točka X pripada pravcu MN i plohi AC, a AC leži u ravnini osnovke, što znači da i točka X leži u ravnini osnovke. . Dakle, točka X je presjecište pravca MN s ravninom baze.
Razmotrimo drugi problem. Idemo malo zakomplicirati.
Zadatak 2.
Zadan je tetraedar DABC točaka M i N, gdje je M € DA, N C (DBC). Odredite presjecište pravca MN s ravninom ABC.
Rješenje: Sjecište pravca MN s ravninom ABC mora ležati u ravnini koja sadrži pravac MN i u ravnini baze. Nastavljamo segment DN do točke sjecišta s rubom DC. Označimo točku sjecišta kroz E. Nastavljamo liniju AE i MN do točke njihova sjecišta. Napomena X. Točka X pripada MN, pa leži na ravnini koja sadrži pravac MN i X pripada AE, a AE leži na ravnini ABC. Dakle, i X leži u ravnini ABC. Stoga je X sjecište pravca MN i ravnine ABC.
Zakomplicirajmo zadatak. Promotrimo presjek geometrijskih likova ravninama koje prolaze kroz tri zadane točke.
Zadatak 3
Na bridovima AC, AD i DB tetraedra DABC označene su točke M, N i P. Konstruirajte presjek tetraedra ravninom MNP.
Rješenje: konstruirajte pravac duž kojeg je ravnina MNP. Sječe ravninu lica ABC. Točka M je zajednička točka ovih ravnina. Da bismo izgradili još jednu zajedničku točku, nastavljamo segment AB i NP. Označimo sjecište kroz X, koje će biti druga zajednička točka ravnine MNP i ABC. Dakle, ove se ravnine sijeku duž pravca MX. MX siječe brid BC u nekoj točki E. Kako E leži na MX i MX je pravac koji pripada ravnini MNP, slijedi da PE pripada MNP. Četverokut MNPE je traženi presjek.
Zadatak 4
Konstruiramo presjek ravne prizme ABCA1B1C1 ravninom koja prolazi kroz točke P , Q,R, gdje R pripada ( AA 1C 1C), R pripada U 1C1,
Q pripada AB
Riješenje: Svo troje točke P,Q,R leže u različitim plohama, pa još ne možemo konstruirati presječnu liniju sekantne ravnine ni s jednom plohom prizme. Nađimo točku sjecišta PR-a s ABC-om. Nađimo projekcije točaka P i R na ravninu baze PP1 okomitu na BC i RR1 okomitu na AC. Pravac P1R1 siječe pravac PR u točki X. X je točka presjeka pravca PR s ravninom ABC. Leži u traženoj ravnini K i ravnini baze, kao i točka Q. XQ je pravac koji siječe K s ravninom baze. XQ siječe AC u točki K. Dakle, KQ je odsječak presjecišta ravnine X s plohom ABC. K i R leže u ravnini X i u ravnini plohe AA1C1C. Nacrtaj pravac KR i označi točku presjeka s A1Q E. KE je pravac presjeka ravnine X s tom plohom. Odredi presjek ravnine X s ravninom stranica BB1A1A. KE siječe A1A u točki Y. Pravac QY je presjek ravnine sekante s ravninom AA1B1B. FPEKQ - željeni odjeljak.
Zadaci za konstruiranje presjeka kocke ravninom u pravilu su jednostavniji od, na primjer, zadataka za presjeke piramide.
Kroz dvije točke možemo povući pravac ako leže u istoj ravnini. Kod konstruiranja presjeka kocke moguća je još jedna mogućnost konstruiranja traga presječne ravnine. Budući da treća ravnina siječe dvije paralelne ravnine po paralelnim ravnim crtama, onda ako je ravna linija već izgrađena u jednom od lica, au drugom postoji točka kroz koju presjek prolazi, tada možemo povući ravnu liniju kroz ova točka paralelna sa zadanom.
Razmotrite dalje konkretni primjeri kako konstruirati presjeke kocke ravninom.
1) Konstruirajte presjek kocke ravninom koja prolazi kroz točke A, C i M.
Zadaci ove vrste su najjednostavniji od svih zadataka za konstruiranje presjeka kocke. Kako točke A i C leže u istoj ravnini (ABC), kroz njih možemo povući pravac. Njegov trag je segment AC. Nevidljiv je, pa AC prikazujemo crtom. Slično spojimo točke M i C koje leže u istoj ravnini (CDD1) i točke A i M koje leže u istoj ravnini (ADD1). Trokut ACM je potreban presjek.
2) Konstruirajte presjek kocke ravninom koja prolazi kroz točke M, N, P.
Ovdje samo točke M i N leže u istoj ravnini (ADD1) pa kroz njih povučemo ravnu crtu i dobijemo trag MN (nevidljiv). Budući da suprotne plohe kocke leže u paralelnim ravninama, rezna ravnina siječe paralelne ravnine (ADD1) i (BCC1) duž paralelnih pravaca. Već smo izgradili jednu od paralelnih linija - to je MN.
Kroz točku P povučemo pravac paralelan s MN. Sječe rub BB1 u točki S. PS je trag sekantne ravnine u plohi (BCC1).
Kroz točke M i S, koje leže u istoj ravnini (ABB1), povučemo pravac. Dobio MS trag (vidljiv).
Ravnine (ABB1) i (CDD1) su paralelne. U ravnini već postoji pravac MS (ABB1), pa kroz točku N u ravnini (CDD1) povlačimo pravac paralelan s MS. Ovaj pravac siječe rub D1C1 u točki L. Njegov trag je NL (nevidljiv). Točke P i L leže u istoj ravnini (A1B1C1) pa kroz njih povučemo pravac.
Peterokut MNLPS je traženi presjek.
3) Konstruirajte presjek kocke ravninom koja prolazi kroz točke M, N, P.
Točke M i N leže u istoj ravnini (BCC1) pa se kroz njih može povući pravac. Dobivamo trag MN (vidljiv). Ravnina (BCC1) je paralelna s ravninom (ADD1), pa kroz točku P koja leži u (ADD1) povlačimo pravac paralelan s MN. Sječe rub AD u točki E. Dobili smo trag PE (nevidljiv).
Nema više točaka koje leže u istoj ravnini, niti pravca i točke u paralelnim ravninama. Dakle, neka od već postojećih linija mora se nastaviti kako bi se dobio dodatni bod.
Ako nastavljamo pravac MN, tada, budući da leži u ravnini (BCC1), trebamo tražiti sjecište pravca MN s jednim od pravaca te ravnine. Već postoje točke sjecišta s CC1 i B1C1 - to su M i N. Pravci BC i BB1 ostaju. Nastavljamo BC i MN do sjecišta u točki K. Točka K leži na pravcu BC, što znači da pripada ravnini (ABC) pa možemo povući pravac kroz nju i točku E koja leži u toj ravnini. Sječe rub CD u točki H. EH je njegov trag (nevidljiv). Budući da H i N leže u istoj ravnini (CDD1), kroz njih se može povući pravac. Dobivamo trag HN (nevidljiv).
Ravnine (ABC) i (A1B1C1) su paralelne. Jedan od njih sadrži pravac EH, drugi sadrži točku M. Kroz M možemo povući pravac paralelan s EH. Dobivamo trag MF (vidljiv). Kroz točke M i F povučemo pravu liniju.
Heksagon MNHEPF je potreban presjek.
Ako bismo pravac MN nastavili do sjecišta s drugim pravcem u ravnini (BCC1), s BB1, tada bismo dobili točku G koja pripada ravnini (ABB1). To znači da je kroz G i P moguće povući pravac čiji je trag PF. Nadalje, povlačimo ravne linije kroz točke koje leže u paralelnim ravninama i dolazimo do istog rezultata.
Rad s ravnom linijom PE daje isti presjek MNHEPF.
4) Konstruirajte presjek kocke ravninom koja prolazi točkom M, N, P.
Ovdje možemo povući ravnu liniju kroz točke M i N koje leže u istoj ravnini (A1B1C1). Otisak joj je MN (vidljiv). Nema više točaka koje leže u istoj ravnini ili u paralelnim ravninama.
Nastavljamo liniju MN. Leži u ravnini (A1B1C1), pa se može sjeći samo s jednom od pravaca u toj ravnini. Već postoje točke sjecišta s A1D1 i C1D1 - N i M. Još dvije linije ove ravnine su A1B1 i B1C1. Sjecište A1B1 i MN je S. Budući da leži na pravcu A1B1, pripada ravnini (ABB1), što znači da se kroz nju i točku P može povući pravac koji leži u istoj ravnini. Pravac PS siječe brid AA1 u točki E. PE je njegov trag (vidljiv). Kroz točke N i E, koje leže u istoj ravnini (ADD1), moguće je povući ravnu liniju čiji je trag NE (nevidljiv). U ravnini (ADD1) nalazi se pravac NE, au ravnini koja je s njim paralelna točka P (BCC1).Kroz točku P možemo povući pravac PL paralelan s NE. On siječe brid CC1 u točki L. PL je trag ovog pravca (vidljiv). Točke M i L leže u istoj ravnini (CDD1), što znači da se kroz njih može povući pravac. Njen otisak je ML (nevidljiv). Peterokut MLPEN je traženi presjek.
Pravac NM je bilo moguće nastaviti u oba smjera i tražiti njegove sjecišne točke ne samo s pravcem A1B1, već i s pravcem B1C1, koji također leži u ravnini (A1B1C1). U ovom slučaju kroz točku P povlačimo dvije ravne linije odjednom: jednu u ravnini (ABB1) kroz točke P i S, a drugu u ravnini (BCC1), kroz točke P i R. Nakon toga , ostaje spojiti točke koje leže u istoj ravnini: M c L, E - s N.
