Kompasi zlatnog presjeka. Antikni šestari sa zlatnim rezom

Ljudi su od davnina bili zabrinuti oko pitanja jesu li tako nedostižne stvari kao što su ljepota i sklad podložne bilo kakvim matematičkim proračunima. Naravno, svi zakoni ljepote ne mogu se sadržavati u nekoliko formula, ali proučavajući matematiku možemo otkriti neke pojmove ljepote - zlatni rez. Naš zadatak je otkriti što je zlatni rez i gdje je čovječanstvo pronašlo primjenu zlatnog reza.

Vjerojatno ste primijetili da imamo drugačiji stav prema objektima i pojavama okolne stvarnosti. Biti h pristojnost, budi h uniformnost, nesrazmjer percipiramo kao ružne i ostavljaju odbojan dojam. A predmeti i pojave, koje karakteriziraju mjera, svrhovitost i sklad, doživljavaju se kao lijepi i izazivaju u nama osjećaj divljenja, radosti, razveseljavaju.

Čovjek se u svojoj djelatnosti stalno susreće s predmetima koji se temelje na zlatnom rezu. Postoje stvari koje se ne mogu objasniti. Pa dođete do prazne klupe i sjednete na nju. Gdje ćeš sjediti? u sredini? Ili možda sa samog ruba? Ne, najvjerojatnije ni jedno ni drugo. Sjedit ćete tako da omjer jednog dijela klupe prema drugom u odnosu na vaše tijelo bude otprilike 1,62. Jednostavna stvar, apsolutno instinktivna... Sjedajući na klupu, reproducirali ste "zlatni rez".

Zlatni rez bio je poznat još u drevni Egipt i Babilon, Indija i Kina. Veliki Pitagora stvorio je tajnu školu u kojoj se proučavala mistična suština "zlatnog reza". Euklid ga je primijenio stvarajući svoju geometriju, a Fidija - svoje besmrtne skulpture. Platon je rekao da je svemir uređen prema “zlatnom presjeku”. Aristotel je pronašao korespondenciju "zlatnog reza" s etičkim zakonom. Najvišu harmoniju “zlatnog reza” propovijedat će Leonardo da Vinci i Michelangelo, jer ljepota i “zlatni rez” su jedno te isto. A kršćanski mistici crtat će pentagrame "zlatnog reza" po zidovima svojih samostana, bježeći od đavla. Istodobno će znanstvenici – od Paciolija do Einsteina – tražiti, ali ga nikada neće pronaći. točna vrijednost. Biti h zadnji red iza decimalne točke je 1.6180339887... Čudna, tajanstvena, neobjašnjiva stvar - ta božanska proporcija mistično prati sva živa bića. Neživa priroda ne zna što je "zlatni rez". Ali sigurno ćete vidjeti ovaj omjer u oblinama morskih školjki, iu obliku cvijeća, iu obliku buba, iu lijepom ljudskom tijelu. Sve živo i sve lijepo - sve se pokorava božanskom zakonu, čije je ime "zlatni rez". Dakle, što je "zlatni rez"? Kakva je to savršena, božanstvena kombinacija? Možda je to zakon ljepote? Ili je to još uvijek mistična tajna? Znanstveni fenomen ili etički princip? Odgovor je još nepoznat. Točnije – ne, zna se. “Zlatni rez” je i to, i drugo, i treće. Samo ne zasebno, nego u isto vrijeme ... I to je njegova prava misterija, njegova velika tajna.

Vjerojatno je teško naći pouzdanu mjeru za objektivnu ocjenu same ljepote, a sama logika tu ne može. No, tu će pomoći iskustvo onih kojima je potraga za ljepotom bila sam smisao života, kojima je to postala profesija. Prije svega, to su ljudi umjetnosti, kako ih mi zovemo: umjetnici, arhitekti, kipari, glazbenici, pisci. Ali to su ljudi egzaktnih znanosti, prije svega matematičari.

Vjerujući oku više nego drugim osjetilnim organima, čovjek je prije svega naučio razlikovati predmete oko sebe po obliku. Zanimanje za oblik predmeta može biti diktirano životnom potrebom ili može biti uzrokovano ljepotom oblika. Forma koja se temelji na kombinaciji simetrije i zlatnog reza pridonosi najboljoj vizualnoj percepciji i pojavi osjećaja ljepote i sklada. Cjelina se uvijek sastoji od dijelova, dijelovi različitih veličina su u određenom međusobnom odnosu i prema cjelini. Načelo zlatnog reza najviša je manifestacija strukturne i funkcionalne savršenosti cjeline i njezinih dijelova u umjetnosti, znanosti, tehnici i prirodi.

ZLATNI PRESJEK - HARMONIČKA PROPORCIJA

U matematici, proporcija je jednakost dva omjera:

Dug AB se može podijeliti na dva dijela na sljedeće načine:

• na dva jednaka dijela - AB: AC = AB: BC;
• na dva nejednaka dijela u bilo kojem omjeru (takvi dijelovi ne tvore proporcije);
• dakle, kada je AB:AC=AC:BC.

Potonji je zlatna podjela (presjek).

Zlatni rez je takva proporcionalna podjela segmenta na nejednake dijelove, u kojoj se cijeli segment odnosi prema većem dijelu na isti način kao što se sam veći dio odnosi prema manjem, drugim riječima, manji segment je odnosi se na veće kao što je veće na sve

a:b=b:c ili c:b=b:a.

Geometrijski prikaz zlatnog reza

Praktično upoznavanje sa zlatnim rezom počinje dijeljenjem ravnog odsječka u zlatnom rezu pomoću šestara i ravnala.

Podjela dužice prema zlatnom rezu. BC=1/2AB; CD=BC

Iz točke B ponovno je postavljena okomica jednaka polovici AB. Rezultirajuća točka C spojena je linijom s točkom A. Na dobivenoj liniji ucrtan je segment BC koji završava točkom D. Segment AD prenese se na ravnu liniju AB. Rezultirajuća točka E dijeli segment AB u omjeru zlatnog reza.

Segmenti zlatnog reza izraženi su bez h konačni udio AE=0,618..., ako se AB uzme kao jedinica, BE=0,382... U praktične svrhe često se koriste približne vrijednosti od 0,62 i 0,38. Ako se segment AB uzme kao 100 dijelova, tada je najveći dio segmenta 62, a manji 38 dijelova.

Svojstva zlatnog reza opisana su jednadžbom:

Rješenje ove jednadžbe:

Svojstva zlatnog reza stvorila su oko ovog broja romantičnu auru misterije i gotovo mističnu generaciju. Na primjer, kod pravilne petokrake zvijezde, svaki segment je podijeljen segmentom koji ga siječe proporcionalno zlatnom rezu (tj. omjer plavog segmenta prema zelenom, crvenog prema plavom, zelenog prema ljubičastom je 1,618).

DRUGI ZLATNI REZ

Ovaj omjer nalazimo u arhitekturi.

Izgradnja drugog zlatnog reza

Podjela se provodi na sljedeći način. Odsječak AB podijeljen je proporcionalno zlatnom presjeku. Iz točke C vraća se okomica CD. Polumjer AB je točka D, koja je crtom povezana s točkom A. Pravi kut ACD se raspolavlja. Iz točke C povučen je pravac do sjecišta s pravcem AD. Točka E dijeli segment AD u odnosu 56:44.

Podjela pravokutnika linijom drugog zlatnog reza

Na slici je prikazan položaj linije drugog zlatnog reza. Nalazi se u sredini između linije zlatnog presjeka i srednje linije pravokutnika.

ZLATNI TROKUT (pentagram)

Da biste pronašli segmente zlatnog reza uzlaznih i silaznih redaka, možete koristiti pentagram.

Konstrukcija pravilnog peterokuta i pentagrama

Da biste izgradili pentagram, morate izgraditi pravilan peterokut. Metodu njegove izgradnje razvio je njemački slikar i grafičar Albrecht Dürer. Neka je O središte kružnice, A točka na kružnici, a E središte segmenta OA. Okomica na polumjer OA, podignuta u točki O, siječe kružnicu u točki D. Šestarom označite na promjeru isječak CE=ED. Duljina stranice pravilnog peterokuta upisanog u krug je DC. Odvojimo segmente DC na kružnici i dobijemo pet bodova za crtanje pravilnog peterokuta. Spojimo uglove peterokuta kroz jednu dijagonalu i dobijemo pentagram. Sve dijagonale peterokuta dijele jedna drugu na segmente povezane zlatnim rezom.

Svaki kraj peterokutne zvijezde je zlatni trokut. Stranice mu pri vrhu sklapaju kut od 36 0, a bočno položena baza dijeli ga razmjerno zlatnom presjeku.

Nacrtaj ravnu liniju AB. Od točke A odložimo na nju segment O proizvoljne veličine tri puta, kroz dobivenu točku P povučemo okomicu na liniju AB, na okomici desno i lijevo od točke P odložimo segmente O. Dobiveni točke d i d 1 povezane su ravnim linijama s točkom A. Segment dd 1 stavljamo na liniju Ad 1, dobivajući točku C. Podijelila je liniju Ad 1 proporcionalno zlatnom rezu. Linije Ad 1 i dd 1 koriste se za izgradnju "zlatnog" pravokutnika.

Konstrukcija zlatnog trokuta

POVIJEST ZLATNOG PRESJEKA

Doista, proporcije Keopsove piramide, hramova, kućanskih predmeta i ukrasa iz grobnice Tutankamona pokazuju da su egipatski majstori koristili omjere zlatne podjele pri izradi istih. Francuski arhitekt Le Corbusier utvrdio je da na reljefu iz hrama faraona Setija I. u Abidosu i na reljefu s prikazom faraona Ramzesa proporcije figura odgovaraju vrijednostima zlatne pregrade. Arhitekt Khesira, prikazan na reljefu drvene ploče s grobnice njegova imena, u rukama drži mjerne instrumente u kojima su fiksirane proporcije zlatne podjele.

Grci su bili vješti geometri. Čak su i aritmetiku svoju djecu učili uz pomoć geometrijskih figura. Pitagorin kvadrat i dijagonala tog kvadrata bili su osnova za konstruiranje dinamičkih pravokutnika.

Dinamički pravokutnici

I Platon je znao za zlatnu podjelu. Pitagorejac Timej u istoimenom Platonovom dijalogu kaže: “Nemoguće je da dvije stvari budu savršeno ujedinjene bez treće, budući da se između njih mora pojaviti nešto što bi ih držalo zajedno. Proporcija to može najbolje postići, jer ako tri broja imaju svojstvo da je srednja vrijednost povezana s manjim kao što je veći s srednjom, i obrnuto, manji je s srednjom kao što je srednja s većim, tada posljednji i prvi će biti srednji, a srednji - prvi i posljednji. Tako će sve potrebno biti isto, a budući da će biti isto, činit će cjelinu. Platon gradi zemaljski svijet koristeći trokute dvije vrste: jednakokračne i nejednakokračne. Najljepšim pravokutnim trokutom smatra onaj u kojem je hipotenuza dvostruko manja od kateta (takav pravokutnik je polovica jednakostraničnog, glavni lik Babilonaca, ima omjer 1:3 1/2). , koji se od zlatnog reza razlikuje za oko 1/25, a naziva se Timerding "rival zlatnog reza"). Pomoću trokuta Platon gradi četiri pravilna poliedra povezujući ih s četiri zemaljska elementa (zemlja, voda, zrak i vatra). I samo posljednji od pet postojećih pravilnih poliedara - dodekaedar, čijih su svih dvanaest lica pravilni peterokuti, tvrdi da je simbolična slika nebeskog svijeta.

ikosaedar i dodekaedar

Čast da otkrije dodekaedar (ili, kako se pretpostavljalo, sam Svemir, ovu suštinu četiri elementa, simbolizirana redom tetraedrom, oktaedrom, ikosaedrom i kockom) pripada Hipasu, koji je kasnije umro u brodolomu. Ova brojka doista obuhvaća mnoge odnose zlatnog reza, pa je dat ovaj potonji glavna uloga u nebeskom svijetu, na čemu je kasnije inzistirao manji brat Luca Pacioli.

Na pročelju starogrčkog hrama Partenona nalaze se zlatni razmjeri. Tijekom njegovih iskopavanja pronađeni su kompasi koje su koristili arhitekti i kipari antičkog svijeta. Pompejanski šestar (Muzej u Napulju) također sadrži proporcije zlatnog odjeljka.

Antikni kompasi zlatni rez

U staroj literaturi koja je došla do nas, zlatna dioba se prvi put spominje u Euklidovim Elementima. U 2. knjizi "Početaka" data je geometrijska konstrukcija zlatne diobe. Nakon Euklida zlatnom podjelom su se bavili Hipsiklo (2. st. pr. Kr.), Pap (3. st. po Kr.) i dr. U srednjovjekovnoj Europi sa zlatnom podjelom su se upoznali po. arapski prijevodi Euklidov "početak". Prevoditelj J. Campano iz Navarre (3. st.) komentirao je prijevod. Tajne zlatne divizije bile su ljubomorno čuvane, čuvane u strogoj tajnosti. Bili su poznati samo iniciranima.

U srednjem vijeku pentagram je demoniziran (kao i mnogo toga što se smatralo božanskim u drevnom poganstvu) i našao je utočište u okultnim znanostima. Međutim, renesansa ponovno iznosi na vidjelo i pentagram i zlatni rez. Tako je shema koja opisuje strukturu ljudskog tijela dobila široku cirkulaciju u tom razdoblju afirmacije humanizma.

Leonardo da Vinci također je više puta pribjegao takvoj slici, zapravo reproducirajući pentagram. Njegovo tumačenje: ljudsko tijelo ima božansko savršenstvo, jer su proporcije koje su mu svojstvene iste kao u glavnoj nebeskoj figuri. Leonardo da Vinci, umjetnik i znanstvenik, uvidio je da talijanski umjetnici imaju puno empirijskog iskustva, ali malo znanja. Zamislio je i počeo pisati knjigu o geometriji, ali se u to vrijeme pojavila knjiga redovnika Luce Paciolija, a Leonardo je odustao od svoje ideje. Prema suvremenicima i povjesničarima znanosti, Luca Pacioli bio je prava svjetiljka, najveći matematičar u Italiji između Fibonaccija i Galilea. Luca Pacioli bio je učenik umjetnika Piera della Francesca, koji je napisao dvije knjige, od kojih se jedna zove O perspektivi u slikarstvu. Smatra se tvorcem nacrtne geometrije.

Luca Pacioli je bio itekako svjestan važnosti znanosti za umjetnost.

Godine 1496. na poziv vojvode Moreaua dolazi u Milano, gdje drži predavanja iz matematike. Na dvoru Moro u Milanu u to je vrijeme radio i Leonardo da Vinci. Godine 1509. u Veneciji je objavljeno djelo Luce Paciolija De divina proporcije, 1497., objavljeno u Veneciji 1509. godine, sa sjajno izvedenim ilustracijama, zbog čega se vjeruje da ih je izradio Leonardo da Vinci. Knjiga je bila entuzijastični hvalospjev zlatnom rezu. Postoji samo jedan takav udio, a jedinstvenost je najveće Božje svojstvo. Utjelovljuje sveto trojstvo. Taj se omjer ne može izraziti dostupnim brojem, ostaje skriven i tajan, a sami matematičari ga nazivaju iracionalnim (pa se Bog ne može definirati niti objasniti riječima). Bog se nikada ne mijenja i predstavlja sve u svemu i sve u svakom svom dijelu, tako da je zlatni rez za bilo koju kontinuiranu i određenu količinu (bez obzira bila ona velika ili mala) isti, ne može se mijenjati niti mijenjati. um. Bog je dozvao u postojanje nebesku krepost, inače zvanu peta supstancija, uz pomoć nje četiri druga jednostavna tijela (četiri elementa - zemlja, voda, zrak, vatra) i na njihovoj osnovi dozvao u postojanje sve druge stvari u prirodi; tako naša sveta proporcija, prema Platonu u Timeju, daje formalno biće samom nebu, jer se pripisuje obliku tijela zvanom dodekaedar, koji se ne može izgraditi bez zlatnog reza. To su Paciolijevi argumenti.

Leonardo da Vinci također je posvetio veliku pozornost proučavanju zlatne podjele. Napravio je presjeke stereometrijskog tijela formiranog od pravilnih peterokuta i svaki put dobio pravokutnike s omjerima stranica u zlatnoj podjeli. Stoga je ovoj podjeli dao naziv zlatni rez. Tako da je još uvijek najpopularniji.

U isto vrijeme, u sjevernoj Europi, u Njemačkoj, Albrecht Dürer je radio na istim problemima. On skicira uvod u prvi nacrt rasprave o proporcijama. Dürer piše: “Potrebno je da onaj tko nešto zna podučava druge kojima je to potrebno. To je ono što sam naumio učiniti."

Sudeći prema jednom od Dürerovih pisama, tijekom njegova boravka u Italiji susreo se s Lucom Paciolijem. Albrecht Dürer detaljno razvija teoriju o proporcijama ljudskog tijela. Dürer je u svom sustavu omjera dodijelio važno mjesto zlatnom presjeku. Visina osobe podijeljena je u zlatnim proporcijama linijom pojasa, kao i linijom povučenom kroz vrhove srednjih prstiju spuštenih ruku, donji dio lica - usta itd. Poznati proporcionalni šestar Dürer.

Veliki astronom 16. stoljeća Johannes Kepler nazvao je zlatni rez jednim od blaga geometrije. Prvi je skrenuo pozornost na značaj zlatnog reza za botaniku (rast i građu biljaka).

Kepler je zlatni rez nazvao samonastavljajućim. "Uređen je na takav način", napisao je, "da se dva mlađa člana ovog beskonačnog omjera zbrajaju u treći član, a bilo koja dva posljednja člana, ako se zbroje, daju sljedeći član, a isti omjer ostaje do beskonačnosti."

Konstrukcija niza segmenata zlatnog reza može se vršiti i u smjeru povećanja (rastući niz) i u smjeru smanjenja (silazni niz).

Ako je na ravnoj liniji proizvoljne duljine, odgodite segment m , odložite segment M . Na temelju ova dva segmenta gradimo ljestvicu segmenata zlatnog proporcija uzlaznog i silaznog reda.

Izgradnja ljestvice segmenata zlatnog reza

U narednim stoljećima pravilo zlatnog reza pretvorilo se u akademski kanon, a kada je s vremenom u umjetnosti počela borba s akademskom rutinom, u žaru borbe “i dijete su izbacili s vodom”. Zlatni rez ponovno je “otkriven” sredinom 19. stoljeća.

Godine 1855. njemački istraživač zlatnog reza, profesor Zeising, objavio je svoje djelo Estetsko istraživanje. Kod Zeisinga se točno ono što se dogodilo moralo dogoditi istraživaču koji fenomen promatra kao takav, bez veze s drugim fenomenima. Apsolutizirao je proporciju zlatnog reza, proglasivši ga univerzalnim za sve pojave prirode i umjetnosti. Zeising je imao brojne sljedbenike, ali bilo je i protivnika koji su njegovo učenje o proporcijama proglašavali "matematičkom estetikom".

Zeising je napravio sjajan posao. Izmjerio je oko dvije tisuće ljudskih tijela i došao do zaključka da zlatni rez izražava prosječni statistički zakon. Podjela tijela vrhom pupka najvažniji je pokazatelj zlatnog reza. Proporcije muško tijelo fluktuiraju unutar prosječnog omjera 13:8 = 1,625 i nešto su bliži zlatnom rezu od omjera žensko tijelo, kod kojih je prosječna vrijednost udjela izražena u omjeru 8:5=1,6. Kod novorođenčeta omjer je 1:1, do 13. godine 1,6, a do 21. godine izjednačen je s muškim. Proporcije zlatnog reza očituju se i u odnosu na druge dijelove tijela - duljinu ramena, podlaktice i šake, šake i prstiju itd.

Zeising je ispitao valjanost svoje teorije na grčkim kipovima. Najdetaljnije je razvio proporcije Apolona Belvedere. Istraživanju su podvrgnute grčke vaze, arhitektonske strukture raznih epoha, biljke, životinje, ptičja jaja, glazbeni tonovi, poetski metri. Zeising je definirao zlatni rez, pokazao kako se izražava u segmentima i brojevima. Kad su dobiveni brojevi koji izražavaju duljine segmenata, Zeising je vidio da oni sačinjavaju Fibonaccijev niz, koji se može neograničeno nastavljati u jednom iu drugom smjeru. Sljedeća mu je knjiga naslovljena "Zlatni razrez kao temeljni morfološki zakon u prirodi i umjetnosti". Godine 1876. izašla je u Rusiji mala knjiga, gotovo pamflet, u kojoj je prikazan rad Zeisingov. Autor se sklonio pod inicijale Yu.F.V. U ovom izdanju ne spominje se niti jedna slika.

U potkraj XIX- početak XX stoljeća. pojavilo se dosta čisto formalističkih teorija o upotrebi zlatnog reza u umjetničkim djelima i arhitekturi. S razvojem dizajna i tehničke estetike, zakon zlatnog reza proširio se i na dizajn automobila, namještaja itd.

ZLATNI REZ I SIMETRIJA

Zlatni rez ne može se promatrati sam po sebi, zasebno, bez veze sa simetrijom. Veliki ruski kristalograf G.V. Wulff (1863-1925) je zlatni rez smatrao jednom od manifestacija simetrije.

Zlatna podjela nije manifestacija asimetrije, nešto suprotno od simetrije. Prema moderne ideje zlatna podjela je asimetrična simetrija. Znanost o simetriji uključuje koncepte kao što su statička i dinamička simetrija. Statička simetrija karakterizira mirovanje, ravnotežu, a dinamička simetrija karakterizira kretanje, rast. Dakle, u prirodi je statična simetrija predstavljena strukturom kristala, au umjetnosti karakterizira mir, ravnotežu i nepomičnost. Dinamička simetrija izražava aktivnost, karakterizira kretanje, razvoj, ritam, ona je dokaz života. Statičku simetriju karakteriziraju jednaki segmenti, jednake veličine. Dinamičku simetriju karakterizira povećanje segmenata ili njihovo smanjenje, a izražava se u vrijednostima zlatnog presjeka rastućeg ili opadajućeg niza.

FIBONACCCI NIZ

Ime talijanskog matematičara redovnika Leonarda iz Pise, poznatijeg kao Fibonacci, neizravno je povezano s poviješću zlatnog reza. Puno je putovao po istoku, upoznao Europu s arapskim brojevima. Godine 1202. objavljeno je njegovo matematičko djelo "Knjiga o abakusu" (ploča za brojanje) u kojem su sabrani svi problemi poznati u to vrijeme.

Niz brojeva 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 itd. poznat kao Fibonaccijev niz. Osobitost niza brojeva je u tome što je svaki njegov član, počevši od trećeg, jednak zbroju prethodna dva 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 itd., a omjer susjednih brojeva niza približava se omjeru zlatnog podjeljka. Dakle, 21:34=0,617, a 34:55=0,618. Taj omjer označava se simbolom F. Samo taj omjer - 0,618 : 0,382 - daje kontinuiranu podjelu ravnog segmenta u zlatnom rezu, njegovo povećanje ili smanjenje do beskonačnosti, kada se manji segment odnosi prema većem kao veći je svemu.

Kao što je prikazano na donjoj slici, duljina svakog zgloba prsta povezana je s duljinom sljedećeg zgloba u proporciji F. Isti odnos se vidi u svim prstima na rukama i nogama. Ova povezanost je nekako neobična, jer je jedan prst duži od drugog bez ikakve vidljive šare, ali to nije slučajno, kao što nije slučajno ni sve u ljudskom tijelu. Udaljenosti na prstima, označene od A do B do C do D do E, sve su međusobno povezane u omjeru F, kao i falange prstiju od F do G do H.

Pogledajte kostur ove žabe i vidite kako se svaka kost prilagođava obrascu F-omjera baš kao što je to slučaj u ljudskom tijelu.

GENERALIZIRANI ZLATNI REZ

Znanstvenici su nastavili aktivno razvijati teoriju Fibonaccijevih brojeva i zlatnog presjeka. Yu. Matiyasevich rješava Hilbertov 10. problem koristeći Fibonaccijeve brojeve. Postoje metode za rješavanje niza kibernetičkih problema (teorija pretraživanja, igre, programiranje) pomoću Fibonaccijevih brojeva i zlatnog reza. U SAD-u se čak stvara i Mathematical Fibonacci Association, koja od 1963. godine izdaje poseban časopis.

Jedno od postignuća u ovom području je otkriće generaliziranih Fibonaccijevih brojeva i generaliziranog zlatnog reza.

Fibonaccijev niz (1, 1, 2, 3, 5, 8) i "binarni" niz težina 1, 2, 4, 8 koje je on otkrio na prvi su pogled potpuno različiti. Ali algoritmi za njihovu konstrukciju vrlo su slični jedni drugima: u prvom slučaju svaki broj je zbroj prethodnog broja sa samim sobom 2=1+1; 4=2+2..., u drugom - ovo je zbroj prethodna dva broja 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Da li je moguće pronaći opću matematičku formula iz kojeg "binarnog » niza i Fibonaccijevog reda? Ili će nam možda ova formula dati nove numeričke skupove s nekim novim jedinstvenim svojstvima?

Zaista, postavimo numerički parametar S, koji može poprimiti bilo koje vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5... i odvojen od prethodnog za S koraka. Ako n-ti član ovog niza označimo sa? S (n), onda dobivamo opću formulu? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Očito, sa S=0 iz ove formule ćemo dobiti "binarni" niz, sa S=1 - Fibonaccijev niz, sa S=2, 3, 4. novi niz brojeva, koji se nazivaju S-Fibonacci brojevi.

U opći pogled zlatni S-proporcija je pozitivan korijen jednadžbe zlatnog S-presjeka x S+1 -x S -1=0.

Lako je pokazati da kada je S=0, dobiva se podjela segmenta na pola, a kada je S=1, dobiva se poznati klasični zlatni presjek.

Omjeri susjednih Fibonaccijevih S-brojeva s apsolutnom matematičkom točnošću podudaraju se u granici sa zlatnim S-proporcijama! Matematičari u takvim slučajevima kažu da su zlatni S-presjeci numeričke invarijante Fibonaccijevih S-brojeva.

Činjenice koje potvrđuju postojanje zlatnih S-presjeka u prirodi dao je bjeloruski znanstvenik E.M. Soroko u knjizi "Strukturalna harmonija sustava" (Minsk, "Znanost i tehnologija", 1984.). Pokazalo se, primjerice, da dobro proučene binarne legure imaju posebna, izražena funkcionalna svojstva (toplinski stabilne, tvrde, otporne na habanje, otporne na oksidaciju itd.) samo ako su specifične težine početnih komponenti međusobno povezane. jednim iz zlatnih S-proporcija. To je omogućilo autoru da postavi hipotezu da su zlatni S-presjeci numeričke invarijante samoorganizirajućih sustava. Budući da je eksperimentalno potvrđena, ova hipoteza može biti od temeljne važnosti za razvoj sinergetike, novog područja znanosti koje proučava procese u samoorganizirajućim sustavima.

Koristeći kodove zlatnog S-proporcija, bilo koji realni broj može se izraziti kao zbroj stupnjeva zlatnih S-proporcija s cjelobrojnim koeficijentima.

Temeljna razlika između ove metode kodiranja brojeva je u tome što se baze novih kodova, koje su zlatne S-proporcije, ispostavljaju iracionalnim brojevima za S>0. Dakle, novi brojevni sustavi s iracionalnim bazama, takoreći, postavljaju povijesno uspostavljenu hijerarhiju odnosa između racionalnih i iracionalnih brojeva “naopačke”. Činjenica je da su u početku "otkriveni" prirodni brojevi; onda su njihovi omjeri racionalni brojevi. I tek kasnije, nakon što su Pitagorejci otkrili nesamjerljive segmente, pojavili su se iracionalni brojevi. Primjerice, u decimalnom, kvinarnom, binarnom i drugim klasičnim položajnim brojevnim sustavima kao svojevrsno temeljno načelo birani su prirodni brojevi: 10, 5, 2, iz kojih se prema određenim pravilima izdvajaju svi ostali prirodni, kao i racionalni i konstruirani su iracionalni brojevi.

Svojevrsna alternativa postojećim metodama numeriranja je novi, iracionalni, sustav, kao temeljno načelo početka računanja kojeg se bira iracionalan broj (koji je, podsjetimo, korijen jednadžbe zlatnog reza) ; preko njega su već izraženi drugi realni brojevi.

U takvom brojevnom sustavu svaki prirodni broj uvijek se može predstaviti kao konačan broj - a ne beskonačan, kao što se prije mislilo! su zbrojevi potencija bilo koje od zlatnih S-proporcija. To je jedan od razloga zašto se čini da je "iracionalna" aritmetika, koja ima nevjerojatnu matematičku jednostavnost i eleganciju, apsorbirala najbolje kvalitete klasične binarne i "Fibonaccijeve" aritmetike.

NAČELA OBLIKOVANJA U PRIRODI

Sve što je poprimilo neki oblik, formiralo se, raslo, težilo zauzeti mjesto u prostoru i sačuvati se. Ova težnja ostvaruje se uglavnom u dvije varijante: rastom prema gore ili širenjem po površini zemlje i uvijanjem u spiralu.

Školjka je uvijena u spiralu. Ako ga rasklopite, dobit ćete duljinu malo manju od duljine zmije. Mala školjka od deset centimetara ima spiralu dugu 35 cm.Spirale su vrlo česte u prirodi. Koncept zlatnog reza bit će nepotpun, ako ne govorimo o spirali.

Oblik spiralno uvijene školjke privukao je pažnju Arhimeda. Proučavao ju je i izveo jednadžbu spirale. Spirala nacrtana prema ovoj jednadžbi naziva se njegovim imenom. Povećanje njezina koraka uvijek je ravnomjerno. Trenutno se Arhimedova spirala široko koristi u inženjerstvu.

Čak je i Goethe isticao sklonost prirode spiralnosti. Spiralni i spiralni raspored lišća na granama drveća uočen je davno.

Spirala je vidljiva u rasporedu sjemenki suncokreta, u češerima, ananasima, kaktusima itd. Zajednički rad botaničara i matematičara rasvijetlio je ove nevjerojatne prirodne fenomene. Ispostavilo se da se u rasporedu lišća na grani (filotaksa), sjemenki suncokreta, šišarki očituje Fibonaccijev niz, a samim tim i zakon zlatnog presjeka. Pauk ispreda svoju mrežu u obliku spirale. Uragan se vrti u spiralu. Uplašeno krdo sobova rasprši se u spiralu. Molekula DNA je upletena u dvostruku spiralu. Goethe je spiralu nazvao "krivuljom života".

Mandelbrotova serija

Zlatna spirala je usko povezana s ciklusima. moderna znanost o kaosu proučava jednostavne cikličke operacije povratne sprege i fraktalne oblike koje one generiraju, dosad nepoznate. Na slici je prikazan poznati Mandelbrotov niz - stranica iz rječnika h udovi pojedinačnih uzoraka, nazvani Julijanski nizovi. Neki znanstvenici povezuju Mandelbrotov niz s genetskim kodom staničnih jezgri. Dosljedno povećanje odjeljaka otkriva nevjerojatne fraktale u njihovoj umjetničkoj složenosti. I ovdje postoje logaritamske spirale! To je još važnije jer ni Mandelbrotov niz ni Julianov niz nisu izumi. ljudski um. Oni proizlaze iz područja Platonovih prototipova. Kao što je liječnik R. Penrose rekao, "oni su kao Mount Everest"

Među travom uz cestu raste neugledna biljka - cikorija. Pogledajmo ga pobliže. Od glavne stabljike formirana je grana. Evo prvog lista.

Dodatak vrši snažan izbačaj u prostor, zaustavlja se, oslobađa list, ali već kraći od prvog, ponovo vrši izbačaj u prostor, ali manje snage, oslobađa list još manje veličine i ponovno izbacivanje.

Ako se prvi outlier uzme kao 100 jedinica, onda je drugi 62 jedinice, treći je 38, četvrti je 24, i tako dalje. Duljina latica također je podložna zlatnom rezu. U rastu, osvajanju prostora, biljka je zadržala određene razmjere. Njegovi impulsi rasta postupno su se smanjivali proporcionalno zlatnom rezu.

Cikorija

Kod mnogih leptira omjer veličine prsnog i trbušnog dijela tijela odgovara zlatnom rezu. Sklopivši krila, noćni leptir oblikuje pravilan jednakostranični trokut. Ali vrijedi raširiti krila i vidjet ćete isti princip podjele tijela na 2, 3, 5, 8. Vilin konjic također je stvoren prema zakonima zlatnog reza: omjer duljina repa a tijelo je jednako omjeru ukupne duljine prema duljini repa.

Kod guštera su na prvi pogled uhvaćene oku ugodne proporcije - duljina njegovog repa odnosi se na duljinu ostatka tijela kao 62 prema 38.

živorodni gušter

I u biljnom i u životinjskom svijetu uporno se probija oblikovna tendencija prirode - simetrija u odnosu na smjer rasta i kretanja. Ovdje se zlatni rez pojavljuje u omjerima dijelova okomito na smjer rasta.

Priroda je izvršila podjelu na simetrične dijelove i zlatne proporcije. U dijelovima se očituje ponavljanje strukture cjeline.

Od velikog je interesa proučavanje oblika ptičjih jaja. Njihovi različiti oblici fluktuiraju između dva ekstremna tipa: jedan se može upisati u pravokutnik zlatnog presjeka, drugi u pravokutnik s modulom 1,272 (korijen zlatnog reza)

Ovakvi oblici ptičjih jaja nisu slučajni, jer je sada utvrđeno da oblik jaja opisan omjerom zlatnog reza odgovara većim karakteristikama čvrstoće ljuske jajeta.

Kljove slonova i izumrlih mamuta, kandže lavova i kljunovi papiga su logaritamske forme i nalikuju obliku osi koja teži da se pretvori u spiralu.

U divljini su rasprostranjeni oblici koji se temelje na "pentagonalnoj" simetriji (morske zvijezde, morski ježevi, cvijeće).

Zlatni rez je prisutan u strukturi svih kristala, ali većina kristala je mikroskopski malena, tako da ih ne možemo vidjeti golim okom. Međutim, snježne pahulje, koje su također kristali vode, sasvim su dostupne našem oku. Svi likovi izuzetne ljepote koji tvore snježne pahulje, sve osi, krugovi i geometrijski likovi u snježnim pahuljama također su uvijek, bez iznimke, građeni prema savršeno jasnoj formuli zlatnog reza.

U mikrokozmosu su sveprisutne trodimenzionalne logaritamske forme građene prema zlatnim proporcijama. Na primjer, mnogi virusi imaju trodimenzionalni geometrijski oblik ikosaedra. Možda je najpoznatiji od ovih virusa Adeno virus. Proteinska ljuska Adeno virusa sastoji se od 252 jedinice proteinskih stanica raspoređenih u određenom nizu. Na svakom kutu ikosaedra nalazi se 12 proteinskih staničnih jedinica u obliku peterokutne prizme, a iz tih se kutova protežu strukture nalik na šiljke.

Adeno virus

Zlatni rez u strukturi virusa prvi je put otkriven 1950-ih. znanstvenici s londonskog Birkbeck Collegea A. Klug i D. Kaspar. Prvi logaritamski oblik otkrio je sam po sebi virus Polio. Pokazalo se da je oblik ovog virusa sličan onom Rhino virusa.

Postavlja se pitanje: kako virusi stvaraju tako složene trodimenzionalne oblike, čiji uređaj sadrži zlatni rez, koji je prilično teško konstruirati čak i našim ljudskim umom? Otkrivač ovih oblika virusa, virolog A. Klug, daje sljedeći komentar: “Dr. Kaspar i ja smo pokazali da je za sferni omotač virusa najoptimalniji oblik simetrija poput oblika ikosaedra. Takav poredak minimizira broj spojnih elemenata... Većina Buckminster Fullerovih geodetskih hemisfernih kocki konstruirana je prema sličnom geometrijskom principu. Instalacija takvih kockica zahtijeva izuzetno preciznu i detaljnu shemu objašnjenja, dok nesvjesni virusi sami konstruiraju tako složenu ljusku od elastičnih, savitljivih proteinskih staničnih jedinica.

Klugov komentar još jednom podsjeća na krajnje očitu istinu: u strukturi čak i mikroskopskog organizma, kojeg znanstvenici svrstavaju u "najprimitivniji oblik života", u ovaj slučaj u virusu postoji jasna namjera i razuman dizajn. Ovaj je projekt po svojoj savršenosti i preciznosti izvedbe neusporediv s najnaprednijim arhitektonskim projektima koje su stvorili ljudi. Na primjer, projekti koje je stvorio briljantni arhitekt Buckminster Fuller.

Trodimenzionalni modeli dodekaedra i ikosaedra prisutni su i u strukturi kostura jednostaničnih morskih mikroorganizama radiolarija (beamers), čiji je kostur izgrađen od silicijevog dioksida.

Radiolarije tvore svoje tijelo vrlo izuzetne, neobične ljepote. Oblik im je pravilan dodekaedar, a iz svakog njegovog kuta izrastaju po jedno pseudo-izduženje-krak i drugi neobični oblici-izrasline.

Veliki Goethe, pjesnik, prirodoslovac i umjetnik (slikao je i slikao akvarelom), sanjao je o stvaranju jedinstvene doktrine o obliku, formiranju i transformaciji organskih tijela. Upravo je on u znanstvenu upotrebu uveo pojam morfologija.

Pierre Curie početkom našeg stoljeća formulirao je niz dubokih ideja o simetriji. Tvrdio je da se ne može razmatrati simetrija bilo kojeg tijela bez uzimanja u obzir simetrije okoline.

Obrasci "zlatne" simetrije očituju se u energetskim prijelazima elementarnih čestica, u strukturi nekih kemijskih spojeva, u planetarnim i svemirskim sustavima, u genskim strukturama živih organizama. Ti obrasci, kao što je gore navedeno, nalaze se u strukturi pojedinih ljudskih organa i tijela u cjelini, a također se očituju u bioritmovima i funkcioniranju mozga i vizualnoj percepciji.

LJUDSKO TIJELO I ZLATNI REZ

Sve ljudske kosti su proporcionalne zlatnom presjeku. Proporcije razne dijelove naše tijelo je broj vrlo blizu zlatnog reza. Ako se te proporcije podudaraju s formulom zlatnog reza, tada se izgled ili tijelo osobe smatra idealno izgrađenim.

Zlatne proporcije u dijelovima ljudskog tijela

Ako uzmemo točku pupka kao središte ljudskog tijela, a udaljenost između ljudskog stopala i točke pupka kao mjernu jedinicu, tada je visina osobe ekvivalentna broju 1,618.

• razmak od razine ramena do tjemena i veličina glave je 1:1,618;
• udaljenost od vrha pupka do tjemena i od razine ramena do tjemena glave je 1:1,618;
• udaljenost točke pupka do koljena i od koljena do stopala je 1:1,618;
• udaljenost od vrha brade do vrha gornje usne i od vrha gornje usne do nosnica je 1:1,618;
• zapravo, točna prisutnost zlatnog proporcija na licu osobe je ideal ljepote za ljudski pogled;
• udaljenost od vrha brade do gornje linije obrva i od gornje linije obrva do tjemena je 1:1,618;
• visina lica/širina lica;
• središnja točka spajanja usana s bazom nosa / duljina nosa;
• visina lica/udaljenost od vrha brade do središnje točke spoja usana;
• širina usta/širina nosa;
• širina nosa/razmak između nosnica;
• razmak između zjenica / razmak između obrva.

Dovoljno je sada samo približiti dlan i pažljivo pogledati kažiprst, a u njemu ćete odmah pronaći formulu zlatnog reza.

Svaki prst naše ruke sastoji se od tri falange. Zbroj duljina prve dvije falange prsta u odnosu na cijelu duljinu prsta daje zlatni rez (s izuzetkom palca).

Osim toga, omjer srednjeg i malog prsta također je jednak zlatnom rezu.

Osoba ima 2 ruke, prsti na svakoj ruci sastoje se od 3 falange (s izuzetkom palca). Svaka ruka ima 5 prstiju, odnosno ukupno 10, ali s izuzetkom dva dvofalangealna palca, samo 8 prstiju nastaje prema principu zlatnog reza. Dok su svi ovi brojevi 2, 3, 5 i 8 brojevi Fibonaccijevog niza.

Također treba napomenuti da je kod većine ljudi razmak između krajeva raširenih ruku jednak visini.

Istine zlatnog reza su u nama iu našem prostoru. Osobitost bronha koji čine pluća osobe leži u njihovoj asimetriji. Bronhi se sastoje od dva glavna dišna puta, jedan (lijevi) je duži, a drugi (desni) je kraći. Utvrđeno je da se ta asimetrija nastavlja u ograncima bronha, u svim manjim dišnim putovima. Štoviše, omjer duljine kratkih i dugih bronha također je zlatni rez i jednak je 1:1,618.

U unutarnjem uhu čovjeka nalazi se organ pužnica ("Puž"), koji obavlja funkciju prijenosa zvučnih vibracija. Ova koštana struktura ispunjena je tekućinom i također stvorena u obliku puža, koji sadrži stabilan logaritamski spiralni oblik =73 0 43".

Krvni tlak se mijenja kako srce kuca. Najveću vrijednost postiže u lijevoj klijetki srca u vrijeme njezine kontrakcije (sistola). U arterijama tijekom sistole ventrikula srca krvni tlak doseže maksimalnu vrijednost jednaku 115-125 mm Hg u mladih, zdrava osoba. U trenutku opuštanja srčanog mišića (dijastola) tlak se smanjuje na 70-80 mm Hg. Omjer maksimalnog (sistoličkog) i minimalnog (dijastoličkog) tlaka u prosjeku je 1,6, odnosno blizu zlatnog reza.

Ako kao jedinicu uzmemo prosječni krvni tlak u aorti, tada je sistolički krvni tlak u aorti 0,382, a dijastolički 0,618, odnosno njihov odnos odgovara zlatnom rezu. To znači da se rad srca u odnosu na vremenske cikluse i promjene krvnog tlaka optimizira prema istom principu zakona zlatnog reza.

Molekula DNA sastoji se od dvije okomito isprepletene spirale. Svaka od ovih spirala duga je 34 angstrema i široka 21 angstrem. (1 angstrom je stomilijunti dio centimetra).

Struktura zavojnog dijela molekule DNA

Dakle, 21 i 34 su brojevi koji slijede jedan za drugim u nizu Fibonaccijevih brojeva, odnosno omjer duljine i širine logaritamske spirale molekule DNK nosi formulu zlatnog reza 1: 1,618.

ZLATNI PRESJEK U KIPARSTVU

Skulpture, spomenici podižu se u spomen značajnih događaja, da u sjećanju potomaka sačuvaju imena slavnih ljudi, njihove podvige i djela. Poznato je da je čak iu antičko doba osnova kiparstva bila teorija proporcija. Odnosi dijelova ljudskog tijela bili su povezani s formulom zlatnog reza. Proporcije "zlatnog presjeka" stvaraju dojam sklada, ljepote, pa su ih kipari koristili u svojim djelima. Kipari tvrde da struk dijeli savršeno ljudsko tijelo u odnosu na "zlatni rez". Na primjer, poznati kip Apollo Belvedere sastoji se od dijelova koji su podijeljeni prema zlatnom rezu. Veliki starogrčki kipar Phidias često je koristio "zlatni rez" u svojim djelima. Najpoznatiji od njih bili su kip olimpskog Zeusa (koji se smatrao jednim od svjetskih čuda) i Atena Partenon.

Poznat je zlatni udio kipa Apolona Belvedere: visina prikazane osobe podijeljena je pupčanom linijom u zlatnom presjeku.

ZLATNI REZ U ARHITEKTURI

U knjigama o "zlatnom rezu" može se naći opaska da u arhitekturi, kao iu slikarstvu, sve ovisi o poziciji promatrača, pa ako se neke proporcije u zgradi s jedne strane čine kao "zlatni rez", onda će s drugih stajališta izgledati drugačije. "Zlatni rez" daje najopušteniji omjer veličina pojedinih duljina.

Jedno od najljepših djela starogrčke arhitekture je Partenon (V. st. pr. Kr.).

Slike pokazuju niz uzoraka povezanih sa zlatnim rezom. Proporcije zgrade mogu se izraziti kroz različite stupnjeve broja F = 0,618 ...

Partenon ima 8 stupova na kraćim stranama i 17 na dugim. Izbočine su u potpunosti izrađene od kvadrata pentilejskog mramora. Plemenitost materijala od kojeg je izgrađen hram omogućila je ograničavanje upotrebe boja, uobičajenih u grčkoj arhitekturi, samo naglašava detalje i oblikuje obojenu pozadinu (plavu i crvenu) za skulpturu. Omjer visine zgrade i njezine duljine je 0,618. Podijelimo li Partenon prema "zlatnom presjeku", dobit ćemo određene izbočine pročelja.

Na tlocrtu Partenona također se vide "zlatni pravokutnici".

Zlatni rez možemo vidjeti u zgradi katedrale Notre Dame (Notre Dame de Paris) i u Keopsovoj piramidi.

Nisu samo egipatske piramide građene u skladu sa savršenim proporcijama zlatnog reza; isti se fenomen nalazi u meksičkim piramidama.

Dugo se vremena vjerovalo da arhitekti drevna Rusija gradio sve "na oko", bez posebnih matematičkih proračuna. No najnovija istraživanja pokazala su da su ruski arhitekti dobro poznavali matematičke proporcije, o čemu svjedoči analiza geometrije antičkih hramova.

Poznati ruski arhitekt M. Kazakov široko je koristio "zlatni rez" u svom radu. Njegov talent bio je višestruk, ali se u većoj mjeri otkrio u brojnim izvedenim projektima stambenih zgrada i imanja. Na primjer, "zlatni rez" nalazi se u arhitekturi zgrade Senata u Kremlju. Prema projektu M. Kazakova, u Moskvi je izgrađena bolnica Golitsyn, koja se trenutno zove Prva klinička bolnica nazvan po N.I. Pirogov.

Palača Petrovski u Moskvi. Izgrađen prema projektu M.F. Kazakova

Još jedno arhitektonsko remek-djelo Moskve - Paškova kuća - jedno je od najsavršenijih djela arhitekture V. Bazhenova.

Kuća Paškova

Prekrasna kreacija V. Bazhenova čvrsto je ušla u ansambl središta moderne Moskve, obogatila ga. Vanjski izgled kuće ostao je gotovo nepromijenjen do danas, unatoč činjenici da je teško spaljena 1812. godine. Tijekom obnove zgrada je dobila masivnije oblike. Nije sačuvan ni unutarnji raspored zgrade, o čemu tek nacrt donje etaže daje predodžbu.

Mnoge izjave arhitekta zaslužuju pozornost u naše dane. O svojoj najdražoj umjetnosti V. Bazhenov je rekao: “Arhitektura ima tri glavna predmeta: ljepotu, smirenost i snagu građevine ... Da bi se to postiglo, poznavanje proporcije, perspektive, mehanike ili fizike općenito služi kao vodič, a svima njima zajednički vođa je razum.”

ZLATNI REZ U GLAZBI

Svako glazbeno djelo ima vremenski raspon i podijeljeno je na neke "estetske prekretnice" u zasebne dijelove koji privlače pažnju i olakšavaju percepciju u cjelini. Ti prekretnici mogu biti dinamičke i intonacijske kulminacijske točke glazbenog djela. Odvojeni vremenski intervali glazbenog djela, povezani "vrhunskim događajem", u pravilu su u omjeru zlatnog reza.

Davne 1925. godine likovni kritičar L.L. Sabaneev je, analizirajući 1770 glazbenih djela 42 autora, pokazao da se velika većina izvrsnih djela može lako podijeliti na dijelove bilo po temi, bilo po intonaciji, bilo po modalnom sustavu, koji su u odnosu na zlatni rez. Štoviše, što je skladatelj talentiraniji, to je u njegovim djelima pronađeno više zlatnih presjeka. Prema Sabanejevu, zlatni rez daje dojam posebnog sklada glazbena kompozicija. Taj je rezultat Sabaneev potvrdio na svih 27 Chopinovih etida. U njima je pronašao 178 zlatnih presjeka. Pritom se pokazalo da su ne samo veliki dijelovi etida podijeljeni po trajanju u odnosu na zlatni rez, nego su dijelovi etida unutar njih često podijeljeni u istom omjeru.

Skladatelj i znanstvenik M.A. Marutajev je prebrojao mjere u poznatoj sonati Appassionata i pronašao niz zanimljivih numeričkih odnosa. Konkretno, u razvoju, središnjoj strukturnoj cjelini sonate, gdje se intenzivno razvijaju teme i smjenjuju ključevi, dva su glavna dijela. U prvom - 43,25 ciklusa, u drugom - 26,75. Omjer 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 daje zlatni rez.

Najveći broj djela u kojima postoji Zlatni rez imaju Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%).

Ako je glazba harmonijski poredak zvukova, onda je poezija harmonijski poredak govora. Jasan ritam, pravilna izmjena naglašenih i nenaglašenih slogova, uređena dimenzionalnost pjesama, njihovo emocionalno bogatstvo čine poeziju sestrom glazbenih djela. Zlatni rez u poeziji prvenstveno se očituje kao prisutnost određenog trenutka pjesme (vrhunac, semantička prekretnica, glavna ideja proizvodi) u liniji koja se može pripisati točki podjele ukupni broj stihovi pjesme u zlatnom rezu. Dakle, ako pjesma sadrži 100 redaka, tada prva točka Zlatnog reza pada na 62. red (62%), druga - na 38. (38%), itd. Djela Aleksandra Sergejeviča Puškina, uključujući "Eugene Onegin", najbolja su korespondencija zlatnog reza! Djela Shota Rustavelija i M.Yu. Ljermontova također su građene na principu zlatnog reza.

Stradivari je napisao da je koristio zlatni rez kako bi odredio mjesta za ureze u obliku f na tijelu svojih slavnih violina.

ZLATNI REZ U POEZIJI

Studije pjesničkih djela s ovih pozicija tek počinju. I trebate početi s poezijom A.S. Puškina. Uostalom, njegova su djela primjer najistaknutijih kreacija ruske kulture, primjer najviša razina sklad. Iz poezije A.S. Puškina, započet ćemo potragu za zlatnim omjerom - mjerilom sklada i ljepote.

Mnogo toga u strukturi pjesničkih djela čini ovaj oblik umjetnosti srodnim glazbi. Jasan ritam, pravilna izmjena naglašenih i nenaglašenih slogova, uređena dimenzionalnost pjesama, njihovo emocionalno bogatstvo čine poeziju sestrom glazbenih djela. Svaki stih ima svoj glazbeni oblik, svoj ritam i melodiju. Može se očekivati ​​da će se u strukturi pjesama pojaviti neka obilježja glazbenih djela, obrasci glazbena harmonija a time i zlatni rez.

Krenimo od veličine pjesme, odnosno broja redaka u njoj. Čini se da se ovaj parametar pjesme može mijenjati proizvoljno. Međutim, pokazalo se da to nije tako. Na primjer, analiza pjesama A.S. Puškin je pokazao da su veličine stihova vrlo neravnomjerno raspoređene; pokazalo se da Puškin očito preferira veličine od 5, 8, 13, 21 i 34 retka (Fibonaccijevi brojevi).

Mnogi su istraživači primijetili da su pjesme slične glazbena djela; oni također imaju vrhunske točke koje dijele pjesmu proporcionalno zlatnom rezu. Razmotrimo, na primjer, pjesmu A.S. Puškin "Postolar":

Analizirajmo ovu parabolu. Pjesma se sastoji od 13 stihova. Ističe dva semantička dijela: prvi u 8 redaka i drugi (morala parabole) u 5 redaka (13, 8, 5 su Fibonaccijevi brojevi).

Jedna od posljednjih Puškinovih pjesama, "Ja ne cijenim prava visokog profila ..." sastoji se od 21 stiha iu njoj se razlikuju dva semantička dijela: u 13 i 8 redaka:

Ne cijenim prava visokog profila, Od koje se nikome ne zavrti u glavi. Ne gunđam zbog činjenice da su bogovi odbili Ja sam u slatkoj skupini izazovnih poreza Ili spriječiti kraljeve da se međusobno bore; I mala mi žalost, je tisak slobodan Zavaravanje sisa ili osjetljiva cenzura U planovima časopisa, joker je neugodan. Sve ovo, vidite, riječi, riječi, riječi. Druga, bolja, prava su mi draga: Drugi, bolji, treba mi sloboda: Osloni se na kralja, osloni se na narod - Zar nam nije svima stalo? Bog je s njima. Ne podnosite izvještaj, samo sebi Poslužite i molimo; za moć, za livreju Ne savijaj ni savjest, ni misli, ni vrat; Po tvom ćudi da lutaš tamo-amo, Zadivljen božanskom ljepotom prirode, I prije stvorenja umjetnosti i nadahnuća Drhteći radosno u užicima nježnosti, Ovdje je sreća! Tako je...

Karakteristično je da je prvi dio ovog stiha (13 stihova) po semantičkom sadržaju podijeljen na 8 i 5 stihova, odnosno da je cijela pjesma građena po zakonima zlatnog reza.

Od nesumnjivog interesa je analiza romana "Eugene Onegin" koju je napravio N. Vasyutinskiy. Ovaj se roman sastoji od 8 poglavlja, a svako ima u prosjeku oko 50 stihova. Najsavršenije, najprofinjenije i emocionalno najbogatije je osmo poglavlje. Ima 51 stih. Zajedno s Jevgenijevim pismom Tatjani (60 redaka), to točno odgovara Fibonaccijevom broju 55!

N. Vasyutinsky navodi: "Kulminacija poglavlja je Evgenijeva izjava ljubavi prema Tatjani - rečenica "Blijedi i izblijedjeli ... to je blaženstvo!" Ovaj redak dijeli cijelo osmo poglavlje na dva dijela: prvi ima 477 redaka, a drugi ima 295 redaka. Njihov omjer je 1,617! Najsuptilnija usklađenost s vrijednošću zlatnog reza! Ovo je veliko čudo harmonije, koje je postigao Puškinov genij!

E. Rosenov analizirao je mnoga pjesnička djela M.Yu. Ljermontov, Schiller, A.K. Tolstoja i također otkrio u njima "zlatni rez".

Poznata Lermontovljeva pjesma "Borodino" podijeljena je u dva dijela: uvod upućen pripovjedaču, koji zauzima samo jednu strofu ("Reci mi, ujače, nije uzalud ..."), i glavni dio, predstavlja samostalnu cjelinu, koja je podijeljena na dva ekvivalentna dijela. Prvi od njih opisuje, uz rastuću napetost, očekivanje bitke, drugi opisuje samu bitku s postupnim smanjenjem napetosti prema kraju pjesme. Granica između ovih dijelova je vrhunac djela i pada točno na točku njegove podjele zlatnim rezom.

Glavninu pjesme čini 13 sedmeraca, odnosno 91 stih. Dijeleći ga zlatnim rezom (91:1.618=56.238), pazimo da točka dijeljenja bude na početku 57. stiha, gdje se nalazi kratka fraza: “Pa bio je dan!” Upravo taj izraz predstavlja “vrhunac uzbuđenog iščekivanja”, kojim se završava prvi dio pjesme (iščekivanje bitke) i otvara njezin drugi dio (opis bitke).

Dakle, zlatni rez igra vrlo značajnu ulogu u poeziji, ističući vrhunac pjesme.

Mnogi istraživači pjesme Šote Rustavelija “Vitez u panterovoj koži” bilježe izuzetnu harmoniju i melodičnost njegovih stihova. Ova svojstva pjesme gruzijski znanstvenik, akademik G.V. Tsereteli to pripisuje svjesnom korištenju zlatnog reza od strane pjesnikinje kako u oblikovanju forme pjesme tako iu konstrukciji svojih pjesama.

Rustavelijeva pjesma sastoji se od 1587 strofa, od kojih se svaka sastoji od četiri stiha. Svaki redak sastoji se od 16 slogova i podijeljen je na dva jednaka dijela po 8 slogova u svakom poluretku. Svi polustihovi podijeljeni su u dva segmenta dvije vrste: A - polustih s jednakim segmentima i Parni broj slogovi (4+4); B je polupravac s nesimetričnom podjelom na dva nejednaka dijela (5+3 ili 3+5). Tako su u polucrti B omjeri 3:5:8, što je aproksimacija zlatnog reza.

Utvrđeno je da je od 1587 strofa u Rustavelijevoj pjesmi više od polovice (863) izgrađeno prema principu zlatnog reza.

U naše vrijeme rođena je nova vrsta umjetnosti - film, koji je apsorbirao dramaturgiju akcije, slikarstva, glazbe. Očitovanja zlatnog reza legitimno je tražiti u izuzetnim djelima kinematografije. Prvi je to učinio tvorac remek-djela svjetske kinematografije “Bojni brod Potemkin”, redatelj Sergej Eisenstein. U konstrukciji ove slike uspio je utjeloviti osnovno načelo harmonije - zlatni rez. Kako sam Eisenstein primjećuje, crvena zastava na jarbolu pobunjenog bojnog broda (apogejska točka filma) vijori se na točki zlatnog reza, računajući od kraja filma.

ZLATNI REZ U FONTOVIMA I KUĆANSKIM PREDMETIMA

Posebnu vrstu likovne umjetnosti antičke Grčke treba istaknuti izradu i oslikavanje svih vrsta posuda. U elegantnom obliku lako se pogađaju proporcije zlatnog presjeka.

U slikarstvu i kiparstvu hramova, na kućanskim predmetima, stari Egipćani najčešće su prikazivali bogove i faraone. Uspostavljeni su kanoni slike stojeće osobe, hodanja, sjedenja itd. Umjetnici su morali zapamtiti pojedinačne oblike i sheme slika iz tablica i uzoraka. Starogrčki umjetnici posebno su putovali u Egipat kako bi naučili koristiti kanon.

OPTIMALNI FIZIČKI PARAMETRI VANJSKE SREDINE

Poznato je da maksimum jačina zvuka, koji uzrokuje bol, jednak je 130 decibela. Podijelimo li taj interval zlatnim rezom od 1,618, dobit ćemo 80 decibela, što je tipično za glasnoću ljudskog krika. Ako sada 80 decibela podijelimo zlatnim rezom, dobit ćemo 50 decibela, što odgovara glasnoći ljudskog govora. Konačno, ako 50 decibela podijelimo s kvadratom zlatnog reza 2,618, dobit ćemo 20 decibela, što odgovara ljudskom šaptu. Dakle, svi karakteristični parametri glasnoće zvuka međusobno su povezani kroz zlatni rez.

Na temperaturi od 18-20 0 C interval vlažnost Optimalnim se smatra 40-60%. Granice optimalnog raspona vlažnosti mogu se dobiti ako se apsolutna vlažnost od 100% dva puta podijeli zlatnim rezom: 100 / 2,618 = 38,2% (donja granica); 100/1,618=61,8% (gornja granica).

Na tlak zraka 0,5 MPa, osoba doživljava nelagodu, njegov fizički i psihološka aktivnost. Pri tlaku od 0,3-0,35 MPa dopušten je samo kratkotrajni rad, a pri tlaku od 0,2 MPa dopušteno je raditi ne više od 8 minuta. Svi ovi karakteristični parametri međusobno su povezani zlatnim rezom: 0,5/1,618=0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Rubni parametri vanjska temperatura, unutar kojeg je moguće normalno postojanje (i, što je najvažnije, podrijetlo) osobe, je temperaturni raspon od 0 do + (57-58) 0 C. Očito, prva granica objašnjenja može se izostaviti.

Navedeni raspon pozitivnih temperatura dijelimo zlatnim rezom. U ovom slučaju dobivamo dvije granice (obje granice su temperature karakteristične za ljudsko tijelo): prva odgovara temperaturi, druga granica odgovara maksimalnoj mogućoj temperaturi vanjskog zraka za ljudsko tijelo.

ZLATNI REZ U SLIKARSTVU

Još u renesansi umjetnici su otkrili da svaka slika ima određene točke koje nenamjerno privlače našu pozornost, takozvana vizualna središta. U ovom slučaju nije važno koji je format slike vodoravni ili okomiti. Postoje samo četiri takve točke, a nalaze se na udaljenosti od 3/8 i 5/8 od odgovarajućih rubova ravnine.

Ovo otkriće među umjetnicima tog vremena nazvano je "zlatnim rezom" slike.

Okrećući se primjerima "zlatnog presjeka" u slikarstvu, ne možemo ne zaustaviti pozornost na djelu Leonarda da Vincija. Njegov identitet jedna je od misterija povijesti. Sam Leonardo da Vinci je rekao: "Neka se nitko tko nije matematičar ne usudi čitati moja djela."

Stekao je slavu kao nenadmašni umjetnik, veliki znanstvenik, genij koji je anticipirao mnoge izume koji su implementirani tek u 20. stoljeću.

Nema sumnje da je Leonardo da Vinci bio veliki umjetnik, prepoznali su to već njegovi suvremenici, no njegova osobnost i djelovanje ostat će obavijeni velom tajne, budući da potomstvu nije ostavio suvisli prikaz svojih ideja, već samo brojne rukom pisane skice, bilješke koji kažu "i sve na svijetu."

Pisao je s desna na lijevo nečitkim rukopisom i lijevom rukom. Ovo je najpoznatiji primjer zrcalnog pisma koji postoji.

Portret Monna Lise (Mona Lisa) duge godine privukla je pozornost istraživača, koji su otkrili da se kompozicija slike temelji na zlatnim trokutima, koji su dijelovi pravilnog zvjezdanog peterokuta. Postoje mnoge verzije o povijesti ovog portreta. Ovdje je jedan od njih.

Jednom je Leonardo da Vinci dobio narudžbu od bankara Francesca del Gioconda da naslika portret mlade žene, bankarove žene Monna Lise. Žena nije bila lijepa, ali privukla ju je jednostavnost i prirodnost njezina izgleda. Leonardo je pristao naslikati portret. Njegov model bio je tužan i tužan, ali Leonardo joj je ispričao bajku, nakon što je čula postala je živa i zanimljiva.

BAJKA. Bio jednom jedan siromah, imao četiri sina: tri pametna, a od njih jedan ovakav i onakav. A onda je po oca stigla smrt. Prije rastanka sa životom, pozvao je k sebi svoju djecu i rekao: “Sinovi moji, uskoro ću umrijeti. Čim me pokopaš, zaključaj kolibu i idi na kraj svijeta da se obogatiš. Neka svatko od vas nešto nauči kako bi se mogao prehraniti.” Otac je umro, a sinovi su se razišli po svijetu, dogovorivši se da se tri godine kasnije vrate na proplanak rodnog gaja. Došao je prvi brat, koji je naučio drvodjelju, posjekao drvo i iscijepao ga, napravio od njega ženu, odšetao malo i čeka. Drugi brat se vratio, ugledao drvenu ženu i, budući da je bio krojač, u jednom trenutku ju je obukao: kao vješt majstor sašio joj je lijepu svilenu odjeću. Treći sin okiti ženu zlatom i drago kamenje Zato što je bio draguljar. Napokon je stigao i četvrti brat. Nije znao stolirati i šivati, samo je znao slušati što govori zemlja, drveće, bilje, životinje i ptice, znao je hod nebeskih tijela i znao je pjevati divne pjesme. Pjevao je pjesmu koja je rasplakala braću koja su se skrivala iza grmlja. Ovom pjesmom je ženu oživio, nasmiješila se i uzdahnula. Braća su pojurila k njoj i svaki je vikao isto: "Ti moraš biti moja žena." Ali žena je odgovorila: “Ti si me stvorio - budi moj otac. Obukli ste me, i okitili me - budite mi braća. A ti, koji si mi udahnuo dušu i naučio me uživati ​​u životu, trebaš mi sam za život.

Nakon što je završio priču, Leonardo je pogledao Monnu Lisu, lice joj je bilo obasjano svjetlom, oči su joj blistale. Zatim, kao da se probudila iz sna, uzdahnula je, prešla rukom preko lica i bez riječi otišla na svoje mjesto, sklopila ruke i zauzela svoj uobičajeni položaj. Ali djelo je učinjeno - umjetnik je probudio ravnodušni kip; osmijeh blaženstva, polako nestajući s njezina lica, ostao je u kutovima njezinih usana i podrhtavao, dajući njezinu licu nevjerojatan, tajanstven i pomalo lukav izraz, kao kod osobe koja je saznala tajnu i, brižno je čuvajući, ne može obuzdati njegov trijumf. Leonardo je radio u tišini, bojeći se propustiti ovaj trenutak, ovu zraku sunca koja je obasjala njegov dosadni model...

Teško je primijetiti što je zamijećeno u ovom remek-djelu, ali svi su govorili o Leonardovom dubokom poznavanju strukture ljudskog tijela, zahvaljujući čemu je uspio uhvatiti taj, tako reći, tajanstveni osmijeh. Razgovaralo se o ekspresivnosti pojedinih dijelova slike i o pejzažu, neviđenom pratiocu portreta. Govorili su o prirodnosti izraza, jednostavnosti poze, ljepoti ruku. Umjetnik je napravio nešto bez presedana: slika prikazuje zrak, obavija lik prozirnom izmaglicom. Unatoč uspjehu, Leonardo je bio tmuran, umjetniku se situacija u Firenci činila mučnom, spremao se otići. Podsjetnici na naloge za poplavu nisu mu pomogli.

Zlatni rez na slici I.I. Shishkin "Pine Grove". U ovom poznata slika I.I. Šiškina, jasno su vidljivi motivi zlatnog reza. Jarko osvijetljen bor (koji stoji u prvom planu) dijeli duljinu slike prema zlatnom rezu. Desno od bora nalazi se brežuljak obasjan suncem. Dijeli desnu stranu slike horizontalno prema zlatnom rezu. S lijeve strane glavnog bora nalazi se mnogo borova - ako želite, možete uspješno nastaviti dijeliti sliku prema zlatnom rezu i dalje.

borov šumarak

Prisutnost na slici svijetlih vertikala i horizontala, dijeleći je u odnosu na zlatni rez, daje joj karakter ravnoteže i mira u skladu s umjetnikovom namjerom. Kad je umjetnikova intencija drugačija, ako, recimo, stvara sliku s ubrzanim razvojem radnje, takva geometrijska shema kompozicije (s prevlašću vertikala i horizontala) postaje neprihvatljiva.

U I. Surikov. "Bojarka Morozova"

Njena uloga je dodijeljena središnjem dijelu slike. Omeđena je točkom najvišeg uspona i točkom najnižeg pada sižea slike: usponom ruke Morozove sa znakom križa s dva prsta, kao najvišom točkom; bespomoćno ispružena ruka istoj plemkinji, ali ovaj put ruci starice – prosjakinji lutalici, ruci ispod koje, uz posljednju nadu u spas, izmiče i kraj saonica.

A što je s " najviša točka"? Na prvi pogled imamo prividnu kontradikciju: uostalom, dionica A 1 B 1, koja je 0,618 ... od desnog ruba slike, ne prolazi kroz ruku, čak ni kroz glavu ili oko čovjeka. plemkinja, ali ispada negdje pred ustima plemkinje.

Zlatni rez ovdje doista siječe ono najvažnije. U njemu, i baš u njemu, najveća je snaga Morozove.

Ne postoji poetičnija slika od one Sandra Botticellija, a veliki Sandro nema slavniju sliku od svoje Venere. Za Botticellija, njegova Venera je utjelovljenje ideje o univerzalnom skladu "zlatnog presjeka" koji prevladava u prirodi. U to nas uvjerava proporcionalna analiza Venere.

Venera

Rafael "Atenska škola". Raphael nije bio matematičar, ali je, poput mnogih umjetnika tog doba, imao znatno znanje o geometriji. Na poznatoj fresci "Atenska škola", gdje se u hramu znanosti održava društvo velikih filozofa antike, pažnju nam privlači skupina Euklida, najvećeg starogrčkog matematičara, koji rastavlja složeni crtež.

Genijalna kombinacija dva trokuta također je izgrađena u skladu sa zlatnim rezom: može se upisati u pravokutnik s omjerom stranica 5/8. Ovaj crtež je iznenađujuće lako umetnuti u gornji dio arhitekture. Gornji kut Trokut se naslanja na zaglavni kamen luka u području najbližem gledatelju, donji - na točki nestajanja perspektiva, a bočni presjek označava proporcije prostornog razmaka između dva dijela luka.

Zlatna spirala na Raphaelovoj slici "Masakr nevinih". Za razliku od zlatnog reza, osjećaj dinamike, uzbuđenja, možda je najizraženiji u jednom drugom jednostavnom geometrijskom liku – spirali. Višefiguralna kompozicija koju je 1509. - 1510. godine izradio Rafael, kada je slavni slikar stvarao svoje freske u Vatikanu, upravo se odlikuje dinamizmom i dramatičnošću radnje. Rafael nikada nije doveo svoju zamisao do kraja, ali je njegovu skicu urezao nepoznati talijanski grafičar Marcantinio Raimondi, koji je prema ovoj skici izradio gravuru Masakr nevinih.

Pokolj nevinih

Ako na pripremnoj skici Rafaela mentalno povučemo linije koje idu od semantičkog središta kompozicije - točaka gdje su se prsti ratnika sklopili oko dječjeg gležnja, duž figura djeteta, žene koja ga drži uz sebe, ratnik s podignutim mačem, a zatim duž figura iste skupine na desnoj strani nacrtajte (na slici su te linije nacrtane crvenom bojom), a zatim spojite te dijelove krivulje točkastom linijom, zatim zlatnom spirala se dobiva s vrlo velikom točnošću. To se može provjeriti mjerenjem omjera duljina segmenata koje spirala siječe na ravnima koje prolaze kroz početak krivulje.

ZLATNI REZ I PERCEPCIJA SLIKE

Odavno je poznata sposobnost ljudskog vizualnog analizatora da objekte izgrađene prema algoritmu zlatnog reza razlikuje kao lijepe, privlačne i skladne. Zlatni rez daje osjećaj najsavršenije jedinstvene cjeline. Format mnogih knjiga slijedi zlatni rez. Odabire se za prozore, slike i kuverte, poštanske marke, posjetnice. Osoba možda ne zna ništa o broju F, ali u strukturi predmeta, kao iu slijedu događaja, podsvjesno pronalazi elemente zlatnog reza.

Provedene su studije u kojima su ispitanici trebali odabrati i kopirati pravokutnike različitih proporcija. Na izbor su bila tri pravokutnika: kvadrat (40:40 mm), pravokutnik "zlatnog reza" omjera stranica 1:1,62 (31:50 mm) i pravokutnik izduženog omjera 1:2,31 (26: 60 mm).

Pri odabiru pravokutnika u normalnom stanju, u 1/2 slučajeva prednost se daje kvadratu. Desna hemisfera preferira zlatni rez i odbija izduženi pravokutnik. Naprotiv, lijeva hemisfera teži izduženim proporcijama i odbacuje zlatni rez.

Prilikom kopiranja ovih pravokutnika uočeno je sljedeće: kada je desna hemisfera bila aktivna, proporcije u kopijama održavane su najtočnije; kada je lijeva hemisfera bila aktivna, proporcije svih pravokutnika bile su iskrivljene, pravokutnici su bili rastegnuti (kvadrat je nacrtan kao pravokutnik s omjerom stranica 1:1,2; proporcije rastegnutog pravokutnika naglo su se povećale i dosegle 1:2,8 ). Najjače su iskrivljene proporcije "zlatnog" pravokutnika; njegove su proporcije u kopijama postale proporcije pravokutnika 1:2,08.

Prilikom crtanja vlastitih crteža prevladavaju proporcije bliske zlatnom rezu i izdužene. U prosjeku, proporcije su 1:2, dok desna hemisfera preferira proporcije zlatnog reza, lijeva se hemisfera odmiče od proporcija zlatnog reza i rasteže uzorak.

Sada nacrtajte nekoliko pravokutnika, izmjerite njihove stranice i pronađite omjer širine i visine. Koju hemisferu imate?

ZLATNI REZ U FOTOGRAFIJI

Primjer korištenja zlatnog reza u fotografiji je položaj ključnih komponenti okvira na točkama koje se nalaze 3/8 i 5/8 od rubova okvira. To se može ilustrirati sljedećim primjerom: fotografija mačke koja se nalazi na proizvoljnom mjestu u okviru.

Sada uvjetno podijelimo okvir na segmente, u omjeru 1,62 ukupne dužine sa svake strane okvira. Na raskrižju segmenata bit će glavna "vizualna središta" u koja je vrijedno postaviti potrebne ključne elemente slike. Pomaknimo našu mačku na točke "vizualnih centara".

ZLATNI REZ I PROSTOR

Iz povijesti astronomije poznato je da je I. Titius, njemački astronom iz 18. stoljeća, koristeći ovaj niz, pronašao pravilnost i red u udaljenostima između planeta Sunčevog sustava.

Međutim, jedan slučaj koji je izgleda bio protivan zakonu: nije bilo planeta između Marsa i Jupitera. Fokusirano promatranje ovog dijela neba dovelo je do otkrića asteroidnog pojasa. To se dogodilo nakon Titiusove smrti početkom 19. stoljeća. Fibonaccijev niz je široko korišten: uz njegovu pomoć predstavljaju arhitektoniku živih bića, i strukture koje je napravio čovjek, i strukturu galaksija. Ove činjenice svjedoče o neovisnosti niza brojeva o uvjetima njegova ispoljavanja, što je jedan od znakova njegove univerzalnosti.

Dvije zlatne spirale galaksije su kompatibilne s Davidovom zvijezdom.

Obratite pozornost na zvijezde koje izlaze iz galaksije u bijeloj spirali. Točno 180 0 iz jedne od spirala izlazi druga spirala koja se odvija ... Dugo su vremena astronomi jednostavno vjerovali da sve što je tamo je ono što vidimo; ako je nešto vidljivo, onda postoji. Nevidljivi dio Stvarnosti ili uopće nisu primjećivali, ili ga nisu smatrali važnim. Ali nevidljiva strana naše Stvarnosti zapravo je puno veća od vidljive strane i, vjerojatno, važnija... Drugim riječima, vidljivi dio Stvarnosti je puno manji od jedan posto cjeline - gotovo ništa. Zapravo, naš pravi dom je nevidljivi svemir...

U Svemiru sve galaksije poznate čovječanstvu i sva tijela u njima postoje u obliku spirale, što odgovara formuli zlatnog reza. U spirali naše galaksije nalazi se zlatni rez

ZAKLJUČAK

Priroda, shvaćena kao cijeli svijet u raznolikosti njegovih oblika, sastoji se takoreći od dva dijela: žive i nežive prirode. Kreacije nežive prirode karakterizira visoka stabilnost, niska varijabilnost, sudeći prema razmjeru ljudskog života. Čovjek se rađa, živi, ​​stari, umire, ali granitne planine ostaju iste, a planeti se okreću oko Sunca na isti način kao u Pitagorino doba.

Svijet divljih životinja pojavljuje se pred nama potpuno drugačiji - pokretljiv, promjenjiv i iznenađujuće raznolik. Život nam pokazuje fantastičan karneval raznolikosti i originalnosti kreativnih kombinacija! Svijet nežive prirode je, prije svega, svijet simetrije, što njegovim kreacijama daje stabilnost i ljepotu. Svijet prirode je, prije svega, svijet harmonije, u kojem djeluje “zakon zlatnog reza”.

U moderni svijet Znanost je od posebne važnosti, u vezi sa sve većim utjecajem čovjeka na prirodu. Važni zadaci u sadašnjoj fazi su potraga za novim načinima suživota čovjeka i prirode, proučavanje filozofskih, društvenih, ekonomskih, obrazovnih i drugih problema s kojima se društvo suočava.

U ovom radu razmatran je utjecaj svojstava "zlatnog reza" na živo i neživo divlje životinje, o povijesnom tijeku razvoja povijesti čovječanstva i planeta u cjelini. Analizirajući sve navedeno, može se još jednom zadiviti veličinom procesa spoznaje svijeta, otkrivanjem njegovih uvijek novih obrazaca i zaključiti: načelo zlatnog reza najviša je manifestacija strukturalnog i funkcionalnog savršenstva cjelina i njezini dijelovi u umjetnosti, znanosti, tehnici i prirodi. Može se očekivati ​​da zakoni razvoja raznih prirodnih sustava, zakoni rasta, nisu mnogo raznoliki i mogu se pratiti u najrazličitijim tvorevinama. Ovo je manifestacija jedinstva prirode. Ideja takvog jedinstva, utemeljena na manifestaciji istih obrazaca u heterogenim prirodnim pojavama, zadržala je svoju relevantnost od Pitagore do danas.

Zašto je lijepa, na primjer, ruža? Ili suncokret? Ili paunov rep? Vaš omiljeni pas i ne manje omiljena mačka? "Jako jednostavno!" - odgovorit će matematičar i početi tumačiti zakon, koji je otkriven još u davna vremena (možda je uočen u prirodi) i nazvan zlatnim rezom.

Predlažemo da napravite "zlatni kompas" - najjednostavniji alat za mjerenje zlatnog reza, poznatog od antike. Pomoći će u pronalaženju matematički provjerenog sklada u okolnim objektima.

1. Trebamo dvije trake iste duljine - od drveta, kartona ili debelog papira, kao i vijak s podloškom i maticom.

2. Izbušimo rupu u obje šipke tako da sredina rupe dijeli šipku u zlatnom omjeru, odnosno da duljina njenog većeg dijela podijeljena s duljinom cijele šipke bude jednaka 1,618. Na primjer, ako je duljina šipke 10 cm, tada se rupa mora izbušiti, odmaknuvši se od jednog od rubova 10 x 0,618 = 6,18 cm. Ako je duljina šipke 1 m, tada bušimo rupu, odmak od ruba 100 x 0,618 = 61,8 cm.

3. Vijkom spojimo daske da se trenjem mogu okretati oko njega. Krug je spreman. Prema zakonima sličnosti trokuta, udaljenosti između krajeva manjeg i većeg kraka šestara odnose se na isti način kao duljina manjeg dijela šipke prema većem, odnosno njihov je omjer φ \u003d 1,618.

4. Sada možete početi istraživati! Provjerimo je li osoba stvorena prema zakonima zlatnog reza.

Uzmimo u većem rješenju kompasa udaljenost od brade do hrpta nosa. Tu udaljenost fiksiramo tako da šestar pritisnemo prstima i okrenemo ga. U manjoj otopini odgovara udaljenost od mosta nosa do korijena kose. To znači da točka na hrptu nosa dijeli naše lice u zlatnom rezu!

5. Ako ste fascinirani zakonima zlatnog reza, predlažemo da "zlatni kompas" bude malo složeniji dizajn. Kako? Pokušajte sami razmišljati.

Potražite zlatne proporcije u stvarima koje vam se čine lijepima – u njima ćete gotovo sigurno pronaći zlatnu proporciju i pobrinuti se da naš svijet bude lijep i skladan! Uspjeh u istraživanju!

Često se morate nositi sa situacijom kada element koji ste nacrtali "ne zvoni"? Nešto nije u redu? Krive proporcije?

Ne treba tvrditi da u prirodi nema ideala, jer on postoji i davno je izveden uz pomoć matematike i geometrije. Ime osobe koja je prva uvela pojam "zlatni rez" nije poznato, iako su mnogi navikli vjerovati da je to Leonardo Da Vinci. Najranije pojavljivanje ovog izraza bilo je 1835. godine zahvaljujući Martinu Ohmu, u bilješci uz drugo izdanje njegove Čiste elementarne matematike.

Kako izgleda formula zlatnog reza?

Ovaj skladan omjer dvije veličine b i a, a > b, kada je a/b = (a+b)/a istinito. Broj jednak omjeru a/b obično se označava velikim grčkim slovom

(\displaystyle \phi )

U čast starogrčki kipar i arhitekt Fidija.

U praktične svrhe, oni su ograničeni na približnu vrijednost = 1,618 ili = 1,62. U zaokruženom postotku, zlatni rez je podjela vrijednosti u odnosu na 62% i 38%.

Ponekad se broj naziva "zlatni broj"

Da se ti i ja ne zamaramo matematikom, pametni su ljudi smislili takav kompas. Pomoću njega možete provjeriti gotove projekte za omjer dijelova i izgraditi nove, uzimajući u obzir načelo "zlatnog presjeka"

Neka vaši projekti ostanu u svjetskoj kulturnoj baštini!

Dinamički pravokutnici

Za zlatnu podjelu znao je i Platon (427...347. pr. Kr.). Njegov dijalog "Timej" posvećen je matematičkim i estetskim pogledima Pitagorine škole, a posebno pitanjima zlatne diobe.

Na pročelju starogrčkog hrama Partenona nalaze se zlatni razmjeri. Tijekom njegovih iskopavanja pronađeni su kompasi koje su koristili arhitekti i kipari antičkog svijeta. Pompejanski šestar (Muzej u Napulju) također sadrži proporcije zlatnog odjeljka.

Antikni šestari sa zlatnim rezom

U staroj literaturi koja je došla do nas, zlatna dioba se prvi put spominje u Euklidovim Elementima. U 2. knjizi „Početaka" data je geometrijska konstrukcija zlatne podjele. Nakon Euklida proučavanjem zlatne podjele bavili su se Hipsikle (II. st. pr. Kr.), Pap (III. st. po Kr.) i dr. U srednjovjekovnoj Europi sa zlatnom podjelom Upoznali smo se preko arapskih prijevoda Euklidovih Elemenata. Prevoditelj J. Campano iz Navarre (3. st.) komentirao je prijevod. Tajne zlatne divizije bile su ljubomorno čuvane, čuvane u strogoj tajnosti. Bili su poznati samo iniciranima.

Tijekom renesanse porastao je interes za zlatnu podjelu među znanstvenicima i umjetnicima u vezi s njezinom upotrebom i u geometriji i u umjetnosti, posebno u arhitekturi Leonardo da Vinci, umjetnik i znanstvenik, uvidio je da talijanski umjetnici imaju veliko empirijsko iskustvo, ali malo znanja . Zamislio je i počeo pisati knjigu o geometriji, ali se u to vrijeme pojavila knjiga redovnika Luce Paciolija, a Leonardo je odustao od svoje ideje. Prema suvremenicima i povjesničarima znanosti, Luca Pacioli bio je prava svjetiljka, najveći matematičar u Italiji između Fibonaccija i Galilea. Luca Pacioli bio je učenik umjetnika Piera della Francesca, koji je napisao dvije knjige, od kojih se jedna zove O perspektivi u slikarstvu. Smatra se tvorcem nacrtne geometrije.

Luca Pacioli je bio itekako svjestan važnosti znanosti za umjetnost. Godine 1496. na poziv vojvode od Moreaua dolazi u Milano, gdje drži predavanja iz matematike. Na dvoru Moro u Milanu u to je vrijeme radio i Leonardo da Vinci. Godine 1509. u Veneciji je objavljena Božanska proporcija Luce Paciolija sa sjajno izvedenim ilustracijama, zbog čega se vjeruje da ih je izradio Leonardo da Vinci. Knjiga je bila entuzijastični hvalospjev zlatnom rezu. Među brojnim prednostima zlatnog reza, redovnik Luca Pacioli nije propustio navesti njegovu “božansku bit” kao izraz božanskog trojstva Boga Sina, Boga Oca i Boga Duha Svetoga (podrazumijeva se da je mali segment je personifikacija Boga Sina, veći segment je personifikacija Boga Oca, a cijeli - bog Duha Svetoga).

Leonardo da Vinci također je posvetio veliku pozornost proučavanju zlatne podjele. Napravio je presjeke stereometrijskog tijela formiranog od pravilnih peterokuta i svaki put dobio pravokutnike s omjerima stranica u zlatnoj podjeli. Tako je on ovoj diviziji dao ime Zlatni omjer. Tako da je još uvijek najpopularniji.

U isto vrijeme, u sjevernoj Europi, u Njemačkoj, Albrecht Dürer je radio na istim problemima. On skicira uvod u prvi nacrt rasprave o proporcijama. Durer piše. “Potrebno je da onaj tko nešto zna nauči to i druge kojima je to potrebno. To je ono što sam naumio učiniti."

Sudeći prema jednom od Dürerovih pisama, tijekom njegova boravka u Italiji susreo se s Lucom Paciolijem. Albrecht Dürer detaljno razvija teoriju o proporcijama ljudskog tijela. Dürer je u svom sustavu omjera dodijelio važno mjesto zlatnom presjeku. Visina osobe podijeljena je u zlatnim proporcijama linijom pojasa, kao i linijom povučenom kroz vrhove srednjih prstiju spuštenih ruku, donji dio lica - usta itd. Poznati proporcionalni šestar Dürer.

Veliki astronom 16. stoljeća Johannes Kepler nazvao je zlatni rez jednim od blaga geometrije. Prvi je skrenuo pozornost na značaj zlatnog reza za botaniku (rast i građu biljaka).

Kepler je zlatni rez nazvao samonastavljajućim. "Uređen je na takav način", napisao je, "da se dva mlađa člana ovog beskonačnog omjera zbrajaju u treći član, a bilo koja dva posljednja člana, ako se zbroje, daju sljedeći član, a isti omjer ostaje do beskonačnosti."

Konstrukcija niza segmenata zlatnog reza može se vršiti i u smjeru povećanja (rastući niz) i u smjeru smanjenja (silazni niz).

Ako je na ravnoj liniji proizvoljne duljine, odgodite segment m, odložite segment M. Na temelju ova dva segmenta gradimo ljestvicu segmenata zlatnog proporcija uzlaznog i silaznog niza

Izgradnja ljestvice segmenata zlatnog reza

Na temelju opisanog principa, zlatni (ili skladni) pravokutnik je onaj u kojem se stranice odnose kao 1:1,618, tj. duljina duže stranice pravokutnika jednaka je duljini kraće stranice pravokutnika pomnoženoj s ∳ (phi)=1,618:

Prepoznajete li? To je skladna ploča stola! Ili fasada kabineta i još mnogo toga.

Slično tome, Zlatni (ili skladni) Paralelepiped je onaj u kojem se stranice također odnose kao 1: 1,618, tj. duljina duže stranice kutije jednaka je visini kutije pomnoženoj s ∳ (phi)=1,618, a širina kutije jednaka je visini kutije podijeljenoj s ∳ (phi)=1,618:

Prepoznajete li? Ovo je ormar za namještaj, zidni stol (konzola) itd.

Zlatni omjer je temelj mnogih (ako ne i svih) prirodnih odnosa, pa čak i konstrukcije našeg svemira. Brojni su primjeri na svim razinama, od uzgoja kunića, rasporeda sjemenki u suncokretu i oraha u češeru, do astrofizike i kvantne mehanike. Planetarne orbite i čak struktura ljudski lik još su jedna potvrda ovog izvanrednog omjera.

Omjer između susjednih falangi prstiju je ∳ (phi) = 1,618, omjer između lakta i šake je ∳ (phi) = 1,618, omjer udaljenosti od tjemena do očiju i udaljenosti od očiju do brada je ∳ (phi) = 1,618, omjer udaljenosti od tjemena do pupka i udaljenosti od pupka do peta je opet ∳ (phi) = 1,618:

Udaljenosti između sunca i prvih pet planeta u Sunčevom sustavu također su povezane (približno) kao ∳ (phi) = 1,618, pa, kao što je sigurno poznato, astrometrija koristi zlatni rez pri određivanju planeta u njihovim orbitama:

Budući da je tako fundamentalan i tako raširen u prirodi, ovaj stav nas jednostavno poziva na podsvjesnoj razini kao apsolutno ispravan kojeg trebamo slijediti. Kao takav, ovaj omjer stoljećima su koristili dizajneri i arhitekti, od piramida do remek-djela namještaja.

Velika piramida u Gizi, kao što je sada jasno, također je izgrađena u skladu sa zlatnim presjekom: visina stranice piramide jednaka je duljini baze stranice piramide, pomnoženoj s istom vrijednošću ∳ (phi) = 1,618:

Tijekom izgradnje Partenona (starogrčkog hrama smještenog na atenskoj Akropoli, glavnog hrama u staroj Ateni), pri određivanju vanjskih dimenzija i omjera njegovih dijelova korišten je omjer ∳ (phi) = 1,618:

Ne zna se pouzdano jesu li u izgradnji Partenona korišteni kalkulatori ili Fibonaccijevi markeri, no omjer je svakako primijenjen. Više detalja o omjeru ∳ (phi) = 1,618 u izgradnji ovog arhitektonskog spomenika donosimo u videu, počevši od 48. sekunde:

U gornjem videu napokon je došao komad namještaja, doduše jednostavan. Glavno je da je omjer i dalje isti - ∳ (phi) = 1,618.

Jedna vrsta komode s mnogo ladica, koja se u različitim publikacijama naziva Highboy ili Popadour ("Visoki tip" ili "Pompadour"), izrađena u Philadelphiji između 1762. i 1790., koristi zlatni rez u omjeru veličina mnogih njegovih elemenata. Okvir je zlatni pravokutnik, pozicija suženja ("struk" ormarića) određena je dijeljenjem ukupne visine ormarića s ∳ (phi) = 1,618. Visine donjih ladica također se odnose kao ∳ (phi) = 1,618:

Zlatni rez se u izradi namještaja najčešće koristi kao svojevrsni pravokutnik, koji se za svoje dvije dimenzije gradi pomoću ∳ (phi) = 1,618, tj. već spomenuti zlatni pravokutnik, gdje je duljina 1,618 puta veća od širine (ili obrnuto). Ovi omjeri mogu se koristiti za određivanje ukupnih dimenzija namještaja, kao i detalja interijera poput vrata i ladica. Može se primijeniti izračune dijeljenjem i množenjem s tako "okruglim" i prikladnim brojem kao što je 1,618, ali se može jednostavno koristiti , jednostavno uzimajući dimenzije većeg objekta i ostavljajući po strani veličinu manjeg objekta nakon toga. Ili obrnuto. Brzo, jednostavno i povoljno.

Namještaj je trodimenzionalan i zlatni rez se može primijeniti na sve tri dimenzije, tj. komad namještaja postaje zlatni paralelopiped ako je izrađen prema pravilima zlatnog reza. Na primjer, u jednostavnom slučaju gledanja komada namještaja sa strane, njegova visina može biti najveća dimenzija u Zlatnom pravokutniku. Međutim, kada gledate isti komad namještaja s prednje strane, ista visina može biti kratka mjera u Zlatnom pravokutniku.

No treba napomenuti da oblik objekta treba slijediti njegovu funkciju. Čak i savršene proporcije komada namještaja mogu biti besmislene ako se predmet ne može koristiti, primjerice zato što je premalen ili prevelik, ili iz drugih razloga ne može se udobno koristiti. Stoga bi praktična razmatranja trebala biti na prvom mjestu. Zapravo, većina projekata namještaja zahtijeva da počnete projektirati s nekima zadane dimenzije O: Stol treba biti određene visine, ormarić možda treba prilagoditi određenom prostoru, a polica za knjige može imati određeni broj polica. Ali gotovo sigurno ćete biti prisiljeni definirati mnoge druge veličine u odnosu na koje se mogu primijeniti ispravni omjeri. No krajnji rezultat bit će vrijedan truda da se vidi kako zlatni rez može funkcionirati za sve te elemente. Odlučivanje o dimenzijama "na oko" ili, još gore, na temelju dostupnih praznina, neće vam omogućiti da dobijete savršeno uravnotežen, s lijepim proporcijama pojedinačnih dijelova i komada namještaja u cjelini.

Dakle, dimenzije pojedinih komada namještaja trebaju biti proporcionalne u skladu sa zlatnim rezom. Elementi kao što su noge stola, relativne dimenzije elemenata okvira kao što su okomiti i horizontalni dijelovi fasada, pronogi, ladice itd., mogu se izračunati korištenjem zlatnog reza. Zlatni rez također nudi jedan način rješavanja problema oblikovanja ladica u komodi sa stepenastim povećanjem visine ladica. Uz pomoć je lako izvršiti takvo označavanje - samo trebate uzeti veličinu veće kutije i odvojiti dimenzije dvije susjedne kutije pomoću markera itd. Nakon toga, uzimajući veličinu kutije, pomoću markera odvojite udaljenost od vrha kutije do mjesta njezine ručke.

Ova metoda korištenja kao alat za praktična aplikacija Zlatni omjer će biti učinkovit i za određivanje drugih dimenzija, poput položaja polica u ormaru, pregrada između ladica itd. Bilo koja veličina komada namještaja u početku je određena funkcionalnim i konstruktivnim zahtjevima, no mnoge prilagodbe moguće je napraviti primjenom zlatnog reza, što će zasigurno unijeti sklad u komad. Korištenje zlatnog reza pri dizajniranju namještaja omogućit će vam da uskladite ne samo predmet u cjelini, već će vam također omogućiti da budete sigurni da su sve komponente - ploče vrata, ladice, noge, stranice itd. temeljno, skladno međusobno povezani.

Dizajnirati nešto s apsolutno savršenim proporcijama rijetko je moguće u stvarnosti. Gotovo svaki komad namještaja ili drva morat će se odvagnuti u odnosu na ograničenja funkcionalnosti, stolarije ili uštede. Ali čak i pokušaj približavanja savršenstvu, koje se može definirati kao dimenzije koje točno odgovaraju zlatnom omjeru, jamčit će vam bolji rezultat od projektiranja bez obraćanja pozornosti na ove temeljne principe. Čak i ako ste blizu idealnih proporcija, oko gledatelja će izgladiti male nedostatke, a svijest će popuniti neke praznine u dizajnu. Poželjno je, ali ne i nužno, da sve bude savršeno i po formuli. Ali ako je vaš komad namještaja apsolutno nesrazmjeran, bez sumnje će biti ružan. Stoga je potrebno težiti ispravnim omjerima.

Naposljetku, često prilagođavamo stvari na oko kako bismo napravili subjektlakši i bolje uravnoteženi, a to činimo uz pomoć metodakoji su svakodnevni u obradi drva. Ove metode uključuju uzimanje u obzir promjena u dimenzijama izratka, na temelju smjera drvenih vlakana, uzimajući u obzirdrveni uzorak, s kojim komad namještaja možete učiniti privlačnijim,završni rubovi i kutovi koji daju dojam veće ili manje debljineelement proizvoda, korištenje letvica za bolje podudaranje proizvoda sa zlatnim pravokutnikom ili paralelopipedom, korištenje suženih nogu kako bi se stvorio osjećajpribližavajući komad namještaja savršena proporcija, i na kraju, miješanje svih ovih metoda za postizanje savršenog dizajna. Korištenje Zlatne sredine i alata za njezinu primjenu, Fibonaccijevog raspršivača, početak je te potrage za savršenstvom.

Materijali korišteni u članku poglavlja "Vodič za dobar dizajn" iz knjige "Praktični dizajn namještaja" Grahama Blackburna - priznati proizvođač namještaja, popularizator obrade drva i izdavač