Grigory Perelman ha dimostrato che Dio non esiste. Matematico Perelman Yakov: contributo alla scienza

« Sfida del Millennio”, risolto da un genio matematico russo, è legato all'origine dell'Universo. Non a tutti i matematici è dato di capire l'essenza dell'enigma ...

GIOCO MENTALE

Fino a poco tempo fa, la matematica non prometteva né gloria né ricchezza ai suoi "sacerdoti". Anche loro premio Nobel non ha dato. Non esiste tale nomina. Infatti, secondo una leggenda molto popolare, una volta la moglie di Nobel lo tradì con un matematico. E per rappresaglia, il ricco ha privato tutti i loro fratelli chicane del suo rispetto e del premio in denaro.

La situazione è cambiata nel 2000. Il privato Clay Mathematics Institute ne ha selezionati sette tra i più compiti difficili e ha promesso di pagare un milione di dollari per ogni decisione.

I matematici erano trattati con rispetto. Nel 2001, gli schermi hanno persino pubblicato il film "A Beautiful Mind", il cui personaggio principale era un matematico.

Ora solo le persone lontane dalla civiltà non lo sanno: uno dei milioni promessi - il primissimo - è già stato assegnato. Il premio è stato assegnato a un cittadino russo, residente a San Pietroburgo Grigorij Perelman. Ha dimostrato la congettura di Poincaré, un enigma che ha sfidato chiunque per oltre 100 anni e che, grazie ai suoi sforzi, è diventato un teorema.

Il nostro simpatico uomo barbuto di 44 anni si è asciugato il naso in giro per il mondo. E ora continua a tenerlo - il mondo - con il fiato sospeso. Dal momento che non si sa se il matematico meriterà onestamente un milione di dollari o rifiuterà. Il pubblico progressista in molti paesi è naturalmente agitato. Almeno i giornali di tutti i continenti raccontano intrighi finanziari e matematici.

E sullo sfondo di queste affascinanti attività - predizione del futuro e condivisione dei soldi di altre persone - il significato del successo di Perelman era in qualche modo perso. Il presidente del Clay Institute, Jim Carlson, ovviamente, ha dichiarato una volta, dicono, l'obiettivo montepremi- non tanto una ricerca di risposte quanto un tentativo di elevare il prestigio della scienza matematica e di interessare i giovani ad essa. Ma ancora, qual è il punto?

Grisha in gioventù - anche allora era un genio.

IPOTESI DI POINCARE - COS'E'?

L'enigma, risolto dal genio russo, tocca i fondamenti della sezione della matematica chiamata topologia. Essa - topologia - viene spesso chiamata "geometria su un foglio di gomma". Si occupa di proprietà forme geometriche, che si conservano se la forma è allungata, attorcigliata, piegata. In altre parole, si deforma senza rotture, tagli e colle.

La topologia è importante per la fisica matematica perché ci permette di comprendere le proprietà dello spazio. Oppure valutarlo senza poter guardare dall'esterno la forma di questo spazio. Ad esempio, il nostro universo.

Quando spiegano la congettura di Poincaré, iniziano così: immagina una sfera bidimensionale: prendi un disco di gomma e tiralo sopra la palla. In modo che la circonferenza del disco sia raccolta in un punto. Allo stesso modo, ad esempio, puoi tirare fuori uno zaino sportivo con una corda. Il risultato è una sfera: per noi - tridimensionale, ma dal punto di vista della matematica - solo bidimensionale.

Quindi si offrono di tirare lo stesso disco su una ciambella. Sembra funzionare. Ma i bordi del disco convergeranno in un cerchio, che non può più essere tirato in un punto: taglierà la ciambella.

Come ha scritto nel suo libro popolare un altro Matematico russo, Vladimir Uspensky, "A differenza delle sfere bidimensionali, le sfere tridimensionali sono inaccessibili alla nostra osservazione diretta, ed è difficile per noi immaginarle come lo è per Vasily Ivanovich dal noto trinomio quadrato aneddotico".

Quindi, secondo l'ipotesi di Poincaré, una sfera tridimensionale è l'unica cosa tridimensionale la cui superficie può essere trascinata in un punto da una sorta di ipotetica "ipercorda".

Grigory Perelman: - Pensa, il binomio di Newton ...

Jules Henri Poincaré lo suggerì nel 1904. Ora Perelman ha convinto tutti coloro che capiscono che il topologo francese aveva ragione. E ha trasformato la sua ipotesi in un teorema.

La dimostrazione aiuta a capire che forma ha il nostro universo. E ci permette di presumere abbastanza ragionevolmente che sia la stessa sfera tridimensionale.

Ma se l'Universo è l'unica "figura" che può essere contratta fino a un punto, allora, probabilmente, può anche essere allungata da un punto. Il che funge da conferma indiretta della teoria del Big Bang, che afferma che l'Universo ha avuto origine proprio dal punto.

Si scopre che Perelman, insieme a Poincaré, ha sconvolto i cosiddetti creazionisti - sostenitori inizio divino universo. E hanno versato acqua sul mulino dei fisici materialisti.

Il geniale matematico di San Pietroburgo, Grigory Perelman, divenuto famoso in tutto il mondo per aver dimostrato la congettura di Poincaré, ha infine spiegato il suo rifiuto del premio milionario assegnato per questo. Come afferma " TV NZ", lo scienziato solitario si è rivelato in una conversazione con un giornalista e produttore della compagnia cinematografica "President-Film", che, con il consenso di Perelman, girerà il lungometraggio "Formula of the Universe" su di lui.

Alexander Zabrovsky è stato fortunato a parlare con il grande matematico: ha lasciato Mosca per Israele alcuni anni fa e ha indovinato prima di contattare la madre di Grigory Yakovlevich attraverso la comunità ebraica di San Pietroburgo, dopo averla aiutata. Ha parlato con suo figlio e, dopo la sua buona caratterizzazione, ha accettato un incontro. Questo può davvero essere definito un risultato: i giornalisti non sono riusciti a "catturare" lo scienziato, sebbene abbiano trascorso giorni seduti al suo ingresso.

Come ha detto Zabrovsky al giornale, Perelman ha dato l'impressione di "una persona assolutamente sana, sana, adeguata e normale": "Realista, pragmatico e ragionevole, ma non privo di sentimentalismo ed eccitazione ... Tutto ciò che gli è stato attribuito dalla stampa , come se fosse "fuori di testa", - totale assurdità! Sa esattamente cosa vuole e sa come raggiungere l'obiettivo ".

Il film, per il quale il matematico ha preso contatto e ha accettato di aiutare, non parlerà di se stesso, ma della cooperazione e del confronto delle tre principali scuole matematiche mondiali: russa, cinese e americana, che sono le più avanzate nel percorso di studio e gestire l'Universo.

Quando gli è stato chiesto perché Perelman ha rifiutato un milione, ha risposto:

"So come gestire l'Universo. E dimmi: perché dovrei correre dietro a un milione?"

Lo scienziato è offeso, come viene chiamato dalla stampa russa

Perelman ha spiegato di non comunicare con i giornalisti, perché non si occupano di scienza, ma di questioni personali e domestiche - dai motivi del rifiuto di un milione alla questione del taglio di capelli e unghie.

In particolare, non vuole contattare i media russi a causa dell'atteggiamento irrispettoso nei suoi confronti. Ad esempio, sulla stampa lo chiamano Grisha e tale familiarità offende.

Grigory Perelman lo ha detto da allora anni scolastici abituato a quello che viene chiamato "allenamento del cervello". Ricordando come, essendo un "delegato" dell'URSS, ha ricevuto medaglia d'oro alle Olimpiadi della matematica di Budapest, ha detto: “Abbiamo cercato di risolvere problemi in cui la capacità di pensare in modo astratto era una condizione indispensabile.

Era in questa astrazione dalla logica matematica che punto principale allenamenti quotidiani. Per trovare la giusta soluzione è stato necessario immaginare un "pezzo di mondo".

Come esempio di un compito così "difficile", ha citato quanto segue: "Ricorda leggenda biblica su come Gesù Cristo camminò sull'acqua, come sulla terraferma. Quindi ho dovuto calcolare quanto velocemente doveva muoversi attraverso le acque per non cadere.

Da allora, Perelman ha dedicato tutte le sue attività allo studio del problema dello studio delle proprietà dello spazio tridimensionale dell'Universo: "Questo è molto interessante. Sto cercando di abbracciare l'immensità. "

Lo scienziato ha scritto la sua dissertazione sotto la guida dell'accademico Aleksandrov. "L'argomento era semplice: 'Superfici a sella nella geometria euclidea'. Riesci a immaginare superfici di dimensioni uguali e distanziate in modo non uniforme l'una dall'altra all'infinito? Dobbiamo misurare le 'cavità' tra di loro", ha spiegato il matematico.

Cosa significa la scoperta di Perelman, spaventando i servizi di intelligence del mondo

La "Formula dell'Universo" L'affermazione di Poincaré è chiamata per la sua importanza nello studio dei complessi processi fisici nella teoria dell'universo e perché dà una risposta alla domanda sulla forma dell'Universo. Questa prova giocherà un ruolo importante nello sviluppo della nanotecnologia".

"Ho imparato a calcolare i vuoti, insieme ai miei colleghi impareremo i meccanismi per riempire i "vuoti" sociali ed economici", ha detto. "I vuoti sono ovunque. Possono essere calcolati e questo offre grandi opportunità ...

Secondo la pubblicazione, la portata di ciò che ha scoperto Grigory Yakovlevich, che in realtà fa un passo avanti rispetto alla scienza mondiale di oggi, lo ha reso oggetto di costante interesse di servizi speciali, non solo russi, ma anche stranieri.

Comprendeva una super-conoscenza che aiuta a comprendere l'universo. E qui sorgono domande di questo tipo: "Cosa accadrà se la sua conoscenza troverà un'attuazione pratica?"

In effetti, i servizi segreti devono sapere: Perelman, o meglio, la sua conoscenza, è una minaccia per l'umanità? Dopotutto, se con l'aiuto della sua conoscenza è possibile trasformare l'Universo in un punto e poi aprirlo, allora possiamo morire o rinascere in una veste diversa? E poi lo saremo? E abbiamo davvero bisogno di gestire l'universo?

E IN QUESTO MOMENTO

Mamma geniale: "Non farci domande sui soldi!"

Quando si è saputo che il matematico aveva ricevuto il Millennium Prize, una folla di giornalisti si è radunata davanti alla sua porta. Tutti volevano congratularsi personalmente con Perelman e scoprire se avrebbe preso il suo legittimo milione.

Abbiamo bussato a lungo alla fragile porta (se solo potessimo sostituirla con denaro premium), ma il matematico non l'ha aperta. Ma sua madre ha punteggiato in modo abbastanza intelligibile la "i" fin dal corridoio.

Non vogliamo parlare con nessuno e non rilasceremo interviste, - ha gridato Lyubov Leibovna. - E non farci domande su questo premio e denaro.

Le persone che vivevano nello stesso ingresso sono rimaste molto sorprese nel vedere un improvviso interesse per Perelman.

La nostra Grisha è sposata? ridacchiò uno dei vicini. - Oh, ho ricevuto un premio. Ancora. No, non lo accetterà. Non ha bisogno di niente, vive con un centesimo, ma è felice a modo suo.

Dicono che alla vigilia del matematico sia stato visto con pacchi pieni di prodotti dal negozio. Si stava preparando a "mantenere l'assedio" con sua madre. L'ultima volta, quando sulla stampa è iniziato l'entusiasmo per il premio, Perelman non ha lasciato l'appartamento per tre settimane.

A PROPOSITO

Per cos'altro daranno un milione di dollari ...

Nel 1998, con i fondi del miliardario Landon T. Clay, fu fondato a Cambridge (USA) il Clay Mathematics Institute per divulgare la matematica. Il 24 maggio 2000, gli esperti dell'istituto hanno scelto i sette problemi più sconcertanti, secondo loro. E hanno nominato un milione di dollari per ciascuno.

L'elenco è denominato .

1. Il problema di Cook

Occorre stabilire se la verifica della correttezza della soluzione di un problema possa essere più lunga dell'ottenimento della soluzione stessa. Questo compito logico è importante per gli specialisti in crittografia: la crittografia dei dati.

2. Ipotesi di Riemann

Esistono i cosiddetti numeri primi, come 2, 3, 5, 7, ecc., che sono divisibili solo per se stessi. Quanti siano non si sa. Riemann credeva che questo potesse essere determinato e che si potesse trovare la regolarità della loro distribuzione. Chi lo trova fornirà anche servizi di crittografia.

3. Ipotesi di Birch e Swinnerton-Dyer

Il problema è relativo alla risoluzione di equazioni a tre incognite elevate a potenza. Dobbiamo capire come risolverli, non importa quanto sia difficile.

4. Ipotesi di Hodge

Nel ventesimo secolo, i matematici scoprirono un metodo per studiare la forma oggetti complessi. L'idea è quella di utilizzare dei semplici “mattoni” al posto dell'oggetto stesso, che vengono incollati insieme e formano la sua somiglianza. Dobbiamo dimostrare che questo è sempre ammissibile.

5. Navier - Equazioni di Stokes

Vale la pena ricordarli sull'aereo. Le equazioni descrivono le correnti d'aria che lo mantengono in aria. Ora le equazioni vengono risolte approssimativamente, secondo formule approssimative. È necessario trovare quelli esatti e dimostrare che nello spazio tridimensionale c'è una soluzione delle equazioni, che è sempre vera.

6. Equazioni di Yang-Mills

C'è un'ipotesi nel mondo della fisica: se una particella elementare ha una massa, allora esiste anche il suo limite inferiore. Ma quale non è chiaro. Devi raggiungerlo. Questo è forse il compito più difficile. Per risolverlo, è necessario creare una "teoria del tutto" - equazioni che combinano tutte le forze e le interazioni in natura. Chi ci riuscirà riceverà sicuramente il Premio Nobel.

L'ultima grande conquista della matematica pura è la dimostrazione della congettura di Poincaré, espressa nel 1904 e che afferma: “ogni varietà tridimensionale connessa, semplicemente connessa, compatta senza contorno, è omeomorfa alla sfera S 3” di Grigory Perelman di St. Pietroburgo nel 2002-2003.

Ci sono diversi termini in questa frase che cercherò di spiegare in modo tale che il loro significato generale diventi chiaro ai non matematici (presumo che il lettore abbia finito Scuola superiore e ricorda ancora qualcosa della matematica scolastica).

Cominciamo con il concetto di omeomorfismo, che è centrale nella topologia. In generale, la topologia è spesso definita come "geometria della gomma", cioè come la scienza delle proprietà delle immagini geometriche che non cambiano durante le deformazioni lisce senza lacune e incollaggio, o meglio, se è possibile stabilire un rapporto univoco corrispondenza uno e uno a uno tra due oggetti .

L'idea principale è più facile da spiegare usando il classico esempio di una tazza e un bagel. Il primo può essere trasformato nel secondo mediante una deformazione continua.

Queste figure mostrano chiaramente che la tazza è omeomorfa alla ciambella, e questo fatto è vero sia per le loro superfici (varietà bidimensionali, dette toro) che per i corpi pieni (varietà tridimensionali con bordo).

Diamo un'interpretazione del resto dei termini che compaiono nella formulazione dell'ipotesi.

1. Una varietà tridimensionale senza confine. Questo è un oggetto così geometrico, in cui ogni punto ha un quartiere sotto forma di una palla tridimensionale. Esempi di varietà 3 sono, in primo luogo, l'intero spazio tridimensionale, indicato con R 3 , nonché qualsiasi insiemi aperti punti in R 3 , per esempio, l'interno di un toro solido (ciambella). Se consideriamo un toro solido chiuso, cioè aggiungiamo i suoi punti di confine (la superficie di un toro), otteniamo già una varietà con un confine - i punti di confine non hanno quartieri sotto forma di una palla, ma solo nel forma di una metà della palla.
2. Collegato. Il concetto di connettività è il più semplice qui. Una molteplicità è connessa se consiste di un pezzo, o, ciò che è lo stesso, due qualsiasi dei suoi punti possono essere collegati da una linea continua che non va oltre i suoi limiti.
3. Semplicemente connesso. La nozione di singola connessione è più complicata. Significa che qualsiasi curva chiusa continua situata interamente all'interno di una data varietà può essere contratta dolcemente fino a un punto senza lasciare questa varietà. Ad esempio, una normale sfera bidimensionale in R 3 è semplicemente collegata (un elastico, fissato arbitrariamente alla superficie di una mela, può essere contratto da una deformazione uniforme in un punto senza strappare l'elastico dalla mela). D'altra parte, il cerchio e il toro non sono semplicemente collegati.
4. Compatto. Una varietà è compatta se una qualsiasi delle sue immagini omeomorfe ha dimensioni limitate. Ad esempio, un intervallo aperto su una linea (tutti i punti di un segmento tranne le sue estremità) non è compatto, poiché può essere continuamente esteso a una linea infinita. Ma un segmento chiuso (con estremità) è una varietà compatta con un confine: per qualsiasi deformazione continua, le estremità vanno in alcuni punti specifici e l'intero segmento deve entrare in una curva limitata che collega questi punti.

Dimensione varietà è il numero di gradi di libertà nel punto che "vive" su di esso. Ogni punto ha un intorno nella forma di un disco della dimensione corrispondente, cioè un intervallo di una linea nel caso unidimensionale, un cerchio sul piano nel caso bidimensionale, una palla nel caso tridimensionale , ecc. Dal punto di vista della topologia, ci sono solo due varietà connesse unidimensionali senza confine: questa è la linea e il cerchio. Di questi, solo il cerchio è compatto.

Un esempio di spazio che non è una varietà è, ad esempio, una coppia di linee che si intersecano - dopotutto, nel punto di intersezione di due linee, qualsiasi quartiere ha la forma di una croce, non ha un quartiere che sarebbe stesso essere solo un intervallo (e tutti gli altri punti hanno tali quartieri). I matematici in questi casi dicono che abbiamo a che fare con una varietà singolare, che ha un punto singolare.

Le varietà compatte bidimensionali sono ben note. Se consideriamo solo orientata varietà senza bordo, allora da un punto di vista topologico formano un semplice, seppure infinito, elenco: e così via. Ciascuno di questi collettori è ottenuto da una sfera incollando diverse maniglie, il cui numero è chiamato genere della superficie.

La figura mostra superfici di genere 0, 1, 2 e 3. In che modo una sfera si distingue da tutte le superfici in questo elenco? Si scopre che è semplicemente connesso: su una sfera qualsiasi curva chiusa può essere contratta in un punto, e su qualsiasi altra superficie è sempre possibile indicare una curva che non può essere contratta in un punto lungo la superficie.

È curioso che le varietà compatte tridimensionali senza bordo possano anche essere classificate in un certo senso, cioè disposte in un certo elenco, sebbene non così semplici come nel caso bidimensionale, ma con una struttura piuttosto complessa. Tuttavia, la sfera 3D S 3 si distingue in questo elenco esattamente allo stesso modo della sfera 2D nell'elenco precedente. Il fatto che qualsiasi curva su S 3 si contragga fino a un punto è facile da dimostrare come nel caso bidimensionale. Ma l'affermazione inversa, cioè che questa proprietà sia unica proprio per la sfera, cioè che vi siano curve non contraibili su qualunque altra varietà tridimensionale, è molto difficile e costituisce esattamente il contenuto della congettura di Poincaré di cui stiamo parlando .

È importante capire che il molteplice può vivere da solo, può essere pensato come un oggetto indipendente, non annidato da nessuna parte. (Immagina di vivere esseri bidimensionali sulla superficie di una sfera ordinaria, ignari dell'esistenza di una terza dimensione). più facili da visualizzare. Per la 3-sfera S 3 (e in generale per qualsiasi 3-varietà compatta senza bordo) non è più così, quindi è necessario uno sforzo per comprenderne la struttura.

Apparentemente modo più semplice spiegare la struttura topologica della sfera tridimensionale S 3 è con l'aiuto della compattazione a un punto. Vale a dire, la sfera tridimensionale S 3 è una compattazione a un punto del solito spazio tridimensionale (illimitato) R 3 .

Spieghiamo prima questa costruzione semplici esempi. Prendiamo una normale linea retta infinita (un analogo unidimensionale dello spazio) e aggiungiamo ad essa un punto "infinitamente distante", supponendo che quando ci muoviamo lungo una linea retta a destra oa sinistra, alla fine arriviamo a questo punto. Da un punto di vista topologico, non c'è differenza tra una linea infinita e un segmento aperto delimitato (senza estremi). Tale segmento può essere continuamente piegato sotto forma di arco, avvicinare le estremità e incollare il punto mancante nella giunzione. Otteniamo, ovviamente, un cerchio, un analogo unidimensionale di una sfera.

Allo stesso modo, se prendo un piano infinito e aggiungo un punto all'infinito, a cui tendono tutte le linee del piano originale, che passano in qualsiasi direzione, allora otteniamo una sfera (ordinaria) bidimensionale S 2 . Questo procedimento può essere osservato mediante una proiezione stereografica, che assegna ad ogni punto P della sfera, ad eccezione del polo nord di N, un certo punto del piano P.

Pertanto, una sfera senza un punto è topologicamente uguale a un piano e l'aggiunta di un punto trasforma il piano in una sfera.

In linea di principio, esattamente la stessa costruzione è applicabile alla sfera tridimensionale e allo spazio tridimensionale, solo per la sua realizzazione è necessario entrare nella quarta dimensione, e questo non è così facile da rappresentare sul disegno. Quindi mi limiterò descrizione verbale compattazione a un punto dello spazio R 3 .

Immaginiamo che al nostro spazio fisico (che noi, seguendo Newton, consideriamo uno spazio euclideo illimitato con tre coordinate x, y, z) abbia un punto "all'infinito" aggiunto in modo tale che quando ci muoviamo lungo una linea retta in qualsiasi direzione, tu cadi (cioè ogni linea spaziale si chiude in un cerchio). Quindi otteniamo una varietà tridimensionale compatta, che è, per definizione, la sfera S 3 .

È facile vedere che la sfera S 3 è semplicemente connessa. In effetti, qualsiasi curva chiusa su questa sfera può essere leggermente spostata in modo che non passi per il punto aggiunto. Quindi otteniamo una curva nel solito spazio R 3 , che si contrae facilmente in un punto per mezzo di omoteti, cioè contrazione continua in tutte e tre le direzioni.

Per comprendere come è strutturata la varietà S 3 è molto istruttivo considerare la sua partizione in due tori solidi. Se si omette il toro solido dallo spazio R 3, rimane qualcosa di poco chiaro. E se lo spazio si compatta in una sfera, anche questo complemento si trasforma in un toro solido. Cioè, la sfera S 3 è divisa in due solidi tori aventi un confine comune: un toro.

Ecco come si può capire. Incorporiamo il toro in R 3 come al solito, sotto forma di una ciambella rotonda, e disegniamo una linea verticale: l'asse di rotazione di questa ciambella. Disegniamo un piano arbitrario attraverso l'asse, intersecherà il nostro toro solido in due cerchi mostrati nella figura in verde, e la parte aggiuntiva del piano è divisa in una famiglia continua di cerchi rossi. Tra questi c'è l'asse centrale, evidenziato in grassetto, perché nella sfera S 3 la linea si chiude in un cerchio. Da questa bidimensionale si ottiene un'immagine tridimensionale ruotando intorno ad un asse. Una serie completa di cerchi ruotati riempirà quindi un corpo tridimensionale, omeomorfo a un toro solido, dall'aspetto insolito.

In effetti, l'asse centrale sarà un cerchio assiale al suo interno, e il resto svolgerà il ruolo di parallele - cerchi che compongono il solito toro solido.

Per avere qualcosa con cui confrontare la 3-sfera, darò un altro esempio di una 3-varietà compatta, vale a dire un toro tridimensionale. Un toro tridimensionale può essere costruito come segue. Prendiamo un normale cubo tridimensionale come materiale di partenza:

Ha tre coppie di facce: sinistra e destra, sopra e sotto, davanti e dietro. In ogni coppia di facce parallele, individuiamo a coppie i punti ricavati l'uno dall'altro trasferendo lungo il bordo del cubo. Cioè, assumeremo (in modo puramente astratto, senza applicare deformazioni fisiche) che, ad esempio, A e A "sono lo stesso punto, e B e B" sono anche un punto, ma diverso dal punto A. Tutti i punti interni del cubo considereremo come al solito. Il cubo stesso è una varietà con un confine, ma dopo l'incollaggio fatto, il confine si chiude su se stesso e scompare. In effetti, i dintorni dei punti A e A" nel cubo (si trovano sulle facce ombreggiate sinistra e destra) sono le metà delle sfere che, dopo aver incollato insieme le facce, si fondono in un'intera sfera, che funge da vicinato del punto corrispondente del toro tridimensionale.

Per sentire la struttura di un 3-toro basato su idee ordinarie sullo spazio fisico, devi scegliere tre direzioni reciprocamente perpendicolari: avanti, sinistra e su - e considerare mentalmente, come nelle storie di fantascienza, che quando ti muovi in ​​uno qualsiasi dei queste direzioni, un tempo piuttosto lungo, ma finito, ritorneremo al punto di partenza, ma dalla direzione opposta. Anche questa è una "compattazione dello spazio", ma non a un punto, usata prima per costruire una sfera, ma più complessa.

Ci sono percorsi non contraibili sul 3 toro; ad esempio, questo è il segmento AA" nella figura (sul toro raffigura un percorso chiuso). Non può essere contratto, perché per qualsiasi deformazione continua, i punti A e A" devono spostarsi lungo le loro facce, rimanendo strettamente opposti ciascuno altro (altrimenti la curva si aprirà).

Quindi, vediamo che ci sono 3-varietà compatte semplicemente connesse e non semplicemente connesse. Perelman ha dimostrato che una varietà semplicemente connessa è esattamente una.

Il punto di partenza della dimostrazione è l'uso del cosiddetto "flusso di Ricci": prendiamo una 3-varietà compatta semplicemente connessa, la dotiamo di una geometria arbitraria (cioè introduciamo una metrica con distanze e angoli), e poi consideriamo la sua evoluzione lungo il corso Ricci. Richard Hamilton, che ha proposto questa idea nel 1981, sperava che con questa evoluzione la nostra varietà si sarebbe trasformata in una sfera. Si è scoperto che questo non è vero: nel caso tridimensionale, il flusso di Ricci è in grado di rovinare il molteplice, cioè renderlo un piccolo molteplice (qualcosa con punti singolari, come nell'esempio sopra di linee intersecanti). Perelman, superando incredibili difficoltà tecniche, utilizzando il pesante apparato delle equazioni alle derivate parziali, riuscì a modificare il flusso di Ricci in prossimità di punti singolari in modo tale che durante l'evoluzione la topologia della varietà non cambi, non ci siano punti singolari, e in alla fine si trasforma in una sfera rotonda. Ma è necessario spiegare, infine, cos'è questo flusso di Ricci. I flussi utilizzati da Hamilton e Perelman si riferiscono a un cambiamento della metrica intrinseca su una varietà astratta, e questo è piuttosto difficile da spiegare, quindi mi limiterò a descrivere il flusso di Ricci "esterno" su varietà unidimensionali immerse in un piano .

Immagina una curva chiusa liscia sul piano euclideo, scegli una direzione su di essa e considera in ogni punto un vettore tangente di lunghezza unitaria. Quindi, quando si gira attorno alla curva nella direzione scelta, questo vettore ruoterà con una certa velocità angolare, che si chiama curvatura. Dove la curva è più ripida, la curvatura (in valore assoluto) sarà maggiore, e dove è più liscia, la curvatura sarà minore.

La curvatura sarà considerata positiva se il vettore velocità ruota verso la parte interna del piano diviso dalla nostra curva in due parti, e negativa se ruota verso l'esterno. Questa convenzione è indipendente dalla direzione in cui viene percorsa la curva. Nei punti di inflessione in cui la rotazione cambia direzione, la curvatura sarà 0. Ad esempio, un cerchio di raggio 1 ha una curvatura positiva costante di 1 (misurata in radianti).

Ora dimentichiamo i vettori tangenti e colleghiamo a ciascun punto della curva, al contrario, un vettore perpendicolare ad esso, uguale in lunghezza alla curvatura in un dato punto e diretto verso l'interno se la curvatura è positiva e verso l'esterno se è negativa , e poi forzeremo ogni punto a muoversi nella direzione del vettore corrispondente con velocità proporzionale alla sua lunghezza. Ecco un esempio:

Si scopre che qualsiasi curva chiusa sul piano si comporta in modo simile durante tale evoluzione, cioè alla fine si trasforma in un cerchio. Questa è la prova dell'analogo unidimensionale della congettura di Poincaré usando il flusso di Ricci (tuttavia, l'affermazione stessa in questo caso è già ovvia, solo il metodo di dimostrazione illustra cosa succede nella dimensione 3).

In conclusione, notiamo che l'argomento di Perelman dimostra non solo la congettura di Poincaré, ma anche la ben più generale congettura di geometrizzazione di Thurston, che in in un certo senso descrive la struttura di tutte le 3-varietà compatte in generale. Ma questo argomento va oltre lo scopo di questo articolo elementare.

Per mancanza di spazio, non parlerò di varietà non orientabili, ne è un esempio la famosa bottiglia di Klein, una superficie che non può essere incassata in uno spazio privo di autointersezioni.

Il Clay Institute of Mathematics ha assegnato a Grigory Perelman il Millennium Prize, riconoscendo così ufficialmente come corretta la dimostrazione della congettura di Poincaré, eseguita da un matematico russo. È interessante notare che, così facendo, l'istituto ha dovuto infrangere le proprie regole: secondo loro, solo un autore che ha pubblicato il suo lavoro su riviste sottoposte a revisione paritaria può affermare di ricevere circa un milione di dollari, questa è esattamente la dimensione del premio. Il lavoro di Grigory Perelman non ha mai visto formalmente la luce del giorno - è rimasto come un insieme di diversi preprint sul sito web arXiv.org (uno, due e tre). Tuttavia, non è così importante ciò che ha causato la decisione dell'istituto: l'assegnazione del Millennium Prize pone fine a una storia di oltre 100 anni.

Tazza, ciambella e un po' di topologia

Prima di scoprire cosa sia la congettura di Poincaré, è necessario capire a che tipo di branca della matematica - la topologia - appartiene questa stessa ipotesi. La topologia delle varietà si occupa delle proprietà delle superfici che non cambiano sotto determinate deformazioni. Spieghiamo con un classico esempio. Supponiamo che il lettore abbia davanti a sé una ciambella e una tazza vuota. Dal punto di vista della geometria e del buon senso si tratta di oggetti diversi, se non altro perché non potrai bere il caffè da una ciambella con tutta la tua voglia.

Tuttavia, il topologo dirà che la tazza e la ciambella sono la stessa cosa. E lo spiegherà così: immaginate che una tazza e una ciambella siano superfici cave all'interno, fatte di un materiale molto elastico (un matematico direbbe che c'è una coppia di varietà bidimensionali compatte). Conduciamo un esperimento speculativo: prima gonfiamo il fondo della tazza, quindi il suo manico, dopodiché si trasformerà in un toro (è così che viene chiamata matematicamente la forma della ciambella). Puoi vedere come appare questo processo.

Naturalmente, un lettore curioso ha una domanda: poiché le superfici possono essere rugose, come possono essere distinte? Dopotutto, ad esempio, è intuitivamente chiaro: non importa come immagini un toro, non puoi ottenere una sfera da esso senza spazi vuoti e incollaggi. Qui entrano in gioco le cosiddette invarianti - caratteristiche superficiali che non cambiano sotto deformazione - un concetto necessario per la formulazione dell'ipotesi di Poincaré.

Il buon senso ci dice che un buco distingue un toro da una sfera. Tuttavia, un buco è ben lungi dall'essere un concetto matematico, quindi deve essere formalizzato. Questo viene fatto come segue: immagina di avere un filo elastico molto sottile sulla superficie che forma un anello (in questo esperimento speculativo, a differenza del precedente, consideriamo la superficie stessa solida). Sposteremo il cappio senza strapparlo dalla superficie e senza romperlo. Se il filo può essere contratto fino a formare un cerchio molto piccolo (quasi un punto), allora si dice che l'ansa è contraibile. Altrimenti, il ciclo è chiamato non retrattile.

Il gruppo fondamentale di un toro è indicato con n 1 (T 2). Poiché non è banale, le braccia del topo formano un anello non retrattile. La tristezza sul volto dell'animale è il risultato della realizzazione di questo fatto.

Quindi, è facile vedere che qualsiasi anello su una sfera è contraibile (puoi vedere come appare approssimativamente), ma per un toro non è più così: ci sono fino a due anelli su una ciambella - uno è infilato in un buco, e l'altro aggira il buco "lungo il perimetro", - che non può essere tirato. In questa immagine, esempi di anelli non contrattabili sono mostrati in rosso e viola rispettivamente. Quando ci sono loop in superficie, i matematici dicono che "il gruppo fondamentale di una varietà non è banale", e se non ci sono tali loop, allora è banale.

Ora, per formulare onestamente la congettura di Poincaré, il lettore curioso deve pazientare un po' di più: dobbiamo capire cosa sono una varietà tridimensionale in generale e una sfera tridimensionale in particolare.

Torniamo per un momento alle superfici di cui abbiamo discusso sopra. Ognuno di loro può essere tagliato in pezzi così piccoli che ognuno assomiglierà quasi a un pezzo dell'aereo. Poiché il piano ha solo due dimensioni, si dice che anche la varietà è bidimensionale. Una varietà tridimensionale è una superficie che può essere tagliata in piccoli pezzi, ognuno dei quali è molto simile a un pezzo di normale spazio tridimensionale.

capo" attore"L'ipotesi è una sfera tridimensionale. È probabilmente impossibile immaginare una sfera tridimensionale come un analogo di una sfera ordinaria nello spazio quadridimensionale senza perdere la testa. Tuttavia, è abbastanza facile descrivere questo oggetto, quindi per parlare, "in parti" abbastanza facilmente. Chiunque abbia visto un globo, sa che una sfera ordinaria può essere incollata insieme dal nord e emisfero sud lungo l'equatore. Quindi, una sfera tridimensionale è incollata insieme da due sfere (settentrionale e meridionale) lungo una sfera, che è un analogo dell'equatore.

Sulle varietà tridimensionali si possono considerare gli stessi anelli che abbiamo preso sulle superfici ordinarie. Quindi, la congettura di Poincaré afferma: "Se il gruppo fondamentale di una varietà tridimensionale è banale, allora è omeomorfo a una sfera". L'incomprensibile frase "omeomorfo a una sfera" tradotta in linguaggio informale significa che la superficie può essere deformata in una sfera.

Un po' di storia

In generale, in matematica è possibile formulare un gran numero di affermazioni complesse. Tuttavia, cosa rende grande questa o quell'ipotesi, la distingue dal resto? Stranamente, ma la grande ipotesi si distingue per un gran numero di prove errate, ognuna delle quali contiene un grande errore: l'inesattezza, che spesso porta all'emergere di un'intera nuova sezione della matematica.

Quindi, inizialmente Henri Poincaré, che, tra l'altro, si distingueva per la capacità di commettere errori brillanti, formulò l'ipotesi in una forma leggermente diversa da quella che abbiamo scritto sopra. Qualche tempo dopo, fornì un controesempio alla sua asserzione, che divenne noto come la 3-sfera omologica di Poincaré, e nel 1904 formulò una congettura già in forma moderna. A proposito, di recente, gli scienziati hanno adattato la sfera in astrofisica: si è scoperto che l'Universo potrebbe rivelarsi un'omologa 3-sfera di Poincaré.

Va detto che l'ipotesi non suscitò molto entusiasmo tra i colleghi geometri. Così fu fino al 1934, quando il matematico britannico John Henry Whitehead presentò la sua versione della dimostrazione dell'ipotesi. Molto presto, tuttavia, egli stesso trovò un errore nel ragionamento, che in seguito portò all'emergere dell'intera teoria delle varietà di Whitehead.

Successivamente, la gloria di un compito estremamente difficile è stata gradualmente radicata nell'ipotesi. Molti grandi matematici hanno cercato di prenderlo d'assalto. Ad esempio, l'americano R.H.Bing, un matematico che (in modo assolutamente ufficiale) faceva scrivere le iniziali invece del nome nei documenti. Fece diversi tentativi infruttuosi di dimostrare l'ipotesi, formulando la propria affermazione durante questo processo: la cosiddetta "congettura della proprietà P" (congettura della proprietà P). È interessante notare che questa affermazione, considerata da Bing come intermedia, si è rivelata quasi più complicata della dimostrazione della stessa congettura di Poincaré.

C'erano tra gli scienziati e le persone che hanno dato la vita per dimostrarlo fatto matematico. Ad esempio, il famoso matematico di origine greca Christos Papakiriakopoulos. Per più di dieci anni, mentre lavorava a Princeton, tentò senza successo di dimostrare la congettura. Morì di cancro nel 1976.

È interessante notare che la generalizzazione della congettura di Poincaré a varietà di dimensioni superiori a tre si è rivelata notevolmente più semplice dell'originale: le dimensioni extra hanno reso più facile la manipolazione delle varietà. Così, per varietà n-dimensionali (quando n è almeno 5), la congettura è stata dimostrata da Stephen Smale nel 1961. Per n = 4, la congettura è stata dimostrata con un metodo completamente diverso da quello di Smale nel 1982 da Michael Friedman. Per la sua prova, quest'ultimo ha ricevuto la Medaglia Fields - il più alto riconoscimento per i matematici.

Le opere descritte sono tutt'altro lista completa tenta di risolvere più di un secolo di ipotesi. E sebbene ciascuno dei lavori abbia portato all'emergere di un'intera direzione in matematica e possa essere considerato di successo e significativo in questo senso, solo il russo Grigory Perelman è riuscito a dimostrare finalmente la congettura di Poincaré.

Perelman e la prova

Nel 1992, Grigory Perelman, allora impiegato dell'Istituto di matematica. Steklov, è arrivato alla conferenza di Richard Hamilton. Il matematico americano ha parlato dei flussi di Ricci - un nuovo strumento per studiare la congettura di geometrizzazione di Thurston - un fatto da cui si è ottenuta come semplice conseguenza la congettura di Poincaré. Questi flussi, costruiti in un certo senso per analogia con le equazioni di trasferimento del calore, hanno causato la deformazione delle superfici nel tempo più o meno allo stesso modo in cui abbiamo deformato le superfici bidimensionali all'inizio di questo articolo. Si è scoperto che in alcuni casi il risultato di tale deformazione era un oggetto la cui struttura è facilmente comprensibile. La difficoltà principale era che durante la deformazione si formavano singolarità con curvatura infinita, analoghe in un certo senso ai buchi neri in astrofisica.

Dopo la conferenza, Perelman si è avvicinato a Hamilton. In seguito ha detto che Richard lo ha sorpreso piacevolmente: "Ha sorriso ed è stato molto paziente. Mi ha anche raccontato alcuni fatti che sono stati pubblicati solo pochi anni dopo. Lo ha fatto senza esitazione. La sua apertura e gentilezza mi hanno stupito. Non posso dire che la maggior parte dei matematici moderni si comporta così".

Dopo un viaggio negli Stati Uniti, Perelman tornò in Russia, dove iniziò a lavorare per risolvere il problema delle singolarità dei flussi di Ricci e dimostrare in segreto l'ipotesi della geometrizzazione (e per niente l'ipotesi di Poincaré). Non sorprende che l'apparizione della prima prestampa di Perelman l'11 novembre 2002 abbia scioccato la comunità matematica. Dopo un po 'di tempo apparvero un altro paio di opere.

Successivamente, Perelman si è ritirato dalla discussione delle prove e persino, dicono, ha smesso di fare matematica. Non ha interrotto il suo stile di vita solitario nemmeno nel 2006, quando gli è stata assegnata la Medaglia Fields, il più prestigioso riconoscimento per i matematici. Non ha senso discutere le ragioni di questo comportamento dell'autore: un genio ha il diritto di comportarsi in modo strano (ad esempio, essendo in America, Perelman non si è tagliato le unghie, permettendo loro di crescere liberamente).

Comunque sia, la dimostrazione di Perelman assunse una vita propria: tre preprint perseguitavano i matematici moderni. I primi risultati della verifica delle idee del matematico russo sono apparsi nel 2006: i principali geometri Bruce Kleiner e John Lott dell'Università del Michigan hanno pubblicato una prestampa proprio lavoro, più simile a un libro di dimensioni - 213 pagine. In questo lavoro, gli scienziati hanno controllato attentamente tutti i calcoli di Perelman, spiegando in dettaglio le varie affermazioni che sono state solo brevemente indicate nel lavoro del matematico russo. Il verdetto dei ricercatori è stato inequivocabile: le prove sono assolutamente corrette.

Una svolta inaspettata in questa storia arrivò nel luglio dello stesso anno. Nel diario Giornale asiatico di matematica Apparve un articolo dei matematici cinesi Xiping Zhu e Huaidong Cao intitolato "Una prova completa della congettura di geometrizzazione di Thurston e della congettura di Poincaré". Nell'ambito di questo lavoro, i risultati di Perelman sono stati considerati importanti, utili, ma solo intermedi. questo lavoro ha suscitato sorpresa tra gli specialisti in Occidente, ma ha ricevuto recensioni molto favorevoli in Oriente. In particolare, i risultati sono stati supportati da Shintan Yau - uno dei fondatori della teoria Calabi-Yau, che ha gettato le basi per la teoria delle stringhe - nonché insegnante di Cao e Ju. Per una felice coincidenza, era Yau il caporedattore della rivista. Giornale asiatico di matematica in cui l'opera è stata pubblicata.

Successivamente, il matematico ha iniziato a viaggiare per il mondo con lezioni popolari, parlando dei risultati dei matematici cinesi. Di conseguenza, c'era il pericolo che molto presto i risultati di Perelman e persino di Hamilton sarebbero stati relegati in secondo piano. Ciò è accaduto più di una volta nella storia della matematica: molti teoremi che portano i nomi di matematici specifici sono stati inventati da persone completamente diverse.

Tuttavia, questo non è accaduto e probabilmente non accadrà ora. La consegna del Clay Award a Perelman (anche se rifiuta) è stata cementata per sempre coscienza pubblica fatto: il matematico russo Grigory Perelman ha dimostrato la congettura di Poincaré. Non importa che in realtà abbia dimostrato un fatto più generale, sviluppando lungo la strada una teoria completamente nuova delle singolarità dei flussi di Ricci. Comunque. Il premio ha trovato un eroe.

Foto di N. Chetverikova L'ultima grande conquista della matematica pura è la dimostrazione della congettura di Poincaré, espressa nel 1904 e che afferma: “ogni varietà tridimensionale connessa, semplicemente connessa, compatta senza bordo, è omeomorfa alla sfera S 3 ” di Grigory Perelman di San Pietroburgo nel 2002-2003.

Ci sono diversi termini in questa frase, che cercherò di spiegare in modo tale che il loro significato generale diventi chiaro ai non matematici (presumo che il lettore si sia diplomato al liceo e ricordi ancora qualcosa della matematica scolastica).

Cominciamo con il concetto di omeomorfismo, che è centrale nella topologia. In generale, la topologia è spesso definita come "geometria della gomma", cioè come la scienza delle proprietà delle immagini geometriche che non cambiano durante le deformazioni lisce senza lacune e incollaggio, o meglio, se è possibile stabilire un rapporto univoco corrispondenza uno e uno a uno tra due oggetti .

L'idea principale è più facile da spiegare usando il classico esempio di una tazza e un bagel. La prima può essere trasformata nella seconda da una continua deformazione: Queste figure mostrano chiaramente che la tazza è omeomorfa alla ciambella, e questo fatto è vero sia per le loro superfici (varietà bidimensionali, dette toro) che per i corpi riempiti ( varietà tridimensionali con contorno).

Diamo un'interpretazione del resto dei termini che compaiono nella formulazione dell'ipotesi.

1. Varietà tridimensionale senza bordo. Questo è un oggetto così geometrico, in cui ogni punto ha un quartiere sotto forma di una palla tridimensionale. Esempi di varietà 3 sono, in primo luogo, l'intero spazio tridimensionale, indicato con R 3 , nonché qualsiasi insieme aperto di punti in R 3 , ad esempio l'interno di un toro solido (ciambella). Se consideriamo un toro solido chiuso, cioè aggiungiamo i suoi punti di confine (la superficie del toro), otteniamo già una varietà con confine - i punti di confine non hanno quartieri sotto forma di una palla, ma solo nella forma di metà della palla.

2. Connesso. Il concetto di connettività è il più semplice qui. Una molteplicità è connessa se consiste di un pezzo, o, qualcosa di uguale, due qualsiasi dei suoi punti possono essere collegati da una linea continua che non va oltre i suoi limiti.

3. Semplicemente connesso. La nozione di singola connessione è più complicata. Significa che qualsiasi curva chiusa continua situata interamente all'interno di una data varietà può essere contratta dolcemente fino a un punto senza lasciare questa varietà. Ad esempio, una normale sfera bidimensionale in R 3 è semplicemente collegata (un elastico, fissato arbitrariamente alla superficie di una mela, può essere contratto da una deformazione uniforme in un punto senza strappare l'elastico dalla mela). D'altra parte, il cerchio e il toro non sono semplicemente collegati.

4. Compatto. Una varietà è compatta se una qualsiasi delle sue immagini omeomorfe ha dimensioni limitate. Ad esempio, un intervallo aperto su una linea (tutti i punti di un segmento tranne le sue estremità) non è compatto, poiché può essere continuamente esteso a una linea infinita. Ma un segmento chiuso (con estremità) è una varietà compatta con un confine: per qualsiasi deformazione continua, le estremità vanno in alcuni punti specifici e l'intero segmento deve entrare in una curva limitata che collega questi punti.

Dimensione molteplice è il numero di gradi di libertà nel punto che "vive" su di esso. Ogni punto ha un intorno nella forma di un disco della dimensione corrispondente, cioè un intervallo di una linea nel caso unidimensionale, un cerchio sul piano nel caso bidimensionale, una palla nel caso tridimensionale , ecc. Dal punto di vista della topologia, ci sono solo due varietà connesse unidimensionali senza confine: questa è la linea e il cerchio. Di questi, solo il cerchio è compatto.

Un esempio di spazio che non è una varietà è, ad esempio, una coppia di linee che si intersecano - dopotutto, nel punto di intersezione di due linee, qualsiasi quartiere ha la forma di una croce, non ha un quartiere che sarebbe stesso essere solo un intervallo (e tutti gli altri punti hanno tali quartieri). I matematici in questi casi dicono che abbiamo a che fare con una varietà singolare, che ha un punto singolare.

Le varietà compatte bidimensionali sono ben note. Se consideriamo solo orientato 1 varietà senza bordo, allora da un punto di vista topologico formano un semplice, seppure infinito, elenco: e così via. Ciascuno di questi collettori è ottenuto da una sfera incollando diverse maniglie, il cui numero è chiamato genere della superficie.

1 Per mancanza di spazio, non parlerò di varietà non orientabili, ne è un esempio la famosa bottiglia di Klein, una superficie che non può essere incassata in uno spazio privo di autointersezioni.

La figura mostra superfici di genere 0, 1, 2 e 3. In che modo una sfera si distingue da tutte le superfici in questo elenco? Si scopre che è semplicemente connesso: su una sfera qualsiasi curva chiusa può essere contratta in un punto, e su qualsiasi altra superficie è sempre possibile indicare una curva che non può essere contratta in un punto lungo la superficie.

È curioso che le varietà compatte tridimensionali senza bordo possano anche essere classificate in un certo senso, cioè disposte in un certo elenco, sebbene non così semplici come nel caso bidimensionale, ma con una struttura piuttosto complessa. Tuttavia, la sfera 3D S 3 si distingue in questo elenco esattamente allo stesso modo della sfera 2D nell'elenco precedente. Il fatto che qualsiasi curva su S 3 si contragga fino a un punto è facile da dimostrare come nel caso bidimensionale. Ma l'affermazione inversa, cioè che questa proprietà sia unica proprio per la sfera, cioè che vi siano curve non contraibili su qualunque altra varietà tridimensionale, è molto difficile e costituisce esattamente il contenuto della congettura di Poincaré di cui stiamo parlando .

È importante capire che il molteplice può vivere da solo, può essere pensato come un oggetto indipendente, non annidato da nessuna parte. (Immagina di vivere esseri bidimensionali sulla superficie di una sfera ordinaria, ignari dell'esistenza di una terza dimensione). più facili da visualizzare. Per la 3-sfera S 3 (e in generale per qualsiasi 3-varietà compatta senza bordo) non è più così, quindi è necessario uno sforzo per comprenderne la struttura.

Apparentemente, il modo più semplice per spiegare la struttura topologica della sfera tridimensionale S 3 è con l'aiuto della compattazione a un punto. Vale a dire, la sfera tridimensionale S 3 è una compattazione a un punto del solito spazio tridimensionale (illimitato) R 3 .

Spieghiamo prima questa costruzione con semplici esempi. Prendiamo una normale linea retta infinita (un analogo unidimensionale dello spazio) e aggiungiamo ad essa un punto "infinitamente distante", supponendo che quando ci muoviamo lungo una linea retta a destra oa sinistra, alla fine arriviamo a questo punto. Da un punto di vista topologico, non c'è differenza tra una linea infinita e un segmento aperto delimitato (senza estremi). Tale segmento può essere continuamente piegato sotto forma di arco, avvicinare le estremità e incollare il punto mancante nella giunzione. Otteniamo, ovviamente, un cerchio - un analogo unidimensionale di una sfera.

Allo stesso modo, se prendo un piano infinito e aggiungo un punto all'infinito, a cui tendono tutte le linee del piano originale, che passano in qualsiasi direzione, allora otteniamo una sfera (ordinaria) bidimensionale S 2 . Questo procedimento può essere osservato utilizzando una proiezione stereografica, che assegna ad ogni punto P della sfera, ad eccezione del polo nord di N, un certo punto del piano P":

Pertanto, una sfera senza un punto è topologicamente uguale a un piano e l'aggiunta di un punto trasforma il piano in una sfera.

In linea di principio, esattamente la stessa costruzione è applicabile alla sfera tridimensionale e allo spazio tridimensionale, solo per la sua realizzazione è necessario entrare nella quarta dimensione, e questo non è così facile da rappresentare sul disegno. Pertanto, mi limito a una descrizione verbale della compattazione a un punto dello spazio R 3 .

Immaginiamo che al nostro spazio fisico (che noi, seguendo Newton, consideriamo uno spazio euclideo illimitato con tre coordinate x, y, z) abbia un punto "all'infinito" aggiunto in modo tale che quando ci muoviamo lungo una linea retta in qualsiasi direzione, tu cadi (cioè ogni linea spaziale si chiude in un cerchio). Quindi otteniamo una varietà tridimensionale compatta, che è, per definizione, la sfera S 3 .

È facile vedere che la sfera S 3 è semplicemente connessa. In effetti, qualsiasi curva chiusa su questa sfera può essere leggermente spostata in modo che non passi per il punto aggiunto. Quindi otteniamo una curva nel solito spazio R 3 , che si contrae facilmente in un punto per mezzo di omoteti, cioè contrazione continua in tutte e tre le direzioni.

Per comprendere come è strutturata la varietà S 3 è molto istruttivo considerare la sua partizione in due tori solidi. Se si omette il toro solido dallo spazio R 3, rimane qualcosa di poco chiaro. E se lo spazio si compatta in una sfera, anche questo complemento si trasforma in un toro solido. Cioè, la sfera S 3 è divisa in due solidi tori aventi un confine comune: un toro.

Ecco come si può capire. Incorporiamo il toro in R 3 come al solito, sotto forma di una ciambella rotonda, e disegniamo una linea verticale: l'asse di rotazione di questa ciambella. Disegna un piano arbitrario attraverso l'asse, intersecherà il nostro toro solido lungo due cerchi mostrati in verde nella figura, e la parte aggiuntiva del piano è divisa in una famiglia continua di cerchi rossi. Tra questi c'è l'asse centrale, evidenziato in grassetto, perché nella sfera S 3 la linea si chiude in un cerchio. Da questa bidimensionale si ottiene un'immagine tridimensionale ruotando intorno ad un asse. Una serie completa di cerchi ruotati riempirà quindi un corpo tridimensionale, omeomorfo a un toro solido, dall'aspetto insolito.

In effetti, l'asse centrale sarà un cerchio assiale al suo interno, e il resto svolgerà il ruolo di parallele - cerchi che compongono il solito toro solido.

Per avere qualcosa con cui confrontare la 3-sfera, darò un altro esempio di una 3-varietà compatta, vale a dire un toro tridimensionale. Un toro tridimensionale può essere costruito come segue. Prendiamo un normale cubo tridimensionale come materiale di partenza:

Ha tre coppie di facce: sinistra e destra, sopra e sotto, davanti e dietro. In ogni coppia di facce parallele, individuiamo a coppie i punti ricavati l'uno dall'altro trasferendo lungo il bordo del cubo. Cioè, assumeremo (in modo puramente astratto, senza applicare deformazioni fisiche) che, ad esempio, A e A "sono lo stesso punto, e B e B" sono anche un punto, ma diverso dal punto A. Tutti i punti interni del cubo considereremo come al solito. Il cubo stesso è un collettore con un bordo, ma dopo l'incollaggio fatto, il bordo si chiude su se stesso e scompare. In effetti, i dintorni dei punti A e A" nel cubo (si trovano sulle facce ombreggiate sinistra e destra) sono le metà delle sfere che, dopo aver incollato insieme le facce, si fondono in un'intera sfera, che funge da vicinato del punto corrispondente del toro tridimensionale.

Per sentire la struttura del 3-toro basata su idee ordinarie sullo spazio fisico, devi scegliere tre direzioni reciprocamente perpendicolari: avanti, sinistra e su - e considerare mentalmente, come nelle storie di fantascienza, che quando ti muovi in ​​uno qualsiasi dei queste direzioni, un tempo piuttosto lungo, ma finito , torneremo al punto di partenza, ma dalla direzione opposta.Anche questa è una "compattazione dello spazio", ma non un punto, usata prima per costruire una sfera, ma più complesso.

Ci sono percorsi non contraibili sul 3 toro; ad esempio, questo è il segmento AA" nella figura (sul toro raffigura un percorso chiuso). Non può essere contratto, perché per qualsiasi deformazione continua, i punti A e A" devono spostarsi lungo le loro facce, rimanendo strettamente opposti ciascuno altro (altrimenti la curva si aprirà).

Quindi, vediamo che ci sono 3-varietà compatte semplicemente connesse e non semplicemente connesse. Perelman ha dimostrato che una varietà semplicemente connessa è esattamente una.

L'idea iniziale della dimostrazione è quella di utilizzare il cosiddetto "flusso di Ricci": prendiamo una 3-varietà compatta semplicemente connessa, la dotiamo di una geometria arbitraria (cioè introduciamo una metrica con distanze e angoli), e poi si consideri la sua evoluzione lungo il corso Ricci. Richard Hamilton, che ha proposto questa idea nel 1981, sperava che con questa evoluzione la nostra varietà si sarebbe trasformata in una sfera. Si è scoperto che questo non è vero: nel caso tridimensionale, il flusso di Ricci è in grado di rovinare il molteplice, cioè renderlo un piccolo molteplice (qualcosa con punti singolari, come nell'esempio sopra di linee intersecanti). Perelman, superando incredibili difficoltà tecniche, utilizzando il pesante apparato delle equazioni alle derivate parziali, riuscì a modificare il flusso di Ricci in prossimità di punti singolari in modo tale che durante l'evoluzione la topologia della varietà non cambi, non ci siano punti singolari, e in alla fine si trasforma in una sfera rotonda. Ma dobbiamo finalmente spiegare cos'è questo flusso di Ricci. I flussi utilizzati da Hamilton e Perelman si riferiscono a un cambiamento della metrica intrinseca su una varietà astratta, e questo è piuttosto difficile da spiegare, quindi mi limiterò a descrivere il flusso di Ricci "esterno" su varietà unidimensionali immerse in un piano .

Immagina una curva chiusa liscia sul piano euclideo, scegli una direzione su di essa e considera in ogni punto un vettore tangente di lunghezza unitaria. Quindi, quando si gira attorno alla curva nella direzione scelta, questo vettore ruoterà con una certa velocità angolare, che si chiama curvatura. Dove la curva è più ripida, la curvatura (in valore assoluto) sarà maggiore, e dove è più liscia, la curvatura sarà minore.

La curvatura sarà considerata positiva se il vettore velocità ruota verso la parte interna del piano diviso dalla nostra curva in due parti, e negativa se ruota verso l'esterno. Questa convenzione non dipende dalla direzione in cui viene percorsa la curva. Nei punti di inflessione in cui la rotazione cambia direzione, la curvatura sarà 0. Ad esempio, un cerchio di raggio 1 ha una curvatura positiva costante di 1 (misurata in radianti).

Ora dimentichiamo i vettori tangenti e colleghiamo a ciascun punto della curva, al contrario, un vettore perpendicolare ad esso, uguale in lunghezza alla curvatura in un dato punto e diretto verso l'interno se la curvatura è positiva e verso l'esterno se è negativa , e poi forzeremo ogni punto a muoversi nella direzione del vettore corrispondente con velocità proporzionale alla sua lunghezza. Ecco un esempio:

Si scopre che qualsiasi curva chiusa nel piano si comporta in modo simile durante tale evoluzione, cioè alla fine si trasforma in un cerchio. Questa è la prova dell'analogo unidimensionale della congettura di Poincaré usando il flusso di Ricci (tuttavia, l'affermazione stessa in questo caso è già ovvia, solo il metodo di dimostrazione illustra cosa succede nella dimensione 3).

In conclusione, notiamo che l'argomento di Perelman prova non solo la congettura di Poincaré, ma anche la ben più generale congettura di geometrizzazione di Thurston, che in un certo senso descrive la struttura di tutte le 3-varietà compatte in generale. Ma questo argomento va oltre lo scopo di questo articolo elementare.

Sergey Duzhin,
Dottore in Fisica e Matematica Scienze,
anziano Ricercatore
Filiale di San Pietroburgo
Istituto matematico dell'Accademia delle scienze russa

Il teorema di Poincaré è la formula matematica dell'"Universo". Grigorij Perelman. Parte 1 (dalla serie " Vero uomo nella scienza")

Henri Poincaré (1854-1912), uno dei più grandi matematici, formulò nel 1904 la famosa idea di una sfera tridimensionale deformata e, sotto forma di una piccola nota marginale posta alla fine di un articolo di 65 pagine su un problema completamente diverso, scarabocchiato poche righe di una congettura piuttosto strana con le parole: "Bene, questa domanda può portarci troppo lontano" ...

Marcus Du Sotoy dell'Università di Oxford ritiene che il teorema di Poincaré sia ​​"questo problema centrale matematica e fisica, cercando di capire quale forma Forse UniversoÈ molto difficile avvicinarsi a lei".

Una volta alla settimana, Grigory Perelman si recava a Princeton per partecipare a un seminario presso l'Institute for Advanced Study. Al seminario, uno dei matematici dell'Università di Harvard risponde alla domanda di Perelman: “La teoria di William Thurston (1946-2012, matematico, lavora nel campo della“ Geometria e topologia tridimensionale ”), chiamata ipotesi di geometrizzazione, descrive tutte le possibili superfici tridimensionali ed è un passo avanti rispetto all'ipotesi di Poincaré. Se dimostri l'ipotesi di William Thurston, la congettura di Poincaré ti aprirà tutte le porte e altro ancora la sua soluzione cambierà l'intero panorama topologico della scienza moderna».

Sei importanti università americane nel marzo 2003 invitano Perelman a leggere una serie di conferenze che spiegano il suo lavoro. Nell'aprile 2003, Perelman fa un tour scientifico. Le sue lezioni diventano un eccezionale evento scientifico. John Ball (presidente dell'International Mathematical Union), Andrew Wiles (matematico, lavora nel campo dell'aritmetica delle curve ellittiche, ha dimostrato il teorema di Fermat nel 1994), John Nash (matematico che lavora nel campo della teoria dei giochi e della geometria differenziale) arrivano a Princeton per ascoltarlo.

Grigory Perelman è riuscito a risolvere uno dei sette compiti del millennio E descrivere matematicamente il cosidetto la formula dell'universo, per dimostrare la congettura di Poincaré. Le menti più brillanti hanno combattuto per questa ipotesi per più di 100 anni, e per la prova della quale la comunità matematica mondiale (il Clay Mathematical Institute) ha promesso 1 milione di dollari ed è stata presentata l'8 giugno 2010. Grigory Perelman non è apparso su di essa , e la comunità matematica mondiale "a bocca aperta".

Nel 2006, per aver risolto la congettura di Poincaré, il matematico ha ricevuto il più alto riconoscimento matematico: il Fields Prize (Fields Medal). John Ball ha visitato personalmente San Pietroburgo per convincerlo ad accettare il premio. Ha rifiutato di accettarlo con le parole: "La società difficilmente è in grado di valutare seriamente il mio lavoro".

“Il Premio Fields (e la medaglia) viene assegnato una volta ogni 4 anni ad ogni congresso internazionale di matematica a giovani scienziati (sotto i 40 anni) che hanno dato un contributo significativo allo sviluppo della matematica. Oltre alla medaglia, i vincitori ricevono 15.000 dollari canadesi ($ 13.000).”

Nella sua formulazione originale, la congettura di Poincaré recita come segue: "Ogni varietà tridimensionale compatta semplicemente connessa senza confine è omeomorfa a una sfera tridimensionale". Tradotto in un linguaggio comune, questo significa che qualsiasi oggetto tridimensionale, ad esempio un bicchiere, può essere trasformato in una palla solo per deformazione, cioè non avrà bisogno di essere tagliato o incollato. In altre parole, Poincaré lo ha suggerito lo spazio non è tridimensionale, ma contiene un numero molto maggiore di dimensioni, e Perelman 100 anni dopo dimostrato matematicamente.

L'espressione di Grigory Perelman del teorema di Poincaré sulla trasformazione della materia in un altro stato, la forma è simile alla conoscenza esposta nel libro di Anastasia Novykh "Sensei IV": aghi". Nonché la capacità di controllare l'Universo materiale attraverso le trasformazioni introdotte dall'Osservatore dal controllo delle dimensioni superiori alla sesta (dalla 7 alla 72 compresa) (relazione "FISICA PRIMARIA ALLATRA" argomento "Griglia ezoosmica").

Grigory Perelman si distingueva per l'austerità della vita, la severità dei requisiti etici sia per se stesso che per gli altri. Guardandolo, si ha la sensazione che sia solo risiede corporale in comune con tutti gli altri contemporanei spazio, UN Spiritualmente in qualche altro, dove anche per $ 1 milione non andare per il più "innocente" compromessi con la coscienza. E che tipo di spazio è questo, ed è possibile anche solo guardarlo con la coda dell'occhio? ..

L'eccezionale importanza dell'ipotesi avanzata circa un secolo fa dal matematico Poincaré riguarda le strutture tridimensionali ed è elemento chiave ricerca contemporanea fondamenti dell'universo. Questo indovinello, secondo gli esperti del Clay Institute, è uno dei sette di fondamentale importanza per lo sviluppo della matematica del futuro.

Perelman, rifiutando medaglie e premi, chiede: “Perché ne ho bisogno? Sono assolutamente inutili per me. Tutti capiscono che se la prova è corretta, non è richiesto alcun altro riconoscimento. Fino a quando non ho sviluppato il sospetto, ho avuto la scelta di parlare ad alta voce della disintegrazione della comunità matematica nel suo insieme, a causa del suo basso livello morale, o non dire nulla e lasciarmi trattare come bestiame. Ora, quando sono diventato più che sospettoso, non posso rimanere un bestiame e continuare a tacere, quindi posso solo andarmene.

Per fare matematica moderna bisogna avere una mente totalmente pura, senza la minima commistione che la disintegra, la disorienta, si sostituisce ai valori, e accettare questo premio significa dimostrare debolezza. Lo scienziato ideale è impegnato solo nella scienza, non si preoccupa di nient'altro (potere e capitale), deve avere una mente pura, e per Perelman non c'è importanza maggiore che vivere secondo questo ideale. Tutta questa idea con milioni è utile per la matematica e un vero scienziato ha bisogno di un tale incentivo? E questo desiderio del capitale di comprare e soggiogare tutto in questo mondo non è offensivo? Oppure puoi vendere la sua purezza per un milione? Il denaro, non importa quanto ce ne sia, è equivalente la verità dell'Anima? Dopotutto, abbiamo a che fare con una valutazione a priori di problemi con cui i soldi semplicemente non dovrebbero avere a che fare, giusto?! Fare di tutto questo qualcosa come un lotto-milione, o una borsa, significa assecondare la disintegrazione della scienza, e anzi la comunità umana nel suo insieme(Vedi il rapporto "PRIMORDIAL ALLATRA FISICS" e nel libro "AllatRa" le ultime 50 pagine sul modo di costruire una società creativa). E contanti(energia), che gli uomini d'affari sono pronti a donare alla scienza, se è necessario usarla, allora è corretto, o qualcosa del genere, senza umiliare Lo spirito del vero servizio, qualunque cosa si possa dire, un inestimabile equivalente monetario: “ Cos'è un milione, a confronto, con purezza, o Maestà quelle sfere (circa le dimensioni dell'universo globale e circa mondo spirituale vedi libro"AllatRa" e rapporto"PRIMORDIAL ALLATRA FISICA"), in cui incapace di penetrare anche umano immaginazione (mente)?! Cos'è un milione cielo stellato per tempo?

Diamo un'interpretazione dei restanti termini che compaiono nella formulazione dell'ipotesi:

Topologia - (dal greco topos - luogo e logos - insegnamento) - una branca della matematica che studia le proprietà topologiche delle figure, ad es. proprietà che non cambiano sotto eventuali deformazioni prodotte senza discontinuità e incollaggi (più precisamente, sotto mappature uno-a-uno e continue). Esempi di proprietà topologiche delle figure sono la dimensione, il numero di curve che delimitano una data area e così via. Quindi, un cerchio, un'ellisse, un contorno quadrato hanno le stesse proprietà topologiche, poiché queste linee possono essere deformate l'una nell'altra nel modo sopra descritto; allo stesso tempo, l'anello e il cerchio hanno proprietà topologiche diverse: il cerchio è delimitato da un contorno e l'anello da due.

L'omeomorfismo (greco ομοιο - simile, μορφη - forma) è una corrispondenza biunivoca tra due spazi topologici, in base alla quale entrambe le mappature reciprocamente inverse definite da questa corrispondenza sono continue. Queste mappature sono chiamate mappature omeomorfiche o topologiche, così come omeomorfismi, e si dice che gli spazi appartengano allo stesso tipo topologico sono chiamati omeomorfi o topologicamente equivalenti.

Una varietà tridimensionale senza confine. Questo è un oggetto così geometrico, in cui ogni punto ha un quartiere sotto forma di una palla tridimensionale. Esempi di varietà 3 sono, in primo luogo, l'intero spazio tridimensionale, indicato con R3 , nonché qualsiasi insieme aperto di punti in R3 , ad esempio l'interno di un toro solido (ciambella). Se consideriamo un toro solido chiuso, i.e. Se aggiungiamo i suoi punti di confine (la superficie di un toro), otterremo una varietà con un confine: i punti di confine non hanno quartieri a forma di palla, ma solo a forma di metà della palla.

Un toro solido (toro solido) è un corpo geometrico omeomorfo al prodotto di un disco bidimensionale e di un cerchio D2 * S1. Informalmente, un toro solido è una ciambella, mentre un toro è solo la sua superficie (una camera cava di una ruota).

Semplicemente connesso. Significa che qualsiasi curva chiusa continua situata interamente all'interno di una data varietà può essere contratta dolcemente fino a un punto senza lasciare questa varietà. Ad esempio, una normale sfera bidimensionale in R3 è semplicemente collegata (un elastico, applicato arbitrariamente alla superficie di una mela, può essere contratto in un punto mediante una deformazione uniforme senza rimuovere l'elastico dalla mela). D'altra parte, il cerchio e il toro non sono semplicemente collegati.

Compatto. Una varietà è compatta se una qualsiasi delle sue immagini omeomorfe ha dimensioni limitate. Ad esempio, un intervallo aperto su una linea (tutti i punti di un segmento tranne le sue estremità) non è compatto, poiché può essere continuamente esteso a una linea infinita. Ma un segmento chiuso (con estremità) è una varietà compatta con un confine: per qualsiasi deformazione continua, le estremità vanno in alcuni punti specifici e l'intero segmento deve entrare in una curva limitata che collega questi punti.

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Ilnaz Basharov

Letteratura:

– Relazione "PRIMARY ALLATRA PHYSICS" del gruppo internazionale di scienziati dell'ALLATRA International Public Movement, ed. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Nuovi. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Nuovi. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013, 632 p. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, dottore in fisica e matematica Sci., ricercatore senior, filiale di San Pietroburgo dell'Istituto di matematica dell'Accademia delle scienze russa