Come risolvere le derivate. Derivata di funzione
Calcolo derivativo una delle operazioni più importanti della Calcolo differenziale. Di seguito è riportata una tabella per trovare le derivate di funzioni semplici. Per regole di differenziazione più complesse, vedere altre lezioni:- Tavola delle derivate delle funzioni esponenziali e logaritmiche
Derivate di funzioni semplici
1. La derivata di un numero è zeroс´ = 0
Esempio:
5' = 0
Spiegazione:
La derivata mostra la velocità con cui cambia il valore della funzione quando cambia l'argomento. Poiché il numero non cambia in alcuna condizione, il tasso della sua variazione è sempre pari a zero.
2. Derivata di una variabile uguale a uno
x' = 1
Spiegazione:
Ad ogni incremento dell'argomento (x) di uno, il valore della funzione (risultato del calcolo) aumenta della stessa quantità. Pertanto, la velocità di variazione del valore della funzione y = x è esattamente uguale alla velocità di variazione del valore dell'argomento.
3. La derivata di una variabile e di un fattore è uguale a questo fattore
сx´ = с
Esempio:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Spiegazione:
IN questo caso, ogni volta che l'argomento della funzione cambia ( X) il suo valore (y) aumenta Con una volta. Pertanto, la velocità di variazione del valore della funzione rispetto alla velocità di variazione dell'argomento è esattamente uguale al valore Con.
Da ciò consegue ciò
(cx + b)" = c
cioè differenziale funzione lineare y=kx+b è coefficiente angolare pendenza della retta (k).
4. Derivata modulo di una variabileè uguale al quoziente di questa variabile con il suo modulo
|x|"=x/|x| a condizione che x ≠ 0
Spiegazione:
Poiché la derivata della variabile (vedi formula 2) è uguale a uno, la derivata del modulo differisce solo per il fatto che il valore del tasso di variazione della funzione cambia al contrario quando attraversa il punto di origine (prova a disegnare un grafico della funzione y = |x| e verifica tu stesso. Questo è esattamente un valore e restituisce l'espressione x / |x| Quando x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - uno. Cioè, con valori negativi della variabile x, ad ogni aumento della variazione dell'argomento, il valore della funzione diminuisce esattamente dello stesso valore, e con valori positivi, al contrario, aumenta, ma esattamente lo stesso valore.
5. Derivata della potenza di una variabileè uguale al prodotto del numero di questa potenza e della variabile nella potenza, ridotto di uno
(x c)"= cx c-1, a condizione che siano definiti x c e cx c-1 e c ≠ 0
Esempio:
(x2)" = 2x
(x3)" = 3x2
Per memorizzare la formula:
Prendi l'esponente della variabile "giù" come moltiplicatore, quindi diminuisci l'esponente stesso di uno. Ad esempio, per x 2 - due era davanti a x, quindi la potenza ridotta (2-1 = 1) ci ha dato semplicemente 2x. La stessa cosa è successa per x 3: "abbassiamo" i tre, riduciamoli di uno e invece di un cubo abbiamo un quadrato, cioè 3x 2. Un po' "non scientifico", ma molto facile da ricordare.
6.Derivata della frazione 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Esempio:
Poiché una frazione può essere rappresentata come elevante a una potenza negativa
(1/x)" = (x -1)" , puoi applicare la formula della regola 5 della tabella delle derivate
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Derivata della frazione con una variabile di grado arbitrario al denominatore
(1/x c)" = -c/xc+1
Esempio:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. derivato della radice(derivata della variabile sotto radice quadrata)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Esempio:
(√x)" = (x 1/2)" così puoi applicare la formula della regola 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Derivata di una variabile sotto una radice di grado arbitrario
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
Su cui abbiamo analizzato i derivati più semplici e abbiamo anche conosciuto le regole di differenziazione e alcune tecniche per trovare i derivati. Pertanto, se non sei molto bravo con le derivate di funzioni o alcuni punti di questo articolo non ti sono del tutto chiari, leggi prima la lezione precedente. Per favore, sintonizzati su uno stato d'animo serio: il materiale non è facile, ma cercherò comunque di presentarlo in modo semplice e chiaro.
In pratica bisogna avere a che fare con la derivata di una funzione complessa molto spesso, direi addirittura quasi sempre, quando ti vengono affidati dei compiti per trovare le derivate.
Nella tabella esaminiamo la regola (n. 5) per differenziare una funzione complessa:
Capiamo. Prima di tutto, diamo un'occhiata alla notazione. Qui abbiamo due funzioni - e , e la funzione, in senso figurato, è annidata nella funzione . Una funzione di questo tipo (quando una funzione è annidata all'interno di un'altra) è chiamata funzione complessa.
Chiamerò la funzione funzione esterna e la funzione – funzione interna (o annidata)..
! Queste definizioni non sono teoriche e non dovrebbero apparire nella progettazione finale degli incarichi. Utilizzo le espressioni informali "funzione esterna", funzione "interna" solo per facilitare la comprensione del materiale.
Per chiarire la situazione, considerare:
Esempio 1
Trova la derivata di una funzione
Sotto il seno non abbiamo solo la lettera "x", ma l'intera espressione, quindi trovare immediatamente la derivata dalla tabella non funzionerà. Notiamo anche che qui è impossibile applicare le prime quattro regole, sembra che ci sia una differenza, ma il fatto è che è impossibile “strappare” il seno:
IN questo esempio già dalle mie spiegazioni è intuitivamente chiaro che una funzione è una funzione complessa, e il polinomio è una funzione interna (incorporamento), e una funzione esterna.
Primo passo, che deve essere eseguito quando si trova la derivata di una funzione complessa capire quale funzione è interna e quale è esterna.
Quando semplici esempi sembra chiaro che un polinomio è annidato sotto il seno. Ma cosa succede se non è ovvio? Come determinare esattamente quale funzione è esterna e quale è interna? Per fare ciò, propongo di utilizzare la seguente tecnica, che può essere eseguita mentalmente o su una bozza.
Immaginiamo di dover calcolare il valore dell'espressione con una calcolatrice (invece di uno può esserci un numero qualsiasi).
Cosa calcoliamo prima? Prima di tutto dovrai eseguire la seguente azione: , quindi il polinomio sarà una funzione interna: 
In secondo luogo dovrai trovare, quindi il seno - sarà una funzione esterna: 
Dopo che noi CAPIRE con le funzioni interne ed esterne, è tempo di applicare la regola di differenziazione delle funzioni composte 
.
Iniziamo a decidere. Dalla lezione Come trovare la derivata? ricordiamo che il progetto della soluzione di qualsiasi derivata inizia sempre così: racchiudiamo l'espressione tra parentesi e mettiamo un tratto in alto a destra:
All'inizio troviamo la derivata della funzione esterna (seno), guardiamo la tabella delle derivate delle funzioni elementari e notiamo che . Tutte le formule tabulari sono applicabili anche se "x" viene sostituito da un'espressione complessa, in questo caso:
Si noti che la funzione interna non è cambiato, non lo tocchiamo.
Ebbene, è abbastanza ovvio
Il risultato dell'applicazione della formula 
pulito assomiglia a questo:
Il fattore costante è solitamente posto all'inizio dell'espressione:
In caso di malintesi, annotare la decisione su carta e leggere nuovamente le spiegazioni.
Esempio 2
Trova la derivata di una funzione
Esempio 3
Trova la derivata di una funzione
Come sempre scriviamo: 
Capiamo dove abbiamo una funzione esterna e dov'è una funzione interna. Per fare ciò, proviamo (mentalmente o su una bozza) a calcolare il valore dell'espressione per . Cosa bisogna fare prima? Prima di tutto, devi calcolare a cosa è uguale la base:, il che significa che il polinomio è la funzione interna: 
E solo allora viene eseguito l'elevamento a potenza, quindi la funzione di potenza è una funzione esterna: 
Secondo la formula 
, per prima cosa devi trovare la derivata della funzione esterna, in questo caso il grado. Cerchiamo la formula desiderata nella tabella :. Ripetiamo ancora: qualsiasi formula tabulare è valida non solo per "x", ma anche per un'espressione complessa. Pertanto, il risultato dell'applicazione della regola di differenziazione di una funzione complessa 
Prossimo:
Sottolineo ancora una volta che quando prendiamo la derivata della funzione esterna, la funzione interna non cambia: 
Ora resta da trovare una derivata molto semplice della funzione interna e “pettinare” un po’ il risultato:
Esempio 4
Trova la derivata di una funzione
Questo è un esempio di auto-soluzione (risposta alla fine della lezione).
Per consolidare la comprensione della derivata di una funzione complessa, darò un esempio senza commenti, proverò a capirlo da solo, ragione, dov'è la funzione esterna e dov'è la funzione interna, perché i compiti vengono risolti in questo modo?
Esempio 5
a) Trovare la derivata di una funzione
b) Trovare la derivata della funzione
Esempio 6
Trova la derivata di una funzione 
Qui abbiamo una radice e, per differenziarla, deve essere rappresentata come un grado. Pertanto, per prima cosa riportiamo la funzione nella forma corretta per la differenziazione:
Analizzando la funzione, arriviamo alla conclusione che la somma di tre termini è una funzione interna e l'elevamento a potenza è una funzione esterna. Applichiamo la regola di derivazione di una funzione complessa 
:
Il grado viene rappresentato ancora una volta come radicale (radice) e per la derivata della funzione interna applichiamo una semplice regola per differenziare la somma:
Pronto. Puoi anche portare l'espressione a un denominatore comune tra parentesi e scrivere tutto come una frazione. È bello, ovviamente, ma quando si ottengono derivate lunghe ingombranti, è meglio non farlo (è facile confondersi, commettere errori inutili e sarà scomodo per l'insegnante controllare).
Esempio 7
Trova la derivata di una funzione
Questo è un esempio di auto-soluzione (risposta alla fine della lezione).
È interessante notare che a volte, invece della regola per differenziare una funzione complessa, si può usare la regola per differenziare un quoziente 
, ma una soluzione del genere sembrerà una perversione insolita. Ecco un tipico esempio:
Esempio 8
Trova la derivata di una funzione
Qui puoi usare la regola di differenziazione del quoziente 
, ma è molto più vantaggioso trovare la derivata attraverso la regola di derivazione di una funzione complessa:
Prepariamo la funzione per la differenziazione: eliminiamo il segno meno della derivata e innalziamo il coseno al numeratore:
Il coseno è una funzione interna, l'elevamento a potenza è una funzione esterna.
Usiamo la nostra regola 
:
Troviamo la derivata della funzione interna, reimpostamo il coseno verso il basso:
Pronto. Nell'esempio considerato, è importante non confondersi nei segni. A proposito, prova a risolverlo con la regola 
, le risposte devono corrispondere.
Esempio 9
Trova la derivata di una funzione
Questo è un esempio di auto-soluzione (risposta alla fine della lezione).
Finora abbiamo considerato casi in cui avevamo una sola nidificazione in una funzione complessa. Nelle attività pratiche, puoi spesso trovare derivati, dove, come le bambole che nidificano, una dentro l'altra, vengono annidate 3 o anche 4-5 funzioni contemporaneamente.
Esempio 10
Trova la derivata di una funzione
Comprendiamo gli allegati di questa funzione. Proviamo a valutare l'espressione utilizzando il valore sperimentale . Come potremmo contare su una calcolatrice?
Per prima cosa devi trovare, il che significa che l'arcoseno è l'annidamento più profondo:
Questo arcoseno di unità dovrebbe quindi essere quadrato:
E infine innalziamo i sette al potere: 
Cioè, in questo esempio abbiamo tre funzioni diverse e due annidamenti, mentre la funzione più interna è l'arcoseno e la funzione più esterna è la funzione esponenziale.
Iniziamo a decidere
Secondo la regola 
per prima cosa devi prendere la derivata della funzione esterna. Guardiamo la tabella delle derivate e troviamo la derivata della funzione esponenziale: L'unica differenza è che invece di "x" abbiamo un'espressione complessa, che non nega la validità di questa formula. Quindi, il risultato dell'applicazione della regola di differenziazione di una funzione complessa 
Prossimo.
Dimostrazione e derivazione di formule per la derivata dell'esponenziale (e elevato a x) e della funzione esponenziale (a elevato a x). Esempi di calcolo delle derivate di e^2x, e^3x ed e^nx. Formule per le derivate di ordine superiore.
La derivata dell'esponente è uguale all'esponente stesso (la derivata di e alla potenza di x è uguale ad e alla potenza di x):
(1)
(e x )′ = e x.
La derivata di una funzione esponenziale con base di grado a è uguale alla funzione stessa moltiplicata per logaritmo naturale da un :
(2)
.
Derivazione della formula per la derivata dell'esponente, e elevato a x
L'esponente è una funzione esponenziale la cui base esponente è uguale al numero e, che è il seguente limite:
.
Qui può essere un numero naturale o reale. Successivamente, ricaviamo la formula (1) per la derivata dell'esponente.
Derivazione della formula per la derivata dell'esponente
Consideriamo l'esponente e elevato a x:
y = e x .
Questa funzione è definita per tutti. Troviamo la sua derivata rispetto a x . Per definizione, la derivata è il seguente limite:
(3)
.
Trasformiamo questa espressione per ridurla a proprietà e regole matematiche conosciute. Per questo abbiamo bisogno dei seguenti fatti:
UN) Proprietà dell'esponente:
(4)
;
B) Proprietà logaritmo:
(5)
;
IN) Continuità del logaritmo e proprietà dei limiti per una funzione continua:
(6)
.
Ecco una funzione che ha un limite e questo limite è positivo.
G) Il significato del secondo meraviglioso limite:
(7)
.
Applichiamo questi fatti al nostro limite (3). Usiamo la proprietà (4):
;
.
Facciamo una sostituzione. Poi ; .
A causa della continuità dell'esponente,
.
Pertanto, a , . Di conseguenza, otteniamo:
.
Facciamo una sostituzione. Poi . A , . E noi abbiamo:
.
Applichiamo la proprietà del logaritmo (5):
. Poi
.
Applichiamo la proprietà (6). Poiché esiste un limite positivo e il logaritmo è continuo, allora:
.
Anche qui abbiamo utilizzato il secondo limite notevole (7). Poi
.
Pertanto, abbiamo ottenuto la formula (1) per la derivata dell'esponente.
Derivazione della formula per la derivata della funzione esponenziale
Ora ricaviamo la formula (2) per la derivata della funzione esponenziale con base di grado a. Lo crediamo e. Quindi la funzione esponenziale
(8)
Definito per tutti.
Trasformiamo la formula (8). Per questo usiamo proprietà della funzione esponenziale e logaritmo.
;
.
Quindi, abbiamo trasformato la formula (8) nella seguente forma:
.
Derivate di ordine superiore di e elevata a x
Cerchiamo ora le derivate di ordine superiore. Consideriamo prima l'esponente:
(14)
.
(1)
.
Vediamo che la derivata della funzione (14) è uguale alla funzione (14) stessa. Differenziando la (1), otteniamo le derivate del secondo e del terzo ordine:
;
.
Ciò dimostra che anche la derivata di ordine n è uguale alla funzione originale:
.
Derivate di ordine superiore della funzione esponenziale
Ora considera funzione esponenziale con laurea base a:
.
Abbiamo trovato la sua derivata del primo ordine:
(15)
.
Derivando la (15), otteniamo le derivate del secondo e del terzo ordine:
;
.
Vediamo che ogni differenziazione porta alla moltiplicazione della funzione originaria per . Pertanto la derivata n-esima ha la seguente forma:
.
Dopo la preparazione preliminare dell'artiglieria, gli esempi con 3-4-5 allegati di funzioni saranno meno spaventosi. Forse i seguenti due esempi sembreranno complicati ad alcuni, ma se vengono compresi (qualcuno soffrirà), quasi tutto il resto nel calcolo differenziale sembrerà uno scherzo di un bambino.
Esempio 2
Trova la derivata di una funzione
Come già notato, quando si trova la derivata di una funzione complessa, prima di tutto è necessario Giusto CAPIRE GLI INVESTIMENTI. Nei casi in cui ci sono dubbi, ricordo tecnica utile: prendiamo ad esempio il valore sperimentale "x" e proviamo (mentalmente o su una bozza) a sostituire questo valore nell'"espressione terribile".
1) Per prima cosa dobbiamo calcolare l'espressione, quindi la somma è l'annidamento più profondo.
2) Quindi devi calcolare il logaritmo:
4) Quindi fai il cubo del coseno:
5) Al quinto passaggio, la differenza:
6) E infine, la funzione più esterna è la radice quadrata: 
Formula di differenziazione delle funzioni composte 
vengono applicati in ordine inverso, dalla funzione più esterna a quella più interna. Noi decidiamo:
Sembra essere privo di errori:
1) Prendiamo la derivata di radice quadrata.
2) Prendiamo la derivata della differenza usando la regola 
3) La derivata della tripla è uguale a zero. Nel secondo termine prendiamo la derivata del grado (cubo).
4) Prendiamo la derivata del coseno.
6) E infine, prendiamo la derivata dell'annidamento più profondo.
Può sembrare troppo difficile, ma questo non è l’esempio più brutale. Prendi, ad esempio, la collezione di Kuznetsov e apprezzerai tutto il fascino e la semplicità del derivato analizzato. Ho notato che a loro piace dare una cosa simile all'esame per verificare se lo studente capisce come trovare la derivata di una funzione complessa, oppure non capisce.
L'esempio seguente riguarda una soluzione autonoma.
Esempio 3
Trova la derivata di una funzione
Suggerimento: per prima cosa applichiamo le regole di linearità e la regola di differenziazione del prodotto
Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.
È ora di passare a qualcosa di più compatto e carino.
Non è raro che in un esempio venga fornito il prodotto non di due, ma di tre funzioni. Come trovare la derivata di prodotti di tre moltiplicatori?
Esempio 4
Trova la derivata di una funzione 
Per prima cosa guardiamo, ma è possibile trasformare il prodotto di tre funzioni in un prodotto di due funzioni? Ad esempio, se nel prodotto avessimo due polinomi, potremmo aprire le parentesi. Ma in questo esempio tutte le funzioni sono diverse: grado, esponente e logaritmo.
In questi casi è necessario successivamente applicare la regola della differenziazione del prodotto 
due volte
Il trucco è che per "y" indichiamo il prodotto di due funzioni: e per "ve" - il logaritmo:. Perché è possibile farlo? È 
- questo non è il prodotto di due fattori e la regola non funziona?! Non c'è niente di complicato:
Ora resta da applicare la norma una seconda volta tra parentesi:
Puoi ancora pervertire e togliere qualcosa dalle parentesi, ma in questo caso è meglio lasciare la risposta in questo modulo: sarà più facile da controllare.
L'esempio sopra può essere risolto nel secondo modo:
Entrambe le soluzioni sono assolutamente equivalenti.
Esempio 5
Trova la derivata di una funzione
Questo è un esempio di soluzione indipendente, nell'esempio viene risolta nel primo modo.
Considera esempi simili con le frazioni.
Esempio 6
Trova la derivata di una funzione 
Qui puoi andare in diversi modi:
O così:
Ma la soluzione può essere scritta in modo più compatto se, prima di tutto, utilizziamo la regola di differenziazione del quoziente 
, prendendo per l'intero numeratore:
In linea di principio, l'esempio è risolto e, se lasciato in questa forma, non sarà un errore. Ma se si ha tempo è sempre consigliabile verificare una bozza, ma è possibile semplificare la risposta?
Portiamo l'espressione del numeratore a un denominatore comune e ci liberiamo della frazione a tre piani:
Lo svantaggio di ulteriori semplificazioni è che c'è il rischio di commettere un errore non quando si trova un derivato, ma quando si effettuano trasformazioni scolastiche banali. D'altra parte, gli insegnanti spesso rifiutano il compito e chiedono di “ricordare” il derivato.
Un esempio più semplice per una soluzione fai-da-te:
Esempio 7
Trova la derivata di una funzione
Continuiamo a padroneggiare le tecniche per trovare la derivata e ora considereremo un caso tipico in cui viene proposto un logaritmo “terribile” per la differenziazione
L'operazione di trovare una derivata si chiama differenziazione.
Come risultato della risoluzione dei problemi di ricerca delle derivate delle funzioni più semplici (e non molto semplici) definendo la derivata come limite del rapporto tra l'incremento e l'incremento dell'argomento, è apparsa una tabella delle derivate e regole di differenziazione definite con precisione . Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) furono i primi a lavorare nel campo della ricerca dei derivati.
Pertanto, ai nostri giorni, per trovare la derivata di qualsiasi funzione, non è necessario calcolare il limite sopra menzionato del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, ma è sufficiente utilizzare la tabella dei derivati e le regole di differenziazione. Il seguente algoritmo è adatto per trovare la derivata.
Per trovare la derivata, è necessaria un'espressione sotto il segno del tratto scomporre funzioni semplici e determinare quali azioni (prodotto, somma, quoziente) queste funzioni sono correlate. Inoltre, troviamo le derivate delle funzioni elementari nella tabella delle derivate e le formule per le derivate del prodotto, somma e quoziente - nelle regole di differenziazione. La tabella delle derivate e delle regole di differenziazione è riportata dopo i primi due esempi.
Esempio 1 Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Dalle regole di differenziazione scopriamo che la derivata della somma delle funzioni è la somma delle derivate delle funzioni, cioè
Dalla tabella delle derivate scopriamo che la derivata di "X" è uguale a uno e la derivata del seno è coseno. Sostituiamo questi valori nella somma delle derivate e troviamo la derivata richiesta dalla condizione del problema:
Esempio 2 Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Differenziare come derivata della somma, in cui il secondo termine con un fattore costante, può essere tolto dal segno della derivata:
Se ci sono ancora domande sulla provenienza di qualcosa, di norma diventano chiare dopo aver letto la tabella dei derivati e le più semplici regole di differenziazione. Stiamo andando da loro proprio adesso.
Tavola delle derivate di funzioni semplici
| 1. Derivato di una costante (numero). Qualsiasi numero (1, 2, 5, 200...) presente nell'espressione della funzione. Sempre zero. Questo è molto importante da ricordare, poiché è richiesto molto spesso | |
| 2. Derivata della variabile indipendente. Molto spesso "x". Sempre uguale a uno. Anche questo è importante da ricordare | |
| 3. Derivato di grado. Quando risolvi i problemi, devi convertire le radici non quadrate in una potenza. | |
| 4. Derivata di una variabile elevata a -1 | |
| 5. Derivato della radice quadrata | |
| 6. Derivato del seno | |
| 7. Derivato del coseno |  |
| 8. Derivata tangente |  |
| 9. Derivato della cotangente |  |
| 10. Derivata dell'arcoseno |  |
| 11. Derivato dell'arcocoseno |  |
| 12. Derivata dell'arcotangente |  |
| 13. Derivato della tangente inversa |  |
| 14. Derivato del logaritmo naturale | |
| 15. Derivato di una funzione logaritmica |  |
| 16. Derivata dell'esponente | |
| 17. Derivato della funzione esponenziale |
Regole di differenziazione
| 1. Derivato della somma o differenza |  |
| 2. Derivato di un prodotto |  |
| 2a. Derivata di un'espressione moltiplicata per un fattore costante | |
| 3. Derivata del quoziente |  |
| 4. Derivato di una funzione complessa |  |
Regola 1Se funzioni
sono differenziabili ad un certo punto, quindi nello stesso punto le funzioni
E
quelli. la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni.
Conseguenza. Se due funzioni differenziabili differiscono per una costante, le loro derivate lo sono, cioè.
Regola 2Se funzioni
sono differenziabili in un certo punto, allora anche il loro prodotto è differenziabile nello stesso punto
E
quelli. la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra.
Conseguenza 1. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata:
Conseguenza 2. La derivata del prodotto di più funzioni differenziabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascuno dei fattori e di tutti gli altri.
Ad esempio, per tre moltiplicatori:
Regola 3Se funzioni
differenziabile ad un certo punto E , allora a questo punto anche il loro quoziente è differenziabile.u/v e
quelli. la derivata di un quoziente di due funzioni è uguale a una frazione il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato del precedente numeratore .
Dove cercare su altre pagine
Trovando la derivata del prodotto e il quoziente in compiti realiè sempre necessario applicare diverse regole di differenziazione contemporaneamente, quindi nell'articolo si trovano ulteriori esempi su questi derivati"La derivata di un prodotto e di un quoziente".
Commento. Non dovresti confondere una costante (cioè un numero) con un termine nella somma e con un fattore costante! Nel caso di un termine la sua derivata è uguale a zero, nel caso di un fattore costante viene tolta dal segno delle derivate. Questo è un errore tipico che si verifica in stato iniziale derivati dell'apprendimento, ma man mano che risolvono diversi esempi a due componenti, lo studente medio non commette più questo errore.
E se, quando si differenzia un prodotto o un quoziente, si ha un termine tu"v, in quale tu- un numero, ad esempio 2 o 5, cioè una costante, quindi la derivata di questo numero sarà uguale a zero e, quindi, l'intero termine sarà uguale a zero (un caso del genere viene analizzato nell'esempio 10) .
Altro errore comune- soluzione meccanica della derivata di una funzione complessa come derivata di una funzione semplice. Ecco perché derivata di una funzione complessa dedicato ad un articolo a parte. Ma prima impareremo a trovare le derivate di funzioni semplici.
Lungo la strada, non puoi fare a meno delle trasformazioni delle espressioni. Per fare ciò, potrebbe essere necessario aprire i manuali di Windows in una nuova finestra Azioni con poteri e radici E Azioni con frazioni .
Se stai cercando soluzioni per derivate con potenze e radici, ovvero quando appare la funzione 
, poi segui la lezione "Derivata della somma di frazioni con potenze e radici".
Se hai un compito come 
, allora ti trovi nella lezione "Derivate di semplici funzioni trigonometriche".
Esempi passo passo: come trovare la derivata
Esempio 3 Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Determiniamo le parti dell'espressione della funzione: l'intera espressione rappresenta il prodotto, e i suoi fattori sono somme, nella seconda delle quali uno dei termini contiene un fattore costante. Applichiamo la regola della differenziazione del prodotto: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra:
Successivamente, applichiamo la regola di differenziazione della somma: la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni. Nel nostro caso, in ogni somma, il secondo termine ha il segno meno. In ogni somma vediamo sia una variabile indipendente, la cui derivata è uguale a uno, sia una costante (numero), la cui derivata è uguale a zero. Quindi, "x" diventa uno e meno 5 diventa zero. Nella seconda espressione, "x" viene moltiplicato per 2, quindi moltiplichiamo due per la stessa unità della derivata di "x". Otteniamo i seguenti valori di derivati:
Sostituiamo le derivate trovate nella somma dei prodotti e otteniamo la derivata dell'intera funzione richiesta dalla condizione del problema:
Esempio 4 Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Dobbiamo trovare la derivata del quoziente. Applichiamo la formula per differenziare un quoziente: la derivata di un quoziente di due funzioni è uguale a una frazione il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato del precedente numeratore. Noi abbiamo:
Abbiamo già trovato la derivata dei fattori del numeratore nell'esempio 2. Non dimentichiamo inoltre che il prodotto, che nell'esempio attuale è il secondo fattore del numeratore, si prende con il segno meno:
Se stai cercando soluzioni a problemi in cui devi trovare la derivata di una funzione, dove c'è una pila continua di radici e gradi, come, ad esempio, 
allora benvenuto in classe "La derivata della somma delle frazioni con potenze e radici" .
Se hai bisogno di saperne di più sulle derivate di seni, coseni, tangenti e altri funzioni trigonometriche, cioè quando appare la funzione , allora hai una lezione "Derivate di semplici funzioni trigonometriche" .
Esempio 5 Trova la derivata di una funzione
Soluzione. In questa funzione vediamo un prodotto, uno dei cui fattori è la radice quadrata della variabile indipendente, con la derivata di cui abbiamo familiarizzato nella tabella delle derivate. Secondo la regola di differenziazione del prodotto e il valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:
Esempio 6 Trova la derivata di una funzione
Soluzione. In questa funzione vediamo il quoziente, il cui dividendo è la radice quadrata della variabile indipendente. Secondo la regola di differenziazione del quoziente, che abbiamo ripetuto e applicato nell'esempio 4, e il valore tabellare della derivata della radice quadrata, otteniamo:
Per eliminare la frazione al numeratore, moltiplicare numeratore e denominatore per .
