namai › Įvairūs › Monty Hall paradoksas, kai 2 didesnis už 3. Monty Hall paradoksas: formulavimas ir paaiškinimas

Monty Hall paradoksas, kai 2 didesnis už 3. Monty Hall paradoksas: formulavimas ir paaiškinimas

Apie loterijas

Šis žaidimas jau seniai įgavo masinį charakterį ir tapo neatsiejama jo dalimi šiuolaikinis gyvenimas. Ir nors loterija vis labiau plečia savo galimybes, daugelis žmonių ją vis dar vertina kaip būdą praturtėti. Tegul ir nėra laisvas ir nepatikimas. Kita vertus, kaip pažymėjo vienas iš Jacko Londono herojų, in azartinių lošimų negalima nesiskaityti su faktais – žmonėms kartais pasiseka.

Bylos matematika. Tikimybių teorijos istorija

Aleksandras Bufetovas

Vedėjos fizinių ir matematikos mokslų daktaro paskaitos stenograma ir vaizdo įrašas tyrinėtojas Steklovo matematikos institutas, IPTP RAS vadovaujantis mokslo darbuotojas, Aukštosios ekonomikos mokyklos Matematikos fakulteto profesorius, mokslo direktorius Nacionalinis centras moksliniai tyrimai Prancūzijoje (CNRS), kurį sukūrė Aleksandras Bufetovas, 2014 m. vasario 6 d. skaitė Polit.ru viešųjų paskaitų seriją.

Taisyklingumo iliuzija: kodėl atsitiktinumas atrodo nenatūralus

Mūsų idėjos apie atsitiktinumą, dėsningumą ir neįmanomą dažnai skiriasi nuo statistikos ir tikimybių teorijos duomenų. Knygoje „Netobulas šansas. Kaip atsitiktinumai valdo mūsų gyvenimus“ Amerikiečių fizikas ir mokslo populiarintojas Leonardas Mlodinovas pasakoja apie tai, kodėl atsitiktiniai algoritmai atrodo taip keistai, koks yra „atsitiktinio“ dainų maišymo „iPod“ laimikis ir kas lemia akcijų analitiko sėkmę. „Teorijos ir praktika“ publikuoja ištrauką iš knygos.

Determinizmas

Determinizmas yra bendra mokslinė sąvoka ir filosofija apie visų pasaulyje vykstančių reiškinių ir procesų priežastingumą, modelius, genetinį ryšį, sąveiką ir sąlygiškumą.

Dievas yra statistika

Kalifornijos universiteto Berklyje statistikos profesorė Deborah Nolan savo studentų prašo atlikti iš pirmo žvilgsnio labai keistą užduotį. Pirmoji grupė turi šimtą kartų mesti monetą ir užrašyti rezultatą: galvos ar uodegos. Antroji turi įsivaizduoti, kad ji meta monetą, taip pat sudaryti šimtų „įsivaizduojamų“ rezultatų sąrašą.

Kas yra determinizmas

Jei žinomos pradinės sistemos sąlygos, galima, remiantis gamtos dėsniais, numatyti galutinę jos būseną.

Išrankios nuotakos problema

Huseyn-Zade S. M.

Zenono paradoksas

Ar įmanoma patekti iš vieno erdvės taško į kitą? Senovės graikų filosofas Zenonas iš Elėjos manė, kad judėjimas apskritai negali būti įvykdytas, bet kaip jis tai argumentavo? Colmas Kelleris pasakoja apie tai, kaip išspręsti garsųjį Zenono paradoksą.

Begalinių aibių paradoksai

Įsivaizduokite viešbutį su begaliniu kambarių skaičiumi. Atvažiuoja autobusas su begale būsimų svečių. Tačiau juos visus sudėti nėra taip paprasta. Tai begalinis vargas, o svečiai be galo pavargę. Ir jei nepavyks susidoroti su užduotimi, galite prarasti begalę pinigų! Ką daryti?

Vaiko ūgio priklausomybė nuo tėvų ūgio

Jauni tėvai, žinoma, nori žinoti, kokio ūgio jų vaikas bus suaugęs. Matematinė statistika gali pasiūlyti paprastą tiesinį ryšį apytiksliai įvertinti vaikų ūgį, pagrįstą tik tėvo ir motinos ūgiu, taip pat parodyti tokio įvertinimo tikslumą.

Monty Hall paradoksas yra bene garsiausias tikimybių teorijos paradoksas. Yra daug jo variantų, pavyzdžiui, trijų kalinių paradoksas. Ir yra daugybė šio paradokso interpretacijų ir paaiškinimų. Bet čia norėčiau pateikti ne tik formalų paaiškinimą, bet ir parodyti „fizinį“ pagrindą to, kas vyksta Monty Hall ir kitų panašių į jį paradokse.

Klasikinė formuluotė yra tokia:

„Tu esi žaidime. Prieš jus yra trys durys. Vienas iš jų turi prizą. Šeimininkas kviečia pabandyti atspėti, kur yra prizas. Rodote į vieną iš durų (atsitiktinai).

Monty Hall paradokso formuluotė

Šeimininkas žino, kur iš tikrųjų yra prizas. Tuo tarpu jis neatidaro tų durų, kurias rodėte. Bet tai atveria jums dar vienas iš likusių durų, už kurių nėra prizo. Kyla klausimas, ar turėtumėte pakeisti savo pasirinkimą, ar likti prie to paties sprendimo?

Pasirodo, jei tik pakeisite savo pasirinkimą, jūsų šansai laimėti padidės!

Situacijos paradoksas akivaizdus. Viskas, kas vyksta, atrodo atsitiktinai. Nesvarbu, persigalvosite ar ne. Bet taip nėra.

„Fizinis“ šio paradokso prigimties paaiškinimas

Iš pradžių nesigilinkime į matematines subtilybes, o tiesiog pažiūrėkime į situaciją be išankstinių nuostatų.

Šiame žaidime jūs darote tik pirmas atsitiktinis pasirinkimas. Tada šeimininkas jums pasakys Papildoma informacija , kuri leidžia padidinti savo šansus laimėti.

Kaip tarpininkas suteikia papildomos informacijos? Labai paprasta. Atkreipkite dėmesį, kad jis atsidaro ne bet koks duris.

Paprastumo dėlei (nors čia yra ir gudrumo) apsvarstykime labiau tikėtiną situaciją: nurodėte duris, kuriose nėra prizo. Tada už vienų likusių durų – prizas Yra. Tai yra, lyderis neturi pasirinkimo. Tai atveria labai specifines duris. (Parodėte į vieną, už kito yra prizas, liko tik vienos durys, kurias gali atidaryti šeimininkas.)

Būtent šiuo prasmingo pasirinkimo momentu jis suteikia jums informaciją, kuria galite pasinaudoti.

IN Ši byla, informacijos naudojimas yra tas, kad pakeisite sprendimą.

Beje, jūsų antrasis pasirinkimas jau taip pat neatsitiktinai(tiksliau, ne taip atsitiktinai, kaip pirmasis pasirinkimas). Juk renkiesi iš uždarų durų, o vienos jau atidarytos ir ji nėra savavališkas.

Tiesą sakant, jau po šių ginčų gali kilti jausmas, kad geriau persigalvoti. Tai tikrai yra. Parodykime tai formaliau.

Formalesnis Monty Hall paradokso paaiškinimas

Tiesą sakant, jūsų pirmasis atsitiktinis pasirinkimas padalija visas duris į dvi grupes. Už jūsų pasirinktų durų prizas yra su 1/3 tikimybe, už kitų dviejų - su 2/3 tikimybe. Dabar šeimininkas pasikeičia: atidaro vienas duris antroje grupėje. O dabar visa 2/3 tikimybė galioja tik uždarytoms durims dviejų durų grupėje.

Akivaizdu, kad dabar apsigalvoti tau labiau apsimoka.

Nors, žinoma, vis tiek turite galimybę pralaimėti.

Tačiau pakeitus pasirinkimą, padidėja tikimybė laimėti.

Monty Hall paradoksas

Monty Hall paradoksas – tikimybinė problema, kurios sprendimas (kai kurių nuomone) prieštarauja sveikam protui. Užduoties formuluotė:

Įsivaizduokite, kad tapote žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų, dalyviu. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos.
Pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po to šeimininkas, žinantis, kur yra mašina ir kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numerio 3, už kurių yra ožka.

Monty Hall paradoksas. Pati netiksliausia matematika

Po to jis jūsų paklaus, ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2.
Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite šeimininko pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą?

Sprendžiant problemą dažnai klaidingai manoma, kad abu pasirinkimai yra nepriklausomi, todėl pasikeitus pasirinkimui tikimybė nepasikeis. Tiesą sakant, taip nėra, kaip matote prisiminę Bayes formulę arba pažiūrėję į toliau pateiktus modeliavimo rezultatus:

Čia: „strategija 1“ – nekeisk pasirinkimo, „strategija 2“ – pakeisk pasirinkimą. Teoriškai 3 durų atveju tikimybės skirstinys yra 33.(3)% ir 66.(6)%. Skaitmeninis modeliavimas turėtų duoti panašius rezultatus.

Nuorodos

Monty Hall paradoksas- užduotis iš tikimybių teorijos skyriaus, kurios sprendimas prieštarauja sveikam protui.

Kilmė[redaguoti | redaguoti wiki tekstą]

1963 metų pabaigoje transliuotas nauja pokalbių laida pavadinimu „Sudarom sandorį“ („Leisk sudaryti sandorį“). Pagal viktorinos scenarijų žiūrovai iš žiūrovų gavo prizus už teisingus atsakymus, turėdami galimybę juos padauginti darydami naujus statymus, tačiau rizikuodami savo turimais laimėjimais. Laidos įkūrėjai buvo Stefanas Hatosu ir Monty Hall, pastarasis daugelį metų tapo nuolatiniu jos vedėju.

Viena iš dalyvių užduočių buvo Didžiojo prizo, esančio už vienų iš trijų durų, piešimas. Likusiems dviem buvo skirti skatinamieji prizai, savo ruožtu vedėjas žinojo jų buvimo vietą. Dalyvis turėjo nustatyti laimėjimo duris, lažindamas visus savo laimėjimus iš šou.

Spėjėjui apsisprendus dėl skaičiaus, šeimininkas atidarė vienas iš likusių durų, už kurių buvo skatinamasis prizas, ir pasiūlė žaidėjui pakeisti iš pradžių pasirinktas duris.

Formulės[redaguoti | redaguoti wiki tekstą]

Kaip konkrečią problemą, paradoksą pirmą kartą iškėlė Steve'as Selvinas 1975 m., pateikęs Amerikos statistikui ir laidos vedėjui Monty Hall klausimą: ar pasikeis konkurso dalyvio galimybės laimėti Didįjį prizą, jei jis pasikeis, atidaręs duris su paskata. jo pasirinkimas? Po šio incidento atsirado „Monty Hall paradokso“ koncepcija.

1990 m. žurnale „Parade Magazine“ (žurnalas „Paradas“) buvo paskelbta labiausiai paplitusi paradokso versija su pavyzdžiu:

„Įsivaizduokite save televizijos žaidime, kuriame pirmenybę turite teikti vienoms iš trijų durų: už dviejų - ožkos, o už trečiųjų - automobiliui. Kai pasirenkate, pavyzdžiui, darant prielaidą, kad laiminčios durys yra numeris vienas, šeimininkas atidaro vienas iš likusių dviejų durų, pavyzdžiui, trečias, už kurių yra ožka. Ar tuomet jums suteikta galimybė pakeisti savo pasirinkimą į kitas duris? Ar galite padidinti savo šansus laimėti automobilį, pakeisdami pasirinkimą iš durų numeris vienas į duris Nr.

Ši formuluotė yra supaprastinta versija, nes lieka šeimininko įtakos veiksnys, kuris tiksliai žino, kur yra automobilis ir yra suinteresuotas prarasti dalyvį.

Tam, kad problema taptų grynai matematinė, būtina eliminuoti žmogiškąjį faktorių, įvedant durų atidarymą su skatinamuoju prizu ir galimybę pakeisti pradinį pasirinkimą kaip neatsiejamas sąlygas.

Sprendimas[redaguoti | redaguoti wiki tekstą]

Lyginant šansus iš pirmo žvilgsnio, durų numerio pakeitimas neduos jokio pranašumo, nes. visi trys variantai turi 1/3 galimybę laimėti (maždaug 33,33 % kiekvienoje iš trijų durų). Tuo pačiu metu vienos iš durų atidarymas neturės įtakos likusių dviejų, kurių tikimybė bus nuo 1/2 iki 1/2 (po 50 % kiekvienos iš dviejų likusių durų), tikimybei. Šis sprendimas grindžiamas prielaida, kad žaidėjo durų pasirinkimas ir šeimininko pasirinkimas yra du nepriklausomi įvykiai, kurie neturi įtakos vienas kitam. Tiesą sakant, reikia atsižvelgti į visą įvykių seką kaip į visumą. Remiantis tikimybių teorija, pirmųjų pasirinktų durų tikimybė nuo žaidimo pradžios iki pabaigos visada yra 1/3 (apie 33,33%), o likusių dviejų durų tikimybė yra 1/3 + 1 /3 = 2/3 (apytiksliai 66,66%). Atidarius vieną iš dviejų likusių durų, jos šansai tampa 0% (už jo slepiasi skatinamasis prizas), o dėl to tikimybė, kad uždarytos nepasirinktos durys bus 66,66%, t.y. dvigubai daugiau nei originalas.

Kad būtų lengviau suprasti pasirinkimo rezultatus, galime apsvarstyti alternatyvią situaciją, kurioje variantų skaičius bus didesnis, pavyzdžiui, tūkstantis. Laimėjimo varianto pasirinkimo tikimybė bus 1/1000 (0,1%). Jei vėliau iš likusių devynių šimtų devyniasdešimt devynių variantų bus atidarytos devynios šimtai devyniasdešimt aštuonios neteisingos, tampa akivaizdu, kad tikimybė, kad iš devynių šimtų devyniasdešimt devynių nepasirinks vienos likusios durys, yra didesnė nei pradžioje pasirinktas tik vienas.

Pamini [taisyti | redaguoti wiki tekstą]

Monty Hall paradoksą galite paminėti filmuose „Dvidešimt vienas“ (Roberto Luketicho filmas), „Kluttyop“ (Sergėjaus Lukjanenkos romanas), serialuose „4isla“ (TV serialas), „Paslaptingas nakties nužudymas Šuo“ (Marko Haddono romanai), „XKCD“ (komiksas), Mitų griovėjai (TV laida).

Taip pat žiūrėkite [taisyti | redaguoti wiki tekstą]

Paveikslėlyje parodytas dviejų uždarų durų pasirinkimas iš trijų iš pradžių pasiūlytų

Kombinatorikos uždavinių sprendimų pavyzdžiai

Kombinatorika yra mokslas, su kuriuo susiduria visi Kasdienybė: kiek būdų pasirinkti 3 palydovus klasės valymui arba kiek būdų padaryti žodį iš duotų raidžių.

Apskritai kombinatorika leidžia apskaičiuoti, kiek skirtingų kombinacijų, pagal tam tikras sąlygas, galima padaryti iš pateiktų objektų (vienodų ar skirtingų).

Kaip mokslas kombinatorika atsirado dar XVI amžiuje, o dabar jos mokosi kiekvienas studentas (dažnai net ir moksleivis). Jie pradeda mokytis permutacijų, vietų, derinių (su pasikartojimais arba be jų) sąvokų, žemiau rasite problemų šiomis temomis. Žymiausios kombinatorikos taisyklės yra sumos ir sandaugos taisyklės, kurios dažniausiai naudojamos tipiniuose kombinatoriniuose uždaviniuose.

Žemiau rasite keletą užduočių pavyzdžių su kombinacinių sąvokų sprendimais ir taisyklėmis, kurios padės atlikti tipines užduotis. Jei kyla sunkumų atliekant užduotis, užsisakykite kombinatorikos testą.

Kombinatorikos problemos su sprendimais internete

1 užduotis. Mama turi 2 obuolius ir 3 kriaušes. Kasdien 5 dienas iš eilės ji išduoda po vieną vaisiaus gabalėlį. Kiek būdų tai galima padaryti?

Kombinatorikos 1 uždavinio sprendimas (pdf, 35 Kb)

2 užduotis.Įmonė gali suteikti darbą pagal vieną specialybę 4 moterims, kitoje - 6 vyrams, trečioje - 3 darbuotojams, nepriklausomai nuo lyties. Kokiais būdais galima užpildyti laisvas vietas, jei yra 14 pretendentų: 6 moterys ir 8 vyrai?

Kombinatorikos 2 uždavinio sprendimas (pdf, 39 Kb)

3 užduotis. Keleiviniame traukinyje yra 9 automobiliai. Kiek būdų traukinyje gali sėdėti 4 žmonės, jei jie visi važiuoja skirtinguose automobiliuose?

Kombinatorikos 3 uždavinio sprendimas (pdf, 33 Kb)

4 užduotis. Grupėje yra 9 žmonės. Kiek skirtingų pogrupių galima sudaryti, jei pogrupyje yra ne mažiau kaip 2 žmonės?

Kombinatorikos 4 uždavinio sprendimas (pdf, 34 Kb)

5 užduotis. 20 mokinių grupė turėtų būti suskirstyta į 3 komandas, o pirmoje komandoje turėtų būti 3 žmonės, antroje - 5, o trečioje - 12. Kiek būdų tai galima padaryti.

Kombinatorikos 5 uždavinio sprendimas (pdf, 37 Kb)

6 užduotis. Dalyvauti komandoje treneris pasirenka 5 vaikinus iš 10. Kokiais būdais jis gali sudaryti komandą, jei į komandą turi būti įtraukti 2 tam tikri berniukai?

Kombinatorikos uždavinys su 6 sprendimu (pdf, 33 Kb)

7 užduotis.Šachmatų turnyre dalyvavo 15 šachmatininkų, o kiekvienas su kitais žaidė tik po vieną partiją. Kiek rungtynių buvo sužaista šiame turnyre?

Kombinatorikos uždavinys su 7 sprendimu (pdf, 37 Kb)

8 užduotis. Kiek skirtingų trupmenų galima sudaryti iš skaičių 3, 5, 7, 11, 13, 17, kad kiekvienoje trupmenoje būtų 2 įvairūs skaičiai? Kiek iš jų bus tinkamų trupmenų?

Kombinatorikos uždavinys su 8 sprendimu (pdf, 32 Kb)

9 užduotis. Kiek žodžių galima gauti perdėliojus raides žodyje Horas ir institutas?

Kombinatorikos uždavinys su 9 sprendimu (pdf, 32 Kb)

10 užduotis. Kurie skaičiai nuo 1 iki 1 000 000 yra didesni: tie, kuriuose vienetas atsiranda, ar tie, kuriuose jo nėra?

Kombinatorikos uždavinys su 10 sprendimu (pdf, 39 Kb)

Paruošti pavyzdžiai

Reikia išspręsti kombinatorikos problemas? Raskite vadove:

Kiti problemų sprendimai tikimybių teorijoje

Kurio sprendimas iš pirmo žvilgsnio prieštarauja sveikam protui.

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 5

Problema suformuluota kaip žaidimo, paremto amerikiečių televizijos žaidimu „Leisk sudaryti sandorį“, aprašymas ir pavadinta šios programos vedėjo vardu. Dažniausia šios problemos formuluotė, publikuota 1990 m. žurnale Parado žurnalas, skamba taip:

Įsivaizduokite, kad tapote žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš jų, dalyviu trejos durys. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos. Pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po to šeimininkas, žinantis, kur yra mašina ir kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numerio 3, už kurių yra ožka. Po to jis jūsų klausia – ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2? Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite šeimininko pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą?

Po publikacijos iš karto paaiškėjo, kad problema suformuluota neteisingai: surašytos ne visos sąlygos. Pavyzdžiui, vedėjas gali laikytis „pragariškos Monty“ strategijos: pasiūlyti pakeisti pasirinkimą tada ir tik tada, kai žaidėjas pirmuoju ėjimu pasirinko automobilį. Akivaizdu, kad pakeitus pradinį pasirinkimą tokioje situacijoje bus garantuotas nuostolis (žr. toliau).

Populiariausia yra problema su papildoma sąlyga – žaidimo dalyvis iš anksto žino šias taisykles:

automobilis taip pat gali būti pastatytas už bet kurių iš trijų durų;
bet kuriuo atveju šeimininkas privalo atidaryti duris su ožiu (bet ne ta, kurią žaidėjas pasirinko) ir pasiūlyti žaidėjui pakeisti pasirinkimą;
jei vadovas gali pasirinkti, kurias iš dviejų durų atidaryti, jis pasirenka bet kurią iš jų su tokia pačia tikimybe.

Šiame tekste šioje formuluotėje aptariama Monty Hall problema.

Analizuojama

Laimėjimo strategijai svarbu: jei po lyderio veiksmų pakeisite durų pasirinkimą, tai laimite, jei iš pradžių pasirinkote pralaimėjusias duris. Tikėtina, kad taip nutiks 2 ⁄ 3 , nes iš pradžių prarandančias duris galite pasirinkti 2 būdais iš 3.

Tačiau dažnai spręsdami šią problemą jie ginčijasi maždaug taip: šeimininkas galiausiai visada pašalina vienas prarandamas duris, o tada tikimybė, kad automobilis atsiras už dviejų neatidarytų, tampa lygus ½, nepriklausomai nuo pradinio pasirinkimo. Bet tai netiesa: nors iš tiesų yra dvi pasirinkimo galimybės, šios galimybės (atsižvelgiant į foną) nėra vienodai tikėtinos! Tai tiesa, nes iš pradžių visos durys turėjo vienodas galimybes laimėti, bet vėliau turėjo skirtingą tikimybę būti pašalintos.

Daugeliui žmonių ši išvada prieštarauja intuityviam situacijos suvokimui, todėl dėl atsiradusio neatitikimo tarp loginės išvados ir atsakymo, į kurį linksta intuityvi nuomonė, užduotis vadinama. Monty Hall paradoksas.

Situacija su durimis tampa dar akivaizdesnė, jei įsivaizduosime, kad yra ne 3 durys, o, tarkime, 1000, o pasirinkus žaidėją vedėjas pašalina 998 papildomas, palikdamas 2 duris: tas, kurias žaidėjas pasirinko ir dar vieną. Atrodo akivaizdžiau, kad tikimybė rasti prizą už šių durų yra skirtinga ir nėra lygi ½. Jei keičiame duris, tai pralaimime tik tada, kai pirmiau pasirinkome prizines duris, kurių tikimybė yra 1:1000. Mes laimime, jei mūsų pradinis pasirinkimas buvo Ne teisinga, o to tikimybė yra 999 iš 1000. 3 durų atveju logika išsaugoma, bet tikimybė laimėti keičiant sprendimą atitinkamai mažesnė, t. 2 ⁄ 3 .

Kitas samprotavimo būdas – sąlygą pakeisti lygiaverte. Įsivaizduokime, kad vietoj to, kad žaidėjas iš pradžių pasirinktų (tegul tai visada bus durys Nr. 1), o paskui atidarytų duris su ožiu tarp likusių (tai yra visada tarp #2 ir #3), įsivaizduokime, kad žaidėjas reikia atspėti duris pirmu bandymu, tačiau jam iš anksto pranešama, kad už durų Nr.1 su pradine tikimybe (33%) gali būti automobilis, o tarp likusių durų nurodoma, kurioms iš durelių automobilio tikrai neatsilieka (0%). Atitinkamai, paskutinės durys visada sudarys 67%, todėl pageidautina jų pasirinkimo strategija.

Kitas lyderio elgesys

Klasikinė versija Monty Hall paradoksas teigia, kad šeimininkas tikrai pasiūlys žaidėjui pasikeisti duris, nesvarbu, ar jis pasirinko automobilį, ar ne. Tačiau galimas ir sudėtingesnis šeimininko elgesys. Šioje lentelėje trumpai aprašomi keli elgesio būdai.

Galimas lyderio elgesys
Šeimininko elgesys	Rezultatas
„Infernal Monty“: šeimininkas siūlo pasikeisti, jei durys yra tinkamos.	Pokyčiai visada duos ožką.
„Angeliškasis Montis“: šeimininkas pasiūlo persirengti, jei durys netinkamos.	Pokyčiai visada duos automobilį.
„Nežinantis Monty“ arba „Monty Buch“: šeimininkas netyčia krenta, atsidaro durys, o iš paskos paaiškėja, kad automobilio nėra. Kitaip tariant, pats šeimininkas nežino, kas yra už durų, duris atidaro visiškai atsitiktinai, ir tik atsitiktinai už jo nebuvo automobilio.	Pakeitimas suteikia laimėjimą ½ atvejų. Taip surengtas amerikietiškas šou „Deal or No Deal“ – tačiau žaidėjas pats atidaro atsitiktines duris, o jei už jo nėra automobilio, vedėjas siūlo jas pakeisti.
Šeimininkas pasirenka vieną iš ožkų ir atidaro, jei žaidėjas pasirinko kitas duris.	Pakeitimas suteikia laimėjimą ½ atvejų.
Šeimininkas visada atidaro ožką. Jei pasirenkamas automobilis, kairioji ožka atidaroma su tikimybe p ir teisingai su tikimybe q=1−p.	Jei lyderis atidarė kairiąsias duris, pamaina duoda laimėjimą su tikimybe 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Jei teisus 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Tačiau subjektas negali daryti įtakos tikimybei, kad bus atidarytos tinkamos durys – nepaisant jo pasirinkimo, tai įvyks su tikimybe 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
Tas pats, p=q= ½ (klasikinis atvejis).	Pakeitimas suteikia laimėjimą su tikimybe 2 ⁄ 3 .
Tas pats, p=1, q=0 („bejėgis Monty“ – pavargęs vedėjas atsistoja prie kairiųjų durų ir atidaro arčiau esančią ožką).	Jei vedėjas atidarė tinkamas duris, pakeitimas suteikia garantuotą laimėjimą. Jei paliekama - tikimybė ½.
Šeimininkas visada atidaro ožką, jei pasirenkamas automobilis, o su ½ tikimybe kitaip.	Pakeitimas suteikia laimėjimą su ½ tikimybe.
Bendras atvejis: žaidimas kartojamas daug kartų, tikimybė paslėpti automobilį už vienų ar kitų durų, taip pat atidaryti tas ar kitas duris yra savavališka, tačiau šeimininkas žino, kur yra automobilis ir visada pasiūlo pakeisti atidarydamas vieną iš ožkos.	Nash pusiausvyra: būtent Monty Hall paradoksas klasikine forma yra naudingiausias šeimininkui (tikimybė laimėti 2 ⁄ 3 ). Automobilis slepiasi už bet kurių durų su ⅓ tikimybe; jei yra pasirinkimas, atsitiktine tvarka atidarykite bet kurią ožką.
Tas pats, bet šeimininkas gali išvis neatidaryti durų.	Nešo pusiausvyra: šeimininkui naudinga neatidaryti durų, tikimybė laimėti yra ⅓.

taip pat žr

Pastabos

Tierney, John (1991 m. liepos 21 d.), „Už Montio salės durų: galvosūkis, diskusijos ir atsakymas? ", „New York Times“., . Gauta 2008 m. sausio 18 d.

Formuluotė

Populiariausia problema su papildoma sąlyga Nr.6 iš lentelės – žaidimo dalyvis iš anksto žino šias taisykles:

automobilis yra vienodai tikėtinas už bet kurių iš 3 durų;
šeimininkas bet kuriuo atveju privalo atidaryti duris su ožiu ir pasiūlyti žaidėjui pakeisti pasirinkimą, bet ne žaidėjo pasirinktas duris;
jei vadovas turi pasirinkimą, kurias iš 2 durų atidaryti, jis pasirenka bet kurias iš jų su tokia pačia tikimybe.

Šiame tekste šioje formuluotėje aptariama Monty Hall problema.

Analizuojama

Sprendžiant šią problemą dažniausiai ginčijamasi maždaug taip: šeimininkas galiausiai visada pašalina vienas pamestas duris, o tada tikimybė, kad automobilis atsiras už dviejų neatidarytų durų, tampa 1/2, nepriklausomai nuo pradinio pasirinkimo.

Esmė ta, kad savo pirminiu pasirinkimu dalyvis padalija duris: išrinktasis A ir dar du - B Ir C. Tikimybė, kad automobilis yra už pasirinktų durų = 1/3, kad už kitų = 2/3.

Kiekvienos iš likusių durų dabartinė padėtis aprašoma taip:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

Kur 1/2 yra sąlyginė tikimybė, kad automobilis yra už duotų durų, su sąlyga, kad automobilis nėra už žaidėjo pasirinktų durų.

Šeimininkas, atidaręs vienas iš likusių durų, kurios visada pralaimi, tokiu būdu praneša žaidėjui tiksliai 1 bitą informacijos ir atitinkamai pakeičia sąlygines B ir C tikimybes į „1“ ir „0“.

Dėl to išraiškos yra tokios formos:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

Taigi dalyvis turėtų pakeisti savo pradinį pasirinkimą – tokiu atveju jo laimėjimo tikimybė bus lygi 2/3.

Vienas iš paprasčiausių paaiškinimų yra toks: jei pakeisite duris po to, kai šeimininkas pasielgė, tada jūs laimėsite, jei iš pradžių pasirinkote pralaimėjusias duris (tada šeimininkas atidarys antras pralaimėjusias duris ir turėsite pakeisti savo pasirinkimą, kad laimėtumėte). . O pralaimėjusias duris iš pradžių galima rinktis 2 būdais (tikimybė 2/3), t.y. jei pakeisite duris, laimite 2/3 tikimybe.

Ši išvada prieštarauja daugumos žmonių intuityviam situacijos suvokimui, todėl aprašyta užduotis vadinama Monty Hall paradoksas, t.y. paradoksas kasdienine prasme.

O intuityvus suvokimas toks: atidaręs duris su ožiu, šeimininkas pastato prieš žaidėją nauja užduotis, kuris neturi nieko bendra su ankstesniu pasirinkimu – juk ožka atidarytos durys pasirodys nepriklausomai nuo to, ar žaidėjas anksčiau pasirinko ožką ar automobilį. Atidarius trečiąsias duris, žaidėjas turi pasirinkti dar kartą – ir pasirinkti arba tas pačias duris, kurias pasirinko anksčiau, arba kitas. Tai yra, kol jis nekeičia savo ankstesnio pasirinkimo, o daro naują. Matematinis sprendimas mano, kad dvi iš eilės einančios lyderio užduotys yra susijusios viena su kita.

Tačiau reikėtų atsižvelgti į veiksnį nuo sąlygos, kad šeimininkas atidarys duris su ožiu iš likusių dviejų, o ne žaidėjo pasirinktas duris. Todėl likusios durys turi didesnę galimybę automobiliui, nes jos nebuvo pasirinktos šeimininku. Jei vertinsime atvejį, kai lyderis, žinodamas, kad už žaidėjo pasirinktų durų yra ožka, vis dėlto atidaro šias duris, tai darydamas sąmoningai sumažina žaidėjo galimybes pasirinkti tinkamas duris, nes. tikimybė teisingas pasirinkimas bus 1/2. Tačiau tokio žaidimo taisyklės bus skirtingos.

Pateikime dar vieną paaiškinimą. Tarkime, kad žaidžiate pagal aukščiau aprašytą sistemą, t.y. iš dviejų likusių durų visada pasirenkate kitas duris, kurios skiriasi nuo pradinio pasirinkimo. Kuriuo atveju tu pralaimėsi? Praradimas ateis tada ir tik tada, kai nuo pat pradžių pasirinksite duris, už kurių stovi automobilis, nes vėliau neišvengiamai apsigalvosite durų su ožiu naudai, visais kitais atvejais laimėti, t.y., jei nuo pat pradžių Neteisingas durų pasirinkimas. Bet tikimybė iš pat pradžių pasirinkti duris su ožiuku yra 2/3, todėl išeina, kad norint laimėti reikia klaidos, kurios tikimybė yra dvigubai didesnė už teisingą pasirinkimą.

Pamini

Filme „Dvidešimt vienas“ mokytoja Miki Rosa siūlo pagrindiniam herojui Benui išspręsti problemą: už trijų durų stovi du motoroleriai ir vienas automobilis, dureles reikia atspėti su automobiliu. Po pirmojo pasirinkimo Miki siūlo pakeisti pasirinkimą. Benas sutinka ir matematiškai pagrindžia savo sprendimą. Taigi jis nevalingai išlaiko testą Mikio komandai.
Sergejaus Lukjanenkos romane „Kluttyopa“ pagrindiniai veikėjai šios technikos pagalba laimi vežimą ir galimybę tęsti kelionę.
Televizijos seriale „4isla“ (1 sezono „Žmogaus medžioklė“ 13 serija) vienas pagrindinių veikėjų Charlie Eppsas populiarioje matematikos paskaitoje paaiškina Monty Hall paradoksą, aiškiai iliustruodamas jį naudojant žymeklius. atvirkštinės pusės kurios yra dažytos ožkos ir automobilis. Čarlis automobilį suranda pakeisdamas pasirinkimą. Tačiau reikia pažymėti, kad jis vykdo tik vieną eksperimentą, o valiutos keitimo strategijos nauda yra statistinė, o norint teisingai iliustruoti, reikia atlikti keletą eksperimentų.
Monty Holo paradoksas aptariamas Marko Haddono istorijos „Keistas įvykis apie šunį naktį“ herojaus dienoraštyje.
„MythBusters“ išbandytas „Monty Hall“ paradoksas

taip pat žr

Bertrano paradoksas

Nuorodos

Interaktyvus prototipas: tiems, kurie nori kvailioti (karta atsiranda po pirmojo pasirinkimo)
Interaktyvus prototipas: tikras žaidimo prototipas (kortelės generuojamos prieš atranką, prototipo darbas skaidrus)
Paaiškinamas vaizdo įrašas Smart Videos.ru

Weissteinas, Ericas W.„Monty Hall Paradox“ (anglų k.) Wolfram MathWorld svetainėje.
„Monty Hall“ paradoksas televizijos laidos „Sudaryk sandorį“ svetainėje
Ištrauka iš S. Lukjanenkos knygos, kurioje naudojamas Monty Hall paradoksas
Kitas Bajeso sprendimas Kitas Bajeso sprendimas Novosibirsko valstybinio universiteto forume

Literatūra

Gmurmanas V.E. Tikimybių teorija ir matematinė statistika, - M .: Aukštasis išsilavinimas. 2005
Gnedin, Sasha "Mondee Gills žaidimas". žurnalas Matematinis intelektas, 2011 m. http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
Parado žurnalas vasario 17 d.
vos Savant, Marilyn. Klauskite Marilyn rubrikos, žurnalo Parado žurnalas vasario 26 d.
Bapeswara Rao, V. V. ir Rao, M. Bhaskara. „Trijų durų žaidimų šou ir kai kurie jo variantai“. Žurnalas Matematikos mokslininkas, 1992, № 2.
Tijms, Henkas. Tikimybių, atsitiktinumo taisyklių supratimas kasdieniame gyvenime. Cambridge University Press, Niujorkas, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Pastabos

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „Monty Hall paradoksas“ kituose žodynuose:

Ieškodamas automobilio, žaidėjas pasirenka 1 duris. Tada šeimininkas atidaro 3 duris, už kurių yra ožka, ir pakviečia žaidėją pakeisti savo pasirinkimą į 2 duris. Ar jis turėtų tai padaryti? Monty Hall paradoksas yra viena iš gerai žinomų teorijos problemų ... ... Wikipedia

- (Kaklaraiščio paradoksas) yra gerai žinomas paradoksas, panašus į dviejų vokų problemą, kuris taip pat parodo subjektyvaus tikimybių teorijos suvokimo ypatybes. Paradokso esmė: du vyrai vienas kitam dovanoja kalėdinius jų nupirktus kaklaraiščius ... ... Vikipedija

Įsivaizduokite, kad tam tikras bankininkas siūlo pasirinkti vieną iš trijų uždarų dėžių. Viename iš jų 50 centų, kitame – vienas doleris, trečiame – 10 tūkstančių dolerių. Kad ir kurį pasirinktumėte, gausite jį kaip prizą.

Jūs pasirenkate atsitiktinai, tarkime langelį Nr. 1. Ir tada bankininkas (kuris, žinoma, žino, kur viskas) tiesiai prieš jūsų akis atidaro dėžutę su vienu doleriu (tarkime, tai Nr. 2), po to pasiūlo pakeisti iš pradžių pasirinktą dėžutę Nr. 1 į langelį Nr. 3.

Ar turėtumėte persigalvoti? Ar tai padidins jūsų galimybes gauti 10 tūkst.

Tai yra Monty Hall paradoksas – tikimybių teorijos problema, kurios sprendimas iš pirmo žvilgsnio prieštarauja sveikam protui. Žmonės dėl šios problemos laužo galvas nuo 1975 m.

Paradoksas buvo pavadintas populiarios amerikiečių televizijos laidos „Sudaryk sandorį“ vedėjo vardu. Šioje televizijos laidoje galiojo panašios taisyklės, tik dalyviai rinkosi duris, iš kurių dvi buvo paslėptos ožkos, o trečios – „Cadillac“.

Dauguma žaidėjų samprotavo, kad po to, kai buvo dvi uždarytos durys ir už vienos iš jų stovėjo Cadillac, tada šansai jį gauti buvo 50-50. Akivaizdu, kad šeimininkui atidarius vienas duris ir pakviečiant persigalvoti, jis prasideda Naujas žaidimas. Nesvarbu, persigalvosite ar ne, jūsų tikimybė vis tiek bus 50 procentų. Labai teisingai?

Pasirodo, kad ne. Tiesą sakant, persigalvoję dvigubai padidinate savo sėkmės galimybes. Kodėl?

Paprasčiausias šio atsakymo paaiškinimas yra toks. Norėdamas laimėti automobilį nepakeitęs pasirinkimo, žaidėjas turi iš karto atspėti duris, už kurių stovi automobilis. To tikimybė yra 1/3. Jei žaidėjas iš pradžių atsitrenks į duris su ožiu už jo (o šio įvykio tikimybė yra 2/3, nes yra dvi ožkos ir tik vienas automobilis), tada jis tikrai gali laimėti automobilį persigalvojęs, nes automobilis ir liko vienas ožys, o šeimininkas jau atidarė duris su ožiu.

Taigi, nekeisdamas pasirinkimo, žaidėjas lieka su savo pradine tikimybe laimėti 1/3, o keičiant pradinį pasirinkimą žaidėjas savo naudai paverčia dvigubai likusią tikimybę, kad pradžioje neatspėjo teisingai.

Be to, intuityvus paaiškinimas gali būti pateiktas sukeitus du įvykius. Pirmasis įvykis yra žaidėjo sprendimas pakeisti duris, antrasis įvykis yra papildomų durų atidarymas. Tai priimtina, nes atidarius papildomas duris žaidėjas nieko neduoda nauja informacija(dokumentą rasite šiame straipsnyje). Tada problemą galima sumažinti iki tokios formuluotės. Pirmuoju momentu žaidėjas padalija duris į dvi grupes: pirmoje grupėje yra vienos durys (tokias, kurias jis pasirinko), antroje – dvi likusios durys. Kitą akimirką žaidėjas pasirenka tarp grupių. Akivaizdu, kad pirmajai grupei tikimybė laimėti yra 1/3, antrajai – 2/3. Žaidėjas pasirenka antrąją grupę. Antroje grupėje jis gali atidaryti abi duris. Vieną atidaro šeimininkas, o antrąją – pats žaidėjas.

Pabandykime pateikti „labiausiai suprantamą“ paaiškinimą. Performuluokite problemą: Sąžiningas šeimininkas praneša žaidėjui, kad už vienų iš trijų durų yra automobilis, ir pasiūlo jam pirmiausia parodyti į vienas iš durų, o tada pasirinkti vieną iš dviejų veiksmų: atidaryti nurodytas duris ( seną formuluotę, tai vadinama „nekeisk savo pasirinkimo“ arba atidarykite kitus du (senąja formuluote tai būtų tik „pakeisk pasirinkimą“. Pagalvokite, tai yra raktas į supratimą!). Akivaizdu, kad žaidėjas pasirinks antrąjį iš dviejų veiksmų, nes tikimybė gauti automobilį šiuo atveju yra dvigubai didesnė. O smulkmena, kad vedėjas dar prieš pasirinkdamas akciją „parodė ožką“ nepadeda ir netrukdo rinktis, nes už vienų iš dviejų durų visada yra ožka ir šeimininkas ją būtinai parodys bet kada žaidimo metu, todėl žaidėjas gali ant šio ožio ir nežiūrėti. Žaidėjo reikalas, jei jis pasirinko antrąjį veiksmą, yra pasakyti „ačiū“ šeimininkui, kad jis išvengė vargo pačiam atidaryti vienas iš dviejų durų, o atidaryti kitas. Na, arba dar lengviau. Įsivaizduokime šią situaciją iš šeimininko, kuris panašią procedūrą atlieka su dešimtimis žaidėjų, požiūriu. Kadangi jis puikiai žino, kas yra už durų, tai vidutiniškai dviem atvejais iš trijų iš anksto mato, kad žaidėjas pasirinko „ne tas“ duris. Todėl jam tikrai nėra paradokso, kad teisinga strategija yra pakeisti pasirinkimą atidarius pirmąsias duris: juk tais pačiais dviem atvejais iš trijų žaidėjas iš studijos išvažiuos nauju automobiliu.

Pagaliau pats „naiviausias“ įrodymas. Tas, kuris laikosi savo pasirinkimo, tebūna vadinamas „Užsispyrusiu“, o tas, kuris vykdo vadovo nurodymus, – „Dėmesingu“. Tada Laimi Užsispyrėlis, jei iš pradžių atspėjo automobilį (1/3), o Dėmesingas – jei pirmas nepataikė ir atsitrenkė į ožką (2/3). Juk tik tokiu atveju jis paskui su mašina parodys į duris.

Monty Hall, laidos prodiuseris ir vedėjas Susitarkime nuo 1963 iki 1991 m.

1990 metais ši problema ir jos sprendimas buvo paskelbti Amerikos žurnale „Parade“. Leidinys sukėlė daugybę pasipiktinusių skaitytojų atsiliepimų, kurių daugelis turėjo mokslinius laipsnius.

Pagrindinis skundas buvo tas, kad nebuvo nurodytos visos problemos sąlygos ir bet koks niuansas gali turėti įtakos rezultatui. Pavyzdžiui, šeimininkas gali pasiūlyti pakeisti sprendimą tik tuo atveju, jei žaidėjas pirmu ėjimu pasirinko automobilį. Akivaizdu, kad pakeitus pradinį pasirinkimą tokioje situacijoje bus garantuotas nuostolis.

Tačiau per visą „Monty Hall“ televizijos laidos egzistavimą apsigalvoję žmonės laimėjo dvigubai dažniau:

Iš 30 persigalvojusių žaidėjų „Cadillac“ laimėjo 18 – t.y. 60 proc.

Iš 30 žaidėjų, kurie liko pasirinkti, „Cadillac“ laimėjo 11 – tai yra maždaug 36 proc.

Taigi sprendime pateiktus motyvus, kad ir kokie nelogiški jie atrodytų, patvirtina praktika.

Padidinti durų skaičių

Kad būtų lengviau suprasti to, kas vyksta, galime apsvarstyti atvejį, kai žaidėjas priešais save mato ne trejas duris, o, pavyzdžiui, šimtą. Tuo pačiu metu už vienų durų stovi automobilis, o už kitų – ožkos 99. Žaidėjas pasirenka vienas iš durų, tuo tarpu 99% atvejų jis rinksis duris su ožka, o tikimybė iš karto pasirinkti duris su automobiliu yra labai maža - jie yra 1%. Po to šeimininkas atidaro 98 duris su ožkomis ir paprašo žaidėjo pasirinkti likusias duris. Tokiu atveju 99% atvejų automobilis bus už šių likusių durų, nes tikimybė, kad žaidėjas iš karto pasirinko tinkamas duris, yra labai maža. Akivaizdu, kad šioje situacijoje racionaliai mąstantis žaidėjas visada turėtų priimti lyderio pasiūlymą.

Svarstant apie padidintą durų skaičių, dažnai kyla klausimas: jei pirminėje problemoje vadovas atidaro vienas duris iš trijų (ty 1/3 viso durys), kodėl turėtume manyti, kad 100 durų atveju šeimininkas atidarys 98 duris su ožkomis, o ne 33? Šis svarstymas dažniausiai yra viena iš reikšmingų priežasčių, kodėl Monty Hall paradoksas prieštarauja intuityviam situacijos suvokimui. Darant prielaidą, kad 98 durų atidarymas bus teisingas, nes esminė sąlyga Užduotis – žaidėjui turėti tik vieną alternatyvų pasirinkimą, kurį siūlo moderatorius. Todėl, kad užduotys būtų panašios, 4 durų atveju vadovas turi atidaryti 2 duris, 5 durų atveju - 3 ir t. kurį žaidėjas iš pradžių pasirinko. Jei vedėjas atidarys mažiau durų, užduotis nebebus panaši į pradinę Monty Hall užduotį.

Pažymėtina, kad esant daugybei durų, net jei šeimininkas palieka uždarytas ne vienas duris, o kelias ir siūlo žaidėjui pasirinkti vieną iš jų, tuomet keičiant pradinį pasirinkimą, žaidėjo šansai laimėti automobilį sumažės. vis dar didėja, nors ir ne taip smarkiai. Pavyzdžiui, apsvarstykite situaciją, kai žaidėjas pasirenka vienas duris iš šimto, o tada vedėjas atidaro tik vienas iš likusių durų, kviesdamas žaidėją pakeisti savo pasirinkimą. Tuo pačiu tikimybė, kad automobilis yra už žaidėjo iš pradžių pasirinktų durų, išlieka ta pati - 1/100, o likusių durų tikimybė pasikeičia: bendra tikimybė, kad automobilis yra už vienų iš likusių durų ( 99/100) dabar platinamas ne ant 99 durų, o 98. Todėl tikimybė rasti automobilį už kiekvienos iš šių durų bus ne 1/100, o 99/9800. Tikimybė padidės maždaug 1%.

Medis galimi sprendimaižaidėjas ir šeimininkas, parodant kiekvieno rezultato tikimybę Formaliau žaidimo scenarijų galima apibūdinti naudojant sprendimų medį. Pirmaisiais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmą kartą pasirinko duris, už kurių yra ožka, pasirinkimo pakeitimas lemia laimėjimą. Paskutiniais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmą kartą pasirinko duris kartu su automobiliu, pasirinkimo pakeitimas lemia pralaimėjimą.

Jei vis tiek nesupranti, spjaut į formules ir tiesiogpatikrink viską statistiškai. Kitas galimas paaiškinimas:

Žaidėjas, kurio strategija būtų kiekvieną kartą keisti pasirinktas duris, tik pralaimėtų, jei iš pradžių pasirinktų duris, už kurių stovi automobilis.
Kadangi galimybė išsirinkti automobilį iš pirmo karto yra vienas iš trijų (arba 33 proc.), žaidėjui pakeitus savo pasirinkimą tikimybė nepasirinkti automobilio taip pat yra vienas iš trijų (arba 33 proc.).
Tai reiškia, kad žaidėjas, kuris pasinaudojo strategija pakeisti duris, laimės su 66% tikimybe arba nuo dviejų iki trijų.
Taip padvigubės šansai laimėti žaidėją, kurio strategija yra ne kiekvieną kartą keisti savo pasirinkimą.

Vis dar netiki? Tarkime, kad pasirinkote duris Nr. 1. Čia yra visi galimi variantai kas gali nutikti šiuo atveju.

1963 m. gruodžio mėn. per Amerikos televizijos kanalą NBC pirmą kartą išleista programa Susitarkime(„Sudaryk sandorį!“), kuriame iš studijos publikos atrinkti dalyviai derėjosi tarpusavyje ir su vedėju. maži žaidimai arba tiesiog atspėkite atsakymą į klausimą. Transliacijos pabaigoje dalyviai galėjo žaisti „dienos sandorį“. Prieš jas buvo trejos durys, apie kurias buvo žinoma, kad už vienų – Didysis prizas (pvz., automobilis), o už kitų – mažiau vertingos arba visiškai absurdiškos dovanos (pavyzdžiui, gyvos ožkos) . Žaidėjui apsisprendus, programos vedėjas Monty Hall atidarė vienas iš dviejų likusių durų, parodydamas, kad po jo nėra Prizo ir leisdamas dalyviui pasidžiaugti, kad turi galimybę laimėti.

1975 m. UCLA mokslininkas Steve'as Selvinas paklausė, kas nutiktų, jei tuo metu, atidarius duris be Prizo, dalyvio būtų paprašyta pakeisti savo pasirinkimą. Ar tokiu atveju pasikeis žaidėjo galimybės gauti Prizą ir jei taip, kokia kryptimi? Atitinkamą klausimą jis pateikė žurnalui Amerikos statistikas(„The American Statistician“), taip pat pačiam Monty Hallui, kuris jam pateikė gana smalsų atsakymą. Nepaisant šio atsakymo (o gal dėl jo), problema išpopuliarėjo pavadinimu „Monty Hall problema“.

Užduotis

„Monty Hall“ šou atsidūrėte kaip dalyvė – ir paskutinę akimirką, atidaręs duris su ožiu, vedėjas pasiūlė pakeisti pasirinkimą. Ar jūsų sprendimas – sutikti ar ne – turės įtakos tikimybei laimėti?

Užuomina

Pabandykite atsižvelgti į žmones, kurie tuo pačiu atveju pasirinko skirtingas duris (tai yra, kai prizas yra, pavyzdžiui, už durų numeris 1). Kam bus naudinga pakeisti savo pasirinkimą, o kam – ne?

Sprendimas

Kaip siūloma patarime, apsvarstykite žmones, kurie pasirinko kitaip. Tarkime, kad prizas yra už durų #1, o už durų #2 ir #3 yra ožkos. Tarkime, kad turime šešis žmones, o kiekvienas duris pasirinko du žmonės, ir iš kiekvienos poros vienos vėliau pakeitė sprendimą, o kitos – ne.

Atkreipkite dėmesį, kad Šeimininkas, pasirinkęs duris Nr. 1, savo skoniui atvers vienas iš dviejų durų, tuo tarpu, nepaisant to, Automobilį gaus tas, kuris nepakeis savo pasirinkimo, o tas, kuris pakeitė pradinį pasirinkimą. liks be Prizo. Dabar pažvelkime į tuos, kurie pasirinko duris #2 ir #3. Kadangi už durų Nr.1 yra Automobilis, Šeimininkas negali jų atidaryti, todėl jam nelieka pasirinkimo – jis joms atidaro atitinkamai duris Nr.3 ir Nr.2. Tuo pačiu metu kiekvienoje poroje sprendimą pakeitęs asmuo išrinks Prizą, o nepakeitęs liks be nieko. Taigi, iš trijų apsigalvojusių, Prizą gaus du, o ožką – vienam, o iš trijų, palikusių nepakeistą pirminį pasirinkimą, Prizą gaus tik vienas.

Pažymėtina, kad jei Automobilis būtų už durų #2 arba #3, rezultatas būtų toks pat, keistųsi tik konkretūs laimėtojai. Taigi, darant prielaidą, kad iš pradžių kiekvienos durys pasirenkamos vienoda tikimybe, gauname, kad tie, kurie keičia savo pasirinkimą, Prizą laimi dvigubai dažniau, tai yra, tikimybė laimėti šiuo atveju yra didesnė.

Pažvelkime į šią problemą matematinės tikimybių teorijos požiūriu. Darysime prielaidą, kad kiekvienos iš durų pirminio pasirinkimo tikimybė yra vienoda, taip pat tikimybė būti už kiekvienų Automobilio durų. Be to, pravartu daryti išlygą, kad Lyderis, kai gali atidaryti dvejas duris, kiekvieną iš jų pasirenka vienoda tikimybe. Tada paaiškėja, kad po pirmojo sprendimo tikimybė, kad Prizas yra už pasirinktų durų, yra 1/3, o tikimybė, kad jis yra už vienų iš kitų dviejų durų, yra 2/3. Tuo pačiu metu, šeimininkui atidarius vienas iš dviejų „nepasirinktų“ durų, visa tikimybė 2/3 tenka tik vienoms iš likusių durų, taip sukuriant pagrindą pakeisti sprendimą, o tai padidins laimėjimo tikimybę. 2 kartus. Kas, žinoma, jokiu būdu to negarantuoja vienu konkrečiu atveju, bet leis pasiekti sėkmingesnių rezultatų pakartotinio eksperimento kartojimo atveju.

Pokalbis

Monty Hall problema nėra pirmoji žinoma šios problemos formuluotė. Visų pirma, 1959 m. Martinas Gardneris paskelbė žurnale Mokslinis amerikietis panaši problema „apie tris kalinius“ (Trijų kalinių problema) su tokia formuluote: „ Iš trijų kalinių vienam turėtų būti suteikta malonė, o dviem – mirties bausmė. Kalinys A įtikina sargybinį pasakyti jam vieno iš kitų dviejų, kuriam bus įvykdyta mirties bausmė (jei abu bus įvykdyti mirties bausmė), vardą, po kurio, gavęs vardą B, mano, kad jo paties išsigelbėjimo tikimybė nepasidarė. 1/3, bet 1/2. Tuo pačiu metu kalinys C tvirtina, kad jo pabėgimo tikimybė tapo 2/3, o A niekas nepasikeitė. Kuris iš jų teisus?»

Tačiau Gardneris nebuvo pirmasis, nes dar 1889 m. savo Tikimybių skaičiavime prancūzų matematikas Josephas Bertranas (nepainioti su anglu Bertrandu Russellu!) siūlo panašią problemą (žr. Bertrand'o langelio paradoksą): „ Yra trys dėžutės, kurių kiekvienoje yra po dvi monetas: pirmoje – dvi auksinės, antroje – dvi sidabrinės, trečioje – dvi skirtingos. Iš atsitiktinai parinktos dėžutės atsitiktinai buvo ištraukta moneta, kuri pasirodė auksinė. Kokia tikimybė, kad dėžutėje likusi moneta yra auksinė?»

Jei supranti visų trijų problemų sprendimus, nesunku pastebėti jų idėjų panašumą; matematiškai juos visus vienija sąlyginės tikimybės sąvoka, tai yra įvykio A tikimybė, jei žinoma, kad įvykis B įvyko. Paprasčiausias pavyzdys: tikimybė, kad įprastas kauliukas metė vieną, yra 1/6; tačiau jei žinoma, kad susuktas skaičius yra nelyginis, tada tikimybė, kad jis yra vienas, jau yra 1/3. Monty Hall problema, kaip ir kitos dvi minėtos problemos, rodo, kad su sąlyginėmis tikimybėmis reikia elgtis atsargiai.

Šios problemos dar dažnai vadinamos paradoksais: Monty Hallo paradoksu, Bertrano dėžės paradoksu (pastarojo nereikėtų painioti su tikruoju toje pačioje knygoje pateiktu Bertrando paradoksu, kuris įrodė tuo metu egzistavusios tikimybės sampratos dviprasmiškumą) – kuri. reiškia tam tikrą prieštaravimą (pavyzdžiui, „Melagio paradokso“ frazė „šis teiginys yra klaidingas“ prieštarauja pašalinto vidurio dėsniui). Tačiau šiuo atveju griežtiems teiginiams neprieštaraujama. Tačiau yra aiškus prieštaravimas vieša nuomonė“ arba tiesiog „akivaizdus problemos sprendimas“. Iš tiesų, dauguma žmonių, žiūrėdami į problemą, mano, kad atidarius vieną iš durų, tikimybė rasti Prizą už bet kurių iš dviejų likusių uždarų yra 1/2. Taip elgdamiesi jie tvirtina, kad nėra jokio skirtumo, ar jie sutinka, ar nesutinka, kad pakeistų savo nuomonę. Be to, daugeliui žmonių sunku suprasti kitokį nei šis atsakymą, net ir jiems pasakius išsamų sprendimą.

Populiarus kategorijoje: