വീട് › മുടിവെട്ടുന്ന സ്ഥലം › ദൈവമില്ലെന്ന് ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ തെളിയിച്ചു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ പെരെൽമാൻ യാക്കോവ്: ശാസ്ത്രത്തിനുള്ള സംഭാവന

ദൈവമില്ലെന്ന് ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ തെളിയിച്ചു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ പെരെൽമാൻ യാക്കോവ്: ശാസ്ത്രത്തിനുള്ള സംഭാവന

« മില്ലേനിയം ചലഞ്ച്", ഒരു റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതിഭ പരിഹരിച്ച, പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. കടങ്കഥയുടെ സാരാംശം മനസിലാക്കാൻ എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കും നൽകിയിട്ടില്ല ...

മൈൻഡ് ഗെയിം

അടുത്ത കാലം വരെ, ഗണിതശാസ്ത്രം അതിന്റെ "പുരോഹിതർക്ക്" മഹത്വമോ സമ്പത്തോ വാഗ്ദാനം ചെയ്തിരുന്നില്ല. അവർ പോലും നോബൽ സമ്മാനംകൊടുത്തില്ല. അങ്ങനെയൊരു നോമിനേഷൻ ഇല്ല. തീർച്ചയായും, വളരെ പ്രശസ്തമായ ഒരു ഇതിഹാസമനുസരിച്ച്, നോബലിന്റെ ഭാര്യ ഒരിക്കൽ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനുമായി അവനെ വഞ്ചിച്ചു. പ്രതികാരമായി, ധനികൻ അവരുടെ എല്ലാ ചിക്കൻ സഹോദരന്മാരുടെയും ബഹുമാനവും സമ്മാനത്തുകയും നഷ്ടപ്പെടുത്തി.

2000-ൽ സ്ഥിതി മാറി. സ്വകാര്യ ക്ലേ മാത്തമാറ്റിക്സ് ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഏഴ് പേരെ തിരഞ്ഞെടുത്തു ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലികൾഓരോ തീരുമാനത്തിനും ഒരു മില്യൺ ഡോളർ നൽകാമെന്ന് വാഗ്ദാനം ചെയ്തു.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെ ബഹുമാനത്തോടെയാണ് കണ്ടിരുന്നത്. 2001 ൽ, സ്‌ക്രീനുകൾ "എ ബ്യൂട്ടിഫുൾ മൈൻഡ്" എന്ന ചിത്രം പോലും പുറത്തിറക്കി, അതിൽ പ്രധാന കഥാപാത്രം ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്നു.

ഇപ്പോൾ നാഗരികതയിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയുള്ള ആളുകൾക്ക് മാത്രമേ അറിയില്ല: വാഗ്ദാനം ചെയ്ത ദശലക്ഷക്കണക്കിന് - ആദ്യത്തേത് - ഇതിനകം അവാർഡ് ലഭിച്ചിട്ടുണ്ട്. സെന്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗിൽ താമസിക്കുന്ന റഷ്യൻ പൗരനാണ് സമ്മാനം ലഭിച്ചത് ഗ്രിഗറി പെരെൽമാൻ. 100 വർഷത്തിലേറെയായി ആരെയും ധിക്കരിക്കുന്ന ഒരു പസിൽ ആയ Poincaré അനുമാനം അദ്ദേഹം തെളിയിച്ചു, അത് തന്റെ പരിശ്രമത്തിലൂടെ ഒരു സിദ്ധാന്തമായി മാറി.

ഞങ്ങളുടെ സുന്ദരനായ 44 വയസ്സുള്ള താടിക്കാരൻ ലോകമെമ്പാടും മൂക്ക് തുടച്ചു. ഇപ്പോൾ അതിനെ - ലോകത്തെ - സസ്പെൻസിൽ സൂക്ഷിക്കുന്നത് തുടരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ സത്യസന്ധമായി ഒരു ദശലക്ഷം ഡോളർ അർഹിക്കുമോ അതോ നിരസിക്കുമോ എന്ന് അറിയില്ല. പല രാജ്യങ്ങളിലെയും പുരോഗമനപരമായ പൊതുസമൂഹം സ്വാഭാവികമായും പ്രക്ഷുബ്ധരാണ്. എല്ലാ ഭൂഖണ്ഡങ്ങളിലെയും പത്രങ്ങളെങ്കിലും സാമ്പത്തികവും ഗണിതവുമായ ഗൂഢാലോചനകൾ രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.

ഈ കൗതുകകരമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ - ഭാഗ്യം പറയലും മറ്റുള്ളവരുടെ പണം പങ്കിടലും - പെരെൽമാന്റെ നേട്ടത്തിന്റെ അർത്ഥം എങ്ങനെയോ നഷ്ടപ്പെട്ടു. ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിന്റെ പ്രസിഡന്റ് ജിം കാൾസൺ തീർച്ചയായും ഒരു സമയത്ത് പ്രസ്താവിച്ചു, അവർ പറയുന്നു, ലക്ഷ്യം സമ്മാന പൂൾ- ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അന്തസ്സ് ഉയർത്താനും യുവാക്കൾക്ക് അതിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടാക്കാനുമുള്ള ശ്രമമെന്ന നിലയിൽ ഉത്തരങ്ങൾക്കായുള്ള തിരയലല്ല. എന്നിട്ടും, എന്താണ് കാര്യം?

ചെറുപ്പത്തിൽ ഗ്രിഷ - അപ്പോഴും അവൻ ഒരു പ്രതിഭയായിരുന്നു.

POINCARE സിദ്ധാന്തം - അത് എന്താണ്?

റഷ്യൻ പ്രതിഭ പരിഹരിച്ച കടങ്കഥ ടോപ്പോളജി എന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗത്തിന്റെ അടിത്തറയെ ബാധിക്കുന്നു. ഇത് - ടോപ്പോളജി - പലപ്പോഴും "റബ്ബർ ഷീറ്റിലെ ജ്യാമിതി" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. ഇത് പ്രോപ്പർട്ടികൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ, ഫോം നീട്ടി, വളച്ചൊടിച്ച്, വളഞ്ഞാൽ സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നവ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ബ്രേക്കുകൾ, മുറിവുകൾ, പശകൾ എന്നിവ കൂടാതെ ഇത് വികലമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന് ടോപ്പോളജി പ്രധാനമാണ്, കാരണം ഇത് ബഹിരാകാശത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. അല്ലെങ്കിൽ ഈ സ്ഥലത്തിന്റെ ആകൃതി പുറത്ത് നിന്ന് നോക്കാൻ കഴിയാതെ അതിനെ വിലയിരുത്തുക. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മുടെ പ്രപഞ്ചം.

Poincare അനുമാനം വിശദീകരിക്കുമ്പോൾ, അവർ ഇതുപോലെ ആരംഭിക്കുന്നു: ഒരു ദ്വിമാന ഗോളം സങ്കൽപ്പിക്കുക - ഒരു റബ്ബർ ഡിസ്ക് എടുത്ത് പന്തിന് മുകളിലൂടെ വലിക്കുക. അങ്ങനെ ഡിസ്കിന്റെ ചുറ്റളവ് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ശേഖരിക്കപ്പെടുന്നു. അതുപോലെ, ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചരട് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സ്പോർട്സ് ബാക്ക്പാക്ക് പിൻവലിക്കാം. ഫലം ഒരു ഗോളമാണ്: ഞങ്ങൾക്ക് - ത്രിമാനമാണ്, പക്ഷേ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് - ദ്വിമാനം മാത്രം.

അതേ ഡിസ്ക് ഒരു ബാഗലിൽ വലിക്കാൻ അവർ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു. ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നതായി തോന്നുന്നു. എന്നാൽ ഡിസ്കിന്റെ അറ്റങ്ങൾ ഒരു സർക്കിളിലേക്ക് ഒത്തുചേരും, അത് ഇനി ഒരു പോയിന്റിലേക്ക് വലിച്ചിടാൻ കഴിയില്ല - ഇത് ഡോനട്ടിനെ മുറിക്കും.

അവൻ തന്റെതിൽ എഴുതിയതുപോലെ ജനപ്രിയ പുസ്തകംമറ്റൊന്ന് റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, വ്‌ളാഡിമിർ ഉസ്പെൻസ്കി, "ദ്വിമാന ഗോളങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ത്രിമാന ഗോളങ്ങൾ നമ്മുടെ നേരിട്ടുള്ള നിരീക്ഷണത്തിന് അപ്രാപ്യമാണ്, മാത്രമല്ല അവയെ സങ്കൽപ്പിക്കാൻ പോലും നമുക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, അതുപോലെ തന്നെ അറിയപ്പെടുന്ന സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിൽ നിന്നുള്ള വാസിലി ഇവാനോവിച്ചിന്."

അതിനാൽ, Poincaré അനുമാനം അനുസരിച്ച്, ഒരു ത്രിമാന ഗോളം മാത്രമാണ് ത്രിമാന വസ്തു, അതിന്റെ ഉപരിതലത്തെ ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള സാങ്കൽപ്പിക "ഹൈപ്പർകോർഡ്" ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് വലിച്ചിടാൻ കഴിയും.

ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ: - ചിന്തിക്കൂ, ന്യൂട്ടന്റെ ദ്വിപദം ...

ജൂൾസ് ഹെൻറി പോയിൻകെയർ 1904-ൽ ഇത് നിർദ്ദേശിച്ചു. ഫ്രഞ്ച് ടോപ്പോളജിസ്റ്റ് ശരിയാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കുന്ന എല്ലാവരേയും ഇപ്പോൾ പെരെൽമാൻ ബോധ്യപ്പെടുത്തി. അദ്ദേഹത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തെ ഒരു സിദ്ധാന്തമാക്കി മാറ്റി.

നമ്മുടെ പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ആകൃതി എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ തെളിവ് സഹായിക്കുന്നു. ഇത് ഒരേ ത്രിമാന ഗോളമാണെന്ന് യുക്തിസഹമായി അനുമാനിക്കാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

എന്നാൽ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ചുരുങ്ങാൻ കഴിയുന്ന ഒരേയൊരു "രൂപം" പ്രപഞ്ചമാണെങ്കിൽ, ഒരുപക്ഷേ, അത് ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് നീട്ടാനും കഴിയും. ബിഗ് ബാംഗ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പരോക്ഷ സ്ഥിരീകരണമായി ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നു, പ്രപഞ്ചം ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിച്ചതാണെന്ന് അവകാശപ്പെടുന്നു.

പെരെൽമാൻ, പോയിൻകെയറുമായി ചേർന്ന്, സൃഷ്ടിവാദികൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവരെ - പിന്തുണക്കാരെ അസ്വസ്ഥരാക്കി. ദൈവിക തുടക്കംപ്രപഞ്ചം. ഭൗതികവാദ ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ മില്ലിൽ അവർ വെള്ളം ഒഴിച്ചു.

Poincaré അനുമാനം തെളിയിച്ച് ലോകമെമ്പാടും പ്രശസ്തനായ സെന്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗിൽ നിന്നുള്ള സമർത്ഥനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ, ഇതിനായി നൽകിയ ദശലക്ഷം ഡോളർ സമ്മാനം നിരസിച്ചതിനെ ഒടുവിൽ വിശദീകരിച്ചു. സംസ്ഥാനങ്ങൾ പോലെ " TVNZ", "പ്രസിഡന്റ്-ഫിലിം" എന്ന ഫിലിം കമ്പനിയുടെ ഒരു പത്രപ്രവർത്തകനും നിർമ്മാതാവുമായ ഒരു സംഭാഷണത്തിൽ ഏകാന്ത ശാസ്ത്രജ്ഞൻ സ്വയം വെളിപ്പെടുത്തി, അത് പെരെൽമാന്റെ സമ്മതത്തോടെ അവനെക്കുറിച്ച് "ഫോർമുല ഓഫ് ദി യൂണിവേഴ്സ്" എന്ന ഫീച്ചർ ഫിലിം ചിത്രീകരിക്കും.

മഹാനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനുമായി സംസാരിക്കാൻ അലക്സാണ്ടർ സാബ്രോവ്സ്കി ഭാഗ്യവാനായിരുന്നു - കുറച്ച് വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് അദ്ദേഹം മോസ്കോയിൽ നിന്ന് ഇസ്രായേലിലേക്ക് പോയി, ഗ്രിഗറി യാക്കോവ്ലെവിച്ചിന്റെ അമ്മയെ സെന്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗിലെ ജൂത സമൂഹം വഴി ബന്ധപ്പെടാൻ ആദ്യം ഊഹിച്ചു, അവളെ സഹായിച്ചു. അവൾ മകനോട് സംസാരിച്ചു, അവളുടെ നല്ല സ്വഭാവത്തിന് ശേഷം, അവൻ ഒരു മീറ്റിംഗിന് സമ്മതിച്ചു. ഇതിനെ യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു നേട്ടം എന്ന് വിളിക്കാം - പത്രപ്രവർത്തകർക്ക് ശാസ്ത്രജ്ഞനെ "പിടിക്കാൻ" കഴിഞ്ഞില്ല, അവർ അവന്റെ പ്രവേശന കവാടത്തിൽ ദിവസങ്ങളോളം ഇരുന്നു.

സാബ്രോവ്സ്കി പത്രത്തോട് പറഞ്ഞതുപോലെ, പെരെൽമാൻ "തികച്ചും വിവേകമുള്ള, ആരോഗ്യമുള്ള, മതിയായ, സാധാരണ വ്യക്തി" എന്ന ധാരണ നൽകി: "യാഥാർത്ഥ്യബോധമുള്ള, പ്രായോഗികവും വിവേകപൂർണ്ണവും, എന്നാൽ വികാരവും ആവേശവും ഇല്ലാത്തവയല്ല ... പത്രങ്ങളിൽ അദ്ദേഹത്തിന് ആരോപിക്കപ്പെട്ടതെല്ലാം. , അവൻ "അവന്റെ മനസ്സില്ല" പോലെ, - പൂർണ്ണമായ അസംബന്ധം! അവൻ എന്താണ് ആഗ്രഹിക്കുന്നതെന്ന് കൃത്യമായി അറിയാം, ലക്ഷ്യം എങ്ങനെ നേടാമെന്ന് അവനറിയാം.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ബന്ധപ്പെടുകയും സഹായിക്കാൻ സമ്മതിക്കുകയും ചെയ്ത സിനിമ, തന്നെക്കുറിച്ചല്ല, മറിച്ച് മൂന്ന് പ്രധാന ലോക ഗണിതശാസ്ത്ര സ്കൂളുകളുടെ സഹകരണത്തെയും ഏറ്റുമുട്ടലിനെയും കുറിച്ചാണ്: റഷ്യൻ, ചൈനീസ്, അമേരിക്കൻ, പഠന പാതയിൽ ഏറ്റവും പുരോഗമിച്ചവ. കൂടാതെ പ്രപഞ്ചത്തെ നിയന്ത്രിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

എന്തുകൊണ്ടാണ് പെരെൽമാൻ ഒരു മില്യൺ നിരസിച്ചതെന്ന് ചോദിച്ചപ്പോൾ അദ്ദേഹം മറുപടി പറഞ്ഞു:

"പ്രപഞ്ചത്തെ എങ്ങനെ കൈകാര്യം ചെയ്യണമെന്ന് എനിക്കറിയാം, എന്നോട് പറയൂ - ഞാൻ എന്തിന് ഒരു ദശലക്ഷത്തിന് ശേഷം ഓടണം?"

റഷ്യൻ പത്രങ്ങളിൽ വിളിക്കപ്പെടുന്നതുപോലെ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ അസ്വസ്ഥനാണ്

പത്രപ്രവർത്തകരുമായി താൻ ആശയവിനിമയം നടത്തുന്നില്ലെന്ന് പെരെൽമാൻ വിശദീകരിച്ചു, കാരണം അവർക്ക് ശാസ്ത്രവുമായി ബന്ധമില്ല, മറിച്ച് വ്യക്തിപരവും ഗാർഹികവുമായ പ്രശ്നങ്ങളാണ് - ഒരു ദശലക്ഷം നിരസിക്കാനുള്ള കാരണങ്ങൾ മുതൽ മുടിയും നഖവും മുറിക്കുന്ന ചോദ്യം വരെ.

പ്രത്യേകിച്ചും, തന്നോടുള്ള അനാദരവുള്ള മനോഭാവം കാരണം റഷ്യൻ മാധ്യമങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടാൻ അദ്ദേഹം ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, പത്രങ്ങളിൽ അവർ അവനെ ഗ്രിഷ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത്തരം പരിചയം കുറ്റപ്പെടുത്തുന്നു.

ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ പറഞ്ഞു സ്കൂൾ വർഷങ്ങൾ"മസ്തിഷ്ക പരിശീലനം" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. സോവിയറ്റ് യൂണിയനിൽ നിന്നുള്ള ഒരു "പ്രതിനിധി" എന്ന നിലയിൽ അദ്ദേഹത്തിന് എങ്ങനെ ലഭിച്ചുവെന്ന് ഓർക്കുന്നു സ്വർണ്ണ പതക്കംബുഡാപെസ്റ്റിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഒളിമ്പ്യാഡിൽ അദ്ദേഹം പറഞ്ഞു: “അമൂർത്തമായി ചിന്തിക്കാനുള്ള കഴിവ് ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്ത അവസ്ഥയായ പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിച്ചു.

ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയിൽ നിന്നുള്ള ഈ അമൂർത്തീകരണത്തിലായിരുന്നു അത് പ്രധാന പോയിന്റ്ദൈനംദിന വ്യായാമങ്ങൾ. ശരിയായ പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ, "ലോകത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗം" സങ്കൽപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അത്തരമൊരു "ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള" ജോലിയുടെ ഉദാഹരണമായി, അദ്ദേഹം ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉദ്ധരിച്ചു: "ഓർക്കുക ബൈബിൾ ഇതിഹാസംയേശുക്രിസ്തു ഉണങ്ങിയ നിലത്തെപ്പോലെ വെള്ളത്തിന് മുകളിലൂടെ നടന്നതിനെക്കുറിച്ച്. അതിനാൽ അവൻ വെള്ളത്തിലൂടെ വീഴാതിരിക്കാൻ എത്ര വേഗത്തിൽ നീങ്ങണമെന്ന് എനിക്ക് കണക്കാക്കേണ്ടി വന്നു.

അതിനുശേഷം, പെരെൽമാൻ തന്റെ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പഠിക്കാൻ വിനിയോഗിച്ചു: "ഇത് വളരെ രസകരമാണ്, ഞാൻ അപാരത ഉൾക്കൊള്ളാൻ ശ്രമിക്കുന്നു.

അക്കാദമിഷ്യൻ അലക്സാണ്ട്രോവിന്റെ മാർഗനിർദേശപ്രകാരം ശാസ്ത്രജ്ഞൻ തന്റെ പ്രബന്ധം എഴുതി. "വിഷയം ലളിതമായിരുന്നു: 'യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിലെ സാഡിൽ പ്രതലങ്ങൾ'. വലുപ്പത്തിൽ തുല്യവും അനന്തതയിൽ പരസ്പരം അസമമായ അകലത്തിലുള്ളതുമായ ഉപരിതലങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയുമോ? അവയ്ക്കിടയിലുള്ള 'പൊള്ളകൾ' നമുക്ക് അളക്കേണ്ടതുണ്ട്," ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ വിശദീകരിച്ചു.

ലോകത്തെ രഹസ്യാന്വേഷണ വിഭാഗങ്ങളെ ഭയപ്പെടുത്തുന്ന പെരൽമാന്റെ കണ്ടെത്തൽ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്

പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിലെ സങ്കീർണ്ണമായ ഭൗതിക പ്രക്രിയകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിൽ അതിന്റെ പ്രാധാന്യവും പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ആകൃതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നതിനാലും "പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ഫോർമുല" Poincare ന്റെ പ്രസ്താവനയെ വിളിക്കുന്നു. നാനോടെക്നോളജിയുടെ വികസനത്തിൽ ഈ തെളിവുകൾ വലിയ പങ്ക് വഹിക്കും.

"ശൂന്യതകൾ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് ഞാൻ പഠിച്ചു, എന്റെ സഹപ്രവർത്തകർക്കൊപ്പം സാമൂഹികവും സാമ്പത്തികവുമായ "ശൂന്യത" പൂരിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള സംവിധാനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പഠിക്കും. "ശൂന്യത എല്ലായിടത്തും ഉണ്ട്. അവ കണക്കാക്കാം, ഇത് മികച്ച അവസരങ്ങൾ നൽകുന്നു ...

പ്രസിദ്ധീകരണമനുസരിച്ച്, ഗ്രിഗറി യാക്കോവ്ലെവിച്ച് കണ്ടെത്തിയതിന്റെ തോത്, ഇന്നത്തെ ലോക ശാസ്ത്രത്തേക്കാൾ മുന്നിട്ടുനിൽക്കുന്നത്, അദ്ദേഹത്തെ റഷ്യൻ മാത്രമല്ല, വിദേശികളും പ്രത്യേക സേവനങ്ങളുടെ നിരന്തരമായ താൽപ്പര്യമുള്ള വസ്തുവാക്കി മാറ്റി.

പ്രപഞ്ചത്തെ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ചില അതിവിജ്ഞാനങ്ങൾ അദ്ദേഹം മനസ്സിലാക്കി. ഇവിടെ ഇത്തരത്തിലുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുന്നു: "അവന്റെ അറിവ് പ്രായോഗികമായി നടപ്പിലാക്കുകയാണെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും?"

വാസ്തവത്തിൽ, രഹസ്യ സേവനങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - പെരെൽമാൻ, അതോ അവന്റെ അറിവ് മനുഷ്യരാശിക്ക് ഭീഷണിയാണോ? എല്ലാത്തിനുമുപരി, അവന്റെ അറിവിന്റെ സഹായത്തോടെ പ്രപഞ്ചത്തെ ഒരു ബിന്ദുവാക്കി മാറ്റാനും അത് തുറക്കാനും കഴിയുമെങ്കിൽ, നമുക്ക് മരിക്കാനോ മറ്റൊരു ശേഷിയിൽ പുനർജനിക്കാനോ കഴിയുമോ? എന്നിട്ട് നമ്മൾ ആകുമോ? പിന്നെ നമുക്ക് പ്രപഞ്ചത്തെ നിയന്ത്രിക്കേണ്ടതുണ്ടോ?

ഈ സമയത്ത്

ജീനിയസ് അമ്മ: "പണത്തെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങളോട് ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കരുത്!"

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് മില്ലേനിയം പ്രൈസ് ലഭിച്ചുവെന്നറിഞ്ഞപ്പോൾ, അദ്ദേഹത്തിന്റെ വാതിലിനു മുന്നിൽ ഒരു കൂട്ടം മാധ്യമപ്രവർത്തകർ തടിച്ചുകൂടി. പെരെൽമാനെ വ്യക്തിപരമായി അഭിനന്ദിക്കാനും അവൻ തന്റെ നിയമാനുസൃത ദശലക്ഷക്കണക്കിന് എടുക്കുമോ എന്ന് കണ്ടെത്താനും എല്ലാവരും ആഗ്രഹിച്ചു.

ഞങ്ങൾ വളരെ നേരം ദുർബലമായ വാതിലിൽ മുട്ടി (ഞങ്ങൾക്ക് അത് പ്രീമിയം പണം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ), പക്ഷേ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ അത് തുറന്നില്ല. എന്നാൽ അവന്റെ അമ്മ വളരെ ബുദ്ധിപരമായി ഇടനാഴിയിൽ നിന്ന് തന്നെ "ഐ" ഡോട്ട് ചെയ്തു.

ഞങ്ങൾ ആരോടും സംസാരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല, അഭിമുഖങ്ങളൊന്നും നൽകാൻ പോകുന്നില്ല, - ല്യൂബോവ് ലീബോവ്ന ആക്രോശിച്ചു. - ഈ അവാർഡിനെക്കുറിച്ചും പണത്തെക്കുറിച്ചും ഞങ്ങളോട് ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കരുത്.

ഒരേ കവാടത്തിൽ താമസിക്കുന്ന ആളുകൾ പെരെൽമാനോട് പെട്ടെന്നുള്ള താൽപ്പര്യം കണ്ട് വളരെ ആശ്ചര്യപ്പെട്ടു.

നമ്മുടെ ഗ്രിഷ വിവാഹിതയാണോ? അയൽക്കാരിൽ ഒരാൾ ചിരിച്ചു. - ഓ, എനിക്ക് ഒരു അവാർഡ് ലഭിച്ചു. വീണ്ടും. ഇല്ല, അവൻ എടുക്കില്ല. അയാൾക്ക് ഒന്നും ആവശ്യമില്ല, ഒരു ചില്ലിക്കാശിൽ ജീവിക്കുന്നു, പക്ഷേ സ്വന്തം രീതിയിൽ സന്തോഷവാനാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ തലേദിവസം സ്റ്റോറിൽ നിന്നുള്ള ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ മുഴുവൻ പാക്കേജുകളും കണ്ടതായി അവർ പറയുന്നു. അവൻ അമ്മയോടൊപ്പം "ഉപരോധം നിലനിർത്താൻ" തയ്യാറെടുക്കുകയായിരുന്നു. കഴിഞ്ഞ തവണ, അവാർഡിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഹൈപ്പ് പത്രങ്ങളിൽ ആരംഭിച്ചപ്പോൾ, പെരെൽമാൻ മൂന്നാഴ്ചത്തേക്ക് അപ്പാർട്ട്മെന്റ് വിട്ടിട്ടില്ല.

വഴിമധ്യേ

മറ്റെന്തിന് അവർ ഒരു ദശലക്ഷം ഡോളർ നൽകും ...

1998-ൽ, കോടീശ്വരനായ ലാൻഡൻ ടി. ക്ലേയുടെ ഫണ്ട് ഉപയോഗിച്ച്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ ജനകീയമാക്കുന്നതിനായി കേംബ്രിഡ്ജിൽ (യുഎസ്എ) ക്ലേ മാത്തമാറ്റിക്സ് ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് സ്ഥാപിച്ചു. 2000 മെയ് 24 ന്, ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിലെ വിദഗ്ധർ അവരുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ ഏറ്റവും അമ്പരപ്പിക്കുന്ന ഏഴ് പ്രശ്നങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്തു. ഓരോന്നിനും ഒരു മില്യൺ ഡോളർ വീതം അവർ നിശ്ചയിച്ചു.

പട്ടികയിൽ പേരുണ്ട് .

1. കുക്കിന്റെ പ്രശ്നം

ഒരു പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരത്തിന്റെ കൃത്യതയുടെ പരിശോധന, പരിഹാരം തന്നെ നേടുന്നതിനേക്കാൾ ദൈർഘ്യമേറിയതാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ക്രിപ്‌റ്റോഗ്രഫി - ഡാറ്റ എൻക്രിപ്‌ഷനിലെ സ്പെഷ്യലിസ്റ്റുകൾക്ക് ഈ ലോജിക്കൽ ടാസ്‌ക് പ്രധാനമാണ്.

2. റീമാൻ സിദ്ധാന്തം

2, 3, 5, 7, മുതലായ പ്രൈം നമ്പറുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുണ്ട്, അവ സ്വയം ഹരിക്കാവുന്നവയാണ്. എത്രയെണ്ണം ഉണ്ടെന്ന് അറിവായിട്ടില്ല. ഇത് നിർണ്ണയിക്കാനും അവയുടെ വിതരണത്തിന്റെ ക്രമം കണ്ടെത്താനും കഴിയുമെന്ന് റീമാൻ വിശ്വസിച്ചു. അത് കണ്ടെത്തുന്നവർ ക്രിപ്‌റ്റോഗ്രഫി സേവനങ്ങളും നൽകും.

3. ബിർച്ച് ആൻഡ് സ്വിന്നർടൺ-ഡയർ സിദ്ധാന്തം

ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ മൂന്ന് അജ്ഞാതരുമായി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ് പ്രശ്നം. എത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതാണെങ്കിലും അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നാം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

4. ഹോഡ്ജ് സിദ്ധാന്തം

ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ രൂപം പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി കണ്ടെത്തി സങ്കീർണ്ണമായ വസ്തുക്കൾ. ഒബ്ജക്റ്റിന് പകരം ലളിതമായ “ഇഷ്ടികകൾ” ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ് ആശയം, അവ ഒരുമിച്ച് ഒട്ടിച്ച് അതിന്റെ സാദൃശ്യം ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും സ്വീകാര്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

5. നേവിയർ - സ്റ്റോക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ

വിമാനത്തിൽ അവരെ ഓർക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്. സമവാക്യങ്ങൾ വായുവിൽ നിലനിർത്തുന്ന വായു പ്രവാഹങ്ങളെ വിവരിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ ഏകദേശ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ ഏകദേശം പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. കൃത്യമായവ കണ്ടെത്തുകയും ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും ശരിയാണ്.

6. യാങ്-മിൽസ് സമവാക്യങ്ങൾ

ഭൗതികശാസ്ത്ര ലോകത്ത് ഒരു സിദ്ധാന്തമുണ്ട്: ഒരു പ്രാഥമിക കണത്തിന് പിണ്ഡമുണ്ടെങ്കിൽ, അതിന്റെ താഴ്ന്ന പരിധിയും നിലവിലുണ്ട്. എന്നാൽ ഏതാണ് എന്ന് വ്യക്തമല്ല. നിങ്ങൾ അവനെ സമീപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ഒരുപക്ഷേ ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലിയാണ്. അത് പരിഹരിക്കാൻ, "എല്ലാത്തിന്റെയും സിദ്ധാന്തം" സൃഷ്ടിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - പ്രകൃതിയിലെ എല്ലാ ശക്തികളും ഇടപെടലുകളും സംയോജിപ്പിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ. ഇതിൽ വിജയിക്കുന്നവർക്ക് തീർച്ചയായും നോബൽ സമ്മാനം ലഭിക്കും.

1904-ൽ പ്രസ്താവിച്ച പോയിൻകാറെ അനുമാനത്തിന്റെ തെളിവാണ് ശുദ്ധ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അവസാനത്തെ മഹത്തായ നേട്ടം: "ബന്ധിതമായ, ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ച, അതിരുകളില്ലാതെ ഒതുക്കമുള്ള ത്രിമാന മാനിഫോൾഡുകളെല്ലാം, S 3 ഗോളത്തിന് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണ്" എന്ന് സെന്റ്. 2002-2003 ൽ പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ്.

ഈ പദസമുച്ചയത്തിൽ നിരവധി പദങ്ങളുണ്ട്, അവയുടെ പൊതുവായ അർത്ഥം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരല്ലാത്തവർക്ക് വ്യക്തമാകുന്ന തരത്തിൽ വിശദീകരിക്കാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കും (വായനക്കാരൻ പൂർത്തിയാക്കി എന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു ഹൈസ്കൂൾസ്കൂൾ ഗണിതത്തിൽ നിന്നുള്ള ചിലത് ഇപ്പോഴും ഓർക്കുന്നു).

ടോപ്പോളജിയിൽ കേന്ദ്രമായ ഹോമിയോമോർഫിസം എന്ന ആശയത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. പൊതുവേ, ടോപ്പോളജിയെ പലപ്പോഴും "റബ്ബർ ജ്യാമിതി" എന്ന് നിർവചിക്കാറുണ്ട്, അതായത്, വിടവുകളും ഒട്ടിക്കലും ഇല്ലാതെ മിനുസമാർന്ന രൂപഭേദം വരുത്തുമ്പോൾ മാറാത്ത ജ്യാമിതീയ ചിത്രങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശാസ്ത്രം, അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നിൽ നിന്ന്-ഇത് സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ. രണ്ട് ഒബ്‌ജക്റ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ഒന്ന്, ഒന്ന്-ടു-വൺ കത്തിടപാടുകൾ.

ഒരു മഗ്ഗിന്റെയും ബാഗലിന്റെയും ക്ലാസിക് ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് പ്രധാന ആശയം വിശദീകരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. തുടർച്ചയായ രൂപഭേദം വഴി ആദ്യത്തേത് രണ്ടാമത്തേതാക്കി മാറ്റാം.

ഈ കണക്കുകൾ വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നത് മഗ്ഗ് ഡോനട്ടിന്റെ ഹോമിയോമോർഫിക് ആണെന്ന്, ഈ വസ്തുത അവയുടെ പ്രതലങ്ങൾക്കും (ദ്വിമാന മാനിഫോൾഡുകൾ, ടോറസ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു) നിറച്ച ശരീരങ്ങൾക്കും (അതിർത്തിയുള്ള ത്രിമാന മനിഫോൾഡുകൾ) സത്യമാണ്.

അനുമാനത്തിന്റെ രൂപീകരണത്തിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന ബാക്കി പദങ്ങളുടെ ഒരു വ്യാഖ്യാനം നമുക്ക് നൽകാം.

അതിരുകളില്ലാത്ത ഒരു ത്രിമാന മാനിഫോൾഡ്.ഇത് അത്തരമൊരു ജ്യാമിതീയ വസ്തുവാണ്, അതിൽ ഓരോ പോയിന്റിനും ഒരു ത്രിമാന പന്തിന്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു അയൽപക്കമുണ്ട്. 3-മനിഫോൾഡുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ, ഒന്നാമതായി, R 3 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന മുഴുവൻ ത്രിമാന സ്ഥലവും, അതുപോലെ ഏതെങ്കിലും തുറന്ന സെറ്റുകൾ R 3 ലെ പോയിന്റുകൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സോളിഡ് ടോറസിന്റെ (ഡോനട്ട്) ഇന്റീരിയർ. ഞങ്ങൾ ഒരു അടഞ്ഞ സോളിഡ് ടോറസ് പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്, അതിന്റെ അതിർത്തി പോയിന്റുകൾ (ഒരു ടോറസിന്റെ ഉപരിതലം) ചേർക്കുക, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഇതിനകം തന്നെ ഒരു ബൗണ്ടറി ഉള്ള ഒരു മനിഫോൾഡ് ലഭിക്കും - ബൗണ്ടറി പോയിന്റുകൾക്ക് ഒരു പന്തിന്റെ രൂപത്തിൽ അയൽപക്കങ്ങൾ ഇല്ല, പക്ഷേ അതിൽ മാത്രം പന്തിന്റെ പകുതിയുടെ രൂപം.
ബന്ധിപ്പിച്ചു.കണക്റ്റിവിറ്റി എന്ന ആശയം ഇവിടെ ഏറ്റവും ലളിതമാണ്. ഒരു മനിഫോൾഡ് ഒരു കഷണം ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ അത് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾ അതിന്റെ പരിധിക്കപ്പുറത്തേക്ക് പോകാത്ത ഒരു തുടർച്ചയായ വരി ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.
ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.ഏക-കണക്‌റ്റഡ്‌നെസ് എന്ന ആശയം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്. ഒരു നിശ്ചിത മാനിഫോൾഡിനുളളിൽ പൂർണ്ണമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന തുടർച്ചയായ അടഞ്ഞ വക്രം ഈ മനിഫോൾഡിൽ നിന്ന് പുറത്തുപോകാതെ തന്നെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് സുഗമമായി ചുരുങ്ങാം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ഉദാഹരണത്തിന്, R 3 ലെ ഒരു സാധാരണ ദ്വിമാന ഗോളം ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ഒരു ആപ്പിളിന്റെ ഉപരിതലത്തിൽ ഏകപക്ഷീയമായി ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് ബാൻഡ്, ആപ്പിളിൽ നിന്ന് ഇലാസ്റ്റിക് ബാൻഡ് കീറാതെ ഒരു പോയിന്റിലേക്ക് സുഗമമായ രൂപഭേദം വരുത്തി ചുരുക്കാം). മറുവശത്ത്, സർക്കിളും ടോറസും ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടില്ല.
ഒതുക്കമുള്ളത്.ഒരു മനിഫോൾഡ് അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഹോമിയോമോർഫിക് ഇമേജുകൾക്ക് പരിധിയുള്ള അളവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് ഒതുക്കമുള്ളതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വരിയിലെ തുറന്ന ഇടവേള (അതിന്റെ അറ്റങ്ങൾ ഒഴികെയുള്ള ഒരു സെഗ്മെന്റിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും) ഒതുക്കമുള്ളതല്ല, കാരണം അത് അനന്തമായ ഒരു വരിയിലേക്ക് തുടർച്ചയായി നീട്ടാൻ കഴിയും. എന്നാൽ ഒരു അടഞ്ഞ സെഗ്‌മെന്റ് (അറ്റത്തോടുകൂടിയ) ഒരു അതിരുകളുള്ള ഒരു കോം‌പാക്റ്റ് മനിഫോൾഡാണ്: ഏതെങ്കിലും തുടർച്ചയായ രൂപഭേദം വരുത്തുന്നതിന്, അറ്റങ്ങൾ ചില നിർദ്ദിഷ്ട പോയിന്റുകളിലേക്ക് പോകുന്നു, കൂടാതെ മുഴുവൻ സെഗ്‌മെന്റും ഈ പോയിന്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പരിധിയുള്ള വക്രത്തിലേക്ക് പോകണം.

അളവ്മനിഫോൾഡ്സ് എന്നത് അതിൽ "ജീവിക്കുന്ന" പോയിന്റിലെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിന്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണമാണ്. ഓരോ പോയിന്റിനും അനുബന്ധ അളവിലുള്ള ഡിസ്കിന്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു അയൽപക്കമുണ്ട്, അതായത്, ഏകമാന കേസിൽ ഒരു വരിയുടെ ഇടവേള, ദ്വിമാന കേസിൽ വിമാനത്തിൽ ഒരു വൃത്തം, ത്രിമാന കേസിൽ ഒരു പന്ത് , മുതലായവ. ടോപ്പോളജിയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ, അതിരുകളില്ലാതെ രണ്ട് ഏകമാന ബന്ധിത മാനിഫോൾഡുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ: ഇതാണ് വരയും വൃത്തവും. ഇതിൽ വൃത്തം മാത്രമാണ് ഒതുക്കമുള്ളത്.

മനിഫോൾഡ് അല്ലാത്ത ഒരു സ്‌പെയ്‌സിന്റെ ഉദാഹരണം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ജോടി വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ - എല്ലാത്തിനുമുപരി, രണ്ട് വരികൾ കൂടിച്ചേരുന്ന ഘട്ടത്തിൽ, ഏതൊരു സമീപസ്ഥലത്തിനും ഒരു കുരിശിന്റെ ആകൃതിയുണ്ട്, അതിന് ഒരു അയൽപക്കമില്ല. അത് ഒരു ഇടവേള മാത്രമായിരിക്കും (മറ്റെല്ലാ പോയിന്റുകളിലും അത്തരം അയൽപക്കങ്ങളുണ്ട്). അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നത്, നമ്മൾ ഒരു ഏകവചനമായ മാനിഫോൾഡാണ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്, അതിന് ഒരൊറ്റ പോയിന്റ് ഉണ്ട്.

ദ്വിമാന കോംപാക്റ്റ് മാനിഫോൾഡുകൾ നന്നായി അറിയപ്പെടുന്നു. നാം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ മാത്രം ഓറിയന്റഡ്അതിരുകളില്ലാത്ത മനിഫോൾഡുകൾ, പിന്നീട് ടോപ്പോളജിക്കൽ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് അവ അനന്തമാണെങ്കിലും ലളിതമായ ഒരു ലിസ്റ്റ് ഉണ്ടാക്കുന്നു: എന്നിങ്ങനെ. അത്തരത്തിലുള്ള ഓരോ മനിഫോൾഡും നിരവധി ഹാൻഡിലുകൾ ഒട്ടിച്ചുകൊണ്ട് ഒരു ഗോളത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു, അവയുടെ എണ്ണത്തെ ഉപരിതലത്തിന്റെ ജനുസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചിത്രം 0, 1, 2, 3 എന്നീ ജനുസ്സുകളുടെ പ്രതലങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു. ഈ ലിസ്റ്റിലെ എല്ലാ പ്രതലങ്ങളിൽ നിന്നും ഒരു ഗോളം എങ്ങനെ വേറിട്ടുനിൽക്കുന്നു? ഇത് ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു: ഒരു ഗോളത്തിൽ, ഏതെങ്കിലും അടഞ്ഞ വക്രം ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ചുരുങ്ങാം, മറ്റേതെങ്കിലും ഉപരിതലത്തിൽ, ഉപരിതലത്തിലുടനീളം ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ചുരുങ്ങാൻ കഴിയാത്ത ഒരു വക്രം സൂചിപ്പിക്കാൻ എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണ്.

അതിരുകളില്ലാത്ത ത്രിമാന കോം‌പാക്റ്റ് മനിഫോൾഡുകളെ ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽ തരംതിരിക്കാം, അതായത്, ഒരു നിശ്ചിത പട്ടികയിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്, ദ്വിമാന കേസിലെ പോലെ നേരായതല്ലെങ്കിലും സങ്കീർണ്ണമായ ഘടനയുള്ളതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, മുകളിലെ ലിസ്റ്റിലെ 2D സ്‌ഫിയർ പോലെ തന്നെ ഈ ലിസ്റ്റിൽ 3D സ്‌ഫിയർ S 3 വേറിട്ടുനിൽക്കുന്നു. എസ് 3യിലെ ഏതൊരു വക്രവും ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു എന്നത് ദ്വിമാന കേസിലെന്നപോലെ തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്നാൽ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഗോളത്തിന് തനതായതാണ്, അതായത്, മറ്റേതെങ്കിലും ത്രിമാന മാനിഫോൾഡിലും സങ്കോചിക്കാത്ത വളവുകൾ ഉണ്ടെന്നുള്ള സംഭാഷണ വാദം വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്ന പോയിൻകെയർ അനുമാനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കത്തെ കൃത്യമായി ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. .

മനിഫോൾഡിന് സ്വന്തമായി ജീവിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്, അത് ഒരു സ്വതന്ത്ര വസ്തുവായി കണക്കാക്കാം, എവിടെയും കൂടുകൂട്ടുന്നില്ല. (ഒരു സാധാരണ ഗോളത്തിന്റെ ഉപരിതലത്തിൽ ജീവിക്കുന്ന ദ്വിമാന ജീവികളെ സങ്കൽപ്പിക്കുക, മൂന്നാമതൊരു മാനം ഉണ്ടെന്ന് അറിയില്ല.) ഭാഗ്യവശാൽ, മുകളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന പട്ടികയിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ ദ്വിമാന പ്രതലങ്ങളും സാധാരണ R 3 സ്‌പെയ്‌സിൽ ഉൾച്ചേർക്കാൻ കഴിയും. അവ ദൃശ്യവൽക്കരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. 3-സ്‌ഫിയർ S 3-ന് (സാധാരണയായി അതിരുകളില്ലാത്ത ഏത് കോംപാക്റ്റ് 3-മനിഫോൾഡിനും) ഇത് മേലിൽ അങ്ങനെയല്ല, അതിനാൽ അതിന്റെ ഘടന മനസ്സിലാക്കാൻ കുറച്ച് ശ്രമം ആവശ്യമാണ്.

പ്രത്യക്ഷമായും ഏറ്റവും ലളിതമായ വഴി S 3 ത്രിമാന ഗോളത്തിന്റെ ടോപ്പോളജിക്കൽ ഘടന വിശദീകരിക്കുന്നത് വൺ-പോയിന്റ് കോംപാക്റ്റിഫിക്കേഷന്റെ സഹായത്തോടെയാണ്. അതായത്, ത്രിമാന ഗോളം S 3 എന്നത് സാധാരണ ത്രിമാന (അൺബൗണ്ടഡ്) സ്പേസ് R 3 ന്റെ ഒരു-പോയിന്റ് കോംപാക്റ്റിഫിക്കേഷനാണ്.

ആദ്യം നമുക്ക് ഈ നിർമ്മാണം വിശദീകരിക്കാം ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ. നമുക്ക് ഒരു സാധാരണ അനന്തമായ നേർരേഖ (ബഹിരാകാശത്തിന്റെ ഏകമാനമായ അനലോഗ്) എടുത്ത് അതിൽ ഒരു "അനന്തമായ" പോയിന്റ് ചേർക്കുക, ഒരു നേർരേഖയിലൂടെ വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ നീങ്ങുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഒടുവിൽ ഈ പോയിന്റിലെത്തുമെന്ന് കരുതുക. ഒരു ടോപ്പോളജിക്കൽ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, അനന്തമായ ഒരു രേഖയും ഒരു ബൗണ്ടഡ് ഓപ്പൺ സെഗ്മെന്റും തമ്മിൽ വ്യത്യാസമില്ല (അവസാന പോയിന്റുകൾ ഇല്ലാതെ). അത്തരമൊരു സെഗ്‌മെന്റ് ഒരു ആർക്ക് രൂപത്തിൽ തുടർച്ചയായി വളച്ച്, അറ്റങ്ങൾ അടുപ്പിച്ച് ജംഗ്ഷനിലേക്ക് നഷ്‌ടമായ പോയിന്റ് ഒട്ടിക്കാം. നമുക്ക് വ്യക്തമായും, ഒരു വൃത്തം ലഭിക്കുന്നു - ഒരു ഗോളത്തിന്റെ ഏകമാനമായ അനലോഗ്.

അതുപോലെ, ഞാൻ ഒരു അനന്ത തലം എടുത്ത് അനന്തതയിൽ ഒരു പോയിന്റ് ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥ തലത്തിന്റെ എല്ലാ വരികളും ഏത് ദിശയിലേക്കും കടന്നുപോകുന്നു, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ദ്വിമാന (സാധാരണ) ഗോളം S 2 ലഭിക്കും. ഈ നടപടിക്രമം സ്റ്റീരിയോഗ്രാഫിക് പ്രൊജക്ഷൻ വഴി നിരീക്ഷിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് ഗോളത്തിന്റെ ഓരോ ബിന്ദുവിലേക്കും പി നിയോഗിക്കുന്നു, N ന്റെ ഉത്തരധ്രുവം ഒഴികെ, P വിമാനത്തിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റ്.

അങ്ങനെ, ഒരു ബിന്ദുവില്ലാത്ത ഒരു ഗോളം സ്ഥലശാസ്ത്രപരമായി ഒരു തലത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഒരു ബിന്ദു ചേർക്കുന്നത് തലത്തെ ഒരു ഗോളമാക്കി മാറ്റുന്നു.

തത്വത്തിൽ, ഒരേ നിർമ്മാണം ഒരു ത്രിമാന ഗോളത്തിനും ത്രിമാന സ്ഥലത്തിനും ബാധകമാണ്, അത് നടപ്പിലാക്കുന്നതിന് മാത്രം നാലാമത്തെ മാനത്തിലേക്ക് പ്രവേശിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇത് ഡ്രോയിംഗിൽ ചിത്രീകരിക്കുന്നത് അത്ര എളുപ്പമല്ല. അതിനാൽ ഞാൻ എന്നെത്തന്നെ പരിമിതപ്പെടുത്തും വാക്കാലുള്ള വിവരണംസ്ഥലം R 3-ന്റെ ഒരു-പോയിന്റ് കോംപാക്റ്റിഫിക്കേഷൻ.

നമ്മുടെ ഭൗതിക സ്ഥലത്ത് (ന്യൂട്ടനെ പിന്തുടർന്ന്, x, y, z എന്നീ മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു അൺലിമിറ്റഡ് യൂക്ലിഡിയൻ സ്‌പെയ്‌സ് ആയി ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു) ഏതെങ്കിലും ഒരു നേർരേഖയിലൂടെ സഞ്ചരിക്കുമ്പോൾ "അനന്തത്തിൽ" ഒരു പോയിന്റ് ചേർത്തിട്ടുണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. ദിശയിൽ, നിങ്ങൾ വീഴുന്നു (അതായത്, ഓരോ സ്പേഷ്യൽ ലൈനും ഒരു സർക്കിളിലേക്ക് അടയ്ക്കുന്നു). അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു കോംപാക്റ്റ് ത്രിമാന മാനിഫോൾഡ് ലഭിക്കും, അത് നിർവചനം അനുസരിച്ച്, S 3 ഗോളമാണ്.

S 3 ഗോളം ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. തീർച്ചയായും, ഈ ഗോളത്തിലെ ഏത് അടഞ്ഞ വക്രവും ചെറുതായി മാറ്റാൻ കഴിയും, അങ്ങനെ അത് കൂട്ടിച്ചേർത്ത പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകില്ല. അപ്പോൾ നമുക്ക് സാധാരണ സ്ഥലമായ R 3 ൽ ഒരു വക്രം ലഭിക്കുന്നു, അത് ഹോമോതെറ്റികൾ വഴി ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ചുരുങ്ങുന്നു, അതായത് മൂന്ന് ദിശകളിലും തുടർച്ചയായ സങ്കോചം.

മനിഫോൾഡ് എസ് 3 എങ്ങനെയാണ് ഘടനാപരമായിരിക്കുന്നതെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, അതിന്റെ വിഭജനം രണ്ട് സോളിഡ് ടോറികളായി പരിഗണിക്കുന്നത് വളരെ പ്രബോധനപരമാണ്. സ്‌പെയ്‌സ് R 3-ൽ നിന്ന് സോളിഡ് ടോറസ് ഒഴിവാക്കിയാൽ, വളരെ വ്യക്തമല്ലാത്ത ഒന്ന് അവശേഷിക്കുന്നു. സ്പേസ് ഒരു ഗോളമായി ചുരുക്കിയാൽ, ഈ പൂരകവും ഒരു സോളിഡ് ടോറസായി മാറുന്നു. അതായത്, S 3 ഗോളത്തെ രണ്ട് സോളിഡ് ടോറികളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു - ഒരു പൊതു അതിരുണ്ട് - ഒരു ടോറസ്.

അത് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം എന്ന് ഇവിടെയുണ്ട്. നമുക്ക് ടോറസ് സാധാരണ പോലെ R 3-ൽ ഉൾപ്പെടുത്താം, ഒരു റൗണ്ട് ഡോനട്ടിന്റെ രൂപത്തിൽ, ഒരു ലംബ രേഖ വരയ്ക്കാം - ഈ ഡോനട്ടിന്റെ ഭ്രമണത്തിന്റെ അച്ചുതണ്ട്. ഞങ്ങൾ അച്ചുതണ്ടിലൂടെ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ തലം വരയ്ക്കുന്നു, അത് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് സർക്കിളുകളിൽ നമ്മുടെ സോളിഡ് ടോറസിനെ വിഭജിക്കും പച്ച നിറത്തിൽ, കൂടാതെ വിമാനത്തിന്റെ അധിക ഭാഗം ചുവന്ന സർക്കിളുകളുടെ തുടർച്ചയായ കുടുംബമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. അവയിൽ കേന്ദ്ര അക്ഷം, ബോൾഡറിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു, കാരണം S 3 ഗോളത്തിൽ രേഖ ഒരു വൃത്തത്തിലേക്ക് അടയ്ക്കുന്നു. ഈ ദ്വിമാന ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് ഒരു അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറങ്ങിക്കൊണ്ട് ഒരു ത്രിമാന ചിത്രം ലഭിക്കും. ഭ്രമണം ചെയ്ത സർക്കിളുകളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ സെറ്റ് പിന്നീട് ഒരു ത്രിമാന ശരീരം നിറയ്ക്കും, ഹോമിയോമോർഫിക് മുതൽ സോളിഡ് ടോറസ്, അസാധാരണമായി മാത്രം കാണപ്പെടുന്നു.

വാസ്തവത്തിൽ, കേന്ദ്ര അക്ഷം അതിൽ ഒരു അക്ഷീയ വൃത്തമായിരിക്കും, ബാക്കിയുള്ളവ സമാന്തരങ്ങളുടെ പങ്ക് വഹിക്കും - സാധാരണ സോളിഡ് ടോറസ് ഉണ്ടാക്കുന്ന സർക്കിളുകൾ.

3-ഗോളവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ എന്തെങ്കിലും ലഭിക്കുന്നതിന്, ഒരു കോം‌പാക്റ്റ് 3-മനിഫോൾഡിന്റെ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം ഞാൻ നൽകും, അതായത് ത്രിമാന ടോറസ്. ഒരു ത്രിമാന ടോറസ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർമ്മിക്കാം. ഒരു സോഴ്സ് മെറ്റീരിയലായി നമുക്ക് ഒരു സാധാരണ ത്രിമാന ക്യൂബ് എടുക്കാം:

ഇതിന് മൂന്ന് ജോഡി മുഖങ്ങളുണ്ട്: ഇടത്തും വലത്തും, മുകളിലും താഴെയും, മുന്നിലും പിന്നിലും. ഓരോ ജോഡി സമാന്തര മുഖങ്ങളിലും, ക്യൂബിന്റെ അരികിലൂടെ കൈമാറ്റം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ പരസ്പരം ലഭിച്ച പോയിന്റുകൾ ജോഡികളായി ഞങ്ങൾ തിരിച്ചറിയുന്നു. അതായത്, (തികച്ചും അമൂർത്തമായി, ശാരീരിക വൈകല്യങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാതെ) ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, എ, എ എന്നിവ "ഒരേ പോയിന്റാണ്, ബി, ബി" എന്നിവയും ഒരു പോയിന്റാണ്, എന്നാൽ പോയിന്റ് എയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. എല്ലാ ആന്തരിക പോയിന്റുകളും ക്യൂബ് ഞങ്ങൾ പതിവുപോലെ പരിഗണിക്കും. ക്യൂബ് തന്നെ ഒരു അതിരുകളുള്ള ഒരു മനിഫോൾഡാണ്, എന്നാൽ ഒട്ടിച്ചതിന് ശേഷം, അതിർത്തി സ്വയം അടയ്ക്കുകയും അപ്രത്യക്ഷമാവുകയും ചെയ്യുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ക്യൂബിലെ എ, എ പോയിന്റുകളുടെ അയൽപക്കങ്ങൾ (അവ ഇടത്, വലത് ഷേഡുള്ള മുഖങ്ങളിൽ കിടക്കുന്നു) പന്തുകളുടെ പകുതിയാണ്, അവ മുഖങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ഒട്ടിച്ച ശേഷം ഒരു മുഴുവൻ പന്തായി ലയിക്കുന്നു, ഇത് ത്രിമാന ടോറസിന്റെ അനുബന്ധ പോയിന്റിന്റെ സമീപസ്ഥലം.

ഭൗതിക സ്ഥലത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സാധാരണ ആശയങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള 3-ടോറസിന്റെ ഘടന അനുഭവിക്കാൻ, നിങ്ങൾ പരസ്പരം ലംബമായി മൂന്ന് ദിശകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്: മുന്നോട്ട്, ഇടത്, മുകളിലേക്ക് - കൂടാതെ സയൻസ് ഫിക്ഷൻ കഥകളിലെന്നപോലെ മാനസികമായി പരിഗണിക്കുക. ഈ ദിശകൾ, ദൈർഘ്യമേറിയതും എന്നാൽ പരിമിതവുമായ സമയം , ഞങ്ങൾ ആരംഭ പോയിന്റിലേക്ക് മടങ്ങും, പക്ഷേ വിപരീത ദിശയിൽ നിന്ന്. ഇതും "സ്പേസിന്റെ കോംപാക്റ്റിഫിക്കേഷൻ" ആണ്, എന്നാൽ ഒരു ഗോളം നിർമ്മിക്കാൻ മുമ്പ് ഉപയോഗിച്ച ഒരു പോയിന്റല്ല, എന്നാൽ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്.

3-ടോറസിൽ സങ്കോചിക്കാത്ത പാതകളുണ്ട്; ഉദാഹരണത്തിന്, ഇത് ചിത്രത്തിലെ സെഗ്മെന്റ് AA" ആണ് (ടോറസിൽ ഇത് ഒരു അടഞ്ഞ പാതയെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു). ഇത് ചുരുങ്ങാൻ കഴിയില്ല, കാരണം തുടർച്ചയായ ഏതെങ്കിലും രൂപഭേദം വരുത്തുന്നതിന്, A, A" എന്നീ പോയിന്റുകൾ അവയുടെ മുഖത്ത് നീങ്ങണം, അവ ഓരോന്നിനും എതിരായി തുടരണം. മറ്റുള്ളവ (അല്ലെങ്കിൽ കർവ് തുറക്കും).

അങ്ങനെ, ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചതും അല്ലാത്തതുമായ കോംപാക്റ്റ് 3-മനിഫോൾഡുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ച മനിഫോൾഡ് കൃത്യമായി ഒന്നാണെന്ന് പെരെൽമാൻ തെളിയിച്ചു.

"റിക്കി ഫ്ലോ" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിന്റെ ഉപയോഗമാണ് തെളിവിന്റെ ആരംഭ പോയിന്റ്: ഞങ്ങൾ ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ച കോം‌പാക്റ്റ് 3-മനിഫോൾഡ് എടുക്കുന്നു, അതിന് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ജ്യാമിതി (അതായത്, ദൂരങ്ങളും കോണുകളും ഉള്ള ചില മെട്രിക് അവതരിപ്പിക്കുക), തുടർന്ന് പരിഗണിക്കുക റിക്കി പ്രവാഹത്തിൽ അതിന്റെ പരിണാമം. 1981-ൽ ഈ ആശയം മുന്നോട്ടുവച്ച റിച്ചാർഡ് ഹാമിൽട്ടൺ, ഈ പരിണാമത്തോടെ നമ്മുടെ ബഹുമുഖം ഒരു ഗോളമായി മാറുമെന്ന് പ്രത്യാശിച്ചു. ഇത് ശരിയല്ലെന്ന് മനസ്സിലായി - ത്രിമാന കേസിൽ, റിക്കി പ്രവാഹത്തിന് മനിഫോൾഡിനെ നശിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്, അതിനെ അൽപ്പം മനിഫോൾഡ് ആക്കുന്നു (ലൈനുകൾ വിഭജിക്കുന്നതിന്റെ മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ ഏകവചന പോയിന്റുകളുള്ള ഒന്ന്). പെരെൽമാൻ, അവിശ്വസനീയമായ സാങ്കേതിക ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ മറികടന്ന്, ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ കനത്ത ഉപകരണം ഉപയോഗിച്ച്, പരിണാമസമയത്ത് മനിഫോൾഡിന്റെ ടോപ്പോളജി മാറാത്ത വിധത്തിൽ, ഏകവചന പോയിന്റുകൾക്ക് സമീപമുള്ള റിക്കി ഫ്ലോ ഭേദഗതി ചെയ്യാൻ കഴിഞ്ഞു. അവസാനം, അത് ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഗോളമായി മാറുന്നു. എന്നാൽ റിക്കിയുടെ ഈ ഒഴുക്ക് എന്താണെന്ന് ഒടുവിൽ വിശദീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഹാമിൽട്ടണും പെരെൽമാനും ഉപയോഗിച്ച ഫ്ലോകൾ ഒരു അമൂർത്തമായ മനിഫോൾഡിലെ അന്തർലീനമായ മെട്രിക്കിലെ മാറ്റത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് വിശദീകരിക്കാൻ പ്രയാസമാണ്, അതിനാൽ ഒരു വിമാനത്തിൽ ഉൾച്ചേർത്ത ഏകമാനമായ മാനിഫോൾഡുകളിലെ "ബാഹ്യ" റിക്കി പ്രവാഹത്തെ വിവരിക്കാൻ ഞാൻ എന്നെത്തന്നെ പരിമിതപ്പെടുത്തും. .

യൂക്ലിഡിയൻ തലത്തിൽ ഒരു സുഗമമായ അടഞ്ഞ വക്രം സങ്കൽപ്പിക്കുക, അതിൽ ഒരു ദിശ തിരഞ്ഞെടുക്കുക, ഓരോ പോയിന്റിലും യൂണിറ്റ് നീളമുള്ള ഒരു ടാൻജെന്റ് വെക്റ്റർ പരിഗണിക്കുക. തുടർന്ന്, തിരഞ്ഞെടുത്ത ദിശയിൽ വക്രത്തിന് ചുറ്റും പോകുമ്പോൾ, ഈ വെക്റ്റർ കുറച്ച് കോണീയ പ്രവേഗത്തിൽ കറങ്ങും, അതിനെ വക്രത എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വളവ് കുത്തനെയുള്ളിടത്ത്, വക്രത (കേവല മൂല്യത്തിൽ) കൂടുതലായിരിക്കും, അത് സുഗമമായിരിക്കുന്നിടത്ത് വക്രത കുറവായിരിക്കും.

പ്രവേഗ വെക്റ്റർ വിമാനത്തിന്റെ ആന്തരിക ഭാഗത്തേക്ക് തിരിയുമ്പോൾ വക്രത പോസിറ്റീവ് ആയി കണക്കാക്കും, അത് നമ്മുടെ വക്രത്താൽ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, അത് പുറത്തേക്ക് തിരിയുകയാണെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ്. ഈ കൺവെൻഷൻ വക്രം സഞ്ചരിക്കുന്ന ദിശയിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമാണ്. ഭ്രമണം ദിശ മാറ്റുന്ന ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകളിൽ, വക്രത 0 ആയിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, ആരം 1 ന്റെ ഒരു വൃത്തത്തിന് 1 ന്റെ സ്ഥിരമായ പോസിറ്റീവ് വക്രതയുണ്ട് (റേഡിയനിൽ അളക്കുന്നത്).

ഇനി നമുക്ക് ടാൻജെന്റ് വെക്റ്ററുകളെ കുറിച്ച് മറന്ന് കർവിന്റെ ഓരോ ബിന്ദുവിലും ഘടിപ്പിക്കാം, നേരെമറിച്ച്, അതിന് ലംബമായ ഒരു വെക്റ്റർ ഘടിപ്പിക്കാം, ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലെ വക്രതയ്ക്ക് തുല്യമായ നീളവും വക്രത പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അകത്തേക്കും അത് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ പുറത്തേക്കും നയിക്കുക. , തുടർന്ന് ഓരോ പോയിന്റും അതിന്റെ നീളത്തിന് ആനുപാതികമായ വേഗതയിൽ അനുബന്ധ വെക്റ്ററിന്റെ ദിശയിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഞങ്ങൾ നിർബന്ധിക്കും. ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

അത്തരമൊരു പരിണാമ സമയത്ത് വിമാനത്തിലെ ഏതെങ്കിലും അടഞ്ഞ വക്രം സമാനമായ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, അതായത്, അത് ഒടുവിൽ ഒരു വൃത്തമായി മാറുന്നു. റിക്കി ഫ്ലോ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പോയിൻകെയർ അനുമാനത്തിന്റെ ഏകമാനമായ അനലോഗിന്റെ തെളിവാണിത് (എന്നിരുന്നാലും, ഈ കേസിലെ പ്രസ്താവന തന്നെ ഇതിനകം വ്യക്തമാണ്, തെളിവ് രീതി അളവ് 3-ൽ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് ചിത്രീകരിക്കുന്നു).

ഉപസംഹാരമായി, പെരെൽമാന്റെ വാദം Poincaré അനുമാനം മാത്രമല്ല, കൂടുതൽ പൊതുവായ Thurston geometrization അനുമാനവും തെളിയിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽഎല്ലാ കോംപാക്റ്റ് 3-മനിഫോൾഡുകളുടെയും ഘടന പൊതുവെ വിവരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഈ വിഷയം ഈ പ്രാഥമിക ലേഖനത്തിന്റെ പരിധിക്കപ്പുറമാണ്.

സ്ഥലത്തിന്റെ അഭാവത്തിൽ, നോൺ-ഓറിയന്റബിൾ മാനിഫോൾഡുകളെക്കുറിച്ച് ഞാൻ സംസാരിക്കില്ല, അതിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പ്രശസ്തമായ ക്ലീൻ കുപ്പിയാണ് - സ്വയം കവലകളില്ലാത്ത ഒരു സ്ഥലത്ത് ഉൾച്ചേർക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ഉപരിതലം.

ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്‌സ് ഗ്രിഗറി പെരൽമാന് മില്ലേനിയം പ്രൈസ് നൽകി, അങ്ങനെ ഒരു റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ നടത്തിയ പോയിൻകെരെ അനുമാനത്തിന്റെ തെളിവ് ശരിയാണെന്ന് ഔദ്യോഗികമായി അംഗീകരിച്ചു. അങ്ങനെ ചെയ്യുമ്പോൾ, ഇൻസ്റ്റിറ്റിയൂട്ടിന് സ്വന്തം നിയമങ്ങൾ ലംഘിക്കേണ്ടിവന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ് - അവരുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, പിയർ-റിവ്യൂ ചെയ്ത ജേണലുകളിൽ തന്റെ കൃതി പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഒരു എഴുത്തുകാരന് മാത്രമേ ഏകദേശം ഒരു ദശലക്ഷം ഡോളർ ലഭിക്കുമെന്ന് അവകാശപ്പെടാൻ കഴിയൂ, ഇത് കൃത്യമായി വലുപ്പമാണ്. സമ്മാനം. ഗ്രിഗറി പെരൽമാന്റെ കൃതി ഒരിക്കലും ഔപചാരികമായി വെളിച്ചം കണ്ടില്ല - അത് arXiv.org വെബ്‌സൈറ്റിൽ (ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന്) നിരവധി പ്രീപ്രിന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമായി തുടർന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിന്റെ തീരുമാനത്തിന് കാരണമായത് അത്ര പ്രധാനമല്ല - മില്ലേനിയം പ്രൈസ് അവാർഡ് 100 വർഷത്തിലേറെയുള്ള ചരിത്രത്തിന് വിരാമമിട്ടു.

മഗ്, ഡോനട്ട്, ചില ടോപ്പോളജി

Poincaré അനുമാനം എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഏതുതരം ശാഖയാണ് - ടോപ്പോളജി - ഈ സിദ്ധാന്തം ഉൾപ്പെടുന്നതെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മാനിഫോൾഡുകളുടെ ടോപ്പോളജി ചില വൈകല്യങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ മാറാത്ത പ്രതലങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളെയാണ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്. ഒരു ക്ലാസിക് ഉദാഹരണത്തിലൂടെ വിശദീകരിക്കാം. വായനക്കാരന്റെ മുന്നിൽ ഒരു ഡോനട്ടും ഒരു ഒഴിഞ്ഞ കപ്പും ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. ജ്യാമിതിയുടെയും സാമാന്യബുദ്ധിയുടെയും വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഇവ വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കളാണ്, കാരണം നിങ്ങളുടെ എല്ലാ ആഗ്രഹങ്ങളോടും കൂടി നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഡോനട്ടിൽ നിന്ന് കോഫി കുടിക്കാൻ കഴിയില്ല.

എന്നിരുന്നാലും, കപ്പും ഡോനട്ടും ഒന്നുതന്നെയാണെന്ന് ടോപ്പോളജിസ്റ്റ് പറയും. അദ്ദേഹം അത് ഇങ്ങനെ വിശദീകരിക്കും: ഒരു കപ്പും ഡോനട്ടും ഉള്ളിലെ പൊള്ളയായ, വളരെ ഇലാസ്റ്റിക് മെറ്റീരിയൽ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച പ്രതലങ്ങളാണെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക (ഒരു ജോടി കോം‌പാക്റ്റ് ദ്വിമാന മനിഫോൾഡുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ പറയും). നമുക്ക് ഒരു ഊഹക്കച്ചവടം നടത്താം: ആദ്യം ഞങ്ങൾ കപ്പിന്റെ അടിഭാഗം വീർപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അതിന്റെ ഹാൻഡിൽ, അതിനുശേഷം അത് ഒരു ടോറസായി മാറും (ഇങ്ങനെയാണ് ഡോനട്ട് ആകൃതിയെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി വിളിക്കുന്നത്). ഈ പ്രക്രിയ എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും.

തീർച്ചയായും, അന്വേഷണാത്മക വായനക്കാരന് ഒരു ചോദ്യമുണ്ട്: ഉപരിതലങ്ങൾ ചുളിവുകളുള്ളതിനാൽ, അവയെ എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും? എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇത് അവബോധപൂർവ്വം വ്യക്തമാണ് - നിങ്ങൾ ഒരു ടോറസ് എങ്ങനെ സങ്കൽപ്പിച്ചാലും, വിടവുകളും ഗ്ലൂവിംഗുകളും ഇല്ലാതെ നിങ്ങൾക്ക് അതിൽ നിന്ന് ഒരു ഗോളം ലഭിക്കില്ല. ഇവിടെ മാറ്റങ്ങളെന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ പ്രവർത്തിക്കുന്നു - രൂപഭേദം സംഭവിക്കാത്ത ഉപരിതല സവിശേഷതകൾ - Poincaré അനുമാനത്തിന്റെ രൂപീകരണത്തിന് ആവശ്യമായ ഒരു ആശയം.

ഒരു ദ്വാരം ഒരു ഗോളത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ടോറസിനെ വേർതിരിക്കുന്നുവെന്ന് സാമാന്യബുദ്ധി നമ്മോട് പറയുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ദ്വാരം ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയത്തിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ്, അതിനാൽ അത് ഔപചാരികമാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചെയ്യുന്നു - ഉപരിതലത്തിൽ ഒരു ലൂപ്പ് രൂപപ്പെടുന്ന വളരെ നേർത്ത ഇലാസ്റ്റിക് ത്രെഡ് ഉണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക (ഈ ഊഹക്കച്ചവട പരീക്ഷണത്തിൽ, മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഉപരിതലം തന്നെ ഖരമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കരുതുന്നു). ഉപരിതലത്തിൽ നിന്ന് കീറാതെയും അതിനെ തകർക്കാതെയും ഞങ്ങൾ ലൂപ്പ് നീക്കും. ത്രെഡ് വളരെ ചെറിയ വൃത്തത്തിലേക്ക് (ഏതാണ്ട് ഒരു പോയിന്റ്) ചുരുങ്ങാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ലൂപ്പ് സങ്കോചിക്കാവുന്നതാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. അല്ലെങ്കിൽ, ലൂപ്പിനെ നോൺ-റെട്രാക്റ്റബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ടോറസിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗ്രൂപ്പിനെ n 1 (T 2) സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇത് നിസ്സാരമല്ലാത്തതിനാൽ, മൗസിന്റെ കൈകൾ പിൻവലിക്കാനാവാത്ത ഒരു ലൂപ്പ് ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഈ യാഥാർത്ഥ്യം തിരിച്ചറിഞ്ഞതിന്റെ ഫലമാണ് മൃഗത്തിന്റെ മുഖത്തെ സങ്കടം.

അതിനാൽ, ഒരു ഗോളത്തിലെ ഏത് ലൂപ്പും ചുരുങ്ങുന്നത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ് (അത് ഏകദേശം എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും), എന്നാൽ ഒരു ടോറസിന് ഇത് മേലിൽ അങ്ങനെയല്ല: ഒരു ഡോണട്ടിൽ രണ്ട് ലൂപ്പുകൾ ഉണ്ട് - ഒന്ന് ത്രെഡ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു ഒരു ദ്വാരം, മറ്റൊന്ന് "പരിധിയിലുടനീളം" ദ്വാരത്തെ മറികടക്കുന്നു, അത് വലിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഈ ചിത്രത്തിൽ, ചുരുങ്ങാത്ത ലൂപ്പുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവപ്പിലും കൂടാതെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു ധൂമ്രനൂൽയഥാക്രമം. ഉപരിതലത്തിൽ ലൂപ്പുകൾ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നത് "ഒരു വൈവിധ്യത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗ്രൂപ്പ് നിസ്സാരമല്ല", അത്തരം ലൂപ്പുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ അത് നിസ്സാരമാണ്.

ഇപ്പോൾ, Poincare അനുമാനം സത്യസന്ധമായി രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന്, അന്വേഷണാത്മക വായനക്കാരൻ അൽപ്പം കൂടി ക്ഷമയോടെ കാത്തിരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: പൊതുവായി ഒരു ത്രിമാന മാനിഫോൾഡും പ്രത്യേകിച്ച് ഒരു ത്രിമാന ഗോളവും എന്താണെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

നമ്മൾ മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത പ്രതലങ്ങളിലേക്ക് ഒരു നിമിഷം തിരിച്ചു പോകാം. അവ ഓരോന്നും അത്തരം ചെറിയ കഷണങ്ങളായി മുറിക്കാൻ കഴിയും, അവ ഓരോന്നും വിമാനത്തിന്റെ ഒരു കഷണം പോലെയായിരിക്കും. വിമാനത്തിന് രണ്ട് അളവുകൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, മനിഫോൾഡ് ദ്വിമാനമാണെന്നും പറയപ്പെടുന്നു. ഒരു ത്രിമാന മാനിഫോൾഡ് എന്നത് ചെറിയ കഷണങ്ങളായി മുറിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു പ്രതലമാണ്, അവ ഓരോന്നും സാധാരണ ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗത്തിന് സമാനമാണ്.

മേധാവി" നടൻ"ഹൈപ്പോതെസിസ് ഒരു ത്രിമാന ഗോളമാണ്. നിങ്ങളുടെ മനസ്സ് നഷ്ടപ്പെടാതെ ത്രിമാന ഗോളത്തെ ഒരു സാധാരണ ഗോളത്തിന്റെ അനലോഗ് ആയി സങ്കൽപ്പിക്കുക അസാധ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ വസ്തുവിനെ വിവരിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. "ഭാഗങ്ങളായി" വളരെ എളുപ്പത്തിൽ സംസാരിക്കുക, ഒരു ഭൂഗോളത്തെ കാണുന്ന എല്ലാവർക്കും, ഒരു സാധാരണ ഗോളത്തെ വടക്ക് നിന്ന് ഒരുമിച്ച് ഒട്ടിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് അവർക്കറിയാം. ദക്ഷിണാർദ്ധഗോളംഭൂമധ്യരേഖയോട് ചേർന്ന്. അതിനാൽ, ഒരു ത്രിമാന ഗോളം രണ്ട് പന്തുകളിൽ നിന്ന് (വടക്കും തെക്കും) ഒരു ഗോളത്തിനൊപ്പം ഒട്ടിച്ചിരിക്കുന്നു, ഇത് ഭൂമധ്യരേഖയുടെ അനലോഗ് ആണ്.

ത്രിമാന മാനിഫോൾഡുകളിൽ, സാധാരണ പ്രതലങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ എടുത്ത അതേ ലൂപ്പുകൾ പരിഗണിക്കാം. അതിനാൽ, Poincaré അനുമാനം പ്രസ്താവിക്കുന്നു: "ഒരു ത്രിമാന മാനിഫോൾഡിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗ്രൂപ്പ് നിസ്സാരമാണെങ്കിൽ, അത് ഒരു ഗോളത്തിന് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണ്." അനൗപചാരിക ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്ത "ഹോമിമോർഫിക് ടു എ സ്ഫിയർ" എന്ന മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്ത പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഉപരിതലത്തെ ഒരു ഗോളമാക്കി മാറ്റാൻ കഴിയും എന്നാണ്.

അൽപ്പം ചരിത്രം

പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ സങ്കീർണ്ണമായ നിരവധി പ്രസ്താവനകൾ രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, ഈ അല്ലെങ്കിൽ ആ സിദ്ധാന്തത്തെ മികച്ചതാക്കുന്നത് എന്താണ്, ബാക്കിയുള്ളതിൽ നിന്ന് അതിനെ വേർതിരിക്കുന്നത്? വിചിത്രമെന്നു പറയട്ടെ, എന്നാൽ മഹത്തായ സിദ്ധാന്തം ധാരാളം തെറ്റായ തെളിവുകളാൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിലും ഒരു വലിയ പിശക് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു - കൃത്യതയില്ലാത്തത്, ഇത് പലപ്പോഴും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു പുതിയ വിഭാഗത്തിന്റെ ആവിർഭാവത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, തുടക്കത്തിൽ, മറ്റ് കാര്യങ്ങളിൽ, ഉജ്ജ്വലമായ തെറ്റുകൾ വരുത്താനുള്ള കഴിവ് കൊണ്ട് വേർതിരിച്ചെടുത്ത ഹെൻറി പോയിൻകാരെ, ഞങ്ങൾ മുകളിൽ എഴുതിയതിനേക്കാൾ അല്പം വ്യത്യസ്തമായ രൂപത്തിൽ സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തി. കുറച്ച് സമയത്തിന് ശേഷം, അദ്ദേഹം തന്റെ വാദത്തിന് ഒരു വിപരീത ഉദാഹരണം നൽകി, അത് ഹോമോളജിക്കൽ പോയിന്റർ 3-സ്ഫിയർ എന്നറിയപ്പെടുന്നു, 1904 ൽ ഇതിനകം ഒരു അനുമാനം രൂപപ്പെടുത്തി. ആധുനിക രൂപം. വഴിയിൽ, അടുത്തിടെ, ശാസ്ത്രജ്ഞർ ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിൽ ഗോളം സ്വീകരിച്ചു - പ്രപഞ്ചം ഒരു ഹോമോലോജസ് പോയിന്റർ 3-ഗോളമായി മാറിയേക്കാം.

ഈ സിദ്ധാന്തം സഹ ജ്യാമീറ്റർമാരിൽ വലിയ ആവേശം സൃഷ്ടിച്ചില്ല എന്ന് പറയണം. അങ്ങനെ 1934 വരെ, ബ്രിട്ടീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ജോൺ ഹെൻറി വൈറ്റ്ഹെഡ് തന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവിന്റെ പതിപ്പ് അവതരിപ്പിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, താമസിയാതെ, അദ്ദേഹം തന്നെ ന്യായവാദത്തിൽ ഒരു പിശക് കണ്ടെത്തി, ഇത് പിന്നീട് വൈറ്റ്ഹെഡ് മാനിഫോൾഡിന്റെ മുഴുവൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെയും ആവിർഭാവത്തിലേക്ക് നയിച്ചു.

അതിനുശേഷം, വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു ജോലിയുടെ മഹത്വം ക്രമേണ അനുമാനത്തിൽ ഉറച്ചു. പല വലിയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും ഇത് കൊടുങ്കാറ്റായി എടുക്കാൻ ശ്രമിച്ചു. ഉദാഹരണത്തിന്, അമേരിക്കൻ R.H.Bing, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ (തികച്ചും ഔദ്യോഗികമായി) രേഖകളിൽ പേരിന് പകരം ഇനീഷ്യലുകൾ എഴുതിയിരുന്നു. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ അദ്ദേഹം നിരവധി പരാജയപ്പെട്ട ശ്രമങ്ങൾ നടത്തി, ഈ പ്രക്രിയയ്ക്കിടെ സ്വന്തം പ്രസ്താവന രൂപീകരിച്ചു - "പ്രോപ്പർട്ടി പി അനുമാനം" (പ്രോപ്പർട്ടി പി അനുമാനം) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ. Bing ഒരു ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ആയി കണക്കാക്കിയ ഈ പ്രസ്താവന, Poincaré അനുമാനത്തിന്റെ തന്നെ തെളിവിനേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമായി മാറിയത് ശ്രദ്ധേയമാണ്.

ഇത് തെളിയിക്കാൻ ജീവൻ ത്യജിച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞരും ആളുകളും ഉണ്ടായിരുന്നു ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുത. ഉദാഹരണത്തിന്, ഗ്രീക്ക് വംശജനായ പ്രശസ്ത ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ക്രിസ്റ്റോസ് പാപ്പാകിരിയാക്കോപൗലോസ്. പത്തുവർഷത്തിലേറെയായി, പ്രിൻസ്റ്റണിൽ ജോലിചെയ്യുമ്പോൾ, ഊഹം തെളിയിക്കാൻ അദ്ദേഹം പരാജയപ്പെട്ടു. 1976-ൽ ക്യാൻസർ ബാധിച്ച് അദ്ദേഹം മരിച്ചു.

മൂന്നിന് മുകളിലുള്ള അളവുകളുടെ മനിഫോൾഡുകളിലേക്കുള്ള Poincaré അനുമാനത്തിന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണം ഒറിജിനലിനേക്കാൾ വളരെ ലളിതമായി മാറി എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ് - അധിക അളവുകൾ മനിഫോൾഡുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് എളുപ്പമാക്കി. അങ്ങനെ, n-ഡൈമൻഷണൽ മാനിഫോൾഡുകൾക്ക് (n കുറഞ്ഞത് 5 ആണെങ്കിൽ), 1961-ൽ സ്റ്റീഫൻ സ്മെയിൽ ഈ അനുമാനം തെളിയിച്ചു. n = 4 ന് വേണ്ടി, 1982-ൽ മൈക്കൽ ഫ്രീഡ്മാൻ സ്മെയിലിൽ നിന്ന് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ രീതിയിലൂടെ ഊഹം തെളിയിച്ചു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ തെളിവിനായി, രണ്ടാമത്തേതിന് ഫീൽഡ്സ് മെഡൽ ലഭിച്ചു - പരമോന്നത പുരസ്കാരംഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക്.

വിവരിച്ച കൃതികൾ വളരെ അകലെയാണ് മുഴുവൻ പട്ടികഒരു നൂറ്റാണ്ടിലേറെക്കാലത്തെ അനുമാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു. ഓരോ കൃതികളും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു മുഴുവൻ ദിശയുടെയും ആവിർഭാവത്തിലേക്ക് നയിച്ചെങ്കിലും ഈ അർത്ഥത്തിൽ വിജയകരവും പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നതുമായി കണക്കാക്കാമെങ്കിലും, റഷ്യൻ ഗ്രിഗറി പെരൽമാന് മാത്രമേ ഒടുവിൽ പോയിൻകാറെ അനുമാനം തെളിയിക്കാൻ കഴിഞ്ഞുള്ളൂ.

പെരെൽമാനും തെളിവും

1992-ൽ ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ, അന്നത്തെ മാത്തമാറ്റിക്കൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിലെ ജീവനക്കാരനായിരുന്നു. സ്റ്റെക്ലോവ്, റിച്ചാർഡ് ഹാമിൽട്ടന്റെ പ്രഭാഷണത്തിൽ പങ്കെടുത്തു. അമേരിക്കൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ റിച്ചി ഫ്ലോകളെ കുറിച്ച് സംസാരിച്ചു - തർസ്റ്റണിന്റെ ജ്യാമിതീയ അനുമാനം പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പുതിയ ഉപകരണം - ലളിതമായ ഒരു അനന്തരഫലമായി Poincaré അനുമാനം ലഭിച്ചു. ഈ പ്രവാഹങ്ങൾ, താപ കൈമാറ്റ സമവാക്യങ്ങളുമായി സാമ്യപ്പെടുത്തി നിർമ്മിച്ചതാണ്, ഈ ലേഖനത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ഞങ്ങൾ ദ്വിമാന പ്രതലങ്ങളെ രൂപഭേദം വരുത്തിയ അതേ രീതിയിൽ തന്നെ കാലക്രമേണ പ്രതലങ്ങൾ രൂപഭേദം വരുത്തി. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ അത്തരമൊരു രൂപഭേദം വരുത്തിയതിന്റെ ഫലമായി അതിന്റെ ഘടന മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. രൂപഭേദം സംഭവിക്കുമ്പോൾ, ജ്യോതിർഭൗതികത്തിലെ തമോഗർത്തങ്ങളുമായി സാമ്യമുള്ള അനന്തമായ വക്രതയുള്ള ഏകത്വങ്ങൾ ഉയർന്നുവന്നു എന്നതാണ് പ്രധാന ബുദ്ധിമുട്ട്.

പ്രഭാഷണത്തിന് ശേഷം പെരെൽമാൻ ഹാമിൽട്ടനെ സമീപിച്ചു. റിച്ചാർഡ് തന്നെ ആഹ്ലാദപൂർവ്വം ആശ്ചര്യപ്പെടുത്തിയെന്ന് അദ്ദേഹം പിന്നീട് പറഞ്ഞു: "അവൻ പുഞ്ചിരിച്ചു, വളരെ ക്ഷമയുള്ളവനായിരുന്നു. കുറച്ച് വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ചില വസ്തുതകൾ പോലും അദ്ദേഹം എന്നോട് പറഞ്ഞു. ഒരു മടിയും കൂടാതെ അദ്ദേഹം ഇത് ചെയ്തു. അവന്റെ തുറന്ന മനസ്സും ദയയും എന്നെ അത്ഭുതപ്പെടുത്തി. എനിക്ക് പറയാൻ കഴിയില്ല. മിക്ക ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും ഇതുപോലെയാണ് പെരുമാറുന്നത്."

യുണൈറ്റഡ് സ്റ്റേറ്റ്സിലേക്കുള്ള ഒരു യാത്രയ്ക്ക് ശേഷം, പെരെൽമാൻ റഷ്യയിലേക്ക് മടങ്ങി, അവിടെ അദ്ദേഹം റിക്കി ഫ്ലോകളുടെ ഏകത്വങ്ങളുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനും ജ്യാമിതീയ സിദ്ധാന്തം (പോയിൻകെയർ അനുമാനത്തിലല്ല) രഹസ്യമായി തെളിയിക്കുന്നതിനും പ്രവർത്തിക്കാൻ തുടങ്ങി. 2002 നവംബർ 11-ന് പെരെൽമാന്റെ ആദ്യ പ്രിപ്രിന്റ് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടത് ഗണിതശാസ്ത്ര സമൂഹത്തെ ഞെട്ടിച്ചതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല. കുറച്ച് സമയത്തിന് ശേഷം, കുറച്ച് കൃതികൾ കൂടി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

അതിനുശേഷം, പെരെൽമാൻ തെളിവുകളുടെ ചർച്ചയിൽ നിന്ന് പിന്മാറി, അവർ പറയുന്നു പോലും, ഗണിതശാസ്ത്രം ചെയ്യുന്നത് നിർത്തി. 2006ൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കുള്ള ഏറ്റവും അഭിമാനകരമായ പുരസ്കാരമായ ഫീൽഡ്സ് മെഡൽ ലഭിച്ചപ്പോഴും അദ്ദേഹം തന്റെ ഏകാന്ത ജീവിതശൈലിക്ക് തടസ്സം സൃഷ്ടിച്ചില്ല. രചയിതാവിന്റെ ഈ പെരുമാറ്റത്തിന്റെ കാരണങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല - ഒരു പ്രതിഭയ്ക്ക് വിചിത്രമായി പെരുമാറാൻ അവകാശമുണ്ട് (ഉദാഹരണത്തിന്, അമേരിക്കയിലായിരുന്നതിനാൽ, പെരെൽമാൻ നഖം മുറിച്ചില്ല, അവരെ സ്വതന്ത്രമായി വളരാൻ അനുവദിച്ചു).

അതെന്തായാലും, പെരെൽമാന്റെ തെളിവ് അതിന്റേതായ ഒരു ജീവിതം എടുത്തു: മൂന്ന് പ്രീപ്രിന്റുകൾ ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെ വേട്ടയാടി. റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ ആശയങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നതിന്റെ ആദ്യ ഫലങ്ങൾ 2006 ൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു - മിഷിഗൺ സർവകലാശാലയിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാന ജ്യാമീറ്റർമാരായ ബ്രൂസ് ക്ലീനറും ജോൺ ലോട്ടും ഒരു പ്രീപ്രിന്റ് പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. സ്വന്തം ജോലി, കൂടുതൽ വലിപ്പമുള്ള ഒരു പുസ്തകം പോലെ - 213 പേജുകൾ. ഈ കൃതിയിൽ, ശാസ്ത്രജ്ഞർ പെരെൽമാന്റെ എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പരിശോധിച്ചു, റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ കൃതിയിൽ മാത്രം ഹ്രസ്വമായി സൂചിപ്പിച്ച വിവിധ പ്രസ്താവനകൾ വിശദമായി വിശദീകരിച്ചു. ഗവേഷകരുടെ വിധി അസന്ദിഗ്ധമായിരുന്നു: തെളിവുകൾ തികച്ചും ശരിയാണ്.

അതേ വർഷം ജൂലൈയിൽ ഈ കഥയിൽ അപ്രതീക്ഷിത വഴിത്തിരിവുണ്ടായി. ജേണലിൽ ഏഷ്യൻ ജേണൽ ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്സ്ചൈനീസ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ Xiping Zhu, Huaidong Cao എന്നിവരുടെ "തർസ്റ്റൺ ജ്യോമെട്രിസേഷൻ അനുമാനത്തിന്റെയും പോയിൻകാറെ അനുമാനത്തിന്റെയും പൂർണ്ണമായ തെളിവ്" എന്ന ലേഖനം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ഈ സൃഷ്ടിയുടെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ, പെരെൽമാന്റെ ഫലങ്ങൾ പ്രധാനപ്പെട്ടതും ഉപയോഗപ്രദവും എന്നാൽ ഇടത്തരവുമായവയായി കണക്കാക്കപ്പെട്ടു. ഈ ജോലിപടിഞ്ഞാറൻ സ്പെഷ്യലിസ്റ്റുകൾക്കിടയിൽ ഇത് ആശ്ചര്യമുണ്ടാക്കി, പക്ഷേ കിഴക്ക് വളരെ അനുകൂലമായ അവലോകനങ്ങൾ ലഭിച്ചു. പ്രത്യേകിച്ചും, സ്ട്രിംഗ് സിദ്ധാന്തത്തിന് അടിത്തറയിട്ട കാലാബി-യൗ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സ്ഥാപകരിലൊരാളായ ഷിന്ടൻ യൗവും കാവോയുടെയും ജൂവിന്റെയും അധ്യാപകനും ഫലങ്ങളെ പിന്തുണച്ചു. സന്തോഷകരമായ യാദൃശ്ചികതയാൽ, മാസികയുടെ ചീഫ് എഡിറ്റർ ഇൗ ആയിരുന്നു. ഏഷ്യൻ ജേണൽ ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്സ്അതിൽ കൃതി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു.

അതിനുശേഷം, ചൈനീസ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ നേട്ടങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിച്ചുകൊണ്ട് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ജനപ്രിയ പ്രഭാഷണങ്ങളുമായി ലോകമെമ്പാടും സഞ്ചരിക്കാൻ തുടങ്ങി. തൽഫലമായി, പെരെൽമാന്റെയും ഹാമിൽട്ടന്റെയും ഫലങ്ങൾ വളരെ വേഗം പിന്നാക്കം പോകുമെന്ന അപകടമുണ്ടായിരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രത്തിൽ ഇത് ഒന്നിലധികം തവണ സംഭവിച്ചു - നിർദ്ദിഷ്ട ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പേരുകൾ വഹിക്കുന്ന നിരവധി സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ആളുകളാണ് കണ്ടുപിടിച്ചത്.

എന്നിരുന്നാലും, ഇത് സംഭവിച്ചില്ല, ഒരുപക്ഷേ ഇപ്പോൾ സംഭവിക്കില്ല. പെരെൽമാൻ (അദ്ദേഹം നിരസിച്ചാലും) ക്ലേ അവാർഡിന്റെ അവതരണം എന്നെന്നേക്കുമായി ഉറപ്പിച്ചു. പൊതുബോധംവസ്തുത: റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ പോയിൻകെരെ അനുമാനം തെളിയിച്ചു. യഥാർത്ഥത്തിൽ അദ്ദേഹം കൂടുതൽ പൊതുവായ ഒരു വസ്തുത തെളിയിച്ചുവെന്നത് പ്രശ്നമല്ല, വഴിയിൽ റിക്കിയുടെ ഏകത്വങ്ങളുടെ ഒരു പുതിയ സിദ്ധാന്തം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. എന്നിരുന്നാലും. അവാർഡ് ഒരു നായകനെ കണ്ടെത്തി.

N. Chetverikova യുടെ ഫോട്ടോ 1904-ൽ പ്രസ്താവിച്ച Poincaré അനുമാനത്തിന്റെ തെളിവാണ് ശുദ്ധ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അവസാനത്തെ മഹത്തായ നേട്ടം: "ബന്ധിതമായ, ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ച, അതിരുകളില്ലാതെ ഒതുക്കമുള്ള ത്രിമാന മാനിഫോൾഡ്, S 3 ഗോളത്തിന് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണ്" 2002-2003 ൽ സെന്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗിൽ നിന്നുള്ള ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ.

ഈ പദസമുച്ചയത്തിൽ നിരവധി പദങ്ങളുണ്ട്, അവയുടെ പൊതുവായ അർത്ഥം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരല്ലാത്തവർക്ക് വ്യക്തമാകുന്ന തരത്തിൽ വിശദീകരിക്കാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കും (വായനക്കാരൻ ഹൈസ്കൂളിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടിയിട്ടുണ്ടെന്നും സ്കൂൾ ഗണിതത്തിൽ നിന്ന് എന്തെങ്കിലും ഓർമ്മിക്കുന്നുണ്ടെന്നും ഞാൻ കരുതുന്നു).

ഒരു മഗ്ഗിന്റെയും ബാഗലിന്റെയും ക്ലാസിക് ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് പ്രധാന ആശയം വിശദീകരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. തുടർച്ചയായ രൂപഭേദം മൂലം ആദ്യത്തേത് രണ്ടാമത്തേതാക്കി മാറ്റാം: ഈ കണക്കുകൾ ഡോനട്ടിന്റെ ഹോമിയോമോർഫിക് ആണെന്ന് ഈ കണക്കുകൾ വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നു, ഈ വസ്തുത അവയുടെ പ്രതലങ്ങൾക്കും (ദ്വിമാന മാനിഫോൾഡുകൾ, ടോറസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു) പൂരിത ശരീരങ്ങൾക്കും ശരിയാണ് ( അതിർത്തിയോടുകൂടിയ ത്രിമാന മാനിഫോൾഡുകൾ).

1. അതിരുകളില്ലാത്ത ത്രിമാന മാനിഫോൾഡ്.ഇത് അത്തരമൊരു ജ്യാമിതീയ വസ്തുവാണ്, അതിൽ ഓരോ പോയിന്റിനും ഒരു ത്രിമാന പന്തിന്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു അയൽപക്കമുണ്ട്. 3-മാനിഫോൾഡുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ, ഒന്നാമതായി, R 3 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന മുഴുവൻ ത്രിമാന സ്ഥലവും, അതുപോലെ തന്നെ R 3 ലെ ഏതെങ്കിലും തുറന്ന സെറ്റ് പോയിന്റുകളും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സോളിഡ് ടോറസിന്റെ (ഡോനട്ട്) ഇന്റീരിയർ. ഞങ്ങൾ ഒരു അടഞ്ഞ സോളിഡ് ടോറസ് പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്, അതിന്റെ അതിർത്തി പോയിന്റുകൾ (ടോറസിന്റെ ഉപരിതലം) ചേർക്കുക, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഇതിനകം തന്നെ അതിരുകളുള്ള ഒരു മനിഫോൾഡ് ലഭിക്കും - ബൗണ്ടറി പോയിന്റുകൾക്ക് ഒരു പന്തിന്റെ രൂപത്തിൽ അയൽപക്കങ്ങൾ ഇല്ല, പക്ഷേ രൂപത്തിൽ മാത്രം പന്തിന്റെ പകുതി.

2. ബന്ധിപ്പിച്ചു.കണക്റ്റിവിറ്റി എന്ന ആശയം ഇവിടെ ഏറ്റവും ലളിതമാണ്. ഒരു മാനിഫോൾഡ് ഒരു കഷണം ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ, സമാനമായ എന്തെങ്കിലും, അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾ അതിന്റെ പരിധിക്കപ്പുറത്തേക്ക് പോകാത്ത ഒരു തുടർച്ചയായ വരി ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

3. ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.ഏക-കണക്‌റ്റഡ്‌നെസ് എന്ന ആശയം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്. ഒരു നിശ്ചിത മാനിഫോൾഡിനുളളിൽ പൂർണ്ണമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന തുടർച്ചയായ അടഞ്ഞ വക്രം ഈ മനിഫോൾഡിൽ നിന്ന് പുറത്തുപോകാതെ തന്നെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് സുഗമമായി ചുരുങ്ങാം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ഉദാഹരണത്തിന്, R 3 ലെ ഒരു സാധാരണ ദ്വിമാന ഗോളം ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ഒരു ആപ്പിളിന്റെ ഉപരിതലത്തിൽ ഏകപക്ഷീയമായി ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് ബാൻഡ്, ആപ്പിളിൽ നിന്ന് ഇലാസ്റ്റിക് ബാൻഡ് കീറാതെ ഒരു പോയിന്റിലേക്ക് സുഗമമായ രൂപഭേദം വരുത്തി ചുരുക്കാം). മറുവശത്ത്, സർക്കിളും ടോറസും ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടില്ല.

4. കോംപാക്റ്റ്.ഒരു മനിഫോൾഡ് അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഹോമിയോമോർഫിക് ഇമേജുകൾക്ക് പരിധിയുള്ള അളവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് ഒതുക്കമുള്ളതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വരിയിലെ തുറന്ന ഇടവേള (അതിന്റെ അറ്റങ്ങൾ ഒഴികെയുള്ള ഒരു സെഗ്മെന്റിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും) ഒതുക്കമുള്ളതല്ല, കാരണം അത് അനന്തമായ ഒരു വരിയിലേക്ക് തുടർച്ചയായി നീട്ടാൻ കഴിയും. എന്നാൽ ഒരു അടഞ്ഞ സെഗ്‌മെന്റ് (അറ്റത്തോടുകൂടിയ) ഒരു അതിരുകളുള്ള ഒരു കോം‌പാക്റ്റ് മനിഫോൾഡാണ്: ഏതെങ്കിലും തുടർച്ചയായ രൂപഭേദം വരുത്തുന്നതിന്, അറ്റങ്ങൾ ചില നിർദ്ദിഷ്ട പോയിന്റുകളിലേക്ക് പോകുന്നു, കൂടാതെ മുഴുവൻ സെഗ്‌മെന്റും ഈ പോയിന്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പരിധിയുള്ള വക്രത്തിലേക്ക് പോകണം.

അളവ്മനിഫോൾഡ് എന്നത് അതിൽ "ജീവിക്കുന്ന" പോയിന്റിലെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിന്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണമാണ്. ഓരോ പോയിന്റിനും അനുബന്ധ അളവിലുള്ള ഡിസ്കിന്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു അയൽപക്കമുണ്ട്, അതായത്, ഏകമാന കേസിൽ ഒരു വരിയുടെ ഇടവേള, ദ്വിമാന കേസിൽ വിമാനത്തിൽ ഒരു വൃത്തം, ത്രിമാന കേസിൽ ഒരു പന്ത് , മുതലായവ. ടോപ്പോളജിയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ, അതിരുകളില്ലാതെ രണ്ട് ഏകമാന ബന്ധിത മാനിഫോൾഡുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ: ഇതാണ് വരയും വൃത്തവും. ഇതിൽ വൃത്തം മാത്രമാണ് ഒതുക്കമുള്ളത്.

ദ്വിമാന കോംപാക്റ്റ് മാനിഫോൾഡുകൾ നന്നായി അറിയപ്പെടുന്നു. നാം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ മാത്രം ഓറിയന്റഡ് 1അതിരുകളില്ലാത്ത മനിഫോൾഡുകൾ, പിന്നീട് ടോപ്പോളജിക്കൽ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് അവ അനന്തമാണെങ്കിലും ലളിതമായ ഒരു ലിസ്റ്റ് ഉണ്ടാക്കുന്നു: എന്നിങ്ങനെ. അത്തരത്തിലുള്ള ഓരോ മനിഫോൾഡും നിരവധി ഹാൻഡിലുകൾ ഒട്ടിച്ചുകൊണ്ട് ഒരു ഗോളത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു, അവയുടെ എണ്ണത്തെ ഉപരിതലത്തിന്റെ ജനുസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

1 സ്ഥലത്തിന്റെ അഭാവത്തിൽ, നോൺ-ഓറിയന്റബിൾ മാനിഫോൾഡുകളെക്കുറിച്ച് ഞാൻ സംസാരിക്കില്ല, അതിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പ്രശസ്തമായ ക്ലീൻ കുപ്പിയാണ് - സ്വയം കവലകളില്ലാത്ത ഒരു സ്ഥലത്ത് ഉൾച്ചേർക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ഉപരിതലം.

പ്രത്യക്ഷത്തിൽ, ത്രിമാന ഗോളമായ S 3-ന്റെ ടോപ്പോളജിക്കൽ ഘടന വിശദീകരിക്കാനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ മാർഗ്ഗം ഒരു പോയിന്റ് കോംപാക്റ്റിഫിക്കേഷന്റെ സഹായത്തോടെയാണ്. അതായത്, ത്രിമാന ഗോളം S 3 എന്നത് സാധാരണ ത്രിമാന (അൺബൗണ്ടഡ്) സ്പേസ് R 3 ന്റെ ഒരു-പോയിന്റ് കോംപാക്റ്റിഫിക്കേഷനാണ്.

ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യം ഈ നിർമ്മാണം വിശദീകരിക്കാം. നമുക്ക് ഒരു സാധാരണ അനന്തമായ നേർരേഖ (ബഹിരാകാശത്തിന്റെ ഏകമാനമായ അനലോഗ്) എടുത്ത് അതിൽ ഒരു "അനന്തമായ" പോയിന്റ് ചേർക്കുക, ഒരു നേർരേഖയിലൂടെ വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ നീങ്ങുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഒടുവിൽ ഈ പോയിന്റിലെത്തുമെന്ന് കരുതുക. ഒരു ടോപ്പോളജിക്കൽ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, അനന്തമായ ഒരു രേഖയും ഒരു ബൗണ്ടഡ് ഓപ്പൺ സെഗ്മെന്റും തമ്മിൽ വ്യത്യാസമില്ല (അവസാന പോയിന്റുകൾ ഇല്ലാതെ). അത്തരമൊരു സെഗ്‌മെന്റ് ഒരു ആർക്ക് രൂപത്തിൽ തുടർച്ചയായി വളച്ച്, അറ്റങ്ങൾ അടുപ്പിച്ച് ജംഗ്ഷനിലേക്ക് നഷ്‌ടമായ പോയിന്റ് ഒട്ടിക്കാം. നമുക്ക് വ്യക്തമായും, ഒരു വൃത്തം ലഭിക്കുന്നു - ഒരു ഗോളത്തിന്റെ ഏകമാനമായ അനലോഗ്.

അതുപോലെ, ഞാൻ ഒരു അനന്ത തലം എടുത്ത് അനന്തതയിൽ ഒരു പോയിന്റ് ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥ തലത്തിന്റെ എല്ലാ വരികളും ഏത് ദിശയിലേക്കും കടന്നുപോകുന്നു, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ദ്വിമാന (സാധാരണ) ഗോളം S 2 ലഭിക്കും. ഒരു സ്റ്റീരിയോഗ്രാഫിക് പ്രൊജക്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഈ നടപടിക്രമം നിരീക്ഷിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് ഗോളത്തിന്റെ ഓരോ ബിന്ദുവിലേക്കും പി നിയോഗിക്കുന്നു, N ന്റെ ഉത്തരധ്രുവം ഒഴികെ, P "തലത്തിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റ്:

തത്വത്തിൽ, ഒരേ നിർമ്മാണം ഒരു ത്രിമാന ഗോളത്തിനും ത്രിമാന സ്ഥലത്തിനും ബാധകമാണ്, അത് നടപ്പിലാക്കുന്നതിന് മാത്രം നാലാമത്തെ മാനത്തിലേക്ക് പ്രവേശിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇത് ഡ്രോയിംഗിൽ ചിത്രീകരിക്കുന്നത് അത്ര എളുപ്പമല്ല. അതിനാൽ, R 3 എന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ ഒരു പോയിന്റ് കോംപാക്റ്റിഫിക്കേഷന്റെ ഒരു വാക്കാലുള്ള വിവരണത്തിൽ ഞാൻ എന്നെത്തന്നെ ഒതുക്കുന്നു.

അത് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം എന്ന് ഇവിടെയുണ്ട്. നമുക്ക് ടോറസ് സാധാരണ പോലെ R 3-ൽ ഉൾപ്പെടുത്താം, ഒരു റൗണ്ട് ഡോനട്ടിന്റെ രൂപത്തിൽ, ഒരു ലംബ രേഖ വരയ്ക്കാം - ഈ ഡോനട്ടിന്റെ ഭ്രമണത്തിന്റെ അച്ചുതണ്ട്. അച്ചുതണ്ടിലൂടെ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ തലം വരയ്ക്കുക, ചിത്രത്തിൽ പച്ചയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് സർക്കിളുകളിൽ അത് നമ്മുടെ സോളിഡ് ടോറസിനെ വിഭജിക്കും, കൂടാതെ വിമാനത്തിന്റെ അധിക ഭാഗം ചുവന്ന സർക്കിളുകളുടെ തുടർച്ചയായ കുടുംബമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. അവയിൽ കേന്ദ്ര അക്ഷം, ബോൾഡറിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു, കാരണം S 3 ഗോളത്തിൽ രേഖ ഒരു വൃത്തത്തിലേക്ക് അടയ്ക്കുന്നു. ഈ ദ്വിമാന ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് ഒരു അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറങ്ങിക്കൊണ്ട് ഒരു ത്രിമാന ചിത്രം ലഭിക്കും. ഭ്രമണം ചെയ്ത സർക്കിളുകളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ സെറ്റ് പിന്നീട് ഒരു ത്രിമാന ശരീരം നിറയ്ക്കും, ഹോമിയോമോർഫിക് മുതൽ സോളിഡ് ടോറസ്, അസാധാരണമായി മാത്രം കാണപ്പെടുന്നു.

ഇതിന് മൂന്ന് ജോഡി മുഖങ്ങളുണ്ട്: ഇടത്തും വലത്തും, മുകളിലും താഴെയും, മുന്നിലും പിന്നിലും. ഓരോ ജോഡി സമാന്തര മുഖങ്ങളിലും, ക്യൂബിന്റെ അരികിലൂടെ കൈമാറ്റം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ പരസ്പരം ലഭിച്ച പോയിന്റുകൾ ജോഡികളായി ഞങ്ങൾ തിരിച്ചറിയുന്നു. അതായത്, (തികച്ചും അമൂർത്തമായി, ശാരീരിക വൈകല്യങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാതെ) ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, എ, എ എന്നിവ "ഒരേ പോയിന്റാണ്, ബി, ബി" എന്നിവയും ഒരു പോയിന്റാണ്, എന്നാൽ പോയിന്റ് എയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. എല്ലാ ആന്തരിക പോയിന്റുകളും ക്യൂബ് ഞങ്ങൾ പതിവുപോലെ പരിഗണിക്കും. ക്യൂബ് തന്നെ ഒരു അരികുള്ള ഒരു മൾട്ടിഫോൾഡാണ്, എന്നാൽ ഒട്ടിച്ചതിന് ശേഷം, അറ്റം സ്വയം അടയ്ക്കുകയും അപ്രത്യക്ഷമാവുകയും ചെയ്യുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ക്യൂബിലെ എ, എ പോയിന്റുകളുടെ അയൽപക്കങ്ങൾ (അവ ഇടത്, വലത് ഷേഡുള്ള മുഖങ്ങളിൽ കിടക്കുന്നു) പന്തുകളുടെ പകുതിയാണ്, അവ മുഖങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ഒട്ടിച്ച ശേഷം ഒരു മുഴുവൻ പന്തായി ലയിക്കുന്നു, ഇത് ത്രിമാന ടോറസിന്റെ അനുബന്ധ പോയിന്റിന്റെ സമീപസ്ഥലം.

ഭൗതിക സ്ഥലത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സാധാരണ ആശയങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള 3-ടോറസിന്റെ ഘടന അനുഭവിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പരസ്പരം ലംബമായി മൂന്ന് ദിശകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്: മുന്നോട്ട്, ഇടത്, മുകളിലേക്ക് - കൂടാതെ സയൻസ് ഫിക്ഷൻ കഥകളിലെന്നപോലെ മാനസികമായി പരിഗണിക്കുക. ഈ ദിശകൾ, വളരെ ദൈർഘ്യമേറിയതും എന്നാൽ പരിമിതവുമായ സമയം , ഞങ്ങൾ ആരംഭ പോയിന്റിലേക്ക് മടങ്ങും, പക്ഷേ വിപരീത ദിശയിൽ നിന്ന്. ഇതും "സ്പേസിന്റെ കോംപാക്റ്റിഫിക്കേഷൻ" ആണ്, പക്ഷേ ഒരു ഗോളം നിർമ്മിക്കാൻ മുമ്പ് ഉപയോഗിച്ച ഒരു പോയിന്റല്ല, എന്നാൽ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ.

തെളിവിന്റെ പ്രാരംഭ ആശയം "റിക്കി ഫ്ലോ" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയാണ്: ഞങ്ങൾ ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ച കോം‌പാക്റ്റ് 3-മനിഫോൾഡ് എടുക്കുന്നു, അതിന് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ജ്യാമിതി (അതായത്, ദൂരങ്ങളും കോണുകളും ഉള്ള ചില മെട്രിക് അവതരിപ്പിക്കുക), തുടർന്ന് റിക്കി പ്രവാഹത്തിൽ അതിന്റെ പരിണാമം പരിഗണിക്കുക. 1981-ൽ ഈ ആശയം മുന്നോട്ടുവച്ച റിച്ചാർഡ് ഹാമിൽട്ടൺ, ഈ പരിണാമത്തോടെ നമ്മുടെ ബഹുമുഖം ഒരു ഗോളമായി മാറുമെന്ന് പ്രത്യാശിച്ചു. ഇത് ശരിയല്ലെന്ന് മനസ്സിലായി - ത്രിമാന കേസിൽ, റിക്കി പ്രവാഹത്തിന് മനിഫോൾഡിനെ നശിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്, അതിനെ അൽപ്പം മനിഫോൾഡ് ആക്കുന്നു (ലൈനുകൾ വിഭജിക്കുന്നതിന്റെ മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ ഏകവചന പോയിന്റുകളുള്ള ഒന്ന്). പെരെൽമാൻ, അവിശ്വസനീയമായ സാങ്കേതിക ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ മറികടന്ന്, ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ കനത്ത ഉപകരണം ഉപയോഗിച്ച്, പരിണാമസമയത്ത് മനിഫോൾഡിന്റെ ടോപ്പോളജി മാറാത്ത വിധത്തിൽ, ഏകവചന പോയിന്റുകൾക്ക് സമീപമുള്ള റിക്കി ഫ്ലോ ഭേദഗതി ചെയ്യാൻ കഴിഞ്ഞു. അവസാനം അത് ഒരു ഉരുണ്ട ഗോളമായി മാറുന്നു. എന്നാൽ റിക്കിയുടെ ഈ ഒഴുക്ക് എന്താണെന്ന് ഒടുവിൽ വിശദീകരിക്കണം. ഹാമിൽട്ടണും പെരെൽമാനും ഉപയോഗിച്ച ഫ്ലോകൾ ഒരു അമൂർത്തമായ മനിഫോൾഡിലെ അന്തർലീനമായ മെട്രിക്കിലെ മാറ്റത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് വിശദീകരിക്കാൻ പ്രയാസമാണ്, അതിനാൽ ഒരു വിമാനത്തിൽ ഉൾച്ചേർത്ത ഏകമാനമായ മാനിഫോൾഡുകളിലെ "ബാഹ്യ" റിക്കി പ്രവാഹത്തെ വിവരിക്കാൻ ഞാൻ എന്നെത്തന്നെ പരിമിതപ്പെടുത്തും. .

പ്രവേഗ വെക്റ്റർ വിമാനത്തിന്റെ ആന്തരിക ഭാഗത്തേക്ക് തിരിയുമ്പോൾ വക്രത പോസിറ്റീവ് ആയി കണക്കാക്കും, അത് നമ്മുടെ വക്രത്താൽ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, അത് പുറത്തേക്ക് തിരിയുകയാണെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ്. ഈ കൺവെൻഷൻ വക്രം സഞ്ചരിക്കുന്ന ദിശയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. ഭ്രമണം ദിശ മാറ്റുന്ന ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകളിൽ, വക്രത 0 ആയിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, ആരം 1 ന്റെ ഒരു വൃത്തത്തിന് 1 ന്റെ സ്ഥിരമായ പോസിറ്റീവ് വക്രതയുണ്ട് (റേഡിയനിൽ അളക്കുന്നത്).

അത്തരമൊരു പരിണാമ സമയത്ത് വിമാനത്തിലെ ഏതെങ്കിലും അടഞ്ഞ വക്രം സമാനമായ രീതിയിൽ പെരുമാറുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, അതായത്, അത് ഒടുവിൽ ഒരു വൃത്തമായി മാറുന്നു. റിക്കി ഫ്ലോ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പോയിൻകെയർ അനുമാനത്തിന്റെ ഏകമാനമായ അനലോഗിന്റെ തെളിവാണിത് (എന്നിരുന്നാലും, ഈ കേസിലെ പ്രസ്താവന തന്നെ ഇതിനകം വ്യക്തമാണ്, തെളിവ് രീതി അളവ് 3-ൽ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് ചിത്രീകരിക്കുന്നു).

ഉപസംഹാരമായി, പെരെൽമാന്റെ വാദം Poincaré അനുമാനം മാത്രമല്ല, ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽ എല്ലാ കോംപാക്റ്റ് 3-മനിഫോൾഡുകളുടെയും ഘടനയെ വിവരിക്കുന്ന കൂടുതൽ പൊതുവായ തർസ്റ്റൺ ജ്യാമിതീയ അനുമാനവും തെളിയിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഈ വിഷയം ഈ പ്രാഥമിക ലേഖനത്തിന്റെ പരിധിക്കപ്പുറമാണ്.

സെർജി ദുഷിൻ,
ഫിസിക്സ് ആൻഡ് മാത്തമാറ്റിക്സ് ഡോക്ടർ ശാസ്ത്രം,
മുതിർന്ന ഗവേഷകൻ
സെന്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ് ബ്രാഞ്ച്
റഷ്യൻ അക്കാദമി ഓഫ് സയൻസസിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട്

"പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ" ഗണിതശാസ്ത്ര സൂത്രവാക്യമാണ് പോയിൻകാറെയുടെ സിദ്ധാന്തം. ഗ്രിഗറി പെരെൽമാൻ. ഭാഗം 1 (പരമ്പരയിൽ നിന്ന്" യഥാർത്ഥ പുരുഷൻശാസ്ത്രത്തിൽ")

ഏറ്റവും വലിയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ ഒരാളായ ഹെൻറി പോയിൻകെയർ (1854-1912) 1904-ൽ ഒരു വികലമായ ത്രിമാന ഗോളത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രസിദ്ധമായ ആശയം രൂപപ്പെടുത്തി, 65 പേജുള്ള ഒരു ലേഖനത്തിന്റെ അവസാനം ഒരു ചെറിയ നാമമാത്ര കുറിപ്പിന്റെ രൂപത്തിൽ. തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു പ്രശ്നം, "ശരി, ഈ ചോദ്യം നമ്മെ വളരെയധികം മുന്നോട്ട് കൊണ്ടുപോകും" എന്ന വാക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് തികച്ചും വിചിത്രമായ ഒരു അനുമാനത്തിന്റെ കുറച്ച് വരികൾ സ്ക്രോൾ ചെയ്തു ...

ഓക്‌സ്‌ഫോർഡ് യൂണിവേഴ്‌സിറ്റിയിലെ മാർക്കസ് ഡു സോട്ടോയ് വിശ്വസിക്കുന്നത് പോയിൻകെരെയുടെ സിദ്ധാന്തം "ഇതാണ്" കേന്ദ്ര പ്രശ്നംഗണിതവും ഭൗതികശാസ്ത്രവും, മനസ്സിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു എന്ത് രൂപംഒരുപക്ഷേ പ്രപഞ്ചംഅവളുമായി അടുക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്."

ആഴ്ചയിലൊരിക്കൽ, ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഫോർ അഡ്വാൻസ്ഡ് സ്റ്റഡിയിൽ ഒരു സെമിനാറിൽ പങ്കെടുക്കാൻ ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ പ്രിൻസ്റ്റണിലേക്ക് പോയി. സെമിനാറിൽ, ഹാർവാർഡ് സർവകലാശാലയിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ ഒരാൾ പെരെൽമാന്റെ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നു: "വില്യം തർസ്റ്റണിന്റെ സിദ്ധാന്തം (1946-2012, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ," ത്രിമാന ജ്യാമിതി ആൻഡ് ടോപ്പോളജി" എന്ന മേഖലയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു), ഇത് സാധ്യമായ എല്ലാ വിവരങ്ങളും വിവരിക്കുന്നു. ത്രിമാന പ്രതലങ്ങൾ, പോയിൻകെയർ സിദ്ധാന്തവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഒരു പടി മുന്നിലാണ്. വില്യം തർസ്റ്റണിന്റെ അനുമാനം നിങ്ങൾ തെളിയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, Poincare അനുമാനം അതിന്റെ എല്ലാ വാതിലുകളും നിങ്ങൾക്ക് തുറക്കും. അതിന്റെ പരിഹാരം ആധുനിക ശാസ്ത്രത്തിന്റെ മുഴുവൻ ടോപ്പോളജിക്കൽ ലാൻഡ്‌സ്‌കേപ്പിനെയും മാറ്റും».

2003 മാർച്ചിൽ ആറ് പ്രമുഖ അമേരിക്കൻ സർവ്വകലാശാലകൾ പെരെൽമാനെ അദ്ദേഹത്തിന്റെ കൃതികൾ വിശദീകരിക്കുന്ന പ്രഭാഷണങ്ങളുടെ ഒരു പരമ്പര വായിക്കാൻ ക്ഷണിച്ചു. 2003 ഏപ്രിലിൽ പെരെൽമാൻ ഒരു ശാസ്ത്രീയ പര്യടനം നടത്തുന്നു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ പ്രഭാഷണങ്ങൾ ഒരു മികച്ച ശാസ്ത്ര സംഭവമായി മാറുന്നു. ജോൺ ബോൾ (ഇന്റർനാഷണൽ മാത്തമാറ്റിക്കൽ യൂണിയൻ ചെയർമാൻ), ആൻഡ്രൂ വൈൽസ് (ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള വളവുകളുടെ ഗണിത മേഖലയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, 1994-ൽ ഫെർമാറ്റിന്റെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ചു), ജോൺ നാഷ് (ഗെയിം സിദ്ധാന്തത്തിലും ഡിഫറൻഷ്യൽ ജ്യാമിതിയിലും പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ) വരുന്നു. അവനെ ശ്രദ്ധിക്കാൻ പ്രിൻസ്റ്റൺ.

സഹസ്രാബ്ദത്തിലെ ഏഴ് ജോലികളിൽ ഒന്ന് പരിഹരിക്കാൻ ഗ്രിഗറി പെരെൽമാൻ കഴിഞ്ഞുഒപ്പം ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി വിവരിക്കുകവിളിക്കപ്പെടുന്നവ പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം, Poincaré അനുമാനം തെളിയിക്കാൻ. 100 വർഷത്തിലേറെയായി ഈ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ച് ഏറ്റവും തിളക്കമുള്ള മനസ്സുകൾ പോരാടി, അതിന്റെ തെളിവിനായി ലോക ഗണിതശാസ്ത്ര സമൂഹം (ക്ലേ മാത്തമാറ്റിക്കൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട്) ഒരു മില്യൺ ഡോളർ വാഗ്ദാനം ചെയ്തു. ഇത് 2010 ജൂൺ 8 ന് അവതരിപ്പിച്ചു. ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ അതിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടില്ല. , ലോക ഗണിത സമൂഹം " താടിയെല്ലുകൾ വീണു."

2006-ൽ, പോയിൻകെരെ അനുമാനം പരിഹരിച്ചതിന്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര അവാർഡ് ലഭിച്ചു - ഫീൽഡ് പ്രൈസ് (ഫീൽഡ് മെഡൽ). അവാർഡ് സ്വീകരിക്കാൻ അദ്ദേഹത്തെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നതിനായി ജോൺ ബോൾ നേരിട്ട് സെന്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗ് സന്ദർശിച്ചു. "എന്റെ ജോലിയെ ഗൗരവമായി വിലയിരുത്താൻ സമൂഹത്തിന് കഴിയുന്നില്ല" എന്ന വാക്കുകളോടെ അത് സ്വീകരിക്കാൻ അദ്ദേഹം വിസമ്മതിച്ചു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസത്തിന് ഗണ്യമായ സംഭാവന നൽകിയ യുവ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് (40 വയസ്സിന് താഴെയുള്ള) ഓരോ അന്താരാഷ്ട്ര ഗണിതശാസ്ത്ര കോൺഗ്രസിലും 4 വർഷത്തിലൊരിക്കൽ ഫീൽഡ് പ്രൈസ് (മെഡൽ) നൽകുന്നു. മെഡലിന് പുറമേ, അവാർഡ് ജേതാക്കൾക്ക് 15,000 കനേഡിയൻ ഡോളറും ($ 13,000) നൽകും.

അതിന്റെ യഥാർത്ഥ രൂപീകരണത്തിൽ, Poincaré അനുമാനം ഇപ്രകാരം വായിക്കുന്നു: "അതിരുകളില്ലാതെ ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഓരോ കോംപാക്റ്റ് ത്രിമാന മനിഫോൾഡും ഒരു ത്രിമാന ഗോളത്തിന് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണ്." ഒരു പൊതു ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്താൽ, ഇതിനർത്ഥം ഏതെങ്കിലും ത്രിമാന വസ്തു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഗ്ലാസ്, രൂപഭേദം കൊണ്ട് മാത്രം ഒരു പന്തായി രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം, അതായത്, അത് മുറിക്കുകയോ ഒട്ടിക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടതില്ല. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, Poincaré അത് നിർദ്ദേശിച്ചു സ്പെയ്സ് ത്രിമാനമല്ല, എന്നാൽ അതിലും വലിയ അളവുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു 100 വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം പെരെൽമാൻ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി അത് തെളിയിച്ചു.

ഗ്രിഗറി പെരെൽമാന്റെ പദപ്രയോഗം, മറ്റൊരു അവസ്ഥയിലേക്ക് ദ്രവ്യത്തെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള പോയിൻകാറെയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആവിഷ്കാരം, രൂപം അനസ്താസിയ നോവിഖിന്റെ "സെൻസെയ് IV" എന്ന പുസ്തകത്തിൽ പ്രതിപാദിച്ചിരിക്കുന്ന അറിവിന് സമാനമാണ്: സൂചികൾ. ആറാമത്തേതിന് മുകളിലുള്ള (7 മുതൽ 72 വരെയുള്ളവ ഉൾപ്പെടെ) അളവുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് നിരീക്ഷകൻ അവതരിപ്പിച്ച പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ ഭൗതിക പ്രപഞ്ചത്തെ നിയന്ത്രിക്കാനുള്ള കഴിവും (റിപ്പോർട്ട് "പ്രൈമറി അലട്രാ ഫിസിക്സ്" വിഷയം "എസോസ്മിക് ഗ്രിഡ്").

ഗ്രിഗറി പെരെൽമാനെ ജീവിതത്തിന്റെ ചെലവുചുരുക്കൽ, തനിക്കും മറ്റുള്ളവർക്കും വേണ്ടിയുള്ള ധാർമ്മിക ആവശ്യകതകളുടെ കാഠിന്യം എന്നിവയാൽ വേർതിരിച്ചു. അവനെ നോക്കുമ്പോൾ അവൻ മാത്രമാണെന്ന തോന്നൽ ഒരാൾക്ക് ലഭിക്കും ശാരീരികമായി വസിക്കുന്നുമറ്റെല്ലാ സമകാലികർക്കും പൊതുവായി സ്ഥലം, എ ആത്മീയമായി മറ്റു ചിലതിൽ, എവിടെ പോലും $1 മില്യൺ വേണ്ടി പോകരുത്ഏറ്റവും "നിരപരാധി" മനസ്സാക്ഷിയോട് വിട്ടുവീഴ്ച ചെയ്യുന്നു. ഇത് ഏത് തരത്തിലുള്ള സ്ഥലമാണ്, നിങ്ങളുടെ കണ്ണിന്റെ കോണിൽ നിന്ന് നോക്കാൻ പോലും കഴിയുമോ? ..

ഏകദേശം ഒരു നൂറ്റാണ്ട് മുമ്പ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പോയിൻകെയർ മുന്നോട്ട് വച്ച അനുമാനത്തിന്റെ അസാധാരണമായ പ്രാധാന്യം ത്രിമാന ഘടനകളെ സംബന്ധിക്കുന്നതാണ്. പ്രധാന ഘടകംസമകാലിക ഗവേഷണം പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ. ഈ കടങ്കഥ, ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിലെ വിദഗ്ധരുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഭാവിയിലെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസത്തിന് അടിസ്ഥാനപരമായി പ്രധാനപ്പെട്ട ഏഴ് ഒന്നാണ്.

മെഡലുകളും സമ്മാനങ്ങളും നിരസിച്ചുകൊണ്ട് പെരെൽമാൻ ചോദിക്കുന്നു: “എനിക്ക് എന്തുകൊണ്ട് അവ ആവശ്യമാണ്? അവ എനിക്ക് തീർത്തും ഉപയോഗശൂന്യമാണ്. തെളിവ് ശരിയാണെങ്കിൽ മറ്റൊരു അംഗീകാരവും ആവശ്യമില്ലെന്ന് എല്ലാവരും മനസ്സിലാക്കുന്നു. എനിക്ക് സംശയം ഉണ്ടാകുന്നതുവരെ, ഗണിതശാസ്ത്ര സമൂഹത്തിന്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള ശിഥിലീകരണത്തെക്കുറിച്ച് ഉറക്കെ സംസാരിക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ താഴ്ന്ന ധാർമ്മിക നിലവാരം കാരണം, അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നും പറയാതെ എന്നെ കന്നുകാലികളെപ്പോലെ പരിഗണിക്കാൻ അനുവദിക്കുക. ഇപ്പോൾ, എനിക്ക് സംശയം കൂടുതലായപ്പോൾ, എനിക്ക് ഒരു കന്നുകാലിയായി തുടരാനും മിണ്ടാതിരിക്കാനും കഴിയില്ല, അതിനാൽ എനിക്ക് പോകാം.

ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രം ചെയ്യാൻ, നിങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണമായും ശുദ്ധമായ ഒരു മനസ്സ് ഉണ്ടായിരിക്കണം, അതിനെ ശിഥിലമാക്കുന്ന, വഴിതെറ്റിക്കുന്ന, മൂല്യങ്ങളെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന, ഈ അവാർഡ് സ്വീകരിക്കുന്നത് ബലഹീനത പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതാണ്. അനുയോജ്യമായ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ ശാസ്ത്രത്തിൽ മാത്രം ഏർപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, മറ്റെന്തെങ്കിലും (ശക്തിയും മൂലധനവും) ശ്രദ്ധിക്കുന്നില്ല, അയാൾക്ക് ശുദ്ധമായ മനസ്സ് ഉണ്ടായിരിക്കണം, പെരെൽമാന് ഈ ആദർശത്തിന് അനുസൃതമായി ജീവിക്കുന്നതിനേക്കാൾ വലിയ പ്രാധാന്യമില്ല. ദശലക്ഷക്കണക്കിന് വരുന്ന ഈ ആശയം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് ഉപയോഗപ്രദമാണോ, ഒരു യഥാർത്ഥ ശാസ്ത്രജ്ഞന് അത്തരമൊരു പ്രോത്സാഹനം ആവശ്യമുണ്ടോ? ഈ ലോകത്തിലെ എല്ലാം വാങ്ങി കീഴടക്കാനുള്ള മൂലധനത്തിന്റെ ഈ ആഗ്രഹം അപമാനകരമല്ലേ? അല്ലെങ്കിൽ വിൽക്കാം അതിന്റെ പരിശുദ്ധിഒരു ദശലക്ഷത്തിന്? പണം എത്ര ഉണ്ടായാലും തുല്യമാണ് ആത്മാവിന്റെ സത്യം? എല്ലാത്തിനുമുപരി, പണവുമായി ബന്ധപ്പെടാൻ പാടില്ലാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഒരു മുൻകൂർ വിലയിരുത്തലാണ് ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്, അല്ലേ?! ഇതെല്ലാം ഒരു ലോട്ടോ-മില്യൺ, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ടോട്ട് പോലെയുള്ള ഒന്ന് ഉണ്ടാക്കുക എന്നതിനർത്ഥം ശാസ്ത്രീയമായ ശിഥിലീകരണത്തിൽ മുഴുകുക എന്നാണ്. മനുഷ്യ സമൂഹം മൊത്തത്തിൽ("PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS" എന്ന റിപ്പോർട്ടും "AllatRa" എന്ന പുസ്തകത്തിലെ അവസാന 50 പേജുകളിൽ ഒരു സർഗ്ഗാത്മക സമൂഹം കെട്ടിപ്പടുക്കാനുള്ള വഴിയും കാണുക). ഒപ്പം പണം(ഊർജ്ജം), ഏത് ബിസിനസുകാർ ശാസ്ത്രത്തിന് സംഭാവന നൽകാൻ തയ്യാറാണ്, അത് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, അത് ശരിയാണ്, അല്ലെങ്കിൽ മറ്റെന്തെങ്കിലും, അപമാനിക്കാതെ യഥാർത്ഥ സേവനത്തിന്റെ ആത്മാവ്, ഒരാൾ എന്ത് പറഞ്ഞാലും, അമൂല്യമായ പണത്തിന് തുല്യമായത്: " താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ എന്താണ് ഒരു ദശലക്ഷം, പരിശുദ്ധി, അല്ലെങ്കിൽ മഹത്വം ആ ഗോളങ്ങൾ (ആഗോള പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ അളവുകളെക്കുറിച്ച് ആത്മീയ ലോകംപുസ്തകം കാണുക"അല്ലാത്രാ" റിപ്പോർട്ടും"പ്രിമോർഡിയൽ അലട്രാ ഫിസിക്സ്"), അതിൽ നുഴഞ്ഞുകയറാൻ കഴിയുന്നില്ലമനുഷ്യൻ പോലും ഭാവന (മനസ്സ്)?? എന്താണ് ഒരു ദശലക്ഷം നക്ഷത്രനിബിഡമായ ആകാശംസമയത്തേക്ക്?

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രൂപീകരണത്തിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന ശേഷിക്കുന്ന പദങ്ങളുടെ ഒരു വ്യാഖ്യാനം നമുക്ക് നൽകാം:

ടോപ്പോളജി - (ഗ്രീക്ക് ടോപ്പോസിൽ നിന്ന് - സ്ഥലവും ലോഗോകളും - പഠിപ്പിക്കൽ) - കണക്കുകളുടെ ടോപ്പോളജിക്കൽ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖ, അതായത്. വിച്ഛേദങ്ങളും ഗ്ലൂയിങ്ങുകളും ഇല്ലാതെ ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും രൂപഭേദങ്ങൾക്കു കീഴിൽ മാറാത്ത ഗുണവിശേഷതകൾ (കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, വൺ-ടു-വൺ, തുടർച്ചയായ മാപ്പിംഗുകൾക്ക് കീഴിൽ). കണക്കുകളുടെ ടോപ്പോളജിക്കൽ ഗുണങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ മാനം, തന്നിരിക്കുന്ന പ്രദേശത്തെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വളവുകളുടെ എണ്ണം മുതലായവയാണ്. അതിനാൽ, ഒരു വൃത്തം, ഒരു ദീർഘവൃത്തം, ഒരു ചതുര രൂപരേഖ എന്നിവയ്ക്ക് ഒരേ ടോപ്പോളജിക്കൽ ഗുണങ്ങളുണ്ട് മുകളിൽ വിവരിച്ച രീതിയിൽ ഈ വരികൾ ഒന്നായി രൂപഭേദം വരുത്താം; അതേ സമയം, വളയത്തിനും വൃത്തത്തിനും വ്യത്യസ്ത ടോപ്പോളജിക്കൽ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉണ്ട്: വൃത്തം ഒരു കോണ്ടൂർ കൊണ്ടും മോതിരം രണ്ട് കൊണ്ടും പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

ഹോമിയോമോർഫിസം (ഗ്രീക്ക് ομοιο - സമാനമായത്, μορφη - ആകൃതി) എന്നത് രണ്ട് ടോപ്പോളജിക്കൽ സ്‌പെയ്‌സുകൾക്കിടയിലുള്ള ഒരു-ടു-വൺ കത്തിടപാടാണ്, ഈ കത്തിടപാടുകൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന പരസ്പര വിപരീത മാപ്പിംഗുകൾ തുടർച്ചയായി നടക്കുന്നു. ഈ മാപ്പിംഗുകളെ ഹോമിയോമോർഫിക് അല്ലെങ്കിൽ ടോപ്പോളജിക്കൽ മാപ്പിംഗുകൾ എന്നും ഹോമിമോർഫിസങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഒരേ ടോപ്പോളജിക്കൽ തരത്തിൽ പെടുന്ന സ്ഥലങ്ങളെ ഹോമിയോമോർഫിക് അല്ലെങ്കിൽ ടോപ്പോളജിക്കൽ തത്തുല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അതിരുകളില്ലാത്ത ഒരു ത്രിമാന മാനിഫോൾഡ്. ഇത് അത്തരമൊരു ജ്യാമിതീയ വസ്തുവാണ്, അതിൽ ഓരോ പോയിന്റിനും ഒരു ത്രിമാന പന്തിന്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു അയൽപക്കമുണ്ട്. 3-മാനിഫോൾഡുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ, ഒന്നാമതായി, R3 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന മുഴുവൻ ത്രിമാന സ്ഥലവും, അതുപോലെ തന്നെ R3 ലെ ഏതെങ്കിലും തുറന്ന സെറ്റ് പോയിന്റുകളും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സോളിഡ് ടോറസിന്റെ (ഡോനട്ട്) ഇന്റീരിയർ. ഞങ്ങൾ ഒരു അടഞ്ഞ സോളിഡ് ടോറസ് പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്. നമ്മൾ അതിന്റെ ബൗണ്ടറി പോയിന്റുകൾ (ടോറസിന്റെ ഉപരിതലം) ചേർത്താൽ, നമുക്ക് ഒരു ബൗണ്ടറിയുള്ള ഒരു മനിഫോൾഡ് ലഭിക്കും - ബൗണ്ടറി പോയിന്റുകൾക്ക് ഒരു പന്തിന്റെ രൂപത്തിൽ അയൽപക്കങ്ങൾ ഇല്ല, പക്ഷേ പന്തിന്റെ പകുതി രൂപത്തിൽ മാത്രം.

ഒരു സോളിഡ് ടോറസ് (സോളിഡ് ടോറസ്) ഒരു ദ്വിമാന ഡിസ്കിന്റെയും സർക്കിൾ D2 * S1 ന്റെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ ബോഡി ഹോമിയോമോർഫിക് ആണ്. അനൗപചാരികമായി, സോളിഡ് ടോറസ് ഒരു ഡോനട്ടാണ്, അതേസമയം ടോറസ് അതിന്റെ ഉപരിതലം മാത്രമാണ് (ചക്രത്തിന്റെ പൊള്ളയായ അറ).

ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു നിശ്ചിത മാനിഫോൾഡിനുളളിൽ പൂർണ്ണമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന തുടർച്ചയായ അടഞ്ഞ വക്രം ഈ മനിഫോൾഡിൽ നിന്ന് പുറത്തുപോകാതെ തന്നെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് സുഗമമായി ചുരുങ്ങാം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ഉദാഹരണത്തിന്, R3-ലെ ഒരു സാധാരണ ദ്വിമാന ഗോളം ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ഒരു ആപ്പിളിന്റെ ഉപരിതലത്തിൽ ഏകപക്ഷീയമായി പ്രയോഗിക്കുന്ന ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് ബാൻഡ്, ആപ്പിളിൽ നിന്ന് ഇലാസ്റ്റിക് ബാൻഡ് നീക്കം ചെയ്യാതെ മിനുസമാർന്ന രൂപഭേദം വഴി ഒരു പോയിന്റിലേക്ക് ചുരുക്കാം). മറുവശത്ത്, സർക്കിളും ടോറസും ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടില്ല.

ഒതുക്കമുള്ളത്. ഒരു മനിഫോൾഡ് അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഹോമിയോമോർഫിക് ഇമേജുകൾക്ക് പരിധിയുള്ള അളവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് ഒതുക്കമുള്ളതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വരിയിലെ തുറന്ന ഇടവേള (അതിന്റെ അറ്റങ്ങൾ ഒഴികെയുള്ള ഒരു സെഗ്മെന്റിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും) ഒതുക്കമുള്ളതല്ല, കാരണം അത് അനന്തമായ ഒരു വരിയിലേക്ക് തുടർച്ചയായി നീട്ടാൻ കഴിയും. എന്നാൽ ഒരു അടഞ്ഞ സെഗ്‌മെന്റ് (അറ്റത്തോടുകൂടിയ) ഒരു അതിരുകളുള്ള ഒരു കോം‌പാക്റ്റ് മനിഫോൾഡാണ്: ഏതെങ്കിലും തുടർച്ചയായ രൂപഭേദം വരുത്തുന്നതിന്, അറ്റങ്ങൾ ചില നിർദ്ദിഷ്ട പോയിന്റുകളിലേക്ക് പോകുന്നു, കൂടാതെ മുഴുവൻ സെഗ്‌മെന്റും ഈ പോയിന്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പരിധിയുള്ള വക്രത്തിലേക്ക് പോകണം.

തുടരും...

ഇൽനാസ് ബഷറോവ്

സാഹിത്യം:

– ALLATRA ഇന്റർനാഷണൽ പബ്ലിക് മൂവ്‌മെന്റിന്റെ അന്താരാഷ്ട്ര ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ സംഘത്തിന്റെ "പ്രൈമറി അലത്ര ഫിസിക്സ്" റിപ്പോർട്ട് ചെയ്യുക. അനസ്താസിയ നോവിഖ്, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- പുതിയവ. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- പുതിയവ. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013, 632 പേ. http://schambala.com.ua/book/s...

- സെർജി ദുഷിൻ, ഫിസിക്സ് ആൻഡ് മാത്തമാറ്റിക്സ് ഡോക്ടർ സയൻസ്, സീനിയർ ഗവേഷകൻ, റഷ്യൻ അക്കാദമി ഓഫ് സയൻസസിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിന്റെ സെന്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ് ബ്രാഞ്ച്

വിഭാഗത്തിൽ ജനപ്രിയമായത്: