Grigory Perelman พิสูจน์แล้วว่าไม่มีพระเจ้า นักคณิตศาสตร์ Perelman Yakov: คุณูปการต่อวิทยาศาสตร์

« ความท้าทายแห่งสหัสวรรษ” ซึ่งแก้ไขโดยอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียซึ่งเกี่ยวข้องกับการกำเนิดของจักรวาล ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ทุกคนที่จะเข้าใจสาระสำคัญของปริศนา ...

เกมใจ

จนกระทั่งเมื่อเร็วๆ นี้ คณิตศาสตร์ไม่ได้ให้คำมั่นสัญญาถึงเกียรติยศหรือความมั่งคั่งแก่ "นักบวช" พวกเขาด้วยซ้ำ รางวัลโนเบลไม่ได้ให้ ไม่มีการเสนอชื่อดังกล่าว ตามตำนานที่โด่งดังมาก ภรรยาของโนเบลเคยนอกใจเขากับนักคณิตศาสตร์ และเพื่อเป็นการตอบโต้ ชายผู้ร่ำรวยได้กีดกันพี่น้องชิเคนทั้งหมดของพวกเขาจากความเคารพและเงินรางวัลของเขา

สถานการณ์เปลี่ยนไปในปี 2543 สถาบันคณิตศาสตร์ Clay ส่วนตัวได้เลือกมากที่สุดเจ็ดแห่ง งานที่ยากและสัญญาว่าจะจ่ายเงินหนึ่งล้านดอลลาร์สำหรับการตัดสินใจแต่ละครั้ง

นักคณิตศาสตร์ได้รับการปฏิบัติด้วยความเคารพ ในปี 2544 ภาพยนตร์เรื่อง "A Beautiful Mind" ได้เปิดตัวโดยตัวละครหลักซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์

ตอนนี้มีเพียงคนที่อยู่ห่างไกลจากอารยธรรมเท่านั้นที่ไม่รู้: หนึ่งในล้านที่สัญญาไว้ - คนแรก - ได้รับรางวัลแล้ว รางวัลนี้มอบให้กับพลเมืองรัสเซียซึ่งอาศัยอยู่ในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก กริกอรี เพเรลแมนเขาได้พิสูจน์ Poincaré Conjecture ซึ่งเป็นปริศนาที่ท้าทายใครต่อใครมากว่า 100 ปี และด้วยความพยายามของเขา เขาได้กลายมาเป็นทฤษฎีบท

ชายมีหนวดเคราอายุ 44 ปีที่น่ารักของเราเช็ดจมูกของเขาทั่วโลก และตอนนี้ยังคงทำให้มัน - โลก - อย่างใจจดใจจ่อ เนื่องจากไม่มีใครรู้ว่านักคณิตศาสตร์จะสมควรได้รับหนึ่งล้านดอลลาร์โดยสุจริตหรือปฏิเสธ ประชาชนหัวก้าวหน้าในหลายประเทศย่อมตื่นตระหนกเป็นธรรมดา อย่างน้อยที่สุด หนังสือพิมพ์ของทุกทวีปก็บันทึกเหตุการณ์ทางการเงินและคณิตศาสตร์

และเบื้องหลังของกิจกรรมที่น่าสนใจเหล่านี้ - การทำนายดวงชะตาและการแบ่งปันเงินของผู้อื่น - ความหมายของความสำเร็จของ Perelman ก็หายไป แน่นอนว่าประธานของ Clay Institute, Jim Carlson เคยกล่าวไว้ครั้งหนึ่งว่าเป้าหมาย เงินรางวัลรวม- การค้นหาคำตอบไม่มากนักเนื่องจากความพยายามที่จะยกระดับศักดิ์ศรีของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์และเพื่อให้เยาวชนสนใจ แต่ถึงกระนั้นประเด็นคืออะไร?

Grisha ในวัยหนุ่ม - ถึงอย่างนั้นเขาก็เป็นอัจฉริยะ

สมมุติฐานของ POINCARE - มันคืออะไร?

ปริศนาที่แก้โดยอัจฉริยะชาวรัสเซีย ส่งผลต่อรากฐานของส่วนของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าโทโพโลยี มัน - โทโพโลยี - มักเรียกว่า "เรขาคณิตบนแผ่นยาง" มันเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติ รูปทรงเรขาคณิตซึ่งจะถูกรักษาไว้หากยืด บิด งอ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเปลี่ยนรูปโดยไม่มีการแตกหัก การตัด และกาว

โทโพโลยีมีความสำคัญต่อฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์เพราะช่วยให้เราเข้าใจคุณสมบัติของพื้นที่ หรือประเมินโดยไม่สามารถมองรูปร่างของพื้นที่นี้จากภายนอกได้ ตัวอย่างเช่น จักรวาลของเรา

เมื่ออธิบายการคาดเดาของ Poincare พวกเขาเริ่มต้นดังนี้: จินตนาการถึงทรงกลมสองมิติ - หยิบแผ่นยางแล้วดึงไปที่ลูกบอล เพื่อให้เส้นรอบวงของดิสก์ถูกรวบรวมไว้ที่จุดเดียว ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถดึงเป้กีฬาด้วยสาย ผลลัพธ์คือทรงกลม: สำหรับเรา - สามมิติ แต่จากมุมมองของคณิตศาสตร์ - มีเพียงสองมิติเท่านั้น

จากนั้นพวกเขาเสนอที่จะดึงดิสก์แผ่นเดียวกันบนเบเกิล ดูเหมือนว่าจะทำงาน แต่ขอบของดิสก์จะมาบรรจบกันเป็นวงกลมซึ่งไม่สามารถดึงเป็นจุดได้อีกต่อไป - มันจะตัดโดนัท

ตามที่เขาเขียนไว้ใน หนังสือยอดนิยมอื่น นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย, Vladimir Uspensky, "ไม่เหมือนกับทรงกลมสองมิติ, ทรงกลมสามมิติไม่สามารถเข้าถึงได้โดยตรงจากการสังเกตของเรา, และเป็นการยากสำหรับเราที่จะจินตนาการว่ามันเป็นของ Vasily Ivanovich จากเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ สี่เหลี่ยมจัตุรัส trinomial ที่รู้จักกันดี"

ดังนั้น ตามสมมติฐานของ Poincaré ทรงกลมสามมิติเป็นเพียงสิ่งสามมิติที่พื้นผิวสามารถถูกดึงเข้าสู่จุดเดียวได้ด้วย "ไฮเปอร์คอร์ด" สมมุติฐานบางอย่าง

Grigory Perelman: - แค่คิดว่าทวินามของนิวตัน ...

Jules Henri Poincare แนะนำสิ่งนี้ในปี 1904 ตอนนี้ Perelman ได้โน้มน้าวทุกคนที่เข้าใจว่านักโทโพโลยีชาวฝรั่งเศสพูดถูก และเปลี่ยนสมมติฐานของเขาเป็นทฤษฎีบท

การพิสูจน์ช่วยให้เข้าใจว่าเอกภพของเรามีรูปร่างอย่างไร และช่วยให้เราสันนิษฐานได้อย่างสมเหตุสมผลว่ามันเป็นทรงกลมสามมิติเดียวกัน

แต่ถ้าเอกภพเป็นเพียง "ร่าง" เดียวที่สามารถย่อให้เป็นจุดๆ ได้ ก็อาจจะยืดออกจากจุดๆ หนึ่งได้เช่นกัน ซึ่งทำหน้าที่เป็นการยืนยันโดยอ้อมของทฤษฎีบิกแบงซึ่งอ้างว่าเอกภพกำเนิดจากจุดนั้น

ปรากฎว่า Perelman ร่วมกับ Poincare ทำให้ผู้สร้างสรรค์ที่เรียกว่า - ผู้สนับสนุนอารมณ์เสีย จุดเริ่มต้นอันศักดิ์สิทธิ์จักรวาล. และทำน้ำหกใส่โรงสีนักฟิสิกส์วัตถุนิยม

Grigory Perelman นักคณิตศาสตร์อัจฉริยะจากเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ผู้โด่งดังไปทั่วโลกจากการพิสูจน์การคาดคะเน Poincaré ในที่สุดก็อธิบายการที่เขาปฏิเสธรางวัลล้านดอลลาร์ที่มอบให้สำหรับสิ่งนี้ ตามที่รัฐ " ทีวีเอ็นซี" นักวิทยาศาสตร์สันโดษเปิดเผยตัวเองในการสนทนากับนักข่าวและผู้อำนวยการสร้างของ บริษัท ภาพยนตร์ "President-Film" ซึ่งด้วยความยินยอมของ Perelman จะถ่ายทำภาพยนตร์เรื่อง "Formula of the Universe" เกี่ยวกับเขา

Alexander Zabrovsky โชคดีที่ได้พูดคุยกับนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ - เขาออกจากมอสโกไปอิสราเอลเมื่อไม่กี่ปีก่อนและเดาได้ว่าจะติดต่อแม่ของ Grigory Yakovlevich ก่อนผ่านชุมชนชาวยิวในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กโดยช่วยเธอ เธอพูดคุยกับลูกชายของเธอ และหลังจากที่เธอมีอุปนิสัยที่ดีแล้ว เขาก็ตกลงที่จะเข้าร่วมการประชุม สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นความสำเร็จอย่างแท้จริง - นักข่าวไม่สามารถ "จับ" นักวิทยาศาสตร์ได้แม้ว่าพวกเขาจะนั่งที่ทางเข้าเป็นเวลาหลายวัน

ดังที่ Zabrovsky บอกกับหนังสือพิมพ์ Perelman ให้ความรู้สึกว่า "เป็นคนที่มีเหตุผล สุขภาพดี เพียงพอ และเป็นคนปกติ": "สมจริง ใช้งานได้จริง และมีเหตุผล แต่ไม่ปราศจากอารมณ์ความรู้สึกและความตื่นเต้น ... ทุกสิ่งที่สื่อนำมาประกอบกับเขา ราวกับว่าเขา "เสียสติ" - ไร้สาระสิ้นดี! เขารู้แน่ชัดว่าเขาต้องการอะไรและรู้วิธีบรรลุเป้าหมาย "

ภาพยนตร์เรื่องนี้ซึ่งนักคณิตศาสตร์ติดต่อและตกลงช่วยเหลือจะไม่เกี่ยวกับตัวเขาเอง แต่เกี่ยวกับความร่วมมือและการเผชิญหน้าของโรงเรียนคณิตศาสตร์หลักสามแห่งของโลก: รัสเซีย จีน และอเมริกา ซึ่งเป็นโรงเรียนที่ก้าวหน้าที่สุดในเส้นทางการศึกษา และจัดการจักรวาล

เมื่อถามว่าทำไม Perelman ปฏิเสธหนึ่งล้าน เขาตอบว่า:

"ฉันรู้วิธีจัดการจักรวาล แล้วบอกฉันที - ทำไมฉันต้องวิ่งตามคนเป็นล้าน"

นักวิทยาศาสตร์ไม่พอใจในขณะที่เขาถูกเรียกในสื่อรัสเซีย

Perelman อธิบายว่าเขาไม่ได้สื่อสารกับนักข่าวเพราะพวกเขาไม่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์ แต่เป็นปัญหาส่วนตัวและในประเทศ - จากเหตุผลในการปฏิเสธคนนับล้านไปจนถึงคำถามเรื่องการตัดผมและเล็บ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาไม่ต้องการติดต่อกับสื่อรัสเซียเนื่องจากทัศนคติที่ไม่สุภาพต่อเขา ตัวอย่างเช่นในสื่อพวกเขาเรียกเขาว่า Grisha และความคุ้นเคยดังกล่าวทำให้ขุ่นเคือง

Grigory Perelman กล่าวว่าตั้งแต่นั้นมา ปีการศึกษาคุ้นเคยกับสิ่งที่เรียกว่า "การฝึกสมอง" จำได้ว่าเขาเป็น "ผู้แทน" จากสหภาพโซเวียตได้อย่างไร เหรียญทองที่งานคณิตศาสตร์โอลิมปิกในกรุงบูดาเปสต์ เขากล่าวว่า "เราพยายามแก้ปัญหาที่ความสามารถในการคิดเชิงนามธรรมเป็นเงื่อนไขที่ขาดไม่ได้

มันอยู่ในสิ่งที่เป็นนามธรรมจากตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่ว่า จุดหลักออกกำลังกายทุกวัน ในการหาทางออกที่เหมาะสม จำเป็นต้องจินตนาการถึง "ชิ้นส่วนของโลก"

ยกตัวอย่างงานที่ "ยาก" ดังกล่าว เขาอ้างถึงสิ่งต่อไปนี้: "จำไว้ ตำนานในพระคัมภีร์เกี่ยวกับวิธีที่พระเยซูคริสต์ทรงดำเนินบนน้ำ เช่น บนบก ดังนั้นฉันจึงต้องคำนวณว่าเขาจะต้องเคลื่อนที่ผ่านน้ำได้เร็วแค่ไหนเพื่อไม่ให้ตกลงไป

ตั้งแต่นั้นมา Perelman ได้อุทิศกิจกรรมทั้งหมดของเขาเพื่อศึกษาปัญหาในการศึกษาคุณสมบัติของพื้นที่สามมิติของเอกภพ: "มันน่าสนใจมาก ฉันกำลังพยายามยอมรับความมหึมา

นักวิทยาศาสตร์เขียนวิทยานิพนธ์ภายใต้การแนะนำของนักวิชาการอเล็กซานดรอฟ "หัวข้อนั้นเรียบง่าย: 'พื้นผิวอานม้าในเรขาคณิตแบบยุคลิด' คุณนึกภาพพื้นผิวที่มีขนาดเท่ากันและมีระยะห่างไม่เท่ากันที่ระยะอนันต์ได้หรือไม่ เราจำเป็นต้องวัด 'ช่องว่าง' ระหว่างพื้นผิวเหล่านั้น" นักคณิตศาสตร์อธิบาย

การค้นพบของ Perelman หมายถึงอะไรซึ่งทำให้หน่วยข่าวกรองของโลกหวาดกลัว

คำแถลงของ Poincare "สูตรแห่งจักรวาล" ถูกเรียกเนื่องจากความสำคัญในการศึกษากระบวนการทางกายภาพที่ซับซ้อนในทฤษฎีจักรวาลและเพราะมันให้คำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับรูปร่างของจักรวาล หลักฐานนี้จะมีบทบาทสำคัญในการพัฒนานาโนเทคโนโลยี"

“ผมเรียนรู้วิธีคำนวณช่องว่างร่วมกับเพื่อนร่วมงานของผม เราจะเรียนรู้กลไกในการเติม “ช่องว่าง” ทางสังคมและเศรษฐกิจ เขากล่าว “ช่องว่างมีอยู่ทั่วไป คำนวณได้ และนี่เป็นโอกาสที่ดี ...

ตามสิ่งพิมพ์ขนาดของสิ่งที่ Grigory Yakovlevich ค้นพบซึ่งจริง ๆ แล้วก้าวล้ำหน้าวิทยาศาสตร์โลกในปัจจุบันทำให้เขากลายเป็นเป้าหมายของบริการพิเศษที่น่าสนใจอย่างต่อเนื่องไม่เพียง แต่รัสเซียเท่านั้น แต่ยังรวมถึงต่างประเทศด้วย

เขาเข้าใจความรู้ขั้นสูงที่ช่วยให้เข้าใจจักรวาล และคำถามประเภทนี้ก็เกิดขึ้น: "จะเกิดอะไรขึ้นหากความรู้ของเขาถูกนำไปปฏิบัติจริง"

ในความเป็นจริงหน่วยสืบราชการลับจำเป็นต้องรู้ - Perelman หรือมากกว่านั้นคือความรู้ของเขาเป็นภัยคุกคามต่อมนุษยชาติหรือไม่? ท้ายที่สุด ถ้าด้วยความช่วยเหลือจากความรู้ของเขา มันเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนจักรวาลให้กลายเป็นจุดหนึ่ง แล้วคลี่มันออก เราจะตายหรือเกิดใหม่ในฐานะอื่นได้ไหม? แล้วเราจะเป็นไหม? และเราจำเป็นต้องจัดการจักรวาลทั้งหมดหรือไม่?

และในเวลานี้

แม่อัจฉริยะ: "อย่าถามเราเรื่องเงิน!"

เมื่อทราบว่านักคณิตศาสตร์ได้รับรางวัล Millennium Prize นักข่าวกลุ่มหนึ่งก็มารวมตัวกันที่หน้าประตูบ้านของเขา ทุกคนต้องการแสดงความยินดีกับ Perelman เป็นการส่วนตัวและดูว่าเขาจะรับเงินล้านที่ถูกต้องหรือไม่

เราเคาะประตูบอบบางเป็นเวลานาน (ถ้าเพียง แต่เราสามารถแทนที่ด้วยเงินพิเศษ) แต่นักคณิตศาสตร์ไม่เปิด แต่แม่ของเขาค่อนข้างเข้าใจจุด "i" จากโถงทางเดิน

เราไม่ต้องการพูดคุยกับใครและจะไม่ให้สัมภาษณ์ใด ๆ - Lyubov Leibovna ตะโกน - และอย่าถามเราเกี่ยวกับรางวัลและเงินนี้

ผู้คนที่อาศัยอยู่ในทางเข้าเดียวกันรู้สึกประหลาดใจมากที่เห็นความสนใจในตัว Perelman อย่างกะทันหัน

Grisha ของเราแต่งงานแล้วหรือยัง? เพื่อนบ้านคนหนึ่งหัวเราะเบา ๆ - โอ้ ฉันได้รับรางวัล อีกครั้ง. ไม่ เขาจะไม่เอามัน เขาไม่ต้องการอะไรเลยใช้ชีวิตด้วยเงิน แต่มีความสุขในแบบของเขา

พวกเขาบอกว่าในวันนักคณิตศาสตร์ได้เห็นชุดผลิตภัณฑ์เต็มรูปแบบจากร้านค้า เขากำลังเตรียมที่จะ "รักษาการล้อม" กับแม่ของเขา ครั้งสุดท้ายเมื่อการโฆษณาเกี่ยวกับรางวัลเริ่มขึ้นในสื่อ Perelman ไม่ได้ออกจากอพาร์ตเมนต์เป็นเวลาสามสัปดาห์

อนึ่ง

พวกเขาจะให้เงินหนึ่งล้านดอลลาร์เพื่ออะไรอีก ...

ในปี 1998 ด้วยเงินทุนของมหาเศรษฐี Landon T. Clay สถาบัน Clay Mathematics ก่อตั้งขึ้นในเคมบริดจ์ (สหรัฐอเมริกา) เพื่อทำให้คณิตศาสตร์เป็นที่นิยม เมื่อวันที่ 24 พฤษภาคม พ.ศ. 2543 ผู้เชี่ยวชาญของสถาบันได้เลือกปัญหาที่น่าสงสัยที่สุด 7 ข้อตามความคิดเห็นของพวกเขา และพวกเขาแต่งตั้งให้คนละหนึ่งล้านดอลลาร์

รายการมีชื่อว่า .

1. ปัญหาของแม่ครัว

มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าการตรวจสอบความถูกต้องของการแก้ปัญหาอาจใช้เวลานานกว่าการได้รับโซลูชันเองหรือไม่ งานเชิงตรรกะนี้มีความสำคัญสำหรับผู้เชี่ยวชาญในการเข้ารหัส - การเข้ารหัสข้อมูล

2. สมมติฐานรีมันน์

มีจำนวนเฉพาะที่เรียกว่า เช่น 2, 3, 5, 7 เป็นต้น ซึ่งหารด้วยตัวมันเองลงตัวเท่านั้น ไม่รู้มีกี่ตัว Riemann เชื่อว่าสิ่งนี้สามารถกำหนดได้และพบความสม่ำเสมอของการแจกจ่าย ใครก็ตามที่ค้นพบก็จะให้บริการเข้ารหัสด้วย

3. สมมติฐานของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์

ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับการแก้สมการที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักสามตัวที่ยกกำลัง เราต้องหาวิธีแก้ไขไม่ว่าจะยากแค่ไหนก็ตาม

4. สมมติฐานฮ็อดจ์

ในศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบวิธีการศึกษารูปแบบ วัตถุที่ซับซ้อน. แนวคิดคือการใช้ "อิฐ" ธรรมดาๆ แทนตัววัตถุซึ่งติดกาวเข้าด้วยกันและก่อตัวเป็นรูปร่างของมัน เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าสิ่งนี้เป็นที่ยอมรับได้เสมอ

5. Navier - สโต๊คสมการ

มันคุ้มค่าที่จะจดจำพวกเขาบนเครื่องบิน สมการอธิบายกระแสอากาศที่เก็บไว้ในอากาศ ตอนนี้สมการได้รับการแก้ไขโดยประมาณตามสูตรโดยประมาณ จำเป็นต้องค้นหาสิ่งที่แน่นอนและพิสูจน์ว่าในปริภูมิสามมิติมีคำตอบของสมการซึ่งเป็นจริงเสมอ

6. สมการหยาง-มิลส์

มีสมมติฐานในโลกของฟิสิกส์: ถ้าอนุภาคมูลฐานมีมวล ขีดจำกัดล่างของมันก็มีอยู่เช่นกัน แต่อันไหนไม่ชัดเจน คุณต้องไปหาเขา นี่อาจเป็นงานที่ยากที่สุด ในการแก้ปัญหาจำเป็นต้องสร้าง "ทฤษฎีของทุกสิ่ง" - สมการที่รวมแรงและปฏิสัมพันธ์ทั้งหมดในธรรมชาติ ใครทำสำเร็จก็ได้รับรางวัลโนเบลอย่างแน่นอน

ความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ครั้งสุดท้ายของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์คือการพิสูจน์การคาดคะเนของปวงกาเร ซึ่งแสดงในปี 1904 และระบุว่า "ทุก ๆ การเชื่อมต่อ เชื่อมต่อกันง่าย ๆ นานาสามมิติขนาดกะทัดรัดที่ไม่มีขอบเขต เป็นโฮมีโอมอร์ฟิกของทรงกลม S 3 ” โดย Grigory Perelman จาก St. ปีเตอร์สเบิร์ก ในปี พ.ศ. 2545–2546

มีคำศัพท์หลายคำในวลีนี้ซึ่งฉันจะพยายามอธิบายในลักษณะที่ความหมายทั่วไปของคำศัพท์เหล่านี้ชัดเจนสำหรับผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ (ฉันคิดว่าผู้อ่านอ่านจบแล้ว มัธยมและยังจำบางอย่างจากวิชาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนได้)

เริ่มจากแนวคิดของโฮมีโอมอร์ฟิซึมซึ่งเป็นศูนย์กลางในโทโพโลยี โดยทั่วไป โทโพโลยีมักถูกนิยามว่าเป็น "เรขาคณิตยาง" กล่าวคือ เป็นวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับคุณสมบัติของรูปเรขาคณิตที่ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการเสียรูปอย่างราบรื่นโดยไม่มีช่องว่างและการติดกาว หรือถ้าเป็นไปได้ที่จะสร้างแบบหนึ่งต่อ การติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสองวัตถุ

แนวคิดหลักนั้นอธิบายได้ง่ายที่สุดโดยใช้ตัวอย่างแก้วมัคและเบเกิลแบบคลาสสิก อันแรกสามารถเปลี่ยนเป็นอันที่สองได้โดยการเสียรูปอย่างต่อเนื่อง

ตัวเลขเหล่านี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเหยือกมีลักษณะโฮโมมอร์ฟิกกับโดนัท และข้อเท็จจริงนี้เป็นจริงทั้งกับพื้นผิว (ท่อร่วมสองมิติที่เรียกว่า torus) และสำหรับเนื้อที่เต็มไปด้วย (ท่อร่วมสามมิติที่มีขอบ)

ให้เราตีความคำศัพท์ที่เหลือที่ปรากฏในการกำหนดสมมติฐาน

1. สามมิติมากมายไร้ขอบเขตนี่คือวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งแต่ละจุดมีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปแบบของลูกบอลสามมิติ ตัวอย่างของ 3-manifolds คือ ประการแรก พื้นที่สามมิติทั้งหมด เขียนแทนด้วย R 3 เช่นเดียวกับใดๆ ชุดเปิดจุดใน R 3 เช่น ด้านในของทอรัสแข็ง (โดนัท) หากเราพิจารณา torus ที่เป็นของแข็งแบบปิด เช่น เพิ่มจุดขอบเขตของมัน (พื้นผิวของ torus) เราก็จะได้ขอบเขตที่หลากหลายแล้ว - จุดขอบเขตไม่มีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปของลูกบอล แต่เฉพาะใน แบบครึ่งลูก.
2. เชื่อมต่อแล้วแนวคิดของการเชื่อมต่อนั้นง่ายที่สุดที่นี่ ท่อร่วมเชื่อมต่อกันถ้ามันประกอบด้วยชิ้นเดียว หรืออะไรที่เหมือนกัน จุดสองจุดใดๆ ของมันสามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นต่อเนื่องที่ไม่เกินขีดจำกัดของมัน
3. เชื่อมต่อง่ายๆแนวคิดเรื่องการเชื่อมโยงเป็นหนึ่งเดียวนั้นซับซ้อนกว่า หมายความว่าเส้นโค้งปิดต่อเนื่องใดๆ ที่อยู่ภายในท่อร่วมที่กำหนดทั้งหมดสามารถหดอย่างราบรื่นไปยังจุดหนึ่งโดยไม่ต้องออกจากท่อร่วมนี้ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมสองมิติธรรมดาใน R 3 นั้นเชื่อมต่อกันง่ายๆ (แถบยางยืดซึ่งยึดติดกับพื้นผิวของแอปเปิ้ลโดยพลการ สามารถหดได้โดยการเปลี่ยนรูปเรียบจนถึงจุดหนึ่งโดยไม่ทำให้แถบยางยืดหลุดจากแอปเปิ้ล) ในทางกลับกัน วงกลมและทอรัสไม่ได้เชื่อมต่อกันง่ายๆ
4. กะทัดรัดความหลากหลายมีขนาดกะทัดรัดหากภาพโฮมโอมอร์ฟิกมีขอบเขต ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาที่เปิดบนเส้น (ทุกจุดของเซ็กเมนต์ยกเว้นจุดสิ้นสุด) ไม่กระชับ เนื่องจากสามารถขยายต่อเนื่องเป็นเส้นไม่สิ้นสุดได้ แต่ส่วนปิด (ที่มีปลาย) เป็นท่อร่วมขนาดเล็กที่มีขอบเขต: สำหรับการเสียรูปต่อเนื่องใดๆ ปลายจะไปที่จุดเฉพาะบางจุด และส่วนทั้งหมดจะต้องเข้าสู่เส้นโค้งที่มีขอบเขตซึ่งเชื่อมต่อจุดเหล่านี้

มิติท่อร่วมคือจำนวนองศาอิสระ ณ จุดที่ "มีชีวิต" บนนั้น แต่ละจุดจะมีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปแบบของดิสก์ที่มีมิติสัมพันธ์กัน เช่น ช่วงเวลาของเส้นในกรณีหนึ่งมิติ วงกลมบนระนาบในกรณีสองมิติ ลูกบอลในกรณีสามมิติ ฯลฯ จากมุมมองของโทโพโลยี มีเพียงสองมิติที่เชื่อมต่อกันแบบหนึ่งมิติโดยไม่มีขอบเขต: นี่คือเส้นและวงกลม ในจำนวนนี้ มีเพียงวงกลมเท่านั้นที่มีขนาดกะทัดรัด

ตัวอย่างของพื้นที่ที่ไม่ใช่ความหลากหลาย เช่น เส้นคู่หนึ่งตัดกัน เพราะที่จุดตัดของเส้นสองเส้น พื้นที่ใกล้เคียงใดๆ มีรูปร่างเป็นกากบาท ไม่มีพื้นที่ใกล้เคียงที่จะ ตัวเองเป็นเพียงช่วงเวลา (และจุดอื่น ๆ ทั้งหมดมีย่านดังกล่าว ) ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์กล่าวว่าเรากำลังเผชิญกับเอกพจน์ที่หลากหลายซึ่งมีจุดเอกพจน์หนึ่งจุด

ท่อร่วมขนาดเล็กสองมิติเป็นที่รู้จักกันดี ถ้าเราพิจารณาเฉพาะ มุ่งเน้นหลากหลายโดยไม่มีขอบเขต จากนั้นจากมุมมองของทอพอโลยี พวกมันจะสร้างรายการที่เรียบง่าย แม้ว่าจะไม่มีที่สิ้นสุด และอื่น ๆ ท่อร่วมดังกล่าวแต่ละอันได้มาจากทรงกลมโดยการติดกาวหลาย ๆ อันจำนวนที่เรียกว่าประเภทของพื้นผิว

รูปแสดงพื้นผิวประเภท 0, 1, 2 และ 3 ทรงกลมโดดเด่นจากพื้นผิวทั้งหมดในรายการนี้อย่างไร ปรากฎว่ามีการเชื่อมต่อกันง่ายๆ บนทรงกลม เส้นโค้งที่ปิดใดๆ สามารถย่อให้เป็นจุดหนึ่งได้ และบนพื้นผิวอื่นๆ เป็นไปได้ที่จะระบุเส้นโค้งที่ไม่สามารถย่อให้เป็นจุดตามพื้นผิวได้เสมอ

เป็นเรื่องน่าแปลกที่ท่อร่วมสามมิติแบบกะทัดรัดที่ไม่มีขอบเขตสามารถจำแนกได้ในแง่หนึ่ง เช่น จัดเรียงเป็นรายการหนึ่ง แม้ว่าจะไม่ตรงไปตรงมาเหมือนในกรณีสองมิติ แต่มีโครงสร้างที่ค่อนข้างซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ทรงกลม 3 มิติ S 3 โดดเด่นในรายการนี้ในลักษณะเดียวกับทรงกลม 2 มิติในรายการด้านบน ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นโค้งใดๆ บน S 3 ลากไปยังจุดนั้นพิสูจน์ได้ง่ายพอๆ กับกรณีสองมิติ แต่การยืนยันแบบตรงกันข้าม กล่าวคือ คุณสมบัตินี้มีลักษณะเฉพาะสำหรับทรงกลม กล่าวคือ มีเส้นโค้งที่ไม่หดตัวบนท่อร่วมสามมิติอื่น ๆ ซึ่งเป็นเรื่องยากมากและถือเป็นเนื้อหาของการคาดคะเน Poincare ที่เรากำลังพูดถึง .

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าหลากหลายสามารถอยู่ได้ด้วยตัวของมันเอง มันสามารถถูกมองว่าเป็นวัตถุอิสระ ไม่ซ้อนกันที่ใดก็ได้ (ลองนึกภาพสิ่งมีชีวิตสองมิติที่มีชีวิตบนพื้นผิวทรงกลมธรรมดา โดยไม่รู้ว่ามีมิติที่สามอยู่) โชคดีที่พื้นผิวสองมิติทั้งหมดจากรายการด้านบนสามารถฝังอยู่ในสเปซ R 3 ปกติได้ ซึ่งทำให้ เห็นภาพได้ง่ายขึ้น สำหรับ 3-sphere S 3 (และโดยทั่วไปสำหรับ 3-manifold แบบกะทัดรัดใดๆ ที่ไม่มีขอบเขต) สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นอีกต่อไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพยายามทำความเข้าใจโครงสร้างของมัน

เห็นได้ชัดว่า วิธีที่ง่ายที่สุดเพื่ออธิบายโครงสร้างทอพอโลยีของทรงกลมสามมิติ S 3 คือการทำให้แน่นแบบจุดเดียว กล่าวคือ ทรงกลมสามมิติ S 3 เป็นการกระชับจุดเดียวของพื้นที่สามมิติ (ไม่มีขอบเขต) ปกติ R 3 .

ให้เราอธิบายการก่อสร้างนี้ก่อน ตัวอย่างง่ายๆ. ลองใช้เส้นตรงธรรมดาที่ไม่มีที่สิ้นสุด (อะนาล็อกหนึ่งมิติของอวกาศ) และเพิ่มจุดที่ "ห่างไกลไม่สิ้นสุด" เข้าไปหนึ่งจุด สมมติว่าเมื่อเคลื่อนไปตามเส้นตรงไปทางขวาหรือซ้าย ในที่สุดเราก็จะมาถึงจุดนี้ จากมุมมองของโทโพโลยี ไม่มีความแตกต่างระหว่างเส้นอนันต์และส่วนเปิดที่มีขอบเขต (โดยไม่มีจุดสิ้นสุด) ส่วนดังกล่าวสามารถโค้งงออย่างต่อเนื่องในรูปแบบของส่วนโค้งนำปลายเข้ามาใกล้กันและกาวจุดที่ขาดหายไปเข้าทางแยก เห็นได้ชัดว่าเราได้วงกลม - อะนาล็อกหนึ่งมิติของทรงกลม

ในทำนองเดียวกัน ถ้าฉันใช้ระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเพิ่มจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเส้นทั้งหมดของระนาบเดิมมีแนวโน้มที่จะผ่านไปในทิศทางใดก็ได้ เราก็จะได้ทรงกลมสองมิติ (ธรรมดา) S 2 . ขั้นตอนนี้สามารถสังเกตได้โดยการฉายภาพสามมิติ ซึ่งกำหนดให้แต่ละจุด P ของทรงกลม ยกเว้นขั้วเหนือของ N ซึ่งเป็นจุดหนึ่งของระนาบ P

ดังนั้น ทรงกลมที่ไม่มีจุดเดียวก็เหมือนกับระนาบทางทอพอโลยี และการเพิ่มจุดจะทำให้ระนาบกลายเป็นทรงกลม

โดยหลักการแล้วโครงสร้างเดียวกันนั้นใช้ได้กับทรงกลมสามมิติและพื้นที่สามมิติเท่านั้นสำหรับการนำไปใช้งานจำเป็นต้องป้อนมิติที่สี่เท่านั้นและนี่ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะพรรณนาในภาพวาด ดังนั้นฉันจะ จำกัด ตัวเอง คำอธิบายด้วยวาจาการกระชับพื้นที่จุดเดียว R 3 .

ลองนึกภาพว่าพื้นที่ทางกายภาพของเรา (ซึ่งเราตามนิวตันคิดว่าเป็นอวกาศแบบยุคลิดไม่จำกัดด้วยสามพิกัด x, y, z) มีจุดหนึ่ง "ที่อนันต์" เพิ่มในลักษณะที่เมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นตรงในจุดใดๆ ทิศทาง คุณล้มลง (เช่น เส้นอวกาศแต่ละเส้นชิดกันเป็นวงกลม) จากนั้นเราจะได้ปริมาตรสามมิติขนาดกะทัดรัดซึ่งก็คือทรงกลม S 3 ตามคำนิยาม

ง่ายต่อการดูว่าทรงกลม S 3 เชื่อมต่อกันง่ายๆ แท้จริงแล้ว เส้นโค้งปิดใดๆ บนทรงกลมนี้สามารถเลื่อนได้เล็กน้อยเพื่อไม่ให้ผ่านจุดที่เพิ่มเข้ามา จากนั้นเราจะได้เส้นโค้งในพื้นที่ปกติ R 3 ซึ่งสามารถย่อให้ถึงจุดหนึ่งได้อย่างง่ายดายโดยใช้วิธีการแบบโฮโมเทตี นั่นคือ การหดตัวอย่างต่อเนื่องในทั้งสามทิศทาง

เพื่อทำความเข้าใจว่าท่อร่วม S 3 มีโครงสร้างอย่างไร การพิจารณาแบ่งพาร์ติชันออกเป็นสอง tori แบบทึบจะเป็นประโยชน์อย่างมาก หากเว้นช่องว่าง R 3 ไว้ แสดงว่ามีบางสิ่งที่ไม่ชัดเจนหลงเหลืออยู่ และถ้าพื้นที่กระชับเป็นทรงกลมส่วนเสริมนี้ก็จะกลายเป็นพรูที่มั่นคง นั่นคือทรงกลม S 3 แบ่งออกเป็นโทริทึบสองอันที่มีขอบเขตร่วมกัน - ทอรัส

นี่คือวิธีที่สามารถเข้าใจได้ ลองฝัง torus ใน R 3 ตามปกติในรูปแบบของโดนัทกลมแล้ววาดเส้นแนวตั้ง - แกนของการหมุนของโดนัทนี้ เราวาดระนาบโดยพลการผ่านแกน มันจะตัดกับพรูทึบของเราในวงกลมสองวงที่แสดงในรูป เป็นสีเขียวและส่วนเพิ่มเติมของระนาบจะแบ่งออกเป็นกลุ่มวงกลมสีแดงที่ต่อเนื่องกัน ในหมู่พวกเขาคือแกนกลางที่เน้นให้โดดเด่นยิ่งขึ้นเนื่องจากในทรงกลม S 3 เส้นจะปิดเป็นวงกลม ภาพสามมิติได้มาจากภาพสองมิตินี้โดยการหมุนรอบแกน วงกลมที่หมุนครบชุดจะเติมร่างกายสามมิติจากโฮมโอมอร์ฟิคเป็นพรูทึบ แต่ดูผิดปกติเท่านั้น

ในความเป็นจริงแกนกลางจะเป็นวงกลมตามแนวแกนและส่วนที่เหลือจะเล่นบทบาทของแนวขนาน - วงกลมที่ประกอบเป็นพรูทึบตามปกติ

เพื่อที่จะมีสิ่งที่จะเปรียบเทียบ 3 ทรงกลมด้วยฉันจะยกตัวอย่างอีกอันหนึ่งของ 3-manifold ขนาดกะทัดรัดนั่นคือ torus สามมิติ สามารถสร้างทอรัสสามมิติได้ดังนี้ ลองใช้ลูกบาศก์สามมิติธรรมดาเป็นแหล่งข้อมูล:

มีสามคู่หน้า: ซ้ายและขวา บนและล่าง หน้าและหลัง ในแต่ละคู่ของใบหน้าคู่ขนาน เราระบุจุดที่ได้รับจากแต่ละคู่เป็นคู่โดยการถ่ายโอนไปตามขอบของลูกบาศก์ นั่นคือ เราจะสันนิษฐาน (ในเชิงนามธรรมล้วน ๆ โดยไม่ใช้การเปลี่ยนรูปทางกายภาพ) ตัวอย่างเช่น A และ A "เป็นจุดเดียวกัน และ B และ B" ก็เป็นจุดเดียวเช่นกัน แต่แตกต่างจากจุด A จุดภายในทั้งหมดของ ลูกบาศก์เราจะพิจารณาตามปกติ ตัวลูกบาศก์นั้นมีหลายขนาดที่มีขอบเขต แต่หลังจากการติดกาวเสร็จแล้ว ขอบเขตจะปิดตัวเองและหายไป แท้จริงแล้ว พื้นที่ใกล้เคียงของจุด A และ A" ในลูกบาศก์ (ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายและด้านขวาของใบหน้าที่แรเงา) เป็นครึ่งหนึ่งของลูกบอล ซึ่งหลังจากติดกาวใบหน้าเข้าด้วยกันแล้ว รวมเป็นลูกบอลทั้งหมด ซึ่งทำหน้าที่เป็น พื้นที่ใกล้เคียงของจุดที่สอดคล้องกันของพรูสามมิติ

เพื่อให้รู้สึกถึงโครงสร้างของ 3 torus ตามแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับพื้นที่ทางกายภาพ คุณต้องเลือกทิศทางที่ตั้งฉากกัน 3 ทิศทาง: ไปข้างหน้า ซ้าย และขึ้น - และพิจารณาทางจิตใจ เช่นเดียวกับในนิยายวิทยาศาสตร์ เมื่อเคลื่อนไหวในสิ่งใดสิ่งหนึ่ง ทิศทางเหล่านี้ค่อนข้างยาว แต่มีเวลา จำกัด เราจะกลับไปที่จุดเริ่มต้น แต่จากทิศทางตรงกันข้าม นี่เป็น "การกระชับพื้นที่" แต่ไม่ใช่จุดเดียวซึ่งใช้ก่อนหน้านี้เพื่อสร้างทรงกลม แต่ซับซ้อนกว่า

มีเส้นทางที่ไม่หดตัวบน 3-torus; ตัวอย่างเช่น นี่คือส่วน AA" ในรูป (บน torus แสดงให้เห็นเส้นทางปิด) ไม่สามารถหดตัวได้ เนื่องจากสำหรับการเสียรูปต่อเนื่องใดๆ จุด A และ A" จะต้องเคลื่อนไปตามใบหน้าโดยเหลือไว้ตรงข้ามกันอย่างเคร่งครัด อื่นๆ (มิฉะนั้นเส้นโค้งจะเปิดออก)

ดังนั้นเราจึงเห็นว่ามีคอมโพเนนต์ 3 ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกันง่ายๆ Perelman พิสูจน์แล้วว่าท่อร่วมที่เชื่อมต่ออย่างง่ายนั้นเป็นหนึ่งเดียว

จุดเริ่มต้นของการพิสูจน์คือการใช้สิ่งที่เรียกว่า "การไหลของ Ricci": เราใช้คอมโพเนนต์ 3 ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกันง่ายๆ ประกอบเข้ากับรูปทรงเรขาคณิตตามอำเภอใจ (เช่น แนะนำเมตริกบางส่วนที่มีระยะทางและมุม) จากนั้นจึงพิจารณา วิวัฒนาการของมันตามกระแส Ricci Richard Hamilton ผู้เสนอแนวคิดนี้ในปี 1981 หวังว่าด้วยวิวัฒนาการนี้ ความหลากหลายของเราจะกลายเป็นทรงกลม ปรากฎว่าไม่เป็นความจริง - ในกรณีสามมิติ การไหลของ Ricci สามารถทำให้ส่วนต่าง ๆ เสียหายได้ เช่น ทำให้เป็นส่วนต่าง ๆ เล็กน้อย (สิ่งที่มีจุดเอกพจน์ ดังตัวอย่างข้างต้นของเส้นตัดกัน) Perelman โดยการเอาชนะปัญหาทางเทคนิคที่เหลือเชื่อ โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่หนักหน่วง สามารถแก้ไขการไหลของ Ricci ใกล้กับจุดเอกพจน์ในลักษณะที่ในระหว่างวิวัฒนาการ โทโพโลยีของท่อร่วมไม่เปลี่ยนแปลง ไม่มีจุดเอกพจน์ และใน สุดท้ายก็กลายเป็นลูกกลมๆ แต่จำเป็นต้องอธิบายในที่สุดว่ากระแสของ Ricci คืออะไร โฟลว์ที่ใช้โดยแฮมิลตันและเพเรลแมนอ้างถึงการเปลี่ยนแปลงในเมตริกที่แท้จริงในหลากหลายนามธรรม และนี่ค่อนข้างยากที่จะอธิบาย ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองให้อธิบายโฟลว์ Ricci "ภายนอก" บนหลากหลายมิติที่ฝังอยู่ในระนาบ .

ลองนึกภาพเส้นโค้งปิดเรียบบนระนาบยุคลิด เลือกทิศทางบนเส้นนั้น และพิจารณาเวกเตอร์สัมผัสของความยาวหน่วยที่แต่ละจุด จากนั้นเมื่อไปรอบเส้นโค้งในทิศทางที่เลือก เวกเตอร์นี้จะหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ซึ่งเรียกว่าความโค้ง ที่เส้นโค้งชันกว่า ความโค้ง (ในค่าสัมบูรณ์) จะมากกว่า และที่ที่เรียบกว่า ความโค้งจะน้อยกว่า

ความโค้งจะถือว่าเป็นบวกหากเวกเตอร์ความเร็วหันไปทางส่วนในของระนาบหารด้วยเส้นโค้งของเราเป็นสองส่วน และเป็นลบหากหันออกด้านนอก ข้อตกลงนี้ไม่ขึ้นกับทิศทางที่เส้นโค้งเคลื่อนที่ ที่จุดเปลี่ยนทิศทางที่การหมุนเปลี่ยนทิศทาง ความโค้งจะเป็น 0 ตัวอย่างเช่น วงกลมรัศมี 1 มีความโค้งเป็นบวกคงที่เท่ากับ 1 (วัดเป็นเรเดียน)

ทีนี้ลืมเกี่ยวกับเวกเตอร์สัมผัสกันและแนบกับแต่ละจุดของเส้นโค้ง ในทางกลับกัน เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับมัน มีความยาวเท่ากับความโค้ง ณ จุดที่กำหนด และหันเข้าด้านในหากความโค้งเป็นบวก และหันออกด้านนอกหากเป็นลบ จากนั้นเราจะบังคับให้แต่ละจุดเคลื่อนที่ไปในทิศทางของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันด้วยความเร็วที่แปรผันตามความยาว นี่คือตัวอย่าง:

ปรากฎว่าเส้นโค้งปิดใดๆ บนระนาบมีพฤติกรรมคล้ายกันระหว่างวิวัฒนาการดังกล่าว กล่าวคือ ในที่สุดมันก็กลายเป็นวงกลม นี่เป็นข้อพิสูจน์ของอะนาล็อกหนึ่งมิติของการคาดคะเน Poincare โดยใช้กระแส Ricci (อย่างไรก็ตาม ข้อความในกรณีนี้ชัดเจนอยู่แล้ว เพียงแต่วิธีการพิสูจน์แสดงให้เห็นสิ่งที่เกิดขึ้นในมิติที่ 3)

โดยสรุป เราทราบว่าข้อโต้แย้งของ Perelman ไม่เพียงพิสูจน์การคาดคะเนของ Poincaré เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการคาดคะเนรูปทรงเรขาคณิตของ Thurston ทั่วไปอีกด้วย ซึ่งใน ในแง่หนึ่งอธิบายโครงสร้างของท่อร่วมแบบ 3 คอมแพคทั้งหมดโดยทั่วไป แต่หัวข้อนี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความเบื้องต้นนี้

เนื่องจากไม่มีพื้นที่ฉันจะไม่พูดถึงท่อร่วมที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้ตัวอย่างขวด Klein ที่มีชื่อเสียง - พื้นผิวที่ไม่สามารถฝังลงในช่องว่างโดยไม่มีทางแยก

Clay Institute of Mathematics มอบรางวัล Millennium Prize ให้แก่ Grigory Perelman ด้วยเหตุนี้จึงรับรองอย่างเป็นทางการว่าการพิสูจน์การคาดคะเน Poincaré ซึ่งดำเนินการโดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียว่าถูกต้อง เป็นที่น่าสังเกตว่าในการทำเช่นนั้น สถาบันต้องฝ่าฝืนกฎของตนเอง - ตามที่พวกเขากล่าว เฉพาะผู้เขียนที่ตีพิมพ์ผลงานของเขาในวารสารที่ผ่านการตรวจสอบโดยเพื่อนเท่านั้นที่สามารถอ้างสิทธิ์ในการรับเงินประมาณหนึ่งล้านดอลลาร์ ซึ่งเป็นขนาดของ รางวัล. งานของ Grigory Perelman ไม่เคยปรากฏให้เห็นอย่างเป็นทางการ - มันยังคงเป็นชุดของงานพิมพ์ล่วงหน้าหลายชุดบนเว็บไซต์ arXiv.org (หนึ่ง สอง และสาม) อย่างไรก็ตามการตัดสินใจของสถาบันไม่ใช่เรื่องสำคัญ - การได้รับรางวัล Millennium Prize ทำให้ประวัติศาสตร์ยาวนานกว่า 100 ปีสิ้นสุดลง

แก้วมัค โดนัท และโทโพโลยีบางอย่าง

ก่อนที่จะค้นหาว่า Poincaré Conjecture คืออะไร จำเป็นต้องเข้าใจว่าสาขาใดของคณิตศาสตร์ - โทโพโลยี - ซึ่งเป็นของสมมติฐานนี้ โทโพโลยีของท่อร่วมเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของพื้นผิวที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเสียรูปบางอย่าง ลองอธิบายด้วยตัวอย่างคลาสสิก สมมติว่าผู้อ่านมีโดนัทและถ้วยเปล่าอยู่ตรงหน้า จากมุมมองของเรขาคณิตและสามัญสำนึก สิ่งเหล่านี้เป็นวัตถุที่แตกต่างกัน หากเพียงเพราะคุณจะไม่สามารถดื่มกาแฟจากโดนัทด้วยความปรารถนาทั้งหมดของคุณ

อย่างไรก็ตามนักโทโปโลยีจะบอกว่าถ้วยกับโดนัทคืออันเดียวกัน และเขาจะอธิบายแบบนี้ ลองนึกภาพว่าถ้วยกับโดนัทเป็นพื้นผิวที่ข้างในกลวง ทำจากวัสดุที่ยืดหยุ่นสูง (นักคณิตศาสตร์จะบอกว่ามีท่อร่วมสองมิติขนาดกะทัดรัดคู่หนึ่ง) มาทำการทดลองเชิงเก็งกำไรกัน: ขั้นแรกให้พองก้นถ้วย จากนั้นจึงจับที่จับ หลังจากนั้นมันจะกลายเป็นทอรัส (นี่คือลักษณะทางคณิตศาสตร์ที่เรียกรูปร่างโดนัท) คุณสามารถดูได้ว่ากระบวนการนี้มีลักษณะอย่างไร

แน่นอน ผู้อ่านที่อยากรู้อยากเห็นมีคำถาม: เนื่องจากพื้นผิวสามารถมีรอยย่นได้ จะแยกแยะได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่นมันชัดเจนโดยสัญชาตญาณ - ไม่ว่าคุณจะจินตนาการถึงพรูอย่างไรคุณก็ไม่สามารถรับทรงกลมได้หากไม่มีช่องว่างและการติดกาว สิ่งที่เรียกว่าความไม่แปรเปลี่ยนเข้ามามีบทบาท - ลักษณะพื้นผิวที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเสียรูป - แนวคิดที่จำเป็นสำหรับการกำหนดสมมติฐานของPoincaré

สามัญสำนึกบอกเราว่ารูแยกความแตกต่างของ torus จากทรงกลม อย่างไรก็ตาม ช่องโหว่ยังห่างไกลจากแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องทำให้เป็นทางการ สิ่งนี้ทำดังนี้ - ลองนึกภาพว่าเรามีด้ายยืดหยุ่นบาง ๆ บนพื้นผิวที่ก่อตัวเป็นวง (ในการทดลองเชิงเก็งกำไรนี้ไม่เหมือนกับการทดสอบก่อนหน้านี้ เราจะย้ายห่วงโดยไม่ฉีกออกจากพื้นผิวและไม่ทำลาย หากด้ายสามารถหดเป็นวงกลมขนาดเล็กมาก (เกือบเป็นจุด) แสดงว่าห่วงนั้นหดได้ มิฉะนั้น ห่วงจะเรียกว่าไม่ยืดหดได้

กลุ่มพื้นฐานของพรูแสดงด้วย n 1 (T 2) เนื่องจากไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย แขนของเมาส์จึงสร้างเป็นห่วงแบบยืดหดไม่ได้ ความโศกเศร้าบนใบหน้าของสัตว์เป็นผลมาจากการตระหนักถึงข้อเท็จจริงนี้

ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าห่วงใด ๆ บนทรงกลมนั้นหดตัวได้ (คุณสามารถดูได้ว่ามีลักษณะโดยประมาณอย่างไร) แต่สำหรับทอรัส นี่ไม่ใช่กรณีอีกต่อไป โดนัทมีห่วงมากถึงสองห่วง อันหนึ่งร้อยเป็นเกลียว หลุมและอีกอันหนึ่งข้ามรู "ตามเส้นรอบวง " ซึ่งไม่สามารถดึงได้ ในภาพนี้ ตัวอย่างของลูปที่ไม่หดตัวจะแสดงเป็นสีแดงและ สีม่วงตามลำดับ เมื่อมีการวนซ้ำบนพื้นผิว นักคณิตศาสตร์กล่าวว่า "กลุ่มพื้นฐานของความหลากหลายนั้นไม่สำคัญ" และหากไม่มีลูปดังกล่าว มันก็ไม่สำคัญ

ตอนนี้ เพื่อกำหนด Poincare Conjecture อย่างตรงไปตรงมา ผู้อ่านที่อยากรู้อยากเห็นต้องอดทนอีกสักหน่อย เราต้องหาว่าภาพรวมสามมิติโดยทั่วไปและทรงกลมสามมิติคืออะไร

ย้อนกลับไปสักครู่ที่พื้นผิวที่เรากล่าวถึงข้างต้น แต่ละชิ้นสามารถตัดเป็นชิ้นเล็ก ๆ ซึ่งแต่ละชิ้นเกือบจะคล้ายกับชิ้นส่วนของเครื่องบิน เนื่องจากระนาบมีเพียงสองมิติ ท่อร่วมจึงถูกกล่าวว่าเป็นสองมิติ ท่อสามมิติเป็นพื้นผิวที่สามารถตัดเป็นชิ้นเล็ก ๆ ซึ่งแต่ละชิ้นจะคล้ายกับชิ้นส่วนของพื้นที่สามมิติทั่วไป

หัวหน้า" นักแสดงชาย"สมมุติฐานคือทรงกลมสามมิติ เป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการว่าทรงกลมสามมิติเป็นแบบอะนาล็อกของทรงกลมธรรมดาในปริภูมิสี่มิติโดยไม่สูญเสียความคิด อย่างไรก็ตาม มันค่อนข้างง่ายที่จะอธิบายวัตถุนี้ ดังนั้นเพื่อ พูด "ในบางส่วน" ค่อนข้างง่าย ทุกคนที่เห็นโลกรู้ว่าทรงกลมธรรมดาสามารถติดเข้าด้วยกันจากทางเหนือและ ซีกโลกใต้ตามเส้นศูนย์สูตร ดังนั้นทรงกลมสามมิติจะถูกติดเข้าด้วยกันจากลูกบอลสองลูก (เหนือและใต้) ตามทรงกลมซึ่งเป็นอะนาล็อกของเส้นศูนย์สูตร

ในสามมิติเราสามารถพิจารณาลูปเดียวกันกับที่เราทำบนพื้นผิวธรรมดา ดังนั้น การคาดคะเนของPoincaré จึงกล่าวว่า: "ถ้ากลุ่มพื้นฐานของท่อร่วมสามมิตินั้นไม่สำคัญ วลีที่ไม่สามารถเข้าใจได้ "homeomorphic to a sphere" ที่แปลเป็นภาษาที่ไม่เป็นทางการหมายความว่าพื้นผิวสามารถเปลี่ยนรูปเป็นทรงกลมได้

ประวัติเล็กน้อย

โดยทั่วไปแล้ว ในวิชาคณิตศาสตร์ เป็นไปได้ที่จะสร้างข้อความที่ซับซ้อนจำนวนมาก อย่างไรก็ตาม อะไรทำให้สมมติฐานนี้หรือข้อนั้นยอดเยี่ยม แตกต่างจากข้อที่เหลือ ผิดปกติพอสมควร แต่สมมติฐานที่ยิ่งใหญ่นั้นแตกต่างจากการพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้องจำนวนมากซึ่งแต่ละข้อมีข้อผิดพลาดที่ยิ่งใหญ่ - ความไม่ถูกต้องซึ่งมักจะนำไปสู่การเกิดขึ้นของส่วนใหม่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์

ดังนั้น ในขั้นต้น อองรี ปวงกาเร ซึ่งเหนือสิ่งอื่นใด มีความโดดเด่นด้วยความสามารถในการทำผิดพลาดอย่างเฉียบแหลม จึงได้กำหนดสมมติฐานในรูปแบบที่แตกต่างไปจากที่เราเขียนไว้ข้างต้นเล็กน้อย ในเวลาต่อมา เขาได้ให้ตัวอย่างที่ขัดแย้งกับการยืนยันของเขา ซึ่งกลายเป็นที่รู้จักในชื่อ Poincaré 3-sphere ที่คล้ายคลึงกัน และในปี 1904 ได้กำหนดสมมติฐานขึ้นแล้วใน โมเดิร์นฟอร์ม. อย่างไรก็ตาม เมื่อเร็ว ๆ นี้ นักวิทยาศาสตร์ได้ดัดแปลงทรงกลมในวิชาฟิสิกส์ดาราศาสตร์ - ปรากฎว่าจักรวาลอาจกลายเป็นทรงกลม Poincare 3 ที่คล้ายคลึงกัน

ต้องบอกว่าสมมติฐานไม่ได้ทำให้เกิดความตื่นเต้นในหมู่เพื่อนนักธรณีวิทยา จนกระทั่งถึงปี 1934 เมื่อนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ จอห์น เฮนรี ไวท์เฮด ได้นำเสนอการพิสูจน์สมมติฐานในเวอร์ชันของเขา อย่างไรก็ตาม ในไม่ช้า ตัวเขาเองก็พบข้อผิดพลาดในการให้เหตุผล ซึ่งต่อมาได้นำไปสู่การเกิดขึ้นของทฤษฎีทั้งหมดของ Whitehead manifolds

หลังจากนั้นความรุ่งโรจน์ของงานที่ยากอย่างยิ่งก็ค่อย ๆ ฝังแน่นอยู่ในสมมติฐาน นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่หลายคนพยายามที่จะเอาชนะมันให้ได้ ตัวอย่างเช่น R.H.Bing ชาวอเมริกัน นักคณิตศาสตร์ที่เขียนชื่อย่อแทนชื่อในเอกสาร เขาพยายามพิสูจน์สมมติฐานไม่สำเร็จหลายครั้ง โดยกำหนดข้อความของตัวเองในระหว่างกระบวนการนี้ ซึ่งเรียกว่า "การคาดคะเนคุณสมบัติ P" (การคาดคะเนคุณสมบัติ P) เป็นที่น่าสังเกตว่าข้อความนี้ซึ่ง Bing ถือว่าเป็นคนกลางกลับกลายเป็นว่ามีความซับซ้อนมากกว่าการพิสูจน์การคาดคะเนของPoincaré

มีนักวิทยาศาสตร์และผู้คนมากมายที่สละชีวิตเพื่อพิสูจน์เรื่องนี้ ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์. ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวกรีกชื่อ Christos Papakiriakopoulos เป็นเวลากว่าสิบปีในขณะที่ทำงานที่ Princeton เขาพยายามพิสูจน์การคาดเดาไม่สำเร็จ เขาเสียชีวิตด้วยโรคมะเร็งในปี 2519

เป็นที่น่าสังเกตว่าการคาดคะเน Poincaré โดยรวมของมิติต่างๆ ที่สูงกว่าสามกลายเป็นเรื่องง่ายกว่าต้นฉบับอย่างเห็นได้ชัด - มิติเพิ่มเติมทำให้ง่ายต่อการจัดการกับหลากหลาย ดังนั้น สำหรับท่อร่วม n มิติ (เมื่อ n เป็นอย่างน้อย 5) การคาดเดาได้รับการพิสูจน์โดย Stephen Smale ในปี 1961 สำหรับ n = 4 การคาดคะเนได้รับการพิสูจน์โดยวิธีที่แตกต่างจากของ Smale ในปี 1982 โดย Michael Friedman เพื่อเป็นการพิสูจน์ของเขา คนหลังได้รับเหรียญ Fields - รางวัลสูงสุดสำหรับนักคณิตศาสตร์

ผลงานที่อธิบายอยู่ไกลจาก รายการทั้งหมดพยายามที่จะแก้สมมติฐานมากกว่าหนึ่งศตวรรษ และแม้ว่างานแต่ละชิ้นจะนำไปสู่การเกิดขึ้นของทิศทางทั้งหมดในวิชาคณิตศาสตร์และถือได้ว่าประสบความสำเร็จและมีนัยสำคัญในแง่นี้ แต่มีเพียง Grigory Perelman ชาวรัสเซียเท่านั้นที่สามารถพิสูจน์การคาดคะเนของPoincaréได้ในที่สุด

Perelman และหลักฐาน

ในปี 1992 Grigory Perelman ซึ่งเป็นพนักงานของสถาบันคณิตศาสตร์ Steklov ไปที่การบรรยายของ Richard Hamilton นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันได้พูดคุยเกี่ยวกับกระแส Ricci ซึ่งเป็นเครื่องมือใหม่สำหรับการศึกษาการคาดเดาเชิงเรขาคณิตของ Thurston ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่มาจากการคาดคะเนPoincaréเป็นผลง่ายๆ การไหลเหล่านี้สร้างขึ้นโดยเปรียบเทียบกับสมการการถ่ายเทความร้อน ทำให้พื้นผิวเปลี่ยนรูปเมื่อเวลาผ่านไปในลักษณะเดียวกับที่เราเปลี่ยนรูปพื้นผิวสองมิติในตอนต้นของบทความนี้ ปรากฎว่าในบางกรณีผลลัพธ์ของการเสียรูปดังกล่าวคือวัตถุที่มีโครงสร้างที่เข้าใจได้ง่าย ความยากหลักคือในระหว่างการเปลี่ยนรูป ภาวะเอกฐานที่มีความโค้งไม่สิ้นสุดเกิดขึ้น คล้ายกับหลุมดำในทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์

หลังจากการบรรยาย Perelman เข้าหาแฮมิลตัน เขากล่าวในภายหลังว่าริชาร์ดทำให้เขาประหลาดใจ: "เขายิ้มและอดทนมาก เขายังบอกฉันถึงข้อเท็จจริงบางอย่างที่ตีพิมพ์เพียงไม่กี่ปีต่อมา เขาทำสิ่งนี้โดยไม่ลังเล ความใจกว้างและความใจดีของเขาทำให้ฉันประหลาดใจ ฉันพูดไม่ออก ที่นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ส่วนใหญ่ประพฤติเช่นนี้"

หลังจากเดินทางไปสหรัฐอเมริกา Perelman กลับไปรัสเซียซึ่งเขาเริ่มทำงานเพื่อแก้ปัญหาเอกพจน์ของการไหลของ Ricci และพิสูจน์สมมติฐาน geometrization (และไม่ได้อยู่ที่สมมติฐานPoincaré) อย่างลับๆ ไม่น่าแปลกใจที่การปรากฏตัวของการพิมพ์ล่วงหน้าครั้งแรกของ Perelman เมื่อวันที่ 11 พฤศจิกายน 2545 ทำให้ชุมชนคณิตศาสตร์ตกใจ หลังจากนั้นไม่นานก็มีงานอีกสองสามชิ้นปรากฏขึ้น

หลังจากนั้น Perelman ถอนตัวจากการอภิปรายเกี่ยวกับหลักฐานและถึงกับหยุดทำคณิตศาสตร์ เขาไม่ได้ขัดขวางวิถีชีวิตสันโดษของเขาแม้แต่ในปี 2549 เมื่อเขาได้รับรางวัล Fields Medal ซึ่งเป็นรางวัลอันทรงเกียรติที่สุดสำหรับนักคณิตศาสตร์ มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึงเหตุผลของพฤติกรรมนี้ของผู้เขียน - อัจฉริยะมีสิทธิ์ที่จะประพฤติตัวแปลก ๆ (เช่นในอเมริกา Perelman ไม่ตัดเล็บปล่อยให้พวกเขาเติบโตอย่างอิสระ)

ยังไงก็ตาม การพิสูจน์ของ Perelman มีชีวิตของมันเอง: เอกสารสำเร็จรูปสามฉบับหลอกหลอนนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ผลลัพธ์แรกของการทดสอบความคิดของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียปรากฏในปี 2549 - นักธรณีวิทยาที่สำคัญ Bruce Kleiner และ John Lott จากมหาวิทยาลัยมิชิแกน งานของตัวเองขนาดเหมือนหนังสือ - 213 หน้า ในงานนี้นักวิทยาศาสตร์ได้ตรวจสอบการคำนวณทั้งหมดของ Perelman อย่างรอบคอบโดยอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับข้อความต่างๆที่ระบุไว้โดยย่อในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย คำตัดสินของนักวิจัยนั้นชัดเจน: หลักฐานนั้นถูกต้องอย่างแน่นอน

เรื่องราวพลิกผันที่ไม่คาดคิดเกิดขึ้นในเดือนกรกฎาคมปีเดียวกัน ในวารสาร วารสารคณิตศาสตร์แห่งเอเชียบทความของนักคณิตศาสตร์ชาวจีน Xiping Zhu และ Huaidong Cao ชื่อ "A Complete Proof of the Thurston Geometrization Conjecture and the Poincaré Conjecture" ปรากฏขึ้น ภายใต้กรอบของงานนี้ ผลลัพธ์ของ Perelman ถือว่ามีความสำคัญ มีประโยชน์ แต่เป็นเพียงระดับกลางเท่านั้น งานนี้สร้างความประหลาดใจให้กับบรรดาผู้เชี่ยวชาญในฝั่งตะวันตก แต่ได้รับการชื่นชมอย่างมากในฝั่งตะวันออก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลลัพธ์ได้รับการสนับสนุนโดย Shintan Yau หนึ่งในผู้ก่อตั้งทฤษฎี Calabi-Yau ซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎีสตริง เช่นเดียวกับอาจารย์ของ Cao และ Ju ด้วยความบังเอิญที่ Yau เป็นหัวหน้าบรรณาธิการของนิตยสาร วารสารคณิตศาสตร์แห่งเอเชียที่เผยแพร่ผลงาน

หลังจากนั้นนักคณิตศาสตร์ก็เริ่มเดินทางไปทั่วโลกด้วยการบรรยายที่เป็นที่นิยมซึ่งพูดถึงความสำเร็จของนักคณิตศาสตร์ชาวจีน เป็นผลให้มีอันตรายที่ในไม่ช้าผลลัพธ์ของ Perelman และแม้แต่แฮมิลตันก็จะถูกผลักไสให้อยู่เบื้องหลัง สิ่งนี้เกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ - ทฤษฎีบทจำนวนมากที่มีชื่อของนักคณิตศาสตร์เฉพาะถูกคิดค้นโดยผู้คนที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง

อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นและอาจจะไม่เกิดขึ้นในตอนนี้ การนำเสนอรางวัล Clay Award แก่ Perelman (แม้ว่าเขาจะปฏิเสธก็ตาม) ยังคงอยู่ตลอดไป จิตสำนึกสาธารณะข้อเท็จจริง: นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Grigory Perelman ได้พิสูจน์การคาดคะเนของPoincaré ไม่สำคัญว่าในความเป็นจริงเขาได้พิสูจน์ข้อเท็จจริงทั่วไปมากขึ้นโดยพัฒนาไปตามทฤษฎีใหม่เกี่ยวกับเอกพจน์ของ Ricci Flow ถึงอย่างนั้น. รางวัลได้พบฮีโร่

ภาพถ่ายโดย N. Chetverikova ความสำเร็จครั้งยิ่งใหญ่ครั้งสุดท้ายของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์คือการพิสูจน์การคาดคะเนของ Poincaré ซึ่งแสดงในปี 1904 และระบุว่า: “ทุกๆ ที่เชื่อมต่อกัน เชื่อมต่อกันง่ายๆ สามมิติขนาดกะทัดรัดที่ไม่มีขอบเขต เป็นโฮมีโอมอร์ฟิคของทรงกลม S 3 ” โดย Grigory Perelman จากเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กในปี 2545-2546

มีคำศัพท์หลายคำในวลีนี้ซึ่งฉันจะพยายามอธิบายในลักษณะที่ความหมายทั่วไปของพวกเขาชัดเจนสำหรับผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ (ฉันคิดว่าผู้อ่านจบการศึกษาจากโรงเรียนมัธยมและยังจำบางสิ่งจากคณิตศาสตร์ในโรงเรียนได้)

เริ่มจากแนวคิดของโฮมีโอมอร์ฟิซึมซึ่งเป็นศูนย์กลางในโทโพโลยี โดยทั่วไป โทโพโลยีมักถูกนิยามว่าเป็น "เรขาคณิตยาง" กล่าวคือ เป็นวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับคุณสมบัติของรูปเรขาคณิตที่ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการเสียรูปอย่างราบรื่นโดยไม่มีช่องว่างและการติดกาว หรือถ้าเป็นไปได้ที่จะสร้างแบบหนึ่งต่อ การติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสองวัตถุ

แนวคิดหลักนั้นอธิบายได้ง่ายที่สุดโดยใช้ตัวอย่างแก้วมัคและเบเกิลแบบคลาสสิก อันแรกสามารถเปลี่ยนเป็นอันที่สองได้ด้วยการเสียรูปอย่างต่อเนื่อง: ตัวเลขเหล่านี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเหยือกเป็นแบบโฮมโอมอร์ฟิคของโดนัท และข้อเท็จจริงนี้เป็นจริงทั้งกับพื้นผิวของมัน (ท่อร่วมสองมิติที่เรียกว่า torus) และสำหรับเนื้อที่เต็มไปด้วย ( นานาสามมิติที่มีขอบเขต)

ให้เราตีความคำศัพท์ที่เหลือที่ปรากฏในการกำหนดสมมติฐาน

1. สามมิติมากมายไร้ขอบเขตนี่คือวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งแต่ละจุดมีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปแบบของลูกบอลสามมิติ ตัวอย่างของ 3-manifolds คือ ประการแรก พื้นที่สามมิติทั้งหมด เขียนแทนด้วย R 3 เช่นเดียวกับชุดจุดเปิดใดๆ ใน R 3 เช่น ภายในของทอรัสแข็ง (โดนัท) หากเราพิจารณา torus แบบทึบนั่นคือเพิ่มจุดขอบเขต (พื้นผิวของ torus) เราก็จะได้ขอบเขตที่หลากหลายแล้ว - จุดขอบเขตไม่มีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปแบบของลูกบอล แต่อยู่ในรูปแบบเท่านั้น ของครึ่งลูก.

2. เชื่อมต่อแนวคิดของการเชื่อมต่อนั้นง่ายที่สุดที่นี่ ท่อร่วมจะเชื่อมต่อกันถ้ามันประกอบด้วยชิ้นเดียว หรือบางอย่างที่เหมือนกัน จุดสองจุดใดๆ ของมันสามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นต่อเนื่องที่ไม่เกินขีดจำกัดของมัน

3. เชื่อมต่อง่ายๆแนวคิดเรื่องการเชื่อมโยงเป็นหนึ่งเดียวนั้นซับซ้อนกว่า หมายความว่าเส้นโค้งปิดต่อเนื่องใดๆ ที่อยู่ภายในท่อร่วมที่กำหนดทั้งหมดสามารถหดอย่างราบรื่นไปยังจุดหนึ่งโดยไม่ต้องออกจากท่อร่วมนี้ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมสองมิติธรรมดาใน R 3 นั้นเชื่อมต่อกันง่ายๆ (แถบยางยืดซึ่งยึดติดกับพื้นผิวของแอปเปิ้ลโดยพลการ สามารถหดได้โดยการเปลี่ยนรูปเรียบจนถึงจุดหนึ่งโดยไม่ทำให้แถบยางยืดหลุดจากแอปเปิ้ล) ในทางกลับกัน วงกลมและทอรัสไม่ได้เชื่อมต่อกันง่ายๆ

4. กะทัดรัดความหลากหลายมีขนาดกะทัดรัดหากภาพโฮมโอมอร์ฟิกมีขอบเขต ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาที่เปิดบนเส้น (ทุกจุดของเซ็กเมนต์ยกเว้นจุดสิ้นสุด) ไม่กระชับ เนื่องจากสามารถขยายต่อเนื่องเป็นเส้นไม่สิ้นสุดได้ แต่ส่วนปิด (ที่มีปลาย) เป็นท่อร่วมขนาดเล็กที่มีขอบเขต: สำหรับการเสียรูปต่อเนื่องใดๆ ปลายจะไปที่จุดเฉพาะบางจุด และส่วนทั้งหมดจะต้องเข้าสู่เส้นโค้งที่มีขอบเขตซึ่งเชื่อมต่อจุดเหล่านี้

มิติหลากหลายคือจำนวนองศาอิสระ ณ จุดที่ "มีชีวิต" บนนั้น แต่ละจุดจะมีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปแบบของดิสก์ที่มีมิติสัมพันธ์กัน เช่น ช่วงเวลาของเส้นในกรณีหนึ่งมิติ วงกลมบนระนาบในกรณีสองมิติ ลูกบอลในกรณีสามมิติ ฯลฯ จากมุมมองของโทโพโลยี มีเพียงสองมิติที่เชื่อมต่อกันแบบหนึ่งมิติโดยไม่มีขอบเขต: นี่คือเส้นและวงกลม ในจำนวนนี้ มีเพียงวงกลมเท่านั้นที่มีขนาดกะทัดรัด

ตัวอย่างของพื้นที่ที่ไม่ใช่ความหลากหลาย เช่น เส้นคู่หนึ่งตัดกัน เพราะที่จุดตัดของเส้นสองเส้น พื้นที่ใกล้เคียงใดๆ มีรูปร่างเป็นกากบาท ไม่มีพื้นที่ใกล้เคียงที่จะ ตัวเองเป็นเพียงช่วงเวลา (และจุดอื่น ๆ ทั้งหมดมีย่านดังกล่าว ) ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์กล่าวว่าเรากำลังเผชิญกับเอกพจน์ที่หลากหลายซึ่งมีจุดเอกพจน์หนึ่งจุด

ท่อร่วมขนาดเล็กสองมิติเป็นที่รู้จักกันดี ถ้าเราพิจารณาเฉพาะ เชิง 1หลากหลายโดยไม่มีขอบเขต จากนั้นจากมุมมองของทอพอโลยี พวกมันจะสร้างรายการที่เรียบง่าย แม้ว่าจะไม่มีที่สิ้นสุด และอื่น ๆ ท่อร่วมดังกล่าวแต่ละอันได้มาจากทรงกลมโดยการติดกาวหลาย ๆ อันจำนวนที่เรียกว่าประเภทของพื้นผิว

1 เนื่องจากไม่มีพื้นที่ฉันจะไม่พูดถึงท่อร่วมที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้ตัวอย่างขวด Klein ที่มีชื่อเสียง - พื้นผิวที่ไม่สามารถฝังลงในช่องว่างโดยไม่มีทางแยก

รูปแสดงพื้นผิวประเภท 0, 1, 2 และ 3 ทรงกลมโดดเด่นจากพื้นผิวทั้งหมดในรายการนี้อย่างไร ปรากฎว่ามีการเชื่อมต่อกันง่ายๆ บนทรงกลม เส้นโค้งที่ปิดใดๆ สามารถย่อให้เป็นจุดหนึ่งได้ และบนพื้นผิวอื่นๆ เป็นไปได้ที่จะระบุเส้นโค้งที่ไม่สามารถย่อให้เป็นจุดตามพื้นผิวได้เสมอ

เป็นเรื่องน่าแปลกที่ท่อร่วมสามมิติแบบกะทัดรัดที่ไม่มีขอบเขตสามารถจำแนกได้ในแง่หนึ่ง เช่น จัดเรียงเป็นรายการหนึ่ง แม้ว่าจะไม่ตรงไปตรงมาเหมือนในกรณีสองมิติ แต่มีโครงสร้างที่ค่อนข้างซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ทรงกลม 3 มิติ S 3 โดดเด่นในรายการนี้ในลักษณะเดียวกับทรงกลม 2 มิติในรายการด้านบน ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นโค้งใดๆ บน S 3 ลากไปยังจุดนั้นพิสูจน์ได้ง่ายพอๆ กับกรณีสองมิติ แต่การยืนยันแบบตรงกันข้าม กล่าวคือ คุณสมบัตินี้มีลักษณะเฉพาะสำหรับทรงกลม กล่าวคือ มีเส้นโค้งที่ไม่หดตัวบนท่อร่วมสามมิติอื่น ๆ ซึ่งเป็นเรื่องยากมากและถือเป็นเนื้อหาของการคาดคะเน Poincare ที่เรากำลังพูดถึง .

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าหลากหลายสามารถอยู่ได้ด้วยตัวของมันเอง มันสามารถถูกมองว่าเป็นวัตถุอิสระ ไม่ซ้อนกันที่ใดก็ได้ (ลองนึกภาพสิ่งมีชีวิตสองมิติที่มีชีวิตบนพื้นผิวทรงกลมธรรมดา โดยไม่รู้ว่ามีมิติที่สามอยู่) โชคดีที่พื้นผิวสองมิติทั้งหมดจากรายการด้านบนสามารถฝังอยู่ในสเปซ R 3 ปกติได้ ซึ่งทำให้ เห็นภาพได้ง่ายขึ้น สำหรับ 3-sphere S 3 (และโดยทั่วไปสำหรับ 3-manifold แบบกะทัดรัดใดๆ ที่ไม่มีขอบเขต) สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นอีกต่อไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพยายามทำความเข้าใจโครงสร้างของมัน

เห็นได้ชัดว่าวิธีที่ง่ายที่สุดในการอธิบายโครงสร้างทอพอโลยีของทรงกลมสามมิติ S 3 คือการใช้การทำให้แน่นแบบจุดเดียว กล่าวคือ ทรงกลมสามมิติ S 3 เป็นการกระชับจุดเดียวของพื้นที่สามมิติ (ไม่มีขอบเขต) ปกติ R 3 .

ให้เราอธิบายการก่อสร้างนี้ก่อนด้วยตัวอย่างง่ายๆ ลองใช้เส้นตรงธรรมดาที่ไม่มีที่สิ้นสุด (อะนาล็อกหนึ่งมิติของอวกาศ) และเพิ่มจุดที่ "ห่างไกลไม่สิ้นสุด" เข้าไปหนึ่งจุด สมมติว่าเมื่อเคลื่อนไปตามเส้นตรงไปทางขวาหรือซ้าย ในที่สุดเราก็จะมาถึงจุดนี้ จากมุมมองของโทโพโลยี ไม่มีความแตกต่างระหว่างเส้นอนันต์และส่วนเปิดที่มีขอบเขต (โดยไม่มีจุดสิ้นสุด) ส่วนดังกล่าวสามารถโค้งงออย่างต่อเนื่องในรูปแบบของส่วนโค้งนำปลายเข้ามาใกล้กันและกาวจุดที่ขาดหายไปเข้าทางแยก เห็นได้ชัดว่าเราได้วงกลม - อะนาล็อกหนึ่งมิติของทรงกลม

ในทำนองเดียวกัน ถ้าฉันใช้ระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเพิ่มจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเส้นทั้งหมดของระนาบเดิมมีแนวโน้มที่จะผ่านไปในทิศทางใดก็ได้ เราก็จะได้ทรงกลมสองมิติ (ธรรมดา) S 2 . ขั้นตอนนี้สามารถสังเกตได้โดยใช้การฉายภาพสามมิติซึ่งกำหนดให้กับแต่ละจุด P ของทรงกลมยกเว้นขั้วเหนือของ N ซึ่งเป็นจุดหนึ่งของระนาบ P ":

ดังนั้น ทรงกลมที่ไม่มีจุดเดียวก็เหมือนกับระนาบทางทอพอโลยี และการเพิ่มจุดจะทำให้ระนาบกลายเป็นทรงกลม

โดยหลักการแล้วโครงสร้างเดียวกันนั้นใช้ได้กับทรงกลมสามมิติและพื้นที่สามมิติเท่านั้นสำหรับการนำไปใช้งานจำเป็นต้องป้อนมิติที่สี่เท่านั้นและนี่ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะพรรณนาในภาพวาด ดังนั้นฉันจึง จำกัด ตัวเองให้อยู่ในคำอธิบายด้วยวาจาของการกระชับพื้นที่จุดเดียว R 3

ลองนึกภาพว่าพื้นที่ทางกายภาพของเรา (ซึ่งเราตามนิวตันคิดว่าเป็นอวกาศแบบยุคลิดไม่จำกัดด้วยสามพิกัด x, y, z) มีจุดหนึ่ง "ที่อนันต์" เพิ่มในลักษณะที่เมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นตรงในจุดใดๆ ทิศทาง คุณล้มลง (เช่น เส้นอวกาศแต่ละเส้นชิดกันเป็นวงกลม) จากนั้นเราจะได้ปริมาตรสามมิติขนาดกะทัดรัดซึ่งก็คือทรงกลม S 3 ตามคำนิยาม

ง่ายต่อการดูว่าทรงกลม S 3 เชื่อมต่อกันง่ายๆ แท้จริงแล้ว เส้นโค้งปิดใดๆ บนทรงกลมนี้สามารถเลื่อนได้เล็กน้อยเพื่อไม่ให้ผ่านจุดที่เพิ่มเข้ามา จากนั้นเราจะได้เส้นโค้งในพื้นที่ปกติ R 3 ซึ่งสามารถย่อให้ถึงจุดหนึ่งได้อย่างง่ายดายโดยใช้วิธีการแบบโฮโมเทตี นั่นคือ การหดตัวอย่างต่อเนื่องในทั้งสามทิศทาง

เพื่อทำความเข้าใจว่าท่อร่วม S 3 มีโครงสร้างอย่างไร การพิจารณาแบ่งพาร์ติชันออกเป็นสอง tori แบบทึบจะเป็นประโยชน์อย่างมาก หากเว้นช่องว่าง R 3 ไว้ แสดงว่ามีบางสิ่งที่ไม่ชัดเจนหลงเหลืออยู่ และถ้าพื้นที่กระชับเป็นทรงกลมส่วนเสริมนี้ก็จะกลายเป็นพรูที่มั่นคง นั่นคือทรงกลม S 3 แบ่งออกเป็นโทริทึบสองอันที่มีขอบเขตร่วมกัน - ทอรัส

นี่คือวิธีที่สามารถเข้าใจได้ ลองฝัง torus ใน R 3 ตามปกติในรูปแบบของโดนัทกลมแล้ววาดเส้นแนวตั้ง - แกนของการหมุนของโดนัทนี้ วาดระนาบโดยพลการผ่านแกน มันจะตัดทอรัสทึบของเราตามวงกลมสองวงที่แสดงเป็นสีเขียวในรูป และส่วนเพิ่มเติมของระนาบจะแบ่งออกเป็นกลุ่มวงกลมสีแดงที่ต่อเนื่องกัน ในหมู่พวกเขาคือแกนกลางที่เน้นให้โดดเด่นยิ่งขึ้นเนื่องจากในทรงกลม S 3 เส้นจะปิดเป็นวงกลม ภาพสามมิติได้มาจากภาพสองมิตินี้โดยการหมุนรอบแกน วงกลมที่หมุนครบชุดจะเติมร่างกายสามมิติจากโฮมโอมอร์ฟิคเป็นพรูทึบ แต่ดูผิดปกติเท่านั้น

ในความเป็นจริงแกนกลางจะเป็นวงกลมตามแนวแกนและส่วนที่เหลือจะเล่นบทบาทของแนวขนาน - วงกลมที่ประกอบเป็นพรูทึบตามปกติ

เพื่อที่จะมีสิ่งที่จะเปรียบเทียบ 3 ทรงกลมด้วยฉันจะยกตัวอย่างอีกอันหนึ่งของ 3-manifold ขนาดกะทัดรัดนั่นคือ torus สามมิติ สามารถสร้างทอรัสสามมิติได้ดังนี้ ลองใช้ลูกบาศก์สามมิติธรรมดาเป็นแหล่งข้อมูล:

มีสามคู่หน้า: ซ้ายและขวา บนและล่าง หน้าและหลัง ในแต่ละคู่ของใบหน้าคู่ขนาน เราระบุจุดที่ได้รับจากแต่ละคู่เป็นคู่โดยการถ่ายโอนไปตามขอบของลูกบาศก์ นั่นคือ เราจะสันนิษฐาน (ในเชิงนามธรรมล้วน ๆ โดยไม่ใช้การเปลี่ยนรูปทางกายภาพ) ตัวอย่างเช่น A และ A "เป็นจุดเดียวกัน และ B และ B" ก็เป็นจุดเดียวเช่นกัน แต่แตกต่างจากจุด A จุดภายในทั้งหมดของ ลูกบาศก์เราจะพิจารณาตามปกติ ตัวลูกบาศก์นั้นเป็นท่อร่วมที่มีขอบ แต่หลังจากติดกาวเสร็จแล้ว ขอบจะปิดตัวเองและหายไป แท้จริงแล้ว พื้นที่ใกล้เคียงของจุด A และ A" ในลูกบาศก์ (ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายและด้านขวาของใบหน้าที่แรเงา) เป็นครึ่งหนึ่งของลูกบอล ซึ่งหลังจากติดกาวใบหน้าเข้าด้วยกันแล้ว รวมเป็นลูกบอลทั้งหมด ซึ่งทำหน้าที่เป็น พื้นที่ใกล้เคียงของจุดที่สอดคล้องกันของพรูสามมิติ

เพื่อให้รู้สึกถึงโครงสร้างของ 3 torus ตามแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับพื้นที่ทางกายภาพ คุณต้องเลือกทิศทางที่ตั้งฉากกัน 3 ทิศทาง: ข้างหน้า ซ้าย และขึ้น - และพิจารณาทางจิตใจ เช่นเดียวกับในนิยายวิทยาศาสตร์ เมื่อเคลื่อนไหวในสิ่งใดสิ่งหนึ่ง ทิศทางเหล่านี้ค่อนข้างยาว แต่มีเวลาจำกัด เราจะกลับไปที่จุดเริ่มต้นแต่จากทิศทางตรงกันข้าม นี่เป็น "การกระชับพื้นที่" แต่ไม่ใช่จุดเดียวซึ่งใช้ก่อนหน้านี้ในการสร้างทรงกลม แต่ซับซ้อนกว่า

มีเส้นทางที่ไม่หดตัวบน 3-torus; ตัวอย่างเช่น นี่คือส่วน AA" ในรูป (บน torus แสดงให้เห็นเส้นทางปิด) ไม่สามารถหดตัวได้ เนื่องจากสำหรับการเสียรูปต่อเนื่องใดๆ จุด A และ A" จะต้องเคลื่อนไปตามใบหน้าโดยเหลือไว้ตรงข้ามกันอย่างเคร่งครัด อื่นๆ (มิฉะนั้นเส้นโค้งจะเปิดออก)

ดังนั้นเราจึงเห็นว่ามีคอมโพเนนต์ 3 ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกันง่ายๆ Perelman พิสูจน์แล้วว่าท่อร่วมที่เชื่อมต่ออย่างง่ายนั้นเป็นหนึ่งเดียว

แนวคิดเริ่มต้นของการพิสูจน์คือการใช้สิ่งที่เรียกว่า "การไหลของ Ricci": เราใช้คอมโพเนนต์ 3-manifold ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อง่ายๆ มอบให้กับรูปทรงเรขาคณิตโดยพลการ (เช่นแนะนำเมตริกบางอย่างพร้อมระยะทางและมุม) จากนั้น พิจารณาวิวัฒนาการของมันตามกระแส Ricci Richard Hamilton ผู้เสนอแนวคิดนี้ในปี 1981 หวังว่าด้วยวิวัฒนาการนี้ ความหลากหลายของเราจะกลายเป็นทรงกลม ปรากฎว่าไม่เป็นความจริง - ในกรณีสามมิติ การไหลของ Ricci สามารถทำให้ส่วนต่าง ๆ เสียหายได้ เช่น ทำให้เป็นส่วนต่าง ๆ เล็กน้อย (สิ่งที่มีจุดเอกพจน์ ดังตัวอย่างข้างต้นของเส้นตัดกัน) Perelman โดยการเอาชนะปัญหาทางเทคนิคที่เหลือเชื่อ โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่หนักหน่วง สามารถแก้ไขการไหลของ Ricci ใกล้กับจุดเอกพจน์ในลักษณะที่ในระหว่างวิวัฒนาการ โทโพโลยีของท่อร่วมไม่เปลี่ยนแปลง ไม่มีจุดเอกพจน์ และใน ปลายมันจะกลายเป็นทรงกลม แต่ในที่สุดเราต้องอธิบายว่าการไหลของ Ricci คืออะไร โฟลว์ที่ใช้โดยแฮมิลตันและเพเรลแมนอ้างถึงการเปลี่ยนแปลงในเมตริกที่แท้จริงในหลากหลายนามธรรม และนี่ค่อนข้างยากที่จะอธิบาย ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองให้อธิบายโฟลว์ Ricci "ภายนอก" บนหลากหลายมิติที่ฝังอยู่ในระนาบ .

ลองนึกภาพเส้นโค้งปิดเรียบบนระนาบยุคลิด เลือกทิศทางบนเส้นนั้น และพิจารณาเวกเตอร์สัมผัสของความยาวหน่วยที่แต่ละจุด จากนั้นเมื่อไปรอบเส้นโค้งในทิศทางที่เลือก เวกเตอร์นี้จะหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ซึ่งเรียกว่าความโค้ง ที่เส้นโค้งชันกว่า ความโค้ง (ในค่าสัมบูรณ์) จะมากกว่า และที่ที่เรียบกว่า ความโค้งจะน้อยกว่า

ความโค้งจะถือว่าเป็นบวกหากเวกเตอร์ความเร็วหันไปทางส่วนในของระนาบหารด้วยเส้นโค้งของเราเป็นสองส่วน และเป็นลบหากหันออกด้านนอก ข้อตกลงนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับทิศทางที่เส้นโค้งเคลื่อนที่ ที่จุดเปลี่ยนทิศทางที่การหมุนเปลี่ยนทิศทาง ความโค้งจะเป็น 0 ตัวอย่างเช่น วงกลมรัศมี 1 มีความโค้งเป็นบวกคงที่เท่ากับ 1 (วัดเป็นเรเดียน)

ทีนี้ลืมเกี่ยวกับเวกเตอร์สัมผัสกันและแนบกับแต่ละจุดของเส้นโค้ง ในทางกลับกัน เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับมัน มีความยาวเท่ากับความโค้ง ณ จุดที่กำหนด และหันเข้าด้านในหากความโค้งเป็นบวก และหันออกด้านนอกหากเป็นลบ จากนั้นเราจะบังคับให้แต่ละจุดเคลื่อนที่ไปในทิศทางของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันด้วยความเร็วที่แปรผันตามความยาว นี่คือตัวอย่าง:

ปรากฎว่าเส้นโค้งปิดใดๆ ในระนาบมีพฤติกรรมคล้ายกันระหว่างวิวัฒนาการดังกล่าว กล่าวคือ ในที่สุดมันก็กลายเป็นวงกลม นี่เป็นข้อพิสูจน์ของอะนาล็อกหนึ่งมิติของการคาดคะเน Poincare โดยใช้กระแส Ricci (อย่างไรก็ตาม ข้อความในกรณีนี้ชัดเจนอยู่แล้ว เพียงแต่วิธีการพิสูจน์แสดงให้เห็นสิ่งที่เกิดขึ้นในมิติที่ 3)

โดยสรุป เราทราบว่าข้อโต้แย้งของ Perelman ไม่เพียงพิสูจน์การคาดคะเนของ Poincaré เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการคาดคะเน geometrization ของ Thurston ที่กว้างกว่านั้นมาก ซึ่งในแง่หนึ่งอธิบายโครงสร้างของท่อร่วม 3 ขนาดกะทัดรัดทั้งหมดโดยทั่วไป แต่หัวข้อนี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความเบื้องต้นนี้

เซอร์เกย์ ดูซิน
เอกฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์
อาวุโส นักวิจัย
สาขาเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก
สถาบันคณิตศาสตร์แห่ง Russian Academy of Sciences

ทฤษฎีบทของ Poincare เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ของ "จักรวาล" กริกอรี เพเรลแมน ตอนที่ 1 (จากซีรีส์เรื่อง ผู้ชายที่แท้จริงในทางวิทยาศาสตร์")

Henri Poincare (1854-1912) หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ในปี 1904 ได้กำหนดแนวคิดที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับทรงกลมสามมิติที่ผิดรูป และในรูปแบบของหมายเหตุเล็กน้อยที่ส่วนท้ายของบทความ 65 หน้าบน ปัญหาที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงเขียนข้อความคาดคะเนที่ค่อนข้างแปลกสองสามบรรทัดด้วยคำว่า: "คำถามนี้อาจพาเราไปได้ไกลเกินไป" ...

Marcus Du Sotoy แห่ง University of Oxford เชื่อว่าทฤษฎีบทของ Poincaré คือ "นี่ ปัญหากลางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์พยายามที่จะเข้าใจ รูปแบบใดอาจจะ จักรวาลมันยากมากที่จะเข้าใกล้เธอ”

Grigory Perelman สัปดาห์ละครั้งเดินทางไปที่ Princeton เพื่อเข้าร่วมการสัมมนาที่ Institute for Advanced Study ในการสัมมนาหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดตอบคำถามของ Perelman: "ทฤษฎีของ William Thurston (1946-2012, นักคณิตศาสตร์, ทำงานในสาขา" เรขาคณิตสามมิติและโทโพโลยี ") เรียกว่าสมมติฐาน geometrization อธิบายถึงความเป็นไปได้ทั้งหมด พื้นผิวสามมิติและเป็นก้าวไปข้างหน้าเมื่อเทียบกับสมมติฐานPoincaré หากคุณพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของ William Thurston การคาดคะเนของ Poincare จะเปิดประตูทั้งหมดให้คุณและอีกมากมาย วิธีการแก้ปัญหาจะเปลี่ยนภูมิทัศน์ทอพอโลยีทั้งหมดของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่».

ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2546 มหาวิทยาลัยชั้นนำของอเมริกาหกแห่งเชิญให้ Perelman อ่านชุดการบรรยายที่อธิบายงานของเขา ในเดือนเมษายน 2546 Perelman ออกทัวร์ทางวิทยาศาสตร์ การบรรยายของเขากลายเป็นเหตุการณ์ทางวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่น จอห์น บอลล์ (ประธานสหภาพคณิตศาสตร์ระหว่างประเทศ), แอนดรูว์ ไวล์ส (นักคณิตศาสตร์, ทำงานด้านเลขคณิตของเส้นโค้งวงรี, พิสูจน์ทฤษฎีบทแฟร์มาต์ในปี 1994), จอห์น แนช (นักคณิตศาสตร์ที่ทำงานด้านทฤษฎีเกมและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์) พรินซ์ตันให้ฟังเขา

Grigory Perelman สามารถแก้ปัญหาหนึ่งในเจ็ดงานของสหัสวรรษได้และ อธิบายทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า สูตรของจักรวาลเพื่อพิสูจน์ Poincaré Conjecture ความคิดที่ฉลาดที่สุดต่อสู้กับสมมติฐานนี้มานานกว่า 100 ปีและเพื่อพิสูจน์ว่าชุมชนคณิตศาสตร์โลก (สถาบันคณิตศาสตร์ดิน) สัญญาว่าจะให้เงิน 1 ล้านดอลลาร์ มันถูกนำเสนอเมื่อวันที่ 8 มิถุนายน 2010 Grigory Perelman ไม่ปรากฏบนมัน และชุมชนคณิตศาสตร์โลก "อ้าปากค้าง"

ในปี 2549 สำหรับการแก้การคาดคะเนของPoincaré นักคณิตศาสตร์ได้รับรางวัลทางคณิตศาสตร์สูงสุด - รางวัล Fields Prize (Fields Medal) John Ball ไปเยี่ยมเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กเป็นการส่วนตัวเพื่อเกลี้ยกล่อมให้เขารับรางวัล เขาปฏิเสธที่จะยอมรับมันด้วยคำว่า: "สังคมแทบจะไม่สามารถประเมินผลงานของฉันได้อย่างจริงจัง"

“รางวัล Fields Prize (และเหรียญรางวัล) จะมอบให้ทุกๆ 4 ปีในการประชุมทางคณิตศาสตร์ระหว่างประเทศแต่ละครั้ง แก่นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ (อายุต่ำกว่า 40 ปี) ซึ่งมีส่วนสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์ นอกเหนือจากเหรียญรางวัลแล้ว ผู้ได้รับรางวัลยังได้รับรางวัล 15,000 ดอลลาร์แคนาดา (13,000 ดอลลาร์แคนาดา)”

ในสูตรดั้งเดิม Poincaré Conjecture อ่านได้ดังนี้: "ทุกอันที่เชื่อมต่อกันง่ายๆ สามมิติมากมายโดยไม่มีขอบเขตคือโฮมีโอมอร์ฟิคกับทรงกลมสามมิติ" แปลเป็นภาษาทั่วไปหมายความว่าวัตถุสามมิติใด ๆ เช่นแก้วสามารถเปลี่ยนเป็นลูกบอลได้โดยการเสียรูปเพียงอย่างเดียวนั่นคือไม่จำเป็นต้องตัดหรือติดกาว กล่าวอีกนัยหนึ่ง Poincaré แนะนำว่า อวกาศไม่ใช่สามมิติ แต่มีจำนวนมิติที่มากกว่ามากและ Perelman 100 ปีต่อมา พิสูจน์ได้ทางคณิตศาสตร์.

การแสดงออกของทฤษฎีบท Poincaré ของ Grigory Perelman เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของสสารไปสู่สถานะอื่น รูปแบบคล้ายกับความรู้ที่กำหนดไว้ในหนังสือ "Sensei IV" ของ Anastasia Novykh: เข็ม" ตลอดจนความสามารถในการควบคุมจักรวาลวัสดุผ่านการเปลี่ยนแปลงที่ผู้สังเกตการณ์แนะนำจากการควบคุมมิติที่อยู่เหนือมิติที่หก (ตั้งแต่ 7 ถึง 72 รวมอยู่ด้วย) (รายงาน "หลักฟิสิกส์อัลลาตรา" หัวข้อ "ตาราง Ezoosmic")

Grigory Perelman โดดเด่นด้วยความเข้มงวดของชีวิต ความรุนแรงของข้อกำหนดทางจริยธรรมทั้งสำหรับตัวเขาเองและสำหรับผู้อื่น เมื่อมองไปที่เขา ใคร ๆ ก็รู้สึกว่าเขาเป็นเพียงคนเดียว ร่างกายอาศัยอยู่เหมือนกันกับคนรุ่นราวคราวเดียวกัน ช่องว่าง, ก ทางจิตวิญญาณในสิ่งอื่นที่แม้ อย่าไปเพื่อ 1 ล้านเหรียญ"ไร้เดียงสา" ที่สุด ประนีประนอมกับมโนธรรม. และพื้นที่นี้คืออะไรและเป็นไปได้ไหมที่จะมองจากมุมตาของคุณ ..

ความสำคัญเป็นพิเศษของสมมติฐานที่นักคณิตศาสตร์ Poincaré หยิบยกขึ้นมาเมื่อประมาณหนึ่งศตวรรษก่อนนั้นเกี่ยวข้องกับโครงสร้างสามมิติและเป็น องค์ประกอบสำคัญการวิจัยร่วมสมัย รากฐานของจักรวาล. ผู้เชี่ยวชาญจาก Clay Institute กล่าวว่าปริศนานี้เป็นหนึ่งในเจ็ดปริศนาพื้นฐานที่สำคัญสำหรับการพัฒนาคณิตศาสตร์ในอนาคต

Perelman ปฏิเสธเหรียญและรางวัล ถามว่า: "ทำไมฉันถึงต้องการมัน พวกมันไร้ประโยชน์สำหรับฉันอย่างแน่นอน ทุกคนเข้าใจดีว่าหากการพิสูจน์ถูกต้อง ก็ไม่จำเป็นต้องมีการยอมรับอื่นใดอีก จนกว่าฉันจะเกิดความสงสัย ฉันมีตัวเลือกว่าจะพูดออกมาดังๆ เกี่ยวกับการสลายตัวของชุมชนคณิตศาสตร์โดยรวมเนื่องจากระดับศีลธรรมต่ำหรือไม่พูดอะไรเลยและปล่อยให้ตัวเองถูกปฏิบัติเหมือนวัวควาย บัดนี้ เมื่อข้าพเจ้ากลายเป็นคนระแวงไปมากแล้ว ข้าพเจ้าไม่สามารถอยู่เป็นวัวควายและนิ่งเงียบต่อไปได้ ดังนั้นข้าพเจ้าจึงได้แต่จากไป

ในการทำคณิตศาสตร์สมัยใหม่ คุณต้องมีจิตใจที่บริสุทธิ์ ปราศจากสิ่งเจือปนแม้แต่น้อยที่จะทำลายมัน ทำให้สับสน แทนที่คุณค่า และการรับรางวัลนี้หมายถึงการแสดงความอ่อนแอ นักวิทยาศาสตร์ในอุดมคติมีส่วนร่วมในวิทยาศาสตร์เท่านั้น ไม่สนใจสิ่งอื่นใด (อำนาจและทุน) เขาต้องมีจิตใจที่บริสุทธิ์และสำหรับ Perelman ไม่มีความสำคัญยิ่งไปกว่าการใช้ชีวิตตามอุดมคตินี้ แนวคิดทั้งหมดนี้มีประโยชน์นับล้านสำหรับคณิตศาสตร์หรือไม่ และนักวิทยาศาสตร์ที่แท้จริงต้องการสิ่งจูงใจเช่นนี้หรือไม่? และความปรารถนาของทุนที่จะซื้อและปราบปรามทุกสิ่งในโลกนี้ไม่ดูถูก? หรือจะขายก็ได้ ความบริสุทธิ์ของมันเป็นล้าน? เงินมีเท่าไหร่ก็มีค่าเท่ากัน ความจริงของจิตวิญญาณ? ท้ายที่สุดเรากำลังเผชิญกับการประเมินเบื้องต้นเกี่ยวกับปัญหาที่เงินไม่ควรเกี่ยวข้องด้วยใช่ไหม! การทำสิ่งทั้งหมดนี้ เช่น ลอตโต-ล้าน หรือ กระเป๋าถือ หมายถึงการดื่มด่ำกับการสลายตัวของวิทยาศาสตร์ และแท้จริงแล้ว ชุมชนมนุษย์โดยรวม(ดูรายงาน "ฟิสิกส์อัลลาตรายุคแรก" และหนังสือ "อัลลาตรา" 50 หน้าสุดท้ายเกี่ยวกับแนวทางการสร้างสังคมสร้างสรรค์) และ เงินสด(พลังงาน)ซึ่งนักธุรกิจพร้อมบริจาคให้วิทยาศาสตร์ถ้าจำเป็นต้องใช้ก็ถูกต้องแล้วหรืออะไรโดยไม่ขายหน้า จิตวิญญาณแห่งการบริการที่แท้จริงไม่ว่าใครจะพูดว่าเทียบเท่ากับเงินที่ประเมินค่ามิได้: “ เทียบกับล้านคืออะไร, ด้วยความบริสุทธิ์, หรือทรง ทรงกลมเหล่านั้น (เกี่ยวกับมิติของจักรวาลโลกและเกี่ยวกับ โลกวิญญาณดูหนังสือ"อัลลัทรา" และรายงาน"ฟิสิกส์อัลลาตรายุคแรก") ซึ่งใน ไม่สามารถเจาะได้แม้แต่มนุษย์ จินตนาการ (ใจ)?! ล้านคืออะไร ท้องฟ้าเต็มไปด้วยดวงดาวเป็นเวลา?

ให้เราตีความคำศัพท์ที่เหลือที่ปรากฏในการกำหนดสมมติฐาน:

โทโพโลยี - (จากโทโปโลยีกรีก - สถานที่และโลโก้ - การสอน) - สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติทอพอโลยีของตัวเลข เช่น คุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเสียรูปใดๆ ที่เกิดขึ้นโดยไม่มีความไม่ต่อเนื่องและการติดกาว (แม่นยำยิ่งขึ้น ภายใต้การแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งและต่อเนื่อง) ตัวอย่างของคุณสมบัติทอพอโลยีของตัวเลข ได้แก่ มิติ จำนวนเส้นโค้งที่ล้อมรอบพื้นที่ที่กำหนด และอื่นๆ ดังนั้น วงกลม วงรี รูปร่างสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงมีคุณสมบัติทอพอโลยีเหมือนกันตั้งแต่นั้นมา เส้นเหล่านี้สามารถเปลี่ยนรูปเป็นอีกเส้นหนึ่งในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้น ในเวลาเดียวกัน วงแหวนและวงกลมมีคุณสมบัติทอพอโลยีต่างกัน: วงกลมล้อมรอบด้วยเส้นชั้นเดียว และวงแหวนมีเส้นรอบวงสองเส้น

โฮมีโอมอร์ฟิซึม (กรีก ομοιο - คล้าย, μορφη - รูปร่าง) เป็นความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสองช่องว่างเชิงทอพอโลยี ซึ่งการแมปผกผันร่วมกันที่กำหนดโดยการติดต่อนี้ต่อเนื่องกัน การแมปเหล่านี้เรียกว่าการแมปแบบโฮมโอมอร์ฟิคหรือทอพอโลยี เช่นเดียวกับการแมปแบบโฮมโอมอร์ฟิซึม และช่องว่างที่กล่าวกันว่าอยู่ในประเภททอพอโลยีเดียวกันเรียกว่า โฮมโอมอร์ฟิก หรือเทียบเท่าทอพอโลยี

สามมิติมากมายไร้ขอบเขต นี่คือวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งแต่ละจุดมีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปแบบของลูกบอลสามมิติ ตัวอย่างของ 3-manifolds ได้แก่ ประการแรก พื้นที่สามมิติทั้งหมด เขียนแทนด้วย R3 เช่นเดียวกับจุดเปิดใดๆ ใน R3 เช่น ภายในของ torus ที่เป็นของแข็ง (โดนัท) หากเราพิจารณาทอรัสแบบปิดนั่นคือ หากเราเพิ่มจุดขอบเขต (พื้นผิวของทอรัส) เราจะได้ขอบเขตที่มีขอบเขต - จุดขอบเขตไม่มีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปของลูกบอล แต่จะอยู่ในรูปของครึ่งลูกเท่านั้น

ทอรัสทึบ (ทอรัสทึบ) เป็นรูปทรงเรขาคณิตแบบโฮมโอมอร์ฟิคของผลิตภัณฑ์ดิสก์สองมิติและวงกลม D2 * S1 อย่างเป็นทางการ ทอรัสแข็งคือโดนัท ในขณะที่ทอรัสเป็นเพียงผิวของมัน (ช่องกลวงของล้อ)

เชื่อมต่อง่ายๆ หมายความว่าเส้นโค้งปิดต่อเนื่องใดๆ ที่อยู่ภายในท่อร่วมที่กำหนดทั้งหมดสามารถหดอย่างราบรื่นไปยังจุดหนึ่งโดยไม่ต้องออกจากท่อร่วมนี้ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมสองมิติธรรมดาใน R3 เชื่อมต่อกันง่ายๆ (แถบยางยืดที่ใช้กับพื้นผิวของแอปเปิลโดยพลการ สามารถหดให้เหลือจุดเดียวได้ด้วยการเสียรูปเรียบๆ โดยไม่ต้องถอดแถบยางยืดออกจากแอปเปิล) ในทางกลับกัน วงกลมและทอรัสไม่ได้เชื่อมต่อกันง่ายๆ

กะทัดรัด ความหลากหลายมีขนาดกะทัดรัดหากภาพโฮมโอมอร์ฟิกมีขอบเขต ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาที่เปิดบนเส้น (ทุกจุดของเซ็กเมนต์ยกเว้นจุดสิ้นสุด) ไม่กระชับ เนื่องจากสามารถขยายต่อเนื่องเป็นเส้นไม่สิ้นสุดได้ แต่ส่วนปิด (ที่มีปลาย) เป็นท่อร่วมขนาดเล็กที่มีขอบเขต: สำหรับการเสียรูปต่อเนื่องใดๆ ปลายจะไปที่จุดเฉพาะบางจุด และส่วนทั้งหมดจะต้องเข้าสู่เส้นโค้งที่มีขอบเขตซึ่งเชื่อมต่อจุดเหล่านี้

ยังมีต่อ...

อิลนาซ บาชารอฟ

วรรณกรรม:

– รายงาน "ฟิสิกส์อัลลาตราระดับประถมศึกษา" ของกลุ่มนักวิทยาศาสตร์ระดับนานาชาติของขบวนการสาธารณะระหว่างประเทศอัลลาตรา เอ็ด Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- อันใหม่. อ. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- อันใหม่. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013, 632 p. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin ดุษฎีบัณฑิตสาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์, นักวิจัยอาวุโส, สาขาเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กของสถาบันคณิตศาสตร์แห่ง Russian Academy of Sciences