บ้าน › ระบบเชื้อเพลิง › Grigory Perelman พิสูจน์อะไร? นักคณิตศาสตร์ Perelman Yakov: คุณูปการต่อวิทยาศาสตร์ Grigory Perelman นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวรัสเซีย

Grigory Perelman พิสูจน์อะไร? นักคณิตศาสตร์ Perelman Yakov: คุณูปการต่อวิทยาศาสตร์ Grigory Perelman นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวรัสเซีย

« ความท้าทายแห่งสหัสวรรษ” ซึ่งแก้ไขโดยอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียซึ่งเกี่ยวข้องกับการกำเนิดของจักรวาล ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ทุกคนที่จะเข้าใจสาระสำคัญของปริศนา ...

เกมใจ

จนกระทั่งเมื่อเร็วๆ นี้ คณิตศาสตร์ไม่ได้ให้คำมั่นสัญญาถึงเกียรติยศหรือความมั่งคั่งแก่ "นักบวช" พวกเขาไม่ได้รางวัลโนเบลด้วยซ้ำ ไม่มีการเสนอชื่อดังกล่าว ตามตำนานที่โด่งดังมาก ภรรยาของโนเบลเคยนอกใจเขากับนักคณิตศาสตร์ และเพื่อเป็นการตอบโต้ ชายผู้ร่ำรวยได้กีดกันพี่น้องชิเคนทั้งหมดของพวกเขาจากความเคารพและเงินรางวัลของเขา

สถานการณ์เปลี่ยนไปในปี 2543 Clay Mathematics Institute ซึ่งเป็นสถาบันคณิตศาสตร์เอกชนได้เลือกปัญหาที่ยากที่สุด 7 ข้อและสัญญาว่าจะจ่ายเงินหนึ่งล้านดอลลาร์สำหรับการแก้ปัญหาแต่ละข้อ

นักคณิตศาสตร์ได้รับการปฏิบัติด้วยความเคารพ ในปี 2544 ภาพยนตร์เรื่อง "A Beautiful Mind" ได้เปิดตัวโดยตัวละครหลักซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์

ตอนนี้มีเพียงคนที่อยู่ห่างไกลจากอารยธรรมเท่านั้นที่ไม่รู้: หนึ่งในล้านที่สัญญาไว้ - คนแรก - ได้รับรางวัลแล้ว รางวัลนี้มอบให้กับพลเมืองรัสเซียซึ่งอาศัยอยู่ในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก กริกอรี เพเรลแมนเขาได้พิสูจน์ Poincaré Conjecture ซึ่งเป็นปริศนาที่ท้าทายใครต่อใครมากว่า 100 ปี และด้วยความพยายามของเขา เขาได้กลายมาเป็นทฤษฎีบท

ชายมีหนวดเคราอายุ 44 ปีที่น่ารักของเราเช็ดจมูกของเขาทั่วโลก และตอนนี้ยังคงทำให้มัน - โลก - อย่างใจจดใจจ่อ เนื่องจากไม่มีใครรู้ว่านักคณิตศาสตร์จะสมควรได้รับหนึ่งล้านดอลลาร์โดยสุจริตหรือปฏิเสธ ประชาชนหัวก้าวหน้าในหลายประเทศย่อมตื่นตระหนกเป็นธรรมดา อย่างน้อยที่สุด หนังสือพิมพ์ของทุกทวีปก็บันทึกเหตุการณ์ทางการเงินและคณิตศาสตร์

และเบื้องหลังของกิจกรรมที่น่าสนใจเหล่านี้ - การทำนายดวงชะตาและการแบ่งปันเงินของผู้อื่น - ความหมายของความสำเร็จของ Perelman ก็หายไป แน่นอนว่าประธานของ Clay Institute, Jim Carlson เคยกล่าวไว้ครั้งหนึ่งว่าเป้าหมาย เงินรางวัลรวม- การค้นหาคำตอบไม่มากเท่ากับความพยายามที่จะยกระดับศักดิ์ศรีของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์และเพื่อให้เยาวชนสนใจ แต่ถึงกระนั้นประเด็นคืออะไร?

Grisha ในวัยหนุ่ม - ถึงอย่างนั้นเขาก็เป็นอัจฉริยะ

สมมุติฐานของ POINCARE - มันคืออะไร?

ปริศนาที่แก้โดยอัจฉริยะชาวรัสเซีย ส่งผลต่อรากฐานของส่วนของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าโทโพโลยี มัน - โทโพโลยี - มักเรียกว่า "เรขาคณิตบนแผ่นยาง" มันเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตที่คงไว้หากรูปร่างถูกยืด บิด งอ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเปลี่ยนรูปโดยไม่มีการแตกหัก การตัด และกาว

โทโพโลยีมีความสำคัญต่อฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์เพราะช่วยให้เราเข้าใจคุณสมบัติของพื้นที่ หรือประเมินโดยไม่สามารถมองรูปร่างของพื้นที่นี้จากภายนอกได้ ตัวอย่างเช่น จักรวาลของเรา

เมื่ออธิบายการคาดเดาของ Poincare พวกเขาเริ่มต้นดังนี้: จินตนาการถึงทรงกลมสองมิติ - หยิบแผ่นยางแล้วดึงไปที่ลูกบอล เพื่อให้เส้นรอบวงของดิสก์ถูกรวบรวมไว้ที่จุดเดียว ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถดึงเป้กีฬาด้วยสาย ผลลัพธ์คือทรงกลม: สำหรับเรา - สามมิติ แต่จากมุมมองของคณิตศาสตร์ - มีเพียงสองมิติเท่านั้น

จากนั้นพวกเขาเสนอที่จะดึงดิสก์แผ่นเดียวกันบนเบเกิล ดูเหมือนว่าจะทำงาน แต่ขอบของดิสก์จะมาบรรจบกันเป็นวงกลมซึ่งไม่สามารถดึงเป็นจุดได้อีกต่อไป - มันจะตัดโดนัท

ดังที่อีกคนหนึ่งเขียนไว้ในหนังสือยอดนิยมของเขา นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย, Vladimir Uspensky, "ไม่เหมือนกับทรงกลมสองมิติ, ทรงกลมสามมิติไม่สามารถเข้าถึงได้โดยตรงจากการสังเกตของเรา, และเป็นการยากสำหรับเราที่จะจินตนาการว่ามันเป็นของ Vasily Ivanovich จากเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ สี่เหลี่ยมจัตุรัส trinomial ที่รู้จักกันดี"

ดังนั้น ตามสมมติฐานของ Poincaré ทรงกลมสามมิติเป็นเพียงสิ่งสามมิติที่พื้นผิวสามารถถูกดึงเข้าสู่จุดเดียวได้ด้วย "ไฮเปอร์คอร์ด" สมมุติฐานบางอย่าง

Grigory Perelman: - แค่คิดว่าทวินามของนิวตัน ...

Jules Henri Poincare แนะนำสิ่งนี้ในปี 1904 ตอนนี้ Perelman ได้โน้มน้าวทุกคนที่เข้าใจว่านักโทโพโลยีชาวฝรั่งเศสพูดถูก และเปลี่ยนสมมติฐานของเขาเป็นทฤษฎีบท

การพิสูจน์ช่วยให้เข้าใจว่าเอกภพของเรามีรูปร่างอย่างไร และช่วยให้เราสันนิษฐานได้อย่างสมเหตุสมผลว่ามันเป็นทรงกลมสามมิติเดียวกัน

แต่ถ้าเอกภพเป็นเพียง "ร่าง" เดียวที่สามารถย่อให้เป็นจุดๆ ได้ ก็อาจจะยืดออกจากจุดๆ หนึ่งได้เช่นกัน ซึ่งทำหน้าที่เป็นการยืนยันโดยอ้อมของทฤษฎีบิกแบงซึ่งอ้างว่าเอกภพกำเนิดจากจุดนั้น

ปรากฎว่า Perelman ร่วมกับ Poincare ทำให้ผู้สร้างสรรค์ที่เรียกว่า - ผู้สนับสนุนอารมณ์เสีย จุดเริ่มต้นอันศักดิ์สิทธิ์จักรวาล. และทำน้ำหกใส่โรงสีนักฟิสิกส์วัตถุนิยม

Grigory Perelman นักคณิตศาสตร์อัจฉริยะจากเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ผู้โด่งดังไปทั่วโลกจากการพิสูจน์การคาดคะเน Poincaré ในที่สุดก็อธิบายการที่เขาปฏิเสธรางวัลล้านดอลลาร์ที่มอบให้สำหรับสิ่งนี้ ตาม Komsomolskaya Pravda นักวิทยาศาสตร์สันโดษเปิดเผยตัวเองในการสนทนากับนักข่าวและผู้ผลิตของ บริษัท ภาพยนตร์ President-Film ซึ่งด้วยความยินยอมของ Perelman จะถ่ายทำภาพยนตร์เรื่อง Formula of the Universe เกี่ยวกับเขา

Alexander Zabrovsky โชคดีที่ได้พูดคุยกับนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ - เขาออกจากมอสโกไปอิสราเอลเมื่อไม่กี่ปีก่อนและเดาได้ว่าจะติดต่อแม่ของ Grigory Yakovlevich ก่อนผ่านชุมชนชาวยิวในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กโดยช่วยเธอ เธอพูดคุยกับลูกชายของเธอ และหลังจากที่เธอมีอุปนิสัยที่ดีแล้ว เขาก็ตกลงที่จะเข้าร่วมการประชุม สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นความสำเร็จอย่างแท้จริง - นักข่าวไม่สามารถ "จับ" นักวิทยาศาสตร์ได้แม้ว่าพวกเขาจะนั่งที่ทางเข้าเป็นเวลาหลายวัน

ดังที่ Zabrovsky บอกกับหนังสือพิมพ์ Perelman ให้ความรู้สึกว่า "เป็นคนที่มีเหตุผล สุขภาพดี เพียงพอ และเป็นคนปกติ": "สมจริง ใช้งานได้จริง และมีเหตุผล แต่ไม่ปราศจากอารมณ์ความรู้สึกและความตื่นเต้น ... ทุกสิ่งที่สื่อนำมาประกอบกับเขา ราวกับว่าเขา "เสียสติ" - ไร้สาระสิ้นดี! เขารู้แน่ชัดว่าเขาต้องการอะไรและรู้วิธีบรรลุเป้าหมาย "

ภาพยนตร์เรื่องนี้ซึ่งนักคณิตศาสตร์ติดต่อและตกลงช่วยเหลือจะไม่เกี่ยวกับตัวเขาเอง แต่เกี่ยวกับความร่วมมือและการเผชิญหน้าของโรงเรียนคณิตศาสตร์หลักสามแห่งของโลก: รัสเซีย จีน และอเมริกา ซึ่งเป็นโรงเรียนที่ก้าวหน้าที่สุดในเส้นทางการศึกษา และจัดการจักรวาล

เมื่อถามว่าทำไม Perelman ปฏิเสธหนึ่งล้าน เขาตอบว่า:

"ฉันรู้วิธีจัดการจักรวาล แล้วบอกฉันที - ทำไมฉันต้องวิ่งตามคนเป็นล้าน"

นักวิทยาศาสตร์ไม่พอใจในขณะที่เขาถูกเรียกในสื่อรัสเซีย

Perelman อธิบายว่าเขาไม่ได้สื่อสารกับนักข่าวเพราะพวกเขาไม่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์ แต่เป็นปัญหาส่วนตัวและในประเทศ - จากเหตุผลในการปฏิเสธคนนับล้านไปจนถึงคำถามเรื่องการตัดผมและเล็บ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาไม่ต้องการติดต่อกับสื่อรัสเซียเนื่องจากทัศนคติที่ไม่สุภาพต่อเขา ตัวอย่างเช่นในสื่อพวกเขาเรียกเขาว่า Grisha และความคุ้นเคยดังกล่าวทำให้ขุ่นเคือง

Grigory Perelman กล่าวว่าตั้งแต่นั้นมา ปีการศึกษาคุ้นเคยกับสิ่งที่เรียกว่า "การฝึกสมอง" จำได้ว่าเขาเป็น "ผู้แทน" จากสหภาพโซเวียตได้อย่างไร เหรียญทองที่งานคณิตศาสตร์โอลิมปิกในกรุงบูดาเปสต์ เขากล่าวว่า "เราพยายามแก้ปัญหาที่ความสามารถในการคิดเชิงนามธรรมเป็นเงื่อนไขที่ขาดไม่ได้

สิ่งที่ทำให้ไขว้เขวจากตรรกะทางคณิตศาสตร์คือประเด็นหลักของการฝึกประจำวัน ในการหาทางออกที่เหมาะสม จำเป็นต้องจินตนาการถึง "ชิ้นส่วนของโลก"

ยกตัวอย่างงานที่ "ยาก" ดังกล่าว เขาอ้างถึงสิ่งต่อไปนี้: "จำไว้ ตำนานในพระคัมภีร์เกี่ยวกับวิธีที่พระเยซูคริสต์ทรงดำเนินบนน้ำ เช่น บนบก ดังนั้นฉันจึงต้องคำนวณว่าเขาจะต้องเคลื่อนที่ผ่านน้ำได้เร็วแค่ไหนเพื่อไม่ให้ตกลงไป

ตั้งแต่นั้นมา Perelman ได้อุทิศกิจกรรมทั้งหมดของเขาเพื่อศึกษาปัญหาในการศึกษาคุณสมบัติของพื้นที่สามมิติของเอกภพ: "มันน่าสนใจมาก ฉันกำลังพยายามยอมรับความมหึมา

นักวิทยาศาสตร์เขียนวิทยานิพนธ์ภายใต้การแนะนำของนักวิชาการอเล็กซานดรอฟ "หัวข้อนั้นเรียบง่าย: 'พื้นผิวอานม้าในเรขาคณิตแบบยุคลิด' คุณนึกภาพพื้นผิวที่มีขนาดเท่ากันและมีระยะห่างไม่เท่ากันที่ระยะอนันต์ได้หรือไม่ เราจำเป็นต้องวัด 'ช่องว่าง' ระหว่างพื้นผิวเหล่านั้น" นักคณิตศาสตร์อธิบาย

การค้นพบของ Perelman หมายถึงอะไรซึ่งทำให้หน่วยข่าวกรองของโลกหวาดกลัว

คำแถลงของ Poincare "สูตรแห่งจักรวาล" ถูกเรียกเนื่องจากความสำคัญในการศึกษากระบวนการทางกายภาพที่ซับซ้อนในทฤษฎีจักรวาลและเพราะมันให้คำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับรูปร่างของจักรวาล หลักฐานนี้จะมีบทบาทสำคัญในการพัฒนานาโนเทคโนโลยี"

“ผมเรียนรู้วิธีคำนวณช่องว่างร่วมกับเพื่อนร่วมงานของผม เราจะเรียนรู้กลไกในการเติม “ช่องว่าง” ทางสังคมและเศรษฐกิจ เขากล่าว “ช่องว่างมีอยู่ทั่วไป คำนวณได้ และนี่เป็นโอกาสที่ดี ...

ตามสิ่งพิมพ์ขนาดของสิ่งที่ Grigory Yakovlevich ค้นพบซึ่งจริง ๆ แล้วก้าวล้ำหน้าวิทยาศาสตร์โลกในปัจจุบันทำให้เขากลายเป็นเป้าหมายของบริการพิเศษที่น่าสนใจอย่างต่อเนื่องไม่เพียง แต่รัสเซียเท่านั้น แต่ยังรวมถึงต่างประเทศด้วย

เขาเข้าใจความรู้ขั้นสูงที่ช่วยให้เข้าใจจักรวาล และคำถามประเภทนี้ก็เกิดขึ้น: "จะเกิดอะไรขึ้นหากความรู้ของเขาถูกนำไปปฏิบัติจริง"

ในความเป็นจริงหน่วยสืบราชการลับจำเป็นต้องรู้ - Perelman หรือมากกว่านั้นคือความรู้ของเขาเป็นภัยคุกคามต่อมนุษยชาติหรือไม่? ท้ายที่สุด ถ้าด้วยความช่วยเหลือจากความรู้ของเขา มันเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนจักรวาลให้กลายเป็นจุดหนึ่ง แล้วคลี่มันออก เราจะตายหรือเกิดใหม่ในฐานะอื่นได้ไหม? แล้วเราจะเป็นไหม? และเราจำเป็นต้องจัดการจักรวาลทั้งหมดหรือไม่?

และในเวลานี้

แม่อัจฉริยะ: "อย่าถามเราเรื่องเงิน!"

เมื่อทราบว่านักคณิตศาสตร์ได้รับรางวัล Millennium Prize นักข่าวกลุ่มหนึ่งก็มารวมตัวกันที่หน้าประตูบ้านของเขา ทุกคนต้องการแสดงความยินดีกับ Perelman เป็นการส่วนตัวและดูว่าเขาจะรับเงินล้านที่ถูกต้องหรือไม่

เราเคาะประตูบอบบางเป็นเวลานาน (ถ้าเพียง แต่เราสามารถแทนที่ด้วยเงินพิเศษ) แต่นักคณิตศาสตร์ไม่เปิด แต่แม่ของเขาค่อนข้างเข้าใจจุด "i" จากโถงทางเดิน

เราไม่ต้องการพูดคุยกับใครและจะไม่ให้สัมภาษณ์ใด ๆ - Lyubov Leibovna ตะโกน - และอย่าถามเราเกี่ยวกับรางวัลและเงินนี้

ผู้คนที่อาศัยอยู่ในทางเข้าเดียวกันรู้สึกประหลาดใจมากที่เห็นความสนใจในตัว Perelman อย่างกะทันหัน

Grisha ของเราแต่งงานแล้วหรือยัง? เพื่อนบ้านคนหนึ่งหัวเราะเบา ๆ - โอ้ ฉันได้รับรางวัล อีกครั้ง. ไม่ เขาจะไม่เอามัน เขาไม่ต้องการอะไรเลยใช้ชีวิตด้วยเงิน แต่มีความสุขในแบบของเขา

พวกเขาบอกว่าในวันนักคณิตศาสตร์ได้เห็นชุดผลิตภัณฑ์เต็มรูปแบบจากร้านค้า เขากำลังเตรียมที่จะ "รักษาการล้อม" กับแม่ของเขา ครั้งสุดท้ายเมื่อการโฆษณาเกี่ยวกับรางวัลเริ่มขึ้นในสื่อ Perelman ไม่ได้ออกจากอพาร์ตเมนต์เป็นเวลาสามสัปดาห์

อนึ่ง

พวกเขาจะให้เงินหนึ่งล้านดอลลาร์เพื่ออะไรอีก ...

ในปี 1998 ด้วยเงินทุนของมหาเศรษฐี Landon T. Clay สถาบัน Clay Mathematics ก่อตั้งขึ้นในเคมบริดจ์ (สหรัฐอเมริกา) เพื่อทำให้คณิตศาสตร์เป็นที่นิยม เมื่อวันที่ 24 พฤษภาคม พ.ศ. 2543 ผู้เชี่ยวชาญของสถาบันได้เลือกปัญหาที่น่าสงสัยที่สุด 7 ข้อตามความคิดเห็นของพวกเขา และพวกเขาแต่งตั้งให้คนละหนึ่งล้านดอลลาร์

รายการมีชื่อว่า .

1. ปัญหาของแม่ครัว

มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าการตรวจสอบความถูกต้องของการแก้ปัญหาอาจใช้เวลานานกว่าการได้รับโซลูชันเองหรือไม่ นี้ งานเชิงตรรกะสำคัญสำหรับผู้เชี่ยวชาญในการเข้ารหัส - การเข้ารหัสข้อมูล

2. สมมติฐานรีมันน์

มีจำนวนเฉพาะที่เรียกว่า เช่น 2, 3, 5, 7 เป็นต้น ซึ่งหารด้วยตัวมันเองลงตัวเท่านั้น ไม่รู้มีกี่ตัว Riemann เชื่อว่าสิ่งนี้สามารถกำหนดได้และพบความสม่ำเสมอของการแจกจ่าย ใครก็ตามที่ค้นพบก็จะให้บริการเข้ารหัสด้วย

3. สมมติฐานของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์

ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับการแก้สมการที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักสามตัวที่ยกกำลัง เราต้องหาวิธีแก้ไขไม่ว่าจะยากแค่ไหนก็ตาม

4. สมมติฐานฮ็อดจ์

ในศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบวิธีการศึกษารูปแบบ วัตถุที่ซับซ้อน. แนวคิดคือการใช้ "อิฐ" ธรรมดาๆ แทนตัววัตถุซึ่งติดกาวเข้าด้วยกันและก่อตัวเป็นรูปร่างของมัน เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าสิ่งนี้เป็นที่ยอมรับได้เสมอ

5. Navier - สโต๊คสมการ

มันคุ้มค่าที่จะจดจำพวกเขาบนเครื่องบิน สมการอธิบายกระแสอากาศที่เก็บไว้ในอากาศ ตอนนี้สมการได้รับการแก้ไขโดยประมาณตามสูตรโดยประมาณ จำเป็นต้องค้นหาสิ่งที่แน่นอนและพิสูจน์ว่าในปริภูมิสามมิติมีคำตอบของสมการซึ่งเป็นจริงเสมอ

6. สมการหยาง-มิลส์

มีสมมติฐานในโลกของฟิสิกส์: ถ้าอนุภาคมูลฐานมีมวล ขีดจำกัดล่างของมันก็มีอยู่เช่นกัน แต่อันไหนไม่ชัดเจน คุณต้องไปหาเขา นี่อาจเป็นงานที่ยากที่สุด ในการแก้ปัญหาจำเป็นต้องสร้าง "ทฤษฎีของทุกสิ่ง" - สมการที่รวมแรงและปฏิสัมพันธ์ทั้งหมดในธรรมชาติ ใครทำสำเร็จก็ได้รับรางวัลโนเบลอย่างแน่นอน

ความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ครั้งสุดท้ายของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์คือการพิสูจน์การคาดคะเนของปวงกาเร ซึ่งแสดงในปี 1904 และระบุว่า "ทุก ๆ การเชื่อมต่อ เชื่อมต่อกันง่าย ๆ นานาสามมิติขนาดกะทัดรัดที่ไม่มีขอบเขต เป็นโฮมีโอมอร์ฟิกของทรงกลม S 3 ” โดย Grigory Perelman จาก St. ปีเตอร์สเบิร์ก ในปี พ.ศ. 2545–2546

มีคำศัพท์หลายคำในวลีนี้ซึ่งฉันจะพยายามอธิบายในลักษณะที่ความหมายทั่วไปของคำศัพท์เหล่านี้ชัดเจนสำหรับผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ (ฉันคิดว่าผู้อ่านอ่านจบแล้ว มัธยมและยังจำบางอย่างจากวิชาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนได้)

เริ่มจากแนวคิดของโฮมีโอมอร์ฟิซึมซึ่งเป็นศูนย์กลางในโทโพโลยี โดยทั่วไป โทโพโลยีมักถูกนิยามว่าเป็น "เรขาคณิตยาง" กล่าวคือ เป็นวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับคุณสมบัติของรูปเรขาคณิตที่ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการเสียรูปอย่างราบรื่นโดยไม่มีช่องว่างและการติดกาว หรือถ้าเป็นไปได้ที่จะสร้างแบบหนึ่งต่อ การติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสองวัตถุ

แนวคิดหลักนั้นอธิบายได้ง่ายที่สุดโดยใช้ตัวอย่างแก้วมัคและเบเกิลแบบคลาสสิก อันแรกสามารถเปลี่ยนเป็นอันที่สองได้โดยการเสียรูปอย่างต่อเนื่อง

ตัวเลขเหล่านี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเหยือกมีลักษณะโฮโมมอร์ฟิกกับโดนัท และข้อเท็จจริงนี้เป็นจริงทั้งกับพื้นผิว (ท่อร่วมสองมิติที่เรียกว่า torus) และสำหรับเนื้อที่เต็มไปด้วย (ท่อร่วมสามมิติที่มีขอบ)

ให้เราตีความคำศัพท์ที่เหลือที่ปรากฏในการกำหนดสมมติฐาน

สามมิติมากมายไร้ขอบเขตนี่คือวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งแต่ละจุดมีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปแบบของลูกบอลสามมิติ ตัวอย่างของ 3-manifolds คือ ประการแรก พื้นที่สามมิติทั้งหมด เขียนแทนด้วย R 3 เช่นเดียวกับใดๆ ชุดเปิดจุดใน R 3 เช่น ด้านในของทอรัสแข็ง (โดนัท) หากเราพิจารณา torus ที่เป็นของแข็งแบบปิด เช่น เพิ่มจุดขอบเขตของมัน (พื้นผิวของ torus) เราก็จะได้ขอบเขตที่หลากหลายแล้ว - จุดขอบเขตไม่มีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปของลูกบอล แต่เฉพาะใน แบบครึ่งลูก.
เชื่อมต่อแล้วแนวคิดของการเชื่อมต่อนั้นง่ายที่สุดที่นี่ ท่อร่วมเชื่อมต่อกันถ้ามันประกอบด้วยชิ้นเดียว หรืออะไรที่เหมือนกัน จุดสองจุดใดๆ ของมันสามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นต่อเนื่องที่ไม่เกินขีดจำกัดของมัน
เชื่อมต่อง่ายๆแนวคิดเรื่องการเชื่อมโยงเป็นหนึ่งเดียวนั้นซับซ้อนกว่า หมายความว่าเส้นโค้งปิดต่อเนื่องใดๆ ที่อยู่ภายในท่อร่วมที่กำหนดทั้งหมดสามารถหดอย่างราบรื่นไปยังจุดหนึ่งโดยไม่ต้องออกจากท่อร่วมนี้ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมสองมิติธรรมดาใน R 3 นั้นเชื่อมต่อกันง่ายๆ (แถบยางยืดซึ่งยึดติดกับพื้นผิวของแอปเปิ้ลโดยพลการ สามารถหดได้โดยการเปลี่ยนรูปเรียบจนถึงจุดหนึ่งโดยไม่ทำให้แถบยางยืดหลุดจากแอปเปิ้ล) ในทางกลับกัน วงกลมและทอรัสไม่ได้เชื่อมต่อกันง่ายๆ
กะทัดรัดความหลากหลายมีขนาดกะทัดรัดหากภาพโฮมโอมอร์ฟิกมีขอบเขต ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาที่เปิดบนเส้น (ทุกจุดของเซ็กเมนต์ยกเว้นจุดสิ้นสุด) ไม่กระชับ เนื่องจากสามารถขยายต่อเนื่องเป็นเส้นไม่สิ้นสุดได้ แต่ส่วนปิด (ที่มีปลาย) เป็นท่อร่วมขนาดเล็กที่มีขอบเขต: สำหรับการเสียรูปต่อเนื่องใดๆ ปลายจะไปที่จุดเฉพาะบางจุด และส่วนทั้งหมดจะต้องเข้าสู่เส้นโค้งที่มีขอบเขตซึ่งเชื่อมต่อจุดเหล่านี้

มิติท่อร่วมคือจำนวนองศาอิสระ ณ จุดที่ "มีชีวิต" บนนั้น แต่ละจุดจะมีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปแบบของดิสก์ที่มีมิติสัมพันธ์กัน เช่น ช่วงเวลาของเส้นในกรณีหนึ่งมิติ วงกลมบนระนาบในกรณีสองมิติ ลูกบอลในกรณีสามมิติ ฯลฯ จากมุมมองของโทโพโลยี มีเพียงสองมิติที่เชื่อมต่อกันแบบหนึ่งมิติโดยไม่มีขอบเขต: นี่คือเส้นและวงกลม ในจำนวนนี้ มีเพียงวงกลมเท่านั้นที่มีขนาดกะทัดรัด

ตัวอย่างของพื้นที่ที่ไม่ใช่ความหลากหลาย เช่น เส้นคู่หนึ่งตัดกัน เพราะที่จุดตัดของเส้นสองเส้น พื้นที่ใกล้เคียงใดๆ มีรูปร่างเป็นกากบาท ไม่มีพื้นที่ใกล้เคียงที่จะ ตัวเองเป็นเพียงช่วงเวลา (และจุดอื่น ๆ ทั้งหมดมีย่านดังกล่าว ) ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์กล่าวว่าเรากำลังเผชิญกับเอกพจน์ที่หลากหลายซึ่งมีจุดเอกพจน์หนึ่งจุด

ท่อร่วมขนาดเล็กสองมิติเป็นที่รู้จักกันดี ถ้าเราพิจารณาเฉพาะ มุ่งเน้นหลากหลายโดยไม่มีขอบเขต จากนั้นจากมุมมองของทอพอโลยี พวกมันจะสร้างรายการที่เรียบง่าย แม้ว่าจะไม่มีที่สิ้นสุด และอื่น ๆ ท่อร่วมดังกล่าวแต่ละอันได้มาจากทรงกลมโดยการติดกาวหลาย ๆ อันจำนวนที่เรียกว่าประเภทของพื้นผิว

รูปแสดงพื้นผิวประเภท 0, 1, 2 และ 3 ทรงกลมโดดเด่นจากพื้นผิวทั้งหมดในรายการนี้อย่างไร ปรากฎว่ามีการเชื่อมต่อกันง่ายๆ บนทรงกลม เส้นโค้งที่ปิดใดๆ สามารถย่อให้เป็นจุดหนึ่งได้ และบนพื้นผิวอื่นๆ เป็นไปได้ที่จะระบุเส้นโค้งที่ไม่สามารถย่อให้เป็นจุดตามพื้นผิวได้เสมอ

เป็นเรื่องน่าแปลกที่ท่อร่วมสามมิติแบบกะทัดรัดที่ไม่มีขอบเขตสามารถจำแนกได้ในแง่หนึ่ง เช่น จัดเรียงเป็นรายการหนึ่ง แม้ว่าจะไม่ตรงไปตรงมาเหมือนในกรณีสองมิติ แต่มีโครงสร้างที่ค่อนข้างซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ทรงกลม 3 มิติ S 3 โดดเด่นในรายการนี้ในลักษณะเดียวกับทรงกลม 2 มิติในรายการด้านบน ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นโค้งใดๆ บน S 3 ลากไปยังจุดนั้นพิสูจน์ได้ง่ายพอๆ กับกรณีสองมิติ แต่การยืนยันแบบตรงกันข้าม กล่าวคือ คุณสมบัตินี้มีลักษณะเฉพาะสำหรับทรงกลม กล่าวคือ มีเส้นโค้งที่ไม่หดตัวบนท่อร่วมสามมิติอื่น ๆ ซึ่งเป็นเรื่องยากมากและถือเป็นเนื้อหาของการคาดคะเน Poincare ที่เรากำลังพูดถึง .

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าหลากหลายสามารถอยู่ได้ด้วยตัวของมันเอง มันสามารถถูกมองว่าเป็นวัตถุอิสระ ไม่ซ้อนกันที่ใดก็ได้ (ลองนึกภาพสิ่งมีชีวิตสองมิติที่มีชีวิตบนพื้นผิวทรงกลมธรรมดา โดยไม่รู้ว่ามีมิติที่สามอยู่) โชคดีที่พื้นผิวสองมิติทั้งหมดจากรายการด้านบนสามารถฝังอยู่ในสเปซ R 3 ปกติได้ ซึ่งทำให้ เห็นภาพได้ง่ายขึ้น สำหรับ 3-sphere S 3 (และโดยทั่วไปสำหรับ 3-manifold แบบกะทัดรัดใดๆ ที่ไม่มีขอบเขต) สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นอีกต่อไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพยายามทำความเข้าใจโครงสร้างของมัน

เห็นได้ชัดว่า วิธีที่ง่ายที่สุดเพื่ออธิบายโครงสร้างทอพอโลยีของทรงกลมสามมิติ S 3 คือการทำให้แน่นแบบจุดเดียว กล่าวคือ ทรงกลมสามมิติ S 3 เป็นการกระชับจุดเดียวของพื้นที่สามมิติ (ไม่มีขอบเขต) ปกติ R 3 .

ให้เราอธิบายการก่อสร้างนี้ก่อน ตัวอย่างง่ายๆ. ลองใช้เส้นตรงธรรมดาที่ไม่มีที่สิ้นสุด (อะนาล็อกหนึ่งมิติของอวกาศ) และเพิ่มจุดที่ "ห่างไกลไม่สิ้นสุด" เข้าไปหนึ่งจุด สมมติว่าเมื่อเคลื่อนไปตามเส้นตรงไปทางขวาหรือซ้าย ในที่สุดเราก็จะมาถึงจุดนี้ จากมุมมองของโทโพโลยี ไม่มีความแตกต่างระหว่างเส้นอนันต์และส่วนเปิดที่มีขอบเขต (โดยไม่มีจุดสิ้นสุด) ส่วนดังกล่าวสามารถโค้งงออย่างต่อเนื่องในรูปแบบของส่วนโค้งนำปลายเข้ามาใกล้กันและกาวจุดที่ขาดหายไปเข้าทางแยก เห็นได้ชัดว่าเราได้วงกลม - อะนาล็อกหนึ่งมิติของทรงกลม

ในทำนองเดียวกัน ถ้าฉันใช้ระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเพิ่มจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเส้นทั้งหมดของระนาบเดิมมีแนวโน้มที่จะผ่านไปในทิศทางใดก็ได้ เราก็จะได้ทรงกลมสองมิติ (ธรรมดา) S 2 . ขั้นตอนนี้สามารถสังเกตได้โดยการฉายภาพสามมิติ ซึ่งกำหนดให้แต่ละจุด P ของทรงกลม ยกเว้นขั้วเหนือของ N ซึ่งเป็นจุดหนึ่งของระนาบ P

ดังนั้น ทรงกลมที่ไม่มีจุดเดียวก็เหมือนกับระนาบทางทอพอโลยี และการเพิ่มจุดจะทำให้ระนาบกลายเป็นทรงกลม

โดยหลักการแล้วโครงสร้างเดียวกันนั้นใช้ได้กับทรงกลมสามมิติและพื้นที่สามมิติเท่านั้นสำหรับการนำไปใช้งานจำเป็นต้องป้อนมิติที่สี่เท่านั้นและนี่ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะพรรณนาในภาพวาด ดังนั้นฉันจะ จำกัด ตัวเอง คำอธิบายด้วยวาจาการกระชับพื้นที่จุดเดียว R 3 .

ลองนึกภาพว่าพื้นที่ทางกายภาพของเรา (ซึ่งเราตามนิวตันคิดว่าเป็นอวกาศแบบยุคลิดไม่จำกัดด้วยสามพิกัด x, y, z) มีจุดหนึ่ง "ที่อนันต์" เพิ่มในลักษณะที่เมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นตรงในจุดใดๆ ทิศทาง คุณล้มลง (เช่น เส้นอวกาศแต่ละเส้นชิดกันเป็นวงกลม) จากนั้นเราจะได้ปริมาตรสามมิติขนาดกะทัดรัดซึ่งก็คือทรงกลม S 3 ตามคำนิยาม

ง่ายต่อการดูว่าทรงกลม S 3 เชื่อมต่อกันง่ายๆ แท้จริงแล้ว เส้นโค้งปิดใดๆ บนทรงกลมนี้สามารถเลื่อนได้เล็กน้อยเพื่อไม่ให้ผ่านจุดที่เพิ่มเข้ามา จากนั้นเราจะได้เส้นโค้งในพื้นที่ปกติ R 3 ซึ่งสามารถย่อให้ถึงจุดหนึ่งได้อย่างง่ายดายโดยใช้วิธีการแบบโฮโมเทตี นั่นคือ การหดตัวอย่างต่อเนื่องในทั้งสามทิศทาง

เพื่อทำความเข้าใจว่าท่อร่วม S 3 มีโครงสร้างอย่างไร การพิจารณาแบ่งพาร์ติชันออกเป็นสอง tori แบบทึบจะเป็นประโยชน์อย่างมาก หากเว้นช่องว่าง R 3 ไว้ แสดงว่ามีบางสิ่งที่ไม่ชัดเจนหลงเหลืออยู่ และถ้าพื้นที่กระชับเป็นทรงกลมส่วนเสริมนี้ก็จะกลายเป็นพรูที่มั่นคง นั่นคือทรงกลม S 3 แบ่งออกเป็นโทริทึบสองอันที่มีขอบเขตร่วมกัน - ทอรัส

นี่คือวิธีที่สามารถเข้าใจได้ ลองฝัง torus ใน R 3 ตามปกติในรูปแบบของโดนัทกลมแล้ววาดเส้นแนวตั้ง - แกนของการหมุนของโดนัทนี้ เราวาดระนาบโดยพลการผ่านแกน มันจะตัดกับพรูทึบของเราในวงกลมสองวงที่แสดงในรูป เป็นสีเขียวและส่วนเพิ่มเติมของระนาบจะแบ่งออกเป็นกลุ่มวงกลมสีแดงที่ต่อเนื่องกัน ในหมู่พวกเขาคือแกนกลางที่เน้นให้โดดเด่นยิ่งขึ้นเนื่องจากในทรงกลม S 3 เส้นจะปิดเป็นวงกลม ภาพสามมิติได้มาจากภาพสองมิตินี้โดยการหมุนรอบแกน วงกลมที่หมุนครบชุดจะเติมร่างกายสามมิติจากโฮมโอมอร์ฟิคเป็นพรูทึบ แต่ดูผิดปกติเท่านั้น

ในความเป็นจริงแกนกลางจะเป็นวงกลมตามแนวแกนและส่วนที่เหลือจะเล่นบทบาทของแนวขนาน - วงกลมที่ประกอบเป็นพรูทึบตามปกติ

เพื่อที่จะมีสิ่งที่จะเปรียบเทียบ 3 ทรงกลมด้วยฉันจะยกตัวอย่างอีกอันหนึ่งของ 3-manifold ขนาดกะทัดรัดนั่นคือ torus สามมิติ สามารถสร้างทอรัสสามมิติได้ดังนี้ ลองใช้ลูกบาศก์สามมิติธรรมดาเป็นแหล่งข้อมูล:

มีสามคู่หน้า: ซ้ายและขวา บนและล่าง หน้าและหลัง ในแต่ละคู่ของใบหน้าคู่ขนาน เราระบุจุดที่ได้รับจากแต่ละคู่เป็นคู่โดยการถ่ายโอนไปตามขอบของลูกบาศก์ นั่นคือ เราจะสันนิษฐาน (ในเชิงนามธรรมล้วน ๆ โดยไม่ใช้การเปลี่ยนรูปทางกายภาพ) ตัวอย่างเช่น A และ A "เป็นจุดเดียวกัน และ B และ B" ก็เป็นจุดเดียวเช่นกัน แต่แตกต่างจากจุด A จุดภายในทั้งหมดของ ลูกบาศก์เราจะพิจารณาตามปกติ ตัวลูกบาศก์นั้นมีหลายขนาดที่มีขอบเขต แต่หลังจากการติดกาวเสร็จแล้ว ขอบเขตจะปิดตัวเองและหายไป แท้จริงแล้ว พื้นที่ใกล้เคียงของจุด A และ A" ในลูกบาศก์ (ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายและด้านขวาของใบหน้าที่แรเงา) เป็นครึ่งหนึ่งของลูกบอล ซึ่งหลังจากติดกาวใบหน้าเข้าด้วยกันแล้ว รวมเป็นลูกบอลทั้งหมด ซึ่งทำหน้าที่เป็น พื้นที่ใกล้เคียงของจุดที่สอดคล้องกันของพรูสามมิติ

เพื่อให้รู้สึกถึงอุปกรณ์ของ 3 torus ตามแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับพื้นที่ทางกายภาพ คุณต้องเลือกทิศทางที่ตั้งฉากกันสามทิศทาง: ไปข้างหน้า ซ้าย และขึ้น - และนับในใจ เรื่องราวแฟนตาซีว่าเมื่อเคลื่อนไปทางใดทางหนึ่งเหล่านี้นานพอสมควรแต่มีเวลาจำกัด เราจะกลับมายังจุดเริ่มต้นแต่กลับเป็นทิศตรงกันข้าม นี่เป็น "การกระชับพื้นที่" แต่ไม่ใช่จุดเดียวซึ่งใช้ก่อนหน้านี้เพื่อสร้างทรงกลม แต่ซับซ้อนกว่า

มีเส้นทางที่ไม่หดตัวบน 3-torus; ตัวอย่างเช่น นี่คือส่วน AA" ในรูป (บน torus แสดงให้เห็นเส้นทางปิด) ไม่สามารถหดตัวได้ เนื่องจากสำหรับการเสียรูปต่อเนื่องใดๆ จุด A และ A" จะต้องเคลื่อนไปตามใบหน้าโดยเหลือไว้ตรงข้ามกันอย่างเคร่งครัด อื่นๆ (มิฉะนั้นเส้นโค้งจะเปิดออก)

ดังนั้นเราจึงเห็นว่ามีคอมโพเนนต์ 3 ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกันง่ายๆ Perelman พิสูจน์แล้วว่าท่อร่วมที่เชื่อมต่ออย่างง่ายนั้นเป็นหนึ่งเดียว

จุดเริ่มต้นของการพิสูจน์คือการใช้สิ่งที่เรียกว่า "การไหลของ Ricci": เราใช้คอมโพเนนต์ 3 ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกันง่ายๆ ประกอบเข้ากับรูปทรงเรขาคณิตตามอำเภอใจ (เช่น แนะนำเมตริกบางส่วนที่มีระยะทางและมุม) จากนั้นจึงพิจารณา วิวัฒนาการของมันตามกระแส Ricci Richard Hamilton ผู้เสนอแนวคิดนี้ในปี 1981 หวังว่าด้วยวิวัฒนาการนี้ ความหลากหลายของเราจะกลายเป็นทรงกลม ปรากฎว่าไม่เป็นความจริง - ในกรณีสามมิติ การไหลของ Ricci สามารถทำให้ส่วนต่าง ๆ เสียหายได้ เช่น ทำให้เป็นส่วนต่าง ๆ เล็กน้อย (สิ่งที่มีจุดเอกพจน์ ดังตัวอย่างข้างต้นของเส้นตัดกัน) Perelman โดยการเอาชนะปัญหาทางเทคนิคที่เหลือเชื่อ โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่หนักหน่วง สามารถแก้ไขการไหลของ Ricci ใกล้กับจุดเอกพจน์ในลักษณะที่ในระหว่างวิวัฒนาการ โทโพโลยีของท่อร่วมไม่เปลี่ยนแปลง ไม่มีจุดเอกพจน์ และใน สุดท้ายก็กลายเป็นลูกกลมๆ แต่จำเป็นต้องอธิบายในที่สุดว่ากระแสของ Ricci คืออะไร โฟลว์ที่ใช้โดยแฮมิลตันและเพเรลแมนอ้างถึงการเปลี่ยนแปลงในเมตริกที่แท้จริงในหลากหลายนามธรรม และนี่ค่อนข้างยากที่จะอธิบาย ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองให้อธิบายโฟลว์ Ricci "ภายนอก" บนหลากหลายมิติที่ฝังอยู่ในระนาบ .

ลองนึกภาพเส้นโค้งปิดเรียบบนระนาบยุคลิด เลือกทิศทางบนเส้นนั้น และพิจารณาเวกเตอร์สัมผัสของความยาวหน่วยที่แต่ละจุด จากนั้นเมื่อไปรอบเส้นโค้งในทิศทางที่เลือก เวกเตอร์นี้จะหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ซึ่งเรียกว่าความโค้ง ที่เส้นโค้งชันกว่า ความโค้ง (ในค่าสัมบูรณ์) จะมากกว่า และที่ที่เรียบกว่า ความโค้งจะน้อยกว่า

ความโค้งจะถือว่าเป็นบวกหากเวกเตอร์ความเร็วหันไปทางส่วนในของระนาบหารด้วยเส้นโค้งของเราเป็นสองส่วน และเป็นลบหากหันออกด้านนอก ข้อตกลงนี้ไม่ขึ้นกับทิศทางที่เส้นโค้งเคลื่อนที่ ที่จุดเปลี่ยนทิศทางที่การหมุนเปลี่ยนทิศทาง ความโค้งจะเป็น 0 ตัวอย่างเช่น วงกลมรัศมี 1 มีความโค้งเป็นบวกคงที่เท่ากับ 1 (วัดเป็นเรเดียน)

ทีนี้ลืมเกี่ยวกับเวกเตอร์สัมผัสกันและแนบกับแต่ละจุดของเส้นโค้ง ในทางกลับกัน เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับมัน มีความยาวเท่ากับความโค้ง ณ จุดที่กำหนด และหันเข้าด้านในหากความโค้งเป็นบวก และหันออกด้านนอกหากเป็นลบ จากนั้นเราจะบังคับให้แต่ละจุดเคลื่อนที่ไปในทิศทางของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันด้วยความเร็วที่แปรผันตามความยาว นี่คือตัวอย่าง:

ปรากฎว่าเส้นโค้งปิดใดๆ บนระนาบมีพฤติกรรมคล้ายกันระหว่างวิวัฒนาการดังกล่าว กล่าวคือ ในที่สุดมันก็กลายเป็นวงกลม นี่เป็นข้อพิสูจน์ของอะนาล็อกหนึ่งมิติของการคาดคะเน Poincare โดยใช้กระแส Ricci (อย่างไรก็ตาม ข้อความในกรณีนี้ชัดเจนอยู่แล้ว เพียงแต่วิธีการพิสูจน์แสดงให้เห็นสิ่งที่เกิดขึ้นในมิติที่ 3)

โดยสรุป เราทราบว่าข้อโต้แย้งของ Perelman ไม่เพียงพิสูจน์การคาดคะเนของ Poincaré เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการคาดคะเน geometrization ของ Thurston ที่กว้างกว่านั้นมาก ซึ่งในแง่หนึ่งอธิบายโครงสร้างของท่อร่วม 3 ขนาดกะทัดรัดทั้งหมดโดยทั่วไป แต่หัวข้อนี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความเบื้องต้นนี้

เนื่องจากไม่มีพื้นที่ฉันจะไม่พูดถึงท่อร่วมที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้ตัวอย่างขวด Klein ที่มีชื่อเสียง - พื้นผิวที่ไม่สามารถฝังลงในช่องว่างโดยไม่มีทางแยก

Perelman นักคณิตศาสตร์เป็นบุคคลที่มีชื่อเสียงมากแม้ว่าเขาจะมีชีวิตที่โดดเดี่ยวและหลีกเลี่ยงสื่อในทุกวิถีทาง หลักฐานการคาดคะเนของ Poincare ทำให้เขาอยู่ในระดับเดียวกับนักวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์โลก นักคณิตศาสตร์ Perelman ปฏิเสธรางวัลมากมายจากชุมชนวิทยาศาสตร์ ผู้ชายคนนี้ใช้ชีวิตอย่างสุภาพเรียบร้อยและอุทิศตนเพื่อวิทยาศาสตร์อย่างสมบูรณ์ แน่นอนว่ามันคุ้มค่าที่จะพูดถึงเขาและรายละเอียดการค้นพบของเขา

คุณพ่อกริกอรี เปเรลมัน

วันที่ 13 มิถุนายน พ.ศ. 2509 กริกอรี ยาโคฟเลวิช เพเรลมาน นักคณิตศาสตร์เกิด ภาพถ่ายของเขาใน เข้าฟรีเล็กน้อย แต่ที่มีชื่อเสียงที่สุดจะนำเสนอในบทความนี้ เขาเกิดที่เลนินกราด - ทุนทางวัฒนธรรมประเทศของเรา. พ่อของเขาเป็นวิศวกรไฟฟ้า เขาไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์อย่างที่หลายคนเชื่อ

ยาคอฟ เพเรลมัน

เป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่า Grigory เป็นบุตรชายของ Yakov Perelman ผู้มีชื่อเสียงด้านวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตามนี่เป็นความเข้าใจผิดเพราะเขาเสียชีวิตใน ปิดล้อมเลนินกราดในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2485 เขาจึงไม่มีทางเป็นพ่อคนได้ ชายคนนี้ เกิดในเบียลีสตอก จักรวรรดิรัสเซียและปัจจุบันเป็นส่วนหนึ่งของโปแลนด์ ยาคอฟ อิซิโดโรวิช เกิดเมื่อปี พ.ศ. 2425

Yakov Perelman ซึ่งน่าสนใจมากก็สนใจคณิตศาสตร์เช่นกัน นอกจากนี้เขายังชอบดาราศาสตร์และฟิสิกส์อีกด้วย ชายคนนี้ถือเป็นผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์บันเทิงและเป็นหนึ่งในคนกลุ่มแรกที่เขียนงานวรรณกรรมวิทยาศาสตร์ยอดนิยม เขาเป็นผู้สร้างหนังสือ "Live Mathematics" Perelman เขียนหนังสืออีกหลายเล่ม นอกจากนี้บรรณานุกรมของเขายังมีบทความมากกว่าพันบทความ สำหรับหนังสือเช่น "Live Mathematics" Perelman นำเสนอปริศนาต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์นี้ หลายเล่มออกแบบในรูปแบบของเรื่องสั้น หนังสือเล่มนี้มีไว้สำหรับวัยรุ่นเป็นหลัก

ในแง่หนึ่ง หนังสือเล่มอื่นน่าสนใจเป็นพิเศษ ผู้เขียนคือ Yakov Perelman (" สนุกสนานกับคณิตศาสตร์") ล้านล้าน - คุณรู้หรือไม่ว่าตัวเลขนี้คืออะไร มันคือ 10 21 ในสหภาพโซเวียตเป็นเวลานานมีสองเครื่องชั่งขนานกัน - "สั้น" และ "ยาว" ตาม Perelman "สั้น" ใช้ในทางการเงิน การคำนวณและชีวิตประจำวันและ "ยาว" - ใน เอกสารทางวิทยาศาสตร์ทุ่มเทให้กับฟิสิกส์และดาราศาสตร์ ดังนั้นจึงไม่มีล้านล้านในระดับ "สั้น" 10 21 เรียกว่าหนึ่งล้านเพศในนั้น โดยทั่วไปแล้วสเกลเหล่านี้มีความแตกต่างกันอย่างมาก

อย่างไรก็ตามเราจะไม่พูดถึงรายละเอียดนี้และไปยังเรื่องราวเกี่ยวกับการมีส่วนร่วมในวิทยาศาสตร์ซึ่งสร้างโดย Grigory Yakovlevich ไม่ใช่โดย Yakov Isidorovich ซึ่งความสำเร็จนั้นน้อย ยังไงก็ตามไม่ใช่คนชื่อที่รู้จักกันดีของเขาที่ปลูกฝังให้เกรกอรี่มีความรักในวิทยาศาสตร์

แม่ของ Perelman และอิทธิพลของเธอที่มีต่อ Grigory Yakovlevich

แม่ของนักวิทยาศาสตร์ในอนาคตสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนอาชีวศึกษา นอกจากนี้เธอยังเป็นนักไวโอลินที่มีพรสวรรค์ น่าจะมีใจรักในวิชาคณิตศาสตร์พอๆ เพลงคลาสสิค Grigory Yakovlevich นำมันมาจากเธอ ทั้งคู่ดึงดูด Perelman อย่างเท่าเทียมกัน เมื่อเขาต้องเผชิญกับทางเลือกว่าจะเข้าเรียนที่ใด - ไปที่เรือนกระจกหรือมหาวิทยาลัยเทคนิค เขาไม่สามารถตัดสินใจได้เป็นเวลานาน ใครจะรู้ว่า Grigory Perelman จะเป็นใครได้หากเขาตัดสินใจเรียนดนตรี

วัยเด็กของนักวิทยาศาสตร์ในอนาคต

Gregory มีความโดดเด่นตั้งแต่อายุยังน้อย คำพูดที่มีอำนาจทั้งลายลักษณ์อักษรและปากเปล่า เขามักจะทำให้ครูที่โรงเรียนประหลาดใจด้วยสิ่งนี้ ก่อนเกรด 9 Perelman เรียนที่โรงเรียนมัธยมซึ่งดูเหมือนเป็นเรื่องปกติซึ่งมีอยู่มากมายในเขตชานเมือง จากนั้นอาจารย์จาก Palace of Pioneers ก็สังเกตเห็นชายหนุ่มผู้มีความสามารถ เขาถูกพาไปเข้าหลักสูตรสำหรับเด็กที่มีพรสวรรค์ สิ่งนี้มีส่วนช่วยในการพัฒนาความสามารถเฉพาะตัวของ Perelman

ชัยชนะในกีฬาโอลิมปิก สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียน

ตั้งแต่นั้นมา ก้าวแห่งชัยชนะของ Gregory ก็เริ่มต้นขึ้น ในปี 1982 เขาได้รับรางวัลคณิตศาสตร์โอลิมปิกระหว่างประเทศที่จัดขึ้นในบูดาเปสต์ Perelman เข้าร่วมกับทีมเด็กนักเรียนโซเวียต เขาได้รับคะแนนเต็มในการแก้ปัญหาทั้งหมดได้อย่างไร้ที่ติ Gregory จบการศึกษาจากชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ของโรงเรียนในปีเดียวกัน ข้อเท็จจริงของการมีส่วนร่วมในการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกอันทรงเกียรตินี้ได้เปิดประตูสถาบันการศึกษาที่ดีที่สุดในประเทศของเราให้กับเขา แต่ Grigory Perelman ไม่เพียงเข้าร่วมเท่านั้น แต่ยังได้รับเหรียญทองอีกด้วย

ไม่น่าแปลกใจที่เขาลงทะเบียนโดยไม่มีการสอบในเลนินกราด มหาวิทยาลัยของรัฐที่คณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์. อย่างไรก็ตาม Gregory ไม่ได้รับเหรียญทองที่โรงเรียน สิ่งนี้ถูกขัดขวางโดยการประเมินในวิชาพลศึกษา การผ่านมาตรฐานการกีฬาในเวลานั้นเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับทุกคน รวมถึงผู้ที่แทบจะนึกภาพตัวเองกระโดดโลดเต้นบนเสาหรือบาร์ไม่ได้เลย ในวิชาอื่นเขาเรียนห้า

กำลังศึกษาอยู่ที่ มศว

ในอีกไม่กี่ปีข้างหน้านักวิทยาศาสตร์ในอนาคตยังคงศึกษาต่อที่ Leningrad State University เขาเข้าร่วมและประสบความสำเร็จอย่างมากในการแข่งขันทางคณิตศาสตร์ต่างๆ Perelman ได้รับทุนการศึกษาเลนินอันทรงเกียรติ ดังนั้นเขาจึงเป็นเจ้าของ 120 รูเบิล - เงินจำนวนมากในเวลานั้น เขาต้องทำได้ดีในเวลานั้น

ต้องบอกว่าคณะคณิตศาสตร์และกลศาสตร์ของมหาวิทยาลัยแห่งนี้ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กอยู่ใน ปีโซเวียตที่ดีที่สุดแห่งหนึ่งในรัสเซีย ตัวอย่างเช่นในปี 1924 V. Leontiev สำเร็จการศึกษาจากมัน เกือบจะในทันทีหลังจากจบการศึกษา เขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์คนนี้ถูกเรียกว่าบิดาแห่งเศรษฐกิจอเมริกันด้วยซ้ำ Leonid Kantorovich ผู้ได้รับรางวัลในประเทศเพียงคนเดียวที่ได้รับรางวัลนี้จากผลงานด้านวิทยาศาสตร์นี้เป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์

การศึกษาต่อ ชีวิตในสหรัฐอเมริกา

หลังจากจบการศึกษาจาก Leningrad State University แล้ว Grigory Perelman ได้เข้าเรียนที่ Steklov Mathematical Institute เพื่อศึกษาต่อในระดับบัณฑิตศึกษา ในไม่ช้าเขาก็บินไปสหรัฐอเมริกาเพื่อนำเสนอ สถาบันการศึกษา. ประเทศนี้ได้รับการพิจารณาว่าเป็นรัฐที่มีเสรีภาพไม่ จำกัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน เวลาโซเวียตในหมู่ชาวประเทศของเรา หลายคนใฝ่ฝันที่จะเห็นเธอ แต่นักคณิตศาสตร์ Perelman ไม่ใช่หนึ่งในนั้น ดูเหมือนว่าการล่อลวงของตะวันตกจะไม่มีใครสังเกตเห็นสำหรับเขา นักวิทยาศาสตร์ยังคงใช้ชีวิตแบบเรียบง่ายแม้จะเป็นนักพรตก็ตาม เขากินแซนวิชกับชีสซึ่งเขาล้างด้วย kefir หรือนม และแน่นอน Perelman นักคณิตศาสตร์ทำงานหนัก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาเป็นครู นักวิทยาศาสตร์ได้พบกับนักคณิตศาสตร์เพื่อนของเขา อเมริกาเบื่อเขาหลังจาก 6 ปี

กลับไปรัสเซีย

Grigory กลับไปรัสเซียที่สถาบันบ้านเกิดของเขา ที่นี่เขาทำงานเป็นเวลา 9 ปี ถึงเวลานี้เขาคงเริ่มเข้าใจแล้วว่าหนทางสู่ " ศิลปะบริสุทธิ์"อยู่อย่างโดดเดี่ยว โดดเดี่ยวจากสังคม กริกอรีตัดสินใจยุติความสัมพันธ์ทั้งหมดกับเพื่อนร่วมงาน นักวิทยาศาสตร์ตัดสินใจขังตัวเองอยู่ในอพาร์ทเมนต์เลนินกราดและเริ่มงานที่ยิ่งใหญ่ ...

โทโพโลยี

ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะอธิบายว่า Perelman พิสูจน์อะไรในวิชาคณิตศาสตร์ เฉพาะผู้ชื่นชอบวิทยาศาสตร์นี้เท่านั้นที่สามารถเข้าใจถึงความสำคัญของการค้นพบของเขาได้อย่างเต็มที่ เราจะพยายาม ในภาษาธรรมดาพูดคุยเกี่ยวกับสมมติฐานที่ Perelman นำเสนอ Grigory Yakovlevich ถูกดึงดูดโดยโทโพโลยี นี่คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ซึ่งมักเรียกว่าเรขาคณิตบนแผ่นยาง การศึกษาโทโพโลยี รูปทรงเรขาคณิตที่คงอยู่เมื่อรูปร่างงอ บิด หรือยืดออก กล่าวอีกนัยหนึ่งคือถ้ามันเสียรูปอย่างยืดหยุ่น - โดยไม่ต้องติดกาว, การตัดและการฉีกขาด โทโพโลยีมีความสำคัญมากสำหรับสาขาวิชาเช่นฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ ให้แนวคิดเกี่ยวกับคุณสมบัติของพื้นที่ ในกรณีของเรา เรากำลังพูดถึงพื้นที่อันไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งกำลังขยายตัวอย่างต่อเนื่อง นั่นคือจักรวาล

การคาดเดาของ Poincare

นักฟิสิกส์ นักคณิตศาสตร์ และนักปรัชญาผู้ยิ่งใหญ่ชาวฝรั่งเศส J. A. Poincaré เป็นคนแรกที่ตั้งสมมติฐานนี้ เรื่องนี้เกิดขึ้นเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 แต่ควรสังเกตว่าเขาตั้งสมมติฐานและไม่ได้พิสูจน์ Perelman ทำหน้าที่ของเขาในการพิสูจน์สมมติฐานนี้ เพื่อให้ได้มาซึ่งคำตอบทางคณิตศาสตร์ การตรวจสอบเชิงตรรกะ หลังจากผ่านไปหนึ่งศตวรรษ

เมื่อพูดถึงสาระสำคัญมักจะเริ่มดังนี้ นำแผ่นยาง มันควรจะดึงลูกบอล ดังนั้น คุณจึงมีทรงกลมสองมิติ จำเป็นต้องรวบรวมเส้นรอบวงของดิสก์ไว้ที่จุดเดียว ตัวอย่างเช่น คุณสามารถทำสิ่งนี้กับเป้สะพายหลังได้โดยการดึงออกแล้วมัดด้วยเชือก มันกลายเป็นทรงกลม แน่นอนสำหรับเรามันเป็นสามมิติ แต่จากมุมมองของคณิตศาสตร์มันจะเป็นสองมิติ

จากนั้นการคาดการณ์และการให้เหตุผลโดยเป็นรูปเป็นร่างเริ่มต้นขึ้นซึ่งเป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจสำหรับผู้ที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้ ตอนนี้เราควรจินตนาการถึงทรงกลมสามมิติ นั่นคือ ลูกบอลที่ยืดออกไปเหนือบางสิ่งที่เข้าสู่อีกมิติหนึ่ง ตามสมมติฐาน ทรงกลมสามมิติเป็นเพียงวัตถุสามมิติที่มีอยู่ที่สามารถดึงเข้าด้วยกันโดย "ไฮเปอร์คอร์ด" สมมุติฐานที่จุดหนึ่ง การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้เราเข้าใจว่าเอกภพมีรูปร่างอย่างไร นอกจากนี้ ต้องขอบคุณสิ่งนี้ เราจึงสามารถสันนิษฐานได้อย่างสมเหตุสมผลว่าจักรวาลนั้นเป็นทรงกลมสามมิติ

สมมติฐาน Poincare และทฤษฎีบิกแบง

ควรสังเกตว่าสมมติฐานนี้เป็นการยืนยันทฤษฎีบิกแบง หากเอกภพเป็นเพียง "ร่าง" เดียวที่มีคุณลักษณะเด่นคือความสามารถในการย่อให้เป็นจุดเดียว หมายความว่าสามารถยืดออกในลักษณะเดียวกันได้ คำถามเกิดขึ้น: ถ้ามันเป็นทรงกลม อะไรอยู่นอกจักรวาล? มนุษย์ซึ่งเป็นผลพลอยได้ของดาวเคราะห์โลกแต่เพียงผู้เดียวและไม่แม้แต่กับจักรวาลทั้งหมดจะสามารถรับรู้ความลึกลับนี้ได้หรือไม่? ผู้ที่สนใจสามารถอ่านผลงานของนักคณิตศาสตร์ชื่อดังระดับโลกอีกคน - Stephen Hawking อย่างไรก็ตาม เขายังไม่สามารถพูดอะไรที่ชัดเจนเกี่ยวกับคะแนนนี้ได้ หวังว่าในอนาคต Perelman อีกคนจะปรากฏตัวขึ้นและเขาจะสามารถไขปริศนานี้ได้ซึ่งทำให้จินตนาการของหลาย ๆ คนทรมาน ใครจะไปรู้บางที Grigory Yakovlevich เองก็ยังสามารถทำได้

รางวัลโนเบลสาขาคณิตศาสตร์

Perelman ไม่ได้รับรางวัลอันทรงเกียรตินี้สำหรับความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ของเขา แปลกใช่มั้ย? ในความเป็นจริงสิ่งนี้อธิบายได้ง่ายมากเนื่องจากไม่มีรางวัลดังกล่าว มีการสร้างตำนานทั้งหมดเกี่ยวกับสาเหตุที่โนเบลกีดกันตัวแทนของวิทยาศาสตร์ที่สำคัญเช่นนี้ จนถึงวันนี้ ยังไม่มีการมอบรางวัลโนเบลสาขาคณิตศาสตร์ Perelman อาจจะได้รับหากมีอยู่จริง มีตำนานเล่าขานว่าเหตุผลในการปฏิเสธนักคณิตศาสตร์ของโนเบลมีดังต่อไปนี้: เจ้าสาวของเขาทิ้งเขาไปเพื่อเป็นตัวแทนของวิทยาศาสตร์นี้ ชอบหรือไม่ก็ตาม เมื่อศตวรรษที่ 21 ถือกำเนิดขึ้นเท่านั้นที่ในที่สุดความยุติธรรมก็ได้รับชัยชนะ เมื่อถึงเวลานั้นรางวัลสำหรับนักคณิตศาสตร์ก็ปรากฏขึ้น เรามาพูดสั้น ๆ เกี่ยวกับประวัติของมันกัน

Clay Institute Award เกิดขึ้นได้อย่างไร?

ในการประชุมทางคณิตศาสตร์ที่จัดขึ้นที่กรุงปารีสในปี 1900 เขาเสนอรายการปัญหา 23 รายการที่จำเป็นต้องแก้ไขในศตวรรษที่ 20 ใหม่ จนถึงปัจจุบัน 21 รายได้รับอนุญาตแล้ว อย่างไรก็ตามในปี 1970 Yu. V. Matiyasevich ผู้สำเร็จการศึกษาด้านคณิตศาสตร์และกลศาสตร์ที่ Leningrad State University ได้แก้ปัญหาข้อที่ 10 เสร็จสิ้น ในตอนต้นของศตวรรษที่ 21 สถาบัน American Clay ได้รวบรวมรายการที่คล้ายกันซึ่งประกอบด้วยปัญหาเจ็ดข้อในวิชาคณิตศาสตร์ พวกเขาควรจะได้รับการแก้ไขแล้วในศตวรรษที่ 21 มีการประกาศรางวัลล้านดอลลาร์สำหรับการแก้แต่ละข้อ ในช่วงต้นปี 1904 Poincaré ได้กำหนดหนึ่งในปัญหาเหล่านี้ เขาหยิบยกการคาดเดาว่าพื้นผิวสามมิติทั้งหมดที่เทียบเท่ากับทรงกลมแบบโฮโมไทปิคัลนั้นเป็นโฮมีโอมอร์ฟิค การพูด ในแง่ง่ายๆถ้าพื้นผิวสามมิติค่อนข้างคล้ายกับทรงกลม ก็เป็นไปได้ที่จะทำให้แบนเป็นทรงกลม คำกล่าวของนักวิทยาศาสตร์นี้บางครั้งเรียกว่าสูตรของเอกภพเนื่องจากมีความสำคัญอย่างยิ่งในการทำความเข้าใจกระบวนการทางกายภาพที่ซับซ้อน และเพราะคำตอบนั้นหมายถึงการไขคำถามเกี่ยวกับรูปร่างของเอกภพ ควรกล่าวด้วยว่าการค้นพบนี้มีบทบาทสำคัญในการพัฒนานาโนเทคโนโลยี

สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์จึงตัดสินใจเลือกโจทย์ที่ยากที่สุด 7 ข้อ เงินหนึ่งล้านดอลลาร์ถูกสัญญาไว้สำหรับการแก้ปัญหาของแต่ละคน และตอนนี้ Grigory Perelman ก็ปรากฏตัวพร้อมกับการค้นพบของเขา แน่นอนว่ารางวัลในวิชาคณิตศาสตร์ตกเป็นของเขา เขาสังเกตเห็นได้อย่างรวดเร็วเนื่องจากตั้งแต่ปี 2545 เขาได้เผยแพร่ผลงานของเขาในแหล่งข้อมูลอินเทอร์เน็ตต่างประเทศ

Perelman ได้รับรางวัล Clay Award อย่างไร

ดังนั้นในเดือนมีนาคม 2010 Perelman จึงได้รับรางวัลที่สมควรได้รับ รางวัลทางคณิตศาสตร์หมายถึงการได้รับโชคที่น่าประทับใจ ซึ่งมีมูลค่าถึง 1 ล้านเหรียญสหรัฐ Grigory Yakovlevich ควรจะได้รับมันเพื่อพิสูจน์ อย่างไรก็ตาม ในเดือนมิถุนายน 2010 นักวิทยาศาสตร์เพิกเฉยต่อการประชุมทางคณิตศาสตร์ที่จัดขึ้นในปารีสซึ่งจะมีการมอบรางวัลนี้ และในวันที่ 1 กรกฎาคม 2010 Perelman ประกาศปฏิเสธต่อสาธารณะ ยิ่งกว่านั้น เขาไม่เคยรับเงินที่ได้รับแม้จะร้องขอทั้งหมดก็ตาม

ทำไมนักคณิตศาสตร์ Perelman ปฏิเสธรางวัล?

Grigory Yakovlevich อธิบายสิ่งนี้ด้วยความจริงที่ว่าความรู้สึกผิดชอบชั่วดีของเขาไม่อนุญาตให้เขารับเงินหนึ่งล้านซึ่งเป็นเพราะนักคณิตศาสตร์หลายคน นักวิทยาศาสตร์ตั้งข้อสังเกตว่าเขามีเหตุผลหลายประการทั้งที่จะรับเงินและไม่รับเงิน เขาใช้เวลานานในการตัดสินใจ Grigory Perelman นักคณิตศาสตร์ อ้างถึงความไม่เห็นด้วยกับชุมชนวิทยาศาสตร์เป็นเหตุผลหลักในการปฏิเสธรางวัล เขาสังเกตว่าการตัดสินใจของเขาไม่ยุติธรรม Grigory Yakovlevich กล่าวว่าเขาเชื่อว่าการมีส่วนร่วมของ Hamilton นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันในการแก้ปัญหานี้ไม่น้อยไปกว่าเขา

อีกไม่นานก็มีเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยในหัวข้อนี้: นักคณิตศาสตร์จำเป็นต้องจัดสรรเงินหลายล้านให้บ่อยขึ้น บางทีอาจมีคนตัดสินใจรับไป หนึ่งปีหลังจากการปฏิเสธของ Perelman Demetrios Christodoul และ Richard Hamilton ได้รับรางวัล Shaw Prize จำนวนรางวัลในวิชาคณิตศาสตร์นี้คือหนึ่งล้านดอลลาร์ รางวัลนี้บางครั้งเรียกว่า รางวัลโนเบลทิศตะวันออก. แฮมิลตันได้รับมันสำหรับการสร้างทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ จากนั้นนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Perelman ได้พัฒนาผลงานของเขาที่อุทิศให้กับการพิสูจน์การคาดคะเนPoincaré ริชาร์ดรับรางวัล

รางวัลอื่น ๆ ปฏิเสธโดย Grigory Perelman

อย่างไรก็ตามในปี 1996 Grigory Yakovlevich ได้รับรางวัลอันทรงเกียรติสำหรับนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์จาก European Mathematical Society อย่างไรก็ตามเขาปฏิเสธที่จะรับมัน

10 ปีต่อมา ในปี 2549 นักวิทยาศาสตร์ได้รับรางวัล Fields Medal จากการแก้การคาดเดาของ Poincare Grigory Yakovlevich ก็ปฏิเสธเธอเช่นกัน

วารสาร Science ในปี 2549 เรียกการพิสูจน์สมมติฐานที่สร้างขึ้นโดยPoincaréว่าเป็นความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์แห่งปี ควรสังเกตว่านี่เป็นงานแรกในสาขาคณิตศาสตร์ที่ได้รับชื่อดังกล่าว

David Gruber และ Sylvia Nazar ตีพิมพ์บทความในปี 2549 ชื่อ Manifold Destiny มันพูดถึง Perelman เกี่ยวกับการแก้ปัญหา Poincaré ของเขา นอกจากนี้ บทความพูดถึงชุมชนคณิตศาสตร์และหลักจริยธรรมที่มีอยู่ในวิทยาศาสตร์ นอกจากนี้ยังมีบทสัมภาษณ์ที่หายากของ Perelman มีการกล่าวถึงคำวิจารณ์ของ Yau Xingtang นักคณิตศาสตร์ชาวจีนเป็นอย่างมาก เขาพยายามท้าทายความสมบูรณ์ของหลักฐานที่นำเสนอโดย Grigory Yakovlevich ร่วมกับนักเรียนของเขา ในการให้สัมภาษณ์ Perelman ตั้งข้อสังเกตว่า: "ผู้ที่ละเมิดมาตรฐานทางจริยธรรมในวิทยาศาสตร์จะไม่ถือว่าเป็นคนนอก คนอย่างฉันคือคนที่โดดเดี่ยว"

ในเดือนกันยายน 2554 เขายังปฏิเสธการเป็นสมาชิก สถาบันการศึกษาของรัสเซียนักคณิตศาสตร์ Perelman ชีวประวัติของเขานำเสนอในหนังสือที่ตีพิมพ์ในปีเดียวกัน คุณสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับชะตากรรมของนักคณิตศาสตร์คนนี้ได้ แม้ว่าข้อมูลที่รวบรวมจะขึ้นอยู่กับคำให้การของบุคคลที่สาม ผู้แต่ง - หนังสือเล่มนี้รวบรวมจากการสัมภาษณ์เพื่อนร่วมชั้น ครู เพื่อนร่วมงาน และเพื่อนร่วมงานของ Perelman Sergei Rukshin ครูของ Grigory Yakovlevich วิจารณ์เธอ

Grigory Perelman วันนี้

และวันนี้เขาใช้ชีวิตอย่างโดดเดี่ยว นักคณิตศาสตร์ Perelman เพิกเฉยต่อสื่อในทุกวิถีทาง เขาอาศัยอยู่ที่ไหน? จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ Grigory Yakovlevich อาศัยอยู่กับแม่ของเขาใน Kupchino และตั้งแต่ปี 2014 Grigory Perelman นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวรัสเซียก็ได้มาอยู่ที่สวีเดน

ภาพถ่ายโดย N. Chetverikova ความสำเร็จครั้งยิ่งใหญ่ครั้งสุดท้ายของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์คือการพิสูจน์การคาดคะเนของ Poincaré ซึ่งแสดงในปี 1904 และระบุว่า: “ทุกๆ ที่เชื่อมต่อกัน เชื่อมต่อกันง่ายๆ สามมิติขนาดกะทัดรัดที่ไม่มีขอบเขต เป็นโฮมีโอมอร์ฟิคของทรงกลม S 3 ” โดย Grigory Perelman จากเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กในปี 2545-2546

มีคำศัพท์หลายคำในวลีนี้ซึ่งฉันจะพยายามอธิบายในลักษณะที่ความหมายทั่วไปของพวกเขาชัดเจนสำหรับผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ (ฉันคิดว่าผู้อ่านจบการศึกษาจากโรงเรียนมัธยมและยังจำบางสิ่งจากคณิตศาสตร์ในโรงเรียนได้)

แนวคิดหลักนั้นอธิบายได้ง่ายที่สุดโดยใช้ตัวอย่างแก้วมัคและเบเกิลแบบคลาสสิก อันแรกสามารถเปลี่ยนเป็นอันที่สองได้ด้วยการเสียรูปอย่างต่อเนื่อง: ตัวเลขเหล่านี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเหยือกเป็นแบบโฮมโอมอร์ฟิคของโดนัท และข้อเท็จจริงนี้เป็นจริงทั้งกับพื้นผิวของมัน (ท่อร่วมสองมิติที่เรียกว่า torus) และสำหรับเนื้อที่เต็มไปด้วย ( นานาสามมิติที่มีขอบเขต)

ให้เราตีความคำศัพท์ที่เหลือที่ปรากฏในการกำหนดสมมติฐาน

1. สามมิติมากมายไร้ขอบเขตนี่คือวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งแต่ละจุดมีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปแบบของลูกบอลสามมิติ ตัวอย่างของ 3-manifolds คือ ประการแรก พื้นที่สามมิติทั้งหมด เขียนแทนด้วย R 3 เช่นเดียวกับชุดจุดเปิดใดๆ ใน R 3 เช่น ภายในของทอรัสแข็ง (โดนัท) หากเราพิจารณา torus แบบทึบนั่นคือเพิ่มจุดขอบเขต (พื้นผิวของ torus) เราก็จะได้ขอบเขตที่หลากหลายแล้ว - จุดขอบเขตไม่มีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปแบบของลูกบอล แต่อยู่ในรูปแบบเท่านั้น ของครึ่งลูก.

2. เชื่อมต่อแนวคิดของการเชื่อมต่อนั้นง่ายที่สุดที่นี่ ท่อร่วมจะเชื่อมต่อกันถ้ามันประกอบด้วยชิ้นเดียว หรือบางอย่างที่เหมือนกัน จุดสองจุดใดๆ ของมันสามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นต่อเนื่องที่ไม่เกินขีดจำกัดของมัน

3. เชื่อมต่อง่ายๆแนวคิดเรื่องการเชื่อมโยงเป็นหนึ่งเดียวนั้นซับซ้อนกว่า หมายความว่าเส้นโค้งปิดต่อเนื่องใดๆ ที่อยู่ภายในท่อร่วมที่กำหนดทั้งหมดสามารถหดอย่างราบรื่นไปยังจุดหนึ่งโดยไม่ต้องออกจากท่อร่วมนี้ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมสองมิติธรรมดาใน R 3 นั้นเชื่อมต่อกันง่ายๆ (แถบยางยืดซึ่งยึดติดกับพื้นผิวของแอปเปิ้ลโดยพลการ สามารถหดได้โดยการเปลี่ยนรูปเรียบจนถึงจุดหนึ่งโดยไม่ทำให้แถบยางยืดหลุดจากแอปเปิ้ล) ในทางกลับกัน วงกลมและทอรัสไม่ได้เชื่อมต่อกันง่ายๆ

4. กะทัดรัดความหลากหลายมีขนาดกะทัดรัดหากภาพโฮมโอมอร์ฟิกมีขอบเขต ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาที่เปิดบนเส้น (ทุกจุดของเซ็กเมนต์ยกเว้นจุดสิ้นสุด) ไม่กระชับ เนื่องจากสามารถขยายต่อเนื่องเป็นเส้นไม่สิ้นสุดได้ แต่ส่วนปิด (ที่มีปลาย) เป็นท่อร่วมขนาดเล็กที่มีขอบเขต: สำหรับการเสียรูปต่อเนื่องใดๆ ปลายจะไปที่จุดเฉพาะบางจุด และส่วนทั้งหมดจะต้องเข้าสู่เส้นโค้งที่มีขอบเขตซึ่งเชื่อมต่อจุดเหล่านี้

มิติหลากหลายคือจำนวนองศาอิสระ ณ จุดที่ "มีชีวิต" บนนั้น แต่ละจุดจะมีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปแบบของดิสก์ที่มีมิติสัมพันธ์กัน เช่น ช่วงเวลาของเส้นในกรณีหนึ่งมิติ วงกลมบนระนาบในกรณีสองมิติ ลูกบอลในกรณีสามมิติ ฯลฯ จากมุมมองของโทโพโลยี มีเพียงสองมิติที่เชื่อมต่อกันแบบหนึ่งมิติโดยไม่มีขอบเขต: นี่คือเส้นและวงกลม ในจำนวนนี้ มีเพียงวงกลมเท่านั้นที่มีขนาดกะทัดรัด

ท่อร่วมขนาดเล็กสองมิติเป็นที่รู้จักกันดี ถ้าเราพิจารณาเฉพาะ เชิง 1หลากหลายโดยไม่มีขอบเขต จากนั้นจากมุมมองของทอพอโลยี พวกมันจะสร้างรายการที่เรียบง่าย แม้ว่าจะไม่มีที่สิ้นสุด และอื่น ๆ ท่อร่วมดังกล่าวแต่ละอันได้มาจากทรงกลมโดยการติดกาวหลาย ๆ อันจำนวนที่เรียกว่าประเภทของพื้นผิว

1 เนื่องจากไม่มีพื้นที่ฉันจะไม่พูดถึงท่อร่วมที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้ตัวอย่างขวด Klein ที่มีชื่อเสียง - พื้นผิวที่ไม่สามารถฝังลงในช่องว่างโดยไม่มีทางแยก

เห็นได้ชัดว่าวิธีที่ง่ายที่สุดในการอธิบายโครงสร้างทอพอโลยีของทรงกลมสามมิติ S 3 คือการใช้การทำให้แน่นแบบจุดเดียว กล่าวคือ ทรงกลมสามมิติ S 3 เป็นการกระชับจุดเดียวของพื้นที่สามมิติ (ไม่มีขอบเขต) ปกติ R 3 .

ให้เราอธิบายการก่อสร้างนี้ก่อนด้วยตัวอย่างง่ายๆ ลองใช้เส้นตรงธรรมดาที่ไม่มีที่สิ้นสุด (อะนาล็อกหนึ่งมิติของอวกาศ) และเพิ่มจุดที่ "ห่างไกลไม่สิ้นสุด" เข้าไปหนึ่งจุด สมมติว่าเมื่อเคลื่อนไปตามเส้นตรงไปทางขวาหรือซ้าย ในที่สุดเราก็จะมาถึงจุดนี้ จากมุมมองของโทโพโลยี ไม่มีความแตกต่างระหว่างเส้นอนันต์และส่วนเปิดที่มีขอบเขต (โดยไม่มีจุดสิ้นสุด) ส่วนดังกล่าวสามารถโค้งงออย่างต่อเนื่องในรูปแบบของส่วนโค้งนำปลายเข้ามาใกล้กันและกาวจุดที่ขาดหายไปเข้าทางแยก เห็นได้ชัดว่าเราได้วงกลม - อะนาล็อกหนึ่งมิติของทรงกลม

ในทำนองเดียวกัน ถ้าฉันใช้ระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเพิ่มจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเส้นทั้งหมดของระนาบเดิมมีแนวโน้มที่จะผ่านไปในทิศทางใดก็ได้ เราก็จะได้ทรงกลมสองมิติ (ธรรมดา) S 2 . ขั้นตอนนี้สามารถสังเกตได้โดยใช้การฉายภาพสามมิติซึ่งกำหนดให้กับแต่ละจุด P ของทรงกลมยกเว้นขั้วเหนือของ N ซึ่งเป็นจุดหนึ่งของระนาบ P ":

โดยหลักการแล้วโครงสร้างเดียวกันนั้นใช้ได้กับทรงกลมสามมิติและพื้นที่สามมิติเท่านั้นสำหรับการนำไปใช้งานจำเป็นต้องป้อนมิติที่สี่เท่านั้นและนี่ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะพรรณนาในภาพวาด ดังนั้นฉันจึง จำกัด ตัวเองให้อยู่ในคำอธิบายด้วยวาจาของการกระชับพื้นที่จุดเดียว R 3

นี่คือวิธีที่สามารถเข้าใจได้ ลองฝัง torus ใน R 3 ตามปกติในรูปแบบของโดนัทกลมแล้ววาดเส้นแนวตั้ง - แกนของการหมุนของโดนัทนี้ วาดระนาบโดยพลการผ่านแกน มันจะตัดกันพรูทึบของเราตามวงกลมสองวงที่แสดงเป็นสีเขียวในรูป และส่วนเพิ่มเติมของระนาบจะแบ่งออกเป็นกลุ่มวงกลมสีแดงที่ต่อเนื่องกัน ในหมู่พวกเขาคือแกนกลางที่เน้นให้โดดเด่นยิ่งขึ้นเนื่องจากในทรงกลม S 3 เส้นจะปิดเป็นวงกลม ภาพสามมิติได้มาจากภาพสองมิตินี้โดยการหมุนรอบแกน วงกลมที่หมุนครบชุดจะเติมร่างกายสามมิติจากโฮมโอมอร์ฟิคเป็นพรูทึบ แต่ดูผิดปกติเท่านั้น

มีสามคู่หน้า: ซ้ายและขวา บนและล่าง หน้าและหลัง ในแต่ละคู่ของใบหน้าคู่ขนาน เราระบุจุดที่ได้รับจากแต่ละคู่เป็นคู่โดยการถ่ายโอนไปตามขอบของลูกบาศก์ นั่นคือ เราจะสันนิษฐาน (ในเชิงนามธรรมล้วน ๆ โดยไม่ใช้การเปลี่ยนรูปทางกายภาพ) ตัวอย่างเช่น A และ A "เป็นจุดเดียวกัน และ B และ B" ก็เป็นจุดเดียวเช่นกัน แต่แตกต่างจากจุด A จุดภายในทั้งหมดของ ลูกบาศก์เราจะพิจารณาตามปกติ ตัวลูกบาศก์นั้นเป็นท่อร่วมที่มีขอบ แต่หลังจากติดกาวเสร็จแล้ว ขอบจะปิดตัวเองและหายไป แท้จริงแล้ว พื้นที่ใกล้เคียงของจุด A และ A" ในลูกบาศก์ (ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายและด้านขวาของใบหน้าที่แรเงา) เป็นครึ่งหนึ่งของลูกบอล ซึ่งหลังจากติดกาวใบหน้าเข้าด้วยกันแล้ว รวมเป็นลูกบอลทั้งหมด ซึ่งทำหน้าที่เป็น พื้นที่ใกล้เคียงของจุดที่สอดคล้องกันของพรูสามมิติ

เพื่อให้รู้สึกถึงโครงสร้างของ 3 torus ตามแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับพื้นที่ทางกายภาพ คุณต้องเลือกทิศทางที่ตั้งฉากกัน 3 ทิศทาง: ข้างหน้า ซ้าย และขึ้น - และพิจารณาทางจิตใจเช่นเดียวกับในนิยายวิทยาศาสตร์ เมื่อเคลื่อนไหวในสิ่งใดสิ่งหนึ่ง ทิศทางเหล่านี้ค่อนข้างยาว แต่มีเวลาจำกัด เราจะกลับไปที่จุดเริ่มต้นแต่จากทิศทางตรงกันข้าม นี่เป็น "การกระชับพื้นที่" แต่ไม่ใช่จุดเดียวซึ่งใช้ก่อนหน้านี้ในการสร้างทรงกลม แต่ซับซ้อนกว่า

แนวคิดเริ่มต้นของการพิสูจน์คือการใช้สิ่งที่เรียกว่า "การไหลของ Ricci": เราใช้คอมโพเนนต์ 3-manifold ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่ออย่างง่าย ๆ มอบให้กับรูปทรงเรขาคณิตโดยพลการ (เช่นแนะนำเมตริกบางอย่างพร้อมระยะทางและมุม) จากนั้น พิจารณาวิวัฒนาการของมันตามกระแส Ricci Richard Hamilton ผู้เสนอแนวคิดนี้ในปี 1981 หวังว่าด้วยวิวัฒนาการนี้ ความหลากหลายของเราจะกลายเป็นทรงกลม ปรากฎว่าไม่เป็นความจริง - ในกรณีสามมิติ การไหลของ Ricci สามารถทำให้ส่วนต่าง ๆ เสียหายได้ เช่น ทำให้เป็นส่วนต่าง ๆ เล็กน้อย (สิ่งที่มีจุดเอกพจน์ ดังตัวอย่างข้างต้นของเส้นตัดกัน) Perelman โดยการเอาชนะปัญหาทางเทคนิคที่เหลือเชื่อ โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันหนักอึ้ง จัดการแก้ไขการไหลของ Ricci ใกล้กับจุดเอกพจน์ในลักษณะที่ในระหว่างวิวัฒนาการ โทโพโลยีของท่อร่วมไม่เปลี่ยนแปลง ไม่มีจุดเอกพจน์ และใน ปลายมันจะกลายเป็นทรงกลม แต่ในที่สุดเราต้องอธิบายว่าการไหลของ Ricci คืออะไร โฟลว์ที่ใช้โดยแฮมิลตันและเพเรลแมนอ้างถึงการเปลี่ยนแปลงในเมตริกที่แท้จริงในหลากหลายนามธรรม และนี่ค่อนข้างยากที่จะอธิบาย ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองให้อธิบายโฟลว์ Ricci "ภายนอก" บนหลากหลายมิติที่ฝังอยู่ในระนาบ .

ความโค้งจะถือว่าเป็นบวกหากเวกเตอร์ความเร็วหันไปทางส่วนในของระนาบหารด้วยเส้นโค้งของเราเป็นสองส่วน และเป็นลบหากหันออกด้านนอก ข้อตกลงนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับทิศทางที่เส้นโค้งเคลื่อนที่ ที่จุดเปลี่ยนทิศทางที่การหมุนเปลี่ยนทิศทาง ความโค้งจะเป็น 0 ตัวอย่างเช่น วงกลมรัศมี 1 มีความโค้งเป็นบวกคงที่เท่ากับ 1 (วัดเป็นเรเดียน)

ปรากฎว่าเส้นโค้งปิดใดๆ ในระนาบมีพฤติกรรมคล้ายกันระหว่างวิวัฒนาการดังกล่าว กล่าวคือ ในที่สุดมันก็กลายเป็นวงกลม นี่เป็นข้อพิสูจน์ของอะนาล็อกหนึ่งมิติของการคาดคะเน Poincare โดยใช้กระแส Ricci (อย่างไรก็ตาม ข้อความในกรณีนี้ชัดเจนอยู่แล้ว เพียงแต่วิธีการพิสูจน์แสดงให้เห็นสิ่งที่เกิดขึ้นในมิติที่ 3)

เซอร์เกย์ ดูซิน
เอกฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์
อาวุโส นักวิจัย
สาขาเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก
สถาบันคณิตศาสตร์แห่ง Russian Academy of Sciences

ทฤษฎีบทของ Poincare เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ของ "จักรวาล" กริกอรี เพเรลแมน ตอนที่ 1 (จากซีรีส์ "คนจริงในวิทยาศาสตร์")

Henri Poincare (1854-1912) หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ในปี 1904 ได้กำหนดแนวคิดที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับทรงกลมสามมิติที่ผิดรูป และในรูปแบบของหมายเหตุเล็กน้อยที่ส่วนท้ายของบทความ 65 หน้าบน ปัญหาที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงเขียนข้อความคาดคะเนที่ค่อนข้างแปลกสองสามบรรทัดด้วยคำว่า: "คำถามนี้อาจพาเราไปได้ไกลเกินไป" ...

Marcus Du Sotoy แห่ง University of Oxford เชื่อว่าทฤษฎีบทของ Poincaré คือ "นี่ ปัญหาหลักของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์พยายามที่จะเข้าใจ รูปแบบใดอาจจะ จักรวาลมันยากมากที่จะเข้าใกล้เธอ”

Grigory Perelman สัปดาห์ละครั้งเดินทางไปที่ Princeton เพื่อเข้าร่วมการสัมมนาที่ Institute for Advanced Study ในการสัมมนานักคณิตศาสตร์ท่านหนึ่ง มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดตอบคำถามของ Perelman: "ทฤษฎีของ William Thurston (1946-2012, นักคณิตศาสตร์, ทำงานในสาขา "เรขาคณิตสามมิติและโทโพโลยี") เรียกว่าสมมติฐาน geometrization อธิบายพื้นผิวสามมิติที่เป็นไปได้ทั้งหมดและเป็นก้าวไปข้างหน้าเมื่อเปรียบเทียบ กับสมมติฐานของPoincaré หากคุณพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของ William Thurston การคาดคะเนของ Poincare จะเปิดประตูทั้งหมดให้คุณและอีกมากมาย วิธีการแก้ปัญหาจะเปลี่ยนภูมิทัศน์ทอพอโลยีทั้งหมดของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่».

ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2546 มหาวิทยาลัยชั้นนำของอเมริกาหกแห่งเชิญให้ Perelman อ่านชุดการบรรยายที่อธิบายงานของเขา ในเดือนเมษายน 2546 Perelman ออกทัวร์ทางวิทยาศาสตร์ การบรรยายของเขากลายเป็นเหตุการณ์ทางวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่น จอห์น บอลล์ (ประธานสหภาพคณิตศาสตร์ระหว่างประเทศ), แอนดรูว์ ไวล์ส (นักคณิตศาสตร์, ทำงานด้านเลขคณิตของเส้นโค้งวงรี, พิสูจน์ทฤษฎีบทแฟร์มาต์ในปี 1994), จอห์น แนช (นักคณิตศาสตร์ที่ทำงานด้านทฤษฎีเกมและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์) พรินซ์ตันให้ฟังเขา

Grigory Perelman สามารถแก้ปัญหาหนึ่งในเจ็ดงานของสหัสวรรษได้และ อธิบายทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า สูตรของจักรวาลเพื่อพิสูจน์ Poincaré Conjecture ความคิดที่ฉลาดที่สุดต่อสู้กับสมมติฐานนี้มานานกว่า 100 ปีและเพื่อพิสูจน์ว่าชุมชนคณิตศาสตร์โลก (สถาบันคณิตศาสตร์ดิน) สัญญาว่าจะให้เงิน 1 ล้านดอลลาร์ มันถูกนำเสนอเมื่อวันที่ 8 มิถุนายน 2010 Grigory Perelman ไม่ปรากฏบนมัน และชุมชนคณิตศาสตร์โลก "อ้าปากค้าง"

ในปี 2549 สำหรับการแก้การคาดคะเนของPoincaré นักคณิตศาสตร์ได้รับรางวัลทางคณิตศาสตร์สูงสุด - รางวัล Fields Prize (Fields Medal) John Ball ไปเยี่ยมเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กเป็นการส่วนตัวเพื่อเกลี้ยกล่อมให้เขารับรางวัล เขาปฏิเสธที่จะยอมรับมันด้วยคำว่า: "สังคมแทบจะไม่สามารถประเมินผลงานของฉันได้อย่างจริงจัง"

“รางวัล Fields Prize (และเหรียญรางวัล) จะมอบให้ทุกๆ 4 ปีในการประชุมทางคณิตศาสตร์ระหว่างประเทศแต่ละครั้ง แก่นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ (อายุต่ำกว่า 40 ปี) ซึ่งมีส่วนสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์ นอกเหนือจากเหรียญรางวัลแล้ว ผู้ได้รับรางวัลยังได้รับรางวัล 15,000 ดอลลาร์แคนาดา (13,000 ดอลลาร์แคนาดา)”

ในสูตรดั้งเดิม Poincaré Conjecture อ่านได้ดังนี้: "ทุกอันที่เชื่อมต่อกันง่ายๆ สามมิติมากมายโดยไม่มีขอบเขตคือโฮมีโอมอร์ฟิคกับทรงกลมสามมิติ" แปลเป็นภาษาทั่วไปหมายความว่าวัตถุสามมิติใด ๆ เช่นแก้วสามารถเปลี่ยนเป็นลูกบอลได้โดยการเสียรูปเพียงอย่างเดียวนั่นคือไม่จำเป็นต้องตัดหรือติดกาว กล่าวอีกนัยหนึ่ง Poincaré แนะนำว่า อวกาศไม่ใช่สามมิติ แต่มีจำนวนมิติที่มากกว่ามากและ Perelman 100 ปีต่อมา พิสูจน์ได้ทางคณิตศาสตร์.

การแสดงออกของทฤษฎีบท Poincaré ของ Grigory Perelman เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของสสารไปสู่สถานะอื่น รูปแบบคล้ายกับความรู้ที่กำหนดไว้ในหนังสือ "Sensei IV" ของ Anastasia Novykh: เข็ม" ตลอดจนความสามารถในการควบคุมจักรวาลวัสดุผ่านการเปลี่ยนแปลงที่ผู้สังเกตการณ์แนะนำจากการควบคุมมิติที่อยู่เหนือมิติที่หก (ตั้งแต่ 7 ถึง 72 รวมอยู่ด้วย) (รายงาน "หลักฟิสิกส์อัลลาตรา" หัวข้อ "ตาราง Ezoosmic")

Grigory Perelman โดดเด่นด้วยความเข้มงวดของชีวิต ความรุนแรงของข้อกำหนดทางจริยธรรมทั้งสำหรับตัวเขาเองและสำหรับผู้อื่น เมื่อมองไปที่เขา ใคร ๆ ก็รู้สึกว่าเขาเป็นเพียงคนเดียว ร่างกายอาศัยอยู่เหมือนกันกับคนรุ่นราวคราวเดียวกัน ช่องว่าง, ก ทางจิตวิญญาณในสิ่งอื่นที่แม้ อย่าไปเพื่อ 1 ล้านเหรียญ"ไร้เดียงสา" ที่สุด ประนีประนอมกับมโนธรรม. และพื้นที่นี้คืออะไรและเป็นไปได้ไหมที่จะมองจากมุมตาของคุณ ..

ความสำคัญเป็นพิเศษของสมมติฐานที่นักคณิตศาสตร์ Poincaré หยิบยกขึ้นมาเมื่อประมาณหนึ่งศตวรรษก่อนนั้นเกี่ยวข้องกับโครงสร้างสามมิติและเป็น องค์ประกอบสำคัญการวิจัยร่วมสมัย รากฐานของจักรวาล. ผู้เชี่ยวชาญจาก Clay Institute กล่าวว่าปริศนานี้เป็นหนึ่งในเจ็ดปริศนาพื้นฐานที่สำคัญสำหรับการพัฒนาคณิตศาสตร์ในอนาคต

Perelman ปฏิเสธเหรียญและรางวัล ถามว่า: "ทำไมฉันถึงต้องการมัน พวกมันไร้ประโยชน์สำหรับฉันอย่างแน่นอน ทุกคนเข้าใจดีว่าหากการพิสูจน์ถูกต้อง ก็ไม่จำเป็นต้องมีการยอมรับอื่นใดอีก จนกว่าฉันจะเกิดความสงสัย ฉันมีตัวเลือกว่าจะพูดออกมาดังๆ เกี่ยวกับการสลายตัวของชุมชนคณิตศาสตร์โดยรวมเนื่องจากระดับศีลธรรมต่ำหรือไม่พูดอะไรเลยและปล่อยให้ตัวเองถูกปฏิบัติเหมือนวัวควาย บัดนี้ เมื่อข้าพเจ้ากลายเป็นคนระแวงไปมากแล้ว ข้าพเจ้าไม่สามารถอยู่เป็นวัวควายและนิ่งเงียบต่อไปได้ ดังนั้นข้าพเจ้าจึงได้แต่จากไป

ในการทำคณิตศาสตร์สมัยใหม่ คุณต้องมีจิตใจที่บริสุทธิ์ ปราศจากสิ่งเจือปนแม้แต่น้อยที่จะทำลายมัน ทำให้สับสน แทนที่คุณค่า และการรับรางวัลนี้หมายถึงการแสดงความอ่อนแอ นักวิทยาศาสตร์ในอุดมคติมีส่วนร่วมในวิทยาศาสตร์เท่านั้น ไม่สนใจสิ่งอื่นใด (อำนาจและทุน) เขาต้องมีจิตใจที่บริสุทธิ์และสำหรับ Perelman ไม่มีความสำคัญยิ่งไปกว่าการใช้ชีวิตตามอุดมคตินี้ แนวคิดทั้งหมดนี้มีประโยชน์นับล้านสำหรับคณิตศาสตร์หรือไม่ และนักวิทยาศาสตร์ที่แท้จริงต้องการสิ่งจูงใจเช่นนี้หรือไม่? และความปรารถนาของทุนที่จะซื้อและปราบปรามทุกสิ่งในโลกนี้ไม่ดูถูก? หรือจะขายก็ได้ ความบริสุทธิ์ของมันเป็นล้าน? เงินมีเท่าไหร่ก็มีค่าเท่ากัน ความจริงของจิตวิญญาณ? ท้ายที่สุดเรากำลังเผชิญกับการประเมินเบื้องต้นเกี่ยวกับปัญหาที่เงินไม่ควรเกี่ยวข้องด้วยใช่ไหม! การทำสิ่งทั้งหมดนี้ เช่น ลอตโต-ล้าน หรือ กระเป๋าถือ หมายถึงการดื่มด่ำกับการสลายตัวของวิทยาศาสตร์ และแท้จริงแล้ว ชุมชนมนุษย์โดยรวม(ดูรายงาน "ฟิสิกส์อัลลาตรายุคแรก" และหนังสือ "อัลลาตรา" 50 หน้าสุดท้ายเกี่ยวกับแนวทางการสร้างสังคมสร้างสรรค์) และ เงินสด(พลังงาน)ซึ่งนักธุรกิจพร้อมบริจาคให้วิทยาศาสตร์ถ้าจำเป็นต้องใช้ก็ถูกต้องแล้วหรืออะไรโดยไม่ขายหน้า จิตวิญญาณแห่งการบริการที่แท้จริงไม่ว่าใครจะพูดว่าเทียบเท่ากับเงินที่ประเมินค่ามิได้: “ เทียบกับล้านคืออะไร, ด้วยความบริสุทธิ์, หรือทรง ทรงกลมเหล่านั้น (เกี่ยวกับมิติของจักรวาลโลกและเกี่ยวกับ โลกวิญญาณดูหนังสือ"อัลลัทรา" และรายงาน"ฟิสิกส์อัลลาตรายุคแรก") ซึ่งใน ไม่สามารถเจาะได้แม้แต่มนุษย์ จินตนาการ (ใจ)?! ล้านคืออะไร ท้องฟ้าเต็มไปด้วยดวงดาวเป็นเวลา?

ให้เราตีความคำศัพท์ที่เหลือที่ปรากฏในการกำหนดสมมติฐาน:

โทโพโลยี - (จากโทโปโลยีกรีก - สถานที่และโลโก้ - การสอน) - สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติทอพอโลยีของตัวเลข เช่น คุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเสียรูปใด ๆ ที่เกิดขึ้นโดยไม่มีความไม่ต่อเนื่องและการติดกาว (แม่นยำยิ่งขึ้นภายใต้การแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งและต่อเนื่อง) ตัวอย่างของคุณสมบัติทอพอโลยีของตัวเลข ได้แก่ มิติ จำนวนเส้นโค้งที่ล้อมรอบพื้นที่ที่กำหนด และอื่นๆ ดังนั้น วงกลม วงรี รูปร่างสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงมีคุณสมบัติทอพอโลยีเหมือนกันตั้งแต่นั้นมา เส้นเหล่านี้สามารถเปลี่ยนรูปเป็นอีกเส้นหนึ่งในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้น ในเวลาเดียวกัน วงแหวนและวงกลมมีคุณสมบัติทอพอโลยีต่างกัน: วงกลมล้อมรอบด้วยเส้นชั้นเดียว และวงแหวนมีเส้นรอบวงสองเส้น

โฮมีมอร์ฟิซึ่ม (กรีก ομοιο - คล้าย, μορφη - รูปร่าง) เป็นความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสองช่องว่างเชิงทอพอโลยี ซึ่งการแมปผกผันร่วมกันที่กำหนดโดยการติดต่อนี้มีความต่อเนื่องกัน การแมปเหล่านี้เรียกว่าการแมปแบบโฮมโอมอร์ฟิกหรือทอพอโลยี เช่นเดียวกับการแมปแบบโฮมโอมอร์ฟิซึม และช่องว่างที่กล่าวกันว่าอยู่ในประเภททอพอโลยีเดียวกันเรียกว่า โฮมโอมอร์ฟิก หรือเทียบเท่าทอพอโลยี

สามมิติมากมายไร้ขอบเขต นี่คือวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งแต่ละจุดมีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปแบบของลูกบอลสามมิติ ตัวอย่างของ 3-manifolds ได้แก่ ประการแรก พื้นที่สามมิติทั้งหมด แสดงโดย R3 เช่นเดียวกับชุดจุดเปิดใดๆ ใน R3 ตัวอย่างเช่น ภายในของ torus ที่เป็นของแข็ง (โดนัท) หากเราพิจารณาทอรัสแบบปิดนั่นคือ หากเราเพิ่มจุดขอบเขต (พื้นผิวของทอรัส) เราจะได้ขอบเขตที่มีขอบเขต - จุดขอบเขตไม่มีพื้นที่ใกล้เคียงในรูปของลูกบอล แต่จะอยู่ในรูปของครึ่งลูกเท่านั้น

พรูเต็ม (พรูเต็ม) - ร่างกายทางเรขาคณิต, homeomorphic กับผลิตภัณฑ์ของดิสก์สองมิติและวงกลม D2 * S1 อย่างเป็นทางการ ทอรัสแข็งคือโดนัท ในขณะที่ทอรัสเป็นเพียงผิวของมัน (ช่องกลวงของล้อ)

เชื่อมต่อง่ายๆ หมายความว่าเส้นโค้งปิดต่อเนื่องใดๆ ที่อยู่ภายในท่อร่วมที่กำหนดทั้งหมดสามารถหดอย่างราบรื่นไปยังจุดหนึ่งโดยไม่ต้องออกจากท่อร่วมนี้ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมสองมิติธรรมดาใน R3 เชื่อมต่อกันง่ายๆ (แถบยางยืดที่ใช้กับพื้นผิวของแอปเปิลโดยพลการ สามารถหดให้เหลือจุดเดียวได้ด้วยการเสียรูปเรียบๆ โดยไม่ต้องถอดแถบยางยืดออกจากแอปเปิล) ในทางกลับกัน วงกลมและทอรัสไม่ได้เชื่อมต่อกันง่ายๆ

กะทัดรัด ความหลากหลายมีขนาดกะทัดรัดหากภาพโฮมโอมอร์ฟิกมีขอบเขต ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาที่เปิดบนเส้น (ทุกจุดของเซ็กเมนต์ยกเว้นจุดสิ้นสุด) ไม่กระชับ เนื่องจากสามารถขยายต่อเนื่องเป็นเส้นไม่สิ้นสุดได้ แต่ส่วนปิด (ที่มีปลาย) เป็นท่อร่วมขนาดเล็กที่มีขอบเขต: สำหรับการเสียรูปต่อเนื่องใดๆ ปลายจะไปที่จุดเฉพาะบางจุด และส่วนทั้งหมดจะต้องเข้าสู่เส้นโค้งที่มีขอบเขตซึ่งเชื่อมต่อจุดเหล่านี้

ยังมีต่อ...

อิลนาซ บาชารอฟ

วรรณกรรม:

– รายงาน "ฟิสิกส์อัลลาตราระดับประถมศึกษา" ของกลุ่มนักวิทยาศาสตร์ระดับนานาชาติของขบวนการสาธารณะระหว่างประเทศอัลลาตรา เอ็ด Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- อันใหม่. อ. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- อันใหม่. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013, 632 p. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin ดุษฎีบัณฑิตสาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์, นักวิจัยอาวุโส, สาขาเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กของสถาบันคณิตศาสตร์แห่ง Russian Academy of Sciences

เป็นที่นิยมในหมวดหมู่: