Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν απέδειξε ότι δεν υπάρχει Θεός. Μαθηματικός Perelman Yakov: συμβολή στην επιστήμη

« Πρόκληση της Χιλιετίας», που λύθηκε από μια Ρωσίδα μαθηματική ιδιοφυΐα, σχετίζεται με την προέλευση του Σύμπαντος. Δεν δίνεται σε κάθε μαθηματικό να κατανοήσει την ουσία του γρίφου…

ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΜΥΑΛΟΥ

Μέχρι πρόσφατα τα μαθηματικά δεν υπόσχονταν ούτε δόξα ούτε πλούτο στους «ιερείς» τους. Αυτοί μάλιστα βραβείο Νόμπελδεν έδωσε. Δεν υπάρχει τέτοια υποψηφιότητα. Πράγματι, σύμφωνα με έναν πολύ δημοφιλή μύθο, η γυναίκα του Νόμπελ κάποτε τον απάτησε με έναν μαθηματικό. Και σε αντίποινα, ο πλούσιος στέρησε από όλους τους σικέ αδερφούς τους το σεβασμό και το χρηματικό έπαθλο.

Η κατάσταση άλλαξε το 2000. Το ιδιωτικό Clay Mathematics Institute επέλεξε επτά από τα περισσότερα δύσκολα καθήκοντακαι υποσχέθηκε να πληρώσει ένα εκατομμύριο δολάρια για κάθε απόφαση.

Οι μαθηματικοί αντιμετωπίζονταν με σεβασμό. Το 2001, οι οθόνες κυκλοφόρησαν ακόμη και την ταινία "A Beautiful Mind", ο κύριος χαρακτήρας της οποίας ήταν ένας μαθηματικός.

Τώρα μόνο άνθρωποι μακριά από τον πολιτισμό δεν γνωρίζουν: ένα από τα υποσχεμένα εκατομμύρια - το πρώτο - έχει ήδη βραβευτεί. Το βραβείο απονεμήθηκε σε Ρώσο υπήκοο, κάτοικο Αγίας Πετρούπολης Γκριγκόρι Πέρελμαν.Απέδειξε την εικασία του Πουανκαρέ, ένα παζλ που αψηφούσε οποιονδήποτε για περισσότερα από 100 χρόνια και το οποίο, μέσα από τις προσπάθειές του, έγινε θεώρημα.

Ο χαριτωμένος 44χρονος γενειοφόρος άντρας μας σκούπισε τη μύτη του σε όλο τον κόσμο. Και τώρα συνεχίζει να τον κρατά -τον κόσμο- σε αγωνία. Δεδομένου ότι δεν είναι γνωστό αν ο μαθηματικός θα αξίζει ειλικρινά ένα εκατομμύριο δολάρια ή θα αρνηθεί. Το προοδευτικό κοινό σε πολλές χώρες είναι φυσικά ταραγμένο. Τουλάχιστον οι εφημερίδες όλων των ηπείρων καταγράφουν οικονομικές και μαθηματικές ίντριγκες.

Και με φόντο αυτές τις συναρπαστικές δραστηριότητες - μάντι και μοίρασμα χρημάτων άλλων - το νόημα του επιτεύγματος του Πέρελμαν χάθηκε κατά κάποιον τρόπο. Ο πρόεδρος του Ινστιτούτου Κλέι Τζιμ Κάρλσον, βέβαια, είχε δηλώσει κάποτε, λένε, τον στόχο ταμείο βραβείων- όχι τόσο αναζήτηση απαντήσεων όσο μια προσπάθεια να ανυψωθεί το κύρος της μαθηματικής επιστήμης και να ενδιαφερθούν οι νέοι για αυτήν. Αλλά και πάλι, ποιο είναι το νόημα;

Ο Grisha στη νεολαία του - ακόμη και τότε ήταν ιδιοφυΐα.

ΥΠΟΘΕΣΗ POINCARE - ΤΙ ΕΙΝΑΙ;

Ο γρίφος, που λύθηκε από τη Ρώσο ιδιοφυΐα, επηρεάζει τα θεμέλια του τμήματος των μαθηματικών που ονομάζεται τοπολογία. Αυτή - τοπολογία - ονομάζεται συχνά "γεωμετρία σε ένα φύλλο καουτσούκ". Ασχολείται με ακίνητα γεωμετρικά σχήματα, τα οποία διατηρούνται αν η μορφή είναι τεντωμένη, στριμμένη, λυγισμένη. Παραμορφώνεται δηλαδή χωρίς σπασίματα, κοψίματα και κόλλες.

Η τοπολογία είναι σημαντική για τη μαθηματική φυσική γιατί μας επιτρέπει να κατανοήσουμε τις ιδιότητες του χώρου. Ή αξιολογήστε το χωρίς να μπορείτε να δείτε το σχήμα αυτού του χώρου από έξω. Για παράδειγμα, το σύμπαν μας.

Όταν εξηγούν την εικασία Poincare, ξεκινούν ως εξής: φανταστείτε μια δισδιάστατη σφαίρα - πάρτε έναν ελαστικό δίσκο και τραβήξτε τον πάνω από την μπάλα. Έτσι ώστε η περιφέρεια του δίσκου να συγκεντρώνεται σε ένα σημείο. Ομοίως, για παράδειγμα, μπορείτε να τραβήξετε ένα αθλητικό σακίδιο με κορδόνι. Το αποτέλεσμα είναι μια σφαίρα: για εμάς - τρισδιάστατη, αλλά από την άποψη των μαθηματικών - μόνο δισδιάστατη.

Μετά προσφέρονται να τραβήξουν τον ίδιο δίσκο σε ένα ντόνατ. Φαίνεται να λειτουργεί. Αλλά οι άκρες του δίσκου θα συγκλίνουν σε έναν κύκλο, ο οποίος δεν μπορεί πλέον να τραβηχτεί σε ένα σημείο - θα κόψει το ντόνατ.

Όπως έγραψε στο δικό του δημοφιλές βιβλίοαλλο Ρώσος μαθηματικός, Vladimir Uspensky, «Σε αντίθεση με τις δισδιάστατες σφαίρες, οι τρισδιάστατες σφαίρες είναι απρόσιτες για την άμεση παρατήρησή μας και είναι τόσο δύσκολο για εμάς να τις φανταστούμε όσο είναι για τον Βασίλι Ιβάνοβιτς από το γνωστό ανέκδοτο τετράγωνο τριώνυμο».

Έτσι, σύμφωνα με την υπόθεση του Πουανκαρέ, μια τρισδιάστατη σφαίρα είναι το μόνο τρισδιάστατο πράγμα του οποίου η επιφάνεια μπορεί να τραβηχτεί σε ένα σημείο από κάποιου είδους υποθετικό «υπερκορδόνι».

Γκριγκόρι Πέρελμαν: - Σκεφτείτε, το διώνυμο του Νεύτωνα...

Ο Jules Henri Poincare το πρότεινε αυτό το 1904. Τώρα ο Πέρελμαν έπεισε όλους όσοι καταλαβαίνουν ότι ο Γάλλος τοπολόγος είχε δίκιο. Και μετέτρεψε την υπόθεσή του σε θεώρημα.

Η απόδειξη βοηθά να κατανοήσουμε τι σχήμα έχει το σύμπαν μας. Και μας επιτρέπει να υποθέσουμε εύλογα ότι πρόκειται για την ίδια τρισδιάστατη σφαίρα.

Αλλά αν το Σύμπαν είναι η μόνη «φιγούρα» που μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο, τότε, πιθανότατα, μπορεί να τεντωθεί και από ένα σημείο. Η οποία χρησιμεύει ως έμμεση επιβεβαίωση της θεωρίας της Μεγάλης Έκρηξης, η οποία ισχυρίζεται ότι το Σύμπαν προήλθε ακριβώς από το σημείο.

Αποδεικνύεται ότι ο Perelman μαζί με τον Poincare αναστάτωσαν τους λεγόμενους δημιουργιστές - υποστηρικτές θεϊκή αρχήσύμπαν. Και έριξαν νερό στο μύλο των υλιστών φυσικών.

Ο πολυμήχανος μαθηματικός από την Αγία Πετρούπολη, Γκριγκόρι Πέρελμαν, ο οποίος έγινε διάσημος σε όλο τον κόσμο για την απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ, εξήγησε τελικά την άρνησή του για το βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων που του απονεμήθηκε γι' αυτό. όπως αναφέρει" TVNZ», αποκάλυψε ο απομονωμένος επιστήμονας σε συνομιλία με δημοσιογράφο και παραγωγό της κινηματογραφικής εταιρείας «President-Film», η οποία, με τη συγκατάθεση του Πέρελμαν, θα γυρίσει την ταινία μεγάλου μήκους «Formula of the Universe» για αυτόν.

Ο Alexander Zabrovsky είχε την τύχη να μιλήσει με τον μεγάλο μαθηματικό - έφυγε από τη Μόσχα για το Ισραήλ πριν από μερικά χρόνια και μάντεψε πρώτα να επικοινωνήσει με τη μητέρα του Grigory Yakovlevich μέσω της εβραϊκής κοινότητας της Αγίας Πετρούπολης, αφού τη βοήθησε. Μίλησε με τον γιο της, και μετά τον καλό της χαρακτηρισμό, συμφώνησε σε συνάντηση. Αυτό μπορεί πραγματικά να ονομαστεί επίτευγμα - οι δημοσιογράφοι δεν μπορούσαν να «πιάσουν» τον επιστήμονα, αν και πέρασαν μέρες καθισμένοι στην είσοδό του.

Όπως είπε ο Ζαμπρόφσκι στην εφημερίδα, ο Πέρελμαν έδωσε την εντύπωση «ενός απολύτως λογικού, υγιούς, επαρκούς και φυσιολογικού ανθρώπου»: «Ρεαλιστής, πραγματιστής και λογικός, αλλά χωρίς συναισθηματισμό και ενθουσιασμό... Όλα όσα του αποδόθηκαν στον Τύπο , λες και ήταν "από το μυαλό του", - πλήρης ανοησία! Ξέρει ακριβώς τι θέλει, και ξέρει πώς να πετύχει τον στόχο."

Η ταινία, για την οποία ο μαθηματικός ήρθε σε επαφή και συμφώνησε να βοηθήσει, δεν θα αφορά τον εαυτό του, αλλά τη συνεργασία και την αντιπαράθεση των τριών κύριων παγκόσμιων μαθηματικών σχολών: της Ρωσικής, της Κινέζικης και της Αμερικάνικης, που είναι οι πιο προηγμένες στο μονοπάτι των σπουδών. και διαχείριση του Σύμπαντος.

Όταν ρωτήθηκε γιατί ο Πέρελμαν αρνήθηκε ένα εκατομμύριο, απάντησε:

"Ξέρω πώς να διαχειρίζομαι το Σύμπαν. Και πες μου - γιατί να τρέχω πίσω από ένα εκατομμύριο;"

Ο επιστήμονας είναι προσβεβλημένος, όπως τον αποκαλούν στον ρωσικό Τύπο

Ο Πέρελμαν εξήγησε ότι δεν επικοινωνεί με δημοσιογράφους, επειδή δεν ασχολούνται με την επιστήμη, αλλά με προσωπικά και οικιακά ζητήματα - από τους λόγους άρνησης ενός εκατομμυρίου μέχρι το ζήτημα της κοπής μαλλιών και νυχιών.

Συγκεκριμένα, δεν θέλει να επικοινωνήσει με τα ρωσικά ΜΜΕ λόγω της ασεβούς συμπεριφοράς απέναντί ​​του. Για παράδειγμα, στον Τύπο τον αποκαλούν Grisha, και μια τέτοια εξοικείωση προσβάλλει.

Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν είπε ότι από τότε ΣΧΟΛΙΚΑ χρονιαχρησιμοποιείται σε αυτό που ονομάζεται "εκπαίδευση εγκεφάλου". Θυμούμενος πώς, όντας «αντιπρόσωπος» από την ΕΣΣΔ, έλαβε χρυσό μετάλλιοστη Μαθηματική Ολυμπιάδα στη Βουδαπέστη, είπε: «Προσπαθήσαμε να λύσουμε προβλήματα όπου η ικανότητα αφηρημένης σκέψης ήταν απαραίτητη προϋπόθεση.

Ήταν σε αυτή την αφαίρεση από τη μαθηματική λογική που κύριο σημείοκαθημερινές προπονήσεις. Για να βρεθεί η σωστή λύση, ήταν απαραίτητο να φανταστούμε ένα «κομμάτι του κόσμου».

Ως παράδειγμα μιας τόσο «δύσκολης» αποστολής ανέφερε τα εξής: «Θυμήσου βιβλικός θρύλοςγια το πώς περπατούσε ο Ιησούς Χριστός στο νερό, όπως στην ξηρά. Έπρεπε λοιπόν να υπολογίσω πόσο γρήγορα έπρεπε να κινηθεί μέσα στα νερά για να μην πέσει.

Από τότε, ο Perelman έχει αφιερώσει όλες του τις δραστηριότητές του στη μελέτη του προβλήματος της μελέτης των ιδιοτήτων του τρισδιάστατου χώρου του Σύμπαντος: «Αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον. Προσπαθώ να αγκαλιάσω την απεραντοσύνη.

Ο επιστήμονας έγραψε τη διατριβή του υπό την καθοδήγηση του ακαδημαϊκού Alexandrov. "Το θέμα ήταν απλό: "Επιφάνειες σέλας στην Ευκλείδεια γεωμετρία". Μπορείτε να φανταστείτε επιφάνειες που είναι ίσες σε μέγεθος και άνισα απέχουσες μεταξύ τους στο άπειρο; Πρέπει να μετρήσουμε τις "κουφές" μεταξύ τους", εξήγησε ο μαθηματικός.

Τι σημαίνει η ανακάλυψη του Πέρελμαν, τρομάζοντας τις υπηρεσίες πληροφοριών του κόσμου

Η δήλωση του Poincare "Formula of the Universe" ονομάζεται λόγω της σημασίας της στη μελέτη περίπλοκων φυσικών διεργασιών στη θεωρία του σύμπαντος και επειδή δίνει μια απάντηση στο ερώτημα σχετικά με το σχήμα του Σύμπαντος. Αυτά τα στοιχεία θα παίξουν μεγάλο ρόλο στην ανάπτυξη της νανοτεχνολογίας».

"Έμαθα πώς να υπολογίζω τα κενά, μαζί με τους συναδέλφους μου θα μάθουμε τους μηχανισμούς για την κάλυψη κοινωνικών και οικονομικών "κενών", είπε. "Τα κενά υπάρχουν παντού. Μπορούν να υπολογιστούν και αυτό παρέχει μεγάλες ευκαιρίες ...

Σύμφωνα με το δημοσίευμα, η κλίμακα όσων ανακάλυψε ο Γκριγκόρι Γιακόβλεβιτς, που στην πραγματικότητα κάνει βήματα μπροστά από τη σημερινή παγκόσμια επιστήμη, τον έχει καταστήσει αντικείμενο συνεχούς ενδιαφέροντος ειδικών υπηρεσιών, όχι μόνο ρωσικών, αλλά και ξένων.

Κατανόησε κάποια υπερ-γνώση που βοηθά στην κατανόηση του σύμπαντος. Και εδώ προκύπτουν ερωτήματα αυτού του είδους: «Τι θα συμβεί αν οι γνώσεις του βρουν πρακτική εφαρμογή;».

Στην πραγματικότητα, οι μυστικές υπηρεσίες πρέπει να γνωρίζουν - είναι ο Πέρελμαν, ή μάλλον, οι γνώσεις του, απειλή για την ανθρωπότητα; Άλλωστε, αν με τη βοήθεια της γνώσης του είναι δυνατό να μετατραπεί το Σύμπαν σε ένα σημείο και μετά να το ξεδιπλώσει, τότε μπορούμε να πεθάνουμε ή να ξαναγεννηθούμε με διαφορετική ιδιότητα; Και μετά θα είμαστε; Και χρειάζεται να διαχειριστούμε καθόλου το σύμπαν;

ΚΑΙ ΑΥΤΗ ΤΗΝ ΩΡΑ

Ιδιοφυής μαμά: «Μη μας κάνεις ερωτήσεις για χρήματα!»

Όταν έγινε γνωστό ότι ο μαθηματικός τιμήθηκε με το Βραβείο Millennium, πλήθος δημοσιογράφων συγκεντρώθηκε μπροστά στην πόρτα του. Όλοι ήθελαν να συγχαρούν προσωπικά τον Πέρελμαν και να μάθουν αν θα έπαιρνε το νόμιμο εκατομμύριο του.

Χτυπήσαμε την αδύναμη πόρτα για πολλή ώρα (αν μπορούσαμε να την αντικαταστήσουμε με premium χρήματα), αλλά ο μαθηματικός δεν την άνοιξε. Αλλά η μητέρα του σημείωσε αρκετά εύληπτα το «i» ακριβώς από το διάδρομο.

Δεν θέλουμε να μιλήσουμε με κανέναν και δεν πρόκειται να δώσουμε συνεντεύξεις, - φώναξε ο Λιούμποφ Λέιμποβνα. - Και μην μας κάνετε ερωτήσεις για αυτό το βραβείο και τα χρήματα.

Οι άνθρωποι που ζούσαν στην ίδια είσοδο εξεπλάγησαν όταν είδαν ένα ξαφνικό ενδιαφέρον για τον Πέρελμαν.

Είναι παντρεμένος ο Grisha μας; ένας από τους γείτονες γέλασε. - Α, πήρα ένα βραβείο. Πάλι. Όχι, δεν θα το πάρει. Δεν χρειάζεται τίποτα απολύτως, ζει με μια δεκάρα, αλλά είναι ευτυχισμένος με τον δικό του τρόπο.

Λένε ότι την παραμονή ο μαθηματικός εθεάθη με γεμάτες συσκευασίες προϊόντων από το κατάστημα. Ετοιμαζόταν να «κρατήσει την πολιορκία» με τη μητέρα του. Την τελευταία φορά, όταν ξεκίνησε η διαφημιστική εκστρατεία για το βραβείο στον Τύπο, ο Perelman δεν έφυγε από το διαμέρισμα για τρεις εβδομάδες.

ΠΑΡΕΜΠΙΠΤΟΝΤΩΣ

Για τι άλλο θα δώσουν ένα εκατομμύριο δολάρια…

Το 1998, με τα κεφάλαια του δισεκατομμυριούχου Landon T. Clay, ιδρύθηκε το Clay Mathematics Institute στο Κέιμπριτζ (ΗΠΑ) για τη διάδοση των μαθηματικών. Στις 24 Μαΐου 2000, οι ειδικοί του ινστιτούτου επέλεξαν τα επτά πιο αινιγματικά προβλήματα, κατά τη γνώμη τους. Και διόρισαν ένα εκατομμύριο δολάρια για τον καθένα.

Ο κατάλογος ονομάζεται .

1. Το πρόβλημα του μάγειρα

Είναι απαραίτητο να καθοριστεί εάν η επαλήθευση της ορθότητας της λύσης ενός προβλήματος μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την απόκτηση της ίδιας της λύσης. Αυτή η λογική εργασία είναι σημαντική για τους ειδικούς στην κρυπτογραφία - κρυπτογράφηση δεδομένων.

2. Υπόθεση Riemann

Υπάρχουν οι λεγόμενοι πρώτοι αριθμοί, όπως 2, 3, 5, 7 κ.λπ., οι οποίοι διαιρούνται μόνο με τους εαυτούς τους. Πόσοι είναι δεν είναι γνωστό. Ο Riemann πίστευε ότι αυτό μπορούσε να προσδιοριστεί και να βρεθεί η κανονικότητα της διανομής τους. Όποιος το βρει θα παρέχει και υπηρεσίες κρυπτογράφησης.

3. Υπόθεση Birch και Swinnerton-Dyer

Το πρόβλημα σχετίζεται με την επίλυση εξισώσεων με τρεις αγνώστους ανυψωμένους σε δύναμη. Πρέπει να βρούμε πώς να τα λύσουμε, όσο δύσκολο κι αν είναι.

4. Υπόθεση Hodge

Τον εικοστό αιώνα, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν μια μέθοδο για τη μελέτη της μορφής σύνθετα αντικείμενα. Η ιδέα είναι να χρησιμοποιηθούν απλά «τούβλα» αντί για το ίδιο το αντικείμενο, τα οποία είναι κολλημένα μεταξύ τους και σχηματίζουν την ομοιότητα του. Πρέπει να αποδείξουμε ότι αυτό είναι πάντα αποδεκτό.

5. Εξισώσεις Navier - Stokes

Αξίζει να τους θυμόμαστε στο αεροπλάνο. Οι εξισώσεις περιγράφουν τα ρεύματα αέρα που το κρατούν στον αέρα. Τώρα οι εξισώσεις λύνονται κατά προσέγγιση, σύμφωνα με κατά προσέγγιση τύπους. Είναι απαραίτητο να βρούμε τις ακριβείς και να αποδείξουμε ότι στον τρισδιάστατο χώρο υπάρχει μια λύση των εξισώσεων, η οποία είναι πάντα αληθινή.

6. Εξισώσεις Yang-Mills

Υπάρχει μια υπόθεση στον κόσμο της φυσικής: αν ένα στοιχειώδες σωματίδιο έχει μάζα, τότε υπάρχει και το κατώτερο όριο του. Ποιο όμως δεν είναι ξεκάθαρο. Πρέπει να φτάσεις σε αυτόν. Αυτό είναι ίσως το πιο δύσκολο έργο. Για να το λύσουμε, είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια «θεωρία των πάντων» - εξισώσεις που συνδυάζουν όλες τις δυνάμεις και τις αλληλεπιδράσεις στη φύση. Όποιος τα καταφέρει σίγουρα θα λάβει το βραβείο Νόμπελ.

Το τελευταίο μεγάλο επίτευγμα των καθαρών μαθηματικών είναι η απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ, που εκφράστηκε το 1904 και δηλώνει: «κάθε συνδεδεμένη, απλά συνδεδεμένη, συμπαγής τρισδιάστατη πολλαπλότητα χωρίς σύνορα, είναι ομοιομορφική με τη σφαίρα S 3» του Grigory Perelman από το St. Πετρούπολη το 2002-2003.

Υπάρχουν αρκετοί όροι σε αυτή τη φράση τους οποίους θα προσπαθήσω να εξηγήσω με τέτοιο τρόπο ώστε η γενική τους σημασία να γίνεται σαφής στους μη μαθηματικούς (υποθέτω ότι ο αναγνώστης έχει τελειώσει Λύκειοκαι θυμάται ακόμα κάτι από τα σχολικά μαθηματικά).

Ας ξεκινήσουμε με την έννοια του ομοιομορφισμού, η οποία είναι κεντρική στην τοπολογία. Γενικά, η τοπολογία ορίζεται συχνά ως "γεωμετρία από καουτσούκ", δηλαδή ως η επιστήμη των ιδιοτήτων των γεωμετρικών εικόνων που δεν αλλάζουν κατά τη διάρκεια ομαλών παραμορφώσεων χωρίς κενά και κόλληση, ή μάλλον, εάν είναι δυνατόν να καθοριστεί ένα προς αντιστοιχία ενός και ενός προς ένα μεταξύ δύο αντικειμένων.

Η κύρια ιδέα είναι πιο εύκολο να εξηγηθεί χρησιμοποιώντας το κλασικό παράδειγμα μιας κούπας και ενός κουλούρι. Το πρώτο μπορεί να μετατραπεί σε δεύτερο με συνεχή παραμόρφωση.

Αυτά τα σχήματα δείχνουν ξεκάθαρα ότι η κούπα είναι ομοιομορφική με το ντόνατ, και αυτό το γεγονός ισχύει τόσο για τις επιφάνειές τους (δισδιάστατες πολλαπλές, που ονομάζονται τόρος) όσο και για τα γεμάτα σώματα (τρισδιάστατες πολλαπλές με όριο).

Ας δώσουμε μια ερμηνεία των υπολοίπων όρων που εμφανίζονται στη διατύπωση της υπόθεσης.

1. Τρισδιάστατη πολλαπλότητα χωρίς όριο.Αυτό είναι ένα τέτοιο γεωμετρικό αντικείμενο, στο οποίο κάθε σημείο έχει μια γειτονιά με τη μορφή μιας τρισδιάστατης μπάλας. Παραδείγματα 3-πολλαπλών είναι, πρώτον, ολόκληρος ο τρισδιάστατος χώρος, που συμβολίζεται με R 3 , καθώς και οποιοδήποτε ανοιχτά σετσημεία στο R 3, για παράδειγμα, το εσωτερικό ενός συμπαγούς τόρου (ντόνατ). Εάν θεωρήσουμε έναν κλειστό συμπαγή τόρο, δηλ. προσθέσουμε τα οριακά του σημεία (την επιφάνεια ενός τόρου), τότε έχουμε ήδη μια πολλαπλότητα με όριο - τα οριακά σημεία δεν έχουν γειτονιές με τη μορφή μπάλας, αλλά μόνο στο μορφή του μισού της μπάλας.
2. Συνδεδεμένος.Η έννοια της συνδεσιμότητας είναι η πιο απλή εδώ. Μια πολλαπλή συνδέεται εάν αποτελείται από ένα κομμάτι ή, το ίδιο, οποιαδήποτε δύο σημεία της μπορούν να συνδεθούν με μια συνεχή γραμμή που δεν υπερβαίνει τα όριά της.
3. Απλά συνδεδεμένο.Η έννοια της μονής σύνδεσης είναι πιο περίπλοκη. Σημαίνει ότι οποιαδήποτε συνεχής κλειστή καμπύλη που βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα σε μια δεδομένη πολλαπλότητα μπορεί να συστέλλεται ομαλά σε ένα σημείο χωρίς να φύγει από αυτήν την πολλαπλότητα. Για παράδειγμα, μια συνηθισμένη δισδιάστατη σφαίρα στο R 3 συνδέεται απλά (μια ελαστική ταινία, αυθαίρετα προσαρτημένη στην επιφάνεια ενός μήλου, μπορεί να συστέλλεται με μια ομαλή παραμόρφωση σε ένα σημείο χωρίς να σχίζεται η ελαστική ταινία από το μήλο). Από την άλλη, ο κύκλος και ο τόρος δεν συνδέονται απλά.
4. Συμπαγής.Μια πολλαπλότητα είναι συμπαγής εάν κάποια από τις ομοιομορφικές της εικόνες έχει οριοθετημένες διαστάσεις. Για παράδειγμα, ένα ανοιχτό διάστημα σε μια γραμμή (όλα τα σημεία ενός τμήματος εκτός από τα άκρα του) δεν είναι συμπαγές, αφού μπορεί να επεκταθεί συνεχώς σε μια άπειρη γραμμή. Αλλά ένα κλειστό τμήμα (με άκρα) είναι μια συμπαγής πολλαπλότητα με ένα όριο: για οποιαδήποτε συνεχή παραμόρφωση, τα άκρα πηγαίνουν σε ορισμένα συγκεκριμένα σημεία και ολόκληρο το τμήμα πρέπει να μπει σε μια οριοθετημένη καμπύλη που συνδέει αυτά τα σημεία.

Διάστασηπολλαπλές είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας στο σημείο που «ζει» σε αυτό. Κάθε σημείο έχει μια γειτονιά με τη μορφή ενός δίσκου της αντίστοιχης διάστασης, δηλαδή, ένα διάστημα μιας γραμμής στη μονοδιάστατη περίπτωση, έναν κύκλο στο επίπεδο στη δισδιάστατη περίπτωση, μια μπάλα στην τρισδιάστατη περίπτωση , κλπ. Από την άποψη της τοπολογίας, υπάρχουν μόνο δύο μονοδιάστατες συνδεδεμένες πολλαπλές χωρίς όριο: αυτή είναι η γραμμή και ο κύκλος. Από αυτά, μόνο ο κύκλος είναι συμπαγής.

Ένα παράδειγμα ενός χώρου που δεν είναι πολλαπλή είναι, για παράδειγμα, ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών - τελικά, στο σημείο τομής δύο γραμμών, οποιαδήποτε γειτονιά έχει σχήμα σταυρού, δεν έχει γειτονιά που θα είναι μόνο ένα διάστημα (και όλα τα άλλα σημεία έχουν τέτοιες γειτονιές). Οι μαθηματικοί σε τέτοιες περιπτώσεις λένε ότι έχουμε να κάνουμε με μια ενική πολλαπλότητα, η οποία έχει ένα ενικό σημείο.

Οι δισδιάστατες συμπαγείς πολλαπλές είναι γνωστές. Αν αναλογιστούμε μόνο προσανατολισμένηπολλαπλότητες χωρίς όριο, τότε από τοπολογική άποψη σχηματίζουν μια απλή, αν και άπειρη, λίστα: και ούτω καθεξής. Κάθε τέτοια πολλαπλή λαμβάνεται από μια σφαίρα κολλώντας πολλές λαβές, ο αριθμός των οποίων ονομάζεται γένος της επιφάνειας.

Το σχήμα δείχνει επιφάνειες του γένους 0, 1, 2 και 3. Πώς ξεχωρίζει μια σφαίρα από όλες τις επιφάνειες αυτής της λίστας; Αποδεικνύεται ότι είναι απλά συνδεδεμένο: σε μια σφαίρα, οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο και σε οποιαδήποτε άλλη επιφάνεια, είναι πάντα δυνατό να υποδειχθεί μια καμπύλη που δεν μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο κατά μήκος της επιφάνειας.

Είναι περίεργο το γεγονός ότι οι τρισδιάστατες συμπαγείς πολλαπλές χωρίς σύνορα μπορούν επίσης να ταξινομηθούν με μια ορισμένη έννοια, δηλ. να ταξινομηθούν σε μια συγκεκριμένη λίστα, αν και όχι τόσο απλές όσο στη δισδιάστατη περίπτωση, αλλά έχουν μια μάλλον πολύπλοκη δομή. Ωστόσο, η τρισδιάστατη σφαίρα S 3 ξεχωρίζει σε αυτήν τη λίστα με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως η 2D σφαίρα στην παραπάνω λίστα. Το γεγονός ότι οποιαδήποτε καμπύλη στο S 3 συστέλλεται σε ένα σημείο είναι εξίσου εύκολο να αποδειχθεί όπως στη δισδιάστατη περίπτωση. Αλλά ο αντίστροφος ισχυρισμός, δηλαδή, ότι αυτή η ιδιότητα είναι μοναδική ακριβώς για τη σφαίρα, δηλ. ότι υπάρχουν μη συσταλτικές καμπύλες σε οποιαδήποτε άλλη τρισδιάστατη πολλαπλότητα, είναι πολύ δύσκολη και αποτελεί ακριβώς το περιεχόμενο της εικασίας Poincare για την οποία μιλάμε. .

Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι η πολλαπλή μπορεί να ζήσει μόνη της, μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ανεξάρτητο αντικείμενο, που δεν είναι φωλιασμένο πουθενά. (Φανταστείτε να ζείτε δισδιάστατα όντα στην επιφάνεια μιας συνηθισμένης σφαίρας, χωρίς να γνωρίζουν την ύπαρξη μιας τρίτης διάστασης.) Ευτυχώς, όλες οι δισδιάστατες επιφάνειες από την παραπάνω λίστα μπορούν να ενσωματωθούν στον συνηθισμένο χώρο R 3, κάτι που κάνει είναι πιο εύκολο να οπτικοποιηθούν. Για το S 3 3 σφαιρών (και γενικά για οποιαδήποτε συμπαγή 3 πολλαπλή χωρίς σύνορα) αυτό δεν ισχύει πλέον, επομένως χρειάζεται κάποια προσπάθεια για να κατανοηθεί η δομή του.

Προφανώς απλούστερος τρόποςγια να εξηγηθεί η τοπολογική δομή της τρισδιάστατης σφαίρας S 3 γίνεται με τη βοήθεια της συμπύκνωσης ενός σημείου. Δηλαδή, η τρισδιάστατη σφαίρα S 3 είναι μια συμπαγοποίηση ενός σημείου του συνήθους τρισδιάστατου (απεριόριστου) χώρου R 3 .

Ας εξηγήσουμε πρώτα αυτήν την κατασκευή απλά παραδείγματα. Ας πάρουμε μια συνηθισμένη άπειρη ευθεία γραμμή (ένα μονοδιάστατο ανάλογο του χώρου) και ας προσθέσουμε ένα «άπειρα μακρινό» σημείο σε αυτήν, υποθέτοντας ότι όταν κινούμαστε κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής δεξιά ή αριστερά, φτάνουμε τελικά σε αυτό το σημείο. Από τοπολογική άποψη, δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ μιας άπειρης γραμμής και ενός οριοθετημένου ανοιχτού τμήματος (χωρίς τελικά σημεία). Ένα τέτοιο τμήμα μπορεί να λυγίσει συνεχώς με τη μορφή τόξου, να φέρει τα άκρα πιο κοντά και να κολλήσει το σημείο που λείπει στη διασταύρωση. Παίρνουμε, προφανώς, έναν κύκλο - ένα μονοδιάστατο ανάλογο μιας σφαίρας.

Ομοίως, αν πάρω ένα άπειρο επίπεδο και προσθέσω ένα σημείο στο άπειρο, στο οποίο τείνουν όλες οι γραμμές του αρχικού επιπέδου, που περνούν προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, τότε παίρνουμε μια δισδιάστατη (συνηθισμένη) σφαίρα S 2 . Αυτή η διαδικασία μπορεί να παρατηρηθεί μέσω μιας στερεογραφικής προβολής, η οποία εκχωρεί σε κάθε σημείο P της σφαίρας, με εξαίρεση τον βόρειο πόλο του N, ένα ορισμένο σημείο του επιπέδου P.

Έτσι, μια σφαίρα χωρίς ένα σημείο είναι τοπολογικά ίδια με ένα επίπεδο και η προσθήκη ενός σημείου μετατρέπει το επίπεδο σε σφαίρα.

Κατ 'αρχήν, ακριβώς η ίδια κατασκευή ισχύει για μια τρισδιάστατη σφαίρα και τρισδιάστατο χώρο, μόνο για την εφαρμογή της είναι απαραίτητο να εισαγάγετε την τέταρτη διάσταση και αυτό δεν είναι τόσο εύκολο να απεικονιστεί στο σχέδιο. Θα περιοριστώ λοιπόν λεκτική περιγραφήσυμπύκνωση ενός σημείου του χώρου R 3 .

Φανταστείτε ότι στον φυσικό μας χώρο (τον οποίο εμείς, ακολουθώντας τον Νεύτωνα, θεωρούμε ότι είναι ένας απεριόριστος Ευκλείδειος χώρος με τρεις συντεταγμένες x, y, z) έχει προστεθεί ένα σημείο «στο άπειρο» με τέτοιο τρόπο ώστε όταν κινούμαστε κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής σε οποιαδήποτε κατεύθυνση, πέφτετε (δηλαδή, κάθε χωρική γραμμή κλείνει σε κύκλο). Τότε παίρνουμε μια συμπαγή τρισδιάστατη πολλαπλότητα, η οποία είναι, εξ ορισμού, η σφαίρα S 3 .

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι η σφαίρα S 3 είναι απλά συνδεδεμένη. Πράγματι, οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη σε αυτή τη σφαίρα μπορεί να μετατοπιστεί ελαφρά έτσι ώστε να μην περάσει από το προστιθέμενο σημείο. Τότε παίρνουμε μια καμπύλη στον συνηθισμένο χώρο R 3 , η οποία συστέλλεται εύκολα σε ένα σημείο μέσω ομοθειών, δηλαδή συνεχούς συστολής και στις τρεις κατευθύνσεις.

Για να κατανοήσουμε πώς είναι δομημένη η πολλαπλή S 3, είναι πολύ διδακτικό να εξετάσουμε το διαχωρισμό της σε δύο συμπαγή tori. Εάν ο συμπαγής τόρος παραλειφθεί από το χώρο R 3, τότε κάτι όχι πολύ ξεκάθαρο παραμένει. Και αν ο χώρος συμπυκνωθεί σε σφαίρα, τότε αυτό το συμπλήρωμα μετατρέπεται επίσης σε ένα συμπαγή τόρο. Δηλαδή, η σφαίρα S 3 χωρίζεται σε δύο συμπαγή tori που έχουν ένα κοινό όριο - έναν torus.

Εδώ είναι πώς μπορεί να γίνει κατανοητό. Ας ενσωματώσουμε τον δακτύλιο στο R 3 ως συνήθως, με τη μορφή στρογγυλού ντόνατ και σχεδιάζουμε μια κάθετη γραμμή - τον άξονα περιστροφής αυτού του ντόνατ. Σχεδιάζουμε ένα αυθαίρετο επίπεδο διαμέσου του άξονα, θα τέμνει τον συμπαγή κορμό μας σε δύο κύκλους που φαίνονται στο σχήμα σε πράσινο, και το πρόσθετο τμήμα του επιπέδου χωρίζεται σε μια συνεχή οικογένεια κόκκινων κύκλων. Ανάμεσά τους είναι ο κεντρικός άξονας, τονισμένο με πιο έντονη γραφή, γιατί στη σφαίρα S 3 η γραμμή κλείνει σε κύκλο. Μια τρισδιάστατη εικόνα λαμβάνεται από αυτή τη δισδιάστατη περιστρέφοντας γύρω από έναν άξονα. Ένα πλήρες σύνολο περιστρεφόμενων κύκλων θα γεμίσει στη συνέχεια ένα τρισδιάστατο σώμα, ομοιομορφικό σε έναν συμπαγή δακτύλιο, που φαίνεται μόνο ασυνήθιστο.

Στην πραγματικότητα, ο κεντρικός άξονας θα είναι ένας αξονικός κύκλος σε αυτόν, και οι υπόλοιποι θα παίζουν το ρόλο των παραλλήλων - κύκλων που αποτελούν τον συνηθισμένο συμπαγή τόρο.

Για να έχω κάτι να συγκρίνω την 3-σφαίρα, θα δώσω ένα άλλο παράδειγμα συμπαγούς 3-πολλαπλής, δηλαδή έναν τρισδιάστατο τόρο. Ένας τρισδιάστατος δακτύλιος μπορεί να κατασκευαστεί ως εξής. Ας πάρουμε έναν συνηθισμένο τρισδιάστατο κύβο ως αρχικό υλικό:

Έχει τρία ζεύγη όψεων: αριστερά και δεξιά, πάνω και κάτω, μπροστά και πίσω. Σε κάθε ζεύγος παράλληλων όψεων, αναγνωρίζουμε ανά ζεύγη τα σημεία που λαμβάνονται μεταξύ τους μεταφέροντας κατά μήκος της άκρης του κύβου. Δηλαδή, θα υποθέσουμε (καθαρά αφηρημένα, χωρίς να εφαρμόζουμε φυσικές παραμορφώσεις) ότι, για παράδειγμα, το Α και το Α «είναι το ίδιο σημείο, και το Β και το Β» είναι επίσης ένα σημείο, αλλά διαφορετικά από το σημείο Α. Όλα τα εσωτερικά σημεία του κύβο θα θεωρήσουμε ως συνήθως. Ο ίδιος ο κύβος είναι μια πολλαπλή με όριο, αλλά μετά την κόλληση που γίνεται, το όριο κλείνει στον εαυτό του και εξαφανίζεται. Πράγματι, οι γειτονιές των σημείων Α και Α» στον κύβο (βρίσκονται στο αριστερό και στο δεξί σκιασμένο πρόσωπο) είναι τα μισά των σφαιρών, τα οποία, αφού κολλήσουν τα πρόσωπα μεταξύ τους, συγχωνεύονται σε μια ολόκληρη μπάλα, η οποία χρησιμεύει ως γειτονιά του αντίστοιχου σημείου του τρισδιάστατου τόρου.

Για να νιώσετε τη δομή ενός 3-torus που βασίζεται σε συνηθισμένες ιδέες για το φυσικό χώρο, πρέπει να επιλέξετε τρεις αμοιβαία κάθετες κατευθύνσεις: εμπρός, αριστερά και πάνω - και να σκεφτείτε νοερά, όπως σε ιστορίες επιστημονικής φαντασίας, ότι όταν κινείστε σε οποιαδήποτε από τις αυτές τις κατευθύνσεις, έναν μάλλον μεγάλο, αλλά πεπερασμένο χρόνο, θα επιστρέψουμε στην αφετηρία, αλλά από την αντίθετη κατεύθυνση. Πρόκειται επίσης για μια «συμπύκνωση του χώρου», αλλά όχι για ένα σημείο, που χρησιμοποιήθηκε νωρίτερα για την κατασκευή μιας σφαίρας, αλλά πιο πολύπλοκη.

Υπάρχουν μη συσταλτικά μονοπάτια στο 3-torus. για παράδειγμα, αυτό είναι το τμήμα AA" στο σχήμα (στον τόρο απεικονίζει μια κλειστή διαδρομή). Δεν μπορεί να συστέλλεται, γιατί για οποιαδήποτε συνεχή παραμόρφωση, τα σημεία Α και Α" πρέπει να κινούνται κατά μήκος των όψεών τους, παραμένοντας αυστηρά απέναντι από το καθένα άλλο (αλλιώς θα ανοίξει η καμπύλη).

Έτσι, βλέπουμε ότι υπάρχουν απλά συνδεδεμένες και μη απλά συνδεδεμένες συμπαγείς 3 πολλαπλές. Ο Perelman απέδειξε ότι μια απλά συνδεδεμένη πολλαπλή είναι ακριβώς μία.

Το σημείο εκκίνησης της απόδειξης είναι η χρήση της λεγόμενης "ροής Ricci": παίρνουμε μια απλά συνδεδεμένη συμπαγή 3 πολλαπλότητα, την προικίζουμε με μια αυθαίρετη γεωμετρία (δηλ. εισάγουμε κάποια μετρική με αποστάσεις και γωνίες) και μετά εξετάζουμε την εξέλιξή του κατά μήκος της ροής Ricci. Ο Ρίτσαρντ Χάμιλτον, ο οποίος πρότεινε αυτήν την ιδέα το 1981, ήλπιζε ότι με αυτήν την εξέλιξη η πολλαπλότητα μας θα μετατρεπόταν σε σφαίρα. Αποδείχθηκε ότι αυτό δεν είναι αλήθεια - στην τρισδιάστατη περίπτωση, η ροή Ricci είναι ικανή να χαλάσει την πολλαπλότητα, δηλαδή να την κάνει λίγο πολλαπλή (κάτι με μοναδικά σημεία, όπως στο παραπάνω παράδειγμα τεμνόμενων γραμμών). Ο Perelman, ξεπερνώντας απίστευτες τεχνικές δυσκολίες, χρησιμοποιώντας τη βαριά συσκευή των μερικών διαφορικών εξισώσεων, κατάφερε να τροποποιήσει τη ροή του Ricci κοντά σε μοναδικά σημεία με τέτοιο τρόπο ώστε κατά την εξέλιξη η τοπολογία της πολλαπλής να μην αλλάζει, να μην υπάρχουν μοναδικά σημεία και σε στο τέλος, μετατρέπεται σε στρογγυλή σφαίρα. Είναι όμως απαραίτητο να εξηγήσουμε, επιτέλους, ποια είναι αυτή η ροή του Ricci. Οι ροές που χρησιμοποιήθηκαν από τους Hamilton και Perelman αναφέρονται σε μια αλλαγή στην εγγενή μετρική σε μια αφηρημένη πολλαπλότητα, και αυτό είναι μάλλον δύσκολο να εξηγηθεί, επομένως θα περιοριστώ στην περιγραφή της "εξωτερικής" ροής Ricci σε μονοδιάστατες πολλαπλές ενσωματωμένες σε ένα επίπεδο .

Φανταστείτε μια ομαλή κλειστή καμπύλη στο ευκλείδειο επίπεδο, επιλέξτε μια κατεύθυνση σε αυτήν και θεωρήστε σε κάθε σημείο ένα εφαπτομενικό διάνυσμα μονάδας μήκους. Στη συνέχεια, όταν περιστρέφεται γύρω από την καμπύλη προς την επιλεγμένη κατεύθυνση, αυτό το διάνυσμα θα περιστρέφεται με κάποια γωνιακή ταχύτητα, η οποία ονομάζεται καμπυλότητα. Όπου η καμπύλη είναι πιο απότομη, η καμπυλότητα (σε απόλυτη τιμή) θα είναι μεγαλύτερη και όπου είναι πιο ομαλή, η καμπυλότητα θα είναι μικρότερη.

Η καμπυλότητα θα θεωρείται θετική εάν το διάνυσμα της ταχύτητας στρέφεται προς το εσωτερικό μέρος του επιπέδου που διαιρείται από την καμπύλη μας σε δύο μέρη και αρνητική εάν στρίβει προς τα έξω. Αυτή η σύμβαση είναι ανεξάρτητη από την κατεύθυνση στην οποία διανύεται η καμπύλη. Στα σημεία καμπής όπου η περιστροφή αλλάζει κατεύθυνση, η καμπυλότητα θα είναι 0. Για παράδειγμα, ένας κύκλος ακτίνας 1 έχει σταθερή θετική καμπυλότητα 1 (μετρούμενη σε ακτίνια).

Τώρα ας ξεχάσουμε τα εφαπτομενικά διανύσματα και ας επισυνάψουμε σε κάθε σημείο της καμπύλης, αντίθετα, ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτό, ίσο σε μήκος με την καμπυλότητα σε ένα δεδομένο σημείο και κατευθυνόμενο προς τα μέσα εάν η καμπυλότητα είναι θετική και προς τα έξω εάν είναι αρνητική , και μετά θα αναγκάσουμε κάθε σημείο να κινηθεί προς την κατεύθυνση του αντίστοιχου διανύσματος με ταχύτητα ανάλογη του μήκους του. Εδώ είναι ένα παράδειγμα:

Αποδεικνύεται ότι οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη στο επίπεδο συμπεριφέρεται με παρόμοιο τρόπο κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας εξέλιξης, δηλαδή, τελικά μετατρέπεται σε κύκλο. Αυτή είναι η απόδειξη του μονοδιάστατου αναλόγου της εικασίας Poincare χρησιμοποιώντας τη ροή Ricci (ωστόσο, η ίδια η δήλωση σε αυτή την περίπτωση είναι ήδη προφανής, απλώς η μέθοδος απόδειξης απεικονίζει τι συμβαίνει στη διάσταση 3).

Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι το επιχείρημα του Perelman αποδεικνύει όχι μόνο την εικασία Poincaré, αλλά και την πολύ γενικότερη εικασία γεωμετρίας Thurston, η οποία στο με μια ορισμένη έννοιαπεριγράφει τη δομή όλων των συμπαγών 3 πολλαπλών γενικά. Αλλά αυτό το θέμα βρίσκεται πέρα ​​από το πεδίο αυτού του στοιχειώδους άρθρου.

Λόγω έλλειψης χώρου, δεν θα μιλήσω για μη προσανατολιζόμενες πολλαπλές, παράδειγμα των οποίων είναι το περίφημο μπουκάλι Klein - μια επιφάνεια που δεν μπορεί να ενσωματωθεί σε χώρο χωρίς αυτοδιασταυρώσεις.

Το Ινστιτούτο Μαθηματικών Κλέι απένειμε στον Γκριγκόρι Πέρελμαν το Βραβείο Χιλιετίας, αναγνωρίζοντας έτσι επίσημα την απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ, που εκτέλεσε ένας Ρώσος μαθηματικός, ως σωστή. Αξίζει να σημειωθεί ότι με αυτόν τον τρόπο, το ινστιτούτο έπρεπε να παραβεί τους δικούς του κανόνες - σύμφωνα με αυτούς, μόνο ένας συγγραφέας που έχει δημοσιεύσει το έργο του σε περιοδικά με κριτές μπορεί να ισχυριστεί ότι λαμβάνει περίπου ένα εκατομμύριο δολάρια, αυτό είναι ακριβώς το μέγεθος του βραβείο. Το έργο του Γκριγκόρι Πέρελμαν δεν είδε ποτέ επίσημα το φως της δημοσιότητας - παρέμεινε ως ένα σύνολο από πολλές προεκτυπώσεις στον ιστότοπο arXiv.org (ένα, δύο και τρία). Ωστόσο, δεν είναι τόσο σημαντικό τι προκάλεσε την απόφαση του ινστιτούτου - η απονομή του Βραβείου Millennium βάζει ένα τέλος στην ιστορία άνω των 100 ετών.

Κούπα, ντόνατ και λίγη τοπολογία

Πριν μάθουμε τι είναι η εικασία του Πουανκαρέ, είναι απαραίτητο να καταλάβουμε τι είδους κλάδος των μαθηματικών - τοπολογία - ανήκει αυτή ακριβώς η υπόθεση. Η τοπολογία των πολλαπλών ασχολείται με τις ιδιότητες των επιφανειών που δεν αλλάζουν υπό ορισμένες παραμορφώσεις. Ας εξηγήσουμε με ένα κλασικό παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι ο αναγνώστης έχει ένα ντόνατ και ένα άδειο φλιτζάνι μπροστά του. Από την άποψη της γεωμετρίας και της κοινής λογικής, αυτά είναι διαφορετικά αντικείμενα, έστω και μόνο επειδή δεν θα μπορείτε να πιείτε καφέ από ένα ντόνατ με όλη σας την επιθυμία.

Ωστόσο, ο τοπολόγος θα πει ότι το φλιτζάνι και το ντόνατ είναι το ίδιο πράγμα. Και θα το εξηγήσει ως εξής: φανταστείτε ότι ένα φλιτζάνι και ένα ντόνατ είναι επιφάνειες που είναι κοίλες εσωτερικά, κατασκευασμένες από πολύ ελαστικό υλικό (ένας μαθηματικός θα έλεγε ότι υπάρχει ένα ζευγάρι συμπαγών δισδιάστατων πολλαπλών). Ας διεξάγουμε ένα εικαστικό πείραμα: πρώτα φουσκώνουμε τον πάτο του κυπέλλου και μετά τη λαβή του, μετά από τον οποίο θα μετατραπεί σε έναν τόρο (έτσι ονομάζεται μαθηματικά το σχήμα ντόνατ). Μπορείτε να δείτε πώς φαίνεται αυτή η διαδικασία.

Φυσικά, ένας περίεργος αναγνώστης έχει μια ερώτηση: αφού οι επιφάνειες μπορούν να τσαλακωθούν, πώς μπορούν να διακριθούν; Άλλωστε, για παράδειγμα, είναι διαισθητικά σαφές - ανεξάρτητα από το πώς φαντάζεστε έναν τόρο, δεν μπορείτε να πάρετε μια σφαίρα από αυτόν χωρίς κενά και κολλήματα. Εδώ μπαίνουν στο παιχνίδι τα λεγόμενα αμετάβλητα - χαρακτηριστικά επιφάνειας που δεν αλλάζουν υπό παραμόρφωση - μια έννοια απαραίτητη για τη διατύπωση της υπόθεσης του Πουανκαρέ.

Η κοινή λογική μας λέει ότι μια τρύπα διακρίνει έναν τόρο από μια σφαίρα. Ωστόσο, μια τρύπα απέχει πολύ από μια μαθηματική έννοια, επομένως πρέπει να επισημοποιηθεί. Αυτό γίνεται ως εξής - φανταστείτε ότι έχουμε ένα πολύ λεπτό ελαστικό νήμα στην επιφάνεια που σχηματίζει έναν βρόχο (σε αυτό το εικαστικό πείραμα, σε αντίθεση με το προηγούμενο, θεωρούμε ότι η ίδια η επιφάνεια είναι συμπαγής). Θα μετακινήσουμε τον βρόχο χωρίς να τον σκίσουμε από την επιφάνεια και χωρίς να τον σπάσουμε. Εάν το νήμα μπορεί να συστέλλεται σε έναν πολύ μικρό κύκλο (σχεδόν ένα σημείο), τότε ο βρόχος λέγεται ότι συστέλλεται. Διαφορετικά, ο βρόχος ονομάζεται μη ανασυρόμενος.

Η θεμελιώδης ομάδα ενός τόρου συμβολίζεται με n 1 (T 2). Επειδή δεν είναι τετριμμένο, οι βραχίονες του ποντικιού σχηματίζουν έναν μη ανασυρόμενο βρόχο. Η θλίψη στο πρόσωπο του ζώου είναι αποτέλεσμα της συνειδητοποίησης αυτού του γεγονότος.

Έτσι, είναι εύκολο να δει κανείς ότι οποιοσδήποτε βρόχος σε μια σφαίρα είναι συσταλτικός (μπορείτε να δείτε πώς φαίνεται περίπου), αλλά για έναν τόρο αυτό δεν ισχύει πλέον: υπάρχουν έως και δύο βρόχοι σε ένα ντόνατ - ο ένας είναι βαμμένος σε μια τρύπα, και η άλλη παρακάμπτει την τρύπα "κατά μήκος της περιμέτρου", - η οποία δεν μπορεί να τραβηχτεί. Σε αυτήν την εικόνα, παραδείγματα μη συσταλτικών βρόχων εμφανίζονται με κόκκινο χρώμα και μωβαντίστοιχα. Όταν υπάρχουν βρόχοι στην επιφάνεια, οι μαθηματικοί λένε ότι «η θεμελιώδης ομάδα μιας ποικιλίας είναι μη τετριμμένη», και αν δεν υπάρχουν τέτοιοι βρόχοι, τότε είναι ασήμαντο.

Τώρα, για να διατυπώσει με ειλικρίνεια την εικασία του Poincare, ο περίεργος αναγνώστης πρέπει να κάνει λίγο υπομονή: πρέπει να καταλάβουμε τι είναι μια τρισδιάστατη πολλαπλότητα γενικά και μια τρισδιάστατη σφαίρα ειδικότερα.

Ας επιστρέψουμε για λίγο στις επιφάνειες που συζητήσαμε παραπάνω. Κάθε ένα από αυτά μπορεί να κοπεί σε τόσο μικρά κομμάτια που το καθένα θα μοιάζει σχεδόν με ένα κομμάτι του αεροπλάνου. Δεδομένου ότι το επίπεδο έχει μόνο δύο διαστάσεις, η πολλαπλή λέγεται επίσης ότι είναι δισδιάστατη. Μια τρισδιάστατη πολλαπλή είναι μια επιφάνεια που μπορεί να κοπεί σε μικρά κομμάτια, καθένα από τα οποία μοιάζει πολύ με ένα κομμάτι συνηθισμένου τρισδιάστατου χώρου.

αρχηγός" ηθοποιός"Η υπόθεση είναι μια τρισδιάστατη σφαίρα. Είναι πιθανώς αδύνατο να φανταστείς μια τρισδιάστατη σφαίρα ως ανάλογο μιας συνηθισμένης σφαίρας σε τετραδιάστατο χώρο χωρίς να χάσεις το μυαλό σου. Ωστόσο, είναι πολύ εύκολο να περιγράψεις αυτό το αντικείμενο, έτσι ώστε να Μιλήστε, "σε μέρη" αρκετά εύκολα. Όλοι όσοι είδαν μια σφαίρα, ξέρουν ότι μια συνηθισμένη σφαίρα μπορεί να κολληθεί μεταξύ τους από το βόρειο και Νότιο ημισφαίριοκατά μήκος του ισημερινού. Έτσι, μια τρισδιάστατη σφαίρα είναι κολλημένη μεταξύ τους από δύο μπάλες (βόρεια και νότια) κατά μήκος μιας σφαίρας, η οποία είναι ανάλογη του ισημερινού.

Σε τρισδιάστατες πολλαπλές, μπορεί κανείς να εξετάσει τους ίδιους βρόχους που πήραμε σε συνηθισμένες επιφάνειες. Έτσι, η εικασία του Πουανκαρέ αναφέρει: «Αν η θεμελιώδης ομάδα μιας τρισδιάστατης πολλαπλότητας είναι ασήμαντη, τότε είναι ομοιομορφική σε μια σφαίρα». Η ακατανόητη φράση «ομοιόμορφο σε μια σφαίρα» μεταφρασμένη σε άτυπη γλώσσα σημαίνει ότι η επιφάνεια μπορεί να παραμορφωθεί σε σφαίρα.

Λίγο ιστορία

Σε γενικές γραμμές, στα μαθηματικά είναι δυνατό να διατυπωθεί ένας μεγάλος αριθμός σύνθετων δηλώσεων. Ωστόσο, τι κάνει αυτή ή εκείνη την υπόθεση σπουδαία, τη διακρίνει από τις υπόλοιπες; Παραδόξως, αλλά η μεγάλη υπόθεση διακρίνεται από έναν μεγάλο αριθμό εσφαλμένων αποδείξεων, καθεμία από τις οποίες περιέχει ένα μεγάλο σφάλμα - ανακρίβεια, η οποία συχνά οδηγεί στην εμφάνιση μιας εντελώς νέας ενότητας των μαθηματικών.

Αρχικά, λοιπόν, ο Ανρί Πουανκαρέ, ο οποίος, μεταξύ άλλων, διακρινόταν από την ικανότητα να κάνει λαμπρά λάθη, διατύπωσε την υπόθεση με μια ελαφρώς διαφορετική μορφή από αυτή που γράψαμε παραπάνω. Λίγο καιρό αργότερα, έδωσε ένα αντιπαράδειγμα στον ισχυρισμό του, ο οποίος έγινε γνωστός ως η ομολογική 3-σφαίρα του Πουανκαρέ, και το 1904 διατύπωσε μια εικασία ήδη στο σύγχρονη μορφή. Παρεμπιπτόντως, πολύ πρόσφατα, οι επιστήμονες προσάρμοσαν τη σφαίρα στην αστροφυσική - αποδείχθηκε ότι το Σύμπαν μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι είναι μια ομόλογη 3-σφαίρα Poincaré.

Πρέπει να ειπωθεί ότι η υπόθεση δεν προκάλεσε ιδιαίτερο ενθουσιασμό στους συναδέλφους γεωμέτρων. Έτσι ήταν μέχρι το 1934, όταν ο Βρετανός μαθηματικός John Henry Whitehead παρουσίασε την εκδοχή του για την απόδειξη της υπόθεσης. Πολύ σύντομα, ωστόσο, ο ίδιος βρήκε ένα λάθος στο σκεπτικό, το οποίο αργότερα οδήγησε στην εμφάνιση ολόκληρης της θεωρίας των πολλαπλών Whitehead.

Μετά από αυτό, η δόξα ενός εξαιρετικά δύσκολου έργου περιχαρακώθηκε σταδιακά στην υπόθεση. Πολλοί σπουδαίοι μαθηματικοί προσπάθησαν να το καταφέρουν. Για παράδειγμα, ο Αμερικανός R.H.Bing, ένας μαθηματικός που (απολύτως επίσημα) είχε γραμμένα αρχικά αντί για όνομα σε έγγραφα. Έκανε αρκετές ανεπιτυχείς προσπάθειες να αποδείξει την υπόθεση, διατυπώνοντας τη δική του δήλωση κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας - τη λεγόμενη "εικασία ιδιότητας P" (Property P conjecture). Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτή η δήλωση, η οποία θεωρήθηκε από τον Bing ως ενδιάμεση, αποδείχθηκε σχεδόν πιο περίπλοκη από την ίδια την απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ.

Υπήρχαν μεταξύ των επιστημόνων και ανθρώπων που έδωσαν τη ζωή τους για να το αποδείξουν αυτό μαθηματικό γεγονός. Για παράδειγμα, ο γνωστός ελληνικής καταγωγής μαθηματικός Χρήστος Παπακυριακόπουλος. Για περισσότερα από δέκα χρόνια, ενώ εργαζόταν στο Πρίνστον, προσπάθησε ανεπιτυχώς να αποδείξει την εικασία. Πέθανε από καρκίνο το 1976.

Αξίζει να σημειωθεί ότι η γενίκευση της εικασίας του Πουανκαρέ σε πολλαπλές διαστάσεων άνω των τριών αποδείχθηκε αισθητά απλούστερη από την αρχική - οι επιπλέον διαστάσεις διευκόλυναν τον χειρισμό των πολλαπλών. Έτσι, για n-διάστατες πολλαπλότητες (όταν το n είναι τουλάχιστον 5), η εικασία αποδείχθηκε από τον Stephen Smale το 1961. Για n = 4, η εικασία αποδείχθηκε με μια εντελώς διαφορετική μέθοδο από αυτή του Smale το 1982 από τον Michael Friedman. Για την απόδειξη του, ο τελευταίος έλαβε το μετάλλιο Fields - το υψηλότερο βραβείογια μαθηματικούς.

Τα έργα που περιγράφονται απέχουν πολύ από το πλήρης λίσταπροσπαθεί να λύσει περισσότερες από έναν αιώνα υποθέσεων. Και παρόλο που καθένα από τα έργα οδήγησε στην εμφάνιση μιας ολόκληρης κατεύθυνσης στα μαθηματικά και μπορεί να θεωρηθεί επιτυχημένο και σημαντικό από αυτή την άποψη, μόνο ο Ρώσος Grigory Perelman κατάφερε να αποδείξει τελικά την εικασία Poincaré.

Perelman και απόδειξη

Το 1992, ο Grigory Perelman, τότε υπάλληλος του Μαθηματικού Ινστιτούτου. Steklov, έφτασε στη διάλεξη του Richard Hamilton. Ο Αμερικανός μαθηματικός μίλησε για τις ροές Ricci - ένα νέο εργαλείο για τη μελέτη της εικασίας γεωμετρίας του Thurston - γεγονός από το οποίο προέκυψε η εικασία Poincaré ως απλή συνέπεια. Αυτές οι ροές, κατασκευασμένες κατά μία έννοια κατ' αναλογία με τις εξισώσεις μεταφοράς θερμότητας, προκάλεσαν την παραμόρφωση των επιφανειών με την πάροδο του χρόνου με τον ίδιο τρόπο που παραμορφώσαμε τις δισδιάστατες επιφάνειες στην αρχή αυτού του άρθρου. Αποδείχθηκε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις το αποτέλεσμα μιας τέτοιας παραμόρφωσης ήταν ένα αντικείμενο του οποίου η δομή είναι εύκολα κατανοητή. Η κύρια δυσκολία ήταν ότι κατά τη διάρκεια της παραμόρφωσης προέκυψαν ιδιομορφίες με άπειρη καμπυλότητα, ανάλογες κατά κάποιο τρόπο με τις μαύρες τρύπες στην αστροφυσική.

Μετά τη διάλεξη, ο Πέρελμαν πλησίασε τον Χάμιλτον. Αργότερα είπε ότι ο Ρίτσαρντ τον εξέπληξε ευχάριστα: "Χαμογέλασε και ήταν πολύ υπομονετικός. Μου είπε ακόμη και μερικά στοιχεία που δημοσιεύτηκαν μόλις λίγα χρόνια αργότερα. Το έκανε αυτό χωρίς δισταγμό. Η ανοιχτότητα και η καλοσύνη του με εξέπληξαν. Δεν μπορώ να πω ότι οι περισσότεροι σύγχρονοι μαθηματικοί συμπεριφέρονται έτσι».

Μετά από ένα ταξίδι στις Ηνωμένες Πολιτείες, ο Perelman επέστρεψε στη Ρωσία, όπου άρχισε να εργάζεται για την επίλυση του προβλήματος των ιδιομορφιών των ροών Ricci και την απόδειξη της υπόθεσης γεωμετρίας (και καθόλου στην υπόθεση Poincaré) κρυφά. Δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι η εμφάνιση της πρώτης προεκτύπωσης του Perelman στις 11 Νοεμβρίου 2002 συγκλόνισε τη μαθηματική κοινότητα. Μετά από λίγο καιρό, εμφανίστηκαν δύο ακόμη έργα.

Μετά από αυτό, ο Πέρελμαν αποσύρθηκε από τη συζήτηση των αποδεικτικών στοιχείων και μάλιστα, λένε, σταμάτησε να κάνει μαθηματικά. Δεν διέκοψε τον μοναχικό τρόπο ζωής του ούτε το 2006, όταν του απονεμήθηκε το μετάλλιο Fields, το πιο διάσημο βραβείο για μαθηματικούς. Δεν έχει νόημα να συζητήσουμε τους λόγους αυτής της συμπεριφοράς του συγγραφέα - μια ιδιοφυΐα έχει το δικαίωμα να συμπεριφέρεται περίεργα (για παράδειγμα, όταν βρίσκεται στην Αμερική, ο Perelman δεν έκοψε τα νύχια του, επιτρέποντάς τους να μεγαλώσουν ελεύθερα).

Όπως και να έχει, η απόδειξη του Πέρελμαν απέκτησε τη δική της ζωή: τρεις προεκτυπώσεις στοίχειωσαν τους σύγχρονους μαθηματικούς. Τα πρώτα αποτελέσματα της δοκιμής των ιδεών του Ρώσου μαθηματικού εμφανίστηκαν το 2006 - οι μεγάλοι γεωμέτρης Bruce Kleiner και John Lott από το Πανεπιστήμιο του Michigan δημοσίευσαν μια προέκδοση δική του δουλειά, περισσότερο σαν βιβλίο σε μέγεθος - 213 σελίδες. Σε αυτή την εργασία, οι επιστήμονες έλεγξαν προσεκτικά όλους τους υπολογισμούς του Perelman, εξηγώντας λεπτομερώς τις διάφορες δηλώσεις που αναφέρθηκαν μόνο εν συντομία στο έργο του Ρώσου μαθηματικού. Η ετυμηγορία των ερευνητών ήταν αδιαμφισβήτητη: τα στοιχεία είναι απολύτως σωστά.

Μια απροσδόκητη τροπή σε αυτή την ιστορία ήρθε τον Ιούλιο του ίδιου έτους. Στο περιοδικό Asian Journal of MathematicsΕμφανίστηκε ένα άρθρο των Κινέζων μαθηματικών Xiping Zhu και Huaidong Cao με τίτλο «A Complete Proof of the Thurston Geometrization Conjecture and the Poincaré Conjecture». Στο πλαίσιο αυτής της εργασίας, τα αποτελέσματα του Perelman θεωρήθηκαν σημαντικά, χρήσιμα, αλλά μόνο ενδιάμεσα. αυτή η δουλειάπροκάλεσε έκπληξη στους ειδικούς στη Δύση, αλλά έλαβε πολύ ευνοϊκές κριτικές στην Ανατολή. Συγκεκριμένα, τα αποτελέσματα υποστήριξαν ο Shintan Yau - ένας από τους ιδρυτές της θεωρίας Calabi-Yau, που έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία χορδών - καθώς και ο δάσκαλος των Cao και Ju. Κατά ευτυχή σύμπτωση, ο Yau ήταν ο αρχισυντάκτης του περιοδικού. Asian Journal of Mathematicsστο οποίο δημοσιεύτηκε το έργο.

Μετά από αυτό, ο μαθηματικός άρχισε να ταξιδεύει σε όλο τον κόσμο με δημοφιλείς διαλέξεις, μιλώντας για τα επιτεύγματα των Κινέζων μαθηματικών. Ως εκ τούτου, υπήρχε ο κίνδυνος πολύ σύντομα τα αποτελέσματα του Πέρελμαν, ακόμα και του Χάμιλτον να πέσουν σε δεύτερο πλάνο. Αυτό έχει συμβεί περισσότερες από μία φορές στην ιστορία των μαθηματικών - πολλά θεωρήματα που φέρουν τα ονόματα συγκεκριμένων μαθηματικών εφευρέθηκαν από εντελώς διαφορετικούς ανθρώπους.

Ωστόσο, αυτό δεν έγινε και μάλλον δεν θα συμβεί τώρα. Η απονομή του βραβείου Clay στον Perelman (ακόμα κι αν αρνηθεί) εδραιώθηκε για πάντα δημόσια συνείδησηγεγονός: Ο Ρώσος μαθηματικός Γκριγκόρι Πέρελμαν απέδειξε την εικασία του Πουανκαρέ. Δεν έχει σημασία ότι στην πραγματικότητα απέδειξε ένα γενικότερο γεγονός, αναπτύσσοντας στην πορεία μια εντελώς νέα θεωρία ιδιομορφιών του Ricci. Ακόμα και έτσι. Το βραβείο βρήκε έναν ήρωα.

Φωτογραφία της N. Chetverikova Το τελευταίο μεγάλο επίτευγμα των καθαρών μαθηματικών είναι η απόδειξη της εικασίας Poincaré, που εκφράστηκε το 1904 και δηλώνει: «κάθε συνδεδεμένη, απλά συνδεδεμένη, συμπαγής τρισδιάστατη πολλαπλότητα χωρίς σύνορα, είναι ομοιομορφική με τη σφαίρα S 3» από Grigory Perelman από την Αγία Πετρούπολη το 2002-2003.

Υπάρχουν διάφοροι όροι σε αυτή τη φράση, τους οποίους θα προσπαθήσω να εξηγήσω με τέτοιο τρόπο ώστε η γενική τους σημασία να γίνεται σαφής στους μη μαθηματικούς (υποθέτω ότι ο αναγνώστης έχει αποφοιτήσει από το γυμνάσιο και θυμάται ακόμα κάτι από τα μαθηματικά του σχολείου).

Ας ξεκινήσουμε με την έννοια του ομοιομορφισμού, η οποία είναι κεντρική στην τοπολογία. Γενικά, η τοπολογία ορίζεται συχνά ως "γεωμετρία από καουτσούκ", δηλαδή ως η επιστήμη των ιδιοτήτων των γεωμετρικών εικόνων που δεν αλλάζουν κατά τη διάρκεια ομαλών παραμορφώσεων χωρίς κενά και κόλληση, ή μάλλον, εάν είναι δυνατόν να καθοριστεί ένα προς αντιστοιχία ενός και ενός προς ένα μεταξύ δύο αντικειμένων.

Η κύρια ιδέα είναι πιο εύκολο να εξηγηθεί χρησιμοποιώντας το κλασικό παράδειγμα μιας κούπας και ενός κουλούρι. Το πρώτο μπορεί να μετατραπεί σε δεύτερο με μια συνεχή παραμόρφωση: Αυτά τα σχήματα δείχνουν ξεκάθαρα ότι η κούπα είναι ομοιομορφική με το ντόνατ και αυτό το γεγονός ισχύει τόσο για τις επιφάνειές τους (δισδιάστατες πολλαπλές, που ονομάζονται τόρος) όσο και για τα γεμάτα σώματα ( τρισδιάστατες πολλαπλές με όριο).

Ας δώσουμε μια ερμηνεία των υπολοίπων όρων που εμφανίζονται στη διατύπωση της υπόθεσης.

1. Τρισδιάστατη πολλαπλή χωρίς όριο.Αυτό είναι ένα τέτοιο γεωμετρικό αντικείμενο, στο οποίο κάθε σημείο έχει μια γειτονιά με τη μορφή μιας τρισδιάστατης μπάλας. Παραδείγματα 3-πολλαπλών είναι, πρώτον, ολόκληρος ο τρισδιάστατος χώρος, που υποδεικνύεται με R 3 , καθώς και οποιαδήποτε ανοιχτά σύνολα σημείων στο R 3 , για παράδειγμα, το εσωτερικό ενός συμπαγούς δακτύλου (ντόνατ). Εάν θεωρήσουμε έναν κλειστό συμπαγή τόρο, δηλαδή προσθέσουμε τα οριακά του σημεία (την επιφάνεια του τόρου), τότε έχουμε ήδη μια πολλαπλότητα με όριο - τα οριακά σημεία δεν έχουν γειτονιές με τη μορφή μπάλας, αλλά μόνο με τη μορφή της μισής μπάλας.

2. Συνδεδεμένοι.Η έννοια της συνδεσιμότητας είναι η πιο απλή εδώ. Μια πολλαπλή συνδέεται εάν αποτελείται από ένα κομμάτι ή, κάτι το ίδιο, οποιαδήποτε δύο σημεία της μπορούν να συνδεθούν με μια συνεχή γραμμή που δεν υπερβαίνει τα όριά της.

3. Απλά συνδεδεμένο.Η έννοια της μονής σύνδεσης είναι πιο περίπλοκη. Σημαίνει ότι οποιαδήποτε συνεχής κλειστή καμπύλη που βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα σε μια δεδομένη πολλαπλότητα μπορεί να συστέλλεται ομαλά σε ένα σημείο χωρίς να φύγει από αυτήν την πολλαπλότητα. Για παράδειγμα, μια συνηθισμένη δισδιάστατη σφαίρα στο R 3 συνδέεται απλά (μια ελαστική ταινία, αυθαίρετα προσαρτημένη στην επιφάνεια ενός μήλου, μπορεί να συστέλλεται με μια ομαλή παραμόρφωση σε ένα σημείο χωρίς να σχίζεται η ελαστική ταινία από το μήλο). Από την άλλη, ο κύκλος και ο τόρος δεν συνδέονται απλά.

4. Συμπαγές.Μια πολλαπλότητα είναι συμπαγής εάν κάποια από τις ομοιομορφικές της εικόνες έχει οριοθετημένες διαστάσεις. Για παράδειγμα, ένα ανοιχτό διάστημα σε μια γραμμή (όλα τα σημεία ενός τμήματος εκτός από τα άκρα του) δεν είναι συμπαγές, αφού μπορεί να επεκταθεί συνεχώς σε μια άπειρη γραμμή. Αλλά ένα κλειστό τμήμα (με άκρα) είναι μια συμπαγής πολλαπλότητα με ένα όριο: για οποιαδήποτε συνεχή παραμόρφωση, τα άκρα πηγαίνουν σε ορισμένα συγκεκριμένα σημεία και ολόκληρο το τμήμα πρέπει να μπει σε μια οριοθετημένη καμπύλη που συνδέει αυτά τα σημεία.

Διάστασηπολλαπλός είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας στο σημείο που «ζει» σε αυτό. Κάθε σημείο έχει μια γειτονιά με τη μορφή ενός δίσκου της αντίστοιχης διάστασης, δηλαδή, ένα διάστημα μιας γραμμής στη μονοδιάστατη περίπτωση, έναν κύκλο στο επίπεδο στη δισδιάστατη περίπτωση, μια μπάλα στην τρισδιάστατη περίπτωση , κλπ. Από την άποψη της τοπολογίας, υπάρχουν μόνο δύο μονοδιάστατες συνδεδεμένες πολλαπλές χωρίς όριο: αυτή είναι η γραμμή και ο κύκλος. Από αυτά, μόνο ο κύκλος είναι συμπαγής.

Ένα παράδειγμα ενός χώρου που δεν είναι πολλαπλή είναι, για παράδειγμα, ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών - τελικά, στο σημείο τομής δύο γραμμών, οποιαδήποτε γειτονιά έχει σχήμα σταυρού, δεν έχει γειτονιά που θα είναι μόνο ένα διάστημα (και όλα τα άλλα σημεία έχουν τέτοιες γειτονιές). Οι μαθηματικοί σε τέτοιες περιπτώσεις λένε ότι έχουμε να κάνουμε με μια ενική πολλαπλότητα, η οποία έχει ένα ενικό σημείο.

Οι δισδιάστατες συμπαγείς πολλαπλές είναι γνωστές. Αν αναλογιστούμε μόνο προσανατολισμένος 1πολλαπλότητες χωρίς όριο, τότε από τοπολογική άποψη σχηματίζουν μια απλή, αν και άπειρη, λίστα: και ούτω καθεξής. Κάθε τέτοια πολλαπλή λαμβάνεται από μια σφαίρα κολλώντας πολλές λαβές, ο αριθμός των οποίων ονομάζεται γένος της επιφάνειας.

1 Λόγω έλλειψης χώρου, δεν θα μιλήσω για μη προσανατολιζόμενες πολλαπλές, παράδειγμα των οποίων είναι το περίφημο μπουκάλι Klein - μια επιφάνεια που δεν μπορεί να ενσωματωθεί σε χώρο χωρίς αυτοδιασταυρώσεις.

Το σχήμα δείχνει επιφάνειες του γένους 0, 1, 2 και 3. Πώς ξεχωρίζει μια σφαίρα από όλες τις επιφάνειες αυτής της λίστας; Αποδεικνύεται ότι είναι απλά συνδεδεμένο: σε μια σφαίρα, οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο και σε οποιαδήποτε άλλη επιφάνεια, είναι πάντα δυνατό να υποδειχθεί μια καμπύλη που δεν μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο κατά μήκος της επιφάνειας.

Είναι περίεργο το γεγονός ότι οι τρισδιάστατες συμπαγείς πολλαπλές χωρίς σύνορα μπορούν επίσης να ταξινομηθούν με μια ορισμένη έννοια, δηλ. να ταξινομηθούν σε μια συγκεκριμένη λίστα, αν και όχι τόσο απλές όσο στη δισδιάστατη περίπτωση, αλλά έχουν μια μάλλον πολύπλοκη δομή. Ωστόσο, η τρισδιάστατη σφαίρα S 3 ξεχωρίζει σε αυτήν τη λίστα με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως η 2D σφαίρα στην παραπάνω λίστα. Το γεγονός ότι οποιαδήποτε καμπύλη στο S 3 συστέλλεται σε ένα σημείο είναι εξίσου εύκολο να αποδειχθεί όπως στη δισδιάστατη περίπτωση. Αλλά ο αντίστροφος ισχυρισμός, δηλαδή, ότι αυτή η ιδιότητα είναι μοναδική ακριβώς για τη σφαίρα, δηλ. ότι υπάρχουν μη συσταλτικές καμπύλες σε οποιαδήποτε άλλη τρισδιάστατη πολλαπλότητα, είναι πολύ δύσκολη και αποτελεί ακριβώς το περιεχόμενο της εικασίας Poincare για την οποία μιλάμε. .

Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι η πολλαπλή μπορεί να ζήσει μόνη της, μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ανεξάρτητο αντικείμενο, που δεν είναι φωλιασμένο πουθενά. (Φανταστείτε να ζείτε δισδιάστατα όντα στην επιφάνεια μιας συνηθισμένης σφαίρας, χωρίς να γνωρίζουν την ύπαρξη μιας τρίτης διάστασης.) Ευτυχώς, όλες οι δισδιάστατες επιφάνειες από την παραπάνω λίστα μπορούν να ενσωματωθούν στον συνηθισμένο χώρο R 3, κάτι που κάνει είναι πιο εύκολο να οπτικοποιηθούν. Για το S 3 3 σφαιρών (και γενικά για οποιαδήποτε συμπαγή 3 πολλαπλή χωρίς σύνορα) αυτό δεν ισχύει πλέον, επομένως χρειάζεται κάποια προσπάθεια για να κατανοηθεί η δομή του.

Προφανώς, ο απλούστερος τρόπος για να εξηγήσουμε την τοπολογική δομή της τρισδιάστατης σφαίρας S 3 είναι με τη βοήθεια της συμπύκνωσης ενός σημείου. Δηλαδή, η τρισδιάστατη σφαίρα S 3 είναι μια συμπαγοποίηση ενός σημείου του συνήθους τρισδιάστατου (απεριόριστου) χώρου R 3 .

Ας εξηγήσουμε πρώτα αυτήν την κατασκευή με απλά παραδείγματα. Ας πάρουμε μια συνηθισμένη άπειρη ευθεία γραμμή (ένα μονοδιάστατο ανάλογο του χώρου) και ας προσθέσουμε ένα «άπειρα μακρινό» σημείο σε αυτήν, υποθέτοντας ότι όταν κινούμαστε κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής δεξιά ή αριστερά, φτάνουμε τελικά σε αυτό το σημείο. Από τοπολογική άποψη, δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ μιας άπειρης γραμμής και ενός οριοθετημένου ανοιχτού τμήματος (χωρίς τελικά σημεία). Ένα τέτοιο τμήμα μπορεί να λυγίσει συνεχώς με τη μορφή τόξου, να φέρει τα άκρα πιο κοντά και να κολλήσει το σημείο που λείπει στη διασταύρωση. Λαμβάνουμε, προφανώς, έναν κύκλο - ένα μονοδιάστατο ανάλογο μιας σφαίρας.

Ομοίως, αν πάρω ένα άπειρο επίπεδο και προσθέσω ένα σημείο στο άπειρο, στο οποίο τείνουν όλες οι γραμμές του αρχικού επιπέδου, που περνούν προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, τότε παίρνουμε μια δισδιάστατη (συνηθισμένη) σφαίρα S 2 . Αυτή η διαδικασία μπορεί να παρατηρηθεί χρησιμοποιώντας μια στερεογραφική προβολή, η οποία εκχωρεί σε κάθε σημείο P της σφαίρας, με εξαίρεση τον βόρειο πόλο του N, ένα ορισμένο σημείο του επιπέδου P ":

Έτσι, μια σφαίρα χωρίς ένα σημείο είναι τοπολογικά ίδια με ένα επίπεδο και η προσθήκη ενός σημείου μετατρέπει το επίπεδο σε σφαίρα.

Κατ 'αρχήν, ακριβώς η ίδια κατασκευή ισχύει για μια τρισδιάστατη σφαίρα και τρισδιάστατο χώρο, μόνο για την εφαρμογή της είναι απαραίτητο να εισαγάγετε την τέταρτη διάσταση και αυτό δεν είναι τόσο εύκολο να απεικονιστεί στο σχέδιο. Επομένως, περιορίζομαι σε μια λεκτική περιγραφή της συμπαγοποίησης ενός σημείου του χώρου R 3 .

Φανταστείτε ότι στον φυσικό μας χώρο (τον οποίο εμείς, ακολουθώντας τον Νεύτωνα, θεωρούμε ότι είναι ένας απεριόριστος Ευκλείδειος χώρος με τρεις συντεταγμένες x, y, z) έχει προστεθεί ένα σημείο «στο άπειρο» με τέτοιο τρόπο ώστε όταν κινούμαστε κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής σε οποιαδήποτε κατεύθυνση, πέφτετε (δηλαδή, κάθε χωρική γραμμή κλείνει σε κύκλο). Τότε παίρνουμε μια συμπαγή τρισδιάστατη πολλαπλότητα, η οποία είναι, εξ ορισμού, η σφαίρα S 3 .

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι η σφαίρα S 3 είναι απλά συνδεδεμένη. Πράγματι, οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη σε αυτή τη σφαίρα μπορεί να μετατοπιστεί ελαφρά έτσι ώστε να μην περάσει από το προστιθέμενο σημείο. Τότε παίρνουμε μια καμπύλη στον συνηθισμένο χώρο R 3 , η οποία συστέλλεται εύκολα σε ένα σημείο μέσω ομοθειών, δηλαδή συνεχούς συστολής και στις τρεις κατευθύνσεις.

Για να κατανοήσουμε πώς είναι δομημένη η πολλαπλή S 3, είναι πολύ διδακτικό να εξετάσουμε το διαχωρισμό της σε δύο συμπαγή tori. Εάν ο συμπαγής τόρος παραλειφθεί από το χώρο R 3, τότε κάτι όχι πολύ ξεκάθαρο παραμένει. Και αν ο χώρος συμπυκνωθεί σε σφαίρα, τότε αυτό το συμπλήρωμα μετατρέπεται επίσης σε ένα συμπαγή τόρο. Δηλαδή, η σφαίρα S 3 χωρίζεται σε δύο συμπαγή tori που έχουν ένα κοινό όριο - έναν torus.

Εδώ είναι πώς μπορεί να γίνει κατανοητό. Ας ενσωματώσουμε τον δακτύλιο στο R 3 ως συνήθως, με τη μορφή στρογγυλού ντόνατ και σχεδιάζουμε μια κάθετη γραμμή - τον άξονα περιστροφής αυτού του ντόνατ. Σχεδιάστε ένα αυθαίρετο επίπεδο διαμέσου του άξονα, θα τέμνει τον συμπαγή μας δακτύλιο κατά μήκος δύο κύκλων που φαίνονται με πράσινο χρώμα στο σχήμα και το πρόσθετο τμήμα του επιπέδου χωρίζεται σε μια συνεχή οικογένεια κόκκινων κύκλων. Ανάμεσά τους είναι ο κεντρικός άξονας, τονισμένο με πιο έντονη γραφή, γιατί στη σφαίρα S 3 η γραμμή κλείνει σε κύκλο. Μια τρισδιάστατη εικόνα λαμβάνεται από αυτή τη δισδιάστατη περιστρέφοντας γύρω από έναν άξονα. Ένα πλήρες σύνολο περιστρεφόμενων κύκλων θα γεμίσει στη συνέχεια ένα τρισδιάστατο σώμα, ομοιομορφικό σε έναν συμπαγή δακτύλιο, που φαίνεται μόνο ασυνήθιστο.

Στην πραγματικότητα, ο κεντρικός άξονας θα είναι ένας αξονικός κύκλος σε αυτόν, και οι υπόλοιποι θα παίζουν το ρόλο των παραλλήλων - κύκλων που αποτελούν τον συνηθισμένο συμπαγή τόρο.

Για να έχω κάτι να συγκρίνω την 3-σφαίρα, θα δώσω ένα άλλο παράδειγμα συμπαγούς 3-πολλαπλής, δηλαδή έναν τρισδιάστατο τόρο. Ένας τρισδιάστατος δακτύλιος μπορεί να κατασκευαστεί ως εξής. Ας πάρουμε έναν συνηθισμένο τρισδιάστατο κύβο ως αρχικό υλικό:

Έχει τρία ζεύγη όψεων: αριστερά και δεξιά, πάνω και κάτω, μπροστά και πίσω. Σε κάθε ζεύγος παράλληλων όψεων, αναγνωρίζουμε ανά ζεύγη τα σημεία που λαμβάνονται μεταξύ τους μεταφέροντας κατά μήκος της άκρης του κύβου. Δηλαδή, θα υποθέσουμε (καθαρά αφηρημένα, χωρίς να εφαρμόζουμε φυσικές παραμορφώσεις) ότι, για παράδειγμα, το Α και το Α «είναι το ίδιο σημείο, και το Β και το Β» είναι επίσης ένα σημείο, αλλά διαφορετικά από το σημείο Α. Όλα τα εσωτερικά σημεία του κύβο θα θεωρήσουμε ως συνήθως. Ο ίδιος ο κύβος είναι μια πολλαπλή με άκρη, αλλά μετά την κόλληση που γίνεται, η άκρη κλείνει στον εαυτό της και εξαφανίζεται. Πράγματι, οι γειτονιές των σημείων Α και Α» στον κύβο (βρίσκονται στο αριστερό και στο δεξί σκιασμένο πρόσωπο) είναι τα μισά των σφαιρών, τα οποία, αφού κολλήσουν τα πρόσωπα μεταξύ τους, συγχωνεύονται σε μια ολόκληρη μπάλα, η οποία χρησιμεύει ως γειτονιά του αντίστοιχου σημείου του τρισδιάστατου τόρου.

Για να νιώσετε τη δομή του 3-torus που βασίζεται σε συνηθισμένες ιδέες για το φυσικό χώρο, πρέπει να επιλέξετε τρεις αμοιβαία κάθετες κατευθύνσεις: εμπρός, αριστερά και πάνω - και να σκεφτείτε νοερά, όπως σε ιστορίες επιστημονικής φαντασίας, ότι όταν κινείστε σε οποιαδήποτε από τις αυτές οι κατευθύνσεις, ένας μάλλον μακρύς, αλλά πεπερασμένος χρόνος, θα επιστρέψουμε στο σημείο εκκίνησης, αλλά από την αντίθετη κατεύθυνση. Πρόκειται επίσης για μια «συμπύκνωση του χώρου», αλλά όχι για ένα σημείο, που χρησιμοποιήθηκε νωρίτερα για την κατασκευή μιας σφαίρας, αλλά πιο πολύπλοκο.

Υπάρχουν μη συσταλτικά μονοπάτια στο 3-torus. για παράδειγμα, αυτό είναι το τμήμα AA" στο σχήμα (στον τόρο απεικονίζει μια κλειστή διαδρομή). Δεν μπορεί να συστέλλεται, γιατί για οποιαδήποτε συνεχή παραμόρφωση, τα σημεία Α και Α" πρέπει να κινούνται κατά μήκος των όψεών τους, παραμένοντας αυστηρά απέναντι από το καθένα άλλο (αλλιώς θα ανοίξει η καμπύλη).

Έτσι, βλέπουμε ότι υπάρχουν απλά συνδεδεμένες και μη απλά συνδεδεμένες συμπαγείς 3 πολλαπλές. Ο Perelman απέδειξε ότι μια απλά συνδεδεμένη πολλαπλή είναι ακριβώς μία.

Η αρχική ιδέα της απόδειξης είναι να χρησιμοποιήσουμε τη λεγόμενη "ροή Ricci": παίρνουμε μια απλά συνδεδεμένη συμπαγή 3 πολλαπλή, την προικίζουμε με μια αυθαίρετη γεωμετρία (δηλ. εισάγουμε κάποια μετρική με αποστάσεις και γωνίες) και στη συνέχεια εξετάστε την εξέλιξή του κατά μήκος της ροής Ricci. Ο Ρίτσαρντ Χάμιλτον, ο οποίος πρότεινε αυτήν την ιδέα το 1981, ήλπιζε ότι με αυτήν την εξέλιξη η πολλαπλότητα μας θα μετατρεπόταν σε σφαίρα. Αποδείχθηκε ότι αυτό δεν είναι αλήθεια - στην τρισδιάστατη περίπτωση, η ροή Ricci είναι ικανή να χαλάσει την πολλαπλότητα, δηλαδή να την κάνει λίγο πολλαπλή (κάτι με μοναδικά σημεία, όπως στο παραπάνω παράδειγμα τεμνόμενων γραμμών). Ο Perelman, ξεπερνώντας απίστευτες τεχνικές δυσκολίες, χρησιμοποιώντας τη βαριά συσκευή των μερικών διαφορικών εξισώσεων, κατάφερε να τροποποιήσει τη ροή του Ricci κοντά σε μοναδικά σημεία με τέτοιο τρόπο ώστε κατά την εξέλιξη η τοπολογία της πολλαπλής να μην αλλάζει, να μην υπάρχουν μοναδικά σημεία και σε στο τέλος μετατρέπεται σε στρογγυλή σφαίρα . Πρέπει όμως επιτέλους να εξηγήσουμε ποια είναι αυτή η ροή του Ricci. Οι ροές που χρησιμοποιήθηκαν από τους Hamilton και Perelman αναφέρονται σε μια αλλαγή στην εγγενή μετρική σε μια αφηρημένη πολλαπλότητα, και αυτό είναι μάλλον δύσκολο να εξηγηθεί, επομένως θα περιοριστώ στην περιγραφή της "εξωτερικής" ροής Ricci σε μονοδιάστατες πολλαπλές ενσωματωμένες σε ένα επίπεδο .

Φανταστείτε μια ομαλή κλειστή καμπύλη στο ευκλείδειο επίπεδο, επιλέξτε μια κατεύθυνση σε αυτήν και θεωρήστε σε κάθε σημείο ένα εφαπτομενικό διάνυσμα μονάδας μήκους. Στη συνέχεια, όταν περιστρέφεται γύρω από την καμπύλη προς την επιλεγμένη κατεύθυνση, αυτό το διάνυσμα θα περιστρέφεται με κάποια γωνιακή ταχύτητα, η οποία ονομάζεται καμπυλότητα. Όπου η καμπύλη είναι πιο απότομη, η καμπυλότητα (σε απόλυτη τιμή) θα είναι μεγαλύτερη και όπου είναι πιο ομαλή, η καμπυλότητα θα είναι μικρότερη.

Η καμπυλότητα θα θεωρείται θετική εάν το διάνυσμα της ταχύτητας στρέφεται προς το εσωτερικό μέρος του επιπέδου που διαιρείται από την καμπύλη μας σε δύο μέρη και αρνητική εάν στρίβει προς τα έξω. Αυτή η σύμβαση δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση στην οποία διανύεται η καμπύλη. Στα σημεία καμπής όπου η περιστροφή αλλάζει κατεύθυνση, η καμπυλότητα θα είναι 0. Για παράδειγμα, ένας κύκλος ακτίνας 1 έχει σταθερή θετική καμπυλότητα 1 (μετρούμενη σε ακτίνια).

Τώρα ας ξεχάσουμε τα εφαπτομενικά διανύσματα και ας επισυνάψουμε σε κάθε σημείο της καμπύλης, αντίθετα, ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτό, ίσο σε μήκος με την καμπυλότητα σε ένα δεδομένο σημείο και κατευθυνόμενο προς τα μέσα εάν η καμπυλότητα είναι θετική και προς τα έξω εάν είναι αρνητική , και μετά θα αναγκάσουμε κάθε σημείο να κινηθεί προς την κατεύθυνση του αντίστοιχου διανύσματος με ταχύτητα ανάλογη του μήκους του. Εδώ είναι ένα παράδειγμα:

Αποδεικνύεται ότι οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη στο επίπεδο συμπεριφέρεται με παρόμοιο τρόπο κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας εξέλιξης, δηλαδή, τελικά μετατρέπεται σε κύκλο. Αυτή είναι η απόδειξη του μονοδιάστατου αναλόγου της εικασίας Poincare χρησιμοποιώντας τη ροή Ricci (ωστόσο, η ίδια η δήλωση σε αυτή την περίπτωση είναι ήδη προφανής, απλώς η μέθοδος απόδειξης απεικονίζει τι συμβαίνει στη διάσταση 3).

Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι το επιχείρημα του Perelman αποδεικνύει όχι μόνο την εικασία Poincaré, αλλά και την πολύ γενικότερη εικασία γεωμετρίας Thurston, η οποία κατά μια έννοια περιγράφει τη δομή όλων των συμπαγών 3 πολλαπλών γενικά. Αλλά αυτό το θέμα βρίσκεται πέρα ​​από το πεδίο αυτού του στοιχειώδους άρθρου.

Σεργκέι Ντούζιν,
Διδάκτωρ Φυσικομαθηματικών Επιστήμες,
αρχαιότερος Ερευνητής
υποκατάστημα Αγίας Πετρούπολης
Μαθηματικό Ινστιτούτο της Ρωσικής Ακαδημίας Επιστημών

Το θεώρημα του Πουανκαρέ είναι ο μαθηματικός τύπος του «Σύμπαντος». Γκριγκόρι Πέρελμαν. Μέρος 1 (από τη σειρά " Αληθινός άνδραςστην επιστήμη»)

Ο Henri Poincare (1854-1912), ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς, διατύπωσε το 1904 τη διάσημη ιδέα μιας παραμορφωμένης τρισδιάστατης σφαίρας και, με τη μορφή μιας μικρής περιθωριακής σημείωσης, τοποθετήθηκε στο τέλος ενός άρθρου 65 σελίδων σε ένα εντελώς διαφορετικό θέμα, χάραξε μερικές γραμμές μιας μάλλον περίεργης εικασίας με τις λέξεις: "Λοιπόν, αυτή η ερώτηση μπορεί να μας πάει πολύ μακριά" ...

Ο Marcus Du Sotoy του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης πιστεύει ότι το θεώρημα του Poincaré είναι «αυτό κεντρικό πρόβλημαμαθηματικά και φυσική, προσπαθώντας να καταλάβω τι μορφήΜπορεί ΣύμπανΕίναι πολύ δύσκολο να την πλησιάσεις».

Μία φορά την εβδομάδα, ο Γκριγκόρι Πέρελμαν ταξίδευε στο Πρίνστον για να λάβει μέρος σε ένα σεμινάριο στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών. Στο σεμινάριο, ένας από τους μαθηματικούς του Πανεπιστημίου του Χάρβαρντ απαντά στην ερώτηση του Πέρελμαν: «Η θεωρία του Γουίλιαμ Θέρστον (1946-2012, μαθηματικός, εργάζεται στον τομέα της «τρισδιάστατης γεωμετρίας και τοπολογίας»), που ονομάζεται υπόθεση γεωμετρίας, περιγράφει όλα τα πιθανά τρισδιάστατες επιφάνειες και είναι ένα βήμα μπροστά σε σύγκριση με την υπόθεση του Πουανκαρέ. Εάν αποδείξετε την υπόθεση του William Thurston, τότε η εικασία Poincare θα σας ανοίξει όλες τις πόρτες και πολλά άλλα Η λύση του θα αλλάξει ολόκληρο το τοπολογικό τοπίο της σύγχρονης επιστήμης».

Έξι κορυφαία αμερικανικά πανεπιστήμια τον Μάρτιο του 2003 προσκαλούν τον Πέρελμαν να διαβάσει μια σειρά από διαλέξεις που εξηγούν τη δουλειά του. Τον Απρίλιο του 2003, ο Πέρελμαν κάνει μια επιστημονική περιήγηση. Οι διαλέξεις του γίνονται ένα εξαιρετικό επιστημονικό γεγονός. Ο John Ball (πρόεδρος της Διεθνούς Μαθηματικής Ένωσης), ο Andrew Wiles (μαθηματικός, εργάζεται στον τομέα της αριθμητικής ελλειπτικών καμπυλών, απέδειξε το θεώρημα του Fermat το 1994), ο John Nash (μαθηματικός που εργάζεται στον τομέα της θεωρίας παιγνίων και της διαφορικής γεωμετρίας) Πρίνστον να τον ακούσει.

Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν κατάφερε να λύσει ένα από τα επτά καθήκοντα της χιλιετίαςΚαι περιγράφουν μαθηματικάτο λεγομενο η φόρμουλα του σύμπαντος, για να αποδείξει την εικασία του Πουανκαρέ. Τα πιο λαμπρά μυαλά πολέμησαν για αυτήν την υπόθεση για περισσότερα από 100 χρόνια και για την απόδειξη της οποίας η παγκόσμια μαθηματική κοινότητα (το Μαθηματικό Ινστιτούτο Clay) υποσχέθηκε 1 εκατομμύριο δολάρια. Παρουσιάστηκε στις 8 Ιουνίου 2010. Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν δεν εμφανίστηκε σε αυτήν , και η παγκόσμια μαθηματική κοινότητα «έπεσαν τα σαγόνια».

Το 2006, για την επίλυση της εικασίας Poincaré, ο μαθηματικός τιμήθηκε με το υψηλότερο μαθηματικό βραβείο - το Βραβείο Fields (Fields Medal). Ο Τζον Μπαλ επισκέφτηκε προσωπικά την Αγία Πετρούπολη προκειμένου να τον πείσει να παραλάβει το βραβείο. Αρνήθηκε να το δεχτεί με τα λόγια: «Η κοινωνία δύσκολα μπορεί να αξιολογήσει σοβαρά τη δουλειά μου».

«Το Βραβείο Fields (και το μετάλλιο) απονέμεται μία φορά κάθε 4 χρόνια σε κάθε διεθνές μαθηματικό συνέδριο σε νέους επιστήμονες (κάτω των 40 ετών) που έχουν συμβάλει σημαντικά στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Εκτός από το μετάλλιο, στους βραβευθέντες απονέμονται 15.000 δολάρια Καναδά (13.000 $).

Στην αρχική της διατύπωση, η εικασία του Πουανκαρέ έχει ως εξής: «Κάθε απλά συνδεδεμένη συμπαγής τρισδιάστατη πολλαπλότητα χωρίς όριο είναι ομοιομορφική προς μια τρισδιάστατη σφαίρα». Μεταφρασμένο σε μια κοινή γλώσσα, αυτό σημαίνει ότι οποιοδήποτε τρισδιάστατο αντικείμενο, για παράδειγμα, ένα ποτήρι, μπορεί να μετατραπεί σε μπάλα μόνο με παραμόρφωση, δηλαδή δεν θα χρειαστεί να κοπεί ή να κολληθεί. Με άλλα λόγια, ο Πουανκαρέ το πρότεινε Ο χώρος δεν είναι τρισδιάστατος, αλλά περιέχει πολύ μεγαλύτερο αριθμό διαστάσεων, και ο Perelman 100 χρόνια μετά το απέδειξε μαθηματικά.

Η έκφραση του Γκριγκόρι Πέρελμαν του θεωρήματος του Πουανκαρέ για τη μετατροπή της ύλης σε μια άλλη κατάσταση, μορφή είναι παρόμοια με τη γνώση που εκτίθεται στο βιβλίο της Anastasia Novykh «Sensei IV»: βελόνες». Καθώς και την ικανότητα ελέγχου του υλικού Σύμπαντος μέσω μετασχηματισμών που εισήγαγε ο Παρατηρητής από διαστάσεις ελέγχου πάνω από την έκτη (από 7 έως 72 συμπεριλαμβανομένου) (αναφορά "PRIMARY ALLATRA PHYSICS" θέμα "Εζωοσμικό πλέγμα").

Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν διακρίθηκε από τη λιτότητα της ζωής, τη σοβαρότητα των ηθικών απαιτήσεων τόσο για τον εαυτό του όσο και για τους άλλους. Κοιτώντας τον, έχει κανείς την αίσθηση ότι είναι μόνο σωματικά κατοικείαπό κοινού με όλους τους άλλους σύγχρονους χώρος, ΕΝΑ Πνευματικά σε κάποιο άλλο, όπου ακόμη για 1 εκατομμύριο δολάρια μην πάτε γιαο πιο "αθώος" συμβιβασμούς με τη συνείδηση. Και τι είδους χώρος είναι αυτός και είναι δυνατόν να τον κοιτάξετε ακόμη και με την άκρη του ματιού σας; ..

Η εξαιρετική σημασία της υπόθεσης που διατυπώθηκε πριν από περίπου έναν αιώνα από τον μαθηματικό Πουανκαρέ αφορά τις τρισδιάστατες δομές και είναι βασικό στοιχείοσύγχρονη έρευνα θεμέλια του σύμπαντος. Αυτό το αίνιγμα, σύμφωνα με ειδικούς από το Ινστιτούτο Clay, είναι ένα από τα επτά θεμελιωδώς σημαντικά για την ανάπτυξη των μαθηματικών του μέλλοντος.

Ο Πέρελμαν, απορρίπτοντας μετάλλια και βραβεία, ρωτά: «Γιατί τα χρειάζομαι; Είναι εντελώς άχρηστα για μένα. Όλοι καταλαβαίνουν ότι αν η απόδειξη είναι σωστή, τότε δεν απαιτείται άλλη αναγνώριση. Μέχρι να αναπτύξω υποψίες, είχα την επιλογή είτε να μιλήσω δυνατά για την αποσύνθεση της μαθηματικής κοινότητας στο σύνολό της, λόγω του χαμηλού ηθικού της επιπέδου, είτε να μην πω τίποτα και να επιτρέψω στον εαυτό μου να με φέρονται σαν βοοειδή. Τώρα, όταν έχω γίνει κάτι παραπάνω από καχύποπτος, δεν μπορώ να παραμείνω βοοειδή και να συνεχίσω να σιωπώ, οπότε μπορώ μόνο να φύγω.

Για να κάνεις σύγχρονα μαθηματικά, χρειάζεται να έχεις ένα εντελώς καθαρό μυαλό, χωρίς την παραμικρή πρόσμιξη που το αποσυνθέτει, το αποπροσανατολίζει, αντικαθιστά αξίες και η αποδοχή αυτού του βραβείου σημαίνει επίδειξη αδυναμίας. Ο ιδανικός επιστήμονας ασχολείται μόνο με την επιστήμη, δεν ενδιαφέρεται για τίποτα άλλο (δύναμη και κεφάλαιο), πρέπει να έχει καθαρό μυαλό και για τον Πέρελμαν δεν υπάρχει μεγαλύτερη σημασία από το να ζει σύμφωνα με αυτό το ιδανικό. Είναι όλη αυτή η ιδέα με εκατομμύρια χρήσιμη για τα μαθηματικά και χρειάζεται τέτοιο κίνητρο ένας πραγματικός επιστήμονας; Και αυτή η επιθυμία του κεφαλαίου να αγοράσει και να υποτάξει τα πάντα σε αυτόν τον κόσμο δεν είναι προσβλητική; Ή μπορείτε να πουλήσετε την καθαρότητά τουγια ένα εκατομμύριο; Τα χρήματα, όσο κι αν υπάρχουν, είναι ισοδύναμα την αλήθεια της Ψυχής? Τελικά, έχουμε να κάνουμε με μια εκ των προτέρων εκτίμηση προβλημάτων με τα οποία απλά δεν πρέπει να έχουν να κάνουν τα χρήματα, σωστά;! Το να κάνεις από όλα αυτά κάτι σαν ένα λότο-εκατομμύριο, ή ένα tote, σημαίνει να επιδοθείς στη διάλυση του επιστημονικού, και μάλιστα την ανθρώπινη κοινότητα στο σύνολό της(Βλέπε την έκθεση «PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS» και στο βιβλίο «AllatRa» τις τελευταίες 50 σελίδες για τον τρόπο οικοδόμησης μιας δημιουργικής κοινωνίας). ΚΑΙ μετρητά(ενέργεια), την οποία οι επιχειρηματίες είναι έτοιμοι να δωρίσουν στην επιστήμη, εάν είναι απαραίτητο να τη χρησιμοποιήσουν, τότε είναι σωστό, ή κάτι τέτοιο, χωρίς να εξευτελίζεται Το Πνεύμα της Αληθινής Υπηρεσίας, ό,τι και να πει κανείς, ένα ανεκτίμητο χρηματικό ισοδύναμο: Τι είναι ένα εκατομμύριο, σε σύγκριση, με αγνότητα, ή Μεγαλειότητα αυτές οι σφαίρες (σχετικά με τις διαστάσεις του παγκόσμιου σύμπαντος και περίπου πνευματικός κόσμοςβλέπε βιβλίο"AllatRa" και αναφορά«ΠΡΩΤΟΓΕΝΙΚΗ ΑΛΛΑΤΡΑ ΦΥΣΙΚΗ»), στην οποία ανίκανος να διεισδύσειακόμα και ανθρώπινο φαντασία (μυαλό);! Τι είναι ένα εκατομμύριο έναστρος ουρανόςγια ώρα?

Ας δώσουμε μια ερμηνεία των υπόλοιπων όρων που εμφανίζονται στη διατύπωση της υπόθεσης:

Τοπολογία - (από το ελληνικό τόπος - τόπος και logos - διδασκαλία) - κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τοπολογικές ιδιότητες των σχημάτων, δηλ. ιδιότητες που δεν αλλάζουν κάτω από παραμορφώσεις που παράγονται χωρίς ασυνέχειες και κολλήσεις (ακριβέστερα, κάτω από ένα προς ένα και συνεχείς χαρτογραφήσεις). Παραδείγματα τοπολογικών ιδιοτήτων των σχημάτων είναι η διάσταση, ο αριθμός των καμπυλών που δέσμευαν μια δεδομένη περιοχή και ούτω καθεξής. Έτσι, ένας κύκλος, μια έλλειψη, ένα τετράγωνο περίγραμμα έχουν τις ίδιες τοπολογικές ιδιότητες, αφού Αυτές οι γραμμές μπορούν να παραμορφωθούν η μία στην άλλη με τον τρόπο που περιγράφηκε παραπάνω. Ταυτόχρονα, ο δακτύλιος και ο κύκλος έχουν διαφορετικές τοπολογικές ιδιότητες: ο κύκλος οριοθετείται από ένα περίγραμμα και ο δακτύλιος από δύο.

Ο ομοιομορφισμός (ελληνικά ομοιο - όμοιο, μορφη - σχήμα) είναι μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ δύο τοπολογικών χώρων, κάτω από την οποία και οι δύο αμοιβαία αντίστροφες αντιστοιχίσεις που ορίζονται από αυτήν την αντιστοιχία είναι συνεχείς. Αυτές οι αντιστοιχίσεις ονομάζονται ομοιομορφικές ή τοπολογικές αντιστοιχίσεις, καθώς και ομοιομορφισμοί, και οι χώροι λέγεται ότι ανήκουν στον ίδιο τοπολογικό τύπο ονομάζονται ομοιομορφικοί ή τοπολογικά ισοδύναμοι.

Τρισδιάστατη πολλαπλότητα χωρίς όριο. Αυτό είναι ένα τέτοιο γεωμετρικό αντικείμενο, στο οποίο κάθε σημείο έχει μια γειτονιά με τη μορφή μιας τρισδιάστατης μπάλας. Παραδείγματα 3-πολλαπλών είναι, πρώτον, ολόκληρος ο τρισδιάστατος χώρος, που υποδεικνύεται με R3, καθώς και οποιαδήποτε ανοιχτά σύνολα σημείων στο R3, για παράδειγμα, το εσωτερικό ενός συμπαγούς δακτύλου (ντόνατ). Αν θεωρήσουμε έναν κλειστό συμπαγή τόρο, δηλ. Αν προσθέσουμε τα οριακά του σημεία (την επιφάνεια ενός τόρου), τότε θα πάρουμε μια πολλαπλότητα με όριο - τα οριακά σημεία δεν έχουν γειτονιές με τη μορφή μπάλας, αλλά μόνο με τη μορφή του μισού της μπάλας.

Ένας συμπαγής δακτύλιος (συμπαγής τόρος) είναι ένα γεωμετρικό σώμα ομοιομορφικό προς το γινόμενο ενός δισδιάστατου δίσκου και ενός κύκλου D2 * S1. Ανεπίσημα, ένας συμπαγής τόρος είναι ένα ντόνατ, ενώ ένας δακτύλιος είναι μόνο η επιφάνειά του (ένας κοίλος θάλαμος ενός τροχού).

Απλά συνδεδεμένο. Σημαίνει ότι οποιαδήποτε συνεχής κλειστή καμπύλη που βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα σε μια δεδομένη πολλαπλότητα μπορεί να συστέλλεται ομαλά σε ένα σημείο χωρίς να φύγει από αυτήν την πολλαπλότητα. Για παράδειγμα, μια συνηθισμένη δισδιάστατη σφαίρα στο R3 συνδέεται απλά (μια ελαστική ταινία, που εφαρμόζεται αυθαίρετα στην επιφάνεια ενός μήλου, μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο με μια ομαλή παραμόρφωση χωρίς να αφαιρείται η ελαστική ταινία από το μήλο). Από την άλλη, ο κύκλος και ο τόρος δεν συνδέονται απλά.

Συμπαγής. Μια πολλαπλότητα είναι συμπαγής εάν κάποια από τις ομοιομορφικές της εικόνες έχει οριοθετημένες διαστάσεις. Για παράδειγμα, ένα ανοιχτό διάστημα σε μια γραμμή (όλα τα σημεία ενός τμήματος εκτός από τα άκρα του) δεν είναι συμπαγές, αφού μπορεί να επεκταθεί συνεχώς σε μια άπειρη γραμμή. Αλλά ένα κλειστό τμήμα (με άκρα) είναι μια συμπαγής πολλαπλότητα με ένα όριο: για οποιαδήποτε συνεχή παραμόρφωση, τα άκρα πηγαίνουν σε ορισμένα συγκεκριμένα σημεία και ολόκληρο το τμήμα πρέπει να μπει σε μια οριοθετημένη καμπύλη που συνδέει αυτά τα σημεία.

Συνεχίζεται...

Ιλνάζ Μπασάροφ

Βιβλιογραφία:

– Έκθεση «PRIMARY ALLATRA PHYSICS» της διεθνούς ομάδας επιστημόνων του Διεθνούς Δημόσιου Κινήματος ALLATRA, επιμ. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Καινούρια. Α. «AllatRa», Κ.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Καινούρια. Α., «Sensei-IV», Κ.: LOTOS, 2013, 632 p. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, Διδάκτωρ Φυσικής και Μαθηματικών Επιστήμονας, Ανώτερος Ερευνητής, Παράρτημα Αγίας Πετρούπολης του Μαθηματικού Ινστιτούτου της Ρωσικής Ακαδημίας Επιστημών