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Come usare il compasso per sopracciglia leonardo. Bussole antiche del rapporto aureo Rapporto aureo generalizzato

La sezione aurea è il principio universale dell'armonia

"I gusti non discutono": quante volte ognuno di noi ha sentito questa formula e l'ha persino pronunciata. Accettandolo, siamo quindi pronti a difendere qualsiasi disgrazia che l'immaginazione umana può permettersi. Una persona profondamente egoista, pignola, appassionata, non abituata ad ascoltare il mondo in grande e in piccolo, semplicemente non ha motivo di sviluppare gusto e comprendere l'armonia, e quindi è in grado di generare l'estetica più mostruosa, chiamandola bellezza. "Non puoi vietare una bella vita", sputa l'abitante con labbra unte, difendendo i suoi gusti e vietando agli altri di discuterne. "Certo, certo, non discuteremo dei gusti! Ognuno ha ragione a modo suo, purché non ci danneggi", fanno eco gli animali sotto forma di persone, non comprendendosi più a fondo dei bisogni corporei. E si sistemano in squallide dimore, si imbottiscono di musica distruttiva, si nutrono di miseria dal banco di scuola, servendola sotto la salsa dell'ineluttabilità. Il declino dell'estetica, la disattenzione al bello è sempre il declino dell'umanità, che non vuole più sognare né tendere al bello. È sofferenza e morte.

È difficile per una singola persona resistere all'intero sistema della volgarità, ed è condannato a sottomettersi ad esso e perire se non ha una conoscenza sufficiente. Mi piacerebbe credere che la sensazione di bellezza, l'armonia del mondo viva in ogni persona: devi solo mostrarla, imparare a usarla.

Probabilmente è difficile trovare una misura affidabile per una valutazione obiettiva della bellezza stessa, e la logica da sola non basta qui. Tuttavia, l'esperienza di coloro per i quali la ricerca della bellezza era il senso stesso della vita, che ne ha fatto la loro professione, aiuterà qui. Prima di tutto, queste sono persone d'arte, come le chiamiamo noi: artisti, architetti, scultori, musicisti, scrittori. Ma queste sono anche persone delle scienze esatte, prima di tutto matematici.

Fidandosi dell'occhio più di altri organi di senso, una persona prima di tutto ha imparato a distinguere gli oggetti intorno a lui per forma. L'interesse per la forma di un oggetto può essere dettato da necessità vitali, oppure può essere causato dalla bellezza della forma. La forma, che si basa su una combinazione di simmetria e sezione aurea, contribuisce alla migliore percezione visiva e alla comparsa di un senso di bellezza e armonia. Il tutto consiste sempre di parti, parti di dimensioni diverse sono in una certa relazione tra loro e con il tutto. Il principio della sezione aurea è la più alta manifestazione della perfezione strutturale e funzionale dell'insieme e delle sue parti nell'arte, nella scienza, nella tecnologia e nella natura. Questa idea è stata condivisa e condivisa da molti eminenti scienziati moderni, dimostrando nei loro studi che la vera bellezza è sempre funzionale. Tra loro ci sono i progettisti di aeromobili. E architetti, antropologi e molti altri.

Storia della sezione aurea

È generalmente accettato che il concetto di divisione aurea sia stato introdotto nell'uso scientifico da Pitagora, un antico filosofo e matematico greco (VI secolo a.C.). Si presume che Pitagora abbia preso in prestito la sua conoscenza della divisione aurea dagli egiziani e dai babilonesi. In effetti, le proporzioni della piramide di Cheope, dei templi, dei bassorilievi, degli oggetti domestici e delle decorazioni della tomba di Tutankhamon indicano che gli artigiani egiziani usavano i rapporti della divisione aurea durante la loro creazione. L'architetto francese Le Corbusier ha scoperto che nel rilievo del tempio del faraone Seti I ad Abydos e nel rilievo raffigurante il faraone Ramses, le proporzioni delle figure corrispondono ai valori della divisione aurea. L'architetto Khesira, raffigurato su un rilievo di una tavola di legno dalla tomba del suo nome, tiene in mano strumenti di misura, in cui sono fissate le proporzioni della divisione aurea.

Il professore tedesco G.E. Timerding, che scrisse un libro sulla sezione aurea nel primo quarto del ventesimo secolo, afferma: "Tra i pitagorici<...>al pentagono regolare era associato il pensiero di forze e proprietà misteriose, ma queste proprietà si rivelano solo quando, accanto al pentagono regolare ordinario, si considera quella stella, che si ottiene collegando in sequenza attraverso uno di tutti i vertici di un pentagono ordinario , composto dalle diagonali del pentagono "- e ulteriori note: il pentagramma ha svolto un ruolo importante in tutte le scienze magiche. La stella a cinque punte, come mostra Timerding, è letteralmente imbottita delle proporzioni della sezione aurea.

I greci erano abili geometri. Anche l'aritmetica veniva insegnata ai loro figli con l'aiuto di figure geometriche. Il quadrato di Pitagora e la diagonale di questo quadrato erano la base per la costruzione di rettangoli dinamici.

Anche Platone (427...347 aC) conosceva la divisione aurea. Il Pitagorico Timeo, nell'omonimo dialogo di Platone, dice: "È impossibile che due cose siano perfettamente unite senza una terza, poiché deve apparire tra loro una cosa che le tenga insieme. Questo il modo migliore la proporzione può adempiere, perché se tre numeri hanno la proprietà che la media sta al minore come il maggiore sta alla media, e, viceversa, il minore sta alla media come la media sta al maggiore, allora l'ultimo e la prima sarà la media e la media sarà la prima e l'ultima. Quindi, tutto il necessario sarà lo stesso, e poiché sarà lo stesso, comporrà il tutto ". Platone costruisce il mondo terreno usando triangoli di due varietà: isoscele e non isosceli. Considera il più bello rettangolo triangolo per essere uno in cui l'ipotenusa è due volte più grande del più piccolo dei cateti (tale rettangolo è mezzo equilatero, la figura principale dei babilonesi, ha un rapporto di 1: 3 1/2, che differisce dal dorato rapporto di circa 1/25, ed è chiamato Timerding "oppositore della sezione aurea"). Utilizzando i triangoli, Platone costruisce quattro poliedri regolari, associandoli ai quattro elementi terrestri (terra, acqua, aria e fuoco). E solo l'ultimo dei cinque poliedri regolari esistenti - il dodecaedro, le cui dodici facce sono tutte pentagoni regolari, afferma di essere un'immagine simbolica del mondo celeste.

L'onore di scoprire il dodecaedro (o, come si supponeva, l'Universo stesso, questa quintessenza dei quattro elementi, simboleggiati rispettivamente dal tetraedro, dall'ottaedro, dall'icosaedro e dal cubo) spetta a Ippaso, che poi morì in un naufragio. Questa figura cattura davvero molti rapporti della sezione aurea, quindi a quest'ultimo è stato assegnato il ruolo principale nel mondo celeste, su cui ha successivamente insistito il fratello minore Luca Pacioli.

Nella facciata dell'antico tempio greco del Partenone ci sono proporzioni dorate. Durante i suoi scavi sono stati rinvenuti compassi, utilizzati da architetti e scultori del mondo antico. Il compasso pompeiano (Museo di Napoli) contiene anche le proporzioni della divisione aurea.

In quello che è arrivato fino a noi letteratura antica la divisione aurea è menzionata per la prima volta negli Elementi di Euclide. Nel 2° libro degli "Inizi" viene data la costruzione geometrica della divisione aurea. Dopo Euclide, Ipsicle (II secolo a.C.), Pappo (III secolo d.C.) e altri furono impegnati nello studio della divisione aurea. Nell'Europa medievale con la divisione aurea Ci siamo incontrati attraverso le traduzioni arabe degli "Inizi" di Euclide. Il traduttore J. Campano di Navarra (III secolo) ha commentato la traduzione. I segreti della divisione aurea erano gelosamente custoditi, tenuti in stretta segretezza. Erano conosciuti solo dagli iniziati.

Nel Medioevo il pentagramma fu demonizzato (come, del resto, molto di ciò che era considerato divino nell'antico paganesimo) e trovò rifugio nelle scienze occulte. Tuttavia, il Rinascimento riporta alla luce sia il pentagramma che la sezione aurea. Quindi, uno schema che descrive la struttura del corpo umano ha guadagnato ampia diffusione in quel periodo dell'affermazione dell'umanesimo:

Anche Leonardo da Vinci ricorse ripetutamente a tale immagine, riproducendo essenzialmente un pentagramma. La sua interpretazione: il corpo umano ha divine perfezione, perché le proporzioni in esso inerenti sono le stesse della figura celeste principale. Leonardo da Vinci, artista e scienziato, vide che gli artisti italiani avevano molta esperienza empirica, ma poca conoscenza. Concepì e iniziò a scrivere un libro sulla geometria, ma in quel momento apparve un libro del monaco Luca Pacioli e Leonardo abbandonò la sua idea. Secondo contemporanei e storici della scienza, Luca Pacioli fu un vero e proprio luminare, il più grande matematico italiano tra Fibonacci e Galileo. Luca Pacioli fu allievo dell'artista Piero della Francesca, che scrisse due libri, uno dei quali si intitolava Sulla prospettiva nella pittura. È considerato il creatore della geometria descrittiva.

Luca Pacioli era ben consapevole dell'importanza della scienza per l'arte. Nel 1496, su invito del duca di Moreau, venne a Milano, dove tenne lezioni di matematica. Leonardo da Vinci lavorava in quel periodo anche alla corte del Moro a Milano. Nel 1509 fu pubblicato a Venezia un libro di Luca Pacioli "Sulla proporzione divina"(De divina proporzionale, 1497, pubblicato a Venezia nel 1509) con illustrazioni di ottima fattura, motivo per cui si ritiene siano state realizzate da Leonardo da Vinci. Il libro era un inno entusiasta alla sezione aurea. C'è solo una tale proporzione, e l'unicità è il più alto attributo di Dio. Incarna la santissima trinità. Questa proporzione non può essere espressa da un numero accessibile, rimane nascosta e segreta, ed è chiamata irrazionale dagli stessi matematici (quindi Dio non può essere né definito né spiegato con le parole). Dio non cambia mai e rappresenta tutto in tutto e tutto in ciascuna delle sue parti, quindi il rapporto aureo per qualsiasi quantità continua e definita (indipendentemente dal fatto che sia grande o piccola) è lo stesso, non può essere cambiato o altrimenti percepito dalla mente. Dio ha chiamato all'esistenza la virtù celeste, altrimenti chiamata la quinta sostanza, con il suo aiuto altri quattro corpi semplici (quattro elementi: terra, acqua, aria, fuoco), e sulla base di essi ha chiamato all'esistenza ogni altra cosa in natura; così la nostra proporzione sacra, secondo Platone nel Timeo, dà essere formale al cielo stesso, poiché è attribuita alla forma di un corpo chiamato dodecaedro, che non può essere costruito senza la sezione aurea. Questi gli argomenti di Pacioli.

Anche Leonardo da Vinci prestò molta attenzione allo studio della divisione aurea. Realizzò sezioni di un corpo stereometrico formato da pentagoni regolari, e ogni volta ottenne rettangoli con proporzioni in divisione aurea. Quindi ha dato a questa divisione il nome rapporto aureo. Quindi è ancora il più popolare.

Contemporaneamente, nel nord Europa, in Germania, Albrecht Dürer lavorava sugli stessi problemi. Abbozza un'introduzione alla prima bozza di un trattato sulle proporzioni. Dürer scrive. "È necessario che chi lo sa lo insegni ad altri che ne hanno bisogno. Questo è quello che mi sono proposto di fare."

A giudicare da una delle lettere di Dürer, ha incontrato Luca Pacioli durante il suo soggiorno in Italia. Albrecht Dürer sviluppa in dettaglio la teoria delle proporzioni del corpo umano. Dürer assegnò alla sezione aurea un posto importante nel suo sistema di rapporti. L'altezza di una persona è divisa in proporzioni auree dalla linea della cintura, così come dalla linea tracciata attraverso la punta delle dita medie delle mani abbassate, la parte inferiore del viso - dalla bocca, ecc. Compasso proporzionale noto Dürer.

Grande astronomo del XVI secolo Johannes Kepler ha definito il rapporto aureo uno dei tesori della geometria. È il primo ad attirare l'attenzione sul significato della sezione aurea per la botanica (crescita e struttura delle piante).

Keplero chiamò il rapporto aureo che continua se stesso: «È organizzato in modo tale», scrisse, «che i due termini minori di questa proporzione infinita si sommano al terzo termine, e due ultimi termini qualsiasi, se sommati insieme, danno il prossimo termine, e la stessa proporzione rimane fino all'infinito".

La costruzione di una serie di segmenti del rapporto aureo può essere fatta sia in direzione di aumento (serie crescente) sia in direzione di diminuzione (serie discendente).

Se su una linea retta di lunghezza arbitraria, posticipare il segmento M, mettere da parte un segmento M. Sulla base di questi due segmenti, costruiamo una scala di segmenti della proporzione aurea della serie ascendente e discendente

Nei secoli successivi, la regola del rapporto aureo si trasformò in un canone accademico, e quando, nel tempo, iniziò una lotta nell'arte con la routine accademica, nella foga della lotta "buttarono via il bambino con l'acqua". Il rapporto aureo è stato "scoperto" di nuovo in metà del diciannovesimo v. Nel 1855, il ricercatore tedesco della sezione aurea, il professor Zeising, pubblicò la sua opera "Ricerca estetica". Con Zeising doveva succedere esattamente quello che è successo al ricercatore che considera il fenomeno come tale, senza connessione con altri fenomeni. Ha assolutizzato la proporzione della sezione aurea, dichiarandola universale per tutti i fenomeni della natura e dell'arte. Zeising ebbe numerosi seguaci, ma vi furono anche oppositori che dichiararono la sua dottrina delle proporzioni "estetica matematica".

Zeising ha fatto un ottimo lavoro. Ha misurato circa duemila corpi umani ed è giunto alla conclusione che il rapporto aureo esprime la legge statistica media. La divisione del corpo per la punta dell'ombelico è l'indicatore più importante del rapporto aureo. Proporzioni corpo maschile fluttuano all'interno del rapporto medio di 13: 8 = 1,625 e sono leggermente più vicini al rapporto aureo rispetto alle proporzioni corpo femminile, rispetto al quale il valore medio della proporzione è espresso nel rapporto 8:5 = 1,6. In un neonato la proporzione è 1: 1, all'età di 13 anni è 1,6 e all'età di 21 anni è uguale al maschio. Le proporzioni della sezione aurea si manifestano anche in relazione ad altre parti del corpo: la lunghezza della spalla, dell'avambraccio e della mano, della mano e delle dita, ecc.

Zeising testò la validità della sua teoria sulle statue greche. Ha sviluppato le proporzioni dell'Apollo Belvedere nei minimi dettagli. Sono stati oggetto di ricerca vasi greci, strutture architettoniche di varie epoche, piante, animali, uova di uccelli, toni musicali, metri poetici. Zeising ha definito il rapporto aureo, ha mostrato come si esprime in segmenti di linea e in numeri. Quando furono ottenute le cifre che esprimevano le lunghezze dei segmenti, Zeising vide che costituivano una serie di Fibonacci, che poteva essere continuata all'infinito in una direzione e nell'altra. Il suo libro successivo era intitolato "La divisione aurea come legge morfologica fondamentale nella natura e nell'arte". Nel 1876 fu pubblicato in Russia un piccolo libro, quasi un opuscolo, che delineava il lavoro di Zeising. L'autore si rifugiò sotto la sigla Yu.F.V. In questa edizione non viene menzionato un solo dipinto.

IN fine XIX- primi del XX secolo. sono apparse molte teorie puramente formalistiche sull'uso della sezione aurea nelle opere d'arte e architettura. Con lo sviluppo del design e dell'estetica tecnica, la legge del rapporto aureo si è estesa al design di automobili, mobili, ecc.

Un po' di geometria

In matematica proporzione(lat. proportio) chiama l'uguaglianza di due relazioni: a:b = c:d.

Segmento AB può essere suddiviso in due parti nei seguenti modi:

in due parti uguali AB: AC = AB: BC;

in due parti disuguali in qualsiasi rapporto (tali parti non formano proporzioni);

cosi quando AB: AC = AC: BC.

Quest'ultima è la divisione aurea o divisione del segmento nel rapporto estremo e medio.

La sezione aurea è una tale divisione proporzionale di un segmento in parti disuguali, in cui l'intero segmento si riferisce alla parte maggiore nello stesso modo in cui la parte maggiore stessa si riferisce a quella minore; o in altre parole, il segmento più piccolo sta in relazione a quello più grande come quello più grande sta a tutto

a:b = b:cO c: b = b: a.

La conoscenza pratica della sezione aurea inizia con la divisione di un segmento di linea retta nella sezione aurea usando un compasso e un righello.

Da un punto IN viene ripristinata una perpendicolare pari alla metà AB. Punto ricevuto CON collegato da una linea a un punto UN. Sulla linea risultante viene disegnato un segmento sole, terminando con un punto D. Segmento ANNO DOMINI trasferita in linea retta AB. Il punto risultante E divide il segmento AB nella sezione aurea.

I segmenti del rapporto aureo sono espressi da una frazione irrazionale infinita AE= 0,618... se AB prendere come unità ESSERE\u003d 0,382 ... Per scopi pratici, vengono spesso utilizzati valori approssimativi di 0,62 e 0,38. Se il segmento AB preso come 100 parti, la parte più grande del segmento è 62 e la più piccola è 38 parti.

Le proprietà della sezione aurea sono descritte dall'equazione:

x2 - x - 1 = 0.

Soluzione a questa equazione:

Il secondo rapporto aureo

La rivista bulgara "Fatherland" (n. 10, 1983) ha pubblicato un articolo di Tsvetan Tsekov-Karandash "Sulla seconda sezione aurea", che segue dalla sezione principale e fornisce un altro rapporto di 44: 56.

Tale proporzione si trova in architettura, e si realizza anche nella costruzione di composizioni di immagini di formato orizzontale allungato.

La divisione viene eseguita come segue. Segmento ABè diviso secondo il rapporto aureo. Da un punto CON la perpendicolare viene ripristinata CD. Raggio AB c'è un punto D, che è collegato da una linea a un punto UN. Angolo retto ACDè diviso a metà. Da un punto CON viene tracciata una linea finché non si interseca con una linea ANNO DOMINI. Punto E divide il segmento ANNO DOMINI rispetto a 56:44.

La figura mostra la posizione della linea della seconda sezione aurea. Si trova nel mezzo tra la linea della sezione aurea e la linea mediana del rettangolo.

Triangolo d'oro

Per trovare segmenti del rapporto aureo delle serie ascendenti e discendenti, puoi usare pentagramma.

Per costruire un pentagramma, devi costruire un pentagono regolare. Il metodo della sua costruzione è stato sviluppato dal pittore e grafico tedesco Albrecht Dürer (1471...1528). Permettere O- il centro del cerchio UN- un punto sul cerchio e E- metà del segmento O.A. Perpendicolare al raggio O.A, restaurato al punto DI, interseca la circonferenza in un punto D. Usando una bussola, metti da parte un segmento sul diametro CE = ED. La lunghezza di un lato di un pentagono regolare inscritto in una circonferenza è CC. Mettere segmenti sul cerchio CC e ottieni cinque punti per disegnare un pentagono regolare. Colleghiamo gli angoli del pentagono attraverso una diagonale e otteniamo un pentagramma. Tutte le diagonali del pentagono si dividono in segmenti collegati dal rapporto aureo.

Ogni estremità della stella pentagonale è un triangolo d'oro. I suoi lati formano in alto un angolo di 36°, e la base appoggiata sul fianco lo divide in proporzione alla sezione aurea.

Disegniamo una linea retta AB. dal punto UN mettere da parte su di esso tre volte un segmento O di dimensioni arbitrarie, attraverso il punto risultante R tracciare una perpendicolare alla retta AB, sulla perpendicolare a destra ea sinistra del punto R mettere da parte i segmenti DI. Punti ricevuti D E d1 collegare con una linea retta UN. Segmento gg1 mettere in riga Annuncio1, ottenendo un punto CON. Ha diviso la linea Annuncio1 in proporzione al rapporto aureo. linee Annuncio1 E gg1 usato per costruire un rettangolo "d'oro".

Serie di Fibonacci

Il nome del monaco matematico italiano Leonardo da Pisa, meglio noto come Fibonacci (figlio di Bonacci), è indirettamente collegato alla storia della sezione aurea. Ha viaggiato molto in Oriente, ha introdotto l'Europa ai numeri indiani (arabi). Nel 1202 fu pubblicata la sua opera matematica "Il libro dell'abaco" (tavola di conteggio), in cui erano raccolti tutti i problemi allora conosciuti. Uno dei compiti diceva "Quante coppie di conigli nasceranno in un anno da una coppia". Riflettendo su questo argomento, Fibonacci ha costruito la seguente serie di numeri:

Mesi

eccetera.

Coppie di conigli

eccetera.

Una serie di numeri 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ecc. conosciuta come la serie di Fibonacci. La particolarità della sequenza di numeri è che ciascuno dei suoi membri, a partire dal terzo, è uguale alla somma dei due precedenti 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, ecc., E il rapporto tra numeri adiacenti della serie si avvicina al rapporto della divisione aurea. Quindi, 21:34 = 0,617 e 34:55 = 0,618. Questo rapporto è indicato dal simbolo Ф. Solo questo rapporto - 0,618: 0,382 - dà una divisione continua di un segmento di linea retta nel rapporto aureo, aumentandolo o diminuendolo all'infinito, quando il segmento più piccolo è correlato a quello più grande come quello più grande è per tutto.

Fibonacci si occupava anche delle esigenze pratiche del commercio: qual è il numero minimo di pesi che si possono usare per pesare una merce? Fibonacci dimostra che il seguente sistema di pesi è ottimale: 1, 2, 4, 8, 16...

La serie di Fibonacci sarebbe potuta rimanere solo un incidente matematico se non fosse stato per il fatto che tutti i ricercatori della divisione aurea nel mondo vegetale e animale, per non parlare dell'arte, arrivavano invariabilmente a questa serie come espressione aritmetica della legge della divisione aurea .

Gli scienziati hanno continuato a sviluppare attivamente la teoria dei numeri di Fibonacci e il rapporto aureo. Yu Matiyasevich risolve il decimo problema di Hilbert usando i numeri di Fibonacci. Esistono metodi eleganti per risolvere una serie di problemi cibernetici (teoria della ricerca, giochi, programmazione) utilizzando i numeri di Fibonacci e la sezione aurea. Negli Stati Uniti viene creata anche la Mathematical Fibonacci Association, che pubblica una rivista speciale dal 1963.

I fatti che confermano l'esistenza delle sezioni auree e dei loro derivati \u200b\u200bin natura sono forniti dallo scienziato bielorusso E.M. Soroko nel libro "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Risulta, ad esempio, che le leghe binarie ben studiate hanno proprietà funzionali speciali e pronunciate (termicamente stabili, dure, resistenti all'usura, resistenti all'ossidazione, ecc.) solo se i pesi specifici dei componenti iniziali sono correlati tra loro da uno di proporzioni auree. Ciò ha permesso all'autore di avanzare l'ipotesi che le sezioni auree siano costanti numeriche per sistemi auto-organizzanti. Confermata sperimentalmente, questa ipotesi può essere di fondamentale importanza per lo sviluppo della sinergia, un nuovo campo della scienza che studia i processi nei sistemi auto-organizzanti.

Principi di modellatura in natura

Tutto ciò che ha assunto una forma si è formato, è cresciuto, ha cercato di prendere posto nello spazio e di preservarsi. Questa aspirazione trova realizzazione principalmente in due varianti: crescita verso l'alto o diffusione sulla superficie della terra e torsione a spirale.

Il guscio è attorcigliato a spirale. Se lo apri, ottieni una lunghezza leggermente inferiore alla lunghezza del serpente. Una piccola conchiglia di dieci centimetri ha una spirale lunga 35 cm Le spirali sono molto comuni in natura. Il concetto del rapporto aureo sarà incompleto, se non per dire della spirale.

La forma della conchiglia a spirale attirò l'attenzione di Archimede. Lo studiò e ne dedusse l'equazione della spirale. La spirale disegnata secondo questa equazione è chiamata con il suo nome. L'aumento del suo passo è sempre uniforme. Attualmente, la spirale di Archimede è ampiamente utilizzata in ingegneria.

Anche Goethe ha sottolineato la tendenza della natura alla spirale. La disposizione a spirale ea spirale delle foglie sui rami degli alberi è stata notata molto tempo fa. La spirale è stata vista nella disposizione dei semi di girasole, nelle pigne, negli ananas, nei cactus, ecc. Il lavoro congiunto di botanici e matematici ha fatto luce su questi straordinari fenomeni naturali. Si è scoperto che nella disposizione delle foglie su un ramo (phylotaxis), semi di girasole, pigne, si manifesta la serie di Fibonacci e quindi si manifesta la legge della sezione aurea. Il ragno gira la sua tela a spirale. Un uragano è a spirale. Un branco spaventato di renne si disperde in una spirale. La molecola di DNA è attorcigliata in una doppia elica. Goethe chiamava la spirale "la curva della vita".

Tra le erbe lungo la strada cresce una pianta insignificante: la cicoria. Diamo un'occhiata più da vicino. Un ramo è stato formato dal gambo principale. Ecco la prima foglia.

Riso. 12. Cicoria

Il processo fa una forte espulsione nello spazio, si ferma, rilascia una foglia, ma già più corta della prima, fa di nuovo un'espulsione nello spazio, ma di forza minore, rilascia una foglia di dimensioni ancora più piccole ed espulsione di nuovo. Se il primo valore anomalo è considerato come 100 unità, il secondo è 62 unità, il terzo è 38, il quarto è 24 e così via. Anche la lunghezza dei petali è soggetta al rapporto aureo. Nella crescita, nella conquista dello spazio, la pianta ha mantenuto certe proporzioni. I suoi impulsi di crescita diminuirono gradualmente in proporzione al rapporto aureo.

Riso. 13.lucertola vivipara

In una lucertola, a prima vista, vengono catturate proporzioni piacevoli ai nostri occhi: la lunghezza della sua coda si riferisce alla lunghezza del resto del corpo da 62 a 38.

Sia nel mondo vegetale che in quello animale, la tendenza alla costruzione della forma della natura irrompe costantemente: la simmetria rispetto alla direzione della crescita e del movimento. Qui il rapporto aureo appare nelle proporzioni delle parti perpendicolari alla direzione di crescita.

La natura ha effettuato la divisione in parti simmetriche e proporzioni auree. In parti si manifesta una ripetizione della struttura del tutto.

Riso. 14. uovo di uccello

Il grande Goethe, poeta, naturalista e artista (disegnava e dipingeva ad acquerello), sognava di creare una dottrina unificata della forma, formazione e trasformazione dei corpi organici. Fu lui a introdurre il termine morfologia nell'uso scientifico.

Pierre Curie all'inizio del nostro secolo ha formulato una serie di profonde idee di simmetria. Ha sostenuto che non si può considerare la simmetria di alcun corpo senza tener conto della simmetria dell'ambiente.

Regolarità di simmetria "aurea" si manifestano nelle transizioni energetiche delle particelle elementari, nella struttura di alcuni composti chimici, nei sistemi planetari e spaziali, nelle strutture geniche degli organismi viventi. Questi schemi, come indicato sopra, sono nella struttura dei singoli organi umani e del corpo nel suo insieme, e si manifestano anche nei bioritmi e nel funzionamento del cervello e nella percezione visiva.

Rapporto aureo e simmetria

La sezione aurea non può essere considerata in sé, separatamente, senza connessione con la simmetria. Il grande cristallografo russo G.V. Wulff (1863...1925) considerava la sezione aurea una delle manifestazioni della simmetria.

La divisione aurea non è una manifestazione di asimmetria, qualcosa di opposto alla simmetria.Secondo i concetti moderni, la divisione aurea è una simmetria asimmetrica. La scienza della simmetria include concetti come statico E simmetria dinamica. La simmetria statica caratterizza il riposo, l'equilibrio e la simmetria dinamica caratterizza il movimento, la crescita. Quindi, in natura, la simmetria statica è rappresentata dalla struttura dei cristalli, e nell'arte caratterizza la pace, l'equilibrio e l'immobilità. La simmetria dinamica esprime l'attività, caratterizza il movimento, lo sviluppo, il ritmo, è la prova della vita. La simmetria statica è caratterizzata da segmenti uguali, grandezze uguali. La simmetria dinamica è caratterizzata da un aumento dei segmenti o dalla loro diminuzione, ed è espressa nei valori della sezione aurea.

Osserva e applica

Comprendere e utilizzare il principio della sezione aurea non dovrebbe essere il destino di alcune élite: questa è la conoscenza più elementare da cui iniziano le leggi infinitamente complesse dell'armonia e della proporzione. Non ci sono limiti all'applicazione significativa di queste leggi nella vita di tutti i giorni. L'assegnazione del principale e del secondario in relazione al tutto può riguardare qualsiasi cosa. Questa è la distribuzione del proprio tempo e di qualsiasi processo creativo, inclusi tutti i tipi di arte, letteratura, musica e la formazione del proprio atteggiamento nei confronti di qualsiasi processo e fenomeno. Questa è la via d'oro, di mezzo, di cui parlavano gli antichi.

Ogni artista, ogni regista, ogni pubblicitario sa come rendere gradevole alla vista un'immagine, come costruirla secondo le leggi dell'armonia e della psicologia. percezione umana. A volte i peggiori nemici della cultura ottengono vittorie significative usando la conoscenza delle leggi della natura. Così, con il pretesto di qualcosa di piacevole e accattivante, spesso lasciamo che i veleni più forti entrino nei nostri cuori. Tante persone parlano di libertà, mentre loro stesse si avvelenano volontariamente, chiedendosi poi da dove vengano le loro malattie e disgrazie.

Non può esserci libertà nell'ignoranza. La rugosità e l'illeggibilità del gusto devono essere superate. Lascia che questa sia la preoccupazione sia degli individui che delle comunità e degli stati.

Compilato da R. Annenkov

Una persona distingue gli oggetti intorno a lui per forma. L'interesse per la forma di un oggetto può essere dettato da necessità vitali, oppure può essere causato dalla bellezza della forma. La forma, che si basa su una combinazione di simmetria e sezione aurea, contribuisce alla migliore percezione visiva e alla comparsa di un senso di bellezza e armonia. Il tutto consiste sempre di parti, parti di dimensioni diverse sono in una certa relazione tra loro e con il tutto. Il principio della sezione aurea è la più alta manifestazione della perfezione strutturale e funzionale dell'insieme e delle sue parti nell'arte, nella scienza, nella tecnologia e nella natura.

Rapporto aureo - Proporzione armonica

In matematica proporzione(lat. proportio) chiama l'uguaglianza di due relazioni: UN : B = C : D.

Segmento AB può essere suddiviso in due parti nei seguenti modi:

in due parti uguali AB : AC = AB : sole;

in due parti disuguali in qualsiasi rapporto (tali parti non formano proporzioni);

cosi quando AB : AC = AC : sole.

Quest'ultima è la divisione aurea o divisione del segmento nel rapporto estremo e medio.

UN : B = B : C O Con : B = B : UN.

Riso. 1. immagine geometrica rapporto aureo

La conoscenza pratica della sezione aurea inizia con la divisione di un segmento di linea retta nella sezione aurea usando un compasso e un righello.

Riso. 2. Divisione di un segmento di linea secondo il rapporto aureo. AVANTI CRISTO = 1/2 AB; CD = AVANTI CRISTO

Le proprietà della sezione aurea sono descritte dall'equazione:

X 2 - X - 1 = 0.

Soluzione a questa equazione:

Le proprietà della sezione aurea hanno creato un'aura romantica di mistero e un culto quasi mistico intorno a questo numero.

Il secondo rapporto aureo

Tale proporzione si trova in architettura, e si realizza anche nella costruzione di composizioni di immagini di formato orizzontale allungato.

Riso. 3. Costruzione della seconda sezione aurea

La divisione viene eseguita come segue (vedi Fig. 3). Segmento ABè diviso secondo il rapporto aureo. Da un punto CON la perpendicolare viene ripristinata CD. Raggio AB c'è un punto D, che è collegato da una linea a un punto UN. Angolo retto ACDè diviso a metà. Da un punto CON viene tracciata una linea finché non si interseca con una linea ANNO DOMINI. Punto E divide il segmento ANNO DOMINI rispetto a 56:44.

Riso. 4. Divisione di un rettangolo per una linea del secondo rapporto aureo

Sulla fig. 4 mostra la posizione della linea della seconda sezione aurea. Si trova nel mezzo tra la linea della sezione aurea e la linea mediana del rettangolo.

Triangolo d'oro

Per trovare segmenti del rapporto aureo delle serie ascendenti e discendenti, puoi usare pentagramma.

Riso. 5. Costruzione di un pentagono regolare e di un pentagramma

Ogni estremità della stella pentagonale è un triangolo d'oro. I suoi lati formano in alto un angolo di 36°, e la base appoggiata sul fianco lo divide in proporzione alla sezione aurea.

Riso. 6. Costruzione del triangolo d'oro

Disegniamo una linea retta AB. dal punto UN posare un segmento su di esso tre volte DI valore arbitrario, attraverso il punto risultante R tracciare una perpendicolare alla retta AB, sulla perpendicolare a destra ea sinistra del punto R mettere da parte i segmenti DI. Punti ricevuti D E D 1 collegare con linee rette a un punto UN. Segmento gg 1 messo da parte sulla linea Anno Domini 1, ottenendo un punto CON. Ha diviso la linea Anno Domini 1 in proporzione al rapporto aureo. linee Anno Domini 1 e gg 1 è usato per costruire un rettangolo "dorato".

Storia della sezione aurea

Riso. 7. Rettangoli dinamici

Anche Platone (427...347 aC) conosceva la divisione aurea. Il suo dialogo "Timeo" è dedicato alle visioni matematiche ed estetiche della scuola di Pitagora e, in particolare, alle questioni della divisione aurea.

Riso. 8. Bussole antiche sezione aurea

Nell'antica letteratura che ci è pervenuta, la divisione aurea è stata menzionata per la prima volta negli Elementi di Euclide. Nel 2° libro degli "Inizi" viene data la costruzione geometrica della divisione aurea. Dopo Euclide, Ipsicle (II secolo a.C.), Pappo (III secolo d.C.) e altri furono impegnati nello studio della divisione aurea. Nell'Europa medievale con la divisione aurea Ci siamo incontrati attraverso le traduzioni arabe degli Elementi di Euclide. Il traduttore J. Campano di Navarra (III secolo) ha commentato la traduzione. I segreti della divisione aurea erano gelosamente custoditi, tenuti in stretta segretezza. Erano conosciuti solo dagli iniziati.

Durante il Rinascimento, l'interesse per la divisione aurea tra scienziati e artisti aumentò in connessione con il suo uso sia nella geometria che nell'arte, specialmente nell'architettura Leonardo da Vinci, artista e scienziato, vide che gli artisti italiani avevano una grande esperienza empirica, ma poca conoscenza . Concepì e iniziò a scrivere un libro sulla geometria, ma in quel momento apparve un libro del monaco Luca Pacioli e Leonardo abbandonò la sua idea. Secondo contemporanei e storici della scienza, Luca Pacioli fu un vero e proprio luminare, il più grande matematico italiano tra Fibonacci e Galileo. Luca Pacioli fu allievo dell'artista Piero della Francesca, che scrisse due libri, uno dei quali si intitolava Sulla prospettiva nella pittura. È considerato il creatore della geometria descrittiva.

Contemporaneamente, nel nord Europa, in Germania, Albrecht Dürer lavorava sugli stessi problemi. Abbozza un'introduzione alla prima bozza di un trattato sulle proporzioni. Dürer scrive. “È necessario che chi sa qualcosa la insegni ad altri che ne hanno bisogno. Questo è quello che ho deciso di fare".

Keplero chiamò il rapporto aureo auto-continuante: «È organizzato in modo tale», scrisse, «che i due termini minori di questa proporzione infinita si sommano al terzo termine, e gli ultimi due termini qualsiasi, se sommati insieme, danno il termine successivo, e la stessa proporzione rimane fino all'infinito."

La costruzione di una serie di segmenti del rapporto aureo può essere fatta sia in direzione di aumento (serie crescente) sia in direzione di diminuzione (serie discendente).

Riso. 9. Costruire una scala di segmenti del rapporto aureo

Nei secoli successivi, la regola del rapporto aureo si trasformò in un canone accademico e quando, nel tempo, iniziò una lotta nell'arte con la routine accademica, nella foga della lotta, "hanno buttato fuori il bambino con l'acqua". La sezione aurea fu nuovamente “scoperta” a metà del XIX secolo. Nel 1855, il ricercatore tedesco della sezione aurea, il professor Zeising, pubblicò la sua opera Aesthetic Research. Con Zeising doveva succedere esattamente quello che è successo al ricercatore che considera il fenomeno come tale, senza connessione con altri fenomeni. Ha assolutizzato la proporzione della sezione aurea, dichiarandola universale per tutti i fenomeni della natura e dell'arte. Zeising ebbe numerosi seguaci, ma vi furono anche oppositori che dichiararono la sua dottrina delle proporzioni "estetica matematica".

Riso. 10. Proporzioni dorate in parti del corpo umano

Zeising ha fatto un ottimo lavoro. Ha misurato circa duemila corpi umani ed è giunto alla conclusione che il rapporto aureo esprime la legge statistica media. La divisione del corpo per la punta dell'ombelico è l'indicatore più importante del rapporto aureo. Le proporzioni del corpo maschile oscillano all'interno del rapporto medio di 13: 8 = 1,625 e sono in qualche modo più vicine al rapporto aureo rispetto alle proporzioni del corpo femminile, rispetto alle quali il valore medio della proporzione è espresso nel rapporto 8: 5 = 1,6. In un neonato la proporzione è 1: 1, all'età di 13 anni è 1,6 e all'età di 21 anni è uguale al maschio. Le proporzioni della sezione aurea si manifestano anche in relazione ad altre parti del corpo: la lunghezza della spalla, dell'avambraccio e della mano, della mano e delle dita, ecc.

Riso. undici. Proporzioni auree nella figura umana

Alla fine del XIX - inizio del XX secolo. sono apparse molte teorie puramente formalistiche sull'uso della sezione aurea nelle opere d'arte e architettura. Con lo sviluppo del design e dell'estetica tecnica, la legge del rapporto aureo si è estesa al design di automobili, mobili, ecc.

Serie di Fibonacci

Il nome del monaco matematico italiano Leonardo da Pisa, meglio noto come Fibonacci (figlio di Bonacci), è indirettamente collegato alla storia della sezione aurea. Ha viaggiato molto in Oriente, ha introdotto l'Europa ai numeri indiani (arabi). Nel 1202 fu pubblicata la sua opera matematica The Book of the Abacus (Counting Board), in cui furono raccolti tutti i problemi conosciuti a quel tempo. Uno dei compiti diceva "Quante coppie di conigli nasceranno in un anno da una coppia". Riflettendo su questo argomento, Fibonacci ha costruito la seguente serie di numeri:

Una serie di numeri 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ecc. conosciuta come la serie di Fibonacci. La particolarità della sequenza di numeri è che ciascuno dei suoi membri, a partire dal terzo, è uguale alla somma dei due precedenti 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, ecc., E il rapporto tra numeri adiacenti della serie si avvicina al rapporto della divisione aurea. Quindi, 21:34 = 0,617 e 34:55 = 0,618. Questa relazione è simboleggiata F. Solo questo rapporto - 0,618: 0,382 - dà una divisione continua di un segmento di linea retta nel rapporto aureo, il suo aumento o diminuzione all'infinito, quando il segmento più piccolo è correlato a quello più grande, come quello più grande è a tutto.

Rapporto aureo generalizzato

Uno dei risultati in quest'area è la scoperta dei numeri di Fibonacci generalizzati e dei rapporti aurei generalizzati.

La serie di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) e la serie "binaria" dei pesi 1, 2, 4, 8, 16 da lui scoperte... sono completamente diverse a prima vista. Ma gli algoritmi per la loro costruzione sono molto simili tra loro: nel primo caso ogni numero è la somma del numero precedente con se stesso 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., nel secondo - questa è la somma dei due numeri precedenti 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... È possibile trovare una formula matematica generale da cui " serie binarie, e la serie di Fibonacci? O forse questa formula ci darà nuovi insiemi numerici con alcune nuove proprietà uniche?

Infatti, impostiamo il parametro numerico S, che può assumere qualsiasi valore: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Consideriamo una serie di numeri, S+ 1 i cui primi termini sono unità, e ciascuno dei successivi è uguale alla somma dei due termini del precedente e di quello separato dal precedente da S passi. Se N indichiamo l'esimo termine di questa serie con φ S ( N), quindi otteniamo la formula generale φ S ( N) = φ S ( N- 1) + φ S ( N - S - 1).

È ovvio che a S= 0 da questa formula otteniamo una serie "binaria", con S= 1 - Serie di Fibonacci, con S\u003d 2, 3, 4. nuova serie di numeri che vengono chiamati S-Numeri di Fibonacci.

IN vista generale d'oro S-proporzione è la radice positiva dell'equazione aurea S-sezioni x S+1 - x S - 1 = 0.

È facile dimostrarlo quando S= 0, otteniamo una divisione del segmento a metà e quando S= 1 - il familiare rapporto aureo classico.

Relazioni di vicini S-I numeri di Fibonacci con assoluta precisione matematica coincidono nel limite con l'oro S-proporzioni! I matematici in questi casi dicono che l'oro S-le sezioni sono invarianti numeriche S-Numeri di Fibonacci.

Fatti che confermano l'esistenza dell'oro S-sezioni in natura, lo scienziato bielorusso E.M. Soroko nel libro "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Risulta, ad esempio, che le leghe binarie ben studiate hanno proprietà funzionali speciali e pronunciate (termicamente stabili, dure, resistenti all'usura, resistenti all'ossidazione, ecc.) solo se i pesi specifici dei componenti iniziali sono correlati tra loro da uno d'oro S-proporzioni. Ciò ha permesso all'autore di avanzare un'ipotesi che l'oro S-le sezioni sono invarianti numeriche di sistemi auto-organizzanti. Essendo confermata sperimentalmente, questa ipotesi può essere di fondamentale importanza per lo sviluppo della sinergia, un nuovo campo della scienza che studia i processi nei sistemi auto-organizzanti.

Con codici dorati S-le proporzioni possono esprimere qualsiasi numero reale come somma di gradi d'oro S-proporzioni a coefficienti interi.

La differenza fondamentale tra questo metodo di codifica dei numeri è che le basi dei nuovi codici, che sono dorate S-proporzioni, S> 0 risultano essere numeri irrazionali. Pertanto, i nuovi sistemi numerici con basi irrazionali, per così dire, hanno messo "sottosopra" la gerarchia storicamente stabilita delle relazioni tra numeri razionali e irrazionali. Il fatto è che all'inizio furono "scoperti" i numeri naturali; allora i loro rapporti sono numeri razionali. E solo più tardi - dopo che i pitagorici scoprirono segmenti incommensurabili - apparvero numeri irrazionali. Ad esempio, nei sistemi numerici posizionali decimali, quinari, binari e altri classici, i numeri naturali - 10, 5, 2 - sono stati scelti come una sorta di principio fondamentale, da cui, secondo determinate regole, tutti gli altri naturali, oltre che razionali e sono stati costruiti numeri irrazionali.

Una sorta di alternativa ai metodi di numerazione esistenti è un nuovo sistema irrazionale, come principio fondamentale, il cui inizio è scelto come numero irrazionale (che, ricordiamo, è la radice dell'equazione della sezione aurea); altri numeri reali sono già espressi attraverso di esso.

In un tale sistema numerico, qualsiasi numero naturale è sempre rappresentabile come un numero finito - e non infinito, come si pensava in precedenza! - somme di gradi di uno qualsiasi dei dorati S-proporzioni. Questo è uno dei motivi per cui l'aritmetica "irrazionale", con la sua sorprendente semplicità ed eleganza matematica, sembra aver assorbito migliori qualità binario classico e aritmetica di "Fibonacci".

Principi di modellatura in natura

Riso. 12. Spirale di Archimede

Tra le erbe lungo la strada cresce una pianta insignificante: la cicoria. Diamo un'occhiata più da vicino. Un ramo è stato formato dal gambo principale. Ecco la prima foglia.

Riso. 13. Cicoria

Riso. 14. lucertola vivipara

In una lucertola, a prima vista, vengono catturate proporzioni piacevoli ai nostri occhi: la lunghezza della sua coda si riferisce alla lunghezza del resto del corpo da 62 a 38.

La natura ha effettuato la divisione in parti simmetriche e proporzioni auree. In parti si manifesta una ripetizione della struttura del tutto.

Riso. 15. uovo di uccello

I modelli di simmetria "d'oro" si manifestano nelle transizioni energetiche delle particelle elementari, nella struttura di alcuni composti chimici, nei sistemi planetari e spaziali, nelle strutture geniche degli organismi viventi. Questi schemi, come indicato sopra, sono nella struttura dei singoli organi umani e del corpo nel suo insieme, e si manifestano anche nei bioritmi e nel funzionamento del cervello e nella percezione visiva.

Rapporto aureo e simmetria

Rettangoli dinamici

Bussole antiche in rapporto aureo

Contemporaneamente, nel nord Europa, in Germania, Albrecht Dürer lavorava sugli stessi problemi. Abbozza un'introduzione alla prima bozza di un trattato sulle proporzioni. Dürer scrive. “È necessario che chi sa qualcosa la insegni ad altri che ne hanno bisogno. Questo è quello che ho deciso di fare".

La costruzione di una serie di segmenti del rapporto aureo può essere fatta sia in direzione di aumento (serie crescente) sia in direzione di diminuzione (serie discendente).

Costruire una scala di segmenti del rapporto aureo

Sin dai tempi antichi, le persone si sono preoccupate della questione se cose sfuggenti come la bellezza e l'armonia fossero soggette a calcoli matematici. Certo, tutte le leggi della bellezza non possono essere contenute in poche formule, ma studiando la matematica possiamo scoprire alcuni termini di bellezza: il rapporto aureo. Il nostro compito è scoprire cos'è la sezione aurea e stabilire dove l'umanità ha trovato l'uso della sezione aurea.

Probabilmente hai prestato attenzione al fatto che trattiamo in modo diverso oggetti e fenomeni della realtà circostante. Essere H decenza, sii H l'uniformità, la sproporzione sono percepite da noi come brutte e producono un'impressione ripugnante. E oggetti e fenomeni, caratterizzati da misura, convenienza e armonia, sono percepiti come belli e ci provocano un sentimento di ammirazione, gioia, rallegramento.

Una persona nella sua attività incontra costantemente oggetti basati sulla sezione aurea. Ci sono cose che non si possono spiegare. Quindi vieni su una panchina vuota e ti siedi sopra. Dove ti siederai? nel mezzo? O forse dal limite? No, molto probabilmente né l'uno né l'altro. Ti siederai in modo tale che il rapporto tra una parte della panca e l'altra rispetto al tuo corpo sia di circa 1,62. Una cosa semplice, assolutamente istintiva... Seduto su una panchina, hai riprodotto la "sezione aurea".

La sezione aurea era conosciuta nell'antico Egitto e in Babilonia, in India e in Cina. Il grande Pitagora creò una scuola segreta dove studiò essenza mistica"sezione aurea". Euclide lo ha applicato, creando la sua geometria, e Fidia - le sue sculture immortali. Platone diceva che l'universo è disposto secondo la "sezione aurea". Aristotele trovò la corrispondenza della "sezione aurea" con la legge etica. La più alta armonia della "sezione aurea" sarà predicata da Leonardo da Vinci e Michelangelo, perché la bellezza e la "sezione aurea" sono la stessa cosa. E i mistici cristiani disegneranno pentagrammi della "sezione aurea" sui muri dei loro monasteri, in fuga dal Diavolo. Allo stesso tempo, gli scienziati - da Pacioli a Einstein - lo cercheranno, ma non lo troveranno mai. valore esatto. Essere H l'ultima riga dopo la virgola è 1,6180339887... Una cosa strana, misteriosa, inspiegabile: questa proporzione divina accompagna misticamente tutti gli esseri viventi. La natura inanimata non sa cosa sia la "sezione aurea". Ma vedrai sicuramente questa proporzione nelle curve delle conchiglie marine, e sotto forma di fiori, e sotto forma di coleotteri, e in un bellissimo corpo umano. Tutto ciò che è vivente e tutto ciò che è bello - tutto obbedisce alla legge divina, il cui nome è la "sezione aurea". Quindi qual è il "rapporto aureo"? Qual è questa combinazione perfetta e divina? Forse è la legge della bellezza? O è ancora un segreto mistico? Fenomeno scientifico o principio etico? La risposta è ancora sconosciuta. Più precisamente - no, è noto. La "sezione aurea" è sia quella, sia un'altra, e la terza. Solo non separatamente, ma allo stesso tempo ... E questo è il suo vero mistero, il suo grande segreto.

Probabilmente è difficile trovare una misura affidabile per una valutazione obiettiva della bellezza stessa, e la logica da sola non basta qui. Tuttavia, l'esperienza di coloro per i quali la ricerca della bellezza era il senso stesso della vita, che ne ha fatto la loro professione, aiuterà qui. Prima di tutto, queste sono persone d'arte, come le chiamiamo noi: artisti, architetti, scultori, musicisti, scrittori. Ma queste sono persone delle scienze esatte, prima di tutto matematici.

Fidandosi dell'occhio più che di altri organi di senso, l'Uomo imparò prima di tutto a distinguere gli oggetti che lo circondavano per forma. L'interesse per la forma di un oggetto può essere dettato da necessità vitali, oppure può essere causato dalla bellezza della forma. La forma, che si basa su una combinazione di simmetria e rapporto aureo, contribuisce alla migliore percezione visiva e alla comparsa di un senso di bellezza e armonia. Il tutto consiste sempre di parti, parti di dimensioni diverse sono in una certa relazione tra loro e con il tutto. Il principio della sezione aurea è la più alta manifestazione della perfezione strutturale e funzionale dell'insieme e delle sue parti nell'arte, nella scienza, nella tecnologia e nella natura.

SEZIONE Aurea - PROPORZIONE ARMONICA

In matematica, una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti:

Il segmento di linea AB può essere diviso in due parti nei seguenti modi:

in due parti uguali - AB: AC = AB: BC;
in due parti disuguali in qualsiasi rapporto (tali parti non formano proporzioni);
quindi, quando AB:AC=AC:BC.

Quest'ultima è la divisione aurea (sezione).

La sezione aurea è tale divisione proporzionale di un segmento in parti disuguali, in cui l'intero segmento è in relazione con la parte maggiore nello stesso modo in cui la parte maggiore stessa è in relazione con quella minore, in altre parole, il segmento minore è relativo a quello più grande come quello più grande sta a tutto

a:b=b:c o c:b=b:a.

Rappresentazione geometrica del rapporto aureo

La conoscenza pratica della sezione aurea inizia con la divisione di un segmento di linea retta nella sezione aurea usando un compasso e un righello.

Divisione di un segmento di linea secondo il rapporto aureo. BC=1/2AB; CD=BC

Dal punto B viene ripristinata una perpendicolare pari alla metà AB. Il punto C risultante è collegato da una linea al punto A. Sulla linea risultante viene tracciato un segmento BC, che termina con il punto D. Il segmento AD viene trasferito sulla linea retta AB. Il punto risultante E divide il segmento AB nel rapporto del rapporto aureo.

I segmenti del rapporto aureo sono espressi senza H frazione finale AE=0.618..., se AB è preso come unità, BE=0.382... Per motivi pratici si usano spesso valori approssimativi di 0.62 e 0.38. Se il segmento AB è composto da 100 parti, la parte più grande del segmento è 62 e la parte più piccola 38 parti.

Le proprietà della sezione aurea sono descritte dall'equazione:

Soluzione a questa equazione:

Le proprietà del rapporto aureo hanno creato attorno a questo numero un'aura romantica di mistero e quasi una generazione mistica. Ad esempio, in una stella regolare a cinque punte, ogni segmento è diviso dal segmento che lo attraversa in proporzione al rapporto aureo (cioè il rapporto tra il segmento blu e il verde, il rosso con il blu, il verde con il viola, è 1,618).

SECONDA SEZIONE D'ORO

Questa proporzione si trova in architettura.

Costruzione della seconda sezione aurea

La divisione viene eseguita come segue. Il segmento AB è diviso in proporzione alla sezione aurea. Dal punto C, viene ripristinato il CD perpendicolare. Il raggio AB è il punto D, che è collegato da una linea al punto A. L'angolo retto ACD è bisecato. Si traccia una linea dal punto C all'intersezione con la linea AD. Il punto E divide il segmento AD rispetto a 56:44.

Divisione di un rettangolo per una linea del secondo rapporto aureo

La figura mostra la posizione della linea della seconda sezione aurea. Si trova nel mezzo tra la linea della sezione aurea e la linea mediana del rettangolo.

TRIANGOLO D'ORO (pentagramma)

Per trovare segmenti del rapporto aureo delle righe ascendenti e discendenti, puoi usare il pentagramma.

Costruzione di un pentagono regolare e di un pentagramma

Per costruire un pentagramma, devi costruire un pentagono regolare. Il metodo della sua costruzione è stato sviluppato dal pittore e grafico tedesco Albrecht Dürer. Sia O il centro della circonferenza, A un punto sulla circonferenza ed E il punto medio del segmento OA. La perpendicolare al raggio OA, rialzata nel punto O, interseca la circonferenza nel punto D. Utilizzando un compasso segnare sul diametro il segmento CE=ED. La lunghezza di un lato di un pentagono regolare inscritto in una circonferenza è DC. Mettiamo da parte i segmenti DC sul cerchio e otteniamo cinque punti per disegnare un pentagono regolare. Colleghiamo gli angoli del pentagono attraverso una diagonale e otteniamo un pentagramma. Tutte le diagonali del pentagono si dividono in segmenti collegati dal rapporto aureo.

Ogni estremità della stella pentagonale è un triangolo d'oro. I suoi lati formano un angolo di 36° in alto, e la base appoggiata sul lato lo divide in proporzione alla sezione aurea.

Disegna la retta AB. Dal punto A deponiamo su di esso un segmento O di dimensioni arbitrarie tre volte, attraverso il punto P risultante tracciamo una perpendicolare alla linea AB, sulla perpendicolare a destra ea sinistra del punto P rimandiamo i segmenti O. Il risultante i punti d e d 1 sono collegati da linee rette con il punto A. Segmento dd 1 lo mettiamo sulla linea Ad 1, ottenendo il punto C. Ha diviso la linea Ad 1 in proporzione al rapporto aureo. Le linee Ad 1 e dd 1 sono usate per costruire un rettangolo "dorato".

Costruzione del triangolo d'oro

STORIA DELLA SEZIONE AORATA

In effetti, le proporzioni della piramide di Cheope, dei templi, degli oggetti domestici e delle decorazioni della tomba di Tutankhamon indicano che gli artigiani egiziani usavano i rapporti della divisione aurea durante la loro creazione. L'architetto francese Le Corbusier ha scoperto che nel rilievo del tempio del faraone Seti I ad Abydos e nel rilievo raffigurante il faraone Ramses, le proporzioni delle figure corrispondono ai valori della divisione aurea. L'architetto Khesira, raffigurato su un rilievo di una tavola di legno dalla tomba del suo nome, tiene in mano strumenti di misura, in cui sono fissate le proporzioni della divisione aurea.

Rettangoli dinamici

Platone conosceva anche la divisione aurea. Il Pitagorico Timeo, nell'omonimo dialogo di Platone, dice: “È impossibile che due cose siano perfettamente unite senza una terza, poiché deve apparire tra loro una cosa che le tenga insieme. La proporzione può realizzare meglio questo, poiché se tre numeri hanno la proprietà che la media è correlata al minore come il maggiore sta alla media, e viceversa, il minore sta alla media come la media sta al maggiore, allora l'ultimo e il primo sarà il mezzo e il mezzo - il primo e l'ultimo. Quindi, tutto il necessario sarà lo stesso, e poiché sarà lo stesso, formerà un tutto. Platone costruisce il mondo terreno usando triangoli di due tipi: isoscele e non isosceli. Considera il triangolo rettangolo più bello quello in cui l'ipotenusa è due volte più piccola delle gambe (tale rettangolo è mezzo equilatero, la figura principale dei babilonesi, ha un rapporto di 1: 3 1/2 , che differisce dal rapporto aureo di circa 1/25, ed è chiamato Timerding "rivale del rapporto aureo"). Utilizzando i triangoli, Platone costruisce quattro poliedri regolari, associandoli ai quattro elementi terrestri (terra, acqua, aria e fuoco). E solo l'ultimo dei cinque poliedri regolari esistenti - il dodecaedro, le cui dodici facce sono tutte pentagoni regolari, afferma di essere un'immagine simbolica del mondo celeste.

icosaedro e dodecaedro

Bussole antiche in rapporto aureo

Nell'antica letteratura che ci è pervenuta, la divisione aurea è stata menzionata per la prima volta negli Elementi di Euclide. Nel 2° libro degli "Inizi" viene data la costruzione geometrica della divisione aurea. Dopo Euclide, Ipsicle (II secolo a.C.), Pappo (III secolo d.C.) e altri studiarono la divisione aurea, che nell'Europa medievale conobbero grazie alle traduzioni arabe degli "Inizi" di Euclide. Il traduttore J. Campano di Navarra (III secolo) ha commentato la traduzione. I segreti della divisione aurea erano gelosamente custoditi, tenuti in stretta segretezza. Erano conosciuti solo dagli iniziati.

Nel Medioevo il pentagramma fu demonizzato (come, del resto, molto di ciò che era considerato divino nell'antico paganesimo) e trovò rifugio nelle scienze occulte. Tuttavia, il Rinascimento riporta alla luce sia il pentagramma che la sezione aurea. Così, uno schema che descriveva la struttura del corpo umano ottenne ampia diffusione in quel periodo di affermazione dell'umanesimo.

Anche Leonardo da Vinci ricorse ripetutamente a tale immagine, riproducendo infatti un pentagramma. La sua interpretazione: il corpo umano ha la perfezione divina, perché le proporzioni in esso inerenti sono le stesse della figura celeste principale. Leonardo da Vinci, artista e scienziato, vide che gli artisti italiani avevano molta esperienza empirica, ma poca conoscenza. Concepì e iniziò a scrivere un libro sulla geometria, ma in quel momento apparve un libro del monaco Luca Pacioli e Leonardo abbandonò la sua idea. Secondo contemporanei e storici della scienza, Luca Pacioli fu un vero e proprio luminare, il più grande matematico italiano tra Fibonacci e Galileo. Luca Pacioli fu allievo dell'artista Piero della Francesca, che scrisse due libri, uno dei quali si intitolava Sulla prospettiva nella pittura. È considerato il creatore della geometria descrittiva.

Luca Pacioli era ben consapevole dell'importanza della scienza per l'arte.

Nel 1496, su invito del duca Moreau, venne a Milano, dove tenne lezioni di matematica. Leonardo da Vinci lavorava in quel periodo anche alla corte del Moro a Milano. Nel 1509 fu pubblicato a Venezia il De divina proporzionale di Luca Pacioli, 1497, pubblicato a Venezia nel 1509, con illustrazioni brillantemente eseguite, motivo per cui si ritiene che siano state realizzate da Leonardo da Vinci. Il libro era un inno entusiasta alla sezione aurea. C'è solo una tale proporzione e l'unicità è la più alta proprietà di Dio. Incarna la santissima trinità. Questa proporzione non può essere espressa da un numero accessibile, rimane nascosta e segreta, ed è chiamata irrazionale dagli stessi matematici (quindi Dio non può essere né definito né spiegato con le parole). Dio non cambia mai e rappresenta tutto in tutto e tutto in ogni sua parte, quindi il rapporto aureo per qualsiasi quantità continua e definita (indipendentemente che sia grande o piccola) è lo stesso, non può essere cambiato o cambiato altrimenti percepito dal mente. Dio ha chiamato all'esistenza la virtù celeste, altrimenti chiamata la quinta sostanza, con il suo aiuto altri quattro corpi semplici (quattro elementi: terra, acqua, aria, fuoco), e sulla base di essi ha chiamato all'esistenza ogni altra cosa in natura; così la nostra proporzione sacra, secondo Platone nel Timeo, dà essere formale al cielo stesso, poiché è attribuita alla forma di un corpo chiamato dodecaedro, che non può essere costruito senza la sezione aurea. Questi gli argomenti di Pacioli.

Anche Leonardo da Vinci prestò molta attenzione allo studio della divisione aurea. Realizzò sezioni di un corpo stereometrico formato da pentagoni regolari, e ogni volta ottenne rettangoli con proporzioni in divisione aurea. Pertanto, ha dato a questa divisione il nome della sezione aurea. Quindi è ancora il più popolare.

Contemporaneamente, nel nord Europa, in Germania, Albrecht Dürer lavorava sugli stessi problemi. Abbozza un'introduzione alla prima bozza di un trattato sulle proporzioni. Dürer scrive: “È necessario che chi sa qualcosa la insegni ad altri che ne hanno bisogno. Questo è quello che ho deciso di fare".

A giudicare da una delle lettere di Dürer, ha incontrato Luca Pacioli durante il suo soggiorno in Italia. Albrecht Dürer sviluppa in dettaglio la teoria delle proporzioni del corpo umano. Dürer assegnò alla sezione aurea un posto importante nel suo sistema di rapporti. L'altezza di una persona è divisa in proporzioni auree dalla linea di cintura, nonché da una linea tracciata attraverso la punta delle dita medie delle mani abbassate, la parte inferiore del viso - dalla bocca, ecc. Compasso proporzionale noto Dürer.

La costruzione di una serie di segmenti del rapporto aureo può essere fatta sia in direzione di aumento (serie crescente) sia in direzione di diminuzione (serie discendente).

Se su una linea retta di lunghezza arbitraria, posticipare il segmento M , mettere da parte un segmento M . Sulla base di questi due segmenti, costruiamo una scala di segmenti della proporzione aurea delle righe ascendenti e discendenti.

Costruire una scala di segmenti del rapporto aureo

Nei secoli successivi, la regola del rapporto aureo si trasformò in un canone accademico e quando, nel tempo, iniziò una lotta nell'arte con una routine accademica, nella foga della lotta, "hanno buttato fuori il bambino con l'acqua". La sezione aurea fu nuovamente “scoperta” a metà del XIX secolo.

Nel 1855, il ricercatore tedesco della sezione aurea, il professor Zeising, pubblicò la sua opera Aesthetic Research. Con Zeising doveva succedere esattamente quello che è successo al ricercatore che considera il fenomeno come tale, senza connessione con altri fenomeni. Ha assolutizzato la proporzione della sezione aurea, dichiarandola universale per tutti i fenomeni della natura e dell'arte. Zeising ebbe numerosi seguaci, ma vi furono anche oppositori che dichiararono la sua dottrina delle proporzioni "estetica matematica".

Zeising ha fatto un ottimo lavoro. Ha misurato circa duemila corpi umani ed è giunto alla conclusione che il rapporto aureo esprime la legge statistica media. La divisione del corpo per la punta dell'ombelico è l'indicatore più importante del rapporto aureo. Le proporzioni del corpo maschile oscillano all'interno del rapporto medio 13:8=1.625 e sono alquanto più vicine al rapporto aureo rispetto alle proporzioni del corpo femminile, rispetto alle quali il valore medio della proporzione è espresso nel rapporto 8:5 =1.6. In un neonato la proporzione è 1: 1, all'età di 13 anni è 1,6 e all'età di 21 anni è uguale al maschio. Le proporzioni della sezione aurea si manifestano anche in relazione ad altre parti del corpo: la lunghezza della spalla, dell'avambraccio e della mano, della mano e delle dita, ecc.

RAPPORTO AUREO E SIMMETRIA

La sezione aurea non può essere considerata in sé, separatamente, senza connessione con la simmetria. Il grande cristallografo russo G.V. Wulff (1863-1925) considerava la sezione aurea una delle manifestazioni della simmetria.

La divisione aurea non è una manifestazione di asimmetria, qualcosa di opposto alla simmetria. Secondo i concetti moderni, la divisione aurea è una simmetria asimmetrica. La scienza della simmetria include concetti come simmetria statica e dinamica. La simmetria statica caratterizza il riposo, l'equilibrio e la simmetria dinamica caratterizza il movimento, la crescita. Quindi, in natura, la simmetria statica è rappresentata dalla struttura dei cristalli, e nell'arte caratterizza la pace, l'equilibrio e l'immobilità. La simmetria dinamica esprime l'attività, caratterizza il movimento, lo sviluppo, il ritmo, è la prova della vita. La simmetria statica è caratterizzata da segmenti uguali, grandezze uguali. La simmetria dinamica è caratterizzata da un aumento dei segmenti o dalla loro diminuzione, ed è espressa nei valori della sezione aurea di una serie crescente o decrescente.

SERIE FIBONACCCI

Il nome del monaco matematico italiano Leonardo da Pisa, meglio noto come Fibonacci, è indirettamente collegato alla storia della sezione aurea. Ha viaggiato molto in Oriente, ha introdotto l'Europa ai numeri arabi. Nel 1202 fu pubblicata la sua opera matematica "Il libro dell'abaco" (tavola di conteggio), in cui erano raccolti tutti i problemi conosciuti a quel tempo.

Una serie di numeri 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ecc. conosciuta come la serie di Fibonacci. La particolarità della sequenza dei numeri è che ciascuno dei suoi membri, a partire dal terzo, è uguale alla somma dei due precedenti 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34, ecc., e il rapporto dei numeri adiacenti della serie si avvicina al rapporto della divisione aurea. Quindi, 21:34=0,617 e 34:55=0,618. Questo rapporto è indicato dal simbolo Ф Solo questo rapporto - 0,618: 0,382 - fornisce una divisione continua di un segmento di linea retta nel rapporto aureo, il suo aumento o diminuzione all'infinito, quando il segmento più piccolo è correlato a quello più grande come il quello più grande è per tutto.

Come mostrato nella figura sottostante, la lunghezza di ciascuna nocca del dito è correlata alla lunghezza della nocca successiva in una proporzione F. La stessa relazione è visibile in tutte le dita delle mani e dei piedi. Questa connessione è in qualche modo insolita, perché un dito è più lungo dell'altro senza alcuno schema visibile, ma questo non è casuale, proprio come tutto nel corpo umano non è casuale. Le distanze sulle dita, segnate da A a B a C a D a E, sono tutte in relazione tra loro nella proporzione F, come lo sono le falangi delle dita da F a G a H.

Dai un'occhiata a questo scheletro di rana e osserva come ogni osso si conforma al modello del rapporto F proprio come nel corpo umano.

RAPPORTO AUREO GENERALIZZATO

Gli scienziati hanno continuato a sviluppare attivamente la teoria dei numeri di Fibonacci e la sezione aurea. Yu Matiyasevich risolve il decimo problema di Hilbert usando i numeri di Fibonacci. Esistono metodi per risolvere una serie di problemi cibernetici (teoria della ricerca, giochi, programmazione) utilizzando i numeri di Fibonacci e la sezione aurea. Negli Stati Uniti viene creata anche la Mathematical Fibonacci Association, che dal 1963 pubblica una rivista speciale.

Uno dei risultati in quest'area è la scoperta dei numeri di Fibonacci generalizzati e dei rapporti aurei generalizzati.

La serie di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) e la serie "binaria" di pesi 1, 2, 4, 8 da lui scoperte sono completamente diverse a prima vista. Ma gli algoritmi per costruirli sono molto simili tra loro: nel primo caso ogni numero è la somma del numero precedente con se stesso 2=1+1; 4=2+2..., nel secondo - questa è la somma dei due numeri precedenti 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... È possibile trovare un calcolo matematico generale formula da quale "binario » serie, e la serie di Fibonacci? O forse questa formula ci darà nuovi insiemi numerici con alcune nuove proprietà uniche?

Impostiamo infatti un parametro numerico S, che può assumere qualsiasi valore: 0, 1, 2, 3, 4, 5... e separato dal precedente da S passi. Se denotiamo l'ennesimo membro di questa serie con? S (n), quindi otteniamo la formula generale? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Ovviamente, con S=0 da questa formula otterremo una serie "binaria", con S=1 - una serie di Fibonacci, con S=2, 3, 4. nuove serie di numeri, che si chiamano numeri S-Fibonacci.

Generalmente proporzione S dorataè la radice positiva dell'equazione della sezione S aurea x S+1 -x S -1=0.

È facile dimostrare che quando S=0 si ottiene la divisione del segmento a metà, e quando S=1 si ottiene la familiare sezione aurea classica.

I rapporti dei vicini numeri S di Fibonacci con assoluta precisione matematica coincidono al limite con le proporzioni S dorate! I matematici in questi casi affermano che le sezioni S dorate sono invarianti numeriche dei numeri S di Fibonacci.

I fatti che confermano l'esistenza di sezioni a S dorate in natura sono forniti dallo scienziato bielorusso E.M. Soroko nel libro "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Risulta, ad esempio, che le leghe binarie ben studiate hanno proprietà funzionali speciali e pronunciate (termicamente stabili, dure, resistenti all'usura, all'ossidazione, ecc.) solo se i pesi specifici dei componenti iniziali sono correlati tra loro per uno dalle proporzioni S dorate. Ciò ha permesso all'autore di avanzare l'ipotesi che le sezioni a S dorate siano invarianti numeriche dei sistemi auto-organizzanti. Essendo confermata sperimentalmente, questa ipotesi può essere di fondamentale importanza per lo sviluppo della sinergetica, un nuovo campo della scienza che studia i processi nei sistemi auto-organizzanti.

Utilizzando i codici delle proporzioni S auree, qualsiasi numero reale può essere espresso come somma di gradi di proporzioni S auree con coefficienti interi.

La differenza fondamentale tra questo metodo di codifica dei numeri è che le basi dei nuovi codici, che sono proporzioni S dorate, risultano essere numeri irrazionali per S>0. Pertanto, i nuovi sistemi numerici con basi irrazionali, per così dire, hanno messo "sottosopra" la gerarchia storicamente stabilita delle relazioni tra numeri razionali e irrazionali. Il fatto è che all'inizio furono "scoperti" i numeri naturali; allora i loro rapporti sono numeri razionali. E solo più tardi, dopo che i pitagorici scoprirono segmenti incommensurabili, apparvero numeri irrazionali. Ad esempio, nei sistemi numerici posizionali decimali, quinari, binari e altri classici, i numeri naturali sono stati scelti come una sorta di principio fondamentale: 10, 5, 2, da cui, secondo determinate regole, tutti gli altri naturali, oltre che razionali e sono stati costruiti numeri irrazionali.

Una sorta di alternativa ai metodi di numerazione esistenti è un nuovo sistema irrazionale, come principio fondamentale dell'inizio del calcolo di cui viene scelto un numero irrazionale (che, ricordiamo, è la radice dell'equazione della sezione aurea) ; altri numeri reali sono già espressi attraverso di esso.

In un tale sistema numerico, qualsiasi numero naturale è sempre rappresentabile come un numero finito - e non infinito, come si pensava in precedenza! sono le somme delle potenze di una qualsiasi delle proporzioni S auree. Questo è uno dei motivi per cui l'aritmetica "irrazionale", dotata di un'incredibile semplicità ed eleganza matematica, sembra aver assorbito le migliori qualità dell'aritmetica binaria classica e di "Fibonacci".

PRINCIPI DI FORMA IN NATURA

Tutto ciò che ha preso una forma, si è formato, è cresciuto, ha cercato di prendere posto nello spazio e di preservarsi. Questa aspirazione trova realizzazione principalmente in due varianti: crescita verso l'alto o diffusione sulla superficie della terra e torsione a spirale.

Anche Goethe ha sottolineato la tendenza della natura alla spirale. La disposizione a spirale ea spirale delle foglie sui rami degli alberi è stata notata molto tempo fa.

La spirale è stata vista nella disposizione dei semi di girasole, nelle pigne, negli ananas, nei cactus, ecc. Il lavoro congiunto di botanici e matematici ha fatto luce su questi straordinari fenomeni naturali. Si è scoperto che nella disposizione delle foglie su un ramo (phylotaxis), semi di girasole, pigne, si manifesta la serie di Fibonacci e quindi si manifesta la legge della sezione aurea. Il ragno gira la sua tela a spirale. Un uragano è a spirale. Un branco spaventato di renne si disperde in una spirale. La molecola di DNA è attorcigliata in una doppia elica. Goethe chiamava la spirale "la curva della vita".

Serie di Mandelbrot

La spirale aurea è strettamente correlata ai cicli. scienza moderna sul caos studia semplici operazioni cicliche con feedback e le forme frattali da essi generate, precedentemente sconosciute. La figura mostra la famosa serie di Mandelbrot, una pagina del dizionario H arti di modelli individuali, chiamati serie giuliane. Alcuni scienziati associano la serie di Mandelbrot a codice genetico nuclei cellulari. Un consistente aumento delle sezioni rivela frattali sorprendenti nella loro complessità artistica. E anche qui ci sono spirali logaritmiche! Ciò è tanto più importante perché sia la serie di Mandelbrot che quella di Julian non sono invenzioni della mente umana. Nascono dal regno dei prototipi di Platone. Come disse il dottor R. Penrose, "sono come l'Everest"

Tra le erbe lungo la strada cresce una pianta insignificante: la cicoria. Diamo un'occhiata più da vicino. Un ramo è stato formato dal gambo principale. Ecco la prima foglia.

L'appendice fa una forte espulsione nello spazio, si ferma, rilascia una foglia, ma già più corta della prima, fa di nuovo un'espulsione nello spazio, ma di forza minore, rilascia una foglia di dimensioni ancora inferiori ed espulsione di nuovo.

Se il primo valore anomalo è considerato come 100 unità, il secondo è 62 unità, il terzo è 38, il quarto è 24 e così via. Anche la lunghezza dei petali è soggetta al rapporto aureo. Nella crescita, nella conquista dello spazio, la pianta ha mantenuto certe proporzioni. I suoi impulsi di crescita diminuirono gradualmente in proporzione al rapporto aureo.

Cicoria

In molte farfalle, il rapporto tra le dimensioni delle parti toraciche e addominali del corpo corrisponde al rapporto aureo. Dopo aver ripiegato le ali, la farfalla notturna forma un triangolo equilatero regolare. Ma vale la pena allargare le ali e vedrai lo stesso principio di dividere il corpo in 2, 3, 5, 8. Anche la libellula è creata secondo le leggi del rapporto aureo: il rapporto tra le lunghezze della coda e il corpo è uguale al rapporto tra la lunghezza totale e la lunghezza della coda.

Nella lucertola, a prima vista, vengono catturate proporzioni piacevoli ai nostri occhi: la lunghezza della coda si riferisce alla lunghezza del resto del corpo da 62 a 38.

lucertola vivipara

Sia nel mondo vegetale che in quello animale, la tendenza modellante della natura irrompe con insistenza: la simmetria rispetto alla direzione della crescita e del movimento. Qui il rapporto aureo appare nelle proporzioni delle parti perpendicolari alla direzione di crescita.

La natura ha effettuato la divisione in parti simmetriche e proporzioni auree. In parti si manifesta una ripetizione della struttura del tutto.

Di grande interesse è lo studio delle forme delle uova degli uccelli. Le loro varie forme oscillano tra due tipi estremi: uno di essi è inscrivibile in un rettangolo della sezione aurea, l'altro in un rettangolo di modulo 1,272 (la radice del rapporto aureo)

Tali forme di uova di uccelli non sono casuali, poiché è stato ora stabilito che la forma delle uova descritta dal rapporto della sezione aurea corrisponde a caratteristiche di resistenza più elevate del guscio d'uovo.

Le zanne degli elefanti e dei mammut estinti, gli artigli dei leoni e i becchi dei pappagalli sono forme logaritmiche e ricordano la forma di un asse che tende a trasformarsi in una spirale.

Nella fauna selvatica sono diffuse forme basate sulla simmetria "pentagonale" (stella marina, ricci di mare, fiori).

Il rapporto aureo è presente nella struttura di tutti i cristalli, ma la maggior parte dei cristalli è microscopicamente piccola, quindi non possiamo vederli ad occhio nudo. Tuttavia, i fiocchi di neve, che sono anche cristalli d'acqua, sono abbastanza accessibili ai nostri occhi. Tutte le figure di squisita bellezza che formano i fiocchi di neve, tutti gli assi, i cerchi e le figure geometriche nei fiocchi di neve sono anch'esse sempre, senza eccezioni, costruite secondo la perfetta formula chiara della sezione aurea.

Nel microcosmo sono onnipresenti forme logaritmiche tridimensionali costruite secondo proporzioni auree. Ad esempio, molti virus hanno una forma geometrica tridimensionale di un icosaedro. Forse il più famoso di questi virus è il virus Adeno. Il guscio proteico dell'Adenovirus è formato da 252 unità di cellule proteiche disposte in una certa sequenza. Ad ogni angolo dell'icosaedro ci sono 12 unità di cellule proteiche a forma di prisma pentagonale e da questi angoli si estendono strutture simili a punte.

Virus dell'adeno

La sezione aurea nella struttura dei virus è stata scoperta per la prima volta negli anni '50. scienziati del Birkbeck College di Londra A. Klug e D. Kaspar. La prima forma logaritmica è stata rivelata di per sé dal virus Polyo. La forma di questo virus si è rivelata simile a quella del virus Rhino.

Sorge la domanda: come fanno i virus a formare forme tridimensionali così complesse, il cui dispositivo contiene la sezione aurea, che è abbastanza difficile da costruire anche con la nostra mente umana? Lo scopritore di queste forme di virus, il virologo A. Klug, fa il seguente commento: “Il dottor Kaspar ed io abbiamo dimostrato che per il guscio sferico del virus, la forma più ottimale è la simmetria come la forma dell'icosaedro. Un tale ordine riduce al minimo il numero di elementi di collegamento... La maggior parte dei cubi emisferici geodetici di Buckminster Fuller sono costruiti secondo un principio geometrico simile. L'installazione di tali cubi richiede uno schema esplicativo estremamente preciso e dettagliato, mentre i virus stessi inconsci costruiscono un guscio così complesso di unità cellulari proteiche elastiche e flessibili.

Il commento di Klug ricorda ancora una volta una verità estremamente evidente: nella struttura anche di un organismo microscopico, che gli scienziati classificano come "la forma di vita più primitiva", in questo caso un virus, c'è un piano chiaro e un progetto ragionevole ha stato implementato. Questo progetto è incomparabile nella sua perfezione e precisione di esecuzione con i progetti architettonici più avanzati creati dalle persone. Ad esempio, i progetti creati dal geniale architetto Buckminster Fuller.

I modelli tridimensionali del dodecaedro e dell'icosaedro sono presenti anche nella struttura degli scheletri dei microrganismi marini unicellulari radiolari (radiatori), il cui scheletro è costituito da silice.

I radiolari formano il loro corpo di una bellezza molto squisita e insolita. La loro forma è un dodecaedro regolare e da ciascuno dei suoi angoli crescono uno pseudo-allungamento-arto e altre forme insolite-crescite.

Il grande Goethe, poeta, naturalista e artista (dipingeva e dipingeva ad acquerello), sognava di creare una dottrina unificata della forma, formazione e trasformazione dei corpi organici. Fu lui a introdurre il termine morfologia nell'uso scientifico.

IL CORPO UMANO E LA SEZIONE Aurea

Tutte le ossa umane sono in proporzione alla sezione aurea. Proporzioni varie parti il nostro corpo è un numero molto vicino al rapporto aureo. Se queste proporzioni coincidono con la formula del rapporto aureo, allora l'aspetto o il corpo di una persona è considerato idealmente costruito.

Proporzioni dorate in parti del corpo umano

Se prendiamo il punto dell'ombelico come centro del corpo umano e la distanza tra il piede umano e il punto dell'ombelico come unità di misura, allora l'altezza di una persona equivale al numero 1.618.

la distanza dal livello della spalla alla sommità della testa e la dimensione della testa è 1:1.618;
la distanza dalla punta dell'ombelico alla sommità della testa e dal livello della spalla alla sommità della testa è 1:1.618;
la distanza dalla punta dell'ombelico alle ginocchia e dalle ginocchia ai piedi è 1:1.618;
la distanza dalla punta del mento alla punta del labbro superiore e dalla punta del labbro superiore alle narici è 1:1.618;
infatti, l'esatta presenza della proporzione aurea nel volto di una persona è l'ideale di bellezza per lo sguardo umano;
la distanza dalla punta del mento alla linea superiore delle sopracciglia e dalla linea superiore delle sopracciglia alla corona è 1:1.618;
altezza del viso/larghezza del viso;
il punto centrale di connessione delle labbra alla base del naso/lunghezza del naso;
altezza del viso/distanza dalla punta del mento al punto centrale della congiunzione delle labbra;
larghezza della bocca/larghezza del naso;
larghezza del naso/distanza tra le narici;
distanza tra le pupille / distanza tra le sopracciglia.

Basta avvicinare il palmo della mano a te ora e guardare attentamente indice, e troverai immediatamente la formula della sezione aurea.

Ogni dito della nostra mano è composto da tre falangi. La somma delle lunghezze delle prime due falangi del dito in relazione all'intera lunghezza del dito dà il rapporto aureo (con l'eccezione del pollice).

Inoltre, anche il rapporto tra il dito medio e il mignolo è uguale al rapporto aureo.

Una persona ha 2 mani, le dita di ciascuna mano sono costituite da 3 falangi (ad eccezione del pollice). Ogni mano ha 5 dita, cioè 10 in totale, ma ad eccezione di due pollici a due falange, vengono create solo 8 dita secondo il principio della sezione aurea. Considerando che tutti questi numeri 2, 3, 5 e 8 sono i numeri della sequenza di Fibonacci.

Va anche notato che nella maggior parte delle persone la distanza tra le estremità delle braccia aperte è uguale all'altezza.

Le verità della sezione aurea sono dentro di noi e nel nostro spazio. La particolarità dei bronchi che compongono i polmoni di una persona risiede nella loro asimmetria. I bronchi sono costituiti da due vie aeree principali, una (a sinistra) più lunga e l'altra (a destra) più corta. Si è constatato che questa asimmetria continua nei rami dei bronchi, in tutte le vie aeree minori. Inoltre, il rapporto tra la lunghezza dei bronchi corti e lunghi è anche il rapporto aureo ed è pari a 1:1,618.

Nell'orecchio interno umano c'è un organo coclea ("lumaca"), che svolge la funzione di trasmettere vibrazioni sonore. Questa struttura ossea è riempita di fluido e creata anche sotto forma di una lumaca, contenente una forma a spirale logaritmica stabile =73 0 43".

La pressione sanguigna cambia mentre il cuore batte. Raggiunge il suo massimo valore nel ventricolo sinistro del cuore al momento della sua contrazione (sistole). Nelle arterie durante la sistole dei ventricoli del cuore, la pressione sanguigna raggiunge un valore massimo pari a 115-125 mm Hg in una persona giovane e sana. Al momento del rilassamento del muscolo cardiaco (diastole), la pressione diminuisce a 70-80 mm Hg. Il rapporto tra la pressione massima (sistolica) e minima (diastolica) è in media di 1,6, cioè vicino al rapporto aureo.

Se prendiamo la pressione sanguigna media nell'aorta come unità, la pressione sanguigna sistolica nell'aorta è 0,382 e quella diastolica 0,618, cioè il loro rapporto corrisponde al rapporto aureo. Ciò significa che il lavoro del cuore in relazione ai cicli temporali e ai cambiamenti della pressione sanguigna sono ottimizzati secondo lo stesso principio della legge del rapporto aureo.

La molecola del DNA consiste di due eliche intrecciate verticalmente. Ognuna di queste spirali è lunga 34 angstrom e larga 21 angstrom. (1 angstrom è un centomilionesimo di centimetro).

La struttura della sezione dell'elica della molecola del DNA

Quindi 21 e 34 sono numeri che si susseguono nella sequenza dei numeri di Fibonacci, cioè il rapporto tra lunghezza e larghezza dell'elica logaritmica della molecola di DNA porta la formula della sezione aurea 1: 1.618.

SEZIONE AORATA NELLA SCULTURA

Sculture, monumenti vengono eretti per commemorare eventi significativi, per conservare nella memoria dei discendenti i nomi di personaggi famosi, le loro gesta e le loro gesta. È noto che anche nell'antichità la base della scultura era la teoria delle proporzioni. La relazione delle parti del corpo umano era associata alla formula della sezione aurea. Le proporzioni della "sezione aurea" creano l'impressione di armonia, bellezza, così gli scultori le hanno utilizzate nelle loro opere. Gli scultori affermano che la vita divide il corpo umano perfetto in relazione alla "sezione aurea". Per esempio, celebre statua L'Apollo del Belvedere è costituito da parti suddivise secondo rapporti aurei. Il grande scultore greco antico Fidia usava spesso la "sezione aurea" nelle sue opere. Le più famose erano la statua di Zeus Olimpio (che era considerata una delle meraviglie del mondo) e il Partenone di Atena.

La proporzione aurea della statua dell'Apollo del Belvedere è nota: l'altezza della persona raffigurata è divisa per la linea ombelicale nella sezione aurea.

SEZIONE D'ORO IN ARCHITETTURA

Nei libri sulla "sezione aurea" si può trovare l'osservazione che in architettura, come in pittura, tutto dipende dalla posizione dell'osservatore, e se alcune proporzioni in un edificio da un lato sembrano formare la "sezione aurea", quindi da altri punti di vista sembreranno diversi. La "sezione aurea" fornisce il rapporto più rilassato delle dimensioni di determinate lunghezze.

Una delle opere più belle dell'architettura greca antica è il Partenone (V secolo aC).

Visto nei disegni intera linea modelli associati alla sezione aurea. Le proporzioni dell'edificio possono essere espresse attraverso vari gradi del numero Ф = 0,618 ...

Il Partenone ha 8 colonne sui lati corti e 17 su quelli lunghi. Le sporgenze sono interamente realizzate in riquadri di marmo pentileano. La nobiltà del materiale con cui è stato costruito il tempio ha permesso di limitare l'uso del colore, comune nell'architettura greca, che enfatizza solo i dettagli e forma uno sfondo colorato (blu e rosso) per la scultura. Il rapporto tra l'altezza dell'edificio e la sua lunghezza è 0,618. Se dividiamo il Partenone secondo la "sezione aurea", otterremo alcune sporgenze della facciata.

Sulla planimetria del Partenone si possono vedere anche i "rettangoli aurei".

Possiamo vedere il rapporto aureo nella costruzione della cattedrale Notre Dame di Parigi(Notre Dame de Paris) e nella piramide di Cheope.

Non solo le piramidi egizie furono costruite secondo le perfette proporzioni della sezione aurea; lo stesso fenomeno si riscontra nelle piramidi messicane.

Per molto tempo credeva che gli architetti Rus' antica costruito tutto "a occhio", senza particolari calcoli matematici. Tuttavia, le ultime ricerche hanno dimostrato che gli architetti russi conoscevano bene le proporzioni matematiche, come evidenziato dall'analisi della geometria dei templi antichi.

Il famoso architetto russo M. Kazakov ha ampiamente utilizzato la "sezione aurea" nel suo lavoro. Il suo talento era poliedrico, ma in misura maggiore si è rivelato in numerosi progetti completati di edifici residenziali e tenute. Ad esempio, la "sezione aurea" si trova nell'architettura dell'edificio del Senato al Cremlino. Secondo il progetto di M. Kazakov, a Mosca è stato costruito l'ospedale Golitsyn, attualmente chiamato Primo ospedale clinico prende il nome da N.I. Pirogov.

Palazzo Petrovsky a Mosca. Costruito secondo il progetto di M.F. Kazakova

Un altro capolavoro architettonico di Mosca - la Casa Pashkov - è una delle opere architettoniche più perfette di V. Bazhenov.

Casa Pashkov

La meravigliosa creazione di V. Bazhenov è entrata saldamente nell'insieme del centro della Mosca moderna, arricchendola. L'aspetto esterno della casa è rimasto pressoché invariato fino ad oggi, nonostante sia stato gravemente bruciato nel 1812. Durante il restauro, l'edificio ha acquisito forme più massicce. Non si è conservata nemmeno la planimetria interna dell'edificio, di cui dà un'idea solo il disegno del piano inferiore.

Molte affermazioni dell'architetto meritano attenzione ai nostri giorni. Riguardo alla sua arte preferita, V. Bazhenov ha detto: “L'architettura ha tre soggetti principali: bellezza, calma e forza dell'edificio ... Per raggiungere questo obiettivo, la conoscenza delle proporzioni, della prospettiva, della meccanica o della fisica in generale serve da guida, e tutti hanno un leader comune è la ragione.

RAPPORTO AORATO NELLA MUSICA

Ogni brano musicale ha un arco di tempo ed è suddiviso in alcune "pietre miliari estetiche" in parti separate che attirano l'attenzione e facilitano la percezione nel suo insieme. Queste pietre miliari possono essere punti culminanti dinamici e intonazionali di un'opera musicale. Gli intervalli di tempo separati di un brano musicale, collegati da un "evento climatico", di regola, sono nel rapporto della sezione aurea.

Nel 1925, il critico d'arte L.L. Sabaneev, dopo aver analizzato 1770 brani musicali di 42 autori, ha mostrato che la stragrande maggioranza delle opere eccezionali può essere facilmente suddivisa in parti per tema, o per intonazione, o per sistema modale, che sono in relazione alla sezione aurea. Inoltre, più talentuoso è il compositore, più sezioni auree sono state trovate nelle sue opere. Secondo Sabaneev, la sezione aurea dà l'impressione di un'armonia speciale composizione musicale. Questo risultato è stato verificato da Sabaneev su tutti i 27 studi di Chopin. Vi trovò 178 sezioni auree. Allo stesso tempo, si è scoperto che non solo gran parte degli studi sono divisi per durata rispetto alla sezione aurea, ma parti degli studi all'interno sono spesso divise nello stesso rapporto.

Compositore e scienziato M.A. Marutaev ha contato il numero di misure nella famosa sonata Appassionata e ha trovato una serie di interessanti relazioni numeriche. In particolare, nello sviluppo, l'unità strutturale centrale della sonata, dove i temi sono intensamente sviluppati e le chiavi si sostituiscono, ci sono due sezioni principali. Nel primo - 43,25 cicli, nel secondo - 26,75. Il rapporto 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 dà il rapporto aureo.

Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%) hanno il maggior numero di opere in cui è presente una sezione aurea.

Se la musica è l'ordinamento armonico dei suoni, allora la poesia è l'ordinamento armonico della parola. Un ritmo chiaro, un'alternanza regolare di sillabe accentate e non accentate, una dimensionalità ordinata delle poesie, la loro ricchezza emotiva fanno poesia sorella opere musicali. Il rapporto aureo nella poesia si manifesta principalmente come la presenza di un certo momento del poema (culmine, svolta semantica, idea principale prodotti) nella riga riconducibile al punto di divisione numero totale versi della poesia nella sezione aurea. Quindi, se la poesia contiene 100 righe, il primo punto della sezione aurea cade sulla 62a riga (62%), il secondo - sulla 38a (38%), ecc. Le opere di Alexander Sergeevich Pushkin, tra cui "Eugene Onegin", sono la migliore corrispondenza con la sezione aurea! Le opere di Shota Rustaveli e M.Yu. Lermontov sono anche costruiti secondo il principio della sezione aurea.

Stradivari ha scritto di aver utilizzato il rapporto aureo per determinare le posizioni delle tacche a forma di f sui corpi dei suoi famosi violini.

SEZIONE D'ORO DELLA POESIA

Ricerca poesia da queste posizioni solo iniziare. E devi iniziare con la poesia di A.S. Pushkin. Dopotutto, le sue opere sono un esempio delle creazioni più straordinarie della cultura russa, un esempio il livello più alto armonia. Dalla poesia di A.S. Pushkin, inizieremo la ricerca del rapporto aureo, la misura dell'armonia e della bellezza.

Molto nella struttura delle opere poetiche rende questa forma d'arte legata alla musica. Un ritmo chiaro, un'alternanza regolare di sillabe accentate e non accentate, una dimensionalità ordinata delle poesie, la loro ricchezza emotiva fanno della poesia una sorella delle opere musicali. Ogni verso ha il suo forma musicale, il suo ritmo e la sua melodia. Ci si può aspettare che nella struttura delle poesie compaiano alcune caratteristiche delle opere musicali, schemi armonia musicale e quindi il rapporto aureo.

Cominciamo con la dimensione della poesia, cioè il numero di versi in essa contenuti. Sembrerebbe che questo parametro del poema possa cambiare arbitrariamente. Tuttavia, si è scoperto che non era così. Ad esempio, l'analisi delle poesie di A.S. Pushkin ha mostrato che le dimensioni dei versi sono distribuite in modo molto irregolare; si è scoperto che Pushkin preferisce chiaramente le dimensioni di 5, 8, 13, 21 e 34 linee (numeri di Fibonacci).

Molti ricercatori hanno notato che le poesie sono simili opere musicali; hanno anche punti culminanti che dividono la poesia in proporzione alla sezione aurea. Considera, ad esempio, una poesia di A.S. Pushkin "calzolaio":

Analizziamo questa parabola. La poesia è composta da 13 versi. Mette in evidenza due parti semantiche: la prima in 8 righe e la seconda (la morale della parabola) in 5 righe (13, 8, 5 sono i numeri di Fibonacci).

Una delle ultime poesie di Pushkin, "Non apprezzo i diritti di alto profilo ..." è composta da 21 righe e in essa si distinguono due parti semantiche: in 13 e 8 righe:

Non apprezzo i diritti di alto profilo,

Da cui nessuno ha le vertigini.

Non mi lamento del fatto che gli dei abbiano rifiutato

Sono nel dolce destino delle tasse impegnative

O impedire ai re di combattere tra loro;

E poco dolore per me, è la stampa libera

Sule ingannatrici o censura sensibile

Nei piani delle riviste, il jolly è imbarazzante.

Tutto questo, vedi, parole, parole, parole.

Altri, migliori, diritti mi sono cari:

Un altro, meglio, ho bisogno di libertà:

Dipendi dal re, dipendi dal popolo -

Non ci importa? Dio è con loro.

Non dare un rapporto, solo a te stesso

Servi e per favore; per potenza, per livrea

Non piegare né la coscienza, né i pensieri, né il collo;

Al tuo capriccio di vagare qua e là,

Meravigliandosi della divina bellezza della natura,

E prima delle creature dell'arte e dell'ispirazione

Tremando di gioia nelle delizie della tenerezza,

Ecco la felicità! Giusto...

È caratteristico che la prima parte di questo verso (13 righe) sia divisa in 8 e 5 righe in termini di contenuto semantico, cioè l'intera poesia è costruita secondo le leggi della sezione aurea.

Di indubbio interesse è l'analisi del romanzo "Eugene Onegin" fatta da N. Vasyutinskiy. Questo romanzo è composto da 8 capitoli, ciascuno con una media di circa 50 versi. Il più perfetto, il più raffinato ed emotivamente ricco è l'ottavo capitolo. Ha 51 versi. Insieme alla lettera di Yevgeny a Tatyana (60 righe), questo corrisponde esattamente al numero 55 di Fibonacci!

N. Vasyutinsky afferma: "Il culmine del capitolo è la dichiarazione d'amore di Evgeny per Tatyana - la frase" Pallida e svanisci ... questa è beatitudine! Questa riga divide l'intero ottavo capitolo in due parti: la prima ha 477 righe e la seconda ha 295 righe. Il loro rapporto è 1,617! La più sottile corrispondenza al valore della sezione aurea! Questo è un grande miracolo di armonia, compiuto dal genio di Pushkin!

E. Rosenov ha analizzato molte opere poetiche di M.Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoj e vi scoprì anche la "sezione aurea".

La famosa poesia di Lermontov "Borodino" è divisa in due parti: un'introduzione rivolta al narratore, che occupa solo una strofa ("Dimmi, zio, non è per niente ..."), e parte principale, che rappresenta un tutto indipendente, che è diviso in due parti equivalenti. Il primo descrive, con crescente tensione, l'attesa di una battaglia, il secondo descrive la battaglia stessa con una graduale diminuzione della tensione verso la fine del poema. Il confine tra queste parti è il culmine dell'opera e cade esattamente sul punto di dividerlo per la sezione aurea.

La parte principale del poema è composta da 13 sette versi, cioè 91 versi. Dividendolo con la sezione aurea (91:1.618=56.238), ci assicuriamo che il punto di divisione sia all'inizio del 57° verso, dove c'è una breve frase: “Bene, è stato un giorno!” È questa frase che rappresenta il "punto culminante dell'attesa eccitata", che conclude la prima parte del poema (attesa della battaglia) e apre la sua seconda parte (descrizione della battaglia).

Pertanto, la sezione aurea gioca un ruolo molto significativo nella poesia, evidenziando il culmine della poesia.

Molti ricercatori del poema di Shota Rustaveli "Il cavaliere con la pelle di pantera" notano l'eccezionale armonia e melodia dei suoi versi. Queste proprietà del poema scienziato georgiano, accademico G.V. Tsereteli lo attribuisce all'uso consapevole della sezione aurea da parte della poetessa sia nella formazione della forma del poema che nella costruzione delle sue poesie.

La poesia di Rustaveli è composta da 1587 stanze, ciascuna delle quali è composta da quattro versi. Ogni riga è composta da 16 sillabe ed è divisa in due parti uguali di 8 sillabe in ciascuna semiretta. Tutti gli emistici sono divisi in due segmenti di due tipi: A - un emistichio con segmenti uguali e un numero pari di sillabe (4 + 4); B è una semiretta con una divisione asimmetrica in due parti disuguali (5+3 o 3+5). Così, nella semiretta B, i rapporti sono 3:5:8, che è un'approssimazione del rapporto aureo.

È stato stabilito che su 1587 strofe del poema di Rustaveli, più della metà (863) sono costruite secondo il principio della sezione aurea.

Nel nostro tempo è nato un nuovo tipo di arte: il cinema, che ha assorbito la drammaturgia dell'azione, della pittura, della musica. È legittimo cercare manifestazioni della sezione aurea in opere cinematografiche eccezionali. Il primo a farlo è stato il creatore del capolavoro del cinema mondiale "Battleship Potemkin", il regista Sergei Eisenstein. Nella costruzione di questa immagine, è riuscito a incarnare il principio fondamentale dell'armonia: la sezione aurea. Come osserva lo stesso Eisenstein, la bandiera rossa sull'albero della corazzata ribelle (il punto apogeo del film) sventola nel punto del rapporto aureo, contato dalla fine del film.

SEZIONE AORATA NEI CARATTERI E NEGLI ARTICOLI PER LA CASA

tipo speciale arti visive Grecia anticaè necessario evidenziare la fabbricazione e la verniciatura di vari vasi. In una forma elegante, le proporzioni della sezione aurea sono facilmente intuibili.

Nella pittura e nella scultura dei templi, sugli oggetti domestici, gli antichi egizi raffiguravano più spesso divinità e faraoni. Sono stati stabiliti i canoni dell'immagine di una persona in piedi, che cammina, seduta, ecc. Gli artisti dovevano memorizzare singole forme e schemi di immagini da tabelle e campioni. Gli antichi artisti greci fecero viaggi speciali in Egitto per imparare a usare il canone.

PARAMETRI FISICI OTTIMALI DELL'AMBIENTE ESTERNO

È noto che il massimo volume del suono, che provoca dolore, è pari a 130 decibel. Se dividiamo questo intervallo per il rapporto aureo di 1,618, otteniamo 80 decibel, che sono tipici del volume di un urlo umano. Se ora dividiamo 80 decibel per il rapporto aureo, otteniamo 50 decibel, che corrisponde al volume del linguaggio umano. Infine, se dividiamo 50 decibel per il quadrato del rapporto aureo di 2,618, otteniamo 20 decibel, che corrispondono a un sussurro umano. Pertanto, tutti i parametri caratteristici del volume del suono sono interconnessi attraverso il rapporto aureo.

Ad una temperatura di 18-20 0 C intervallo umidità Il 40-60% è considerato ottimale. I limiti dell'intervallo di umidità ottimale possono essere ottenuti se l'umidità assoluta del 100% viene divisa due volte per il rapporto aureo: 100 / 2,618 = 38,2% (limite inferiore); 100/1,618=61,8% (limite superiore).

A pressione dell'aria 0,5 MPa, una persona prova disagio, il suo fisico e attività psicologica. A una pressione di 0,3-0,35 MPa è consentito solo un funzionamento a breve termine e a una pressione di 0,2 MPa è consentito lavorare per non più di 8 minuti. Tutti questi parametri caratteristici sono interconnessi dal rapporto aureo: 0,5/1,618=0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19MPa.

Parametri al contorno temperatura esterna, entro il quale è possibile la normale esistenza (e, soprattutto, l'origine) di una persona, è l'intervallo di temperatura da 0 a + (57-58) 0 C. Ovviamente, il primo limite di spiegazioni può essere omesso.

Dividiamo l'intervallo indicato di temperature positive per il rapporto aureo. In questo caso si ottengono due limiti (entrambi i limiti sono temperature caratteristiche del corpo umano): il primo corrisponde alla temperatura, il secondo limite corrisponde alla massima temperatura dell'aria esterna possibile per il corpo umano.

SEZIONE AORATA IN PITTURA

Anche nel Rinascimento, gli artisti hanno scoperto che ogni immagine ha alcuni punti che attirano involontariamente la nostra attenzione, i cosiddetti centri visivi. In questo caso, non importa quale sia il formato orizzontale o verticale dell'immagine. Esistono solo quattro di questi punti e si trovano a una distanza di 3/8 e 5/8 dai bordi corrispondenti del piano.

Questa scoperta tra gli artisti dell'epoca fu chiamata la "sezione aurea" del quadro.

Passando agli esempi della "sezione aurea" in pittura, non si può non soffermare l'attenzione sull'opera di Leonardo da Vinci. La sua identità è uno dei misteri della storia. Lo stesso Leonardo da Vinci disse: "Nessuno che non sia un matematico osi leggere le mie opere".

Ha guadagnato fama come artista insuperabile, un grande scienziato, un genio che ha anticipato molte invenzioni che non sono state implementate fino al XX secolo.

Non c'è dubbio che Leonardo da Vinci sia stato un grande artista, i suoi contemporanei lo riconoscevano già, ma la sua personalità e la sua attività rimarranno avvolte nel mistero, poiché lasciò ai posteri non una coerente presentazione delle sue idee, ma solo numerosi schizzi manoscritti, appunti che dicono "sia tutto nel mondo".

Scriveva da destra a sinistra con grafia illeggibile e con la mano sinistra. Questo è l'esempio più famoso di scrittura speculare esistente.

Il ritratto di Monna Lisa (Gioconda) ha attirato per molti anni l'attenzione dei ricercatori, che hanno scoperto che la composizione del disegno si basa su triangoli dorati che fanno parte di un pentagono a stella regolare. Ci sono molte versioni sulla storia di questo ritratto. Ecco uno di loro.

Una volta Leonardo da Vinci ricevette dal banchiere Francesco del Giocondo l'ordine di dipingere un ritratto di una giovane donna, la moglie del banchiere, Monna Lisa. La donna non era bella, ma era attratta dalla semplicità e naturalezza del suo aspetto. Leonardo ha accettato di dipingere un ritratto. La sua modella era triste e triste, ma Leonardo le raccontò una fiaba, dopo aver sentito che divenne viva e interessante.

FIABA. C'era una volta un povero, aveva quattro figli: tre intelligenti, e uno di loro da una parte e dall'altra. E poi è arrivata la morte per il padre. Prima di separarsi dalla sua vita, chiamò a sé i suoi figli e disse: “Figli miei, presto morirò. Non appena mi seppellisci, chiudi a chiave la capanna e vai in capo al mondo a fare fortuna. Possa ognuno di voi imparare qualcosa in modo da potersi nutrire”. Il padre morì ei figli si dispersero in giro per il mondo, accettando di tornare tre anni dopo nella radura del loro boschetto natale. Venne il primo fratello, che imparò a fare il falegname, tagliò un albero e lo tagliò, ne fece una donna, si allontanò un po' e aspettò. Il secondo fratello tornò, vide una donna di legno e, poiché era un sarto, in un minuto la vestì: abile artigiano le fece dei bei vestiti di seta. Il terzo figlio ha adornato la donna con oro e pietre preziose Perché era un gioielliere. Finalmente arrivò il quarto fratello. Non sapeva fare il falegname e il cucito, sapeva solo ascoltare ciò che dicevano la terra, gli alberi, le erbe, gli animali e gli uccelli, conosceva il corso dei corpi celesti e sapeva anche cantare canzoni meravigliose. Ha cantato una canzone che ha fatto piangere i fratelli nascosti dietro i cespugli. Con questa canzone, ha rianimato la donna, ha sorriso e sospirato. I fratelli si precipitarono da lei e gridarono ciascuno la stessa cosa: "Devi essere mia moglie". Ma la donna ha risposto: “Mi hai creato, sii mio padre. Mi hai vestito e mi hai decorato - sii mio fratello. E tu, che hai respirato la mia anima dentro di me e mi hai insegnato a godermi la vita, ho bisogno di te solo per tutta la vita.

Finito il racconto, Leonardo guardò Monna Lisa, il suo viso si illuminò di luce, i suoi occhi brillarono. Poi, come svegliandosi da un sogno, sospirò, si passò la mano sul viso e senza dire una parola andò al suo posto, giunse le mani e assunse la sua posizione abituale. Ma l'atto era compiuto: l'artista risvegliò la statua indifferente; il sorriso di beatitudine, scomparendo lentamente dal suo viso, le rimase agli angoli della bocca e tremò, conferendo al suo viso un'espressione sorprendente, misteriosa e un po' sorniona, come quella di chi ha appreso un segreto e, custodindolo con cura, non può frenare il suo trionfo. Leonardo lavorava in silenzio, timoroso di perdere questo momento, questo raggio di sole che illuminava il suo noioso modello...

È difficile notare cosa si è notato in questo capolavoro d'arte, ma tutti hanno parlato della profonda conoscenza di Leonardo della struttura del corpo umano, grazie alla quale è riuscito a cogliere questo, per così dire, sorriso misterioso. Hanno parlato dell'espressività delle singole parti del quadro e del paesaggio, inedito compagno del ritratto. Hanno parlato della naturalezza dell'espressione, della semplicità della posa, della bellezza delle mani. L'artista ha fatto qualcosa di senza precedenti: l'immagine raffigura l'aria, avvolge la figura con una foschia trasparente. Nonostante il successo, Leonardo era cupo, la situazione a Firenze sembrava dolorosa per l'artista, si preparò per partire. I promemoria degli ordini di allagamento non lo hanno aiutato.

La sezione aurea nella foto di I.I. Shishkin "Pine Grove". In questo famoso dipinto di I.I. Shishkin, i motivi della sezione aurea sono chiaramente visibili. Il pino brillantemente illuminato (in piedi in primo piano) divide la lunghezza dell'immagine in base al rapporto aureo. A destra del pino c'è un poggio illuminato dal sole. Divide orizzontalmente il lato destro dell'immagine secondo il rapporto aureo. A sinistra del pino principale ci sono molti pini: se lo desideri, puoi continuare con successo a dividere l'immagine in base al rapporto aureo e oltre.

pineta

La presenza nel quadro di verticali e orizzontali luminosi, che lo dividono rispetto alla sezione aurea, gli conferisce il carattere di equilibrio e tranquillità secondo l'intenzione dell'artista. Quando l'intenzione dell'artista è diversa, se, diciamo, crea un'immagine con un'azione in rapido sviluppo, un tale schema geometrico di composizione (con una predominanza di verticali e orizzontali) diventa inaccettabile.

IN E. Surikov. "Boiardo Morozova"

Il suo ruolo è assegnato alla parte centrale dell'immagine. È delimitato dal punto di massima ascesa e dal punto di minima caduta della trama dell'immagine: l'alzarsi della mano di Morozova con il segno della croce con due dita, come punto più alto; mano tesa impotente alla stessa nobildonna, ma questa volta la mano di una donna anziana - un mendicante vagabondo, una mano da sotto la quale, insieme a ultima speranza la fine della slitta scivola fuori per la salvezza.

E che dire del " il punto più alto"? A prima vista, abbiamo un'apparente contraddizione: dopo tutto, la sezione A 1 B 1, che è 0,618 ... dal bordo destro del quadro, non passa per il braccio, nemmeno per la testa o l'occhio del nobildonna, ma risulta essere da qualche parte davanti alla bocca della nobildonna.

Il rapporto aureo taglia davvero qui sulla cosa più importante. In esso, ed è in esso - potere più grande Morozova.

Non c'è quadro più poetico di quello di Sandro Botticelli, e il grande Sandro non ha quadro più celebre della sua Venere. Per Botticelli, la sua Venere è l'incarnazione di un'idea armonia universale"sezione aurea" che prevale in natura. L'analisi proporzionale di Venere ci convince di questo.

Venere

Raffaello "Scuola di Atene". Raffaello non era un matematico, ma, come molti artisti dell'epoca, aveva una notevole conoscenza della geometria. Nel famoso affresco "La scuola di Atene", dove si tiene la società dei grandi filosofi dell'antichità nel tempio della scienza, la nostra attenzione è attratta dal gruppo di Euclide, il più grande matematico greco antico, che smonta un disegno complesso.

Anche l'ingegnosa combinazione di due triangoli è costruita secondo il rapporto aureo: può essere inscritta in un rettangolo con proporzioni di 5/8. Questo disegno è sorprendentemente facile da inserire nella parte superiore dell'architettura. Angolo superiore triangolo poggia sulla chiave di volta dell'arco nell'area più vicina allo spettatore, quello inferiore - nel punto di fuga delle prospettive, e la sezione laterale indica le proporzioni dello spazio spaziale tra le due parti degli archi.

La spirale aurea nel dipinto di Raffaello "La strage degli innocenti". A differenza della sezione aurea, la sensazione di dinamica, eccitazione, è forse più pronunciata in un'altra semplice figura geometrica: la spirale. La composizione a più figure, realizzata nel 1509-1510 da Raffaello, quando il celebre pittore realizzò i suoi affreschi in Vaticano, si distingue proprio per il dinamismo e la drammaticità della trama. Raffaello non portò mai a compimento la sua idea, tuttavia, il suo schizzo fu inciso da uno sconosciuto artista grafico italiano Marcantinio Raimondi, che, sulla base di questo schizzo, creò l'incisione della Strage degli Innocenti.

Strage degli innocenti

Se sullo schizzo preparatorio di Raffaello tracciamo mentalmente delle linee che partono dal centro semantico della composizione - i punti in cui le dita del guerriero si sono chiuse attorno alla caviglia del bambino, lungo le figure del bambino, la donna che lo stringe a sé, il guerriero con la spada alzata, e poi lungo le figure dello stesso gruppo sul lato destro dello schizzo (nella figura queste linee sono disegnate in rosso), e poi collega questi pezzi della curva con una linea tratteggiata, poi una linea dorata la spirale è ottenuta con altissima precisione. Ciò può essere verificato misurando il rapporto tra le lunghezze dei segmenti tagliati dalla spirale sulle rette passanti per l'inizio della curva.

RAPPORTO AUREO E PERCEZIONE DELL'IMMAGINE

La capacità dell'analizzatore visivo umano di distinguere gli oggetti costruiti secondo l'algoritmo della sezione aurea come belli, attraenti e armoniosi è nota da tempo. Il rapporto aureo dà la sensazione del tutto unificato più perfetto. Il formato di molti libri segue la sezione aurea. Viene scelto per vetrine, quadri e buste, francobolli, biglietti da visita. Una persona potrebbe non sapere nulla del numero Ф, ma nella struttura degli oggetti, così come nella sequenza degli eventi, trova inconsciamente elementi della sezione aurea.

Sono stati condotti studi in cui ai soggetti è stato chiesto di selezionare e copiare rettangoli di varie proporzioni. C'erano tre rettangoli tra cui scegliere: un quadrato (40:40 mm), un rettangolo "sezione aurea" con proporzioni di 1:1,62 (31:50 mm) e un rettangolo con proporzioni allungate di 1:2,31 (26: 60 millimetri).

Quando si scelgono rettangoli nello stato normale, in 1/2 casi viene data preferenza a un quadrato. L'emisfero destro preferisce il rapporto aureo e rifiuta il rettangolo allungato. Al contrario, l'emisfero sinistro gravita verso proporzioni allungate e rifiuta il rapporto aureo.

Durante la copia di questi rettangoli, è stato osservato quanto segue: quando l'emisfero destro era attivo, le proporzioni nelle copie venivano mantenute in modo più accurato; quando l'emisfero sinistro era attivo, le proporzioni di tutti i rettangoli erano distorte, i rettangoli erano allungati (il quadrato era disegnato come un rettangolo con proporzioni di 1:1,2; le proporzioni del rettangolo allungato aumentavano bruscamente e raggiungevano 1:2,8 ). Le proporzioni del rettangolo "dorato" erano fortemente distorte; le sue proporzioni in copie divennero le proporzioni del rettangolo 1:2.08.

Quando si disegnano i propri disegni, prevalgono proporzioni vicine al rapporto aureo e allungate. In media le proporzioni sono 1:2, mentre l'emisfero destro preferisce le proporzioni della sezione aurea, l'emisfero sinistro si allontana dalle proporzioni della sezione aurea e allunga il disegno.

Ora disegna dei rettangoli, misura i loro lati e trova le proporzioni. Che emisfero hai?

LA SEZIONE Aurea IN FOTOGRAFIA

Un esempio dell'uso del rapporto aureo in fotografia è la posizione dei componenti chiave della cornice in punti che si trovano a 3/8 e 5/8 dai bordi della cornice. Ciò può essere illustrato dal seguente esempio: una fotografia di un gatto, che si trova in una posizione arbitraria nell'inquadratura.

Ora dividiamo condizionalmente la cornice in segmenti, nella proporzione di 1,62 della lunghezza totale da ciascun lato della cornice. All'incrocio dei segmenti ci saranno i principali "centri visivi" in cui vale la pena posizionare il necessario elementi chiave Immagini. Spostiamo il nostro gatto nei punti dei "centri visivi".

RAPPORTO AUREO E SPAZIO

È noto dalla storia dell'astronomia che I. Titius, un astronomo tedesco del XVIII secolo, utilizzando questa serie, trovò regolarità e ordine nelle distanze tra i pianeti del sistema solare.

Tuttavia, un caso che sembrava essere contro la legge: non c'era nessun pianeta tra Marte e Giove. L'osservazione mirata di quest'area del cielo ha portato alla scoperta della fascia degli asteroidi. Ciò accadde dopo la morte di Tizio all'inizio del XIX secolo. La serie di Fibonacci è ampiamente utilizzata: con il suo aiuto rappresentano l'architettura degli esseri viventi, le strutture create dall'uomo e la struttura delle Galassie. Questi fatti sono la prova dell'indipendenza della serie numerica dalle condizioni della sua manifestazione, che è uno dei segni della sua universalità.

Le due spirali auree della galassia sono compatibili con la stella di David.

Presta attenzione alle stelle che emergono dalla galassia in una spirale bianca. Esattamente a 180 0 da una delle spirali, esce un'altra spirale in dispiegamento ... Per molto tempo, gli astronomi hanno semplicemente creduto che tutto ciò che c'è fosse ciò che vediamo; se qualcosa è visibile, allora esiste. O non hanno notato affatto la parte invisibile della Realtà, o non l'hanno considerata importante. Ma il lato invisibile della nostra Realtà è in realtà molto più grande del lato visibile e, probabilmente, più importante... In altre parole, la parte visibile della Realtà è molto meno dell'uno per cento del tutto - quasi nulla. Infatti, la nostra vera casa è l'universo invisibile...

Nell'Universo, tutte le galassie conosciute dall'umanità e tutti i corpi in esse esistono sotto forma di spirale, corrispondente alla formula della sezione aurea. Nella spirale della nostra galassia si trova il rapporto aureo

CONCLUSIONE

La natura, intesa come il mondo intero nella varietà delle sue forme, consiste, per così dire, di due parti: la natura animata e quella inanimata. Le creazioni di natura inanimata sono caratterizzate da elevata stabilità, bassa variabilità, a giudicare dalla scala della vita umana. Una persona nasce, vive, invecchia, muore, ma le montagne di granito rimangono le stesse ei pianeti ruotano attorno al Sole allo stesso modo dei tempi di Pitagora.

Il mondo della fauna selvatica ci appare completamente diverso: mobile, mutevole e sorprendentemente vario. La vita ci mostra un fantastico carnevale di diversità e originalità di combinazioni creative! Il mondo della natura inanimata è, prima di tutto, un mondo di simmetria, che conferisce stabilità e bellezza alle sue creazioni. Il mondo della natura è, prima di tutto, un mondo di armonia, in cui opera la "legge della sezione aurea".

Nel mondo moderno, la scienza è di particolare importanza, a causa del maggiore impatto dell'uomo sulla natura. Compiti importanti nella fase attuale sono la ricerca di nuovi modi di convivenza tra uomo e natura, lo studio dei problemi filosofici, sociali, economici, educativi e di altro tipo che la società deve affrontare.

In questo lavoro, l'influenza delle proprietà della "sezione aurea" sui viventi e sui non viventi animali selvatici, sul corso storico dello sviluppo della storia dell'umanità e del pianeta nel suo insieme. Analizzando tutto quanto sopra, si può ancora una volta meravigliarsi della grandezza del processo di conoscenza del mondo, la scoperta dei suoi schemi sempre nuovi e concludere: il principio della sezione aurea è la più alta manifestazione della perfezione strutturale e funzionale di il tutto e le sue parti in arte, scienza, tecnologia e natura. Ci si può aspettare che le leggi di sviluppo dei vari sistemi della natura, le leggi di crescita, non siano molto diverse e possano essere rintracciate nelle formazioni più diverse. Questa è la manifestazione dell'unità della natura. L'idea di tale unità, basata sulla manifestazione degli stessi schemi in fenomeni naturali eterogenei, ha mantenuto la sua rilevanza da Pitagora ai giorni nostri.

Fatto questo strumento d'epoca, sarai in grado di creare grandi progetti.

La "sezione aurea" veniva utilizzata dagli antichi Greci ed Egizi nel calcolo degli edifici e come modello per la realizzazione proporzioni ideali.

Anche tu puoi usarlo nei tuoi progetti, armato di un misuratore di Fibonacci.

Per avere il proprio calibro, fare inizialmente un disegno dello strumento secondo le dimensioni indicate nella figura.

Da legno duro spesso 1,6 mm (una buona impiallacciatura spessa andrà bene), tagliare i pezzi grezzi e lavorare i tre bracci A, B, C alla larghezza e alla forma desiderate. (Abbiamo usato l'acero, ma altri legni vanno bene.)

Trasferisci i centri dei fori dal disegno a grandezza naturale ai bracci del misuratore. Praticare, dove indicato, un foro di diametro 5,5 mm e rifinire ogni spalla.

Assembla le parti collegandole con le viti del morsetto e aggiungendo la colla in modo che non si allentino nel tempo.

Secondo la rivista "Wood-Master"

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