Grigory Perelman beviste at det ikke finnes noen Gud. Matematiker Perelman Yakov: bidrag til vitenskap

« Millennium Challenge”, løst av et russisk matematisk geni, er relatert til universets opprinnelse. Ikke alle matematikere er gitt til å forstå essensen av gåten ...

MENNSPILL

Inntil nylig lovet ikke matematikken verken ære eller rikdom til sine «prester». De til og med Nobel pris ga ikke. Det er ingen slik nominasjon. Faktisk, ifølge en veldig populær legende, var Nobels kone en gang utro mot ham med en matematiker. Og som gjengjeldelse fratok den rike mannen alle deres chicane brødre hans respekt og premiepenger.

Situasjonen endret seg i 2000. Det private Clay Mathematics Institute har valgt ut syv av de fleste vanskelige oppgaver og lovet å betale en million dollar for hver avgjørelse.

Matematikere ble behandlet med respekt. I 2001 ga skjermene til og med ut filmen "A Beautiful Mind", hvis hovedperson var matematiker.

Nå er det bare folk langt fra sivilisasjonen som ikke er klar over: en av de lovede millionene - den aller første - er allerede tildelt. Prisen ble delt ut til en russisk statsborger, bosatt i St. Petersburg Grigory Perelman. Han beviste Poincaré-formodningen, et puslespill som trosset alle i over 100 år og som gjennom hans innsats ble et teorem.

Vår søte 44 år gamle skjeggete mann tørket seg over nesen rundt om i verden. Og fortsetter nå å holde den – verden – i spenning. Siden det ikke er kjent om matematikeren ærlig vil fortjene en million dollar eller nekte. Den progressive offentligheten i mange land er naturlig opprørt. Avisene på alle kontinenter forteller i det minste om økonomiske og matematiske intriger.

Og på bakgrunn av disse fascinerende aktivitetene - spådom og deling av andres penger - ble betydningen av Perelmans prestasjon på en eller annen måte tapt. Presidenten for Clay Institute, Jim Carlson, uttalte selvfølgelig en gang, sier de, målet Premiepott- ikke så mye et søk etter svar som et forsøk på å heve prestisje av matematisk vitenskap og å interessere unge mennesker i det. Men likevel, hva er poenget?

Grisha i sin ungdom - allerede da var han et geni.

POINCARE HYPOTESE - HVA ER DET?

Gåten, løst av det russiske geniet, påvirker grunnlaget for den delen av matematikken som kalles topologi. Det - topologi - kalles ofte "geometri på en gummiduk." Det handler om eiendommer geometriske former, som er bevart hvis formen er strukket, vridd, bøyd. Den er med andre ord deformert uten brudd, kutt og lim.

Topologi er viktig for matematisk fysikk fordi den lar oss forstå egenskapene til rommet. Eller vurdere det uten å kunne se formen på dette rommet fra utsiden. For eksempel universet vårt.

Når de forklarer Poincare-formodningen, starter de slik: forestill deg en todimensjonal kule - ta en gummiskive og trekk den over ballen. Slik at omkretsen av disken samles på ett punkt. På samme måte kan du for eksempel trekke av en sportsryggsekk med snor. Resultatet er en sfære: for oss - tredimensjonalt, men fra matematikkens synspunkt - bare todimensjonalt.

Så tilbyr de å trekke den samme disken på en bagel. Det ser ut til å fungere. Men kantene på disken vil konvergere til en sirkel, som ikke lenger kan trekkes inn i et punkt - det vil kutte smultringen.

Som han skrev i sin populær bok en annen Russisk matematiker, Vladimir Uspensky, "I motsetning til todimensjonale sfærer, er tredimensjonale sfærer utilgjengelige for vår direkte observasjon, og det er like vanskelig for oss å forestille oss dem som det er for Vasily Ivanovich fra det velkjente anekdote kvadrattrinomialet."

Så ifølge Poincaré-hypotesen er en tredimensjonal sfære den eneste tredimensjonale tingen hvis overflate kan trekkes inn i ett punkt av en slags hypotetisk "hypercord".

Grigory Perelman: - Bare tenk, Newtons binomiale ...

Jules Henri Poincare foreslo dette i 1904. Nå har Perelman overbevist alle som forstår at den franske topologen hadde rett. Og gjorde hypotesen om til et teorem.

Beviset hjelper til å forstå hvilken form universet vårt har. Og det lar oss ganske rimelig anta at det er den samme tredimensjonale sfæren.

Men hvis universet er den eneste "figuren" som kan trekkes sammen til et punkt, så kan den sannsynligvis også strekkes fra et punkt. Noe som fungerer som en indirekte bekreftelse av Big Bang-teorien, som hevder at universet oppsto bare fra punktet.

Det viser seg at Perelman sammen med Poincare opprørte de såkalte kreasjonistene – støttespillere guddommelig begynnelse univers. Og de sølte vann på materialistiske fysikeres mølle.

Den geniale matematikeren fra St. Petersburg, Grigory Perelman, som ble berømt over hele verden for å bevise Poincaré-formodningen, forklarte til slutt sitt avslag på millionprisen som ble tildelt for dette. Som det står" TVNZ", avslørte den tilbaketrukne vitenskapsmannen seg i en samtale med en journalist og produsent av filmselskapet "President-Film", som med samtykke fra Perelman vil skyte inn spillefilmen "Formula of the Universe" om ham.

Alexander Zabrovsky var heldig som snakket med den store matematikeren - han forlot Moskva for Israel for noen år siden og gjettet først å kontakte Grigory Yakovlevichs mor gjennom det jødiske samfunnet St. Petersburg, etter å ha hjulpet henne. Hun snakket med sønnen, og etter hennes gode karakterisering takket han ja til et møte. Dette kan virkelig kalles en prestasjon - journalistene kunne ikke "fange" forskeren, selv om de brukte dager på å sitte ved inngangen hans.

Som Zabrovsky fortalte avisen, ga Perelman inntrykk av "en absolutt tilregnelig, sunn, adekvat og normal person": "Realistisk, pragmatisk og fornuftig, men ikke blottet for sentimentalitet og spenning ... Alt som ble tilskrevet ham i pressen , som om han var "ute av sinnet", - fullstendig tull! Han vet nøyaktig hva han vil, og vet hvordan han skal nå målet. "

Filmen, som matematikeren tok kontakt for og gikk med på å hjelpe, vil ikke handle om ham selv, men om samarbeidet og konfrontasjonen mellom de tre viktigste matematiske verdensskolene: russisk, kinesisk og amerikansk, som er de mest avanserte i studieveien og administrere universet.

På spørsmål om hvorfor Perelman nektet en million, svarte han:

"Jeg vet hvordan jeg skal forvalte universet. Og fortell meg - hvorfor skulle jeg løpe etter en million?"

Vitenskapsmannen er fornærmet, som han kalles i russisk presse

Perelman forklarte at han ikke kommuniserer med journalister, fordi de ikke er opptatt av vitenskap, men av personlige og innenlandske spørsmål - fra årsakene til å nekte en million til spørsmålet om å klippe hår og negler.

Konkret ønsker han ikke å kontakte russiske medier på grunn av den respektløse holdningen til ham. For eksempel, i pressen kaller de ham Grisha, og slik fortrolighet støter.

Grigory Perelman sa det siden skoleår vant til det som kalles «hjernetrening». Husker hvordan han, som en "delegat" fra USSR, mottok gullmedalje ved matematisk olympiaden i Budapest sa han: «Vi prøvde å løse problemer der evnen til å tenke abstrakt var en uunnværlig betingelse.

Det var i denne abstraksjonen fra matematisk logikk som Hovedpoenget daglige treningsøkter. For å finne den rette løsningen var det nødvendig å forestille seg en «bit av verden».

Som et eksempel på en slik «vanskelig» oppgave, nevnte han følgende: «Husk bibelsk legende om hvordan Jesus Kristus gikk på vannet, som på tørt land. Så jeg måtte beregne hvor fort han måtte bevege seg gjennom vannet for ikke å falle gjennom.

Siden den gang har Perelman viet alle sine aktiviteter til å studere problemet med å studere egenskapene til universets tredimensjonale rom: "Dette er veldig interessant. Jeg prøver å omfavne det enorme.

Forskeren skrev avhandlingen sin under veiledning av akademiker Alexandrov. "Temaet var enkelt: "Sadelflater i euklidisk geometri". Kan du forestille deg overflater som er like store og ujevnt fordelt fra hverandre i det uendelige? Vi må måle "hullene" mellom dem," forklarte matematikeren.

Hva betyr Perelmans oppdagelse, å skremme verdens etterretningstjenester

"Formel for universet" Poincares uttalelse kalles på grunn av dens betydning i studiet av komplekse fysiske prosesser i teorien om universet og fordi den gir et svar på spørsmålet om universets form. Disse bevisene vil spille en stor rolle i utviklingen av nanoteknologi."

"Jeg lærte å beregne tomrom, sammen med mine kolleger vil vi lære mekanismene for å fylle sosiale og økonomiske "tomrom," sa han. "Tomrom er overalt. De kan beregnes, og dette gir store muligheter ...

I følge publikasjonen har omfanget av det Grigory Yakovlevich oppdaget, som faktisk går foran dagens verdensvitenskap, gjort ham til gjenstand for konstant interesse for spesielle tjenester, ikke bare russiske, men også utenlandske.

Han forsto litt superkunnskap som hjelper til med å forstå universet. Og her oppstår spørsmål av denne typen: "Hva vil skje hvis kunnskapen hans finner praktisk gjennomføring?"

Faktisk må de hemmelige tjenestene vite - er Perelman, eller rettere sagt, kunnskapen hans, en trussel mot menneskeheten? Tross alt, hvis det ved hjelp av kunnskapen hans er mulig å gjøre universet til et punkt, og deretter utfolde det, kan vi dø eller bli gjenfødt i en annen kapasitet? Og da blir vi det? Og trenger vi i det hele tatt å administrere universet?

OG PÅ DENNE TIDEN

Genial mamma: "Ikke still oss spørsmål om penger!"

Da det ble kjent at matematikeren ble tildelt tusenårsprisen, samlet en mengde journalister seg foran døren hans. Alle ønsket å gratulere Perelman personlig og finne ut om han ville ta sin legitime million.

Vi banket på den spinkle døren lenge (hvis bare vi kunne erstatte den med premium-penger), men matematikeren åpnet den ikke. Men moren hans prikket "i"-en ganske forståelig rett fra gangen.

Vi vil ikke snakke med noen og kommer ikke til å gi noen intervjuer, - ropte Lyubov Leibovna. – Og ikke still oss spørsmål om denne prisen og pengene.

Folk som bodde i samme inngang ble veldig overrasket over å se en plutselig interesse for Perelman.

Er vår Grisha gift? en av naboene humret. - Å, jeg har fått en pris. En gang til. Nei, han vil ikke ta det. Han trenger ikke noe i det hele tatt, lever på en krone, men er glad på sin måte.

De sier at på tampen av matematikeren ble sett med fulle pakker med produkter fra butikken. Han forberedte seg på å "holde beleiringen" sammen med sin mor. Sist gang, da hypen om prisen begynte i pressen, forlot ikke Perelman leiligheten på tre uker.

FORRESTEN

For hva annet vil de gi en million dollar ...

I 1998, med midlene til milliardæren Landon T. Clay, ble Clay Mathematics Institute grunnlagt i Cambridge (USA) for å popularisere matematikk. 24. mai 2000 valgte instituttets eksperter de syv mest forvirrende problemene, etter deres mening. Og de utnevnte en million dollar for hver.

Listen er navngitt .

1. Cooks problem

Det er nødvendig å avgjøre om verifiseringen av riktigheten av løsningen av et problem kan være lengre enn å få selve løsningen. Denne logiske oppgaven er viktig for spesialister innen kryptografi – datakryptering.

2. Riemann-hypotese

Det er såkalte primtall, som 2, 3, 5, 7 osv., som bare er delbare med seg selv. Hvor mange det er er ikke kjent. Riemann mente at dette kunne bestemmes og regelmessigheten av distribusjonen deres kunne bli funnet. Den som finner den vil også tilby kryptografitjenester.

3. Birch og Swinnerton-Dyer hypotese

Problemet er knyttet til å løse ligninger med tre ukjente opphøyd til en potens. Vi må finne ut hvordan vi skal løse dem, uansett hvor vanskelig det er.

4. Hodge-hypotese

På det tjuende århundre oppdaget matematikere en metode for å studere formen komplekse gjenstander. Tanken er å bruke enkle "klosser" i stedet for selve gjenstanden, som limes sammen og danner dens likhet. Vi må bevise at dette alltid er tillatt.

5. Navier - Stokes ligninger

Det er verdt å huske dem på flyet. Ligningene beskriver luftstrømmene som holder den i luften. Nå er ligningene løst tilnærmet, etter omtrentlige formler. Det er nødvendig å finne eksakte og bevise at i tredimensjonalt rom er det en løsning av ligningene, som alltid er sann.

6. Yang-Mills ligninger

Det er en hypotese i fysikkens verden: hvis en elementær partikkel har en masse, så eksisterer dens nedre grense også. Men hvilken er ikke klart. Du må komme til ham. Dette er kanskje den vanskeligste oppgaven. For å løse det er det nødvendig å lage en "teori om alt" - ligninger som kombinerer alle krefter og samspill i naturen. Den som lykkes vil helt sikkert motta Nobelprisen.

Den siste store prestasjonen til ren matematikk er beviset på Poincaré-formodningen, uttrykt i 1904 og som sier: "hver sammenkoblet, enkelt koblet, kompakt tredimensjonal manifold uten grense, er homeomorf til sfæren S 3" av Grigory Perelman fra St. Petersburg i 2002–2003.

Det er flere begreper i denne frasen som jeg vil prøve å forklare på en slik måte at deres generelle betydning blir tydelig for ikke-matematikere (jeg antar at leseren er ferdig videregående skole og husker fortsatt noe fra skolematematikken).

La oss starte med begrepet homeomorfisme, som er sentralt i topologien. Generelt er topologi ofte definert som "gummigeometri", dvs. som vitenskapen om egenskapene til geometriske bilder som ikke endres under jevne deformasjoner uten gap og liming, eller rettere sagt, hvis det er mulig å etablere en en-til- en og en-til-en korrespondanse mellom to objekter.

Hovedideen er enklest å forklare ved å bruke det klassiske eksemplet på et krus og en bagel. Den første kan gjøres om til den andre ved kontinuerlig deformasjon.

Disse figurene viser tydelig at kruset er homeomorf til smultringen, og dette faktum er sant både for overflatene deres (todimensjonale manifolder, kalt en torus) og for fylte legemer (tredimensjonale manifolder med grense).

La oss gi en tolkning av resten av begrepene som dukker opp i formuleringen av hypotesen.

1. En tredimensjonal manifold uten grenser. Dette er et slikt geometrisk objekt, der hvert punkt har et nabolag i form av en tredimensjonal ball. Eksempler på 3-manifolder er for det første hele det tredimensjonale rommet, betegnet med R 3 , samt evt. åpne sett punkter i R 3 , for eksempel det indre av en solid torus (smultring). Hvis vi vurderer en lukket solid torus, dvs. legger til grensepunktene (overflaten til en torus), får vi allerede en manifold med en grense - grensepunktene har ikke nabolag i form av en ball, men bare i form av en halvdel av ballen.
2. Tilkoblet. Konseptet med tilkobling er det enkleste her. En manifold er koblet sammen hvis den består av ett stykke, eller, hva som er det samme, hvilke som helst to av punktene kan kobles sammen med en kontinuerlig linje som ikke går utover grensene.
3. Bare koblet til. Forestillingen om enkelttilknytning er mer komplisert. Det betyr at enhver kontinuerlig lukket kurve som ligger helt innenfor en gitt manifold, kan trekkes jevnt sammen til et punkt uten å forlate denne manifolden. For eksempel er en vanlig todimensjonal kule i R 3 ganske enkelt koblet (et elastisk bånd, vilkårlig festet til overflaten av et eple, kan trekkes sammen ved en jevn deformasjon til ett punkt uten å rive det elastiske båndet fra eplet). På den annen side er ikke sirkelen og torusen bare koblet sammen.
4. Kompakt. En manifold er kompakt hvis noen av dens homeomorfe bilder har avgrensede dimensjoner. For eksempel er et åpent intervall på en linje (alle punkter i et segment unntatt endene) ikke kompakt, siden det kontinuerlig kan utvides til en uendelig linje. Men et lukket segment (med ender) er en kompakt manifold med en grense: for enhver kontinuerlig deformasjon går endene til noen spesifikke punkter, og hele segmentet må gå inn i en avgrenset kurve som forbinder disse punktene.

Dimensjon manifolder er antall frihetsgrader på punktet som "lever" på den. Hvert punkt har et nabolag i form av en skive med tilsvarende dimensjon, dvs. et intervall av en linje i det endimensjonale tilfellet, en sirkel på planet i det todimensjonale tilfellet, en ball i det tredimensjonale tilfellet , etc. Fra topologiens synspunkt er det bare to endimensjonale sammenkoblede manifolder uten grense: dette er linjen og sirkelen. Av disse er bare sirkelen kompakt.

Et eksempel på et rom som ikke er en manifold er for eksempel et par kryssende linjer - tross alt, i skjæringspunktet mellom to linjer har ethvert nabolag form av et kors, det har ikke et nabolag som ville selv være bare et intervall (og alle andre punkter har slike nabolag). Matematikere sier i slike tilfeller at vi har å gjøre med en entallsmanifold, som har ett entallspunkt.

Todimensjonale kompakte manifolder er velkjente. Hvis vi bare vurderer orientert manifolder uten grense, så danner de fra et topologisk synspunkt en enkel, om enn uendelig, liste: og så videre. Hver slik manifold oppnås fra en kule ved å lime flere håndtak, hvis nummer kalles slekten til overflaten.

Figuren viser overflater av slekt 0, 1, 2 og 3. Hvordan skiller en kule seg ut fra alle overflatene i denne listen? Det viser seg at det ganske enkelt er koblet: på en kule kan enhver lukket kurve trekkes sammen til et punkt, og på en hvilken som helst annen overflate er det alltid mulig å indikere en kurve som ikke kan trekkes sammen til et punkt langs overflaten.

Det er merkelig at tredimensjonale kompakte manifolder uten grense også kan klassifiseres i en viss forstand, det vil si ordnet i en viss liste, selv om det ikke er så enkelt som i det todimensjonale tilfellet, men har en ganske kompleks struktur. Imidlertid skiller 3D-sfæren S 3 seg ut i denne listen på nøyaktig samme måte som 2D-sfæren i listen ovenfor. At en hvilken som helst kurve på S 3 trekker seg sammen til et punkt er like lett å bevise som i det todimensjonale tilfellet. Men den omvendte påstanden, nemlig at denne egenskapen er unik nettopp for sfæren, dvs. at det er ikke-sammentrekkbare kurver på en hvilken som helst annen tredimensjonal manifold, er veldig vanskelig og utgjør nøyaktig innholdet i Poincare-formodningen vi snakker om .

Det er viktig å forstå at manifolden kan leve på egen hånd, den kan tenkes på som et uavhengig objekt, ikke nestet noe sted. (Se for deg levende todimensjonale vesener på overflaten av en vanlig sfære, uvitende om eksistensen av en tredje dimensjon.) Heldigvis kan alle de todimensjonale overflatene fra listen ovenfor være innebygd i det vanlige R 3-rommet, noe som gjør dem lettere å visualisere. For 3-sfæren S 3 (og generelt for en hvilken som helst kompakt 3-manifold uten grense) er dette ikke lenger tilfelle, så det kreves en viss innsats for å forstå strukturen.

Tilsynelatende enkleste måtenå forklare den topologiske strukturen til den tredimensjonale sfæren S 3 er ved hjelp av ettpunktskomprimering. Den tredimensjonale sfæren S3 er nemlig en ettpunktskomprimering av det vanlige tredimensjonale (ubegrensede) rommet R3.

La oss først forklare denne konstruksjonen enkle eksempler. La oss ta en vanlig uendelig rett linje (en endimensjonal analog av rom) og legge til ett "uendelig fjernt" punkt til det, forutsatt at når vi beveger oss langs en rett linje til høyre eller venstre, kommer vi til slutt til dette punktet. Fra et topologisk synspunkt er det ingen forskjell mellom en uendelig linje og et avgrenset åpent segment (uten endepunkter). Et slikt segment kan bøyes kontinuerlig i form av en bue, bringe endene nærmere hverandre og lim det manglende punktet inn i krysset. Vi får åpenbart en sirkel - en endimensjonal analog av en sfære.

Tilsvarende, hvis jeg tar et uendelig plan og legger til ett punkt ved uendelig, som alle linjene i det opprinnelige planet, som passerer i en hvilken som helst retning, tenderer til, så får vi en todimensjonal (vanlig) kule S 2 . Denne prosedyren kan observeres ved hjelp av en stereografisk projeksjon, som tildeler hvert punkt P av kulen, med unntak av nordpolen til N, et bestemt punkt på planet P.

Dermed er en kule uten ett punkt topologisk det samme som et plan, og å legge til et punkt gjør planet til en kule.

I prinsippet gjelder nøyaktig samme konstruksjon for en tredimensjonal sfære og tredimensjonalt rom, bare for implementeringen er det nødvendig å gå inn i den fjerde dimensjonen, og dette er ikke så lett å skildre på tegningen. Så jeg vil begrense meg verbal beskrivelse ettpunktskomprimering av rommet R 3 .

Tenk deg at til vårt fysiske rom (som vi, etter Newton, anser for å være et ubegrenset euklidisk rom med tre koordinater x, y, z) har ett punkt "i det uendelige" lagt til på en slik måte at når vi beveger oss langs en rett linje i en hvilken som helst retning, faller du (dvs. hver romlig linje lukkes til en sirkel). Da får vi en kompakt tredimensjonal manifold, som per definisjon er sfæren S 3 .

Det er lett å se at kulen S 3 ganske enkelt er koblet til. Faktisk kan enhver lukket kurve på denne sfæren forskyves litt slik at den ikke passerer gjennom det ekstra punktet. Da får vi en kurve i det vanlige rommet R 3 , som enkelt trekkes sammen til et punkt ved hjelp av homoteter, dvs. kontinuerlig sammentrekning i alle tre retninger.

For å forstå hvordan manifolden S 3 er strukturert, er det veldig lærerikt å vurdere dens oppdeling i to solide tori. Hvis den solide torusen er utelatt fra rommet R 3, gjenstår det noe som ikke er veldig tydelig. Og hvis plassen komprimeres til en sfære, blir dette komplementet også til en solid torus. Det vil si at sfæren S 3 er delt inn i to solide tori som har en felles grense - en torus.

Her er hvordan det kan forstås. La oss legge inn torusen i R 3 som vanlig, i form av en rund smultring, og tegne en vertikal linje - rotasjonsaksen til denne smultringen. Vi tegner et vilkårlig plan gjennom aksen, det vil krysse vår solide torus i to sirkler vist på figuren i grønt, og den ekstra delen av flyet er delt inn i en sammenhengende familie av røde sirkler. Blant dem er den sentrale aksen, uthevet med fetere, fordi i sfæren S 3 lukkes linjen til en sirkel. Et tredimensjonalt bilde oppnås fra dette todimensjonale bildet ved å rotere rundt en akse. Et komplett sett med roterte sirkler vil da fylle en tredimensjonal kropp, homeomorf til en solid torus, som bare ser uvanlig ut.

Faktisk vil den sentrale aksen være en aksial sirkel i den, og resten vil spille rollen som paralleller - sirkler som utgjør den vanlige solide torusen.

For å ha noe å sammenligne 3-sfæren med, vil jeg gi et annet eksempel på en kompakt 3-manifold, nemlig en tredimensjonal torus. En tredimensjonal torus kan konstrueres som følger. La oss ta en vanlig tredimensjonal kube som kildemateriale:

Den har tre par ansikter: venstre og høyre, topp og bunn, foran og bak. I hvert par parallelle flater identifiserer vi parvis punktene oppnådd fra hverandre ved å overføre langs kanten av kuben. Det vil si at vi vil anta (rent abstrakt, uten å bruke fysiske deformasjoner) at for eksempel A og A "er det samme punktet, og B og B" også er ett punkt, men forskjellig fra punkt A. Alle interne punkter i kube vil vi vurdere som vanlig. Selve kuben er en manifold med en grense, men etter at limingen er utført, lukker grensen seg og forsvinner. Faktisk, nabolagene til punktene A og A" i kuben (de ligger på venstre og høyre skyggelagte flater) er halvdelene av ballene, som, etter å ha limt flatene sammen, smelter sammen til en hel ball, som fungerer som en nabolaget til det tilsvarende punktet til den tredimensjonale torusen.

For å føle strukturen til en 3-torus basert på vanlige ideer om fysisk rom, må du velge tre gjensidig vinkelrette retninger: fremover, venstre og opp - og mentalt vurdere, som i science fiction-historier, at når du beveger deg i noen av disse retningene, en ganske lang, men begrenset tid , vil vi gå tilbake til utgangspunktet, men fra motsatt retning. Dette er også en "komprimering av rommet", men ikke en ettpunkts, brukt tidligere for å konstruere en sfære, men mer kompleks.

Det er ikke-kontrakterbare stier på 3-torus; for eksempel er dette segmentet AA" i figuren (på torusen viser det en lukket bane). Det kan ikke trekkes sammen, fordi for enhver kontinuerlig deformasjon må punktene A og A" bevege seg langs sidene, og forbli strengt motsatt hver annet (ellers åpnes kurven).

Dermed ser vi at det er enkelt tilkoblede og ikke-enkelt tilkoblede kompakte 3-manifolder. Perelman beviste at en enkelt koblet manifold er nøyaktig en.

Utgangspunktet for beviset er bruken av den såkalte "Ricci-strømmen": vi tar en enkelt tilkoblet kompakt 3-manifold, gir den en vilkårlig geometri (dvs. introduserer noen metrikk med avstander og vinkler), og vurderer deretter dens utvikling langs Ricci-strømmen. Richard Hamilton, som foreslo denne ideen i 1981, håpet at med denne utviklingen ville mangfoldet vårt bli til en sfære. Det viste seg at dette ikke er sant - i det tredimensjonale tilfellet er Ricci-strømmen i stand til å ødelegge manifolden, det vil si å gjøre den til en liten manifold (noe med entallspunkter, som i eksemplet ovenfor med kryssende linjer). Perelman, ved å overvinne utrolige tekniske vanskeligheter, ved å bruke det tunge apparatet med partielle differensialligninger, klarte å endre Ricci-strømmen nær entallspunkter på en slik måte at under evolusjonen endres ikke manifoldens topologi, det er ingen entallspunkter, og i til slutt blir den til en rund kule. Men det er nødvendig å forklare, til slutt, hva denne strømmen av Ricci er. Strømmene brukt av Hamilton og Perelman refererer til en endring i den indre metrikken på en abstrakt manifold, og dette er ganske vanskelig å forklare, så jeg vil begrense meg til å beskrive den "eksterne" Ricci-strømmen på endimensjonale manifolder innebygd i et plan .

Se for deg en jevn lukket kurve på det euklidiske planet, velg en retning på det, og betrakt ved hvert punkt en tangentvektor med lengdeenhet. Så, når du går rundt kurven i den valgte retningen, vil denne vektoren rotere med en viss vinkelhastighet, som kalles krumning. Der kurven er brattere, vil krumningen (i absolutt verdi) være større, og der den er jevnere, vil krumningen bli mindre.

Krumningen vil bli ansett som positiv hvis hastighetsvektoren dreier mot den indre delen av planet delt av kurven vår i to deler, og negativ hvis den vender utover. Denne konvensjonen er uavhengig av retningen som kurven krysses i. Ved vendepunkter hvor rotasjonen endrer retning, vil krumningen være 0. For eksempel har en sirkel med radius 1 en konstant positiv krumning på 1 (målt i radianer).

La oss nå glemme tangentvektorer og feste til hvert punkt i kurven, tvert imot, en vektor vinkelrett på den, lik lengde med krumningen ved et gitt punkt og rettet innover hvis krumningen er positiv, og utover hvis den er negativ , og så vil vi tvinge hvert punkt til å bevege seg i retning av den tilsvarende vektoren med hastighet proporsjonal med lengden. Her er et eksempel:

Det viser seg at enhver lukket kurve på flyet oppfører seg på lignende måte under en slik utvikling, det vil si at den til slutt blir til en sirkel. Dette er beviset på den endimensjonale analogen til Poincare-formodningen ved å bruke Ricci-strømmen (men selve utsagnet i dette tilfellet er allerede åpenbart, bare bevismetoden illustrerer hva som skjer i dimensjon 3).

Avslutningsvis bemerker vi at Perelmans argument ikke bare beviser Poincaré-formodningen, men også den mye mer generelle Thurston-geometriseringsformodningen, som i i en viss forstand beskriver strukturen til alle kompakte 3-manifolder generelt. Men dette emnet ligger utenfor rammen av denne elementære artikkelen.

På grunn av plassmangel vil jeg ikke snakke om ikke-orienterbare manifolder, et eksempel på dette er den berømte Klein-flasken - en overflate som ikke kan bygges inn i et rom uten selvkryss.

Clay Institute of Mathematics tildelte Grigory Perelman tusenårsprisen, og anerkjente dermed offisielt beviset på Poincaré-formodningen, utført av en russisk matematiker, som riktig. Det er bemerkelsesverdig at ved å gjøre dette, måtte instituttet bryte sine egne regler - ifølge dem er det bare en forfatter som har publisert sitt arbeid i fagfellevurderte tidsskrifter som kan kreve å motta rundt en million dollar, dette er nøyaktig størrelsen på premie. Grigory Perelmans arbeid så aldri dagens lys formelt - det forble som et sett med flere forhåndstrykk på nettstedet arXiv.org (en, to og tre). Det er imidlertid ikke så viktig hva som forårsaket instituttets beslutning – tildelingen av tusenårsprisen setter en stopper for historien på mer enn 100 år.

Krus, smultring og litt topologi

Før du finner ut hva Poincaré-formodningen er, er det nødvendig å forstå hva slags gren av matematikken - topologi - som nettopp denne hypotesen tilhører. Topologien til manifolder omhandler egenskapene til overflater som ikke endres under visse deformasjoner. La oss forklare med et klassisk eksempel. Anta at leseren har en smultring og en tom kopp foran seg. Fra et synspunkt av geometri og sunn fornuft er dette forskjellige objekter, om ikke annet fordi du ikke vil kunne drikke kaffe fra en smultring med alt du ønsker.

Topologen vil imidlertid si at koppen og smultringen er det samme. Og han vil forklare det på denne måten: forestill deg at en kopp og en smultring er overflater som er hule inni, laget av et veldig elastisk materiale (en matematiker vil si at det er et par kompakte todimensjonale manifolder). La oss gjennomføre et spekulativt eksperiment: først blåser vi opp bunnen av koppen, og deretter håndtaket, hvoretter den blir til en torus (dette er hvordan smultringformen matematisk kalles). Du kan se hvordan denne prosessen ser ut.

Selvfølgelig har en nysgjerrig leser et spørsmål: siden overflater kan være rynkete, hvordan kan de skilles fra hverandre? Tross alt, for eksempel, er det intuitivt klart - uansett hvordan du forestiller deg en torus, kan du ikke få en kule fra den uten hull og liminger. Her spiller de såkalte invariantene inn – overflatekarakteristikker som ikke endres under deformasjon – et konsept som er nødvendig for formuleringen av Poincaré-hypotesen.

Sunn fornuft forteller oss at et hull skiller en torus fra en kule. Imidlertid er et hull langt fra et matematisk konsept, så det må formaliseres. Dette gjøres som følger - forestill deg at vi har en veldig tynn elastisk tråd på overflaten som danner en løkke (i dette spekulative eksperimentet, i motsetning til det forrige, anser vi selve overflaten som solid). Vi vil flytte løkken uten å rive den av overflaten og uten å bryte den. Hvis tråden kan trekkes sammen til en veldig liten sirkel (nesten et punkt), så sies løkken å være sammentrekkbar. Ellers kalles løkken ikke-uttrekkbar.

Grunngruppen til en torus er betegnet med n 1 (T 2). Fordi det er ikke-trivielt, danner musens armer en ikke-uttrekkbar løkke. Tristheten i ansiktet til dyret er resultatet av erkjennelsen av dette faktum.

Så det er lett å se at en hvilken som helst løkke på en kule kan trekkes sammen (du kan se omtrent hvordan den ser ut), men for en torus er dette ikke lenger tilfelle: det er så mange som to løkker på en smultring - en er tredd inn i et hull, og den andre omgår hullet "langs omkretsen", - som ikke kan trekkes. På dette bildet er eksempler på ikke-kontrakterbare løkker vist i rødt og lilla hhv. Når det er løkker på overflaten, sier matematikere at "den grunnleggende gruppen av en variasjon er ikke-triviell", og hvis det ikke er slike løkker, så er det trivielt.

Nå, for å kunne formulere Poincare-antagelsen ærlig, må den nysgjerrige leser være tålmodig litt mer: vi må finne ut hva en tredimensjonal manifold generelt og en tredimensjonal sfære spesielt er.

La oss gå tilbake et øyeblikk til overflatene vi diskuterte ovenfor. Hver av dem kan kuttes i så små biter at hver nesten vil ligne en del av flyet. Siden flyet bare har to dimensjoner, sies manifolden også å være todimensjonal. En tredimensjonal manifold er en overflate som kan kuttes i små biter, som hver er svært lik en del av vanlig tredimensjonalt rom.

sjef" skuespiller"Hypotese er en tredimensjonal sfære. Det er sannsynligvis umulig å forestille seg en tredimensjonal sfære som en analog av en vanlig sfære i firedimensjonalt rom uten å miste forstanden. Det er imidlertid ganske enkelt å beskrive dette objektet, så å snakke, "i deler" ganske enkelt. Alle som har sett en jordklode, de vet at en vanlig kule kan limes sammen fra nord og sørlige halvkule langs ekvator. Så en tredimensjonal sfære limes sammen fra to kuler (nordlige og sørlige) langs en sfære, som er en analog av ekvator.

På tredimensjonale manifolder kan man vurdere de samme løkkene som vi tok på vanlige overflater. Så, Poincaré-formodningen sier: "Hvis den grunnleggende gruppen i en tredimensjonal manifold er triviell, så er den homeomorf til en sfære." Den uforståelige frasen "homeomorphic to a sfære" oversatt til uformelt språk betyr at overflaten kan deformeres til en sfære.

Litt historie

Generelt sett er det i matematikk mulig å formulere et stort antall komplekse utsagn. Men hva gjør denne eller den hypotesen stor, skiller den fra resten? Merkelig nok, men den store hypotesen kjennetegnes av et stort antall ukorrekte bevis, som hver inneholder en stor feil - unøyaktighet, som ofte fører til fremveksten av en helt ny seksjon av matematikk.

Så innledningsvis formulerte Henri Poincaré, som blant annet var preget av evnen til å gjøre strålende feil, hypotesen i en litt annen form enn vi skrev ovenfor. En tid senere ga han et moteksempel til sin påstand, som ble kjent som den homologiske Poincaré 3-sfæren, og formulerte i 1904 en formodning allerede i moderne form. Forresten, ganske nylig tilpasset forskere sfæren i astrofysikk - det viste seg at universet godt kan vise seg å være en homolog Poincaré 3-sfære.

Det må sies at hypotesen ikke skapte mye begeistring blant andre geometre. Slik var det til 1934, da den britiske matematikeren John Henry Whitehead presenterte sin versjon av beviset på hypotesen. Svært snart fant han imidlertid selv en feil i resonnementet, som senere førte til fremveksten av hele teorien om Whitehead-manifoldene.

Etter det ble æren av en ekstremt vanskelig oppgave gradvis forankret i hypotesen. Mange store matematikere prøvde å ta det med storm. For eksempel amerikaneren R.H.Bing, en matematiker som (absolutt offisielt) hadde initialer skrevet i stedet for et navn i dokumenter. Han gjorde flere mislykkede forsøk på å bevise hypotesen, og formulerte sitt eget utsagn under denne prosessen - den såkalte "property P-formodningen" (Property P-formodningen). Det er bemerkelsesverdig at denne uttalelsen, som ble ansett av Bing som en mellomliggende, viste seg å være nesten mer komplisert enn beviset på selve Poincaré-formodningen.

Det var blant forskerne og mennesker som ga livet sitt for å bevise dette matematisk faktum. For eksempel den berømte matematikeren av gresk opprinnelse Christos Papakiriakopoulos. I mer enn ti år, mens han jobbet i Princeton, prøvde han uten hell å bevise formodningen. Han døde av kreft i 1976.

Det er bemerkelsesverdig at generaliseringen av Poincaré-formodningen til manifolder med dimensjoner over tre viste seg å være merkbart enklere enn originalen - ekstra dimensjoner gjorde det lettere å manipulere manifolder. For n-dimensjonale manifolder (når n er minst 5), ble formodningen bevist av Stephen Smale i 1961. For n = 4 ble formodningen bevist med en helt annen metode enn Smales i 1982 av Michael Friedman. For sitt bevis mottok sistnevnte Fields-medaljen - den høyeste utmerkelsen for matematikere.

Arbeidene som beskrives er langt fra full liste forsøk på å løse mer enn et århundre med hypoteser. Og selv om hvert av verkene førte til fremveksten av en hel retning i matematikk og kan betraktes som vellykket og betydningsfull i denne forstand, var det bare russeren Grigory Perelman som klarte å endelig bevise Poincaré-formodningen.

Perelman og bevis

I 1992, Grigory Perelman, da ansatt ved Mathematical Institute. Steklov, kom til forelesningen til Richard Hamilton. Den amerikanske matematikeren snakket om Ricci-strømmer - et nytt verktøy for å studere Thurstons geometriseringsformodning - et faktum som Poincaré-formodningen ble hentet fra som en enkel konsekvens. Disse strømmene, konstruert på en måte analogt med varmeoverføringsligningene, førte til at overflatene deformerte over tid på omtrent samme måte som vi deformerte todimensjonale overflater i begynnelsen av denne artikkelen. Det viste seg at i noen tilfeller var resultatet av en slik deformasjon et objekt hvis struktur er lett å forstå. Hovedvanskeligheten var at under deformasjonen oppsto singulariteter med uendelig krumning, analogt på en eller annen måte med sorte hull i astrofysikk.

Etter forelesningen henvendte Perelman seg til Hamilton. Han sa senere at Richard positivt overrasket ham: "Han smilte og var veldig tålmodig. Han fortalte meg til og med noen fakta som ble publisert bare noen år senere. Han gjorde dette uten å nøle. Hans åpenhet og vennlighet overrasket meg. Jeg kan ikke si at de fleste moderne matematikere oppfører seg slik."

Etter en reise til USA vendte Perelman tilbake til Russland, hvor han begynte å jobbe med å løse problemet med singulariteter av Ricci-strømmer og bevise geometriseringshypotesen (og ikke i det hele tatt på Poincaré-hypotesen) i det skjulte. Det er ikke overraskende at Perelmans første preprint dukket opp 11. november 2002 sjokkerte det matematiske samfunnet. Etter en tid dukket det opp et par verk til.

Etter det trakk Perelman seg fra diskusjonen om bevis og sluttet til og med, sier de, å gjøre matematikk. Han avbrøt ikke sin ensomme livsstil selv i 2006, da han ble tildelt Fields-medaljen, den mest prestisjefylte prisen for matematikere. Det gir ingen mening å diskutere årsakene til denne oppførselen til forfatteren - et geni har rett til å oppføre seg rart (for eksempel ved å være i Amerika, klippet Perelman ikke neglene, slik at de kunne vokse fritt).

Uansett, Perelmans bevis fikk sitt eget liv: tre fortrykk hjemsøkte moderne matematikere. De første resultatene av å teste ideene til den russiske matematikeren dukket opp i 2006 - store geometre Bruce Kleiner og John Lott fra University of Michigan publiserte et forhåndstrykk eget arbeid, mer som en bok i størrelse - 213 sider. I dette arbeidet sjekket forskere nøye alle beregningene til Perelman, og forklarte i detalj de forskjellige utsagnene som bare kort ble angitt i arbeidet til den russiske matematikeren. Forskernes dom var entydig: bevisene er helt korrekte.

En uventet vending i denne historien kom i juli samme år. I journalen Asian Journal of Mathematics En artikkel av de kinesiske matematikerne Xiping Zhu og Huaidong Cao med tittelen "A Complete Proof of the Thurston Geometrization Conjecture and the Poincaré Conjecture" dukket opp. Innenfor rammen av dette arbeidet ble Perelmans resultater ansett som viktige, nyttige, men bare mellomliggende. denne jobben forårsaket overraskelse blant spesialister i Vesten, men fikk svært gunstige anmeldelser i øst. Spesielt ble resultatene støttet av Shintan Yau - en av grunnleggerne av Calabi-Yau-teorien, som la grunnlaget for strengteori - samt læreren i Cao og Ju. Ved en lykkelig tilfeldighet var det Yau som var sjefredaktør for magasinet. Asian Journal of Mathematics der verket ble publisert.

Etter det begynte matematikeren å reise rundt i verden med populære forelesninger, og snakket om prestasjonene til kinesiske matematikere. Som et resultat var det en fare for at resultatene til Perelman og til og med Hamilton veldig snart ville bli henvist til bakgrunnen. Dette har skjedd mer enn en gang i matematikkens historie - mange teoremer som bærer navnene til spesifikke matematikere ble oppfunnet av helt andre mennesker.

Dette skjedde imidlertid ikke og vil sannsynligvis ikke skje nå. Utdelingen av Clay Award til Perelman (selv om han nekter) sementerte for alltid offentlig bevissthet faktum: Den russiske matematikeren Grigory Perelman beviste Poincaré-formodningen. Det spiller ingen rolle at han faktisk beviste et mer generelt faktum, og utviklet underveis en helt ny teori om singulariteter av Ricci-strømmer. Likevel. Prisen har funnet en helt.

Foto av N. Chetverikova Den siste store prestasjonen til ren matematikk er beviset på Poincaré-formodningen, uttrykt i 1904 og som sier: "hver sammenkoblet, enkelt koblet, kompakt tredimensjonal manifold uten grense, er homeomorf til sfæren S 3 " av Grigory Perelman fra St. Petersburg i 2002-2003.

Det er flere begreper i denne setningen, som jeg vil prøve å forklare på en slik måte at deres generelle betydning blir tydelig for ikke-matematikere (jeg antar at leseren har gått ut av videregående og fortsatt husker noe fra skolematematikken).

La oss starte med begrepet homeomorfisme, som er sentralt i topologien. Generelt er topologi ofte definert som "gummigeometri", dvs. som vitenskapen om egenskapene til geometriske bilder som ikke endres under jevne deformasjoner uten gap og liming, eller rettere sagt, hvis det er mulig å etablere en en-til- en og en-til-en korrespondanse mellom to objekter.

Hovedideen er enklest å forklare ved å bruke det klassiske eksemplet på et krus og en bagel. Den første kan gjøres om til den andre ved en kontinuerlig deformasjon: Disse figurene viser tydelig at kruset er homeomorf til smultringen, og dette faktum er sant både for overflatene deres (todimensjonale manifolder, kalt en torus) og for fylte kropper ( tredimensjonale manifolder med grense).

La oss gi en tolkning av resten av begrepene som dukker opp i formuleringen av hypotesen.

1. Tredimensjonal manifold uten grense. Dette er et slikt geometrisk objekt, der hvert punkt har et nabolag i form av en tredimensjonal ball. Eksempler på 3-manifolder er for det første hele det tredimensjonale rommet, betegnet med R 3 , samt eventuelle åpne sett med punkter i R 3, for eksempel det indre av en solid torus (smørring). Hvis vi vurderer en lukket solid torus, dvs. legger til grensepunktene (overflaten til torusen), får vi allerede en manifold med grense - grensepunktene har ikke nabolag i form av en ball, men bare i form av en halvdel av ballen.

2. Tilkoblet. Konseptet med tilkobling er det enkleste her. En manifold er koblet sammen hvis den består av ett stykke, eller, noe det samme, hvilke som helst to av punktene kan kobles sammen med en kontinuerlig linje som ikke går utover grensene.

3. Bare koblet til. Forestillingen om enkelttilknytning er mer komplisert. Det betyr at enhver kontinuerlig lukket kurve som ligger helt innenfor en gitt manifold, kan trekkes jevnt sammen til et punkt uten å forlate denne manifolden. For eksempel er en vanlig todimensjonal kule i R 3 ganske enkelt koblet (et elastisk bånd, vilkårlig festet til overflaten av et eple, kan trekkes sammen ved en jevn deformasjon til ett punkt uten å rive det elastiske båndet fra eplet). På den annen side er ikke sirkelen og torusen bare koblet sammen.

4. Kompakt. En manifold er kompakt hvis noen av dens homeomorfe bilder har avgrensede dimensjoner. For eksempel er et åpent intervall på en linje (alle punkter i et segment unntatt endene) ikke kompakt, siden det kontinuerlig kan utvides til en uendelig linje. Men et lukket segment (med ender) er en kompakt manifold med en grense: for enhver kontinuerlig deformasjon går endene til noen spesifikke punkter, og hele segmentet må gå inn i en avgrenset kurve som forbinder disse punktene.

Dimensjon mangfoldig er antall frihetsgrader på punktet som "lever" på den. Hvert punkt har et nabolag i form av en skive med tilsvarende dimensjon, dvs. et intervall av en linje i det endimensjonale tilfellet, en sirkel på planet i det todimensjonale tilfellet, en ball i det tredimensjonale tilfellet , etc. Fra topologiens synspunkt er det bare to endimensjonale sammenkoblede manifolder uten grense: dette er linjen og sirkelen. Av disse er bare sirkelen kompakt.

Et eksempel på et rom som ikke er en manifold er for eksempel et par kryssende linjer - tross alt, i skjæringspunktet mellom to linjer har ethvert nabolag form av et kors, det har ikke et nabolag som ville selv være bare et intervall (og alle andre punkter har slike nabolag). Matematikere sier i slike tilfeller at vi har å gjøre med en entallsmanifold, som har ett entallspunkt.

Todimensjonale kompakte manifolder er velkjente. Hvis vi bare vurderer orientert 1 manifolder uten grense, så danner de fra et topologisk synspunkt en enkel, om enn uendelig, liste: og så videre. Hver slik manifold oppnås fra en kule ved å lime flere håndtak, hvis nummer kalles slekten til overflaten.

1 På grunn av plassmangel vil jeg ikke snakke om ikke-orienterbare manifolder, et eksempel på dette er den berømte Klein-flasken - en overflate som ikke kan bygges inn i et rom uten selvkryss.

Figuren viser overflater av slekt 0, 1, 2 og 3. Hvordan skiller en kule seg ut fra alle overflatene i denne listen? Det viser seg at det ganske enkelt er koblet: på en kule kan enhver lukket kurve trekkes sammen til et punkt, og på en hvilken som helst annen overflate er det alltid mulig å indikere en kurve som ikke kan trekkes sammen til et punkt langs overflaten.

Det er merkelig at tredimensjonale kompakte manifolder uten grense også kan klassifiseres i en viss forstand, det vil si ordnet i en viss liste, selv om det ikke er så enkelt som i det todimensjonale tilfellet, men har en ganske kompleks struktur. Imidlertid skiller 3D-sfæren S 3 seg ut i denne listen på nøyaktig samme måte som 2D-sfæren i listen ovenfor. At en hvilken som helst kurve på S 3 trekker seg sammen til et punkt er like lett å bevise som i det todimensjonale tilfellet. Men den omvendte påstanden, nemlig at denne egenskapen er unik nettopp for sfæren, dvs. at det er ikke-sammentrekkbare kurver på en hvilken som helst annen tredimensjonal manifold, er veldig vanskelig og utgjør nøyaktig innholdet i Poincare-formodningen vi snakker om .

Det er viktig å forstå at manifolden kan leve på egen hånd, den kan tenkes på som et uavhengig objekt, ikke nestet noe sted. (Se for deg levende todimensjonale vesener på overflaten av en vanlig sfære, uvitende om eksistensen av en tredje dimensjon.) Heldigvis kan alle de todimensjonale overflatene fra listen ovenfor være innebygd i det vanlige R 3-rommet, noe som gjør dem lettere å visualisere. For 3-sfæren S 3 (og generelt for en hvilken som helst kompakt 3-manifold uten grense) er dette ikke lenger tilfelle, så det kreves en viss innsats for å forstå strukturen.

Tilsynelatende er den enkleste måten å forklare den topologiske strukturen til den tredimensjonale sfæren S 3 ved hjelp av ettpunktskomprimering. Den tredimensjonale sfæren S3 er nemlig en ettpunktskomprimering av det vanlige tredimensjonale (ubegrensede) rommet R3.

La oss først forklare denne konstruksjonen med enkle eksempler. La oss ta en vanlig uendelig rett linje (en endimensjonal analog av rom) og legge til ett "uendelig fjernt" punkt til det, forutsatt at når vi beveger oss langs en rett linje til høyre eller venstre, kommer vi til slutt til dette punktet. Fra et topologisk synspunkt er det ingen forskjell mellom en uendelig linje og et avgrenset åpent segment (uten endepunkter). Et slikt segment kan bøyes kontinuerlig i form av en bue, bringe endene nærmere hverandre og lim det manglende punktet inn i krysset. Vi får åpenbart en sirkel - en endimensjonal analog av en sfære.

Tilsvarende, hvis jeg tar et uendelig plan og legger til ett punkt ved uendelig, som alle linjene i det opprinnelige planet, som passerer i en hvilken som helst retning, tenderer til, så får vi en todimensjonal (vanlig) kule S 2 . Denne prosedyren kan observeres ved hjelp av en stereografisk projeksjon, som tildeler hvert punkt P av kulen, med unntak av nordpolen til N, et bestemt punkt på planet P ":

Dermed er en kule uten ett punkt topologisk det samme som et plan, og å legge til et punkt gjør planet til en kule.

I prinsippet gjelder nøyaktig samme konstruksjon for en tredimensjonal sfære og tredimensjonalt rom, bare for implementeringen er det nødvendig å gå inn i den fjerde dimensjonen, og dette er ikke så lett å skildre på tegningen. Derfor begrenser jeg meg til en verbal beskrivelse av ettpunktskomprimeringen av rommet R 3 .

Tenk deg at til vårt fysiske rom (som vi, etter Newton, anser for å være et ubegrenset euklidisk rom med tre koordinater x, y, z) har ett punkt "i det uendelige" lagt til på en slik måte at når vi beveger oss langs en rett linje i en hvilken som helst retning, faller du (dvs. hver romlig linje lukkes til en sirkel). Da får vi en kompakt tredimensjonal manifold, som per definisjon er sfæren S 3 .

Det er lett å se at kulen S 3 ganske enkelt er koblet til. Faktisk kan enhver lukket kurve på denne sfæren forskyves litt slik at den ikke passerer gjennom det ekstra punktet. Da får vi en kurve i det vanlige rommet R 3 , som enkelt trekkes sammen til et punkt ved hjelp av homoteter, dvs. kontinuerlig sammentrekning i alle tre retninger.

For å forstå hvordan manifolden S 3 er strukturert, er det veldig lærerikt å vurdere dens oppdeling i to solide tori. Hvis den solide torusen er utelatt fra rommet R 3, gjenstår det noe som ikke er veldig tydelig. Og hvis plassen komprimeres til en sfære, blir dette komplementet også til en solid torus. Det vil si at sfæren S 3 er delt inn i to solide tori som har en felles grense - en torus.

Her er hvordan det kan forstås. La oss legge inn torusen i R 3 som vanlig, i form av en rund smultring, og tegne en vertikal linje - rotasjonsaksen til denne smultringen. Tegn et vilkårlig plan gjennom aksen, det vil krysse vår solide torus langs to sirkler vist i grønt på figuren, og den ekstra delen av flyet er delt inn i en kontinuerlig familie av røde sirkler. Blant dem er den sentrale aksen, uthevet med fetere, fordi i sfæren S 3 lukkes linjen til en sirkel. Et tredimensjonalt bilde oppnås fra dette todimensjonale bildet ved å rotere rundt en akse. Et komplett sett med roterte sirkler vil da fylle en tredimensjonal kropp, homeomorf til en solid torus, som bare ser uvanlig ut.

Faktisk vil den sentrale aksen være en aksial sirkel i den, og resten vil spille rollen som paralleller - sirkler som utgjør den vanlige solide torusen.

For å ha noe å sammenligne 3-sfæren med, vil jeg gi et annet eksempel på en kompakt 3-manifold, nemlig en tredimensjonal torus. En tredimensjonal torus kan konstrueres som følger. La oss ta en vanlig tredimensjonal kube som kildemateriale:

Den har tre par ansikter: venstre og høyre, topp og bunn, foran og bak. I hvert par parallelle flater identifiserer vi parvis punktene oppnådd fra hverandre ved å overføre langs kanten av kuben. Det vil si at vi vil anta (rent abstrakt, uten å bruke fysiske deformasjoner) at for eksempel A og A "er det samme punktet, og B og B" også er ett punkt, men forskjellig fra punkt A. Alle interne punkter i kube vil vi vurdere som vanlig. Selve kuben er en manifold med kant, men etter at limingen er utført, lukker kanten seg og forsvinner. Faktisk, nabolagene til punktene A og A" i kuben (de ligger på venstre og høyre skyggelagte flater) er halvdelene av ballene, som, etter å ha limt flatene sammen, smelter sammen til en hel ball, som fungerer som en nabolaget til det tilsvarende punktet til den tredimensjonale torusen.

For å føle strukturen til 3-torus basert på vanlige ideer om fysisk rom, må du velge tre gjensidig vinkelrette retninger: fremover, venstre og opp - og mentalt vurdere, som i science fiction-historier, at når du beveger deg i noen av disse retningene, en ganske lang, men begrenset tid , vil vi gå tilbake til utgangspunktet, men fra motsatt retning. Dette er også en "komprimering av rommet", men ikke en ettpunkts en, brukt tidligere for å konstruere en sfære, men mer komplisert.

Det er ikke-kontrakterbare stier på 3-torus; for eksempel er dette segmentet AA" i figuren (på torusen viser det en lukket bane). Det kan ikke trekkes sammen, fordi for enhver kontinuerlig deformasjon må punktene A og A" bevege seg langs sidene, og forbli strengt motsatt hver annet (ellers åpnes kurven).

Dermed ser vi at det er enkelt tilkoblede og ikke-enkelt tilkoblede kompakte 3-manifolder. Perelman beviste at en enkelt koblet manifold er nøyaktig en.

Den første ideen med beviset er å bruke den såkalte "Ricci-strømmen": vi tar en enkelt tilkoblet kompakt 3-manifold, gir den en vilkårlig geometri (dvs. introduserer noen metrikk med avstander og vinkler), og deretter vurdere utviklingen langs Ricci-strømmen. Richard Hamilton, som foreslo denne ideen i 1981, håpet at med denne utviklingen ville mangfoldet vårt bli til en sfære. Det viste seg at dette ikke er sant - i det tredimensjonale tilfellet er Ricci-strømmen i stand til å ødelegge manifolden, det vil si å gjøre den til en liten manifold (noe med entallspunkter, som i eksemplet ovenfor med kryssende linjer). Perelman, ved å overvinne utrolige tekniske vanskeligheter, ved å bruke det tunge apparatet med partielle differensialligninger, klarte å endre Ricci-strømmen nær entallspunkter på en slik måte at under evolusjonen endres ikke manifoldens topologi, det er ingen entallspunkter, og i til slutt blir den til en rund kule. Men vi må til slutt forklare hva denne strømmen av Ricci er. Strømmene brukt av Hamilton og Perelman refererer til en endring i den indre metrikken på en abstrakt manifold, og dette er ganske vanskelig å forklare, så jeg vil begrense meg til å beskrive den "eksterne" Ricci-strømmen på endimensjonale manifolder innebygd i et plan .

Se for deg en jevn lukket kurve på det euklidiske planet, velg en retning på det, og betrakt ved hvert punkt en tangentvektor med lengdeenhet. Så, når du går rundt kurven i den valgte retningen, vil denne vektoren rotere med en viss vinkelhastighet, som kalles krumning. Der kurven er brattere, vil krumningen (i absolutt verdi) være større, og der den er jevnere, vil krumningen bli mindre.

Krumningen vil bli ansett som positiv hvis hastighetsvektoren dreier mot den indre delen av planet delt av kurven vår i to deler, og negativ hvis den vender utover. Denne konvensjonen er ikke avhengig av retningen som kurven krysses i. Ved vendepunkter hvor rotasjonen endrer retning, vil krumningen være 0. For eksempel har en sirkel med radius 1 en konstant positiv krumning på 1 (målt i radianer).

La oss nå glemme tangentvektorer og feste til hvert punkt i kurven, tvert imot, en vektor vinkelrett på den, lik lengde med krumningen ved et gitt punkt og rettet innover hvis krumningen er positiv, og utover hvis den er negativ , og så vil vi tvinge hvert punkt til å bevege seg i retning av den tilsvarende vektoren med hastighet proporsjonal med lengden. Her er et eksempel:

Det viser seg at enhver lukket kurve i flyet oppfører seg på lignende måte under en slik evolusjon, det vil si at den til slutt blir til en sirkel. Dette er beviset på den endimensjonale analogen til Poincare-formodningen ved å bruke Ricci-strømmen (men selve utsagnet i dette tilfellet er allerede åpenbart, bare bevismetoden illustrerer hva som skjer i dimensjon 3).

Avslutningsvis bemerker vi at Perelmans argument ikke bare beviser Poincaré-formodningen, men også den mye mer generelle Thurston-geometriseringsformodningen, som i en viss forstand beskriver strukturen til alle kompakte 3-manifolder generelt. Men dette emnet ligger utenfor rammen av denne elementære artikkelen.

Sergey Duzhin,
Doktor i fysikk og matematikk Vitenskaper,
senior Forsker
St. Petersburg filial
Matematisk institutt ved det russiske vitenskapsakademiet

Poincarés teorem er den matematiske formelen til "Universet". Grigory Perelman. Del 1 (fra serien " Ekte mann i vitenskap")

Henri Poincare (1854-1912), en av de største matematikerne, formulerte i 1904 den berømte ideen om en deformert tredimensjonal sfære og, i form av en liten marginalnotat plassert på slutten av en 65 siders artikkel om en en helt annen sak, skrev noen linjer med en ganske merkelig formodning med ordene: "Vel, dette spørsmålet kan ta oss for langt" ...

Marcus Du Sotoy fra University of Oxford mener at Poincarés teorem er "dette sentralt problem matematikk og fysikk, prøver å forstå hvilken form Kan være Univers Det er veldig vanskelig å komme nær henne."

En gang i uken reiste Grigory Perelman til Princeton for å delta på et seminar ved Institute for Advanced Study. På seminaret svarer en av matematikerne fra Harvard University på Perelmans spørsmål: "Teorien til William Thurston (1946-2012, matematiker, arbeider innen "Tredimensjonal geometri og topologi"), kalt geometriseringshypotesen, beskriver alle mulige tredimensjonale overflater og er et fremskritt i forhold til Poincaré-hypotesen. Hvis du beviser antagelsen til William Thurston, vil Poincare-formodningen åpne alle sine dører for deg og mer dens løsning vil endre hele det topologiske landskapet i moderne vitenskap».

Seks ledende amerikanske universiteter i mars 2003 inviterer Perelman til å lese en serie forelesninger som forklarer arbeidet hans. I april 2003 foretar Perelman en vitenskapelig omvisning. Forelesningene hans blir en enestående vitenskapelig begivenhet. John Ball (formann for International Mathematical Union), Andrew Wiles (matematiker, arbeider innen aritmetikk av elliptiske kurver, beviste Fermats teorem i 1994), John Nash (matematiker som arbeider innen spillteori og differensialgeometri) kommer til Princeton for å høre på ham.

Grigory Perelman klarte å løse en av de syv oppgavene i årtusenet Og beskrive matematisk den såkalte universets formel, for å bevise Poincaré-formodningen. De lyseste sinnene kjempet om denne hypotesen i mer enn 100 år, og for beviset på det lovet verdens matematiske fellesskap (Clay Mathematical Institute) $ 1 million. Den ble presentert 8. juni 2010. Grigory Perelman dukket ikke opp på den , og verdens matematiske fellesskap "kjeftene falt."

I 2006, for å løse Poincaré-formodningen, ble matematikeren tildelt den høyeste matematiske prisen - Fields-prisen (Fields-medaljen). John Ball besøkte St. Petersburg personlig for å overtale ham til å ta imot prisen. Han nektet å akseptere det med ordene: «Samfunnet er neppe i stand til seriøst å vurdere arbeidet mitt».

"Fieldsprisen (og medaljen) deles ut en gang hvert 4. år på hver internasjonal matematisk kongress til unge forskere (under 40 år) som har gitt et betydelig bidrag til utviklingen av matematikk. I tillegg til medaljen tildeles prismottakerne 15 000 kanadiske dollar ($13 000).»

I sin opprinnelige formulering lyder Poincaré-formodningen som følger: "Hver enkelt koblet kompakt tredimensjonal manifold uten grense er homeomorf til en tredimensjonal sfære." Oversatt til et vanlig språk betyr dette at en hvilken som helst tredimensjonal gjenstand, for eksempel et glass, kan forvandles til en ball ved deformasjon alene, det vil si at den ikke trenger å kuttes eller limes. Med andre ord, Poincaré foreslo det rommet er ikke tredimensjonalt, men inneholder et mye større antall dimensjoner, og Perelman 100 år senere beviste det matematisk.

Grigory Perelmans uttrykk for Poincarés teorem om transformasjon av materie til en annen tilstand, form ligner kunnskapen som er fremsatt i Anastasia Novykhs bok "Sensei IV": nåler. Samt evnen til å kontrollere det materielle universet gjennom transformasjoner introdusert av Observatøren fra å kontrollere dimensjoner over den sjette (fra 7 til 72 inklusive) (rapport "PRIMÆR ALLATRA FYSIKK" emne "Ezoosmisk rutenett").

Grigory Perelman ble preget av livets nøysomhet, alvorligheten av etiske krav både for seg selv og for andre. Når man ser på ham, får man følelsen av at han bare er det kroppslig bor til felles med alle andre samtidige rom, A Åndelig i noen andre, hvor selv for 1 million dollar går ikke for den mest "uskyldige" kompromisser med samvittigheten. Og hva slags plass er dette, og er det mulig å til og med se på det fra øyekroken? ..

Den eksepsjonelle betydningen av hypotesen som ble fremsatt for omtrent et århundre siden av matematikeren Poincaré, gjelder tredimensjonale strukturer og er nøkkelelement samtidsforskning universets grunnlag. Denne gåten er ifølge eksperter fra Clay Institute en av de syv grunnleggende viktige for utviklingen av fremtidens matematikk.

Perelman, som avviser medaljer og premier, spør: «Hvorfor trenger jeg dem? De er helt ubrukelige for meg. Alle forstår at hvis beviset er korrekt, kreves det ingen annen anerkjennelse. Inntil jeg utviklet mistanke, hadde jeg valget mellom å enten snakke høyt om oppløsningen av det matematiske fellesskapet som helhet, på grunn av dets lave moralske nivå, eller å si ingenting og la meg bli behandlet som storfe. Nå, når jeg har blitt mer enn mistenksom, kan jeg ikke forbli en storfe og fortsette å tie, så jeg kan bare gå.

For å kunne gjøre moderne matematikk, må du ha et helt rent sinn, uten den minste blanding som desintegrerer det, desorienterer det, erstatter verdier, og å akseptere denne prisen betyr å demonstrere svakhet. Den ideelle vitenskapsmannen er kun engasjert i vitenskap, bryr seg ikke om noe annet (makt og kapital), han må ha et rent sinn, og for Perelman er det ingen større betydning enn å leve i samsvar med dette idealet. Er hele denne ideen med millioner nyttig for matematikk, og trenger en ekte vitenskapsmann et slikt insentiv? Og dette kapitalens ønske om å kjøpe og underlegge seg alt i denne verden er ikke fornærmende? Eller du kan selge dens renhet for en million? Penger, uansett hvor mye det er, er likeverdige sannheten om sjelen? Vi har tross alt å gjøre med en a priori vurdering av problemer som penger rett og slett ikke burde ha med å gjøre, ikke sant?! Å gjøre av alt dette til noe som en lotto-million, eller en totalisator, betyr å hengi seg til oppløsningen av det vitenskapelige, og faktisk det menneskelige fellesskapet som helhet(Se rapporten "PRIMORDIAL ALLATRA FYSICS" og i boken "AllatRa" de siste 50 sidene om måten å bygge et kreativt samfunn på). OG penger(energi), som forretningsmenn er klare til å donere til vitenskapen, hvis det er nødvendig å bruke det, så er det riktig, eller noe, uten å ydmyke Ånden til sann tjeneste, hva man enn kan si, en uvurderlig pengeekvivalent: " Hva er en million, sammenlignet, med renhet, eller Majestet disse sfærene (om dimensjonene til det globale universet og om åndelig verden se bok"AllatRa" og rapportere"PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS"), der ute av stand til å trenge gjennom til og med menneskelig fantasi (sinn)?! Hva er en million stjernehimmel for tid?

La oss gi en tolkning av de gjenværende begrepene som vises i formuleringen av hypotesen:

Topologi - (fra det greske topos - sted og logos - undervisning) - en gren av matematikken som studerer de topologiske egenskapene til figurer, d.v.s. egenskaper som ikke endres under noen deformasjoner produsert uten diskontinuiteter og liminger (nærmere bestemt under en-til-en og kontinuerlige kartlegginger). Eksempler på topologiske egenskaper til figurer er dimensjonen, antall kurver som avgrenser et gitt område, og så videre. Så, en sirkel, en ellipse, en firkantet kontur har de samme topologiske egenskapene, siden disse linjene kan deformeres til hverandre på den ovenfor beskrevne måte; samtidig har ringen og sirkelen forskjellige topologiske egenskaper: sirkelen er avgrenset av en kontur, og ringen av to.

Homeomorfisme (gresk ομοιο - lignende, μορφη - form) er en en-til-en korrespondanse mellom to topologiske rom, der begge gjensidig inverse kartlegginger definert av denne korrespondansen er kontinuerlige. Disse kartleggingene kalles homeomorfe eller topologiske kartlegginger, samt homeomorfismer, og rom sies å tilhøre samme topologiske type kalles homeomorfe, eller topologisk ekvivalente.

En tredimensjonal manifold uten grenser. Dette er et slikt geometrisk objekt, der hvert punkt har et nabolag i form av en tredimensjonal ball. Eksempler på 3-manifolder er for det første hele det tredimensjonale rommet, betegnet med R3 , samt eventuelle åpne sett med punkter i R3 , for eksempel det indre av en solid torus (smultring). Hvis vi vurderer en lukket solid torus, dvs. Hvis vi legger til grensepunktene (overflaten til en torus), vil vi få en manifold med en grense - grensepunktene har ikke nabolag i form av en ball, men bare i form av en halvdel av ballen.

En solid torus (solid torus) er en geometrisk kropp homeomorf til produktet av en todimensjonal skive og en sirkel D2 * S1. Uformelt er en solid torus en smultring, mens en torus bare er overflaten (et hult kammer i et hjul).

Bare koblet til. Det betyr at enhver kontinuerlig lukket kurve som ligger helt innenfor en gitt manifold, kan trekkes jevnt sammen til et punkt uten å forlate denne manifolden. For eksempel er en vanlig todimensjonal kule i R3 ganske enkelt koblet (et elastisk bånd, vilkårlig påført overflaten av et eple, kan trekkes sammen til ett punkt ved en jevn deformasjon uten å fjerne det elastiske båndet fra eplet). På den annen side er ikke sirkelen og torusen bare koblet sammen.

Kompakt. En manifold er kompakt hvis noen av dens homeomorfe bilder har avgrensede dimensjoner. For eksempel er et åpent intervall på en linje (alle punkter i et segment unntatt endene) ikke kompakt, siden det kontinuerlig kan utvides til en uendelig linje. Men et lukket segment (med ender) er en kompakt manifold med en grense: for enhver kontinuerlig deformasjon går endene til noen spesifikke punkter, og hele segmentet må gå inn i en avgrenset kurve som forbinder disse punktene.

Fortsettelse følger...

Ilnaz Basharov

Litteratur:

– Rapport "PRIMARY ALLATRA PHYSICS" fra den internasjonale gruppen av forskere fra ALLATRA International Public Movement, red. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Nye. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Nye. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013, 632 s. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, doktor i fysikk og matematikk Sci., seniorforsker, St. Petersburg-avdelingen ved Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences