rumah › Salon › Grigory Perelman membuktikan bahwa tidak ada Tuhan. Matematikawan Perelman Yakov: kontribusi terhadap sains

Grigory Perelman membuktikan bahwa tidak ada Tuhan. Matematikawan Perelman Yakov: kontribusi terhadap sains

« Tantangan Milenium”, dipecahkan oleh seorang jenius matematika Rusia, terkait dengan asal mula Alam Semesta. Tidak setiap ahli matematika diberikan untuk memahami esensi dari teka-teki ...

PERMAINAN PIKIRAN

Sampai saat ini, matematika tidak menjanjikan kejayaan atau kekayaan bagi "para pendeta" -nya. Mereka bahkan Penghargaan Nobel tidak memberi. Tidak ada nominasi seperti itu. Memang, menurut legenda yang sangat populer, istri Nobel pernah berselingkuh dengan seorang ahli matematika. Dan sebagai pembalasan, orang kaya itu merampas rasa hormat dan hadiah uang dari semua saudara mereka yang licik.

Situasi berubah pada tahun 2000. Institut Matematika Tanah Liat swasta telah memilih tujuh dari yang paling banyak tugas yang sulit dan berjanji untuk membayar satu juta dolar untuk setiap keputusan.

Matematikawan diperlakukan dengan hormat. Pada tahun 2001, layar bahkan merilis film "A Beautiful Mind", yang tokoh utamanya adalah seorang ahli matematika.

Sekarang hanya orang yang jauh dari peradaban yang tidak sadar: salah satu dari jutaan yang dijanjikan - yang pertama - telah diberikan. Hadiah tersebut diberikan kepada seorang warga negara Rusia, penduduk St. Petersburg Grigory Perelman. Dia membuktikan dugaan Poincaré, sebuah teka-teki yang menantang siapa pun selama lebih dari 100 tahun dan yang, melalui usahanya, menjadi sebuah teorema.

Pria berjanggut lucu berusia 44 tahun kami menyeka hidungnya di seluruh dunia. Dan sekarang terus menyimpannya - dunia - dalam ketegangan. Karena tidak diketahui apakah ahli matematika itu akan dengan jujur \u200b\u200bmendapatkan satu juta dolar atau menolak. Publik progresif di banyak negara secara alami gelisah. Setidaknya surat kabar dari semua benua mencatat intrik keuangan dan matematika.

Dan dengan latar belakang aktivitas menarik ini - meramal dan berbagi uang orang lain - makna pencapaian Perelman entah bagaimana hilang. Presiden Clay Institute, Jim Carlson, tentu saja, pernah menyatakan, kata mereka, tujuannya dana hadiah- bukan pencarian jawaban sebagai upaya untuk mengangkat pamor ilmu matematika dan untuk menarik minat kaum muda di dalamnya. Tapi tetap saja, apa gunanya?

Grisha di masa mudanya - bahkan saat itu dia adalah seorang jenius.

HIPOTESIS POINCARE - APA ITU?

Teka-teki, dipecahkan oleh jenius Rusia, memengaruhi dasar-dasar bagian matematika yang disebut topologi. Ini - topologi - sering disebut "geometri di atas lembaran karet". Ini berurusan dengan properti bentuk geometris, yang dipertahankan jika bentuknya diregangkan, dipelintir, ditekuk. Dengan kata lain, itu berubah bentuk tanpa putus, luka dan lem.

Topologi penting untuk fisika matematika karena memungkinkan kita memahami sifat-sifat ruang. Atau mengevaluasinya tanpa bisa melihat bentuk ruang ini dari luar. Misalnya, alam semesta kita.

Saat menjelaskan dugaan Poincare, mereka memulai seperti ini: bayangkan bola dua dimensi - ambil cakram karet dan tarik ke atas bola. Sehingga keliling piringan terkumpul pada satu titik. Demikian pula, misalnya, Anda dapat melepas tas punggung olahraga dengan tali. Hasilnya adalah sebuah bola: bagi kami - tiga dimensi, tetapi dari sudut pandang matematika - hanya dua dimensi.

Kemudian mereka menawarkan untuk menarik disk yang sama pada bagel. Sepertinya berhasil. Tetapi tepi cakram akan menyatu menjadi lingkaran, yang tidak dapat lagi ditarik ke suatu titik - ia akan memotong donat.

Seperti yang dia tulis di miliknya buku populer lain matematikawan Rusia, Vladimir Uspensky, "Tidak seperti bola dua dimensi, bola tiga dimensi tidak dapat diakses oleh pengamatan langsung kita, dan sulit bagi kita untuk membayangkannya seperti halnya bagi Vasily Ivanovich dari trinomial persegi anekdot terkenal."

Jadi, menurut hipotesis Poincaré, bola tiga dimensi adalah satu-satunya benda tiga dimensi yang permukaannya dapat ditarik ke satu titik oleh semacam "hypercord" hipotetis.

Grigory Perelman: - Coba pikirkan, binomial Newton ...

Jules Henri Poincare menyarankan ini pada tahun 1904. Sekarang Perelman telah meyakinkan semua orang yang mengerti bahwa ahli topologi Prancis itu benar. Dan mengubah hipotesisnya menjadi teorema.

Buktinya membantu untuk memahami bentuk apa yang dimiliki alam semesta kita. Dan itu memungkinkan kita untuk berasumsi secara masuk akal bahwa itu adalah bola tiga dimensi yang sama.

Tetapi jika Semesta adalah satu-satunya "sosok" yang dapat dikontrak ke suatu titik, maka, mungkin, ia juga dapat direntangkan dari suatu titik. Yang berfungsi sebagai konfirmasi tidak langsung dari teori Big Bang, yang mengklaim bahwa alam semesta berasal dari titik tersebut.

Ternyata Perelman, bersama dengan Poincare, mengecewakan apa yang disebut kreasionis - pendukung awal ilahi semesta. Dan mereka menumpahkan air ke pabrik fisikawan materialis.

Ahli matematika cerdik dari St.Petersburg, Grigory Perelman, yang menjadi terkenal di seluruh dunia karena membuktikan dugaan Poincaré, akhirnya menjelaskan penolakannya atas hadiah jutaan dolar yang diberikan untuk ini. Seperti menyatakan " TVNZ", ilmuwan penyendiri itu mengungkapkan dirinya dalam percakapan dengan seorang jurnalis dan produser perusahaan film "President-Film", yang, dengan persetujuan Perelman, akan merekam film fitur "Formula of the Universe" tentang dirinya.

Alexander Zabrovsky beruntung berbicara dengan ahli matematika hebat - dia meninggalkan Moskow ke Israel beberapa tahun yang lalu dan menebak pertama kali untuk menghubungi ibu Grigory Yakovlevich melalui komunitas Yahudi St. Dia berbicara dengan putranya, dan setelah karakterisasi yang baik, dia setuju untuk bertemu. Ini benar-benar bisa disebut pencapaian - para jurnalis tidak dapat "menangkap" ilmuwan tersebut, meskipun mereka menghabiskan waktu berhari-hari duduk di pintu masuknya.

Seperti yang dikatakan Zabrovsky kepada surat kabar, Perelman memberikan kesan sebagai "orang yang benar-benar waras, sehat, memadai, dan normal": "Realistis, pragmatis, dan masuk akal, tetapi bukan tanpa sentimentalitas dan kegembiraan ... Segala sesuatu yang dikaitkan dengannya di media , seolah-olah dia "gila", - benar-benar tidak masuk akal! Dia tahu persis apa yang dia inginkan, dan tahu bagaimana mencapai tujuan. "

Film, yang dihubungi oleh ahli matematika dan setuju untuk membantu, bukan tentang dirinya sendiri, tetapi tentang kerja sama dan konfrontasi dari tiga sekolah matematika utama dunia: Rusia, Cina, dan Amerika, yang paling maju dalam jalur pembelajaran. dan mengelola alam semesta.

Ketika ditanya mengapa Perelman menolak satu juta, dia menjawab:

"Saya tahu bagaimana mengelola Semesta. Dan beri tahu saya - mengapa saya harus mengejar satu juta?"

Ilmuwan itu tersinggung, begitu dia dipanggil di pers Rusia

Perelman menjelaskan bahwa dia tidak berkomunikasi dengan jurnalis, karena mereka tidak peduli dengan sains, tetapi dengan masalah pribadi dan rumah tangga - dari alasan menolak satu juta hingga pertanyaan memotong rambut dan kuku.

Secara khusus, dia tidak ingin menghubungi media Rusia karena sikap tidak sopan terhadapnya. Misalnya, di pers mereka memanggilnya Grisha, dan keakraban seperti itu menyinggung perasaan.

Grigory Perelman mengatakan itu sejak itu tahun sekolah digunakan untuk apa yang disebut "pelatihan otak". Mengingat bagaimana, sebagai "delegasi" dari Uni Soviet, dia menerima medali emas di Olimpiade Matematika di Budapest, dia berkata: “Kami mencoba memecahkan masalah di mana kemampuan berpikir abstrak adalah syarat yang sangat diperlukan.

Dalam abstraksi dari logika matematika inilah Titik utama latihan harian. Untuk menemukan solusi yang tepat, perlu membayangkan sebuah "sepotong dunia".

Sebagai contoh dari tugas yang "sulit", dia mengutip yang berikut: "Ingat legenda alkitabiah tentang bagaimana Yesus Kristus berjalan di atas air, seperti di tanah kering. Jadi saya harus menghitung seberapa cepat dia harus bergerak melewati air agar tidak jatuh.

Sejak saat itu, Perelman mengabdikan seluruh aktivitasnya untuk mempelajari masalah mempelajari sifat-sifat ruang tiga dimensi Semesta: “Ini sangat menarik.

Ilmuwan itu menulis disertasinya di bawah bimbingan Akademisi Alexandrov. "Topiknya sederhana: 'Permukaan sadel dalam geometri Euclidean'. Dapatkah Anda membayangkan permukaan yang ukurannya sama dan berjarak tidak sama satu sama lain di tak terhingga? Kita perlu mengukur 'lubang' di antara mereka," jelas ahli matematika itu.

Apa arti penemuan Perelman, menakuti badan intelijen dunia

Pernyataan "Formula Alam Semesta" disebut Poincare karena pentingnya dalam mempelajari proses fisika kompleks dalam teori alam semesta dan karena memberikan jawaban atas pertanyaan tentang bentuk Alam Semesta. Bukti ini akan memainkan peran besar dalam pengembangan nanoteknologi."

“Saya belajar bagaimana menghitung kekosongan, bersama rekan-rekan saya akan mempelajari mekanisme untuk mengisi “kekosongan” sosial dan ekonomi, katanya. “Kekosongan ada di mana-mana. Bisa dihitung, dan ini memberikan peluang besar…

Menurut publikasi tersebut, skala penemuan Grigory Yakovlevich, yang sebenarnya selangkah lebih maju dari sains dunia saat ini, telah menjadikannya objek yang selalu diminati oleh layanan khusus, tidak hanya Rusia, tetapi juga asing.

Dia memahami beberapa pengetahuan super yang membantu memahami alam semesta. Dan di sini muncul pertanyaan semacam ini: "Apa yang akan terjadi jika pengetahuannya menemukan penerapan praktis?"

Nyatanya, dinas rahasia perlu tahu - apakah Perelman, atau lebih tepatnya, pengetahuannya, merupakan ancaman bagi umat manusia? Lagipula, jika dengan bantuan ilmunya dimungkinkan untuk mengubah Semesta menjadi suatu titik, dan kemudian membukanya, lalu kita bisa mati atau terlahir kembali dalam kapasitas yang berbeda? Dan kemudian kita akan menjadi? Dan apakah kita perlu mengelola alam semesta sama sekali?

DAN SAAT INI

Ibu jenius: "Jangan tanya kami tentang uang!"

Ketika diketahui bahwa ahli matematika itu dianugerahi Penghargaan Milenium, kerumunan jurnalis berkumpul di depan pintunya. Semua orang ingin memberi selamat secara pribadi kepada Perelman dan mencari tahu apakah dia akan mengambil jutaan yang sah.

Kami mengetuk pintu tipis itu lama sekali (kalau saja kami bisa menggantinya dengan uang premium), tetapi ahli matematika itu tidak membukanya. Tapi ibunya dengan jelas menandai "i" langsung dari lorong.

Kami tidak ingin berbicara dengan siapa pun dan tidak akan memberikan wawancara apa pun, - teriak Lyubov Leibovna. - Dan jangan tanya kami tentang penghargaan dan uang ini.

Orang-orang yang tinggal di pintu masuk yang sama sangat terkejut melihat ketertarikan yang tiba-tiba pada Perelman.

Apakah Grisha kita sudah menikah? salah satu tetangga tertawa. - Oh, saya mendapat penghargaan. Lagi. Tidak, dia tidak akan mengambilnya. Dia tidak membutuhkan apa pun, hidup dengan satu sen, tetapi bahagia dengan caranya sendiri.

Mereka mengatakan bahwa pada malam ahli matematika terlihat dengan paket lengkap produk dari toko. Dia bersiap untuk "menjaga pengepungan" dengan ibunya. Terakhir kali, ketika hype tentang penghargaan tersebut dimulai di media, Perelman tidak meninggalkan apartemen selama tiga minggu.

OMONG-OMONG

Untuk apa lagi mereka memberikan satu juta dolar ...

Pada tahun 1998, dengan dana miliarder Landon T. Clay, Institut Matematika Clay didirikan di Cambridge (AS) untuk mempopulerkan matematika. Pada tanggal 24 Mei 2000, para ahli institut memilih tujuh masalah yang paling membingungkan, menurut pendapat mereka. Dan mereka menunjuk satu juta dolar untuk masing-masing.

Daftar itu diberi nama .

1. Masalah juru masak

Penting untuk menentukan apakah verifikasi kebenaran solusi suatu masalah bisa lebih lama daripada mendapatkan solusi itu sendiri. Tugas logis ini penting bagi spesialis kriptografi - enkripsi data.

2. Hipotesis Riemann

Ada yang disebut bilangan prima, seperti 2, 3, 5, 7, dst., yang hanya habis dibagi sendiri. Berapa jumlahnya tidak diketahui. Riemann percaya bahwa ini dapat ditentukan dan keteraturan distribusinya dapat ditemukan. Siapa pun yang menemukannya juga akan memberikan layanan kriptografi.

3. Hipotesis Birch dan Swinnerton-Dyer

Masalahnya terkait dengan penyelesaian persamaan dengan tiga yang tidak diketahui yang dipangkatkan. Kita perlu mencari cara untuk menyelesaikannya, tidak peduli betapa sulitnya.

4. Hipotesis Hodge

Pada abad ke-20, ahli matematika menemukan metode untuk mempelajari bentuk objek yang kompleks. Idenya adalah menggunakan "batu bata" sederhana alih-alih objek itu sendiri, yang direkatkan dan membentuk kemiripannya. Kita perlu membuktikan bahwa ini selalu dapat diterima.

5. Navier - persamaan Stokes

Perlu diingat mereka di pesawat. Persamaan menggambarkan arus udara yang menahannya di udara. Sekarang persamaan diselesaikan kira-kira, menurut rumus perkiraan. Penting untuk menemukan yang tepat dan membuktikan bahwa dalam ruang tiga dimensi terdapat solusi dari persamaan, yang selalu benar.

6. Persamaan Yang-Mills

Ada hipotesis dalam dunia fisika: jika sebuah partikel elementer memiliki massa, maka batas bawahnya juga ada. Tapi yang mana tidak jelas. Anda harus menemuinya. Ini mungkin tugas yang paling sulit. Untuk mengatasinya, perlu dibuat "teori segalanya" - persamaan yang menggabungkan semua gaya dan interaksi di alam. Siapa pun yang berhasil pasti akan menerima Hadiah Nobel.

Pencapaian besar terakhir dari matematika murni adalah pembuktian konjektur Poincaré, yang dinyatakan pada tahun 1904 dan menyatakan: “setiap manifold tiga dimensi yang terhubung, terhubung sederhana, kompak tanpa batas, adalah homeomorfik bola S 3 ” oleh Grigory Perelman dari St. St. Petersburg pada tahun 2002–2003.

Ada beberapa istilah dalam frasa ini yang akan saya coba jelaskan sedemikian rupa sehingga makna umumnya menjadi jelas bagi non-matematikawan (saya berasumsi bahwa pembaca telah selesai sekolah menengah atas dan masih mengingat sesuatu dari matematika sekolah).

Mari kita mulai dengan konsep homeomorfisme, yang penting dalam topologi. Secara umum, topologi sering didefinisikan sebagai "geometri karet", yaitu sebagai ilmu tentang sifat-sifat gambar geometris yang tidak berubah selama deformasi halus tanpa celah dan perekatan, atau lebih tepatnya, jika memungkinkan untuk membuat satu-ke- korespondensi satu dan satu-ke-satu antara dua objek.

Ide utamanya paling mudah dijelaskan dengan menggunakan contoh klasik mug dan bagel. Yang pertama dapat diubah menjadi yang kedua dengan deformasi terus menerus.

Angka-angka ini dengan jelas menunjukkan bahwa mug itu homeomorfis dengan donat, dan fakta ini berlaku baik untuk permukaannya (perlipatan dua dimensi, yang disebut torus) dan untuk benda berisi (perlipatan tiga dimensi dengan batas).

Mari kita berikan interpretasi dari sisa istilah yang muncul dalam perumusan hipotesis.

Manifold tiga dimensi tanpa batas. Ini adalah objek geometris, di mana setiap titik memiliki lingkungan dalam bentuk bola tiga dimensi. Contoh manifold 3 adalah, pertama, seluruh ruang tiga dimensi, dilambangkan dengan R 3 , serta sembarang set terbuka poin di R 3 , misalnya interior torus padat (donat). Jika kita mempertimbangkan torus padat tertutup, yaitu menambahkan titik batasnya (permukaan torus), maka kita sudah mendapatkan manifold dengan batas - titik batas tidak memiliki lingkungan dalam bentuk bola, tetapi hanya di bentuk setengah bola.
Terhubung. Konsep konektivitas adalah yang paling sederhana di sini. Manifold dihubungkan jika terdiri dari satu bagian, atau, yang sama, dua titik mana pun dapat dihubungkan dengan garis kontinu yang tidak melampaui batasnya.
Cukup terhubung. Gagasan keterhubungan tunggal lebih rumit. Ini berarti bahwa setiap kurva tertutup kontinu yang terletak seluruhnya di dalam manifold tertentu dapat dikontrak dengan mulus ke suatu titik tanpa meninggalkan manifold ini. Misalnya, bola dua dimensi biasa di R 3 dihubungkan dengan sederhana (pita elastis, yang dipasang secara sewenang-wenang ke permukaan apel, dapat dikontrak oleh deformasi halus ke satu titik tanpa merobek pita elastis dari apel). Di sisi lain, lingkaran dan torus tidak terhubung begitu saja.
Kompak. Manifold kompak jika salah satu gambar homeomorfiknya memiliki dimensi terbatas. Misalnya, interval terbuka pada sebuah garis (semua titik segmen kecuali ujungnya) tidak kompak, karena dapat diperpanjang secara terus menerus hingga garis tak terbatas. Tetapi segmen tertutup (dengan ujung) adalah manifold kompak dengan batas: untuk setiap deformasi kontinu, ujungnya mengarah ke beberapa titik tertentu, dan seluruh segmen harus membentuk kurva terbatas yang menghubungkan titik-titik ini.

Dimensi manifold adalah jumlah derajat kebebasan pada titik yang "hidup" di atasnya. Setiap titik memiliki lingkungan dalam bentuk piringan dengan dimensi yang sesuai, yaitu interval garis dalam kasus satu dimensi, lingkaran pada bidang dalam kasus dua dimensi, bola dalam kasus tiga dimensi , dll. Dari sudut pandang topologi, hanya ada dua manifold terhubung satu dimensi tanpa batas: ini adalah garis dan lingkaran. Dari jumlah tersebut, hanya lingkaran yang kompak.

Contoh ruang yang bukan manifold adalah, misalnya, sepasang garis yang berpotongan - lagipula, pada titik perpotongan dua garis, setiap lingkungan memiliki bentuk salib, tidak memiliki lingkungan yang akan itu sendiri hanya interval (dan semua titik lainnya memiliki lingkungan seperti itu). Matematikawan dalam kasus seperti itu mengatakan bahwa kita sedang berhadapan dengan manifold tunggal, yang memiliki satu titik tunggal.

Manifold kompak dua dimensi sudah terkenal. Jika kita menganggap hanya berorientasi manifold tanpa batas, kemudian dari sudut pandang topologi mereka membentuk daftar sederhana, meskipun tak terbatas: dan seterusnya. Setiap manifold tersebut diperoleh dari sebuah bola dengan menempelkan beberapa pegangan, yang jumlahnya disebut genus permukaan.

Gambar menunjukkan permukaan genus 0, 1, 2, dan 3. Bagaimana sebuah bola menonjol dari semua permukaan dalam daftar ini? Ternyata itu hanya terhubung: pada sebuah bola, kurva tertutup apa pun dapat dikontrak ke suatu titik, dan pada permukaan lain selalu dimungkinkan untuk menunjukkan kurva yang tidak dapat dikontrak ke suatu titik di sepanjang permukaan.

Sangat mengherankan bahwa manifold kompak tiga dimensi tanpa batas juga dapat diklasifikasikan dalam arti tertentu, yaitu diatur dalam daftar tertentu, meskipun tidak sesederhana dalam kasus dua dimensi, tetapi memiliki struktur yang agak rumit. Namun, bola 3D S 3 menonjol dalam daftar ini dengan cara yang persis sama dengan bola 2D dalam daftar di atas. Fakta bahwa setiap kurva pada S 3 berkontraksi ke suatu titik sama mudahnya untuk dibuktikan seperti dalam kasus dua dimensi. Tetapi pernyataan sebaliknya, yaitu, bahwa properti ini unik untuk bola, yaitu, bahwa ada kurva yang tidak dapat dikontrak pada manifold tiga dimensi lainnya, sangat sulit dan merupakan isi dari dugaan Poincare yang sedang kita bicarakan. .

Penting untuk dipahami bahwa manifold dapat hidup sendiri, dapat dianggap sebagai objek independen, tidak bersarang di mana pun. (Bayangkan makhluk hidup dua dimensi di permukaan bola biasa, tidak menyadari keberadaan dimensi ketiga.) Untungnya, semua permukaan dua dimensi dari daftar di atas dapat disematkan di ruang R 3 biasa, yang membuat mereka lebih mudah untuk memvisualisasikan. Untuk 3 bola S 3 (dan secara umum untuk manifold 3 kompak tanpa batas) hal ini tidak lagi terjadi, sehingga diperlukan upaya untuk memahami strukturnya.

Tampaknya cara paling sederhana untuk menjelaskan struktur topologi bola tiga dimensi S 3 adalah dengan bantuan pemadatan satu titik. Yakni, bola tiga dimensi S 3 adalah pemadatan satu titik dari ruang tiga dimensi (tak terbatas) biasa R 3 .

Mari kita jelaskan konstruksi ini terlebih dahulu contoh sederhana. Mari kita ambil garis lurus tak terhingga biasa (analog ruang satu dimensi) dan tambahkan satu titik "jarak tak terhingga" padanya, dengan asumsi bahwa saat bergerak di sepanjang garis lurus ke kanan atau kiri, kita akhirnya sampai ke titik ini. Dari sudut pandang topologi, tidak ada perbedaan antara garis tak terbatas dan segmen terbuka yang dibatasi (tanpa titik akhir). Segmen seperti itu dapat terus ditekuk dalam bentuk busur, mendekatkan ujung-ujungnya dan merekatkan titik yang hilang ke persimpangan. Jelas, kita mendapatkan sebuah lingkaran - analog satu dimensi dari sebuah bola.

Demikian pula, jika saya mengambil bidang tak hingga dan menambahkan satu titik pada tak terhingga, yang cenderung menjadi kecenderungan semua garis bidang asli, yang melewati segala arah, maka kita mendapatkan bola dua dimensi (biasa) S 2 . Prosedur ini dapat diamati melalui proyeksi stereografik, yang menunjuk ke setiap titik P bola, kecuali kutub utara N, titik tertentu bidang P.

Jadi, sebuah bola tanpa satu titik secara topologis sama dengan sebuah bidang, dan menambahkan satu titik mengubah bidang itu menjadi sebuah bola.

Pada prinsipnya, konstruksi yang persis sama berlaku untuk bola tiga dimensi dan ruang tiga dimensi, hanya untuk penerapannya perlu memasuki dimensi keempat, dan ini tidak mudah untuk digambarkan pada gambar. Jadi saya akan membatasi diri deskripsi lisan pemadatan satu titik ruang R 3 .

Bayangkan bahwa ke ruang fisik kita (yang kita, mengikuti Newton, anggap sebagai ruang Euclidean tak terbatas dengan tiga koordinat x, y, z) memiliki satu titik "di tak terhingga" yang ditambahkan sedemikian rupa sehingga ketika bergerak di sepanjang garis lurus di sembarang arah, Anda jatuh (yaitu, setiap garis spasial menutup menjadi lingkaran). Kemudian kita mendapatkan manifold tiga dimensi yang kompak, yang menurut definisi adalah bola S 3 .

Sangat mudah untuk melihat bahwa bola S 3 hanya terhubung. Memang, setiap kurva tertutup pada bola ini dapat digeser sedikit sehingga tidak melewati titik tambah. Kemudian kita mendapatkan kurva di ruang biasa R 3 , yang dengan mudah dikontrak ke suatu titik melalui homotetis, yaitu kontraksi terus menerus di ketiga arah.

Untuk memahami bagaimana manifold S 3 disusun, sangat bermanfaat untuk mempertimbangkan partisinya menjadi dua tori padat. Jika torus padat dihilangkan dari ruang R 3, maka sesuatu yang tidak terlalu jelas tetap ada. Dan jika ruang tersebut dipadatkan menjadi sebuah bola, maka pelengkap ini juga berubah menjadi torus yang kokoh. Artinya, bola S 3 dibagi menjadi dua tori padat yang memiliki batas yang sama - torus.

Berikut cara memahaminya. Mari sematkan torus di R 3 seperti biasa, dalam bentuk donat bundar, dan gambar garis vertikal - sumbu rotasi donat ini. Kami menggambar bidang sembarang melalui sumbu, itu akan memotong torus padat kami dalam dua lingkaran yang ditunjukkan pada gambar berwarna hijau, dan bagian tambahan dari pesawat dibagi menjadi keluarga lingkaran merah yang berkelanjutan. Diantaranya adalah poros tengah, yang disorot lebih tebal, karena di bidang S 3 garis menutup menjadi lingkaran. Gambar tiga dimensi diperoleh dari gambar dua dimensi ini dengan memutar sumbu. Satu set lengkap lingkaran yang diputar kemudian akan mengisi tubuh tiga dimensi, homeomorfik ke torus padat, hanya terlihat tidak biasa.

Faktanya, sumbu tengah akan menjadi lingkaran aksial di dalamnya, dan sisanya akan memainkan peran paralel - lingkaran yang membentuk torus padat biasa.

Untuk memiliki sesuatu untuk dibandingkan dengan bola 3, saya akan memberikan contoh lain dari manifold 3 yang ringkas, yaitu torus tiga dimensi. Torus tiga dimensi dapat dibangun sebagai berikut. Ambil kubus tiga dimensi biasa sebagai bahan sumber:

Ini memiliki tiga pasang wajah: kiri dan kanan, atas dan bawah, depan dan belakang. Di setiap pasang wajah paralel, kami mengidentifikasi titik-titik yang diperoleh satu sama lain secara berpasangan dengan mentransfer di sepanjang tepi kubus. Artinya, kita akan berasumsi (murni secara abstrak, tanpa menerapkan deformasi fisik) bahwa, misalnya, A dan A "adalah titik yang sama, dan B dan B" juga merupakan satu titik, tetapi berbeda dari titik A. Semua titik internal dari kubus kami akan mempertimbangkan seperti biasa. Kubus itu sendiri adalah manifold dengan batas, tetapi setelah perekatan selesai, batas menutup dengan sendirinya dan menghilang. Memang, lingkungan dari titik A dan A" dalam kubus (mereka terletak di sisi kiri dan kanan yang diarsir) adalah bagian dari bola, yang, setelah merekatkan kedua sisi, bergabung menjadi satu bola utuh, yang berfungsi sebagai lingkungan dari titik yang sesuai dari torus tiga dimensi.

Untuk merasakan struktur torus 3 berdasarkan gagasan biasa tentang ruang fisik, Anda harus memilih tiga arah yang saling tegak lurus: maju, kiri dan atas - dan pertimbangkan secara mental, seperti dalam cerita fiksi ilmiah, bahwa ketika bergerak di salah satu arah ini, waktu yang agak lama, tetapi terbatas , kita akan kembali ke titik awal, tetapi dari arah yang berlawanan. Ini juga merupakan "pemadatan ruang", tetapi bukan satu titik, yang digunakan sebelumnya untuk membangun sebuah bola, tetapi lebih kompleks.

Ada jalur yang tidak dapat dikontrak pada torus 3; misalnya, ini adalah segmen AA" pada gambar (pada torus itu menggambarkan jalur tertutup). Itu tidak dapat dikontrak, karena untuk setiap deformasi terus menerus, titik A dan A" harus bergerak di sepanjang wajahnya, tetap berlawanan satu sama lain. lainnya (jika tidak kurva akan terbuka).

Jadi, kita melihat bahwa ada manifold-3 kompak yang terhubung sederhana dan tidak terhubung sederhana. Perelman membuktikan bahwa manifold yang terhubung sederhana adalah tepat satu.

Titik awal pembuktiannya adalah penggunaan apa yang disebut "aliran Ricci": kita mengambil manifold-3 kompak yang terhubung sederhana, memberinya geometri arbitrer (yaitu, memperkenalkan beberapa metrik dengan jarak dan sudut), dan kemudian mempertimbangkan evolusinya di sepanjang aliran Ricci. Richard Hamilton, yang mengusulkan ide ini pada tahun 1981, berharap dengan evolusi ini manifold kita akan berubah menjadi bola. Ternyata ini tidak benar - dalam kasus tiga dimensi, aliran Ricci mampu merusak manifold, yaitu membuatnya menjadi manifold kecil (sesuatu dengan titik tunggal, seperti pada contoh garis berpotongan di atas). Perelman, dengan mengatasi kesulitan teknis yang luar biasa, menggunakan peralatan berat persamaan diferensial parsial, berhasil mengubah aliran Ricci di dekat titik tunggal sedemikian rupa sehingga selama evolusi topologi manifold tidak berubah, tidak ada titik tunggal, dan dalam akhirnya, itu berubah menjadi bola bundar. Tetapi perlu dijelaskan, akhirnya, apa aliran Ricci ini. Aliran yang digunakan oleh Hamilton dan Perelman merujuk pada perubahan metrik intrinsik pada manifold abstrak, dan ini agak sulit untuk dijelaskan, jadi saya akan membatasi diri untuk menjelaskan aliran Ricci "eksternal" pada manifold satu dimensi yang tertanam dalam bidang. .

Bayangkan kurva tertutup mulus pada bidang Euclidean, pilih arah di atasnya, dan pertimbangkan pada setiap titik vektor garis singgung dengan panjang satuan. Kemudian, saat mengitari kurva ke arah yang dipilih, vektor ini akan berputar dengan kecepatan sudut tertentu, yang disebut kelengkungan. Di mana kurva lebih curam, kelengkungan (dalam nilai absolut) akan lebih besar, dan di mana lebih halus, kelengkungan akan lebih kecil.

Kelengkungan akan dianggap positif jika vektor kecepatan berbelok ke arah bagian dalam bidang yang dibagi oleh kurva kita menjadi dua bagian, dan negatif jika berbelok ke luar. Konvensi ini tidak tergantung pada arah di mana kurva dilintasi. Pada titik belok di mana rotasi berubah arah, kelengkungan akan menjadi 0. Misalnya, lingkaran berjari-jari 1 memiliki kelengkungan positif konstan 1 (diukur dalam radian).

Sekarang mari kita lupakan vektor garis singgung dan lampirkan ke setiap titik kurva, sebaliknya, vektor tegak lurus dengannya, panjangnya sama dengan kelengkungan pada titik tertentu dan diarahkan ke dalam jika kelengkungannya positif, dan ke luar jika negatif , dan kemudian kita akan memaksa setiap titik untuk bergerak ke arah vektor yang sesuai dengan kecepatan yang sebanding dengan panjangnya. Ini contohnya:

Ternyata setiap kurva tertutup pada bidang berperilaku serupa selama evolusi seperti itu, yaitu, akhirnya berubah menjadi lingkaran. Ini adalah bukti analog satu dimensi dari konjektur Poincare menggunakan aliran Ricci (namun pernyataan itu sendiri dalam hal ini sudah jelas, hanya metode pembuktian yang menggambarkan apa yang terjadi pada dimensi 3).

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa argumen Perelman membuktikan tidak hanya konjektur Poincaré, tetapi juga konjektur geometrisasi Thurston yang jauh lebih umum, yang pada dalam arti tertentu menjelaskan struktur semua manifold-3 kompak secara umum. Tetapi subjek ini berada di luar cakupan artikel dasar ini.

Karena kurangnya ruang, saya tidak akan berbicara tentang manifold yang tidak dapat diorientasikan, contohnya adalah botol Klein yang terkenal - permukaan yang tidak dapat disematkan di ruang tanpa persimpangan diri.

Institut Matematika Tanah Liat menganugerahi Grigory Perelman Hadiah Milenium, dengan demikian secara resmi mengakui bukti konjektur Poincaré, yang dilakukan oleh seorang matematikawan Rusia, sebagai benar. Patut dicatat bahwa dengan melakukan itu, institut harus melanggar peraturannya sendiri - menurut mereka, hanya seorang penulis yang telah menerbitkan karyanya di jurnal peer-review yang dapat mengklaim menerima sekitar satu juta dolar, ini adalah ukuran yang tepat. hadiah. Karya Grigory Perelman tidak pernah secara resmi terungkap - itu tetap sebagai kumpulan dari beberapa pracetak di situs web arXiv.org (satu, dua, dan tiga). Namun, tidak begitu penting apa yang menyebabkan keputusan institut tersebut - pemberian Hadiah Milenium mengakhiri sejarah lebih dari 100 tahun.

Mug, donat, dan beberapa topologi

Sebelum mencari tahu apa itu dugaan Poincaré, perlu dipahami cabang matematika apa - topologi - yang termasuk dalam hipotesis ini. Topologi manifold berurusan dengan sifat-sifat permukaan yang tidak berubah di bawah deformasi tertentu. Mari kita jelaskan dengan contoh klasik. Misalkan pembaca memiliki donat dan cangkir kosong di depannya. Dari sudut pandang geometri dan akal sehat, ini adalah objek yang berbeda, jika hanya karena Anda tidak dapat minum kopi dari donat dengan semua keinginan Anda.

Namun, ahli topologi akan mengatakan bahwa cangkir dan donat adalah hal yang sama. Dan dia akan menjelaskannya seperti ini: bayangkan cangkir dan donat adalah permukaan yang berlubang di dalamnya, terbuat dari bahan yang sangat elastis (ahli matematika akan mengatakan bahwa ada sepasang manifold dua dimensi yang kompak). Mari kita lakukan eksperimen spekulatif: pertama kita mengembang bagian bawah cangkir, lalu pegangannya, setelah itu akan berubah menjadi torus (begitulah bentuk donat disebut secara matematis). Anda dapat melihat bagaimana proses ini terlihat.

Tentu saja, pembaca yang ingin tahu memiliki pertanyaan: karena permukaannya bisa kusut, bagaimana membedakannya? Lagipula, misalnya, secara intuitif jelas - tidak peduli bagaimana Anda membayangkan torus, Anda tidak bisa mendapatkan bola darinya tanpa celah dan perekat. Di sini yang disebut invarian berperan - karakteristik permukaan yang tidak berubah di bawah deformasi - sebuah konsep yang diperlukan untuk perumusan hipotesis Poincaré.

Akal sehat memberi tahu kita bahwa sebuah lubang membedakan torus dari bola. Namun, sebuah lubang jauh dari konsep matematika, sehingga perlu diformalkan. Ini dilakukan sebagai berikut - bayangkan kita memiliki benang elastis yang sangat tipis di permukaan yang membentuk lingkaran (dalam percobaan spekulatif ini, tidak seperti yang sebelumnya, kita menganggap permukaan itu sendiri padat). Kami akan memindahkan loop tanpa merobeknya dari permukaan dan tanpa merusaknya. Jika utas dapat dikontrak menjadi lingkaran yang sangat kecil (hampir satu titik), maka loop dikatakan dapat dikontrak. Jika tidak, loop disebut tidak dapat ditarik.

Grup fundamental torus dilambangkan dengan n 1 (T 2). Karena tidak sepele, lengan mouse membentuk lingkaran yang tidak dapat ditarik. Kesedihan di wajah binatang itu adalah hasil dari realisasi fakta ini.

Jadi, mudah untuk melihat bahwa setiap loop pada bola dapat dikontrak (Anda dapat melihat tampilannya secara kasar), tetapi untuk torus hal ini tidak lagi terjadi: ada sebanyak dua loop pada donat - satu dijalin ke sebuah lubang, dan yang lainnya melewati lubang "sepanjang perimeter ", - yang tidak dapat ditarik. Dalam gambar ini, contoh loop yang tidak dapat dikontrak ditunjukkan dengan warna merah dan ungu masing-masing. Ketika ada loop di permukaan, ahli matematika mengatakan bahwa "kelompok fundamental dari suatu varietas adalah non-sepele", dan jika tidak ada loop seperti itu, maka itu sepele.

Sekarang, untuk merumuskan dugaan Poincare dengan jujur, pembaca yang ingin tahu harus lebih bersabar: kita perlu mencari tahu apa itu manifold tiga dimensi pada umumnya dan bola tiga dimensi pada khususnya.

Mari kita kembali sejenak ke permukaan yang kita bahas di atas. Masing-masing dapat dipotong menjadi potongan-potongan kecil sehingga masing-masing hampir menyerupai potongan pesawat. Karena bidang hanya memiliki dua dimensi, manifold juga dikatakan dua dimensi. Manifold tiga dimensi adalah permukaan yang dapat dipotong menjadi potongan-potongan kecil, yang masing-masing sangat mirip dengan potongan ruang tiga dimensi biasa.

ketua" aktor"Hipotesis adalah bola tiga dimensi. Mungkin tidak mungkin membayangkan bola tiga dimensi sebagai analog dari bola biasa dalam ruang empat dimensi tanpa kehilangan akal. Namun, mendeskripsikan objek ini cukup mudah, jadi untuk berbicara, "sebagian" dengan cukup mudah. Setiap orang yang melihat bola dunia, mereka tahu bahwa bola biasa dapat direkatkan dari utara dan belahan bumi Selatan sepanjang ekuator. Jadi, bola tiga dimensi direkatkan dari dua bola (utara dan selatan) di sepanjang bola, yang merupakan analog dari ekuator.

Pada manifold tiga dimensi, loop yang sama yang kita ambil pada permukaan biasa dapat dianggap. Jadi, penaksiran Poincaré menyatakan: "Jika kelompok fundamental dari manifold tiga dimensi adalah sepele, maka itu adalah homeomorfik untuk sebuah bola." Ungkapan yang tidak dapat dipahami "homeomorphic to a sphere" yang diterjemahkan ke dalam bahasa informal berarti bahwa permukaan dapat dideformasi menjadi sebuah bola.

Sedikit sejarah

Secara umum, dalam matematika dimungkinkan untuk merumuskan sejumlah besar pernyataan kompleks. Namun, apa yang membuat hipotesis ini atau itu hebat, membedakannya dari yang lain? Anehnya, tetapi hipotesis besar dibedakan oleh sejumlah besar bukti yang salah, yang masing-masing berisi kesalahan besar - ketidakakuratan, yang sering mengarah pada munculnya bagian matematika yang sama sekali baru.

Jadi, awalnya Henri Poincaré, yang antara lain dibedakan oleh kemampuannya membuat kesalahan yang brilian, merumuskan hipotesis dalam bentuk yang sedikit berbeda dari yang kami tulis di atas. Beberapa waktu kemudian, dia memberikan contoh tandingan untuk pernyataannya, yang kemudian dikenal sebagai bola-3 Poincaré homologis, dan pada tahun 1904 merumuskan sebuah dugaan di bentuk modern. Ngomong-ngomong, baru-baru ini, para ilmuwan mengadaptasi bola dalam astrofisika - ternyata Alam Semesta mungkin berubah menjadi bola Poincaré 3 yang homolog.

Harus dikatakan bahwa hipotesis tersebut tidak menimbulkan banyak kehebohan di antara sesama ahli geometri. Begitulah sampai tahun 1934, ketika ahli matematika Inggris John Henry Whitehead mempresentasikan versinya tentang pembuktian hipotesis. Namun, segera, dia sendiri menemukan kesalahan dalam penalaran, yang kemudian menyebabkan munculnya seluruh teori manifold Whitehead.

Setelah itu, kemuliaan dari tugas yang sangat sulit secara bertahap tertanam dalam hipotesis. Banyak ahli matematika hebat mencoba mengambilnya. Misalnya, American R.H.Bing, seorang ahli matematika yang (benar-benar resmi) memiliki inisial yang ditulis alih-alih nama dalam dokumen. Dia melakukan beberapa upaya yang gagal untuk membuktikan hipotesis, merumuskan pernyataannya sendiri selama proses ini - yang disebut "dugaan properti P" (dugaan Properti P). Patut dicatat bahwa pernyataan ini, yang dianggap oleh Bing sebagai perantara, ternyata hampir lebih rumit daripada pembuktian dugaan Poincaré itu sendiri.

Ada di antara para ilmuwan dan orang-orang yang mempertaruhkan nyawanya untuk membuktikan hal ini fakta matematika. Misalnya, ahli matematika terkenal asal Yunani Christos Papakiriakopoulos. Selama lebih dari sepuluh tahun, saat bekerja di Princeton, dia gagal membuktikan dugaan tersebut. Dia meninggal karena kanker pada tahun 1976.

Patut dicatat bahwa generalisasi dugaan Poincaré ke manifold dimensi di atas tiga ternyata lebih sederhana daripada aslinya - dimensi tambahan membuatnya lebih mudah untuk memanipulasi manifold. Jadi, untuk manifold n-dimensi (ketika n paling sedikit 5), dugaan tersebut dibuktikan oleh Stephen Smale pada tahun 1961. Untuk n = 4, konjektur tersebut dibuktikan dengan metode yang sama sekali berbeda dari metode Smale pada tahun 1982 oleh Michael Friedman. Sebagai buktinya, yang terakhir menerima Fields Medal - penghargaan tertinggi untuk matematikawan.

Karya-karya yang dijelaskan jauh dari daftar lengkap upaya untuk memecahkan lebih dari satu abad hipotesis. Dan meskipun masing-masing karya menyebabkan munculnya seluruh arah dalam matematika dan dapat dianggap berhasil dan signifikan dalam pengertian ini, hanya Grigory Perelman dari Rusia yang akhirnya berhasil membuktikan dugaan Poincaré.

Perelman dan pembuktian

Pada tahun 1992, Grigory Perelman, yang saat itu menjadi pegawai Institut Matematika. Steklov, menghadiri kuliah Richard Hamilton. Ahli matematika Amerika berbicara tentang aliran Ricci - alat baru untuk mempelajari konjektur geometrisasi Thurston - sebuah fakta yang darinya konjektur Poincaré diperoleh sebagai konsekuensi sederhana. Aliran ini, dibangun dalam arti dengan analogi dengan persamaan perpindahan panas, menyebabkan permukaan berubah bentuk dari waktu ke waktu dengan cara yang sama seperti kita mengubah bentuk permukaan dua dimensi di awal artikel ini. Ternyata dalam beberapa kasus hasil dari deformasi tersebut adalah objek yang strukturnya mudah dipahami. Kesulitan utama adalah bahwa selama deformasi, singularitas dengan kelengkungan tak terbatas muncul, dalam beberapa hal analog dengan lubang hitam dalam astrofisika.

Usai kuliah, Perelman mendekati Hamilton. Dia kemudian mengatakan bahwa Richard dengan senang hati mengejutkannya: "Dia tersenyum dan sangat sabar. Dia bahkan memberi tahu saya beberapa fakta yang diterbitkan hanya beberapa tahun kemudian. Dia melakukan ini tanpa ragu. Keterbukaan dan kebaikannya membuat saya takjub. Saya tidak bisa mengatakannya bahwa sebagian besar ahli matematika modern berperilaku seperti ini."

Setelah melakukan perjalanan ke Amerika Serikat, Perelman kembali ke Rusia, di mana dia mulai bekerja untuk memecahkan masalah singularitas aliran Ricci dan membuktikan hipotesis geometrisasi (dan sama sekali tidak pada hipotesis Poincaré) secara rahasia. Tidak mengherankan jika kemunculan pracetak pertama Perelman pada 11 November 2002 mengejutkan komunitas matematika. Setelah beberapa waktu, beberapa karya lagi muncul.

Setelah itu, Perelman menarik diri dari pembahasan bukti dan bahkan, kata mereka, berhenti mengerjakan matematika. Dia tidak menghentikan gaya hidup soliternya bahkan pada tahun 2006, ketika dia dianugerahi Fields Medal, penghargaan paling bergengsi untuk ahli matematika. Tidak masuk akal untuk membahas alasan perilaku penulis ini - seorang jenius berhak berperilaku aneh (misalnya, berada di Amerika, Perelman tidak memotong kukunya, membiarkannya tumbuh bebas).

Bagaimanapun, bukti Perelman mengambil kehidupannya sendiri: tiga pracetak menghantui ahli matematika modern. Hasil pertama pengujian ide ahli matematika Rusia muncul pada tahun 2006 - ahli geometri utama Bruce Kleiner dan John Lott dari University of Michigan menerbitkan pracetak pekerjaan sendiri, lebih mirip buku dalam ukuran - 213 halaman. Dalam karya ini, para ilmuwan dengan hati-hati memeriksa semua perhitungan Perelman, menjelaskan secara rinci berbagai pernyataan yang hanya ditunjukkan secara singkat dalam karya ahli matematika Rusia tersebut. Putusan para peneliti tegas: buktinya benar sekali.

Perubahan tak terduga dalam cerita ini terjadi pada bulan Juli di tahun yang sama. Di jurnal Jurnal Matematika Asia Sebuah artikel oleh matematikawan Cina Xiping Zhu dan Huaidong Cao berjudul "A Complete Proof of the Thurston Geometrization Conjecture and the Poincaré Conjecture" muncul. Dalam kerangka kerja ini, hasil Perelman dianggap penting, bermanfaat, tetapi hanya perantara. pekerjaan ini menyebabkan kejutan di kalangan spesialis di Barat, tetapi mendapat ulasan yang sangat baik di Timur. Secara khusus, hasilnya didukung oleh Shintan Yau - salah satu pendiri teori Calabi-Yau, yang meletakkan dasar teori string - serta guru Cao dan Ju. Secara kebetulan yang membahagiakan, Yau-lah yang menjadi pemimpin redaksi majalah tersebut. Jurnal Matematika Asia di mana karya itu diterbitkan.

Setelah itu, ahli matematika tersebut mulai berkeliling dunia dengan ceramah populer, berbicara tentang pencapaian ahli matematika China. Akibatnya, ada bahaya bahwa hasil Perelman dan bahkan Hamilton akan segera tersingkir. Ini telah terjadi lebih dari sekali dalam sejarah matematika - banyak teorema yang menyandang nama ahli matematika tertentu ditemukan oleh orang yang sama sekali berbeda.

Namun, ini tidak terjadi dan mungkin tidak akan terjadi sekarang. Penyerahan Clay Award kepada Perelman (bahkan jika dia menolak) selamanya disemen kesadaran publik fakta: Matematikawan Rusia Grigory Perelman membuktikan konjektur Poincaré. Tidak masalah bahwa sebenarnya dia membuktikan fakta yang lebih umum, mengembangkan teori singularitas arus Ricci yang sama sekali baru. Walaupun demikian. Penghargaan itu telah menemukan seorang pahlawan.

Foto oleh N. Chetverikova Pencapaian besar terakhir dari matematika murni adalah bukti konjektur Poincaré, yang diungkapkan pada tahun 1904 dan menyatakan: “setiap manifold tiga dimensi yang kompak, terhubung sederhana, kompak tanpa batas, adalah homeomorfik bola S 3 ” oleh Grigory Perelman dari St. Petersburg pada 2002-2003.

Ada beberapa istilah dalam frasa ini, yang akan saya coba jelaskan sedemikian rupa sehingga makna umumnya menjadi jelas bagi non-matematikawan (saya asumsikan pembaca sudah lulus SMA dan masih ingat sesuatu dari matematika sekolah).

Ide utamanya paling mudah dijelaskan dengan menggunakan contoh klasik mug dan bagel. Yang pertama dapat diubah menjadi yang kedua dengan deformasi terus menerus: Angka-angka ini dengan jelas menunjukkan bahwa mug adalah homeomorfik untuk donat, dan fakta ini berlaku baik untuk permukaannya (manifold dua dimensi, disebut torus) dan untuk benda yang diisi ( manifold tiga dimensi dengan batas).

Mari kita berikan interpretasi dari sisa istilah yang muncul dalam perumusan hipotesis.

1. Manifold tiga dimensi tanpa batas. Ini adalah objek geometris, di mana setiap titik memiliki lingkungan dalam bentuk bola tiga dimensi. Contoh manifold-3 adalah, pertama, seluruh ruang tiga dimensi, dilambangkan dengan R 3 , serta himpunan titik terbuka apa pun di R 3 , misalnya bagian dalam torus padat (donat). Jika kita mempertimbangkan torus padat tertutup, yaitu menambahkan titik batasnya (permukaan torus), maka kita sudah mendapatkan manifold dengan batas - titik batas tidak memiliki lingkungan dalam bentuk bola, tetapi hanya dalam bentuk dari setengah bola.

2. Terhubung. Konsep konektivitas adalah yang paling sederhana di sini. Manifold dihubungkan jika terdiri dari satu bagian, atau, sesuatu yang sama, dua titik mana pun dapat dihubungkan dengan garis kontinu yang tidak melampaui batasnya.

3. Cukup terhubung. Gagasan keterhubungan tunggal lebih rumit. Ini berarti bahwa setiap kurva tertutup kontinu yang terletak seluruhnya di dalam manifold tertentu dapat dikontrak dengan mulus ke suatu titik tanpa meninggalkan manifold ini. Misalnya, bola dua dimensi biasa di R 3 dihubungkan dengan sederhana (pita elastis, yang dipasang secara sewenang-wenang ke permukaan apel, dapat dikontrak oleh deformasi halus ke satu titik tanpa merobek pita elastis dari apel). Di sisi lain, lingkaran dan torus tidak terhubung begitu saja.

4. Kompak. Manifold kompak jika salah satu gambar homeomorfiknya memiliki dimensi terbatas. Misalnya, interval terbuka pada sebuah garis (semua titik segmen kecuali ujungnya) tidak kompak, karena dapat diperpanjang secara terus menerus hingga garis tak terbatas. Tetapi segmen tertutup (dengan ujung) adalah manifold kompak dengan batas: untuk setiap deformasi kontinu, ujungnya mengarah ke beberapa titik tertentu, dan seluruh segmen harus membentuk kurva terbatas yang menghubungkan titik-titik ini.

Manifold kompak dua dimensi sudah terkenal. Jika kita menganggap hanya berorientasi 1 manifold tanpa batas, kemudian dari sudut pandang topologi mereka membentuk daftar sederhana, meskipun tak terbatas: dan seterusnya. Setiap manifold tersebut diperoleh dari sebuah bola dengan menempelkan beberapa pegangan, yang jumlahnya disebut genus permukaan.

1 Karena kurangnya ruang, saya tidak akan berbicara tentang manifold yang tidak dapat diorientasikan, contohnya adalah botol Klein yang terkenal - permukaan yang tidak dapat disematkan di ruang tanpa persimpangan diri.

Rupanya, cara paling sederhana untuk menjelaskan struktur topologi bola tiga dimensi S 3 adalah dengan bantuan pemadatan satu titik. Yakni, bola tiga dimensi S 3 adalah pemadatan satu titik dari ruang tiga dimensi (tak terbatas) biasa R 3 .

Mari kita jelaskan konstruksi ini terlebih dahulu dengan contoh sederhana. Mari kita ambil garis lurus tak terhingga biasa (analog ruang satu dimensi) dan tambahkan satu titik "jarak tak terhingga" padanya, dengan asumsi bahwa saat bergerak di sepanjang garis lurus ke kanan atau kiri, kita akhirnya sampai ke titik ini. Dari sudut pandang topologi, tidak ada perbedaan antara garis tak terbatas dan segmen terbuka yang dibatasi (tanpa titik akhir). Segmen seperti itu dapat terus ditekuk dalam bentuk busur, mendekatkan ujung-ujungnya dan merekatkan titik yang hilang ke persimpangan. Kami mendapatkan, jelas, sebuah lingkaran - analog satu dimensi dari sebuah bola.

Demikian pula, jika saya mengambil bidang tak hingga dan menambahkan satu titik pada tak terhingga, yang cenderung menjadi kecenderungan semua garis bidang asli, yang melewati segala arah, maka kita mendapatkan bola dua dimensi (biasa) S 2 . Prosedur ini dapat diamati dengan menggunakan proyeksi stereografik, yang menetapkan setiap titik P bola, dengan pengecualian kutub utara N, titik tertentu bidang P ":

Jadi, sebuah bola tanpa satu titik secara topologis sama dengan sebuah bidang, dan menambahkan satu titik mengubah bidang itu menjadi sebuah bola.

Pada prinsipnya, konstruksi yang persis sama berlaku untuk bola tiga dimensi dan ruang tiga dimensi, hanya untuk penerapannya perlu memasuki dimensi keempat, dan ini tidak mudah untuk digambarkan pada gambar. Oleh karena itu, saya membatasi diri pada deskripsi verbal tentang pemadatan satu titik ruang R 3 .

Berikut cara memahaminya. Mari sematkan torus di R 3 seperti biasa, dalam bentuk donat bundar, dan gambar garis vertikal - sumbu rotasi donat ini. Gambarlah bidang acak melalui sumbu, itu akan memotong torus padat kita di sepanjang dua lingkaran yang ditunjukkan dengan warna hijau pada gambar, dan bagian tambahan dari bidang tersebut dibagi menjadi keluarga lingkaran merah yang berkelanjutan. Diantaranya adalah poros tengah, yang disorot lebih tebal, karena di bidang S 3 garis menutup menjadi lingkaran. Gambar tiga dimensi diperoleh dari gambar dua dimensi ini dengan memutar sumbu. Satu set lengkap lingkaran yang diputar kemudian akan mengisi tubuh tiga dimensi, homeomorfik ke torus padat, hanya terlihat tidak biasa.

Faktanya, sumbu tengah akan menjadi lingkaran aksial di dalamnya, dan sisanya akan memainkan peran paralel - lingkaran yang membentuk torus padat biasa.

Ini memiliki tiga pasang wajah: kiri dan kanan, atas dan bawah, depan dan belakang. Di setiap pasang wajah paralel, kami mengidentifikasi titik-titik yang diperoleh satu sama lain secara berpasangan dengan mentransfer di sepanjang tepi kubus. Artinya, kita akan berasumsi (murni secara abstrak, tanpa menerapkan deformasi fisik) bahwa, misalnya, A dan A "adalah titik yang sama, dan B dan B" juga merupakan satu titik, tetapi berbeda dari titik A. Semua titik internal dari kubus kami akan mempertimbangkan seperti biasa. Kubus itu sendiri adalah manifold dengan ujung, tetapi setelah perekatan selesai, ujungnya menutup dengan sendirinya dan menghilang. Memang, lingkungan dari titik A dan A" dalam kubus (mereka terletak di sisi kiri dan kanan yang diarsir) adalah bagian dari bola, yang, setelah merekatkan kedua sisi, bergabung menjadi satu bola utuh, yang berfungsi sebagai lingkungan dari titik yang sesuai dari torus tiga dimensi.

Untuk merasakan struktur 3-torus berdasarkan gagasan biasa tentang ruang fisik, Anda harus memilih tiga arah yang saling tegak lurus: maju, kiri dan atas - dan pertimbangkan secara mental, seperti dalam cerita fiksi ilmiah, bahwa ketika bergerak di salah satu arah ini, waktu yang agak lama, tetapi terbatas , kita akan kembali ke titik awal, tetapi dari arah yang berlawanan. Ini juga merupakan "pemadatan ruang", tetapi bukan satu titik, yang digunakan sebelumnya untuk membangun sebuah bola, tetapi lebih kompleks.

Jadi, kita melihat bahwa ada manifold-3 kompak yang terhubung sederhana dan tidak terhubung sederhana. Perelman membuktikan bahwa manifold yang terhubung sederhana adalah tepat satu.

Ide awal dari buktinya adalah dengan menggunakan apa yang disebut "aliran Ricci": kita mengambil manifold 3 kompak yang terhubung sederhana, memberinya geometri arbitrer (yaitu, memperkenalkan beberapa metrik dengan jarak dan sudut), dan kemudian pertimbangkan evolusinya di sepanjang aliran Ricci. Richard Hamilton, yang mengusulkan ide ini pada tahun 1981, berharap dengan evolusi ini manifold kita akan berubah menjadi bola. Ternyata ini tidak benar - dalam kasus tiga dimensi, aliran Ricci mampu merusak manifold, yaitu membuatnya menjadi manifold kecil (sesuatu dengan titik tunggal, seperti pada contoh garis berpotongan di atas). Perelman, dengan mengatasi kesulitan teknis yang luar biasa, menggunakan peralatan berat persamaan diferensial parsial, berhasil mengubah aliran Ricci di dekat titik tunggal sedemikian rupa sehingga selama evolusi topologi manifold tidak berubah, tidak ada titik tunggal, dan dalam akhirnya berubah menjadi bola bundar. Tapi akhirnya kita harus menjelaskan apa aliran Ricci ini. Aliran yang digunakan oleh Hamilton dan Perelman merujuk pada perubahan metrik intrinsik pada manifold abstrak, dan ini agak sulit untuk dijelaskan, jadi saya akan membatasi diri untuk menjelaskan aliran Ricci "eksternal" pada manifold satu dimensi yang tertanam dalam bidang. .

Kelengkungan akan dianggap positif jika vektor kecepatan berbelok ke arah bagian dalam bidang yang dibagi oleh kurva kita menjadi dua bagian, dan negatif jika berbelok ke luar. Konvensi ini tidak bergantung pada arah kurva yang dilalui. Pada titik belok di mana rotasi berubah arah, kelengkungan akan menjadi 0. Misalnya, lingkaran berjari-jari 1 memiliki kelengkungan positif konstan 1 (diukur dalam radian).

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa argumen Perelman membuktikan tidak hanya dugaan Poincaré, tetapi juga dugaan geometrisasi Thurston yang jauh lebih umum, yang dalam pengertian tertentu menggambarkan struktur semua manifold-3 kompak secara umum. Tetapi subjek ini berada di luar cakupan artikel dasar ini.

Sergey Duzhin,
Doktor Fisika dan Matematika Ilmu,
senior Peneliti
Cabang St. Petersburg
Institut Matematika Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia

Teorema Poincaré adalah rumus matematika dari "Alam Semesta". Grigory Perelman. Bagian 1 (dari serial " Pria sejati dalam sains")

Henri Poincare (1854-1912), salah satu matematikawan terhebat, pada tahun 1904 merumuskan gagasan terkenal tentang bola tiga dimensi yang cacat dan, dalam bentuk catatan pinggir kecil yang ditempatkan di akhir artikel 65 halaman di sebuah masalah yang sama sekali berbeda, mencoret beberapa baris dugaan yang agak aneh dengan kata-kata: "Nah, pertanyaan ini bisa membawa kita terlalu jauh" ...

Marcus Du Sotoy dari University of Oxford percaya bahwa teorema Poincaré adalah "ini masalah sentral matematika dan fisika, mencoba untuk mengerti bentuk apa Mungkin Semesta Sangat sulit untuk mendekatinya."

Sekali seminggu, Grigory Perelman pergi ke Princeton untuk mengikuti seminar di Institute for Advanced Study. Pada seminar tersebut, salah satu ahli matematika Universitas Harvard menjawab pertanyaan Perelman: “Teori William Thurston (1946-2012, ahli matematika, bekerja di bidang“ geometri dan topologi tiga dimensi ”), yang disebut hipotesis geometrisasi, menjelaskan semua kemungkinan permukaan tiga dimensi dan merupakan langkah maju dibandingkan dengan hipotesis Poincaré. Jika Anda membuktikan asumsi William Thurston, maka dugaan Poincare akan membukakan semua pintunya untuk Anda dan lebih banyak lagi solusinya akan mengubah seluruh lanskap topologi sains modern».

Enam universitas terkemuka Amerika pada Maret 2003 mengundang Perelman untuk membacakan serangkaian kuliah yang menjelaskan karyanya. Pada April 2003, Perelman melakukan tur ilmiah. Ceramahnya menjadi ajang ilmiah yang luar biasa. John Ball (ketua International Mathematical Union), Andrew Wiles (ahli matematika, bekerja di bidang aritmatika kurva eliptik, membuktikan teorema Fermat pada tahun 1994), John Nash (ahli matematika yang bekerja di bidang teori permainan dan geometri diferensial) datang ke Princeton untuk mendengarkannya.

Grigory Perelman berhasil menyelesaikan salah satu dari tujuh tugas milenium Dan menggambarkan secara matematis disebut rumus alam semesta, untuk membuktikan dugaan Poincaré. Pemikir paling cemerlang memperebutkan hipotesis ini selama lebih dari 100 tahun, dan untuk buktinya komunitas matematika dunia (Lembaga Matematika Clay) menjanjikan $ 1 juta Itu disajikan pada 8 Juni 2010. Grigory Perelman tidak muncul di sana , dan komunitas matematika dunia "ternganga".

Pada tahun 2006, untuk memecahkan konjektur Poincaré, ahli matematika itu dianugerahi penghargaan matematika tertinggi - Fields Prize (Fields Medal). John Ball secara pribadi mengunjungi St. Petersburg untuk membujuknya agar menerima penghargaan tersebut. Dia menolak menerimanya dengan kata-kata: "Masyarakat hampir tidak bisa menilai pekerjaan saya secara serius."

“Fields Prize (dan medali) diberikan setiap 4 tahun sekali di setiap kongres matematika internasional kepada ilmuwan muda (di bawah 40 tahun) yang telah memberikan kontribusi signifikan bagi perkembangan matematika. Selain medali, penerima penghargaan diberikan 15.000 dolar Kanada ($13.000).”

Dalam rumusan aslinya, penaksiran Poincaré berbunyi sebagai berikut: "Setiap manifold tiga dimensi kompak yang terhubung sederhana tanpa batas adalah homeomorfik untuk bola tiga dimensi." Diterjemahkan ke dalam bahasa umum, ini berarti bahwa benda tiga dimensi apa pun, misalnya kaca, dapat diubah menjadi bola hanya dengan deformasi, yaitu tidak perlu dipotong atau direkatkan. Dengan kata lain, Poincaré menyarankan itu ruang bukan tiga dimensi, tetapi mengandung jumlah dimensi yang jauh lebih besar, dan Perelman 100 tahun kemudian membuktikannya secara matematis.

Ekspresi Grigory Perelman tentang teorema Poincaré tentang transformasi materi menjadi bentuk lain, mirip dengan pengetahuan yang dikemukakan dalam buku Anastasia Novykh "Sensei IV": jarum". Serta kemampuan untuk mengontrol alam semesta material melalui transformasi yang diperkenalkan oleh Pengamat dari dimensi pengontrol di atas keenam (dari 7 hingga 72 inklusif) (laporkan "PRIMARY ALLATRA FISICS" topik "Ezoosmic grid").

Grigory Perelman dibedakan oleh kesederhanaan hidup, kerasnya persyaratan etis baik untuk dirinya sendiri maupun orang lain. Melihatnya, seseorang merasa bahwa dia hanya dia bertempat tinggal secara jasmani kesamaan dengan semua orang sezaman lainnya ruang angkasa, A Secara spiritual di tempat lain, bahkan di mana untuk $ 1 juta tidak pergi untuk yang paling "tidak bersalah" kompromi dengan hati nurani. Dan ruang macam apa ini, dan apakah mungkin untuk melihatnya dari sudut mata Anda? ..

Pentingnya hipotesis yang diajukan sekitar satu abad yang lalu oleh matematikawan Poincaré menyangkut struktur tiga dimensi dan elemen kunci penelitian kontemporer dasar alam semesta. Teka-teki ini, menurut para ahli dari Clay Institute, adalah salah satu dari tujuh teka-teki yang sangat penting untuk perkembangan matematika di masa depan.

Perelman, menolak medali dan hadiah, bertanya: “Mengapa saya membutuhkannya? Mereka sama sekali tidak berguna bagi saya. Semua orang mengerti bahwa jika buktinya benar, maka tidak diperlukan pengakuan lain. Sampai saya mengembangkan kecurigaan, saya memiliki pilihan untuk berbicara dengan lantang tentang disintegrasi komunitas matematika secara keseluruhan, karena tingkat moralnya yang rendah, atau tidak mengatakan apa-apa dan membiarkan diri saya diperlakukan seperti ternak. Sekarang, ketika saya menjadi sangat curiga, saya tidak bisa tetap menjadi ternak dan terus diam, jadi saya hanya bisa pergi.

Untuk melakukan matematika modern, Anda perlu memiliki pikiran yang benar-benar murni, tanpa campuran sedikit pun yang menghancurkannya, mengacaukannya, menggantikan nilai-nilai, dan menerima penghargaan ini berarti menunjukkan kelemahan. Ilmuwan ideal hanya terlibat dalam sains, tidak peduli dengan hal lain (kekuasaan dan modal), ia harus memiliki pikiran yang murni, dan bagi Perelman tidak ada yang lebih penting daripada hidup sesuai dengan cita-cita ini. Apakah seluruh ide dengan jutaan ini berguna untuk matematika, dan apakah ilmuwan sejati membutuhkan insentif seperti itu? Dan keinginan modal untuk membeli dan menaklukkan segala sesuatu di dunia ini tidak menghina? Atau Anda bisa menjual kemurniannya untuk satu juta? Uang, berapa pun jumlahnya, adalah setara kebenaran Jiwa? Lagi pula, kita berurusan dengan penilaian apriori atas masalah yang seharusnya tidak ada hubungannya dengan uang, bukan?! Membuat semua ini menjadi sesuatu seperti lotre-juta, atau tote, berarti memanjakan disintegrasi ilmu pengetahuan, dan memang masyarakat manusia secara keseluruhan(Lihat laporan "PRIMORDIAL ALLATRA FISICS" dan dalam buku "AllatRa" 50 halaman terakhir tentang cara membangun masyarakat kreatif). DAN uang tunai(energi) yang siap disumbangkan oleh pengusaha untuk ilmu pengetahuan, jika perlu digunakan, maka itu benar, atau semacamnya, tanpa mempermalukan Semangat Pelayanan Sejati, apa pun yang dikatakan orang, padanan uang yang tak ternilai: “ Berapa juta, dibandingkan, dengan kemurnian, atau Keagungan bola-bola itu (tentang dimensi alam semesta global dan sekitar dunia spiritual lihat buku"AllatRa" dan laporkan"FISIKA ALLATRA PRIMORDIAL"), di mana tidak dapat menembus bahkan manusia imajinasi (pikiran)?! Apa itu satu juta langit berbintang untuk waktu?

Mari kita berikan interpretasi dari istilah-istilah yang tersisa yang muncul dalam perumusan hipotesis:

Topologi - (dari bahasa Yunani topos - tempat dan logo - pengajaran) - cabang matematika yang mempelajari sifat topologi gambar, yaitu. properti yang tidak berubah di bawah deformasi apa pun yang dihasilkan tanpa diskontinuitas dan perekatan (lebih tepatnya, di bawah pemetaan satu-ke-satu dan kontinu). Contoh sifat topologi figur adalah dimensi, jumlah kurva yang membatasi area tertentu, dan sebagainya. Jadi, lingkaran, elips, kontur persegi memiliki sifat topologi yang sama garis-garis ini dapat dideformasi satu sama lain dengan cara yang dijelaskan di atas; pada saat yang sama, cincin dan lingkaran memiliki sifat topologi yang berbeda: lingkaran dibatasi oleh satu kontur, dan cincin dibatasi oleh dua kontur.

Homeomorfisme (Yunani ομοιο - mirip, μορφη - bentuk) adalah korespondensi satu-ke-satu antara dua ruang topologi, di mana kedua pemetaan yang saling terbalik yang didefinisikan oleh korespondensi ini adalah kontinu. Pemetaan ini disebut pemetaan homeomorfik atau topologi, serta homeomorfisme, dan ruang dikatakan milik tipe topologi yang sama disebut homeomorfik, atau ekuivalen secara topologi.

Manifold tiga dimensi tanpa batas. Ini adalah objek geometris, di mana setiap titik memiliki lingkungan dalam bentuk bola tiga dimensi. Contoh manifold-3 adalah, pertama, seluruh ruang tiga dimensi, dilambangkan dengan R3 , serta himpunan titik terbuka apa pun di R3 , misalnya bagian dalam torus padat (donat). Jika kami mempertimbangkan torus padat tertutup, mis. Jika kita menjumlahkan titik batasnya (permukaan torus), maka kita akan mendapatkan manifold dengan batas - titik batas tersebut tidak memiliki lingkungan berupa bola, tetapi hanya berupa setengah dari bola.

Torus padat (solid torus) adalah benda geometris homeomorfik hasil kali cakram dua dimensi dan lingkaran D2 * S1. Secara informal, torus padat adalah donat, sedangkan torus hanyalah permukaannya (ruang roda yang berongga).

Cukup terhubung. Ini berarti bahwa setiap kurva tertutup kontinu yang terletak seluruhnya di dalam manifold tertentu dapat dikontrak dengan mulus ke suatu titik tanpa meninggalkan manifold ini. Misalnya, bola dua dimensi biasa di R3 dihubungkan dengan sederhana (pita elastis, yang diterapkan secara sewenang-wenang ke permukaan apel, dapat dikontrak ke satu titik dengan deformasi halus tanpa melepaskan pita elastis dari apel). Di sisi lain, lingkaran dan torus tidak terhubung begitu saja.

Kompak. Manifold kompak jika salah satu gambar homeomorfiknya memiliki dimensi terbatas. Misalnya, interval terbuka pada sebuah garis (semua titik segmen kecuali ujungnya) tidak kompak, karena dapat diperpanjang secara terus menerus hingga garis tak terbatas. Tetapi segmen tertutup (dengan ujung) adalah manifold kompak dengan batas: untuk setiap deformasi kontinu, ujungnya mengarah ke beberapa titik tertentu, dan seluruh segmen harus membentuk kurva terbatas yang menghubungkan titik-titik ini.

Bersambung...

Ilnaz Basharov

Literatur:

– Laporan "PRIMARY ALLATRA FISICS" dari kelompok ilmuwan internasional Gerakan Publik Internasional ALLATRA, ed. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Yang baru. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Yang baru. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013, 632 hal. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, Doktor Fisika dan Matematika Sci., Peneliti Senior, Cabang St. Petersburg dari Institut Matematika Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia

Populer dalam kategori: